\select@language {ngerman}
\contentsline {section}{\tocsection {}{}{Einleitung}}{4}{section*.2}
\contentsline {section}{\tocsection {}{1}{Topologische R\"aume I}}{5}{section.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{1.1}{Mengentheoretische Begriffe}}{5}{subsection.1.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{1.2}{Metrische R\"aume}}{5}{subsection.1.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{1.3}{Topologische R\"aume}}{7}{subsection.1.3}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{1.4}{Die Teilraumtopologie}}{10}{subsection.1.4}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{1.5}{Abgeschlossene Teilmengen}}{11}{subsection.1.5}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{1.6}{Stetige Abbildungen}}{12}{subsection.1.6}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{1.7}{Hom\"oomorphismen}}{12}{subsection.1.7}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{1.8}{Kompakte topologische R\"aume}}{13}{subsection.1.8}
\contentsline {section}{\tocsection {}{2}{Definition und Beispiele von Untermannigfaltigkeiten}}{17}{section.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{2.1}{Die Definition von Untermannigfaltigkeiten}}{17}{subsection.2.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{2.2}{Untermannigfaltigkeiten und Parametrisierungen}}{21}{subsection.2.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{2.3}{Untermannigfaltigkeiten und Graphen}}{22}{subsection.2.3}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{2.4}{Der Satz vom regul\"aren Wert}}{25}{subsection.2.4}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{2.5}{Differenzierbare Funktionen auf Untermannigfaltigkeiten}}{26}{subsection.2.5}
\contentsline {section}{\tocsection {}{3}{Integration und Untermannigfaltigkeiten}}{28}{section.3}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.1}{Erinnerung: Ma\ss - und Integrationstheorie}}{28}{subsection.3.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.2}{Motivation f\"ur Integrale auf Untermannigfaltigkeiten}}{33}{subsection.3.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.3}{Einschub: Lineare Algebra}}{34}{subsection.3.3}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.4}{Integration auf Untermannigfaltigkeiten I}}{39}{subsection.3.4}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.5}{Integration auf Untermannigfaltigkeiten II}}{41}{subsection.3.5}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.6}{Beispiele}}{43}{subsection.3.6}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.7}{Integration auf Untermannigfaltigkeiten III}}{44}{subsection.3.7}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{3.8}{Das $k$-dimensionale Volumen}}{46}{subsection.3.8}
\contentsline {section}{\tocsection {}{4}{Untermannigfaltigkeiten mit Rand}}{48}{section.4}
\contentsline {section}{\tocsection {}{5}{Zusammenh\"angende topologische R\"aume}}{55}{section.5}
\contentsline {section}{\tocsection {}{6}{Der Gau\ss sche Integralsatz}}{58}{section.6}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{6.1}{Tangentialvektoren zu Untermannigfaltigkeiten}}{58}{subsection.6.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{6.2}{Vektorfelder auf Untermannigfaltigkeiten}}{60}{subsection.6.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{6.3}{Formulierung des Gau\ss schen Integralsatzes}}{65}{subsection.6.3}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{6.4}{Beweis des Gau\ss schen Integralsatzes I: Quader}}{68}{subsection.6.4}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{6.5}{Beweis des Gau\ss schen Integralsatzes II: Stempel}}{69}{subsection.6.5}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{6.6}{Beweis des Gau\ss schen Integralsatzes III: Der allgemeine Fall}}{73}{subsection.6.6}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{6.7}{Der Gau\ss sche Integralsatzes f\"ur Untermannigfaltigkeiten mit Kanten}}{76}{subsection.6.7}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{6.8}{Ausblick}}{79}{subsection.6.8}
\contentsline {section}{\tocsection {}{7}{Kategorien und Funktoren}}{80}{section.7}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{7.1}{Induzierte Abbildungen auf Tangentialr\"aumen}}{80}{subsection.7.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{7.2}{Duale Vektorr\"aume}}{83}{subsection.7.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{7.3}{Kategorien}}{84}{subsection.7.3}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{7.4}{Funktoren}}{86}{subsection.7.4}
\contentsline {section}{\tocsection {}{8}{Differentialformen erster Ordnung}}{90}{section.8}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{8.1}{Definition von Differentialformen erster Ordnung}}{90}{subsection.8.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{8.2}{Integrierbarkeit von 1-Formen}}{97}{subsection.8.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{8.3}{Integration und Parametertransformationen}}{100}{subsection.8.3}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{8.4}{Orientierte eindimensionale Untermannigfaltigkeiten}}{102}{subsection.8.4}
\contentsline {section}{\tocsection {}{9}{Differentialformen h\"oherer Ordnung}}{105}{section.9}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.1}{Motivation}}{105}{subsection.9.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.2}{Alternierende Multilinearformen I: Definition}}{106}{subsection.9.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.3}{Alternierende Multilinearformen II: Das Dachprodukt von Linearformen}}{109}{subsection.9.3}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.4}{Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten}}{113}{subsection.9.4}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.5}{Induzierte Abbildungen}}{114}{subsection.9.5}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.6}{Glatte Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten}}{115}{subsection.9.6}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.7}{Integration von Differentialformen I}}{117}{subsection.9.7}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.8}{Orientierte Vektorr\"aume und Untermannigfaltigkeiten}}{120}{subsection.9.8}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.9}{Integration von Differentialformen II}}{126}{subsection.9.9}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.10}{Integration von Differentialformen III}}{127}{subsection.9.10}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{9.11}{Null-dimensionale Untermannigfaltigkeiten}}{132}{subsection.9.11}
\contentsline {section}{\tocsection {}{10}{Vorbereitungen f\"ur den Satz von Stokes}}{133}{section.10}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{10.1}{Orientierte Untermannigfaltigkeiten mit Rand}}{133}{subsection.10.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{10.2}{Das Differential von Differentialformen}}{136}{subsection.10.2}
