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\numberwithin{equation}{section}


\begin{document}


\section{Analysis I}

\subsection*{Aufgabe}
Sei $K$ ein K\"orper. 
\begin{enumerate}
\item Es seien $x,y\in K$. Zeigen Sie, dass
\[ -(x+y)=-x-y.\]
\item Zeigen Sie, dass $(-x)\cdot (-y)=xy$ f\"ur alle $x,y\in K$.
\item Es seien $x,y\in K$ mit der Eigenschaft, dass $xy=0$. Zeigen Sie, dass $x=0$ oder $y=0$.
\item Gibt es einen K\"orper $K$ bei dem f\"ur alle $a,b\in K$ gilt: $(a+b)^2=a^2+b^2$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}
In den Teilaufgaben (a), (b) und (c) geben Sie bei jedem Schritt an, welchen Satz oder welches K\"orperaxiom Sie verwenden.

\subsection*{Aufgabe}
Es sei $K$ ein angeordneter K\"orper und $a,b,c,d\in K$.
Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es seien $a>b>0$, zeigen Sie, dass
\[ 0<\frac{1}{a}<\frac{1}{b}.\]
\item Es sei $a>b$ und $c>d$, zeigen Sie, dass $a+c>b+d$.
\item Es sei $a>b$ und $b>c$, zeigen Sie, dass $a>c$.
\item Es sei $ a\geq b$ und $b\geq a$. Zeigen Sie, dass $a=b$.
\end{enumerate}
 Geben Sie bei jedem Schritt an, welche Ordnungsaxiome Sie verwenden und welche S\"atze sie zitieren. Sie m\"ussen in dieser Aufgabe nicht mehr die verwendeten K\"orperaxiome angeben. 

\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten die Menge
\[ \overline{\Q}:= \Q\cup \{\infty\},\]
d.h. die Menge $\overline{\Q}$ besteht aus den rationalen Zahlen und einem Extraelement $\infty$. Wir f\"uhren Verkn\"upfungen wie folgt ein
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item F\"ur $a,b\in \Q$ sei $a+b$ bzw. $a\cdot b$ die \"ubliche Addition bzw. Multiplikation in $\Q$.
\item F\"ur jedes $a\in \Q$ ist $a+\infty:=\infty$ und $\infty+a:=\infty$ sowie $\infty+\infty:=\infty$.
\item F\"ur jedes $a\ne 0\in \Q$ ist $a\cdot \infty:=\infty$ und $\infty \cdot a:=\infty$,
\item zudem ist  $\infty\cdot \infty=\infty$, $0\cdot \infty=0$ und $\infty\cdot 0=0$.
\end{enumerate}
Beantworten Sie folgende Fragen:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Welche von den K\"orperaxiomen sind erf\"ullt? Sie m\"ussen Ihre Antworten nicht begr\"unden.
\item K\"onnte man die Multiplikation auf $\overline{\Q}$ auch anders definieren, so dass wir einen K\"orper erhalten? Begr\"unden Sie Ihre Antworten. 
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate} 
\item[(a)] Zeigen Sie, dass es keinen K\"orper mit \emph{genau vier Elementen} gibt, in dem die Elemente $0,1,1+1$ und $1+1+1$ verschieden sind. \\
Hinweis: Nehmen Sie an, es gibt mit einen K\"orper mit \emph{genau vier Elementen}, in dem die Elemente $0,1,1+1$ und $1+1+1$ verschieden sind. Versuchen Sie diese Annahme zu einem Widerspruch zu f\"uhren. 
Beispielsweise, wenn es solch einen K\"orper g\"abe, was w\"are dann $1+1+1+1$? Was w\"are $(1+1)\cdot (1+1)$? 
\item[(b)] Es sei $K$ eine Menge mit den vier Elementen $\{0,1,a,b\}$. 
    F\"ullen Sie die Additionstabelle und die Multiplikationstabelle so aus, dass die K\"orperaxiome erf\"ullt sind:
    \[ \begin{array}{|c|cccc|}\hline  + &0&1&a&b\\ \hline 0&0&1&a&b\\ 1&1&&&\\ a&a&&&\\ b&b&&&\\ \hline \end{array} 
    \mbox{ und }  \begin{array}{|c|cccc|}\hline  \cdot  &0&1&a&b\\ \hline 0&0&0&0&0\\ 1&0&&&\\ a&0&&&\\ b&0&&&\\ \hline \end{array}\]
 Sie m\"ussen dabei nicht beweisen, dass die K\"orperaxiome erf\"ullt sind, es kommt in diesem Fall nur darauf an, dass die Antwort richtig ist. 
\end{enumerate} 


\subsection*{Aufgabe}
Beweisen Sie die folgenden Aussagen. Geben Sie bei jedem Schritt an, welche Ordnungsaxiome Sie verwenden und welche S\"atze Sie zitieren.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item  Es sei $K$ ein angeordneter K\"orper und $x,y\in K$. Zeigen Sie, dass
\[ |x+y| \leq |x|+|y|.\]
Hinweis: Der Absolutbetrag wurde \"uber eine Fallunterscheidung eingef\"uhrt. Es bietet sich an, die Aussage ebenfalls \"uber eine geeignet gew\"ahlte Fallunterscheidung zu beweisen.\\
Hinweis: Die Aussage ist symmetrisch in $x$ und $y$. Sie k\"onnen daher o.B.d.A.\ annehmen, dass $x\geq y$. 
\item Es seien $\epsilon,b\in \R$ mit $\epsilon>0$ und $0<b<1$. Zeigen Sie, dass ein $n \in \N$ existiert, so dass
\[ b^n<\epsilon.\]
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Zeigen Sie, dass f\"ur alle $n \in \N$ gilt:
\[  \sum_{k=1}^n(-1)^k\,k^2= (-1)^n \left( \begin{array}{c} n+1\\ 2\end{array} \right)\]
\item Eine Folge $(a_n)_{n\in \N}$ hei\ss t beschr\"ankt, wenn es ein $C\in \R$ gibt, so dass $|a_n|\leq C$ f\"ur alle $n\in \N$. 
Geben Sie ein Beispiel f\"ur eine Folge, welche unbeschr\"ankt ist, aber welche auch unendlich viele Folgenglieder enth\"alt, welche null sind.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass 
\[ \lim_{n\to \infty}\, \frac{2}{3n+5}=0.\]
\item Zeigen Sie, dass
\[ \lim_{n\to \infty}\, \frac{1}{2^n}=0.\]
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $(x_n)$ die Folge, welche gegeben ist durch
\[ x_n= \left\{ \begin{array}{rl} \frac{1}{n},& \mbox{wenn $n$ gerade}\\[2mm]
 -\frac{1}{n^2},&\mbox{wenn $n$ ungerade}.\end{array} \right.\]
 Zeigen Sie, dass $\lim_{n\to \infty} x_n=0$.\\
\item Es sei $(b_n)$ die Folge, welche gegeben ist durch
\[ b_n=\left\{ \begin{array}{ll} 99,& \mbox{wenn $n\leq 10^{10}$}\\
  \frac{1}{n^3},& \mbox{wenn $n>10^{10}$}.\end{array} \right. \]
  Konvergiert die Folge? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate} 


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $d\in \Z$. Zeigen Sie, dass
\[ \lim_{n\to \infty} n^d=\left\{ \begin{array}{rl}  +\infty,&\mbox{ wenn }d>0,\\ 1,&\mbox{ wenn }d=0,\\ 0,&\mbox{ wenn }d<0.\end{array} \right.\]
\item Es seien $a_0,\dots,a_d\in \R$ mit $a_d\ne 0$ und es seien
 $b_0,\dots,b_e\in \R$ mit $b_e\ne 0$. Bestimmen Sie
\[ \lim_{n\to \infty}  \frac{a_0+a_1n+a_2n^2+\dots+a_{d-1}n^{d-1}+a_dn^d}{b_0+b_1n+b_2n^2+\dots+b_{e-1}n^{e-1}+b_en^e}\]
\end{enumerate}


 
\subsection*{Aufgabe}
Es seien $(a_n)$ und $(b_n)$ zwei Folgen. Beweisen Sie folgende beide Aussagen:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Wenn $(a_n)$ konvergiert  und wenn $(b_n)$ bestimmt gegen $+\infty$ divergiert, dann gilt
\[ \lim_{n\to \infty} (a_n+ b_n)=+\infty.\]
\item Wenn $(a_n)$ konvergiert mit $\lim_{n\to \infty} a_n>0$, und wenn $(b_n)$ bestimmt gegen $+\infty$ divergiert, dann gilt
\[ \lim_{n\to \infty} a_n\cdot b_n=+\infty.\]
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
In dieser Aufgabe ist (b) eine st\"arkere Aussage als (a), und (c) ist eine st\"arkere Aussage als (b).
Wenn Sie also (b) richtig bearbeitet haben, dann haben Sie auch gleichzeitig (a) gel\"ost. 
Wenn Sie (c) richtig bearbeitet haben, dann haben Sie  auch (b) und (a) richtig gel\"ost.

Anders ausgedr\"uckt, wenn Sie im Folgenden (b) richtig bearbeiten, m\"ussen Sie (a) nicht bearbeiten. Wenn Sie (c) richtig bearbeiten, m\"ussen Sie (a) und (b) nicht bearbeiten.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass die Folge $n\mapsto (-1)^n$ nicht gegen $1$ konvergiert.
\item Zeigen Sie, dass die Folge $n\mapsto (-1)^n$ divergiert.\\
Hinweis: In Quantorenschreibweise gilt f\"ur eine Folge $(a_n)$:
\[ (a_n)\mbox{ divergiert }:\Leftrightarrow \underset{a\in \R}{\forall}\,\,\underset{\epsilon>0}{\exists} \,\,\underset{N\in \N}{\forall} \,\,\underset{n\geq N}{\exists} \,|a_n-a|\geq \epsilon.\]
Es kann hilfreich sein geeignet gew\"ahlte F\"alle f\"ur $a$ zu unterscheiden.  
\item Es sei $x\in \R$ mit $|x|\geq 1$. Zeigen Sie, dass die Folge $n\mapsto x^n$ divergiert.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Geben Sie ein Beispiel einer unbeschr\"ankten Folge $(a_n)$, so dass $a_n>0$ f\"ur alle $n$, und so dass $(a_n)$ nicht bestimmt gegen $+\infty$ divergiert.
(Sie m\"ussen nicht zeigen, dass die von Ihnen angegebene Folge diese Eigenschaften erf\"ullt.)\\
\item  Formulieren Sie die Aussage, dass $(a_n)$ \emph{nicht} bestimmt gegen $+\infty$ divergiert, unter Verwendung von Quantoren.
\item Gibt es eine Folge mit unendlich vielen Folgengliedern, welche gleich null sind, aber welche gegen ein $a>0$ konvergiert? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item Konvergiert die Folge
\[  \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{n},& \mbox{falls\,$n$\,prim}\\
  5,& \mbox{sonst}\end{array} \,\,\,?\right.
 \]
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe} 
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Gibt es Reihen $\sum_{n=0}^\infty a_n$ und $\sum_{n=0}^\infty b_n$ mit $\sum_{n=0}^\infty a_n=+\infty$ und $\sum_{n=0}^\infty b_n=-\infty$, so dass $\sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)=3$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.\\
Wenn Ihre Antwort `Ja' ist, dann m\"ussen Sie Reihen angeben, welche die gew\"unschten Eigenschaften erf\"ullen. Wenn Ihre Antwort `Nein' ist, dann m\"ussen Sie einen Beweis daf\"ur geben, dass es solche Reihen nicht geben kann.
\item Bestimmen Sie
\[ \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{n}{2^n}-\frac{n+1}{2^{n+1}}\right).\]
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe} 
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item 
Es sei $(a_n)_{n\in \N}$ eine Folge, so dass f\"ur alle $m,n\in \N$ gilt, dass
$|a_n-a_m|<\frac{1}{nm}$.
Zeigen Sie, dass die Folge $(a_n)$ konvergiert.
\item  Es seien  $\sum_{n=0}^\infty a_n$ und $\sum_{n=0}^\infty b_n$ zwei konvergente Reihen, so dass $a_n\leq b_n$ f\"ur alle $n\in \N$, und so dass es ein $k\in \N$  mit $a_k<b_k$ gibt. Folgt daraus, dass $\sum_{n=0}^\infty a_n <\sum_{n=0}^\infty b_n$ ? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.\\
Wenn Ihre Antwort `Ja' ist, m\"ussen Sie die Aussage beweisen. Wenn Ihre Antwort `Nein' ist, dann m\"ussen Sie ein Gegenbeispiel finden.
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe} 
Es sei $d\in \N$ mit $d\geq 2$.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{d-1}{d^{n}}=1.\]
\item Es sei $(a_n)_{n\in \N}$ eine  Folge, deren Folgenglieder in
$\{0,1,\dots,d-1\}$
 liegen. Zeigen Sie: Wenn
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{d^n}=1,\]
dann ist $a_n=d-1$ f\"ur alle $n\in \N$.\\
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe} 
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Wir nehmen an, es gibt $c_1,\dots,c_k$, so dass 
\[ \begin{array}{rcl} (a_1,a_2,\dots)&=& (c_1,c_2,\dots,c_k,9,9,9,\dots), \mbox{ und }\\
(b_1,b_2,\dots)&=& (c_1,c_2,\dots,c_k+1,0,0,0,\dots).\end{array} \]
Zeigen Sie, dass 
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^n}= \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{10^n}.\]
Hinweis: Es ist eventuell leichter zu zeigen, dass
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^n}- \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{10^n}=0.\]
\item Es seien  $(a_n)_{n\in \N}$ und $(b_n)_{n\in \N}$ zwei verschiedene Folgen, deren Folgenglieder in $\{0,1,2,\dots,9\}$ liegen, und so dass
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^n}= \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{10^n}.\]
Zeigen Sie, dass es $c_1,\dots,c_k$ gibt, so dass 
\[ \begin{array}{rcl} (a_1,a_2,\dots)&=& (c_1,c_2,\dots,c_k,9,9,9,\dots), \mbox{ und }\\
(b_1,b_2,\dots)&=& (c_1,c_2,\dots,c_k+1,0,0,0,\dots),\end{array} \]
oder die gleiche Aussage gilt, mit den Rollen von $(a_n)$ und $(b_n)$ vertauscht.\\
Hinweis: Nachdem die Folgen verschieden sind gibt es ein $k\in \N$, so dass $a_i=b_i$ f\"ur $i=1,\dots,k-1$, aber so, dass $a_k\ne b_k$. Ohne Beschr\"ankung der Allgemeinheit k\"onnen wir annehmen, dass $b_k>a_k$. 
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe} 
 Es seien $A$ und $B$ zwei nichtleere, Teilmengen von $\R$. Wir definieren
\[ A+B:=\{ a+b\, |\,a\in A \mbox{ und }b\in B\}.\]
D.h.\ die Menge $A+B$ ist die Menge aller Summen mit einem Summanden aus $A$ und einem Summanden aus $B$. Zudem definieren wir
\[ -A:=\{ -a\,|\, a\in A\}.\]
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Es seien $A=[u,v]$ und $B=[x,y)$ zwei Intervalle. Was ist die Menge $A+B$ in der Intervallschreibweise? (Sie m\"ussen Ihre Antwort nicht begr\"unden.)
\item  Es seien $A$ und $B$ zwei nichtleere,  nach oben beschr\"ankte Teilmengen von $\R$. 
Zeigen Sie, dass
\[ \sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B).\]
\item Es sei $A$ eine nichtleere, beschr\"ankte Teilmenge von $\R$. Gilt dann auch, dass $\sup(-A)=-\sup(A)$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Es sei $x\geq 0$ gegeben. Zeigen Sie, dass es ein $y\in \R$ gibt, so dass $y^3=x$.\\
Hinweis: Sie erhalten einen Extrapunkt, wenn Sie die Aufgabe korrekt f\"ur die $n$-te Wurzel zeigen, d.h., wenn Sie zeigen, dass es f\"ur jedes $n\in \N$ ein $y\in \R$ gibt, so dass $y^n=x$. 
\item Es sei $p(x)=ax^2+bx+c$ ein Polynom, wobei $a,b,c\in \R\setminus \{0\}$ beliebig sind. Wir betrachten
\[ M:=\{ x\in \R\,|\, p(x)>0\}.\]
Macht die Aussage, `das Supremum von $M$ ist eine Nullstelle vom Polynom $p(x)$' Sinn?
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Es sei $(a_n)$ eine  monoton steigende Folge, welche 
 unbeschr\"ankt ist. Zeigen Sie, dass
\[ \lim_{n\to \infty} a_n=+\infty.\]
\item Es sei $(a_n)$ eine beschr\"ankte Folge, welche \emph{nicht} konvergiert. Zeigen Sie, dass  es dann zwei Teilfolgen $(a_{n_k})$ und $(a_{m_k})$ mit verschiedenen Grenzwerten gibt.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe} 
Es sei $(a_n)$ eine beschr\"ankte Folge. Wir definieren
\[ \begin{array}{rcll} \limsup a_n&:=&\lim_{n\to \infty} \sup\{a_k\,|\,k\geq n\}&\mbox{ `Limes superior'} \\
\liminf a_n&:=&\lim_{n\to \infty} \inf\{a_k\,|\,k\geq n\}&\mbox{ `Limes inferior'}. \end{array} \]
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
 Es sei $(a_n)$ wie folgt definiert:
\[ a_n:=\left\{ \begin{array}{ll} 2-\frac{1}{n^2}+(-1)^{n/2}, &\mbox{$n$ gerade}, \\ -\frac{1}{n}, &\mbox{$n$ ungerade}.\end{array} \right.\ \]
Bestimmen Sie, $\liminf a_n$ und $\limsup a_n$.\\
Hinweis: Lassen Sie sich von der Definition nicht einsch\"uchtern. Bestimmen Sie zuerst explizit f\"ur jedes $n$ die Zahlen 
\[ \begin{array}{rclcl} b_n&:=&\sup\{a_k\,|\,k\geq n\}&=&\sup\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\dots\}\quad  \mbox{ und }\\
c_n&:=&\inf\{a_k\,|\,k\geq n\}&=&\inf \{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\dots\}.\end{array}\]
Sie m\"ussen dabei \emph{nicht} begr\"unden, wie Sie die Folgen $b_n$ und $c_n$  erhalten.
\item Es sei  $(a_n)$ eine konvergente Folge. Zeigen Sie, dass 
\[\limsup a_n=\lim_{n\to \infty} a_n. \]
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Konvergiert die Reihe
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n}\,?\]
\item Konvergiert die Reihe
\[ \sum_{n=1}^\infty (1+n)^{-n}\,? \]
\item Konvergiert die Reihe
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} \,?\]
\end{enumerate}
In allen F\"allen m\"ussen Sie nat\"urlich Ihre Antwort sorgf\"altig begr\"unden.


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Wir betrachten die Folge
\[ a_n:=\left\{ \begin{array}{rl} 0, &\mbox{ wenn $n$ gerade}, \\[2mm] \frac{1}{n^2}, &\mbox{ wenn $n$ ungerade}.\end{array} \right.\]
Konvergiert die Reihe $\sum_{n=1}^\infty  a_n$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort sorgf\"altig.
\item Wir betrachten die Folge
\[ a_n:=\left\{ \begin{array}{rl} \frac{2}{n}, &\mbox{ wenn $n$ gerade}, \\[2mm] -\frac{1}{n^2}, &\mbox{ wenn $n$ ungerade}.\end{array} \right.\]
Konvergiert die Reihe $\sum_{n=1}^\infty  a_n$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort sorgf\"altig.
\item Es seien $a_0,\dots,a_k$ und $b_0,\dots,b_l$ positive reelle Zahlen, so dass $a_k\ne 0$ und $b_l\ne 0$.
Wir betrachten die Reihe
\[ \sum_{n=1}^\infty\frac{a_0+a_1n+\dots+a_kn^k}{b_0+b_1n+\dots+b_ln^l}.\]
F\"ur welche Werte von $k,l$ sowie $a_0,\dots,a_k$ und $b_0,\dots,b_l$ konvergiert diese Reihe?
Sie m\"ussen Ihre Antwort \emph{nicht} begr\"unden.
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $(a_n)$ eine Folge, so dass $a_n\ne 0$ f\"ur alle $n$, und so dass
\[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1 \]
f\"ur alle $n$. Folgt daraus, dass die Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergiert?
\item Es sei $(a_n)$ eine Folge, so dass $a_n> 0$ f\"ur alle $n$, und so dass $\lim_{n\to \infty} a_n=0$.
Folgt daraus, dass  dann  die
alternierende Reihe
\[ \sum_{n=0}^\infty (-1)^na_n\]
konvergiert?
\end{enumerate}
In beiden Teilaufgaben sollen Sie entweder zeigen, dass  eine solche Reihe immer konvergiert, oder Sie sollen explizit eine  Folge $(a_n)$ angeben, welche die genannten Eigenschaften erf\"ullt, aber so dass die genannte Reihe nicht konvergiert.



