% Das Skript ist `open source' in dem Sinne, dass es als Ganzes oder in Teilen beliebig verwendet und abgeaendert werden kann, ohne Verweis auf den Autoren der urspruenglichen Version. Die Abbildungen wurden alle mit winfig erstellt - Stefan Friedl

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\numberwithin{equation}{section}


\begin{document}

\[ \begin{array}{c}\large{\mbox{Analysis~IV}}\end{array} \]



\tableofcontents


\clearpage

%==================================================================
\section*{Einleitung}
In der Analysis~II hatten wir schon den Begriff einer $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ eingef\"uhrt. Vereinfacht gesprochen handelt es sich hierbei um eine ``$k$-dimensionale Teilmenge von $\R^n$''. Beispielsweise ist die Sph\"are $S^2$ eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^3$. In der Analysis~IV Vorlesung wollen wir folgende Themen behandeln:
\begin{enumerate}
\item Das Integral von reellwertigen Funktionen auf Untermannigfaltigkeiten.
\item Die klassischen S\"atze der Vektoranalysis, z.B.\ der Satz von Gau\ss, der Satz von Stokes, und die Verallgemeinerungen auf h\"oher dimensionale Untermannigfaltigkeiten.
\item Den Begriff der Kr\"ummung einer Untermannigfaltigkeit.
\item Die Erweiterung des Begriffs von Untermannigfaltigkeiten von $\R^n$ zu Mannigfaltigkeiten.
\item Wir wollen beweisen, dass die Sph\"are $S^2$ nicht diffeomorph zu einem Torus ist. 
\end{enumerate}


\clearpage
%======================================================
\section{Topologische R\"aume I}
In diesem Kapitel f\"uhren wir den Begriff des topologischen Raumes ein. Diese R\"aume abstrahieren den Begriff von ``offenen'' und ``abgeschlossenen'' Teilmengen. Insbesondere \"ubertragen sich die meisten Definitionen und Aussagen aus der Analysis~II \"uber metrische R\"aume, welche nur mithilfe von offenen Teilmengen eingef\"uhrt wurden, auf topologische R\"aume. Insbesondere macht es Sinn von kompakten topologischen R\"aumen und von stetigen Abbildungen zwischen topologischen R\"aumen zu sprechen.


%==================================================================
\subsection{Mengentheoretische Begriffe}
Bevor wir die topologischen R\"aume ein\-f\"uhren erinnern wir an ein paar grundlegende Definitionen
und Aussagen aus der Mengentheorie:
\begin{enumerate}
\item Wir bezeichnen mit $\emptyset$ die leere Menge.
\item Es sei $X$ eine Menge. Wir  bezeichnen mit
$\mathcal{P}(X)$ die \emph{Potenzmenge von $X$}, d.h.\ die Menge aller Teilmengen von $X$.
\item Es seien $X$ und $Y$ Mengen, dann bezeichnen wir mit
\[ X\times Y:=\{(x,y)\,|\, x\in X, y\in Y\}\]
die Menge aller angeordneter Paare.
\item Es sei $X$ eine Menge.  Eine \emph{Familie $A_i, i\in I$ von Teilmengen} von $X$
besteht aus einer Indexmenge $I$ (z.B.\ $I=\{1,\dots,k\}$ oder $I=\Z$), und einer Teilmenge $A_i\subset X$ f\"ur jedes $i\in I$.
\item Es sei nun $A_i, i\in I$ eine Familie von Teilmengen von $X$, dann gilt
\[ X\setminus  \tmcap{i\in I}{}A_i\,\,=\,\,\tmcup{i\in I}{} (X\setminus A_i)\quad \mbox{ und } \quad
X\setminus  \tmcup{i\in I}{}A_i\,\,=\,\,\tmcap{i\in I}{} (X\setminus A_i). \]
Diese Aussagen werden manchmal die ``de Morgansche Gesetze'' genannt.
\item Es seien $A,B\subset X$ zwei Teilmengen. Wir sagen $A$ und $B$ sind \emph{disjunkt}, wenn sich $A$ und $B$ nicht schneiden, d.h.\ wenn $A\cap B=\emptyset$.
\item Es sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung, dann gilt:
\[ \begin{array}{rcll} \hspace{3cm}U&\supset&f(f^{-1}(U)) &\mbox{ f\"ur  jede Teilmenge $U\subset Y$} \\
 U&=&f(f^{-1}(U)) &\mbox{ f\"ur  jede Teilmenge $U\subset Y$, wenn $f$ surjektiv} \\
U&\subset& f^{-1}(f(U)) &\mbox{ f\"ur jede  Teilmenge $U\subset X$} \\
f^{-1}\Big(\ttmcup{i\in I}{}U_i\Big)&=&\tmcup{i\in I}{}f^{-1}(U_i) &\mbox{ f\"ur Teilmengen $U_i\in Y, i\in I$}\\
f\Big(\ttmcup{i\in I}{}U_i\Big)&=&\tmcup{i\in I}{}f(U_i) &\mbox{ f\"ur Teilmengen $U_i\in X, i\in I$}.\end{array} \]
\end{enumerate}

%==================================================================
\subsection{Metrische R\"aume}

Wir hatten die metrischen R\"aume schon in Analysis~II eingef\"uhrt und behandelt.
Wir erinnern noch einmal kurz an die Definition:

\begin{definition}
Ein \emph{metrischer Raum} ist ein Paar $(X,d)$
bestehend aus einer Menge $X$ und einer \emph{Metrik} $d$ auf $X$, d.h.\ einer  Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} X\times X&\to &\R_{\geq 0}:=\{x\in \R\,|\,x\geq 0\}, \\
(x,y)&\mapsto &d(x,y),\end{array} \]
mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $d(x,y)=0$ genau dann, wenn $x=y$,
\item f\"ur alle $x,y\in X$ gilt
\[ \hspace{0.3cm} d(x,y)\,\,=\,\,d(y,x)\hspace{2.7cm} \mbox{(Symmetrie)}\]
\item f\"ur alle $x,y,z\in X$ gilt
\[ \hspace{2.2cm}d(x,z)\,\,\leq\,\, d(x,y)+d(y,z) \hspace{1cm} \mbox{(Dreiecksungleichung)}.\]
\end{enumerate}
Wir nennen $d(x,y)$ manchmal den \emph{Abstand von $x$ zu $y$}.
\end{definition}

Das vielleicht wichtigste Beispiel eines metrischen Raumes ist gegeben durch  $X=\R^n$ mit der euklidischen Metrik, d.h.\ mit der Metrik, welche definiert ist durch
\[ \begin{array}{rl} d(x,y)\,\,=\,\,\|x-y\|&=\,\,\sqrt{\ttmsum{i=1}{n} (x_i-y_i)^2}.\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-2.4cm}\mfbox{wie \"ublich bezeichnen wir f\"ur $a\in \R^n$}\\[-0.1cm]
&\hspace{-2.1cm}\mfbox{die Koordinaten mit $a_1,\dots,a_n$}\end{array}\]
Wenn wir nichts anderes schreiben, dann betrachten wir $\R^n$ als metrischen Raum bez\"uglich der euklidischen Metrik.

\begin{definition}
Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
\begin{enumerate}
\item Es sei $x\in X$ und $r\in \R$. Wir bezeichen
\[ B_r(x)\,:=\,\{y\in X\,|\, d(x,y)<r \}\]
als die \emph{offene $r$-Kugel um $x$}.
\item
Eine Teilmenge $U\subset X$ hei\ss t \emph{offen}, wenn es zu jedem $x\in U$ ein $r>0$ gibt, so dass $B_r(x)$ noch in $U$ enthalten ist.
\item Wir sagen $A\subset X$ ist \emph{abgeschlossen}, wenn $X\setminus A$ offen ist.
\end{enumerate}
\end{definition}

Mithilfe der Definitionen kann man leicht folgendes Lemma beweisen, welches wir schon als Lemma~1.7 aus der Analysis~II kennen. 


\begin{lemma}\label{lem:metrikoffen}
Es sei $X$ ein metrischer Raum. Dann gilt
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item $\emptyset$ und $X$ sind offen,
\item der Schnitt endlich vieler offener Mengen ist wiederum offen, d.h.\ es gilt
\[ U_1,\dots, U_k\mbox{ offen} \quad \Longrightarrow \quad U_1\cap \dots \cap U_k\mbox{ ist offen},\]
\item die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist wiederum offen, d.h.\ es gilt
\[ U_i, i\in I \mbox{ offen}\quad \Longrightarrow \quad\tmcup{i\in I}{}U_i\mbox{ ist offen.}\hspace{1.1cm}\]
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{definition}
Es sei  $f\colon X\to Y$ eine Abbildung zwischen metrischen R\"aumen. Wir sagen $f$ ist \emph{stetig}, wenn gilt\footnote{Wenn nichts anderes angegeben ist, dann wird die Metrik immer mit $d$ bezeichnet, d.h.\ ``Es sei $X$ ein metrischer Raum'' ist kurz f\"ur ``Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum''.}
\[  \underset{x\in X}{\bigforall}\,\, \underset{\epsilon>0}{\bigforall}\,\,\underset{\delta>0}{\bigexists}
\,\,\underset{y\in B_\delta(x)}{\bigforall}d(f(x),f(y)) <\epsilon.\]
\end{definition}

Diese Definition der Stetigkeit ist eine Verallgemeinerung der ``$\epsilon-\delta$''-Definition von Stetigkeit f\"ur Funktionen auf $\R$.

Mit der  Definition von offenen Mengen k\"onnen wir nun folgenden Satz formulieren:

\begin{satz}\label{satz:defstetigmetrik}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung zwischen zwei metrischen R\"aumen. Dann gilt:\footnote{Man kann die Aussage noch etwas knackiger formulieren: $f$ ist stetig genau dann, wenn das Urbild jeder offenen Menge wiederum offen ist.}
\[ \begin{array}{ll} &\mbox{$f$ ist stetig} \\
\Longleftrightarrow &\mbox{f\"ur jede offene Menge $U$ in $Y$  ist $f^{-1}(U)$  offen in $X$}\\
\Longleftrightarrow &\mbox{f\"ur jede abgeschlossene  Menge $A$ in $Y$ ist  $f^{-1}(A)$ abgeschlossen in $X$.}
\end{array} \]
\end{satz}

Dieser Satz wurde als Satz 2.8 in Analysis~II formuliert. Der Beweis war eine \"Ubungs\-auf\-gabe in Analysis~II, und ist jetzt wiederum eine (weiterhin sehr sinnvolle) \"Ubungs\-auf\-gabe.

Die Formulierung von Stetigkeit mit offenen Mengen kann man sich nicht nur leichter merken als die ``$\epsilon-\delta$''-Definition, diese Umformulierung erleichtert  auch  das Beweisen vieler Aussagen.
Beispielsweise l\"a\ss t sich folgendes Lemma jetzt ganz einfach beweisen:



\begin{lemma}\label{lem:fgstetig}
Es seien $f\colon X\to Y$  und $g\colon Y\to Z$ stetige Abbildungen zwischen metrischen R\"aumen.
Dann ist die Verkn\"upfung $g\circ f\colon X\to Z$ ebenfalls stetig.
\end{lemma}




\begin{proof}
Aus Satz~\ref{satz:defstetigmetrik} folgt, dass es gen\"ugt zu zeigen, dass f\"ur jede offene Teilmenge $U\subset Z$ auch das Urbild $(g\circ f)^{-1}(U)\subset X$ offen ist.
Es sei also $U\subset Z$ offen. Dann gilt
\[ \begin{array}{rll} (g\circ f)^{-1}(U)\,\,=\,\,f^{-1}(g^{-1}(U))&=\,\,f^{-1}(\mbox{der offenen Menge  $g^{-1}(U)$})&=\,\,\mbox{offen}.\\
&\uparrow &\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{-1cm}\mfbox{denn $g$ ist stetig und $U$ ist offen}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $f$ ist stetig}.\end{array}\vspace{-0.7cm}\]
\end{proof}


%==================================================================
\subsection{Topologische R\"aume}

Wir betrachten jetzt die sogenannten topologischen R\"aume. Diese kann man als eine Verallgemeinerung des Begriffes des metrischen Raumes auffassen.


\begin{definition}
Ein \emph{topologischer Raum} ist ein Paar $(X,\mathcal{T})$,
wobei $X$ eine Menge ist und $\mathcal{T}$ eine \emph{Topologie auf $X$}, d.h.\ $\mathcal{T}$ ist eine Menge von Teilmengen von $X$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item die leere Menge und die ganze Menge $X$ sind in $\mathcal{T}$ enthalten,
\item der Durchschnitt von \emph{endlich vielen} Mengen in $\mathcal{T}$ ist wiederum eine Menge in $\mathcal{T}$,
\item die Vereinigung  von \emph{beliebig vielen} Mengen in $\mathcal{T}$ ist wiederum eine Menge in $\mathcal{T}$.
\end{enumerate}
Die Mengen in $\mathcal{T}$ werden \emph{offen} genannt.
\end{definition}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[(A)] Wenn $(X,d)$ ein metrischer Raum ist, dann folgt aus Lemma~\ref{lem:metrikoffen}, dass
\[ \mathcal{T}\,\,:=\,\,\mbox{alle offenen Teilmengen von $(X,d)$}\]
eine Topologie auf $X$ ist. Insbesondere betrachten wir den $\R^n$ mit der \"ublichen Topologie, au\ss er wir geben explizit eine andere Topologie an.\footnote{Dieses Beispiel ist wohl das urspr\"ungliche Beispiel f\"ur einen topologischen Raum und erkl\"art auch, warum Mengen in einer Topologie ``offen'' genannt werden.}
\item[(B)] Es sei $X$ eine Menge, dann ist $\mathcal{T}=\{\emptyset,X\}$ eine Topologie auf $X$. Diese Topologie wird manchmal die \emph{triviale Topologie auf $X$} genannt.
\item[(C)] Es sei $X$ eine Menge und $\mathcal{T}$ die Menge aller Teilmengen von $X$. Dann ist $\mathcal{T}$ eine Topologie auf $X$. Die Topologie wird oft auch als die \emph{diskrete Topologie auf $X$} bezeichnet.
\item[(D)] Es sei $X=\R$ und es sei $\mathcal{T}$ wie folgt definiert:
     \[ \hspace{1cm}\begin{array}{rcl} U\in \mathcal{T} &:\Longleftrightarrow &\begin{array}{l}\mbox{entweder ist $U=\emptyset$, oder}\\
     \mbox{$U$ ist das Komplement von endlich vielen Punkten in $\R$.}\end{array} \end{array} \]
Beispielsweise liegen $\emptyset, \R\setminus \{\pi\}, \R\setminus \{-1,\sqrt{2}\}$ aber auch $\R$ (als Komplement von null Punkten) in $\mathcal{T}$. Es folgt nun leicht aus den ``Rechenregeln'' f\"ur die Mengenlehre, dass  $\mathcal{T}$ eine Topologie auf $X=\R$ ist.
\item[(E)] 
Wir betrachten die Menge
\[ X\,\,:=\,\,\R\cup \{\infty\},\]
d.h.\ $X$ besteht aus $\R$ und einem weiteren Punkt $\infty$.
Wir sagen $U\subset X$ ist offen\footnote{Wenn wir eine Topologie spezifizieren wollen, m\"ussen wir also festlegen, welche Teilmengen ``offen'' genannt werden sollen.}, wenn die beiden folgenden  Bedingungen erf\"ullt sind:
\begin{enumerate}
\item zu jedem Punkt $x\in U\cap \R$ existiert ein $\epsilon>0$, so dass $(x-\epsilon,x+\epsilon)\subset U$,
\item wenn $\infty\in U$, dann gibt es ein $C>0$, so dass $(-\infty,-C)\cup (C,\infty)\subset U$.
\end{enumerate}
Wir bezeichnen diesen topologischen Raum als die ``Gerade mit einem Punkt im Unendlichen''.
\label{beispiel:gerade-mit-punkt-im-unendlichen}
In \"Ubungs\-blatt 1 werden wir wiederum sehen, dass dies in der Tat eine Topologie auf $X$ definiert.
\item[(F)] \label{beispiel:gerade-mit-zwei-nullen}
Wir betrachten die Menge
\[ X\,\,:=\,\,\R\cup \{*\},\]
d.h.\ $X$ besteht aus $\R$ und einem weiteren Punkt $*$.
Wir sagen $U\subset X$ ist offen, wenn gilt:
\begin{enumerate}
\item zu jedem Punkt $x\in U\cap \R$ existiert ein $\epsilon>0$, so dass $(x-\epsilon,x+\epsilon)\subset U$,
\item wenn $*\in U$, dann gibt es ein $\epsilon>0$, so dass $(-\epsilon,0)\cup (0,\epsilon)\subset U$.
\end{enumerate}
In \"Ubungs\-blatt 1 werden wir sehen, dass dies in der Tat eine Topologie auf $X$ definiert. Wir bezeichnen diesen topologischen Raum als ``Gerade mit zwei Nullen''.\footnote{Der etwas eigenwillige Name ``Gerade mit zwei Nullen'' r\"uhrt daher, dass $0$ und $*$ die gleiche Rolle spielen. Formaler ausgedr\"uckt, die Abbildung, welche $0$ und $*$ vertauscht, ist ein Hom\"oomorphismus. }
\item[(G)] Es sei $\K$ ein K\"orper  (z.B.\ $\K=\R$, $\K=\C$ oder $\K=\F_p$, d.h.\ der K\"orper mit $p$ Elementen, wobei $p$ eine Primzahl ist).
 Wir betrachten
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5cm}\K^2&=&\{(x,y)\,|\,x,y\in \K\}.
\intertext{F\"ur eine Menge  $\mathcal{F}=\{f_1(x,y),\dots,f_k(x,y)\}$ von Polynomen  definieren wir die \emph{Verschwindungsmenge}}
 V(f_1,\dots,f_k)&:=&\{ (x,y)\in \K^2\,|\, f_1(x,y)=\dots=f_k(x,y)=0\}.\end{array} \end{align*}
Wir definieren nun eine Topologie of $\K^2$ wie folgt:
    \[  \hspace{0.95cm} U\subset \K^2 \mbox{ ist offen}\quad :\Longleftrightarrow \quad
    \begin{array}{c}\mbox{es gibt Polynome $f_1(x,y),\dots,f_k(x,y)$, so}\\
    \mbox{dass $U=\K^2\setminus V(f_1(x,y),\dots,f_k(x,y))$.}\end{array}  \]
    Dann ist $\mathcal{T}$ eine Topologie auf $X=\K^2$. Wir \"uberlassen den Beweis dieser Aussage als freiwillige \"Ubungs\-auf\-gabe.\footnote{In dem Beweis ben\"otigt man, dass der Ring $\K[x,y]$ noethersch ist, d.h.\ dass jedes Ideal in $\K[x,y]$ schon von endlich vielen Polynomen erzeugt wird. Diese Aussage wird in der (kommutativen) Algebra-Vorlesung bewiesen.} Diese Topologie
    wird die \emph{Zariski-Topologie\footnote{Oskar Zariski (1899-1986) war ein amerikanischer Mathematiker.} auf $\K^2$} genannt, und ist ein zentrales Objekt der ``algebraischen Geometrie''. Die Mengen in der Zariski-Topologie werden oft \emph{Zariski-offen} genannt.
    
   F\"ur $\K=\R$ ist jede Zariski-offene Menge auch offen im \"ublichen Sinne, aber die Umkehrung gilt nicht. F\"ur $\K=\F_p$ erhalten wir nun einen Begriff von Offenheit, welcher wenig mit Anschauung zu tun hat, aber trotzdem sehr hilfreich ist.
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition}
Es sei $(X,\mathcal{T})$ ein topologischer Raum und es sei  $A\subset X$ eine Teilmenge. Wir sagen $U\subset X$ ist ein  \emph{Umgebung von $A$}, falls es eine offene Menge $V$ gibt, so dass $A\subset V\subset U$. Wir sagen $U$ ist eine \emph{offene Umgebung von $A$}, wenn $U$ zudem offen ist. 
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{umgebung.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:umgebung}
\end{center}
\end{figure}

\begin{beispiele}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item 
Wir betrachten die Teilmenge $A=[-1,1]\times \{0\}$ von dem topologischen Raum $\R^2$. Eine offene Umgebung von $X$ ist dann beispielsweise gegeben durch die offene Scheibe $B_2(0)$.
\item Es sei $X$ die Gerade mit einem Punkt im Unendlichen. Dann ist f\"ur jedes $C>0$ die Menge $\{\infty\}\cup (-\infty,-C)\cup (C,\infty)$ eine offene Umgebung von $\infty$.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}
Ein topologischer Raum hei\ss t \emph{Hausdorff}, wenn es zu zwei verschiedenen Punkten $x\ne y$ disjunkte offene Umgebungen $U$ von $x$ und $V$ von $y$ gibt.
\end{definition}



\begin{beispiel}
Wir wollen nun \"uberpr\"ufen, ob die obigen Beispiele Hausdorff sind:
\begin{enumerate}
\item[(A)] Wir hatten schon in Analysis~II Satz~1.8 gesehen, dass der einem metrischen Raum $(X,d)$ zugeordnete topologische Raum Hausdorff ist. In der Tat, denn f\"ur $x\ne y$ setzen wir $r=d(x,y)$, dann sind $B_{\frac{r}{2}}(x)$ und $B_{\frac{r}{2}}(y)$ disjunkte offene Umgebungen von $x$ und $y$.\label{bem:metrischer-raum-hausdorff}
\item[(B)] Wenn $X$ mindestens zwei Elemente besitzt, dann ist $(X,\mathcal{T})$ nicht Hausdorff.
\item[(C)] Diese Topologie ist Hausdorff, denn, f\"ur gegebene $x\ne y$ k\"onnen wir $U=\{x\}$ und $V=\{y\}$ w\"ahlen.
\item[(D)] Diese Topologie ist nicht Hausdorff, denn die Schnittmenge von zwei nichtleeren offenen Mengen in $(X,\mathcal{T})$ ist nichtleer, es gibt also keine disjunkten nichtleeren offenen Teilmengen in $(X,\mathcal{T})$.
\item[(E)] Dies ist eine \"Ubungs\-auf\-gabe in \"Ubungsblatt~1.
\item[(F)] Dies ist ebenfalls eine \"Ubungs\-auf\-gabe in \"Ubungsblatt~1.
\item[(G)] Wenn $\K=\R$, dann ist der topologische Raum nicht Hausdorff. Wir werden diese Aussage nicht verwenden und  skizzieren daher nur einen Beweis. F\"ur jedes Polynom $f\ne 0$ ist $V(f)$ eine Nullmenge in $\R^2$. Es folgt nun leicht, dass jede nichtleere Zariski-offene Teilmenge $U\subset \R^2$ die Eigenschaft besitzt, dass $\R^2\setminus U$ eine Nullmenge ist. Insbesondere schneiden sich je zwei nichtleere Zariski-offene Teilmengen von $\R^2$. Insbesondere kann $\R^2$ mit der Zariski-Topologie kein Hausdorff-Raum sein.
\end{enumerate}
\end{beispiel}

%==================================================================
\subsection{Die Teilraumtopologie}
Es sei $(X,\mathcal{T})$ ein topologischer Raum und $Y\subset X$ eine Teilmenge.
Wir betrachten dann
\[ \SS\,\,:=\,\,\{ Y\cap U\,|\, U\in \mathcal{T}\}.\]
Es ist v\"ollig elementar sich davon zu \"uberzeugen, dass $\SS$ in der Tat eine Topologie auf $Y$ definiert.\label{def:teilraumtopologie}
Wir nennen $\SS$ die \emph{Teilraumtopologie} auf $Y$. Die Definition besagt also, dass eine Teilmenge $U$ offen in $Y$ ist, genau dann, wenn es eine Menge $V\subset X$ gibt, welche offen in $X$ ist, so dass $U=Y\cap V$.

\begin{konvention}
Wir betrachten jede Teilmenge $Y$ von $\R^n$ immer als topologischen Raum bez\"uglich der  durch $\R^n$ induzierten Teilraumtopologie.
\end{konvention}




\begin{beispiel}
Es sei
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}  
\hspace{4cm} Y&:=&S^1\,\,=\,\,\{ z\in \C=\R^2\,|\, |z|=1\}.
\intertext{Es seien $\alpha,\beta\in \R$. Dann ist das ``offene Kreisst\"uck''}
  U&:=&\big\{e^{i\varphi}\in \C=\R^2\,\big|\, \varphi\in (\alpha,\beta)\big\}
\intertext{offen in $Y=S^1$, denn}
 U&=&\underset{\operatorname{offen\,\,in }\C=\R^2}{\underbrace{\big\{re^{i\varphi}\in \C=\R^2\,\big|\, r\in (\ttmfrac{1}{2},\ttmfrac{3}{2})\mbox{ und }\varphi\in (\alpha,\beta)\big\}}}\, \cap\, Y.\end{array}\end{align*}
Dieses Beispiel ist in Abbildung~\ref{fig:teilraum-topologie} skizziert.
\end{beispiel}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{teilraum-topologie.pstex_t}
\caption{Definition der Teilraumtopologie.}
\label{fig:teilraum-topologie}
\end{center}
\end{figure}


%==================================================================
\subsection{Abgeschlossene Teilmengen}

\begin{definition}
Es sei $X$ ein topologischer Raum. Wir sagen  $A\subset X$ ist \emph{abgeschlossen}, wenn $X\setminus A$ offen ist.
\end{definition}

\begin{beispiel}
Wir betrachten den topologischen Raum $X=(-1,1)$. Dann ist $A=(-1,0]$ eine abgeschlossene Teilmengen, denn $X\setminus A=(0,1)$ ist eine offene Teilmenge von $X$.
\end{beispiel}


 Der Beweis von folgendem Lemma ist wort-w\"ortlich der gleiche wie der Beweis von Analysis~II Lemma~1.7. Der Beweis folgt leicht aus den Axiomen von offenen Mengen und den de Morganschen Gesetzen. 

\begin{lemma}\label{lem:abgeschlossen}
Es sei $X$ ein topologischer Raum. Dann gilt:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item $\emptyset$ und $X$ sind abgeschlossen,
\item die Vereinigung von endlich vielen abgeschlossen Teilmengen ist abgeschlossen,
\item der Durchschnitt von beliebig vielen abgeschlossenen Teilmengen ist wiederum abgeschlossen.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{definition}
Es sei $X$  ein topologischer Raum und $A\subset X$ eine Teilmenge.
\begin{enumerate}
\item Der \emph{Abschluss} $\overline{A}$ von $A$
 ist die Schnittmenge aller abgeschlossenen Mengen in $X$, die $A$ enthalten.
\item Das \emph{Innere} $\interior{A}$  ist die Vereinigung aller offenen Mengen von $X$, die in $A$ enthalten sind.
\end{enumerate}
\end{definition}

Es folgt sofort aus Lemma~\ref{lem:abgeschlossen}~(3), dass der Abschluss $\overline{A}$ eine abgeschlossene Menge
in $X$ ist, und es folgt aus Axiom (T3) einer Topologie, dass das Innere $\interior{A}$ eine offene Menge in $X$ ist.

In \"Ubungsblatt~1 werden wir folgenden Satz beweisen.

\begin{satz}\label{satz:umgebung}
Es sei $X$  ein topologischer Raum und $B\subset X$ eine Teilmenge.
Dann gilt
\[ \begin{array}{lrcl} (1)\hspace{1cm}&x\in \overline{B}& \Longleftrightarrow &\mbox{ f\"ur jede offene Umgebung $U$ von $x$ gilt $U\cap B\ne \emptyset$}\hspace{1cm}\\
 (2)\hspace{1cm}&x\in \interior{B}& \Longleftrightarrow &\mbox{ es gibt eine offene Umgebung $U$ von $x$ mit $U\subset B$.}\end{array}\]
\end{satz}


%==================================================================
\subsection{Stetige Abbildungen}

\begin{definition}
Es seien $X$ und $Y$ topologische R\"aume\footnote{Wenn wir schreiben ``es sei $X$ ein topologischer Raum'', dann meinen wir das $X$ eine Menge ist mit einer Topologie.
Im Normalfall erw\"ahnen wir die Topologie nicht in der Notation. Diese Konvention ist gang und g\"abe in der Mathematik,
beispielsweise schreiben wir in Linearer Algebra, ``sei $V$ ein Vektorraum'', wenn wir wirklich schreiben m\"ussten,
``sei $(V,+,\cdot)$ ein Vektorraum''.} und es sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung. Wir definieren
\[\mbox{$f$ ist stetig} \quad
:\Longleftrightarrow \quad \mbox{f\"ur jede offene Menge $U$ in $Y$  ist $f^{-1}(U)$  offen in $X$.} \]
\end{definition}

\begin{bemerkung}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item 
Es sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung zwischen zwei metrischen R\"aumen. Dann
folgt aus Satz~\ref{satz:defstetigmetrik}, dass  $f$
stetig ist als Abbildung zwischen metrischen R\"aumen genau dann, wenn $f$ stetig ist als Abbildung zwischen den entsprechenden topologischen R\"aumen.
\item Das gleiche Argument wie im  Beweis von Satz~\ref{satz:defstetigmetrik} zeigt, dass wir in der Definition von Stetigkeit auch ``offen'' durch ``abgeschlossen'' ersetzen k\"onnen.\label{bem:stetig-abgeschlossen}
\end{enumerate}
\end{bemerkung}

Wir k\"onnen nun folgenden Satz formulieren. 
Der Beweis hierbei ist wort-w\"ortlich der gleiche, wie der Beweis von Lemma~\ref{lem:fgstetig}.

\begin{satz}\label{satz:fgstetigx}\label{satz:verknupfungstetig}
Es seien $f\colon X\to Y$ und $g\colon Y\to Z$ stetige Abbildungen zwischen topologischen R\"aumen, dann ist auch $g\circ f\colon X\to Z$ stetig.
\end{satz}


Wir beschlie\ss en  das Kapitel mit folgendem Lemma.

\begin{lemma}
Es sei $X$ ein topologischer Raum und $A$ eine Teilmenge von $X$. Dann gilt:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item Die Inklusionsabbildung $i\colon A\to X$ ist stetig.
\item Die Einschr\"ankung einer stetigen Abbildung $f\colon X\to Y$ auf $A$ ist ebenfalls stetig.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Wir betrachten die Inklusionsabbildung $i\colon A\to X$.
Es sei $U\subset X$ offen. Dann ist $i^{-1}(U)=U\cap A$, aber $U\cap A$ ist per Definition offen in $A$.
Also ist $i$ stetig.
\item Es sei $f\colon X\to Y$  eine stetige Abbildung. Die Einschr\"ankung auf $A$ ist die Verkn\"upfung der stetigen Abbildungen $i\colon A\to X$ und $f\colon X\to Y$.
Also ist  nach Satz~\ref{satz:verknupfungstetig}  die Einschr\"ankung von $f$ auf $A$      ebenfalls stetig.\vspace{-0.5cm}
\end{enumerate}
\end{proof}



%==================================================================
\subsection{Hom\"oomorphismen}
Folgende Definition hatten wir in Analysis~II schon f\"ur metrische R\"aume eingef\"uhrt. 

\begin{definition}
Es seien $X$ und $Y$ topologischen R\"aume
und es sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung. Wir sagen $f$ ist ein \emph{Hom\"oo\-morph\-ismus}, wenn $f$ folgende drei Eigenschaften besitzt:
\begin{enumerate}
\item $f$ ist stetig,
\item $f$ ist bijektiv,
\item $f^{-1}\colon Y\to X$ ist stetig.
\end{enumerate}
Es seien $X$ und $Y$ topologische R\"aume.
Wir sagen \emph{$X$ und $Y$ sind hom\"oomorph}, wenn es einen
Hom\"oo\-morph\-ismus $f\colon X\to Y$ gibt.
\end{definition}

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} \R&\to & (-1,1)\\
x&\mapsto & \tmfrac{2}{\pi}\arctan(x)\end{array}\]
ist ein Hom\"oomorphismus.
\item Die Abbildung \label{beispiel:kein-homoeomorphismus}
\[ \begin{array}{rcl} [0,2\pi)&\to & S^1\\
x&\mapsto &  (\cos(x),\sin(x))\end{array}\]
ist eine stetige Bijektion, aber kein Hom\"oomorphismus, nachdem die Umkehrabbildung im Punkt $(1,0)$ nicht stetig ist. In der Tat kann es keinen Hom\"oomorphismus zwischen $[0,2\pi)$ und $S^1$ geben, denn $[0,2\pi)$ ist nicht kompakt, aber $S^1$ ist kompakt. Es ist aber leicht zu sehen, dass wenn $f\colon X\to Y$ ein Hom\"oomorphismus ist, dann ist $X$ kompakt genau dann, wenn $Y$ kompakt ist.
\item In \"Ubungsblatt~1 werden wir zeigen, dass die Gerade mit einem Punkt im Unendlichen hom\"oomorph zu $S^1$ ist.
\end{enumerate}
\end{beispiele}


%======================================
\subsection{Kompakte   topologische R\"aume}
In Analysis~II Kapitel 3.1 hatten wir schon den Begriff von kompakten Teilmengen
f\"ur metrische R\"aume eingef\"uhrt. Die Definition kann man problemlos auf topologische R\"aume verallgemeinern. Viele von den S\"atzen, welche wir in Analysis~II schon bewiesen hatten,
gelten mit minimalen Ab\"anderungen der Aussagen und Beweise auch  f\"ur kompakte topologische R\"aume.


\begin{definition}
Es sei $X$ ein topologischer Raum.
\begin{enumerate}
\item  Eine \emph{offene \"Uberdeckung von $X$} ist eine Familie $\{U_i\}_{i\in I}$ von offenen Teilmengen von $X$, so dass
\[ X\,\,=\,\, \tmcup{i\in I}{}\, U_i.\]
\item Wir sagen \emph{$X$ ist kompakt},
wenn es zu jeder offenen \"Uberdeckung $\{U_i\}_{i\in I}$ von $X$ endlich viele Indizes
$i_1,\dots,i_k\in I$ gibt, so dass
\[ X\,\,=\,\, U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup \dots \cup U_{i_k}.\]
\item Wir sagen eine Teilmenge $A\subset X$ ist kompakt, wenn $A$ bez\"uglich der Teilraumtopologie kompakt ist.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}
Wir betrachten wiederum die obigen Beispiele.
\begin{enumerate}
\item[(A)] Wenn $(X,d)$ ein metrischer Raum ist, dann erhalten wir den gleichen Kompaktheitsbegriff wie in Analysis~II.
\item[(B)] Es sei $X$ eine beliebige Menge mit der trivialen Topologie. Dann ist  $X$ offensichtlich kompakt.
\item[(C)] Es sei $X$ eine beliebige Menge mit der diskreten Topologie.
Wenn $X$ endlich ist, dann ist $X$ offensichtlich kompakt. Wenn $X$ unendlich ist, dann ist $X$ nicht kompakt, denn $\{x\}_{x\in X}$ ist nun eine offene \"Uberdeckung von $X$, aber $X$ wird nicht von endlich vielen dieser offenen Menge \"uberdeckt.
\item[(D)] Dieser topologische Raum ist kompakt.
\item[(E)] und (F) Wir werden in \"Ubungsblatt~1 der Frage nachgehen, ob diese topologischen R\"aume kompakt sind.
\end{enumerate}
\end{beispiele}


Der folgende Satz von Heine--Borel gibt viele Beispiele von kompakten Mengen.

\begin{satz}\label{satz:heine-borel} \textbf{\emph{(Satz von Heine--Borel)}} Es sei $A$ eine Teilmenge von $\R^n$.
Dann gilt:
\[ \mbox{$A$ ist kompakt } \Longleftrightarrow \mbox{ $A$ ist beschr\"ankt und abgeschlossen}.\]
\end{satz}

Der Beweis der folgenden S\"atze ist  fast identisch zu den Beweisen der analogen Aussagen aus der Analysis~II.

\begin{satz}\label{satz:teilmengekompakt}
Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum  und $A\subset X$ eine abgeschlossene Teilmenge. Dann ist auch $A$ kompakt.
\end{satz}

\begin{satz} \label{satz:bildkompakt}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen R\"aumen. Wenn $X$ kompakt ist, dann ist auch $f(X)$ kompakt.
\end{satz}

\begin{satz}\label{satz:kompaktminmax}
Es sei $f\colon X\to \R$ eine stetige Abbildung auf einem kompakten topologischen Raum. Dann ist $f$ beschr\"ankt, und $f$ nimmt ein Minimum und ein Maximum an, d.h.\ 
es existieren $x_0,x_1\in X$, so dass
\[ f(x_0)\,\,\leq \,\,f(x)\,\,\leq \,\,f(x_1)\]
f\"ur alle $x\in X$.
\end{satz}


Der Satz von Heine-Borel besagt insbesondere,
dass eine kompakte  Teilmenge von $\R^n$ abgeschlossen in $\R^n$ ist.
Diese Aussage gilt im allgemeinen nicht f\"ur topologische R\"aume, d.h.\ eine kompakte Teilmenge eines topologischen Raumes $X$ ist nicht notwendigerweise abgeschlossen in $X$.

Es sei beispielsweise
$X$  eine beliebige Menge $X$ mit mindestens zwei Elementen und $\mathcal{T}$ die triviale Topologie auf $X$,
d.h.\ $\mathcal{T}=\{\emptyset,X\}$.
 Es sei nun $A\subset X$ eine beliebige Teilmenge mit $A\ne \emptyset$ und $A\ne X$.
 Dann ist die Teilraumtopologie von $A$ gegeben durch $\{\emptyset,A\}$, d.h.\ die Teilraumtopologie auf $A$ ist die triviale Topologie. Insbesondere ist $A$
 kompakt. Andererseits ist $A$ keine abgeschlossene Teilmenge von $X$.

Der folgende Satz besagt, dass im Gegenzug kompakte Teilmengen von \emph{Hausdorff-R\"aumen}
 abgeschlossen sind.

\begin{satz}\label{satz:hausdorffkompakt}
Es sei $X$ ein topologischer Raum und $A\subset X$ eine kompakte Teilmenge. Wenn $X$ ein Hausdorff-Raum ist, dann ist $A$ abgeschlossen in $X$.
\end{satz}

Der Beweis des Satzes \"ahnelt dem Beweis von Satz~3.5 aus der Analysis~II.

\begin{proof}
Es sei $X$ ein topologischer Raum, welcher Hausdorff ist.
Es sei $A\subset X$ eine kompakte Teilmenge. Wir wollen zeigen, dass $X\setminus A$ offen ist. Es  gen\"ugt folgende Behauptung zu beweisen:

\begin{behauptung}
Es sei $x\in X\setminus A$. Dann existiert eine offene Umgebung $V$ von $x$, welche in $X\setminus A$ enthalten ist.
\end{behauptung}

 Wir wenden die Hausdorff-Eigenschaft auf $x$ und jedes $y\in A$ an.
F\"ur jedes $y\in A$ erhalten wir offene disjunkte Umgebungen $U_y$ von $y$ und $V_y$ von $x$.
Offensichtlich ist
\[ A\,\,=\,\,\tmcup{y\in A}{}\,\{y\}\,\,\subset\,\, \tmcup{y\in A}{}\, (U_y\cap A)\,\,\subset \,\,A.\]
Es folgt, also dass $\{U_y\cap A\}_{y\in A}$ eine offene \"Uberdeckung von $A$ ist.
Nachdem $A$ kompakt ist, gibt es $y_1,\dots,y_k$, so dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6cm} A&=&\tmcup{i=1}{k}\, (U_{y_i}\cap A).
\intertext{Wir betrachten nun}
  V&:=&\tmcap{i=1}{k}\, V_{y_i}.\end{array}\end{align*}
Als Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist  $V$ eine offene Umgebung von $x$. Zudem ist $V$ von allen $U_{y_1},\dots,U_{y_k}$ disjunkt, also auch von $A\subset U_{y_1}\cup \dots\cup U_{y_k}$.
Wir haben damit die Behauptung bewiesen.
\end{proof}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{hausdorffkompakt.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Satz~\ref{satz:hausdorffkompakt}.}
\label{fig:hausdorffkompakt}
\end{center}
\end{figure}

% Ende 1. Vorlesung

Wir hatten schon auf Seite~\pageref{beispiel:kein-homoeomorphismus} gesehen, dass  eine bijektive stetige Abbildung $f\colon X\to Y$ zwischen topologischen R\"aumen nicht notwendigerweise ein Hom\"oo\-morph\-ismus ist. 
Mithilfe des vorherigen  Satzes k\"onnen wir jedoch jetzt folgenden Satz  beweisen, welcher uns sp\"ater das Leben mehrmals erleichtern wird.

\begin{satz}\label{satz:kompakthausdorffstetig}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine bijektive stetige Abbildung zwischen topologischen R\"aumen.
Wenn $X$ kompakt ist, und wenn $Y$ Hausdorff ist, dann ist $f$ ein Hom\"oo\-morph\-ismus.
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Man kann sich leicht davon \"uberzeugen, dass die zus\"atzliche Voraussetzung, dass $Y$ Hausdorff ist, notwendig ist.
\end{bemerkung} 

Der Beweis von Satz~\ref{satz:kompakthausdorffstetig} ist fast wort-w\"ortlich der gleiche wie von Satz 3.9 aus der Analysis~II.

\begin{proof}
Wir m\"ussen also zeigen, dass die Umkehrabbildung $g:=f^{-1}\colon Y\to X$ stetig ist.
Wie wir auf Seite~\pageref{bem:stetig-abgeschlossen} angemerkt hatten  gen\"ugt es zu zeigen, dass f\"ur alle abgeschlossenen Teilmengen $A\subset X$ auch das Urbild $g^{-1}(A)$ abgeschlossen ist.

In der Tat gilt
\[ \begin{array}{rl} \mbox{$A\subset X$  abgeschlossen} &\Rightarrow\,\,\mbox{$A$ ist kompakt}\,\,\Rightarrow\,\,\mbox{$f(A)$ kompakt}\\
&\uparrow\hspace{3.4cm}\uparrow\\
&\hspace{-2.5cm}\mfbox{folgt aus Satz~\ref{satz:teilmengekompakt}, da $X$ kompakt}
\hspace{0.5cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:bildkompakt}}
\\[0.1cm]
&\Rightarrow\,\,
\mbox{$f(A)=g^{-1}(A)$ ist abgeschlossen.}\\
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mfbox{folgt aus Satz~\ref{satz:hausdorffkompakt}, da $Y$ Hausdorff}\vspace{-0.6cm}
\end{array}\]
\end{proof}

Nach dieser kurzen Einf\"uhrung in die topologischen R\"aume werden wir uns die n\"achsten Wochen nur auf Teilmengen von $\R^n$ mit der Teilraumtopologie konzentrieren. Die allgemeineren topologischen R\"aume werden erst gegen Ende der Vorlesung wieder eine wichtige Rolle spielen. 


\clearpage

%======================================================
\section{Definition und Beispiele von Untermannigfaltigkeiten}

%======================================================
\subsection{Die Definition von  Untermannigfaltigkeiten}\label{section:untermf}
In Analysis~II hatten wir $k$-dimen\-sionale Untermannigfaltigkeiten \"uber Parametrisierungen definiert, und wir hatten dann in Satz~11.1 bewiesen, dass man $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeiten auch \"uber ``Karten'' definieren kann. 
In dieser Vorlesung werden wir durchgehend den zweiten Gesichtspunkt verwenden, insbesondere werden wir im Folgenden $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeiten mithilfe von Karten definieren. 

Wir erinnern zuerst an folgende Definition aus der Analysis~II.


\begin{definition}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
 Es sei $U\subset \R^n$ offen und es sei \vspace{-0.05cm}
 \[ f=(f_1,\dots,f_m)\colon\, U\,\to\, \R^m\vspace{-0.05cm}\]
  eine Abbildung.
Wir nennen $f$ eine  \emph{$C^\infty$-Abbildung} oder auch \emph{glatt},  wenn die Koordinatenfunktionen $f_1,\dots,f_m$  beliebig oft  stetig partiell differenzierbar sind.
\item Eine Abbildung $f\colon U\to V$  zwischen zwei offenen Teilmengen von $\R^n$ hei\ss t \emph{Diffeomorphismus}, wenn gilt:
\begin{enumerate} 
\item $f$ ist glatt,
\item $f$ ist bijektiv, und
\item $f^{-1}$ ist ebenfalls glatt.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{notation}
F\"ur $k\leq n$ bezeichnen wir im Folgenden\vspace{-0.15cm}
\[ 
E_k\,\,:=\,\,\big\{(x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)\in \R^n\,\big|\, x_1,\dots,x_k\in \R\big\}\vspace{-0.15cm}\]
als die \emph{$k$-dimensionale Ebene in $\R^n$}.
\end{notation}

\begin{definition}\label{def:untermannigfaltigkeit}
Eine  Teilmenge $M\subset \R^n$ hei\ss t \emph{$k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit}, wenn
es zu jedem Punkt $P\in M$ eine \emph{Karte um $P$} gibt, d.h.\ einen Diffeomorphismus   $\Phi\colon U\to V$ \label{def:karte-untermannigfaltigkeit} zwischen einer offenen Umgebung von $P$ und einer offenen Teilmenge $V\subset \R^n$, so dass
\footnote{Die leere Menge ist nun per Definition f\"ur jedes $k$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit.}\vspace{-0.05cm}
\[ \Phi(M\cap U)\,\,=\,\, E_V\cap V.\vspace{-0.05cm}
 \]
Ein \emph{Atlas} f\"ur $M$ ist  eine Familie $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i\in I}$ von Karten mit $M\subset \ttmcup{i\in I}{}U_i$.
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{mfd.pstex_t}
\caption{Schematisches Bild einer Karte.}
\end{center}
\end{figure}



\begin{bemerkung}
Nach Satz 11.1 aus Analysis~II  ist diese Definition (fast) \"aquivalent zur Definition von Untermannigfaltigkeiten, welche wir in Analysis~II gegeben hatten.
Der einzige Unterschied ist, dass wir von nun an verlangen, dass die Karten  Diffeomorphismen sind, und nicht nur $C^1$--invertierbare Abbildungen.
In der Praxis macht das allerdings normalerweise keinen gro\ss en Unterschied.
\end{bemerkung}




Wir wollen nun zeigen, dass der Kreis $S^1$ und die Sph\"are $S^2$ Untermannigfaltigkeiten sind. In diesen und in vielen anderen F\"allen ist es allerdings leichter, die Inversen von Karten explizit anzugeben. 
Wir verwenden den  Satz  \"uber die Umkehrabbildung, 
welchen wir schon als Satz~9.5 and Korollar~9.8 in Analysis~II bewiesen hatten, um zu zeigen, dass eine Abbildung in der Tat ein Diffeomorphismus ist.

\begin{satz}
\label{satz:umkehrabbildung}
\emph{\textbf{(Satz \"uber die Umkehrabbildung)}}
Es sei $V\subset \R^n$ offen, $\Psi\colon V\to \R^n$ eine glatte Abbildung und $Q\in V$.
Wenn $D\Psi(Q)$ invertierbar ist, dann existieren offene Umgebungen $Y\subset V$ von $Q$ und $X$ von $\Psi(Q)$,
so dass $\Psi\colon Y\to X$ ein Diffeomorphismus ist.
\end{satz}

Wir erhalten folgendes hilfreiche Korollar, welches es erlaubt zu zeigen, dass eine Abbildung ein Diffeomorphismus ist, ohne die Umkehrabbildung zu bestimmen.

\begin{korollar}
\label{kor:umkehrabbildung}
Es sei $V\subset \R^n$ offen und es sei $\Psi\colon V\to \R^n$ eine glatte Abbildung. Wenn $\Psi$ bijektiv ist und wenn f\"ur alle $Q\in V$ das Differential $D\Psi(Q)$ invertierbar ist, dann ist die Abbildung $\Psi\colon V\to \Psi(V)$ ein Diffeomorphismus.
\end{korollar}

\begin{proof}
Wir setzen $U:=\Psi(V)$. Wir m\"ussen nur noch zeigen, dass $\Psi^{-1}\colon U\to V$ ebenfalls eine glatte Abbildung ist. Es sei also $P\in U$. Wir m\"ussen zeigen, dass es eine offene Umgebung $Y$ von $P$ gibt, so dass $\Psi^{-1}$ auf $Y$ glatt ist. Wir setzen $Q:=\Psi^{-1}(P)$. Nach dem $D\Psi(Q)$ invertierbar ist k\"onnen wir den Satz \"uber die Umkehrabbildung anwenden. Wir erhalten insbesondere eine offene Umgebung $X$ von $P$, so dass $\Psi^{-1}$ auf $X$ glatt ist.
\end{proof}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{kor-umkehrabbildung.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Korollar~\ref{kor:umkehrabbildung}.}
\label{fig:kor-umkehrabbildung}
\end{center}
\end{figure}


Wir wenden uns nun den Beispielen zu.

\begin{beispiel}
\label{beispiel:kartens1}
Wir wollen zeigen, dass der Kreis
\[ 
\begin{array}{rcl}S^1&=&\big\{ (x,y)\in \R^2\,\big|\,x^2+y^2=1\big\}\end{array} \]
eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^2$ ist. Wir betrachten die Abbildung
\begin{align*}
  \begin{array}{rcl}
 \hspace{2.7cm}\Psi\colon V:=(-\pi,\pi) \times (-1,1)&\to & U:=\Psi(V)\subset \R^2 \\
  ( \varphi,s)&\mapsto & ((1+s)\cos \varphi,\, (1+s)\sin \varphi).
\intertext{Dies ist eine glatte bijektive Abbildung mit $\Psi(V\cap E_1)=S^1\cap U$. Es folgt aus Korollar~\ref{kor:umkehrabbildung}, dass dies sogar ein Diffeomorphismus ist. Also definiert}
\Phi:=\Psi^{-1}\colon U&\to & V
\intertext{eine Karte. Diese Karte deckt alle Punkte in $S^1\setminus\{(-1,0)\}$ ab. 
Wir ben\"otigen nun noch eine Karte  um $(-1,0)$. Diese ist beispielsweise gegeben durch die Umkehrabbildung $\Phi'$ von }
\Psi'\colon V':=(0,2\pi)\times (-1,1) &\to & U':=\Psi'(V')\subset \R^2 \\
  ( \varphi,s)&\mapsto & ((1+s)\cos \varphi,\, (1+s)\sin \varphi).
  \end{array}\end{align*}
Die beiden Karten $\Phi$ und $\Phi'$ bilden also einen Atlas von $S^1$. Die beiden Karten werden in Abbildung~\ref{fig:atlas-fur-s1} illustriert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{atlas-fur-s1.pstex_t}
\caption{Atlas f\"ur die eindimensionale Untermannigfaltigkeit $S^1$.}
\label{fig:atlas-fur-s1}
\end{center}
\end{figure}
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
F\"ur jedes $r>0$ und $C>0$ betrachten wir nun
\[ Z\,\,:=\,\,\{ (x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2=r^2\mbox{ und }z\in (-C,C)\big\},\]
anschaulich gesprochen ist $Z$ ist ein Zylinder mit Radius $r$. 
Ganz analog zum vorherigen Beispiel kann man zeigen, dass $Z$ eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}\label{bsp:s2mfd}
Wir wollen nun zeigen, dass die Sph\"are
\[ S^2\,\,=\,\,\{ (x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2+z^2=1\}\]
eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^3$ ist.
Der Beweis dieser Aussage l\"auft ganz analog zum vorherigen Beispiel. Wir betrachten zuerst die 
  Abbildung
\begin{align*}
  \begin{array}{rcl}
 \hspace{1.5cm}\Psi\colon V:= (-\pi,\pi)\times (0,\pi)\times (-1,1) &\to & U:=\Psi(V)\subset \R^3 \\
  (\varphi,\theta,s)&\mapsto & \begin{pmatrix} (1+s)\cos \varphi \cdot \sin \theta \\(1+s)\sin \varphi\cdot \sin \theta \\(1+s)\cos \theta\end{pmatrix}.
\intertext{Mithilfe von Korollar~\ref{kor:umkehrabbildung} zeigt man leicht, dass dies  ein Diffeomorphismus ist. Zudem gilt $\Psi(V\cap E_2)=S^2\cap U$. Also definiert}
\Phi:=\Psi^{-1}\colon U&\to & V\end{array}\end{align*}
eine Karte f\"ur alle Punkte in $U\cap S^2$. Mit anderen Worten $\Phi$ deckt alle Punkte in $S^2$ au\ss erhalb des Halbkreises $K:=\{(x,y,z)\in S^2\,|\, x\leq 0\mbox{ und }y=0\}$ ab.
Wir brauchen nun noch eine Karte, welche die fehlenden Punkte  abdeckt. Wir verwenden dazu die vorherige Abbildung $\Psi$, vertauschen die Rollen der $y$-- und $z$--Koordinaten und wir spiegeln entlang der $yz$-Ebene. 
Genauer gesagt, wir betrachten die Abbildung
\begin{align*}
  \begin{array}{rcl}
 \hspace{1.5cm}\Psi'\colon V':= (-\pi,\pi)\times (0,\pi)\times (-1,1) &\to & U':=\Psi'(V')\subset \R^3 \\
  ( \varphi,\theta,s)&\mapsto & \begin{pmatrix} -(1+s)\cos \varphi\cdot \sin \theta\\(1+s)\cos \theta\\(1+s)\sin \varphi\cdot \sin \theta \end{pmatrix}.
\intertext{Mithilfe von Korollar~\ref{kor:umkehrabbildung} zeigt man wiederum, dass ein Diffeomorphismus ist. Das Inverse}
\Phi':=\Psi'^{-1}\colon U'&\to & V'\end{array}\end{align*}
ist eine Karte, welche alle Punkte au\ss erhalb von
$L= \{(x,y,z)\in S^2\,|\,x\geq 0\mbox{ und }z=0\}$ 
abdeckt.
Nachdem es  auf $S^2$ keinen Punkt gibt, welcher in den beiden Halbkreisen $K$ und $L$ liegt, decken die beiden Karten $S^2$ ab.
Wir haben also insbesondere gezeigt, dass $S^2$ einen Atlas besitzt, welcher aus zwei Karten  besteht.\label{beispiel:kartens2}
\end{beispiel}


\begin{beispiel}
Wir betrachten noch einmal die 2-dimensionale Sph\"are
\[ S^2\,=\,\big\{ (x,y,z)\,\big|\, x^2+y^2+z^2=1\big\}\]
mit den Punkten
\[ N\,=\,(0,0,1)\hspace{0.5cm} \mbox{ ``Nordpol'' }\hspace{0.5cm}\mbox{ und }\hspace{0.5cm}S\,=\,(0,0,-1) \hspace{0.5cm}\mbox{ ``S\"udpol''}.\]
Wir geben nun einen anderen Atlas f\"ur $S^2$ an, bei dem wir die Karten explizit hinschreiben k\"onnen. 
Genauer gesagt, wir betrachten die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon \{(x,y,z)\,|\,z<1\}&\to & \R^3 \\
(x,y,z)&\mapsto& \Big(\setminusfrac{x}{1-z},\setminusfrac{y}{1-z},1-x^2-y^2-z^2\Big).\end{array} \]
Eingeschr\"ankt auf $S^2\setminus N$ ist dies die stereographische Projektion bez\"uglich  des Nordpols $N$.\label{def:stereographische-projektion}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{stereographische-projektion.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:stereographische-projektion}
\end{center}
\end{figure}
Wir betrachten auch die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \Psi\colon \{(x,y,z)\,|\,z>-1\}&\to & \R^3 \\
(x,y,z)&\mapsto& \Big(\setminusfrac{x}{1+z},\setminusfrac{y}{1+z},1-x^2-y^2-z^2\Big).\hspace{0.25cm}\end{array} \]
Eingeschr\"ankt auf $S^2\setminus S$ ist dies die stereographische Projektion bez\"uglich  des S\"udpols $S$.
Man kann nun leicht \"uberpr\"ufen, dass Einschr\"ankungen von $\Phi$ und $\Psi$ auf geeignet gew\"ahlte offene Mengen Karten f\"ur $S^2$ sind, welche $S^2$ \"uberdecken.
Nachdem die Definitionsbereiche ganz $S^2$ abdecken, bilden  diese Einschr\"ankungen von $\Phi$ und $\Psi$  einen Atlas f\"ur $S^2$.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Wir bezeichnen nun mit $T$ die Menge aller  Punkte in $\R^3$, welche geschrieben werden k\"onnen als Produkt
\[ \underset{\mfbox{Drehung um die $z$-Achse}}{\underbrace{\begin{pmatrix} \cos \varphi&-\sin \varphi&0 \\ \sin \varphi&\hfill \cos \varphi& 0\\ \hfill 0&\hfill 0&1\end{pmatrix}}}\cdot  \underset{\begin{array}{c}\mfbox{beschreibt Kreis}\\\mfbox{in $xz$-Ebene}\end{array}}{\underbrace{\begin{pmatrix} 2+\sin \theta \\ 0 \\ \cos \theta \end{pmatrix},}}\]
wobei $\varphi,\theta\in \R$. 
Mit anderen Worten, $T$ ist die Menge
\[ T\,:=\, \big\{ ( (2+\sin\theta)\cos \varphi, \, (2+\sin \theta)\sin \varphi, \, \cos \theta)\,\big|\, \theta,\varphi\in \R\big\}.\]
Diese Menge wird in Abbildung~\ref{fig:untermannigfaltigkeit-torus} skizziert.
Mit \"ahnlichen Argumenten wie in den vorherigen Beispielen kann man zeigen, dass 
 der Torus\label{beispiel:torus-untermannigfaltigkeit} $T$ 
eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{untermannigfaltigkeit-torus.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:untermannigfaltigkeit-torus}
\end{center}
\end{figure}
\end{beispiel}



%======================================================
\subsection{Untermannigfaltigkeiten und Parametrisierungen}
Wir erinnern noch an folgende Definition aus der Analysis~II:


\begin{definition} 
Eine  \emph{$k$-dimensionale Parametrisierung einer Teilmenge  $M$ von $\R^n$ um den Punkt  $P$} ist eine Hom\"oomorphismus $\varphi \colon T\to U$, wobei gilt:
\begin{enumerate}
\item $T$ ist eine offene Teilmenge von $\R^k$,
\item $U$ ist eine offene Umgebung von $P$ in $M$,
\item $\varphi$ ist zudem glatt und f\"ur jeden Punkt $P$ von $T$ ist der Rang\footnote{Zur Erinnerung, der Rang einer $k\times n$-Matrix $A$ ist definiert als die Dimension des von den Spalten von $A$ aufgespannten Teilraums von $\R^k$.} des Differentials $D\varphi(P)$ 
 gleich $k$.
\end{enumerate}
\end{definition}


In Satz~11.1 aus der Analysis~II  hatten wir gesehen, dass wir Untermannigfaltigkeiten entweder \"uber Karten oder \"uber Parametrisierungen definieren k\"onnen. Nachdem wir dieses Mal die Untermannigfaltigkeiten \"uber Karten eingef\"uhrt hatten, lautet nun Satz~11.1 aus der Analysis~II wie folgt.\footnote{Wenn man's genau nimmt, wurde der Satz nur f\"ur stetig differenzierbare Karten und Parametrisierungen formuliert und bewiesen. Der Beweis \"ubertr\"agt sich aber wort-w\"ortlich auf den Fall von glatten Karten und glatten Parametrisierungen.}

\begin{satz}\label{satz:untermannigfaltigkeit-parametrisierung}
Eine Teilmenge $M\subset \R^n$ ist eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit genau dann, wenn es um jedem Punkt $P\in M$ eine $k$-dimensionale Parametrisierung gibt.
Genauer gesagt gelten folgende beide Aussagen:
\begin{enumerate}
\item Wenn $\Phi\colon U\to V$ eine Karte ist, dann ist $\Phi^{-1}|_{U\cap E_k}\to M$ eine Parametrisierung um den Punkt $P$,
\item wenn $\varphi\colon T\to M$ eine Parametrisierung um den Punkt $P$ ist, dann gibt es eine Karte $\Phi\colon U\to V$ um $P$, so dass $U\cap M\subset T$, und so dass $\varphi=\Phi^{-1}|_{U\cap M}$.
\end{enumerate}
\end{satz}

%======================================================
\subsection{Untermannigfaltigkeiten und Graphen}

In \"Ubungsblatt~1 werden wir folgendes Lemma beweisen.

\begin{lemma}
Es sei $U\subset \R^n$ eine offene Teilmenge und es sei 
$f\colon U \to \R^k$ eine glatte Abbildung. Dann ist  der Graph
\[\mbox{Graph}(f)\,\,=\,\,\{(x,f(x))\,|\, x\in U\}\,\,\subset\,\, \R^{n+k}\]
eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit, welche einen Atlas mit nur einer Karte besitzt.
\end{lemma}

\begin{beispiel}
Die offene Halbsph\"are\label{beispiel:offene-halbsphaere}
\begin{align*}
\begin{array}{rclc}
\hspace{3.7cm}
K&:=&\{ (x,y,2+\sqrt{1-x^2-y^2})\,|\, x^2+y^2<1\}
\intertext{ist der Graph der Funktion $f(x,y)=2+\sqrt{1-x^2-y^2}$ auf der offenen Scheibe $D_1(0)$, also  eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit. Zudem ist  die unendliche Helix}
H&:=& \big\{ \big(x,\cos(x),\sin(x)\big) \,\big|\, x\in \R\big\}
\end{array} \end{align*}
der  Graph  der Funktion $f(x)=(\cos(x),\sin(x))$ auf $\R$, also eine eindimensionale  Untermannigfaltigkeit von $\R^3$.
\end{beispiel}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{graph-als-untermannigfaltigkeit.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}


Der folgende Satz besagt nun, dass jede Untermannigfaltigkeit ``lokal'', bis auf eine Rotation, ein Graph ist. 

\begin{satz}\label{satz:mannigfaltigkeit-lokal-ein-graph}
Es sei $M\subset \R^{n+k}$ eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit  und es sei $P\in M$. Dann existiert eine Permutationsmatrix $A$, eine offene Umgebung $Y$  von $P$ in $M$ und eine offene Teilmenge $Z\subset \R^{n}$ sowie eine glatte Funktion $f\colon Z\to \R^k$, so dass 
\[ A\cdot Y\,\,=\,\,\{(z,f(z))\,|\, z\in Z\}.\]
\end{satz}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{hyperflaechen-als-graph.pstex_t}
\caption{Untermannigfaltigkeiten  sind lokal ein Graph.}
\end{center}
\end{figure}





\begin{proof}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[] \textcolor{blue}{ Es gen\"ugt zu  zeigen, dass $M$, gegebenenfalls nach Anwendung einer Permutationsmatrix, um den Punkt $P$ eine Parametrisierung $\varphi\colon Z\to \R^{n+k}$ besitzt, so dass $\varphi$  von der Form $\varphi(z)=\footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{c} z\\ \psi(z)\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big)}$ ist.}
\end{enumerate}
Es sei $M\subset \R^{n+k}$ eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit  und es sei $P\in M$. 
Nach Satz~\ref{satz:untermannigfaltigkeit-parametrisierung}
existiert eine Parametrisierung $\varphi\colon T\to \R^{n+k}$ von $M$ um den Punkt $P$. 
Es sei $Q\in T$ der eindeutig bestimmte Punkt mit $\varphi(Q)=P$. 
Wir schreiben nun $\varphi=\footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{c} \alpha\\ \beta\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big)}$, wobei $\alpha\colon T\to \R^n$ und $\beta\colon T\to \R^k$. 

Nachdem $\varphi$ eine Parametrisierung ist besitzt die $(n+k)\times n$-Matrix $D\varphi(Q)$ insbesondere $n$ linear unabh\"angige Zeilen. 
Wir nehmen zuerst an, dass die ersten $n$ Zeilen von $D\varphi(Q)$ linear unabh\"angig sind. 
Das Differential $D\alpha(Q)$ ist gerade durch die ersten $n$ Zeilen von $D\varphi(Q)$ gegeben. Also ist $D\alpha(Q)$ invertierbar. 
Nach dem Satz~\ref{satz:umkehrabbildung}\footnote{In unserer Notation kann dieser wie folgt formuliert werden: 
Es sei $T\subset \R^n$ offen, $\alpha\colon T\to \R^n$ eine glatte Abbildung und $Q\in T$.
Wenn $D\alpha(Q)$ invertierbar ist, dann existieren offene Umgebungen $T'\subset T$ von $Q$ und $S'$ von $\alpha(Q)$,
so dass $\alpha\colon T'\to S'$ ein Diffeomorphismus ist.} \"uber die Umkehrabbildung  existiert nun eine offene Umgebung $T'\subset T$ von $Q$ und eine offene Umgebung $S'$ von $\alpha(Q)$, so dass $\alpha\colon T'\to S'$ ein Diffeomorphismus ist.
Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} S' &\to & \R^{n+k}\\
z&\mapsto & \varphi(\alpha^{-1}(z))=\footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{c} z\\ \beta(\alpha^{-1}(z))\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big)} \end{array}\]
ist dann eine Parametrisierung. Es ist nun offensichtlich, dass $M\cap \varphi(S')$ der Graph der Funktion $z\mapsto \beta(\alpha^{-1}(z))$ ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{hyperflaechen-als-graph-beweis.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Satz~\ref{satz:mannigfaltigkeit-lokal-ein-graph}.}
\end{center}
\end{figure}

Wir betrachten nun noch den Fall, dass die ersten  $n$ Zeilen von $D\varphi(Q)$ nicht linear unabh\"angig sind. In diesem Fall vertauschen wir die Koordinaten von $M$ (d.h.\ wir wenden eine Permutationsmatrix auf $M$ an), so dass die ersten $n$ Zeilen von $D\varphi(Q)$ linear unabh\"angig werden. Wir fahren dann mit dem obigen Argument fort. 
\end{proof}


%======================================================
\subsection{Der Satz vom regul\"aren Wert}
Wir erinnern an folgende Definition aus Analysis~II.


\begin{definition}
Es sei  $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R^k$ eine stetig differenzierbare Abbildung.
\begin{enumerate}
\item Wir sagen $x\in U$ ist ein \emph{regul\"arer Punkt von $f$}, wenn  das Differential $Df(x)$ den Rang $k$ besitzt.
\item Wir sagen $z\in \R^k$ ist ein \emph{regul\"arer Wert von $f$}, wenn alle Punkte in $f^{-1}(z)$ regul\"ar sind.
\end{enumerate}
Ein Punkt (bzw. Wert), welcher nicht regul\"ar ist, wird \emph{singul\"ar} genannt.\footnote{Anders ausgedr\"uckt, ein Wert $w\in \R^k$ ist regul\"ar, wenn dieser nicht das Bild von einem singul\"aren Punkt in $U$ ist.}
\end{definition}

\begin{bemerkung}\mbox{}
Der Fall $k=1$ ist ein wichtiger Spezialfall. Eine $1\times n$-Matrix besitzt Rang $1$ genau dann, wenn die Matrix ungleich Null ist.
F\"ur $k=1$ entspricht das Differential gerade dem Gradienten.
Wir sehen also, dass ein Punkt  $x\in U$ ein regul\"arer Punkt einer Abbildung $f\colon U\to \R$ ist, genau dann, wenn $\operatorname{Grad} f(x)\ne 0$.
\end{bemerkung}

Wir k\"onnen jetzt folgenden wichtigen Satz formulieren:

\begin{satz}\label{satz:regularerwert} \textbf{\emph{(Satz vom regul\"aren Wert)}}
Es sei  $X\subset \R^n$ offen und $f\colon X\to \R^k$ eine glatte Abbildung.
Wenn $z\in \R^k$ ein regul\"arer Wert ist, dann ist $f^{-1}(z)\subset \R^n$ eine $(n-k)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit.\footnote{Wenn $z$ nicht im Bild von $f$ liegt, dann ist $f^{-1}(z)=\emptyset$ die leere Menge, insbesondere eine (nicht besonders interessante) Untermannigfaltigkeit beliebiger Dimension.}
\end{satz}

\begin{proof}
Wir hatten den Satz vom regul\"aren Wert in der Analysis~II unter der etwas schw\"acheren Voraussetzung, dass $f$ stetig differenzierbar ist, und der etwas schw\"acheren Aussage, dass man $C^1$-Karten finden kann, in Analysis~II bewiesen. Der gleiche Beweis gibt nun wort-w\"ortlich auch die jetzige Formulierung vom Satz vom regul\"aren Wert.
\end{proof}


\begin{beispiel}
Es seien $a_1,\dots,a_n$ reelle Zahlen, welche alle von null verschieden sind.
Wir betrachten
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} f\colon \R^n &\to & \R \\
(x_1,\dots,x_n)&\mapsto & a_1x_1^2+\dots+a_nx_n^2, 
\intertext{dann gilt f\"ur jeden Punkt $x=(x_1,\dots,x_n)$ in $\R^n$, dass}
\hspace{4.2cm} \operatorname{Grad} f(x_1,\dots,x_n)&=&(2a_1x_1,\dots,2a_nx_n),\end{array} \end{align*}
insbesondere ist der Gradient ungleich null f\"ur jeden Punkt $x\ne 0$. Anders ausgedr\"uckt, die Menge der regul\"aren Punkte von $f$ ist $\R^n\setminus \{0\}$.
Nachdem $f(x)=0$ genau dann, wenn $x=0$ folgt, dass alle Werte in $\R\setminus\{0\}$ regul\"ar sind. Es folgt insbesondere aus dem Satz~\ref{satz:regularerwert} vom regul\"aren Wert, dass 
\[ M\,:=\,\big\{ (x_1,\dots,x_n)\in \R^n\big|\, a_1x_1^2+\dots+a_nx_n^2\,=\,1\big\}\]
eine $(n-1)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ ist. 
\end{beispiel}


%======================================================
\subsection{Differenzierbare Funktionen auf Untermannigfaltigkeiten}\label{section:diffbarfaufm}

Es sei $M\subset \R^n$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
Wie immer  betrachten wir $M$ als topologischen Raum bez\"uglich der Teilraumtopologie, d.h.\ $U\subset M$ ist offen genau dann, wenn es eine offene Menge $V\subset \R^n$ gibt, mit $U=M\cap V$.
Es sei nun $f\colon M\to \R$ eine Funktion. Nachdem wir $M$ als topologischen Raum auffassen, haben wir schon einen Stetigkeitsbegriff f\"ur Funktionen auf $M$. In der Tat, eine Funktion $f\colon M\to \R$ hei\ss t stetig, wenn f\"ur jede offene Menge $X\subset \R$,
das Urbild $f^{-1}(X)$ eine offene Teilmenge von $M$ ist.



Andererseits ist es a priori nicht klar, was es hei\ss en soll, dass eine Funktion $f\colon M\to \R$  auf einer Untermannigfaltigkeit differenzierbar ist, denn wir k\"onnen keine partiellen Ableitungen bilden, da f\"ur $P\in M$ die Punkte $P+he_i$ im Allgemeinen nicht mehr in $M$, d.h.\ im Definitionsbereich von $f$ liegen.

