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\newlabel{lem:fgstetig}{{1.3}{7}{}{theorem.1.3}{}}
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\newlabel{beispiel:gerade-mit-punkt-im-unendlichen}{{1.3}{8}{}{Item.26}{}}
\newlabel{beispiel:gerade-mit-zwei-nullen}{{1.3}{8}{}{Item.26}{}}
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\newlabel{fig:umgebung}{{1}{9}{}{figure.1}{}}
\newlabel{bem:metrischer-raum-hausdorff}{{1.3}{10}{}{Item.30}{}}
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\newlabel{def:teilraumtopologie}{{1.4}{10}{Die Teilraumtopologie}{subsection.1.4}{}}
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\newlabel{fig:teilraum-topologie}{{2}{11}{Definition der Teilraumtopologie}{figure.2}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{1.5}{Abgeschlossene Teilmengen}}{11}{subsection.1.5}}
\newlabel{lem:abgeschlossen}{{1.4}{11}{}{theorem.1.4}{}}
\newlabel{satz:umgebung}{{1.5}{11}{}{theorem.1.5}{}}
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\newlabel{bem:stetig-abgeschlossen}{{2}{12}{}{Item.37}{}}
\newlabel{satz:fgstetigx}{{1.6}{12}{}{theorem.1.6}{}}
\newlabel{satz:verknupfungstetig}{{1.6}{12}{}{theorem.1.6}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{1.7}{Hom\"oomorphismen}}{12}{subsection.1.7}}
\newlabel{beispiel:kein-homoeomorphismus}{{2}{13}{}{Item.46}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{1.8}{Kompakte topologische R\"aume}}{13}{subsection.1.8}}
\newlabel{satz:heine-borel}{{1.8}{14}{}{theorem.1.8}{}}
\newlabel{satz:teilmengekompakt}{{1.9}{14}{}{theorem.1.9}{}}
\newlabel{satz:bildkompakt}{{1.10}{14}{}{theorem.1.10}{}}
\newlabel{satz:kompaktminmax}{{1.11}{14}{}{theorem.1.11}{}}
\newlabel{satz:hausdorffkompakt}{{1.12}{14}{}{theorem.1.12}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Satz~\ref  {satz:hausdorffkompakt}.}}{15}{figure.3}}
\newlabel{fig:hausdorffkompakt}{{3}{15}{Skizze zum Beweis von Satz~\ref {satz:hausdorffkompakt}}{figure.3}{}}
\newlabel{satz:kompakthausdorffstetig}{{1.13}{15}{}{theorem.1.13}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{2}{Definition und Beispiele von Untermannigfaltigkeiten}}{17}{section.2}}
\newlabel{section:untermf}{{2.1}{17}{Die Definition von Untermannigfaltigkeiten}{subsection.2.1}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{2.1}{Die Definition von Untermannigfaltigkeiten}}{17}{subsection.2.1}}
\newlabel{def:untermannigfaltigkeit}{{2.1}{17}{}{Item.55}{}}
\newlabel{def:karte-untermannigfaltigkeit}{{2.1}{17}{}{Item.55}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {4}{\ignorespaces Schematisches Bild einer Karte.}}{17}{figure.4}}
\newlabel{satz:umkehrabbildung}{{2.1}{18}{}{theorem.2.1}{}}
\newlabel{kor:umkehrabbildung}{{2.2}{18}{}{theorem.2.2}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {5}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Korollar~\ref  {kor:umkehrabbildung}.}}{18}{figure.5}}
\newlabel{fig:kor-umkehrabbildung}{{5}{18}{Skizze zum Beweis von Korollar~\ref {kor:umkehrabbildung}}{figure.5}{}}
\newlabel{beispiel:kartens1}{{2.1}{18}{}{figure.5}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {6}{\ignorespaces Atlas f\"ur die eindimensionale Untermannigfaltigkeit $S^1$.}}{19}{figure.6}}
\newlabel{fig:atlas-fur-s1}{{6}{19}{Atlas f\"ur die eindimensionale Untermannigfaltigkeit $S^1$}{figure.6}{}}
\newlabel{bsp:s2mfd}{{2.1}{19}{}{figure.6}{}}
\newlabel{beispiel:kartens2}{{2.1}{20}{}{figure.6}{}}
\newlabel{def:stereographische-projektion}{{2.1}{20}{}{figure.6}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {7}{\ignorespaces }}{21}{figure.7}}
\newlabel{fig:stereographische-projektion}{{7}{21}{}{figure.7}{}}
\newlabel{beispiel:torus-untermannigfaltigkeit}{{2.1}{21}{}{figure.7}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{2.2}{Untermannigfaltigkeiten und Parametrisierungen}}{21}{subsection.2.2}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {8}{\ignorespaces }}{22}{figure.8}}
\newlabel{fig:untermannigfaltigkeit-torus}{{8}{22}{}{figure.8}{}}
\newlabel{satz:untermannigfaltigkeit-parametrisierung}{{2.3}{22}{}{theorem.2.3}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{2.3}{Untermannigfaltigkeiten und Graphen}}{22}{subsection.2.3}}
\newlabel{beispiel:offene-halbsphaere}{{2.3}{23}{}{theorem.2.4}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {9}{\ignorespaces }}{23}{figure.9}}
\newlabel{satz:mannigfaltigkeit-lokal-ein-graph}{{2.5}{23}{}{theorem.2.5}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {10}{\ignorespaces Untermannigfaltigkeiten sind lokal ein Graph.}}{23}{figure.10}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {11}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Satz~\ref  {satz:mannigfaltigkeit-lokal-ein-graph}.}}{24}{figure.11}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{2.4}{Der Satz vom regul\"aren Wert}}{25}{subsection.2.4}}
\newlabel{satz:regularerwert}{{2.6}{25}{}{theorem.2.6}{}}
\newlabel{section:diffbarfaufm}{{2.5}{26}{Differenzierbare Funktionen auf Untermannigfaltigkeiten}{subsection.2.5}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{2.5}{Differenzierbare Funktionen auf Untermannigfaltigkeiten}}{26}{subsection.2.5}}
\newlabel{def:funktion-auf-untermannigfaltigkeit-differenzierbar}{{2.5}{26}{}{subsection.2.5}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {12}{\ignorespaces Schematisches Bild f\"ur die Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion auf einer Untermannigfaltigkeit.}}{26}{figure.12}}
\newlabel{satz:bezueglich-allen-karten-stetig-differenzierbar}{{2.7}{27}{}{theorem.2.7}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {13}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Satz~\ref  {satz:bezueglich-allen-karten-stetig-differenzierbar}.}}{27}{figure.13}}
\newlabel{fig:bezueglich-allen-karten-stetig-differenzierbar}{{13}{27}{Skizze zum Beweis von Satz~\ref {satz:bezueglich-allen-karten-stetig-differenzierbar}}{figure.13}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{3}{Integration und Untermannigfaltigkeiten}}{28}{section.3}}
\newlabel{section:integration-untermannigfaltigkeiten}{{3}{28}{Integration und Untermannigfaltigkeiten}{section.3}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.1}{Erinnerung: Ma\ss - und Integrationstheorie}}{28}{subsection.3.1}}
\newlabel{satz:kompakt-messbar}{{3.1}{28}{}{theorem.3.1}{}}
\newlabel{satz:volumen-determinate}{{3.2}{28}{}{theorem.3.2}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {14}{\ignorespaces }}{28}{figure.14}}
\newlabel{fig:parallelotop}{{14}{28}{}{figure.14}{}}
\newlabel{satz:volumen-parallelotop}{{3.3}{29}{}{theorem.3.3}{}}
\newlabel{satz:riemann-integrierbar-ist-lebesgue-integrierbar}{{3.4}{29}{}{theorem.3.4}{}}
\newlabel{satz:kompakter-traeger-integrierbar}{{3.5}{29}{}{theorem.3.5}{}}
\newlabel{satz:nullmenge-integral}{{3.6}{29}{}{theorem.3.6}{}}
\newlabel{satz:integral-abschaetzung}{{3.7}{29}{}{theorem.3.7}{}}
\newlabel{satz:fubini}{{3.8}{30}{}{theorem.3.8}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {15}{\ignorespaces Illustration vom Satz von Fubini.}}{30}{figure.15}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {16}{\ignorespaces }}{30}{figure.16}}
\newlabel{fig:fubini-dreieck}{{16}{30}{}{figure.16}{}}
\newlabel{satz:transallg}{{3.9}{31}{}{theorem.3.9}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {17}{\ignorespaces Illustration der Transformationsformel.}}{31}{figure.17}}
\newlabel{fig:transformationsformel}{{17}{31}{Illustration der Transformationsformel}{figure.17}{}}
\newlabel{satz:vertauschbarkeit-integral-differentiation}{{3.10}{32}{}{theorem.3.10}{}}
\newlabel{fussnote:stetig-differenzierbar-auf-abgeschlossenem-quader}{{17}{32}{}{Hfootnote.17}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {18}{\ignorespaces }}{33}{figure.18}}
\newlabel{fig:halbstetig-nach-unten}{{18}{33}{}{figure.18}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.2}{Motivation f\"ur Integrale auf Untermannigfaltigkeiten}}{33}{subsection.3.2}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.3}{Einschub: Lineare Algebra}}{34}{subsection.3.3}}
\newlabel{satz:drehen-von-polytop}{{3.11}{34}{}{theorem.3.11}{}}
\newlabel{def:k-dimensionales-volumen-parallelotop}{{3.3}{35}{Einschub: Lineare Algebra}{Item.72}{}}
\newlabel{lem:berechnung-det}{{3.12}{36}{}{theorem.3.12}{}}