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item 
Geben Sie ein Beispiel von  konvergenten Reihen $\sum_{p=0}^\infty a_p$ und $\sum_{q=0}^\infty b_q$, so dass die Reihe 
\[ \sum_{n=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^n a_kb_{n-k}\]
nicht konvergiert. Geben Sie eine kurze Begr\"undung, warum die von Ihnen angegebenen Reihen die gew\"unschte Eigenschaft besitzen.\\
Hinweis: Es folgt aus Satz 5.15, dass die gesuchten Reihen nicht beide absolut konvergieren k\"onnen.
\item
Es sei $(a_n)$ eine monoton fallende Folge, so dass $a_n\geq 0$ f\"ur alle $n$. 
F\"ur jedes $n$ betrachten wir die $n$-te Partialsumme
\[ s_n:=\sum_{k=0}^n (-1)^ka_k \]
der alternierenden Reihe $\sum_{n=0}^\infty (-1)^k a_k$.
Es sei $\epsilon>0$ und es sei $N\in \N$ so, dass $|a_n|<\epsilon$ f\"ur alle $n\geq N$.
Es sei nun $n>m\geq N$, wobei $n$ ungerade ist und $m$ gerade ist. Zeigen Sie, dass $|s_n-s_m|<\epsilon$.\\
Hinweis: In der Vorlesung hatten wir den Fall, dass $n$ und $m$ ungerade sind behandelt. 
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item 
Es seien $a,b\in \R$ beliebig. 
Beweisen Sie mithilfe der Definition von Stetigkeit, dass die Funktion 
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R&\to & \R \\
x&\mapsto &a+bx\quad\quad \mbox{stetig ist.}\end{array} \]
\item Zeigen Sie, dass die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R&\to &\R\\
x&\mapsto &\left\{ \begin{array}{ll} 1, &\mbox{ falls $x\in \Q$}, \\ 0, &\mbox{ falls $x\in \R\setminus \Q$}\end{array} \right.\end{array} \]
in keinem Punkt stetig ist.
(Hinweis: es kann sinnvoll sein,  die Aussage `$f\colon \R\to \R$ ist \emph{nicht} stetig im Punkt $x_0$' mithilfe von Quantoren zu formulieren.)
\item Wir betrachten  die Funktion
\[ \begin{array}{rcl}g\colon \R&\to &\R\\
x&\mapsto &\left\{ \begin{array}{ll} x, &\mbox{ falls $x\in \Q$}, \\ 0, &\mbox{ falls $x\in \R\setminus \Q$.}\end{array} \right.\end{array} \]
Gibt es einen Punkt $x_0\in \R$ indem die Funktion $g$ stetig ist? Es gen\"ugt eine kurze Begr\"undung  zu geben.
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $f\colon \R\to \R$ eine Funktion. Was ist die Definition von  \[\lim_{x\to \infty}f(x)=+\infty\,?\]
\item Eine Funktion $f\colon \R\to \R$ hei\ss t \emph{streng monoton steigend}, wenn f\"ur alle $x_1,x_2\in \R$ gilt
\[ x_1>x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1)>f(x_2).\]
Zeigen Sie, dass die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist.
\item Geben Sie einen sorgf\"altigen Beweis daf\"ur, dass 
\[ \lim_{x\to \infty} \exp(x)=+\infty.\]
\end{enumerate} 

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R\setminus \{0\} &\to & \R \\
x&\mapsto & \left\{ \begin{array}{rl} -1, &\mbox{ wenn }x<0,\\ 1,&\mbox{ wenn }x>0.\end{array} \right.\end{array} \]
Ist die Funktion $f$ stetig? Eine kurze Begr\"undung  gen\"ugt.
\item 
 Es seien $f\colon[a,b]\to \R$ und $g\colon[b,c]\to \R$  stetige Funktionen mit $f(b)=g(b)$.
    Zeigen Sie, dass die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} h\colon[a,c]&\to & \R \\
x&\mapsto& \left\{ \begin{array}{ll}f(x), &\mbox{ wenn }x\in [a,b],\\
g(x), &\mbox{ wenn }x\in (b,c]\end{array} \right.\end{array} \]
im Punkt $b$ stetig ist.
\item Es sei $f\colon \R\to \R$ eine Funktion und $x_0\in \R$. Zeigen Sie, dass gilt:
\[ f\mbox{ ist stetig im Punkt $x_0$}\quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).\]
Beachten Sie dabei, dass Sie  beide Richtungen beweisen m\"ussen.
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]

\item Es sei $f\colon \R\to \R$ eine Funktion, welche im Punkt $x_0\in \R$ stetig  ist.
Zeigen Sie, es existiert ein $\eta>0$ und ein $C\geq 0$, so dass f\"ur alle $x\in \R$ mit $|x-x_0|<\eta$ gilt: $|f(x)|<C$.\\
Hinweis: Wenden Sie die Definition von Stetigkeit an. 
\item
Es seien $f,g\colon \R\to \R$ Funktionen welche  im Punkt $x_0\in \R$ stetig sind.
Zeigen Sie, nur unter Verwendung der Definition von Stetigkeit und von Teil (a), dass dann die
Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\cdot g\colon \R&\to & \R \\ x&\mapsto & f(x)g(x) \end{array} \]
ebenfalls  im Punkt $x_0$ stetig ist.\\
Hinweis: Modifizieren Sie den Beweis von Satz 3.3 (2).


\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Wir betrachten die Funktion
\[\begin{array}{rcl} f\colon \R&\to &\R \\
x&\mapsto & \exp(x)+x\end{array} \]
\begin{enumerate}
\item[(1)] Zeigen Sie, dass $f$ streng monoton steigend ist.
\item[(2)] Bestimmen  Sie $f^{-1}(1)$. 
\end{enumerate}
\item Es sei $f\colon [0,\infty)\to \R$ eine stetige Funktion mit $\underset{x\to \infty}{\lim} f(x)=a$, wobei $a\in \R$. Zeigen Sie, dass $f$ beschr\"ankt ist. D.h.\ Sie m\"ussen zeigen, dass es ein $C\in \R$ gibt, so dass $|f(x)|\leq C$ f\"ur alle $x\in [0,\infty)$.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon (0,1) &\to & \R \\ x&\mapsto & \frac{1}{x}.\end{array} \]
nicht gleichm\"a\ss ig stetig ist.\\
Hinweis: Negieren Sie die Definition der gleichm\"a\ss igen Stetigkeit. Sie m\"ussen dann ein $\epsilon>0$ w\"ahlen. Dieses k\"onnte beispielsweise $\epsilon=1$ sein.
\item Es sei $ f\colon (0,1)\to \R$ eine stetige Funktion, welche zudem beschr\"ankt ist. Folgt daraus notwendigerweise, dass $f$ gleichm\"a\ss ig stetig ist? Es gen\"ugt eine kurze Begr\"undung zu geben.
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $f\colon \R\to \R$ eine stetige Funktion mit
\[  \lim_{x\to - \infty} f(x)=-\infty\mbox{ und }  \lim_{x\to + \infty} f(x)=+\infty.\]
Zeigen Sie, dass $f$ eine Nullstelle besitzt, d.h.\ zeigen Sie, dass es ein $x\in \R$ gibt, so dass $f(x)=0$.\\
\item Es sei $f\colon [a,b]\to \R$ eine \emph{stetige} Funktion, so dass $f(x)\in [a,b]$ f\"ur alle $x\in [a,b]$. Zeigen Sie, dass es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=x$ gibt.\\
Hinweis: Wenden Sie den Zwischenwertsatz geschickt an. \\
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Es seien $a,b\in (0,\infty)$ und $x,y\in \R$. Zeigen Sie, dass 
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $ (a^x)^y=a^{xy},$
\item $a^xb^x=(ab)^x$,
\item $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$,
\item $\ln\left(a^x\right)=x\cdot \ln(a).$
\end{enumerate}





\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es seien $a,b\geq 0$ zwei reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass 
\[ \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}.\]
Hinweis: Mit der richtigen Idee geht das in ein bis zwei Zeilen.
\item Es seien $w,z\in \C$. Beweisen Sie die Dreiecksungleichung 
\[ |w+z|\leq |w|+|z|.\]
Hinweis: Es kann hilfreich sein (a) zu verwenden.
\item Zeigen Sie, dass f\"ur alle $z\in \C\setminus \{0\}$ gilt, dass $\left|\frac{\overline{z}}{z}\right|=1$.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Bestimmen Sie die komplexe Zahl $z$, welche die Gleichung
\[ 2z+3-5i=\frac{1}{2-i}z+7+i\]
erf\"ullt.
\item Es sei $n\in \N$. Bestimmen Sie $  (1+i)^n$ als komplexe Zahl der Form $a+bi$ in Abh\"angigkeit von $n$.
\item Bestimmen Sie eine komplexe Zahl $z=a+bi\in \C$, so dass $z^2=i$.
\item Was ist die geometrische Bedeutung der Multiplikation mit $i$. Anders gefragt, was ist eine geometrische Beschreibung der Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \C&\to & \C \\
z&\mapsto &iz.\end{array} \]
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Konvergiert die Reihe
\[ \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1-i}{2+i}\right)^n \,\,?\]
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item Konvergiert die Reihe
\[ \sum_{n=0}^\infty i^n \frac{1}{n+3} \,\,?\]
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item Konvergiert die Reihe
\[ \sum_{n=0}^\infty  \left(\frac{i+1}{i-1}\right)^n \,\,?\]
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass  
 die Funktion
\[ \begin{array}{rcl}  \C&\to & \C \\ z&\mapsto &| z|\end{array} \]
 stetig ist.
\item
Zeigen Sie, dass f\"ur alle $x,y\in \R$ gilt 
\[ 
 \cos(x)-\cos(y)\,\,=\,\,-2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right).\]
\item Zeigen Sie, dass f\"ur alle $x\in \R$ gilt
\[ \sin(x)\,\,=\,\,-\cos\Big(x+\frac{\pi}{2}\Big).\]
\end{enumerate}






\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie: f\"ur jede komplexe Zahl $z\ne 0$ und zu jedem $n\in \N$ gibt es eine $n$-te Wurzel von $z$, d.h. es gibt ein $\xi\in \C$ mit $\xi^n=z$.
\item Wir bezeichnen die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} s\colon \C\setminus \{0\}&\to & \C\\
z&\mapsto &\frac{1}{\,\,\overline{z}\,\,} \end{array} \]
als \emph{die Spiegelung am Einheitskreis}. Es sei $g\in \C=\R^2$ eine Gerade. Was ist die geometrische Beschreibung von $s(g)$?
Hinweis: Sie m\"ussen in dieser Aufgabe nichts beweisen, sondern nur die richtige geometrische Sichtweise zeigen. 
Eventuell m\"ussen Sie, je nach Lage der Gerade $g$, eine Fallunterscheidung durchf\"uhren, um $s(g)$ zu beschreiben.\\
\emph{Hinweis:} Der Sinn der Aufgabe ist nicht, eine pr\"azise Beschreibung zu geben, sondern ein Gef\"uhl f\"ur die geometrische Bedeutung zu entwickeln.
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Es sei $\epsilon>0$,  $k\in \N$ und $C\in \R$.
Es sei $g\colon (-\epsilon,\epsilon)\to \R$ eine Funktion, so dass $|g(x)|\leq C|x|^{k}$ f\"ur alle $x\in (-\epsilon,\epsilon)$. Zeigen Sie, dass
\[ \lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x^{k-1}}\,=\,0.\]
\item Zeigen Sie mithilfe der Ergebnisse, welche vor Satz 11.9.\ bewiesen wurden,  dass
\[ 
\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).\]
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten  die Funktion
\[
 \begin{array}{rcl}
 \hspace{4cm} f\colon \R&\to & \R \\
x&\mapsto &\left\{ \begin{array}{ll} x^2\sin(\frac{1}{x}),&\mbox{ wenn }x\ne 0, \\ 0,&\mbox{ wenn $x=0$.}\end{array} \right.\end{array} \]
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass die Funktion $f$ im Punkt $x_0=0$ differenzierbar ist mit Ableitung $f'(0)=0$.
\item Es folgt aus (a) und aus den \"ublichen Rechenregeln, dass die Ableitung von $f$ gegeben ist durch die Funktion
\[\begin{array}{rcl}
f'\colon \R&\to & \R \\
x&\mapsto &\left\{ \begin{array}{ll}2x\sin(\frac{1}{x})- \cos(\frac{1}{x}),&\mbox{ wenn }x\ne 0, \\ 0,&\mbox{ wenn $x=0$.}\end{array} \right.\end{array} \]
Ist die Ableitungsfunktion $f'$  im Punkt $x=0$ stetig? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Wir betrachten die Funktion
\[\begin{array}{rcl} f\colon (0,\infty)&\to &\R \\
x&\mapsto & \ln(x)+2x^3\end{array} \]
Diese Funktion ist  streng monoton steigend und differenzierbar (Sie m\"ussen dies nicht beweisen), insbesondere besitzt $f$ also eine differenzierbare Umkehrfunktion $f^{-1}$.
Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ am Punkt $2$.
\item Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion $f(x)=x^x$.
\item Es sei $d\in \R$. Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f_d\colon \R&\to & \R \\
x&\mapsto &\left\{ \begin{array}{rl} x^d, &\mbox{ wenn }x>0, \\ 0,&\mbox{ wenn }x=0,\\ |x|^d, &\mbox{ wenn }x<0.\end{array} \right.\end{array} \]
\begin{enumerate}
\item[(i)] F\"ur welche $d\in \R$ ist die Funktion $f_d$ stetig? 
\item[(ii)] F\"ur welche $d\in \R$ ist die Funktion $f_d$ differenzierbar?
\end{enumerate}
Sie m\"ussen Ihre Antwort dabei \emph{nicht} begr\"unden.
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $f\colon [a,b]\to \R$ eine differenzierbare Funktion, mit der Eigenschaft, dass $f'(x)>0$ f\"ur alle $x\in (a,b)$. Zeigen Sie, dass $f$ streng monoton steigend ist.
\item Zeigen Sie, dass f\"ur alle $x\ne 1 $ in $(0,\infty)$ gilt, dass $\ln(x)<x-1$.\\
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $f\colon \R\to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass $f'(x)=f(x)$ f\"ur alle $x\in \R$. Zeigen Sie: Es existiert ein $C\in \R$, so dass $f(x)=C\exp(x)$ f\"ur alle $x\in \R$.\\
Hinweis: Betrachten Sie die Funktion $g(x)=f(x)\exp(-x)$.
\item Zeigen Sie, dass 
\[ \frac{d}{dx}\, \arcsin(x)\,\,=\,\,\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\]
Hinweis: Es gen\"ugt diese Aussage f\"ur $x\in [0,1)$ zu beweisen. 
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon (-2,4]&\to &\R\\
x&\mapsto &\left\{ \begin{array}{ll} |x+1| &\mbox{ wenn }x\in (-2,0],\\
x\cdot \ln(x)&\mbox{ wenn }x\in (0,4].\end{array} \right.\end{array}\]
Beantworten Sie folgende Fragen:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion $f$.
\item In welchen Punkten ist die Funktion $f$ stetig?
\item In welchen Punkten ist die Funktion $f$ differenzierbar?
\item Was sind die lokalen Minima und Maxima der Funktion $f$.
\end{enumerate}
Sie m\"ussen Ihre Antwort nur in (d) begr\"unden. Bei allen anderen Teilaufgaben gen\"ugt es die (hoffentlich richtige) Antwort hinzuschreiben.

\subsection*{Aufgabe}
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
\[ \lim_{x\searrow \frac{\pi}{2}} \left(\tan(x)+\frac{1}{x-\pi/2}\right).\]
\item
\[ \lim_{x\to \infty}\frac{\sin(x)+2x}{\cos(x)+2x}.\]
\item
\[ \lim_{x\searrow 0} \frac{x-\cos(x)}{x+\sin(x)}.\]
\item
\[ \lim_{x\to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x.\]
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
Es sei $f\colon [a,b]\to \R$ eine monoton steigende Funktion.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Wir setzen $z_k=a+k\frac{b-a}{n}, k=0,\dots,n$. Dann ist $Z=\{z_0,\dots,z_n\}$ eine Zerlegung von $[a,b]$.
Zeigen Sie, dass
\[ O(Z,f)-U(Z,f)\,\,=\,\,\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a)).\]
Hinweis: Was ist  $\inf(f([z_k,z_{k+1}]))$ und was ist  $\sup(f([z_k,z_{k+1}]))$? 
\item Zeigen Sie mithilfe von (a), dass $f$ Riemann-integrierbar ist.
\item Gibt es eine monoton steigende Funktion $f\colon [0,1]\to \R$, welche an unendlich vielen Stellen unstetig ist? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten
\[ \begin{array}{rcl} f\colon [0,1] &\to & \R\\
x&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} 1, &\mbox{ wenn }x=\frac{1}{2^n},\mbox{ f\"ur ein $n\in \N$}\\
0, &\mbox{ andernfalls.}\end{array} \right.\end{array} \]
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Finden Sie eine Zerlegung $Z$ von $[0,1]$, mit $O(Z,f)<\frac{1}{10}$. 
\item Zeigen Sie, dass $f$ Riemann-integrierbar ist, mit $\int_0^1 f(x)\,dx=0$.
\end{enumerate}





\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item 
Zeigen Sie, nur mit den Methoden bis Satz 13.9, dass  f\"ur jedes $d>0$ gilt, dass
\[ \int_0^d x^2\,dx \,\,=\,\,\frac{d^3}{3}.\]
\item
Es sei $f\colon [a,b]\to \R$ eine beschr\"ankte Funktion und es sei  zudem
$Z=\{ z_0,z_1,\dots,z_n\}$ eine Zerlegung, d.h.\ $a=z_0<z_1<\dots<z_n=b$. 
Es sei nun $w$ eine reelle Zahl im Intervall $(z_k,z_{k+1})$. Wir bezeichnen die Zerlegung 
\[ \{z_0,z_1,\dots,z_k,w,z_{k+1},\dots,z_n\}\]
 mit $Z'$. 
Zeigen Sie, dass $ U(Z,f)\leq U(Z',f)$.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass die Funktion 
\[ \begin{array}{rcl} f\colon  \R&\to & \R \\
x&\mapsto &|x|\end{array} \]
 Lipschitz-stetig ist.\\
 Hinweis: Sie m\"ussen also zeigen, dass f\"ur alle $x,y\in \R$ gilt, dass $\Big| |x|-|y|\Big|\leq |x-y|$. 
 Anders ausgedr\"uckt, Sie m\"ussen zeigen, dass $ |x|-|y|\leq |x-y|$ und $|y|-|x|\leq |x-y|$. (Warum?).
 Verwenden Sie dazu die Dreiecksungleichung $|a+b|\leq |a|+|b|$.
\item 
Es sei  $f\colon [a,b]\to \R$ eine differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: wenn es ein $C\geq 0$ gibt, so dass 
$|f'(x)|\leq C$ f\"ur alle $x\in (a,b)$, dann ist $f$ Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante $C$. 
\item   Zeigen Sie, dass  die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon  [0,1]&\to & \R \\
x&\mapsto &\sqrt{x} \end{array} \]
nicht Lipschitz-stetig ist.
\end{enumerate}



 


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $f\colon [a,b]\to\R$ eine Riemann-integrierbare Funktion und $C\in \R$, so dass $|f(x)|\leq C$ f\"ur alle $x\in [a,b]$. Zeigen Sie:
    \[ \left|\int_a^b f(x)\,dx \right|\leq C(b-a).\]
\item Es sei $f\colon [a,b]\to \R$ eine Riemann-integrierbare (insbesondere beschr\"ankte) Funktion. Zeigen Sie, dass die Funktion
    \[ \begin{array}{rcl} F:[a,b]&\to & \R \\
    x&\mapsto & \bint\limits_a^x f(t)\,dt \end{array} \]
    stetig ist.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Bestimmen Sie Stammfunktionen von den folgenden Funktionen:
\[
\begin{array}{rcl} 
\mbox{(a)} &&\tan(x)\\[3mm]
\mbox{(b)} & \hspace{1cm} &\displaystyle\displaystyle \frac{x}{1+x^4}\\[3mm]
\mbox{(c)} &&x^5\cdot \sin(x^3) \hspace{1.9cm} \mbox{(Hinweis: wenden Sie zuerst Substitution an)}\\[3mm]
\mbox{(d)} &&\displaystyle \frac{1}{1-\sin(x)}\hspace{2cm}\mbox{(Hinweis: Formen Sie den Ausdruck um.)}\end{array} \]


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Bestimmen Sie Stammfunktionen von den folgenden Funktionen:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item[(i)] $e^x\sin(x)$\\
Hinweis: wenden Sie partielle Integration zwei Mal an.
\item[(ii)]  $\arctan(x)$.
\end{enumerate}
\item[(b)]
Es sei $c\in \R$ beliebig.
Bestimmen Sie eine Stammfunktion von 
\[ f(x)=\frac{1}{1+c\cdot x^2}.\]
Hinweis:
\[ \frac{1}{1-x^2}=\frac{\frac{1}{2}}{1-x}+\frac{\frac{1}{2}}{1+x}.\]
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Bestimmen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale:
\[
\begin{array}{rcl} \mbox{(a)} & \hspace{4cm} &\displaystyle \int_0^1 \ln(x)\cdot x^2\,dx\hspace{4cm}\\[4mm]
\mbox{(b)} &&\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{1+2x^2}\,dx.\end{array}
\]


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Bestimmen Sie das vierte Taylorpolynom zu $f(x)=\ln(|x|)$ am Punkt $x=-1$.
\item Bestimmen Sie eine rationale Zahl, welche mit $\cos(0.1)$ auf 11 Stellen \"ubereinstimmt.
Verwenden Sie dabei nur das Korollar zur Restgliedformel von Lagrange.  \\
Hinweis: \"Uberlegen Sie sich zuerst anhand der Lagrangeschen Restgliedformel f\"ur welches $n$ Sie das Taylorpolynom bestimmen m\"ussen. 
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Es seien $f,g\colon D\to \R$ Funktionen. Zeigen Sie, dass
\[  \|f+g\|\leq  \|f\|+\|g\|.\]
\item Bestimmen Sie $\|\sin-\cos\|$, wobei wir mit $\sin$ und $\cos$ die auf ganz $\R$ definierte Sinus- bzw. Kosinusfunktion bezeichnen.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item F\"ur $n\geq 1$ betrachten wir die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f_n\colon\R &\to&\R \\
x&\mapsto& \left\{ \begin{array}{ll} 1-n|x|, & \mbox{ falls }|x|\leq \frac{1}{n},\\
0, &\mbox{ andernfalls.}\end{array} \right. \end{array} \]
Zeigen Sie, dass diese Funktionenfolge punktweise gegen die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon\R &\to& \R \\
x&\mapsto&
\left\{ \begin{array}{ll} 1, & \mbox{ falls }x=0, \\
0, &\mbox{ andernfalls.}\end{array} \right.
\end{array} \]
konvergiert.
\item Es sei $(f_n)$ eine Folge von Funktionen $f_n\colon D\to \R$
und $f\colon D\to \R$ eine weitere Funktion. Formulieren Sie die Aussage
$(f_n)$ konvergiert \emph{nicht} gleichm\"a\ss ig gegen $f$ in Quantorenschreibenweise.
\item Zeigen Sie, nur mithilfe der Definitionen, dass die  Funktionenfolge $(f_n)$  aus (a) \emph{nicht} gleichm\"a\ss ig gegen $f$ konvergiert.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Es sei $f_n\colon (-1,1)\to \R$ eine gleichm\"a\ss ig konvergente Folge von differenzierbaren Funktionen.
Ist dann die Grenzfunktion auch notwendigerweise differenzierbar? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item Zeigen Sie, dass der Konvergenzsatz f\"ur Integrale, Satz 16.6 der Vorlesung, nicht f\"ur das uneigentliche Riemann-Integral gilt. Finden Sie z.B. eine Folge von Funktionen $f_n\colon \R \to \R$, die gleichm\"assig gegen die konstante Funktion $f(x) = 0$ konvergiert, aber so dass f\"ur alle $n$ gilt
\[
	\int_{-\infty}^{\infty} f_n(x) \, dx = 1 \neq \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 0 \, .\]
\end{enumerate} 