% Ende 2. Vorlesung

\begin{definition}\label{def:funktion-auf-untermannigfaltigkeit-differenzierbar}
Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit und es sei $f\colon M\to \R$ eine Funktion.
Wir sagen $f$ ist \emph{stetig differenzierbar} (beziehungsweise \emph{glatt}), wenn es einen Atlas $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i\in I}$ gibt, so dass f\"ur alle $i\in I$ die Funktion\footnote{
Wir fassen hierbei $V\cap E_k$ auf offensichtliche Weise als Teilmenge des $\R^k$ auf.
Die Definition der stetigen Differenzierbarkeit macht nun in der Tat Sinn, nachdem
\[ V\cap E_k\,\,\xrightarrow{\Phi^{-1}}\,\, U\cap M\,\,\xrightarrow{f}\,\,\R \]
eine Funktion von einer offenen Teilmenge in $\R^k$, n\"amlich $V\cap E_k$, nach $\R$ ist. Wir k\"onnen darauf nun die Definition der stetigen Differenzierbarkeit aus der Analysis~II anwenden.}
\[ V_i\cap E_k\,\,\xrightarrow{\Phi_i^{-1}}\,\, U_i\cap M\,\,\xrightarrow{f}\,\,\R \]
\emph{stetig differenzierbar} (beziehungsweise glatt) ist. 
\end{definition}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{mfd-differenzierbar.pstex_t}
\caption{Schematisches Bild f\"ur die Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion auf einer Untermannigfaltigkeit.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{beispiel}
Es sei $f\colon \R^n\to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion. Dann ist die Einschr\"ankung von $f$ auf jede Untermannigfaltigkeit $M$ von $\R^n$ ebenfalls stetig differenzierbar. In der Tat, denn f\"ur eine Karte $\Phi\colon U\to V$ ist dann $f\circ \Phi^{-1}\colon V\to \R$ die Verkn\"upfung von zwei stetig differenzierbaren Abbildungen, also ebenfalls stetig differenzierbar. Dann ist aber auch die Einschr\"ankung von $f\circ \Phi^{-1}$ auf $V\cap E_k$ stetig differenzierbar.
\end{beispiel}


\begin{satz}\label{satz:bezueglich-allen-karten-stetig-differenzierbar}
Es sei $f\colon M\to \R$ eine Funktion auf einer 
$k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $M$. Dann gilt
\[ \mbox{$f$ ist glatt}\quad \Longleftrightarrow \quad 
\begin{array}{c}\mbox{f\"ur jede Karte $\Phi\colon U\to V$ ist}\\
\mbox{$f\circ \Phi^{-1} \colon V\cap E_k\to \R$ glatt.}\end{array}\]
Die analoge Aussage gilt auch f\"ur ``stetig differenzierbar'' anstatt ``glatt''.
\end{satz}



\begin{proof}
Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit und es sei $f\colon M\to \R$ eine Funktion. Wir beweisen die Aussage f\"ur ``glatt'',  die Aussage f\"ur ``stetig differenzierbar'' wird ganz analog bewiesen. 

Die Aussage ``$\Leftarrow$'' ist offensichtlich. Wir m\"ussen nun noch die Aussage ``$\Rightarrow$'' beweisen. Es sei also $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i\in I}$ ein Atlas, so dass f\"ur alle $i\in I$ die Funktion
\[ V_i\cap E_k\,\,\xrightarrow{\Phi_i^{-1}}\,\, U_i\cap M\,\,\xrightarrow{f}\,\,\R \]
glatt ist. Es sei nun $\Phi\colon U\to V$ eine weitere Karte.

Es gen\"ugt zu zeigen, dass es f\"ur jedes $Q\in V\cap E_k$ eine offene Umgebung $Y$ gibt, so dass $f\circ \Phi^{-1}\colon Y\cap E_k\to \R$ glatt ist.
Es sei also $Q\in V\cap E_k$. Wir setzen $P=\Phi^{-1}(Q)$. 
Wir w\"ahlen ein $i\in I$, so dass $P\subset U_i$. Wir setzen $X=U\cap U_i$ und $
Y=\Phi(X)$. 
 Wir m\"ussen zeigen, dass die Funktion
\[ Y\cap E_k\,\,\xrightarrow{\Phi^{-1}}\,\, X\cap M\,\,\xrightarrow{f}\,\,\R\]
glatt ist. Dies ist der Fall, denn es ist
\[ f\circ \Phi^{-1}\,\,=\hspace{-0.3cm}\underset{\begin{array}{c}\mfbox{glatt nach}\\[-0.1cm]\mfbox{Voraussetzung}\end{array}}{\underbrace{f\,\,\circ \,\,\Phi_i^{-1}}}\,\,\circ\,\,
\underset{\begin{array}{c}\mfbox{glatt, da $\Phi$ und $\Phi_i$}\\[-0.1cm]\mfbox{Diffeomorphismen sind}\end{array}}{\underbrace{\Phi_i\,\,\circ \,\,\Phi^{-1}.}}\vspace{-0.6cm}\]
\end{proof}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{bezueglich-allen-karten-stetig-differenzierbar.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Satz~\ref{satz:bezueglich-allen-karten-stetig-differenzierbar}.}
\label{fig:bezueglich-allen-karten-stetig-differenzierbar}
\end{center}
\end{figure}


\clearpage


%======================================================
\section{Integration und Untermannigfaltigkeiten}
\label{section:integration-untermannigfaltigkeiten}

%======================================================
\subsection{Erinnerung: Ma\ss- und Integrationstheorie}
In Analysis~III hatten wir das Le\-besgue-Ma\ss\, und das Le\-besgue-Integral eingef\"uhrt. Die genauen Definitionen interessieren uns jetzt nicht weiter. Wir erinnern in diesem kurzen Kapitel jedoch an die wichtigsten Eigenschaften vom Lebesgue-Ma\ss\, und vom Lebesgue-Integral.

Folgenden Satz hatten wir in Kapitel~6 von Analysis~III bewiesen.

\begin{satz}\label{satz:kompakt-messbar}
 Jede kompakte Teilmenge und jede beschr\"ankte offene Teilmenge von $\R^n$ ist messbar und besitzt ein endliches Volumen.
\end{satz}

Wir erinnern auch  an Satz~7.4 aus der Analysis~III.

\begin{satz}\label{satz:volumen-determinate}
Es sei $T\in  \operatorname{GL}(n,\R)$ eine invertierbare Matrix. Dann gilt f\"ur alle messbaren Teilmengen $B$ von $\R^n$, dass 
\[ \operatorname{Vol}_n(T\cdot B)\,\,=\,\,|\det(T)|\cdot \operatorname{Vol}_n(B).\]
\end{satz}

F\"ur Vektoren $v_1,\dots,v_k$ in $\R^n$ bezeichnen wir  mit 
\[  P(v_1,\dots,v_k)\,\,:=\,\,\Big\{\ttmsum{i=1}{k} \lambda_i v_i\,\Big|\, \lambda_1,\dots,\lambda_k\in [0,1]\Big\}\]
das durch $v_1,\dots,v_k$ in $\R^n$ aufgespannte \emph{Parallelotop}. Wenn die Vektoren linear unabh\"angig sind, dann nennen  wir $P(v_1,\dots,v_k)$ ein \emph{$k$-dimensionales Parallelotop}.
F\"ur $k=n=2$ ist dies insbesondere das durch $v_1$ und $v_2$ aufgespannte Parallelogramm. F\"ur $k=n=3$ ist dies der  durch $v_1,v_2$ und $v_3$ aufgespannte Spat.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{parallelotop.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:parallelotop}
\end{center}
\end{figure}


Der folgende Satz~7.3 aus der Analysis~III gibt nun insbesondere eine geometrische Interpretation des Absolutbetrags der Determinante einer quadratischen Matrix. Den Satz kann man  auch leicht dadurch beweisen, dass man Satz~\ref{satz:volumen-determinate} auf den Einheitsw\"urfel $[0,1]^n\subset \R^n$ anwendet.


\begin{satz}\label{satz:volumen-parallelotop}
Es seien $v_1,\dots,v_n\in \R^n$.  Dann gilt
\[ \operatorname{Vol}_n\big(P(v_1,\dots,v_n)\big)\,\,=\,\,\left|\det \big( v_1\, \dots\,v_n\big)\right|.\]
\end{satz}


In Analysis~III hatten wir den Begriff der Lebesgue-Integrierbarkeit und des Lebesgue-Integrals eingef\"uhrt.
Im Folgenden zitieren wir  Satz~9.4 aus Analysis~III, dieser verbindet die Begriffe von Lebesgue-Integral und Rie\-mann-Integral. 
Zudem erlaubt es uns dieser Satz in den meisten F\"allen, dass Integral einer Funktion im reellen mithilfe der Methoden aus der Analysis~I zu bestimmen.

\begin{satz}\label{satz:riemann-integrierbar-ist-lebesgue-integrierbar}
Jede Riemann-integrierbare Funktion
$f\colon  [a,b]\to \R$ ist auch Lebesgue-integrierbar und es gilt
\[ \underset{\opnormal{Riemann-Integral}}{\underbrace{ \bbint\limits_{a}^b f(x)\,dx}}\,\,=\,\,
\underset{\opnormal{Lebesgue-Integral}}{\underbrace{ \bbint\limits_{[a,b]} f\,dv.}}\]
\end{satz}

Im weiteren Verlauf der Vorlesung sagen wir einfach ``integrierbar'' anstatt ``Lebesgue-integrierbar'' und wir sagen ``Integral'' anstatt ``Lebesgue-Integral''.
F\"ur eine integrierbare Funktion $f\colon U\to \R$, welche auf einer Teilmenge $U$ von $\R^n$ definiert ist, verwenden wir, je nach Zusammenhang, unter anderem folgende Notationen f\"ur das Integral:
\[ \bint\limits_U f\,dv\,\,=\,\,\bint\limits_U f(x)\,dx\,\,=\,\,\bint\limits_U f(y)\,dy.\]

Der n\"achste Satz folgt leicht aus Satz~8.20 aus der Analysis~III. Dieser deckt die meisten F\"alle ab, welche uns interessieren.

\begin{satz}\label{satz:kompakter-traeger-integrierbar}
Jede stetige Funktion $f\colon K\to \R$ auf einer kompakten Teilmenge $K$ von $\R^n$ ist integrierbar.
\end{satz}

 

 

Der folgende Satz ist ein Spezialfall von Satz~8.17 aus der Analysis~III Vorlesung.

\begin{satz}\label{satz:nullmenge-integral}
Es sei $f\colon A\to \R$ eine integrierbare Funktion auf einer messbaren Menge $A\subset \R^n$. Wenn sich $g\colon \R^n\to \R$ von $f$ nur auf einer Nullmenge unterscheidet, dann ist auch $g$ integrierbar und es gilt zudem, dass
\[ \bint\limits_A f\,dv \,\,=\,\,\bint\limits_A g\,dv.\]
\end{satz}

Der n\"achste Satz erlaubt es uns den Absolutbetrag von Integralen nach oben abzusch\"atzen. Der Satz folgt leicht aus den Aussagen von Kapitel~8 in Analysis~III.

\begin{satz}\label{satz:integral-abschaetzung}
Es sei $A\subset \R^n$ eine messbare Menge und es sei $f\colon A\to \R$ eine integrierbare Funktion. Dann gilt
\[ \bigg|\bint\limits_A f \,dv \bigg|\,\,\leq\,\,\operatorname{Vol}_n(A)\cdot \sup\big\{ |f(x)|\,\big|\, x\in A\big\}.\]
\end{satz}

Der folgende Satz von Fubini erlaubt es uns in vielen F\"allen das Integral im mehrdimensionalen auf mehrere eindimensionale Integral zur\"uckzuf\"uhren.

\begin{satz} \textbf{\emph{(Fubini)}}\label{satz:fubini}
Es sei $A\subset \R^k\times \R^m$ eine kompakte  Teilmenge und es sei 
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
 \hspace{5.6cm} f\colon A &\to & {\R} \\
(x,y)&\mapsto & f(x,y) 
\intertext{eine stetige Funktion. Wir schreiben}
Y&:=&\{y\in \R^k\,|\,\mbox{es gibt ein $x\in \R^m$ mit $(x,y)\in A$}\},
\intertext{und f\"ur alle $y\in Y$ setzen wir}
A(y)&:=&\{x\in \R^m\,|\, (x,y)\in A\}.
\intertext{Dann gilt}
 \bbint\limits_{A} f(x,y)\,dx \,dy &=&\bbint\limits_{Y} \,\bbint\limits_{A(y)}\, f(x,y)\,\,dx\,\,\,dy.\end{array} \end{align*}
\end{satz}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{satz-von-fubini.pstex_t}
\caption{Illustration vom Satz von Fubini.}
\end{center}
\end{figure}


\begin{beispiel}
Wir betrachten die Funktion $f(x,y)=x^2+y^2$ auf dem  Dreieck
\[ A\,\,=\,\,\{ (x,y)\in \R^2\,|\, x\in [0,2]\mbox{ und }y\in [0,x]\}.\]
Es folgt aus Satz~\ref{satz:kompakter-traeger-integrierbar}, dass $f$ integrierbar ist. Wir m\"ochten nun das Integral von $f$ mithilfe vom Satz von Fubini bestimmen. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{fubini-dreieck.pstex_t}
\caption{}\label{fig:fubini-dreieck}
\end{center}
\end{figure}
In diesem Fall ist
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{2cm} Y&=&\mbox{alle m\"oglichen $y$-Werte von Punkten in $A$}\,\,=\,\,[0,2].
\intertext{Zudem gilt f\"ur jedes $y\in [0,2]$, dass}
A(y)&=&\mbox{alle $x$-Werte von Punkten in $A$ mit $y$-Wert $y$}\,\,=\,\,[y,2].\end{array}
\end{align*}
Es folgt also, dass
\[
 \begin{array}{rlll} 
 \hspace{1cm}\bbint\limits_{A} x^2+y^2\,dx\,dy&=\,\, \bbint\limits_{[0,2]}\,\,\bbint\limits_{[y,2]}x^2+y^2 \,dx\,\,\,dy
&=\,\, \bbint\limits_{y=0}^{y=2}\,\,\bbint\limits_{x=y}^{x=2} x^2+y^2 \,dx\,\,\,dy.\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow \\
&\hspace{-0.3cm}\mfbox{Satz von Fubini}&\hspace{-0.3cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:riemann-integrierbar-ist-lebesgue-integrierbar}}\end{array}\]
Der Rest der Rechnung besteht nun aus zwei einfachen Riemann-Integralen.
\end{beispiel}

Der vielleicht wichtigste und auch schwierigste Satz den wir in Analysis~III bewiesen hatten ist der Transformationssatz.

\begin{satz}\label{satz:transallg}\textbf{\emph{(Transformationssatz)}}
Es seien $U,V\subset \R^n$ offene Mengen,  es sei $\Phi\colon U\to V$ ein Diffeomorphismus und es sei $f\colon V\to \R$ eine Funktion. Dann gilt
\footnote{Die Gleichheit soll dahingehend interpretiert werden, dass das Integral auf der linken Seite existiert genau dann, wenn es auf der rechten Seite definiert ist, und wenn diese existieren, dann gilt die Gleichheit der Integrale.}
\[ \bbint\limits_U f(\Phi(x))\cdot |\det D\Phi(x)|\,dx\,\,=\,\, \bbint\limits_V f(y)\,dy.\]
\end{satz}             


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{transformationsformel.pstex_t}
\caption{Illustration der Transformationsformel.}
\label{fig:transformationsformel}
\end{center}
\end{figure}


Bevor wir den letzten Satz des Kapitels formulieren und beweisen f\"uhren wir noch folgende Sprechweisen ein, welche wir immer wieder in der Vorlesung verwenden werden.
\begin{enumerate} 
\item Ein \emph{abgeschlossener Quader} (oder oft auch nur kurz \emph{Quader}) ist eine Teilmenge von $\R^n$ der Form
\[ Q\,\,=\,\,[a_1,b_1]\times \dots \times [a_n,b_n], \mbox{ wobei } a_i<b_i \mbox{ f\"ur }i=1,\dots,n.\]
\item Ein \emph{offener Quader}
 ist eine Menge der Form
\[ Q\,\,=\,\,(a_1,b_1)\times \dots \times (a_n,b_n), \mbox{ wobei } a_i<b_i \mbox{ f\"ur }i=1,\dots,n.\]
\end{enumerate}
Der Abschlu\ss{} von einem offenen Quader ist nat\"urlich ein 
abgeschlossener  Quader. Zudem ist das Innere von einem abgeschlossenen Quader  ein offener Quader.

Der folgende Satz besagt, dass man unter gewissen Voraussetzungen Integral und Differentiation vertauschen kann.
Wir werden diesen Satz sp\"ater im Beweis vom Integralsatz von Gau\ss{} ben\"otigen. 

\begin{satz}\label{satz:vertauschbarkeit-integral-differentiation}
Es sei $Q\subset \R^n$ ein abgeschlossener Quader und es sei 
\[ \begin{array}{rcl} f\colon [a,b]\times Q&\to & \R\\
(t,y)&\mapsto & f(t,y)\end{array}\]
eine stetig differenzierbare\footnote{Wir sagen\label{fussnote:stetig-differenzierbar-auf-abgeschlossenem-quader} eine Funktion $g$ auf einem abgeschlossenen Quader $K$ ist stetig differenzierbar, wenn $g$ stetig ist, wenn  $g$ im Inneren von $K$ stetig differenzierbar ist, und wenn sich die partiellen Ableitungen von $g$ vom Inneren zu einer stetigen Funktion auf dem ganzen Quader $K$ fortsetzen lassen.} Funktion. Dann gilt f\"ur alle $t_0\in (a,b)$, dass 
\[ \tmfrac{d}{dt} \underset{\mfbox{Funktion in $t$}}{\underbrace{\bint\limits_Q f(t,y)\,dy}}\left.\vphantom{\bbint}\right|_{t_0}\,\,=\,\,\bbint\limits_Q\hspace{-0.3cm} \underset{\scriptsize{\begin{array}{c}\mbox{partielle Ableitung}\\\mbox{von $f$ bei $(t_0,y)$}\end{array}}}{\underbrace{\tmfrac{\partial}{\partial t} f(t_0,y)}}\hspace{-0.3cm}\,dy.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Wenn $\operatorname{Vol}(Q)=0$, dann folgt aus Satz~\ref{satz:integral-abschaetzung}, dass  beide Seiten der gew\"unschten Gleichheit schon null sind. Es gibt also nichts zu beweisen. Wir nehmen nun an, dass $\operatorname{Vol}(Q)>0$.

Es sei also $t_0\in (a,b)$. Wir w\"ahlen ein $\eta>0$ mit $[t_0-\eta,t_0+\eta]\subset (a,b)$. Wir wollen also zeigen, dass 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \tmfrac{d}{dt}\bint\limits_Q \left.\vphantom{\bbint} f(t,y)\,dy\right|_{t_0}\,\,-\,\,\bbint\limits_Q \tmfrac{\partial}{\partial t} f(t_0,y)\,dy&=&0.
\intertext{Mit anderen Worten wir wollen zeigen, dass}
 \hspace{2.7cm} \underset{h\to 0}{\lim}  \bbint\limits_Q \tmfrac{1}{h}(f(t_0+h,y)-f(t_0,y))- \tmfrac{\partial}{\partial t} f(t_0,y)\,dy&=&0.\end{array} \end{align*}
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Aus der Definition von partiellen Ableitungen folgt f\"ur jedes einzelne $y\in Q$, dass 
\[ \underset{h\to 0}{\lim} \,
 \tmfrac{1}{h}\big(f(t_0+h,y)-f(t_0,y)\big)- \tmfrac{\partial}{\partial t} f(t_0,y)=0.\]
Aber die ``Geschwindigkeit'' mit der dieser Grenzwert verschwindet h\"angt a priori von $y\in Q$ ab.
}
\end{enumerate} 
Wir wollen also zeigen, dass der Grenzwert verschwindet. Um dies zu zeigen, arbeiten wir direkt mit der Definition vom Grenzwert. 
Es sei also $\epsilon>0$. F\"ur $y\in Q$ setzen wir\footnote{Grob gesprochen ist also $\delta(y)$ das ``maximale $\delta$'', welches f\"ur $y\in Q$ funktioniert.}
\[ \delta(y)\,:=\, \sup\Big\{ \mu\in [0,\eta]\,\,\Big|
\big| \tmfrac{1}{h}(f(t_0+h,y)-f(t_0,y))- \tmfrac{\partial}{\partial t} f(t_0,y)\big|<\tmfrac{\epsilon}{2\operatorname{Vol}(Q)}\mbox{ f\"ur alle $0<|h|<\mu$}\Big\}. \]
Nachdem $f$ stetig differenzierbar ist, folgt, dass $\delta(y)>0$.
\begin{enumerate}
\item[] \textcolor{blue}{Am liebsten w\"urde man jetzt das Minimum von $\delta$ auf $Q$ betrachten. Der Definitionsbereich $Q$ ist zwar kompakt, aber es ist nicht klar, warum $\delta$ stetig sein soll. In der Tat werden wir in \"Ubungsblatt~2 sehen, dass $\delta$ im allgemeinen nicht stetig ist. Wir m\"ussen deshalb mit einer schw\"acheren Version von Stetigkeit arbeiten.}
\end{enumerate}
In \"Ubungsblatt~2 werden wir sehen, dass die Funktion $\delta\colon Q\to \R_{\geq 0}$ 
halbstetig nach unten ist, dies bedeutet 
\footnote{Anschaulich gesprochen kann also die Funktion $\delta$ nach oben springen, aber nicht nach unten.}
\[ 
\underset{y_0\in Q}{\bigforall}\,\, \underset{\alpha>0}{\bigforall}\,\,\underset{\beta>0}{\bigexists}\,\,\underset{y\in B_\beta(y_0)\cap Q}{\bigforall} \delta(y)>\delta(y_0)-\alpha.\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{halbstetig-nach-unten.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:halbstetig-nach-unten}
\end{center}
\end{figure}
Wir betrachten nun 
\[ \mu\,\,:=\,\,\inf\{ \delta(y)\,|\, y\in Q\}.\]
In \"Ubungsblatt~1 hatten wir schon gesehen, dass aus der Tatsache, dass $\delta(y)>0$ f\"ur alle $y\in Q$, der Tatsache, dass $\delta$ halbstetig nach unten, und der Voraussetzung, dass $Q$ kompakt ist, folgt, dass $\mu>0$. F\"ur alle $h\in (0,\mu)$ gilt nun, dass
\[ \begin{array}{l}
\bigg|\bbint\limits_Q \tmfrac{1}{h}(f(t_0+h,y)-f(t_0,y))- \tmfrac{\partial}{\partial t} f(t_0,y)\,dt\bigg|\hspace{7cm}\\
\hspace{3cm}\leq \,\, \operatorname{Vol}(Q)\cdot \sup\big\{  \underset{\leq \frac{\epsilon}{2\operatorname{Vol}(Q)}}{\underbrace{\big|\tmfrac{1}{h}(f(t_0+h,y)-f(t_0,y))- \tmfrac{\partial}{\partial t} f(t_0,y)\big|}}\,\Big|\,y\in Q\Big\}\,\,<\,\,\epsilon.\\[-0.7cm]
\hspace{3cm}\uparrow\\
\hspace{2.7cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:integral-abschaetzung}}\end{array}\]
Wir haben damit gezeigt, dass der Grenzwert verschwindet, und wir haben damit den Satz bewiesen.
\end{proof}



          
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\subsection{Motivation f\"ur Integrale auf Untermannigfaltigkeiten}
F\"ur eine gegebene $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $M\subset \R^n$
 wollen wir nun das Integral f\"ur ``vern\"unftige'' Funktionen $f\colon M\to \R^n$ einf\"uhren.
Dieses Integral sollte dabei sicherlich folgende Eigenschaft besitzen: wenn $M=P(v_1,\dots,v_k)$ ein $k$-dimensionales Parellotop in $\R^n$ ist und wenn $f\colon M\to \R$ eine konstante Funktion mit Wert $C$ ist, dann soll gelten\footnote{Die Tatsache, dass ein Polytop streng genommen keine Untermannigfaltigkeit ist, soll uns bei dieser Diskussion nicht st\"oren. Die inneren Punkte von einem $k$-dimensionalen Polytop bilden beispielsweise eine Untermannigfaltigkeit.}
\[ \bint\limits_M f \,dv\,\,=\,\, C\cdot \mbox{$k$-dimensionales Volumen von $M$}.\]
Die rechte Seite ist von der Bedeutung wohl intuitiv klar, aber wir wollen im Folgenden Kapitel eine pr\"azise Definition vom $k$-dimensionalen Volumen eines $k$-dimensionalen Parallelotops geben, und wir wollen eine brauchbare Gleichung f\"ur dieses Volumen herleiten.

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\subsection{Einschub: Lineare Algebra}

Es sei $k\leq n$. Im Folgenden identifizieren wir die $k$-dimensionale Ebene
\[ E_k:=\{ (x_1,\dots,x_n)\in \R^n\,|\, x_1,\dots,x_k\in \R, x_{k+1}=\dots=x_n=0\}\]
mit $\R^k$. 
Es seien $v_1,\dots,v_k$ linear unabh\"angige Vektoren in $\R^n$. Dann spannen die Vektoren das $k$-dimensionale Parallelotop
\[ P\,:=\,P(v_1,\dots,v_k)\,:=\,\Big\{ \ttmsum{i=1}{k} \l_iv_i\,\big|\, \l_1,\dots,\l_k\in [0,1]\Big\} \]
auf. Wenn $k<n$ dann folgt aus der Diskussion von Kapitel~6.2 der Analysis~III, dass $\operatorname{Vol}_n(P)=0$. Aber zumindest anschaulich ist es klar, dass $P$ ein ``$k$-dimensionales Volumen besitzt''.
Wir wollen nun ein vern\"unftiges  $k$-dimensionales Volumen $\operatorname{Vol}_k(P)$  f\"ur solche $k$-dimensionale Polytope einf\"uhren. Hierbei soll ``vern\"unftig'' folgendes hei\ss en:
\begin{enumerate}
\item Wenn das Parallelotop $P$ schon in $E_k$ liegt, dann k\"onnen wir $P$ als Teilmenge von $\R^k$ auffassen und  $\operatorname{Vol}_k(P)$ soll gerade das \"ubliche $k$-dimensionale Volumen einer Teilmenge von $\R^k$ sein.
\item Das Volumen soll invariant unter Anwendung von orthogonalen Matrizen sein, d.h.\ wenn $P$ ein $k$-dimensionales Parallelotop ist und $A\in O(n)$ eine orthogonale Matrix, dann soll
\[ \operatorname{Vol}_k(A\cdot P)\,\,=\,\,\operatorname{Vol}_k(P)\]
gelten.
\end{enumerate}
Wir werden jetzt diese beiden W\"unsche verwenden um $\operatorname{Vol}_k(P)$ allgemein einzuf\"uhren. Dazu ben\"otigen  wir folgenden Satz.

\begin{satz}\label{satz:drehen-von-polytop}
Es sei  $P\subset \R^n$ ein $k$-dimensionales Parallelotop. Dann gelten folgende Aussagen:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item Es gibt eine orthogonale Matrix $A\in O(n)$, so dass $A\cdot P$ in $E_k=\R^k$ liegt.
\item Wenn $A$ und $B$ zwei orthogonale Matrizen in $O(n)$ sind, so dass $A\cdot P$ und $B\cdot P$ in $E_k=\R^k$ liegen, dann gibt es auch eine orthogonale Matrix $Q\in O(k)$, so dass
\[Q\cdot (A\cdot P)\,\,=\,\,B\cdot P,\hspace{0.7cm}\]
hierbei fassen wir $A\cdot P$ und $B\cdot P$ als Teilmengen von $\R^k$ auf.
\item Unter der Voraussetzungen von \emph{(2)} gilt 
\[ \operatorname{Vol}_k(A\cdot P)\,\,=\,\,\operatorname{Vol}_k(B\cdot P).\]
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
Es sei also $P$ ein von linear unabh\"angigen Vektoren $v_1,\dots,v_k\in \R^n$ aufgespanntes Parallelotop.
\begin{enumerate}
\item Wir m\"ussen nun also zeigen, dass es eine orthogonale Matrix $A$ gibt, so
dass  $ Av_1,\dots,Av_k\in E_k=\R^k$.
Nachdem $v_1,\dots,v_k$ linear unabh\"angig sind, k\"onnen wir nach dem Basiserg\"anzungssatz diese Vektoren zu einer Basis 
$v_{1},\dots,v_n$ von $\R^n$ erg\"anzen. Wir wenden nun den Gram-Schmidt-Algorithmus auf diese Basis $v_1,\dots,v_n$ an und erhalten eine orthonormale Basis $w_1,\dots,w_n$ mit der Eigenschaft, dass f\"ur alle $m\in \{1,\dots,n\}$ gilt $\operatorname{Span}\{v_1,\dots,v_m\}=\operatorname{Span}\{w_1,\dots,w_m\}$.
Wir bezeichnen nun mit $C$ die orthogonale Matrix, deren Spalten gerade durch $w_1,\dots,w_n$ gegeben sind. Dann gilt $C\cdot e_i=w_i$. Insbesondere gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{2.5cm}C\cdot E_k\,\,=\,\,C\cdot \operatorname{Span}(e_1,\dots,e_k)&=&\operatorname{Span}(w_1,\dots,w_k)\,\,=\,\,\operatorname{Span}(v_1,\dots,v_k).
\intertext{Daraus folgt nun auch, dass}
C^{-1}\cdot P\,\,\subset C^{-1}\cdot \operatorname{Span}(v_1,\dots,v_k)&=&
\operatorname{Span}(e_1,\dots,e_k)\,\,=\,\,E_k.\end{array} \end{align*}
Also hat die orthogonale Matrix $A=C^{-1}$ die gew\"unschte Eigenschaft.
\item Es seien  $A$ und $B$ zwei orthogonale Matrizen, so dass $A\cdot P$ und $B\cdot P$ in $E_k=\R^k$ liegen. Die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl}\Phi\colon \R^n&\to &\R^n\\
v&\mapsto & B\cdot A^{-1}\cdot v\end{array}\]
ist dann eine Isometrie und es gilt $\Phi(A\cdot P)=B\cdot P$.
Nachdem $A\cdot P$ und $B\cdot P$ in $E_k$ liegen und $E_k$ aufspannen, folgt es, dass  $\Phi(E_k)=E_k$. Die Einschr\"ankung von $\Phi$ auf $E_k=\R^k$ ist eine Isometrie und kann also durch eine orthogonale Matrix $Q$ dargestellt werden. Diese Matrix hat die gew\"unschte Eigenschaft.
\item Diese Aussage folgt nun aus (2) und Satz~\ref{satz:volumen-determinate}, denn f\"ur jede orthogonale Matrix $Q$ gilt $|\det(Q)|=1$.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}


Es sei nun  $P\subset \R^n$ ein $k$-dimensionales Parallelotop. Nach Satz~\ref{satz:drehen-von-polytop}~(1) existiert eine orthogonale Matrix $A\in O(n)$, so dass $A\cdot P$ in $E_k=\R^k$ liegt.
Wir definieren nun das \emph{$k$-dimensionale Volumen von $P$} als
\label{def:k-dimensionales-volumen-parallelotop}
\[ \operatorname{Vol}_k(P)\,\,:=\,\,\operatorname{Vol}_k(\hspace{-0.1cm}\underset{\subset E_k=\R^k}{\underbrace{A\cdot P}}\hspace{-0.1cm}).\]
Es folgt aus Satz~\ref{satz:drehen-von-polytop} (3), dass  diese Definition nicht von der Wahl der orthogonalen Matrix $A$ abh\"angt.

Es stellt sich nun die Frage, ob man das Volumen von $P$ auch ``direkt'' von den Vektoren $v_1,\dots,v_k$ ablesen kann, ohne zuerst eine orthogonale Matrix $A$ wie oben finden zu m\"ussen.

Wir machen hierzu folgende \"Uberlegungen. Wenn die Vektoren $v_1,\dots,v_k\in E_k=\R^k$ liegen, dann gilt nach  Satz~\ref{satz:volumen-parallelotop}, dass
\[ \operatorname{Vol}_k\big(P(v_1,\dots,v_k)\big)\,\,=\,\,\big|\det(v_1\,\dots \, v_k)\big|.\]
In diesem Fall k\"onnen wir also das $k$-dimensionale Volumen mithilfe der Koordinaten der Vektoren $v_1,\dots,v_k$ bestimmen. Nachdem sich das $k$-dimensionale Volumen unter Anwendung einer orthogonalen Matrix nicht \"andern soll, wollen wir nun einen
Ausdruck in den Koordinaten $v_1,\dots,v_k$ hinschreiben, welcher folgende zwei Eigenschaften besitzt:
\begin{enumerate}
\item wenn $v_1,\dots,v_k$ in $E_k=\R^k$ liegen erhalten wir den Absolutbetrag der Determinate der Matrix $(v_1\,\dots\,v_k)$,
\item der Ausdruck \"andert sich nicht unter Anwendung einer orthogonalen Matrix.
\end{enumerate}
Die Idee ist nun die Determinate der Matrix $(v_1\,\dots\,v_k)$ zu bestimmen durch die Skalarprodukte\footnote{Wie \"ublich bezeichnen wir f\"ur Vektoren $v=(v_1,\dots,v_n)$ und $w=(w_1,\dots,w_n)$ in $\R^n$ mit
\[ v\cdot w\,\,:=\,\,\langle v,w\rangle \,\,:=\,\,\ttmsum{i=1}{n} v_iw_i\in \R\]
das Skalarprodukt.} $v_i\cdot v_j$, $i=1,\dots,k$, denn diese sind invariant unter Anwendung einer orthogonalen Matrix. Wir ben\"otigen nun folgendes Lemma aus der linearen Algebra.

\begin{lemma}\label{lem:berechnung-det}
Es seien $u_1,\dots,u_k\in \R^k$ beliebig. Dann gilt
\[  \big|\det(u_1\,\dots\,u_k)\big|\,\,=\,\,\sqrt{\det\big( (u_i\cdot u_j)_{i,j=1,\dots,k}\big)}.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir schreiben $u_{i}=(u_{i1},\dots,u_{ik})$ und  wir bezeichnen mit $U$ die $k\times k$-Matrix $U=(u_1\,\dots\,u_k)$.
Dann gilt, dass
\[ \begin{array}{rl}
 \det\big( (u_i\cdot u_j)_{i,j=1,\dots,k}\big)&=\,\,\det(U\cdot U^T)=\det(U)\cdot \det(U^T)=\det(U)^2.\\
 &\uparrow\\
 &\hspace{-2cm}\mfbox{denn der $ij$-Eintrag von $U\cdot U^T=\tmsum{l=1}{k} u_{il}\cdot u_{jl}=u_i\cdot u_j$}\vspace{-0.6cm} 
 \end{array}\]
\end{proof}
 

F\"ur eine $n\times k$-Matrix $V$ mit Spaltenvektoren  $v_1,\dots,v_k\in \R^n$ definieren wir nun die \emph{Gramsche Determinante} wie folgt:\footnote{Der Beweis von Lemma~\ref{lem:berechnung-det} zeigt, dass $\det\big( (v_i\cdot v_j)_{i,j=1,\dots,k}\big)\geq 0$.}\label{def:definition-gram}
\[ \operatorname{Gram}(V)\,\,=\,\, \operatorname{Gram} \underset{n\times k-\operatorname{Matrix}}{\underbrace{(v_1\,\dots\,v_k)}}\,\,:=\,\,\det\big( \underset{k\times k-\operatorname{Matrix}}{\underbrace{(v_i\cdot v_j)_{i,j=1,\dots,k}}}\big).\]


\begin{lemma}\label{lem:volgram}
Es seien $v_1,\dots,v_k$ linear unabh\"angige Vektoren in $\R^n$.
Dann gilt
\[ \operatorname{Vol}_k\big(P(v_1,\dots,v_k)\big)\,\,=\,\,\sqrt{\operatorname{Gram} ( v_1\,\dots\,v_k) }.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Es seien also $v_1,\dots,v_k$ linear unabh\"angige Vektoren in $\R^n$.
Wir w\"ahlen eine orthogonale Matrix $A$ mit $A\cdot P(v_1,\dots,v_k)\subset E_k$. 
Dann gilt
\[ \begin{array}{rlll}
\operatorname{Vol}_k\big(P(v_1,\dots,v_k)\big)^2&=\,\,
\operatorname{Vol}_k\big(\underset{\subset E_k=\R^k}{\underbrace{A\cdot P(v_1,\dots,v_k)}}\big)^2&=\,\,
\operatorname{Vol}_k\big(P(\underset{Av_i\in E_k=\R^k}{\underbrace{Av_1,\dots,Av_k}})\big)^2\\[-0.7cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{per Definition}
\\[0.1cm]
&=\,\,
\det(\underset{Av_i\in E_k=\R^k}{\underbrace{Av_1\,\dots\,Av_k}})&=\,\,
\det(\underset{Av_i\in E_k=\R^k}{\underbrace{(Av_i\cdot Av_j)_{i,j=1,\dots,k}}})
\\[-0.7cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:volumen-parallelotop}}&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:berechnung-det}}\\[0.1cm]
&=\,\,
\det\big(\underset{Av_i\in E_k\subset \R^n}{\underbrace{ (Av_i\cdot Av_j)_{i,j=1,\dots,k}}}\big)
&=\,\,
\det\big( (v_i\cdot v_j)_{i,j=1,\dots,k}\big).\\[-0.7cm]
&&\uparrow\\
&&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $A$ ist orthogonal}\\
&=\,\,\operatorname{Gram} ( v_1\,\dots\,v_k)^2.\end{array}\]
Wir erhalten die gew\"unschte Aussage durch Wurzelziehen.
 \end{proof}
 
 
\begin{beispiel}
Es seien $a=(a_1,a_2,a_3)$ und $b=(b_1,b_2,b_3)$ zwei linear unabh\"angige Vektoren in $\R^3$. Das \emph{Kreuzprodukt $a\times b$} ist definiert als der Vektor
\[ a\times b\,\,:=\,\, \setminussum{i=1}{3} (-1)^{i+1}\det\Big(\begin{array}{c}\mfbox{die Matrix $(\,a\,b\,)$, wobei}\\
\mfbox{die $i$-te Zeile gestrichen ist}\end{array}\Big)\,\,=\,\,\footnotesize{\begin{pmatrix} \hfill a_2b_3-a_3b_2\\ -a_1b_3+a_3b_1\\ \hfill a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}}.\]
In \"Ubungsblatt~2 werden wir mithilfe von Lemma~\ref{lem:volgram} zeigen, dass
\[ \|a\times b\|\,\,=\,\, \mbox{Fl\"acheninhalt des Parallelotops $P(a,b)$.}\]
\end{beispiel} 

% Ende 3. Vorlesung

Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir auch noch folgende Eigenschaft der Gramschen Determinante ben\"otigen.

\begin{lemma}\label{lem:gramdet}
Es sei $V$ eine $n\times k$-Matrix und  es sei $A$ eine $k\times k$-Matrix. Dann gilt
\[  \operatorname{Gram}(\hspace{-0.43cm}\underset{\mfbox{$n\times k$-Matrix}}{\underbrace{V\cdot A}}\hspace{-0.43cm})\,\,=\,\,\det(A)^2\cdot \operatorname{Gram}(V).\]
\end{lemma}

\begin{bemerkung}
F\"ur eine $n\times k$-Matrix $V$ gilt $\operatorname{Gram}(V)=\det\big(V^TV\big)$. 
Wenn $V$ nun eine quadratische Matrix ist, dann folgt die Aussage von Lemma~\ref{lem:gramdet} leicht aus dieser Bemerkung der der Multiplikativit\"at der Determinante.
\end{bemerkung}

\begin{proof}
Es sei $V=( v_1\,\dots\,v_k)$ eine $n\times k$-Matrix und  es sei $A$ eine $k\times k$-Matrix.
Die Matrix $A$ ist das Produkt von Elementarmatrizen, d.h.\ von Matrizen der Form
\[ D\,\,=\,\,\mfbox{$\begin{pmatrix} \l_1&0&0 \\ 0&\ddots&0 \\ 0&0&\lambda_k\end{pmatrix}$},\quad
P\,\,=\,\,\mfbox{$\begin{pmatrix} \operatorname{id}&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&\operatorname{id}&0&0\\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&\operatorname{id}\end{pmatrix}$}
\quad \mbox{ und }
Q\,\\=\,\, 
\mfbox{$\begin{pmatrix} \operatorname{id}&0&0&0&0 \\ 0&1&0&\lambda&0 \\ 0&0&\operatorname{id}&0&0\\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&\operatorname{id}\end{pmatrix}.$}
\]
Es folgt nun leicht aus der Multiplikativit\"at der Determinante, dass es gen\"ugt die Aussage f\"ur diese drei Typen von Matrizen zu beweisen.
Dies geschieht in allen drei F\"allen durch eine elementare Rechnung. 

Wir f\"uhren dies nun noch etwas genauer aus. Wir betrachten dazu die drei Typen von Matrizen.
\begin{enumerate}[leftmargin=1.0cm]
\item Es sei $D=(d_{ij})$ eine Diagonalmatrix  mit Eintr\"agen $\lambda_1,\dots,\lambda_k$. Dann gilt 
\[ \begin{array}{rl}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{\"Ubungsblatt~2}\\
&\downarrow\\[-0.1cm]
\operatorname{Gram}\big( (v_1\,\dots\,v_k)\cdot D\big)=\operatorname{Gram}(\l_1v_1\,\dots\,\l_kv_k)&=\l_1^2\cdots \l_k^2\cdot \operatorname{Gram}(v_1\,\dots\,v_k)\\
&=\det(D)^2\cdot \operatorname{Gram}(v_1\,\dots\,v_k).\end{array}
\]
\item Es sei $P$ wie oben,
wobei die Einser in den Spalten $i$ und $j$ stehen. Dann ist 
\[ \hspace{1cm}\begin{array}{rl}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{elementare Rechnung}\\
&\downarrow\\[-0.1cm] \operatorname{Gram}\big( (v_1\,\dots\,v_k)\cdot P\big)=\operatorname{Gram}(v_1\,\dots\,v_j\,\dots\,v_i\,\dots\,v_k)&= \operatorname{Gram}(v_1 \dots v_k)\\&=\det(P)^2\cdot \operatorname{Gram}(v_1\dots v_k).\end{array}\]
\item  Es sei $Q$ wie oben, 
wobei $\lambda$ in der $i$-ten Spalte und der $j$-ten Zeile steht. Dann ist
\[ \begin{array}{rl}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{elementare Rechnung}\\
&\downarrow\\[-0.1cm]
\operatorname{Gram}\big((v_1\,\dots\,v_k)\cdot Q\big)=\operatorname{Gram}(v_1\,\dots\,v_i+\lambda v_j\dots\,v_k)&= \operatorname{Gram}(v_1\,\dots\,v_k)\\
&=\det(Q)^2\cdot \operatorname{Gram}(v_1\,\dots\,v_k).\end{array}\vspace{-0.6cm}
\]
\end{enumerate}
\end{proof}

Das folgende Lemma gibt uns also  eine weitere M\"oglichkeit die Gramsche Determinante zu bestimmen.

\begin{lemma}\label{lem:det-von-aat}
Es sei $A$ eine $n\times k$-Matrix mit $k\leq n$. Dann gilt
\[ \operatorname{Gram}(A)\,\,=\,\,\setminussum{i_1<\dots<i_k}{} \det\big( A_{i_1,\dots,i_k}\big)^2.\]
Hierbei summieren wir \"uber alle $i_1,\dots,i_k$ mit $1\leq i_1<\dots<i_k\leq n$ und wir bezeichnen mit $A_{i_1,\dots,i_k}$ die Matrix, welche wir aus $A$ erhalten indem wir nur die Zeilen $i_1,\dots,i_k$ betrachten.
\end{lemma}

\begin{beispiel}
Wir betrachten die $3\times 2$-Matrix
\[ A\,\,=\,\,\mfbox{$\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1\\ a&b\end{pmatrix}$}.\]
Dann gilt\label{beispiel:deet-von-aat}
\[ \begin{array}{rll}\operatorname{Gram}(A)&=\,\setminussum{i_1<i_2}{} \big(\det A_{i_1,i_2}\big)^2&=\,
\det\mfbox{$\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\end{pmatrix}^2$}+\det \mfbox{$\begin{pmatrix} 1&0\\a&b\end{pmatrix}^2$} +\det \mfbox{$ \begin{pmatrix} 0&1\\ a&b\end{pmatrix}^2\,=\,1+a^2+b^2$}.\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:det-von-aat}}&
\hspace{-0.5cm}\mfbox{die einzigen M\"oglichkeiten sind $(i_1,i_2)=(1,2), (1,3),(2,3)$}\end{array}\]
Andererseits kann man auch direkt berechnen, dass 
\[ \operatorname{Gram}(A)\,\,=\,\,\det\mfbox{$\begin{pmatrix} 1+a^2& ab\\ ab&1+b^2\end{pmatrix}$}\,\,=\,\,(1+a^2)(1+b^2)-a^2b^2\,\,=\,\,1+a^2+b^2.\]
\end{beispiel}

Nachdem dies eigentlich ein Lemma aus der Linearen Algebra ist werden wir den Beweis des Lemmas nur skizzieren.

\begin{proof}[Beweisskizze]
Im Beweis von Lemma~\ref{lem:berechnung-det} hatten wir insbesondere gesehen, dass f\"ur eine $n\times k$-Matrix gilt $\operatorname{Gram}(A)=\det(A^TA)$. Es gen\"ugt nun also  folgende etwas allgemeinere Aussage zu beweisen.

\begin{behauptung}
Es seien $A$ und $B$ zwei $n\times k$-Matrizen mit $k\leq n$. Dann gilt
\[ \det\big(A^TB\big)\,\,=\,\,\setminussum{i_1<\dots<i_k}{} \det \big(A_{i_1,\dots,i_k}\big)\cdot \det\big( B_{i_1,\dots,i_k}\big).\]
\end{behauptung}

Es sei $A$ eine festgew\"ahlte  $n\times k$-Matrix mit $k\leq n$. Wir wollen nun zeigen, dass die obige Gleichung f\"ur alle $n\times k$-Matrizen gilt. F\"ur $b_1,\dots,b_k\in \R^n$ bezeichnen wir im Folgenden mit $(b_1\,\dots\,b_k)$ die $n\times k$-Matrix deren Spalten gerade $b_1,\dots,b_k$ sind. Wir machen folgende Beobachtungen:
\begin{enumerate}
\item Eine elementare Rechnung zeigt, dass die Gleichung  f\"ur alle Matrizen der Form $B=(e_{j_1}\,\dots\,e_{j_k})$ gilt, wobei $e_1,\dots,e_n$ wie \"ublich die Einheitsvektoren von $\R^n$ sind.
\item Wenn die Gleichung f\"ur eine Matrix der Form $B=(b_1\,\dots\,b_k)$ gilt, dann folgt aus der Linearit\"at der Determinante, dass die Gleichung auch f\"ur jede Matrix der Form $B'=(b_1\,\dots,\lambda b_i\,\dots\,b_k)$.
\item Wenn die Gleichung schon f\"ur  zwei Matrizen der Form $B'=(b_1,\dots,b_i',\dots,b_k)$ und $B''=(b_1\,\dots\,b_i''\,\dots\,b_k)$ gilt, dann folgt aus der Linearit\"at der Determinante, dass die Gleichung auch f\"ur die Matrix  $B=(b_1\,\dots\,b_i'+b_i''\,\dots\,b_k)$ gilt.
\end{enumerate}
Jede $n\times k$-Matrix kann man aus  Matrizen der Form $(1)$ durch mehrfache Anwendungen der Operationen (2) und (3) erhalten.\footnote{Warum ist dies der Fall?} Wir haben damit die Behauptung bewiesen.
\end{proof}





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\subsection{Integration auf Untermannigfaltigkeiten I}\label{section:integration-innerhalb-von-karte}
Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit und es sei $f\colon M\to \R$ eine Funktion.
In diesem Kapitel nehmen wir an, dass es  eine Karte $\Phi\colon U\to V$ gibt, so dass $f$ au\ss erhalb von $U\cap M$ verschwindet.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{integration-mit-traeger-in-karte.pstex_t}
\caption{Illustration der Transformationsformel.}
\label{fig:integration-mit-traeger-in-karte}
\end{center}
\end{figure}

Wir k\"onnen jetzt nat\"urlich die Funktion $f\circ \Phi^{-1}$ auf $V\cap E_k$ betrachten. Allerdings hatten wir in Lemma~\ref{lem:volgram} gesehen, dass  die Abbildung $\Phi^{-1}$ das $k$-dimensionale Volumen an einem Punkt $Q\subset V\cap E_k$ um den Faktor
\[ \operatorname{Gram}_\Phi(Q)\,\,:=\,\,\operatorname{Gram}\big(\underset{\mfbox{die ersten $k$ Spalten von $D_Q\Phi^{-1}$}}{\underbrace{(D_Q\Phi^{-1})(e_1) \,\dots\, (D_Q\Phi^{-1})(e_k)}}\big) \]
``verzerrt''. Wir sagen jetzt \emph{$f\colon M\to \R$ ist integrierbar}, wenn
\[ \begin{array}{rcl} V\cap E_k&\to & \R \\
x&\mapsto &  f(\Phi^{-1}(x))\cdot \sqrt{\operatorname{Gram}_\Phi(x)}\end{array} \]
integrierbar ist, und  wir definieren
\footnote{Die Notation $\int\limits_Mf$ ``ohne ein $dx$'' ist kein Tippfehler, sondern beabsichtigt.}
\footnote{Wir fassen hierbei $V\cap E_k$ nat\"urlich als Teilmenge von $\R^k$ auf, d.h.\ das Integral auf der rechten Seite ist das Integral einer Funktion auf einer Teilmenge von $\R^k$.}\label{def:integral-von-f-bzgl-karte}
\[ \hspace{2.05cm} \bint\limits_Mf \,\,:=\,\,\bbint\limits_{V\cap E_k} f(\Phi^{-1}(x))\cdot \sqrt{\operatorname{Gram}_\Phi(x)}\,dx.\]
Der  folgende Satz besagt nun, dass diese Definitionen  nicht von der Wahl der Karte $\Phi$ abh\"angen.




\begin{satz}\label{satz:integration-wohldefiniert}
Es sei  $f\colon M\to \R$ eine Funktion auf  einer $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $M$.
Zudem seien  $\Phi\colon U\to V$  und  $\widetilde{\Phi}\colon \widetilde{U} \to \widetilde{V} $ zwei Karten, so dass $f$ au\ss erhalb von $U\cap \widetilde{U}$ verschwindet.
Dann gilt
\footnote{Genau gesprochen ist die Aussage, dass wenn das eine Integral existiert, dann existiert auch das andere, und die Integrale stimmen \"uberein.}
\[ \bbint\limits_{V\cap E_k} f(\Phi^{-1}(x))\cdot \sqrt{\operatorname{Gram}_\Phi(x)}\,dx\,\, =\,\, \bbint\limits_{\widetilde{V}\cap E_k }  f(\widetilde{\Phi} ^{-1}(y))\cdot \sqrt{\operatorname{Gram}_{\widetilde{\Phi}}(y)}\,dy.\]
\end{satz}

\begin{proof}
O.B.d.A.\  k\"onnen wir annehmen, dass $U=\widetilde{U} $.\footnote{In der Tat, denn 
wir k\"onnen zu $U\cap \widetilde{U} $, $\Phi(U\cap \widetilde{U} )$ und $\widetilde{\Phi} (U\cap \widetilde{U} )$ \"ubergehen, ohne dass sich die Aussagen ver\"andern.}
Wir bezeichnen mit $\Psi$ und $\widetilde{\Psi}$ die Umkehrabbildungen von $\Phi$ und $\widetilde{\Phi}$. Wir betrachten die Diffeomorphismen $\Theta=\widetilde{\Phi}\circ \Psi$ und $\Gamma=\Phi\circ \widetilde{\Psi}$.
(Zur Orientierung hilft es vielleicht Abbildung~\ref{fig:integration-wohldefiniert} zu studieren.)

Wir schreiben $V'=V\cap E_k$ und $\widetilde{V}'=\widetilde{V}\cap E_k$. Wir fassen $V'$ und $\widetilde{V}'$ als Teilmengen von $\R^k$ auf.
Wir bezeichnen nun mit $\Psi'$ und $\Theta'$ die Einschr\"ankungen von $\Psi$ und $\Theta$ auf $V'=V\cap E_k$ und wir bezeichnen mit  $\widetilde{\Psi}'$ und $\Gamma'$ die Einschr\"ankungen von $\widetilde{\Psi}$ und $\Gamma$ auf $\widetilde{V}'=\widetilde{V}\cap E_k$. 
Die Abbildung $\Gamma'\colon \widetilde{V}'\to V'$ ist dann ein Diffeomorphismus.\footnote{In der Tat, denn $\Gamma'$ ist offensichtlich bijektiv, und als Einschr\"ankung einer glatten Abbildung wieder glatt. Das gleiche Argument zeigt aber auch, dass auch die Umkehrabbildung von $\Gamma'$, n\"amlich $\Theta'$ glatt ist.}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{integration-wohldefiniert.pstex_t}
\caption{Illustration zum Beweis von Satz~\ref{satz:integration-wohldefiniert}.}
\label{fig:integration-wohldefiniert}
\end{center}
\end{figure}

Es ist nun
\[\begin{array}{rl} \bint\limits_{V\cap E_k}\hspace{-0.25cm} f(\Phi^{-1}(x))\cdot \sqrt{\operatorname{Gram}_\Phi(x)}\,dx\hspace{-0.2cm}
&= \bint\limits_{V'} f(\Psi'(x))\cdot \sqrt{\operatorname{Gram}(D_x\Psi')}\,dx\\
&=\bint\limits_{\widetilde{V}'} f(\Psi'(\Gamma'(y)))\cdot \sqrt{\operatorname{Gram}_\Phi(D_{\Gamma'(y)}\Psi')}\cdot |\det D_y\Gamma'|\,dy\\[-4mm]
&\uparrow\\[-1mm]
&\hspace{-1cm}\mfbox{Transformationssatz angewandt auf $\Gamma'\colon \widetilde{V}'\to V$}\\[1mm]
&=\bint\limits_{\widetilde{V}'} f\big(\widetilde{\Psi}'(y)\big)\cdot \sqrt{\operatorname{Gram}\big(D_{y}\widetilde{\Psi}'\cdot D_{\Gamma'(y)}\Theta'\big)}\cdot |\det D_y\Gamma'|\,dy\\[-4mm]
&\uparrow\\[-1mm]
&\hspace{-1cm}\mfbox{Kettenregel angewandt auf $\Psi'=\widetilde{\Psi'}\circ \Theta'$}\\[1mm]
&=\bint\limits_{\widetilde{V}'} f\big(\widetilde{\Psi}'(y)\big)\cdot
|\det(D_{\Gamma'(y)}\Theta')|\cdot  \sqrt{\operatorname{Gram}\big(D_{y}\widetilde{\Psi}'\big)}\cdot |\det D_y\Gamma'|\,dy\\[-3mm]
&\uparrow\\[-1mm]
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:gramdet} angewandt auf die $k\times k$-Matrix $D_{\Gamma'(y)}\Theta'$}\\[1mm]
&=\bint\limits_{\widetilde{V}'} f\big(\widetilde{\Psi}'(y)\big)\cdot  \sqrt{\operatorname{Gram}\big(D_{y}\widetilde{\Psi}'\big)}\,dy\\[-3mm]
&\uparrow\\[-1mm]
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $D_{\Gamma'(y)}\Theta'=(D_y\Gamma')^{-1}$}\\[1mm]
&=\bint\limits_{\widetilde{V}\cap E_k} f\big(\widetilde{\Phi}^{-1}(y)\big)\cdot  \sqrt{\operatorname{Gram}_{\widetilde{\Phi}}(y)}\,dy.\hspace{3.2cm}\qedhere\end{array}\]
\end{proof}


Wir wollen nun in den folgenden Kapiteln die Integration von beliebigen Funktionen auf einer Untermannigfaltigkeit auf den jetzt gerade betrachteten Fall zur\"uckf\"uhren.


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\subsection{Integration auf Untermannigfaltigkeiten II}\label{section:intii}
In diesem Kapitel definieren wir das Integral von Funktionen auf Untermannigfaltigkeiten, welche einen endlichen Atlas besitzen, d.h.\  einen Atlas, welcher aus endlich vielen Karten besteht.
Beispielsweise ist es offensichtlich\footnote{Warum ist das ``offensichtlich''?}, dass jede kompakte Untermannigfaltigkeit einen endlichen Atlas besitzt.


\begin{definition}\label{def:messbare-zerlegung}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit und es sei zudem  $\mathcal{A}=\{ \Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i\in I}$ ein  Atlas f\"ur $M$.
Eine \emph{dem Atlas $\mathcal{A}$ untergeordnete messbare Zerlegung von $M$} ist eine Menge $\mathcal{Z}$ von Teilmengen $Z_i, i\in I$  mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item f\"ur alle $i$ gilt $Z_i\subset U_i\cap M$,
\item f\"ur alle $i$ ist $\Phi_i(Z_i)$ eine messbare Teilmenge von $E_k=\R^k$,
\item es ist\footnote{Zur Erinnerung, $X=A\sqcup B$ bedeutet, dass $X$ die disjunkte Vereinigung von $A$ und $B$ ist, d.h.\ es ist $X=A\cup B$ und $A\cap B=\emptyset$.}
\[ M\,=\,\tmsqcup{i\in I}\, Z_i.\]
\end{enumerate}
\end{definition}


\begin{satz}\label{satz:zdeins}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit.
Dann existiert zu jedem endlichen Atlas $\mathcal{A}$ eine dem 
Atlas $\mathcal{A}$ untergeordnete messbare Zerlegung von $M$.
\end{satz}

\begin{proof}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit und es  sei  $\mathcal{A}=\{ \Phi_i\colon U_i\to V_i\,|\,i=1,\dots,m\}$ ein endlicher Atlas f\"ur $M$.
Wir setzen $Z_1=U_1\cap M$ und f\"ur $i=2,\dots,m$ definieren wir iterativ
\[ Z_i\,\,:=\,\,(U_i\cap M)\,\setminus\,\tmcup{j=1}{i-1} Z_{j-1}.\]
Es ist nun offensichtlich, dass die Mengen $Z_1,\dots,Z_m$ die Eigenschaften (1) und (3) besitzen. Der Beweis, dass (2) gilt, ist eine freiwillige \"Ubungs\-auf\-gabe.
\end{proof}

Es sei $f\colon M\to \R$ eine Funktion auf einer Untermannigfaltigkeit, welche einen endlichen Atlas  $\mathcal{A}=\{ \Phi_i\colon U_i\to V_i\,|\,i=1,\dots,m\}$ besitzt.
Wir w\"ahlen eine dem Atlas $\mathcal{A}$ untergeordnete messbare Zerlegung $\mathcal{Z}=\{Z_1,\dots,Z_m\}$  von $M$.
Wir sagen $f$ ist integrierbar, wenn f\"ur alle $i=1,\dots,m$ die Funktion\footnote{Zur Erinnerung, f\"ur eine Teilmenge $A\subset \R^n$ ist die charakteristische Funktion $\chi_A\colon \R^n\to \R$ gegeben durch $\chi_A(x)=1$, falls $x\in A$ und $\chi_A(x)=0$, falls $x\not\in A$.}\footnote{Die Funktion $f\cdot \chi_{Z_i}$ hat die Eigenschaft, dass es eine Karte, n\"amlich $\Phi_i\colon U_i\to V_i$ gibt, so dass sie au\ss erhalb von $U_i\cap M$ verschwindet. Also ist die Integrierbarkeit dieser Funktion schon in Kapitel~\ref{section:integration-innerhalb-von-karte} definiert.}
 $f\cdot \chi_{Z_i}\colon M\to \R$ integrierbar ist. Wenn dies der Fall ist, dann  definieren wir das Integral von $f\colon M\to \R$ als
\[\hspace{0.3cm}  \bint\limits_M f \,\,:=\,\,\setminussum{i=1}{m}\hspace{-0.7cm} \underset{\mfbox{definiert in Kapitel~\ref{section:integration-innerhalb-von-karte}}}{\underbrace{\bint\limits_M \chi_{Z_i}\cdot f.}}\]
Wir m\"ussen nun noch zeigen, dass diese Definition unabh\"angig  von der Wahl eines endlichen Atlanten und der Wahl der untergeordneten messbaren Zerlegung ist. Dies erfolgt im folgenden Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:integral-auf-untermannigfaltigkeit-wohldefiniert}
Es sei $f\colon M\to \R$ eine  Funktion auf einer 
Untermannigfaltigkeit $M$. Au\ss erdem seien  $\mathcal{A}=\{ \Phi_i\colon U_i\to V_i\,|\,i=1,\dots,m\}$ sowie  $\mathcal{A}'=\{ \Phi_i'\colon U_i'\to V_i'\,|\,i=1,\dots,m'\}$ zwei endliche Atlanten und es es seien $\mathcal{Z}=\{Z_1,\dots,Z_m\}$ sowie $\mathcal{Z}'=\{Z_1',\dots,Z'_{m'}\}$ den  Atlanten $\mathcal{A}$ und $\mathcal{A}'$ untergeordnete messbare Zerlegungen. Dann gilt
\[
\begin{array}{c} \mbox{f\"ur alle $i=1,\dots,m$ ist die Funktion}\\
\mbox{ $f\cdot \chi_{Z_i}\colon M\to \R$ integrierbar}\end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{array}{c} \mbox{f\"ur alle $i=1,\dots,m'$ ist die Funktion}\\
\mbox{ $f\cdot \chi_{Z_i'}\colon M\to \R$ integrierbar.}\end{array}\]
Wenn dies der Fall ist, dann gilt zudem
\[
\setminussum{i=1}{m} \bint\limits_M \chi_{Z_i}\cdot f\,\,=\,\,\setminussum{i=1}{m'} \bint\limits_M \chi_{Z_i'}\cdot f.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
In dem wir zu den Schnittmengen $U_i\cap U_j'$ und $Z_i\cap Z'_j$ \"ubergehen k\"onnen wir o.B.d.A.\ annehmen, dass $m=m'$ und $Z_i=Z'_j$ f\"ur $i=1,\dots,m$. Die Aussage des Lemmas folgt nun aus der schon bewiesenen Wohldefiniertheit von Integrierbarkeit und Integral von Funktionen, welche ``durch eine Karte abgedeckt'' werden. 
\end{proof}


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\subsection{Beispiele}\label{section:beispiele-fuer-integration}
In diesem Kapitel wollen wir explizite Rechenformeln angeben um Integrale von stetigen Funktionen auf $S^1$ und $S^2$ zu bestimmen.

\begin{satz}\label{satz:integral-ueber-s1}
Es sei $f\colon S^1\to \R$ eine stetige Funktion. Dann gilt
\[ \bint\limits_{S^1} f \,\,=\,\,\bint\limits_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} f(\cos \varphi,\sin\varphi)  \,d\varphi.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Wir betrachten den Atlas von $S^1$, welchen wir auf Seite~\pageref{beispiel:kartens1} eingef\"uhrt hatten. Wir betrachten zuerst die Diffeomorphismen
\begin{align*}
  \begin{array}{rcl}
 \hspace{3.5cm}\Psi\colon V:=(-\pi,\pi)\times (-1,1) &\to & U:=\Psi(V)\subset \R^2 \\
  (\varphi,s)&\mapsto & {\scriptsize \begin{pmatrix}  (1+s)\cos \varphi\\(1+s)\sin \varphi\end{pmatrix}.}
\intertext{und}
\Psi'\colon V':=(0,2\pi)\times (-1,1) &\to & U':=\Psi'(V')\subset \R^2 \\
  ( \varphi,s)&\mapsto &  {\scriptsize \begin{pmatrix}  (1+s)\cos \varphi\\(1+s)\sin \varphi\end{pmatrix}.}
  \end{array}\end{align*}
Ein Atlas von $S^1$ ist dann gegeben durch die beiden Karten $\Phi:=\Psi^{-1}\colon U\to V$ und $\Phi':=\Psi'^{-1}\colon U'\to V'$. In diesem Fall ist
 \[
 \begin{array}{rl} \operatorname{Gram}_\Phi(\varphi,s)&\hspace{-0.2cm}=\operatorname{Gram}\hspace{-0.1cm}\Big(\mbox{1.\ Spalte von }D_{(\varphi,s)}\underset{=\Psi}{\underbrace{\Phi^{-1}}}
 \Big)
 \\[2mm]
 &\hspace{-0.2cm}=\operatorname{Gram}\hspace{-0.1cm}\Big(\mbox{1.\ Spalte\,von\,}\underset{=D_{(\varphi,s)}\Psi}{\underbrace{\scriptsize \begin{pmatrix} -(1+s)\sin \varphi&\hspace{-0.1cm}\cos \varphi\\ \hfill (1+s)\cos \varphi&\hspace{-0.1cm}\sin \varphi\end{pmatrix}}}\Big)
 = \operatorname{Gram}  \hspace{-0.05cm}{\scriptsize \begin{pmatrix} -(1+s)\sin \varphi\\ \hfill (1+s)\cos \varphi\end{pmatrix}}\hspace{-0.05cm}
 =(1+s)^2.\\[-0.12cm]
 \end{array}
  \] 
Nat\"urlich gilt das gleiche Ergebnis auch f\"ur $\operatorname{Gram}_{\Phi'}(\varphi,s)$.
Nach dieser Nebenrechnung wenden wir uns jetzt der eigentlichen Berechnung zu. 
Als dem Atlas untergeordnete messbare Zerlegung von $M$ w\"ahlen wir $Z=\{1\}$ und $Z'=U'\cap S^1=S^1\setminus \{1\}$. Dann ist
\[
\begin{array}{rl}  \bint\limits_{S^1} f
&=\,\,\bint\limits_{S^1}
\chi_{Z}\cdot f \,\,+\,\,\bint\limits_{S^1} 
\chi_{Z'}\cdot f\\[-0.35cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{per Definition}\\
&=\,\,\underset{=0}{\underbrace{\bint\limits_{\varphi\in (-\pi,\pi)} 
\underset{\opnormal{$=0$ f\"ur $\varphi\ne 0$}}{\underbrace{(\chi_{Z}\cdot f)\circ \Psi}}\cdot \underset{=1}{\underbrace{ \sqrt{\operatorname{Gram}_{\Phi}(\varphi,0) }}}\,d\varphi}}\,\,+\bint\limits_{\varphi\in (0,2\pi)} 
\underset{=f\circ \Psi'}{\underbrace{(\chi_{Z'}\cdot f)\circ \Psi'}}\cdot \underset{=1}{\underbrace{\sqrt{\operatorname{Gram}_{\Phi'}(\varphi,0)}}}\,d\varphi\\[-0.95cm]
&\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{0.045cm}|\\[-0.1cm]
&\hspace{0.045cm}|\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{per Definition, denn $V\cap E_1=(-\pi,\times \pi)$ und $V'\cap E_1=(0,2\pi)$}\\
&=\,\,\bint\limits_{\varphi\in (0,2\pi)} 
(f\circ \Psi')(\varphi,0) \,d\varphi
\,\,=\,\,\bint\limits_{\varphi\in [0,2\pi]} 
f(\cos \varphi,\sin \varphi) \,d\varphi
\,\,=\,\,\bint\limits_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} 
f(\cos \varphi,\sin \varphi) \,d\varphi.\\[-0.2cm]
&\hspace{5cm}\uparrow \hspace{4.6cm}\uparrow\\
&\hspace{4.6cm}\mbox{Satz~\ref{satz:nullmenge-integral}}
\hspace{3.6cm}\mbox{Satz~\ref{satz:riemann-integrierbar-ist-lebesgue-integrierbar}}\vspace{-0.7cm}
\end{array}\]
\end{proof}



\begin{satz}\label{satz:integral-ueber-s2}
Es sei $f\colon S^2\to \R$ eine stetige Funktion. Dann gilt
\[ \bint\limits_{S^2} f \,\,=\,\,\bint\limits_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} 
\bint\limits_{\theta=0}^{\theta=\pi}f(\cos \varphi\cdot \sin \theta,\sin\varphi\cdot \sin \theta,\cos\theta) \cdot \sin\theta \,d\theta\,d\varphi.\]
\end{satz}




\begin{proof}
Wir verwenden den Atlas f\"ur $S^2$, welchen wir auf Seite~\pageref{bsp:s2mfd} angegeben haben.
Hierbei betrachten wir die Abbildung 
\[
  \begin{array}{rcl}
 \hspace{1.5cm}\Psi\colon  \R^3&\to & \R^3 \\
  (\varphi,\theta,s)&\mapsto & \begin{pmatrix} (1+s)\cos \varphi \cdot \sin \theta \\(1+s)\sin \varphi\cdot \sin \theta \\(1+s)\cos \theta\end{pmatrix}.\end{array}\]
Die Karten sind dann durch  Umkehrabbildungen von Einschr\"ankungen von $\Psi$ gegeben. Wir berechnen zuerst 
\[ D_{(\varphi,\theta,s)}\Psi\,\,=\,\,
\begin{pmatrix} -(1+s)\sin \varphi\cdot \sin \theta&(1+s)  \cos\varphi \cdot \cos\theta&\cos \varphi\cdot \sin \theta\\ 
\hfill (1+s)\cos \varphi\cdot \sin \theta&(1+s)\sin \varphi\cdot \cos \theta&\sin \varphi\cdot \sin \theta\\
0&-(1+s)\sin \theta&  \cos \theta\end{pmatrix}.
\]
In diesem Fall gilt nun f\"ur jede Karte $\Phi$, welche durch Invertieren von $\Psi$ gegeben ist, dass 
\[
\begin{array}{rl} \operatorname{Gram}_\Phi(\varphi,\theta,s)&=\,\,\operatorname{Gram}\big(\mbox{erste zwei Spalten von }D_{(\varphi,\theta,s)}\Psi\big)\\[2mm]
&=\,\, \operatorname{Gram}  {\scriptsize \begin{pmatrix} -(1+s)\sin \varphi\cdot \sin \theta&(1+s)\cos \varphi\cdot \cos \theta\\ \hfill (1+s)\cos \varphi\cdot \sin \theta&\hfill  (1+s)\sin\varphi\cdot \cos \theta\\ 0&-(1+s)\sin \theta\end{pmatrix}}\\
&=\,\,\det {\scriptsize \begin{pmatrix} (1+s)^2\sin^2 \theta&0\\ 0&(1+s)^2\end{pmatrix}}\,\,=\,\,(1+s)^4\sin^2\theta.\\[-0.12cm]
&\hspace{0.046cm}\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $\operatorname{Gram} (v_1\,\dots\,v_k)=\det((v_i\cdot v_j)_{i,j=1,\dots,k})$}
\end{array}
 \] 
Der Beweis ist nun ganz analog zum Beweis von Satz~\ref{satz:integral-ueber-s2}. 
\end{proof}



%======================================================
\subsection{Integration auf Untermannigfaltigkeiten III}\label{section:intiii}
Wenn $M$ eine Untermannigfaltigkeit ist, welche einen endlichen Atlas besitzt, dann hatten wir gerade in Kapitel~\ref{section:intii} f\"ur eine beliebige Funktion $f\colon M\to \R$ die Integrierbarkeit und das Integral eingef\"uhrt. 
Allerdings besitzt nicht jede Untermannigfaltigkeit einen endlichen Atlas.
Ein Beispiel einer solchen Untermannigfaltigkeit ist gegeben durch die Fl\"ache mit unendlich vielen ``L\"ochern'', siehe Abbildung~\ref{fig:unendlich-viele-loecher}. \footnote{Es ist nat\"urlich nicht klar, warum die abgebildete Teilmenge von $\R^3$ eine Untermannigfaltigkeit ist, und warum diese keinen endlichen Atlas besitzt. Beide Aussagen werden wir (eventuell) in der Vorlesung Algebraische Topologie genauer behandeln.}\footnote{Ein noch einfacheres Beispiel ist gegeben durch $M=\Z\subset \R$. Dies ist eine 0-dimensionale Untermannigfaltigkeit, welche ebenfalls keinen endlichen Atlas besitzt (warum?).}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{unendlich-viele-loecher.pstex_t}
\caption{Eine Untermannigfaltigkeit, welche keinen endlichen Atlas besitzt.}
\label{fig:unendlich-viele-loecher}
\end{center}
\end{figure}

Wir beginnen mit folgendem Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:untermannigfaltigkeit-abzaehlbaren-atlas}
Jede Untermannigfaltigkeit besitzt einen abz\"ahlbaren Atlas.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei also $M$ eine Untermannigfaltigkeit von $\R^n$. 
Zu jedem $x\in M$ gibt es  eine Karte $\Phi_x\colon U_x\to V_x$. 
Wir definieren nun einen \emph{rationalen Ball} als eine Teilmenge von $\R^n$ der Form $B_r(y)$, wobei $y\in \Q^n$ und ein $r\in \Q_{>0}$.
Zu jedem  $x\in M$ w\"ahlen wir einen rationalen Ball\footnote{Warum existiert solch ein rationaler Ball?} $W_x$, so dass $x\in W_x$ und $W_x\subset U_x$.  Dann ist auch $\{\Phi_x\colon W_x\to \Phi_x(W_x)\}_{x\in M}$ ein Atlas f\"ur $M$. Nachdem es nur abz\"ahlbar viele rationale B\"alle gibt, gen\"ugen nun schon abz\"ahlbar viele dieser Karten um $M$ zu \"uberdecken, d.h.\ $M$ besitzt einen abz\"ahlbaren Atlas.
\end{proof}

Der Beweis von folgendem Satz ist fast identisch zum Beweis von Satz~\ref{satz:zdeins-abzaehlbar}.

\begin{satz}\label{satz:zdeins-abzaehlbar}
Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
Dann existiert zu jedem abz\"ahlbaren Atlas $\mathcal{A}$ eine dem 
Atlas $\mathcal{A}$ untergeordnete messbare Zerlegung von $M$.
\end{satz}


Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit und es sei  $\mathcal{A}=\{ \Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i\in I}$ ein abz\"ahlbarer Atlas.
Zudem sei  $f\colon M\to \R$ eine beliebige Funktion.
Wir w\"ahlen eine dem Atlas $\mathcal{A}$ untergeordnete messbare Zerlegung $\mathcal{Z}=\{Z_i\}_{i\in I}$   von $M$.
Wir sagen $f$ ist integrierbar, wenn folgende zwei Bedingungen erf\"ullt sind:
\begin{enumerate}
\item f\"ur alle $i\in I$ ist die Funktion  $f\cdot \chi_{Z_i}\colon M\to \R$ integrierbar,
\item die Reihe\footnote{\label{fussnote:reihe-ueber-i}Es sei $I$ eine abz\"ahlbare unendliche Menge und f\"ur jedes $i\in I$ sei $a_i\in \R_{\geq 0}$ gew\"ahlt. Wir w\"ahlen eine Bijektion $\varphi\colon \N\to I$ und wir setzen
\[ \tmsum{i\in I}{} a_i\,\,:=\,\,\tmsum{k=1}{\infty} a_{\varphi(k)}.\]
Wir m\"ussen zeigen, dass diese Definition nicht von der Wahl von $\varphi$ abh\"angt. Dies folgt sofort aus dem  Umordnungssatz~5.14 aus der Analysis~I. Dieser besagt, dass f\"ur eine Folge $b_k,k\in \N$ und eine Bijektion $\psi\colon \N\to \N$ gilt, dass 
\[ \tmsum{k=1}{\infty} b_k\mbox{ konvergiert absolut}\quad \Longrightarrow\quad
\tmsum{k=1}{\infty} b_{\psi(k)}\mbox{ konvergiert absolut }\mbox{ und }
\tmsum{k=1}{\infty} b_k=\tmsum{k=1}{\infty} b_{\psi(k)}.\]}
\[ \setminussum{i\in I}{} \,  \Big|\bint\limits_M \chi_{Z_i}\cdot f\Big|\]
\"uber die \emph{Absolutbetr\"age} der einzelnen Integrale konvergiert.
\end{enumerate}
Wenn dies der Fall ist, dann  definieren wir das Integral von $f\colon M\to \R$ als
\footnote{Es sei  $I$ eine abz\"ahlbare unendliche Menge und f\"ur jedes $i\in I$ sei $a_i\in \R$ gew\"ahlt. Wir nehmen an, dass die Reihe $\tmsum{i\in I}{}|a_i|$ konvergiert. Wir w\"ahlen eine Bijektion $\varphi\colon \N\to I$ und wir setzen
\[ \tmsum{i\in I}{} a_i\,\,:=\,\,\tmsum{k=1}{\infty} a_{\varphi(k)}.\]
Es folgt wiederum aus dem Umordnungssatz~5.14 aus der Analysis~I, siehe
Fu\ss note~\ref{fussnote:reihe-ueber-i}, dass diese Definition nicht von der Wahl von $\varphi$ abh\"angt.}
\[ \bint\limits_M f \,\,:=\,\,\setminussum{i\in I}{} \bint\limits_M \chi_{Z_i}\cdot f.\]
Wir m\"ussen nun nat\"urlich wiederum  zeigen, dass diese Definition unabh\"angig ist von der Wahl eines endlichen Atlanten und der untergeordneten messbaren Zerlegung.
Der Beweis dazu wird beispielsweise in Kapitel~11.5. von 
\[ \mbox{K\"onigsberger: Analysis 2 (Springer--Verlag)}\]
ausgef\"uhrt.