\newlabel{def:definition-gram}{{3.3}{36}{Einschub: Lineare Algebra}{theorem.3.12}{}}
\newlabel{lem:volgram}{{3.13}{36}{}{theorem.3.13}{}}
\newlabel{lem:gramdet}{{3.14}{37}{}{theorem.3.14}{}}
\newlabel{lem:det-von-aat}{{3.15}{38}{}{theorem.3.15}{}}
\newlabel{beispiel:deet-von-aat}{{3.3}{38}{}{theorem.3.15}{}}
\newlabel{section:integration-innerhalb-von-karte}{{3.4}{39}{Integration auf Untermannigfaltigkeiten I}{subsection.3.4}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.4}{Integration auf Untermannigfaltigkeiten I}}{39}{subsection.3.4}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {19}{\ignorespaces Illustration der Transformationsformel.}}{39}{figure.19}}
\newlabel{fig:integration-mit-traeger-in-karte}{{19}{39}{Illustration der Transformationsformel}{figure.19}{}}
\newlabel{def:integral-von-f-bzgl-karte}{{3.4}{40}{Integration auf Untermannigfaltigkeiten I}{figure.19}{}}
\newlabel{satz:integration-wohldefiniert}{{3.16}{40}{}{theorem.3.16}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {20}{\ignorespaces Illustration zum Beweis von Satz~\ref  {satz:integration-wohldefiniert}.}}{40}{figure.20}}
\newlabel{fig:integration-wohldefiniert}{{20}{40}{Illustration zum Beweis von Satz~\ref {satz:integration-wohldefiniert}}{figure.20}{}}
\newlabel{section:intii}{{3.5}{41}{Integration auf Untermannigfaltigkeiten II}{subsection.3.5}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.5}{Integration auf Untermannigfaltigkeiten II}}{41}{subsection.3.5}}
\newlabel{def:messbare-zerlegung}{{3.5}{41}{}{subsection.3.5}{}}
\newlabel{satz:zdeins}{{3.17}{41}{}{theorem.3.17}{}}
\newlabel{lem:integral-auf-untermannigfaltigkeit-wohldefiniert}{{3.18}{42}{}{theorem.3.18}{}}
\newlabel{section:beispiele-fuer-integration}{{3.6}{43}{Beispiele}{subsection.3.6}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.6}{Beispiele}}{43}{subsection.3.6}}
\newlabel{satz:integral-ueber-s1}{{3.19}{43}{}{theorem.3.19}{}}
\newlabel{satz:integral-ueber-s2}{{3.20}{43}{}{theorem.3.20}{}}
\newlabel{section:intiii}{{3.7}{44}{Integration auf Untermannigfaltigkeiten III}{subsection.3.7}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.7}{Integration auf Untermannigfaltigkeiten III}}{44}{subsection.3.7}}
\newlabel{lem:untermannigfaltigkeit-abzaehlbaren-atlas}{{3.21}{44}{}{theorem.3.21}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {21}{\ignorespaces Eine Untermannigfaltigkeit, welche keinen endlichen Atlas besitzt.}}{45}{figure.21}}
\newlabel{fig:unendlich-viele-loecher}{{21}{45}{Eine Untermannigfaltigkeit, welche keinen endlichen Atlas besitzt}{figure.21}{}}
\newlabel{satz:zdeins-abzaehlbar}{{3.22}{45}{}{theorem.3.22}{}}
\newlabel{fussnote:reihe-ueber-i}{{36}{45}{}{Hfootnote.36}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.8}{Das $k$-dimensionale Volumen}}{46}{subsection.3.8}}
\newlabel{beispiel:flaeche-s2}{{3.8}{47}{}{subsection.3.8}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{4}{Untermannigfaltigkeiten mit Rand}}{48}{section.4}}
\newlabel{section:untermannigfaltigkeiten-mit-rand}{{4}{48}{Untermannigfaltigkeiten mit Rand}{section.4}{}}
\newlabel{satz:rand-unabhangig-von-karte}{{4.1}{48}{}{theorem.4.1}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {22}{\ignorespaces Schematisches Bild von Untermannigfaltigkeiten mit Rand.}}{49}{figure.22}}
\newlabel{fig:mfd-rand}{{22}{49}{Schematisches Bild von Untermannigfaltigkeiten mit Rand}{figure.22}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {23}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Satz~\ref  {satz:rand-unabhangig-von-karte}.}}{49}{figure.23}}
\newlabel{fig:rand-unabhangig-von-karte}{{23}{49}{Skizze zum Beweis von Satz~\ref {satz:rand-unabhangig-von-karte}}{figure.23}{}}
\newlabel{beispiel:halbkugel}{{1}{49}{}{Item.90}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {24}{\ignorespaces Beispiele von Untermannigfaltigkeiten mit nichtleerem Rand.}}{51}{figure.24}}
\newlabel{satz:tangentialraum-ist-vektorraumfminus2}{{4.2}{51}{}{theorem.4.2}{}}
\newlabel{satz:rand-ist-untermannigfaltigkeit}{{4.3}{52}{}{theorem.4.3}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {25}{\ignorespaces Illustration zum Beweis von Satz~\ref  {satz:rand-ist-untermannigfaltigkeit}.}}{52}{figure.25}}
\newlabel{fig:rand-von-untermannigfaltigkeit}{{25}{52}{Illustration zum Beweis von Satz~\ref {satz:rand-ist-untermannigfaltigkeit}}{figure.25}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {26}{\ignorespaces }}{53}{figure.26}}
\newlabel{fig:graph-untermannigfaltigkeit-mit-rand}{{26}{53}{}{figure.26}{}}
\newlabel{satz:mannigfaltigkeit-mit-rand-lokal-ein-graph}{{4.4}{53}{}{theorem.4.4}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {27}{\ignorespaces Illustration von Satz~\ref  {satz:mannigfaltigkeit-mit-rand-lokal-ein-graph}.}}{53}{figure.27}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{5}{Zusammenh\"angende topologische R\"aume}}{55}{section.5}}
\newlabel{lem:wegzusammenhangend}{{5.1}{55}{}{theorem.5.1}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {28}{\ignorespaces }}{56}{figure.28}}
\newlabel{fig:nicht-wegzusammenhaengend.pstex_t}{{28}{56}{}{figure.28}{}}
\newlabel{satz:mannigfaltigkeit-zusammenhaengend}{{5.2}{56}{}{theorem.5.2}{}}
\newlabel{lem:diskrete-bilder-konstant}{{5.3}{57}{}{theorem.5.3}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{6}{Der Gau\ss sche Integralsatz}}{58}{section.6}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{6.1}{Tangentialvektoren zu Untermannigfaltigkeiten}}{58}{subsection.6.1}}
\newlabel{def:tangentialraum-untermannigfaltigkeit}{{3}{58}{}{Item.108}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {29}{\ignorespaces }}{58}{figure.29}}
\newlabel{fig:definition-tangentialvektor}{{29}{58}{}{figure.29}{}}
\newlabel{satz:tangentialraum-ist-vektorraum}{{6.1}{58}{}{theorem.6.1}{}}
\newlabel{fussnote:stetig-differenzierbar-auf-abgeschlossenem-intervall}{{43}{58}{}{Hfootnote.43}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {30}{\ignorespaces }}{59}{figure.30}}
\newlabel{fig:normalenvektoren}{{30}{59}{}{figure.30}{}}
\newlabel{satz:tangentialraum-ist-vektorraumfminus}{{6.2}{59}{}{theorem.6.2}{}}
\newlabel{satz:normal-fminus}{{6.2}{59}{}{theorem.6.2}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {31}{\ignorespaces Illustration von Satz~\ref  {satz:normal-fminus}.}}{60}{figure.31}}
\newlabel{fig:normalenvektoren-mannigfaltigkeit}{{31}{60}{Illustration von Satz~\ref {satz:normal-fminus}}{figure.31}{}}
\newlabel{section:vfaufumf}{{6.2}{60}{Vektorfelder auf Untermannigfaltigkeiten}{subsection.6.2}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{6.2}{Vektorfelder auf Untermannigfaltigkeiten}}{60}{subsection.6.2}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {32}{\ignorespaces Einheitsnormalenfelder f\"ur den Kreis von Radius zwei.}}{61}{figure.32}}
\newlabel{fig:normalenfeld-s1}{{32}{61}{Einheitsnormalenfelder f\"ur den Kreis von Radius zwei}{figure.32}{}}
\newlabel{def:orientierung-hyperflaeche}{{3}{61}{}{Item.118}{}}
\newlabel{beispiel:normalenvektor-zu-graph}{{2}{61}{}{Item.120}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {33}{\ignorespaces }}{62}{figure.33}}
\newlabel{fig:normalenvektor-zu-graph}{{33}{62}{}{figure.33}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {34}{\ignorespaces Das M\"obiusband besitzt kein Einheitsnormalenfeld.}}{62}{figure.34}}
\newlabel{fig:moebius-band}{{34}{62}{Das M\"obiusband besitzt kein Einheitsnormalenfeld}{figure.34}{}}
\newlabel{lem:moebiusband-nicht-orientierbar}{{6.3}{62}{}{theorem.6.3}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {35}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Lemma~\ref  {lem:moebiusband-nicht-orientierbar}}}{63}{figure.35}}
\newlabel{fig:moebiusband-nicht-orientierbar}{{6.2}{63}{Vektorfelder auf Untermannigfaltigkeiten}{figure.35}{}}
\newlabel{satz:zahl-der-orientierungen}{{6.4}{63}{}{theorem.6.4}{}}
\newlabel{satz:nvf}{{6.5}{64}{}{theorem.6.5}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {36}{\ignorespaces Skizze f\"ur das \"au\ss ere Einheitsnormalenfeld.}}{64}{figure.36}}
\newlabel{fig:ausseres-normalenfeld}{{36}{64}{Skizze f\"ur das \"au\ss ere Einheitsnormalenfeld}{figure.36}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {37}{\ignorespaces Konstruktion des "au\ss eren Einheitsnormalenfeldes.}}{65}{figure.37}}