\section{Analysis II}



\subsection*{Aufgabe}
F\"ur einen normierten Vektorraum $(V,\|-\|)$ bezeichnen wir 
\[ \{v\in V\,|\, \|v\|\leq 1\} \]
als die \emph{Normkugel von  $\|-\|$}.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Wir betrachten $\R^2$ mit folgenden Normen:
\[ \begin{array}{lcl} \|(v_1,v_2)\|_{eukl}&:=& \sqrt{v_1^2+v_2^2}\\
\|(v_1,v_2)\|_{manh}&:=&|v_1|+|v_2|\\
\|(v_1,v_2)\|_{max}&:=&\max\{|v_1|,|v_2|\}.\end{array} \]
Fertigen Sie in allen drei F\"allen eine sorgf\"altige Skizze der Normkugel an. 
\end{enumerate}
Eine Teilmenge $K$ von einem Vektorraum $V$ hei\ss t \emph{konvex}, wenn f\"ur alle $x,y\in K$ und alle $t\in [0,1]$ gilt: $tx+(1-t)y\in K$.
\begin{enumerate}
\item[(b)] Es sei $(V,\|-\|)$ ein beliebiger normierter Vektorraum. Zeigen Sie, dass die Normkugel 
konvex ist.
\item[(c)] Gibt es zu jeder konvexen Teilmenge $K$ von $V$ eine Norm $\|-\|$, so dass $K$ die Normkugel von $\|-\|$ ist? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Es sei $V$ der Vektorraum aller Funktionen $\R\to \R$. 
Zeigen Sie,  dass  die Funktionen $f(t)=\sin(t)$, $g(t)=1+t^2$ und $h(t)=2-t$ linear unabh\"angig in $V$ sind.
\item 
Es sei $X$ ein metrischer Raum, $(x_k)_{k\in \N}$ eine Folge von Punkten aus $X$ und es sei $x\in X$. Zeigen Sie, dass
\[ \underset{k\to \infty}{\lim} x_k=x\quad \Longleftrightarrow \quad
 \underset{\begin{array}{c} \operatorname{Umgebungen} \\U\operatorname{ von }x\end{array} }{\forall}\underset{K\in \N}{\exists}\,\,\underset{k\geq K}{\forall} \,x_k\in U.\]
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass f\"ur $x=(x_1,\dots,x_n)\in \R^n$ und jedes $i\in \{1,\dots,n\}$ gilt
\[ |x_i|\,\,\leq \,\,\|x\|_{max}\,\,\leq\,\, \|x\|_{eukl}\,\,\leq\,\, \sqrt{n}\|x\|_{max}.\]
\item Zeigen Sie, dass f\"ur alle $x\in \R^n$ und $\epsilon>0$ gilt, dass
\[ B_{\frac{1}{\sqrt{n}}\epsilon}^{eukl}(x)\subset B_{\frac{1}{\sqrt{n}}\epsilon}^{max}(x)\,\,\subset \,\, B_{\epsilon}^{eukl}(x).\]
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Ist die Menge
\[ \{0\}\cup \{\tmfrac{1}{n}\,|\,n\in \N\}\]
eine abgeschlossene Teilmenge von $\R$?  Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item Ist $\Q\subset \R$ abgeschlossen? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item
Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $x\in X$.
Zeigen Sie, dass $\{x\}\subset X$ abgeschlossen ist.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Es sei $X$ ein metrischer Raum und $(x_k)_{k\in \N}$ eine Folge von Punkten aus $X$.
Zeigen Sie, dass
\[ \underset{k\to \infty}{\lim} x_k=x\quad \Longleftrightarrow \quad
 \underset{\begin{array}{c} \operatorname{Umgebungen} \\U\operatorname{ von }x\end{array} }{\forall}\underset{K\in \N}{\exists}\,\,\underset{k\geq K}{\forall} \,x_k\in U.\]
\item[(b)] Es sei $X$ ein metrischer Raum und $A$ eine abgeschlossene Teilmenge. Es sei $(x_k)_{k\in \N}$ eine Folge von Punkten in $A$, welche  in $X$ konvergiert. Zeigen Sie, dass der Grenzpunkt $\lim_{k\to\infty} x_k$  ebenfalls in $A$ liegt.
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Es sei $i\in \{1,\dots,n\}$. Zeigen Sie, nur mithilfe der Definitionen, dass die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R^n &\to & \R \\
(x_1,\dots,x_n)&\mapsto & x_i \end{array} \]
stetig ist.
\item[(b)] Geben Sie eine offene \"Uberdeckung $\{U_i\}_{i\in \N}$ von  $[1,\infty)\subset \R$ an, so dass $[1,\infty)$ nicht durch endlich viele der $U_i$'s \"uberdeckt werden kann.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
Welche der folgenden metrischen R\"aume sind vollst\"andig? Geben Sie in allen drei F\"allen eine kurze Begr\"undung f\"ur Ihre Antwort.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Die Menge $X=\R^n$ mit der Metrik
\[
\begin{array}{rcl}
\hspace{0.8cm}
 d((x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n))&:=& \min\left\{1,\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n (x_k-y_k)^2}\right\}\end{array}
\]
\item[(b)] Die Menge $X=\R^n$ mit der Metrik
\[ d(x,y)\,\,:=\,\,\left\{ \begin{array}{ll} 0, &\mbox{ falls }x=y, \\
1,&\mbox{ falls }x\ne y.\end{array}\right. \]
\item[(c)]  Die Menge
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{2cm} X&:=&C^{\infty}([-1,1]):=\mbox{Vektorraum aller $C^\infty$--Funktionen $[-1,1]\to \R$}
\intertext{mit der Metrik}
 d(f,g)&:=&\sup\Big\{| f(x)-g(x)|\,\Big|\, x\in [-1,1]\Big\}.\end{array}
 \end{align*}
\end{enumerate}







\subsection*{Aufgabe}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung zwischen zwei metrischen R\"aumen. Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
\item[(a)] Wenn $f$ stetig ist, dann ist  f\"ur jede offene Menge $U$ in $Y$ die Urbildmenge  $f^{-1}(U)$  ebenfalls offen.
\item[(b)] Wenn  f\"ur jede offene Menge $U$ in $Y$ die Urbildmenge  $f^{-1}(U)$   offen ist, dann ist $f$ stetig.
\end{enumerate}
Hinweis: diese Aufgabe ist nicht schwierig, solange man sich sorgf\"altig an den Definitionen orientiert.
F\"ur (1) k\"onnen Sie beispielweise wie folgt vorgehen: Sei  $f$ stetig und sei $U$ eine offene Teilmenge in $Y$.
Wir m\"ussen nun zeigen, dass $f^{-1}(U)$ offen ist. Sei  also $x\in f^{-1}(U)$. Wir m\"ussen ein $\eta>0$ finden, so dass $B_\eta(x)\subset f^{-1}(U)$.
Die Frage ist, woher kommt solch ein $\eta>0$? Um dieses zu finden, m\"ussen Sie verwenden, dass $f$ stetig ist, und dass $U$ offen ist. 


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl}\hspace{1.35cm} f\colon X:=[0,2\pi) &\to & Y:=\{(x,y)\in \R^2\,|\, x^2+y^2=1 \} \\
t &\mapsto & (\cos(t),\sin(t)) \end{array} \]
ist eine stetige Bijektion. In der Vorlesung hatten wir schon erw\"ahnt, dass die Umkehrabbildung $g:=f^{-1}\colon Y\to X$ nicht stetig ist. Geben Sie ein Beispiel f\"ur eine offene Menge $U\subset X$, so dass $g^{-1}(U)$ nicht offen in $Y$ ist. Sie m\"ussen nicht begr\"unden, warum die Menge $U$ diese Eigenschaften erf\"ullt.\\
Hinweis: hier, und im weiteren Verlauf der Vorlesung betrachten wir eine Teilmenge von $\R^n$ als metrischen Raum bez\"uglich der euklidischen Metrik auf $\R^n$.
\item[(b)] Wir sagen eine Teilmenge $A$ von einem metrischen Raum $X$ hat Durchmesser $\leq r$, falls f\"ur alle $a,b\in A$ gilt, dass $d(a,b)\leq r$. Es sei nun $K$ eine kompakte Teilmenge von $X$ und $r>0$. Zeigen Sie, es gibt endlich viele Mengen $B_1,\dots,B_k$ von Durchmesser $\leq r$, so dass $K\subset B_1\cup \dots \cup B_k$. 
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
Es sei $A\subset \R^n$ eine Teilmenge, welche nicht kompakt ist. Zeigen Sie, es gibt eine stetige Abbildung $f\colon A\to \R$, welche nicht beschr\"ankt ist.\\
Hinweis: aus dem Satz von Heine-Borel wissen wir, dass $A$ entweder nicht beschr\"ankt ist oder nicht abgeschlossen ist. Betrachten Sie die beiden F\"alle getrennt. Vielleicht hilft es auch den Beweis von Satz 3.5 noch einmal zu studieren.

\subsection*{Aufgabe}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen metrischen R\"aumen. Wir hatten in der Vorlesung gesehen:
\begin{enumerate} [label=(\alph*)]
\item das Urbild einer offen Menge von $Y$ ist offen in $X$,
\item das Urbild einer abgeschlossenen Menge von $Y$ ist abgeschlossen in $X$,
\item das Bild einer kompakten Menge von $X$ ist kompakt in $Y$.
\end{enumerate}
Bearbeiten Sie nun folgende Aufgaben:
\begin{enumerate} [label=(\alph*)]
\item
Geben Sie ein Beispiel einer stetigen Abbildung $f\colon X\to Y$ zwischen metrischen R\"aumen
und einer offenen Menge $U\subset X$, so dass $f(U)$ nicht offen ist.
\item Geben Sie ein Beispiel einer stetigen Abbildung $f\colon X\to Y$ zwischen metrischen R\"aumen
und einer abgeschlossenen Menge $V\subset X$, so dass $f(V)$ nicht abgeschlossen ist.
\item Geben Sie ein Beispiel einer stetigen Abbildung $f\colon X\to Y$ zwischen metrischen R\"aumen
und einer kompakten Menge $K\subset Y$, so dass $f^{-1}(K)$ nicht kompakt ist.
\end{enumerate}
Hinweis: Man kann schon f\"ur $X=Y=\R$ Beispiele finden.



\subsection*{Aufgabe}
Der Satz von Heine--Borel besagt, dass wenn wir $\R^n$ mit der euklidischen Metrik betrachten, dann ist $A\subset \R^n $ kompakt, genau dann, wenn $A$ abgeschlossen und beschr\"ankt ist.
Wir werden in dieser Aufgabe sehen, dass diese i.A.\ Aussage nicht gilt, wenn wir $\R^n$ mit einer anderen Metrik betrachten.\\
Wir betrachten dazu den metrischen Raum
\[ \begin{array}{rcl} X&:=& \R^n, \\
d(x,y)&:=&\min\{\|x-y\|,1\}.\end{array} \]
Geben Sie ein Beispiel f\"ur eine Teilmenge $A$ von $X=\R^n$, welche die folgenden Eigenschaften erf\"ullt.
\begin{enumerate} [label=(\alph*)]
\item Die Menge $A$ ist abgeschlossen in $(\R^n,d)$. 
\item Die Menge $A$ ist beschr\"ankt in  $(\R^n,d)$.
\item Die Menge $A$ ist nicht kompakt  in dem metrischen Raum $(\R^n,d)$.
\end{enumerate}
Geben Sie hierbei eine kurze Begr\"undung, warum alle drei Eigenschaften erf\"ullt sind.


\subsection*{Aufgabe}
Wir nennen eine Kurve $f\colon [a,b]\to \R^n$ \emph{Lipschitz}, wenn es ein $C\geq 0$ gibt, so dass f\"ur alle $s,t\in [a,b]$ gilt, dass $\|f(s)-f(t)\|\leq C|s-t|$. 
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass jede Lipschitzkurve rektifizierbar ist.\\
Hinweis: Es sei also $f\colon [a,b]\to \R^n$ eine Lipschitz-Kurve mit Lipschitzkonstante $C$.
Wir setzen
\[ L:=\sup\{L(Z,f)\,|\,\mbox{$Z$ Zerlegung von $[a,b]$}\}.\]
(Dieses Supremum existiert, weil f\"ur jede Zerlegung $Z$ gilt, dass $L(Z,f)\leq C(b-a)$.)
Es sei nun $\epsilon>0$. Wir w\"ahlen eine Zerlegung $Z$, so dass $L(Z,f)\geq L-\frac{\epsilon}{2}$. 
Jetzt muss man noch zeigen, dass es ein $\delta>0$ gibt, so dass f\"ur jede Zerlegung $Y$ der Feinheit $\delta$ gilt, dass $L(Y,f)\geq L(Z,f)-\frac{\epsilon}{2}$. 
\item Gibt es eine Kurve $f\colon [0,1]\to \R^2$, welche rektifizierbar ist, aber welche an unendlich vielen Stellen nicht differenzierbar ist? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate} 





\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
 \item Es seien $r>0$ und $c\ne 0$ gegeben. In der Vorlesung hatten wir die L\"ange der  Helix
\[  \begin{array}{rcl} 
 \hspace{1cm} f\colon [0,2\pi]&\to &\R^3 \\
t&\mapsto &(ct,r\cos(t),r\sin(t)).\end{array}\]
als $2\pi\sqrt{c^2+ r^2}$ berechnet. Geben Sie eine geometrische Begr\"undung f\"ur diese L\"angenberechnung.
\item
Es sei $f\colon [a,b]\to \R^n$ eine Kurve und es sei $a<c<b$. Wir bezeichnen mit $f_{[a,c]}$ und $f_{[c,b]}$ die Einschr\"ankungen von $f$ auf die Intervalle $[a,c]$ und $[c,b]$. 
Wir nehmen an, dass $f_{[a,c]}$ und $f_{[c,b]}$ rektifizierbar sind. Zeigen Sie, dass dann auch $f$ rektifizierbar ist, mit 
\[  \mbox{L\"ange}(f)=\mbox{L\"ange}(f_{[a,c]})+\mbox{L\"ange}(f_{[c,b]}).\]
Hinweis: es sei $a=t_0<t_1<\dots<t_k=b$ eine Zerlegung $Z$ von $[a,b]$. Es gibt dann ein $m$ mit $t_m\leq c< t_{m+1}$. Wenn $t_m=c$, dann ist $t_0,\dots,t_m=c$ eine Zerlegung von $[a,c]$ und $c=t_m,t_{m+1},\dots,b$ ist eine Zerlegung von $[c,b]$.
Wenn $t_m<c$, dann ist $t_0,\dots,t_m,c$ eine Zerlegung von $[a,c]$ und $c,t_{m+1},\dots,b$ ist eine Zerlegung von $[c,b]$. Die Zerlegungen mit $t_m=c$ kann man relativ leicht kontrollieren, die Zerlegungen mit $t_m<c$ sind schwieriger.
\end{enumerate} 


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item 
Wir betrachten die Funktion:
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R^2&\to &\R \\
(x_1,x_2)&\mapsto & \left\{\begin{array}{ll} \setminusfrac{x_1x_2}{x_1^2+x_2^2}, &\mbox{ wenn $(x_1,x_2)\ne (0,0)$}, \\
0,&\mbox{ wenn $(x_1,x_2)=(0,0)$.}\end{array} \right.\end{array} \]
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item[(i)] Zeigen Sie, dass $f$ im Punkt $(0,0)$ partiell differenzierbar ist.
\item[(ii)] Zeigen Sie, dass $f$ im Punkt $(0,0)$ nicht stetig ist.
\end{enumerate}
\item Es sei $U\subset \R^n$ eine offene Umgebung von $0$ und  es seien $f,g\colon U\to \R$ Funktionen, so dass $f(0)=0$ und so dass $g(x)\ne 0$ f\"ur alle $x\in U$. Zeigen Sie, dass
\[ \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=0\quad\Longleftrightarrow \quad f(x)\,=\,o(g(x)).\]
\end{enumerate}







\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon\R^2&\to & \R \\
(x,y)&\mapsto &\left\{ \begin{array}{ll} xy\cdot \setminusfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, &\mbox{ wenn $(x,y)\ne (0,0)$,} \\
0,&\mbox{ wenn $(x,y)=(0,0)$.}\end{array} \right.\end{array} \]
Zeigen Sie:
\begin{enumerate} [label=(\alph*)]
\item $f$ ist \"uberall zweimal partiell differenzierbar,
\item es gilt 
\[ \lmfrac{\partial}{\partial x}\,\,\lmfrac{\partial}{\partial y}f(0,0)\,\,\ne\,\,
 \lmfrac{\partial}{\partial y}\,\,\lmfrac{\partial}{\partial x}f(0,0).\]
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Fertigen Sie eine sorgf\"altige Skizze f\"ur die Graphen  von folgenden Funktionen an.
\[
\begin{array}{lll}
(a) \begin{array}{rcl} \R^2&\to&\R\\
(x,y)&\mapsto &x^2+y^2\end{array} 
&&
(b) \begin{array}{rcl} \R^2&\to&\R\\
(x,y)&\mapsto &x^2-y^2\end{array} \\[6mm]

(c) \begin{array}{rcl} \R^2&\to&\R\\
(x,y)&\mapsto &x^2+2x+y^2\end{array} 
&&
(d) \begin{array}{rcl} \R^2&\to&\R\\
(x,y)&\mapsto &\|(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2}\end{array}\\[6mm]

(e) \begin{array}{rcl} \R^2&\to&\R\\
(x,y)&\mapsto &\setminusfrac{1}{1+x^2+y^2}\end{array}
&&
(f) \begin{array}{rcl} \{(x,y)\in \R^2|y\geq 0\}&\to&\R\\
(x,y)&\mapsto &\cos(x)\cos(y)\end{array} 
\end{array}
\]
Hinweis: Es kann sinnvoll sein sich zuerst die Einschr\"ankung der Graphen auf die $x$-Achse, die $y$-Achse, die $xy$-Diagonale und die $xy$-Anti\-diagonale zu \"uberlegen. Zudem kann es auch bei manchen Beispielen helfen sich einzuschr\"anken auf Geraden in $\R^2$, welche parallel zu der $x$-Achse oder der $y$-Achse sind.



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Eine Funktion $f(x,y)$ hei\ss t anschaulich gesprochen \emph{rotationssymmetrisch}, wenn der Graph der Funktion invariant ist unter einer beliebigen Rotation um die $z$-Achse. 
\begin{enumerate}
\item[(i)] Geben Sie eine mathematisch saubere Definition f\"ur rotationssymmetrisch.
\item[(ii)] Bestimmen Sie, welche der Funktionen in Aufgabe. rotationssymmetrisch sind.
\end{enumerate}
In den Teilaufgaben (i) und (ii)  m\"ussen  Sie Ihre Antwort nicht begr\"unden.
\item[(b)]
Es sei $f\colon \R^2\to \R$ eine Funktion mit folgender Eigenschaft: f\"ur jedes $v\in \R^2$ ist die Funktion 
\[ \begin{array}{rcl} f_v\colon \R&\to &\R \\
 t&\mapsto& f(tv)\end{array} \]
im Punkt $t=0$ stetig. Folgt daraus, dass auch $f$ im Punkt $(0,0)$ stetig ist? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.\\
Die Frage ist also, ob man die Stetigkeit von Funktionen auf $\R^2$ nur \"uber die Stetigkeit von Funktionen in einer Variablen \"uberpr\"ufen kann. 
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
 Wir betrachten die Funktion 
\[ \begin{array}{rcl}g\colon \R^2&\to &\R \\
(x,y)&\mapsto & \sqrt{|x|\cdot |y|}.\end{array}\]
Diese Funktion ist  (mehr oder minder) offensichtlich stetig. Bearbeiten Sie folgende Aufgaben.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Fertigen Sie ein sorgf\"altige Skizze f\"ur den Graphen von $g$ an.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass $g$ im Punkt $(0,0)$ partiell differenzierbar ist.
\item[(c)] Beweisen Sie, dass die Funktion $g$ im Punkt $(0,0)$ nicht differenzierbar ist.
 \end{enumerate} 
 

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]  Es sei $f\colon \R^n\to \R$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion.
 Es sei $x\in \R^n$ ein Punkt und $v=(v_1,\dots,v_n) \in \R^n$ ein Vektor. Wir betrachten die Funktion
 \[ \begin{array}{rcl} g\colon \R&\to & \R \\
 t&\mapsto & f(x+tv) \end{array} \]
Zeigen Sie, dass f\"ur alle $t\in \R$ gilt, dass
 \[ g^{(2)}(t)\,\,=\,\,\sum_{i=1}^n
 \sum_{j=1}^n  \lmfrac{\partial }{\partial x_i} \lmfrac{\partial }{\partial x_j}f(x+tv) \cdot v_iv_j.\]
Hinweis: wenden Sie zweimal Satz 6.10 an. 


\item[(b)] Es sei $f\colon \R^n\to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion und es sei $x\in \R^n$. Zeigen Sie, wenn es ein $v\in \R^n$ mit $\|v\|=1$ gibt, so dass die Richtungsableitung $D_vf(x)$ negativ ist, dann gibt es auch ein $w\in\R^n$ mit $\|w\|=1$, so dass die Richtungsableitung $D_wf(x)$ positiv ist.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe} 
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item 
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine $k$-mal stetig differenzierbare Funktion. Das $k$-te Taylorpolynom am Punkt $x=0$, aufgefasst als Polynom in den Variablen $x_1,\dots,x_n$, ist definiert als
\[ p_k(x_1,\dots,x_n)\,\,:=\,\,\sum_{m=0}^k \lmfrac{1}{m!}\sum\limits_{i_1=1}^n\dots \sum\limits_{i_m=1}^n \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_1}}\dots \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_m}}\,f(0)\cdot x_{i_1}\cdots x_{i_m}.\]
 Zeigen Sie, dass f\"ur alle $r,s\in \{1,\dots,n\}$ gilt:
\[ \lmfrac{\partial^2}{\partial x_r\partial x_s}f(0)\,\,=\,\,\lmfrac{\partial^2}{\partial x_r\partial x_s}p_2(0).\]
Hinweis:  Unterscheiden Sie  die F\"alle $r=s$ und $r\ne s$. Wenn Sie wollen, k\"onnen Sie sich auch auf den Fall $n=3$ einschr\"anken. 
\item Es sei $f\colon [0,\infty)\to \R$ eine Funktion. Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} F\colon \R^2&\to & \R \\
(x,y)&\mapsto &f(\sqrt{x^2+y^2}).\end{array}\]
\begin{enumerate}
\item[(i)] Beschreiben Sie in Worten oder mit einer verst\"andlichen Skizze den Graphen der Funktion $F$.
\item[(ii)] Wie k\"onnen Sie an der Funktion $f$ ablesen, ob die Funktion $F$  im Punkt $(0,0)$ differenzierbar ist? Sie m\"ussen Ihre Antwort nicht begr\"unden.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Gibt es eine  beschr\"ankte differenzierbare Funktion $f\colon \R^2\to \R$, welche genau ein relatives Minimum besitzt? Begr\"unden Sie Ihre Antwort. 
\item Geben Sie ein Beispiel f\"ur eine differenzierbare Funktion $f\colon \R^2\to \R$, welche genau zwei relative Minima besitzt. 
\item Gibt es eine  nach unten beschr\"ankte Funktion auf $U:=\{ (x,y)\,|\, y\geq x+2\}$, welche kein globales Minimum besitzt? Begr\"unden Sie Ihre Antwort. 
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $f\colon \R\to \R$ eine stetige Funktion, so dass $f(x)\geq x^2$ f\"ur alle $x$. Zeigen Sie, dass $f$ ein globales Minimum besitzt.
\item F\"ur eine Funktion $f\colon \R\to \R$ schreiben wir 
\[ \lim_{\|x\|\to \infty} f(x)=\infty\quad \Longleftrightarrow\quad  \lim_{x\to -\infty} f(x)=\infty \mbox{ und } \lim_{x\to \infty} f(x)=\infty.\]
Definieren Sie f\"ur eine Funktion $f\colon \R^n\to \R$ den Begriff
$\lim_{\|x\|\to \infty} f(x)=\infty$, so dass die folgenden zwei Aussagen gelten:
\begin{enumerate}
\item[(i)] F\"ur $n=1$ erhalten sie die obige Definition von $\lim_{\|x\|\to \infty} f(x)=\infty$.
\item[(ii)] 
Wenn $f\colon \R^n\to \R$ stetig ist mit $\lim_{\|x\|\to \infty} f(x)=\infty$, dann besitzt $f$ ein globales Minimum.\end{enumerate}
Beweisen Sie, dass Ihre Definition von $\lim_{\|x\|\to \infty} f(x)=\infty$ in der Tat die gew\"unschte Eigenschaft (ii) besitzt. 
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item F\"ur $a\in \R$ betrachten wir die Funktion $f(x)=x^2+ax$. Fertigen Sie eine sorgf\"altige Skizze vom Graphen von $f$ an.  \\
Hinweis: Schreiben Sie die Funktion in der Form $(x-b)^2+c$. 
\item F\"ur $a\in \R$ betrachten wir die Funktion $f(x,y)=x^2+ax+y^2$. Fertigen Sie eine 
sorgf\"altige Skizze vom Graphen von $f$ an.
\item Was ist das  globale Minimum von $f(x,y)$ auf $\R^2$, in Abh\"angigkeit von $a$?
\item  Was ist das  globale Minimum von $f(x,y)$ auf $\{(x,y)\in \R^2|y\geq x\}$, in Abh\"angigkeit von $a$?
\end{enumerate}
Es gen\"ugt in allen Aufgabenteilen eine kurze Begr\"undung zu geben. Versuchen Sie die Aufgaben (c) und (d) mit `gesundem Menschenverstand' zu l\"osen.