% Ende 4. Vorlesung 


Zum Abschlu\ss{} betrachten wir noch die beiden Extremf\"alle, dass $M\subset \R^n$ eine Untermannigfaltigkeit der Dimension 0 beziehungsweise eine Untermannigfaltigkeit der Dimension $n$ ist.
Wenn $M$ eine 0-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist, welche durch endlich viele Karten abgedeckt wird,  dann besteht $M$ aus endlich vielen Punkten. F\"ur eine Funktion $f\colon M\to \R$ gilt dann
\[ \bint\limits_M f\,\,=\,\,\lmsum{P\in M}{}f(P),\]
d.h.\ das Integral ist die Summe der Funktionswerte.\footnote{Dies folgt aus der Tatsache, dass f\"ur eine Funktion $f\colon \R^0=\{0\}\to \R$ das Lebesgue-Integral gegeben ist durch $f(0)$.}
Wenn $M$ eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ ist, dann ist die Identit\"atsabbildung schon eine Karte. Offensichtlich ist $\operatorname{Gram}_{\operatorname{id}}(x)=1$ f\"ur jedes $x\in M$. Also folgt sofort aus den Definitionen, dass
\[ \underset{\begin{array}{c}\mfbox{Integral auf}\\[-0.1cm]\mfbox{Untermannigfaltigkeit}\end{array}}{\underbrace{\bint\limits_M \,\,f}} \,\,=\,\,
\underset{\begin{array}{c}\mfbox{Integral auf}\\[-0.1cm]\mfbox{Teilmenge von $\R^n$}\end{array}}{\underbrace{\bint\limits_M \,\,f\,\,\,dv.}}\hspace{1.5cm}\]


%======================================================
\subsection{Das $k$-dimensionale Volumen}

\begin{definition}
Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Wir sagen $A\subset M$ ist messbar mit endlichen Volumen, wenn die Funktion $\chi_A\colon M\to \R$ integrierbar ist. In diesem Fall bezeichnen wir dann
\[ \operatorname{Vol}_k(A)\,\,:=\,\,\bint\limits_M \chi_A\]
als das \emph{$k$-dimensionale Volumen von $A$}. Im Fall $k=2$ bezeichnen wir $\operatorname{Vol}_k(A)$ auch als den \emph{Fl\"acheninhalt von $A$}. Wenn $\operatorname{Vol}_k(A)=0$, dann bezeichnen wir $A$ als \emph{Nullmenge in $M$}. 
\end{definition}


\begin{beispiele}
\mbox{}
(1) 
Wir wollen nun den Fl\"acheninhalt von $S^2$ bestimmen. Dieser ist gegeben durch\label{beispiel:flaeche-s2}
\[ \begin{array}{rl}
\mbox{Fl\"acheninhalt$(S^2)$}\,=\,\bint\limits_{S^2} 1&=\,\,
\bint\limits_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} 
\bint\limits_{\theta=0}^{\theta=\pi} \sin\theta \,d\varphi\,d\theta\,=\,
\bint\limits_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} 
\bint\limits_{\theta=0}^{\theta=\pi} \sin\theta \,d\theta\,d\varphi
\,=\,
\bint\limits_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} 
2\,d\varphi\,=\,4\pi.
\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{Satz~\ref{satz:integral-ueber-s2}}
\end{array}
\]
(2) Es seien $v_1,\dots,v_k\in \R^n$ linear unabh\"angige Vektoren. Wir bezeichnen mit 
\[ M(v_1,\dots,v_k)\,\,=\,\,\Big\{ \ttmsum{i=1}{k} \l_iv_i\,\Big| \,
\l_1,\dots,\l_k\in (0,1)\Big\}\]
das von $v_1,\dots,v_k$ aufgespannte \emph{offene Parallelotop}.
Wir werden in \"Ubungsblatt~3 sehen, dass dies eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist, und dass das $k$-dimensionale Volumen gerade dem $k$-dimensionalen Volumen vom entsprechenden geschlossenen Parallelotop entspricht, welches wir auf Seite~\pageref{def:k-dimensionales-volumen-parallelotop} eingef\"uhrt hatten.
\end{beispiele}



Es gelten die offensichtlichen Verallgemeinerungen der Aussagen aus der Analysis~III \"uber Nullmengen. Beispielsweise ist die abz\"ahlbare Vereinigung von Nullmengen wiederum eine Nullmenge. Zudem gilt folgendes Lemma.

\begin{lemma}
Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Wenn zwei Funktionen $f,g\colon M\to \R$ au\ss erhalb einer Nullmenge \"ubereinstimmen, dann ist $f$ integrierbar genau dann, wenn $g$ integrierbar ist. Im integrierbaren Fall gilt zudem
\[ \bint\limits_M f \,\,=\,\, \bint\limits_M g.\]
\end{lemma}



\clearpage



%======================================================
\section{Untermannigfaltigkeiten mit Rand}
\label{section:untermannigfaltigkeiten-mit-rand}
Wir erweitern jetzt den Begriff von Untermannigfaltigkeiten etwas:

\begin{definition}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item F\"ur $k\leq n$ bezeichnen wir 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{2.7cm}  H_k&:=&\{(x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)\in \R^n\,|\, x_1,\dots,x_k\in \R\mbox{ und }x_k\geq 0\},
\intertext{als \emph{$k$-dimensionale Halbebene} und wir schreiben}
\partial H_k&:=&\{(x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)\in \R^n\,|\, x_1,\dots,x_k\in \R\mbox{ und }x_k=0\}.\end{array}
\end{align*}
\item Eine Teilmenge $M\subset \R^n$ hei\ss t \emph{$k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit}, wenn
es zu jedem Punkt $a\in M$ eine \emph{Karte um $a$} gibt, d.h.\ einen Diffeomorphismus  $\Phi\colon U\to V$
  zwischen einer offenen Umgebung $U\subset \R^n$ von $a$  und einer offenen Menge  $V\subset \R^n$, so dass entweder
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\Phi(M\cap U)\,=\, E_k\cap V$, oder
\item[(ii)] $\Phi(M\cap U)\,=\, H_k\cap V$ mit $\Phi(a)\in \partial H_k$.
\end{enumerate}
\item Wir sagen $a\in M$ ist ein \emph{innerer Punkt}, wenn es eine Karte $\Phi\colon U\to V$ um $a$ vom Typ (i) gibt.  Wir sagen $a\in M$ ist ein \emph{Randpunkt}, wenn es eine Karte $\Phi\colon U\to V$ um $a$ vom Typ (ii) gibt.
Wir bezeichnen mit $\partial M$ die Menge aller Randpunkte und wir nennen $\partial M$  den \emph{Rand von $M$}.
 
\item
Ein \emph{Atlas von $M$} ist eine Familie $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i\in I}$ von Karten mit $M\subset \ttmcup{i\in I}{}U_i$.
 \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{mfd-rand.pstex_t}
\caption{Schematisches Bild von Untermannigfaltigkeiten mit Rand.}
\label{fig:mfd-rand}
\end{center}
\end{figure}

Eine Karte von Typ (i) ist also der gleiche Typ von Karte, wie wir in schon auf Seite~\pageref{def:karte-untermannigfaltigkeit} eingef\"uhrt hatten. Die Karten von Typ (ii) sind neu.


\begin{satz}\label{satz:rand-unabhangig-von-karte}
Jeder Punkt auf einer  Untermannigfaltigkeit ist 
 entweder ein Randpunkt oder ein innerer Punkt.
\end{satz}

\begin{proof}
Es sei  $M\subset \R^n$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
Nehmen wir also an, dass es einen Punkt $a\in M$ gibt, welcher sowohl ein innerer Punkt als auch ein Randpunkt ist. Dann gibt es also eine Karte $\Phi_1\colon U_1\to V_1$ um $a$ von Typ (i) und es gibt eine Karte $\Phi_2\colon U_2\to V_2$ um $a$ von Typ (ii). Indem wir zu $U_1\cap U_2$ \"ubergehen k\"onnen wir o.B.d.A.\ annehmen, dass $U_1=U_2=:U$. 



Wir schreiben $N_1:=\Phi_1(M\cap U)\subset E_k=\R^k$ und $N_2:=\Phi_2(M\cap U)\subset H_k\subset E_k=\R^k$.  (Alle diese Objekte werden in Abbildung~\ref{fig:rand-unabhangig-von-karte} skizziert.)
Wir bezeichnen mit $\Psi\colon N_1\to N_2$ die Einschr\"ankung der Abbildung $ \Phi_2\circ \Phi_1^{-1}$ auf die offene Teilmenge $N_1$. Dies ist eine glatte, bijektive Abbildung. Zudem ist  an jedem Punkt $P\in N_1$ das Differential $D_P\Psi$ invertierbar.\footnote{In der Tat, denn $\Psi$ ist die Einschr\"ankung von dem Diffeomorphismus $\Phi_2\circ \Phi_1^{-1}\colon V_1\to V_2$ auf die Teilmenge $N_1=V_1\cap E_k$. Nachdem $D_P(\Phi_2\circ \Phi_1^{-1})$ invertierbar ist, ist auch die Einschr\"ankung auf jeden Teilraum, in diesem Fall $E_k$, weiterhin invertierbar.}
Es folgt nun aus Korollar~\ref{kor:umkehrabbildung}, dass $\Psi\colon N_1\to N_2$ ein Diffeomorphismus ist. Inbesondere ist $N_2$ eine offene Teilmenge von $\R^k$. Aber dies ist nicht der Fall, denn $N_2\subset H_k$ und $\Phi_2(a)$ liegt in $\partial H_k$, besitzt also keine offene Umgebung in $N_2$. Wir haben damit einen Widerspruch erhalten.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{rand-unabhaengig-von-karte-2.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Satz~\ref{satz:rand-unabhangig-von-karte}.}
\label{fig:rand-unabhangig-von-karte}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}



\begin{bemerkung}
Jede Untermannigfaltigkeit im Sinne der Definition auf Seite~\pageref{def:untermannigfaltigkeit} ist auch eine Untermannigfaltigkeit im obigen Sinne.  
Es folgt sofort aus Satz~\ref{satz:rand-unabhangig-von-karte}, dass in diesem Fall $\partial M=\emptyset$. 
\end{bemerkung}

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item \label{beispiel:halbkugel} Wir betrachten die Halbsph\"are
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{4cm} M&:=& \{(x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2+z^2=1\mbox{ und }z\geq 0\}.
\intertext{Wir wollen zeigen, dass dies eine Untermannigfaltigkeit ist mit Rand}
\partial M&:=& \{(x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2+z^2=1\mbox{ und }z=0\}.
\end{array} \end{align*}
Geeignete Einschr\"ankungen der Karten auf  Seite~\pageref{bsp:s2mfd}\footnote{Oder, alternativ eine leichte Ab\"anderung der Karten auf Seite~\pageref{beispiel:offene-halbsphaere}.} geben uns eine Karte von Typ (i) f\"ur jeden Punkt $(x,y,z)\in M$ mit $z>0$. Wir m\"ussen nun noch Karten f\"ur die Punkte auf der $xy$-Ebene finden.
Wir betrachten, \"ahnlich wie auf Seite~\pageref{bsp:s2mfd}, den Diffeomorphismus
 \[ \begin{array}{rcl}
 \hspace{2cm}\Psi\colon V:= (-\pi,\pi)\times \big(-\tmfrac{\pi}{2},\tmfrac{\pi}{2}\big)\times (-1,1) &\to & U:=\Psi(V) \\[2mm]
  (\varphi,\theta,s)&\mapsto & \begin{pmatrix} (1+s)\cos \varphi \cdot \sin \big(\tmfrac{\pi}{2}-\theta\big) \\[2mm](1+s)\sin \varphi\cdot \sin \big(\tmfrac{\pi}{2}-\theta\big) \\(1+s)\cos\big(\tmfrac{\pi}{2}-\theta\big)\end{pmatrix}.\end{array}\]
Hierbei gilt
\[ \begin{array}{rcl} \theta\geq 0 &\Longleftrightarrow& \mbox{$z$-Koordinate von $\Psi(\varphi,\theta,s)$ ist $\geq 0$}\\
\theta=0 &\Longleftrightarrow& \mbox{$z$-Koordinate von $\Psi(\varphi,\theta,s)$ ist $=0$}.\end{array}\]
Man sieht nun leicht, dass $\Psi(H_2\cap V)=M\cap U$, d.h.\ $\Phi:=\Psi^{-1}\colon U\to V$ ist eine Karte von Typ (ii). Diese Karte deckt alle Punkte $(x,y,0)\ne (-1,0,0)\in M$ ab. Indem wir $\Phi$ geeignet spiegeln erhalten wir auch noch eine Karte f\"ur den Punkt $(-1,0,0)$. Anhand der Karten sieht man leicht,  dass $\partial M$, wie oben behauptet, der ``Randkreis'' ist.
\item Man kann leicht zeigen, dass der ``abgeschlossene'' Zylinder
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4cm}  Z&=& \{ (x,y,z)\,|\, x^2+y^2=1 \mbox{ und }z\in [-1,1]\}
\intertext{eine $2$-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist mit Rand}
\partial Z&=&\{ (x,y,z)\,|\, x^2+y^2=1 \mbox{ und }z=\pm 1\}.\end{array}
\end{align*}
Zudem ist der ``halboffene'' Zylinder
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4cm}  Z'&=& \{ (x,y,z)\,|\, x^2+y^2=1 \mbox{ und }z\in (-1,1]\}
\intertext{eine $2$-dimensionale Untermannigfaltigkeit   mit Rand}
\partial Z'&=&\{ (x,y,z)\,|\, x^2+y^2=1 \mbox{ und }z=1\}.\end{array}
\end{align*}
\item
Die Halbebene
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{2.5cm} H_k&=&\{(x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)\in \R^n\,|\, x_1,\dots,x_k\in \R\mbox{ und }x_k\geq 0\},
\intertext{ist eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand}
\partial H_k&=&\{(x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)\in \R^n\,|\, x_1,\dots,x_k\in \R\mbox{ und }x_k=0\}.\end{array} \end{align*}
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{beispiel-mdf-rand.pstex_t}
\caption{Beispiele von  Untermannigfaltigkeiten mit nichtleerem Rand.}
\end{center}
\end{figure}



\begin{bemerkung}
Ungl\"ucklicherweise gibt es nun zwei verschiedene Definitionen von ``Rand''. Zur Erinnerung, in Analysis~III hatten wir folgende Definition eingef\"uhrt:
Es sei $A\subset \R^n$ eine \emph{beliebige} Teilmenge, dann hatten wir den ``topologischen Rand'' von $A$  in $\R^n$ definiert als
\[ \partial A\,\,:=\,\,\left\{x\in \R^n\,\left|\,\begin{array}{l}\mbox{jede offene Umgebung von $x$ enth\"alt einen Punkt in $A$}\\
\mbox{und  au\ss erdem einen Punkt au\ss erhalb von $A$}\end{array} \right.\right\}.\]
Der topologische Rand der offenen Sph\"are 
\[ X\,\,:=\,\,\{x\in \R^n \,|\, \|x\|<1\}\]
ist also die Einheitsph\"are. Der Rand von $X$ aufgefasst als Untermannigfaltigkeit ist hingegen die leere Menge.
Ein noch extremeres Beispiel ist gegeben durch
\[ Y\,\,:=\,\,\{ (x,y)\in \R^2\,|\, x^2+y^2=1\}\,\subset\, \R^2.\]
In diesem Fall ist der topologische Rand von $Y\subset \R^2$ ganz $Y$, aber der Rand von $Y$ aufgefasst als Untermannigfaltigkeit ist wiederum die leere Menge.
Wenn wir ab jetzt von ``Rand'' reden, meinen wir immer den ``Untermannigfaltigkeitsrand''.
\end{bemerkung}

Man kann den  Satz~\ref{satz:regularerwert} vom regul\"aren Wert aus der Analysis~II ohne gr\"o\ss ere Probleme verallgemeinern, und erh\"alt dann folgenden Satz.

\begin{satz}\label{satz:tangentialraum-ist-vektorraumfminus2}
Es sei  $U\subset \R^n$ offen, es sei $f\colon U\to \R$ eine glatte Abbildung und es seien $z_1,z_2\in \R$ regul\"are Werte.
Dann ist $M:=f^{-1}([z_1,z_2])\subset \R^n$ eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit
\[ \partial M\,\,=\,\,f^{-1}(z_1)\cup f^{-1}(z_2).\]
\end{satz}

\begin{beispiel}
Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R^n &\to & \R \\ (x_1,\dots,x_n)&\mapsto &x_1^2+\dots+x_n^2. \end{array} \]
Dann sind $1$ und $-1$ regul\"are Werte\footnote{Warum ist $-1$ ein regul\"arer Wert?}. Es folgt aus Satz~\ref{satz:tangentialraum-ist-vektorraumfminus2}, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{2.5cm} f^{-1}([-1,1])&=&\{(x_1,\dots,x_n)\subset \R^n \,|\, x_1^2+\dots+x_n^2\in [-1,1]\}\,\,=\,\,B^n
\intertext{eine  $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist  mit Rand}
 f^{-1}(-1)\cup f^{-1}(1) &=&\emptyset \cup \{(x_1,\dots,x_n)\subset \R^n \,|\, x_1^2+\dots+x_n^2=1\}\,\,=\,\,S^{n-1}.\end{array}
 \end{align*}
\end{beispiel}

\begin{satz}\label{satz:rand-ist-untermannigfaltigkeit}
Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand.
Dann ist $\partial M$ eine $(k-1)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit leerem Rand.
\end{satz}


\begin{proof}
Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand und es sei zudem $a\in \partial M$. Dann existiert  eine Karte um $a$ vom Typ (ii), d.h.\ ein Diffeomorphismus  $\Phi\colon U\to V$
  zwischen einer offenen Umgebung $U\subset \R^n$ von $a$  und einer offenen Menge  $V\subset \R^n$, so dass
\[ \Phi(M\cap U)\,\,=\,\, H_k\cap V, \]
wobei $\Phi(a)\in \partial H_k$. Es folgt sofort aus 
Satz~\ref{satz:rand-unabhangig-von-karte}, dass 
$U\cap \partial M=\Phi^{-1}(\partial H_k)$. 
Nachdem $\partial H_k=E_{k-1}$ sehen wir also, dass  $\Phi$ auch eine Karte vom Typ (i) f\"ur $\partial M$ um den Punkt $a$ ist. 
Wir haben also bewiesen, dass  $\partial M$ eine $(k-1)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist, so dass alle Punkte eine Karte vom Typ (i) besitzen. D.h.\ die 
 $(k-1)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $\partial M$ besitzt keine Randpunkte.
 \end{proof}
 \begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{rand-von-untermannigfaltigkeit.pstex_t}
 \caption{Illustration zum Beweis von  Satz~\ref{satz:rand-ist-untermannigfaltigkeit}.}
 \label{fig:rand-von-untermannigfaltigkeit}
 \end{center}
 \end{figure}


Im Folgenden verwenden wir folgende Sprechweisen:
\begin{enumerate}
\item ``Untermannigfaltigkeit'' kann hei\ss en, dass der Rand leer oder auch nicht leer ist.
\item ``Untermannigfaltigkeit mit Rand'' bedeutet  eine Untermannigfaltigkeit $M$ mit nichtleerem Rand, d.h.\ mit $\partial M\ne \emptyset$,
\item ``geschlossene Untermannigfaltigkeit'' bedeutet eine \emph{kompakte} Untermannigfaltigkeit $M$ mit $\partial M=\emptyset$.
\end{enumerate}

\begin{beispiel}
Beispielsweise ist die offene Kugel
\[ X\,\,:=\,\,\big\{x\in \R^n \,\big|\, \|x\|<1\big\}\]
eine Untermannigfaltigkeit mit $\partial X=\emptyset$, aber $X$ ist keine geschlossene Untermannigfaltigkeit, denn $X$ ist nicht kompakt. Andererseits sind beispielsweise  $S^n$ und der auf Seite~\pageref{beispiel:torus-untermannigfaltigkeit} eingef\"uhrte Torus geschlossene Untermannigfaltigkeiten.
\end{beispiel}

Ein weiteres Beispiel von Untermannigfaltigkeiten mit Rand ist wie folgt gegeben. 
 Es sei $U\subset \R^{n-1}$ eine offene Teilmenge und es sei $f\colon U\to \R$ eine glatte Abbildung. Man kann leicht zeigen, dass f\"ur jedes $a\in \R$
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4.2cm} M&=&\{ (x,y)\in \R^{n-1}\times \R=\R^n\,|\, a<y\leq f(x)\}
\intertext{eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist mit}
\partial M&=&\{ (x,y)\in \R^{n-1}\times \R=\R^n\,|\, a<y=f(x)\}.\end{array}\end{align*}
Diese Untermannigfaltigkeit wird in Abbildung~\ref{fig:graph-untermannigfaltigkeit-mit-rand} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{graph-untermannigfaltigkeit-mit-rand.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:graph-untermannigfaltigkeit-mit-rand}
\end{center}
\end{figure}
 Der folgende Satz besagt, dass  jede $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit  am Rand lokal\footnote{Wir sagen ein topologischer Raum $X$ besitzt \emph{lokal} eine Eigenschaft $P$, wenn es zu jedem $x\in X$ eine offene Umgebung $U$, so dass $U$ diese Eigenschaft besitzt.} von diesem Typ ist.
Die Aussage des Satzes besitzt eine nicht zu \"ubersehende \"Ahnlichkeit mit  Satz~\ref{satz:mannigfaltigkeit-lokal-ein-graph}.




\begin{satz}\label{satz:mannigfaltigkeit-mit-rand-lokal-ein-graph}
Es sei $M\subset \R^{n}$ eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit und es sei $X\in \partial M$. Dann existieren eine Permutationsmatrix $P$, ein offener Quader $Q\subset \R^{n-1}$, zwei reelle Zahlen $a<b$, sowie eine glatte Funktion $f\colon Q\to (a,b)$, so dass  $P\cdot X\in Q\times (a,b)$, so dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{3cm}P\cdot M \,\cap\, (Q\times (a,b))&=&\{(x,y)\,|\, x\in Q\mbox{ und }a<y\leq f(x)\}.
\intertext{und so dass}
P\cdot \partial M\,\cap \,
(Q\times (a,b))&=&\{(x,y)\,|\, x\in Q\mbox{ und }y=f(x)\}.\end{array}
\end{align*}
\end{satz}

Der Satz kann in der Tat mithilfe von  Satz~\ref{satz:mannigfaltigkeit-lokal-ein-graph} bewiesen werden. Wir \"uberlassen die Durchf\"uhrung des Beweises als freiwillige \"Ubungsaufgabe.


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{mannigfaltigkeit-mit-rand-lokal-ein-graph.pstex_t}
\caption{Illustration von Satz~\ref{satz:mannigfaltigkeit-mit-rand-lokal-ein-graph}.}
\end{center}
\end{figure}

F\"ur eine Funktion $f\colon M\to \R$ auf einer Untermannigfaltigkeit mit Rand k\"onnen wir die Integrierbarkeit und das Integral ganz analog zu Kapitel~\ref{section:integration-untermannigfaltigkeiten} definieren. Zudem gelten die (hoffentlich) absichtlichen Abwandlungen der S\"atze aus Kapitel~\ref{section:beispiele-fuer-integration}.

\begin{beispiel}
 Wir betrachten die Halbkugel
\[ M\,\,:=\,\, \{(x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2+z^2=1\mbox{ und }z\geq 0\}.\]
Ganz analog zu Satz~\ref{satz:integral-ueber-s2} gilt f\"ur eine stetige Funktion  $f\colon M\to \R$, dass
\[ \bint\limits_{M} f \,\,=\,\,\bint\limits_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} 
\bint\limits_{\theta=0}^{\theta=\frac{\pi}{2}}f(\cos \varphi\cdot \sin \theta,\sin\varphi\cdot \sin \theta,\cos\theta) \cdot \sin\theta \,d\theta\,d\varphi.\]
\end{beispiel}



\clearpage
%======================================================
\section{Zusammenh\"angende topologische R\"aume}
In diesem Kapitel erinnern wir an zwei Definitionen, welche wir schon in Analysis~III f\"ur metrische R\"aume eingef\"uhrt hatten.


\begin{definition}
Es sei $X$ ein topologischer Raum.  Wir sagen $X$  ist \emph{zusammenh\"angend}, wenn gilt:
\[ \begin{array}{c} \mbox{$X=U\sqcup V$, wobei $U,V$  offene}\\ \mbox{ disjunkte Teilmengen von $X$}\end{array} \quad\Longrightarrow \quad \mbox{ $U=X$ oder $V=X$.}\]
\end{definition}

\begin{bemerkung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Ein topologischer Raum $X$ ist also \emph{nicht  zusammenh\"angend}, wenn
es disjunkte offene Teilmengen $U,V\subset X$ mit $X=U\cup V$ gibt, so dass $U\ne X$ und $V\ne X$.
\item Man kann leicht zeigen, dass  $X$   \emph{zusammenh\"angend} ist, genau dann, wenn gilt:
\[ \begin{array}{c} \mbox{$X=U\sqcup V$, wobei $U,V$  abgeschlossene}\\ \mbox{ disjunkte Teilmengen von $X$}\end{array} \quad\Longrightarrow \quad \mbox{ $U=\emptyset$ oder $V=\emptyset$.}\]
\end{enumerate}
\end{bemerkung}

\begin{beispiele}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Wir betrachten  den topologischen Raum
\[ X\,\,=\,\,[0,1] \cup [2,3]\subset \R.\]
Dieser ist  nicht zusammenh\"angend, denn $U=[0,1]$ und $V=[2,3]$ sind zwei disjunkte offene Teilmengen von $X$. 
\item Es sei $X$ eine Menge. Wenn wir $X$ mit der trivialen Topologie betrachten, dann ist dies ein zusammenh\"angender topologischer Raum. Wenn wir hingegen $X$ mit der diskreten Topologie betrachten, dann ist dies nur dann ein zusammenh\"angender Raum, wenn $X$ h\"ochstens ein Element besitzt.
\item In \"Ubungsblatt~3 werden wir der Frage nachgehen, ob die Gerade mit zwei Nullen zusammenh\"angend ist.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}
Es sei $X$ ein topologischer Raum.
\begin{enumerate}
\item Es seien $x,y\in X$. Ein \emph{Weg von $x$ nach $y$} ist eine stetige Abbildung $\gamma\colon [a,b]\to X$ mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$.
\item  Wir sagen $X$ ist \emph{wegzusammenh\"angend}, wenn es f\"ur alle $x,y\in X$  einen Weg  von $x$ nach $y$ gibt.
\end{enumerate}
\end{definition}


In Lemma~6.2 aus der Analysis~III Vorlesung hatten wir folgendes Lemma f\"ur metrische R\"aume bewiesen. Der Beweis f\"ur topologische R\"aume ist wort-w\"ortlich der gleiche.

\begin{lemma}\label{lem:wegzusammenhangend}
Jeder wegzusammenh\"angende topologische Raum ist auch zusammenh\"angend.
\end{lemma}


\begin{bemerkung}
In Analysis~III hatten wir gesehen, dass im Allgemeinen die Umkehrung von  Lemma~\ref{lem:wegzusammenhangend} nicht gilt, 
 d.h.\ es gibt topologische R\"aume, welche zusammenh\"angend sind, aber nicht wegzusammenh\"angend sind. Genauer gesagt hatten wir gezeigt, dass
\[ X\,\,:=\,\,\big\{ (0,y)\,\big|\,y\in [-1,1]\big\} \,\cup \, \big\{(x,\sin(\ttmfrac{1}{x}))\,\big|\, x\in (0,\pi]\big\}\,\,\subset\,\, \R^2\] zusammenh\"angend, aber nicht wegzusammenh\"angend ist. Siehe Abbildung~\ref{fig:nicht-wegzusammenhaengend.pstex_t} f\"ur eine Illustration von $X$.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{nicht-wegzusammenhaengend.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:nicht-wegzusammenhaengend.pstex_t}
\end{center}
\end{figure}
\end{bemerkung} 

F\"ur Untermannigfaltigkeiten gilt die Umkehrung von 
Lemma~\ref{lem:wegzusammenhangend}. Genauer gesagt gilt folgender Satz, welcher in  \"Ubungsblatt 3 bewiesen wird.

\begin{satz}\label{satz:mannigfaltigkeit-zusammenhaengend}
Es sei $M\subset \R^n$ eine  $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Dann gilt:
\[ \mbox{$M$ ist zusammenh\"angend}\quad \Longleftrightarrow \quad \mbox{$M$ ist wegzusammenh\"angend.} \]
\end{satz}

Folgende Definition hatten wir ganz \"ahnlich schon in Analysis~III kennen gelernt.
Es sei $X$ ein topologischer Raum F\"ur $x,y\in X$ definieren wir
\[ x\sim y\quad :\Longleftrightarrow \quad\mbox{es gibt einen Weg  von $x$ nach $y$.}\]
Es ist leicht zu zeigen, dass dies eine  eine \"Aquivalenzrelation ist.
Wir bezeichnen die \"Aqui\-valenz\-klassen von $X$ als die \emph{Komponenten von $X$}.
Wenn $X$ aus nur einer \"Aqui\-valenz\-klasse besteht, dann ist $X$ per Definition wegzusammenh\"angend. 

\begin{beispiel}
Die Komponenten von $[0,1]\cup [2,3]$ sind gegeben durch $[0,1]$ und $[2,3]$.
\end{beispiel}
 
Wir erinnern auch noch an den Begriff der diskreten Teilmengen.

\begin{definition}
Wir sagen eine Teilmenge $D$ eines topologischen  Raums ist \emph{diskret}, wenn jeder Punkt $x\in D$ eine offene Umgebung $U$ besitzt, so dass $U\cap D=\{x\}$.
\end{definition}


\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Jede endliche Teilmenge von $\R^n$ ist diskret. In der Tat, denn f\"ur eine endliche Teilmenge $A\subset \R^n$ und $x\in A$ setzen wir $\epsilon:=\min\{\|x-y\|\,|\, y\in A\setminus \{x\}\}$. Dann ist $B_\epsilon(x)\cap A=\{x\}$.
\item Die Teilmenge  $\Z\subset \R$ ist diskret.
\item Es sei $X$ eine Menge, aufgefasst als topologischer Raum mit der diskreten Topologie. Dann ist jede Teilmenge diskret.
\end{enumerate}
\end{beispiel}
 
Wir beschlie\ss en  das Kapitel mit folgendem elementaren Lemma, welches wir als Lemma~6.5 in Analysis~II f\"ur metrische R\"aume bewiesen hatten. Der Beweis f\"ur topologische R\"aume ist auch hier wieder wort-w\"ortlich der gleiche.

\begin{lemma}\label{lem:diskrete-bilder-konstant}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen zwei topologischen  R\"aumen. Wenn $X$ zusammenh\"angend ist und wenn $f(X)$ diskret ist, dann ist $f$ eine konstante Abbildung.
\end{lemma}


\clearpage

%======================================================
\section{Der Gau\ss sche Integralsatz}



%======================================================
\subsection{Tangentialvektoren zu Untermannigfaltigkeiten}
In Analysis~II hatten wir schon die Begriffe Tangentialvektoren und Tangentialraum f\"ur Untermannigfaltigkeiten ohne Rand eingef\"uhrt. Wir erweitern nun die Definition auf beliebige Untermannigfaltigkeiten.


\begin{definition}
Es sei $M\subset \R^n$ eine Untermannigfaltigkeit und $P$ ein Punkt auf  $M$.
\begin{enumerate}
\item Ein \emph{nichttriviales} Intervall ist ein Intervall, welches nicht aus nur einem Punkt besteht.
\item Eine  \emph{Kurve in $M$ durch $P$} ist eine stetig differenzierbare\footnote{Wie in Analysis~I nennen wir eine Abbildung $\gamma\colon I\to \R^n$ auf einem Intervall $I$ stetig differenzierbar, wenn \label{fussnote:stetig-differenzierbar-auf-abgeschlossenem-intervall}
 $\gamma$  stetig ist, wenn $\gamma$ auf den inneren Punkten von $I$ stetig differenzierbar ist und wenn sich  die Ableitung $\gamma'$ zu einer stetigen Funktion auf ganz $I$ fortsetzt. Diese Fortsetzung auf ganz $I$ wird dann auch wieder mit $\gamma'$ bezeichnet.}
 Abbildung
$ \gamma\colon I\to  M $ auf einem nichttrivialen Intervall $I$ mit $0\in I$ und mit $\gamma(0)=P$.
\item
Ein Vektor $v\in \R^n$ hei\ss t \emph{Tangentialvektor} an $M$ im Punkt $P$, wenn es eine Kurve $\gamma$ in $M$ durch $P$ gibt, so dass $\gamma'(0)=v$.\label{def:tangentialraum-untermannigfaltigkeit}
\item Die Menge aller Tangentialvektoren am Punkt $P$ wird mit $T_PM$ bezeichnet. Wir nennen $T_PM$ den \emph{Tangentialraum} am Punkt $P$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{definition-tangentialvektor.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:definition-tangentialvektor}
\end{center}
\end{figure}

\begin{beispiel}
Wir betrachten den Punkt $P=(1,0,0)$ auf der  Untermannigfaltigkeit
\[ M\,\,:=\,\,\{ (x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2+z^2=1\mbox{ und }z\geq 0\}.\]
Dann ist 
\[ \begin{array}{rcl} \gamma \colon [-\frac{\pi}{2},0] &\to & M\\
t&\mapsto &(-\sin(t),0,-\cos(t))\end{array} \]
eine Kurve in $M$ durch $P$. Insbesondere ist $\gamma'(0)=(0,0,-1)$  ein Tangentialvektor am Punkt $P$.
\end{beispiel}

Der folgende Satz ist eine einfache Verallgemeinerung von  Satz~11.4 aus Analysis~II.

\begin{satz}\label{satz:tangentialraum-ist-vektorraum}
Es sei $M\subset \R^n$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
F\"ur jeden Punkt $P$ auf  $M$ ist $T_PM$ ein $k$-dimensionaler Vektorraum.
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Von der Anschauung her ist $T_PM$ der $k$-dimensionale Unterraum von $\R^n$, welcher die Untermannigfaltigkeit am Punkt $P$ am besten approximiert.\footnote{Allerdings ist der Tangentialraum ein Vektorraum, er geht also durch den Ursprung und normalerweise nicht durch den Punkt $P$. Um den ``anschaulichen Tangentialraum'' zu erhalten m\"ussen wir $T_PM$ vom Ursprung zum Punkt $P$ verschieben.} Der Tangentialraum spielt also f\"ur Untermannigfaltigkeiten die Rolle der Tangenten f\"ur Graphen in $\R^2$. 
\end{bemerkung}

% Ende 5. Vorlesung


F\"ur $v\in \R^n$ schreiben wir im Folgenden
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{3.8cm}
v^\perp&=&\{ w\in \R^n\,|\, w\mbox{ ist orthogonal zum Vektor }v\}.
\intertext{Allgemeiner schreiben wir f\"ur $A\subset \R^n$}
A^\perp&=&\{ w\in \R^n\,|\, w\mbox{ ist orthogonal zu allen }v\in A\}.\end{array}
\end{align*}

\
 


\begin{definition}
Es sei $M\subset \R^n$ eine Untermannigfaltigkeit und $P$ ein Punkt auf $M$.
Ein Vektor $v\in \R^n$ hei\ss t \emph{Normalenvektor}  von $M$ in $P$, wenn $v\in (T_PM)^\perp$.
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{normalenvektoren.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:normalenvektoren}
\end{center}
\end{figure}

Wenn wir Untermannigfaltigkeiten betrachten, welche als Urbild eines regul\"aren Wertes einer Funktion $f\colon U\to \R$ gegeben sind, dann besagt folgender Satz, welcher die Aussagen von Satz~11.5 und 11.6 aus Analysis~II kombiniert,  dass  es  besonders einfach ist die Tangentialr\"aume und die Normalenvektoren zu bestimmen.

\begin{satz}\label{satz:tangentialraum-ist-vektorraumfminus}\label{satz:normal-fminus}
Es sei  $U\subset \R^n$ offen, es sei $f\colon U\to \R$ eine glatte Abbildung und es sei $z\in \R$ ein regul\"arer Wert.
Dann ist $M:=f^{-1}(z)\subset \R^n$ eine $(n-1)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit,
und f\"ur jeden Punkt $P\in M$ gilt:
\[ T_PM\,\,=\,\,\big(\operatorname{Grad} f(P)\big)^{\perp}.\]
Zudem gilt
\[\mbox{Menge der Normalenvektoren am Punkt $P$}\,\,=\,\,\R\cdot \operatorname{Grad} f(P).\]
\end{satz}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{normalenvektoren-mannigfaltigkeit.pstex_t}
\caption{Illustration von Satz~\ref{satz:normal-fminus}.}
\label{fig:normalenvektoren-mannigfaltigkeit}
\end{center}
\end{figure}



\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Wir betrachten zuerst die Untermannigfaltigkeit 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5cm} S^1&=&\big\{(x,y)\in \R^2\,\big|\,\underset{=:f(x,y)}{\underbrace{x^2+y^2}}=1\big\}.
\intertext{Dann gilt $\operatorname{Grad} f(x,y)=(2x,2y)$. Es folgt aus Satz~\ref{satz:tangentialraum-ist-vektorraumfminus}, dass der Tangentialraum von $M$ an einem beliebigen Punkt $(x,y)\in S^1$  gegeben ist durch}
 T_{(x,y)}S^1&=&(2x,2y)^{\perp}\,\,=\,\,\{ \lambda(y,-x)\,|\, \lambda\in \R\}.\end{array} \end{align*}
\item
Wir betrachten  nun das Ellipsoid
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{5cm} M&=&\big\{(x,y,z)\in \R^3\,\big|\, \underset{=:f(x,y,z)}{\underbrace{2x^2+3y^2+4z^2}}=9 \big\}.
\intertext{Dann gilt $\operatorname{Grad} f(x,y,z)=(4x,6y,8z)$, 
und es folgt aus Satz~\ref{satz:tangentialraum-ist-vektorraumfminus}, dass der Tangentialraum von $M$ am Punkt $(1,1,1)$  gegeben ist durch}
 T_{(1,1,1)}M&=&(4,6,8)^{\perp}\,\,=\,\,\{ \lambda(3,-2,0)+\mu(-2,0,1)\,|\, \lambda,\mu\in \R\}.\end{array}\end{align*}
\end{enumerate}
\end{beispiel}




%======================================================
\subsection{Vektorfelder auf Untermannigfaltigkeiten}\label{section:vfaufumf}
Wir erinnern an folgende Definition aus der Analysis~II Vorlesung.

\begin{definition}
Es sei $M\subset \R^n$ eine  Untermannigfaltigkeit.
Ein \emph{Vektorfeld} auf $M$ ist eine stetige Abbildung $v\colon M\to \R^n$.
Wir sagen $v$ ist stetig differenzierbar (beziehungsweise glatt), wenn die Koordinatenfunktionen von $v$ stetig differenzierbar (beziehungsweise glatt) sind.
\footnote{Wir hatten in Kapitel~\ref{section:diffbarfaufm} definiert, was es hei\ss t, dass eine reellwertige Funktion auf einer Untermannigfaltigkeit stetig, stetig differenzierbar etc.\  ist.}
\end{definition}



Etwas salopp gesprochen ordnet ein Vektorfeld  jedem Punkt in $M$ einen Vektor zu.
Vektorfelder (z.B.\ das magnetische Feld, Gravitationsfeld, aber auch Windrichtung etc.) spielen eine wichtige Rolle in der Physik.

\begin{definition}
Es sei $M\subset \R^n$ eine Untermannigfaltigkeit  und es sei  $F\colon M\to \R^n$  ein Vektorfeld auf $M$.
\begin{enumerate}
\item $F$ hei\ss t  \emph{Tangentialvektorfeld}, wenn $F(P)\in T_PM$ f\"ur alle  $P\in M$,
\item $F$ hei\ss t \emph{Normalenfeld}, wenn $F(P)\perp T_PM$ f\"ur alle  $P\in M$,
\item  $F$ hei\ss t \emph{normiert}, wenn $\|F(P)\|=1$ f\"ur alle $P\in M$,
\item ein normiertes Normalenfeld hei\ss t \emph{Einheitsnormalenfeld}.
\end{enumerate}
\end{definition}

In Abbildung~\ref{fig:normalenfeld-s1} skizzieren wir zwei Einheitsnormalenfelder auf dem Kreis $X$ von Radius zwei. Eines davon zeigt ``nach au\ss en'' und das andere ``nach innen''. Wir werden gleich sehen, dass $X$ genau zwei Einheitsnormalenfelder  besitzt. 

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{normalenfeld-s1.pstex_t}
\caption{Einheitsnormalenfelder f\"ur den Kreis von Radius zwei.}
\label{fig:normalenfeld-s1}
\end{center}
\end{figure}


\begin{definition}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item 
Eine  \emph{Hyperfl\"ache\footnote{Der Name ist vielleicht etwas ungl\"ucklich, weil es sich im Allgemeinen \emph{nicht} um eine Fl\"ache handelt. Aber nachdem sich der Name so eingeb\"urgert hat, werden wir ihn auch verwenden.} in $\R^n$} ist eine  Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ der Kodimension 1,
d.h.\ eine Untermannigfaltigkeit der Dimension $n-1$ in $\R^n$.
\item  Es sei $N$ eine Hyperfl\"ache.  Eine \emph{Orientierung von $N$} ist ein  Einheitsnormalenfeld auf $N$. Wir sagen $N$ ist \emph{orientierbar}, wenn $N$ eine Orientierung besitzt.
\item Eine \emph{orientierte Hyperfl\"ache} ist ein Paar $(N,\nu)$, wobei $N$ eine Hyperfl\"ache  und $\nu$ ein Orientierung von $N$ ist.
\label{def:orientierung-hyperflaeche}
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item F\"ur $S^n\subset \R^{n+1}$ gibt es zwei Orientierungen, diese sind gegeben durch die beiden Einheitsnormalenfelder
\[ \begin{array}{rcl} F\colon S^n&\to & \R^{n+1}\\
x&\mapsto &x\end{array} \quad \mbox{ und } \quad \begin{array}{rcl} F\colon S^n&\to & \R^{n+1}\\
x&\mapsto &-x.\end{array}\]
\item Es sei $U\subset \R^{n-1}$ eine offene Teilmenge und $f\colon U\to \R$ eine glatte Funktion. Wir betrachten die Hyperfl\"ache\label{beispiel:normalenvektor-zu-graph}
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6cm} M&=&\{(x,f(x))\,|\,x\in U\}.
\intertext{F\"ur einen Punkt $P=(x,f(x))\in \partial M$ werden wir in \"Ubungsblatt~3 sehen, dass }
 \chi(P)&=& (-\operatorname{Grad} f(x),1)
 \end{array}\end{align*}
 ein Normalenvektor ist. (Dieser Normalenvektor wird f\"ur $n=2$ in Abbildung~\ref{fig:normalenvektor-zu-graph} skizziert.) Also ist dann durch
\[  
 \nu(P)\,\,=\,\, \tmfrac{\chi(P)}{\|\chi(P)\|}\,\,=\,\,\tmfrac{(-\operatorname{Grad} f(x),1)}{\sqrt{\|\operatorname{Grad} f(x)\|^2+1}}\]
ein Einheitsnormalenfeld auf $\partial M$ definiert. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{normalenvektor-zu-graph.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:normalenvektor-zu-graph}
\end{center}
\end{figure}
\item Als letztes Beispiel betrachten wir noch 
\item das M\"obiusband, welches in 
Abbildung~\ref{fig:moebius-band} skizziert ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{moebius-band.pstex_t}
\caption{Das M\"obiusband besitzt kein  Einheitsnormalenfeld.}
\label{fig:moebius-band}
\end{center}
\end{figure}
Dies ist eine Hyperfl\"ache, aber $N$ besitzt kein  Einheitsnormalenfeld, d.h.\ das M\"obiusband ist nicht orientierbar.
Diese Aussage  ist bildlich klar, ein sauberer Beweis ist allerdings etwas aufw\"andig und erfolgt im folgendem Lemma.
\end{enumerate}
\end{beispiele}



\begin{lemma}\label{lem:moebiusband-nicht-orientierbar}
Das M\"obiusband ist nicht orientierbar.
\end{lemma}

\begin{proof}
F\"ur $\varphi,\psi\in \R$, $\epsilon\in \{-1,1\}$ und $r\in (-1,1)$ setzen wir 
\[  A(\varphi):=\mbox{$\footnotesize{\begin{pmatrix} \cos \varphi&-\sin \varphi&0 \\ \sin \varphi&\hspace{-0.2cm}\hfill \cos \varphi& 0\\ \hfill 0&\hfill 0& 1\end{pmatrix}}$},
u=\mbox{$\footnotesize{\begin{pmatrix} 2\\0\\0\end{pmatrix}}$}, v(r,\psi):=\mbox{$\footnotesize{\begin{pmatrix} 2+r\sin \psi \\ 0 \\ r\cos\psi \end{pmatrix}}$}\mbox{ und }w_\epsilon(\psi):=\mbox{$\footnotesize{\begin{pmatrix} \sin \big(\psi+\epsilon\tmfrac{\pi}{2}\big) \\ 0 \\ \cos\big(\psi+\epsilon\tmfrac{\pi}{2}\big) \end{pmatrix}}$}.\]
Wir beschreiben das  M\"obiusband als 
\[ M\,\,:=\,\, \big\{ A(\varphi)\cdot v\big(r,\tmfrac{1}{2}\varphi\big)\,\big|\, \mbox{$\varphi\in [0,2\pi]$ und $r\in (-1,1)$}\big\}.\]
Wir erhalten also das M\"obiusband in dem wir ein offenes Intervall entlang des Kreises
\[ K\,\,:=\,\,\{A(\varphi)\cdot u\,|\,\varphi\in [0,2\pi]\}\] 
verdrillen. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{moebiusband-nicht-orientierbar.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Lemma~\ref{lem:moebiusband-nicht-orientierbar}}
\end{center}\label{fig:moebiusband-nicht-orientierbar}
\end{figure}
An einem Punkt $K(\varphi)=A(\varphi)\cdot u$
ist die Menge der normierten Normalenvektoren gegeben durch $\widetilde{K}(\varphi):=\big\{ A(\varphi)\cdot w_\epsilon\big(\tmfrac{\varphi}{2}\big)\,\big|\, \epsilon\in \{-1,1\}\big\}$. 
Nehmen wir an, es g\"abe doch ein Einheitsnormalenfeld $\nu$. Indem wir $\nu$ auf $K$ einschr\"anken erhalten wir insbesondere eine stetige Abbildung
\[ \nu\colon K\,\,\to\,\, \widetilde{K}\,\,:=\,\,  \big\{\widetilde{K}(\varphi)\,\big|\,\varphi\in [0,2\pi]\big\},\]
mit $\nu(K(\varphi))\in \widetilde{K}(\varphi)$. F\"ur $\varphi\in [0,2\pi)$ bezeichnen  wir mit $\epsilon(\varphi)\in \{-1,1\}$ das eindeutig bestimmte Element mit $\nu(K(\varphi))=A(\varphi)\cdot w_{\epsilon(\varphi)}\big(\tmfrac{\varphi}{2}\big)$. Die Abbildung $\epsilon\colon [0,2\pi)\to \{-1,1\}$ ist stetig, also nach 
Lemma~\ref{lem:diskrete-bilder-konstant} konstant. 
 Dann gilt
\[ \begin{array}{rllll}
&\hspace{1.3cm}\mfbox{da $K(0)=K(2\pi)$}\hspace{0.4cm}\mfbox{da $\nu$ stetig}\\
&\hspace{2.3cm}\downarrow \hspace{2.3cm}\downarrow\\
A(0)\cdot w_{\epsilon(0)}(0)&=\,\,\nu(K(0))\,\, =\,\,\nu(K(2\pi))\,\,=\,\,\underset{\varphi\to 2\pi}{\lim}\nu(K(\varphi))\,\,=\,\,
\underset{\varphi\to 2\pi}{\lim}A(\varphi)\cdot w_{\epsilon(\varphi)}\big(\tmfrac{\varphi}{2}\big)\\
&=\,\,
\underset{\varphi\to 2\pi}{\lim}A(\varphi)\cdot w_{\epsilon(0)}\big(\tmfrac{\varphi}{2}\big)\,\,=\,\,A(2\pi)\cdot w_{\epsilon(0)}(\pi)\,\,=\,\,A(0)\cdot (-w_{\epsilon(0)}(0)).\\[-0.1cm]
&\uparrow\hspace{8.1cm}\uparrow\\
&\hspace{-2cm}\mfbox{da $\epsilon$ konstant}\hspace{5.8cm}\mfbox{da $A(2\pi)=A(0)$ und $w_{\epsilon}(\psi)=-w_{\epsilon}(\psi+\pi)$}\end{array}\]
Wir haben also gezeigt, dass $A(0)\cdot w_{\epsilon(0)}(0)=-A(0)\cdot w_{\epsilon(0)}(0)$. Aber dieser Vektor ist nicht der Nullvektor. Wir haben also einen Widerspruch erhalten.
\end{proof}


\begin{satz}\label{satz:zahl-der-orientierungen}
Eine zusammenh\"angende Hyperfl\"ache besitzt entweder keine oder genau zwei Orientierungen.
\end{satz}

\begin{proof}
Es sei $N$ eine zusammenh\"angende Hyperfl\"ache. Wir nehmen an $F$ besitzt eine Orientierung $\nu\colon N\to \R^n$. Dann ist auch $-\nu\colon N\to \R^n$ eine Orientierung. Es sei nun $\nu\colon N\to \R^n$ eine weitere Orientierung. Wir wollen zeigen, dass entweder $\mu=\nu$ oder $\mu=-\nu$. F\"ur jeden Punkt $P\in N$ gibt es genau zwei Normalenvektoren zum Vektorraum $T_PM$ der L\"ange eins. Es  gilt also entweder $\mu(P)=\nu(P)$ oder $\mu(P)=-\nu(P)$. Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} \varphi\colon N&\to &\{-1,1\}\\
P&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} +1,&\mbox{ wenn }\mu(P)=\nu(P),\\
-1,&\mbox{ wenn }\mu(P)=-\nu(P).\end{array}\right.\end{array}\]
Nachdem $\nu$ und $\mu$ stetig sind ist auch auch die Funktion $\varphi$ stetig. Nachdem $N$ zusammenh\"angend ist und nachdem $\{-1,1\}$ eine diskrete Teilmenge von $\R$ ist, folgt nun aus Lemma~\ref{lem:diskrete-bilder-konstant}, dass $\varphi$ konstant ist. Es ist also entweder $\mu=\nu$ oder $\mu=-\nu$. Wir haben damit bewiesen, dass $N$ genau zwei Orientierungen besitzt.
\end{proof}

\begin{satz}\label{satz:nvf}
Es sei $M\subset \R^n$ eine  $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Dann gibt es genau ein  Einheitsnormalenfeld $\nu\colon \partial M\to \R^n$ mit der Eigenschaft,  dass es f\"ur jedes $P\in \partial M$ ein $\epsilon>0$ gibt, so dass $P+t\cdot \nu(P)\not\in M$ f\"ur alle $t\in (0,\epsilon)$.
\end{satz}

\begin{definition}
Es sei  $M\subset \R^n$ eine  $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
Wir nennen das in Satz~\ref{satz:nvf} eindeutig bestimmte  Einheitsnormalenfeld auf $\partial M$, dass  \emph{\"au\ss ere Einheitsnormalenfeld}.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
Anschaulich gesprochen ist das \"au\ss ere Einheitsnormalenfeld an jedem Punkt $P\in \partial M$ gegeben durch den Einheitsnormalenvektor, welcher ``nach au\ss en'' zeigt. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{ausseres-normalenfeld.pstex_t}
\caption{Skizze f\"ur das \"au\ss ere Einheitsnormalenfeld.}
\label{fig:ausseres-normalenfeld}
\end{center}
\end{figure}
\end{bemerkung}


\begin{proof}
Es sei also $M\subset \R^n$ eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Au\ss erdem sei $P\in \partial M$.
Im Hinblick auf Satz~\ref{satz:mannigfaltigkeit-mit-rand-lokal-ein-graph} k\"onnen wir, eventuell nach Anwendung einer Permutationsmatrix, annehmen, dass 
 es einen offenen Quader $Q\subset \R^{n-1}$, reelle Zahlen $a<b$ und eine glatte Funktion $f\colon Q\to (a,b)$ gibt, so dass 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{3.9cm}  M\cap (Q\times (a,b))&=&\{(x,y)\,|\, x\in Q\mbox{ und }y\leq f(x)\}
\intertext{und}
\partial M\cap (Q\times (a,b))&=&\{(x,y)\,|\, x\in Q\mbox{ und }y= f(x)\}.
\end{array}\end{align*}
Wir w\"ahlen $x\in Q$, so dass $P=(x,f(x))$. 
Es folgt dann aus dem  Beispiel auf Seite~\pageref{beispiel:normalenvektor-zu-graph}, dass 
\[ 
 \nu(P)\,\,:=\,\,\setminusfrac{\chi(P)}{\|\chi(P)\|} \mbox{ mit }\chi(P):= (-\operatorname{Grad} f(x),1)\]
ein normierter  Normalenvektor zu $\partial M$ ist. 
Es gibt zudem\footnote{Warum?} ein  $\epsilon>0$, so dass $P+t\cdot \nu(P)\not\in M$ f\"ur alle $t\in (0,\epsilon)$, w\"ahrend es f\"ur alle $\epsilon>0$  ein $t\in (0,\epsilon)$ gibt, so dass $P+t\cdot (-\nu(P))$ in $M$ liegt. Die Abbildung $\nu$  ist also in $P$ eindeutig bestimmt. Es folgt zudem aus der Definition, dass die gerade konstruierte Abbildung $\nu\colon \partial M\cap (Q\times (a,b))\to \R^n$ stetig ist. Also definiert $\nu$ ein Vektorfeld auf $\partial M\cap (Q\times (a,b))$.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{konstruktion-ausseres-normalenfeld.pstex_t}
\caption{Konstruktion des "au\ss eren Einheitsnormalenfeldes.}
\label{fig:konstruktion-ausseres-normalenfeld}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}






\begin{beispiel}
Es sei  $U\subset \R^n$ offen, es sei $f\colon U\to \R$ eine glatte Funktion und es seien $z_1,z_2\in \R$ regul\"are Werte.
Nach Satz~\ref{satz:tangentialraum-ist-vektorraumfminus2} ist $M:=f^{-1}([z_1,z_2])\subset \R^n$ eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit
\[ \partial M\,\,=\,\,f^{-1}(z_1)\cup f^{-1}(z_2).\]
Mithilfe von Satz~\ref{satz:normal-fminus} kann man zudem leicht zeigen, dass  das \"au\ss ere Einheitsnormalenfeld gegeben ist durch
\begin{align*}
\begin{array}{rcrl}
\hspace{3cm}\nu(P)&=&\tmfrac{1}{\|\operatorname{Grad} f(P)\|}\operatorname{Grad} f(P) &\mbox{ f\"ur $P\in f^{-1}(z_2)$ }
\intertext{und \footnotemark}
 \nu(P)&=&-\,\,\tmfrac{1}{\|\operatorname{Grad} f(P)\|}\operatorname{Grad} f(P) &\mbox{ f\"ur $P\in f^{-1}(z_1)$}.
 \end{array}
 \end{align*}
Beispielsweise\footnotetext{Das Minuszeichen r\"uhrt daher, dass das Normalenfeld ``nach au\ss en'' zeigen soll.} ist f\"ur $(x_1,\dots,x_n)\in S^{n-1}=\partial D^n$ das  \"au\ss ere Einheitsnormalenfeld gegeben
durch $\nu(x_1,\dots,x_n)=(x_1,\dots,x_n)$.
\end{beispiel}





%======================================================
\subsection{Formulierung des Gau\ss schen Integralsatzes}

Bevor wir den Gau\ss schen Integralsatz formulieren k\"onnen, ben\"otigen wir noch zwei weitere Definitionen:

\begin{definition}
Es sei  $(N,\nu)$ eine orientierte kompakte Hyperfl\"ache in $\R^n$ und es sei
 $F\colon N\to \R^n$ ein  Vektorfeld.
 Die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} N&\to & \R \\
P&\mapsto & \underset{\operatorname{Skalarprodukt}}{\underbrace{F(P)\cdot \nu(P)}}\end{array} \]
ist dann eine stetige Funktion auf der kompakten Untermannigfaltigkeit $N$, insbesondere integrierbar.
Das Integral
\[ \bint\limits_{N} F\cdot \nu\]
wird der \emph{Fluss des Vektorfeldes $F$ durch die orientierte Hyperfl\"ache $(N,\nu)$} genannt.
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{fluss-durch-hyperflaeche.pstex_t}
\caption{Skizze zum Fluss eines Vektorfeldes durch eine orientierte Hyperfl\"ache.}
\label{fig:fluss-durch-hyperflaeche}
\end{center}
\end{figure}

\begin{definition}
Es sei  $U$ eine offene Teilmenge von $\R^n$ und es sei
$F\colon  U\to \R^n$ 
ein differenzierbares Vektorfeld. Wir definieren die
\emph{Divergenz von $F=(F_1,\dots,F_n)$} als die Funktion\footnote{Diese Definition erscheint vielleicht auf den ersten Blick etwas willk\"urlich. Eine alternative Definition w\"are, dass $\operatorname{div} F(P)=\mbox{Spur}(DF(P))$ die Spur des Differentials der Abbildung $F\colon U\to \R$ ist.}
\[ \begin{array}{rcl}
\operatorname{div} F\colon  U&\to & \R \\
P&\mapsto & \operatorname{div} F(P):=\lmsum{i=1}{n} \tmfrac{\partial F_i}{\partial x_i}(P).\end{array} \]
\end{definition}

Wir k\"onnen nun den Gau\ss schen Integralsatz formulieren:

\begin{satz}\emph{\textbf{(Gau\ss scher Integralsatz)}}\label{satz:gauss}
Es sei $M\subset \R^n$ eine kompakte $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
Wir bezeichnen mit $\nu$ das \"au\ss ere Einheitsnormalenfeld auf $\partial M$.
Es sei $F\colon M\to \R^n$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld.\footnote{Wir verwenden hierbei die gleichen Konvention wie in den Fu\ss noten~\ref{fussnote:stetig-differenzierbar-auf-abgeschlossenem-quader}
und~\ref{fussnote:stetig-differenzierbar-auf-abgeschlossenem-intervall}. Genauer gesagt, ein   stetig differenzierbares Vektorfeld  $F\colon M\to \R^n$ ist ein stetiges Vektorfeld auf $M$, welches auf der offenen Menge $M\setminus \partial M$ stetig differenzierbar ist, und so dass sich die partiellen Ableitungen der Koordinatenfunktionen von $F$ (und damit auch die Divergenz) zu  stetigen Funktionen auf ganz $M$ fortsetzen.}
Dann gilt
\[ \bint\limits_{\partial M} F\cdot \nu\,\,=\,\,\bint\limits_M \operatorname{div} F.\]
\end{satz}

In Worten ausgedr\"uckt besagt der Gau\ss sche Integralsatz Folgendes:
f\"ur ein stetig differenzierbares Vektorfeld $F$ auf einer   kompakten Untermannigfaltigkeit $M$ der Kodimension Null gilt
\[ \begin{array}{c} \mbox{Fluss  von $F$ durch die}\\ \mbox{``Oberfl\"ache'' von $M$}\end{array}\,\,=\,\,\begin{array}{c}\mbox{Integral \"uber die 
}\\
\mbox{Divergenz von $F$ auf $M$.}\end{array}   \]


\begin{beispiel}
Wir wollen die Aussage des Gau\ss schen Integralsatz im Spezialfall $n=1$ nachvollziehen.
Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item eine kompakte eindimensionale zusammenh\"angende Untermannigfaltigkeit von $\R$  ist ein kompaktes Intervall $M=[a,b]\subset \R$  mit $a<b$, wobei $\partial M=\{a\}\cup \{b\}$,
\item ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf $M$ ist eine stetig differenzierbare Abbildung $F\colon M\to \R$,
\item die Divergenz von $F$ ist die Ableitung $F'$ von $F$,
\item der \"au\ss ere Einheitsnormalenvektor in $a$ ist $-1$ und der \"au\ss ere Einheitsnormalenvektor in $b$ ist $1$.
\end{enumerate}
Dann gilt 
\[ \begin{array}{rl} \bint\limits_{a}^{b} F'(x)\,dx &=\,\, \bint\limits_{[a,b]} \operatorname{div} F\,\,=\,\,\bint\limits_{\partial [a,b]}F\cdot \nu\,\,=\,\,\bint\limits_{\{a\}}F\cdot \nu+\bint\limits_{\{b\}}F\cdot \nu\\[-0.27cm]
&\uparrow\hspace{2.25cm} \uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mfbox{denn $\operatorname{div} F=F'$}\hspace{0.5cm}\mfbox{Gau\ss scher Integralsatz}\\[0.1cm]
&=\,\,F(a)\cdot(-1)+F(b)\cdot 1\,\,=\,\,F(b)-F(a).\\
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mfbox{f\"ur eine nulldimensionale Untermannigfaltigkeit $N=\{P_1,\dots,P_l\}$}\\[-0.1cm]
&\hspace{-1.1cm}\mfbox{von $\R^n$ und $f\colon N\to \R$ eine Funktion gilt $\int\limits_N f =f(P_1)+\dots+f(P_l)$}
\end{array} \]
Im Falle $n=1$ ist der Gau\ss sche Integralsatz also \"aquivalent zum Hauptsatz der Differential-- und Integralrechnung aus der Analysis~I.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Es sei $M\subset \R^2$ eine beliebige kompakte 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Wir betrachten die  Vektorfelder, welche gegeben sind durch
\begin{align*}
\begin{array}{rclcrclcrcl}
\hspace{0.8cm} F(x,y)&=&(1,0) &\mbox{und} &G(x,y)&=&(x,y)&\mbox{sowie} &H(x,y)&=&(-y,x).
\intertext{Hierbei ist}
\operatorname{div} F(x,y)&=&0 &\mbox{und} &\operatorname{div} G(x,y)&=&2&\mbox{sowie} &\operatorname{div} H(x,y)&=&0.
\end{array}
\end{align*}
Es folgt also aus dem Gau\ss schen Integralsatz, dass der Fluss von $F$ und $H$ durch $\partial M$ null ist, w\"ahrend der Fluss von $G$ durch $\partial M$ positiv ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{veranschaulichung-gauss.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:veranschaulichung-gauss}
\end{center}
\end{figure}
\end{beispiel}

Die Beweisidee f\"ur den Beweis vom Gau\ss schen Integralsatz ist nun wie folgt: wir \"uberdecken die Untermannigfaltigkeit $M$ mit zwei Typen von offenen Quadern:\label{bem:quader-ueberdecken-m}
\begin{enumerate}
\item[(i)] offene Quader, welche ganz in $M$ liegen,
\item[(ii)] offene Quader, so dass der Schnitt mit $\partial M$, eventuell nach Anwendung einer Permutationsmatrix, ein Graph ist.
\end{enumerate}
Ganz analog zur Definition vom Integral einer Funktion auf einer Untermannigfaltigkeit f\"uhren wir nun den Beweis zur\"uck auf die Betrachtung von Vektorfeldern auf solchen Quadern. In beiden F\"allen folgt dann die Aussage mithilfe einer expliziten, wenn auch im Fall (ii) langwierigen, Rechnung. Wir f\"uhren nun diese Beweisidee  in den folgenden Kapiteln aus.
\label{bem:beweisidee-gausscher-integralsatz}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{strategie-beweis-gausscher-integralsatz.pstex_t}
\caption{Schematisches Bild der offenen Mengen $U_1,\dots,U_k$.}
\label{fig:strategie-beweis-gausscher-integralsatz}
\end{center}
\end{figure}

%======================================================
\subsection{Beweis  des Gau\ss schen Integralsatzes I: Quader}


\begin{satz} \label{satz:gaussw}
Es sei $F$ ein stetig  differenzierbares Vektorfeld auf einem $n$-dimensionalen Quader $Q$ in $\R^n$, welches auf dem Rand $\partial Q$ verschwindet.
Dann gilt\footnote{Nachdem $Q$ keine Untermannigfaltigkeit ist, ist dies kein Spezialfall vom Gau\ss schen Integralsatz. Nichtsdestotrotz ist diese Aussage ganz im Sinne vom Gau\ss schen Integralsatz: der Flu\ss{} durch die ``Oberfl\"ache von $Q$'' verschwindet, denn das Vektorfeld ist dort nach Voraussetzung null, also muss auch das Integral \"uber die Divergenz verschwinden.}
\[ \bint\limits_Q \operatorname{div} F \,\,=\,\, 0.\]
\end{satz}

Satz~\ref{satz:gaussw} folgt sofort aus der Definition
\[ \operatorname{div} (F_1,\dots,F_n)\,\,=\,\,\tmsum{i=1}{k} \tmfrac{\partial F_i}{\partial x_i},\]
der Linearit\"at des Integrals und  folgendem Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:integral-ableitung-null}
Es sei $\psi\colon Q\to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion auf einem $n$-dimensionalen Quader,  welche auf dem Rand $\partial Q$ verschwindet. Dann gilt f\"ur alle $i\in \{1,\dots,n\}$, dass
\[ \bbint\limits_Q \tmfrac{\partial}{\partial x_i} \psi \,\,=\,\,0.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir betrachten zuerst den Spezialfall $n=1$. 
Es sei also $Q=[a,b]\subset \R$ ein Quader und es sei $\varphi\colon Q=[a,b]\to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion, so dass $\varphi(a)=\varphi(b)=0$.
Dann gilt
\[ \bbint\limits_{x=a}^{x=b} \tmfrac{\partial}{\partial x}\varphi(x)\,dx\,\,=\,\,
\varphi(b)-\varphi(a)\,\,=\,\,0.\]
Wir betrachten nun den allgemeinen Fall.
Es sei also $Q=[a_1,b_1]\times \dots \times [a_n,b_n]\subset \R^n$ ein Quader und es sei $\psi\colon Q\to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion, so dass $\psi$ auf dem Rand $\partial Q$ verschwindet. Wir beweisen nun die Aussage f\"ur $i=1$. 
Es ist
\[ \begin{array}{rl}\bbint\limits_Q \tmfrac{\partial}{\partial x_1} \psi&=\,\,\bbint\limits_{x_n=a_n}^{x_n=b_n}\dots\hspace{-0.2cm}
\bbint\limits_{x_{2}=a_{2}}^{x_{2}=b_{2}} \hspace{-0.2cm}
\underset{\scriptsize{\begin{array}{c}\opnormal{$=0$, nach dem obigen Fall}\\
\opnormal{angewandt auf $\varphi(x_1)=\psi(x_1,\dots,x_k)$}\end{array}}}{\underbrace{\bbint\limits_{x_1=a_1}^{x_1=b_1} \tmfrac{\partial}{\partial x_1} \psi(x_1,\dots,x_n)\,dx_1}}\hspace{-0.3cm}\,dx_2\dots\,dx_n\,\,=\,\,0.\\[-1.5cm]
&\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{0.046cm}|\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz von Fubini} \end{array}\]
Die Aussage f\"ur die anderen $i$'s  wird ganz analog bewiesen. 
\end{proof}


%======================================================
\subsection{Beweis des Gau\ss schen Integralsatzes II: Stempel}
Es sei $Q\subset \R^{n-1}$ ein $(n-1)$-dimensionaler Quader und es sei $g\colon Q\to (0,\infty)$ eine glatte Funktion.
Wir nennen
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4.5cm}
 S&:=&\{(x,y)\,|\, x\in Q\mbox{ und } y\in [0,g(x)]\}
\intertext{einen \emph{$n$-dimensionalen Stempel} und wir bezeichnen}
 \partial_0S&:=&\{(x,y)\,|\, x\in \interior{Q}\mbox{ und } y=g(x)\}\end{array} \end{align*}
als die \emph{Stempelfl\"ache}.
Wir bezeichnen mit $\partial_1S:=\partial S\setminus \partial_0 S$
den Rest des Randes von $S$.
Wie \"ublich bezeichnen wir mit $\nu$ das \"au\ss ere Einheitsnormalenfeld auf $\partial_0 S$

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{stempel.pstex_t}
\caption{Schematisches Bild eines Stempels.}
\end{center}
\end{figure}

% Ende 6. Vorlesung

Der folgende Satz behandelt nun Ausschnitte von Untermannigfaltigkeiten von Typ (ii), welche wir auf Seite~\pageref{bem:quader-ueberdecken-m} eingef\"uhrt hatten.

\begin{satz}\label{satz:gaussstempel}
Es sei $S$ ein $n$-dimensionaler Stempel und es sei $F\colon S \to \R^n$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld,
so dass $F$  auf $\partial_1S$  verschwindet.
Dann gilt
\[ \bint\limits_S \operatorname{div} F \,\,=\,\, \bint\limits_{\partial_0 S} F\cdot \nu.\]
\end{satz}

Der Beweis besteht aus einer heroischen Rechnung und  beruht wiederum darauf, die Aussage des Satzes
auf den Hauptsatz der Differential-- und Integralrechnung aus der Analysis~I zur\"uckzuf\"uhren.
In dem Beweis werden wir folgendes  Lemma verwenden.

\begin{lemma}\label{lem:differentiation-integral}
Es seien
\[ \begin{array}{rcl} \varphi\colon [a,b]\times [0,c]&\to &\R\\
(z,t)&\mapsto &\varphi(z,t)\end{array}\quad \mbox{ und }\quad 
\begin{array}{rcl} h\colon [a,b]&\to& [0,c]\\ z&\mapsto &h(z)\end{array}\]
stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt die Gleichheit\footnote{Beide Seiten sind Funktionen in $z$ auf $[a,b]$.}
\[ \tmfrac{d}{d z} \bbint\limits_{t=0}^{t=h(z)} \varphi(z,t)\,dt\,\,=\,\,\bbint\limits_{t=0}^{t=h(z)}\tmfrac{\partial}{\partial z}\varphi(z,t)\,dt\,+\,\varphi(z,h(z))\cdot \tmfrac{\partial h}{\partial z}.\] 
\end{lemma}

Der Beweis von Lemma~\ref{lem:differentiation-integral} ist eine Verallgemeinerung von \"Ubungs\-auf\-gabe 3 (b) in \"Ubungs\-blatt~2.


\begin{proof}
Wir betrachten die beiden Funktionen
\[ \begin{array}{rcl}\Phi\colon [0,c]\times [a,b]&\to&\R \\
 (x,y)&\mapsto &\Phi(x,y):= \bbint\limits_{t=0}^{t=x} \varphi(y,t)\,dt\end{array}\mbox{ und }
 \begin{array}{rcl}\Psi\colon [a,b]&\to &\R^2\\
 z&\mapsto& \Psi(z):=\mfbox{$\begin{pmatrix} h(z)\\ z\end{pmatrix}$}.\end{array}\]
Dann ist
\[ \begin{array}{ll} \tmfrac{d}{d z} \bbint\limits_{t=0}^{t=h(z)} \varphi(z,t)\,dt\,\,=\,\,\tmfrac{d}{d z}  (\Phi\circ \Psi)(z)&=\,\,D\Phi(\Psi(z))\cdot D\Psi(z)\\[-0.4cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Kettenregel}\\
&=\,\, \left. \begin{pmatrix} \tmfrac{\partial}{\partial x}\bint\limits_{t=0}^{t=x}\varphi(y,t)\,dt&\,\, \tmfrac{\partial}{\partial y}\bint\limits_{t=0}^{t=x}\varphi(y,t)\,dt\end{pmatrix}\right|_{(x,y)=\Psi(z)}\cdot\mfbox{$ \begin{pmatrix} \frac{\partial h}{\partial z}\\ 1\end{pmatrix}$}\\
&=\,\, \left. \begin{pmatrix} \varphi(y,x)&\,\, \bint\limits_{t=0}^{t=x}\tmfrac{\partial }{\partial y}\varphi(y,t)\,dt\end{pmatrix}\right|_{(x,y)=(h(z),z)}\cdot\mfbox{$ \begin{pmatrix} \frac{\partial h}{\partial z}\\ 1\end{pmatrix}$}\\[-0.4cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{HDI und Satz~\ref{satz:vertauschbarkeit-integral-differentiation}}\\
&=\,\,\varphi(z,h(z))\cdot \tmfrac{\partial h}{\partial z}\,+\,\bbint\limits_{t=0}^{t=h(z)}\tmfrac{\partial}{\partial z}\varphi(z,t)\,dt.\end{array}\] 
Wir haben damit die gew\"unschte Gleichheit bewiesen.
\end{proof}


Wir wenden uns nun dem eigentlichen Beweis von Satz~\ref{satz:gaussstempel} zu. 