\newlabel{fig:konstruktion-ausseres-normalenfeld}{{37}{65}{Konstruktion des "au\ss eren Einheitsnormalenfeldes}{figure.37}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{6.3}{Formulierung des Gau\ss schen Integralsatzes}}{65}{subsection.6.3}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {38}{\ignorespaces Skizze zum Fluss eines Vektorfeldes durch eine orientierte Hyperfl\"ache.}}{66}{figure.38}}
\newlabel{fig:fluss-durch-hyperflaeche}{{38}{66}{Skizze zum Fluss eines Vektorfeldes durch eine orientierte Hyperfl\"ache}{figure.38}{}}
\newlabel{satz:gauss}{{6.6}{66}{}{theorem.6.6}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {39}{\ignorespaces }}{67}{figure.39}}
\newlabel{fig:veranschaulichung-gauss}{{39}{67}{}{figure.39}{}}
\newlabel{bem:quader-ueberdecken-m}{{6.3}{67}{Formulierung des Gau\ss schen Integralsatzes}{figure.39}{}}
\newlabel{bem:beweisidee-gausscher-integralsatz}{{6.3}{68}{Formulierung des Gau\ss schen Integralsatzes}{figure.39}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {40}{\ignorespaces Schematisches Bild der offenen Mengen $U_1,\dots  ,U_k$.}}{68}{figure.40}}
\newlabel{fig:strategie-beweis-gausscher-integralsatz}{{40}{68}{Schematisches Bild der offenen Mengen $U_1,\dots ,U_k$}{figure.40}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{6.4}{Beweis des Gau\ss schen Integralsatzes I: Quader}}{68}{subsection.6.4}}
\newlabel{satz:gaussw}{{6.7}{68}{}{theorem.6.7}{}}
\newlabel{lem:integral-ableitung-null}{{6.8}{68}{}{theorem.6.8}{}}
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\newlabel{satz:gaussstempel}{{6.9}{69}{}{theorem.6.9}{}}
\newlabel{lem:differentiation-integral}{{6.10}{70}{}{theorem.6.10}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{6.6}{Beweis des Gau\ss schen Integralsatzes III: Der allgemeine Fall}}{73}{subsection.6.6}}
\newlabel{lem:cinfty-ueberdeckung}{{6.11}{73}{}{theorem.6.11}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {42}{\ignorespaces }}{74}{figure.42}}
\newlabel{fig:cinfty-charakteristische-funktion}{{42}{74}{}{figure.42}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {43}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Lemma~\ref  {lem:cinfty-ueberdeckung}.}}{74}{figure.43}}
\newlabel{cinfty-ueberdeckung}{{43}{74}{Skizze zum Beweis von Lemma~\ref {lem:cinfty-ueberdeckung}}{figure.43}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {44}{\ignorespaces Schematisches Bild der Quader $Q_1,\dots  ,Q_k$.}}{75}{figure.44}}
\newlabel{beweis:gausscher-integralsatz}{{6.6}{75}{Beweis des Gau\ss schen Integralsatzes III: Der allgemeine Fall}{Item.135}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{6.7}{Der Gau\ss sche Integralsatzes f\"ur Untermannigfaltigkeiten mit Kanten}}{76}{subsection.6.7}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {45}{\ignorespaces Beispiele von Untermannigfaltigkeiten mit Kanten.}}{76}{figure.45}}
\newlabel{satz:gauss-kanten}{{6.12}{77}{}{theorem.6.12}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {46}{\ignorespaces Approximation einer Untermannigfaltigkeiten mit Kanten.}}{77}{figure.46}}
\newlabel{fig:approximiation-mannigfaltigkeit-mit-kanten}{{46}{77}{Approximation einer Untermannigfaltigkeiten mit Kanten}{figure.46}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {47}{\ignorespaces }}{78}{figure.47}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{6.8}{Ausblick}}{79}{subsection.6.8}}
\newlabel{bsp:klassischer-satz-von-stokes}{{6.8}{79}{Ausblick}{subsection.6.8}{}}
\newlabel{def:rotation}{{6.8}{79}{Ausblick}{subsection.6.8}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{7}{Kategorien und Funktoren}}{80}{section.7}}
\newlabel{section:induzierte-abbildung-auf-tpm-untermannigfaltigkeit}{{7.1}{80}{Induzierte Abbildungen auf Tangentialr\"aumen}{subsection.7.1}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{7.1}{Induzierte Abbildungen auf Tangentialr\"aumen}}{80}{subsection.7.1}}
\newlabel{def:fstar}{{7.1}{80}{Induzierte Abbildungen auf Tangentialr\"aumen}{subsection.7.1}{}}
\newlabel{bem:differential-normal}{{7.1}{81}{}{theorem.7.1}{}}
\newlabel{satz:kettenregel-differentiale}{{7.2}{81}{}{theorem.7.2}{}}
\newlabel{kor:fstar-umkehrabbildung}{{7.3}{81}{}{theorem.7.3}{}}
\newlabel{satz:differential-linear}{{7.4}{82}{}{theorem.7.4}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{7.2}{Duale Vektorr\"aume}}{83}{subsection.7.2}}
\newlabel{lem:basis-dualer-raum}{{7.5}{83}{}{theorem.7.5}{}}
\newlabel{lem:induzierte-abbildungen}{{7.6}{83}{}{theorem.7.6}{}}
\newlabel{kor:f-oben-star-umkehrabbildung}{{7.7}{84}{}{theorem.7.7}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{7.3}{Kategorien}}{84}{subsection.7.3}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{7.4}{Funktoren}}{86}{subsection.7.4}}
\newlabel{bem:verknuepfung-von-funktoren}{{7.4}{88}{}{Item.154}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{8}{Differentialformen erster Ordnung}}{90}{section.8}}
\newlabel{section:pfaffsche}{{8.1}{90}{Definition von Differentialformen erster Ordnung}{subsection.8.1}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{8.1}{Definition von Differentialformen erster Ordnung}}{90}{subsection.8.1}}
\newlabel{def:differentialform}{{8.1}{90}{}{subsection.8.1}{}}
\newlabel{def:omega(f)}{{1}{90}{}{Item.157}{}}
\newlabel{def:totale-differential}{{2}{91}{}{Item.158}{}}
\newlabel{lem:berechnung-totale-differential}{{8.1}{91}{}{theorem.8.1}{}}
\newlabel{fussnote:dx-dpx}{{78}{91}{}{Hfootnote.78}{}}
\newlabel{lem:dualraum-tautologie-2}{{8.2}{92}{}{theorem.8.2}{}}
\newlabel{def:differentialform-stetig}{{8.1}{92}{}{theorem.8.2}{}}
\newlabel{satz:definitionen-von-stetigen-1-formen}{{8.3}{92}{}{theorem.8.3}{}}
\newlabel{lemma:pullback-von-stetigen-1-formen-auf-rk}{{8.4}{92}{}{theorem.8.4}{}}
\newlabel{lemma:definitionen-von-stetigen-1-formen-auf-rk}{{8.5}{93}{}{theorem.8.5}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {48}{\ignorespaces Skizze zum Beweis der Aussage ``(2) $\Rightarrow $ (3)''.}}{95}{figure.48}}
\newlabel{satz:pullback-von-stetigen-1-formen}{{8.6}{96}{}{theorem.8.6}{}}
\newlabel{lem:omega(f)-stetig}{{8.7}{96}{}{theorem.8.7}{}}
\newlabel{section:pfaffsche-integrierbarkeit}{{8.2}{97}{Integrierbarkeit von 1-Formen}{subsection.8.2}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{8.2}{Integrierbarkeit von 1-Formen}}{97}{subsection.8.2}}
\newlabel{lem:auswertung-auf-1-form-stetig}{{8.8}{97}{}{theorem.8.8}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {49}{\ignorespaces }}{98}{figure.49}}
\newlabel{fig:integral-ueber-1-form}{{49}{98}{}{figure.49}{}}
\newlabel{beispiel:integral-1-form-nicht-null}{{8.2}{98}{}{figure.49}{}}
\newlabel{satz:integral-von-totalem-differential}{{8.9}{98}{}{theorem.8.9}{}}
\newlabel{lem:exakte-1-form-via-vektorfeld}{{8.10}{99}{}{theorem.8.10}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {50}{\ignorespaces Beispiele von radialen Vektorfeldern.}}{100}{figure.50}}
\newlabel{section:1mf}{{8.3}{100}{Integration und Parametertransformationen}{subsection.8.3}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{8.3}{Integration und Parametertransformationen}}{100}{subsection.8.3}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {51}{\ignorespaces }}{101}{figure.51}}
\newlabel{satz:pfaffintkurve}{{8.11}{101}{}{theorem.8.11}{}}
\newlabel{satz:changeor}{{8.11}{101}{}{theorem.8.11}{}}
\newlabel{section:orientierte-1-untermannigfaltigkeiten}{{8.4}{102}{Orientierte eindimensionale Untermannigfaltigkeiten}{subsection.8.4}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{8.4}{Orientierte eindimensionale Untermannigfaltigkeiten}}{102}{subsection.8.4}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {52}{\ignorespaces Orientierungen von eindimensionalen Untermannigfaltigkeiten.}}{103}{figure.52}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {53}{\ignorespaces Die \"Aquivalenz der Orientierungsbegriffe.}}{103}{figure.53}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{9}{Differentialformen h\"oherer Ordnung}}{105}{section.9}}
\newlabel{section:differentialformen-auf-untermannigfaltigkeiten}{{9}{105}{Differentialformen h\"oherer Ordnung}{section.9}{}}
\newlabel{section:motivation}{{9.1}{105}{Motivation}{subsection.9.1}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.1}{Motivation}}{105}{subsection.9.1}}