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Es sei
\[ A=\begin{pmatrix} a& b\\ b& c \end{pmatrix} \]
 eine symmetrische $2\times 2$--Matrix.
\begin{enumerate}
\item[(i)] Zeigen Sie: $A$ ist genau dann positiv definit, wenn $a>0$ und $\det(A)>0$.\\
Hinweis: Verwenden Sie Lemma~7.19.
\item[(ii)] Formulieren Sie ein analoges Kriterium daf\"ur, dass $A$ negativ definit ist (Sie m\"ussen dieses nicht beweisen).
\end{enumerate}
\item Es sei $k\in \R$ ein Parameter. Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f_k\colon\R^2&\to & \R \\
(x,y)&\mapsto & \sin(x)^2-kxy+(e^y-1)^2.\end{array} \]
F\"ur welche Parameterwerte $k\ne \pm 2$ nimmt $f_k$ am Punkt $(0,0)$ ein lokales Minimum an?  Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
F\"ur $a\in \R$ betrachten wir die Funktion 
\[ f(x,y)=x^2+2x+2a^2y^2+y^4.\]
Bestimmen Sie, in Abh\"angigkeit von $a$, das  globale Minimum von $f$. Geben Sie eine ausf\"uhrliche Begr\"undung f\"ur Ihre Antwort.
\item 
Bestimmen Sie das globale Minimum von
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R^2&\to &\R \\
(x,y)&\mapsto& (x^2+y^2)^2-2x^2-2y^2+1.\end{array}\]
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item 
Es sei $T$ das 2-dimensionale Dreieck in $\R^2$, welches aufgespannt wird von den drei Punkten $(0,0), (0,4)$ und $(4,0)$. 
Bestimmen Sie das globale Maximum der Funktion
\[ \begin{array}{rcl} g\colon T&\mapsto & \R \\
(x,y)&\mapsto & x^2+2x+y^2-4y+8.\end{array} \]
 Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item
Wir betrachten die Geraden 
\[ g:=\{ (2,3,5)+s(0,2,-7)\,|\, s\in \R\}\]
und 
\[ h:=\{ (2,-3,5)+t(-1,2,-7)\,|\, t\in \R\}.\]
Finden Sie den minimalen Abstand zwischen $g$ und $h$.  Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item 
Es sei $K\subset \R^n$ kompakt und es sei $f\colon K\to \R$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass jedes lokales Maximum ein striktes lokales Maximum ist. Folgt daraus, dass $f$ nur endlich viele lokale Extrema besitzt? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item
Wir betrachten
\[ A:=\{ (x,y)\in \R^2\,|\, y\geq x\}\]
und bezeichnen mit 
\[ B:=\{ (x,y)\in \R^2\,|\, y= x\}\]
den Rand von $B$. F\"ur eine Funktion $f\colon A\to \R$ bezeichnen wir mit $f_B\colon B\to \R$ die Einschr\"ankung von $f$ auf $B$. Gibt es eine stetige Funktion $f\colon A\to \R$, so dass $(0,0)$ ein lokales Minimum von $f_{B}$ ist, aber so dass, $(0,0)$ kein lokales Minimum von $f$ ist? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon [0,2\pi] &\to & \R \\
x&\mapsto &x.\end{array} \]
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Bestimmen Sie 
\[ \begin{array}{rcl} 
 a_k&:=& \setminusfrac{1}{\pi} \bint\limits_0^{2\pi} f(x)\cos(kx)\,dx, \quad\mbox{ wobei } k\in \N\cup \{0\}\\[2mm]
  b_k&:=& \setminusfrac{1}{\pi} \bint\limits_0^{2\pi} f(x)\sin(kx),dx, \quad \mbox{ wobei }k\in \N.\end{array}\]
\item Skizzieren Sie die Graphen von
\[ g(x)=\lmfrac{a_0}{2}+a_1\cos(x)+b_1\sin(x)\]
und
\[ h(x)=\lmfrac{a_0}{2}+a_1\cos(x)+b_1\sin(x)+a_2\cos(2x)+b_2\sin(2x)\]
auf dem Intervall $[0,2\pi]$.\\
Hinweis: Sie k\"onnen f\"ur das Skizzieren der Graphen folgende Webseite verwenden:
\[ \texttt{http://rechneronline.de/function-graphs/}\]
\end{enumerate}






\subsection*{Aufgabe}
Wir sagen eine Teilmenge $U\subset \R^n$ ist \emph{wegzusammenh\"angend}, wenn es zu je zwei Punkten $P,Q\in U$ eine stetige Abbildung $\gamma\colon [0,1]\to U$ mit $\gamma(0)=P$ und $\gamma(1)=Q$ gibt.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass die Menge
\[ U:=\Big\{ P\in \R^2\,|\, \|P\|\leq 1\}\,\cup \,\Big\{ P\in \R^2\,|\, \|P-(2,2)\|\leq 1\}\]
nicht wegzusammenh\"angend ist.
\item Es sei  $f\colon U\to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion auf einer wegzusammenh\"angenden offenen Teilmenge $U \subset \R^2$, so dass $\|Df(x)\|\leq 1$ f\"ur alle $x\in U$.
Gilt dann f\"ur alle Punkte $P,Q\in U$, dass $|f(P)-f(Q)|\leq \|P-Q\|$?
 Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
Es sei $f\colon (a,b)\to (c,d)$ eine bijektive Abbildung zwischen zwei offenen Intervallen.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Wenn $f$ differenzierbar ist, folgt daraus, dass die Umkehrfunktion $f^{-1}$ differenzierbar ist? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item Wenn $f$ zweifach differenzierbar ist und wenn die Umkehrfunktion $f^{-1}$ einfach differenzierbar ist, ist dann die Umkehrfunktion $f^{-1}$ auch zweifach differenzierbar? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item Es sei $f\colon \R\to \R$ eine differenzierbare Funktion mit $|f'(x)|\leq \frac{1}{2}$ f\"ur alle $x\in \R$. Zeigen Sie, dass $f(x)-x$ eine Nullstelle besitzt.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten die Abbildung:
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R^2&\to & \R^2 \\
(x,y)&\mapsto &\begin{pmatrix} \tmfrac{1}{36}x-\tmfrac{1}{48}\cos(y) \\[2mm] \tmfrac{1}{43}\cos(x)+\tmfrac{1}{52}y\end{pmatrix}.\end{array} \]
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass $\|Df(x,y)\| \leq \frac{1}{2}$ f\"ur alle $x,y\in \R$. 
\item
Zeigen Sie, dass es genau ein $(x,y)\in \R^2$ gibt, so dass $f(x,y)=(x,y)$.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Wir sagen eine Abbildung $f\colon \R^n\to \R^n$ ist \emph{lokal umkehrbar im Punkt $a\in U$}, wenn es eine offene Umgebung $U$ von $a$ und eine offene Umgebung $V$ von $f(a)$ gibt, so dass $f\colon U\to V$ bijektiv ist.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Wir betrachten die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R^2&\to &\R^2 \\
(x,y)&\mapsto & (x^2-y^2,2xy).\end{array}\]
An welchen Punkten ist diese Abbildung lokal umkehrbar? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
Insbesondere, wenn $f$ an einem Punkt nicht lokal umkehrbar ist, m\"ussen Sie begr\"unden, warum dies der Fall ist.
\item Es sei $f\colon U\to \R^n$ eine stetig differenzierbare Abbildung auf einer wegzusammenh\"angenden Teilmenge $U\subset \R^n$. Wir nehmen an, dass $f$ in jedem Punkt lokal umkehrbar ist. Folgt daraus, dass $f$ injektiv ist? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} F\colon \R\times \R &\to & \R \\
(x,y)&\mapsto & x-y^2-4.\end{array} \]
F\"ur die folgenden beiden Punkte \"uberpr\"ufen Sie, ob Sie den Satz \"uber implizite Funktionen auf $C=0$ anwenden k\"onnen.
Wenn ja, dann bestimmen Sie explizit  geeignete Umgebungen $V_x$ von $a$ und $V_y$ von $b$ und eine Abbildung $g\colon V_x\to V_y$ mit den gew\"unschten Eigenschaften:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $(a,b)=(4,0)$ und $U_x=\R$ sowie $U_y=\R$,
\item $(a,b)=(13,-3)$ und $U_x=\R$ sowie $U_y=\R$.
\end{enumerate}
\item 
Wir betrachten die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} P\colon \R_{>0} \times \R&\to & \R^2\setminus \{0,0\} \\
(r,\varphi)&\mapsto &  (r\cos \varphi,r\sin \varphi). \end{array} \]
Geben Sie f\"ur jedes $(r,\varphi)\in  \R_{>0} \times \R$ explizit eine offene Umgebung $U$ von $(r,\varphi)$ an, so dass $P\colon U\to P(U)$ eine Umkehrabbildung besitzt. Sie m\"ussen Ihre Antwort nicht begr\"unden.
\end{enumerate}

Im Folgenden sagen wir, dass $\varphi\in \R$ der Winkel zwischen Vektoren $v,w\in \R^n$ ist, wenn
\[ \langle v,w\rangle=\cos(\varphi)\|v\|\cdot \|w\|.\]


\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten die Abbildung
\[
 \begin{array}{rcl}
 S\colon \R_{\geq 0}\times \R\times \R &\to & \R^3 \\
   (r,\varphi,\theta)&\mapsto & \begin{pmatrix} r \sin \theta \cdot \cos \varphi\\ r \sin \theta \cdot \sin \varphi\\ r\cos \theta\end{pmatrix}. \end{array} \]
Beweisen Sie folgende Aussagen:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Der Punkt $S(r,\varphi,\theta)$ hat Abstand $r$ vom Ursprung.
\item 
F\"ur $r>0$ und $\theta \in (0,\pi)$ liegt  der Punkt $P:=S(r,\varphi,\theta)$ in der  Halbebene $H_\varphi$. 
\item Der Winkel vom Vektor $S(r,\varphi,\theta)$ zum Vektor $(0,0,1)$ auf der $z$-Achse betr\"agt $\theta$. 
\item Die Abbildung $S$ ist surjektiv.
\end{enumerate}
   
   
   
\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item  Bestimmen Sie die Determinante des Differentials der Abbildung $S$ aus der vorherigen Aufgabe. Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie m\"oglich.
\item
Es seien $v,w\in \R^3$ zwei orthogonale Vektoren mit $\|v\|=\|w\|=1$.
Beschreiben Sie die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} [0,2\pi] &\to & \R^3\\
t&\mapsto &\cos(t)v+\sin(t)w\end{array} \]
in Worten oder mithilfe einer aussagekr\"aftigen Zeichnung.
\item Es sei weiterhin $S$ die Abbildung aus der vorherigen Aufgabe.
Beschreiben Sie in Worten oder durch eine sorgf\"altige Zeichnung folgende Teilmengen von $\R^3$:
\[ \begin{array}{ll} \{ S(r,\varphi,\theta) \,|\, \varphi,\theta\in \R\}&\mbox{ f\"ur gegebenes $r\in \R$} \\
\{ S(r,\varphi,\theta) \,|\, r,\varphi\in \R\}&\mbox{ f\"ur gegebenes $\theta\in \R$}\\
\{ S(r,\varphi,\theta) \,|\, r,\theta\in \R\}&\mbox{ f\"ur gegebenes $\varphi\in \R$}. \end{array} \]
Hinweis: Es ist 
\[ \begin{pmatrix}  \sin \theta \cdot \cos \varphi\\  \sin \theta \cdot \sin \varphi\\ \cos \theta\end{pmatrix}=
\cos \theta \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} +\sin \theta \begin{pmatrix}   \cos \varphi\\   \sin \varphi\\ 0\end{pmatrix}.
\]
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Zeigen Sie, dass  die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} F\colon \R\times (0,\pi)&\to & \R^3\\
   (\varphi,\theta)&\mapsto & \begin{pmatrix} \sin \theta \cdot \cos \varphi\\\sin \theta \cdot \sin \varphi\\ \cos \theta\end{pmatrix}\end{array}\]
eine Immersion ist.
\item 
Wir betrachten folgende Funktion
\begin{align*}
f\colon & \R^3 \setminus Z \to \R \\
	& (x,y,z) \mapsto \left\| (x,y,z) - \left(\setminusfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} , \setminusfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} , 0\right) \right\|^2 \, ,
\end{align*}
wobei $Z:= \{ (0,0,z) \, | \, z \in \R \}$ die $z$--Achse bezeichnet.
\begin{enumerate}
\item[(i)] Bestimmen Sie den Gradienten von $f$ an einem Punkt $(x,y,z)$.\\
Hinweis: Vereinfachen Sie zuerst $f(x,y,z)$.
\item[(ii)] Zeigen Sie, dass $\frac{1}{4}$ ein regul\"arer Wert von $f$ ist.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Bestimmen Sie das globale Maximum der Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon S^2&\to & \R \\
(x,y,z)&\mapsto & x+y-z.\end{array}\]
\item
Bestimmen Sie das globale Maximum der Funktion
\[ \begin{array}{rcl} g\colon S^2&\to & \R \\
(x,y,z)&\mapsto & e^x.\end{array}\]
\item
Bestimmen Sie das globale Maximum der Funktion
\[ \begin{array}{rcl}h\colon S^2&\to & \R \\
(x,y,z)&\mapsto & xz.\end{array}\]
\item
Bestimmen Sie das globale Maximum der Funktion
\[ \begin{array}{rcl} k\colon S^2&\to & \R \\
(x,y,z)&\mapsto & x^2+2y^2+z^2.\end{array}\]
\end{enumerate}
Begr\"unden Sie in allen F\"allen Ihre Antwort.



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Zeigen Sie, dass  der 
`unendliche Zylinder'
\[ M:=\{ (x,y,z)\,|\, x^2+y^2=1\}\]
 eine 2--dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^3$ ist.
\item Geben Sie ein Beispiel f\"ur eine stetige Funktion $f\colon M\to\R$, welche genau ein lokales Maximum besitzt. 
\item Gibt es auf $M$ eine stetige Funktion, welche weder ein globales Maximum noch ein globales Minimum annimmt? Begr\"unden Sie Ihre Antwort. 
\item Bestimmen Sie das globale Maximum der Funktion
\[ \begin{array}{rcl} V:=\{ (x,y,z)\,|\, x^2+y^2\leq 1\}&\to & \R\\
(x,y,z)&\to & x^2+y^2-z^2.\end{array} \]
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe} 
Es sei $f\colon \R^2\to \R$ eine stetig differenzierbare Abbildung.
Wir betrachten die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \varphi\colon \R^2&\to & \R^3 \\
(x,y)&\mapsto &(x,y,f(x,y)).\end{array} \]
Die Bildmenge von $\varphi$, d.h. die Menge der Punkte
\[ M:= \{ (x,y,f(x,y))\,|\, x,y\in \R^2 \} \subset \R^3 \]
 wird der Graph von $f$ genannt.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass $\varphi$ eine Immersion ist.
\item Zeigen Sie, dass $M$ eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^3$ ist.
\item Bestimmen Sie eine Karte $\Phi\colon \R^3\to \R^3$ f\"ur die Untermannigfaltigkeit $M$. 
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Es sei 
\[ M:=\{(x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2+z^2=1\mbox{ und }z\geq 0\}\]
die obere H\"alfte der 2-dimensionalen Sph\"are $S^2$.
Bestimmen Sie das globale Maximum und das globale Minimum der Funktion
\[ \begin{array}{rcl} M&\to & \R \\
(x,y,z)&\mapsto &x+y+z.\end{array}\]
Ihre Argumentation muss hierbei gut nachvollziehbar sein.
\item 
Wir betrachten
\[ M:=\{ (x,y,z)\,|\, x+y-2z=10\}.\]
Bestimmen Sie das  globale Minimum der Funktion
\[ \begin{array}{rcl} M&\to & \R \\
(x,y,z)&\mapsto &x^2+y^2+z^2.\end{array}\]
Ihre Argumentation muss hierbei gut nachvollziehbar sein.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item 
Es sei $h\colon \R^2\to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion. In \"Ubungsblatt 10 hatten wir schon gesehen, dass der Graph
\[ M:=\{(x,y,h(x,y))|x,y\in \R\}\]
eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^3$ ist. Gibt es eine stetig differenzierbare Funktion $f\colon \R^3\to \R$ und einen regul\"aren Wert $a\in \R$, so dass $M=f^{-1}(a)$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item 
Seien $0 < a < b < c$ reelle Zahlen, und sei
\begin{align*}
	g\colon \R^3 & \to \R \\
	(x,y,z) & \mapsto \frac{x^2}{a^2}  + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \ .
\end{align*}
Die Menge $M:=g^{-1}(1)$ ist nach dem Satz vom regul\"aren Wert eine $2$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^3$.
Wir betrachten die Funktion
\begin{align*}
	f: \R^3 & \to \R \\
	(x,y,z) & \mapsto x^2 + y^2 + z^2
\end{align*}
In dieser Aufgabe interessieren wir uns f\"ur die Extrema der Funktion $f$ auf $M$.
\begin{enumerate}
\item[(i)] Fertigen Sie eine Zeichnung von $M$ an.
\item[(ii)] Bestimmen Sie  das absolute Maximum und Minimum von $f$ auf $M$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten die folgenden Differentialgleichungen:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $y'=e^y\cos(t),$ wobei $t,y\in \R$ beliebig. 
\item $y'=\sqrt{1-y^2}$, wobei $t\in \R$ und $y\in (-1,1)$.
\end{enumerate}
Bestimmen Sie jeweils die allgemeine L\"osung, d.h. bestimmen  Sie f\"ur jeden Punkt $(t_0,y_0)$ im Definitionsbereich die L\"osung $\varphi$ der Differentialgleichung,
welche die Anfangsbedingung  $\varphi(t_0)=y_0$ erf\"ullt.
Die L\"osungsfunktion muss explizit angegeben werden, d.h. alle Integrale m\"ussen bestimmt werden.\\

\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten die folgenden Differentialgleichungen:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $y'=\frac{1}{y}\sqrt{1-y^2}$, mit $y\in (0,1)$,
\item $y'=(a^2+t^2)(b^2+y^2)$, wobei $a,b\in \R$ Konstanten sind.
\end{enumerate}
Bestimmen Sie die allgemeine L\"osung der beiden Differentialgleichungen, d.h. bestimmen  Sie f\"ur jeden Punkt $(t_0,y_0)$ im Definitionsbereich die L\"osung $\varphi$ der Differentialgleichung,
welche die Anfangsbedingung  $\varphi(t_0)=y_0$ erf\"ullt.
Die L\"osungsfunktion muss explizit angegeben werden, d.h. alle Integrale m\"ussen bestimmt werden.\\


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, nur mit Hilfe der Definitionen, dass die Funktion 
\[ \begin{array}{rcl} \R\times \R&\to &\R\\
(t,y)&\mapsto& t^2+y^{2/3} \end{array} \]
nicht Lipschitz-stetig bez\"uglich der Variablen $y$ ist.
\item Es seien $a<b$ zwei reelle Zahlen.  Wir betrachten
\[ A:=\{ \varphi\in  C([a,b],\R^n)\,|\, \|\varphi\|\leq 1\}.\]
Geben Sie ein Beispiel f\"ur eine Kontraktion 
\[ T\colon A\to C([a,b],\R^n),\]
 welche keinen Fixpunkt besitzt.\\
Hinweis: Die Aufgabe ist einfacher als sie wirkt.
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Finden Sie die L\"osung der Differentialgleichung
\[ y'=\frac{1}{t}y,\]
welche die Anfangsbedingung $\varphi(1)=3$ erf\"ullt.
\item Finden Sie die L\"osung der Differentialgleichung
\[ y'=\frac{1}{t}y+t^2\sin(t^2),\]
welche die Anfangsbedingung $\varphi(1)=4$ erf\"ullt.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Wir betrachten die Differentialgleichung
\[  (1-t^2)y'-ty+1=0\mbox{  mit $t\in (-1,1)$.}\]
Bestimmen  Sie f\"ur jedes $s\in (-1,1)$ und $a\in \R$  die L\"osung $\varphi$ der Differentialgleichung,
welche die Anfangsbedingung  $\varphi(s)=a$ erf\"ullt.
Die L\"osungsfunktion muss explizit angegeben werden, d.h. alle Integrale m\"ussen bestimmt werden.
\item Wir betrachten die Differentialgleichung
\[ y''-ky'+9y=0.\]
Finden Sie f\"ur $k=6,0,-6$ jeweils  eine L\"osung $\varphi$, welche die Anfangsbedingung $\varphi(0)=2$ erf\"ullt. \\
Hinweis: Wir haben in der Vorlesung noch keine L\"osungsmethoden behandelt, aber sie k\"onnen diese Aufgabe durch  geschicktes `spielen' mit der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen l\"osen. 
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
Es sei $X$ ein metrischer Raum. Zwei Teilmengen $U$ und $V$ hei\ss en disjunkt, wenn $U\cap V=\emptyset$. 
Ein metrischer Raum $X$ hei\ss t \emph{zusammenh\"angend}, wenn folgende Aussage gilt:
wenn immer $X=U\cup V$ die Vereinigung von zwei disjunkten offenen Mengen $U$ und $V$ ist, dann ist entweder $U=X$ oder $V=X$.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass der metrische Raum $X=[0,1]\cup [2,3]$ mit der \"ublichen Metrik $d(x,y)=|x-y|$ nicht zusammenh\"angend ist.
\item Zeigen Sie, dass $\R$ zusammenh\"angend ist.\\
Hinweis: Nehmen Sie an, dass $U\ne \emptyset$, d.h.\ Sie nehmen an, es gibt ein $b\in U$. Sie m\"ussen zeigen, dass $U=\R$. Der Beweis hat eine gewisse \"Ahnlichkeit zum Beweis von Lemma 13.6.
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
Es sei  $y'=A(t)y$  eine  homogene lineare Differentialgleichung auf einem offenen Intervall $I$. 
F\"ur $x\in \R^n$ bezeichnen wir mit $\varphi_x\colon I\to \R^n$ die L\"osung der Differentialgleichung, welche die Anfangsbedingung  $\varphi_x(0)=x$ erf\"ullt.
Zeigen Sie, dass f\"ur jedes $t\in I$ die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \R^n&\to & \R^n \\
x&\mapsto & \Phi(t,x):=\varphi_x(t)\end{array}\]
eine lineare Abbildung ist. 