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:gaussstempel}]
Es sei $Q\subset \R^{n-1}$ ein $(n-1)$-dimensionaler Quader  und zudem sei $g\colon Q\to (0,\infty)$ eine glatte Funktion. Wir bezeichnen mit $S\subset \R^n$ den dazugeh\"origen Stempel.
Au\ss erdem sei $ F=(F_1,\dots,F_n)\colon M\to \R^n$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf $S$, welches auf  $\partial_1S$  verschwindet. Wie wir auf Seite~\pageref{beispiel:normalenvektor-zu-graph} gesehen hatten ist das \"au\ss ere Einheitsnormalenfeld auf $\partial_0 S$
  gegeben durch
\[ \begin{array}{rrcl} \nu=(\nu_1,\dots,\nu_n)\colon & \partial_0S&\mapsto & \R^n \\
&(x,g(x))&\mapsto& \tmfrac{1}{\sqrt{1+\|\operatorname{Grad} g(x)\|^2}}{(-\operatorname{Grad} g(x),1)}.\end{array} \]

Wir wollen zuerst einen Ausdruck f\"ur das Integral einer Funktion auf der Untermannigfaltigkeit $\partial_0S$ bestimmen. Wir betrachten dazu die Karte $\Phi$  f\"ur $\partial_0S$, welche 
gegeben ist durch die Umkehrung der Abbildung\footnote{Im Folgenden bezeichnen wir mit $\Psi$ auch die Abbildung 
\[\begin{array}{rcl} Q&\to & Q\times \R\\
x'&\mapsto & \Psi(x',0).\end{array}\]}
\[ \begin{array}{rcl} \Psi\colon Q\times \R&\to &Q\times \R \\
(x_1,\dots,x_{n-1},x_n)&\mapsto & \footnotesize{\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\x_{n-1}\\gamma(x_1,\dots,x_{n-1})+x_n\end{pmatrix}}.\end{array} \]
F\"ur $x'=(x_1,\dots,x_{n-1})\in \interior{Q}$ berechnen wir 
\[ \begin{array}{rl} \operatorname{Gram}_\Phi(x')&=\,\,\operatorname{Gram}\big( \mbox{ersten $(n-1)$ Zeilen von $D_{x'}\Psi$}\big) =\operatorname{Gram}\mfbox{$\begin{pmatrix} 1&0&\dots &0 \\ 0&1&\dots&0 \\ \vdots&&\ddots&\vdots \\
0&\dots&0&1\\
\frac{\partial g}{\partial x_1}&\frac{\partial g}{\partial x_2}&\dots&\frac{\partial g}{\partial x_{n-1}}\end{pmatrix}$}\\[-0.4cm]
&=\,\,1+\|\operatorname{Grad} g(x')\|^2.\\
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{siehe Beispiel auf Seite~\pageref{beispiel:deet-von-aat}}
\end{array} \]

F\"ur eine Funktion $f$ auf $\partial_0S$ gilt dann also nach Definition, dass
\[ \bint\limits_{\partial_0 S}f\,\,=\,\,\bint\limits_{\interior{Q}} f(\Psi(x'))\cdot \sqrt{1+\|\operatorname{Grad} g(x')\|^2}\,dx'.\]

Nachdem $\operatorname{div}(F)=\tmsum{i=1}{n}\frac{\partial F_i}{\partial x_i}$ und $F\cdot \nu=\tmsum{i=1}{n}F_i\cdot \nu_i$ gen\"ugt es folgende Behauptung zu beweisen:

\begin{behauptung}
F\"ur alle $i=1,\dots,n$ gilt
\[ \bbint\limits_S \tmfrac{\partial F_i}{\partial x_i}\,\, =\,\, \bbint\limits_{\partial_0 S} F_i\cdot \nu_i.\]
\end{behauptung}

Wir unterscheiden jetzt folgende F\"alle im Beweis der Behauptung:
\begin{enumerate}
\item[(A)] Es sei zuerst $i=n$. Dann gilt, dass
\[ \begin{array}{rl} \bbint\limits_S \tmfrac{\partial F_n}{\partial x_n}&=\,\, \bbint\limits_Q \bbint\limits_0^{g(x')}\tmfrac{\partial F_n}{\partial x_n}
(x',x_n)\,dx_n\,dx'
\,\,=\,\, \bint\limits_{Q} F_n(x',g(x'))-\hspace{-0.3cm}\overset{\mfbox{$=0$, da $F_n|_{\partial_1 S}=0$}}{\overbrace{F_n(x',0)}}\hspace{-0.3cm}\,dx'\\[-3mm]
&\uparrow\hspace{5.2cm}\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz von Fubini}\hspace{1.5cm}
\mfbox{da $F_n$ Stammfunktion von $\frac{\partial F_n}{\partial x_n}$ bez\"uglich $x_n$}\\[1mm]
&=\,\, \bint\limits_{Q} F_n(\Psi(x'))\,dx'\\[2mm]
&=\,\,\bint\limits_{\interior{Q}} F_n(\Psi(x'))\cdot \underset{=\nu_n(\Psi(x'))}{\underbrace{\tmfrac{1}{\sqrt{1+\|\operatorname{Grad} g(x')\|^2}}}}\cdot\sqrt{1+\|\operatorname{Grad} g(x')\|^2}\,dx'=\bint\limits_{\partial_0 S} F_n\cdot \nu_n.\\[-0.7cm]
&\hspace{10.9cm}\uparrow\\
&\hspace{10.0cm}\mfbox{siehe vorherige Seite}\end{array}\]
\item[(B)] Wir betrachten nun den Fall $i=1$. Wir zerlegen den Quader $Q$ als $Q=[a,b]\times P$, wobei  $P\subset \R^{n-1}$ ein $(n-1)$-dimensionaler Quader ist. 
Dann gilt, dass
\[ \begin{array}{rl} 
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz von Fubini}\\
&\downarrow\\[-0.4cm]
\hspace{1.6cm}\bbint\limits_{S} \tmfrac{\partial F_1}{\partial x_1}\hspace{-0.2cm}&=\,\, \bbint\limits_{x''\in P}\,\,\bbint\limits_{x_1=a}^{x_1=b}\,\, \bbint\limits_0^{g(x_1,x'')}\tmfrac{\partial }{\partial x_1}
F_1(x_1,x'',x_n)\,dx_n\,dx_1\,dx''\\[0.1cm]
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:differentiation-integral} angewandt auf $\varphi(x_1,x_n)=F_1(x_1,x'',x_n)$ und $h(x_1)=g(x_1,x'')$}\\[-0.1cm]
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{mit $x''\in P$ fest gew\"ahlt}\\[0.1cm]
&\downarrow\\[-0.5cm]
&=\,\, \bbint\limits_P
\bbint\limits_{x_1=a}^{x_1=b} \,\,\tmfrac{\partial }{\partial x_1} \bbint\limits_0^{g(x')}F_1(x_1,x'',x_n)\,dx_n\,-\, F_1\big(x_1,x'',g(x_1,x'')\big)\cdot \tmfrac{\partial g}{\partial x_1}(x_1,x'') \,dx_1\,dx''\\[0.2cm]
&=\,\, \bbint\limits_P
\bbint\limits_{x_1=a}^{x_1=b} \tmfrac{\partial }{\partial x_1}\hspace{-0.2cm} \bbint\limits_0^{g(x')}\hspace{-0.2cm}F_1(x_1,x'',x_n)\,dx_n\,dx_1\,dx''\,-\,\bbint\limits_Q F_1(\Psi(x'))\cdot \tmfrac{\partial g}{\partial x_1}(x') \,dx'\\[0.2cm]
&=\,\, \bbint\limits_P \underset{\opnormal{$=0$, da $F_1|_{\partial_1 S}=0$}}{\underbrace{\bbint\limits_0^{g(x')}F_1(b,x'',x_n)\,dx_n}}-\underset{\opnormal{$=0$, da $F_1|_{\partial_1 S}=0$}}{\underbrace{\bbint\limits_0^{g(x')}F_1(a,x'',x_n)\,dx_n}}\,dx''\,-\,\bbint\limits_Q F_1(\Psi(x'))\cdot \tmfrac{\partial g}{\partial x_1}(x') \,dx'\\[-0.8cm]
&\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{0.046cm}|\\
&\hspace{-0.3cm}\mfbox{da $\int\limits_{x_1=a}^{x_1=b} h(x_1)dx_1=h(b)-h(a)$}\\
&=\,\,\bint\limits_{\interior{Q}} F_1(\Psi(x'))\cdot \underset{=\nu_1(\Psi(x'))}{\underbrace{\Big(-\tmfrac{\partial g}{\partial x_1}(x') \tmfrac{1}{\sqrt{1+\|\operatorname{Grad} g(x')\|^2}}\Big)}}\cdot\sqrt{1+\|\operatorname{Grad} g(x')\|^2}\,dx'\\[2mm]
&=\,\,\bint\limits_{\partial_0 S} F_1\cdot \nu_1.\end{array}\]
\item[(C)] Es sei nun $i\in \{2,\dots,n-1\}$ beliebig. Dieser Fall wird genau wie Fall (B) bewiesen, man zerlegt dabei den Quader $Q$ in ein Intervall, welches der $i$-ten Koordinate entspricht und einen $(n-1)$-dimensionalen Quader.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

Es sei nun $S$ ein Stempel und $P\in \R^n$ ein Punkt, wir nennen dann
\[ P+S:\,\,=\,\,\{P+Q\,|\,Q\in S\} \]
einen \emph{verschobenen Stempel}.
Es ist leicht zu sehen, dass die analoge Aussage von Satz~\ref{satz:gaussstempel} auch f\"ur verschobene Stempel gilt.

%======================================================
\subsection{Beweis des Gau\ss schen Integralsatzes III: Der allgemeine Fall}
Wir hatten schon auf Seite~\pageref{bem:beweisidee-gausscher-integralsatz} erw\"ahnt, dass wir folgende Strategie  f\"ur den Beweis vom Gau\ss schen Integralsatz verfolgen: wir \"uberdecken  $M$  durch endlich viele offene Quader und Stempel, welches es uns erlauben,  den allgemeinen Fall auf 
die Aussagen von 
 Satz~\ref{satz:gaussw} und  Satz~\ref{satz:gaussstempel} zur\"uckzuf\"uhren.
Wir ben\"otigen dazu folgendes Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:cinfty-ueberdeckung}
Es sei $M\subset \R^n$ eine kompakte Teilmenge und es seien $U_1,\dots,U_k$ offene Quader, welche $M$ \"uberdecken. Dann gibt es glatte Funktionen $z_1,\dots,z_k\colon \R^n\to [0,1]$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item auf $M$ gilt $z_1+\dots+z_k=1$,
\item f\"ur alle $i\in \{1,\dots,k\}$ gilt $\opnormal{Tr\"ager}(z_i)\subset U_i$.\footnote{Wir hatten den Tr\"ager einer Funktion schon in Analysis~III eingef\"uhrt.
Zur Erinnerung, der \emph{Tr\"ager} einer Funktion $f\colon M\to \R$ auf einer Teilmenge $M\subset \R^n$ ist definiert als die Menge 
\[ \opnormal{Tr\"ager}(f)\,\,:=\,\,\overline{\{x\in M\,|\,f(x)\ne 0\}}.\]
Hierbei bilden wir den Abschlu\ss{} in $M$. Beispielsweise ist der Tr\"ager der Sinusfunktion $\sin\colon \R\to \R$ ganz $\R$. }
\end{enumerate}
\end{lemma}

Die Aussage des Lemmas hat eine gewisse \"Ahnlichkeit zu der Aussage von Satz~\ref{satz:zdeins}. Allerdings m\"ussen wir  im jetzigen Fall glatte Funktionen und nicht nur messbare Funktionen zu finden.

\begin{proof}
F\"ur einen offenen Quader 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4.5cm} U&=&(a_1,b_1)\times \dots \times (a_n,b_n)\\
\intertext{sowie ein $\epsilon>0$ schreiben wir}
U(\epsilon)&=&(a_1+\epsilon,b_1-\epsilon)\times \dots \times (a_n+\epsilon,b_n-\epsilon).
\end{array} \end{align*}
Der Beweis der folgenden Behauptung ist eine elementare, freiwillige \"Ubungsaufgabe.

\begin{behauptung}
Es sei $U$ ein offener Quader und es seien $\epsilon>\eta>0$. Dann gibt es eine glatte Funktion $g\colon \R^n\to [0,1]$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item F\"ur alle $x\in U(\epsilon)$ ist $g(x)=1$.
\item F\"ur alle $x\not\in U(\eta)$ ist $g(x)=0$. 
\end{enumerate}
\end{behauptung}

Die Aussage der Behauptung wird f\"ur den Fall $n=1$ in Abbildung~\ref{fig:cinfty-charakteristische-funktion} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{cinfty-charakteristische-funktion.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:cinfty-charakteristische-funktion}
\end{center}
\end{figure}

Es sei nun $M\subset \R^n$ eine kompakte Teilmenge und es seien $U_1,\dots,U_k$ offene Quader, welche $M$ \"uberdecken. 
Nachdem die offenen Quader $U_1,\dots,U_k$ die kompakte Menge $M$ \"uberdecken gibt es ein $\epsilon>0$, so dass auch noch die offenen Quader $U_1(\epsilon),\dots,U_k(\epsilon)$ die kompakte Menge $M$ \"uberdecken. (Die Existenz von solch einem $\epsilon>0$ ist eine freiwillige, etwas weniger elementare \"Ubungsaufgabe.)
Wir wenden nun die Behauptung auf $U_i$, $i=1,\dots,k$, $\eta=\frac{1}{2}\epsilon$ und $\epsilon$ selber an und erhalten glatte Funktionen $g_1,\dots,g_k$.
Wir setzen jetzt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{5.5cm} z_1&:=&g_1
\intertext{und wir setzen iterativ  f\"ur $i=2,\dots,k$}
 z_i&:= &g_i\cdot (1-z_1-\dots-z_{i-1}).\end{array}\end{align*}
Es ist nun leicht zu sehen, dass $z_1,\dots,z_k$ die gew\"unschten Eigenschaften besitzen.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{cinfty-ueberdeckung.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Lemma~\ref{lem:cinfty-ueberdeckung}.}
\label{cinfty-ueberdeckung}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}


Wir sind jetzt in der Lage den  Gau\ss schen Integralsatz zu beweisen.

\begin{proof}[Beweis vom Gau\ss schen Integralsatz]
Es sei $M\subset \R^n$ eine kompakte $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit und es sei $F\colon M\to \R^n$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld.
Wir wollen zuerst folgende Behauptung beweisen:

\begin{behauptung}
Es gibt   Quader $Q_1,\dots,Q_k$ und $l\in \{1,\dots,k\}$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item es ist $M\subset \interior{Q_1}\cup \dots \cup \interior{Q_k}$,
\item f\"ur $i=1,\dots,l$ ist $Q_i\subset M\setminus \partial M$,
\item f\"ur $i=l+1,\dots,k$ gibt es eine Permutationsmatrix
 $P_i$, so dass
$P_i\cdot (Q_i\cap M)$ ein verschobener Stempel  mit Stempelfl\"ache $P_i\cdot (\interior{Q_i}\cap \partial M)$ ist.
\end{enumerate}
\end{behauptung}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{cover.pstex_t}
\caption{Schematisches Bild der Quader $Q_1,\dots,Q_k$.}
\end{center}
\end{figure}

Wir beweisen nun zuerst die Behauptung. 
Es sei $X\in M$ beliebig.
\begin{enumerate}
\item[(A)] Wenn $X\in M\setminus \partial M$ liegt, dann gibt
es offensichtlich einen Quader
 $Q_X$ mit $X\in \interior{Q}_X$, so dass $Q_X\subset M\setminus \partial $M.
\item[(B)] Es sei nun $X\in \partial M$. Es folgt aus
Satz~\ref{satz:mannigfaltigkeit-mit-rand-lokal-ein-graph}, dass es eine Permutationsmatrix $P_X$ und einen Quader $Q_X$ mit $X\in \interior{Q}_X$ gibt,  so dass $P_X\cdot (Q_X\cap M)$ ein verschobener Stempel ist mit Stempelfl\"ache $P_X\cdot(\interior{Q}_X\cap \partial M)$.
\end{enumerate}
Nachdem die offenen Menge $\{\interior{Q}_X\}_{X\in M}$ die Untermannigfaltigkeit $M$ \"uberdecken, und nachdem $M$ kompakt ist,
gibt es endliche viele $X_1,\dots,X_k\in M$, so dass $M\subset \interior{Q}_{X_1}\cup \dots \cup \interior{Q}_{X_k}$.
Die dazugeh\"origen Quader   besitzen nun (m\"oglicherweise nach einer Umnummerierung) die gew\"unschten Eigenschaften.
Wir haben damit die Behauptung bewiesen.

Nach Lemma~\ref{lem:cinfty-ueberdeckung} 
gibt es glatte Funktionen $z_1,\dots,z_k\colon M\to [0,1]$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $z_1+\dots+z_k=1$,
\item f\"ur alle $i\in \{1,\dots,k\}$ gilt $\opnormal{Tr\"ager}(z_i)\subset \interior{Q_i}$.
\end{enumerate}
Dann gilt\label{beweis:gausscher-integralsatz}
\[
 \begin{array}{rll} 
 &\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $z_1+\dots+z_k=1$}&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $\opnormal{Tr\"ager}(z_i)\subset \interior{Q}_i$}\\
 &\downarrow&\downarrow\\[-0.2cm]
 \bbint\limits_M \operatorname{div} F &=\,\,\bbint\limits_M \operatorname{div}\Big(\tmsum{i=1}{k} z_i  F\Big)
 \,\,=\,\,\,\,\tmsum{i=1}{k}\,\bbint\limits_M \,\operatorname{div} (z_i  F)&=\,\,\tmsum{i=1}{k} \bbint\limits_{M\cap Q_i}  \operatorname{div}(z_i F),\\
&\phantom{=}\,\, \tmsum{i=1}{l}\underset{\mfbox{$=0$, nach Satz~\ref{satz:gaussw}}}{\underbrace{  \bbint\limits_{M\cap Q_i}  \operatorname{div}(z_i F)}}+\tmsum{i=l+1}{k} \bbint\limits_{M\cap Q_i}  \operatorname{div}(z_i F)&=\,\,\tmsum{i=l+1}{k} \bbint\limits_{\partial M\cap \interior{Q}_i}  (z_i F)\cdot \nu\\[-1cm]
&&\uparrow\\
&&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:gaussstempel}}\\
&=\,\,\tmsum{i=l+1}{k}\bbint\limits_{\partial M} ( z_i  F)\cdot \nu
\,\,=\,\,\bbint\limits_{\partial M} \Big(\tmsum{i=l+1}{k} z_i  F \Big)\cdot \nu&=\,\,
\bbint\limits_{\partial M} F\cdot \nu.\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $\opnormal{Tr\"ager}(z_i)\subset \interior{Q}_i$}&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $z_{l+1}+\dots+z_k=1$ auf $\partial M$}
\end{array}\]
Wir haben damit den Gau\ss schen Integralsatz bewiesen.
\end{proof}



%======================================================
\subsection{Der  Gau\ss sche Integralsatzes f\"ur Untermannigfaltigkeiten mit Kanten}
In diesem Kapitel formulieren wir den Gau\ss schen Integralsatzes f\"ur Untermannigfaltigkeiten mit Kanten. Dieser ist sehr hilfreich f\"ur Berechnungen, aber wir werden diesen im weiteren Verlauf der Vorlesung nicht mehr verwenden.
Wir erlauben uns daher gewisse Freiheiten in den Formulierungen und wir werden den Beweis nur sehr schemenhaft skizzieren.  


Wir sagen $M\subset \R^n$ ist eine \emph{$n$-dimensionale Untermannigfaltigkeiten mit Kanten}, wenn es Untermannigfaltigkeiten $M_0,\dots,M_{n-2}$ mit folgenden Eigenschaften gibt:
\begin{enumerate}
\item F\"ur jedes $k\in \{1,\dots,n-2\}$ ist $M_k$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
\item F\"ur jedes $k\in \{1,\dots,n-2\}$  gilt $M_k\subset \partial M$.\footnote{In diesem Fall meinen wir mit $\partial M$ ausnahmsweise den topologischen Rand von $M\subset \R^n$.}
\item Die Untermannigfaltigkeiten $M_0,\dots,M_{n-2}$ sind disjunkt.
\item Die Menge $M\setminus (M_0\cup \dots \cup M_{n-2})$ ist eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
\end{enumerate} 
Wir bezeichnen dann $M_0\cup \dots \cup M_{n-2}$ als die \emph{Kanten von $M$}.
Zudem bezeichnen wir den Rand von $M\setminus (M_0\cup \dots \cup M_{n-2})$ als den Rand $\partial M$ von $M$.

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die Halbkugel
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4cm}
M&=&\{(x,y,z)\,|\, x^2+y^2+z^2\leq 1 \mbox{ und }z\geq 0\}
\intertext{ist eine Untermannigfaltigkeit mit der Kante}
&&\{(x,y,z)\,|\, x^2+y^2+z^2=1 \mbox{ und }z= 0\}.\end{array}\end{align*}
\item Der W\"urfel $M=[-1,1]^3$ ist eine Untermannigfaltigkeit mit Kanten, hierbei ist
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{2cm} M_0&=&\tmcup{\epsilon,\eta\in \{0,1\}}{}\{\epsilon,\eta\} 
\intertext{und }
M_1&=& \tmcup{\epsilon,\eta\in \{0,1\}}{} \big((0,1)\times \{\epsilon\}\times \{\eta\}\,\cup\, \{\epsilon\}\times (0,1)\times \{\eta\}\,\cup\, \{\epsilon\}\times \{\eta\}\times (0,1)\big).\end{array}\end{align*}
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{untermannigfaltigkeiten-mit-kanten.pstex_t}
\caption{Beispiele von Untermannigfaltigkeiten mit Kanten.}
\end{center}
\end{figure}


\begin{satz}\emph{\textbf{(Gau\ss scher Integralsatz f\"ur Untermannigfaltigkeiten mit Kanten)}}\label{satz:gauss-kanten}
Es sei $M\subset \R^n$ eine kompakte $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Kanten und es sei $F\colon M\to \R^n$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld.
Dann gilt
\[\mbox{Fluss von $F$ durch $M$}  \,\,=\,\, \bint\limits_{M} \operatorname{div} F.\]
\end{satz}

Wie oben schon angek\"undigt ist dieser Satz mit Vorsicht zu genie\ss en. In den meisten Anwendungen kann man diesen problemlos anwenden. Es ist aber m\"oglich, dass die Voraussetzungen an ``Untermannigfaltigkeiten mit Kanten'' zu schwach sind, um diesen in der angegebenen Allgemeinheit zu beweisen.

\begin{proof}[Beweisskizze]
Es sei $M\subset \R^n$ also eine kompakte $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Kanten und es sei $F\colon M\to \R^n$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld.
Man kann nun zeigen\footnote{Dies ist der technisch schwierige Schritt den wir auslassen.}\footnote{Wenn man eine Aussage nicht beweist, dann besteht immer die Gefahr, dass sie nicht richtig ist. Auch in diesem Fall kann es sein, dass man eventuell noch st\"arkere Voraussetzungen braucht, um pathologische Spezialf\"alle zu vermeiden.}, dass es eine Folge von kompakten  $n$-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten $W_k$, $k\in \N$ gibt mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item f\"ur alle $k$ ist $W_k\subset M$,
\item $\underset{k\to\infty}{\lim} \operatorname{Vol}(M\setminus  W_k)=0$,
\item $\underset{k\to\infty}{\lim} \operatorname{Vol}(\partial M \triangle\partial W_k)=0$.\footnote{Hier bezeichnen wir, wie in Analysis~III, mit $A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$ die symmetrische Differenz von zwei Teilmengen $A$ und $B$ von $\R^n$.}
\end{enumerate}
Wir skizzieren die Folge $W_k$ in Abbildung~\ref{fig:approximiation-mannigfaltigkeit-mit-kanten}.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{approximiation-mannigfaltigkeit-mit-kanten.pstex_t}
\caption{Approximation einer Untermannigfaltigkeiten mit Kanten.}
\label{fig:approximiation-mannigfaltigkeit-mit-kanten}
\end{center}
\end{figure}
Wir bezeichnen mit $\nu$ das \"au\ss ere Einheitsnormalenfeld von $M$ und von allen $W_k$'s. 
Dann ist
\[ \begin{array}{rlll} 
&
\hspace{-1.5cm}\mfbox{da $\underset{k\to\infty}{\lim} \operatorname{Vol}(\partial M \triangle\partial W_k)=0$}
&\hspace{-1.5cm}\mfbox{da $\underset{k\to\infty}{\lim} \operatorname{Vol}(M \setminus W_k)=0$}\\
&\downarrow&\downarrow\\[-0.1cm]
\mbox{Fluss von $F$ durch $M$}\,\,=\,\,\bint\limits_{\partial M}F\cdot \nu&=\,\, \underset{k\to\infty}{\lim} \bint\limits_{\partial W_k}F\cdot \nu
\,\,=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim} \bint\limits_{W_k}\operatorname{div} F&=\,\,\bint\limits_{M}\operatorname{div} F.\\[-0.2cm]
&\hspace{3.15cm}\uparrow\\
&\hspace{1cm}\mfbox{Gau\ss scher Integralsatz~\ref{satz:gauss}}
\end{array}\vspace{-0.6cm}
\]
\end{proof}

% Ende 7. Vorlesung

\begin{beispiel}
Es sei
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4cm}
 A&=& \{ (x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2+z^2=1\mbox{ und }z\geq 0\}
\intertext{die obere H\"alfte der Sph\"are $S^2$. Wir betrachten $A$ mit dem Einheitsnormalenfeld, welches ``nach au\ss en'' zeigt. Wir wollen den Fluss von dem konstanten Vektorfeld $F=(1,0,3)$ durch $A$ bestimmen. Wir setzen dazu}
B&=& \{ (x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2\leq 1\mbox{ und }z= 0\}
\intertext{sowie}
M&=& \{ (x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2+z^2\leq 1\mbox{ und }z\geq 0\}.\end{array}\end{align*}
Wir betrachten $B$ mit dem Einheitsnormalenfeld  welches  auch ``nach oben'' zeigt.
Dann ist
\begin{align*}\begin{array}{rl} \mbox{Fluss  von $F$ durch $A$}&=\,\, 
\mbox{Fluss  von $F$ durch $A$}-\mbox{Fluss  von $F$ durch $B$}+\mbox{Fluss  von $F$ durch $B$}\\[0.1cm]
&=\,\,\hspace{-0.2cm}\underset{\begin{array}{c}\mfbox{$=0$, nach dem Gau\ss schen}\\[-0.1cm]\mfbox{Integralsatz~\ref{satz:gauss-kanten}, da $\operatorname{div}(F)\equiv 0$}\end{array}}{\underbrace{\mbox{Fluss  von $F$ durch $\partial M$}}}+\mbox{Fluss {} von $F$ durch $B$}\\[0.1cm]
&=\,\,\mbox{Fluss  von $F$ durch $B$}\,\,=\,\,(*)
\intertext{Dieser Fluss  kann nun leicht explizit ausgerechnet werden, in der Tat ist}
(*)&=\,\,\bint\limits_B F\cdot \nu\,\,=\,\, \bint\limits_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\bint\limits_{r=0}^{r=1}(1,0,3)\cdot (0,0,1)\,\,=\,\,6\pi.\end{array}\end{align*}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{anwendung-gauss-mit-akten.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}
\end{beispiel} 

%======================================
\subsection{Ausblick}
Das n\"achste gro\ss e Ziel wird sein den allgemeinen Satz von Stokes zu formulieren und zu beweisen. 
Der klassische Satz von Stokes besagt, dass f\"ur eine orientierte kompakte Fl\"ache $(M,\vec{\nu})$ in $\R^3$ und ein stetig differenzierbares Vektorfeld $\vec{F}=(F_x,F_y,F_z)$ auf $M$ die Gleichheit\footnote{Auf der rechten Seite integrieren wir \"uber das Skalarprodukt von $F$ mit dem Ableitungsvektor einer Parametrisierung der Kurve $\gamma=\partial M$.}\label{bsp:klassischer-satz-von-stokes}
\[ \bint\limits_{M} {\operatorname{rot}\big(\vec{F}\big)}\cdot \vec{\nu} \,\,=\,\, \bint\limits_{\gamma=\partial M} \vec{F}\cdot d\vec{\gamma}\]
gilt. Hierbei ist die \emph{Rotation} von $\vec{F}$ definiert als das Vektorfeld\label{def:rotation}
\[ \operatorname{rot}\big( \vec{F}\big)\,\,:=\,\left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x}\\[0.1cm] \frac{\partial}{\partial y}\\[0.1cm]\frac{\partial}{\partial z}\end{array} \right)\times \begin{pmatrix} F_x\\ F_y\\F_z\end{pmatrix} \,\,=\,\, \,\left( \begin{array}{r}\frac{\partial F_z}{\partial y}- \frac{\partial F_y}{\partial z}\\[0.1cm]
-\frac{\partial F_z}{\partial x}+ \frac{\partial F_x}{\partial z}\\[0.1cm]
\frac{\partial F_y}{\partial x}- \frac{\partial F_x}{\partial y}\end{array} \right).\]
Unser Ziel ist es die ``korrekte'' Verallgemeinerung dieser Aussage auf den h\"oher\-dim\-en\-sionalen Fall zu finden, und diese dann f\"ur alle Dimensionen zu beweisen. Wir m\"ussen dazu erst einmal relativ viele neue mathematische Objekte einf\"uhren. Der allgemeine Satz von Stokes (welcher den klassischen Fall einschlie\ss t) wird dann jedoch eine sehr kurze und elegante Formulierung besitzen, und der Beweis wird am Ende erstaunlich kurz sein.

\clearpage
%======================================
\section{Kategorien und Funktoren}





%======================================================
\subsection{Induzierte Abbildungen auf Tangentialr\"aumen}
\label{section:induzierte-abbildung-auf-tpm-untermannigfaltigkeit}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit und es sei $P\in M$. Wir sagen zwei Kurven $\alpha\colon I\to M$ und $\beta\colon J\to M$ durch $P$  sind \emph{\"aquivalent}, wenn $\alpha'(0)=\beta'(0)$. F\"ur eine  Kurve $\alpha$ in $M$ durch $P$ bezeichnen wir  mit $[\alpha]$ die \"Aqui\-valenz\-klasse von $\alpha$. 
Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \begin{array}{c}\mbox{Menge der \"Aqui\-valenz\-klassen}\\
\mbox{von Kurven in $M$ durch $P$}\end{array} &\to & T_PM\\{}
[\gamma]&\to & \gamma'(0)\end{array}\]
ist offensichtlich eine Bijektion. Wir verwenden diese Bijektion im Folgenden um $T_PM$ mit der Menge der \"Aqui\-valenz\-klassen von Kurven in $M$ durch $P$ zu identifizieren.\footnote{Wir verwenden insbesondere diese Bijektion um die Vektorraumstruktur auf der Menge der \"Aqui\-valenzklassen einzuf\"uhren.}

Dieser Gesichtspunkt scheint auf den ersten Blick etwas verwirrend, aber er erleichtert oft die Notation. Es sei beispielsweise  $f\colon M\to N$ eine stetig differenzierbare Abbildung zwischen zwei Untermannigfaltigkeiten (nicht notwendigerweise von der gleichen Dimension) und es sei $P\in M$. Wir betrachten 
 die Abbildung\footnote{Mit der urspr\"unglichen Definition des Tangentialraumes w\"are diese Abbildung  deutlich umst\"andlicher hinzuschreiben.}\label{def:fstar}
\[ \begin{array}{rrcl} Df(P)\colon& T_PM&\to & T_{f(P)}N\\ {}
&[\gamma\colon I\to M]&\to & [f\circ \gamma\colon I\to N].\end{array}\]
Wir bezeichnen die Abbildung $Df(P)\colon T_PM\to T_{f(P)}N$ oft auch nur mit $f_*$ und wir nennen $f_*=Df(P)$ die \emph{induzierte Abbildung}.
Bevor wir fortfahren m\"ussen wir allerdings erst noch folgendes Lemma beweisen.

\begin{lemma}
Die obige Abbildung $f_*=Df(P)\colon T_PM\to T_{f(P)}N$ ist wohl-definiert.
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir bezeichnen mit $m$ die Dimension von $M$. 
Es  seien $\gamma \colon I\to M$ und  $\delta\colon J\to M$ zwei \"aquivalente Kurven durch $P$. O.B.d.A. k\"onnen wir annehmen, dass $I=J$, und dass es eine Karte $\Phi\colon U\to V$ um $P$ gibt, so dass das Bild von $\gamma$ und $\delta$ in $U\cap M$ liegt. Wir schreiben $g:=f\circ \Phi^{-1}$ und wir setzen $Q:=\Phi(P)$.  Wir betrachten nun also folgende Abbildungen
\[ \xymatrix@C1.1cm@R0.7cm{ I\ar[r]^-{\delta}_-{\gamma}& M\cap U\ar[r]^-f\ar[d]^\Phi& N\\
&E_m\cap V\ar[ur]_{g=f\circ \Phi^{-1}}.}\]
Wie immer fassen wir $E_m\cap V$ als offene Teilmenge von $\R^m$ auf. 
Dann ist
\[ \begin{array}{rllll}(f\circ \gamma)'(0)&=(g \circ \Phi \circ \gamma)'(0)&=\,\,
D_Qg(D_P\Phi(\gamma'(0))&=\,\,D_Qg(D_P\Phi(\delta'(0))&=\,\,(f\circ \delta)'(0).\\ 
&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow \\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $g=f\circ \Phi^{-1}$}&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Kettenregel}&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $\gamma'(0)=\delta'(0)$}&\hspace{-0.7cm}\mfbox{das gleiche Argument}\\[-0.1cm]
&&&&\hspace{0.3cm}\mfbox{r\"uckw\"arts}\end{array}\]
Wir haben also gezeigt, dass $f\circ \gamma$ und $f\circ \delta$ ebenfalls \"aquivalent sind.
\end{proof}


\begin{bemerkung}\label{bem:differential-normal}
F\"ur eine offene Teilmenge $U\subset \R^n$ und eine stetig differenzierbare Abbildung $f\colon U\to \R^m$ erhalten wir f\"ur jedes $P\in M$ eine Abbildung
\[ f_*=Df(P) \colon T_PU=\R^n\,\,\to\,\,T_{f(P)} \R^m=\R^m.\]
Wie die Notation schon suggestiert ist dies gerade die Abbildung, welche dem \"ublichen Differential $Df(P)$ entspricht.\footnote{Warum ist dies der Fall?} Insbesondere ist in diesem Fall die Abbildung $f_*=Df(P)$ eine lineare Abbildung.
\end{bemerkung} 

\begin{satz}\label{satz:kettenregel-differentiale}
\mbox{}
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item
Es seien $f\colon L\to M$ und $g\colon M\to N$ stetig differenzierbare Abbildungen zwischen Untermannigfaltigkeiten und es sei $P\in L$.  Dann ist\footnote{Dies ist also eine Gleichheit von Abbildung $T_PL\to T_{g(f(P))}N$.}
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.7cm}  D(g\circ f)(P)&=& Dg(f(P))\circ Df(P).
\intertext{Mit anderen Worten, es gilt}
 (g\circ f)_*&=& g_*\circ f_*.\end{array}\end{align*}
\item F\"ur jede Untermannigfaltigkeit $M$ und jeden Punkt $P\in M$ gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{5.8cm} (D\operatorname{id}_M)(P) &=& \operatorname{id}_{T_PM},
\intertext{oder noch k\"urzer ausgedr\"uckt, es ist}
(\operatorname{id}_M)_*&=&\operatorname{id}_{T_PM}.\end{array}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
Wir beweisen zuerst die erste Aussage. 
Es sei also $[\gamma\colon I\to L]\in T_PL$. Dann ist 
\[ \begin{array}{rcl} D(g\circ f)(P)([\gamma])\,\,=\,\,[(g\circ f)\circ \gamma]\,\,=\,\,
[g\circ (f\circ \gamma)]&=&Dg(f(P))([f\circ \gamma])\\
&=&
(Dg(f(P))\circ Df(P))([\gamma]).\end{array}\]
In der alternativen Schreibweise ist der Beweis noch k\"urzer, denn es ist
\[ (g\circ f)_*([\gamma])\,\,=\,\, [(g\circ f)\circ \gamma]\,\,=\,\,[g\circ (f\circ \gamma)]\,\,=\,\,g_*([f\circ \gamma])\,\,=\,\,g_*(f_*([\gamma])).\]
Die zweite Aussage des Satzes ist trivial.
\end{proof}

\begin{korollar}\label{kor:fstar-umkehrabbildung}
Es sei $f\colon M\to N$ ein Diffeomorphismus zwischen zwei Untermannigfaltigkeiten. F\"ur alle $P\in M$ gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{5.4cm} Df^{-1}(f(P)) &=& (Df(P))^{-1}.
\intertext{Mit anderen Wort, es ist}
(f^{-1})_*&=&(f_*)^{-1}.\end{array}
\end{align*}
Insbesondere ist $Df(P)=f_*\colon T_PM\to T_{f(P)}N$ eine Bijektion.
\end{korollar}

\begin{proof}
Es ist
\[ 
\begin{array}{rlll} f_*\circ (f^{-1})_* &=\,\, (f\circ f^{-1})_*=\,\,\operatorname{id}_*&=\,\, \operatorname{id}.\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.3cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:kettenregel-differentiale} (1)}
&\hspace{-0.3cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:kettenregel-differentiale} (2)}\end{array}\]
Ganz analog zeigt man auch, dass $(f^{-1})_*\circ f_*=\operatorname{id}$, also sind $(f^{-1})_*$ und $f_*$ zueinander inverse Abbildungen. Insbesondere ist $f_*$ eine Bijektion.
\end{proof}



Wir beschlie\ss en das Kapitel mit folgendem Satz.

\begin{satz}\label{satz:differential-linear}
Es sei $f\colon M\to N$ eine stetig differenzierbare Abbildung zwischen zwei Untermannigfaltigkeiten. F\"ur jedes $P\in M$ ist 
\[ f_*=Df(P)\colon T_PM\,\,\to\,\, T_{f(P)}N\]
 eine lineare Abbildung.
\end{satz}

\begin{proof}
Es sei also $f\colon M\to N$ eine stetig differenzierbare Abbildung zwischen einer $m$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $M$ und einer $n$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $N$. Es sei nun $P\in M$. 
Wir w\"ahlen eine Karte $\Phi\colon U\to V$ um $P$ und wir w\"ahlen eine Karte $\Theta\colon X\to Y$ um $Q:=f(P)$ mit $f(U)\subset X$\footnote{Warum kann diese letzte Bedingung erf\"ullt werden?}. Wir bezeichnen mit $\Psi:=\Phi^{-1}$ und $\Omega=\Theta^{-1}$ die Umkehrabbildungen. Wir betrachten die folgenden Abbildungen
\[ \xymatrix@C2.6cm@R0.8cm{ 
U\cap M\ar[r]^f\ar[d]_{\Phi} & X\cap N\ar[d]^{\Theta}\\
V\cap E_m\ar[r]^{\Theta\circ f\circ \Psi}\ar@/_1.3pc/[u]_{\Psi}&\ar@/^1.3pc/[u]^{\Omega}Y\cap E_n.}
\]
Dies ist ein kommutatives Diagramm von Abbildungen.\footnote{Wir sagen ein Diagramm von Abbildungen ist kommutativ, wenn es egal ist, in welcher Reihenfolge wir die Abbildungen durchlaufen. In diesem Fall bedeutet das, dass die Verkn\"upfung der Abbildungen oben und rechts,  die gleiche Abbildung ergibt wie die Verkn\"upfung der Abbildungen links und unten.}
Wir  erhalten das entsprechende Diagramm von induzierten Abbildungen
\[ \xymatrix@C3.6cm@R0.9cm{ 
T_PM\ar[r]^{Df}\ar[d]_-{D\Phi}& T_{Q}N \ar[d]^-{D\Theta} \\
\R^m\ar[r]^{D(\Theta\circ f\circ \Psi)}\ar@/_1.3pc/[u]_{D\Psi}&\ar@/^1.3pc/[u]^{D\Omega}\R^n.}
\]
(Der \"Ubersicht halber haben wir hierbei bei den induzierten Abbildungen die Punkte weggelassen, an denen wir diese betrachten.) Es folgt aus Satz~\ref{satz:kettenregel-differentiale}, dass auch dieses Diagramm kommutiert.\footnote{In der Tat, denn es ist
\[ \begin{array}{rlll}D(\Theta\circ f\circ \Psi) \circ D\Phi&=\,\,
D(\Theta\circ f\circ \Psi\circ D\Phi)\,\,=\,\,
D(\Theta\circ f)&=\,\, D\Theta\circ Df.\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.25cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:kettenregel-differentiale}}
&\hspace{-0.25cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:kettenregel-differentiale}}\vspace{-0.5cm}\end{array}\]}
Es folgt aus der Bemerkung auf Seite~\pageref{bem:differential-normal}, dass die Abbildungen $D\Psi$ und $D\Theta$ sowie $D(\Theta\circ f\circ \Psi)$ linear sind.
Zudem folgt aus Korollar~\ref{kor:fstar-umkehrabbildung}, dass 
$D\Psi=(D\Phi)^{-1}$ und $D\Omega=(D\Theta)^{-1}$. Insbesondere sind die vertikalen Abbildungen links beziehungsweise rechts zueinander inverse Homomorphismen von Vektorr\"aumen.
Es folgt nun, dass
\[ Df \,\,=\,\, D\Omega \circ D(\Theta\circ f\circ \Psi)\circ D\Phi\]
die Verkn\"upfung von drei linearen Abbildung ist. Also ist auch $Df$ selber eine lineare Abbildung.
\end{proof}



%======================================================
\subsection{Duale Vektorr\"aume}

Es sei $V$ ein  reeller Vektorraum. Wir bezeichnen  mit
\[ V^*\,\,:=\,\,\operatorname{Hom}_\R(V,\R) \]
den zu $V$ \emph{dualen Vektorraum}. Es sei nun $v_1,\dots,v_k$ eine Basis von $V$. Jeder Vektor $w\in V$ kann also eindeutig als Linearkombination
\[ w\,\,=\,\,\l_1v_1+\dots+\l_kv_k\mbox{ mit }\l_1,\dots,\l_k\in \R\]
geschrieben werden. F\"ur $i=1,\dots,k$ betrachten wir nun die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} v_i^*\colon V&\to & \R \\
w&\mapsto & v_i^*(w):=\begin{array}{c}\mbox{Koeffizient von $v_i$ in der eindeutigen Darstellung} \\
\mbox{von $w$ als Linearkombination von $v_1,\dots,v_k$.}\end{array} \end{array} \]
Anders ausgedr\"uckt, die Abbildungen $v_1^*,\dots,v_k^*\colon V\to \R$ sind die eindeutig bestimmten Abbildungen, welche die Eigenschaft besitzen, dass
\[ w\,\,=\,\,v_1^*(w)\cdot v_1+\dots+v_k^*(w)\cdot v_k\mbox{ f\"ur alle $w\in V$.}\]
Man kann nun leicht zeigen, dass $v_1^*,\dots,v_k^*$ lineare Abbildungen sind.
Zudem gilt folgendes elementare Lemma, welches in der Linearen Algebra bewiesen wurde. 

\begin{lemma}\label{lem:basis-dualer-raum}
Es sei $v_1,\dots,v_k$ eine Basis von einem reellen Vektorraum $V$. Dann ist $v_1^*,\dots,v_k^*$ eine Basis von $V^*$.
\end{lemma}

Es folgt aus dem Lemma, dass  $V^*$ ein reeller Vektorraum der Dimension $k=\dim(V)$ ist.
Wir nennen $v_1^*,\dots,v_k^*\in V^*$ die zu $v_1,\dots,v_k$ \emph{duale Basis}.

\begin{bemerkung}
Wenn $V$ endlich dimensional ist, dann gibt es zu jeder  \emph{Basis} von $V$ eine eindeutig bestimmte duale \emph{Basis} von $V^*$.
Allerdings kann man nicht jedem einzelnen \emph{Vektor} in $V$ einen eindeutig bestimmten \emph{Vektor} in $V^*$ zuordnen.
\end{bemerkung}

Es sei zum Abschlu\ss{} des Kapitels  $f\colon U\to V$ eine lineare Abbildung zwischen reellen Vektorr\"aumen.
Wir erhalten dann eine  Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} f^*\colon V^*&\to & U^* \\
(\varphi\colon V\to \R)&\mapsto &(\varphi\circ f\colon U\to V\to \R),\end{array}\]
welche wir als die \emph{induzierte Abbildung} bezeichnen. 
Die Abbildung $f^*$ geht hierbei in die ``umgekehrte Richtung''.


Das folgende elementare Lemma fa\ss t einige elementare Eigenschaften von induzierten Abbildungen zusammen.

\begin{lemma}\label{lem:induzierte-abbildungen}
Es seien $U,V$ und $W$ reelle Vektorr\"aume.
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item Es seien $f\colon U\to V$ und $g\colon V\to W$ lineare Abbildungen. Dann gilt
\footnote{Mit anderen Worten, das folgende Diagramm von Abbildungen kommutiert
\[ \xymatrix@R0.3cm{ &V^*\ar[dr]^{f^*}& \\ W^*\ar[ur]^{g^*}\ar[rr]_{(g\circ f)^*}&& U^*.}\]}
\[ (g\circ f)^*\,\,=\,\, f^*\circ g^*.\]
\item F\"ur die Identit\"atsabbildung $\operatorname{id}\colon V\to V$ ist auch $\operatorname{id}^*\colon V^*\to V^*$ die Identit\"atsabbildung, d.h.\ es gilt
\[ \operatorname{id}^*\,\,=\,\,\operatorname{id}.\]
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{korollar}\label{kor:f-oben-star-umkehrabbildung}
Es sei $f\colon V\to W$ ein Isomorphismus zwischen reellen Vektorr\"aumen.
Dann  ist auch
$f^*\colon W^*\to V^*$ ein Isomorphismus mit $(f^*)^{-1}=(f^{-1})^*$. 
\end{korollar}

Der Beweis von Korollar~\ref{kor:f-oben-star-umkehrabbildung} ist ganz \"ahnlich dem Beweis von Korollar~\ref{kor:fstar-umkehrabbildung}.

\begin{proof}
Es sei $f\colon V\to W$ ein Isomorphismus zwischen reellen Vektorr\"aumen.
Es ist
\[ 
\begin{array}{rlll} f^*\circ (f^{-1})^* &=\,\, (f^{-1} \circ f)^*=\,\,\operatorname{id}^*&=\,\, \operatorname{id}.\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.3cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:induzierte-abbildungen} (1)}
&\hspace{-0.3cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:induzierte-abbildungen} (2)}\end{array}\]
Ganz analog zeigt man auch, dass $(f^{-1})^*\circ f^*=\operatorname{id}$, also sind $(f^{-1})^*$ und $f^*$ zueinander inverse Abbildungen. Insbesondere ist $f^*$ ein Isomorphismus.
\end{proof}



                           
%======================================
\subsection{Kategorien}
Die Aussagen von Satz~\ref{satz:kettenregel-differentiale} und von
Lemma~\ref{lem:induzierte-abbildungen} besitzen eine gro\ss e formale \"Ahnlichkeit und wir hatten diese \"Ahnlichkeit ben\"utzt, um f\"ur 
Korollar~\ref{kor:fstar-umkehrabbildung}
und Korollar~\ref{kor:f-oben-star-umkehrabbildung} fast identische Beweise anzugeben. 

In diesem kurzen Kapitel f\"uhren wir nun ``Kategorien'' und ``Funktoren'' ein.   Diese Begriffe geben uns eine Sprache um die formalen Gemeinsamkeiten der Aussagen der vorherigen  beiden Kapitel herauszuarbeiten. Die Begriffe ``Kategorie'' und ``Funktor''  werden in allen Bereichen der reinen Mathematik verwendet und wir wollen uns daher in diesem Kapitel nicht nur auf Beispiele aus der Analysis beschr\"anken.

\begin{definition} Eine \emph{Kategorie $\mathcal{C}$} besteht aus folgenden Daten:
\begin{enumerate}
\item Einer Klasse\footnote{Ich gehe hier jetzt nicht weiter auf das Wort ``Klasse'' ein. Anschaulich gesprochen ist eine ``Klasse'' eine Verallgemeinerung des Begriffs der ``Menge''.
Zum Beispiel macht es keinen Sinn von der ``Menge aller Gruppen'' zu reden, genau so wenig  wie es Sinn macht von der ``Menge aller Mengen'' zu reden. Aber es macht Sinn von der ``Klasse aller Gruppen'' zu reden, siehe beispielsweise
\[\mbox{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Klasse_Mengenlehre}}
\]
Wir \"uberlassen diese heikle Geschichte lieber den Logikern.
}
 $\operatorname{Ob}(\mathcal{C})$ von  Objekten, welche
die \emph{Objekte der Kategorie} genannt werden,
\item zu jedem Paar $(X,Y)$ von Objekten gibt es eine  Menge $\operatorname{Mor}(X, Y)$,
\item zu je drei Objekten $X,Y$ und $Z$ gibt es eine Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \operatorname{Mor}(X, Y) \times \operatorname{Mor}(Y, Z)& \to& \operatorname{Mor}(X, Z)\\
(f,g)&\mapsto & g\circ f\end{array} \]
so dass folgende Axiome erf\"ullt sind:
\begin{enumerate}
\item[(K1)] (Assoziativit\"at): Es seien $f\in \operatorname{Mor}(W,X), g\in \operatorname{Mor}(X,Y)$ und $h\in \operatorname{Mor}(Y,Z)$, dann gilt
\[ (h\circ g)\circ f\,\,=\,\,h\circ (g\circ f).\]
\item[(K2)] (Identit\"at): Zu jedem Objekt $X$ gibt es einen Morphismus $\operatorname{id}_X\in \operatorname{Mor}(X,X)$ mit der Eigenschaft,
dass gilt\footnote{Ist $\operatorname{id}_X$ eindeutig bestimmt, oder nicht?}
\[ \hspace{1cm}\begin{array}{rcll} \operatorname{id}_X\circ f&=&f& \mbox{f\"ur alle $Z\in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})$ und alle $f\in \operatorname{Mor}(Z,X)$, sowie} \\
f\circ \operatorname{id}_X&=&f&\mbox{f\"ur alle $Y\in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})$ und alle $f\in \operatorname{Mor}(X,Y)$.}\end{array} \]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{definition}

Die Abbildung $\operatorname{Mor}(X, Y) \times \operatorname{Mor}(Y, Z) \to \operatorname{Mor}(X, Z)$ wird, wie die Notation schon suggestiert,
die \emph{Verkn\"upfungsabbildung} genannt.

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Wir nennen die  Kategorie $\mathcal{C}$ mit
\[ \begin{array}{rcl} \operatorname{Ob}(\mathcal{C})&:=&\mbox{alle Mengen}, \\
\operatorname{Mor}(X,Y)&:=&\mbox{alle Abbildungen  von $X$ nach $Y$},\end{array} \]
mit der \"ublichen Verkn\"upfung von Abbildungen  die \emph{Kategorie aller Mengen}.
\item[(b)] Wir betrachten die  Kategorie $\mathcal{C}$ mit
\[ \begin{array}{rcl} \operatorname{Ob}(\mathcal{C})&:=&\mbox{alle Mengen}, \\
\operatorname{Mor}(X,Y)&:=&\left\{ \begin{array}{ll} \{\operatorname{id}_X\}, &\mbox{ wenn } X=Y\\ \emptyset, &\mbox{ wenn } X\ne Y.\end{array} \right.\end{array}\]
Die Verkn\"upfungsabbildung muss nur definiert werden, wenn $X=Y=Z$, und in diesem Fall
definieren wir $\operatorname{id}_X \circ \operatorname{id}_X:=\operatorname{id}_X$. Man kann sich nun leicht davon \"uberzeugen, dass dies eine Kategorie definiert.
\item[(c)]  Wir nennen die Kategorie $C$ mit
\[ \begin{array}{rcl} \operatorname{Ob}(\mathcal{V})&:=&\mbox{alle reellen Vektorr\"aume}, \\
\hspace{0.3cm}\operatorname{Mor}(V,W)&:=&\operatorname{Hom}_{\R}(V,W)=\mbox{alle Homomorphismen von $V$ nach $W$},\end{array} \]
mit der \"ublichen Verkn\"upfung von Homomorphismen die \emph{Kategorie der reellen Vektorr\"aume}. Ganz analog kann man nat\"urlich auch f\"ur jeden K\"orper $\K$ die Kategorie der $\K$-Vektorr\"aume einf\"uhren.
\item[(d)]  Wir nennen die Kategorie $\mathcal{G}$ mit
\[ \begin{array}{rcl} \operatorname{Ob}(\mathcal{G})&:=&\mbox{alle Gruppen}, \\
\hspace{1.6cm} \operatorname{Mor}(G,H)&:=&\operatorname{Hom}(G,H)=\mbox{alle Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $H$},\end{array} \]
mit der \"ublichen Verkn\"upfung von Gruppenhomomorphismen die \emph{Kategorie der Gruppen}. Ganz analog kann man auch die Kategorie der abelschen Gruppen einf\"uhren.
\item[(e)]  Wir nennen die Kategorie $\mathcal{T}$ mit
\[ \begin{array}{rcl} \operatorname{Ob}(\mathcal{T})&:=&\mbox{alle topologischen R\"aume}, \\
\hspace{0.7cm}\operatorname{Mor}(X,Y)&:=&\mbox{alle stetigen Abbildungen  von $X$ nach $Y$},\end{array} \]
mit der \"ublichen Verkn\"upfung von Abbildungen die \emph{Kategorie der topologischen R\"aume}.
\item[(f)]  Wir nennen die Kategorie $\mathcal{M}$ mit
\[ \begin{array}{rcl} \operatorname{Ob}(\mathcal{M})&:=&\mbox{alle Untermannigfaltigkeiten}, \\
\hspace{1.6cm}\operatorname{Mor}(M,N)&:=&\mbox{alle glatten Abbildungen  von $M$ nach $N$},\end{array} \]
mit der \"ublichen Verkn\"upfung von Abbildungen die \emph{Kategorie der Untermannigfaltigkeiten}.
\item[(g)]  Eine \emph{punktierte Untermannigfaltigkeit} ist ein Paar $(M,P)$, wobei $M$ eine Untermannigfaltigkeit ist  und $P\in M$.
Wir nennen die Kategorie $\mathcal{P}$ mit
\[ \begin{array}{rcl} \operatorname{Ob}(\mathcal{P})&:=&\{\mbox{alle punktierten Untermannigfaltigkeiten}\}, \\
\hspace{1cm}\operatorname{Mor}((M,P),(N,Q))&:=&\left\{\begin{array}{l} \mbox{alle glatten  Abbildungen  $f$ }\\\mbox{von $M$ nach $N$ mit $f(P)=Q$}\end{array}\right\}\end{array} \]
mit der \"ublichen Verkn\"upfung von Abbildungen die \emph{Kategorie der punktierten Untermannigfaltigkeiten}.
\end{enumerate}

Der Name ``Morphismus'' suggestiert, dass es sich bei Morphismen um Abbildungen handelt. Dies ist aber nicht notwendigerweise der Fall,
wie wir im folgenden Beispiel sehen.
\begin{enumerate}
\item[(h)] Es sei $G$ eine beliebige Gruppe. Wir betrachten
\[ \begin{array}{rcl} \operatorname{Ob}(\mathcal{C})&:=&\{\mbox{eine Menge mit einem einzigen Element $*$}\}, \\
\operatorname{Mor}(*,*)&:=& G.\end{array} \]
Wir definieren dann
\[  \begin{array}{rcl} \operatorname{Mor}(*, *) \times \operatorname{Mor}(*, *)& \to& \operatorname{Mor}(*, *)\\
(f,g)&\mapsto & g\circ f:=gf\end{array} \]
mittels der Gruppenstruktur  auf $\operatorname{Mor}(*,*)=G$. Die Axiome einer Kategorie folgen dann aus den Gruppenaxiomen von $G$.
\end{enumerate}
\end{beispiele}






%======================================
\subsection{Funktoren}

\begin{definition} Es seien $\mathcal{C}$ und $\mathcal{D}$ Kategorien. Ein \emph{kovarianter Funktor} $F\colon \mathcal{C}\to \mathcal{D}$
besteht aus einer Abbildung
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 F\colon \operatorname{Ob}(\mathcal{C})&\to& \operatorname{Ob}(\mathcal{D}) 
\intertext{und f\"ur alle $X,Y\in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})$ gibt es zudem eine Abbildung}
\hspace{5.6cm}  \operatorname{Mor}(X,Y)&\to& \operatorname{Mor}(F(X),F(Y))\\
\phi&\mapsto &F(\phi),\end{array} \end{align*}
so dass folgende Axiome erf\"ullt sind:
\begin{enumerate}
\item[(F1)] F\"ur alle $\phi\in \operatorname{Mor}(X,Y)$ und $\psi\in \operatorname{Mor}(Y,Z)$, gilt
\[  F(\psi\circ \phi)\,\,=\,\,F(\psi)\circ F(\phi).\]
\item[(F2)] F\"ur alle $X\in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})$ gilt
\[ F(\operatorname{id}_X)\,\,=\,\,\operatorname{id}_{F(X)}.\hspace{0.7cm}\]
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{konvention}
F\"ur einen kovarianten Funktion $F\colon \mathcal{C}\to \mathcal{D}$ und einen Morphismus $\phi$ schreiben wir oft $\phi_*$ anstatt $F(\phi)$.
\end{konvention}


\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
 \item
 Es sei $\mathcal{V}$ die Kategorie der reellen Vektorr\"aume und es sei $W$ ein Vektorraum, dann ist
\begin{align*} \begin{array}{rcl}
\hspace{4.5cm} F\colon \operatorname{Ob}(\mathcal{V}) &\to & \operatorname{Ob}(\mathcal{V}) \\
  V&\mapsto &\operatorname{Hom}_{\R}(W,V), 
\intertext{zusammen mit den Abbildungen}
 \operatorname{Mor}(U,V) &\mapsto & \operatorname{Mor}(F(U),F(V)) \\
(\phi\colon U\to V) &\mapsto & \left(\begin{array}{rcl} \phi_*\colon \operatorname{Hom}(W,U)&\to & \operatorname{Hom}(W,V) \\
     f &\mapsto & \phi\circ f\end{array}\right)\end{array} \end{align*}
ein kovarianter Funktor.
\footnote{In der Tat, denn sei  $\phi\in \operatorname{Mor}(X,Y)$ und $\psi\in \operatorname{Mor}(Y,Z)$ und es sei $f\in \operatorname{Hom}(W,X)$, dann gilt
\[ F(\psi\circ \phi)(f)\,=\,(\psi\circ \phi)(f)\,=\,\psi\circ (\phi\circ f)=\psi\circ F(\phi)(f)\,=\,F(\psi)(F(\phi)(f))\,=\,(F(\psi)\circ F(\phi))(f).\]}
 Folgendes Diagramm illustriert die Aussage von Axiom (F2):
\[ \xymatrix@C1.3cm@R0.65cm{ X\ar[r]_{\phi}  \ar@/^1.3pc/[rr]^{\psi\circ \phi} \ar@{~>}[d]
&Y\ar[r]_\psi \ar@{~>}[d] & Z \ar@{~>}[d] \\ \operatorname{Hom}(W,X)\ar[r]^{\phi_*}
\ar@/_1.3pc/[rr]_{(\psi\circ \phi)_*}&\operatorname{Hom}(W,Y)\ar[r]^{\psi_*}& \operatorname{Hom}(W,Z).
 }\]
\item  Es sei $\mathcal{P}$ die Kategorie der punktierten Untermannigfaltigkeiten und  und es sei $\mathcal{V}$ die Kategorie der reellen Vektorr\"aume.
Es folgt aus Satz~\ref{satz:kettenregel-differentiale} zusammen mit Satz~\ref{satz:differential-linear}, dass 
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} 
 \hspace{5.6cm}F\colon \operatorname{Ob}(\mathcal{P}) &\to & \operatorname{Ob}(\mathcal{V}) \\
  (M,P)&\mapsto &T_PM,
\intertext{zusammen mit den Abbildungen}
 \operatorname{Mor}((M,P),(N,Q)) &\mapsto & \operatorname{Mor}(T_PM,T_QN) \\
f &\mapsto & f_*=Df(P)\end{array} \end{align*}
ein kovarianter Funktor von der Kategorie der punktierten Untermannigfaltigkeiten zu der Kategorie der Vektorr\"aume ist.
\item Es sei $\mathcal{A}$ die Kategorie der abelschen Gruppen, es sei $p$ eine Primzahl und es sei $\mathcal{F}$ die  Kategorie der $\F_p$-Vektorr\"aume. Dann ist
\footnote{Hierbei bezeichnet $G\otimes \F_p$ das Tensorprodukt der abelschen Gruppen $G$ und $\F_p$.}
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} 
 \hspace{5.6cm}F\colon \operatorname{Ob}(\mathcal{A}) &\to & \operatorname{Ob}(\mathcal{F}) \\
  G&\mapsto &G\otimes \F_p,
\intertext{zusammen mit den Abbildungen}
 \operatorname{Mor}(G,H) &\mapsto & \operatorname{Mor}(G\otimes \F_p,H\otimes \F_p) \\
(f\colon G\to H) &\mapsto & (f_*:=f\otimes \operatorname{id}\colon G\otimes \F_p\to H\otimes \F_p)\end{array} \end{align*}
ein kovarianter Funktor von der Kategorie der abelschen Gruppe  zu der Kategorie der $\F_p$-Vektorr\"aume.
\end{enumerate}
\end{beispiele}


% Ende 8. Vorlesung



\begin{definition} Es seien $\mathcal{C}$ und $\mathcal{D}$ Kategorien. Ein \emph{kontravarianter Funktor} $F\colon \mathcal{C}\to \mathcal{D}$
besteht aus einer Abbildung
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.2cm} F\colon \operatorname{Ob}(\mathcal{C})&\to& \operatorname{Ob}(\mathcal{D}) 
\intertext{und f\"ur alle $X,Y\in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})$ gibt es zudem eine Abbildung}
 \operatorname{Mor}(X,Y)&\to& \operatorname{Mor}(F(Y),F(X))\\
 \phi&\mapsto & F(\phi)\end{array}
 \end{align*}
so dass folgende Axiome erf\"ullt sind:\begin{enumerate}
\item[(F1)] F\"ur alle $\phi\in \operatorname{Mor}(X,Y)$ und $\psi\in \operatorname{Mor}(Y,Z)$, gilt
\[  F(\psi\circ \phi)\,\,=\,\,F(\phi)\circ F(\psi).\]
\item[(F2)] F\"ur alle $X\in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})$ gilt
\[ F(\operatorname{id}_X)\,\,=\,\,\operatorname{id}_{F(X)}.\hspace{0.7cm}\]
\end{enumerate}
\end{definition}


\begin{konvention}
F\"ur einen kovarianten Funktion $F\colon \mathcal{C}\to \mathcal{D}$ und einen Morphismus $\phi$ schreiben wir oft $\phi^*$ anstatt $F(\phi)$.
\end{konvention}

\begin{bemerkung}\label{bem:verknuepfung-von-funktoren}
Die Verkn\"upfung von zwei kovarianten Funktoren ist wiederum ein kovarianter Funktor.
Eine Verkn\"upfung von einem kovarianten mit einem kontravarianten Funktor ist ein kontravarianter Funktion, nachdem sich ``die Richtung genau einmal \"andert''. 
Die Verkn\"upfung von zwei kontravarianten Funktoren ist hingegen ein kovarianter Funktor, denn  ``die Richtung \"andert sich zwei Mal''.\footnote{Man kann diese Beobachtung leicht verallgemeinern, die Verkn\"upfung von $k$ kovarianten und $n$ kontravarianten Funktoren ist ein kovarianter Funktor, wenn $n$ gerade ist und es handelt sich um einen kontravarianten Funktor, wenn $n$ ungerade ist.}
\end{bemerkung}

Der Unterschied zur Definition eines kovarianten Funktors liegt darin, dass sich die Reihenfolge von $F(\psi)$ und $F(\phi)$ umgedreht hat.
Dies erscheint  auf den ersten Blick sehr unnat\"urlich, dies kommt aber durchaus des\"ofteren vor, wie wir jetzt in den Beispielen sehen werden.