\newlabel{satz:integral-von-totalem-differential2}{{9.2}{105}{}{theorem.9.2}{}}
\newlabel{section:multidef}{{9.2}{106}{Alternierende Multilinearformen I: Definition}{subsection.9.2}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.2}{Alternierende Multilinearformen I: Definition}}{106}{subsection.9.2}}
\newlabel{satz:charakterisierung-determinante}{{9.3}{106}{}{theorem.9.3}{}}
\newlabel{bsp:jede-n-form-ist-det}{{1}{107}{}{Item.188}{}}
\newlabel{lem:altdet}{{9.4}{108}{}{theorem.9.4}{}}
\newlabel{lem:dim-alternierend-null}{{9.5}{108}{}{theorem.9.5}{}}
\newlabel{section:dach}{{9.3}{109}{Alternierende Multilinearformen II: Das Dachprodukt von Linearformen}{subsection.9.3}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.3}{Alternierende Multilinearformen II: Das Dachprodukt von Linearformen}}{109}{subsection.9.3}}
\newlabel{bsp:dachprodukt-dxis}{{9.3}{109}{}{subsection.9.3}{}}
\newlabel{lem:eigenschaften-wedge}{{9.6}{110}{}{theorem.9.6}{}}
\newlabel{satz:basis-dachprodukt}{{9.7}{110}{}{theorem.9.7}{}}
\newlabel{satz:eigenschaften-dachprodukt}{{9.9}{111}{}{theorem.9.9}{}}
\newlabel{lem:dachprodukt-eigenschaften}{{9.10}{112}{}{theorem.9.10}{}}
\newlabel{section:diffaufumf}{{9.4}{113}{Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten}{subsection.9.4}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.4}{Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten}}{113}{subsection.9.4}}
\newlabel{def:delta-f}{{3}{113}{}{Item.201}{}}
\newlabel{section:induziert}{{9.5}{114}{Induzierte Abbildungen}{subsection.9.5}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.5}{Induzierte Abbildungen}}{114}{subsection.9.5}}
\newlabel{bem:dachprodukt-funktoriell}{{9.5}{114}{Induzierte Abbildungen}{subsection.9.5}{}}
\newlabel{bem:k-formen-kontravarianter-funktor}{{9.5}{115}{Induzierte Abbildungen}{subsection.9.5}{}}
\newlabel{bem:formen-kontravariant}{{9.5}{115}{Induzierte Abbildungen}{subsection.9.5}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.6}{Glatte Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten}}{115}{subsection.9.6}}
\newlabel{def:glatte-differentialform}{{9.6}{115}{}{subsection.9.6}{}}
\newlabel{satz:definitionen-von-stetigen-alternierenden-formen}{{9.11}{116}{}{theorem.9.11}{}}
\newlabel{satz:pullback-von-stetigen-alternierenden-formen}{{9.12}{116}{}{theorem.9.12}{}}
\newlabel{section:intmulti}{{9.7}{117}{Integration von Differentialformen I}{subsection.9.7}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.7}{Integration von Differentialformen I}}{117}{subsection.9.7}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {54}{\ignorespaces Schematisches Bild f\"ur die Integration von $k$-Formen auf einer $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit.}}{117}{figure.54}}
\newlabel{fig:mfd-intform}{{9.7}{117}{Integration von Differentialformen I}{figure.54}{}}
\newlabel{frage:intkarten}{{9.7}{117}{}{figure.54}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {55}{\ignorespaces Schematisches Bild f\"ur zwei Karten f\"ur $M$.}}{118}{figure.55}}
\newlabel{fig:zweikarten}{{9.7}{118}{Integration von Differentialformen I}{figure.55}{}}
\newlabel{satz:intkarten}{{9.13}{119}{}{theorem.9.13}{}}
\newlabel{section:or}{{9.8}{120}{Orientierte Vektorr\"aume und Untermannigfaltigkeiten}{subsection.9.8}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.8}{Orientierte Vektorr\"aume und Untermannigfaltigkeiten}}{120}{subsection.9.8}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {56}{\ignorespaces Positive Basen f\"ur $\mathbb  {R}^2$.}}{121}{figure.56}}
\newlabel{fig:or2}{{2}{121}{}{figure.56}{}}
\newlabel{beispiel:rechte-handregel}{{3}{121}{}{Item.214}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {57}{\ignorespaces }}{121}{figure.57}}
\newlabel{fig:rechte-handregel}{{57}{121}{}{figure.57}{}}
\newlabel{fussnote:orientierung-definiert}{{119}{121}{}{Hfootnote.119}{}}
\newlabel{lem:orientierungserhaltend}{{9.14}{122}{}{theorem.9.14}{}}
\newlabel{lem:orientierung-untermannigfaltigkeit}{{9.15}{123}{}{theorem.9.15}{}}
\newlabel{bsp:aequivalenz-der-orientierungsbegriff-fuer-hyperflaeche}{{1}{123}{}{Item.225}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {58}{\ignorespaces }}{124}{figure.58}}
\newlabel{fig:orientierung-flaechen}{{1}{124}{}{figure.58}{}}
\newlabel{satz:orientierung-homomorphismus}{{9.16}{125}{}{theorem.9.16}{}}
\newlabel{section:intmultii}{{9.9}{126}{Integration von Differentialformen II}{subsection.9.9}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.9}{Integration von Differentialformen II}}{126}{subsection.9.9}}
\newlabel{fussnote:orientierungserhaltend}{{130}{126}{}{Hfootnote.130}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.10}{Integration von Differentialformen III}}{127}{subsection.9.10}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {59}{\ignorespaces Beispiele von offenen Quadern in Halbr\"aumen.}}{127}{figure.59}}
\newlabel{fig:offene-quader-in-halbraumen}{{9.10}{127}{Integration von Differentialformen III}{figure.59}{}}
\newlabel{satz:cinfty-zerlegung-der-eins}{{9.18}{127}{}{theorem.9.18}{}}
\newlabel{beh:atlas-mit-quadern}{{9.10}{128}{}{Item.237}{}}
\newlabel{bem:zerlegung-einer-k-form}{{9.10}{129}{Integration von Differentialformen III}{Item.242}{}}
\newlabel{satz:transformationsformel-fuer-integral-von-k-formen}{{9.21}{130}{}{theorem.9.21}{}}
\newlabel{lem:integration-n-form-auf-rn}{{9.22}{130}{}{theorem.9.22}{}}
\newlabel{lem:intrand}{{9.23}{131}{}{theorem.9.23}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.11}{Null-dimensionale Untermannigfaltigkeiten}}{132}{subsection.9.11}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{10}{Vorbereitungen f\"ur den Satz von Stokes}}{133}{section.10}}
\newlabel{section:satz-von-stokes}{{10}{133}{Vorbereitungen f\"ur den Satz von Stokes}{section.10}{}}
\newlabel{section:orrand}{{10.1}{133}{Orientierte Untermannigfaltigkeiten mit Rand}{subsection.10.1}{}}
\newlabel{section:randor}{{10.1}{133}{Orientierte Untermannigfaltigkeiten mit Rand}{subsection.10.1}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{10.1}{Orientierte Untermannigfaltigkeiten mit Rand}}{133}{subsection.10.1}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {60}{\ignorespaces }}{133}{figure.60}}
\newlabel{fig:nach-aussen-innen}{{10.1}{133}{Orientierte Untermannigfaltigkeiten mit Rand}{figure.60}{}}
\newlabel{def:orientierung-von-rand}{{10.1}{134}{Orientierte Untermannigfaltigkeiten mit Rand}{figure.60}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {61}{\ignorespaces Orientierung des Randes der Kreisscheibe in $\mathbb  {R}^2$.}}{135}{figure.61}}
\newlabel{fig:orientierung-kreis}{{1}{135}{}{figure.61}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {62}{\ignorespaces Orientierung des Randes der Kreisscheibe in $\mathbb  {R}^2$.}}{135}{figure.62}}
\newlabel{fig:orientierung-von-rand-von-zylinder}{{2}{135}{}{figure.62}{}}
\newlabel{bsp:aequivalenz-der-orientierungsbegriff-fuer-raender}{{3}{135}{}{Item.249}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {63}{\ignorespaces }}{136}{figure.63}}
\newlabel{fig:rand-einer-eins-untermannigfaltigkeit}{{10.1}{136}{Orientierte Untermannigfaltigkeiten mit Rand}{figure.63}{}}
\newlabel{section:diffdiff}{{10.2}{136}{Das Differential von Differentialformen}{subsection.10.2}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{10.2}{Das Differential von Differentialformen}}{136}{subsection.10.2}}
\newlabel{bsp:domega}{{2}{137}{}{Item.251}{}}
\newlabel{satz:regelnd}{{10.2}{137}{}{theorem.10.2}{}}
\newlabel{notation:dxi}{{10.2}{138}{}{Item.259}{}}
\newlabel{satz:d-kommutiert-mit-varphi}{{10.3}{140}{}{theorem.10.3}{}}
\newlabel{def:differential-mit-karte}{{10.2}{141}{Das Differential von Differentialformen}{Item.261}{}}
\newlabel{satz:eigenschaften-von-d-auf-untermannigfaltigkeit}{{10.5}{142}{}{theorem.10.5}{}}
\newlabel{berechnung:delta(f)}{{10.2}{143}{Das Differential von Differentialformen}{Item.263}{}}
\newlabel{lem:d-delta-f}{{10.6}{143}{}{theorem.10.6}{}}
\newlabel{lem:df=0-lokal-konstant}{{10.7}{144}{}{theorem.10.7}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{11}{Der Satz von Stokes}}{145}{section.11}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{11.1}{Formulierung des Satz von Stokes}}{145}{subsection.11.1}}