\contentsline {section}{\tocsection {}{11}{Der Satz von Stokes}}{145}{section.11}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{11.1}{Formulierung des Satz von Stokes}}{145}{subsection.11.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{11.2}{Beweis vom Satz von Stokes}}{146}{subsection.11.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{11.3}{Der klassische Satz von Stokes und der Satz von Green}}{148}{subsection.11.3}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{11.4}{Anwendung auf holomorphe Funktionen}}{150}{subsection.11.4}
\contentsline {section}{\tocsection {}{12}{L\"ange von Wegen und Geod\"aten}}{153}{section.12}
\contentsline {section}{\tocsection {}{13}{Riemannsche Untermannigfaltigkeiten}}{157}{section.13}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{13.1}{Definition von Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}}{157}{subsection.13.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{13.2}{Geod\"aten auf der Sph\"are}}{167}{subsection.13.2}
\contentsline {section}{\tocsection {}{14}{Hyperbolische Geometrie}}{171}{section.14}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{14.1}{Der hyperbolische Raum}}{171}{subsection.14.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{14.2}{Das Poincar\'e-Model f\"ur den hyperbolischen Raum}}{181}{subsection.14.2}
\contentsline {section}{\tocsection {}{15}{Volumen und Kr\"ummung auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}}{185}{section.15}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{15.1}{Volumen auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}}{185}{subsection.15.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{15.2}{Winkel und Dreiecke auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}}{187}{subsection.15.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{15.3}{Kr\"ummung auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}}{194}{subsection.15.3}
\contentsline {section}{\tocsection {}{16}{Topologische R\"aume II}}{197}{section.16}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{16.1}{Definition eines topologischen Raums und Beispiele}}{197}{subsection.16.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{16.2}{Basis einer Topologie}}{198}{subsection.16.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{16.3}{Das Produkt von topologischen R\"aumen}}{202}{subsection.16.3}
\contentsline {section}{\tocsection {}{17}{Quotientenr\"aume}}{205}{section.17}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{17.1}{\"Aquivalenzrelationen}}{205}{subsection.17.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{17.2}{Die Quotiententopologie}}{206}{subsection.17.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{17.3}{Beispiele: Zylinder, Torus, das M\"obius Band und die Kleinsche Flasche}}{209}{subsection.17.3}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{17.4}{Beispiele: Fl\"achen von h\"oherem Geschlecht}}{213}{subsection.17.4}
\contentsline {section}{\tocsection {}{18}{Topologische Mannigfaltigkeiten}}{217}{section.18}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{18.1}{Zweitabz\"ahlbare topologische R\"aume}}{217}{subsection.18.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{18.2}{Definition von topologischen Mannigfaltigkeiten}}{218}{subsection.18.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{18.3}{Gruppenoperationen}}{220}{subsection.18.3}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{18.4}{Stetige Operationen}}{222}{subsection.18.4}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{18.5}{Gruppenoperationen auf topologischen Mannigfaltigkeiten}}{228}{subsection.18.5}
\contentsline {section}{\tocsection {}{19}{Mannigfaltigkeiten}}{231}{section.19}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{19.1}{Definition und Beispiele von Mannigfaltigkeiten}}{231}{subsection.19.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{19.2}{Untermannigfaltigkeiten und Produkte von Mannigfaltigkeiten}}{235}{subsection.19.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{19.3}{Die Fl\"ache von Geschlecht 2 als Mannigfaltigkeit}}{237}{subsection.19.3}
\contentsline {section}{\tocsection {}{20}{Riemannsche Mannigfaltigkeiten}}{241}{section.20}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{20.1}{Der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit}}{241}{subsection.20.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{20.2}{Riemannsche Mannigfaltigkeiten und Integration von Funktionen}}{245}{subsection.20.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{20.3}{Mannigfaltigkeiten mit Rand}}{246}{subsection.20.3}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{20.4}{Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten}}{247}{subsection.20.4}
\contentsline {section}{\tocsection {}{21}{Kr\"ummung auf Mannigfaltigkeiten}}{252}{section.21}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{21.1}{Kr\"ummung des Raums}}{252}{subsection.21.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{21.2}{Kr\"ummung von 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten}}{253}{subsection.21.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{21.3}{Fl\"achen von h\"oherem Geschlecht}}{257}{subsection.21.3}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{21.4}{Regul\"are $n$-Ecke und hyperbolische Geometrie}}{258}{subsection.21.4}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{21.5}{Hyperbolische Metriken auf Fl\"achen von Geschlecht 2}}{259}{subsection.21.5}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{21.6}{Die Klassifizierung von geschlossenen Fl\"achen}}{264}{subsection.21.6}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{21.7}{Die Geometrie von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten}}{266}{subsection.21.7}
\contentsline {section}{\tocsection {}{22}{Die de~Rham-Kohomologie von Mannigfaltigkeiten}}{268}{section.22}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{22.1}{Quotientenvektorr\"aume}}{268}{subsection.22.1}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{22.2}{Die Definition der de~Rham-Kohomologie}}{269}{subsection.22.2}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{22.3}{Berechnungen der de~Rham-Kohomologie}}{269}{subsection.22.3}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{22.4}{Die Funktorialit\"at der de~Rham-Kohomologie}}{271}{subsection.22.4}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{22.5}{Das Dachprodukt auf de~Rham-Kohomologie}}{273}{subsection.22.5}
\contentsline {subsection}{\tocsubsection {}{22.6}{Die Sph\"are und der Torus sind nicht diffeomorph}}{275}{subsection.22.6}
\contentsline {section}{\tocsection {}{23}{Ausblick}}{278}{section.23}