\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten die lineare homogene Differentialgleichung
\[ y'=A(t)y,\]
wobei
\[ A(t):=\begin{pmatrix} t^2 &0 \\ 0& e^t\end{pmatrix}.\]
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Finden Sie ein L\"osungsfundamentalsystem f\"ur die Differentialgleichung. 
\item Finden Sie die L\"osung der Differentialgleichung, welche die Anfangsbedingung $\varphi(2)=(-3,2)$ erf\"ullt.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Bestimmen Sie alle L\"osungen der Differentialgleichung
\[ \begin{array}{rcl} y_1'&=& y_2+t \\
y_2'&=&-y_1+1.\end{array} \]
Hinweis: finden Sie zuerst ein L\"osungsfundamentalsystem f\"ur die zugeh\"orige homogene lineare Differentialgleichung.
Solch ein L\"osungsfundamentalsystem kann man relativ leicht erraten, wenn man mit den `\"ublichen Verd\"achtigen' etwas spielt. 






\subsection*{Aufgabe}
Es sei $M\subset \R^n$ eine Teilmenge. Ein \emph{Fluss} ist eine stetige Abbildung
\[ \Phi\colon \R\times M\to M, \]
welche die folgenden beiden Eigenschaften erf\"ullt:
\begin{enumerate}
\item $\Phi(0,x)=x$ f\"ur alle $x\in M$,
\item f\"ur alle $s,t\in \R$ und $x\in M$ gilt
\[ \Phi(s,\Phi(t,x))\,\,=\,\,\Phi(s+t,x).\]
\end{enumerate}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon \R\times \R^2&\to &\R^2 \\
(t,\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} )&\mapsto & \begin{pmatrix} \cos(t) & \sin(t) \\ -\sin(t) &\cos(t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \end{array} \]
 einen Flu\ss\, auf $\R^2$ definiert.
 \item Fertigen Sie eine Skizze der Flu\ss linien an.
\item
Es sei $M\subset \R^n$ eine Teilmenge und $\Phi:\R\times M\to M$ ein Flu\ss.
Sei $x\in M$, dann hei\ss t
\[ B_x:=\{\Phi(x,t)\,|\,t\in \R\}\]
 die zu $x$ geh\"orige Bahn.
Zeigen Sie, dass wenn zwei Bahnen einen gemeinsamen Punkt besitzen, dann sind sie sogar identisch, d.h. zeigen Sie
\[ B_x\cap B_y\ne \emptyset \Rightarrow B_x=B_y.\]
\end{enumerate}



\newpage
\section{Analysis III}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Bestimmen  Sie alle  komplexen L\"osungen von 
\[ z^7\,\,=\,\,1+i.\]
Geben Sie die Ergebnisse an in der Form $z=x+iy$, wobei $x,y$ reelle Zahlen oder Wurzeln aus positiven reellen Zahlen sind.
\item Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihen
\[ f(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{3^n}z^n \mbox{ und } g(z)=\sum_{n=0}^\infty z^{2^n}  \mbox{ und } h(z)=\sum_{n=0}^\infty (\sqrt{2n})^nz^{n}\]
\end{enumerate}
In beiden Teilaufgaben m\"ussen Sie Ihre Antworten  \emph{nicht} begr\"unden.





\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass  der Rand einer offenen Scheibe der zugeh\"orige `Randkreis' ist. Genauer gesagt, zeigen Sie, dass f\"ur $z\in \C$ und $r>0$ gilt
\[\partial D_r(z)\,:=\,\big\{w\in \C\,\big|\,|w-z|=r\big\}.\]
\item Was ist die reelle $2\times 2$-Matrix $I$, welche gerade der Multiplikation mit $i\in \C$ unter der Identifikation $\C=\R^2$ entspricht?
\item Welche $2\times 2$-Matrizen kommutieren mit der Matrix $I$ aus (b). Genauer gesagt, was sind die reellen $2\times 2$-Matrizen $A$, so dass $AI=IA$?
\end{enumerate}






\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Ist die Funktion $f(z)=|z|^2$ auf $\C$ holomorph?
\item Ist die Funktion $f(z)=\overline{z}$ auf $\C$ holomorph? 
\end{enumerate}
Begr\"unden Sie in beiden F\"allen Ihre Antwort sorgf\"altig.

\subsection*{Aufgabe}
Es sei $f\colon \C\to \C$ eine holomorphe Funktion. Zeigen Sie, dass die Funktion $g(z):=\overline{f(\overline{z})}$ auf $\C$ holomorph ist.



\subsection*{Aufgabe}
Wie in Analysis~I gilt f\"ur alle $z\in \C$, dass
\[ e^{iz}=\cos(z)+i\sin(z).\]
Beweisen Sie damit nun folgende Aussagen:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item F\"ur alle $z\in \C$ gilt
\[ \sin(z)^2+\cos(z)^2=1.\]
\item Die Funktion $\sin(z)$ besitzt nur reelle Nullstellen, d.h.\ wenn $\sin(z)=0$, dann gilt $\operatorname{Im}(z)=0$.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
Es sei $f\colon \C\to \C$ eine stetige Funktion und es sei $z\in \C$. Beweisen Sie sorgf\"altig, dass
\[  
\underset{h\to 0}{\lim}\,\,\bint\limits_{0}^1 f(z+th)\,dt\,\,=\,\,f(z).\]

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $f\colon C\to \C$ stetig, und es sei $\gamma\colon [a,b]\to C$ ein Integrationsweg. Zudem sei $C\geq 0$ so gew\"ahlt, dass $|f(\gamma(t))|\leq C$ f\"ur alle $t\in [a,b]$. Zeigen Sie, dass
\[ \Big|\bbint\limits_\gamma f(z)\,dz\Big|\,\,\leq\,\,\opnormal{L\"ange}(\gamma)\cdot C.\]
Hinweis: Sie k\"onnen hierbei verwenden, dass die Aussage in der Vorlesung schon f\"ur stetig differenzierbare Wege bewiesen wurde. Sie m\"ussen nun den Fall von einem Integrationsweg auf den stetig differenzierbaren Fall zur\"uckf\"uhren.
\item Es sei $\gamma=\gamma(1+i,-1+i,-1-i,1-i,1+i)$, d.h.\ $\gamma$ ist die Randkurve von dem Quadrat, welches durch die Eckpunkte $\pm 1\pm i$ bestimmt ist. Bestimmen Sie
\[ \bbint\limits_{\gamma} \tmfrac{1}{z}\,dz.\]
\item Es sei $\gamma$ wie in (b). Bestimmen Sie
\[ \bbint\limits_{\gamma} \sin(z)\,dz.\]
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
Es sei  $A_1,A_2,A_3,\dots $ eine Folge von abgeschlossenen Teilmengen von $\C$.
F\"ur $n\in \N$ bezeichnen wir mit $d_n$ den Durchmesser von $A_n$ und f\"ur jedes $n\in \N$ sei $p_n$ ein Punkt in $A_n$. Wir nehmen an, dass folgende Eigenschaften gelten:
\begin{enumerate}
\item f\"ur alle $n$ ist $A_{n+1}\subset A_n$,
\item es ist $\underset{n\to\infty}{\lim}d_n=0$.
\end{enumerate}
Beweisen Sie folgende beiden Aussagen:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item die Folge $(p_n)$ ist eine Cauchy-Folge,
\item der Grenzwert $p:=\underset{n\to \infty}{\lim} p_n$ liegt in $\cap_{n\in \N}A_n$.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Schreiben Sie $f(z)=\frac{1}{z^2}$ als Potenzreihe um den Punkt $z_0=2$.
\item Zeigen Sie, dass
\[ \underset{t\to \infty}{\lim}\, |\sin(it)|\,\,=\,\,\infty.\]
Hinweis: sie k\"onnen diese Aussage beispielsweise mit der Reihendarstellung von $\sin(z)$ beweisen.
\item
Bestimmen Sie f\"ur $r>0$ mit $r\ne 2$ das Wegintegral
\[ \bbint\limits_{|z-2|=r} \tmfrac{1}{z}\,dz.\]
Hinweis: Versuchen Sie die verschiedenen S\"atze und Berechnungen aus der Vorlesung geschickt einzusetzen.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
Es seien  $u,v,w\in \C$. Wir schreiben 
\[ \Delta(u,v,w)\,=\,\big\{ u+s(v-u)+t(w-u)\,\big|\, s,t\in [0,1]\mbox{ mit }s+t\leq 1\big\}.\]
Dies ist das von $u,v,w$ aufgespannte Dreieck.
Zudem bezeichnen wir die Kurve $\gamma(u,v,w,u)$ als Randkurve $\partial \Delta(u,v,w)$.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Geben Sie ein Beispiel f\"ur eine stetig reell differenzierbare surjektive Abbildung
\[ \varphi\colon [0,1]\times [0,1]\to \Delta(u,v,w).\]
Hinweis: es kann hilfreich sein zuerst den Fall $\Delta(u,v,w)=\Delta(0,1,i)$ zu betrachten.
\item Es sei nun $U\subset \C$ eine offene Teilmenge, $f\colon U\to \C$ holomorph und $u,v,w\in U$ mit $\Delta(u,v,w)\subset U$.
Zeigen Sie, dass
\[ \bbint\limits_{\partial \Delta(u,v,w)}f(z)\,dz=0.\]
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Es sei  $f\colon \C\to \C$ eine Funktion, welche auf $\C\setminus \{0\}$ holomorph ist, und welche in $0$ stetig ist. Zeigen Sie, dass $f$ sogar auf ganz $\C$ holomorph ist.\\
Hinweis: Sie k\"onnen  (ohne Beweis) folgende Aussage verwenden, welche \"ahnlich wie Korollar 4.5 bewiesen wird: f\"ur alle $u,v,w\in \C$ und $u',v',w'\in \C$ mit $\Delta(u',v',w')\subset \Delta(u,v,w)$
 gilt
\[  \bbint\limits_{\partial \Delta(u,v,w)}f(z)\,dz\,\,=\,\, \bbint\limits_{\partial \Delta(u',v',w')}f(z)\,dz.\]




\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $f\colon \C\to \C$ eine ganze Funktion. Wir nehmen an, dass es ein $M\geq 0$, ein $r\geq 0$ und ein $\alpha\in \R$ gibt, so dass
\[ |f(z)|\,\leq\, M |z|^\alpha\mbox{ f\"ur alle }z\in \C\mbox{ mit }|z|\geq r.\]
Zeigen Sie, dass $f^{(n)}(0)=0$ f\"ur alle $n\in \N_0$ mit $n>\alpha$.\\
Hinweis: Beachten Sie, dass $\alpha$ nicht notwendigerweise eine ganze Zahl ist.
\item Es sei $k\in \N$ und es sei $p\colon \C\to \C$ eine ganze Funktion mit $p^{(n)}(0)=0$ f\"ur alle $n>k$. Zeigen Sie, dass $p$ ein Polynom ist.
\item Es sei $f$ eine Funktion wie in (a). Zeigen Sie, dass $f$ entweder konstant ist oder mindestens eine Nullstelle besitzt. 
\end{enumerate}
Hinweis: Dies war eine Staatsexamensaufgabe von 2015.




\subsection*{Aufgabe}
Es sei $G\subset \C$ ein Gebiet und es seien $f,g\colon G\to \C$ zwei holomorphe Funktion, welche auf einer Teilmenge $M\subset G$ \"ubereinstimmen, welche in $\C$ einen H\"aufungspunkt besitzt. Folgt daraus, dass $f$ und $g$ auf ganz $G$ \"ubereinstimmen? 
Begr\"unden Sie Ihre Antwort sorgf\"altig.




\subsection*{Aufgabe}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen zwei metrischen R\"aumen. Zeigen Sie: wenn $X$ zusammenh\"angend ist und wenn $f(X)$ diskret ist, dann ist $f$ eine konstante Abbildung.





\subsection*{Aufgabe}
Es seien $f$ und $g$ ganze Funktionen mit $|f(z)|\leq |g(z)|$ f\"ur alle $z\in \C$. Zeigen Sie: es gibt eine Konstante $c\in \C$, so dass $f(z)=cg(z)$ f\"ur alle $z\in \C$.\\
Hinweis: Betrachten Sie die Funktion $f/g$. Was passiert hierbei bei den Nullstellen von $g$?\\
Bemerkung: Ohne den Hinweis ist dies eine Staatsexamensaufgabe von 2015.
\\



Bei der vierten Aufgabe haben Sie nun die Auswahl. Sie k\"onnen entweder die Aufgabea wie gewohnt bearbeiten und  abgeben. Sie  erhalten wie \"ublich f\"ur die korrigierte L\"oesung die entsprechenden Punkte. Sie k\"onnen anstattdessen auch die Aufgabeb bearbeiten. Diese ist schwieriger. Diese wird nicht korrigiert, aber wenn Sie sich Gedanken zur L\"osung machen, und wenn Sie am Mittwoch den 11.\ November um 16 Uhr in PHY 5.1.01 bei der L\"osung der Aufgabe mitdiskutieren erhalten Sie die Punkte, auch ohne eine L\"osung abzugeben.

\subsection*{Aufgabea}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Es sei  $U$ eine  zusammenh\"angende Teilmenge von $\C$ und es sei  $U=\cup_{i\in \N} X_i$ eine disjunkte Zerlegung von $U$ in offene Teilmengen. Zeigen Sie, dass  es ein $i\in \N$ mit $X_i=U$ gibt.
\item Es sei $G\subset \C$ ein Gebiet und $f\colon G\to \C$ eine holomorphe Funktion, welche keine Nullstelle besitzt.
Zeigen Sie: wenn der Absolutbetrag $|f|$ in $G$ ein lokales Minimum besitzt, dann ist $f$ konstant. Diese Aussage hatten wir in der Vorlesung das Minimumprinzip genannt.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabeb}
Wir betrachten
\[ X\,\,:=\,\,\underset{=:A}{\underbrace{\{ (0,y)\,|\,y\in [-1,1]\}}} \,\cup \, \underset{=:B}{\underbrace{\{(x,\sin(\ttmfrac{1}{x}))\,|\, x\in (0,\pi]\}}}\,\,\subset\,\, \R^2.\]
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass $X$ zusammenh\"angend ist.
\item Zeigen Sie, dass $X$ nicht wegzusammenh\"angend ist.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Das Ziel dieser Aufgabe ist Lemma 7.2 zu beweisen. Sie d\"urfen deshalb bei der Bearbeitung dieser Aufgabe nur die Ergebnisse aus der Vorlesung vor Lemma 7.2 verwenden.

Es sei  $z_0$ eine isolierte Singularit\"at einer holomorphen Funktion $f\colon U\to \C$ und es sei $k\geq 1$.
Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen \"aquivalent sind:
\begin{enumerate}
\item $z_0$ ist eine Polstelle $k$-ter Ordnung,
\item es gibt ein $r>0$ und eine holomorphe Funktion $g\colon D_r(z_0)\to \C$ mit $g(z_0)\ne 0$, so dass $(z-z_0)^k\cdot f(z)=g(z)$ auf $D_r(z_0)\setminus \{z_0\}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
Es sei $z_0$ eine isolierte Singularit\"at einer holomorphen Funktion $f\colon U\to \C$.  Wir nehmen an, dass f\"ur jedes $r>0$ das Bild $f(D_r(z_0)\setminus \{z_0\})$ dicht in $\C$ ist.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass $z_0$ keine hebbare Singularit\"at von $f$ ist.
\item Zeigen Sie, dass $z_0$ keine Polstelle von $f$  ist.
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass $z=0$ eine wesentliche Singularit\"at von $f(z)=\exp(1/z)$ ist.
\item Bestimmen Sie die  Art der isolierten Singularit\"aten der Funktion $h\colon D\to \C$, welche gegeben ist durch
\[ h(z)=\lmfrac{z}{z-2}\exp\Big(\sin\Big(\setminusfrac{z-1}{z^2-z}\Big)\Big),\]
wobei $D=\C\setminus \{0,1,2\}$.\\
Bemerkung: dies war eine Staatsexamensaufgabe in 2015. 
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item  Es sei $U=\{ z\in \C\,|\, |z|<2\}$ und $f\colon U\to \C$ holomorph mit $f(0)=0$ und $f(1)=1$. Zeigen Sie, dass es ein $z\in U$ mit $f(z)\in \R$ und $f(z)>1$ gibt.\\
Bemerkung: dies war eine Staatsexamensaufgabe in 2011.
\item
Es sei $f\colon D_1(0)\to \C$ eine holomorphe Funktion mit $|f(0)|<1$ und $|f(z)|\leq 1$ f\"ur alle $z\in D_1(0)$. Zeigen Sie, dass dann sogar $|f(z)|<1$ f\"ur alle $z\in D_1(0)$ gelten muss.\\
Bemerkung: dies war eine Staatsexamensaufgabe in 2010. 
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
Es sei $\sim$  eine \"Aquivalenzrelation auf einer Menge $X$. Beweisen Sie folgende beiden Aussagen:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item wenn $A$ und $B$ \"Aquivalenzklassen sind, dann gilt entweder $A=B$ oder $A\cap B=\emptyset$,
\item jedes $x\in X$ liegt in einer \"Aquivalenzklasse.
\end{enumerate}
Hinweis: \"Aquivalenzklassen sind per Definition (siehe korrigiertes Skript) nicht leer. 


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
 Es sei $X$ eine Teilmenge von $\C$. F\"ur $x,y\in X$ definieren wir
\[ x\sim y\quad :\Longleftrightarrow \quad\begin{array}{c}\mbox{es gibt einen Weg in $X$ von $x$ nach $y$},\\\mbox{d.h.\ es gibt einen Weg $\gamma\colon [a,b]\to X$}\\\mbox{mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$.}\end{array}\]
Zeigen Sie, dass $\sim$ eine \"Aquivalenzrelation auf $X$ ist.
\item Es sei $U$ eine beliebige offene Teilmenge von $\C$ und $X$ die Menge aller holomorphen Funktionen auf $U$.  F\"ur $f,g\in X$ schreiben wir
\[ f\sim g\quad :\Longleftrightarrow\quad \begin{array}{c}\mbox{es gibt eine offene Scheibe $D_r(z)\subset U$}\\
\mbox{auf der $f$ und $g$ \"ubereinstimmen}\end{array}\]
(Hierbei ist $z$  nicht fest gew\"ahlt, sondern kann von $f$ und $g$ abh\"angen.)
Ist $\sim$ eine \"Aquivalenzrelation auf $X$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $A\subset \C$ eine kompakte nichtleere Teilmenge und $D_r(w)$ eine offene Scheibe im Komplement von $A$.
Zeigen Sie, dass die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon D_r(w)&\to & \R_{\geq 0}\\
z&\mapsto& \inf\big\{ |z-a|\,\big|\,a\in  A\big\}\end{array}\]
stetig ist.
\item
Es sei  $\gamma\colon [a,b]\to \C$ ein geschlossener In\-teg\-rations\-weg und es sei $D_r(w)$ eine offene Scheibe, welche von $\gamma$ nicht getroffen wird. Zeigen Sie, dass die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon D_r(w)&\to & \Z \\
z&\mapsto & n(\gamma,z)\,=\,\tmfrac{1}{2\pi i}\bbint\limits_{\gamma}\setminusfrac{1}{\xi-z}\,d\xi\end{array}\]
 stetig ist.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
Es sei $H=\{z\in \C\,|\,\Im(z)>0\}$. 
Wir betrachten die Abbildungen
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon H&\to &\C\\
z&\mapsto &\setminusfrac{z-i}{z+i}\end{array} \quad \mbox{ und }\quad
\begin{array}{rcl} \Psi\colon D_1(0)&\to & \C\\
w&\mapsto &\tmfrac{w+1}{1-w}i.\end{array}\]
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass $\Phi(H)\subset D_1(0)$, und dass $\Psi(D_1(0))\subset H$.
\item Zeigen Sie, dass $\Phi(\Psi(z))=z$ f\"ur alle $z\in D_1(0)$ und $\Psi(\Phi(z))=z$ f\"ur alle $z\in H$.
\item
Es sei $y>0$. Beschreiben Sie anschaulich das Bild von der horizontalen Gerade $\{x+iy\,|\, x\in \R\}$ unter der Abbildung $\Phi$. Sie m\"ussen in diesem Fall Ihre Antwort nicht begr\"unden.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Gegeben sei die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \C\setminus \{0,-1,-1+i\}&\to & \C\\
z&\mapsto & \setminusfrac{z}{(z^2+z)(z+1-i)^2}.\end{array}\]
Bestimmen Sie f\"ur alle $r\in \R^+\setminus \{1,\sqrt{2}\}$ das Wegintegral
\[ W(r)\,\,:=\,\,\bbint\limits_{|z|=r} f(z)\,dz.\]



\subsection*{Aufgabe}
Bestimmen Sie die folgenden Integrale, wobei $\gamma(t)=2e^{it}$ mit $t\in [0,2\pi]$.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
\[ \bbint\limits_{\gamma} \lmfrac{z}{(9-z^2)(z+i)}\,dz.\]
\item
\[ \bbint\limits_{\gamma} \lmfrac{5z-2}{z(z-1)}\,dz.\]
\item 
\[ \bbint\limits_{\gamma} \lmfrac{e^{-z}}{(z-1)^2}\,dz.\]
\end{enumerate}
Hinweis: dies war eine Staatsexamensaufgabe in 2012. 


\subsection*{Aufgabe}
Zeigen Sie, dass die Funktion
\[ f(z)=z^5-1-\tmfrac{1}{2}e^z\]
auf $U=\{z\in \C\,|\,\Re(z)<0\}$ genau zwei Nullstellen (mit Vielfachheiten gez\"ahlt) besitzt.\\
Hinweis: dies war eine Staatsexamensaufgabe in 2008. 