\newlabel{satz:stokes}{{11.1}{145}{}{theorem.11.1}{}}
\newlabel{satz:stokes-geschlossen}{{11.1}{145}{}{theorem.11.1}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{11.2}{Beweis vom Satz von Stokes}}{146}{subsection.11.2}}
\newlabel{satz:stokes-fuer-quader}{{11.2}{146}{}{theorem.11.2}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{11.3}{Der klassische Satz von Stokes und der Satz von Green}}{148}{subsection.11.3}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{11.4}{Anwendung auf holomorphe Funktionen}}{150}{subsection.11.4}}
\newlabel{satz:cauchy-auf-scheiben}{{11.5}{151}{}{theorem.11.5}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {64}{\ignorespaces Illustration von Satz~\ref  {satz:cauchy-auf-scheiben}.}}{151}{figure.64}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{12}{L\"ange von Wegen und Geod\"aten}}{153}{section.12}}
\newlabel{section:geodaeten}{{12}{153}{L\"ange von Wegen und Geod\"aten}{section.12}{}}
\newlabel{def:laenge-kurve}{{12}{153}{}{section.12}{}}
\newlabel{lem:wegmetrik-auf-rn}{{12.1}{153}{}{theorem.12.1}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {65}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Lemma~\ref  {lem:wegmetrik-auf-rn}.}}{154}{figure.65}}
\newlabel{lem:geodaete-verlaeuft-auf-euklidischer-gerade}{{12.2}{154}{}{theorem.12.2}{}}
\newlabel{def:geodaete}{{2}{154}{}{Item.273}{}}
\newlabel{lem:einschraenkung-von-weg-minimal}{{12.3}{155}{}{theorem.12.3}{}}
\newlabel{satz:einzige-geodaete-in-rn}{{12.4}{155}{}{theorem.12.4}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {66}{\ignorespaces }}{156}{figure.66}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{13}{Riemannsche Untermannigfaltigkeiten}}{157}{section.13}}
\newlabel{section:riemansche-untermannigfaltigkeiten}{{13}{157}{Riemannsche Untermannigfaltigkeiten}{section.13}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {67}{\ignorespaces }}{157}{figure.67}}
\newlabel{fig:flug-nordamerika}{{67}{157}{}{figure.67}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{13.1}{Definition von Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}}{157}{subsection.13.1}}
\newlabel{def:riemannsche-untermannigfaltigkeit}{{13.1}{158}{}{Item.287}{}}
\newlabel{fussnote:pullback-positiv-definit}{{161}{158}{}{Hfootnote.161}{}}
\newlabel{def:lokaler-diffeomorphismus}{{2}{159}{}{Item.289}{}}
\newlabel{def:pullback-riemannsche-struktur}{{3}{159}{}{Item.290}{}}
\newlabel{satz:definitionen-von-riemannschen-strukturen}{{13.1}{159}{}{theorem.13.1}{}}
\newlabel{satz:pullback-von-riemannschen-strukturen}{{13.2}{160}{}{theorem.13.2}{}}
\newlabel{lem:untermannnigfaltigkeit-riemannsch}{{13.3}{160}{}{theorem.13.3}{}}
\newlabel{bsp:g(rho)}{{2}{161}{}{Item.301}{}}
\newlabel{def:laenge-riemannsche-untermannigfaltigkeit}{{13.1}{161}{}{Item.301}{}}
\newlabel{def:laenge-kurve-mit-g}{{2}{161}{}{Item.303}{}}
\newlabel{bsp:riemannsche-untermannigfaltigkeit-sphaere}{{1}{162}{}{Item.309}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {68}{\ignorespaces L\"ange von Wegen in $(\mathbb  {R}^2,g(\rho ))$.}}{162}{figure.68}}
\newlabel{fig:rho}{{68}{162}{L\"ange von Wegen in $(\R ^2,g(\rho ))$}{figure.68}{}}
\newlabel{lem:riemannsche-metrik-auf-r2}{{13.4}{163}{}{theorem.13.4}{}}
\newlabel{bsp:o(3)-isometrien-von-s2}{{1}{163}{}{Item.314}{}}
\newlabel{bsp:zylinder-isometrisch-zu-r2}{{2}{164}{}{Item.315}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {69}{\ignorespaces }}{164}{figure.69}}
\newlabel{fig:teppich-zusammenrollen}{{69}{164}{}{figure.69}{}}
\newlabel{lem:laenge-und-isometrien}{{13.5}{165}{}{theorem.13.5}{}}
\newlabel{beispiel:rechte-halbsphaere}{{13.1}{165}{}{Item.320}{}}
\newlabel{bsp:pullback-von-sphaerischer-metrik}{{13.1}{165}{}{Item.320}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {70}{\ignorespaces }}{166}{figure.70}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {71}{\ignorespaces }}{166}{figure.71}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{13.2}{Geod\"aten auf der Sph\"are}}{167}{subsection.13.2}}
\newlabel{satz:geodaeten-auf-s2}{{13.6}{167}{}{theorem.13.6}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {72}{\ignorespaces }}{167}{figure.72}}
\newlabel{lem:geodaete-in-halbsphaere}{{13.7}{167}{}{theorem.13.7}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {73}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Lemma~\ref  {lem:geodaete-in-halbsphaere}.}}{168}{figure.73}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {74}{\ignorespaces Skizze zur Definition von $G(t)$.}}{169}{figure.74}}
\newlabel{satz:geodaete-auf-s2}{{13.8}{170}{}{theorem.13.8}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {75}{\ignorespaces }}{170}{figure.75}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{14}{Hyperbolische Geometrie}}{171}{section.14}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{14.1}{Der hyperbolische Raum}}{171}{subsection.14.1}}
\newlabel{lem:verknuepfung-moebiustransformation}{{14.1}{171}{}{theorem.14.1}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {76}{\ignorespaces }}{173}{figure.76}}
\newlabel{fig:inversion}{{76}{173}{}{figure.76}{}}
\newlabel{satz:moebiustransformationen-erzeugt}{{14.2}{173}{}{theorem.14.2}{}}
\newlabel{satz:mobiustransformation-isometrie}{{14.3}{174}{}{theorem.14.3}{}}
\newlabel{bem:alle-isometrien-moebius}{{14.1}{174}{}{theorem.14.3}{}}
\newlabel{lem:moebiustransformationen-transitiv}{{14.4}{174}{}{theorem.14.4}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {77}{\ignorespaces Beispiele von hyperbolischen Geraden.}}{175}{figure.77}}
\newlabel{lem:gerade-eindeutig-bestimmt}{{14.5}{175}{}{theorem.14.5}{}}
\newlabel{satz:mobiustransformation-und-geraden}{{14.6}{175}{}{theorem.14.6}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {78}{\ignorespaces Hyperbolischen Gerade durch zwei Punkte $P$ und $Q$.}}{176}{figure.78}}
\newlabel{fig:hyperbolische-gerade-durch-p-und-q}{{78}{176}{Hyperbolischen Gerade durch zwei Punkte $P$ und $Q$}{figure.78}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {79}{\ignorespaces }}{176}{figure.79}}
\newlabel{fig:inversion-vertikale-gerade}{{79}{176}{}{figure.79}{}}
\newlabel{lem:geraden-via-moebiustransformationen}{{14.7}{177}{}{theorem.14.7}{}}
\newlabel{satz:geodaeten-auf-h}{{14.8}{177}{}{theorem.14.8}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {80}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Satz~\ref  {satz:geodaeten-auf-h}.}}{177}{figure.80}}
\newlabel{satz:geodaete-h2-eindeutig}{{14.9}{178}{}{theorem.14.9}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {81}{\ignorespaces Spiegelung in der hyperbolischen Gerade $g$.}}{179}{figure.81}}
\newlabel{fig:spiegelung-in-geraden}{{81}{179}{Spiegelung in der hyperbolischen Gerade $g$}{figure.81}{}}
\newlabel{lem:spiegelungen-konjugiert}{{14.10}{179}{}{theorem.14.10}{}}
\newlabel{lem:formeln-fuer-spiegelungen}{{14.11}{180}{}{theorem.14.11}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {82}{\ignorespaces }}{180}{figure.82}}
\newlabel{fig:spiegelung-in-vertikaler-gerade}{{82}{180}{}{figure.82}{}}
\newlabel{satz:moebiustransformtation-spiegelungen}{{14.12}{180}{}{theorem.14.12}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{14.2}{Das Poincar\'e-Model f\"ur den hyperbolischen Raum}}{181}{subsection.14.2}}
\newlabel{def:poincare-scheibe}{{1}{182}{}{Item.354}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {83}{\ignorespaces Beispiele von Geraden im Poincar\'e-Model.}}{182}{figure.83}}
\newlabel{satz:h-und-d-sind-isometrisch}{{14.13}{182}{}{theorem.14.13}{}}
\newlabel{korollar:geodaeten-auf-d}{{14.14}{183}{}{theorem.14.14}{}}
\newlabel{lem:hyperbolische-spiegelung}{{14.15}{183}{}{theorem.14.15}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {84}{\ignorespaces }}{184}{figure.84}}
\newlabel{fig:escher}{{84}{184}{}{figure.84}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {85}{\ignorespaces }}{184}{figure.85}}
\newlabel{fig:escher-2}{{85}{184}{}{figure.85}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{15}{Volumen und Kr\"ummung auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}}{185}{section.15}}
\newlabel{section:integration-riemannschen-untermannigfaltigkeiten}{{15.1}{185}{Volumen auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}{subsection.15.1}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{15.1}{Volumen auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}}{185}{subsection.15.1}}