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
 Es sei $\mathcal{V}$ die Kategorie der reellen Vektorr\"aume. Wir hatten in Lemma~\ref{lem:induzierte-abbildungen} gezeigt, dass 
 \begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
\hspace{5cm} F\colon \operatorname{Ob}(\mathcal{V}) &\to & \operatorname{Ob}(\mathcal{V}) \\
  V&\mapsto &V^*:=\operatorname{Hom}_{\R}(V,\R):=\mbox{Dualraum von $V$},
\intertext{zusammen mit den Abbildungen}
 \operatorname{Mor}(U,V) &\mapsto & \operatorname{Mor}(V^*,U^*) \\
(\phi\colon U\to V) &\mapsto & \left(\begin{array}{rcl}\phi^*\colon \operatorname{Hom}(V,\R)&\to & \operatorname{Hom}(U,\R) \\
     f &\mapsto & f\circ \phi\end{array}\right)\end{array} \end{align*}
ein kontravarianter Funktor ist. Folgendes Diagramm illustriert die Aussage von Axiom (F2):
\[ \xymatrix@C1.6cm@R0.65cm{ U\ar[r]_{\phi}   \ar@{~>}[d]\ar@/^1.3pc/[rr]^{\psi\circ \phi}
&V\ar[r]_\psi \ar@{~>}[d] & W \ar@{~>}[d] \\ U^*&V^*\ar[l]_{\phi ^*}& W^*.\ar[l]_{\psi^*}
\ar@/^1.3pc/[ll]^{(\psi\circ \phi)^*} }\]
\item
 Es sei $\mathcal{T}$ die Kategorie der topologischen R\"aume und es sei $\mathcal{V}$ die Kategorie der reellen Vektorr\"aume, dann ist
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
 \hspace{4cm}  F\colon \operatorname{Ob}(\mathcal{T}) &\to & \operatorname{Ob}(\mathcal{V}) \\
  X&\mapsto & C(X,\R):=\mbox{stetige reellwertige Funktionen auf $X$},
\intertext{zusammen mit den Abbildungen}
 \operatorname{Mor}(X,Y) &\mapsto & \operatorname{Mor}(C(Y,\R),C(X,\R)) \\
(\phi\colon X\to Y) &\mapsto & \left(\begin{array}{rcl} C(Y,\R)&\to & C(X,\R) \\
     f &\mapsto & f\circ \phi\end{array}\right)\end{array} \end{align*}
ein kontravarianter Funktor.
\end{enumerate}
\end{beispiele}




\clearpage
%======================================================
\section{Differentialformen erster Ordnung}

%======================================================
\subsection{Definition  von Differentialformen  erster Ordnung}\label{section:pfaffsche}
Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit und es sei $P\in M$. 
Wir schreiben
\[ T_P^*M\,\,:=\,\,\operatorname{Hom}_{\R}(T_PM,\R)\]
f\"ur den zum Tangentialraum  $T_PM$ dualen Vektorraum. Es folgt aus Satz~\ref{satz:tangentialraum-ist-vektorraum} und aus der Diskussion vom vorherigen Kapitel, dass dies  ebenfalls ein $k$-dimensionaler Vektorraum ist.
Wir nennen Elemente in $T_P^*M$ \emph{Kotangentialvektoren}.

\begin{bemerkung}
Es sei wiederum $\mathcal{P}$ die Kategorie der punktierten Untermannigfaltigkeiten und  und es sei $\mathcal{V}$ die Kategorie der reellen Vektorr\"aume.
Es folgt leicht aus Definitionen, dass 
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} 
 \hspace{5.6cm}F\colon \operatorname{Ob}(\mathcal{P}) &\to & \operatorname{Ob}(\mathcal{V}) \\
  (M,P)&\mapsto &T^*_PM,
\intertext{zusammen mit den Abbildungen}
 \operatorname{Mor}((M,P),(N,Q)) &\mapsto & \operatorname{Mor}(T^*_QN,T^*_PM) \\
f &\mapsto & f^*=Df(P)^*\end{array} \end{align*}
ein kontravarianter Funktor ist.\footnote{Genauer gesagt handelt es sich bei $F$ um die Verkn\"upfung des kovarianten Funktors $(M,P)\mapsto T_PM$ mit dem kontravarianten Funktor $V\mapsto V^*$, also ist $F$ nach der Bemerkung auf Seite~\pageref{bem:verknuepfung-von-funktoren} ein kontravarianter Funktor.} 
\end{bemerkung}

\begin{definition}
Eine \emph{Differentialform  erster Ordnung} auf einer Untermannigfaltigkeit $M$\label{def:differentialform}
ist eine Abbildung $\omega$, welche jedem Punkt $P$ in $M$ einen Kotangentialvektor $\omega_P\in T_P^*M$ zuordnet.
\footnote{Genauer gesagt ist eine Differentialform  $\omega$  erster Ordnung eine Abbildung
\[ \omega\colon M\to \tmcup{P\in M}{} T_P^*M\]
so dass f\"ur  $P\in M$ gilt, dass $\omega_P\in T_P^*M$.}
\end{definition}
Im Folgenden werden wir oft auch nur kurz ``$1$-Form'' anstatt Differentialform erster Ordnung schreiben.\footnote{In der Literatur werden Differentialformen erster Ordnung manchmal auch Pfaffsche Formen genannt.} In sp\"ateren Kapiteln werden wir dann die Differentialformen h\"oherer Ordnung kennenlernen. 

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es sei $F$ ein Vektorfeld auf einer Untermannigfaltigkeit $M$.\label{def:omega(f)}
Dann ist die Abbildung $\omega(F)$, welche jedem Punkt $P$ in $M$ den Kotangentialvektor
\[ \begin{array}{rcl} \omega(F)_P\colon T_PM&\to & \R \\ v&\mapsto & \underset{\operatorname{Skalarprodukt}}{\underbrace{v\cdot F(P)}}\end{array} \]
zuordnet, eine 1-Form auf $M$. 
\item Es sei $f\colon M\to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion  auf einer Untermannigfaltigkeit. Dann ist die Abbildung, welche jedem Punkt $P$ in $M$ den Kotangentialvektor\footnote{Wir hatten in Satz~\ref{satz:differential-linear} gezeigt, dass $Df(P)=f_*\colon T_PM\to \R$ in der Tat eine lineare Abbildung ist, d.h.\ $Df(P)$ ist ein Element in $T_P^*M$.}
\[ \begin{array}{rcl} Df(P)=f_*\colon T_PM&\to & \R =T_{f(P)}\R\\  v&\mapsto & Df(P)( v) \end{array} \]
zuordnet eine 1-Form auf $M$. 
Diese Form hei\ss t das \emph{totale Differential von $f$}
\label{def:totale-differential} und wird mit $df$ bezeichnet.\footnote{Eigentlich hatten wir diese Abbildung schon mit $Df$ bezeichnet, aber in diesem Zusammenhang hat sich die Notation $df$ eingeb\"urgert.}
\item Es sei $M\subset \R^n$ eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit. F\"ur $i\in \{1,\dots,n\}$ betrachten wir die 1-Form $dx_i$, welche an jedem Punkt $P\in M$ gegeben ist durch\footnote{Die Projektion $\R^n\to \R$ auf die $i$-te Koordinate wird oft mit $p_i$ bezeichnet. Dann entspricht $dx_i$ gerade der 1-Form $dp_i$, welche wir in (2) eingef\"uhrt hatten. Aber nachdem sich die Notation $dx_i$ eingeb\"urgert hat, werden wir diese\label{fussnote:dx-dpx} verwenden, selbst wenn sie nicht ganz konsistent mit der Notation aus (2) ist.} 
\[ \begin{array}{rrcl}\hspace{0.7cm} dx_i\colon& T_PM=\R^n&\to & \R\hspace{1.2cm}\\
&(v_1,\dots,v_n)&\to &v_i.\end{array}\]
Es seien nun $f_1,\dots,f_n\colon M\to \R$ Funktionen. Dann ist auch 
$f_1dx_1+\dots+f_ndx_n$ eine 1-Form.

Da $dx_1,\dots,dx_n\colon \R^n\to \R$ eine Basis f\"ur den Dualraum $T^*_PM=\operatorname{Hom}_{\R}(\R^n,\R)$ bilden, ist jeder Kotangentialvektor eine Linearkombination von $dx_1,\dots,dx_n$, und also ist auch jede 1-Form auf $M$ von der obigen Form.
\end{enumerate}
\end{beispiele}




In  \"Ubungsblatt~5 werden wir folgendes elementare Lemma beweisen.

\begin{lemma}
\label{lem:berechnung-totale-differential}
Es sei $f\colon U\to \R$ eine  stetig differenzierbare Funktion auf einer offenen Menge $U\subset \R^n$. Dann gilt
\[ df\,\,=\,\,\tmfrac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\dots+\tmfrac{\partial f}{\partial x_n}dx_n.\]
\end{lemma}

\begin{definition}
Es sei $\varphi\colon M\to N$ eine stetig differenzierbare Abbildung zwischen zwei Untermannigfaltigkeiten und es sei $\omega$ eine 1-Form auf $N$. 
Wir bezeichnen mit $\varphi^*\omega$ die 1-Form, welche am Punkt $P\in M$ gegeben ist durch 
\[ (\varphi^*\omega)_P\colon T_PM\,\,\xrightarrow{\varphi_*}\,\,T_{f(P)}N\,\,\xrightarrow{\omega_{\varphi(P)}}\,\,\R.\]
Man sagt oft, dass man eine 1-Form $\omega$ von $N$ auf $M$ zur\"uckgezogen hat. Man nennt $\varphi^*\omega$ den ``pullback''  von $\omega$. 
\end{definition}

Das folgende Lemma ist eine Tautologie.\footnote{\[\mbox{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Tautologie_(Logik)}}\]} Mit anderen Worten, die Aussage des Lemmas folgt sofort aus den Definitionen, und es gibt nichts zu beweisen. Obwohl (oder gerade weil?) das Lemma so einfach ist, werden wir es erstaunlich oft verwenden.


\begin{lemma}\label{lem:dualraum-tautologie-2}
Es sei $\varphi\colon M\to N$ eine stetig differenzierbare Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten, es sei $\omega$ eine 1-Form auf $N$, es sei $P\in M$ und es sei $v\in T_PM$. Dann gilt
\[ (\varphi^*\omega)_P(v)\,\,=\,\,\omega_{\varphi(P)}(\varphi_*(v)).\]
\end{lemma}

\begin{definition}\mbox{}\label{def:differentialform-stetig}
\begin{enumerate}
\item Es sei $\omega=f_1dx_1+\dots+f_kdx_k$ eine 1-Form\footnote{Wie wir gerade in (3) angemerkt hatten ist jede 1-Form auf $W$ von dieser Form.} auf einer offenen Teilmenge $W\subset \R^k$ beziehungsweise einer offenen Teilmenge $W\subset H_k$. Wir sagen $\omega$ ist stetig, wenn $f_1,\dots,f_k$ stetig sind. 
\item Es sei  $\omega$ eine 1-Form auf einer $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $M$.
\begin{enumerate}
\item  
Es sei $\Phi\colon U\to V$ eine Karte f\"ur $M$.  Wir sagen \emph{$\omega$ ist stetig bez\"uglich der Karte $\Phi$}, wenn $(\Phi^{-1})^*(\omega)$ eine stetige 1-Form auf $V\cap E_k$ beziehungsweise auf $V\cap H_k$ ist.\footnote{Wie immer fassen wir hierbei $V\cap E_k$ als offene Teilmenge von $E_k=\R^k$ auf.} 
\item Wir sagen \emph{$\omega$ ist stetig auf $M$}, wenn es einen Atlas $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i\in I}$ von $M$ gibt, so dass $\omega$  stetig ist  bez\"uglich jeder Karte $\Phi_i$.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
Wir verwenden im Folgenden auch die ganz analogen Definitionen bei denen wir  ``stetig''  durch ``stetig differenzierbar'' beziehungsweise ``glatt'' ersetzen.
\end{definition}

Der folgende Satz spielt nun eine \"ahnliche Rolle wie Satz~\ref{satz:bezueglich-allen-karten-stetig-differenzierbar}.

\begin{satz}\label{satz:definitionen-von-stetigen-1-formen}
Es sei  $\omega$ eine 1-Form auf einer Untermannigfaltigkeit $M$. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item die 1-Form $\omega$ ist stetig differenzierbar,
\item die 1-Form $\omega$ ist stetig differenzierbar bez\"uglich jeder Karte von $M$,
\item f\"ur alle stetig differenzierbaren Tangentialvektorfelder $F$ auf $M$ ist die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} M&\to & \R \\
P&\mapsto &  \underset{\in \R}{\underbrace{\underset{\in T_P^*M}{\underbrace{\omega_{P}}}(\hspace{-0.05cm}\underset{\hspace{0.2cm}\in T_{P}M}{\underbrace{F(P)}}\hspace{-0.05cm})}}\end{array}\]
stetig differenzierbar.
\end{enumerate}
Die gleichen Aussagen gelten auch, wenn wir ``stetig differenzierbar'' durch   ``stetig'' beziehungsweise ``glatt''  ersetzen.
\end{satz}

F\"ur den Beweis von Satz~\ref{satz:definitionen-von-stetigen-1-formen} ben\"otigen wir  folgendes Lemma. 

\begin{lemma}\label{lemma:pullback-von-stetigen-1-formen-auf-rk}
Es sei  $\varphi\colon V\to W$ eine stetig differenzierbare Abbildung von einer  $m$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $V$ von $\R^m$ zu einer  $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $V$ von $\R^n$.
Zudem sei  $\omega$ eine stetig differenzierbare 1-Form auf  $W$. Dann ist die 1-Form  $\varphi^*\omega$ auf $V$ ebenfalls  stetig differenzierbar. 
Die gleiche Aussage gilt auch, wenn wir ``stetig differenzierbar'' durch   ``stetig'' beziehungsweise ``glatt''  ersetzen. 
\end{lemma}

\begin{proof}
 Wir beweisen die Aussage f\"ur ``stetig differenzierbar'', die  Aussagen f\"ur ``glatt'' und ``stetig'' werden ganz analog bewiesen. 
Es sei also   $\omega=g_1dx_1+\dots+g_ndx_n$ eine stetig differenzierbare 1-Form auf einer einer  $n$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $W$ von $\R^n$.
Zudem sei $V$ eine  $m$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $W$ von $\R^m$. Dar\"uber hinaus sei $\varphi=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)\colon V\to W$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Wir schreiben 
\[ \varphi^*\omega\,\,=\,\,f_1dx_1+\dots+f_mdx_m,\] wobei $f_1,\dots,f_m\colon V\to \R$ Funktionen sind. Wir m\"ussen zeigen, dass $f_1,\dots,f_m$ stetig differenzierbar sind.
Es sei nun $k\in \{1,\dots,m\}$.  F\"ur $P\in V$ ist 
\[ \begin{array}{rll} f_k(P)&=\,\,\big(f_1(P)dx_1+\dots+f_m(P)dx_m\big)(e_k)&=\,\,(\varphi^*\omega)_P(e_k)\,\,=\,\, \omega_{\varphi(P)}(\varphi_*(e_k))\\
&\uparrow&\hspace{2.9cm}\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $dx_i(e_j)=\delta_{ij}$\footnotemark}
&\hspace{2.4cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:dualraum-tautologie-2}}\\[0.1cm]
&=\,\,\underset{=\omega_{\varphi(P)}}{\underbrace{ \Big(\tmsum{i=1}{n} (g_i\circ \varphi)(P)dx_i\Big)}}\Big(\underset{=(D_P\varphi)(e_k)=\varphi_*(e_k)}{\underbrace{\tmsum{j=1}{n} \tmfrac{\partial \varphi_j}{\partial x_k}(P)\cdot e_j}}\Big) &=\,\,
\tmsum{i=1}{n} (g_i\circ \varphi)(P)\cdot  \tmfrac{\partial \varphi_j}{\partial x_k}(P).\\[-0.9cm]
&&\uparrow\\
&&\hspace{-0.3cm}\mfbox{denn $dx_i(e_j)=\delta_{ij}$}
\end{array}
\]
Wir\footnotetext{F\"ur $i,j\in \Z$ ist das \emph{Kronecker-Symbol} $\delta_{ij}$ definiert durch
\[ \delta_{ij}\,\,:=\,\, \left\{ \begin{array}{ll} 1, &\mbox{ wenn }i=j,\\ 0,&\mbox{ wenn $i\ne j$.}\end{array}\right.\]} sehen also, dass $f_k$ eine Verkn\"upfung von stetig differenzierbaren Funktionen ist. Also ist $f_k$ auch selber stetig differenzierbar.
\end{proof}


Das folgende Lemma beweist die Aussagen von Satz~\ref{satz:definitionen-von-stetigen-1-formen}  im Spezialfall, dass $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^k$ ist.

\begin{lemma}\label{lemma:definitionen-von-stetigen-1-formen-auf-rk}
Es sei  $\omega$ eine 1-Form auf einer $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit von $\R^k$. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item die 1-Form $\omega$ ist stetig differenzierbar, 
\item f\"ur jeden Diffeomorphismus $\varphi\colon V\to W$ ist die 1-Form $\varphi^*\omega$ auf $V$ stetig differenzierbar,
\item f\"ur alle stetig differenzierbaren Vektorfelder $F\colon W\to \R^k$ ist die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} W&\to & \R \\
P&\mapsto &\omega_P(F(P))\end{array}\]
stetig differenzierbar.
\end{enumerate}
Die gleichen Aussagen gelten auch, wenn wir ``stetig differenzierbar'' durch   ``stetig'' beziehungsweise ``glatt''  ersetzen.
\end{lemma}

\begin{proof} 
Es sei  $\omega=g_1dx_1+\dots+g_kdx_k$ eine 1-Form auf einer $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit von $\R^k$. 
Die Aussage ``$(1)\Rightarrow (2)$'' folgt aus Lemma~\ref{lemma:definitionen-von-stetigen-1-formen-auf-rk}. Die Umkehrung  ``$(2)\Rightarrow (1)$'' ist nat\"urlich trivial, wir m\"ussen nur $\varphi=\operatorname{id}$ setzen.

Wir beweisen nun noch die \"Aquivalenz ``$(1)\Leftrightarrow (3)$''. 
Wir beweisen die Aussage f\"ur ``stetig differenzierbar'', die  Aussagen f\"ur ``glatt'' und ``stetig'' werden ganz analog bewiesen. Wir machen dazu folgende Vorbemerkung: F\"ur ein beliebiges stetig differenzierbares Vektorfeld  $F=(F_1,\dots,F_k)\colon W\to \R^k$ gilt
\[ \begin{array}{rl} \omega_P(F(P))\,\,=\,\,\underset{=\omega_P}{\underbrace{ \Big(\tmsum{i=1}{k} g_i(P)dx_i\Big)}}\Big(\underset{=F(P)}{\underbrace{\tmsum{j=1}{k}F_j(P)\cdot e_j}}\Big)&=\,\,
\tmsum{i=1}{k}g_i(P)\cdot F_i(P).\\[-0.9cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $dx_i(e_j)=\delta_{ij}$}
\end{array}\]
Aus dieser Rechnung folgt, dass wenn die Funktionen $g_1,\dots,g_k$ stetig differenzierbar sind, dann ist auch $P\mapsto \omega_P(F(P))$ stetig differenzierbar. Wir haben damit ``$(1)\Rightarrow (3)$'' bewiesen. Umgedreht, wenn wir die Vektorfelder konstanten Vektorfelder $G(P)=e_i$ betrachten, dann erhalten wir $g_i(P)=\omega_P(G(P))$.  Nach Voraussetzung ist die Funktion $P\mapsto \omega_P(G(P))$ stetig differenzierbar. Es folgt also, dass auch $g_i$ stetig differenzierbar ist. Dies beweist ``$(3)\Rightarrow (1)$''.
\end{proof} 


Wir wenden uns nun dem eigentlichen Beweis von Satz~\ref{satz:definitionen-von-stetigen-1-formen} zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:definitionen-von-stetigen-1-formen}]
Es sei also  $\omega$ eine 1-Form auf einer $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $M$. Um die Notation etwas zu vereinfachen betrachten wir nur den Fall, dass $\partial M=\emptyset$. Wir beweisen die Aussage f\"ur ``stetig differenzierbar'', die  Aussagen f\"ur ``glatt'' und ``stetig'' werden ganz analog bewiesen.

Die Aussage ``(2) $\Rightarrow$ (1)'' ist nat\"urlich trivial.
Die Umkehraussage ``(1) $\Rightarrow$ (2)'' kann man, ganz \"ahnlich wie im Beweis von Satz~\ref{satz:bezueglich-allen-karten-stetig-differenzierbar}, mithilfe von Karten auf den in Lemma~\ref{lemma:definitionen-von-stetigen-1-formen-auf-rk} betrachteten Spezialfall zur\"uckf\"uhren. Wir \"uberlassen das Ausf\"uhren von diesem Argument als freiwillige \"Ubungsaufgabe.

Wir beweisen nun die Aussage ``(2) $\Rightarrow$ (3)''. Es sei also $F$ ein stetig differenzierbares  Tangentialvektorfeld auf $M$. F\"ur $P\in M$ definieren wir $g(P):=\omega_P(F(P))$. Wir m\"ussen nun zeigen, dass die Funktion $g$ auf der Untermannigfaltigkeit $M$ stetig differenzierbar ist. Wir verwenden dazu die Definition von ``stetig differenzierbar'' aus Kapitel~\ref{section:diffbarfaufm}. Es sei also $\Phi\colon U\to V$ eine Karte um $P$. Wir bezeichnen mit $\Psi\colon V\to U$ die Umkehrabbildung. Wir m\"ussen nun zeigen, dass die Funktion $g\circ \Psi\colon V\cap E_k\to \R$ stetig differenzierbar ist.
F\"ur $Q\in V\cap E_k$ gilt
\[ \begin{array}{rlll} (g\circ \Psi)(Q)&=\,\,\omega_{\Psi(Q)}(F(\Psi(Q)))&=\,\,((\Psi\circ \Phi)^*\omega)_{\Psi(Q)}(F(\Psi(Q)))\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Definition von $g$}&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $\Psi\circ \Phi=\operatorname{id}$}\\
&=\,\,(\Phi^*(\Psi^*\omega))_{\Psi(Q)}(F(\Psi(Q)))&=\,\,(\Psi^*\omega)_Q\big(\Phi_*(F(\Psi(Q)))\big).\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $(\Psi\circ \Phi)^*=\Phi^*\circ \Psi^*$}&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:dualraum-tautologie-2}}\end{array} \]
Nach Voraussetzung ist  $\Psi^*\omega$ eine stetig differenzierbare 1-Form auf $V\cap E_k$ und zudem ist $Q\mapsto \Phi_*(F(\Psi(Q)))$  ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf $V\cap E_k$. Es folgt nun aus Lemma~\ref{lemma:definitionen-von-stetigen-1-formen-auf-rk}, dass die Funktion $g\circ \Psi$ stetig differenzierbar ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{definitionen-von-stetigen-1-formen-2-3.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis der Aussage ``(2) $\Rightarrow$ (3)''.}
\end{center}
\end{figure}

Wir beweisen nun noch die Aussage ``(3) $\Rightarrow$ (1)''.\footnote{Wir werden die Aussage ``(3) $\Rightarrow$ (1)'' im weiteren Verlauf der Vorlesung nicht verwenden.} Wir nehmen also an, dass f\"ur alle stetig differenzierbaren Tangentialvektorfelder $F$ auf $M$  die Funktion $P\mapsto \omega_P(F(P))$ 
stetig differenzierbar ist. Wir m\"ussen jetzt beweisen, dass es um jeden Punkt $P\in M$ eine Karte $\Phi\colon S\to T$ gibt, so dass $(\Phi^{-1})^*\omega$ eine stetig differenzierbare 1-Form auf $T\cap E_k$ ist. Es sei also $P\in M$ und es sei zuerst einmal $\Phi\colon U\to V$ eine beliebige Karte um $P$. Wir bezeichnen mit $\Psi\colon V\to U$ die Umkehrabbildung. F\"ur $i\in \{1,\dots,k\}$  sei nun $G_i\colon E_k\cap V\to E_k=\R^k$ das konstante  Vektorfeld, welches jedem Punkt den Standardbasisvektor $e_i$ zuordnet. Dann ist $P\mapsto \Psi_*(G_i(P))$ ein Tangentialvektorfeld auf $M\cap U$. Dieses l\"a\ss t sich jedoch im Allgemeinen nicht zu einem stetig differenzierbaren Vektorfeld auf $M$ fortsetzen. Wir ben\"otigen nun folgende Behauptung, welche \"ahnlich bewiesen wird wie Lemma~\ref{lem:cinfty-ueberdeckung}. Der genaue Beweis der Behauptung ist eine freiwillige \"Ubungsaufgabe.

\begin{behauptung}
Es existiert eine offene Umgebung $S$  von $P$ in $M$  und es existiert eine glatte Funktion $z\colon M\to [0,1]$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item $z(x)=1$ f\"ur alle $x\in S$,
\item $\mbox{Tr\"ager}(z)\subset M\cap U$.
\end{enumerate}
\end{behauptung}

Wir betrachten nun auf $M$ das Tangentialvektorfeld, welches definiert ist durch
\[ F(x)\,\,=\,\,\left\{\begin{array}{rl} z(x)\cdot \Psi_*(G_i(\Phi(x))),&\mbox{ wenn }x\in M\cap U,\\
0,&\mbox{sonst.}\end{array}\right.\]
Dies ist ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf $M$. Wir setzen $T:=\Phi(S)$. F\"ur $Q\in T\cap E_k$ gilt nun
\[\begin{array}{rll}(\Psi^*\omega)_Q(G_i(Q))&=\,\, \omega_{\Psi(Q)}(\Psi_*(G_i(Q))&=\,\,\omega_{\Psi(Q)}(F(\Psi(Q))).\\
&\uparrow& \uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:dualraum-tautologie-2}}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $z(Q)=1$, da $\Psi(Q)\in S$}
\end{array}\]
Nach Voraussetzung ist $P\mapsto \omega_P(F(P))$ stetig differenzierbar, also ist nun auch  die Funktion $Q\mapsto (\Psi^*\omega)_Q(G_i(Q))$ auf $T\cap E_k$ stetig differenzierbar. Es folgt aus dem Beweis der Aussage ``(3) $\Rightarrow$ (1)'' in 
Lemma~\ref{lemma:definitionen-von-stetigen-1-formen-auf-rk}, dass $\Psi^*\omega$ auf $T$ stetig differenzierbar ist.
\end{proof}




\begin{satz}\label{satz:pullback-von-stetigen-1-formen}
Es sei $f\colon M\to N$ eine glatte Abbildung zwischen zwei  Untermannigfaltigkeiten   und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare 1-Form auf $N$. Dann ist  $f^*\omega$ eine stetig differenzierbare 1-Form auf $M$. 
Die gleichen Aussagen gelten auch, wenn wir ``stetig differenzierbar'' durch ``stetig'' beziehungsweise ``glatt'' ersetzen.
\end{satz}

\begin{proof}
Die Aussage des Satzes kann man mithilfe von Karten problemlos auf Lemma~\ref{lemma:pullback-von-stetigen-1-formen-auf-rk} zur\"uckf\"uhren.
\end{proof}


\begin{bemerkung}
F\"ur eine Untermannigfaltigkeit $M$  setzen wir nun
\[\Omega_1(M)\,\,=\,\,\mbox{Menge der glatten 1-Formen auf $M$}.\]
Zusammenfassend haben wir also insbesondere gezeigt, dass 
die Abbildungen
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{3cm} \mbox{Untermannigfaltigkeit $M$} &\,\,\mapsto\,\, & \Omega_1(M),
\intertext{zusammen mit den Abbildungen}
\mbox{glatte Abbildung $f\colon M\to N$}&\mapsto & (f^*\colon \Omega_1(N)\to \Omega_1(M))\end{array}
\end{align*}
einen kontravarianten Funktor von der Kategorie der Untermannigfaltigkeiten zu der Kategorie der Vektorr\"aume bildet. 
\end{bemerkung}

Wir beschlie\ss en dieses Kapitel mit folgendem Lemma, welches in  \"Ubungsblatt~5 bewiesen wird.

\begin{lemma}\label{lem:omega(f)-stetig}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit. 
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item 
F\"ur jedes glatte Tangentialvektorfeld $F$ auf $M$ ist die zugeh\"orige 1-Form $\omega(F)$, welche wir auf Seite~\pageref{def:omega(f)} eingef\"uhrt hatten,  glatt.
\item Zu jeder glatten 1-Form $\omega$ auf $M$ gibt es genau ein glattes Tangentialvektorfeld $F$ auf $M$ mit $\omega=\omega(F)$.
\end{enumerate}
Die analoge Aussage gilt nat\"urlich auch wenn wir ``glatt'' durch ``stetig'' beziehungsweise ``stetig differenzierbar'' ersetzen.
\end{lemma}

\begin{bemerkung}
F\"ur eine Untermannigfaltigkeit $M$  setzen wir nun
\[\tau(M)\,\,=\,\,\mbox{Menge der glatten Tangentialvektorfelder auf $M$}.\]
Dies ist ein Vektorraum und es folgt aus Lemma~\ref{lem:omega(f)-stetig}, dass die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} \tau(M)&\to & \Omega_1(M)\\
F&\mapsto & \omega(F)\end{array}\]
ein Isomorphismus von Vektorr\"aumen ist. Wir hatten gerade angemerkt, dass $M\mapsto \Omega_1(M)$ und $f\mapsto f^*$  einen kontravarianten Funktor von der Kategorie der Untermannigfaltigkeiten zu der Kategorie der Vektorr\"aume bildet. Es stellt sich nun die Frage, ob die Abbildungen $M\mapsto \tau(M)$ ebenfalls auf eine ``nat\"urliche'' Weise einen Funktor ergeben. Aber dies ist nicht der Fall, denn eine glatte Abbildung $f\colon M\to N$ induziert weder eine Abbildung $\tau(M)\to \tau(N)$ noch eine Abbildung $\tau(N)\to \tau(M)$.\footnote{Warum nicht? Probieren Sie mal, solche Abbildungen hinzuschreiben. Woran scheitert das?}
\end{bemerkung}



% Ende 9. Vorlesung

%======================================================
\subsection{Integrierbarkeit von 1-Formen}\label{section:pfaffsche-integrierbarkeit}

\begin{lemma}\label{lem:auswertung-auf-1-form-stetig}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit, es sei   $ \gamma\colon [a,b] \to M$ eine  Kurve auf $M$ und es sei $\omega$ eine stetige 1-Form  auf $M$. Dann ist die Funktion\footnote{Die Funktion ist also wie folgt definiert: die Kurve $\gamma$ definiert f\"ur  $t\in [a,b]$ einen Vektor $\gamma'(t)\in T_{\gamma(t)}M$,
eine 1-Form auf $M$ ordnet solch einem Vektor eine reelle Zahl zu.}
\[\begin{array}{rcl} 
[a,b]&\to & \R \\
t&\mapsto &  \underset{\in \R}{\underbrace{\underset{\in T^*_{\gamma(t)}M}{\underbrace{\omega_{\gamma(t)}}}(\hspace{-0.2cm}\underset{\hspace{0.2cm}\in T_{\gamma(t)}M}{\underbrace{\gamma'(t)}}\hspace{-0.2cm})}}.\end{array} \hspace{-0.5cm}\]
stetig.
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir bezeichnen mit $e=1$ den Einheitsvektor in $\R$. 
F\"ur $t\in [a,b]$ ist nun
\[ 
\begin{array}{rllll} \omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))\,\,=\,\,
\omega_{\gamma(t)}(\gamma_*(e))&=\,\,
(\gamma^*\omega)_t(e).\\
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:dualraum-tautologie-2}}\end{array}\]
Die 1-Form $\gamma^*\omega$ auf $[a,b]$ ist nach Satz~\ref{satz:pullback-von-stetigen-1-formen} stetig. Also folgt aus 
Satz~\ref{satz:definitionen-von-stetigen-1-formen} (1) $\Rightarrow$ (3), dass die Funktion $t\mapsto (\gamma^*\omega)_t(e)$ stetig ist.
\end{proof}




Es sei nun  $ \gamma\colon [a,b] \to M$ eine  Kurve auf einer Untermannigfaltigkeit $M$ und es sei $\omega$ eine stetige 1-Form  auf $M$. Wir definieren
 das \emph{Integral der 1-Form $\omega$ \"uber die Kurve $\gamma$} wie folgt\footnote{Das Integral ist definiert, denn nach Lemma~\ref{lem:auswertung-auf-1-form-stetig} ist der Integrand eine stetige Funktion.}
 \[ \bbint\limits_\gamma \omega\,\, :=\,\,\bbint\limits_a^b \omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))\,dt.\]

\begin{beispiel}
Es sei $F$ ein stetiges Vektorfeld auf einer Untermannigfaltigkeit $M$ und es  sei $\gamma\colon [a,b]\to M$ eine  Kurve. Wir betrachten wieder die 1-Form $\omega(F)$, welche an jedem Punkt $P\in M$ gegeben ist durch
\[ \begin{array}{rcl} \omega(F)_P\colon T_PM&\to & \R\\
v&\mapsto &\omega(F)_P(v):=v\cdot F(P).\end{array}\hspace{0.4cm}\]
Es folgt sofort aus den Definitionen, das
\[  \hspace{0.4cm}\bint\limits_\gamma \omega(F)\,\,=\,\,\bint\limits_a^b \hspace{-0.7cm}
\underset{\scriptsize{\begin{array}{c}\opnormal{Skalarprodukt der}\\ \mbox{Vektoren $\gamma'(t)$ und $F(\gamma(t))$}\end{array}}}{\underbrace{\gamma'(t)\cdot F(\gamma(t))}}\hspace{-0.7cm}\,dt.\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{integral-ueber-1-form.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:integral-ueber-1-form}
\end{center}
\end{figure}
In Abbildung~\ref{fig:integral-ueber-1-form} betrachten wir anschaulich einige Spezialf\"alle mit $M=\R^2$. 
Wir betrachten insbesondere dass  Vektorfeld in der Mitte, welches gegeben ist durch\label{beispiel:integral-1-form-nicht-null}
$G(x,y)=(-y,x)$.
Zudem  betrachten wir die geschlossene Kurve
\[ \begin{array}{rcl} \gamma\colon [0,2\pi] &\to & \R^2 \\ t&\mapsto &(\cos(t),\sin(t)).\end{array}\]
Dann gilt
\[ \bint\limits_\gamma\omega(G)\,=\,\bint\limits_{0}^{2\pi}  \gamma'(t)\cdot G(\gamma(t))\,dt\,=\,\bint\limits_{0}^{2\pi}
(-\sin(t),\cos(t))\cdot (-\sin(t),\cos(t))\,dt\,=\,\bint\limits_0^{2\pi} 1\,dt\,=\,2\pi. \]
\end{beispiel} 

\begin{beispiel}
Es sei $F$ ein stetiges Kraftfeld auf einer offenen Teilmenge $U\subset \R^3$, z.B.\ das Gravitationsfeld oder ein Magnetfeld, welches auf einen gegebenen punktf\"ormigen K\"orper $K$ wirkt. Wir bezeichnen mit $\omega(F)$ die zugeh\"orige 1-Form auf $U$. Es sei $\gamma\colon [a,b]\to U$ zudem eine Kurve. Dann ist
\[  \bint\limits_\gamma -\omega(F)\]
die Energie die aufgewendet werden muss (bzw. freigesetzt wird), um den K\"orper $K$ in diesem Kraftfeld auf der Bahn $\gamma$ zu bewegen. Es folgt aus dem Energieerhaltungssatz, dass das Integral \"uber einer geschlossene Kurve\footnote{Eine Kurve hei\ss t \emph{geschlossen}, wenn der Anfangs-- und der Endpunkt \"ubereinstimmen.} immer verschwindet.
\end{beispiel} 

Der folgende Satz kann als Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential-- und Integralrechnung aufgefasst werden:\footnote{In welchem Sinne ist dies eine 
Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential-- und Integralrechnung? Wie kann man diesen aus Satz~\ref{satz:integral-von-totalem-differential} herleiten?}

\begin{satz}\label{satz:integral-von-totalem-differential}
Es sei $M$ eine  Untermannigfaltigkeit, es sei $f\colon M\to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion und zudem sei   $ \gamma\colon [a,b] \to M$ eine Kurve auf $M$. Dann gilt\footnote{Zur Erinnerung, $df$ bezeichnet das totale Differential, welches wir auf Seite~\pageref{def:totale-differential} eingef\"uhrt hatten.}
\[ \bint\limits_\gamma df\,\,=\,\,f(\gamma(b))-f(\gamma(a)).\]
Insbesondere wenn $\gamma$ eine geschlossene Kurve
 ist, dann gilt
\[ \bint\limits_\gamma df\,\,=\,\,0.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Es sei   $ \gamma\colon [a,b] \to M$ eine Kurve auf $M$, dann gilt
 \[ \bint\limits_\gamma df\,\,=\,\,\bint\limits_a^b \underset{\footnotesize{\begin{array}{c}\mfbox{$=(f\circ \gamma)'(t)$, nach}\\\opnormal{der Kettenregel}\end{array}}}{\underbrace{(df_{\gamma(t)})(\gamma'(t))}}\,dt\,\,=\,\,\bint\limits_a^b\frac{d}{dt}f(\gamma(t))\,dt\,\,=\,\,f(\gamma(b))-f(\gamma(a)).\]
Wenn $\gamma$ geschlossen ist, dann gilt $\gamma(a)=\gamma(b)$ und es folgt sofort, dass
\[ \bint\limits_\gamma df\,\,=\,\,0.\vspace{-0.6cm}\]
\end{proof}

\begin{definition}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit und es sei $\omega$ eine glatte 1-Form auf $M$.
Wir sagen, $\omega$ ist \emph{exakt}\footnote{Exakte $1$-Formen werden manchmal auch \emph{integrierbar} genannt.},
 wenn es eine glatte Funktion $f\colon M\to \R$ gibt mit $\omega=df$.
\end{definition}

\begin{beispiel}
Auf  Seite~\pageref{beispiel:integral-1-form-nicht-null} hatten wir gezeigt, dass es auf $M=\R^2$ mit dem Tangentialvektorfeld $F(x,y)=(-y,x)$ eine geschlossene Kurve $\gamma$ gibt, so dass
\[ 
 \bint\limits_\gamma\omega(F)\,\,\ne\,\,0. \]
Es folgt also aus Satz~\ref{satz:integral-von-totalem-differential}, dass die 1-Form $\omega(F)$ nicht exakt ist.
\end{beispiel}

Wir werden im Folgenden Beispiele von exakten 1-Formen geben. Hierbei verwenden wir folgendes elementare Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:exakte-1-form-via-vektorfeld}
Es sei $M$ eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ und es sei $F\colon M\to \R^n$ ein glattes Vektorfeld. Dann gilt
\[ \mbox{die 1-Form $\omega(F)$ ist exakt}\quad \Longleftrightarrow \quad\begin{array}{c}\mbox{es gibt eine glatte Funktion,}\\ \mbox{$g\colon M\to \R$ mit $\operatorname{Grad} g=F$.}\end{array}\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir beweisen zuerst die ``$\Rightarrow$'' Richtung. Wir nehmen also an, dass es eine glatte Funktion $g\colon M\to \R$ gibt, so dass $dg=\omega(F)$. Wir wollen zeigen, dass $\operatorname{Grad} g=F$. F\"ur alle $v=(v_1,\dots,v_n)\in \R^n=T_PM$ gilt, dass
\[\begin{array}{rll} F(P)\cdot v&=(dg(P))(v)&=
\Big(\setminussum{i=1}{n}\tmfrac{\partial g}{\partial  x_i}(P)dx_i\Big)(v_1,\dots,v_n)= \lmsum{i=1}{n}\tmfrac{\partial g}{\partial x_i}(P)\cdot v_i= \operatorname{Grad} g(P)\cdot v.\\[-0.3cm]
&\uparrow &\uparrow\\
&\hspace{-0.1cm}\mfbox{da $\omega(F)=dg$}&\hspace{-0.3cm}\mfbox{nach Lemma~\ref{lem:berechnung-totale-differential}}\end{array}\]
Nachdem dies f\"ur alle $v\in \R^n$ gilt, folgt, dass $F(P)=\operatorname{Grad} g(P)$. 

Wir beweisen nun die ``$\Leftarrow$'' Richtung. Wir nehmen also an, dass es eine glatte Funktion $g\colon M\to \R$ gibt, so dass $F=\operatorname{Grad} g$. Wir wollen zeigen, dass $\omega(F)=dg$. In der Tat  gilt  f\"ur alle  $v\in \R^n=T_PM$, dass
\[ \begin{array}{rll} \omega(F)_P(v)\,\,=\,\,F(P)\cdot v&=\,\,\operatorname{Grad} g(P)\cdot v&=\,\,(dg(P))(v)\\[-0.0cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.3cm}\mfbox{denn $F=\operatorname{Grad} g$}&\hspace{-0.5cm}\mfbox{siehe oben}.\vspace{-0.6cm}\end{array}\]
\end{proof}

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item 
Ein Vektorfeld  $G\colon \R^n\setminus\{0\}\to \R^n$ hei\ss t \emph{radial}, wenn es eine Funktion $f\colon \R_{>0}\to \R$ gibt, so dass
\[ G(x)\,\,=\,\,f(\|x\|)\cdot x\mbox{ f\"ur alle $x\in \R^n\setminus\{0\}$.}\]
In \"Ubungsblatt~5 werden wir mithilfe von Lemma~\ref{lem:exakte-1-form-via-vektorfeld} zeigen, dass f\"ur jedes glatte radiale Vektorfeld $G\colon \R^n\setminus\{0\}\to \R^n$ die zugeh\"orige $1$-Form $\omega(G)$ exakt ist. 
\item  Das  Gravitationsfeld $G$ eines sich im Ursprung befindlichen punktf\"ormigen K\"orpers in $\R^3$ ist ein radiales Vektorfeld. Wie wir gerade in (1) angemerkt hatten, gibt es eine Funktion $f\colon \R^{3} \setminus\{0\}\to \R$ mit $\operatorname{Grad} f=G$. Diese Funktion wird in der Physik das ``Potential'' des Gravitationsfeldes genannt. Anders ausgedr\"uckt, an einem Punkt $P\in \R^{3}\setminus \{0\}$ besitzt ein punktf\"ormiger K\"orper der Masse $M$  gerade  die potentielle Energie $M\cdot f(P)$. 
\item Die Diskussion in (2) gilt ganz analog auch f\"ur das  elektrische Feld eines sich im Ursprung befindlichen elektrisch geladenen K\"orpers.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{radiale-vektorfeld.pstex_t}
\caption{Beispiele von radialen Vektorfeldern.}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{exakte-nichtexakte-pfaffsche-formen.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}
%======================================================
\subsection{Integration und Parametertransformationen}\label{section:1mf}

Es sei $\gamma\colon [a,b]\to \R^n$ eine Kurve und es sei $\varphi\colon  [c,d]\to [a,b]$
ein Diffeomorphismus. Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} \gamma\circ \varphi\colon [c,d]&\to & \R^n \\
t&\mapsto &\gamma(\varphi(t)) \end{array} \]
ebenfalls eine Kurve. Diese Kurve nimmt die gleichen Punkte wie die urspr\"ungliche Kurve $\gamma$ an.
Wir sagen $\delta$ ist eine \emph{Umparametrisierung}, welche 
durch die \emph{Parametertransformation $\varphi$} aus $\gamma$ hervorgeht.
Wir nennen die Parametertransformation $\varphi$ \emph{orientierungserhaltend}, wenn  $\varphi(c)=a$ und $\varphi(d)=b$
und wir nennen sie \emph{orientierungsumkehrend}, wenn  $\varphi(c)=b$ und $\varphi(d)=a$.

\begin{beispiel}
Wir betrachten
\[ \begin{array}{rcl} \gamma\colon [0,2\pi] &\to & \R^2 \\
t&\mapsto &(\cos(t),\sin(t)),\end{array} \hspace{0.6cm}\]
d.h.\ $\gamma$ durchl\"auft den Einheitskreis ``in der Zeit $2\pi$'' ``gegen den Uhrzeigersinn''.
Die Kurve
\[  \begin{array}{rcl} \alpha\colon [0,\pi] &\to & \R^2 \\
t&\mapsto &(\cos(2t),\sin(2t)),\end{array} \]
ist eine Umparametrisierung von $\gamma$, wobei die Parametertransformation orientierungserhaltend ist.
Die Kurve $\alpha$ durchl\"auft den Einheitskreis ``in der Zeit $\pi$'' weiterhin ``gegen den Uhrzeigersinn''.
Die Kurve
\[  \begin{array}{rcl} \beta\colon [0,4\pi] &\to & \R^2 \\
t&\mapsto &\big(\cos\big(2\pi-\tmfrac{1}{2}t\big),\sin\big(2\pi-\tmfrac{1}{2}t\big)\big)\end{array} \]
ist eine Umparametrisierung von $\gamma$, wobei die Parametertransformation orientierungsumkehrend  ist.
Die Kurve $\beta$ durchl\"auft den Einheitskreis ``in der Zeit $4\pi$'' nun aber ``im  Uhrzeigersinn''.
\end{beispiel}

Wir k\"onnen nun folgenden Satz formulieren und beweisen:

\begin{satz}\label{satz:pfaffintkurve}\label{satz:changeor}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit und es sei $\omega$ eine stetige 1-Form auf $M$. 
Es sei   $ \gamma$ eine Kurve auf $M$ und es sei $\delta$ eine Kurve, welche aus $\gamma$ durch eine Parametertransformation $\varphi$ hervorgeht.  Dann gilt
\[ \bint\limits_\delta \omega\,\,=\,\,\left\{ \begin{array}{rl} \bint\limits_\gamma \omega, &\mbox { wenn $\varphi$ orientierungserhaltend}, \\  -\bint\limits_\gamma \omega, &\mbox { wenn $\varphi$ orientierungsumkehrend.}\end{array}\right.\]
\end{satz}

Der  Satz besagt also, dass das Integral einer 1-Form \"uber eine Kurve
nicht davon abh\"angt, ``wie schnell wir die Punkte auf der Kurve durchlaufen'',
so lange wir die Kurve ``in der gleichen Richtung'', d.h.\ vom Endpunkt $\gamma(a)=\delta(c)$ zum Endpunkt $\gamma(b)=\delta(d)$ durchlaufen.
Wenn wir die Kurve in der ``entgegengesetzten Richtung'' durchlaufen, dann erhalten wir bis auf ein Vorzeichen, ebenfalls das gleiche Integral.

Der Satz erinnert an Lemma~3.3 aus der Analysis~III. In der Tat ist auch der Beweis fast der gleiche wie in Analysis~III.

\begin{proof}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit und es sei $\omega$ eine stetige 1-Form auf $M$.
Es sei   $ \gamma\colon [a,b] \to M$ eine Kurve auf $M$
und es sei $\delta\colon [c,d]\to M$ eine Kurve, welche aus $\gamma$ durch
eine Parametertransformation  $\varphi\colon [c,d]\to [a,b]$ hervorgeht.
Dann gilt
\[ \begin{array}{rll}
 \bint\limits_\delta \omega&=\,\,\bint\limits_{t=c}^{t=d} \omega_{\delta(t)}(\delta'(t)) \,dt 
&=\,\,\bint\limits_{t=c}^{t=d} \omega_{(\gamma\circ \varphi)(t)}\big((\gamma\circ \varphi)'(t)\big) \,dt \\[2mm]
&=\,\,\bint\limits_{t=c}^{t=d} \omega_{\gamma(\varphi(t))}\big(\gamma'(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)\big) \,dt &=\,\,\bint\limits_{t=c}^{t=d} \omega_{\gamma(\varphi(t))}\big(\gamma'(\varphi(t))\big)\cdot \varphi'(t) \,dt \\[-2mm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Kettenregel}&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Linearit\"at von $\omega_{\gamma(\varphi(t))}\colon T_{\gamma(\varphi(t))}M\to \R$}\\[0.1cm]
&=\,\,\bint\limits_{s=\varphi(c)}^{s=\varphi(d)} \omega_{\gamma(s)}(\gamma'(s))\,ds 
&=\,\,\left\{ \begin{array}{rl} \int\limits_\gamma \omega, &\mbox{ wenn $\varphi(c)=a$ und $\varphi(d)=b$}, \\  -\int\limits_\gamma \omega, &\mbox{ wenn $\varphi(c)=b$ und $\varphi(d)=a$.}\end{array}\right.\\[-0.5cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{ Substitution $s=\varphi(t)$} \end{array}\vspace{-0.7cm}\]
\end{proof}


%======================================================
\subsection{Orientierte eindimensionale Untermannigfaltigkeiten}
\label{section:orientierte-1-untermannigfaltigkeiten}
Auf Seite~\pageref{def:orientierung-hyperflaeche} hatten wir den Begriff einer Orientierung auf einer Hyperfl\"ache eingef\"uhrt. 
Wir wollen nun den Begriff einer Orientierung einer eindimensionalen Untermannigfaltigkeit einf\"uhren. 

\begin{definition}
Es sei $M$ eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit.
\begin{enumerate}
\item Wir sagen zwei Tangentialvektorfelder $\sigma$ und $\tau$ auf $M$, welche nirgendwo verschwinden, sind \emph{\"aquivalent}, wenn es eine positive Funktion $f\colon M\to \R_{>0}$ gibt, so dass $\sigma(P)=f(P)\cdot \tau(P)$ f\"ur alle $P\in M$.
\item   Eine \emph{Orientierung von $M$} ist eine \"Aqui\-valenz\-klasse von Tangentialvektorfeldern, welche nirgendwo verschwinden.
\item Eine \emph{orientierte eindimensionale Untermannigfaltigkeit} ist ein Paar $(M,\mathcal{O})$, wobei $M$ eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit und $\mathcal{O}$ eine  Orientierung von $M$ ist.  Wir unterschlagen hierbei oft die Orientierung in der Notation. Wir bezeichnen zudem mit $-M$ die orientierte eindimensionale Untermannigfaltigkeit $(M,-\mathcal{O})$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{orientierte-eindimensionale-untermannigfaltigkeiten.pstex_t}
\caption{Orientierungen von eindimensionalen Untermannigfaltigkeiten.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{bemerkung}
Eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit $M$ von $\R^2$ ist insbesondere auch eine Hyperfl\"ache. In diesem Fall haben wir also zwei Begriffe von Orientierungen:
\begin{enumerate}
\item Auf  Seite~\pageref{def:orientierung-hyperflaeche} hatten wir eine Orientierung von $M$ definiert als ein Einheitsnormalenfeld.
\item Gerade eben hatten wir eine Orientierung von $M$ definiert als eine \"Aqui\-valenz\-klasse von Tangentialvektorfeldern, welche nirgendwo verschwinden.
\end{enumerate}
Die folgenden Abbildungen geben eine kanonische Bijektion zwischen diesen beiden Orientierungsbegriffen:
\[ \begin{array}{rcl} \ \begin{array}{c}\mbox{\"Aqui\-valenz\-klassen von nirgendwo}\\
\mbox{verschwindenden Tangentialvektorfeldern} \end{array}&\leftrightarrow& \mbox{Einheitsnormalenfelder auf $M$}\\{}
[\tau]&\xrightarrow{\Phi} & \begin{array}{c}\mbox{$\tau$ um $-\frac{\pi}{2}$ gedreht\footnotemark{} und }\\
\mbox{auf L\"ange $1$ normiert}\end{array} \\{}
[\mbox{$\nu$ um $\frac{\pi}{2}$ gedreht}]&\xleftarrow{\Psi} & \nu.\end{array}\]
Diese\footnotetext{Wir drehen hierbei, wie \"ublich, gegen den Uhrzeigersinn.}  beiden Abbildungen sind offensichtlich zu einander inverse. Im Folgenden werden wir kommentarlos zwischen diesen beiden Gesichtspunkten hin- und herwechseln.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{aequivalenz-der-orientierungsbegriffe.pstex_t}
\caption{Die \"Aquivalenz der Orientierungsbegriffe.}
\end{center}
\end{figure}
\end{bemerkung}

Es sei nun  $M$ eine zusammenh\"angende kompakte eindimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand. Es sei $\mathcal{O}$ eine Orientierung auf $M$ und es sei  $\omega$ eine 1-Form  auf $M$.
Wir definieren nun das Integral von $\omega$ auf der orientierten eindimensionalen Untermannigfaltigkeit $M$ wie folgt.
Wir w\"ahlen eine Parametrisierung  $\gamma\colon [a,b]\to M$, welche die Eigenschaft besitzt, dass $[\gamma'(t)]=\mathcal{O}$.\footnote{Anschaulich gesprochen w\"ahlen wir also eine Kurve $\gamma\colon [a,b]\to M$, welche $M$ einmal in der ``vorgeschriebenen Richtung durchl\"auft''. Wir haben hier implizit die Aussage verwendet, dass es f\"ur jede zusammenh\"angende kompakte eindimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand eine solche Kurve $\gamma$ gibt. Dies ist zwar anschaulich ``irgendwie klar'', aber streng genommen gar nicht so leicht zu beweisen. Wir werden sp\"ater noch pr\"azise das Integral einer ``$k$-Form'' auf einer orientierten kompakten $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit einf\"uhren, und erlauben uns deswegen diese kleine L\"ucke.}
Wir definieren dann
\[ \bint\limits_M\omega \,\,:=\,\,\bint\limits_\gamma\omega\,\,=\,\,\bint\limits_{t=a}^{t=b}\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))\,dt.\]
Es folgt aus 
Satz~\ref{satz:changeor}, dass
\[ \bint\limits_{-M}\omega\,\,=\,\,-\bint\limits_M\omega.\hspace{0.4cm}\]
Wie \"ublich m\"ussen wir an dieser Stelle noch folgendes Lemma beweisen.


\begin{lemma}
Die Definition von $\int\limits_M\omega$ h\"angt nicht von der Wahl von $\gamma$ ab.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei also $M$ eine zusammenh\"angende kompakte eindimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ mit Rand, es sei $\mathcal{O}$ eine Orientierung auf $M$ und es sei  $\omega$ eine 1-Form  auf $M$.
Es seien  $\gamma\colon [a,b]\to M$ und $\delta \colon [c,d]\to M$ zwei Parametrisierungen von $M$  mit $[\gamma'(t)]=[\delta'(t)]=\mathcal{O}$.

Wir bezeichnen mit $\varphi\colon [a,b]\to [c,d]$ die Abbildung, welche gegeben ist durch die Gleichung $\varphi(t):=\gamma^{-1}(\delta(t))$. Dies ist ein Diffeomorphismus.\footnote{Diese Aussage ist gar nicht so leicht zu beweisen. Die Abbildungen $\gamma$ und $\delta$ sind Parametrisierungen, k\"onnen also nach Satz~11.1 aus der Analysis~II (siehe auch Satz~\ref{satz:untermannigfaltigkeit-parametrisierung})
 zu Karten $\Gamma$ und $\Delta$ fortgesetzt werden. Diese sind insbesondere Diffeomorphismen zwischen offenen Teilmengen von $\R^n$, also ist auch $\Gamma^{-1}\circ \Delta$ ein Diffeomorphismus, also auch die Einschr\"ankung von $\Gamma^{-1}\circ \Delta$ auf $E_1$. Aber diese Einschr\"ankung ist gerade die Abbildung $\varphi=\gamma^{-1}\circ \delta$.}
Aus unserer Voraussetzung $[\gamma'(t)]=[\delta'(t)]=\mathcal{O}$ folgt, dass $\varphi$  eine orientierungserhaltende Umparametrisierung ist. Es folgt nun also aus Satz~\ref{satz:pfaffintkurve}, dass die Integrale \"uber $\gamma$ und $\delta$ \"ubereinstimmen.
\end{proof}


\begin{bemerkung}
Wir haben jetzt also einen Orientierungsbegriff f\"ur Hyperfl\"achen und f\"ur eindimensionale Untermannigfaltigkeiten. 
Wir werden sp\"ater der Frage nachgehen, was denn eine Orientierung einer beliebigen Untermannigfaltigkeit sein soll.

Zudem haben wir das Integral einer 1-Form \"uber einer orientierten eindimensionalen Untermannigfaltigkeit eingef\"uhrt, und wir wollen im Folgenden Kapitel das ``richtige'' mathematische Objekt finden, welches wir sinnvoll auf einer orientierten $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit integrieren k\"onnen.
\end{bemerkung}


\clearpage
%======================================================
\section{Differentialformen h\"oherer Ordnung}
\label{section:differentialformen-auf-untermannigfaltigkeiten}


%======================================================
\subsection{Motivation}\label{section:motivation}

Erinnern wir uns noch einmal an den Gau\ss schen Integralsatz und an Satz~\ref{satz:integral-von-totalem-differential}:


\begin{satz}\emph{\textbf{(Gau\ss scher Integralsatz)}}
Es sei $M\subset \R^n$ eine kompakte $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
Wir bezeichnen mit $\nu$ das \"au\ss ere Einheitsnormalenfeld auf $\partial M$.
F\"ur jedes stetig differenzierbare Vektorfeld $F\colon M\to \R^n$ gilt
\[ \bint\limits_M \operatorname{div} F\,\, =\,\, \bint\limits_{\partial M} F\cdot \nu.\]
\end{satz}

Wenden wir Satz~\ref{satz:integral-von-totalem-differential} auf
das Integral von 1-Formen auf eindimensionale Untermannigfaltigkeiten an (siehe Kapitel~\ref{section:1mf}), so erhalten wir folgenden Satz:

\begin{satz}\label{satz:integral-von-totalem-differential2}
Es sei $M$ eine zusammenh\"angende orientierte eindimensionale Untermannigfaltigkeit mit
``Anfangspunkt $P$'' und ``Endpunkt $Q$''.
Es sei zudem $f\colon M\to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion.
Dann gilt
\[ \bint\limits_M df\,\,=\,\,f(Q)-f(P).\]
\end{satz}

Diese beiden S\"atze sind auf den ersten Blick sehr unterschiedlich, aber sie besitzen gewisse formale \"Ubereinstimmungen:
\begin{enumerate}
\item
Beide S\"atze k\"onnen auf den  Hauptsatz der Differential-- und Integralrechnung aus der Analysis~I zur\"uckgef\"uhrt werden. Zudem  k\"onnen beide S\"atze auch als Verallgemeinerung eben dieses Satzes aufgefasst werden, indem Sinne, dass wir f\"ur $M=[a,b]$ gerade die Aussage des  Hauptsatzes der Differential-- und Integralrechnung erhalten.
\item Wir betrachten also entweder
\[ \begin{array}{rllll}\hspace{1cm} \mbox{$M$ eine $n$--Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ und}&\mbox{$f$ ein Vektorfeld auf $M$, oder}\\
\mbox{$M$ eine $1$--Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ und}&\mbox{$f$ eine Funktion auf $M$}.\end{array} \]
Dann besagen die obigen S\"atze, dass\footnote{Der ``klassische Satz von Stokes'', den wir schon auf Seite~\pageref{bsp:klassischer-satz-von-stokes} formuliert hatten, ist \"ubrigens von der gleichen Form.}
\[ \bint\limits_M \mbox{``Ableitung von $f$''}\,\,=\,\,\mbox{Integral von $f$ auf dem Rand von $M$}.\]
\end{enumerate}

F\"ur eine beliebige $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit wollen wir jetzt eine analoge Aussage (n\"amlich den Satz von Stokes) formulieren und beweisen.
Dazu m\"ussen wir uns aber zuerst \"uberlegen, was ist das ``richtige mathematische Objekt'', welches wir auf einer $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit integrieren k\"onnen.

Wir erinnern uns noch einmal an die Situation von 1--dimensionalen Untermannigfaltigkeiten. F\"ur eine 1-Form $\omega$ auf einer  1-dimensionalen Untermannigfaltigkeit, welche eine Parametrisierung $\gamma\colon [a,b]\to M$ besitzt, hatten wir definiert 
\[ \bint\limits_M\omega \,\,:=\,\,\bint\limits_{[a,b]}\underset{\in \R}{\underbrace{\underset{\in T^*_{\gamma(t)}M}{\underbrace{\omega_{\gamma(t)}}}(\hspace{-0.2cm}\underset{\hspace{0.2cm}\in T_{\gamma(t)}M}{\underbrace{\gamma'(t)}}\hspace{-0.2cm})}}.\]
Diese Definition macht Sinn, denn
\begin{enumerate}
\item eine Parametrisierung gibt f\"ur jeden Punkt auf $M$ genau einen Tangentialvektor,
\item eine 1-Form auf $M$ antwortet auf genau einen Tangentialvektor mit einer reellen Zahl,
\item wir erhalten also eine reellwertige Funktion, welche wir integrieren k\"onnen,
\item und wir hatten gesehen, dass das Integral unabh\"angig von der Parametrisierung ist.
\end{enumerate}
Es sei nun $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit. 
Eine Parametrisierung $\Psi\colon T\to M$ liefert nun f\"ur jedes $Q\in T$ genau $k$ Tangentialvektoren in $T_{f(Q)}M$. 
Wenn wir das obige Prozedere f\"ur h\"oher\-dimen\-sionale Untermannigfaltigkeiten durchziehen wollen, brauchen wir nun also auf $M$ ein mathematisches Objekt, welches auf genau $k$ Tangentialvektoren an einem Punkt mit einer reellen Zahl antwortet. Diese mathematischen Objekte sind die Multilinearformen, welche schon in der Linearen Algebra eingef\"uhrt wurden. Wir werden diese im n\"achsten Kapitel noch einmal einf\"uhren und genauer studieren.



%======================================================
\subsection{Alternierende Multilinearformen I: Definition}\label{section:multidef}
Wir erinnern zuerst an folgenden Satz aus der Linearen Algebra.\footnote{Der Satz wird in Kapitel~3.2.5 in Fischer: Lineare Algebra und analytische Geometrie bewiesen.}

\begin{satz}\label{satz:charakterisierung-determinante}
Es sei $n\in \N$. Es gibt genau  eine Abbildung, genannt die Determinante, 
\[ \det\colon  M(n\times n,\R)\,\,\to\,\, \R\]
mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item[(i)] die Abbildung $\det$ ist multilinear, d.h.\ die Abbildung ist linear in jeder Spalte, genauer gesagt, f\"ur alle $v,v'\in \R^n$ und $\l\in \R$ gilt\footnote{Hierbei  sollen die nicht genannten Spalten auf beiden Seiten gleich sein.}
\[ \begin{array}{rcl} \hspace{1.5cm}\det(\dots\,v+v'\,\dots)&=&\det(\dots\,v\,\dots)+\det(\dots\,v'\,\dots)\\
\det(\dots\,\l v\,\dots)&=&\l\cdot \det(\dots\,v\,\dots),\end{array}\]
\item[(ii)] die Abbildung ist alternierend, d.h.\ vertauscht man zwei Spalten, so \"andert sich das Vorzeichen, d.h.\ f\"ur alle $v,v'\in \R^n$  gilt
\[
\hspace{1.1cm} \det(\dots\,v\,\dots\,v'\,\dots)\,\,=\,\,-\det(\dots\,v'\,\dots\,v\,\dots).\hspace{1.2cm}\]
\item[(iii)] wenn $e_1,\dots,e_n$ die Standardbasis von $\R^n$ bezeichnen, dann gilt
\[ \det\big( e_1\,\dots\,e_n\big)\,\,=\,\,1.\hspace{2.8cm}\]
\end{enumerate}
\end{satz}

In diesem Kapitel betrachten wir die alternierenden $k$-Formen auf Vektorr\"aumen, welche als Verallgemeinerungen der Determinante aufgefasst werden k\"onnen. 


\begin{definition}
Es sei $V$ ein reeller Vektorraum.
Eine \emph{alternierende $k$-Form auf $V$} ist eine Abbildung
\[\begin{array}{rcl} \omega\colon V^k&\to& \R\\ (v_1,\dots,v_k)&\mapsto &\omega(v_1,\dots,v_k)\end{array} \]
mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\omega$ ist multilinear, d.h.\ $\omega$ ist linear in jedem Argument. 
Dies bedeutet, dass f\"ur alle $v,v'\in V$ und $\l\in \R$ gilt\footnote{Hierbei  sollen die nicht genannten Argumente auf beiden Seiten gleich sein.}
\[ \begin{array}{rcl} \hspace{0.5cm}\omega(\dots,v+v',\dots)&=&\omega(\dots,v,\dots)+\omega(\dots,v',\dots)\\
\omega(\dots,\l v,\dots)&=&\l\cdot \omega(\dots,v,\dots),\end{array}\]
\item[(ii)] $\omega$ ist alternierend, d.h.\ vertauscht man zwei verschiedene Argumente, so \"andert sich das Vorzeichen. Genauer gesagt, f\"ur alle $v,v'\in V$  gilt
\[ \omega(\dots,v,\dots,v',\dots)\,\,=\,\,-\omega(\dots,v',\dots,v,\dots).\hspace{1.2cm}\]
\end{enumerate}
\end{definition}

% Ende 10. Vorlesung

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es sei $\l\in \R$. Dann ist
\[\begin{array}{rcl} (\R^n)^n&\to& \R\\ (v_1,\dots,v_n)&\mapsto &\l\cdot \det(\underset{n\times n-\operatorname{Matrix}}{\underbrace{v_1\,\dots\,v_n}})\end{array} \]
eine alternierende $n$-Form auf $\R^n$. Es folgt leicht aus 
Satz~\ref{satz:charakterisierung-determinante}, dass jede alternierende $n$-Form auf $\R^n$ von dieser Form ist.\label{bsp:jede-n-form-ist-det}
\item Eine alternierende 1-Form ist eine lineare Abbildung $V\to \R$, d.h.\ ein Element im Dualraum $V^*=\operatorname{Hom}(V,\R)$. Wir nennen alternierende 1-Formen  \emph{Linearformen}.
\item
Es sei $w\in \R^3$ ein Vektor. Dann ist\footnote{Zur Erinnerung, dass Kreuzprodukt von zwei Vektoren 
\[ \mfbox{$a=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} $ und $b=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix} $ ist definiert als $a\times b=\begin{pmatrix} \hfill a_2b_3-b_3b_2\\ -(a_1b_3-a_3b_1)\\\hfill  a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}$}\]
Das Kreuzprodukt ist bilinear und antisymmetrisch, d.h.\ es ist $b\times a=-a\times b$. In \"Ubungsblatt~2 hatten wir gesehen, dass es folgende zwei geometrische Eigenschaften besitzt:
\begin{enumerate}
\item $a\times b$ ist orthogonal zu $a$ und $b$,
\item $\|a\times b\|$ ist das zweidimensionale Volumen des Parallelogramms, welches von $a$ und $b$ aufgespannt wird.
\end{enumerate}}
\[ \begin{array}{rcl} \R^3\times \R^3&\to & \R \\ (v_1,v_2)&\mapsto& w\cdot (\hspace{-0.2cm}\underset{\operatorname{Kreuzprodukt}}{\underbrace{v_1\times v_2}}\hspace{-0.2cm})\end{array} \]
eine alternierende 2-Form auf $\R^3$.
\item Es sei $w\in \R^n$ ein Vektor. Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} (\R^n)^{n-1}&\to & \R \\ (v_1,\dots,v_{n-1})&\mapsto& \det\underset{n\times n-\operatorname{Matrix}}{\underbrace{\big(w\,\,v_1\,\,\dots\,\,v_{n-1}\big)}} \end{array} \]
eine alternierende $(n-1)$-Form auf $\R^n$. Im Fall $n=3$ erhalten wir die gleiche alternierende 2-Form wie im vorherigen Beispiel.\footnote{Warum?}
\end{enumerate}
\end{beispiele}


Folgendes elementare Lemma wird sp\"ater eine wichtige Rolle spielen.

\begin{lemma}\label{lem:altdet}
Es sei $\eta$ eine alternierende $k$-Form auf $\R^k$ und es sei $A$ eine $k\times k$-Matrix. Dann gilt f\"ur alle  $v_1,\dots,v_k\in \R^k$,
dass
\[ \eta(Av_1,\dots,Av_k)\,\,=\,\,\det(A)\cdot \eta(v_1,\dots,v_k).\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Nach der Diskussion auf Seite~\pageref{bsp:jede-n-form-ist-det} gibt es ein $\lambda\in \R$, so dass 
\[ \eta(v_1,\dots,v_k)\,\,=\,\,\lambda\cdot \det (v_1\,\dots\,v_k),\]
f\"ur alle  $v_1,\dots,v_k\in \R^k$. 
F\"ur beliebige $v_1,\dots,v_k\in \R^k$ folgt also, dass
\[ \begin{array}{rl} \eta(Av_1,\dots,Av_k)&=\,\,\lambda\cdot \det ( Av_1\,\dots\,Av_k)\\&=\,\,\lambda \cdot \det(A\cdot (v_1\,\dots\,v_k))\\
&=\,\,\lambda\cdot \det(A)\cdot \det(v_1\,\dots\,v_k)=\det(A)\cdot \eta(v_1,\dots,v_k).\\
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Multiplikativit\"at der Determinante}\end{array}\vspace{-0.6cm}\]
\end{proof}


Die Summe zweier alternierender $k$-Formen\footnote{Wenn $\omega,\omega'$ zwei alternierende $k$-Formen sind, dann ist die Summe $\omega+\omega'$ nat\"urlich wie folgt definiert:
 \[ (\omega+\omega')(v_1,\dots,v_k)=\omega(v_1,\dots,v_k)+\omega'(v_1,\dots,w_k).\]}
 und das Skalarprodukt einer alternierenden $k$-Form mit einer reellen Zahl ist wiederum eine alternierende $k$-Form.
Die Menge der alternierenden $k$-Formen bildet also einen reellen Vektorraum, welchen wir mit
$\wedge^k  V^*$ bezeichnen.

\begin{lemma}\label{lem:dim-alternierend-null}
Es sei $V$ ein  $n$-dimensionaler reeller Vektorraum. Dann gilt
\[ \begin{array}{rcl}\hspace{2.4cm} \wedge^1 V^*&=&V^*, \\
\dim(\wedge^n V^*)&=&1, \\
 \wedge^k V^*&=&0,\mbox{ f\"ur alle $k>n=\dim(V)$.}\end{array} \]
\end{lemma}

Die ersten beiden Aussagen folgen aus  der obigen Diskussion der Beispiele.
Die dritte Aussage wird in  \"Ubungsblatt~5 bewiesen. Im n\"achsten Kapitel werden wir sehen,
 dass
 \[ \hspace{0.6cm}\dim\big(\wedge^k V^*\big)\,\,=\,\,{\footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big)}}\mbox{ f\"ur $k\in \{0,\dots,n\}$.}\hspace{0.25cm}\]
Im Folgenden verwenden wir auch die Konvention, dass
\[ \wedge^0 V^*\,\,:=\,\,\R,\hspace{2.2cm}\]
d.h.\ eine alternierende $0$-Form auf $V$ ist per Definition eine reelle Zahl.