\subsection*{Aufgabe}
Es sei $0<a<1$. 
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral
\[ \bbint\limits_{-\infty}^\infty \tmfrac{e^{ax}}{1+e^x}\,dx\]
existiert.
\item Zeigen sie, dass 
\[ \bbint\limits_{-\infty}^\infty \tmfrac{e^{ax}}{1+e^x}\,dx\,\,=\,\,\tmfrac{\pi}{\sin(a\pi)}.\]
Hinweis: Integrieren Sie dazu eine geeignete holomorphe Funktion \"uber den Rand der Rechtecke mit den Ecken $-R,R,R+2\pi i,-R+2\pi i$.
\end{enumerate}
Hinweis: dies war eine Staatsexamensaufgabe in 2014. 


\subsection*{Aufgabe}
Es sei $f\colon \C\to \C$ eine biholomorphe Abbildung. Zeigen Sie, dass  es $a\ne 0$ und $b\in \C$ gibt, so dass $f(z)=az+b$ f\"ur alle $z\in \C$.\\
Hinweis: Schreiben Sie $f(z)$ als Potenzreihe. Betrachten Sie dann die isolierte Singularit\"at $z_0=0$ von $g(z)=f(\frac{1}{z})$. Unterscheiden Sie dabei folgende F\"alle:
\begin{enumerate}
\item  $z_0=0$ ist hebbar,
\item   $z_0=0$ ist eine Polstelle,
\item  $z_0=0$ ist eine wesentliche Singularit\"at.
\end{enumerate}
Zeigen Sie Mithilfe vom Satz von Casorati--Weierstra\ss, dass der letzte Fall nicht eintreten kann.




\subsection*{Aufgabe}
Zeigen Sie, dass die  geschlitzte Ebene 
\[ \C \setminus \overline{S}_{-\pi}\,\,=\,\, \{ x+iy\,|\, x,y\in \R\mbox{ und }x>0\mbox{ oder }y\ne 0\}\]
biholomorph ist zur offenen Scheibe $D_1(0)$.\\
Hinweis: Sie d\"urfen den Riemannschen Abbildungssatz nicht verwenden.

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Es sei $\Omega$ eine Menge. Wir sagen $\AA\subset \mathcal{P}(\Omega)$ ist ein \emph{Mengending auf $\Omega$}, falls folgende Aussagen gelten:
\begin{enumerate}
\item \hspace{3.3cm} $\emptyset \in \AA$,
\item $A,B\in \AA\quad \Longrightarrow \quad A\setminus B \in \AA$,
\item $A,B\in \AA \quad \Longrightarrow \quad A\cap B \in \AA$.
\end{enumerate}
Wir hatten in der Vorlesung gesehen, dass ein Mengenring auch ein Mengending ist. Gilt auch die Umkehrung? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item  Wir bezeichnen mit $\mathcal{Q}^k(\R)$ die Teilmengen von $\R$, welche Vereinigung von endlich vielen kompakten Intervallen sind. In anderen Worten, eine Teilmenge $A$ von $\R$ liegt in $\mathcal{Q}^k(\R)$, wenn diese von der Form
\[ A\,\,=\,\,\setminuscup{i=1}{n} \,\,[a_i,b_i],\]
f\"ur reelle Zahlen $a_i<b_i$, $i=1,\dots,n$ ist. Ist $\mathcal{Q}^k(\R)$ ein Mengenring?  Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate} 



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass jede Menge $A\in \mathcal{Q}(\R)$ die \emph{disjunkte} Vereinigung von endlich vielen halboffenen Intervallen ist.\\
Hinweis: F\"ur $A\in \mathcal{Q}(\R)$ sei $n(A)$ die kleinste nat\"urliche Zahl, so dass man $A$ als Vereinigung von $n$ halboffenen Intervallen schreiben kann. Sie k\"onnen die Aussage per Induktion nach $n(A)$ beweisen.\\
Hinweis: F\"ur Teilmengen $A$ und $B$ gilt ganz allgemein, dass $A\cup B$ die disjunkte Vereinigung von $A\setminus B$ und $B$ ist. 
\item
Es seien $\Omega$ und $\Phi$ Mengen und es seien $\AA\subset \mathcal{P}(\Omega)$ und $\mathcal{B}\subset \mathcal{P}(\Phi)$ Mengenringe. Zeigen Sie, dass jede Menge in  $\AA\boxtimes \mathcal{B}\subset \mathcal{P}(\Omega\times \Phi)$ geschrieben werden kann als \emph{disjunkte} endliche Vereinigung von  Mengen der Form
$C_i\times D_i$,  wobei $C_i\in \AA$ und $D_i\in \mathcal{B}$.\\
Hinweis: Man kann den Beweis \"ahnlich wie zu (a) durchf\"uhren.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item
Es sei $\mathcal{S}$ die Menge aller endlichen Teilmengen von $\N$. Zeigen Sie, dass
\[ \langle \mathcal{S}\rangle^\sigma\,\,=\,\,\mathcal{P}(\N).\]
\item Es sei $\mathcal{S}$ die Menge aller endlichen Teilmengen von $\R$. Gilt dann
\[ \langle \mathcal{S}\rangle^\sigma\,\,=\,\,\mathcal{P}(\R)\,?\]
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}
\vspace{-0.15cm}
\subsection*{Aufgabe}
Es sei $\mathcal{B}:= \langle \mathcal{Q}(\R)\rangle^\sigma$ die von $\mathcal{Q}(\R)\subset \mathcal{P}(\R)$ erzeugte  $\sigma$-Algebra.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie, dass alle endlichen offenen Intervalle in $\mathcal{B}$ liegen. (Hiermit sind alle offenen Intervalle der Form $(a,b)$ mit $a,b\in \R$ gemeint.)
\item Zeigen Sie, dass alle  offenen Intervalle in $\mathcal{B}$ liegen.
\item Zeigen Sie, dass alle   Intervalle in $\mathcal{B}$ liegen.
\item Zeigen Sie, dass $\Q$ in $\mathcal{B}$ liegt.
\end{enumerate}
\vspace{-0.15cm}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $\mu$ ein Inhalt auf einem Mengenring $\mathcal{R}\subset \mathcal{P}(\Omega)$. Zeigen Sie, dass f\"ur beliebige Mengen $A_1,\dots,A_k\in \mathcal{R}$ gilt
\[\mu\Big(\ttmcup{i=1}{k}A_i\Big)\,\,\leq\,\,\lmsum{i=1}{k}\,\,\mu(A_i).\]
Hinweis: Sie k\"onnen die Aussage beispielsweise mit Induktion nach $k$ beweisen.
\item 
Wir betrachten die Mengenalgebren $\AA=\mathcal{B}=\mathcal{P}(\N)$. Zeigen Sie, dass die `Diagonale'
\[ D\,\,=\,\,\{ (n,n)\,|\,n\in \N\}\,\,=\,\,\setminuscup{n\in \N}{} \{(n,n)\}\,\,\subset\,\,\N\times \N\]
nicht in $\AA\boxtimes \mathcal{B}$ liegt.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
Es sei $\mu\colon \mathcal{R}\to \overline{\R}_+$ ein endlicher Inhalt auf einem Mengenring 
  $\mathcal{R}\subset \mathcal{P}(\Omega)$. Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen \"aquivalent sind:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $\mu$ ist $\sigma$-additiv, 
\item $\mu$ ist stetig von oben, d.h.\ f\"ur jede absteigende Folge $\{A_k\}_{k\geq 1}$ in $\mathcal{R},$ deren Limes $A=\ttmcap{k=1}{\infty} A_k$ ebenfalls in $\mathcal{R}$ liegt gilt, dass
\[ \mu(A_k)\,\downarrow \,\mu(A).\]
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item  Im Beweis von Satz~4.4 steht auf Seite 162 folgende Gleichheit:
\[\Big(\ttmcup{k\in \N}{} A_k\Big)\cap \Big(\ttmcup{k\in \N}{}B_k\Big)\,\,=\,\, \setminuscup{k\in \N}{}A_k\cap B_k.\]
Beweisen Sie diese Gleichheit, unter den gegebenen Voraussetzungen.
\item Gilt die Aussage von (a) f\"ur beliebige Folgen $A_k$ und $B_k$ von Teilmengen von $\Omega$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item 
Im Beweis von Satz~4.11 steht auf Seite 172 der Satz
\[ \mbox{``Da $\mu$ endlich ist gilt $\mu(A)<\infty$.''}\]
F\"uhren Sie dieses Argument ausf\"uhrlicher aus.\\
Hinweis: Der Inhalt $\mu$ auf $\AA$ ist zwar endlich, aber $A$ muss nicht notwendigerweise in $\AA$ liegen.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
In Korollar~4.3 hatten wir gesehen, dass alle offenen Teilmengen von $\R$, also insbesondere auch alle offenen Intervalle, in $\mathcal{Q}(\R)^\uparrow$ liegen. F\"ur diese Mengen haben wir jetzt also ein Volumen definiert. Zeigen Sie, dass f\"ur beliebige $-\infty\leq a\leq b\leq \infty$ gilt, dass
\[ \operatorname{Vol}_1\big((a,b)\big)\,\,=\,\,b-a\,\,\in \overline{\R}_+.\]
\item[(b)] Was ist $\operatorname{Vol}^*(\Q)$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten die Funktion 
\[  \operatorname{Vol}^*\colon \mathcal{P}(\R^n) \to \overline{\R}_+.\]
Geben Sie bei den folgenden Eigenschaften jeweils an, ob diese von $\operatorname{Vol}^*$  erf\"ullt sind.
\begin{enumerate}
\item[(A)] Normierung $\operatorname{Vol}^*([0,1]^n)=1$.
\item[(C)] Translationsinvarianz.
\item[(D)] $\sigma$-Additivit\"at.
\end{enumerate}
In allen drei F\"allen gen\"ugt es eine kurze Begr\"undung zu geben.\\
Hinweis: In Satz~1.2 hatten wir gesehen, dass $\operatorname{Vol}^*$ nicht alle drei Eigenschaften (A), (C) und (D) gleichzeitig erf\"ullen kann.

\subsection*{Aufgabe}
Es sei $D=\{z\in \C|\,|z|<1\}$ und $f\colon \C\to \C$ holomorph mit $|f(z)-z|<|z|$ auf dem Rand von $D$. 
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Beweisen Sie, dass $|f'(\frac{1}{2})|\leq 8$.
\item Zeigen Sie, dass $f$ in $D$ genau eine Nullstelle besitzt.
\end{enumerate}
Hinweis: dies war eine Staatsexamensaufgabe.



\subsection*{Aufgabe}\mbox{}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Beweisen Sie folgende Aussage, welche wir im Beweis von Satz~4.14 verwendet hatten:  Es seien $A,B$ und $X$ Teilmengen von einer Menge $\Omega$ mit $X\bigtriangleup A\subset B$. Dann gilt
\[ A\setminus B\,\,\subset \,\,X\,\,\subset \,\,A\cup B.\]
\item 
Beweisen Sie die im Beweis von Satz~4.15 verwendete Ungleichung
\[
\underset{m\to \infty}{\lim}\,\,\mu^*_m(X_m)\,\,\leq\,\,\mu^*(X).\]
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}\mbox{}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei  $n>k$. Wir betrachten
\[ E_k\,\,:=\,\,\{ (x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)\in \R^n\,|\, x_1,\dots,x_k\in \R\}.\]
\begin{enumerate}
\item[(i)] Es sei $X\subset E_k$ eine beschr\"ankte Teilmenge. Zeigen Sie, dass $\operatorname{Vol}^*_n(X)=0$.
\item[(ii)] Es sei $X\subset E_k$ eine beliebige Teilmenge. Zeigen Sie, dass $\operatorname{Vol}^*_n(X)=0$.
\end{enumerate}
\item Es sei $X\subset \R^2$ eine beschr\"ankte Teilmenge mit $\operatorname{Vol}_2^*(X)=0$. Ist $X$ notwendigerweise messbar? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate} 


\subsection*{Aufgabe}
Es sei $A\subset \R^n$ und es sei $f\colon A\to \R^k$ eine stetige Abbildung.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item  Zeigen Sie: Wenn $A$ kompakt ist,  dann ist $f(A)$ messbar.\\
Hinweis: Was wissen wir \"uber Bilder von kompakten Mengen unter stetigen Abbildungen?
\item  Zeigen Sie: Wenn $A$ abgeschlossen ist, dann ist $f(A)$ messbar.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeigen Sie: F\"ur $a_i\leq b_i$, $i=1,\dots,n$ ist der kompakte Quader
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{4cm} Q&=&[a_1,b_1]\times \dots\times [a_n,b_n]\,\,=\,\,\{(x_1,\dots,x_n)\,|\, x_i\in [a_i,b_i]\}
\intertext{messbar mit}
\operatorname{Vol}(Q)&=&\prod\limits_{i=1}^n (b_i-a_i).
\end{array}
\end{align*}
\item Zeigen Sie: Zu jeder Lebesgue-messbaren Menge  $A$ von endlichem Volumen und zu jedem $\epsilon>0$ gibt es ein $Q\in \mathcal{Q}(\R^n)$ mit $\operatorname{Vol}(Q\bigtriangleup A)<\epsilon$. \\
Hinweis: Sie k\"onnen verwenden, dass f\"ur $s>0$ gilt, dass $\langle\mathcal{Q}(\R^n,s)\rangle^\sigma\subset \widetilde{\mathcal{Q}(\R^n,s)}$.
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $\mu\colon \mathcal{B}(\R^n)\to\overline{\R}_+$ ein translationsinvariantes Ma\ss. Wir setzen $W=[0,1)^n$. Zeigen Sie: wenn $\mu(W)=0$, dann ist $\mu(X)=0$ f\"ur alle $X\in \mathcal{B}(\R^n)$.
  \item
F\"ur $X\subset \R^n$ bezeichnen wir mit $\overline{X}$ den Abschlu\ss{} von $X$.
Ist die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl}\mu\colon \mathcal{B}(\R^n)&\to & \overline{\R}_+\\
A&\mapsto & \operatorname{Vol}(\overline{A})\end{array}\]
ein Ma\ss{} auf $\mathcal{B}(\R^n)$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $f\colon \R^n\to \R$ eine messbare Funktion und es sei  $d\in \R$.
Zeigen Sie, dass $d\cdot f$ messbar ist.
\item
Es sei $f\colon \R^n\to \R$ eine messbare Funktion. Zeigen Sie, dass $f^2\colon \R^n\to \R$ messbar ist.
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $f\colon \R^n\to \R$ eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass $f$ messbar ist.
\item Es sei $A\subset \R^n$ messbar und es sei $f\colon A\to \R$ eine stetige Funktion. Kann man dann $f$ notwendigerweise zu einer stetigen Funktion auf $\R^n$ fortsetzen? Anders gefragt, gibt es dann eine stetige Funktion $F\colon \R^n\to \R$, welche auf $A$ mit $f$ \"ubereinstimmt? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item Es sei $A\subset \R^n$ messbar und es sei $f\colon A\to \R$ eine stetige Funktion.  Wir betrachten
\[ \begin{array}{rcl} \tilde{f}\colon \R^n&\to & \R\\
x&\mapsto & \left\{\begin{array}{ll} f(x), &\mbox{ wenn }x\in A,\\0,&\mbox{ sonst.}\end{array}\right.\end{array}\]
Zeigen Sie, dass $\tilde{f}$ messbar ist.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $f\colon \C\to\C$ eine ganze Funktion mit der Eigenschaft, dass $|f(z)|\geq \pi$ f\"ur alle $z\in \C$ gilt. Zeigen Sie, dass $f(z)=f(\pi)$ f\"ur alle $z\in \C$ gilt.
\item Sei $f\colon \C\to \C$ eine ganze Funktion mit der Eigenschaft, dass \[f(z+1)=f(z)=f(z+i)\] f\"ur alle $z\in \C$. Zeigen Sie, dass $f$ konstant ist.
\end{enumerate}
Hinweis: dies war eine Staatsexamensaufgabe



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Ist die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1+x^2,&\mbox{ wenn }x\in \Q\\
0,&\mbox{sonst.}\end{array}\right.\end{array}\]
Lebesgue-integrierbar? Wenn nein, warum nicht? Wenn ja, was ist das Lebesgue-Integral?
\item Es sei $K:=\{ (x,y)\in \R^2\,|\, x^2+y^2=1\}$ der Einheitskreis in $\R^2$. Wir betrachten die Funktion $f(x,y)=\sin(x+3)+\cos(y^2)$. Bestimmen Sie das  Lebesgue-Integral
\[ \bint\limits_{K} f\,dv.\]
\end{enumerate}




\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $f\colon \R^n\to \overline{\R}_+$ eine nichtnegative, messbare Funktion. Zeigen Sie: es gibt eine aufsteigende Folge $\{f_k\}_{k\geq 1}$ von nichtnegativen Stufenfunktionen mit $f_k\uparrow f$.\\
Hinweis: der Fall, dass $f$ nur Werte in $[0,1)$ annimmt wurde schon in der Vorlesung bewiesen und kann hier auch verwendet werden. Beachten Sie zudem, dass $f$ den Wert $\infty$ annehmen kann.
\item Es seien $f,g\colon \R^n\to \overline{\R}_+$  nichtnegative, messbare Funktionen. Zeigen Sie:
\[ 
f\,\leq \, g \,\,\Rightarrow\,\,\bbint f\,dv\,\leq\, \bbint g\,dv.\]
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item 
Es sei $f$ eine nichtnegative, messbare Funktion. Zeigen Sie:
\[ \mbox{ $\{ x\in \R^n\,|\, f(x)\ne 0\}$ ist eine Nullmenge}\quad \Longrightarrow \quad  \bbint f\,dv\,\,=\,\,0.\]
\item Es sei  $f\colon \R^n\to \overline{\R}$ eine messbare Funktion. Wir setzen:
\[S:=\big\{ x\in \R^n\,\big|\,f(x)=-\infty\mbox{ oder }f(x)=\infty\big\}.\]
Zeigen Sie: wenn $\operatorname{Vol}(S)>0$, dann ist $f$ nicht Lebesgue-integrierbar.\\
Hinweis: Die Aussage ist eine Umformulierung von Satz 8.18.\\
Hinweis: Indem sie das richtige Lemma zitieren, gen\"ugt es zu zeigen, dass $\int |f|\,dv=\infty$.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
Es sei $X$ eine messbare Menge, es sei $f\colon X\to \R$ eine messbare Funktion und es sei $X=A\cup B$ eine Zerlegung von $X$ in zwei messbare Mengen $A$ und $B$, so dass $A\cap B$ eine Nullmenge ist. Zeigen Sie:
\[ \mbox{$f$ ist Lebesgue-integrierbar auf $A\cup B$}\,\,\Longleftrightarrow\,\,
 \mbox{$f$ ist Lebesgue-integrierbar auf $A$ und auf $B$.}\]

\subsection*{Aufgabe}
Wenn $f\colon [a,b]\to \R$ eine Riemann-integrierbare Funktion ist, dann hatten wir in Analysis~I gesehen, dass  auch das Quadrat $f^2$ Riemann integrierbar ist. Gilt diese Aussage auch f\"ur f\"ur Lebesgue-Integrierbarkeit? Genauer gesagt, es sei $f\colon \R\to \R$ eine Lebesgue-integrierbare Funktion. Ist dann auch $f^2$ Lebesgue-integrierbar?
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.



\subsection*{Aufgabe}
Gibt es eine Lebesgue-integrierbare Funktion
\[ f\colon \R^2\to \R,\]
so dass die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} g\colon \R&\to &\R\\
x&\mapsto & f(x,0)\end{array}\]
nicht Lebesgue-integrierbar ist? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.



\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten 
\[ A:=\{ (x,y,z)\in \R^3\,|\, x,y,z\in [0,1]\mbox{ und }x+y+z\geq 1\}.\]
Es sei $f\colon A\to \R$ eine stetige Funktion.
Schreiben Sie
\[ \bbint\limits_A f\,dv\]
als dreifaches Riemann-Integral. 


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Wir betrachten
\[ A:=\{ (x,y)\in \R^2\,|\, x^2+y^2\leq 1\mbox{ und }y\geq x\} \]
und die durch $f(x,y):=x^2$ auf $A$ definierte Funktion.  Bestimmen Sie
\[ \bint\limits_A f(x,y)\,dx\,dy.\]
\item Es sei
\[ B:=\{ (x,y)\in \R^2\,|\, x,y\in [0,3]\mbox{ und } x^2+y^2\geq 2\}.\]
Bestimmen Sie
\[ \bint\limits_B y\,dx\,dy.\]
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten
\[ V:=\big\{ (x,y,z)\in \R^3\,\big|\, x\geq 1\mbox{ und }y^2+z^2\leq \tmfrac{1}{x^2}\big\}.\]
Bestimmen Sie das Volumen von $V$. 


\subsection*{Aufgabe}
Es sei $A\in \operatorname{GL}(n,\R)$ eine invertierbare Matrix und $M\subset \R^n$ eine messbare Menge.
Wenden Sie den Transformationssatz an auf $\Phi(x)=Ax$ und $f=\chi_M$. Welchen uns schon bekannten Satz erhalten Sie nun?


\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten die halbe Ellipse
\[ E:=\{(x,y)\in \R^2 \,|\, x^2+2y^2\leq 4\mbox{ und }x\geq 0\}.\]
Bestimmen Sie
\[ \bint\limits_{E} x \,dx\,dy.\]
Hinweis: Sie k\"onnten beispielsweise ``elliptische Koordinaten'' einf\"uhren. 



\subsection*{Aufgabe}
Es sei $f_n\colon \R\to \R_{\geq 0}$, $n\in \N$ eine Folge von Lebesgue-integrierbaren Funktionen, welche gleichm\"a\ss ig gegen $f\colon \R\to \R_{\geq 0}$ konvergiert. Folgt daraus, dass $f$ Lebesgue-integrierbar ist?
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\\
Zur Erinnerung, wir sagen $f_n, n\in \N$ konvergiert gleichm\"a\ss ig gegen $f$, wenn
\[ \underset{n\to\infty}{\lim} \sup \big\{ |f(x)-f_n(x)\,|\, x\in \R\big\}=0.\]




\subsection*{Aufgabe} Es sei 
\[ V := \big\{ (x,y) \in \R^2\, \big|\, 0 \leq y \leq 1 \, , y \leq x \leq 1 \big\}\]
und es sei $f\colon \R^2 \to \R$ gegeben durch $f(x,y) = \cos(x^2)$. Bestimmen Sie
\[
	\bint\limits_V f \, dv.\]




\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
F\"ur $n\in \N$ und $\alpha\in (0,\infty)$ definieren wir
\[ \begin{array}{rcl} f_\alpha\colon\R^n &\to & \R \\ x&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{||x||^\alpha}, &\mbox{ falls }||x||\in (0,1]\\ 0,&\mbox{ sonst.}\end{array} \right.\end{array} \]
F\"ur welche $n\in \{1,2,3\}$ existiert
\[ \bint\limits_{\R^n} f_2 \,dx?\]
\item[(b)]
Es sei $n\in \N$ gegeben. F\"ur welche $\alpha\in (0,\infty)$ existiert
\[ \bint\limits_{\R^n} f_\alpha \,dx?\]
Sie m\"ussen Ihre Antwort \emph{nicht} begr\"unden.
\end{enumerate}



\newpage
\section{Analysis IV}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Es sei $X$ die  Gerade mit einem Punkt im Unendlichen.
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Ist $X$ ein Hausdorff-Raum? 
\item Ist $X$ kompakt?
\end{enumerate}
\item Es sei $Y$ die  Gerade mit zwei Nullen.
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Ist $Y$ ein Hausdorff-Raum? 
\item Ist $Y$ kompakt?
\end{enumerate}
\item Es sei $X=\R\cup \{*\}$ die Gerade mit zwei Nullen. Was ist der Abschluss von $(-1,2)$?
\end{enumerate}
Sie m\"ussen Ihre Antworten nicht begr\"unden.