\newlabel{def:integral-riemannsche-untermanigfaltigkeit}{{15.1}{185}{Volumen auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}{subsection.15.1}{}}
\newlabel{satz:isometrie-gleiches-volumen}{{15.1}{185}{}{theorem.15.1}{}}
\newlabel{beispiel:volumen-vertikaler-streifen}{{15.1}{186}{}{Item.362}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {86}{\ignorespaces }}{186}{figure.86}}
\newlabel{fig:volumen-vertikaler-streifen}{{86}{186}{}{figure.86}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{15.2}{Winkel und Dreiecke auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}}{187}{subsection.15.2}}
\newlabel{lem:isometrien-winkelerhaltend}{{15.2}{188}{}{theorem.15.2}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {87}{\ignorespaces Beispiele von Strecken in $\mathbb  {E}^2$, $\mathbb  {S}^2$ und $\mathbb  {H}$.}}{188}{figure.87}}
\newlabel{fig:beispiele-von-strecken}{{87}{188}{Beispiele von Strecken in $\E ^2$, $\S ^2$ und $\H $}{figure.87}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {88}{\ignorespaces }}{189}{figure.88}}
\newlabel{fig:beispiele-von-dreiecken}{{88}{189}{}{figure.88}{}}
\newlabel{satz:flaecheninhalt-dreieck-s2}{{15.3}{189}{}{theorem.15.3}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {89}{\ignorespaces }}{190}{figure.89}}
\newlabel{fig:dreieck-s2}{{89}{190}{}{figure.89}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {90}{\ignorespaces Ein Zweieck mit Innenwinkel $\alpha $ auf~$S^2$. }}{190}{figure.90}}
\newlabel{fig:zweieck}{{90}{190}{Ein Zweieck mit Innenwinkel $\alpha $ auf~$S^2$}{figure.90}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {91}{\ignorespaces }}{191}{figure.91}}
\newlabel{fig:acht-dreiecke}{{91}{191}{}{figure.91}{}}
\newlabel{satz:flaecheninhalt-dreieck-h}{{15.4}{191}{}{theorem.15.4}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {92}{\ignorespaces }}{192}{figure.92}}
\newlabel{fig:ideales-dreieck}{{92}{192}{}{figure.92}{}}
\newlabel{lem:ideales-dreieck}{{15.5}{192}{}{theorem.15.5}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {93}{\ignorespaces }}{193}{figure.93}}
\newlabel{fig:volumen-ideales-dreieck}{{93}{193}{}{figure.93}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {94}{\ignorespaces }}{193}{figure.94}}
\newlabel{fig:volumen-hyperbolisches-dreieck}{{94}{193}{}{figure.94}{}}
\newlabel{satz:sws-hyperbolisch}{{15.6}{193}{}{theorem.15.6}{}}
\newlabel{section:kruemmung-riemannsche-untermannigfaltigkeiten}{{15.3}{194}{Kr\"ummung auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}{subsection.15.3}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{15.3}{Kr\"ummung auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}}{194}{subsection.15.3}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {95}{\ignorespaces }}{195}{figure.95}}
\newlabel{fig:kruemmung-auf-flaechen}{{95}{195}{}{figure.95}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {96}{\ignorespaces }}{195}{figure.96}}
\newlabel{fig:kruemmung-auf-flaechen-2}{{96}{195}{}{figure.96}{}}
\newlabel{def:konstante-kruemmung-untermannigfaltigkeiten}{{15.3}{195}{}{figure.96}{}}
\newlabel{bsp:zylinder-kruemmung-0}{{3}{196}{}{Item.392}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {97}{\ignorespaces }}{196}{figure.97}}
\newlabel{fig:kruemmung-auf-zylinder}{{97}{196}{}{figure.97}{}}
\newlabel{frage:kruemmung-auf-flaechen}{{15.3}{196}{}{figure.97}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{16}{Topologische R\"aume II}}{197}{section.16}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {98}{\ignorespaces }}{197}{figure.98}}
\newlabel{fig:flaeche-geschlecht-g}{{98}{197}{}{figure.98}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{16.1}{Definition eines topologischen Raums und Beispiele}}{197}{subsection.16.1}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{16.2}{Basis einer Topologie}}{198}{subsection.16.2}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {99}{\ignorespaces Schematisches Bild f\"ur die Basiseigenschaft (B2).}}{198}{figure.99}}
\newlabel{lem:basiseigenschaft-erzeugt-topologie}{{16.1}{198}{}{theorem.16.1}{}}
\newlabel{def:basis-der-topologie}{{16.2}{198}{Basis einer Topologie}{theorem.16.1}{}}
\newlabel{lem:induziertetopologie}{{16.2}{199}{}{theorem.16.2}{}}
\newlabel{lem:stetigbasis}{{16.3}{199}{}{theorem.16.3}{}}
\newlabel{lem:kritbasis}{{16.4}{200}{}{theorem.16.4}{}}
\newlabel{beispiel:quader-erzeugen-topologie}{{16.2}{200}{}{theorem.16.4}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {100}{\ignorespaces }}{200}{figure.100}}
\newlabel{fig:offene-rechtecke-basis-der-topologie}{{100}{200}{}{figure.100}{}}
\newlabel{lem:basiseinschrankung}{{16.5}{201}{}{theorem.16.5}{}}
\newlabel{beispiel:basis-topologie-s1}{{1}{201}{}{Item.395}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{16.3}{Das Produkt von topologischen R\"aumen}}{202}{subsection.16.3}}
\newlabel{lem:quader-bilden-basis}{{16.7}{202}{}{theorem.16.7}{}}
\newlabel{lem:produkt-hausdorff}{{16.8}{203}{}{theorem.16.8}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {101}{\ignorespaces Skizzen zum Beweis von Lemma~\ref  {lem:produkt-hausdorff}.}}{203}{figure.101}}
\newlabel{fig:produkt-hausdorff}{{101}{203}{Skizzen zum Beweis von Lemma~\ref {lem:produkt-hausdorff}}{figure.101}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {102}{\ignorespaces Der Torus $T$ in $\mathbb  {R}^3$.}}{204}{figure.102}}
\newlabel{fig:untermannigfaltigkeit-torus-2}{{102}{204}{Der Torus $T$ in $\R ^3$}{figure.102}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{17}{Quotientenr\"aume}}{205}{section.17}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{17.1}{\"Aquivalenzrelationen}}{205}{subsection.17.1}}
\newlabel{lem:equivclass}{{17.1}{206}{}{theorem.17.1}{}}
\newlabel{section:quotiententopologie}{{17.2}{206}{Die Quotiententopologie}{subsection.17.2}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{17.2}{Die Quotiententopologie}}{206}{subsection.17.2}}
\newlabel{lem:projektionstetig}{{17.2}{207}{}{theorem.17.2}{}}
\newlabel{def:abbildung-offen}{{17.2}{207}{}{theorem.17.2}{}}
\newlabel{lem:basis-der-topologie-quotientenraum}{{17.3}{207}{}{theorem.17.3}{}}
\newlabel{lem:induzierteabbildung}{{17.4}{208}{}{theorem.17.4}{}}
\newlabel{bsp:rz-homoomorph-zu-s1}{{17.2}{209}{}{Item.404}{}}
\newlabel{section:zylinderetal}{{17.3}{209}{Beispiele: Zylinder, Torus, das M\"obius Band und die Kleinsche Flasche}{subsection.17.3}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{17.3}{Beispiele: Zylinder, Torus, das M\"obius Band und die Kleinsche Flasche}}{209}{subsection.17.3}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {103}{\ignorespaces }}{210}{figure.103}}
\newlabel{fig:quotient-scheibe-ist-sphaere}{{103}{210}{}{figure.103}{}}
\newlabel{bsp:annulus-homoeomorph}{{17.3}{210}{Beispiele: Zylinder, Torus, das M\"obius Band und die Kleinsche Flasche}{figure.104}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {104}{\ignorespaces Verkleben von zwei Seiten eines Quadrats ergibt einen Zylinder.}}{211}{figure.104}}
\newlabel{fig:zylinder}{{104}{211}{Verkleben von zwei Seiten eines Quadrats ergibt einen Zylinder}{figure.104}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {105}{\ignorespaces }}{211}{figure.105}}
\newlabel{fig:pacman}{{105}{211}{}{figure.105}{}}
\newlabel{def:moebiusband}{{17.3}{211}{Beispiele: Zylinder, Torus, das M\"obius Band und die Kleinsche Flasche}{figure.105}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {106}{\ignorespaces Das M\"obiusband.}}{211}{figure.106}}
\newlabel{fig:mobius}{{106}{211}{Das M\"obiusband}{figure.106}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {107}{\ignorespaces Verkleben von den gegen\"uberliegenden Kanten eines Quadrats ergibt einen Torus.}}{212}{figure.107}}
\newlabel{fig:torus}{{107}{212}{Verkleben von den gegen\"uberliegenden Kanten eines Quadrats ergibt einen Torus}{figure.107}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {108}{\ignorespaces Die Definition der Kleinschen Flasche.}}{213}{figure.108}}
\newlabel{fig:klein}{{108}{213}{Die Definition der Kleinschen Flasche}{figure.108}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {109}{\ignorespaces Die Kleinsche Flasche kann nicht als Teilmenge von $\mathbb  {R}^3$ dargestellt werden.}}{213}{figure.109}}