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\subsection{Alternierende Multilinearformen II: Das Dachprodukt von Linearformen}\label{section:dach}
Im Folgenden sei $V$ wiederum ein reeller Vektorraum.
Es seien  $\varphi_1,\dots,\varphi_k\in V^*$ Linearformen. Wir definieren 
\[ \begin{array}{rcl} \varphi_1\wedge\dots \wedge \varphi_k:V^k &\to & \R \\
(v_1,\dots,v_k)&\mapsto&\det \begin{pmatrix} \varphi_1(v_1)&\dots&\varphi_1(v_k) \\ \vdots &&\vdots \\ \varphi_k(v_1)&\dots&\varphi_k(v_k)\end{pmatrix}.\end{array} \]
Es ist leicht zu \"uberpr\"ufen, dass $\varphi_1\wedge \dots \wedge \varphi_k$ eine alternierende $k$-Form ist. Wir bezeichnen diese als das \emph{Dachprodukt}\footnote{Der eigenwillige Name kommt von der Form des Symbols ``$\wedge$''. Im Englischen wird dieses Produkt das ``wedge-product'' genannt, nachdem das Symbol ``$\wedge$'' dort als wedge = Keil interpretiert wird.}\footnote{In der Literatur wird oft auch der Name \emph{\"au\ss eres Produkt} verwendet.}
von $\varphi_1,\dots,\varphi_k$.

\begin{beispiel}
Wir betrachten jetzt den Fall $V=\R^n$. F\"ur $i=1,\dots,n$ definieren wir\footnote{Wir k\"onnen also $dx_1,\dots,dx_n\in (\R^n)^*=\operatorname{Hom}(\R^n,\R)$ als die zur Standardbasis $e_1,\dots,e_n\in \R^n$ duale Basis auffassen.}
\[ \begin{array}{rcl} dx_i\colon \R^n &\to & \R \\ (w_1,\dots,w_n)&\mapsto & w_i.\end{array} \]
Dann gilt f\"ur Vektoren $v_i=(v_{i1},\dots,v_{in})\in \R^n$, $i=1,\dots,n$, dass
\[ \begin{array}{rcl} (dx_1\wedge \dots \wedge dx_n)(v_1,\dots,v_n)&=&
\det \begin{pmatrix} dx_1(v_1)&\dots&dx_1(v_n) \\ \vdots &&\vdots \\ dx_n(v_1)&\dots&dx_n(v_n)\end{pmatrix}\\
\\[-0.3cm]
&=&\det \begin{pmatrix} v_{11}&\dots&v_{n1} \\ \vdots &&\vdots \\ v_{1n}&\dots&v_{nn}\end{pmatrix}\,\,=\,\,\det \big(\underset{n\times n-\operatorname{Matrix}}{\underbrace{v_1\,\dots\,v_n}}\big).\end{array} \]
Wir haben also gezeigt, dass die alternierende $n$-Form 
\[ dx_1\wedge \dots \wedge dx_n\colon (\R^n)^n=\R^{n^2}\,\,\to\,\,\R\]
gerade der Determinante entspricht.\label{bsp:dachprodukt-dxis}
\end{beispiel}

Aus den Definitionen und den Eigenschaften der Determinante erhalten wir leicht folgendes Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:eigenschaften-wedge}
Es $V$ ein reeller Vektorraum. Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} (V^*)^k&\to & \Lambda^k V^*\\
(\varphi_1,\dots,\varphi_k)&\to & \varphi_1\wedge \dots\wedge \varphi_k\end{array}\]
ist multilinear und alternierend. Insbesondere gilt f\"ur alle Linearformen $\varphi$ und $\psi$, dass \[ \hspace{0.3cm} \varphi\wedge \psi\,\,=\,\,-\psi\wedge \varphi.\]
\end{lemma}

\begin{satz}\label{satz:basis-dachprodukt}
Es sei $V$  ein $n$-dimensionaler reeller Vektorraum und es sei $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ eine Basis f\"ur $V^*$.
Es sei $k\in \{0,\dots,n\}$. Dann bilden die Dachprodukte
\[ \varphi_{i_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{i_k} \quad \mbox{ mit }\quad  i_1<i_2<\dots<i_k \]
eine Basis von $\wedge^k V^*$.
\end{satz}

Der Satz wurde in der Linearen Algebra Vorlesung bewiesen. Wir geben einen Beweis der Vollst\"andigkeit halber. 

\begin{proof}
Es sei $e_1,\dots,e_n$ eine Basis von $V$, welche zur Basis $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ von $V^*$ dual ist, d.h.\ es gilt
\[ \varphi_i(e_j)\,\,=\,\,\delta_{ij}\,\,=\,\,\left\{ \begin{array}{ll} 1, &\mbox{ wenn }i=j, \\ 0, &\mbox{ wenn }i\ne j.\end{array} \right.\]
Aus der Definition des Dachproduktes folgt leicht, dass f\"ur
$i_1<\dots < i_k$  und $j_1<\dots <j_k$, 
 gilt
\[ (*)\hspace{2cm} (\varphi_{i_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{i_k})(e_{j_1},\dots,e_{j_k})\,\,=\,\,
\left\{ \begin{array}{ll} 1, &\mbox{ wenn }(i_1,\dots,i_k)=(j_1,\dots,j_k), \\ 0, &\mbox{ andernfalls.}\end{array} \right.\hspace{2cm}\]
Es folgt sofort, dass die gegebenen  alternierenden $k$-Formen  linear unabh\"angig sind.\footnote{In der Tat, denn f\"ur eine Linearkombination
\begin{align*}
\begin{array}{rclcl}
\hspace{4cm} 0&=&\tmsum{i_1<\dots<i_k}{} c_{i_1\dots i_k}\cdot \varphi_{i_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{i_k}
\intertext{gilt f\"ur alle $j_1<\dots<j_k$, dass }
0&=&\Big(\,\tmsum{i_1<\dots<i_k}{} c_{i_1\dots i_k}\cdot \varphi_{i_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{i_k}\Big)(e_{j_1},\dots,e_{j_k})&=&c_{j_1,\dots,c_{j_k}}.
\end{array}
\end{align*}}
Es sei nun $\omega\in \wedge^k V^*$. F\"ur $i_1<\dots <i_k$ setzen wir
\[ c_{i_1\dots i_k}\,\,:=\,\,\omega(e_{i_1},\dots,e_{i_k}) \in \R.\hspace{0.9cm}\]
Wir betrachten dann
\[ \hspace{1.6cm}\eta\,\,:=\,\,\tmsum{i_1<\dots<i_k}{} c_{i_1\dots i_k}\cdot \varphi_{i_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{i_k}.\]
Es gen\"ugt nun zu zeigen, dass $\eta=\omega$.
\begin{enumerate}
\item Es folgt aus $(*)$, dass $\omega$ und $\eta$  die gleichen Werte auf  allen $(e_{j_1},\dots,e_{j_k})\in V^k$ mit $j_1<\dots<j_k$ annehmen.
\item Aus der definierenden Eigenschaft (ii) folgt, dass  $\omega$ und $\eta$  die gleichen Werte auf  $(e_{j_1},\dots,e_{j_k})\in V^k$ f\"ur beliebige $j_1,\dots,j_k$ annehmen.
\item Aus der definierenden Eigenschaft (i) folgt nun, dass  $\omega$ und $\eta$  die gleichen Werte auf  $(v_1,\dots,v_k)\in V^k$ f\"ur beliebige $v_1,\dots,v_k\in V$ annehmen.\footnote{In der Tat, denn f\"ur $i=1,\dots,k$ schreiben wir $v_i=(v_{i1},\dots,v_{in})$. Dann gilt
\[
\begin{array}{rll}
&\hspace{-1.5cm}\mfbox{Eigenschaft (i) angewandt auf die Spalten $1,\dots,k$}\\
&\downarrow\\[-0.3cm] \omega(v_1,\dots,v_k)=\omega\Big(\,\tmsum{j_1=1}{n}v_{1j_1}e_{j_1},\dots,\tmsum{j_k=1}{n}v_{1j_k}e_{j_k}\Big)&=\tmsum{j_1,\dots,j_k=1}{n}v_{1j_1}\cdot \dots\cdot v_{kj_k}\omega(e_{j_1},\dots,e_{j_k})\\
&=\tmsum{j_1,\dots,j_k=1}{n}v_{1j_1}\cdot \dots\cdot v_{kj_k}\omega(e_{j_1},\dots,e_{j_k})&=\eta(v_1,\dots,v_k).\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{siehe (2) oben}
&\hspace{-2cm}\mfbox{gleiche Argument r\"uckw\"arts}\end{array}\]}
\vspace{-0.6cm}
\end{enumerate}
\end{proof}

Wir erhalten sofort folgendes Korollar:

\begin{korollar}
Es sei $V$  ein $n$-dimensionaler reeller Vektorraum. F\"ur jedes $k\in \{0,\dots,n\}$, gilt dass
\[ \dim\big(\wedge^k V^*\big)\,\,=\,\,\footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big)}\,\,:=\,\,\setminusfrac{n!}{(n-k)!k!}.\]
\end{korollar}

\begin{proof}
Es ist 
\[ \begin{array}{rl}
 \hspace{0.4cm}\dim\big(\wedge^k V^*\big)\,\,=\,\,\# \{ (j_1,\dots,j_k)\,|\, j_1,\dots,j_k\in \{1,\dots,n\} \mbox{ mit } j_1<\dots<j_k\}& =\,\, \footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big)}.\\[-0.2cm]
 &\uparrow\\
 &\hspace{-4.6cm}\mfbox{die Anzahl der M\"oglichkeiten $k$ verschiedene}\\[-0.1cm]
 &\hspace{-4.8cm}\mfbox{Elemente aus einer Menge von $n$ Elementen }\\[-0.1cm]
 &\hspace{-4cm}\mfbox{zu w\"ahlen betr\"agt gerade $\Big(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big)$ } \end{array}\vspace{-0.7cm}\]
\end{proof}

\begin{bemerkung}
Es sei $V$  ein $n$-dimensionaler reeller Vektorraum und es sei $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ eine Basis f\"ur $V^*$.
Wir haben gesehen, dass  die Dachprodukte
\[\varphi_{i_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{i_k} \mbox{ mit } i_1<i_2<\dots<i_k \]
eine Basis von $\wedge^k V^*$ bilden. Dies bedeutet jedoch \emph{nicht}, dass jede alternierende $k$-Form  als Dachprodukt von $k$ Linearformen geschrieben werden kann.
Wir werden dazu ein Beispiel in \"Ubungsblatt~6 behandeln.\footnote{Die ist analog zum gerne gemachten Fehler zu denken, dass in einem Tensorprodukt $V\otimes W$ jedes Element von der Form $v\otimes w$ sein muss.}
\end{bemerkung}


\begin{satz}\label{satz:eigenschaften-dachprodukt}
Es sei $V$ ein endlich dimensionaler reeller Vektorraum und es seien $k,l\in \N_0$. Dann gibt es genau eine Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \wedge^k V^* \times \wedge^l V^*&\to & \wedge^{k+l} V^*\\
(\omega,\sigma)&\mapsto & \omega\wedge \sigma\end{array}\]
mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item die Abbildung ist bilinear, d.h.\ f\"ur alle $\omega,\omega_1,\omega_2\in \wedge^k V^*$, f\"ur alle  $\sigma,\sigma_1,\sigma_2\in \wedge^l V^*$ sowie  f\"ur alle $\lambda \in \R$ gilt
\begin{align*} \begin{array}{rcl} 
\hspace{5cm} (\omega_1+\omega_2)\wedge \sigma&=&\omega_1\wedge \sigma+\omega_2+\wedge \sigma,\\
\omega\wedge (\sigma_1+\sigma_2)&=&\omega\wedge \sigma_1+\omega\wedge\sigma_2
\intertext{und}
(\lambda \omega) \wedge \sigma&=&\lambda(\omega\wedge \sigma)\,\,=\,\, \omega\wedge (\lambda \sigma).\end{array}\end{align*}
\item f\"ur $\psi_1,\dots,\psi_k,\eta_1,\dots,\eta_l\in V^*$ gilt
\[ (\psi_1\wedge \dots\wedge \psi_k)\wedge (\eta_1\wedge \dots \wedge \eta_l)\,\,=\,\,
\psi_1\wedge \dots\wedge \psi_k\wedge \eta_1\wedge \dots \wedge \eta_l.\hspace{0.6cm}\]
\end{enumerate}
\end{satz}

Auch dieser Satz wurde in der Linearen Algebra bewiesen, wir skizzieren einen Beweis der Vollst\"andigkeit halber. 

\begin{proof}
Es sei $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ eine Basis von $V^*$. Es sei $\omega\in \wedge^kV^*$ und es sei $\sigma\in \wedge^l V^*$. Nach Satz~\ref{satz:basis-dachprodukt} k\"onnen wir schreiben
\[ \omega\,\,=\,\,\setminussum{i_1<\dots<i_k}{} a_{i_1,\dots,i_k}\cdot \varphi_{i_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{i_k} \mbox{ und }
\sigma\,\,=\,\,\setminussum{j_1<\dots<j_l}{} b_{j_1,\dots,j_l}\cdot \varphi_{j_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{j_l},\]
wobei die Koeffizienten $a_{i_1,\dots,i_k}$ und $b_{j_1,\dots,j_l}$ eindeutig bestimmt sind.
Wir definieren\footnote{Wir definieren $\omega\wedge \sigma$ also durch den Ausdruck, in dem wir die Ausdr\"ucke f\"ur $\omega$ und $\sigma$ naiv auseinander multiplizieren. Wenn die Aussage des Satzes so gilt, dann folgt aus den Eigenschaften (1) und (2), dass diese Gleichheit gelten muss.}
\[ \omega\wedge \sigma\,\,:=\,\, \setminussum{\scriptsize{\begin{array}{c}i_1<\dots<i_k\\j_1<\dots<j_l\end{array}}}{}
a_{i_1,\dots,i_k} b_{j_1,\dots,j_l}\cdot \varphi_{i_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{i_k}\wedge \varphi_{j_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{j_l}.\]
Man kann nun leicht zeigen, dass diese Abbildung die Eigenschaften (1) und (2) besitzt. Zudem ist es ebenso leicht zu sehen, dass dies die einzige Abbildung ist, welche die Eigenschaften (1) und (2) erf\"ullt. 
\end{proof}

Im Folgenden bezeichnen wir $\omega\wedge \sigma$ als das \emph{Dachprodukt} von $\omega$ und $\sigma$.
Das folgende Lemma besagt, dass das Dachprodukt assoziativ ist, und dass es bis auf ein geeignetes Vorzeichen kommutativ ist. 

\begin{lemma}\label{lem:dachprodukt-eigenschaften}
Das Dachprodukt auf einem endlich dimensionalen reellen Vektorraum $V$ besitzt auch folgende Eigenschaften:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item[(3)] F\"ur $\alpha\in \wedge^k V^*, \beta\in \wedge^l V^*$ und $\gamma\in \wedge^m V^*$ gilt
\[ (\alpha\wedge \beta)\wedge \gamma\,\,=\,\,\alpha\wedge(\beta\wedge \gamma).\hspace{1cm}\]
\item[(4)]  F\"ur $\alpha\in \wedge^k V^*$ und $\beta\in \wedge^l V^*$ gilt
\[ \hspace{0.12cm}\beta\wedge \alpha\,\,=\,\,(-1)^{kl}\alpha\wedge \beta.\]
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
Die Aussage (3) folgt leicht aus (2) unter Verwendung von Satz~\ref{satz:basis-dachprodukt} und  (1). Wir \"uberlassen den genauen Beweis als freiwillige \"Ubungsaufgabe.

Wir wenden uns nun dem Beweis der  Aussage (4) zu. 
Wir w\"ahlen eine Basis  $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ von $V^*$. Aussage (4) folgt nun Satz~\ref{satz:basis-dachprodukt}, aus Aussage (2) und folgender Behauptung:

\begin{behauptung}
Es seien $1\leq i_1<\dots<i_k\leq n$ und $1\leq j_1<\dots<j_l\leq n$. Dann ist
\[\underbrace{ \varphi_{j_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{j_l}} \wedge
\underbrace{ \varphi_{i_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{i_k} }
\,\,=\,\,(-1)^{kl} \underbrace{\varphi_{i_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{i_k}} \wedge \underbrace{\varphi_{j_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{j_l}}.\]
\end{behauptung}

Wir erinnern zuerst daran, dass $\varphi_i\wedge \varphi_j=-\varphi_j\wedge \varphi_i$. 
Mithilfe dieser Beobachtung erhalten wir nun
\[ \begin{array}{rl}\varphi_{j_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{j_l} \wedge \varphi_{i_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{i_k} 
&=\,\,(-1)^{l} \varphi_{j_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{j_{l-1}} \wedge \varphi_{i_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{i_k}\wedge \varphi_{j_l}\\
&\uparrow\\
&\hspace{-2.5cm}\mfbox{denn wir ben\"otigen $k$ Transpositionen um $\varphi_{j_l}$ ``nach hinten'' zu schieben}\\[1mm]
&=\,\, (-1)^{kl} \varphi_{i_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{i_k} \wedge \varphi_{j_1}\wedge \dots \wedge \varphi_{j_l}.\\
&\uparrow\\
&\hspace{-2.5cm}\mfbox{wir f\"uhren das gleiche Argument insgesamt $l$ mal durch}\end{array}\vspace{-0.7cm}\]
\end{proof}





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\subsection{Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten}\label{section:diffaufumf}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit.
Eine \emph{Differentialform $k$-ter Ordnung $\omega$ auf $M$} (oder auch kurz \emph{$k$-Form $\omega$ auf $M$})
ordnet jedem Punkt $P\in M$ eine alternierende $k$-Form $\omega_P$ auf dem Tangentialraum $T_PM$ zu.\footnote{Genauer gesagt ist eine Differentialform $k$--ter Ordnung $\omega$ eine Abbildung
\[ \omega\colon M\to \tmcup{P\in M}{} \wedge^kT^*_PM,\]
so dass f\"ur  $P\in M$ gilt, dass $\omega_P\in \wedge^kT^*_PM$.}

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Nachdem $\wedge^1 V^*=V^*$ entspricht die obige Definition einer $k$-Form f\"ur $k=1$ gerade der Definition auf Seite~\pageref{def:differentialform}.
\item Es folgt aus der Konvention, dass $\wedge^0 V^*=\R$, dass eine 0-Form auf einer Untermannigfaltigkeit $M$ das gleiche ist wie eine Funktion $f\colon M\to \R$.
\item  Es sei $M\subset \R^n$ eine Untermannigfaltigkeit beliebiger Dimension. Dar\"uber hinaus sei $F\colon M\to \R^n$ ein  Vektorfeld auf $M$.
F\"ur  $P \in M$  betrachten wir wie in Kapitel~\ref{section:multidef} die alternierende $(n-1)$-Form $\delta(F)_P$, welche gegeben ist durch\label{def:delta-f}
\footnote{Zur Erinnerung, $T_PM$ ist ein Untervektorraum von $\R^n$, die Vektoren $F(P),v_1,\dots,v_{n-1}$ bilden also in der Tat eine reelle $n\times n$-Matrix.}
\[ \begin{array}{rcl}\hspace{1.3cm}\delta(F)_P\colon (T_PM)^{n-1}&\to & \R \\ (v_1,\dots,v_{n-1})&\mapsto& \det\underset{n\times n-\operatorname{Matrix}}{\underbrace{(F(P)\,v_1\,\dots\,v_{n-1})}}.
 \end{array} \]
Insbesondere, wenn  $(M,\nu)$ eine orientierte Hyperfl\"ache in $\R^3$ ist, dann definieren die alternierenden 2-Formen
\[ \begin{array}{rcl} T_PM\times T_PM&\to & \R \\ (v,w)&\mapsto&  \nu(P) \cdot (v\times w)\end{array}\]
eine 2-Form auf $M$. 
\end{enumerate}
\end{beispiele}

In Kapitel~\ref{section:pfaffsche} hatten wir schon diskutiert, was es hei\ss en soll, dass eine Differentialform erster Ordnung stetig, stetig differenzierbar beziehungsweise glatt ist. Wir werden in den n\"achsten beiden Kapiteln diese Begriffe auf Differentialformen beliebiger Ordnung verallgemeinern.

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\subsection{Induzierte Abbildungen}\label{section:induziert}
Wir hatten schon gesehen, dass eine lineare Abbildung $f\colon U\to V$  zwischen reellen Vektorr\"aumen folgende Abbildung zwischen den Dualr\"aumen induziert:
\[ \begin{array}{rcl} f^*\colon V^*&\to & U^* \\
(\varphi\colon V\to \R)&\mapsto & \left(\begin{array}{rcl} U&\to & \R \\  u&\mapsto & \varphi(f(u))\end{array} \right).\end{array}\]
Wir hatten zudem gesehen, dass $V\mapsto V^*$ and $\phi\mapsto\phi^*$ einen kontravarianten Funktor   von der Kategorie der reellen Vektorr\"aume zu der Kategorie der reellen Vektorr\"aume bildet.

Man kann diese Konstruktion leicht verallgemeinern. Eine lineare Abbildung $f\colon U\to V$  zwischen reellen Vektorr\"aumen induziert eine  Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} f^*\colon \wedge^kV^*&\to &\wedge^k U^* \\
(\omega\colon V^k\to \R)&\mapsto & \left(\begin{array}{rcl} f^*\omega\colon U^k&\to & \R \\  (u_1,\dots,u_k)&\mapsto & \omega(f(u_1),\dots,f(u_k))\end{array} \right).\end{array}\]
Man kann mithilfe der Definitionen leicht zeigen, dass  diese Abbildungen das Dachprodukt erhalten, d.h.\ f\"ur alle $\alpha\in \wedge^k V^*$ und $\beta\in \wedge^l V^*$ gilt\footnote{Auch diese Aussage wurde in der Linearen Algebra bewiesen.}\label{bem:dachprodukt-funktoriell}
\[ f^*(\alpha \wedge \beta)\,\,=\,\,f^*\alpha\wedge f^*\beta.\]
Man kann nun leicht verifizieren, dass die Abbildungen $V\mapsto \wedge^k V^*$ und $\phi\mapsto \phi^*$ einen kontravarianten Funktor von der Kategorie der reellen Vektorr\"aume zu der Kategorie der reellen Vektorr\"aume definiert.\footnote{Man kann diese Aussage auch noch etwas  verfeinern. F\"ur einen reellen Vektorraum $V$ schreiben wir jetzt $\wedge^* V^*=\bigoplus\limits_{n\in \N_0} \wedge^k V^*$. Dann induziert das Dachprodukt auf $\wedge^* V^*$ eine Ringstruktur. Die Abbildungen $U\mapsto \wedge^* U^*$ und $f\mapsto f^*$ definieren nun einen kontravarianten Funktor von der Kategorie der Vektorr\"aume zu der Kategorie der Ringe.}


Es sei nun $f\colon M\to N$ eine glatte Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten. Es sei $P\in M$.
Wir hatten schon in Kapitel~\ref{section:induzierte-abbildung-auf-tpm-untermannigfaltigkeit} gesehen, dass $f$ eine lineare Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} f_*\colon T_PM&\to & T_{{f(P)}}N \\{}
[\gamma]&\mapsto & [f\circ \gamma]\end{array} \]
induziert. 
Zudem bezeichnen wir mit $f^*$ die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} T^*_{f(P)}N&\to & T^*_PM\\
\varphi&\mapsto & \left(\begin{array}{rcl} f^*\varphi\colon T_PM&\to & \R \\ v&\mapsto & \varphi(f_*(v))\end{array}\right). \end{array}\]
Allgemeiner
bezeichnen wir mit $f^*$ auch die induzierte Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} f^*\colon \wedge^k T^*_{f(P)}N&\to & \wedge^k T^*_PM\\
\omega&\mapsto & \left(\begin{array}{rcl} f^*\omega\colon (T_PM)^k&\to & \R \\ (v_1,\dots,v_k)&\mapsto & \omega(f_*(v_1),\dots,f_*(v_k))\end{array}\right). \end{array}\]
Es ist leicht zu sehen, dass\label{bem:k-formen-kontravarianter-funktor}
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{2cm}\begin{array}{c}
\mbox{Kategorie $\mathcal{P}$ der punktierten}\\
\mbox{Untermannigfaltigkeiten}\end{array} &\to &\begin{array}{c} \mbox{Kategorie der reellen}\\
 \mbox{Vektorr\"aume}\end{array} 
\intertext{mit}
(M,P)&\mapsto &\wedge^k T^*_PM   
\intertext{und}
(f\colon (M,P)\to (N,Q))&\mapsto & \big(f^*\colon \wedge^k T^*_{Q}N\to \wedge^k T^*_PM\big)\end{array}\
\end{align*}
ein kontravarianter Funktor\label{bem:formen-kontravariant} ist.\footnote{Beispielsweise ist dies die Verkn\"upfung des kovarianten Funktors $(M,P)\to T_PM$ mit dem kontravarianten Funktor $V\mapsto \wedge^k V^*$.}


%======================================================
\subsection{Glatte Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten}
Wir wollen nun definieren, was es hei\ss t, dass eine Differentialform auf einer Untermannigfaltigkeit $M$ glatt ist.  
F\"ur Differentialformen erster Ordnung hatten wir dies schon auf Seite~\pageref{def:differentialform-stetig} ausgef\"uhrt. Die Definitionen f\"ur Differentialformen h\"oherer Ordnung verlaufen nun ganz analog.

\begin{definition}\mbox{}
\begin{enumerate} \label{def:glatte-differentialform}
\item Es sei $\omega$ eine $l$-Form auf einer offenen Teilmenge $W\subset \R^k$ beziehungsweise einer offenen Teilmenge $W\subset H_k$. 
Nach Satz~\ref{satz:basis-dachprodukt} bilden
die Dachprodukte $\,dx_{i_1}\wedge \dots \wedge \,dx_{i_l}$  mit $ i_1<i_2<\dots<i_l$
eine Basis von $\wedge^l (\R^k)^*$.
Wir k\"onnen also $\omega$ wie folgt als Linearkombination betrachten:
\[ \omega\,\,=\,\,\lmsum{i_1<\dots<i_l}{} f_{i_1\dots i_l} \,dx_{i_1}\wedge \dots \wedge \,dx_{i_l},\]
wobei $f_{i_1\dots i_l}$ reellwertige Funktionen auf $W$ sind.
Wir sagen nun, die $l$-Form $\omega$  ist  glatt,  wenn alle Funktionen
$ f_{i_1\dots i_l} $  glatt sind. 
\item
Es sei $\omega$ eine $l$-Form auf einer $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $M$.
\begin{enumerate}
\item  Es sei $\Phi\colon U\to V$ eine Karte f\"ur $M$. Wir sagen \emph{$\omega$ ist glatt bez\"uglich der Karte $\Phi$}, falls die $l$-Form $(\Phi^{-1})^*\omega$ auf $V\cap E_k$ beziehungsweise auf $V\cap H_k$ glatt ist.
\item Wir sagen $\omega$ ist glatt, wenn es einen Atlas  von $M$ gibt, so dass $\omega$ bez\"uglich allen Karten des Atlanten glatt ist.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Wir verwenden auch die ganz analogen Definitionen mit ``glatt'' ersetzt durch ``stetig'' ersetzen.
\end{definition}





Der folgende Satz wird ganz \"ahnlich wie 
Satz~\ref{satz:definitionen-von-stetigen-1-formen} bewiesen.

\begin{satz}\label{satz:definitionen-von-stetigen-alternierenden-formen}
Es sei  $\omega$ eine $l$-Form auf einer Untermannigfaltigkeit $M$. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item die $l$-Form $\omega$ ist glatt auf $M$,
\item die $l$-Form ist glatt bez\"uglich jeder Karte von $M$,
\item f\"ur alle glatten Tangentialvektorfelder $F_1,\dots,F_l$ auf $M$ ist die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} M&\to & \R \\
P&\mapsto &\omega_P(F_1(P),\dots,F_l(P))\end{array}\]
glatt.
\end{enumerate}
Die gleichen Aussagen gelten auch, wenn wir ``glatt'' durch   ``stetig'' ersetzen.
\end{satz}


F\"ur eine Untermannigfaltigkeit $M$  definieren wir nun
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{4.5cm} \mathcal{C}_l(M)&:=&\{\mbox{stetige $l$-Formen  auf $M$}\}, 
\intertext{und}
\Omega_l(M)&:=&\{\mbox{glatte  $l$-Formen  auf $M$}\}.\end{array}
\end{align*}

\begin{beispiel}
Es sei $M\subset \R^n$ eine Untermannigfaltigkeit und es sei $F\colon M\to \R^n$ ein glattes Vektorfeld auf $M$.
Wir betrachten wiederum die $(n-1)$-Form   auf $M$, welche $P\in M$
folgende alternierende $(n-1)$-Form zuordnet:
\[ \begin{array}{rcl} (T_PM)^{n-1}&\to & \R \\ (v_1,\dots,v_{n-1})&\mapsto& \det\underset{n\times n-\operatorname{Matrix}}{\underbrace{(F(P)\,v_1\,\dots\,v_{n-1})}}. \end{array} \]
In \"Ubungsblatt~6 werden wir sehen, dass dies eine  glatte $(n-1)$-Form auf $M$ ist.
\end{beispiel}

Der Beweis von folgendem  Lemma ist  ganz analog zum Beweis von Satz~\ref{satz:pullback-von-stetigen-1-formen}.


\begin{satz}\label{satz:pullback-von-stetigen-alternierenden-formen}
Es sei  $f\colon M\to N$ eine glatte Abbildung zwischen zwei Untermannigfaltigkeiten und es sei $\omega$ eine  $l$-Form auf $N$. Wenn $\omega$ glatt ist, dann ist auch
 $f^*\omega$
 wiederum glatt. Die gleiche Aussage gilt auch, wenn wir ``glatt'' durch ``stetig''  ersetzen.
\end{satz}

Zusammenfassend haben wir also insbesondere gezeigt, dass 
die Abbildungen
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{3cm} \mbox{Untermannigfaltigkeit $M$} &\,\,\mapsto\,\, & \Omega_l(M),
\intertext{zusammen mit den Abbildungen}
\mbox{glatte Abbildung $f\colon M\to N$}&\mapsto & (f^*\colon \Omega_l(N)\to \Omega_l(M))\end{array}
\end{align*}
einen kontravarianten Funktor von der Kategorie der Untermannigfaltigkeiten zu der Kategorie der Vektorr\"aume bilden. Die gleiche Aussage gilt auch, wenn wir $\Omega_l(M)$ durch $\mathcal{C}_l(M)$ ersetzen.


%======================================================
\subsection{Integration von Differentialformen I}\label{section:intmulti}
In Kapitel~\ref{section:orientierte-1-untermannigfaltigkeiten} hatten wir gesehen, dass wir eine stetige 1-Form auf einer orientierten kompakten 1-dimensionalen Untermannigfaltigkeit mit Rand integrieren k\"onnen. 



Es sei nun $M$ eine kompakte $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit
und es sei $\omega\in \mathcal{C}_k(M)$ eine stetige $k$-Form auf $M$. In diesem Kapitel nehmen wir erst einmal an, dass es  eine Karte $\Phi\colon U\to V$ gibt mit $\opnormal{Tr\"ager}(\omega)\subset U$.\footnote{Hierbei bezeichnen wir mit $\opnormal{Tr\"ager}(\omega)\subset M$ die Menge aller Punkte $P\in M$, so dass die Differentialform  auf $T_PM$ nicht die Nullform ist.}
Wir bezeichnen mit $\Psi\colon V\to U$ die Umkehrabbildung von $\Phi$.
Es sei nun $x\in {V\cap E_k}$. Wir betrachten nun, ganz analog zur Diskussion in Kapitel~\ref{section:pfaffsche-integrierbarkeit}, die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} V\cap E_k&\to &\R\\
x&\mapsto&
\underset{\in \wedge^k T^*_{\Psi(x)}M}{\underbrace{\omega_{\Psi(x)}}}\big(\underset{\opnormal{$k$ Vektoren in $T_{\Psi(x)}M$}}{\underbrace{\Psi_*e_1, \dots ,\Psi_*e_k}}\big). \end{array}\]
Dies ist eine stetige Funktion mit kompakten Tr\"ager, also Lebesgue-integrierbar.\footnote{F\"ur $x\in V\cap E_k$ ist 
\[ \omega_{\Psi(x)}(\Psi_*e_1,\dots,\Psi_*e_k)\,\,=\,\, (\Psi^*\omega)_x(e_1,\dots,e_k),\]
die $k$-Form $\Psi^*\omega$ ist stetig nach Satz~\ref{satz:pullback-von-stetigen-alternierenden-formen}, also ist die Funktion stetig nach Satz~\ref{satz:definitionen-von-stetigen-alternierenden-formen}. Da $M$ kompakt ist, ist auch der Tr\"ager von $\omega$ und damit auch der Tr\"ager von $\Psi^*\omega$ kompakt.}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{mfd-intform.pstex_t}
\caption{Schematisches Bild f\"ur die Integration von $k$-Formen auf einer $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit.}
\end{center}\label{fig:mfd-intform}
\end{figure}
Wir k\"onnen nun diese Funktion integrieren, d.h.\ wir betrachten
\[ I(\Psi)\,\,:=\,\, \bint\limits_{V\cap E_k}   \omega_{\Psi(x)}\big(\Psi_*e_1, \dots ,\Psi_*e_k\big)\,dx.\]
 Es stellt sich die Frage, ob dieser Ausdruck von der Wahl der Karte $\Phi$ abh\"angt oder nicht.


\begin{frage}\label{frage:intkarten}
Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit und  es sei $\omega\in \mathcal{C}_k(M)$.
Zudem seien  $\Phi\colon U\to V$  und  $\widetilde{\Phi} \colon \widetilde{U} \to \widetilde{V} $ Karten mit $\opnormal{Tr\"ager}(\omega)\subset U\cap \widetilde{U} $.
Wir bezeichnen die Umkehrabbildungen von $\Phi$ und $\widetilde{\Phi}$ mit $\Psi$ und $\widetilde{\Psi}$.
Die Frage ist nun wie folgt:
Unter welchen Voraussetzungen stimmen die Integrale
\[ I(\Psi)\,\,=\,\, \bbint\limits_{V\cap E_k}   \omega_{\Psi(x)}\big(\Psi_*e_1, \dots ,\Psi_*e_k\big)\,dx\]
und
\[ I\big(\widetilde{\Psi}\big)\,\,=\,\,  \bbint\limits_{{\widetilde{V}\cap E_k}}   \omega_{\widetilde{\Psi}(y)}\big(\widetilde{\Psi}_*e_1, \dots ,\widetilde{\Psi}_*e_k\big)\,dy\]
\"uberein?
\end{frage}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{mfd-form-2.pstex_t}
\caption{Schematisches Bild f\"ur zwei Karten f\"ur $M$.}
\end{center}\label{fig:zweikarten}
\end{figure}

\noindent\emph{Antwort.}
Wir k\"onnen o.B.d.A.\  annehmen, dass   $U=\widetilde{U}$.
 Wir bezeichnen mit $\Theta$ den Diffeomorphismus $\Theta:=\Phi\circ \widetilde{\Psi}\colon \widetilde{V}\cap E_k\to V\cap E_k$.
Zum einen gilt nun, dass
\[\begin{array}{rl}
I\big(\widetilde{\Psi}\big)
&=\,\,\bbint\limits_{{\widetilde{V}\cap E_k}}  \omega_{\widetilde{\Psi}(y)}\big(D_y\widetilde{\Psi}(e_1), \dots ,D_y\widetilde{\Psi}(e_k)\big)\,dy\\
&=\,\,\bbint\limits_{{\widetilde{V}\cap E_k}}  \omega_{\widetilde{\Psi}(y)}\big(D_{\Theta(y)}\Psi\big( D_y\Theta\cdot e_1\big), \dots ,D_{\Theta(y)}\Psi\big(D_y\Theta \cdot e_k\big)\big)\,dy\\[-0.4cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm} \mfbox{aus der Kettenregel folgt, dass f\"ur $y\in \widetilde{V}\cap E_k$ gilt:}\\
&\hspace{0.5cm} \mfbox{$D_y\widetilde{\Psi}\,=\,D_y(\Psi\circ \Theta)\,=\,D_{\Theta(y)}\Psi\cdot D_y\Theta$}\\[2mm]
&=\,\,\bbint\limits_{{\widetilde{V}\cap E_k}}  \omega_{\Psi(\Theta(y))}\big(D_{\Theta(y)}\Psi(e_1), \dots ,D_{\Theta(y)}\Psi(e_k)\big)\cdot \det(D_y\Theta)\,dy\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
 &\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:altdet} angewandt auf die alternierende $k$-Form}\\
 &\hspace{-0.5cm}\mfbox{$(v_1,\dots,v_k)\mapsto \eta(v_1,\dots,v_k):=\omega_{\widetilde{\Psi}(y)}\big(D_{\Theta(y)}{\Psi}(v_1),\dots,D_{\Theta(y)}{\Psi}(v_k)\big)$}\end{array}.\]
 Andererseits gilt 
\[\begin{array}{rl}
I(\Psi)
&=\,\, \bbint\limits_{V\cap E_k}   \omega_{\Psi(x)}\big((D_x\Psi)(e_1), \dots ,(D_x\Psi)(e_k)\big)\,dx\\[2mm]
&=\,\,\bbint\limits_{{\widetilde{V}\cap E_k}}   \omega_{\Psi(\Theta(y))}\big((D_{\Theta(y)}\Psi)(e_1), \dots ,(D_{\Theta(y)}\Psi)(e_k)\big)\cdot |\det D_y\Theta|\,dy.\\[-3mm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{der Transformationssatz~\ref{satz:transallg} besagt, dass f\"ur eine Funktion $g$ auf $V\cap E_k$ gilt}\\
&\hspace{1cm}\mfbox{$\bint\limits_{V\cap E_k} g(x)\,dx\,=\,\bint\limits_{{\widetilde{V}\cap E_k}} g(\Theta(y))\cdot |\det D\Theta(y)|\,dy$}
\end{array}\]


Wir sehen also, dass die beiden Integrale $I(\Psi)$ und $I(\widetilde{\Psi})$  \"ubereinstimmen, wenn
\[ \det(D_y\Theta)\,\,=\,\,|\det(D_y\Theta)| \quad \mbox{ f\"ur alle }y\in {\widetilde{V}\cap E_k},\]
d.h.\  beide Integrale stimmen \"uberein, wenn
\[ \det(D_y\Theta)\,\,>\,\,0 \quad \mbox{ f\"ur alle }y\in {\widetilde{V}\cap E_k}.\]
Wir haben damit unsere Frage beantwortet.\\

Wir fassen jetzt diese Rechnung als folgenden Satz zusammen.

\begin{satz}\label{satz:intkarten}
Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit und  es sei $\omega\in \mathcal{C}_k(M)$.
Zudem seien  $\Phi\colon U\to V$  und  $\widetilde{\Phi} \colon {U} \to \widetilde{V} $ Karten mit $\opnormal{Tr\"ager}(\omega)\subset U $. Wir nehmen an, dass $U\cap M$ zusammenh\"angend ist. Wir betrachten den Diffeomorphismus 
\[\Theta:=\Phi\circ \widetilde{\Phi}^{-1}\colon \widetilde{V}\cap E_k\,\,\to\,\, V\cap E_k.\] Wir setzen\footnote{Warum tritt genau einer der beiden F\"alle in der Definition von $\epsilon$ auf?}
\[ \epsilon\,\,:=\,\,\left\{ \begin{array}{rl} +1,&\mbox{ wenn }\det(D_y\Theta)>0\mbox{ f\"ur alle $y\in \widetilde{V}\cap E_k$},\\
-1,&\mbox{ wenn }\det(D_y\Theta)<0\mbox{ f\"ur alle $y\in \widetilde{V}\cap E_k$}.\end{array}\right.\]
Dann gilt
\[ \bbint\limits_{V\cap E_k}   \omega_{\Psi(x)}\big(\Psi_*e_1, \dots ,\Psi_*e_k\big)\,dx\,\,=\,\,\epsilon\cdot   \bbint\limits_{{\widetilde{V}\cap E_k}}   \omega_{\widetilde{\Psi}(y)}\big(\widetilde{\Psi}_*e_1, \dots ,\widetilde{\Psi}_*e_k\big)\,dy.\]
\end{satz}




Nachdem also im Allgemeinen das Integral
\[  I(\Psi)\,\,:=\,\, \bint\limits_{V\cap E_k}   \omega_{\Psi(x)}\big(\Psi_*(e_1), \dots ,\Psi_*(e_k)\big)\,dx\] von der Wahl der Karte abh\"angt, k\"onnen wir den Ausdruck nicht
als Definition des Integrals von einer $k$-Form  auf einer $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit verwenden.
Andererseits haben wir gesehen, dass wir ``nahe dran'' sind, d.h.\ wir m\"ussen noch versuchen, das ``Vorzeichenproblem'' unter Kontrolle zu kriegen.
Um dies zu erreichen ben\"otigen wir noch den Begriff des orientierten Vektorraumes und der orientierten Untermannigfaltigkeit.

\begin{bemerkung}
Bei der Diskussion des Integrals einer Differentialform auf einer eindimensionalen Untermannigfaltigkeit $M$ hatten wir ebenfalls gesehen,
dass das Integral von der Wahl einer Orientierung von $M$ abh\"angt. Es ist also nicht \"uberraschend,
dass diese Problematik auch bei der Integration von $k$-Formen auf $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten auftritt.
\end{bemerkung}

% Ende 11. Vorlesung

%======================================================
\subsection{Orientierte Vektorr\"aume und Untermannigfaltigkeiten}\label{section:or}

Im Folgenden werden wir bis auf Widerruf folgende Konvention verwenden: wir betrachten nur Vektorr\"aume der Dimension gr\"o\ss er Null,
und wir betrachten nur Untermannigfaltigkeiten der Dimension gr\"o\ss er Null.

\begin{definition}
Es sei $V$ ein  $k$-dimensionaler reeller Vektorraum. Wir sagen zwei Basen\footnote{Als \emph{Basis} von $V$ betrachten wir eine ``angeordnete Menge von Vektoren'', d.h.\ wir unterscheiden zwischen $\{v_1,\dots,v_k\}$ und einer Permutation der Vektoren.
Beispielsweise sind $\{e_1,e_2\}$ und $\{e_2,e_1\}$ \emph{nicht} \"aquivalente Basen von $\R^2$.}
 $\{v_1,\dots,v_k\}$ und $\{w_1,\dots,w_k\}$
sind \emph{\"aquivalent}, wenn die Determinante des Basiswechsels\footnote{D.h.\ wir betrachten die $k\times k$-Matrix $A=(a_{ij})$, welche durch $v_i:=\ttmsum{j=1}{k} a_{ji}w_j$ definiert ist.}
positiv ist.
\end{definition}

Es ist eine leichte \"Ubungsaufgabe zu zeigen, dass dies in der Tat eine \"Aquivalenzrelation auf der Menge der Basen von $V$ ist, und dass es   genau zwei \"Aqui\-valenz\-klassen von Basen gibt.

\begin{definition}
Es sei $V$ ein  $k$-dimensionaler reeller Vektorraum.
\begin{enumerate}
\item  Eine \"Aqui\-valenz\-klasse von Basen hei\ss t  \emph{Orientierung} f\"ur $V$.
\item Wir bezeichnen $V$ zusammen mit einer Orientierung als \emph{orientierten Vektorraum}.
\item Es sei $(V,\mathcal{O})$ ein orientierter Vektorraum. Wir nennen $\{v_1,\dots,v_k\}$ eine \emph{positive Basis},
wenn $\{v_1,\dots,v_k\}$ in $O$ liegt, andernfalls sagen wir, dass $\{v_1,\dots,v_k\}$ eine \emph{negative Basis} ist.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Wenn wir nichts anderes sagen, dann betrachten wir $\R^n$ immer mit der Orientierung, in der die 	``kanonische'' Basis
$\{e_1,\dots,e_n\}$ eine positive Basis ist.
\item 
Wir betrachten $\R^2$ mit der kanonischen Orientierung, welche durch die Basis $\{e_1,e_2\}$ festgelegt ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{orientation_r2.pstex_t}
\caption{Positive Basen f\"ur $\R^2$.}
\end{center}\label{fig:or2}
\end{figure}
Es sei nun $\{v_1,v_2\}$ eine beliebige Basis f\"ur $\R^2$.
Es sei $\varphi\in (-\pi,\pi)$ der Winkel um den man $v_1$ gegen den Uhrzeigersinn drehen muss, so dass $v_1$ in die gleiche Richtung wie $v_2$ zeigt.\footnote{Etwas genauer gesagt, es sei $\varphi\in (-\pi,\pi)$ der Winkel, so dass es ein $\lambda>0$ mit
\[ \begin{pmatrix} \cos \varphi&-\sin \varphi\\ \sin\varphi&\hfill \cos \varphi\end{pmatrix} v_1\,\,=\,\,\lambda v_2\]
gibt.}
In \"Ubungsblatt~7 werden wir sehen, dass die Basis $\{v_1,v_2\}$ genau dann  eine positive Basis  von $\R^2$ ist,  wenn $\varphi\in (0,\pi)$.
\item
\label{beispiel:rechte-handregel}
Es sei $V$ ein 2-dimensionaler Untervektorraum von $\R^3$ und es sei $u\ne 0\in \R^3$ ein Normalenvektor zu $V$. Dann legt $u$ eine Orientierung auf $V$ wie folgt fest:\footnote{Wenn man genau hinschaut, dann ist hier folgende Aussage versteckt: wenn $\{v,w\}$ und $\{v',w'\}$ positiv sind, d.h.\ wenn $\det(u\,v\,w)>0$ und $\det(u\,v'\,w')>0$, dann sind $\{v,w\}$ und $\{v',w'\}$ \"aquivalente Basen von $V$. Diese Aussage wird in \"Ubungsblatt~7\label{fussnote:orientierung-definiert} bewiesen.}
\[ \mbox{eine Basis $\{v,w\}$ ist positiv f\"ur $V$}\quad:\Longleftrightarrow\quad \det\big(u\,v\,w\big)>0.\]
Die geometrische Bedeutung der Definition ist wie folgt: eine Basis $\{v,w\}$ ist positiv, wenn man den Vektor $w$ aus $v$ durch Drehung um die $u$-Achse um einen Winkel $\varphi\in (0,\pi)$ erh\"alt. Wir k\"onnen diese Beobachtung noch anschaulicher formulieren: $\{v,w\}$ ist eine positive Basis, wenn gilt:
\begin{enumerate}\setlength{\itemindent}{10.5pt}
\item der Daumen zeigt in die $u$-Richtung, 
\item der Zeigefinger zeigt in die $v$-Richtung,
\item der Mittelfinger zeigt in die $w$-Richtung.
\end{enumerate}
Diese Aussage wird in Abbildung~\ref{fig:rechte-handregel} illustriert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{rechte-handregel.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:rechte-handregel}
\end{center}
\end{figure}
\item Es sei $V$ ein eindimensionaler Vektorraum. Dann ist jeder von 0 verschiedene Vektor eine Basis, und zwei Vektoren $v$ und $w$ geben die gleiche Orientierung, genau dann, wenn $v=rw$ f\"ur ein $r\in \R_{>0}$.
\end{enumerate}
\end{beispiele}


\begin{definition}
Es seien  $V$ und $W$ orientierte Vektorr\"aume.\footnote{Genauer gesagt, m\"usste man schreiben, es seien  $(V,\mathcal{O})$ und $(W,\mathcal{P})$  orientierte Vektorr\"aume, aber wir unterdr\"ucken ``$\mathcal{O}$'' und ``$\mathcal{P}$'' in der Notation, genauso wie wir sagen ``Sei $K$ ein K\"orper'', anstatt zu schreiben ``Sei $(K,+,\cdot)$ ein K\"orper''.}
Wir sagen ein Isomorphismus $\Phi\colon V\to W$ ist \emph{orientierungserhaltend},
wenn das Bild einer positiven Basis von $V$ eine positive Basis von $W$ ist. Andernfalls sagen wir, dass $\Phi$ \emph{orientierungsumkehrend} ist.\footnote{Es seien $B$ und $C$ positive Basen von $V$. Wenn $\Phi(B)$ eine positive Basis von $W$ ist, warum folgt dann auch, dass $\Phi(C)$ eine positive Basis von $W$ ist?}
\end{definition}

Das folgende Lemma folgt problemlos aus den Definitionen und elementaren Eigenschaften der Determinante.

\begin{lemma}\label{lem:orientierungserhaltend}\mbox{}
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item
Die Verkn\"upfung von zwei orientierungserhaltenden Isomorphismen ist wiederum orientierungserhaltend.
\item Das Inverse eines orientierungserhaltenden Isomorphismus ist wiederum orientierungserhaltend.
\end{enumerate}
\end{lemma}



\begin{definition}
Es sei  $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
\begin{enumerate}
\item Eine \emph{Pr\"a-Orientierung f\"ur $M$} ist eine Abbildung, welche jedem  Tangentialraum $T_PM$ eine Orientierung zuordnet.
\item Wir sagen eine \emph{Pr\"a-Orientierung ist stetig bez\"uglich Karte $\Phi\colon U\to V$}, wenn auf jeder Komponente $K$ von $U\cap M$ entweder gilt
\footnote{Hierbei betrachten wir $\R^k$ mit der kanonischen Orientierung, welche durch $e_1,\dots,e_k$ gegeben ist.}\footnote{Anders ausgedr\"uckt, im Hinblick auf Lemma~\ref{lem:orientierungserhaltend} (2) gilt f\"ur  $\Psi=\Phi^{-1}$  entweder
\begin{align*}
\begin{array}{rl}
\hspace{2cm} \{\Psi_*(e_1),\dots,\Psi_*(e_k)\} &\mbox{ist eine positive Basis von $T_{\Psi(x)}M$ f\"ur alle $x\in \Phi(K)$}
\intertext{oder}
 \{\Psi_*(e_1),\dots,\Psi_*(e_k)\}& \mbox{ist eine negative Basis von $T_{\Psi(x)}M$ f\"ur  alle $x\in \Phi(K)$}.\end{array}\end{align*}}
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} 
\hspace{1.5cm} \Phi_*\colon T_xM&\to& T_{\Phi(x)}E_k=\R^k &\mbox{ist orientierungserhaltend f\"ur alle $x\in K$}
\intertext{oder}
 \Phi_*\colon T_xM&\to& T_{\Phi(x)}E_k=\R^k& \mbox{ist orientierungsumkehrend f\"ur alle $x\in K$.}\end{array}\end{align*}
\item Wir sagen eine \emph{Pr\"a-Orientierung} ist eine \emph{Orientierung},  wenn es einen Atlas  f\"ur $M$ gibt, so dass die Pr\"a-Orientierung bez\"uglich allen Karten des Atlanten stetig ist. 
\item  Eine Untermannigfaltigkeit zusammen mit einer Orientierung hei\ss t \emph{orientierte Untermannigfaltigkeit}.
Eine Untermannigfaltigkeit, f\"ur die man eine Orientierung finden kann, hei\ss t \emph{orientierbare Untermannigfaltigkeit}.
\end{enumerate}
\end{definition}

Bevor wir uns den Beispielen zuwenden erw\"ahnen wir noch folgendes Lemma, welches die gleiche Rolle spielt wie Satz~\ref{satz:bezueglich-allen-karten-stetig-differenzierbar}. Der Beweis dazu ist elementar, und verbleibt eine freiwillige \"Ubungsaufgabe. 

\begin{lemma}\label{lem:orientierung-untermannigfaltigkeit}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit. Jede Orientierung ist stetig be\-z\"ug\-lich allen  Karten von $M$.
\end{lemma}

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item In Kapitel~\ref{section:vfaufumf} hatten wir den Begriff der Orientierung einer Hyperfl\"ache mithilfe von Einheitsnormalenfeldern eingef\"uhrt. Man kann leicht zeigen, dass die Definition in Kapitel~\ref{section:vfaufumf} \"aquivalent ist zur obigen Definition. In der Tat, sei   $M\subset \R^n$ eine Hyperfl\"ache, dann gilt:\label{bsp:aequivalenz-der-orientierungsbegriff-fuer-hyperflaeche}
\begin{enumerate}
\item[(A)] Es sei  $\nu$ ein Einheitsnormalenfeld, d.h.\ ein  normiertes Normalenfeld auf $M$. Es sei  $P\in M$. Wir sagen eine Basis $\{v_1,\dots,v_{n-1}\}$ von $T_PM$ ist positiv, wenn\footnote{Auch hier gilt die gleiche Anmerkung wie in Fu\ss note~\ref{fussnote:orientierung-definiert}.}
\[ \hspace{2cm} \det(\nu(P)\,v_1\,\dots\,v_{n-1})\,>\,0.\]
In \"Ubungsblatt~7 werden wir mithilfe von Satz~\ref{satz:mannigfaltigkeit-lokal-ein-graph} zeigen, dass dies eine Orientierung auf $M$ definiert. F\"ur $M$ eine Hyperfl\"ache in $\R^3$ erhalten wir gerade die positiven Basen der Tangentialr\"aume, welche wir schon auf Seite~\pageref{beispiel:rechte-handregel} diskutiert hatten.
\item[(B)] Umgekehrt, nehmen wir an, wir h\"atten eine Orientierung f\"ur jeden Tangentialraum $T_PM$, welche die Stetigkeitsbedingung erf\"ullt.
Wir wollen nun ein stetiges normiertes Normalenfeld auf $M$ konstruieren. Sei also $P\in M$. Dann haben wir schon gesehen, dass es genau zwei Vektoren $w_1,w_2$ gibt,
mit $\|w_1\|=\|w_2\|=1$ und $w_1,w_2\perp T_PM$. Wir ordnen jetzt $P$ den Vektor zu, welcher die Bedingung\footnote{Diese Bedingung erf\"ullt entweder $w_1$ oder $w_2$.}
\[ \hspace{2cm} \det(w_i\,v_1\,\dots\,v_{n-1})>0\]
erf\"ullt f\"ur eine (und dann jede) positive Basis $v_1,\dots,v_{n-1}$ von $T_PM$. Man kann nun, mit einem \"ahnlich Argument wie in (A) zeigen, dass dieses normierte Normalenfeld stetig ist.
\end{enumerate}
Wir werden im Folgenden zwischen diesen beiden Gesichtspunkten kommentarlos hin- und herwechseln.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{orientierung-von-flaechen.pstex_t}
\caption{}
\end{center}\label{fig:orientierung-flaechen}
\end{figure}
\item Es sei $f\colon \R^n\to \R$ eine glatte Funktion und $z\in \R$ ein regul\"arer Wert.
Wir betrachten die $(n-1)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $M:=f^{-1}(z)$.
Es sei nun $P\in M$. Wir sagen eine Basis $\{v_1,\dots,v_{n-1}\}$ von $T_PM$ ist positiv, wenn\footnote{Zur Erinnerung, nach Satz~\ref{satz:normal-fminus} gilt f\"ur $P\in M$, dass $T_PM=\{v\in \R^n\,|\, v\perp \operatorname{Grad} f(P)\}$.
Es sei nun $\{v_1,\dots,v_{n-1}\}$ eine Basis von $T_PM$, es folgt  dass $\{\operatorname{Grad} f(P),v_1\,\dots,v_{n-1}\}$ eine Basis von $\R^n$ bildet, insbesondere gilt
\[ \det(\operatorname{Grad} f(P)\,v_1\,\dots\,v_{n-1})\ne 0.\]}
\[ \hspace{1cm} \det\big(\operatorname{Grad} f(P)\,v_1\,\dots\,v_{n-1}\big)\,\,>\,\,0.\]
Dies definiert eine Orientierung f\"ur jeden Tangentialraum $T_PM$. 
Es folgt nun aus Satz~\ref{satz:normal-fminus} und dem vorherigen Beispiel, dass diese Orientierungen tats\"achlich eine Orientierung f\"ur $M$ definierten.
\item Es sei $M$ eine zusammenh\"angende eindimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand. In Kapitel~\ref{section:orientierte-1-untermannigfaltigkeiten} hatten wir schon den Begriff einer Orientierung auf $M$ eingef\"uhrt. Die beiden Gesichtspunkte sind \"aquivalent, denn auf einer eindimensionalen Untermannigfaltigkeit ist ein Tangentialvektor $v\ne 0$ auf $T_PM$ das gleiche wie eine Basis f\"ur $T_PM$.
\item Es sei $M$ eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$, z.B.\ eine  offene Teilmenge von $\R^n$. Dann gilt f\"ur jeden Punkt $P\in M$, dass $T_PM=\R^n$. Die Standardbasis des $\R^n$ definiert nun eine Orientierung von $M$. Wenn wir nichts anderes sagen,
dann betrachten wir eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ immer mit dieser Orientierung.
\end{enumerate}
\end{beispiele}


\begin{definition}
Es sei nun $M$ eine $k$-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit.\footnote{Genauer gesagt, m\"usste man schreiben, es sei $(M,O)$ eine orientierte Untermannigfaltigkeit, aber wir unterdr\"ucken ``$O$'' in der Notation.}
Wir bezeichnen dann mit $-M$ die Untermannigfaltigkeit mit der entgegengesetzten Orientierung,
d.h.\ eine Basis $\{v_1,\dots,v_k\}$ eines Tangentialraumes ist positiv f\"ur $-M$, genau dann, wenn sie negativ f\"ur $M$ ist.
\end{definition}

\begin{bemerkung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Wenn $M$ eine zusammenh\"angende orientierte Untermannigfaltigkeit ist, dann kann man \"ahnlich zu Satz~\ref{satz:zahl-der-orientierungen} zeigen, dass  $M$ genau zwei verschiedene Orientierungen besitzt, n\"amlich $M$ und $-M$.
\item Wenn $M$ eine orientierte Untermannigfaltigkeit mit $k$ Komponenten $M_1,\dots,M_k$ ist, dann besitzt $M$ genau $2^k$ verschiedene Orientierungen, diese sind gegeben durch
$\epsilon_1 M_1 \cup \dots \cup \epsilon_kM_k$ mit $\epsilon_i\in \{-1,1\}$ f\"ur $i=1,\dots,k$.
\end{enumerate}
\end{bemerkung}



\begin{definition}
Es sei $\Phi\colon M\to N$ ein Diffeomorphismus zwischen orientierten zusammen\-h\"angen\-den Untermannigfaltigkeiten der Dimension $k\geq 1$. Wir sagen $f$ ist \emph{orientierungserhaltend}, wenn f\"ur alle $P\in M$ die Abbildung $\Phi_*\colon T_PM\to T_{\Phi(P)}N$ orientierungserhaltend ist. Ansonsten sagen wir, dass $\Phi$ orientierungsumkehrend ist.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Man kann relativ leicht zeigen, dass ein Diffeomorphismus $\Phi\colon M\to N$  zwischen orientierten zusammen\-h\"angen\-den Untermannigfaltigkeiten genau dann orientierungserhaltend ist, wenn es ein $P\in M$ gibt, so dass $\Phi_*\colon T_PM\to T_{\Phi(P)}N$ orientierungserhaltend ist. 
\item Wenn $\Phi \colon M\to N$ ein Diffeomorphismus zwischen zwei zusammenh\"angenden offenen Teilmengen von $\R ^k$ ist, dann ist $\Phi$ orientierungserhaltend, genau dann, wenn es ein $P\in M$ gibt, so dass $\det(D_P\Phi)>0$.
\end{enumerate}
\end{bemerkung}

\begin{satz}\label{satz:orientierung-homomorphismus}
Es sei $M$ eine zusammenh\"angende orientierte Untermannigfaltigkeit. Dann ist die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl}\sigma\colon \{\mbox{Diffeomorphismen von $M$}\}&\to & \{\pm 1\}\\
(\Phi\colon M\to M)&\mapsto & \sigma(\Phi):=\left\{ \begin{array}{rl} 1,&\mbox{ wenn $\Phi$ orientierungserhaltend},\\
-1,&\mbox{ wenn $\Phi$ orientierungsumkehrend}\end{array}\right.\end{array}\]
ein Gruppenhomomorphismus.\footnote{Auf gut Deutsch hei\ss t das, dass die Verkn\"upfung von $n$ Diffeomorphismen genau dann orientierungserhaltend ist, wenn eine gerade Zahl dieser Diffeomorphismen orientierungsumkehrend ist.} \footnote{Ist die Abbildung immer ein Epimorphismus?}
\end{satz}

\begin{proof}
F\"ur einen Isomorphismus $\Phi$ zwischen orientierten Vektorr\"aumen $V$ und $W$ definieren wir 
\[ \sigma(\Phi)\,\,=\,\, \left\{ \begin{array}{rl} +1,&\mbox{ wenn $\Phi$ orientierungserhaltend},\\
-1,&\mbox{ wenn $\Phi$ orientierungsumkehrend.}\end{array}\right.\]
Ganz analog zu Lemma~\ref{lem:orientierungserhaltend} kann man nun zeigen, dass f\"ur Isomorphismen $\Phi\colon U\to V$ und $\Psi\colon V\to W$ zwischen orientierten Vektorr\"aumen gilt, dass $\sigma(\Psi\circ \Phi)=\sigma(\Psi)\cdot \sigma(\Phi)$. 

Es sei nun $M$ eine zusammenh\"angende orientierte Untermannigfaltigkeit.
Es folgt aus der obigen Bemerkung, dass f\"ur alle $P\in M$ gilt, dass
\[ \sigma(M)\,\,=\,\, \sigma(\Phi_*\colon T_PM\to T_{\Phi(P)}M).\]
Es seien nun $\Phi\colon M\to M$ und $\Psi\colon M\to M$ Diffeomorphismen. Es sei $P\in M$ beliebig. Dann gilt
\[ \begin{array}{rl}\sigma(\Psi\circ \Phi)&=\, \,
\sigma\big((\Psi\circ \Phi)_*\colon T_PM\to T_{(\Psi\circ \Phi)(P)}M\big)
\\[0.1cm]
&=\,\, 
\sigma\big((\Psi_*\colon T_{\Phi(P)}M\to T_{(\Psi\circ \Phi)(P)}M)\circ (\Phi_*\colon T_PM\to T_{\Phi(P)}M)\big)\\
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mfbox{Kettenregel}\\
&=\,\, 
\sigma\big((\Psi_*\colon T_{\Phi(P)}M\to T_{(\Psi\circ \Phi)(P)}M)\big)\cdot \sigma\big(\Phi_*\colon T_PM\to T_{\Phi(P)}M)\big)\\
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mfbox{siehe obige Aussage f\"ur $\sigma$ von Isomorphismen von orientierten Vektorr\"aumen}\\
&=\,\,\sigma(\Psi)\cdot \sigma(\Phi).\\
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mfbox{denn $\sigma(\Psi)$ und $\sigma(\Phi)$ k\"onnen an jedem Punkt bestimmt werden}\vspace{-0.6cm}\end{array}
\]
\end{proof}



%======================================================
\subsection{Integration von Differentialformen II}\label{section:intmultii}


Es sei $M$ eine  orientierte $k$-dimen\-sionale Untermannigfaltigkeit.
Wir nennen eine Karte $\Phi\colon U\to V$ \emph{orientierungserhaltend},
wenn  die lineare Abbildung
\[ \Phi_*=D_x\Phi\colon T_xM\,\to \,T_x(E_k)\,=\,\R^k\]
 f\"ur alle $x\in M\cap U$ orientierungserhaltend ist.
 Man kann sich leicht davon \"uberzeugen,
dass eine orientierte Untermannigfaltigkeit einen Atlas besitzt, welcher nur aus orientierungserhaltenden
Karten besteht.\footnote{In der Tat, es sei $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i\in I}$ ein Atlas. Durch Einschr\"anken auf Zusammenhangskomponenten von den $V_i$ k\"onnen wir o.B.d.A.\  annehmen, dass alle $V_i$
zusammenh\"angend sind.  Wenn $\Phi\colon U\to V$ eine Karte ist, so dass $V$ zusammenh\"angend ist, aber so dass $\Phi$ nicht orientierungserhaltend ist, dann ist $\Theta\circ \Phi$ mit $\Theta(x_1,\dots,x_n)=(-x_1,x_2,\dots,x_n)$  
eine orientierungserhaltende Karte mit dem gleichen Definitionsbereich.\label{fussnote:orientierungserhaltend}}

Es sei nun $\omega$ eine stetige $k$-Form auf einer  orientierten kompakten $k$-dimen\-sionale Untermannigfaltigkeit.
 Wir nehmen zuerst an, dass es  eine orientierungserhaltende Karte $\Phi\colon U\to V$ von Typ (i) mit $\opnormal{Tr\"ager}(\omega)\subset U$ gibt.
 Wir bezeichnen mit $\Psi\colon V\to U$ die Umkehrabbildung von $\Phi$. Wir definieren nun
\[ \bbint\limits_{M}\omega\,\,:=\,\, \bbint\limits_{V\cap E_k}   \omega_{\Psi(x)}\big(\Psi_*(e_1), \dots ,\Psi_*(e_k)\big)\,dx.\]
Das folgende Lemma besagt nun, dass diese Definition nicht von der Wahl der orientierungserhaltenden Karte abh\"angt:

\begin{lemma}
Es sei $M$ eine  orientierte kompakte $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit und es  sei $\omega\in \mathcal{C}_k(M)$.
Es seien zudem $\Phi\colon U\to V$  und $\widetilde{\Phi}\colon \widetilde{U}\to \widetilde{V}$  zwei orientierungserhaltende Karten mit $\opnormal{Tr\"ager}(\omega)\subset U\cap \widetilde{U}$.
 Wir bezeichnen mit $\Psi$ und  $\widetilde{\Psi}$ die  Umkehrabbildungen von $\Phi$ und $\widetilde{\Phi}$. Dann gilt
\[ \bbint\limits_{V\cap E_k}   \omega_{\Psi(x)}\big(\Psi_*(e_1), \dots ,\Psi_*(e_k)\big)\,dx\,\,=\,\,
 \bbint\limits_{\widetilde{V}\cap E_k}   \omega_{\widetilde{\Psi}(x)}\big(\widetilde{\Psi}_*(e_1), \dots ,\widetilde{\Psi}_*(e_k)\big)\,dx.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Indem wir die Karten auf $U\cap \widetilde{U}$ einschr\"anken k\"onnen wir 
 o.B.d.A.\  annehmen, dass $U=\widetilde{U}$.
Wir betrachten den Diffeomorphismus
\[ \Theta:=\Phi\circ \widetilde{\Phi}^{-1}\colon  \widetilde{V}\cap E_k \,\,\to \,\, V\cap E_k.\]
Es folgt nun aus Satz~\ref{satz:intkarten}, dass es gen\"ugt zu zeigen, dass f\"ur alle $Q\in \widetilde{V}\cap E_k$ gilt $\det(D_Q\Theta)>0$, d.h.\ dass dass $D_Q\Theta\colon \R^k\to\R^k$ orientierungserhaltend ist. 
Es sei also $Q\in \widetilde{V}\cap E_k$. Wir wollen zeigen, dass  $D_Q\Theta\colon \R^k\to\R^k$ orientierungserhaltend ist. Wir setzen $P=\widetilde{\Phi}^{-1}(Q)$. Dann ist
\[ \begin{array}{rll}\big(D\big(\Phi\circ \widetilde{\Phi}^{-1}\big)_Q=D_Q\Theta\colon \R^k\to \R^k\big)  &=\,\,
\underbrace{\big(D_{P}\Phi\colon T_PM\to \R^k\big)}\,\circ\, \underbrace{\big(D_Q\widetilde{\Phi}^{-1}\colon \R^k\to T_PM\big)}.\\
&\uparrow\hspace{1.1cm}\uparrow\hspace{1.8cm}\uparrow\\
&\hspace{-1.4cm}\mfbox{Kettenregel}\hspace{0.4cm}\mfbox{orientierungserhaltend}\end{array}
\]
Es folgt nun aus Lemma~\ref{lem:orientierungserhaltend}, dass die Abbildung $D_Q\Theta$ selber orientierungserhaltend ist.
\end{proof}



%======================================================
\subsection{Integration von Differentialformen III}
In diesem Kapitel wollen wir das Integral von einer beliebigen stetigen $k$-Form auf einer orientierten kompakten $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit einf\"uhren. Wir wollen die Definition,  ganz analog zu Kapitel~\ref{section:intii}, auf den im vorherigen Kapitel diskutierten Fall zur\"uckf\"uhren.