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item 
Es sei $X$  ein topologischer Raum und $B\subset X$ eine Teilmenge.
Zeigen Sie:
\[x\in \overline{B}\quad  \Longleftrightarrow \quad \mbox{ f\"ur jede offene Umgebung $U$ von $x$ gilt $U\cap B\ne \emptyset$}.\]
Hinweise: Beweisen Sie  die Aussage f\"ur beliebige topologische R\"aume, nicht nur f\"ur metrische R\"aume.
\item Zeigen Sie, dass die Gerade mit einem Punkt im Unendlichen hom\"oomorph zu $S^1$ ist.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Skizzieren Sie die Untermannigfaltigkeiten
\[\begin{array}{rcl} M&=&\{ (x_1,x_2,x_3)\in \R^3\,|\, x_1^2+x_2^2-x_3^2=1\}, \mbox{ und }\\
N&=&\{(x_1,x_2,x_3)\in\R^3\,|\, x_1^2-x_2^2-x_3^2=1\}.\end{array} \]
\item
Es sei 
\[ f\colon \R^n \to \R^k\]
eine $C^\infty$-Funktion. Zeigen Sie, dass der Graph
\[ \{(x,f(x))\,|\, x\in \R^n\}\subset \R^{n+k}\]
eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^{n+k}$ ist, welche einen Atlas mit nur einer Karte besitzt.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Es sei $A\subset \R^n$. Eine Funktion 
 \[ \begin{array}{rcl}f\colon A&\to & \R \\
   y&\mapsto & \R_{\geq 0}\end{array}\]
hei\ss t halbstetig nach unten, wenn 
 \[ 
 \underset{x\in A}{\bigforall}\,\, \underset{\epsilon>0}{\bigforall}\,\,\underset{\delta>0}{\bigexists}\,\,\underset{y\in B_\delta(x)\cap A}{\bigforall} f(y)>f(x)-\epsilon.\]
Anschaulich gesprochen kann also die Funktion $f$ nach oben springen, aber nicht nach unten.

 Zeigen Sie, dass eine Funktion $f\colon [a,b]\to \R_{\geq 0}$ auf einem kompakten Intervall, welche halbstetig nach unten ist, ein Minimum annimmt.


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Es seien $v_1,\dots,v_k\in \R^n$ Vektoren und $\l_1,\dots,\l_k\in \R$. Zeigen Sie, dass
\[ \operatorname{Gram}(\l_1v_1\,\dots\,\l_kv_k)\,\,=\,\,\l_1^2\cdots \l_k^2\cdot \operatorname{Gram}(v_1\,\dots\,v_k).\]
\item[(b)] 
Es seien $a=(a_1,a_2,a_3)$ und $b=(b_1,b_2,b_3)$ zwei linear unabh\"angige Vektoren in $\R^3$. Das \emph{Kreuzprodukt $a\times b$} ist definiert als der Vektor
\[ a\times b\,\,:=\,\, \setminussum{i=1}{3} (-1)^{i+1}\det\Big(\begin{array}{c}\mfbox{die Matrix $(\,a\,b\,)$, wobei}\\
\mfbox{die $i$-te Zeile gestrichen ist}\end{array}\Big)\,\,=\,\,\footnotesize{\begin{pmatrix} \hfill a_2b_3-a_3b_2\\ -a_1b_3+a_3b_1\\ \hfill a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}}.\]
Zeigen Sie, dass 
\[ \|a\times b\|\,\,=\,\, \mbox{Fl\"acheninhalt von $P(a,b)$.}\]
\end{enumerate}





\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Wir betrachten die Untermannigfaltigkeit 
\[ M\,:=\,\big\{ (x,y,x^2+y^2)\,\big|\, (x,y)\in \R^2\mbox{ mit }x^2+y^2< 4\big\}.\]
Bestimmen Sie
\[ \bint\limits_{M} z.\]
\item[(b)] Es sei $Z=\{ (x,y,z)\,|\, x^2+y^2=4, x\geq 0\mbox{ und }z\in (-3,3)\}$. Bestimmen Sie 
\[ \bint\limits_Z x\]
\item[(c)] Wir betrachten den Torus
\[ T\,:=\, \big\{ ( (2+\sin\theta)\cos \varphi, \, (2+\sin \theta)\sin \varphi, \, \cos \theta)\,\big|\, \theta,\varphi\in \R\big\}.\]
Bestimmen Sie
\[ \bint\limits_T x.\]
\end{enumerate}
In allen drei F\"allen muss klar ersichtlich sein, wie Sie das Ergebnis erhalten haben. Sie m\"ussen aber nicht notwendigerweise alle Details ausf\"uhren. 



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Bestimmen Sie
\[ \lmfrac{d}{dz} \bint\limits_0^{\sin(z)}  e^{t^2}\,dt.\]
\item[(b)]
Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion
\[ \begin{array}{rcl} \R&\to & \R \\
z&\mapsto & \bint\limits_0^{\sin(z)}  e^{zt^2}\,dt\end{array}\]
am Punkt $z_0=\pi$. 
Hinweis: Sie k\"onnen eventuell eine Hilfsfunktion $F(x,y)$ einf\"uhren und dann Methoden aus der Analysis~II verwenden.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
Es sei  $f\colon \R\to \R$ eine stetige Funktion und es sei $\epsilon>0$. 
F\"ur $x\in \R$ setzen wir 
\[ \delta(x)\,:=\, \sup\big\{ \mu\in [0,1]\,\big|\,|f(x+h)-f(x)|<\epsilon\mbox{ f\"ur alle }h\in (-\mu,\mu)\big\}.\]
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zeigen Sie, dass $\delta$ nicht notwendigerweise stetig ist, d.h.\ geben Sie ein Beispiel f\"ur eine Funktion stetige Funktion $f\colon \R\to \R$ und $\epsilon>0$, so dass $\delta$ nicht stetig ist.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass $\delta$ halbstetig nach unten ist.
\end{enumerate}
Diese Aufgabe ist eine etwas vereinfachte Version der Fragestellungen, welche im Beweis von Satz~3.10 aufgetaucht sind. 


\subsection*{Aufgabe}
Es seien $v_1,\dots,v_k\in \R^n$ linear unabh\"angige Vektoren. Wir bezeichnen mit 
\[ M(v_1,\dots,v_k)\,\,=\,\,\Big\{ \ttmsum{i=1}{k} \l_iv_i\,\Big| \,
\l_1,\dots,\l_k\in (0,1)\Big\}\]
das von $v_1,\dots,v_k$ aufgespannte offene Parallelotop.
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Zeigen Sie, dass $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass 
\[ \operatorname{Vol}_k(M)\,\,=\,\,\sqrt{\operatorname{Gram}\big(v_1\,\dots\,v_k\big)}.\]
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Es sei $f\colon [a,b]\to \R_{>0}$ eine glatte Funktion. Wir betrachten die Menge
\[ M\,\,:=\,\,\{ (x,y,z)\in \R^3\,|\, x\in [a,b]\mbox{ und }y^2+z^2=f(x)^2\}.\]
Zeigen Sie, dass $M$ eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist.
\item[(b)] Bestimmen Sie eine Formel  f\"ur den Fl\"acheninhalt von $M$. Vereinfachen Sie den Ausdruck so weit wie m\"oglich.\\
Sie m\"ussen \emph{nicht} begr\"unden, warum Ihre Antwort korrekt ist.
\item[(c)] Geben Sie eine mathematisch saubere Beschreibung des M\"obiusbands.\\
Sie m\"ussen \emph{nicht} begr\"unden warum Ihre Antwort richtig ist.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit. Zeigen Sie: wenn $M$ zusammenh\"angend ist, dann ist $M$ auch wegzusammenh\"angend.\\
Hinweis: Es sei $P\in M$ ein festgew\"ahlter Punkt. Es sei $X$ die Menge aller Punkte in $M$, welche zu $P$ mit einem Weg verbunden sind. Was k\"onnen Sie \"uber $X$ aussagen?


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Beantworten Sie folgende Fragen. 
\begin{enumerate}
\item[(i)] Ist jede endliche Teilmenge in einem topologischen Raum notwendigerweise diskret?
\item[(ii)] Es sei $X=\{1,\dots,5\}$ mit der trivialen Topologie. Ist $X$ wegzusammenh\"angend?
\item[(iii)] Es sei $X$ die Gerade mit zwei Nullen. Ist $X$ zusammenh\"angend? 
\end{enumerate}
Sie m\"ussen Ihre Antworten \emph{nicht} begr\"unden.
\item[(b)]
 Es sei $U\subset \R^{n-1}$ eine offene Teilmenge und $f\colon U\to \R$ eine glatte Funktion. Wir betrachten die Untermannigfaltigkeit\label{beispiel:normalenvektor-zu-graph}
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.5cm} M&=&\{(x,f(x))\,|\,x\in U\}.
\intertext{Zeigen Sie, dass f\"ur einen Punkt $P=(x,f(x))$ ein Normalenvektor gegeben ist durch }
 \chi(P)&=& (-\operatorname{Grad} f(x),1).
\end{array}\end{align*}
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Bestimmen Sie den Flu\ss{} des Vektorfeldes 
\[ F(x,y,z)\,\,=\,\,\begin{pmatrix} -y\\ x \\ z\end{pmatrix}\]
durch den Zylinder
\[  \big\{ (x,y,z)\in \R^3\,\big|\, x^2+y^2=4\mbox{ und }z\in [-2,2]\big\}\]
dessen Normalenfeld nach ``au\ss en'' zeigt.
Sie m\"ussen nicht jeden Schritt sauber beweisen, aber es muss klar ersichtlich sein, wie Sie zu Ihrem Ergebnis kommen.
\item[(b)] Gibt es zu jeder glatten Funktion $f\colon \R^2\to \R$ ein Vektorfeld $F\colon \R^2\to \R^2$ mit $\div(F)=f$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate} 


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Gibt es ein stetig differenzierbares Vektorfeld 
\[ F\colon A:=\{P\in \R^n\,|\, \|P\|\leq 2\} \,\to\, \R^n
\] mit $\div(F)\equiv 0$, $F(1,0,\dots,0)=(1,\dots,1)$, und so 
dass $F(P)=P$ f\"ur alle $P$ mit $\|P\|=2$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item[(b)] Gibt es ein stetig differenzierbares Vektorfeld 
\[F\colon B:=\big\{(x,y)\in \R^2\,\big|\,0< x^2+y^2\leq 1\big\}\,\,\to\,\,\R^2\]
mit $\div(F)\equiv 0$, welches die Eigenschaft besitzt,
dass $F(P)=P$ f\"ur alle $P$ mit $\|P\|=1$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Wir betrachten  den reellen Vektorraum
\[ V:=\left\{ (a_1,a_2,a_3,\dots) \,|\, \begin{array}{l} a_1,a_2,\dots \in \R \mbox{ und es gibt ein $n$,} \\\mbox{so dass $a_{k}=0$ f\"ur alle $k\geq n$}\end{array} \right\}.\]
Wir betrachten
\[ \begin{array}{rcl} e_1&:=&(1,0,0,0,\dots),\\
 e_2&:=&(0,1,0,0,\dots),\\
  e_3&:=&(0,0,1,0,\dots),\\
  \vdots &&\end{array}   \]
Die Vektoren $\{e_i\}_{i\in \N}$ bilden dann eine Basis f\"ur $V$. (Sie m\"ussen dies nicht beweisen.)
Wir bezeichnen mit $e_1^*,e_2^*,\dots \in V^*=\operatorname{Hom}_{\R}(V,\R)$ die zur Basis $e_1,e_2,\dots$ dualen Homomorphismen.
Es gilt also, dass
\[ e_i^*(a_1,a_2,\dots)=a_i.\]
Beantworten Sie folgende Frage: Bilden die Vektoren $e_1^*,e_2^*,\dots$ eine Basis f\"ur $V^*$?  Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item[(b)]
Es sei $V$ ein endlich dimensionaler reeller Vektorraum und es sei $v_1,\dots,v_k$ eine Basis f\"ur $V$. Wir bezeichnen mit $v_1^*,\dots,v_k^*$ die duale Basis von $V^*=\operatorname{Hom}_{\R}(V,\R)$.
Es sei nun $A=(a_{ij})_{i,j=1,\dots,k}$ eine invertierbare reelle Matrix.
F\"ur $i=1,\dots,k$ betrachten wir
\[ w_i\,\,:=\,\,\tmsum{j=1}{k} a_{ij} v_j.\]
Dann ist $w_1,\dots,w_k$ eine Basis f\"ur $V$ und wir bezeichnen mit $w_1^*,\dots,w_k^*$ die zugeh\"orige duale Basis.
Es gibt dann eine invertierbare reelle Matrix $B=(b_{ij})_{i,j=1,\dots,k}$ mit 
\[ w_i^*\,\,:=\,\,\tmsum{j=1}{k} b_{ij} v_j^*.\]
Was ist der Zusammenhang zwischen der Matrix $A$ und der Matrix $B$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort sorgf\"altig.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
Es sei $F$ ein kovarianter Funktor von der Kategorie der topologischen R\"aume zu der Kategorie der reellen Vektorr\"aume.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Es sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen R\"aumen, welche ein Rechtsinverses besitzt, d.h.\ es gibt eine stetige Abbildung $g\colon Y\to X$ mit $f\circ g=\operatorname{id}_Y$.  Zeigen Sie, dass $f_*\colon F(X)\to F(Y)$ surjektiv ist.
\item[(b)] Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei $A\subset X$ eine Teilmenge. Wir sagen \emph{$A$ ist ein Retrakt von $X$}, wenn es eine stetige Abbildung $f\colon X\to A$ gibt, so dass $f(a)=a$ f\"ur alle $a\in A$.
Zeigen Sie: wenn $A$ ein Retrakt von $X$ ist, dann gilt $\dim(F(X))\geq \dim(F(A))$.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Es sei $f\colon U\to \R$ eine  stetig differenzierbare Funktion auf einer offenen Menge $U\subset \R^n$. Zeigen Sie, dass
\[ df\,\,=\,\,\tmfrac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\dots+\tmfrac{\partial f}{\partial x_n}dx_n.\]
\item[(b)] Es sei 
\[ \omega\,\,=\,\, f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy\]
eine glatte 1-Form. Zeigen Sie: wenn $\omega$ exakt ist, dann gilt
\[ \tmfrac{\partial }{\partial y}f (x,y)\,\,=\,\, \tmfrac{\partial }{\partial x}g (x,y).\]
\item[(c)] Es sei 
\[ \omega\,\,=\,\, f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy\]
eine glatte 1-Form auf $\R^2$  mit
\[ \tmfrac{\partial }{\partial y}f (x,y)\,\,=\,\, \tmfrac{\partial }{\partial x} g(x,y).\]
Zeigen Sie, dass $\omega$ exakt ist.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Wir betrachten die Untermannigfaltigkeit 
$M=\{(x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2=1\}$. Es sei $F$ das Tangentialvektorfeld, welches gegeben ist durch $F(x,y,z)=(-y,x,z)$. 
Ist die zugeh\"orige $1$-Form $\omega(F)$ exakt? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item[(b)]
Es sei $F\colon M\to \R^n$ ein glattes Vektorfeld auf einer Untermannigfaltigkeit $M\subset \R^n$. Zeigen Sie, dass die zugeh\"orige 1-Form $\omega(F)$ glatt  ist.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Ein Vektorfeld  $F\colon \R^n\setminus\{0\}\to \R^n$ wird \emph{radial} genannt, wenn es eine glatte Funktion $f\colon \R_{>0}\to \R$ gibt, so dass
\[ F(x)\,\,=\,\,f(\|x\|)\cdot x\mbox{ f\"ur alle $x\in \R^n\setminus\{0\}$.}\]
Zeigen Sie,  dass jedes radiale glatte Vektorfeld $F\colon \R^n\setminus\{0\}\to \R^n$ exakt ist. 



\subsection*{Aufgabe}
Es sei $V$ ein $n$--dimensionaler reeller Vektorraum.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Es sei $\omega\colon V^2\to \R$ eine Abbildung, welche linear in jedem der beiden Argumente ist.
Zeigen Sie, dass folgende Bedingungen \"aquivalent sind:
\begin{enumerate}
\item[(i)]  f\"ur alle $v\in V$  gilt $ \omega(v,v)=0$,
\item[(ii)] f\"ur alle $v,w\in V$ gilt $\omega(v,w)=-\omega(w,v)$.
\end{enumerate}
\item[(b)]
Es sei $\omega:V^k\to \R$ eine alternierende $k$--Form. Zeigen Sie, dass
\[ \omega(\dots,v,\dots,u,\dots)\,\,=\,\,\omega(\dots,v,\dots,u+v,\dots)\]
f\"ur alle $u,v\in V$.
\item[(c)] Es sei $k>n$ und es sei $\omega\colon V^k\to \R$ eine alternierende $k$--Form.
Zeigen Sie, dass $\omega$ die Nullabbildung ist, d.h. zeigen Sie, dass f\"ur alle $v_1,\dots,v_k\in \R^n$ gilt
\[ \omega(v_1,\dots,v_k)\,\,=\,\,0.\]
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Zeigen Sie, dass jede nichtleere Untermannigfaltigkeit $M$ der Dimension $\geq 2$ eine glatte 1-Form besitzt, welche nicht exakt ist.

\subsection*{Aufgabe}\mbox{}
Wir betrachten den Vektorraum $\R^4$ und f\"ur $i=1,2,3,4$ be\-zeichnen wir wie \"ublich mit $dx_i\in \operatorname{Hom}(\R^4,\R)$
die Linearform, welche durch 
\[ dx_i(a_1,a_2,a_3,a_4)\,\,:=\,\,a_i\] definiert ist.
Zeigen Sie: es gibt keine Linearformen $\varphi,\psi\colon \R^4\to \R$, so dass
\[ \varphi\wedge \psi\,\,=\,\,dx_1\wedge dx_2+dx_3\wedge dx_4.\]
Hinweis: Betrachten Sie f\"ur eine alternierende 2-Form $\omega$ das ``Quadrat'' $\omega\wedge \omega$.

\subsection*{Aufgabe}
Es sei $M\subset \R^n$ eine Untermannigfaltigkeit und es sei $F$ ein glattes Vektorfeld auf $M$.
Wir betrachten die $(n-1)$-Form $\delta$  auf $M$, welche $P\in M$
folgende alternierende $(n-1)$-Form zuordnet:
\[ \begin{array}{rcl} (T_PM)^{n-1}&\to & \R \\ (v_1,\dots,v_{n-1})&\mapsto& \det\underset{n\times n-\operatorname{Matrix}}{\underbrace{(F(P)\,v_1\,\dots\,v_{n-1})}}. \end{array} \]
Zeigen Sie, dass $\delta$ eine  glatte $(n-1)$-Form auf $M$ ist.


\subsection*{Aufgabe}
Es seien $v_1,\dots,v_{n-1}\in \R^n$. Wir bezeichnen  mit $v_1\times \dots\times v_{n-1}\in \R^n$ den  Vektor in $\R^n$, welcher festgelegt ist durch
\[\mbox{$k$--te Koordinate von $v_1\times \dots \times v_{n-1}$}\,\,=\,\,(-1)^{k+1}\cdot \det\left(\begin{array}{c}v_1\,\dots,v_{n-1},\\\operatorname{wobei}\,k\operatorname{-te}\,\operatorname{Zeile}\\\operatorname{entfernt wurde}\end{array}\right).\]
F\"ur $n=3$ ist dies das \"ubliche Kreuzprodukt von zwei Vektoren in $\R^3$.
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Zeigen Sie: das Kreuzprodukt $w:=v_1\times \dots\times v_{n-1}$ besitzt folgende Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $w$ steht senkrecht zu $v_1,\dots,v_{n-1}$,
\item[(ii)] $\|w\|=\sqrt{\operatorname{Gram}(v_1,\dots,v_{n-1})}$,
\item[(iii)] $\det\big(\underset{\mfbox{$n\times n$-Matrix}}{\underbrace{w\,\,v_1\,\,\dots\,\,v_{n-1}}})\geq 0$.
\end{enumerate}
\item[(b)] Zeigen Sie, dass wenn ein Vektor $w\in \R^n$ die Eigenschaften (i), (ii) und (iii) besitzt, dann ist $w=v_1\times \dots\times v_{n-1}$.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item [(a)]
Es sei  $\{v_1,v_2\}$ eine beliebige Basis f\"ur $\R^2$.
Es sei $\varphi\in (-\pi,\pi)$ der Winkel um den man $v_1$ gegen den Uhrzeigersinn drehen muss, so dass $v_1$ in die gleiche Richtung wie $v_2$ zeigt.
Zeigen Sie: die Basis $\{v_1,v_2\}$ ist genau dann  eine positive Basis  von $\R^2$,  wenn $\varphi\in (0,\pi)$.
\item[(b)]
Es sei $V$ ein 2-dimensionaler Untervektorraum von $\R^3$ und es sei $u\ne 0\in \R^3$ ein Normalenvektor zu $V$. Zeigen Sie:
wenn $\{v,w\}$ und $\{v',w'\}$ zwei Basen f\"ur $V$ sind mit der Eigenschaft, dass $\det(u\,v\,w)>0$ und $\det(u\,v'\,w')>0$, dann sind $\{v,w\}$ und $\{v',w'\}$ \"aquivalente Basen von $V$. 
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe} Es sei $U\subset \R^{n}$ eine offene Teilmenge und es sei $f\colon U\to \R$ eine glatte Funktion. Wir bezeichnen mit $G$ den Graphen 
\[ G\,\,=\,\,\{ (x,f(x))\,|\, x\in U\}.\]
Dies ist eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^{n+1}$. Wir bezeichnen mit 
\[ \nu(x,f(x))\,\,=\,\, \setminusfrac{(-\operatorname{Grad} f(x),1)}{\|(-\operatorname{Grad} f(x),1)\|}\]
das Einheitsnormalenfeld, ``welches nach oben zeigt''. Wir sagen $v_1,\dots,v_n$ ist eine positive Basis von $T_{(x,f(x))}G$, falls
\[ \det\big( \nu(x,f(x))\, v_1\,\dots\, v_n\big)\,>\,0.\]
Zeigen Sie, dass dies eine Orientierung auf $G$ ist.\\
Hinweis: Weisen Sie die Stetigkeit dieser Pr\"a-Orientierung bez\"uglich einer geeignet gew\"ahlten Karte nach.\\


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Es sei $f\colon M\to N$ ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus zwischen zwei kompakten $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten. Zudem sei $\omega$ eine stetige $k$-Form auf $N$. Zeigen Sie, dass
\[ \bint\limits_M f^*\omega\,\,=\,\, \bint\limits_N \omega.\]
Hinweis: Sie k\"onnen der Einfachheit halber annehmen, dass es eine Karte $\Phi\colon U\to V$ auf $N$ gibt, so dass $\mbox{Tr\"ager}(\omega)\subset U\cap N$.
\item[(b)] Wir betrachten die $2$-Form $\omega=dx\wedge dy$ auf 
\[ M\,\,:=\,\,\{ (x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2+z^2=1\mbox{ und }z\geq 0\},\]
mit der Orientierung, welche durch die Normalenvektoren gegeben ist, welche nach ``oben'' zeigen. 
Bestimmen Sie
\[ \bint\limits_M \omega\,\,=\,\,\bint\limits_M dx\wedge dy.\]
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Es sei $Q=[a,b]\times [0,c]$ ein Quader in $\R^2$ mit $a<b$ und $c>0$. 
Wir schreiben $\partial_0 Q=[a,b]\times \{0\}$ und wir setzen $\partial_1Q=\partial Q\setminus \partial_0Q$. 
Zudem sei $\omega=f(x,y)dx+g(x,y)dy$ eine glatte 1-Form auf $Q$, welche auf $\partial_1 Q$ verschwindet.
Zeigen Sie, dass
\[ \bint\limits_Q d\omega\,\,=\,\, \bint\limits_{\partial_0Q} \omega.\]
Hinweis: Lassen Sie sich nicht einsch\"uchtern.