\newlabel{fig:kleinsche-flasche}{{109}{213}{Die Kleinsche Flasche kann nicht als Teilmenge von $\R ^3$ dargestellt werden}{figure.109}{}}
\newlabel{kapitel:flaeche-geschlecht-2}{{17.4}{213}{Beispiele: Fl\"achen von h\"oherem Geschlecht}{subsection.17.4}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{17.4}{Beispiele: Fl\"achen von h\"oherem Geschlecht}}{213}{subsection.17.4}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {110}{\ignorespaces Die Kleinsche Flasche kann jedoch als Teilmenge von $\mathbb  {R}^4$ aufgefasst werden.}}{214}{figure.110}}
\newlabel{fig:kleinsche-flasche-r4}{{110}{214}{Die Kleinsche Flasche kann jedoch als Teilmenge von $\R ^4$ aufgefasst werden}{figure.110}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {111}{\ignorespaces }}{214}{figure.111}}
\newlabel{fig:torus-ohne-scheibe}{{111}{214}{}{figure.111}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {112}{\ignorespaces Die Fl\"ache von Geschlecht 2.}}{214}{figure.112}}
\newlabel{fig:flaeche}{{112}{214}{Die Fl\"ache von Geschlecht 2}{figure.112}{}}
\newlabel{def:flaeche-geschlecht-2}{{17.4}{215}{Beispiele: Fl\"achen von h\"oherem Geschlecht}{figure.112}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {113}{\ignorespaces Jeweils zwei Kanten werden mithilfe einer Spiegelung identifiziert.}}{215}{figure.113}}
\newlabel{fig:flaeche-relationen}{{113}{215}{Jeweils zwei Kanten werden mithilfe einer Spiegelung identifiziert}{figure.113}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {114}{\ignorespaces Die Fl\"ache von Geschlecht drei.}}{216}{figure.114}}
\newlabel{fig:flaeche-geschlecht-drei}{{114}{216}{Die Fl\"ache von Geschlecht drei}{figure.114}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{18}{Topologische Mannigfaltigkeiten}}{217}{section.18}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{18.1}{Zweitabz\"ahlbare topologische R\"aume}}{217}{subsection.18.1}}
\newlabel{lem:teilmenge-von-rn-zweitabzahlbar}{{18.1}{217}{}{theorem.18.1}{}}
\newlabel{lem:produkt-zweitabzaehlbar}{{18.2}{217}{}{theorem.18.2}{}}
\newlabel{lem:quotient-zweitabzaehlbar}{{18.3}{217}{}{theorem.18.3}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{18.2}{Definition von topologischen Mannigfaltigkeiten}}{218}{subsection.18.2}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {115}{\ignorespaces }}{218}{figure.115}}
\newlabel{fig:verschiedene-karten}{{115}{218}{}{figure.115}{}}
\newlabel{lem:mobiusband-mannigfaltigkeit}{{18.4}{219}{}{theorem.18.4}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {116}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Lemma~\ref  {lem:mobiusband-mannigfaltigkeit}: 1.\ Fall}}{220}{figure.116}}
\newlabel{section:operationen}{{18.3}{220}{Gruppenoperationen}{subsection.18.3}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{18.3}{Gruppenoperationen}}{220}{subsection.18.3}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {117}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Lemma~\ref  {lem:mobiusband-mannigfaltigkeit}: 2.\ Fall.}}{221}{figure.117}}
\newlabel{lem:gaction}{{18.5}{222}{}{theorem.18.5}{}}
\newlabel{lem:quotienten-disjunkt}{{18.6}{222}{}{theorem.18.6}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{18.4}{Stetige Operationen}}{222}{subsection.18.4}}
\newlabel{bsp:gruppenoperationen-auf-mannigfaltigkeiten}{{18.4}{222}{}{subsection.18.4}{}}
\newlabel{lem:stetige-operation-homoomorphismus}{{18.7}{224}{}{theorem.18.7}{}}
\newlabel{satz:eigentliche-operation-hausdorff}{{18.8}{226}{}{theorem.18.8}{}}
\newlabel{lem:projektionstetigoffen}{{18.9}{226}{}{theorem.18.9}{}}
\newlabel{lem:umgebungen-eigentliche-operation}{{18.10}{226}{}{theorem.18.10}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {118}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Lemma~\ref  {lem:umgebungen-eigentliche-operation} mit $I=\{1,\dots  ,r\}$.}}{227}{figure.118}}
\newlabel{section:gruppenoperation}{{18.5}{228}{Gruppenoperationen auf topologischen Mannigfaltigkeiten}{subsection.18.5}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{18.5}{Gruppenoperationen auf topologischen Mannigfaltigkeiten}}{228}{subsection.18.5}}
\newlabel{satz:quotientmfd}{{18.11}{228}{}{theorem.18.11}{}}
\newlabel{lem:eigentlich-frei-impliziert-diskret}{{18.12}{228}{}{theorem.18.12}{}}
\newlabel{lem:projektion-homoomorphismus}{{18.13}{228}{}{theorem.18.13}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {119}{\ignorespaces Schematische Skizze f\"ur den Beweis von Satz~\ref  {satz:quotientmfd}.}}{229}{figure.119}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{19}{Mannigfaltigkeiten}}{231}{section.19}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{19.1}{Definition und Beispiele von Mannigfaltigkeiten}}{231}{subsection.19.1}}
\newlabel{lem:mobiusband-glatte-mannigfaltigkeit}{{19.1}{232}{}{theorem.19.1}{}}
\newlabel{fussnote:untermannigfaltigkeit-ist-mannigfaltigkeit}{{233}{232}{}{Hfootnote.233}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {120}{\ignorespaces Schematische Skizze f\"ur den Beweis von Lemma~\ref  {lem:mobiusband-glatte-mannigfaltigkeit}.}}{233}{figure.120}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {121}{\ignorespaces Schematische Skizze f\"ur die Definition von glatten Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten.}}{234}{figure.121}}
\newlabel{satz:quotientmfdsmooth}{{19.2}{235}{}{theorem.19.2}{}}
\newlabel{satz:quotient-lokaler-diffeomorphismus}{{19.2}{235}{}{theorem.19.2}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{19.2}{Untermannigfaltigkeiten und Produkte von Mannigfaltigkeiten}}{235}{subsection.19.2}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {122}{\ignorespaces Jeder Gro\ss kreis ist eine Untermannigfaltigkeit von $S^2$.}}{236}{figure.122}}
\newlabel{fig:untermannigfaltigkeit-von-s2}{{122}{236}{Jeder Gro\ss kreis ist eine Untermannigfaltigkeit von $S^2$}{figure.122}{}}
\newlabel{lem:produkt-mannigfaltigkeiten}{{19.3}{236}{}{theorem.19.3}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{19.3}{Die Fl\"ache von Geschlecht 2 als Mannigfaltigkeit}}{237}{subsection.19.3}}
\newlabel{satz:flaeche-mannigfaltigkeit}{{19.4}{237}{}{theorem.19.4}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {123}{\ignorespaces }}{237}{figure.123}}
\newlabel{fig:flaeche-geschlecht-2}{{123}{237}{}{figure.123}{}}
\newlabel{bem:karten-fuer-e8-1}{{19.3}{238}{Die Fl\"ache von Geschlecht 2 als Mannigfaltigkeit}{figure.123}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {124}{\ignorespaces Karte vom 1.\ Typ f\"ur einen Punkt im Inneren von $E_8$.}}{238}{figure.124}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {125}{\ignorespaces Karte vom 2.\ Typ f\"ur einen Punkt im Inneren einer Kante von $E_8$.}}{239}{figure.125}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {126}{\ignorespaces Karte vom 3.\ Typ f\"ur einen Eckpunkt von $E_8$.}}{239}{figure.126}}
\newlabel{fig:karte3}{{126}{239}{Karte vom 3.\ Typ f\"ur einen Eckpunkt von $E_8$}{figure.126}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{20}{Riemannsche Mannigfaltigkeiten}}{241}{section.20}}
\newlabel{bem:motivation-riemansche-mannigfaltigkeiten}{{2}{241}{Riemannsche Mannigfaltigkeiten}{Item.461}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{20.1}{Der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit}}{241}{subsection.20.1}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {127}{\ignorespaces \"Aquivalenz von Kurven auf einer Mannigfaltigkeit.}}{242}{figure.127}}
\newlabel{fig:aquivalente-kurven-auf-mannigfaltigkeit}{{127}{242}{\"Aquivalenz von Kurven auf einer Mannigfaltigkeit}{figure.127}{}}
\newlabel{lem:aequivalenz-von-kurven}{{20.1}{242}{}{theorem.20.1}{}}
\newlabel{bem:klassischer-abstrakter-tangentialraum}{{20.1}{242}{}{theorem.20.1}{}}
\newlabel{satz:kettenregel-differentiale-mannigfaltigkeiten}{{20.2}{243}{}{theorem.20.2}{}}
\newlabel{lem:addition-von-kurven}{{20.3}{244}{}{theorem.20.3}{}}
\newlabel{lem:differential-ist-linear}{{20.4}{244}{}{theorem.20.4}{}}
\newlabel{kor:tangentialraum-n-dimensional}{{20.5}{244}{}{theorem.20.5}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{20.2}{Riemannsche Mannigfaltigkeiten und Integration von Funktionen}}{245}{subsection.20.2}}