Um das n\"achste Lemma formulieren zu k\"onnen ben\"otigen wir noch folgende Definition.

\begin{definition}
Wir sagen $Q$ ist ein \emph{offener Quader in $H_k$}, wenn es einen offenen Quader in $E_k=\R^k$ gibt, so dass der Durchschnitt mit $H_k$ gerade $Q$ ist. 
Wir schreiben
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{6cm} \partial_0 Q&:=& Q\cap E_{k-1},
\intertext{und\footnotemark}
\partial_1 Q&=&\partial \overline{Q}\setminus \partial_0 Q.\end{array}\end{align*}
Wir\footnotetext{Hierbei bezeichnen wir mit $\partial \overline{Q}$ den topologischen Rand von $\overline{Q}$ betrachtet als Teilmenge von $E_k$.} sagen eine stetige Abbildung $f\colon Q\to \R$ \emph{verschwindet auf $\partial_1Q$}, wenn sich $f$ stetig zu einer Abbildung auf $\overline{Q}=Q\cup \partial_1Q$ fortsetzen l\"a\ss t, welche auf $\partial_1Q$ verschwindet. 
\end{definition}



\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{offene-quader-in-halbraumen.pstex_t}
\caption{Beispiele von offenen Quadern in Halbr\"aumen.}
\end{center}\label{fig:offene-quader-in-halbraumen}
\end{figure}




Wir k\"onnen nun folgenden Satz formulieren.

\begin{satz}\label{satz:cinfty-zerlegung-der-eins}
Es sei  $M$  eine kompakte $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
Dann gibt es einen endlichen Atlas  $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i=1,\dots,r}$, sowie glatte Funktionen $z_1,\dots,z_r\colon M\to [0,1]$, so dass folgende Eigenschaften erf\"ullt sind:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item f\"ur alle $i\in \{1,\dots,r\}$ gilt $\mbox{Tr\"ager}(z_i)\subset U_i\cap M$,
\item es ist $z_1+\dots+z_r=1$,
\end{enumerate}
und\footnote{Die dritte Eigenschaft werden wir erst etwas sp\"ater ben\"otigen.}
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item[(3)] f\"ur alle $i\in \{1,\dots,r\}$ gilt zudem
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item $\Phi_i(U_i\cap M)\subset H_k$,
\item  die Menge $V_i\cap H_k=\Phi_i(U_i\cap M)$ ist ein offener Quader in $H_k$,
\item die Funktion $z_i\circ\Phi_i^{-1}\colon V_i\cap H_k\to \R$ verschwindet auf  $\partial_1 (V_i\cap H_k)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Wenn $M$ zudem orientiert ist, dann kann man  die Karten auch orientierungserhaltend w\"ahlen.
\end{satz}




\begin{proof}
Wir stellen zuerst folgende Behauptung auf.

\begin{behauptung}
\label{beh:atlas-mit-quadern}
Es gibt einen Atlas  $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i=1,\dots,r}$, so dass f\"ur alle $i\in \{1,\dots,r\}$ gilt:
\begin{enumerate}
\item[(a)] $\Phi_i(U_i\cap M)\subset H_k$ und 
\item[(b)] die Menge $V_i\cap H_k$ ist ein offener Quader in $H_k$.
\end{enumerate}
Wenn $M$ eine orientierte Untermannigfaltigkeit ist, dann k\"onnen wir zudem annehmen, dass alle Karten orientierungserhaltend sind.
\end{behauptung} 

Wir zeigen zuerst, dass es f\"ur jedes $X\in M$ eine Karte $\Phi_X\colon U_X\to V_X$ um $X$ mit den gew\"unschten Eigenschaften gibt.
\begin{enumerate}
\item Wenn $X$ ein innerer Punkt von $M$ ist, dann w\"ahlen wir zun\"achst eine beliebige Karte  $\Phi_X\colon U_X\to V_X$ um $X$. Nach einer eventuellen Einschr\"ankung und Verschiebung von $V_X$  k\"onnen wir annehmen, dass  $V_X\subset \{(x_1,\dots,x_n)\in \R^n\,|\,x_k>0\}$, und dass $V_X$ ein offener Quader ist. Dann ist auch  $V_X\cap H_k$  ein offener Quader in $H_k$.
\item Wenn $X$ ein Randpunkt von $M$ ist, 
dann w\"ahlen wir auch wieder zuerst eine beliebige Karte  $\Phi_X\colon U_X\to V_X$ um $X$. Nach einer eventuellen Einschr\"ankung k\"onnen wir annehmen, dass  $V_X$ ein offener Quader ist. Dann ist wiederum  $V_X\cap H_k$  ein offener Quader in $H_k$.
\end{enumerate}
Nachdem $M$ kompakt ist, wird $M$ schon durch endlich viele dieser Karten abgedeckt. 
Wenn $M$ eine orientierte Untermannigfaltigkeit ist, dann k\"onnen wir mit dem Argument von Fu\ss note~\ref{fussnote:orientierungserhaltend} arrangieren, dass alle Karten zudem orientierungserhaltend sind.
Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.


Die Funktionen $z_1,\dots,z_r$ kann man nun mit einer leichten Abwandlung des Beweises von Lemma~\ref{lem:cinfty-ueberdeckung} konstruieren. Wir \"uberlassen den Beweis als freiwillige \"Ubungsaufgabe.
\end{proof}

\begin{bemerkung}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit. Eine \emph{glatte Zerlegung der Eins} ist eine Familie von glatten Funktionen $\{z_i\colon M\to [0,1]\}_{i\in }$, so dass folgende Eigenschaften erf\"ullt sind:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item f\"ur alle $i\in I$ gibt es eine Karte $\Phi_i\colon U_i\to V_i$, so dass $\mbox{Tr\"ager}(z_i)\subset U_i\cap M$,
\item f\"ur alle $x\in M$ gibt es nur endlich viele Indizes $i\in I$ mit $z_i(x)\ne 0$,
\item f\"ur alle $x\in M$ gilt $\tmsum{i\in I}{}z_i(x)=1$.\footnote{Die Summe $\tmsum{i\in I}{}z_i(x)$ macht Sinn, selbst wenn die Indexmenge $I$ unendlich ist, denn nach (2) gibt es nur endlich viele Indizes $i\in I$ mit $z_i(x)\ne 0$.}
\end{enumerate}
Wir haben also gerade in Satz~\ref{satz:cinfty-zerlegung-der-eins} gezeigt, dass jede kompakte Untermannigfaltigkeit eine  glatte Zerlegung der Eins besitzt. Es gilt jedoch die allgemeinere Aussage, dass jede Untermannigfaltigkeit eine glatte Zerlegung der Eins  besitzt. Diese Aussage wird auf  Seite 362 von
\[ \mbox{K\"onigsberger: Analysis 2 (Springer--Verlag)}\]
und in in Kapitel 9.4 von
\[ \mbox{J\"anich: Vektoranalysis (Springer--Verlag)}\]
bewiesen. Man kann solche glatte Zerlegungen der Eins dazu verwenden, das Integral einer $k$-Form auf einer beliebigen orientierten, nicht notwendigerweise kompakten $k$-dimensionalen Untermannifaltigkeit einzuf\"uhren. Wir werden diese allgemeinere Aussage allerdings nicht verwenden.
\end{bemerkung}



Es sei nun $M$ eine orientierte kompakte $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit
und es sei $\omega$ eine stetige $k$-Form auf $M$. 
Wir w\"ahlen  einen  Atlas  $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i=1,\dots,r}$, sowie glatte Funktionen $z_1,\dots,z_r\colon M\to [0,1]$ wie in Satz~\ref{satz:cinfty-zerlegung-der-eins}.
Wir definieren nun\label{bem:zerlegung-einer-k-form}
\[ \bint\limits_M\omega \,\,:=\,\,\lmsum{i=1}{r}\bint\limits_M z_i\cdot \omega,\]
wobei die Summanden auf der rechten Seite nach Kapitel~\ref{section:intmultii} definiert sind. Das folgende Lemma besagt nun, dass diese Definition nicht von den getroffenen Wahlen abh\"angt. Dieses Lemma spielt die gleiche Rolle wie
Lemma~\ref{lem:integral-auf-untermannigfaltigkeit-wohldefiniert}.

\begin{lemma}
Das Integral einer stetigen $k$-Form auf einer  orientierten kompakten $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit ist wohl-definiert.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es  sei $\omega$ eine stetige $k$-Form auf einer orientierten kompakten $k$-dimensionalen  Untermannigfaltigkeit $M$. Es seien  $y_1,\dots,y_q$ und $z_1,\dots,z_r$ zwei Mengen von glatten Funktionen wie in Satz~\ref{satz:cinfty-zerlegung-der-eins}.
Dann gilt
\[ \begin{array}{rlll}\tmsum{i=1}{p}\bint\limits_M y_i\cdot \omega&=\,\,\tmsum{i=1}{p}\bint\limits_M \Big(\tmsum{j=1}{r}z_j\Big)y_i\cdot\omega
\,\,=\,\,\tmsum{i=1}{p}\bint\limits_M \tmsum{j=1}{r}z_jy_i\cdot\omega
&=\,\,\tmsum{i=1}{p}\tmsum{j=1}{r}\bint\limits_M z_jy_i\cdot\omega
&=\,\,\tmsum{j=1}{r}\bint\limits_M z_j\cdot \omega.\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $\tmsum{j=1}{r}z_j=1$}
&\hspace{-0.9cm}\mfbox{Linearit\"at}
&\hspace{-0.8cm}\mfbox{das gleiche Argument}\\[-0.3cm]
&&\hspace{-1.1cm}\mfbox{des Integrals}&\hspace{-0.5cm}\mfbox{r\"uckw\"arts}
\end{array}\vspace{-0.7cm}\]
\end{proof}


Es folgt leicht aus den Definitionen, dass f\"ur das Integral von $k$-Formen die ``\"ublichen'' Aussagen gelten.
Beispielsweise, gilt f\"ur alle  $\omega,\omega'\in \mathcal{C}_k(M)$ und $\l\in \R$, dass
\[ \bint\limits_M (\eta+\omega) \,\, =\,\,\bint\limits_M \eta\,\,+\,\,\bint\limits_M\omega\quad\mbox{ und }\quad\bint\limits_M\l\omega\,\,=\,\,\l\cdot \bint\limits_M\omega.\]
Etwas interessanter ist folgender Satz:

\begin{satz}
Es sei $M\subset \R^n$ eine  orientierte kompakte $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit
und es  sei $\omega\in \mathcal{C}_k(M)$.
Dann gilt
\[ \bint\limits_{-M}\omega\,\,=\,\,-\bint\limits_M\omega.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Es folgt direkt aus der Definition vom Integral von $k$-Formen, dass es gen\"ugt den Fall zu betrachten,
dass es eine orientierungserhaltende Karte $\Phi\colon U\to V$ f\"ur $M$ mit $\opnormal{Tr\"ager}(\omega)\subset U$ gibt.
Wir betrachten die durch
\[ \Theta(x_1,x_2,\dots,x_n)\,\,:=\,\,(-x_1,x_2,\dots,x_n)\]
definierte Abbildung.
F\"ur alle $x\in V$ gilt offensichtlich, dass $\det D_x\Theta=-1$.
Die Karte $\widetilde{\Phi}:=\Theta\circ \Phi\colon U\to \widetilde{V}:=\Theta(V)$ ist dann  eine orientierungsumkehrende Karte f\"ur $M$,
oder anders ausgedr\"uckt, eine orientierungserhaltende Karte f\"ur $-M$.

Wir bezeichnen nun mit $\Psi\colon V\to U$ und $\widetilde{\Psi}:\widetilde{V}\to U$ die Umkehrabbildungen von $\Phi$ und $\widetilde{\Phi}$. Wir erhalten nun, dass 
\[
\begin{array}{rlll}
&\hspace{-1.5cm}\mfbox{denn $\widetilde{\Psi}$ ist orientierungs-}&&\hspace{-1.5cm}\mfbox{denn $\Psi$ ist orientierungs-}\\[-0.1cm]
&\hspace{-1cm}\mfbox{erhaltend f\"ur $-M$}
&
&\hspace{-1cm}\mfbox{erhaltend f\"ur $M$}\\
&\downarrow&&\downarrow\\[-0.2cm] \bint\limits_{-M}\omega&=\,\,\bint\limits_{\widetilde{V}}\widetilde{\Psi}^*\omega&=\,\,-\,\bint\limits_{V} \Psi^*\omega&=\,\,-\bint\limits_M\omega.\\[-0.3cm]
&&\uparrow\\
&&\hspace{-0.5cm}\mfbox{siehe Satz~\ref{satz:intkarten}}\end{array}\vspace{-0.7cm}\]
\end{proof}

Folgender Satz gibt uns die Transformationsformel f\"ur das Integral von $k$-Formen auf orientierten $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten. Der Beweis des Satzes ist, wenn man die Definitionen verdaut hat, v\"ollig elementar und wird in \"Ubungsblatt~7 ausgef\"uhrt.

\begin{satz}\label{satz:transformationsformel-fuer-integral-von-k-formen}
Es sei $f\colon M\to N$ ein  Diffeomorphismus zwischen zwei orientierten kompakten $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten. Zudem sei $\omega$ eine stetige $k$-Form auf $N$. Dann gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}
\hspace{3.4cm} \bint\limits_M f^*\omega&=&\phantom{-} \bint\limits_N \omega,\hspace{0.5cm}&\mbox{ wenn $f$ orientierungserhaltend}
\intertext{und}
\bint\limits_M f^*\omega&=&- \bint\limits_N \omega,&\mbox{ wenn $f$ orientierungsumkehrend.}
\end{array}
\end{align*}
\end{satz}

% Ende 12. Vorlesung

Wir betrachten im Folgenden noch ein paar Spezialf\"alle vom Integral einer $k$-Form, welche wir sp\"ater verwenden werden. 


\begin{lemma}
\label{lem:integration-n-form-auf-rn}
Es sei $M\subset \R^n$ eine $n$-dimensionale kompakte Untermannigfaltigkeit, d.h.\ eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension 0. Zudem sei $f\colon M\to \R$ eine stetige Funktion. Dann gilt
\[ \underset{\operatorname{Integral}\,\operatorname{von}\,n-\operatorname{Form}}{\underbrace{\bint\limits_M f\cdot \,dx_1\wedge \dots\wedge dx_n}}\,\,=\,\,
\underset{\operatorname{Integral}\,\operatorname{von}\,\operatorname{Funktion}}{\underbrace{\bint\limits_M f\,dx_1\dots\,dx_n}}.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Nachdem $\partial M$ eine Nullmenge ist, gen\"ugt es wenn wir die Gleichheit der Integrale \"uber der offenen Teilmenge $\interior{M}=M\setminus \partial M$ von $\R^n$ beweisen.
Es  gilt in der Tat, dass
\[ \begin{array}{rll}\bint\limits_{\interior{M}} f\cdot \,dx_1\wedge \dots\wedge dx_n&=\,\,
\bint\limits_{\interior{M}} f\cdot \underset{\mfbox{=1, siehe Seite~\pageref{bsp:dachprodukt-dxis}}}{\underbrace{(\,dx_1\wedge \dots\wedge dx_n)(e_1,\dots,e_n)}}\,\,=\,\,\bint\limits_{\interior{M}} f&=\,\,
\bint\limits_{\interior{M}} f\,dx_1\dots\,dx_n.\\[-0.5cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1.8cm}\mfbox{Definition angewandt auf die}
&\hspace{-2.2cm}\mfbox{$dx_1\dots dx_n$ hat keine Bedeutung}.\\[-0.1cm]
&\hspace{-2.3cm}\mfbox{orientierungserhaltende Karte $\Phi=\operatorname{id}$}\vspace{-0.6cm}\end{array}
\]
\end{proof}

Das folgende Lemma besagt, dass wir den Flu\ss{} von einem Vektorfeld durch eine orientierte Hyperfl\"ache als Integral \"uber eine Differentialform interpretieren k\"onnen.

\begin{lemma}\label{lem:intrand}
Es sei  $(N,\nu)$ eine orientierte kompakte Hyperfl\"ache in $\R^n$ und es sei zudem 
 $F\colon N\to \R^n$ ein stetiges Vektorfeld. Wir bezeichnen mit $\delta(F)$ die zu $F$ zugeh\"orige $(n-1)$-Form auf $N$, welche 
 an jedem Punkt $P$ gegeben ist durch \[ \begin{array}{rcl}\hspace{1.3cm}\delta(F)_P\colon (T_PM)^{n-1}&\to & \R \\ (v_1,\dots,v_{n-1})&\mapsto& \det(F(P)\,v_1\,\dots\,v_{n-1}).
  \end{array} \]
 Dann  gilt\footnote{Auf der linken Seite betrachten wir also das Integral der Differentialform $\delta(F)$,
 hierbei betrachten wir $N$ als orientierte Untermannigfaltigkeit mit der durch $\nu$ festgelegten Orientierung, siehe Kapitel~\ref{section:or}. Auf der rechten Seite betrachten wir das Integral der
 reellwertigen Funktion $x\mapsto F(x)\cdot \nu(x)$.}
 \[ \bbint\limits_N \delta(F)\,\,=\,\,\bbint\limits_N F\cdot \nu.\]
\end{lemma}



\begin{proof}
Es folgt aus den Definitionen, dass es gen\"ugt den Fall zu betrachten, dass
es eine orientierungserhaltende Karte $\Phi\colon U\to V$ mit $\opnormal{Tr\"ager}(F)\subset U$ gibt.

Es seien $v_1,\dots,v_{n-1}\in \R^n$. Wir bezeichnen dann mit $v_1\times \dots\times v_{n-1}\in \R^n$ den  Vektor in $\R^n$ der festgelegt ist durch\footnote{F\"ur zwei Vektoren in $\R^3$ erhalten wir das \"ubliche Kreuzprodukt.}
\[\mbox{$k$--te Koordinate von $v_1\times \dots \times v_{n-1}$}\,\,=\,\,(-1)^{k+1}\cdot \det{\mbox{$\footnotesize{\left(\begin{array}{c}v_1\,\dots,v_{n-1},\\\operatorname{wobei}\,k\operatorname{-te}\,\operatorname{Zeile}\\\operatorname{entfernt}\end{array}\right)}$}}.\]
In \"Ubungsblatt~6 hatten  wir sehen, dass das Kreuzprodukt $v_1\times \dots\times v_{n-1}$ auch eindeutig bestimmt ist durch folgende Eigenschaften
festgelegt:
\begin{enumerate}
\item[(a)] $v_1\times \dots\times v_{n-1}$ steht senkrecht zu $v_1,\dots,v_{n-1}$,
\item[(b)] $\|v_1\times \dots\times v_{n-1}\|=\sqrt{\operatorname{Gram}(v_1,\dots,v_{n-1})}$,
\item[(c)] $\det\big(\underset{\mfbox{$n\times n$-Matrix}}{\underbrace{v_1\times \dots\times v_{n-1}\,\,v_1\,\,\dots\,\,v_{n-1}}})\geq 0$.
\end{enumerate}
Es sei nun $x\in V\cap E_k$. F\"ur $i=1,\dots,n-1$ schreiben wir $v_i:=(D_x\Psi)(e_i)$ und $F:=F(\Psi(x))$ sowie $\nu=\nu(\Psi(x))$. 
Wir erhalten, dass
\[ \begin{array}{rll} &\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $\mfbox{Tr\"ager}(F)\subset U$}&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Definition von $\delta(F)$}\\
&\downarrow &\downarrow\\[-0.1cm]
\bint\limits_N \delta(F)&=\,\,\bint\limits_{V\cap E_{n-1}} \delta(F)(v_1,\dots,v_{n-1}) 
&=\,\,\bint\limits_{V\cap E_{n-1}} \det(F\,v_1\,\dots\,v_{n-1}) \\[2mm]
&=\,\,\bint\limits_{V\cap E_{n-1}} F\cdot (v_1\times \dots \times v_{n-1})
& =\,\,\bint\limits_{V\cap E_{n-1}} F\cdot \sqrt{\operatorname{Gram}(v_1,\dots,v_{n-1})}\cdot \nu \\[-3mm]
&\uparrow&\uparrow\\
&
\hspace{-1cm}\mfbox{folgt aus der Definition von $v_1\times \dots\times v_{n-1}$}&\hspace{-0.7cm}\mfbox{es ist $ v_1\times \dots\times v_{n-1}=\sqrt{\operatorname{Gram}(v_1,\dots,v_{n-1})}\cdot \nu $, denn}\\[-0.1cm]
&\hspace{-1.2cm}\mfbox{und der Laplace-Entwicklung der Determinante}&\hspace{-0.5cm}\mfbox{beide Vektoren erf\"ullen (a), (b) und (c)\footnotemark}\\[1mm]
&=\,\,\bint\limits_{V\cap E_{n-1}}  F\cdot \nu\, \sqrt{\operatorname{Gram}(v_1,\dots,v_{n-1})}
&=\,\,\bint\limits_N F\cdot \nu.\end{array}\vspace{-0.7cm} \]
\footnotetext{In der Tat, beide Vektoren haben offensichtlich die Eigenschaften (a) und (b). Zudem ist $v_1,\dots,v_{n-1}$
eine positive Basis von $T_{\Psi{x}}M$, per Definition der Orientierung
(siehe Kapitel~\ref{section:or} f\"ur die Orientierung von Hyperfl\"achen) bedeutet das, dass
\[ \det(\nu\,v_1,\dots,\,v_{n-1})>0.\]
Also haben beide Vektoren auch die Eigenschaft (c).}
\end{proof}


%======================================================
\subsection{Null-dimensionale Untermannigfaltigkeiten}



Wir haben bisher nur Untermannigfaltigkeiten der Dimension gr\"o\ss er Null behandelt.
Es sei nun $M$ eine kompakte null-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$, d.h.\ $M$ besteht aus endlich vielen Punkten $P_1,\dots,P_k$.
Wir definieren eine \emph{Orientierung} f\"ur $M$ als eine Funktion $M\to \{-1,1\}$.
Mit anderen Worten, eine Orientierung besteht aus der Wahl eines Vorzeichens $\epsilon_i$ f\"ur jeden Punkt $P_i$.

Es sei nun $\omega$ eine stetige 0-Form auf $M$, d.h.\ $\omega$ ist eine Funktion $M\to \R$. Wir definieren dann
\[ \bint\limits_M\omega\,\, :=\,\,\setminussum{i=1}{k} \epsilon_if(P_i).\]

\clearpage
%======================================================
\section{Vorbereitungen f\"ur den Satz von Stokes}
\label{section:satz-von-stokes}
Wir sind immer noch auf dem Weg zur Formulierung vom Satz von Stokes. Dieser  ist die in Kapitel~\ref{section:motivation}
versprochene Verallgemeinerung des Gau\ss schen Integralsatzes und von Satz
 \ref{satz:integral-von-totalem-differential2}. In Kapitel~\ref{section:motivation} hatten wir schon angedeutet, dass diese Verallgemeinerung in etwa von folgender Form sein soll.
 
Es sei $M$ eine $k$-dimensionale kompakte Untermannigfaltigkeit und es sei $\omega$ ein ``mathematisches Objekt'' auf $M$, welches auf $\partial M$ integriert werden kann. Dann soll gelten
\[ \bint\limits_M \mbox{``Differential'' oder ``Ableitung'' von $\omega$}\,\,=\,\,\bint\limits_{\partial M}\omega.\]
Die Diskussion des vorherigen Kapitels legt nahe, dass dieses mathematische Objekt und dessen ``Differential'' wohl Differentialformen  sein sollen.

Bevor wir zu diesem Punkt gelangen, m\"ussen wir noch zwei Fragestellungen kl\"aren:
\begin{enumerate}
\item Das Integral von Differentialformen macht Sinn \"uber \emph{orientierten} Untermannigfaltigkeiten. Wenn $M$ eine orientierte Untermannigfaltigkeit ist, dann m\"ussen wir uns davon \"uberzeugen, dass dann auch $\partial M$ eine orientierte Untermannigfaltigkeit ist.
\item Wenn $\omega$ eine $(k-1)$-Form auf $M$ ist, dann m\"ussen wir das Differential $d\omega $ einf\"uhren. Dieses Differential muss ein mathematisches Objekt sein, welches wir \"uber der $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $M$ integrieren k\"onnen. Es liegt nahe, dass es sich bei $d\omega$ um eine $k$-Form handeln soll.
\end{enumerate}
In diesem Kapitel behandeln wir diese beide Themen. Im darauf folgenden Kapitel werden wir dann den Satz von Stokes formulieren und beweisen.

%======================================================
\subsection{Orientierte Untermannigfaltigkeiten mit Rand}\label{section:orrand} \label{section:randor}

\begin{definition}
Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand. Es sei $P\in \partial M$ und es sei $v\in T_PM$. 
\begin{enumerate}
\item Wir sagen der Vektor $v$ \emph{zeigt nach au\ss en}, wenn $v\not\in T_P\partial M$ und wenn es  eine Kurve $\gamma\colon (a,0]\to M$  durch $P$ gibt, so dass $\gamma'(0)=v$. 
\item Wir sagen der Vektor $v$ \emph{zeigt nach innen}, wenn $v\not\in T_P\partial M$ und wenn es  eine Kurve $\gamma\colon [0,a)\to M$  durch $P$ gibt, so dass $\gamma'(0)=v$. 
\end{enumerate}
\end{definition}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{nach-aussen-innen.pstex_t}
\caption{}
\end{center}\label{fig:nach-aussen-innen}
\end{figure}

\begin{beispiel}
Es sei $M\subset H^k$ eine offene Teilmenge, dann ist $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand $\partial M=M\cap E_{k-1}$. F\"ur $P\in \partial M$ und $(v_1,\dots,v_k)\in T_PM$ gilt dann
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} 
 \hspace{4cm} (v_1,\dots,v_k) \mbox{ zeigt nach au\ss en}&\Longleftrightarrow& v_k< 0,
\intertext{und} 
(v_1,\dots,v_k) \mbox{ zeigt nach innen}&\Longleftrightarrow& v_k> 0.\end{array}\end{align*}
\end{beispiel}

Es sei nun $M$ eine orientierte $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand und mit $k>1$.
Wir wollen nun zeigen, dass die $(k-1)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $\partial M$ ebenfalls
orientierbar ist. Es sei $P\in \partial M$ und $v_1,\dots,v_{k-1}$ eine Basis von $T_P\partial M$.  Wir definieren nun\label{def:orientierung-von-rand}
\[ \begin{array}{c}\mbox{ $\{v_1,\dots,v_{k-1}\}$ ist eine}\\\mbox{positive Basis von $T_P\partial M$}\end{array}  \,:\Longleftrightarrow\,
\begin{array}{c} \mbox{es gibt einen Vektor $w$ der nach au\ss en zeigt, so dass}\\\mbox{$\{w,v_1,\dots,v_{k-1}\}$ eine positive Basis von $T_PM$ ist.} \mbox{}\end{array}\]
Wir m\"ussen nun noch zeigen, dass diese Orientierungen der Tangentialr\"aume in der Tat eine Orientierung der Untermannigfaltigkeit ergeben. Dies ist ist die Aussage vom n\"achsten Lemma.

\begin{lemma}
Die gerade eingef\"uhrten Orientierungen der Tangentialr\"aume sind stetig bez\"uglich allen Karten, definieren also  eine Orientierung der Untermannigfaltigkeit.
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir zeigen zuerst folgende Behauptung.

\begin{behauptung}
Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Es sei $P\in \partial M$ und es sei $v\in T_PM$. Zudem sei $\Phi\colon U\to V$ eine Karte um $P$. Wir setzen $Q=\Phi(P)$. Dann gilt
\[ v \mbox{ zeigt nach au\ss en}\,\,\Longleftrightarrow\,\, \mbox{letzte Koordinate von $\Phi_*(v)\in T_QE_k=\R^k$ ist negativ.}\]
\end{behauptung}

Die Karte $\Phi\colon U\to V$ gibt insbesondere einen Diffeomorphismus zwischen der Untermannigfaltigkeit $M\cap U$ mit Rand $(\partial M)\cap U$ und der Untermannigfaltigkeit $H_k\cap V$ mit Rand $E_{k-1}\cap V$. Ein Diffeomorphismus zwischen Untermannigfaltigkeiten mit Rand schickt offensichtlich\footnote{Warum ist das offensichtlich?} Vektoren die nach au\ss en  zeigen wieder auf Vektoren die nach au\ss en   zeigen. Die Behauptung folgt nun aus dem obigen Beispiel. Wir haben damit die Behauptung bewiesen.

F\"ur eine Karte der Untermannigfaltigkeit $M$ kann man nun die Stetigkeit der Pr\"a-Orientierung leicht mit der obigen Behauptung beweisen. Wir \"uberlassen den Beweis als freiwillige \"Ubungsaufgabe.
\end{proof}

\begin{konvention}
Wenn $M$ eine orientierte $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand ist, dann betrachten wir $\partial M$ immer mit der gerade eingef\"uhrten Orientierung.
\end{konvention}

\begin{beispiele}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Es sei
\[ M\,\,:=\,\,\{ (x,y)\,|\, x^2+y^2\leq 1\}\]
die Einheitsscheibe im $\R^2$. Wir betrachten $M$ als orientierte Untermannigfaltigkeit, wobei die Orientierung durch die
\"ubliche Orientierung von $\R^2$ gegeben ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{kreis.pstex_t}
\caption{Orientierung des Randes der Kreisscheibe in $\R^2$.}
\end{center}\label{fig:orientierung-kreis}
\end{figure}
Die Untermannigfaltigkeit $\partial M$, d.h.\ der Einheitskreis,
hat dann die Orientierung, welche ``entgegen dem Uhrzeigersinn zeigt''.
\item Wir betrachten den Zylinder $Z=[-1,1]\times S^1\subset S^3$ mit der Orientierung, welche durch die Normalenvektoren gegeben sind, welche ``nach au\ss en'' zeigen. Die Orientierungen auf den Randkomponente $\{-1\}\times S^1$ und $\{1\}\times S^1$ sind in Abbildung~\ref{fig:orientierung-von-rand-von-zylinder} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{orientierung-von-rand-von-zylinder.pstex_t}
\caption{Orientierung des Randes der Kreisscheibe in $\R^2$.}
\end{center}\label{fig:orientierung-von-rand-von-zylinder}
\end{figure}
\item Es sei $M$ eine kompakte $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^k$. 
Wir hatten auf Seite~\pageref{satz:nvf} das  \emph{\"au\ss ere Einheitsnormalenfeld} auf $\partial M$ eingef\"uhrt. Auf Seite~\pageref{bsp:aequivalenz-der-orientierungsbegriff-fuer-hyperflaeche} hatten wir gesehen, dass ein solches \"au\ss ere Einheitsnormalenfeld eine Orientierung auf $\partial M$ definiert.\label{bsp:aequivalenz-der-orientierungsbegriff-fuer-raender}
Man kann nun leicht nachvollziehen, dass diese Orientierung gerade der Orientierung von $\partial M$ auf Seite~\pageref{def:orientierung-von-rand} entspricht.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

Es sei zum Abschlu\ss \, noch $M$ eine zusammenh\"angende eindimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit. F\"ur $P\in \partial M$ setzen wir $\epsilon_P:=1$, wenn der Orientierungsvektor in $T_PM$ nach au\ss en zeigt, und wir setzen $\epsilon_P:=-1$, wenn der Orientierungsvektor in $T_PM$ nach innen zeigt. Wir definieren dann
\[ \partial M\,\,:= \lmcup{\mfbox{$P$ Randpunkt von $M$}}{} \hspace{-0.4cm} \epsilon_P \cdot P.\]
D.h.\ wir betrachten $\partial M$ als 0-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit einer Orientierung.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{rand-einer-eins-untermannigfaltigkeit.pstex_t}
\caption{}
\end{center}\label{fig:rand-einer-eins-untermannigfaltigkeit}
\end{figure}
Beispielsweise gilt f\"ur die Untermannigfaltigkeit $[a,b]\subset \R$ mit der \"ublichen Orientierung, dass\footnote{Streng genommen m\"usste man hier $-\{a\}\cup \{b\}$ schreiben, aber der besseren Lesbarkeit halber lassen wir die Klammern weg.}
\[ \partial [a,b] \,\,=\,\, (-a)\cup b.\]

%======================================================
\subsection{Das Differential von Differentialformen}\label{section:diffdiff}
Wir f\"uhren nun das Differential einer Differentialform ein. Wie \"ublich f\"uhren wir diesen Begriff erst f\"ur Differentialformen auf offenen Mengen von $\R^n$ ein, und definieren dann den Begriff f\"ur Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten mithilfe von Karten.

Es sei also im Folgenden $U$ eine offene Teilmenge von $\R^k$ oder von $H_k$. Au\ss erdem sei $\omega\in \Omega_l(U)$.
Nach Satz~\ref{satz:basis-dachprodukt}  bilden
die Dachprodukte $ \,dx_{i_1}\wedge \dots \wedge \,dx_{i_l}$  mit 
$i_1<i_2<\dots<i_l$
eine Basis von $\wedge^l (\R^k)^*$.
Wir k\"onnen also $\omega$ wie folgt als Linearkombination betrachten:
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4cm}
 \omega&=&\lmsum{i_1<\dots<i_l}{} f_{i_1\dots i_l} \,dx_{i_1}\wedge \dots \wedge \,dx_{i_l},
\intertext{wobei $f_{i_1\dots i_l}$ reellwertige glatte Funktionen auf $U$ sind.
Wir definieren jetzt das \emph{Differential von $\omega$}\footnotemark{} als die $(l+1)$-Form}
 d \omega&:=&\lmsum{i_1<\dots<i_l}{} df_{i_1\dots i_l} \wedge \,dx_{i_1}\wedge \dots \wedge \,dx_{i_l}.\\[-0.25cm]
 &&\hspace{1.4cm}\uparrow\\
 &&\mfbox{das totale Differential der Funktion $f_{i_1\dots i_l}$}\end{array}\end{align*}
\footnotetext{In der Literatur wird das Differential von $\omega$ manchmal auch die \emph{\"au\ss ere Ableitung von $\omega$} genannt.}

\begin{beispiele}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Wenn $\omega\in \Omega_0(U)$, d.h.\ wenn $\omega$ eine glatte Funktion auf $U$ ist, dann ist $d\omega$ per Definition gerade das totale Differential dieser glatten Funktion. 
\item Wir betrachten auf $\R^2$ die 1-Form $\omega= 3x^2y\,dx+x^3\,dy$. Dann gilt
\label{bsp:domega}
\[ \begin{array}{rl}
&\hspace{2cm}\mfbox{Definition des Differentials einer 1-Form}\\
&\hspace{4.35cm}\downarrow\\
 d\omega&=\,\,d( 3x^2y\,dx+x^3\,dy)\,\,=\,\, d(3x^2y)\wedge dx+d(x^3)\wedge dy\\
&=\,\,\Big(\tmfrac{\partial 3x^2y}{\partial x}dx+\tmfrac{\partial 3x^2y}{\partial y}dy\Big)\wedge dx+\Big(\tmfrac{\partial x^3}{\partial x}dx+\tmfrac{\partial x^3}{\partial y}dy\Big)\wedge dy\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:berechnung-totale-differential}}\\
&=6xy\,\underset{=0}{\underbrace{dx\wedge dx}}+3x^2\underset{=-dx\wedge dy}{\underbrace{dy\wedge dx}}\,+\,3x^2 dx\wedge dy+0\cdot\underset{=0}{\underbrace{dy\wedge dy}}\,\,=\,\,0.
\end{array}\]
\item F\"ur $\omega=dx_i\wedge \,dx_j$ ist
\[ d\omega\,\,=\,\, d(dx_i\wedge \,dx_j)\,\,=\,\,d(1\cdot dx_i\wedge \,dx_j)\,\,=\,\,\underset{=0}{\underbrace{d1}}\wedge dx_i\wedge \,dx_j\,\,=0.\]
\end{enumerate}
\end{beispiele}
 
Der folgende Satz fa\ss t einige der wichtigsten Eigenschaften des Differentials von Differentialformen zusammen.

\begin{satz}\label{satz:regelnd}
Es sei $U\subset \R^k$ eine offene Teilmenge. Es seien $\omega,\omega'\in \Omega_l(U)$, $\sigma\in \Omega_m(U)$ und $\l\in \R$.
Dann gilt
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item $d(\omega+\omega')=d\omega+d\omega'$,
\item  $d(\l \omega)=\l\cdot d\omega $,
\item die $(l+1)$-Form $d\omega $ ist eine glatte Form,
\item es gilt die ``Produktregel'' f\"ur die Differentiation von Differentialformen\footnote{Die Produktregel ist also ganz \"ahnlich der \"ublichen Produktregel f\"ur Ableitungen, allerdings taucht noch ein extra Vorzeichen auf.}
 \[ d(\omega\wedge \sigma)\,\,=\,\,d\omega \wedge \sigma+(-1)^l w\wedge d\sigma,\]
 \item  es ist $d(d\omega)=0$. 
\end{enumerate}
Genau die gleichen Aussagen gelten auch, falls $U$ eine offene Teilmenge der Halbebene $H_k=\{(x_1,\dots,x_k)\in \R^k\,|\,x_k\geq 0\}$ ist.
\end{satz}

\begin{beispiel}
In \"Ubungsblatt~5 hatten wir gesehen, dass wenn 
\[ \omega\,\,=\,\, f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy\]
eine glatte 1-Form auf $\R^2$ ist mit
\[ \tmfrac{\partial }{\partial y}f (x,y)\,\,=\,\, \tmfrac{\partial }{\partial x} g(x,y),\]
dann ist $\omega$ exakt, d.h.\ es gibt eine glatte Funktion $f\colon \R^2\to \R$ mit $df=\omega$. Das Beispiel der 1-Form $\omega= 3x^2y\,dx+x^3\,dy$ auf Seite~\pageref{bsp:domega} ist von dieser Form. Also folgt aus Satz~\ref{satz:regelnd} direkt, dass  $d\omega=d(df)=0$.
\end{beispiel}



\begin{beispiele}
Wir betrachten die Aussagen (4) und (5) f\"ur 0-Formen, d.h.\ f\"ur reellwertige Funktionen.
\begin{enumerate}
\item
Es seien $f,g\colon U\to \R$ zwei glatte Funktionen auf einer offenen Teilmenge $U\subset \R^k$. Wir k\"onnen $f$ und $g$ als 0-Formen auffassen. Satz~\ref{satz:regelnd} (4) besagt nun also, dass\footnote{Das Dachprodukt von zwei 0-Formen ist einfach das \"ubliche Produkt von Funktionen. Warum?} 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}  
\hspace{5.6cm} d(fg)&=&df  \cdot g\,+\,f\cdot  dg.
\intertext{Wir wenden nun Lemma~\ref{lem:berechnung-totale-differential} auf $d(fg)$, $df$ und $dg$ an und erhalten, dass}
\setminussum{i=1}{k} \tmfrac{\partial (fg)}{\partial x_i}dx_i&=&
\Big(\,\setminussum{i=1}{k} \tmfrac{\partial f}{\partial x_i}dx_i\Big)\cdot g\,+\,
f\cdot \Big(\,\setminussum{i=1}{k} \tmfrac{\partial g}{\partial x_i}dx_i\Big).
\intertext{Durch Umsortieren erhalten wir, dass}
\setminussum{i=1}{k} \tmfrac{\partial (fg)}{\partial x_i}dx_i&=&
\setminussum{i=1}{k} \Big(\tmfrac{\partial f}{\partial x_i}\cdot g+f \tmfrac{\partial g}{\partial x_i}\Big)dx_i.
\intertext{Nachdem die 1-Formen $dx_1,\dots,dx_k$ linear unabh\"angig sind erhalten wir jetzt f\"ur jedes $i\in \{1,\dots,k\}$, dass}
\tmfrac{\partial (fg)}{\partial x_i}&=&
\tmfrac{\partial f}{\partial x_i} g\,+\,
f\cdot  \tmfrac{\partial g}{\partial x_i}.
\end{array}
\end{align*}
In anderen Worten, wir sehen, dass die Produktregel f\"ur 0-Formen \emph{\"aquivalent} ist zur  \"ublichen Produktformel f\"ur partielle Ableitungen.
\item Es sei $f\colon U\to \R$ eine glatte Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\subset \R^k$. Dann ist
\[ \begin{array}{rll}\hspace{1cm} d(df)&=\,\, d\Big(\tmsum{i=1}{k} \tmfrac{\partial f}{\partial x_i}dx_i\Big)
&
=\,\,
\tmsum{i=1}{k} d\Big(\tmfrac{\partial f}{\partial x_i}\Big)\wedge dx_i\\[-0.2cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:berechnung-totale-differential}}&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Definition von $d$}\\
&=\,\,
\tmsum{i=1}{k} \Big(\tmsum{j=1}{k} \tmfrac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}dx_j\Big)\wedge dx_i
&=\,\,
\tmsum{i<j}{} \Big(\tmfrac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}-\tmfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}\Big)\cdot dx_i\wedge dx_j.\\[-0.2cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:berechnung-totale-differential}}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $dx_i\wedge dx_j=-dx_j\wedge dx_i$ und $dx_i\wedge dx_i=0$}
\end{array}\]
Die 2-Formen $dx_i\wedge dx_j$ mit $i<j$ sind nach Satz~\ref{satz:basis-dachprodukt}  linear unabh\"angig. 
Wir sehen also, dass die Aussage  $d(df)=0$ \emph{\"aquivalent} ist zu der schon in Analysis~II bewiesenen Aussage, dass die partiellen Ableitungen einer glatten Funktion vertauschbar sind.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{notation}\label{notation:dxi}
Bevor wir uns dem Beweis von Satz~\ref{satz:regelnd} zuwenden f\"uhren wir noch folgende Notation ein.
F\"ur eine  aufsteigende Folge $I=1\leq i_1<\dots<i_k\leq n$ schreiben wir 
\[ dx_I\,\,:=\,\,dx_{i_1}\wedge \dots\wedge dx_{i_k}.\]
Wir bezeichnen mit $|I|=k$ die Anzahl der Elemente in der aufsteigenden Folge.
Es sei nun $U$ eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ und es sei $\omega$ eine $k$-Form auf $U$. Wir k\"onnen dann $\omega$ schreiben als
\[ \omega\,\,=\,\,\tmsum{|I|=k}{}\,f_Idx_I,\]
hierbei summieren wir \"uber alle aufsteigenden Folgen $I=1\leq i_1<\dots<i_k\leq n$ der L\"ange $k$.
\end{notation}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:regelnd}]
Die ersten beiden Aussagen von Satz~\ref{satz:regelnd} sind trivial. Die dritte Aussage folgt leicht aus den Definitionen und aus Lemma~\ref{lem:berechnung-totale-differential}.

Wir wenden uns der vierten  Aussage zu. Im obigen Beispiel hatten wir gesehen, dass die Produktformel f\"ur 0-Formen gerade der \"ublichen Produktformel f\"ur partielle Ableitungen entspricht, welche wir schon in Analysis~II bewiesen hatten. 
Wir wollen nun den allgemeinen Fall auf den Fall von 0-Formen zur\"uckf\"uhren.

Es sei also $\omega \in \Omega_l(U)$ und es sei $\sigma\in \Omega_m(U)$. Wir schreiben 
\begin{align*}
\begin{array}{rclcrcl}
 \hspace{3cm}\omega&=&\tmsum{|I|=l}{}f_I\,dx_I &\mbox{ und } & \sigma&=&\tmsum{|J|=m}{} g_J\,dx_J
\intertext{und erhalten}
 d\omega&=&\tmsum{|I|=l}{}df_I\wedge dx_I &\mbox{ und } & d\sigma&=&\tmsum{|J|=m}{} dg_J\wedge dx_J.\end{array}\end{align*}
Dann ist
\[
\begin{array}{rll} 
&&\hspace{-4cm}\mfbox{Multilinearit\"at des Dachprodukts}\\
&&\hspace{-3cm}\downarrow\\[-0.3cm]d(\omega\wedge \sigma)&=\,\,d\bigg( \tmsum{|I|=l}{}\,f_I\,dx_I \,\wedge \,\tmsum{|J|=m}{}\, g_J\,dx_J\bigg)
&\hspace{-3cm}=\,\, d\bigg(\tmsum{I,J}{}\, f_Ig_J\, dx_I\wedge \,dx_J\bigg)\\
&=\,\,\tmsum{I,J}{} \,d(f_Ig_J )\cdot dx_I\wedge dx_J
&\hspace{-3cm}=\,\,\tmsum{I,J}{} \,(g_Jdf_I+f_Idg_J)\wedge dx_I\wedge dx_J\\[-0.3cm]
&\uparrow&\hspace{-3cm}\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Definition des Differentials}&\hspace{-3.5cm}\mfbox{Produktformel f\"ur Produkt von 0-Formen}\\
&=\,\,\tmsum{I,J}{} \,\Big(\big(df_I\wedge dx_I)\wedge g_J\,dx_J+(-1)^l f_I\,dx_I\wedge\big( dg_J\wedge dx_J\big)\Big)\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:dachprodukt-eigenschaften}}\\
&=\,\,d\omega \wedge \sigma+(-1)^l w\wedge d\sigma.
\end{array}
\]

Wir beweisen nun noch die letzte Aussage.  Im obigen Beispiel hatten wir gesehen, dass die Aussage f\"ur 0-Formen gerade der Vertauschbarkeit von partiellen Ableitungen entspricht, welche wir schon in Analysis~II bewiesen hatten. 
Wir wollen nun auch dieses Mal den allgemeinen Fall auf den Fall von 0-Formen zur\"uckf\"uhren.

Es sei also $\omega \in \Omega_l(U)$. Wir schreiben wiederum 
$\omega\,\,=\,\,\tmsum{|I|=l}{}f_Idx_I$.
Dann ist\\[-0.1cm]
\[
\begin{array}{rl} 
&\hspace{1cm}\mfbox{$=0$ nach obigem Beispiel}\\
&\hspace{2cm}\downarrow\\
d(d(\omega)) \,\,=\,\,
d\bigg(\tmsum{|I|=l}{}df_I\wedge dx_I\bigg)&=\,\,
\tmsum{|I|=l}{}\big(\overbrace{d(df_I)}\wedge dx_I+(-1)\cdot df_I\wedge \underbrace{d(dx_I)}\big)=0.\\[-0.3cm]
&\uparrow\\[-0.3cm]
&\hspace{0.046cm}|\hspace{5.25cm}\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Aussage (4)}\hspace{2cm}\mfbox{$d(dx_I)=d(1\cdot dx_I)=d1\wedge dx_I=0$}
\end{array}\vspace{-0.6cm}\]
\end{proof}

% Ende 13. Vorlesung


Zudem gilt auch folgender Satz:

\begin{satz}\label{satz:d-kommutiert-mit-varphi}
Es seien $U\subset \R^m$ und $V\subset \R^n$ offenen Mengen und es sei $\Theta\colon V\to U$ eine glatte Abbildung. F\"ur jede glatte $k$-Form $\omega$ auf $U$ gilt dann
\[ d(\Theta^*\omega)\,\,=\,\, \Theta^*(d\omega).\]
Die analoge Aussage gilt auch f\"ur offene Teilmengen $U\subset H_m$ und $V\subset H_n$.
\end{satz}

Der Satz besagt also, dass folgendes Diagramm von Abbildungen kommutiert:\footnote{D.h.\ die Verkn\"upfung der Abbildung oben mit der Abbildung rechts ergibt die Verkn\"upfung der
Abbildung links und der Abbildung unten.}
\[ \xymatrix@R0.6cm{ \Omega_l(U)\ar[d]^d\ar[r]^{\Theta^*} & \Omega_l(V)\ar[d]_d\\ \Omega_{l+1}(U)\ar[r]^{\Theta^*} & \Omega_{l+1}(V).}\]

\begin{beispiel}
Im Beweis von Satz~\ref{satz:d-kommutiert-mit-varphi} werden wir sehen, dass f\"ur eine 0-Form $\omega$ die Aussage eine Umformulierung der \"ublichen Kettenregel ist.
\end{beispiel}

\begin{proof}
Es seien $U\subset \R^m$ und $V\subset \R^n$ offene Mengen und es sei $\Theta=(\Theta_1,\dots,\Theta_m)\colon V\to U$ eine glatte Abbildung.

Wir betrachten zuerst den Spezialfall einer 0-Form. Es sei also $f\colon U\to \R$ eine glatte Funktion. Wir bezeichnen mit $dx_1,\dots,dx_m$ die \"ublichen 1-Formen auf $\R^m$ und wir bezeichnen mit $dy_1,\dots,dy_n$ die \"ublichen 1-Formen auf $\R^n$. Wir machen nun noch zwei  Vorbemerkungen:
\begin{enumerate}
\item f\"ur eine Funktion $g\colon U\to \R$ folgt sofort aus den Definitionen, folgende Gleichheit von 1-Formen auf $V$:
\[ \Theta^*(g\cdot dx_i)\,\,=\,\, (g\circ \Theta)d\Theta_i.\]
\item auf Seite~\pageref{bem:dachprodukt-funktoriell} hatten wir schon erw\"ahnt, dass f\"ur beliebige Differentialformen $\alpha$ und $\beta$ auf $U$ die Gleichheit 
\[ \Theta^*(\alpha \wedge \beta)\,\,=\,\,\Theta^*\alpha\wedge \Theta^*\beta\]
gilt.
\end{enumerate}
Dann gilt
\[ \begin{array}{rll} d(\Theta^*f)\,\,=\,\,d(f\circ \Theta)&=\,\,\tmsum{j=1}{n}\tmfrac{\partial (f\circ \Theta)}{\partial y_j} dy_j&=\,\, 
\tmsum{j=1}{n}\,\,\tmsum{i=1}{m}\Big(\tmfrac{\partial f}{\partial x_i}\circ \Theta\Big)\cdot \tmfrac{\partial \Theta_i}{\partial y_j}\,\, dy_j\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-2.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:berechnung-totale-differential} angewandt auf $f\circ \Theta$}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Kettenregel}\\[0.1cm]
&=\tmsum{i=1}{m}\Big(\tmfrac{\partial f}{\partial x_i}\circ \Theta\Big)d\Theta_i&=
\Theta^*\Big(\tmsum{i=1}{m}\tmfrac{\partial f}{\partial x_i}dx_i\Big)\,\,=\,\,\Theta^*(df).\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow\hspace{3.15cm}\uparrow \\
&\hspace{-2.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:berechnung-totale-differential} angewandt auf $\Theta_i$}
&\hspace{-1cm}\mfbox{siehe Vorbemerkung (1)}\hspace{0.4cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:berechnung-totale-differential}}
\end{array}\]
Wir haben damit diesen Spezialfall bewiesen.

Es sei nun $\omega$ eine beliebige glatte $k$-Form. Wir verwenden die Notation von Seite~\pageref{notation:dxi} und wir schreiben
\begin{align*} \begin{array}{rcl}
\hspace{5.5cm} \omega&=&\tmsum{|I|=k}{}f_Idx_I.
\intertext{Unter Verwendung der Vorbemerkungen (1) und (2) erhalten wir, dass}
\Theta^*\omega&=&\tmsum{|I|=k}{}(f_I\circ \Theta) d\Theta_I,\end{array}
\end{align*}
wobei $d\Theta_I=d\Theta_{i_1}\wedge \dots\wedge d\Theta_{i_k}$. 
Wir berechnen nun, dass
\[ \begin{array}{rll} d(\Theta^*\omega)&=\,\,\tmsum{|I|=k}{} d(f_I\circ \Theta)\wedge d\Theta_I&=\,\,
\tmsum{|I|=k}{} \Theta^*(df_I)\wedge \Theta^*(dx_I)\\[-0.3cm]
&&\uparrow\\
&&\hspace{-0.5cm}\mfbox{der obige Spezialfall einer 0-Form}\\
&=\,\,\Theta^*\Big(\tmsum{|I|=k}{} df_I\wedge dx_I\Big)&=\,\,\Theta^*(d\omega).\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Vorbemerkung (2)}\end{array}\vspace{-0.6cm}\]
\end{proof}



Wir wollen nun das Differential von Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten ein\-f\"uhren.
Die Idee, wie \"ublich, ist dabei die Betrachtung von Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten mithilfe von Karten auf den oben behandelten Fall von Differentialformen auf offenen Teilmengen von $\R^k$ und auf offenen Teilmengen von $H^k$ zur\"uckzuf\"uhren.

Es sei also $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit und es sei  $\omega\in \Omega_l(M)$. Es sei zuerst $\Phi\colon U\to V$ eine Karte f\"ur $M$ von Typ (i).  Wir bezeichnen mit $\Psi\colon V\to U$ die Umkehrabbildung von $\Phi$.\label{def:differential-mit-karte}
Dann ist $\Psi^*\omega$ eine $l$-Form auf $V\cap E_k$, also auf einer offenen Teilmenge von $E_k=\R^k$.
Wir definieren nun
\[ d\omega|_{U\cap M}\,\,:=\,\, \Phi^* \left(d(\Psi^*\omega)\right).\]
Es ist eventuell hierzu hilfreich folgendes Diagramm zu betrachten
\[ \xymatrix@R0.6cm{ \Omega_l(U\cap M)\ar[r]\ar[d]^{\Psi^*} &\Omega_{l+1}(U\cap M) \\ \Omega_l(V\cap E_k)\ar[r]^-d & \ar[u]^{\Phi^*} \Omega_{l+1}(V\cap E_k).}\]
Wir definieren also die obige Abbildung mithilfe der anderen drei Abbildungen.
Ganz analog definieren wir auch $d\omega|_U$ f\"ur Karten $\Phi\colon U\to V$ von Typ (ii). 
Wir haben also jetzt $d\omega$ auf den Definitionsbereichen von Karten  von $M$ definiert. 

Wir m\"ussen nun noch zeigen, dass $d\omega$ wohl-definiert ist. Genauer gesagt  m\"ussen wir  folgendes Lemma beweisen.

\begin{lemma}
Es sei  $M$ eine $k$-dimensionale  Untermannigfaltigkeit und es sei  $\omega\in \Omega_l(M)$. Es seien   $\Phi\colon U\to V$ und $\widetilde{\Phi}\colon \widetilde{U}\to \widetilde{V}$ zwei Karten f\"ur $M$ mit Umkehrabbildungen $\Psi$ und $\widetilde{\Psi}$. Dann gilt auf $U\cap \widetilde{U}$
\[  \Phi^* \left(d(\Psi^*\omega)\right)\,\,=\,\, \widetilde{\Phi}^* \big(d\big(\widetilde{\Psi}^*\omega\big)\big).\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Der Einfachheit halber betrachten wir nur den Fall, dass sowohl $\Phi$ als auch $\widetilde{\Phi}$ Karten von Typ (i) sind. 
Wir k\"onnen o.B.d.A.\ annehmen, dass $U=\widetilde{U}$. Wir bezeichnen mit $\Theta$ den Diffeomorphismus $\Theta:=\widetilde{\Phi}\circ {\Psi}\colon V\cap E_k\to \widetilde{V}\cap E_k$. Dann gilt
\[ \begin{array}{rlll} \Phi^* \big(d(\Psi^*\omega)\big)&=\,\, 
 \Phi^* \big(d\big({\Psi^*}(\widetilde{\Phi}^*\widetilde{\Psi}^*\omega)\big)\big)&=\,\, 
  \Phi^* \big(d\big(\Theta^*(\widetilde{\Psi}^*\omega)\big)\big)&=\,\,
  \Phi^* \big(\Theta^*d\big(\widetilde{\Psi}^*\omega\big)\big)\\
 &\uparrow&&\uparrow\\
 &\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $\widetilde{\Phi}^*\circ \widetilde{\Psi}^*=\big(\widetilde{\Psi}\circ \widetilde{\Phi}\big)^*=\operatorname{id}$}&&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:d-kommutiert-mit-varphi}}\\[0.1cm]
 &=\,\, \Phi^*\big(\Psi^*\big(\widetilde{\Phi}^*\big(\widetilde{\Psi}^*\omega\big)\big)\big)&=\,\,\widetilde{\Phi}^* \big(d\big(\widetilde{\Psi}^*\omega\big)\big).\vspace{-0.6cm}\end{array}\]
\end{proof}

\begin{beispiel}
 Es sei $\omega\in \Omega_0(M)$, dies bedeutet, dass $\omega$ eine glatte Funktion auf $M$ ist. In diesem Fall ist $d\omega \in \Omega_1(M)$ genau die 1-Form, 
welche wir in Kapitel~\ref{section:pfaffsche} eingef\"uhrt hatten.\footnote{Es gen\"ugt diese Aussage zu \"uberpr\"ufen, f\"ur $0$-Formen $\omega$ deren Tr\"ager in einer Karte $\Phi\colon U\to V$ enthalten ist. In diesem Fall gilt f\"ur jedes $v\in T_PM$ mit $P\in U\cap M$, dass 
\[ \begin{array}{rllllll} d\omega(v)\hspace{-0.2cm}&=\Phi^*(d(\Psi^*\omega))(v)\hspace{-0.2cm}&=d(\Psi^*\omega)(\Phi_*v)\hspace{-0.2cm}&=D(\Psi^*\omega)(\Phi_*v)\hspace{-0.2cm}&=
D(\omega\circ \Psi)(\Phi_*v)\hspace{-0.2cm}&=
D\omega(\Psi_*\Phi_*v)\hspace{-0.2cm}&=D\omega_P(v).\\
&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Definition von $d$}&\hspace{-0.3cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:dualraum-tautologie-2}}
&\hspace{-0.6cm}\mfbox{da $\Psi^*\omega=\omega\circ \Psi$}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{da $d=D$ f\"ur}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Kettenregel}&\hspace{-0.5cm}\mfbox{da $\Psi\circ\Phi=\operatorname{id}$}
 \\
&\hspace{-0.8cm}\mfbox{einer $k$-Form auf $M$}&&&\hspace{-0.7cm}\mfbox{Funktion auf $\R^k$}\end{array}\]
}\end{beispiel}

Folgender Satz folgt leicht aus den Aussagen von  Satz~\ref{satz:regelnd}  und  Satz~\ref{satz:d-kommutiert-mit-varphi}.

\begin{satz}\label{satz:eigenschaften-von-d-auf-untermannigfaltigkeit}
Es sei  $M$ eine  Untermannigfaltigkeit.
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item Es gelten die gleichen Aussagen wie in Satz~\ref{satz:regelnd}, insbesondere gilt f\"ur $\omega\in \Omega_l(M)$ und $\sigma\in \Omega_m(M)$ die Produktregel 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{5.7cm} d(\omega\wedge \sigma)&=&d\omega \wedge \sigma+(-1)^l w\wedge d\sigma.
\intertext{Zudem gilt f\"ur alle $\omega \in \Omega_l(M)$, dass}
d(d\omega)&=&0.\end{array}\end{align*} 
\item Es sei $\varphi\colon M\to N$ eine glatte Abbildung zwischen zwei  Untermannigfaltigkeiten. F\"ur jede glatte $k$-Form $\omega$ auf $N$ gilt 
\[ d(\varphi^*\omega)\,\,=\,\, \varphi^*(d\omega).\hspace{0.25cm}\]
\end{enumerate}
\end{satz}


Wir betrachten nun noch ein ausf\"uhrlicheres Beispiel:  Es sei $M$ 
eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$.  Zudem sei $F=(F_1,\dots,F_n)\colon M\to \R^n$ ein glattes Vektorfeld auf $M$.
Wir hatten in Kapitel~\ref{section:diffaufumf} gesehen, dass
 $F$ eine $(n-1)$-Form $\delta(F)$ auf $M$ wie folgt definiert:
Wir ordnen $P$ in $M$ die alternierende $(n-1)$-Form
\[ \begin{array}{rcl} (T_PM)^{n-1}&\to & \R \\ (v_1,\dots,v_{n-1})&\mapsto& \det\big(F(P)\,v_1\,\dots\,v_{n-1}\big) \end{array} \]
zu. Wir wollen nun die $n$-Form $d\delta(F)$ auf $M$ bestimmen.

Wir m\"ussen dazu erst einmal $\delta(F)$ in die Form bringen, auf die wir die Definition des Integrals anwenden k\"onnen. Wir verwenden dabei folgende hilfreich  Standardnotation. 
F\"ur $i=1,\dots,n$ schreiben wir
\[ dx_1\wedge \dots \wedge \widehat{dx_i}\wedge \dots \wedge dx_n\,:=\,
dx_1\wedge \dots dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \dots \wedge dx_n.\]
Wir k\"onnen nun $\delta(F)$ umschreiben.

\begin{behauptung}
Es ist
\[ \delta(F) \,\,=\,\, \lmsum{i=1}{n}(-1)^{i-1} F_i\cdot dx_1\wedge \dots \wedge \widehat{dx_i}\wedge \dots \wedge dx_n.\]
\end{behauptung}

Wir m\"ussen nur zeigen, dass die linke Seite und die rechte Seite auf beliebige Vektoren $v_1,\dots,v_{n-1}$ ausgewertet das gleiche Ergebnis liefern. Dies ist in der Tat der Fall, denn  f\"ur $v_i=(v_{i1},\dots,v_{in}), i=1,\dots,n-1$ gilt:\label{berechnung:delta(f)}
\[ \begin{array}{rl} \delta(F)(v_1,\dots,v_{n-1})&=\,\,\det\mbox{${\begin{pmatrix} F_1&v_{11}&\dots & v_{n-1,1} \\[-0.2cm] \vdots&\vdots&&\vdots \\
F_n&v_{1n}&\dots &v_{nn}\end{pmatrix}}$}\,=\,\lmsum{i=1}{n} (-1)^{i-1}F_i\det\left(\hspace{-0.2cm}\begin{array}{c}v_1\,\dots\,v_{n-1} \\\opnormal{mit $i$-ter Zeile}\\ \operatorname{entfernt}\end{array}\hspace{-0.2cm}\right)\\[0.1cm]
&=\,\,\lmsum{i=1}{n} (-1)^{i-1}F_i \cdot (dx_1\wedge \dots \wedge \widehat{dx_i}\wedge \dots \wedge dx_n)(v_1,\dots,v_{n-1}).\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mfbox{folgt dabei sofort aus der Definition von $dx_j$ und der Definition des Dachprodukts}\end{array}\]
Wir haben damit die Behauptung bewiesen. 

Es folgt nun, dass
\[ \begin{array}{rl}d\delta(F)&=\,\,\setminussum{i=1}{n} d\big((-1)^{i-1}F_i \cdot dx_1\wedge \dots \wedge \widehat{dx_i}\wedge \dots \wedge dx_n\big)\\[2mm]
&=\,\,\setminussum{i=1}{n} (-1)^{i-1}dF_i\wedge  dx_1\wedge \dots \wedge \widehat{dx_i}\wedge \dots \wedge dx_n\\[2mm]
&=\,\,\setminussum{i=1}{n} (-1)^{i-1}\Big(\setminussum{j=1}{n} \tmfrac{\partial F_i}{\partial x_j}dx_j \Big)\wedge  dx_1\wedge \dots \wedge \widehat{dx_i}\wedge \dots \wedge dx_n\\[-2mm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:berechnung-totale-differential}}\\[1mm]
&=\,\,\setminussum{i=1}{n}(-1)^{i-1}\tmfrac{\partial F}{\partial x_i}(-1)^{i-1}   dx_1\wedge \dots \wedge dx_{i-1}\wedge dx_i\wedge dx_{i+1}\wedge \dots \wedge dx_n\\[-2mm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mfbox{denn $dx_j\wedge dx_j=0$ und $dx_j\wedge dx_k=-dx_k\wedge dx_j$}\\[1mm]
&=\,\,\operatorname{div}(F) \cdot dx_1\wedge \dots \wedge dx_n.\end{array} \]
Zusammenfassend erhalten wir also folgendes Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:d-delta-f}
Es sei $M\subset \R^n$ eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit und $F$ ein glattes Vektorfeld auf $M$. Dann gilt
\[d\delta(F) \,\,=\,\,\operatorname{div} F\,dx_1\wedge \dots \wedge dx_n.\]
\end{lemma}

Wir beschlie\ss en das Kapitel mit folgendem Lemma. 

\begin{lemma}\label{lem:df=0-lokal-konstant}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit. 
Die glatten Funktionen $f\colon M\to \R$ mit $df=0$ sind gerade die  lokal konstanten\footnote{Eine Funktion $f\colon M\to \R$ hei\ss t \emph{lokal konstant}, wenn es zu jedem Punkt $P\in M$ eine offene Umgebung $U$ gibt, so das $f|_U$ konstant ist.} Funktionen auf $M$. 
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei $f\colon M\to \R$ eine glatte Funktion auf einer $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $M$.
Es sei  $\Phi\colon U\to V$ eine Karte, wobei $U$ und $V$ zusammenh\"angend ist. Dann gilt
\begin{enumerate}
\item $f$ ist konstant auf $U$, genau dann, wenn $f\circ \Phi^{-1}$  konstant auf $V$ ist,
\item $df=0$ auf $U$, genau dann, wenn $d(f\circ\Phi^{-1})=0$.\footnote{Diese Aussage folgt aus Satz~\ref{satz:eigenschaften-von-d-auf-untermannigfaltigkeit} (2).}
\end{enumerate}
Es gen\"ugt nun die Behauptung f\"ur Funktionen auf offenen Teilmengen von $\R^k$ zu beweisen.
F\"ur eine konstante Funktion $g\colon V\to \R$ ist nat\"urlich $dg=0$.
Umgekehrt, sei  $g\colon V\to \R$ eine glatte Funktion mit $dg=0$. 
Aus Lemma~\ref{lem:berechnung-totale-differential} folgt, dass die partiellen Ableitungen von $g$ verschwinden. Lemma~8.3 aus Analysis~II besagt nun, dass $g$ auch schon konstant ist.
\end{proof}

\clearpage

\section{Der Satz von Stokes}

%======================================================
\subsection{Formulierung des Satz von Stokes}
Wir haben nun alle Vorbereitungen f\"ur die Formulierung des Satzes von Stokes getroffen. Der Satz von Stokes lautet  wie folgt:

\begin{satz}\textbf{\emph{(Satz von Stokes)}}\label{satz:stokes}\label{satz:stokes-geschlossen}
Es sei $M$ eine orientierte $k$-dimensionale kompakte Untermannigfaltigkeit
 und es sei $\omega\in \Omega_{k-1}(M)$. Dann gilt
\[ \bint\limits_M d\omega \,\,=\,\,\bint\limits_{\partial M}\omega.\]
Insbesondere, wenn $M$ geschlossen\footnote{Zur Erinnerung, ``geschlossene Untermannigfaltigkeit'' bedeutet eine kompakte Untermannigfaltigkeit $M$ mit $\partial M=\emptyset$.} ist, dann gilt\footnote{In diesem Fall ist also $\partial M=\emptyset$, also verschwindet das Integral auf der rechten Seite der obigen Gleichheit.}
\[ \bint\limits_M d\omega \,\,=\,\,0.\hspace{0.6cm}\]
\end{satz}


Unser Ziel war es, eine Verallgemeinerung  von Satz
 \ref{satz:integral-von-totalem-differential2} und vom  Gau\ss schen Integralsatz zu finden.
 Es ist offensichtlich\footnote{Hierbei verwenden wir die Konvention aus Kapitel~\ref{section:randor} f\"ur die Orientierung des Randes
 einer orientierten eindimensionalen Untermannigfaltigkeit}\footnote{Diese Aussage ist zumindest offensichtlich, wenn man noch den \"Uberblick \"uber alle Definitionen und Konventionen besitzt.}, dass der Satz von Stokes  im Falle $k=1$ genau der Aussage von Satz~\ref{satz:integral-von-totalem-differential2}
 entspricht. Wir werden nun zeigen, dass wir den
 Gau\ss schen Integralsatzes aus dem Satz von Stokes  herleiten k\"onnen.

Es sei also $M\subset \R^n$ eine kompakte $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand.
Wir bezeichnen mit $\nu$ das \"au\ss ere Einheitsnormalenfeld auf $\partial M$.
Es sei $F\colon M\to \R^n$ ein glattes Vektorfeld.
Wir m\"ussen zeigen, dass
\[ \bint\limits_M \operatorname{div} F\,\, =\,\, \bint\limits_{\partial M} F\cdot \nu.\]

Wie in Kapitel~\ref{section:diffaufumf} betrachten wir die zu $F$ zugeh\"orige  $(n-1)$-Form $\delta(F)$ auf $M$.
Zur Erinnerung, f\"ur  $P$ ist $\delta(F)_P$  die alternierende $(n-1)$-Form
\[ \begin{array}{rcl} (T_PM)^{n-1}&\to & \R \\ (v_1,\dots,v_{n-1})&\mapsto& \det(F(P)\,v_1\,\dots\,v_{n-1}). \end{array} \]
Es folgt nun, dass
\[ \begin{array}{rllll} \bint\limits_M\operatorname{div} F&=\,\,\bint\limits_M\operatorname{div} F\,\,dx_1\wedge \dots \wedge \,dx_n&=\,\,\bint\limits_Md\delta(F)& =\,\,\bint\limits_{\partial M}\delta(F)
&=\,\,\bint\limits_{\partial M} F\cdot \nu.\\[-0.2cm]
&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:integration-n-form-auf-rn}}
&\hspace{-1cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:d-delta-f}}&\hspace{-0.9cm}\mfbox{Satz von Stokes}&\hspace{-0.2cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:intrand}}
\end{array} \]
Wir haben damit gezeigt, dass der Satz von Stokes insbesondere den Gau\ss schen Integralsatz~\ref{satz:gauss} beinhaltet.\footnote{Wenn man genau hinschaut, dann stimmt das nicht ganz, der Gau\ss sche Integralsatz~\ref{satz:gauss} wurde f\"ur stetig differenzierbare Vektorfelder formuliert und bewiesen, w\"ahrend wir den Satz von Stokes der Einfachheit halber nur f\"ur glatte Differentialformen formuliert hatten. Der Satz von Stokes gilt aber auch ganz analog, mit dem gleichen Beweis, f\"ur stetig differenzierbare Differentialformen.}


%======================================================
\subsection{Beweis vom Satz von Stokes}

Wir wollen in diesem Kapitel den Satz von Stokes beweisen.
Wie f\"ur den Beweis vom Gau\ss schen Integralsatz wollen wir dazu erst einmal einen Spezialfall beweisen.