\subsection*{Aufgabe}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Es sei $\omega$ eine glatte $k$-Form auf einer $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass $d\omega=0$.
\item[(b)] F\"ur $i=1,\dots,n+1$ schreiben wir
\[ dx_1\wedge \dots \wedge \widehat{dx_i}\wedge \dots \wedge dx_{n+1}\,:=\,
dx_1\wedge \dots dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \dots \wedge dx_{n+1}.\]
Wir betrachten nun auf $S^{n}$ die $n$-Form
\[ \omega = \setminussum{i=1}{n+1} (-1)^i x_i\cdot dx_1\wedge \dots \wedge \widehat{dx_i}\wedge \dots \wedge dx_{n+1}.\]
Zeigen Sie, dass es keine $(n-1)$-Form $\eta$ auf $S^n$ mit $d\eta=\omega$ gibt.\\
Hinweis: Sie d\"urfen den Satz von Stokes nicht nur einmal, sondern gerne auch zweimal  auf geeignet gew\"ahlte Untermannigfaltigkeiten anwenden.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]  Gibt es eine  glatte $k$-Form auf $\R^k$ mit kompakten Tr\"ager und mit der Eigenschaft, dass $\bint_{\R^k}\omega\ne 0$?  Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item[(b)] Es sei $M$ eine geschlossene $k$-dimensionale  orientierbare Untermannigfaltigkeit, es sei $\omega$ eine glatte $(k-1)$-Form auf $M$ und es sei $f\colon M\to \R$ glatt.
Welche der folgenden Aussagen  gilt?
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\bint\limits_M f\, d\omega =0$,
\item[(ii)] $\bint\limits_M f\, d\omega =\bint\limits_M df\wedge \omega$,
\item[(iii)] $\bint\limits_M f\, d\omega =-\bint\limits_M df\wedge \omega$.
\end{enumerate}
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Es sei $f\colon M\to N$ eine glatte Abbildung von einer kompakten orientierten $m$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $M$ zu einer kompakten $(m-1)$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $N$. Es sei $\omega$ eine glatte $(m-1)$-Form auf $N$. Zeigen Sie, dass
\[ \bint\limits_{\partial M} f^*\omega\,\,=\,\,0.\]
\item[(b)] Zeigen Sie, dass es keine glatte Abbildung $f\colon D^2\to S^1$ geben kann, so dass $f(x)=x$ f\"ur alle $x\in S^1$.\\
Hinweis: Verwenden Sie (a). Es mag auch hilfreich sein die Inklusionsabbildung $g\colon S^1\to D^2$ zu betrachten.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Es sei $f\colon M\to N$ eine glatte Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten. Ist dann die Verkn\"upfung der drei linearen Abbildungen
\[ \Omega_{k-1}(N)\,\,\xrightarrow{d} \,\,\Omega_k(N)\,\,\xrightarrow{f^*}\,\, \Omega_k(M)\,\,\xrightarrow{d}\,\,\Omega_{k+1}(M)\]
notwendigerweise die Nullabbildung? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item[(b)]
Es sei $M$ eine zusammenh\"angende Untermannigfaltigkeit und es sei  $\gamma\colon [a,b]\rightarrow M$ ein Weg. Zeigen Sie: wenn $d_M(\gamma(a),\gamma(b)) = \ell(\gamma)$, dann auch f\"ur alle $a\leq c<d\leq b$, dass $d_M(\gamma(c),\gamma(d)) = \ell\big(\gamma|_{[c,d]}\big)$.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Wir betrachten die Untermannigfaltigkeit $M=\R^2\setminus \{(0,0)\}$ mit der Riemannschen Struktur, welche an jedem Punkt $(x,y)\in M$ gegeben ist durch
\[ \begin{array}{rcl} T_{(x,y)}M\times T_{(x,y)}M&\to & \R\\
(v,w)&\mapsto & \tmfrac{1}{(x^2+y^2)^2}\langle v,w\rangle,\end{array}\]
wobei $\langle v,w\rangle$ wie \"ublich das Skalarprodukt von $v,w\in T_{(x,y)}M=\R^2$ bezeichnet.
Wir setzen $P:=(-5,0)$ und $Q:=(5,0)$ und wir betrachten den Weg
\[ \begin{array}{rcl} \gamma\colon [0,\pi] &\mapsto & M\\
t&\mapsto & (-5\cos t,5\sin t)\end{array}\]
von $P$ nach $Q$. Gibt es einen k\"urzeren Weg von $P$ nach $Q$?
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item[(b)] Wir betrachten $M=\R^2$ und f\"ur $(x,y)\in M$ betrachten wir am Punkt $(x,y)\in M$ die Bilinearform
\[   T_{(x,y)}M\times T_{(x,y)}M\,\,\to \,\, \left\{ \begin{array}{rl} 10\cdot \langle v,w\rangle, &\mbox{ wenn } y>0\\
2\cdot \langle v,w\rangle, &\mbox{ wenn } y\leq 0.\end{array}\right.\]
Geben Sie den k\"urzesten Weg von $(0,-5)$ zum Punkt $(10,5)$ an. Sie m\"ussen Ihre Antwort \emph{nicht} begr\"unden.\\
Hinweis: Streng genommen ist dies eine pr\"a-Riemannsche Struktur, welche \emph{nicht} stetig ist, dies ist uns in dieser Aufgabe jedoch egal.\\
Hinweis: Die Aufgabe modelliert folgende Situation: Die Punkte mit $y$-Koordinate $\leq 0$ liegen auf dem Strand, auf diesem kann man sich deutlich schneller fortbewegen als auf dem Meer, welche gerade den Punkten mit $y$-Koordinate $>0$ entsprechen. Sie wollen jetzt den schnellsten Weg bestimmen, um vom Punkt $(0,-5)$ auf dem Strand einem Menschen mit Koordinaten $(10,5)$ im Meer zur Hilfe zu eilen.
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Die Koordinaten von Neapel sind 
$ 40^o\, 50'\, 0''$ Nord und $14^o\, 15'\, 0''$ Ost, und die Koordinaten von New York sind $40^o\,50'\, 0''$ Nord und $74^o\,00'\,21''$ West.
\begin{enumerate}
\item[(i)] Bestimmen Sie die L\"ange der Strecke von Neapel nach New York, welche sich direkt auf dem Breitengrad bewegt.
\item[(ii)] Bestimmen Sie die L\"ange der Strecke von Neapel nach New York auf dem Gro\ss kreis.
\end{enumerate}
\item[(b)] Bestimmen Sie den Abstand von Regensburg zur Osterinsel im Pazifik.
\end{enumerate}
In allen Teilaufgaben muss klar ersichtlich sein, wie Sie zu Ihrem Ergebnis kommen. Sie k\"onnen in beiden Teilaufgaben davon ausgehen, dass die Erde eine Sph\"are mit Durchmesser $12,742$ Kilometer ist.





\subsection*{Aufgabe}
Es seien $p,q\colon \R\to \R_{>0}$ positive glatte Funktionen. Wir betrachten die glatte Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \hspace{0.9cm} A\colon\hspace{0.4cm} \R^2&\to & \mbox{symmetrische positiv definite $2\times 2$-Matrizen}\\
(x,y)&\mapsto & A(x,y):=\footnotesize{\begin{pmatrix} p(y)&0\\ 0&q(y)\end{pmatrix}}\end{array}\]
und die zugeh\"orige  Riemannsche Struktur $g(A)$ auf $\R^2$. Zeigen Sie, dass f\"ur zwei Punkte $S=(x,s)$ und $T=(x,t)$ in $Q$  mit der gleichen $x$-Koordi\-nate  jede Geod\"ate in $(\R^2,g(A))$ auf der vertikalen Gerade $\{(x,y)\,|\, y\in \R\}$ verl\"auft.





\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Es sei $\varphi\colon M\to N$ eine glatte Abbildung zwischen zwei Riemannschen Untermannigfaltigkeiten $(M,g)$ und $(N,h)$.
Zeigen Sie:
 Wenn $\varphi$ eine lokale Isometrie ist, dann gilt f\"ur jeden Weg 
$\gamma\colon [a,b]\to M$, dass
\[ \ell_g(\gamma)\,\,=\,\, \ell_{h}(\varphi \circ \gamma).\]
\item[(b)]  Zeigen Sie: zu je zwei Punkten $P,Q\in \H$ gibt es eine M\"obiustransformation $\varphi$ mit $\varphi(P)=Q$.\\
Hinweis: man kann nat\"urlich versuchen, die Aussage ``aus zu $x$-en''. Aber vielleicht ist es ja eleganter und einfacher mit Streckungen, Verschiebungen und Inversionen zu arbeiten.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Zeigen sie, dass die Inversion 
\[ \begin{array}{rcl}\Phi\colon \H&\to &\H\\ 
z&\mapsto &-\frac{1}{z}\end{array}
\] eine orientierungserhaltende Isometrie von $\H$ ist.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass es zu je zwei hyperbolischen Geraden $g$ und $h$ immer  eine M\"obius\-transformation gibt, welche $g$ in $h$ \"uberf\"uhrt. \\
Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass man mithilfe einer M\"obiustransformation jede Gerade von Typ (2) in eine Gerade von Typ (1) \"uberf\"uhren kann.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Es sei $g$ eine euklidische Gerade und es sei $P$ ein Punkt, welcher nicht auf $g$ liegt. Zeigen Sie, dass es genau eine euklidische Gerade durch $P$ gibt, welche $P$ nicht schneidet.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass sich zwei Gro\ss kreise auf $S^2$ immer schneiden.
\item[(c)] Zeigen Sie, dass es zu jeder hyperbolischen Gerade $g$ und jedem Punkt $P\in \H$, welcher nicht auf $g$ liegt, unendlich viele hyperbolische Geraden durch $P$ gibt, welche $g$ nicht schneiden.
\item[(d)] Lesen Sie
\[\mbox{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelenaxiom}}
\]
bis zu den ersten drei Paragraphen von ``nicht euklidische Geometrie''.\\
Beantworten Sie die Kontrollfrage: Wie hei\ss en die Entdecker der nichteuklidischen Geometrie?
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Es sei $(M,g)$ eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit.
Wir sagen eine Teilmenge $A\subset M$ ist sternf\"ormig, wenn es einen Punkt $P$ in $A$ gibt, so dass f\"ur jeden Punkt $Q\in A$ jede Geod\"ate von $P$ nach $Q$ innerhalb von $A$ verl\"auft. 
Es sei nun $A\subset \Bbb{S}^2$ ein sternf\"ormiges $n$-Eck. Bestimmen Sie eine Formel f\"ur den Fl\"acheninhalt von $A$ in Abh\"angigkeit der Innenwinkel. Sie m\"ussen Ihre Antwort \emph{nicht} begr\"unden.
\item[(b)] 
Es seien $\Delta_{ABC}$ und $\Delta_{DEF}$ zwei Dreiecke in $\H$ mit $\sphericalangle ABC=\sphericalangle DEF$ sowie mit  $d(B,A)=d(E,D)$ und $d(B,C)=d(E,F)$. 
\begin{enumerate}
\item[(i)] Zeigen Sie, dass es eine M\"obiustransformation $f$ mit $f(B)=E$ und $f(\Delta_{ABC})=\Delta_{DEF}$  gibt.
\item[(ii)] Zeigen Sie, dass die  M\"obiustransformation aus (i) eindeutig bestimmt ist.
\item[(iii)] Welcher Aussage der Schulmathematik entspricht (i)?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
In dieser Aufgabe sollen Sie zeigen, dass ein gleichwinkliges hyperbolisches Dreieck auch gleichseitig ist. Genauer gesagt, es sei $\Delta_{ABC}$ ein Dreieck in der Poincar\'e-Scheibe $\D$. Zeigen Sie: wenn $\sphericalangle CAB=\sphericalangle CBA$, dann gilt auch $d(A,C)=d(B,C)$.\\
Hinweis: O.B.d.A.\ k\"onnen Sie annehmen, dass $C=0$. Betrachten Sie den Mittelpunkt $M$ des euklidischen Kreises, welcher die hyperbolische Gerade durch $B$ und $C$ beschreibt. Zeigen Sie, dass $M$ auf der Mittelhalbierenden von $\sphericalangle ACB$ liegt.


\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Es seien $X$ und $Y$ zwei nichtleere topologische R\"aume. Zeigen Sie:
\[\mbox{$X$ und $Y$ sind kompakt}\quad \Longleftrightarrow \quad \mbox{$X\times Y$ ist kompakt}.\]
Hinweis zu (b) ``$\Rightarrow$'': Wir nehmen also an, dass $X$ und $Y$ kompakt sind. Es sei $\{W_i\}_{i\in I}$ eine offene \"Uberdeckung von $X\times Y$.
Zeigen Sie, dass es f\"ur jedes $x\in X$ schon endlich viele Indizes $i_1,\dots,i_r$ gibt, so dass $\{x\}\times Y\subset W_{i_1}\cup \dots \cup W_{i_r}$.
\item[(b)] Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und es seien $f,g\colon X\to \R$ stetige Funktionen. Zeigen Sie, dass es  $x,y\in X$ gibt, so dass
\[  f(x)-g(y)\,\,=\,\, \sup\{ f(a)-g(b)\,|\, a,b\in X\}.\]
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Wir betrachten $X=D^2$ mit der \"Aquivalenzrelation, welche erzeugt wird durch $(x,y)\sim (x,-y)$ f\"ur $(x,y)\in S^1$. Welcher Ihnen schon bekannte topologische Raum ist hom\"oomorph zu $X/\sim$? Sie m\"ussen Ihre Antwort \emph{nicht} begr\"unden.
\item[(b)] Es sei $X=\partial( [-1,1]^3)$ der Rand des W\"urfels mit Kantenl\"ange $2$. Geben Sie explizit einen Hom\"oomorphismus $X\to S^2$ an. Sie m\"ussen  \emph{nicht} begr\"unden warum Ihre Abbildung ein Hom\"oomorphismus ist.\\
Hinweis: Stellen Sie sich $S^2$ und $[-1,1]^3$ explizit als Teilmengen von $\R^3$ vor. Es gibt einen Hom\"oomorphismus, denn man in einer Zeile hinschreiben kann.
\item[(c)] Es sei $A=\{(x,y)\in \R^2\,|\, x^2+y^2\leq 1\}$ eine abgeschlossene Scheibe. Welcher Ihnen schon bekannte topologische Raum ist hom\"oomorph zu $\R^2/A$? Sie m\"ussen Ihre Antwort \emph{nicht} begr\"unden.\\
Zur Erinnerung, f\"ur eine Menge  $M$ eine Menge und eine Teilmenge  $S\subset M$ betrachten wir auf $M$ die \"Aquivalenzrelation
 \[ P\sim Q \quad :\Longleftrightarrow \quad   \mbox{$P=Q$ oder $P$ und $Q$ liegen  in $S$.}\]
Wir bezeichnen dann mit $M/S$ die Menge der \"Aquivalenzklassen.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zeigen Sie, dass $\R/\Z$ kompakt ist.
\item[(b)] Geben Sie ein Beispiel von einem Hausdorffraum $X$ und einer \"Aquivalenzrelation $\sim$ auf $X$, so dass $X/\sim$ nicht Hausdorff ist.\\
Hinweis: es gibt schon ein Beispiel mit $X=\R$ und einer geeignet gew\"ahlten \"Aquivalenzrelation. 
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten  $X=[0,1]\times (0,1)\subset \R^2$ Mal mit der \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation, welche erzeugt wird von
\[  (0,y)\sim (1,1-y)\quad \mbox{ f\"ur alle $y\in (0,1).$}\]
Wir bezeichnen mit 
\[ \begin{array}{rcl} p\colon X&\to& X/\sim\\
Q&\mapsto &p(Q)=[Q]\end{array} \]
 die Projektionsabbildung. 
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zeigen Sie,  dass die Projektionsabbildung $p\colon X\to X/\sim$ \emph{nicht} offen ist.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass $X/\sim$ ein Hausdorffraum ist.
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
Es sei $X=[0,1]\times (0,1)$ und es sei $\sim$ die \"Aquivalenzrelation  auf~$X$, welche erzeugt wird durch $(0,y)\sim (1,1-y)$ f\"ur $y\in (0,1)$. 
\begin{enumerate}
\item[(a)]
 Zeigen Sie, dass die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} X/\sim &\to & \R\\{}[(x,y)]&\mapsto & (1-y)y\cdot \cos(2\pi x)\end{array}\]
glatt ist.
\item[(b)]
Zeigen Sie,  dass $X/\sim$ zweitabz\"ahlbar ist.\\
Hinweis: Es gen\"ugt eine abz\"ahlbare Basis der Topologie anzugeben, Sie m\"ussen nicht nachweisen, dass dies in der Tat einer Basis der Topologie ist.
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten die 3-dimensionale Sph\"are
\[ S^3\,=\, \{ (z,w)\in \C^2\,|\, |z|^2+|w|^2=1\}.\]
Es seien $p$ und $q$ teilerfremde nat\"urliche Zahlen. 
Wir bezeichnen mit $\sim$ die \"Aquivalenz\-relation, welche erzeugt wird durch
\[ (a,b)\,\sim \, \big(e^{2\pi ik/p}a,e^{2\pi ikq/p}b\big)\quad \mbox{ f\"ur alle $(a,b)\in S^3$.}\]
Zeigen Sie, dass $L(p,q):=S^3/\sim$ eine 3-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist.


\subsection*{Aufgabe}
Es sei $X=\R\cup \{*\}$ die Gerade mit zwei Nullen.
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Zeigen Sie, dass es f\"ur jeden Punkt $P$ auf $X$ eine Karte um $P$ gibt.
\item[(b)] Gibt es eine stetige Funktion $f\colon X\to \R$ mit $f(0)=1$ und $f(*)=0$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}

\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Es sei $U$ eine offene Teilmenge von $\R^n$ und $P\in U$.
Zeigen Sie, dass es ein $\epsilon>0$  und eine stetige Funktion $f\colon U\to [0,1]$ mit folgenden Eigenschaften gibt:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $f(P)=1$,
\item[(ii)] $\overline{B_\epsilon(P)}\subset U$,
\item[(iii)] $f(Q)=0$ f\"ur alle $Q\not\in \overline{B_\epsilon(P)}$.
\end{enumerate}
Hinweis: Sie k\"onnen die Aufgabe, bei kleinem Punktabzug, auch f\"ur $n=1$ bearbeiten.
\item[(b)]
Es sei $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit und es seien $P$ und $Q$ zwei verschiedene Punkte auf $M$. Zeigen Sie, dass es eine  stetige Funktionen $g\colon M\to \R$ mit $g(P)=0$ sowie mit $g(Q)=1$ gibt.\\
Hinweis: Sie k\"onnen die Funktion $g$ mithilfe von einer Karte und Aufgabe (a) finden. \"Uberpr\"ufen Sie jedoch, dass Ihre Funktion $g$ in der Tat stetig ist.  
\end{enumerate}


\subsection*{Aufgabe}
Wir betrachten das abgeschlossene M\"obiusband
\[ M\,\,:=\,\,( [0,1]\times [0,1])/ (0,y)\sim (1,1-y).\]
Wir betrachten zudem die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} f\colon M&\to & X=[0,1]/0\sim 1 \\{}
[(x,y)]&\mapsto &[x].\end{array}\]
Diese Abbildung ist stetig und glatt, zudem ist der Rand $ Y:=\partial M$ hom\"oomorph zu $S^1$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] 
Wir betrachten auf $X$ die 1-Form $dx$. Wir bezeichnen mit $g$ die Abbildung 
\[ g\colon Y= \partial M\,\xrightarrow{i}\, M\,\xrightarrow{f}\,X,\]
wobei $i\colon \partial M\to M$ die Inklusionsabbildung ist.
Zeigen Sie, dass 
$\int\limits_Y g^*(dx)\ne 0$. 
\item[(b)] Zeigen Sie, dass $M$ nicht orientierbar ist. \\
Hinweis: wenn $M$ orientierbar w\"are, dann k\"onnte man den Satz von Stokes anwenden.
\end{enumerate}



\subsection*{Aufgabe}
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass die Kleinsche Flasche eine Untermannigfaltigkeit besitzt, welche diffeomorph zum M\"obiusband ist.
\item Zeigen Sie, dass $\R\operatorname{P}^2$ eine Untermannigfaltigkeit besitzt, welche diffeomorph zum M\"obiusband ist.
\item Ist die Kleinsche Flasche orientierbar?
\item Ist $\R\operatorname{P}^2$ orientierbar?
\item Ist die Fl\"ache von Geschlecht $g$ orientierbar?
\item Ist $\R\operatorname{P}^3$ orientierbar?
\end{enumerate} 



\subsection*{Aufgabe}
Zeigen Sie,  dass jeder Gro\ss kreis von $S^2$ eine $1$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $S^2$ ist. 


\end{document}