\newlabel{bem:brauchen-zweitabzaehlbar}{{2}{246}{Riemannsche Mannigfaltigkeiten und Integration von Funktionen}{Item.468}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{20.3}{Mannigfaltigkeiten mit Rand}}{246}{subsection.20.3}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {128}{\ignorespaces Das abgeschlossene M\"obiusband.}}{247}{figure.128}}
\newlabel{fig:abgeschlossenes-mobiusband}{{128}{247}{Das abgeschlossene M\"obiusband}{figure.128}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{20.4}{Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten}}{247}{subsection.20.4}}
\newlabel{satz:d-auf-mannigfaltigkeit-kommutiert-mit-varphi}{{20.6}{247}{}{theorem.20.6}{}}
\newlabel{satz:integral-von-k-form-auf-mannigfaltigkeit}{{20.7}{248}{}{theorem.20.7}{}}
\newlabel{satz:stokes-mannigfaltigkeiten}{{20.8}{249}{}{theorem.20.8}{}}
\newlabel{def:g-invariante-formen}{{1}{249}{}{Item.479}{}}
\newlabel{lem:g-invariante-1-formen}{{20.9}{249}{}{theorem.20.9}{}}
\newlabel{beispiel:dx-dy-auf-torus}{{20.4}{249}{}{theorem.20.9}{}}
\newlabel{beispiel:dx-geschlossen}{{20.4}{249}{}{theorem.20.9}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {129}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Lemma~\ref  {lem:g-invariante-1-formen}.}}{250}{figure.129}}
\newlabel{fig:g-invariante-1-formen}{{129}{250}{Skizze zum Beweis von Lemma~\ref {lem:g-invariante-1-formen}}{figure.129}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{21}{Kr\"ummung auf Mannigfaltigkeiten}}{252}{section.21}}
\newlabel{def:laenge-riemannsche-mannigfaltigkeit}{{21}{252}{Kr\"ummung auf Mannigfaltigkeiten}{section.21}{}}
\newlabel{def:laenge-kurve-mit-g-mannigfaltigkeit}{{2}{252}{Kr\"ummung auf Mannigfaltigkeiten}{Item.482}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{21.1}{Kr\"ummung des Raums}}{252}{subsection.21.1}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {130}{\ignorespaces }}{253}{figure.130}}
\newlabel{fig:kruemmung-universum-falsch}{{130}{253}{}{figure.130}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{21.2}{Kr\"ummung von 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten}}{253}{subsection.21.2}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {131}{\ignorespaces }}{254}{figure.131}}
\newlabel{fig:kruemmung-universum-richtig}{{131}{254}{}{figure.131}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {132}{\ignorespaces Quelle: \url  {http://xkcd.com/}}}{254}{figure.132}}
\newlabel{fig:cartoon}{{132}{254}{Quelle: \url {http://xkcd.com/}}{figure.132}{}}
\newlabel{satz:torus-kruemmung-0}{{21.1}{255}{}{theorem.21.1}{}}
\newlabel{lem:g-invariante-riemannsche-metriken}{{21.2}{255}{}{theorem.21.2}{}}
\newlabel{satz:rp-kruemmung-+1}{{21.3}{257}{}{theorem.21.3}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{21.3}{Fl\"achen von h\"oherem Geschlecht}}{257}{subsection.21.3}}
\newlabel{lem:atlasmetrik}{{21.4}{257}{}{theorem.21.4}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{21.4}{Regul\"are $n$-Ecke und hyperbolische Geometrie}}{258}{subsection.21.4}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {133}{\ignorespaces Kartenwechsel f\"ur die Fl\"ache von Geschlecht 2.}}{258}{figure.133}}
\newlabel{fig:karten-wechsel-oktagon}{{133}{258}{Kartenwechsel f\"ur die Fl\"ache von Geschlecht 2}{figure.133}{}}
\newlabel{lem:hypoktagon}{{21.5}{259}{}{theorem.21.5}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {134}{\ignorespaces Hyperbolische Oktagone von verschiedener Gr\"o\ss e.}}{259}{figure.134}}
\newlabel{fig:hyperbolische-oktagone}{{134}{259}{Hyperbolische Oktagone von verschiedener Gr\"o\ss e}{figure.134}{}}
\newlabel{section:hypflaechen}{{21.5}{259}{Hyperbolische Metriken auf Fl\"achen von Geschlecht 2}{subsection.21.5}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{21.5}{Hyperbolische Metriken auf Fl\"achen von Geschlecht 2}}{259}{subsection.21.5}}
\newlabel{satz:flaeche-hyperbolisch}{{21.6}{259}{}{theorem.21.6}{}}
\newlabel{def:tortenstueck}{{2}{260}{}{Item.507}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {135}{\ignorespaces Euklidische und hyperbolische Tortenst\"ucke.}}{260}{figure.135}}
\newlabel{fig:tortenstuecke}{{135}{260}{Euklidische und hyperbolische Tortenst\"ucke}{figure.135}{}}
\newlabel{lem:kongruente-tortenstuecke-r2}{{21.7}{260}{}{theorem.21.7}{}}
\newlabel{lem:kongruente-tortenstuecke}{{21.8}{261}{}{theorem.21.8}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {136}{\ignorespaces Hyperbolisches Oktagon mit Innenwinkel $\frac  {\pi }{4}$ mit identifizierten Seiten.}}{262}{figure.136}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {137}{\ignorespaces Karte f\"ur einen Punkt im Inneren einer Kante von $H_8$.}}{263}{figure.137}}
\newlabel{fig:hyp-oktagon-karte-p2b}{{137}{263}{Karte f\"ur einen Punkt im Inneren einer Kante von $H_8$}{figure.137}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {138}{\ignorespaces }}{263}{figure.138}}
\newlabel{fig:tortenstueck-phi}{{138}{263}{}{figure.138}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {139}{\ignorespaces Karte f\"ur die Projektion der Eckpunkte von $H_8$.}}{264}{figure.139}}
\newlabel{section:hypflaechen-2}{{21.6}{264}{Die Klassifizierung von geschlossenen Fl\"achen}{subsection.21.6}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{21.6}{Die Klassifizierung von geschlossenen Fl\"achen}}{264}{subsection.21.6}}
\newlabel{satz:klassifikation-flaechen}{{21.9}{264}{}{theorem.21.9}{}}
\newlabel{satz:gauss-bonnet}{{21.10}{265}{}{theorem.21.10}{}}
\newlabel{satz:geometrisierung-von-flaechen}{{21.11}{266}{}{theorem.21.11}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{21.7}{Die Geometrie von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten}}{266}{subsection.21.7}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {140}{\ignorespaces }}{267}{figure.140}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{22}{Die de~Rham-Kohomologie von Mannigfaltigkeiten}}{268}{section.22}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{22.1}{Quotientenvektorr\"aume}}{268}{subsection.22.1}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{22.2}{Die Definition der de~Rham-Kohomologie}}{269}{subsection.22.2}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{22.3}{Berechnungen der de~Rham-Kohomologie}}{269}{subsection.22.3}}
\newlabel{lem:kohomologie-null}{{22.2}{270}{}{theorem.22.2}{}}
\newlabel{satz:top-de-rham-kohomologie}{{22.3}{270}{}{theorem.22.3}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {141}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Satz~\ref  {satz:top-de-rham-kohomologie}.}}{271}{figure.141}}
\newlabel{fig:top-de-rham-kohomologie}{{141}{271}{Skizze zum Beweis von Satz~\ref {satz:top-de-rham-kohomologie}}{figure.141}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{22.4}{Die Funktorialit\"at der de~Rham-Kohomologie}}{271}{subsection.22.4}}
\newlabel{satz:induzierte-abbildung-kohomologie}{{22.4}{271}{}{theorem.22.4}{}}
\newlabel{satz:kohomologie-kontravarianter-funktor}{{22.5}{272}{}{theorem.22.5}{}}
\newlabel{korollar:diffeomorphismus-gibt-iso-auf-kohomologie}{{22.6}{272}{}{theorem.22.6}{}}
\newlabel{lem:linksinverses-induziert-injektion}{{22.7}{272}{}{theorem.22.7}{}}
\newlabel{beispiel:h1-torus}{{22.4}{273}{}{theorem.22.7}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{22.5}{Das Dachprodukt auf de~Rham-Kohomologie}}{273}{subsection.22.5}}
\newlabel{satz:dachprodukt-auf-mannigfaltigkeiten}{{22.8}{273}{}{theorem.22.8}{}}
\newlabel{kor:wedge-produkt-auf-mannigfaltigkeit}{{22.9}{273}{}{theorem.22.9}{}}
\newlabel{beispiel:kohomologie-torus}{{22.5}{273}{}{Item.530}{}}
\newlabel{satz:kohomologiering-kontravarianter-funktor}{{22.10}{275}{}{theorem.22.10}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{22.6}{Die Sph\"are und der Torus sind nicht diffeomorph}}{275}{subsection.22.6}}
\newlabel{satz:quaderfoermig}{{22.11}{275}{}{theorem.22.11}{}}
\newlabel{satz:s2-nicht-diffeomorph-t}{{22.12}{276}{}{theorem.22.12}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {142}{\ignorespaces Skizze zum Beweis von Satz~\ref  {satz:s2-nicht-diffeomorph-t}.}}{277}{figure.142}}
\newlabel{fig:s2-nicht-diffeomorph-t}{{142}{277}{Skizze zum Beweis von Satz~\ref {satz:s2-nicht-diffeomorph-t}}{figure.142}{}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{23}{Ausblick}}{278}{section.23}}