F\"ur einen offenen Quader $Q\subset H_n\subset \R^n$\footnote{Wir sagen $Q\subset H_n$ ist ein offener Quader, wenn es einen offenen Quader in $\R^n$ gibt, dessen Durchschnitt mit $H_n$ gerade $Q$ ist.} schreiben wir $\partial_0 Q=Q\cap H_n$. 
Folgendes Lemma ist streng genommen kein Spezialfall vom Satz von Stokes, aber
wir werden den Beweis vom Satz von Stokes problemlos auf dieses Lemma zur\"uckf\"uhren.

\begin{lemma}\label{satz:stokes-fuer-quader}
Es sei $Q$ ein offener Quader in $H_n$  und es sei $\omega$ eine glatte $(n-1)$-Form auf $Q$, welche auf $\partial_1Q:=\partial \overline{Q}\setminus \partial_0Q$ verschwindet. Dann gilt
\[ \bint\limits_Q d\omega \,\,=\,\,\bint\limits_{\partial_0 Q} \omega.\]
\end{lemma}


\begin{bemerkung}
Wir hatten im vorherigen Kapitel gesehen, dass der Satz von Stokes f\"ur $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeiten von $\R^n$ gerade dem Gau\ss schen Integralsatz~\ref{satz:gauss} entspricht. Genau das gleiche Argument erlaubt es uns die Aussage von  Lemma~\ref{satz:stokes-fuer-quader} auf den  Gau\ss schen Integralsatz \ref{satz:gaussstempel} f\"ur Stempel zur\"uckzuf\"uhren. Wir werden jedoch gleich sehen, dass man Lemma~\ref{satz:stokes-fuer-quader} auch problemlos direkt beweisen kann, und der Beweis deutlich einfacher ist, als der etwas umst\"andliche Beweis vom Gau\ss schen Integralsatz \ref{satz:gaussstempel} f\"ur Stempel.
\end{bemerkung}

\begin{proof}
Der Einfachheit halber beweisen wir das Lemma f\"ur $n=2$. Der allgemeine Fall wird ganz genauso bewiesen. 

Wir schreiben $\overline{Q}=[a,b]\times [c,d]$ und $\omega=f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy$. 
Nach Voraussetzung k\"onnen wir $f(x,y)$ und $g(x,y)$ stetig auf den Quader $\overline{Q}$ fortsetzen, so dass $f(x,y)$ und $g(x,y)$  auf $\partial_1Q$ verschwinden, d.h.\ es ist $f(x,d)=g(x,d)=0$ f\"ur alle $x\in [a,b]$ und $f(a,y)=g(a,y)=g(b,y)=f(b,y)=0$ f\"ur alle $y\in [c,d]$.  

Wir betrachten im Folgenden den Fall, dass $c=0$. Der Fall, dass $c>0$ ist wird ganz \"ahnlich bewiesen. Es ist nun
\[ \begin{array}{rl} \bbint\limits_Q d\omega&=\,\, \bbint\limits_{\overline{Q}}\Big(\Big(\tmfrac{\partial f}{\partial x}\,dx+\tmfrac{\partial f}{\partial y}\, dy\Big)\wedge \,dx\,+\,
\Big(\tmfrac{\partial g}{\partial x}\,dx+\tmfrac{\partial g}{\partial y}\, dy\Big)\wedge \,dy\Big)\\[-0.5cm]
&\uparrow\\[-0.4cm]
&\hspace{0.047cm}|\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Definition von $d\omega$ und $\overline{Q}\setminus Q$ ist eine Nullmenge}
\end{array}\]
\[ \begin{array}{rl}
&=\,\, \bbint\limits_{[a,b]\times [0,c]}-\tmfrac{\partial f}{\partial y}\, dx\wedge \,dy\,\,+\,\,
\bbint\limits_{[a,b]\times [0,c]}\tmfrac{\partial f}{\partial y}\, dx\wedge \,dy\\[-0.5cm]
&\uparrow\\[-0.4cm]
&\hspace{0.048cm}|\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $dx\wedge dx=dy\wedge dy=0$ und $dy\wedge dx=-dx\wedge dy$}\\
&=\,\, \bbint\limits_{x=a}^{x=b}\bbint\limits_{y=0}^{y=d}-\tmfrac{\partial f}{\partial y}\, dy \,dx\,\,+\,\,
\bbint\limits_{y=0}^{y=c}\bbint\limits_{x=a}^{x=b}\tmfrac{\partial g}{\partial x}\, dx \,dy\\[-0.5cm]
&\uparrow\\[-0.4cm]
&\hspace{0.049cm}|\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~
\ref{lem:integration-n-form-auf-rn} und Satz~\ref{satz:fubini} von Fubini}\\
&=\,\, \bbint\limits_{x=a}^{x=b}\big[\underset{=0}{\underbrace{f(x,d)}}-f(x,0)\big]\,dx\,\,+\,\,
\bbint\limits_{y=0}^{y=c}\big[\underset{=0}{\underbrace{g(b,y)}}-\underset{=0}{\underbrace{g(a,y)}}\big] \,dy\\
&=\,\, \bbint\limits_{x=a}^{x=b}f(x,0)\,dx\,\,=\,\,\bint\limits_{\partial_0 Q} f\,dx+g\, dy\,\,=\,\,\bint\limits_{\partial_0 Q} \omega.\\[-0.3cm]
&\hspace{3.2cm}\uparrow\\[-0.4cm]
&\hspace{3.249cm}|\\
&\hspace{2.8cm}\mfbox{denn $\partial_0Q=[a,b]\times 0$ und $dy(1,0)=0$}
\end{array}
\]
Wir haben damit die gew\"unschte Gleichheit bewiesen.
\end{proof}


Wir wenden uns nun dem eigentlichen Beweis vom Satz von Stokes zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:stokes}]
Es sei also $M$ eine orientierte $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ und es sei $\omega\in \Omega_{k-1}(M)$. Wir m\"ussen zeigen, dass
\[ \bint\limits_M d\omega \,\,=\,\,\bint\limits_{\partial M}\omega.\]
Ganz analog zum Beweis vom Gau\ss schen Integralsatz wollen wir nun den allgemeinen Fall auf den oben betrachteten Spezialfall zur\"uckf\"uhren. 

Satz~\ref{satz:cinfty-zerlegung-der-eins} besagt, dass  es einen endlichen Atlas  $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i=1,\dots,r}$ mit orientierungserhaltenden Karten sowie glatte Funktionen $z_1,\dots,z_r\colon M\to [0,1]$ gibt, welche folgende Eigenschaften erf\"ullen:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item f\"ur alle $i\in \{1,\dots,r\}$ gilt $\mbox{Tr\"ager}(z_i)\subset U_i\cap M$,
\item es ist $z_1+\dots+z_r=1$,
\item f\"ur alle $i\in \{1,\dots,r\}$ gilt 
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item $\Phi_i(U_i\cap M)\subset H_k$,
\item  die Menge $V_i\cap H_k=\Phi_i(U_i\cap M)$ ist ein offener Quader in $H_k$,
\item die Funktion $z_i\circ\Phi_i^{-1}\colon V_i\cap H_k\to \R$ verschwindet auf  $\partial_1 (V_i\cap H_k)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Es ist nun $\omega=z_1\omega+\dots+z_r\omega$. Es gen\"ugt nun den Satz von Stokes f\"ur jeden Summanden $z_i\omega$ zu beweisen. Mit anderen Worten wir k\"onnen o.B.d.A.\ annehmen, dass es ein $i$ gibt, so dass $\opnormal{Tr\"ager}(\omega)\subset U_i\cap M$. 
Es gilt nun, dass
\[
 \begin{array}{rlll} 
 &\hspace{-1.5cm}\mfbox{denn $\opnormal{Tr\"ager}(\omega)\subset U_i\cap M$} &&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:eigenschaften-von-d-auf-untermannigfaltigkeit}}\\
 &\downarrow&&\downarrow\\[-0.2cm]
  \bint\limits_Md\omega &=\,\,\bint\limits_{U_i\cap M}d\omega &=\,\,\bint\limits_{V_i\cap H_k} \Psi^*(d\omega )&=\,\,\bint\limits_{V_i\cap H_k} d(\Psi^*\omega)\\[-0.25cm]
 &&\uparrow\\
 &&\hspace{-2.5cm}\mfbox{Definition des Integrals einer Form}\\
 &&\downarrow\\[-0.15cm]
 &=\,\,\bint\limits_{\partial_0(V_i\cap H_k)} \Psi^*\omega&=\,\, \bint\limits_{U_i\cap \partial M}\omega&=\,\,\bint\limits_{\partial M}\omega.\\[-0.3cm]
&\uparrow&&\uparrow\\
&\hspace{-2.2cm}\mfbox{nach Lemma~\ref{satz:stokes-fuer-quader}, hierbei verwenden wir,}&&\hspace{-1cm}\mfbox{denn $\opnormal{Tr\"ager}(\omega)\subset U_i\cap M$}\\[-0.1cm]
&\hspace{-2.3cm}\mfbox{dass $\Psi^*\omega$ auf $\partial_1(V_i\cap H_k)$ verschwindet}\end{array} \]
Wir haben damit den Satz von Stokes bewiesen.
\end{proof}


\begin{bemerkung}
Wenn man den Beweis vom Satz von Stokes durchliest, und wenn man sich \"uberzeugt hat, dass der Beweis von Lemma~\ref{satz:stokes-fuer-quader} ganz einfach ist, dann dr\"angt sich der Verdacht auf, dass das ganze eigentlich elementar ist. Insbesondere ist der Beweis vom Satz von Stokes deutlich einfacher als der Beweis vom Gau\ss schen Integralsatz. Woran liegt das? Der Grund ist die harmlos ausschauende, aber eigentlich geniale Eigenschaft des Differentials, dass es mit glatten Abbildungen kommutiert, d.h.\ dass in unserem Fall gilt $d(\Psi^*\omega)=\Psi^*(d\omega)$. Diese Eigenschaft erlaubt es uns den Beweis auf den einfachsten Fall, n\"amlich den Fall, dass der Rand ``horizontal'' ist, zur\"uckzuf\"uhren.  Diesen Spezialfall konnten wir  problemlos explizit nachweisen.
\end{bemerkung}

% Ende 14. Vorlesung 

%======================================================
\subsection{Der klassische Satz von Stokes und der Satz von Green}
Es sei im Folgenden $F=(F_x,F_y,F_z)$ ein glattes Vektorfeld auf $\R^3$. Auf Seite~\pageref{def:rotation} hatten wir die \emph{Rotation} von $F$ definiert als das Vektorfeld
\[ \operatorname{rot} F\,\,:=\,\,\left( \begin{array}{r}\frac{\partial F_z}{\partial y}- \frac{\partial F_y}{\partial z}\\[0.1cm]
-\frac{\partial F_z}{\partial x}+ \frac{\partial F_x}{\partial z}\\[0.1cm]
\frac{\partial F_y}{\partial x}- \frac{\partial F_x}{\partial y}\end{array} \right).\]
Es sei nun $M\subset \R^3$ eine kompakte orientierte Fl\"ache. Wir definieren
\[  \bint\limits_M \operatorname{rot} F\,\,:=\,\,\begin{array}{c} \mbox{Integral der 2-Form $\delta(F)$, welche f\"ur $P\in M$ gegeben ist durch}\\
\begin{array}{rcl} T_PM\times T_PM&\to & \R \\ (v_1,v_2)&\mapsto& \det\big(\operatorname{rot} F(P)\,\,v_1\,\,v_2\big).\end{array}\end{array} \]
Zudem definieren wir
\[ 
 \bint\limits_{\partial M}F\,\,:=\,\,\begin{array}{c} \mbox{Integral der 1-Form $\omega(F)$, welche f\"ur $P\in \partial M$ gegeben ist durch}\\
\begin{array}{rcl} T_P{\partial M}&\to & \R \\ v&\mapsto& F(P)\cdot v. \end{array}\end{array}\]
Der klassische Satz von Stokes lautet nun wie folgt:

\begin{satz} \emph{\bf{(Klassische Satz von Stokes)}}
Es sei $M\subset \R^3$ eine kompakte orientierte Fl\"ache und  $F$ ein glattes Vektorfeld auf $\R^3$.
Dann gilt
\[ \bint\limits_M\operatorname{rot} F\,\,=\,\,\bint\limits_{\partial M} F.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Wir werden den klassischen Satz von Stokes mithilfe des allgemeinen Satz von Stokes beweisen.
Es sei also $M\subset \R^3$  eine kompakte orientierte Fl\"ache und  $F=(F_x,F_y,F_z)$ ein glattes Vektorfeld auf $\R^3$.
Wir bezeichnen mit $\omega=\omega(F)$ die $1$-Form auf $M$,
 welche f\"ur $P\in M$ gegeben ist durch
 \[ \begin{array}{rcl} T_PM&\to & \R \\ v&\mapsto &F(P)\cdot v.\end{array}  \]
Der Satz von Stokes besagt, dass
\[ \bint\limits_Md\omega\,\, =\,\,\bint\limits_{\partial M}\omega.\hspace{0.6cm}\]
Der klassische Satz von Stokes folgt nun aus den Definitionen und aus der folgenden Behauptung:

\begin{behauptung}
Wir bezeichnen mit $\eta$ die 2-Form auf $M$, welche f\"ur $P\in M$ gegeben ist durch
\[ \begin{array}{rcl} T_PM\times T_PM&\to & \R \\ (v_1,v_2)&\mapsto& \det\big(\operatorname{rot} F(P)\,v_1\,v_2\big).\end{array}  \]
Dann gilt $\eta=d\omega $.
\end{behauptung}

Es folgt sofort aus den Definitionen, dass
\[ \omega=F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz.\]
Wir berechnen  nun, dass
\[ \begin{array}{rl} d\omega \hspace{-0.2cm}&=\,\,d(F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz)\\
&=\,\,dF_x\wedge \,dx+dF_y\wedge \,dy+dF_z\wedge \,dz \\[0.1cm]
&=\left(\hspace{-0.1cm}\frac{\partial F_x}{\partial x}dx\hspace{-0.1cm}+\hspace{-0.1cm}\frac{\partial F_x}{\partial y}dy\hspace{-0.1cm}+\hspace{-0.1cm}\frac{\partial F_x}{\partial z}dz\hspace{-0.1cm}\right)\hspace{-0.1cm}\wedge\hspace{-0.1cm} \,dx\hspace{-0.1cm}+\hspace{-0.1cm}\left(\hspace{-0.1cm}\frac{\partial F_y}{\partial x}dx+\frac{ \partial F_y}{\partial y}dy+\frac{\partial F_y}{\partial z}dz\hspace{-0.1cm}\right)\hspace{-0.1cm}\wedge\hspace{-0.1cm} \,dy\hspace{-0.1cm}+\hspace{-0.1cm}\left(\hspace{-0.1cm}\frac{\partial F_z}{\partial x}dx\hspace{-0.1cm}+\hspace{-0.1cm}\frac{\partial F_z}{\partial y}dy\hspace{-0.1cm}+\hspace{-0.1cm}\frac{\partial F_z}{\partial z}dz\hspace{-0.1cm}\right)\hspace{-0.1cm}\wedge\hspace{-0.1cm} \,dz\\[-2mm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:berechnung-totale-differential}}\\
&=\,\,\left(\tmfrac{\partial F_y}{\partial x}-\tmfrac{\partial F_x}{\partial y}\right)\,dx\wedge \,dy
+\left(\tmfrac{\partial F_z}{\partial x}-\tmfrac{\partial F_x}{\partial z}\right)\,dx\wedge \,dz
+\left(\tmfrac{\partial F_z}{\partial y}-\tmfrac{\partial F_y}{\partial z}\right)\,dy\wedge \,dz.\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $dx_i\wedge dx_j=-dx_j\wedge dx_i$ und $dx_i\wedge dx_i=0$} \end{array} \]
Wir wollen nun zeigen, dass $d\omega=\eta$. Die Rechnung ist fast die gleiche wie auf Seite~\pageref{berechnung:delta(f)}, aber der Vollst\"andigkeit halber f\"uhren wir diese noch einmal durch.

Wir zeigen $d\omega=\eta$ indem wir zeigen, dass beide Seiten auf alle Vektoren die gleichen Ergebnisse liefern. Es seien also  $v_1=(v_{1x},v_{1y},v_{1z})$ und $v_2=(v_{2x},v_{2y},v_{2z})$ in $\R^3$ beliebig. Dann folgt aus der obigen Rechnung, dass
\[ \begin{array}{rcl}d\omega\Bigg(\hspace{-0.1cm}\mbox{$\footnotesize{\begin{pmatrix} v_{1x}\\v_{1y}\\v_{1z}\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} v_{2x}\\v_{2y}\\v_{2z}\end{pmatrix}}$}\hspace{-0.1cm}\Bigg)\hspace{-0.1cm}&=&
\,\,\,\,\left(\tmfrac{\partial F_y}{\partial x}-\tmfrac{\partial F_x}{\partial y}\right)(v_{1x}v_{2y}-v_{1y}v_{2x})\\
&&+\left(\tmfrac{\partial F_z}{\partial x}-\tmfrac{\partial F_x}{\partial z}\right)(v_{1x}v_{2z}-v_{1z}v_{2x})\\[2mm]
&&+\left(\tmfrac{\partial F_z}{\partial y}-\tmfrac{\partial F_y}{\partial z}\right)(v_{1y}v_{2z}-v_{1z}v_{2y})\\[2mm]
&=&\det\mbox{$\footnotesize{\left( \hspace{-0.25cm}\begin{array}{rrr} \frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}&v_{1x}&v_{2x}\\[2mm]
-\frac{\partial F_z}{\partial x}+\frac{\partial F_x}{\partial z}&v_{1y}&v_{2y}\\[2mm]
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}&v_{1z}&v_{2z}\end{array}\hspace{-0.15cm}\right)}$}\,=\, \det\big(\operatorname{rot} F(P)\,v_1\,v_2\big)
\,=\,\eta(v_1,v_2).\end{array}\]
Wir haben damit die Behauptung bewiesen.
\end{proof}

Der folgende Satz von Green ist ebenfalls ein klassischer Spezial vom Satz von Stokes.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Satz von Green)}}
Es sei $M\subset \R^2$ eine kompakte 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit und es seien $u,v\colon M\to \R$ glatte Funktionen. Dann gilt\footnote{Hierbei betrachten wir $\partial M$ als orientierte Untermannigfaltigkeit mit der Konvention, welche wir auf Seite~\ref{def:orientierung-von-rand} eingef\"uhrt hatten.}
\[ \bbbint\limits_{\partial M} \underset{\scriptsize{\begin{array}{c}\mbox{glatte $1$-Form}\\\mbox{auf $\partial M$}\end{array}}}{\underbrace{\big( v\,dx+u\,dy)}} \,\,=\,\, \bbbint\limits_M \Big(\tmfrac{\partial u}{\partial x}-\tmfrac{\partial v}{\partial y}\Big)\,dx\,dy.\]
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Der Satz von Green kann dazu verwendet werden, mit einem sogenannten Planimeter den Fl\"acheninhalt einer Teilmenge von $\R^2$ nur durch Abfahren der Au\ss enlinie zu bestimmen. Details dazu kann man auf
\[ \mbox{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Planimeter}}\]
finden.
\end{bemerkung}

\begin{proof}
Es sei $M\subset \R^2$ eine kompakte 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit und es seien $u,v\colon M\to \R$ glatte Funktionen. Dann gilt
\[
\begin{array}{rllll}\bbint\limits_{\partial M} v\,dx+u\,dy&=\,\, \bbint\limits_M d(v\,dx+u\,dy)
&=\,\, \bbint\limits_M \Big(\tmfrac{\partial u}{\partial x}-\tmfrac{\partial v}{\partial y}\Big)\,dx\wedge \,dy&=\,\, \bbint\limits_M \Big(\tmfrac{\partial u}{\partial x}-\tmfrac{\partial v}{\partial y}\Big)\,dx\,dy.\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz von Stokes}
&\hspace{-1cm}\mfbox{Definition des Differentials}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:integration-n-form-auf-rn}}\\[-0.1cm]
&&\hspace{-0.5cm}\mfbox{und Lemma~\ref{lem:berechnung-totale-differential}}\vspace{-0.7cm}
\end{array}
\]
\end{proof}


%======================================
\subsection{Anwendung auf holomorphe Funktionen}
Wir erinnern an einige Definitionen aus der Funktionentheorie.
Wir identifizieren in diesem Kapitel $\C$ mit~$\R^2$. 
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge. Eine Funktion $f\colon U\to \C$ hei\ss t  \emph{holomorph}, wenn f\"ur alle $z_0\in U$  der Grenzwert
\[ \lmfrac{d}{dz} f(z_0)\,\,:=\,\, f'(z_0)\,\,:=\,\,\lim_{z\to z_0} \lmfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,\,\in \C\]
existiert.   Wir schreiben nun $f=u+iv\colon U\to \R$, wobei  $u=\operatorname{Re}(f)$ und $v=\operatorname{Im}(f)$. In der Analysis~III hatten wir gezeigt
\[ \mbox{$f$ ist holomorph}\quad \Longleftrightarrow\quad 
\mbox{$u$ und $v$ sind glatt mit~$ \tmfrac{\partial u}{\partial x}=\tmfrac{\partial v}{\partial y}$ und $\tmfrac{\partial u}{\partial y}=-\tmfrac{\partial v}{\partial x}$.}\]
Die Gleichungen auf der rechten Seite hatten wir die  \emph{Cauchy--Riemannschen Differentialgleichungen} genannt.

F\"ur eine Kurve $\gamma\colon [a,b]\to U$ hatten wir das \emph{Wegintegral von $f$ \"uber $\gamma$} definiert als
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5cm} \bint\limits_\gamma f(z)\,dz&:=& \bbint\limits_{a}^{b} \underset{\opnormal{Multiplikation in $\C$}}{\underbrace{f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)}}\,dt\,\,\in\,\, \C.
\intertext{F\"ur $z_0\in \C$ und $r>0$ mit~$\overline{D_r(z_0)}\subset U$ definieren wir zudem}
\bint\limits_{|z-z_0|=r} f(z)\,dz&:=&\hspace{-0.2cm}\bint\limits_{\footnotesize{\begin{array}{rcl}\gamma\colon [0,2\pi]&\hspace{-0.2cm}\to\hspace{-0.2cm} &\C \\ t&\hspace{-0.2cm}\mapsto\hspace{-0.2cm}&z_0+re^{it}\end{array}}} \hspace{-0.4cm} f(z)\,dz.\end{array}\end{align*}
Wir k\"onnen nun folgenden Satz beweisen.

\begin{satz}\label{satz:cauchy-auf-scheiben}
Es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\subset \C=\R^2$. Es sei $\overline{D_r(z_0)}$ eine abgeschlossene Scheibe, welche in $U$ enthalten ist. Dann gilt
\[ \bint\limits_{|z-z_0|=r} f(z)\,dz\,\,=\,\,0.\] 
\end{satz}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{bild-von-rechteck-ist-kreis.pstex_t}
\caption{Illustration von Satz~\ref{satz:cauchy-auf-scheiben}.}
\end{center}
\end{figure}

Wir hatten diesen Satz in Analysis~III als Korollar~4.4 formuliert, und dieses mithilfe des Cauchyschen Integralsatzes bewiesen. In der Tat kann man
den Beweis von Satz~\ref{satz:cauchy-auf-scheiben}, analog zum Beweis von Satz~\ref{satz:gauss-kanten} abwandeln und den Cauchyschen Integralsatz~4.3 f\"ur Bilder von Rechtecken in Analysis~III beweisen.

\begin{proof}
Es sei also $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\subset \C=\R^2$ und es sei $M:=\overline{D_r(z_0)}$ eine abgeschlossene Scheibe, welche in $U$ enthalten ist.  Wir setzen $u=\operatorname{Re}(f)$ und $v=\operatorname{Im}(f)$, dann ist $f=u+iv\colon U\to \C$.
Wir betrachten die Kurve
\[ \begin{array}{rcl} \gamma\colon [0,2\pi]&\to& \C=\R^2\\
\gamma(t)&=&z_0+re^{it}=:(\alpha(t),\beta(t)).\end{array}\]
Dann ist 
\[
\begin{array}{rllll}
\mbox{Imagin\"arteil von} \bint\limits_{|z-z_0|=r}\hspace{-0.2cm} f(z)\,dz&=\,\,\mbox{Imagin\"arteil von}\bbint\limits_{t=0}^{t=2\pi}
f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt\\[0.1cm]
&=\,\,\mbox{Imagin\"arteil von}\bbint\limits_{t=0}^{t=2\pi}\hspace{-0.2cm}
(u(\gamma(t))+iv(\gamma(t)))\cdot (\alpha'(t)+i\beta'(t))\,dt\\[0.2cm]
&=\bbint\limits_{t=0}^{t=2\pi} \big(v(\gamma(t))\cdot \alpha'(t)+u(\gamma(t))\cdot \beta'(t)\big)\,dt \\[2mm]
&=\bbint\limits_{t=0}^{t=2\pi} (v(\gamma(t))\,dx+u(\gamma(t))\,dy)(\gamma'(t))\,dt \\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mfbox{denn $dx(\gamma'(t))=\alpha'(t)$ und $dy(\gamma'(t))=\beta'(t)$}\\[0.1cm]
&=\bbint\limits_{\partial M} v\,dx+u\,dy\hspace{1cm}
\,\,=\,\,\bbint\limits_M \Big(\tmfrac{\partial u}{\partial x}-\tmfrac{\partial v}{\partial y}\Big)\,dx\,dy\,\,=\,\,0\\[-0.3cm]
&\uparrow\hspace{3.1cm}\hspace{1cm}\uparrow\hspace{4.1cm}\uparrow\\
&\hspace{-3.7cm}\mfbox{Definition vom Integral einer 1-Form}
\hspace{0.7cm}\hspace{0.5cm}\mfbox{Satz von Green}
\hspace{1cm}\mfbox{Cauchy-Riemann}\\[-0.1cm]
&\hspace{6.2cm}\mfbox{Differentialgleichungen}
\end{array}
\]

Die Aussage, dass der Realteil des Integrals verschwindet wird ganz \"ahnlich bewiesen.\footnote{Eine andere M\"oglichkeit zu beweisen, dass der Realteil verschwindet, ist dass man die gleiche Rechnung auf die holomorphe Funktion $z\mapsto if(z)$ anwendet.}
\end{proof}



\clearpage

%======================================
\section{L\"ange von Wegen und Geod\"aten}
\label{section:geodaeten}
Wir wenden uns nun, nach der langen Diskussion des Satzes von Stokes, einem anschaulichen Thema zu, n\"amlich der Bestimmung von L\"angen von Wegen und der Bestimmung des k\"urzesten Weges zwischen zwei Punkten auf einer Untermannigfaltigkeit.

\begin{definition}
Ein \emph{Weg} in einer Untermannigfaltigkeit $M$ ist eine  abschnittsweise\footnote{In der Literatur sagt man oft auch ``st\"uckweise stetig differenzierbar'' anstatt ``abschnittsweise stetig differenzierbar''.} stetig differenzierbare Abbildung $\gamma\colon [a,b]\to M$.\footnote{Der einzige Unterschied zu einer Kurve ist, dass Kurven stetig differenzierbar sind, w\"ahrend Wege nur abschnittweise stetig differenzierbar sind.}. Hierbei bedeutet ``abschnittsweise stetig differenzierbar'',  dass 
es eine Zerlegung  $a=s_0<s_1<\dots<s_m=b$ gibt, so dass f\"ur $i=0,\dots,m-1$ die Abbildung $\gamma|_{[s_i,s_{i+1}]}$ stetig differenzierbar ist.
Wir definieren die \emph{L\"ange von $\gamma$}\footnote{Die Definition der L\"ange eines Weges entspricht der Definition aus der Analysis~III Vorlesung und ist \"aquivalent zur   Definition aus der Analysis~II Vorlesung.} als\label{def:laenge-kurve}
\[\hspace{0.65cm} \ell(\gamma)\,\,:=\,\,\lmsum{i=0}{m-1} \,\bint\limits_{t=s_i}^{t=s_{i+1}} \|\gamma'(t)\|\,dt.\]
\end{definition}

\begin{definition}
Es sei $P$ und $Q$ zwei Punkte auf einer Untermannigfaltigkeit $M$. Wenn $P$ und $Q$ in der gleichen Komponente von $M$ liegen, dann definieren wir
\[ d_M(P,Q)\,\,:=\,\, \inf\{ \ell(\gamma)\,|\, \mbox{$\gamma$ ist ein  Weg in $M$ von $P$ nach $Q$}\}.\]
Ansonsten definieren wir $d_M(P,Q):=\infty$. Wir bezeichnen $d_M$ als die \emph{Wegmetrik} auf~$M$. 
\end{definition}

\begin{bemerkung}
Der Name \emph{Wegmetrik} legt nahe, dass es sich hierbei in der Tat um eine Metrik auf~$M$ handelt. Wenn $M$ zusammenh\"angend\footnote{In Satz~\ref{satz:mannigfaltigkeit-zusammenhaengend} hatten wir bewiesen, dass eine  zusammenh\"angende Untermannigfaltigkeit auch wegzusammenh\"angend ist, d.h.\ alle Punkte liegen in der gleichen Komponente.} ist, dann ist dies  in der Tat der Fall.
Wir werden diese Aussage nicht verwenden, und daher auch nicht beweisen.\footnote{Welche von den Axiomen einer Metrik bed\"urfen eines Beweises und welche sind offensichtlich?}
\end{bemerkung}

\begin{lemma}\label{lem:wegmetrik-auf-rn}
F\"ur $M=\R^n$ entspricht die Wegmetrik gerade der euklidischen Metrik.
\end{lemma}


\begin{proof}
Um die Notation etwas zu vereinfachen beweisen wir das Lemma f\"ur den Spezialfall $n=2$. Es seien also $P,Q\in \R^2$. 
Translation und Anwendung einer orthogonalen Matrix \"andert die L\"ange von Vektoren und Wegen nicht. Wir k\"onnen also $P$ in den Ursprung verschieben, und $Q$ auf die positive $y$-Achse drehen. Mit anderen Worten, wir k\"onnen annehmen, dass $P=(0,0)$ und $Q=(0,y)$ f\"ur ein $y\geq 0$.

Wir wollen nun zeigen, dass $d_{\R^2}(P,Q)=\|P-Q\|=y$. Der Weg $\gamma\colon [0,y]\to \R^2$ mit~$\gamma(t)=(0,t)$ ist offensichtlich ein Weg, welcher $P$ und $Q$ verbindet mit~$\ell(\gamma)=y$. Wir sehen also, dass $d_{\R^2}(P,Q)\leq \|P-Q\|$.

Wir m\"ussen noch zeigen, dass $d_{\R^2}(P,Q)\geq \|P-Q\|$. Es sei nun
\begin{align*}
\rho\colon [a,b]&\rightarrow \R^2\\
t&\mapsto (\rho_x(t), \rho_y(t))
\end{align*}
ein Weg von $(0,0)$ nach $(0,y)$.
Wir wollen beweisen, dass $\ell(\rho)\geq y$.
Wir betrachten dazu zuerst den Spezialfall, dass $\rho$ stetig differenzierbar ist. Dann gilt
\[
\begin{array}{rlll}
&&&\hspace{-1cm}\mfbox{Gleichheit gilt nur wenn $\rho_x'\equiv 0$}\\
&&&\downarrow\\[-0.3cm]
\ell(\rho) &=\,\,\bbint\limits_a^b\|\rho'(t)\|\,dt&= \,\,\bbint\limits_a^b\sqrt{\rho_x'(t)^2 + \rho_y'(t)^2}\,dt& \geq\,\, \bbint\limits_a^b\sqrt{\rho_y'(t)^2}dt 
\\
&=\,\,\bbint\limits_a^b |\rho_y'(t)|\,dt
&\geq \,\, \Big|\bint\limits_a^b \rho_y'(t)\,dt\Big|&=\,\,|\rho_y(b)-\rho_y(a)|\,\,=\,\,y.
\end{array}\]
Der allgemeine Fall, dass $\rho$ abschnittweise stetig differenzierbar ist, wird ganz analog behandelt. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{geod-r2.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Lemma~\ref{lem:wegmetrik-auf-rn}.}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}

Im Beweis von Lemma~\ref{lem:wegmetrik-auf-rn} hatten wir auch schon implizit folgendes Lemma bewiesen.

\begin{lemma}\label{lem:geodaete-verlaeuft-auf-euklidischer-gerade}
Jeder Weg $\gamma\colon [a,b]\to \R^n$ von $P$ nach $Q$ mit~$\ell(\gamma)=\|P-Q\|$ verl\"auft auf der euklidischen Gerade durch $P$ und $Q$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir verwenden die Notation vom vorherigen Beweis. Wenn $\delta=(\rho_x,\rho_y)$ ein Weg von $(0,0)$ nach $(0,y)$ ist, welcher nicht auf der euklidischen Gerade durch $(0,0)$ und $(0,y)$ verl\"auft, dann ist $\rho'_x(t)\ne 0$ f\"ur ein $t$. Dann zeigt die Rechnung aus dem vorherigen Beweis, dass $\ell(\rho)>y=\|P-Q\|$. 
\end{proof}

\begin{definition}
Es sei $M$ eine  Untermannigfaltigkeit und es sei $\gamma\colon [a,b]\rightarrow M$ ein Weg. 
\begin{enumerate}
\item Wir sagen $\gamma$ ist \emph{minimal in $M$}, wenn 
\[ d_M(\gamma(a),\gamma(b)) \,\,=\,\, \ell(\gamma).\]
\item 
Wir nennen $\gamma$ eine \emph{Geod\"ate}, wenn folgende drei Bedingungen erf\"ullt sind:\label{def:geodaete}
\begin{enumerate}
\item $\gamma$ ist stetig differenzierbar,
\item $\|\gamma'(t)\|=1$ f\"ur alle $t\in [a,b]$ und
\item $\gamma$ ist  minimal. 
\end{enumerate}
\item Es seien $P$ und $Q$ zwei Punkte auf~$M$. Eine \emph{Geod\"ate von $P$ nach $Q$} ist eine Geod\"ate $\gamma\colon [0,a]\to M$ mit~$\gamma(0)=P$ und $\gamma(a)=Q$. 
\item Es sei $t\in [a,b]$. Wir sagen der Weg $\gamma$ ist \emph{lokal minimal in $t$}, wenn es $c<d$ mit~$a\leq c\leq t\leq d\leq b$ und eine offene Umgebung $U$ von $\gamma(t)$ in $M$ gibt, so dass
$\gamma|_{[a,b]}$ in $U$ minimal ist.
\item 
Wir nennen $\gamma$ eine \emph{lokale Geod\"ate}, wenn folgende drei Bedingungen erf\"ullt sind:
\begin{enumerate}
\item $\gamma$ ist stetig differenzierbar,
\item $\|\gamma'(t)\|=1$ f\"ur alle $t\in [a,b]$ und
\item $\gamma$ ist lokal minimal in allen $t\in [a,b]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bemerkung}
Ein minimaler Weg $\gamma\colon [a,b]\to M$ ist offensichtlich\footnote{Warum ist das offensichtlich?} auch lokal minimal in allen $t$. Eine Geod\"ate ist insbesondere auch eine lokale Geod\"ate. Die Umkehrung dieser Aussage gilt jedoch nicht. Beispielsweise werden wir im n\"achsten Kapitel, die anschaulich ziemlich offensichtliche Aussage, beweisen, dass  der Weg
\[ \begin{array}{rcl} \gamma\colon [0,2\pi]&\to & M=S^1\\
t&\mapsto & (\cos(t),\sin(t))\end{array}
\] 
eine lokale Geod\"ate ist. Genauer gesagt, wir werden beweisen, dass f\"ur alle Intervalle $[a,b]$ in $[0,2\pi]$ mit~$0<b-a\leq \pi$ die Einschr\"ankung $\gamma|_{[a,b]}$ minimal ist. Andererseits ist $\gamma$ keine Geod\"ate, denn die Einschr\"ankung von $\gamma$ auf das Intervall $[0,2\pi]$ ist nicht die k\"urzeste Verbindung zwischen $\gamma(0)=\gamma(2\pi)=(1,0)$, denn der  konstante Weg ist nat\"urlich k\"urzer.
\end{bemerkung}

In \"Ubungsblatt~8 werden wir folgendes einfache Lemma beweisen.

\begin{lemma}\label{lem:einschraenkung-von-weg-minimal}
\mbox{}
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item  Die Einschr\"ankung von einem minimalen Weg auf ein Teilintervall ist wiederum minimal.
\item  Die Einschr\"ankung von einer Geod\"ate auf ein Teilintervall ist wiederum eine Geod\"ate.
\end{enumerate}
\end{lemma}




Der folgende Satz besagt, dass in $\R^n$ die Geod\"aten auf den \"ublichen Strecken verlaufen.

\begin{satz}\label{satz:einzige-geodaete-in-rn}
Es seien $P,Q\in\R^n$. Dann ist
\[
\begin{array}{rcl}
\gamma \colon  [0,\|P-Q\|]&\rightarrow &\R^n\\
t&\mapsto& \setminusfrac{t}{\|P-Q\|}P+\Big(1-\setminusfrac{t}{\|P-Q\|}\Big)Q
\end{array}
\]
die einzige Geod\"ate von $P$ nach $Q$.
\end{satz}

\begin{proof}
Ganz analog zum Beweis von Lemma~\ref{lem:wegmetrik-auf-rn} gen\"ugt es die Aussage zu beweisen f\"ur $n=2$ und f\"ur $P=(0,0)$ und $Q=(0,y)$ mit~$y\geq 0$. 
Die Kurve 
\[ \begin{array}{rcl} \gamma\colon [0,y]&\to &\R^2\\
t&\mapsto &(0,t)\end{array}\]
ist offensichtlich glatt und offensichtlich ist $\|\gamma'(t)\|=1$ f\"ur alle $t\in (0,y)$. Es folgt zudem aus Lemma~\ref{lem:wegmetrik-auf-rn}, dass $\gamma$ minimal ist.

Es sei nun $\delta\colon [0,y]\to \R^2$ eine weitere Geod\"ate von $P$ nach $Q$. Aus Lemma~\ref{lem:geodaete-verlaeuft-auf-euklidischer-gerade} folgt, dass sich $\delta$ auf der $y$-Achse bewegt, d.h.\ es ist $\delta(t)=(0,\beta(t))$ f\"ur eine glatte Funktion $\beta\colon [0,y]\to \R$.  Nachdem $\|\delta'(t)\|=1$ f\"ur alle $t\in (a,b)$ ist nun $\beta'(t)$ entweder konstant 1 oder konstant $-1$. Da $\beta(0)=0$ und $\beta(y)=y>0$ ist $\beta'(t)=1$ f\"ur alle $t$. Also ist $\delta(t)=(0,\beta(t))=(0,t)=\gamma(t)$ f\"ur alle $t\in [a,b]$.
\end{proof}

\begin{bemerkung}
Wir hatten insbesondere gerade gesehen, dass es f\"ur zwei Punkte $P$ und $Q$ in $\R^n$ genau eine Geod\"ate von $P$ nach $Q$ gibt. Im Allgemeinen sind Geod\"aten jedoch nicht eindeutig bestimmt. Wir betrachten dazu wiederum die Untermannigfaltigkeit $S^1$.  Wenn $t\mapsto (x(t),y(t))$ eine Geod\"ate von $P=(-1,0)$ nach $Q=(0,1)$ ist, dann ist auch die Spiegelung an der $x$-Achse, d.h.\ die Abbildung $t\mapsto (x(t),-y(t))$ eine Geod\"ate von $P=(-1,0)$ nach $Q=(0,1)$.
\end{bemerkung}

% Ende 15. Vorlesung




\begin{definition}
Eine Untermannigfaltigkeit $M$ hei\ss t \emph{geod\"atisch}, wenn es zu allen $P,Q\in M$ eine Geod\"ate $\gamma$ gibt, welche $P$ und $Q$ verbindet.
\end{definition}

Wir haben gerade gesehen, dass der euklidische Raum $\R^n$  geod\"atisch ist. Allerdings ist nicht jede Untermannigfaltigkeit geod\"atisch. Man kann beispielsweise leicht zeigen, dass die Untermannigfaltigkeit $\R^2\setminus \{0,0\}$ nicht geod\"atisch ist. Der Gedanke hierbei ist, dass man die beiden Punkte $P=(-1,0)$ und $Q=(0,1)$ auf der $x$-Achse durch Wege verbinden kann, deren L\"ange gegen $2$ konvergiert, aber es gibt keinen Weg in $\R^2\setminus \{(0,0)\}$ der L\"ange $2$, welcher die beiden Punkte verbindet. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{raum-nicht-geodaetisch.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}
Andererseits kann man beweisen, dass jede kompakte Untermannigfaltigkeit geod\"atisch ist. Wir werden diese Aussage aus Zeitgr\"unden jedoch nicht beweisen. Aber wir werden zumindest im \"ubern\"achsten Kapitel sehen, dass die kompakte Untermannigfaltigkeit $S^2$ geod\"atisch ist.


\clearpage
%======================================
\section{Riemannsche Untermannigfaltigkeiten}
\label{section:riemansche-untermannigfaltigkeiten}
In Abbildung~\ref{fig:flug-nordamerika} sehen wir die Route von einem Flug von Houston nach M\"unchen. Genauer gesagt, wir sehen die Route auf einer Karte der Erdoberfl\"ache. Der Pilot w\"ahlt nat\"urlich auf der Sph\"are die k\"urzeste Route, aber wie wir in Abbildung~\ref{fig:flug-nordamerika} sehen, entspricht die k\"urzeste Route auf der Karte nicht der ``direkten'' Route in $\R^2$.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{flug-nordamerika.pstex_t}
\caption{}\label{fig:flug-nordamerika}
\end{center}
\end{figure}
Wir wollen in diesem Kapitel unter Anderem verstehen, was die Geod\"aten auf einer Sph\"are und allgemeiner auf Untermannigfaltigkeiten sind.


Wie viele andere Problemstellungen auf Untermannigfaltigkeiten wollen wir die Bestimmung von Geod\"aten auf Untermannigfaltigkeiten mithilfe von Karten auf Problemstellungen auf offenen Teilmengen von $\R^k$ zur\"uckf\"uhren. 

Genauer gesagt, es sei $\gamma\colon [a,b]\to M$ ein Weg auf einer  $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Wir wollen \"uberpr\"ufen, ob $\gamma$ in einem Punkt $t\in [a,b]$ lokal minimal ist. Wir w\"ahlen also eine Karte $\Phi\colon U\to V$ um $\gamma(t)$. Dann ist $\Phi\circ \gamma\colon [a,b]\to V\cap E_k$ ein Weg in einer offenen Teilmenge von $E_k=\R^k$. 

Das Problem ist nun allerdings, wie wir schon in Abbildung~\ref{fig:flug-nordamerika} gesehen haben, dass die Abbildung $\Phi\colon U\cap M\to V\cap E_k$ im Allgemeinen nicht l\"angenerhaltend ist. Wenn wir also wirklich die L\"ange von Kurven auf~$U\cap M$ mithilfe von L\"angen von Kurven auf~$V\cap E_k$ studieren wollen, dann m\"ussen wir auf~$V\cap E_k$ einen L\"angenbegriff verwenden, welcher sich vom \"ublichen L\"angenbegriff unterscheidet.

Diese Vorbemerkung f\"uhrt uns nun direkt zu dem Begriff der Riemannschen Untermannigfaltigkeit.


%======================================
\subsection{Definition von Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}

\begin{definition}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Eine \emph{Bilinearform} auf einem reellen Vektorraum $V$ ist eine Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} g\colon V\times V&\to & \R\\
(v_1,v_2)&\mapsto & g(v_1,v_2),\end{array}\]
welche in beiden Eintr\"agen linear ist. Wir sagen die Bilinearform ist \emph{symmetrisch}, wenn $g(v_2,v_1)=g(v_1,v_2)$ f\"ur alle $v_1,v_2\in V$, und wir sagen die Bilinearform ist  \emph{positiv definit}, wenn f\"ur alle $v\ne 0\in V$ gilt, dass $g(v,v)>0$.
\item Es sei $h$ eine Bilinearform auf einem reellen Vektorraum $W$ und es sei $\varphi\colon V\to W$ ein Homomorphismus. Wir bezeichnen mit~$\varphi^*h$ die Bilinearform auf~$V$, welche gegeben ist durch\footnote{Die Notation legt nat\"urlich schon die Tatsache nahe, dass die ``\"ublichen Regeln'' f\"ur die induzierten Abbildungen gelten.
Insbesondere gilt f\"ur lineare Abbildungen $\psi\colon U\to V$ und $\varphi\colon V\to W$ und eine Bilinearform $h$ auf $W$, dass $(\varphi\circ \psi)^*h=\psi^*(\varphi^*h)$.}\footnote{Wenn $h$ positiv definit ist, dann ist $\varphi^*h$ genau dann positiv definit, wenn\label{fussnote:pullback-positiv-definit} $\varphi$ injektiv ist.}
\[ \hspace{1.6cm}(\varphi^*h)(v_1,v_2)\,\,:=\,\,h(\varphi(v_1),\varphi(v_2)).\]
\item Es seien $g,h$ Bilinearformen auf reellen Vektorr\"aumen $V$ und $W$. Eine \emph{Isometrie} von $(V,g)$ nach $(W,h)$ ist ein Isomorphismus $\varphi\colon V\to W$, so dass $\varphi^*h=g$, oder mit anderen Worten, so dass
\[ h(\varphi(v_1),\varphi(v_2))\,\,=\,\,g(v_1,v_2)\] f\"ur alle $v_1,v_2\in V$.
\end{enumerate}
\end{definition}


\begin{beispiel}
Auf dem Vektorraum $\R^n$ ist das \"ubliche Skalarprodukt
\[ \begin{array}{rcl} \R^n\times \R^n&\to & \R\\
((v_1,\dots,v_n),(w_1,\dots,w_n))&\mapsto & v\cdot w=\langle v,w\rangle =\tmsum{i=1}{n}v_iw_i\end{array} \]
eine symmetrische, positiv definite Bilinearform. In diesem Kapitel werden wir nur die Notation $\langle v,w\rangle$ verwenden um Verwechslungen in der Notation zu vermeiden.
\end{beispiel} 

\begin{bemerkung}
Auf dem Vektorraum $\R^n$ entsprechen die (positiv definiten) Bilinearformen gerade den (positiv definiten) symmetrischen reellen $n\times n$-Matrizen. Genauer gesagt haben wir zueinander inverse Bijektionen
\begin{align*} \begin{array}{rcl}
\hspace{2.5cm} 
\bigg\{\begin{array}{c}\mbox{(positiv definite)}\\\mbox{Bilinearformen auf~$\R^n$}\end{array}\bigg\} &\leftrightarrow& 
\bigg\{\begin{array}{c}\mbox{(positiv definite) symmetrische}\\\mbox{reelle $n\times n$-Matrizen}\end{array}\bigg\}
\intertext{welche gegeben sind durch}
g&\mapsto & (g(e_i,e_j))_{i,j=1,\dots,n}
\intertext{und}
\left(\hspace{-0.15cm}\begin{array}{rcl}\R^n\times \R^n&\hspace{-0.1cm}\to\hspace{-0.1cm}& \R\\ (v,w)&\hspace{-0.1cm}\mapsto\hspace{-0.1cm}& v^TAw\end{array}\hspace{-0.15cm}\right)&\mapsfrom & A.
\end{array}
  \end{align*}
Das \"ubliche Skalarprodukt auf $\R^n$ entspricht hierbei der Identit\"atsmatrix.
\end{bemerkung}

\begin{definition}\label{def:riemannsche-untermannigfaltigkeit}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item 
Eine \emph{pr\"a-Riemannsche Struktur} auf einer Untermannigfaltigkeit $M$ ist eine Abbildung $g$, welche jedem Punkt $P\in M$ eine positiv definite symmetrische Bilinearform $g_P$ auf dem Vektorraum~$T_PM$ zuordnet.
\item
\label{def:lokaler-diffeomorphismus}
Eine  Abbildung $\varphi\colon M\to N$ zwischen zwei Untermannigfaltigkeiten ist ein \emph{lokaler Diffeomorphismus}, wenn es zu jedem  $P\in M$ offene Umgebungen $U$ von $P$ und $V$ von $\varphi(P)$ gibt, so dass $\varphi\colon U\to V$ ein Diffeomorphismus ist.
\item Es sei $\varphi \colon M\to N$ ein lokaler Diffeomorphismus und es sei $g$ eine \emph{pr\"a-Riemannsche Struktur} auf~$N$. F\"ur $P\in M$ betrachten wir dann die Bilinearform\label{def:pullback-riemannsche-struktur}
\[ \begin{array}{rcl} T_PM\times T_PM&\to & \R\\
(v,w)&\mapsto & g_{\varphi(P)}(\varphi_*v,\varphi_*w).\end{array}\]
Wir erhalten also  eine pr\"a-Riemannsche Struktur\footnote{Nachdem $\varphi$ ein lokaler Diffeomorphismus ist, ist insbesondere f\"ur jedes $P\in M$ die induzierte Abbildung $\varphi_*\colon T_PM\to T_{f(P)}N$ ein Isomorphismus. Also folgt aus Fu\ss note~\ref{fussnote:pullback-positiv-definit}, dass  $\varphi^*g$ in der Tat an jedem Punkt wiederum positiv definit ist.} auf~$M$, welche wir mit~$\varphi^* g$ bezeichnen. Wir nennen $\varphi^*g$ manchmal den ``Pullback von $g$''.
\end{enumerate}
\end{definition}

Wir wollen nun definieren, was es hei\ss en soll, dass eine pr\"a-Riemannsche Struktur glatt ist. Die Definition ist ganz \"ahnlich der Definition von einer glatten Differentialform, welche wir auf Seite~\pageref{def:glatte-differentialform} gegeben hatten.

\begin{definition}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es sei $W$ eine offene Teilmenge von $\R^k$ oder von $H_k$.
Wir sagen eine Abbildung
\[\begin{array}{rcl} \hspace{1.7cm}W&\to & M(k\times k,\R)\\
P&\mapsto & A(P)=(a_{ij}(P))_{i,j=1,\dots,k}\end{array}\]
ist \emph{glatt}, wenn alle Eintr\"age $a_{ij}$ glatt in $P$ sind. 
Wir  sagen eine  pr\"a-Riemannsche Struktur $g$ auf~$W$ ist  glatt, wenn die entsprechende Abbildung
\[ W\,\,\to \,\, M(k\times k,\R)\]
glatt ist.
\item Es sei   $g$ eine pr\"a-Riemannsche Struktur auf einer $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $M$.
\begin{enumerate}
\item Es sei $\Phi\colon U\to V$ eine Karte f\"ur $M$. Wir sagen \emph{$g$ ist glatt bez\"uglich der Karte $\Phi$}, falls die pr\"a-Riemannsche Struktur $(\Phi^{-1})^*g$  auf~$V\cap E_k$ beziehungsweise $V\cap H_k$ glatt ist.
\item Wir sagen \emph{$g$ ist glatt}, wenn es einen Atlas  von $M$ gibt, so dass $g$ bez\"uglich allen Karten  des Atlanten glatt ist.
\end{enumerate}
\item Eine glatte pr\"a-Riemannsche Struktur wird \emph{Riemannsche Struktur} genannt. 
\item Eine \emph{Riemannsche Untermannigfaltigkeit} ist ein Paar $(M,g)$ bestehend aus einer Untermannigfaltigkeit $M$ und einer Riemannschen Struktur $g$ auf~$M$.
\end{enumerate}
\end{definition}

Der folgende Satz wird ganz \"ahnlich wie 
Satz~\ref{satz:definitionen-von-stetigen-1-formen} bewiesen.

\begin{satz}\label{satz:definitionen-von-riemannschen-strukturen}
Es sei  $g$ eine pr\"a-Riemannsche Struktur auf einer  Untermannigfaltigkeit $M$. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item die pr\"a-Riemannsche Struktur ist eine Riemannsche Struktur,
\item die pr\"a-Riemannsche Struktur ist glatt bez\"uglich jeder Karte von $M$,
\item f\"ur alle glatten Tangentialvektorfelder $F,G$ auf~$M$ ist die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} M&\to & \R \\
P&\mapsto &g_P(F(P),G(P))\end{array}\]
glatt.
\end{enumerate}
\end{satz}

Der folgende Satz wird zudem ganz \"ahnlich wie 
Satz~\ref{satz:pullback-von-stetigen-1-formen} bewiesen.

\begin{satz}\label{satz:pullback-von-riemannschen-strukturen}
Es sei $\varphi\colon M\to N$ ein lokaler Diffeomorphismus zwischen Untermannigfaltigkeiten und es sei $g$ eine Riemannsche Struktur auf~$N$. Dann ist   $\varphi^*g$ eine Riemannsche Struktur auf~$M$.
\end{satz}


Das folgende Lemma gibt eines der wichtigsten Beispiele einer Riemannschen Struktur. 


\begin{lemma}\label{lem:untermannnigfaltigkeit-riemannsch}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit von $\R^n$. F\"ur jedes $P\in M$ betrachten wir die positiv definite symmetrische Bilinearform
\[ \begin{array}{rcl} g_P\colon T_PM\times T_PM&\to & \R\\
 (v_1,v_2)&\mapsto& g_P(v_1,v_2):=\underset{\uparrow}{\underbrace{\langle v_1,v_2\rangle}}.\\
 &&\hspace{1.7cm}\mfbox{Skalarprodukt in $\R^n$}\end{array}\]
Dies ist eine Riemannsche Struktur auf~$M$.
\end{lemma}

Wir verwenden im weiteren Verlauf der Vorlesung die Konvention, dass wir eine Untermannigfaltigkeit als Riemannsche Untermannigfaltigkeit bez\"uglich der Riemannschen Struktur aus Lemma~\ref{lem:untermannnigfaltigkeit-riemannsch} auffassen, au\ss er wir sagen explizit etwas anderes. 

\begin{proof}
Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$. Wir bezeichnen mit~$g$ die pr\"a-Riemannsche Struktur, welche gegeben ist dadurch, dass wir das Skalarprodukt von $\R^n$ auf die Tangentialr\"aume $T_PM$ einschr\"anken. 
Es sei $\Phi\colon U\to V$ eine beliebige Karte f\"ur $M$. 
Wir bezeichnen mit~$\Psi\colon V\to U$ die Umkehrabbildung. Wir m\"ussen zeigen, dass $\Psi^*g$ eine glatte pr\"a-Riemannsche Struktur auf~$V\cap E_k$ ist. Wir identifizieren dazu wiederum die Bilinearformen auf~$\R^k$ mit~$k\times k$-Matrizen.
Eine Abbildung zu den $k\times k$-Matrizen ist per Definition glatt, wenn alle Eintr\"age glatt sind.

In unserem Fall gilt f\"ur alle $i,j\in \{1,\dots,k\}$ und alle $Q\in V\cap E_k$, dass
\[ \begin{array}{rll}
&\hspace{-3.8cm}\mfbox{siehe die Bijektion zwischen Bilinearformen und Matrizen}\\
&\downarrow\\
\mbox{$ij$-Eintrag von $(\Psi^*g)(Q)$}&=\,\,(\Psi^*g)_Q(e_i,e_j)\\
&=\,\, g_{\Psi(Q)}(D_Q\Psi(e_i),D_Q\Psi(e_j))&=\,\,\langle D_{Q}\Psi(e_i), D_{Q}\Psi(e_j)\rangle.\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Definition von $\Psi^*g$}&
\hspace{-0.5cm}\mfbox{Definition von $g$}
\end{array}\]
Diese Funktion ist offensichtlich\footnote{Warum ist das offensichtlich?} eine glatte Abbildung in $Q$.
\end{proof}

 
\begin{beispiel}
Viele interessante Beispiele von Riemannschen Untermannigfaltigkeiten erhalten wir schon dadurch, dass wir als Untermannigfaltigkeit $M$ eine  offene Teilmenge von $\R^n$ w\"ahlen, aber wir diese mit einer anderen als der \"ublichen Riemannschen Struktur versehen.
\begin{enumerate}
\item Es sei $U\subset \R^2$ eine offene Teilmenge und es sei 
\[ \begin{array}{rcl} \hspace{1cm}A\colon U&\to & \mbox{symmetrische positiv definite $2\times 2$-Matrizen}\\
P&\mapsto & A(P)\end{array}\]
eine glatte Abbildung.
F\"ur $P\in U$ betrachten wir dann auf~$T_PU=\R^2$ die positiv definite symmetrische Bilinearform
\[ \begin{array}{rcl} \hspace{1cm}\R^2\times \R^2&\to & \R\\
(v,w)&\mapsto & v^TA(P)w.\end{array}\]
Dies ist dann eine Riemannsche Struktur auf~$U$, welche  wir mit~$g(A)$ bezeichnen. 
\item Es sei $U$ wiederum eine offene Teilmenge von $\R^2$ und  es sei zudem $\rho\colon U\rightarrow\R_{>0}$ eine glatte Funktion. F\"ur $P\in U$
betrachten wir auf~$T_PU=\R^2$ die positiv definite symmetrische Bilinearform 
\[ \begin{array}{rcl} \hspace{1.4cm} \R^2\times \R^2&\to & \R\\
(v,w)&\mapsto & \rho(P) \cdot \langle v,w\rangle.\end{array}\]
Dies ist  eine Riemannsche\label{bsp:g(rho)} Struktur auf~$U$, welche wir mit~$g(\rho)$ bezeichnen.\footnote{Dieses Beispiel ist nur ein Spezialfall vom vorherigen Beispiel, mit~$A(P)=\footnotesize{\begin{pmatrix} \rho(P)&0\\ 0&\rho(P)\end{pmatrix}}$.}
\end{enumerate}
\end{beispiel}




\begin{definition}
Es sei $(M,g)$ eine Riemannsche  Untermannigfaltigkeit.\label{def:laenge-riemannsche-untermannigfaltigkeit}
\begin{enumerate}
\item F\"ur $P\in M$ und $v\in T_PM$ bezeichnen wir
\[ \hspace{0.2cm} \|v\|_g\,\,:=\,\, \sqrt{g_P(v,v)}\]
als die \emph{L\"ange von $v$ bez\"uglich der Riemannschen Struktur $g$}. 
\item Es sei nun  $\gamma\colon [a,b]\to M$ ein Weg, d.h.\ eine abschnittweise stetig differenzierbare Abbildung.
Wir w\"ahlen eine Zerlegung  $a=s_0<s_1<\dots<s_m=b$ gibt, so dass f\"ur $i=0,\dots,m-1$ die Abbildung $\gamma|_{[s_i,s_{i+1}]}$ stetig differenzierbar ist. Wir   definieren  die \emph{L\"ange von $\gamma$ bez\"uglich $g$} als\footnote{F\"ur jedes $i$ ist die Abbildung $[s_i,s_{i+1}]\to \R$, $t\mapsto \|\gamma'(t)\|_g$ stetig, also existiert das Integral. Der Beweis der Tatsache, dass die Abbildung stetig ist, verbleibt eine freiwillige (nicht ganz einfache) \"Ubungsaufgabe.}
\label{def:laenge-kurve-mit-g}
\[ \ell_g(\gamma)\,\,:=\,\,\lmsum{i=0}{m-1}\,\bint\limits_{t=s_i}^{t=s_{i+1}} \|\gamma'(t)\|_g\,dt.\]
\item  F\"ur $P,Q\in M$ definieren wir zudem\footnote{Hierbei verwenden wir nat\"urlich wieder die Konvention, dass $d_M^g(P,Q)=\infty$, wenn $P$ und $Q$ nicht in der gleichen Komponente von $M$ liegen.}
\[ d_M^g(P,Q)\,:=\,\inf\{ \ell_g(\gamma)\,|\, \mbox{$\gamma$ ist ein Weg von $P$ nach $Q$}\}.\]
\item Eine  \emph{Geod\"ate in $(M,g)$} ist ein Weg $\gamma\colon [a,b]\to M$, welcher folgende drei Bedingungen erf\"ullt:
\begin{enumerate}
\item $\gamma$ ist stetig differenzierbar,
\item $\|\gamma'(t)\|_g=1$ f\"ur alle $t\in [a,b]$ und
\item $d_M^g(\gamma(a),\gamma(b))=\ell_g(\gamma)$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Wir betrachten $U=\R\times (0,\pi)$  und f\"ur $(x,y)\in Q$ betrachten wir \label{bsp:riemannsche-untermannigfaltigkeit-sphaere}
\[ A(x,y)\,\,:=\,\, \Big(\hspace{-0.1cm}\mbox{$\footnotesize{\begin{array}{cc} \sin^2 y&0 \\ 0&1\end{array}}$}\hspace{-0.1cm}\Big).\]
Dann gilt f\"ur jeden horizontalen Weg 
\[ \begin{array}{rcl} \gamma_y\colon [a,b]&\to & Q\\
t&\mapsto & (t,y),\end{array}\]
dass die L\"ange von $\gamma_y$ in der Riemannschen Untermannigfaltigkeit $(U,g(A))$ gegeben ist durch
\[ \hspace{1.3cm}\ell_{g(A)}(\gamma_y)= \bbint\limits_{t=a}^{t=b}\hspace{-0.1cm}
\sqrt{g(A)_{\gamma_y(t)}\big(\gamma_y'(t),\gamma_y'(t)\big)}\,dt=
\bbint\limits_{t=a}^{t=b}\hspace{-0.1cm} \sqrt{ (1,0) \mbox{$\footnotesize{\Big(\hspace{-0.15cm}\begin{array}{cc} \sin^2y &\hspace{-0.1cm}0\\ 0&\hspace{-0.1cm}1\end{array}\hspace{-0.15cm}\Big) }\Big(\hspace{-0.15cm}\begin{array}{c} 1\\ 0\end{array}\hspace{-0.15cm}\Big)$}} \,dt= \sin(y) (b-a).
\]
Wir sehen also, dass in der Riemannschen Untermannigfaltigkeit $(U,g(A))$ die L\"ange des horizontalen Weges von der $y$-Koordinate abh\"angt.
\item
In Abbildung \ref{fig:rho} betrachten wir eine glatte Funktion $\rho\colon \R^2\to \R_{>0}$, welche am Ursprung ein relatives Maximum besitzt.
F\"ur einen Tangentialvektor $v\in T_P\R^2$ gilt dann, dass
\[ \hspace{1.5cm}\mbox{L\"ange von $v$ bez\"uglich $g(\rho)$}\,\,=\,\,\sqrt{\rho(P)\langle v,v\rangle}\,\,=\,\, \sqrt{\rho(P)}\cdot \mbox{euklidische L\"ange von $v$}.\]
Um von einem Punkt auf der $x$-Achse $P$ zum gegen\"uberliegenden Punkt $Q$ zu kommen, ist
es bez\"uglich der Riemannschen Metrik $g(\rho)$ besser, den Ursprung zu umgehen.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{geodesic-wrt-rho.pstex_t}
\caption{L\"ange von Wegen in $(\R^2,g(\rho))$.}
\label{fig:rho}
\end{center}
\end{figure}
\item Das vorherige Beispiel ist durchaus realit\"atsnah. Es sei $B\subset S^2$ die Teilmenge, welche dem Freistaat Bayern entspricht und es sei $g$ die \"ubliche Riemannsche Struktur auf~$U$, welche durch das Skalarprodukt in $\R^3$ gegeben ist. Dann gilt f\"ur $P,Q\in B$, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4cm}\mbox{Distanz zwischen $P$ und $Q$}&=&d_B^g(P,Q).
\intertext{Es sei nun $\rho\colon B\to \R_{>0}$ die Funktion, welche an jedem Punkt gerade die Verkehrsdichte mi\ss t. Dann gilt, zugegebenerma\ss en grob vereinfacht, dass}
\mbox{Fahrzeit von  $P$ nach $Q$}&=&d_{g(\rho)}(P,Q).\end{array}\end{align*}
Die Funktion $\rho$ im vorherigen Beispiel modelliert die Verkehrsdichte im Gro\ss raum M\"unchen. Um schnellst m\"oglich vom Westen M\"unchens in den Osten zu kommen ist es am besten die Innenstadt weitr\"aumig zu umfahren.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

Das n\"achste Beispiel formulieren wir als Lemma, weil wir sp\"ater bei zwei Gelegenheiten darauf zur\"uckgreifen wollen. Der Beweis der ersten Aussage ist eine Abwandlung des Beweises von Lemma~\ref{lem:geodaete-verlaeuft-auf-euklidischer-gerade} und erfolgt in \"Ubungsblatt~9.

\begin{lemma}\label{lem:riemannsche-metrik-auf-r2}
Es seien $-\infty\leq a <b\leq \infty $ und $-\infty\leq c <d\leq \infty $. Es sei $Q=(a,b)\times (c,d)$ der dazugeh\"orige offene Quader in $\R^2$. Dar\"uber hinaus  seien $p,q\colon (c,d)\to \R_{>0}$ positive glatte Funktionen. Wir betrachten die glatte Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \hspace{0.9cm} A\colon\hspace{0.4cm} Q&\to & \mbox{symmetrische positiv definite $2\times 2$-Matrizen}\\
(x,y)&\mapsto & A(x,y):=\footnotesize{\begin{pmatrix} p(y)&0\\ 0&q(y)\end{pmatrix}}\end{array}\]
und die zugeh\"orige  Riemannsche Struktur $g(A)$. 
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item F\"ur zwei Punkte $S=(x,s)$ und $T=(x,t)$ in $Q$  mit der gleichen $x$-Koordi\-nate  verl\"auft jede Geod\"ate in der Riemannschen Untermannigfaltigkeit $(Q,g(A))$ auf der vertikalen Gerade $\{(x,y)\,|\, y\in (c,d)\}$. 
\item Im Allgemeinen verlaufen die Geod\"aten in der Riemannschen Untermannigfaltigkeit  $(Q,g(A))$ nicht mehr auf euklidischen Geraden.
\end{enumerate}
\end{lemma}



\begin{definition}
Es seien $(M,g)$ und $(N,h)$ Riemannsche Untermannigfaltigkeiten.
Eine Abbildung $\varphi\colon M\to N$ hei\ss t \emph{$($lokale$)$ Isometrie}, wenn $\varphi$ ein (lokaler) Diffeomorphismus ist und wenn $\varphi^*h=g$.\footnote{Mit anderen Worten, f\"ur alle $P\in M$ und $v,w\in T_PM$ soll gelten, dass $h(\varphi_* v,\varphi_* w)=g(v,w)$. }
\end{definition}

\begin{beispiele} \mbox{}
\begin{enumerate}
\item F\"ur jede orthogonale Matrix $A\in O(3)$ ist die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} S^2&\to & S^2\\
P&\mapsto &A\cdot P\end{array}\]
eine Isometrie. In der Tat, denn die Riemannsche Struktur ist durch das Skalarprodukt definiert, und orthogonale Matrizen erhalten das Skalarprodukt.\label{bsp:o(3)-isometrien-von-s2}
\item Wir betrachten die Abbildung\label{bsp:zylinder-isometrisch-zu-r2}
\[ \begin{array}{rcl} \varphi\colon (-2,2)\times  \R&\to & (-2,2)\times S^1\\ (s,t)&\mapsto &\mbox{$\footnotesize{ \bigg(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{c}s\\\cos t\\\sin t\end{array} \hspace{-0.1cm}\bigg).}$}\end{array}\]
Anschaulich gesprochen ``rollt'' die Abbildung den Streifen $(-2,2)\times \R$ wie einen Teppich  zu einem Zylinder zusammen. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{teppich-zusammenrollen.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:teppich-zusammenrollen}
\end{center}
\end{figure}
Die Abbildung~$\varphi$ ist ein lokaler Diffeomorphismus, denn f\"ur alle $(s,t)\in \R$ ist die Einschr\"ankung von $f$ auf~$(-2,2)\times (t-\pi,t+\pi)$ ein Diffeomorphismus auf ihr Bild. 
Wir betrachten nun $(-2,2)\times \R$ und $(-2,2)\times S^1$ mit den \"ublichen Riemannschen Strukturen $g$ und $h$, welche durch das Skalarprodukt auf~$\R^2$ beziehungsweise $\R^3$ gegeben sind. Dann ist die obige Abbildung sogar eine lokale Isometrie. In der Tat, denn f\"ur alle $(s,t)\in (-2,2)\times \R$ und $v,w\in T_{(s,t)}((-2,2)\times \R))=\R^2$ gilt
\[ \begin{array}{rl}
&\hspace{-1.5cm}\mfbox{Definition von $h$ und $\varphi_*$}
\hspace{1.7cm}\mfbox{denn $\langle a,b\rangle=a^Tb$}\\
&\downarrow\hspace{4.2cm}\downarrow\\[-0.05cm]
h(\varphi_*v,\varphi_*w)&=\,\, \langle D\varphi_{(s,t)}v,D\varphi_{(s,t)}w\rangle\,\,=\,\,
v^TD\varphi_{(s,t)}^T D\varphi_{(s,t)}w\\[0.1cm]
&=\,\,
v^T   
\underset{=\mbox{$\footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1\end{array} \hspace{-0.1cm}\Big)}$}}{\underbrace{\mbox{$\footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{ccc} 1&0&0\\0& -\sin t&\cos t\end{array}\hspace{-0.2cm}\Big) \bigg(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{cc} 1&0\\0 & -\sin t\\ 0&\hfill \cos t\end{array}\hspace{-0.1cm}\bigg)}$}}}w
\,\,=v^Tw\,\,=\,\,g(v,w).\end{array}\]
\item Genau die gleiche Rechnung wie in (2) zeigt, dass die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \varphi\colon \R&\to & S^1\\ t&\mapsto &(\cos t,\sin t)\end{array}\]
eine  lokale Isometrie ist.
\item 
Es sei $\varphi \colon M\to N$ ein (lokaler) Diffeomorphismus zwischen zwei Untermannigfaltigkeiten. Es sei $h$ eine Riemannsche Struktur auf~$N$. Dann ist $\varphi^*h$ nach Satz~\ref{satz:pullback-von-riemannschen-strukturen} eine Riemannsche Struktur auf~$M$ und $\varphi\colon (M,\varphi^*h)\to (N,h)$ ist eine (lokale) Isometrie.
\end{enumerate}
\end{beispiele}
 
% Ende 16. Vorlesung
 

\begin{lemma}\label{lem:laenge-und-isometrien} 
Es sei $\varphi\colon M\to N$ eine glatte Abbildung zwischen zwei Riemannschen Untermannigfaltigkeiten $(M,g)$ und $(N,h)$.
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item Wenn $\varphi$ eine lokale Isometrie ist, dann gilt f\"ur jeden Weg 
$\gamma\colon [a,b]\to M$, dass
\[ \ell_g(\gamma)\,\,=\,\, \ell_{h}(\varphi\circ \gamma).\]
\item Wenn $\varphi$ eine Isometrie ist, dann gilt f\"ur alle $P,Q\in M$, dass 
\[\hspace{0.6cm} d_M^g(P,Q)\,\,=\,\,d_N^h(\varphi(P),\varphi(Q)).\]
\item Die Abbildung $\varphi$ gibt eine Bijektion zwischen den Geod\"aten von $(M,g)$ und den Geod\"aten von $(N,h)$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

Der Beweis der ersten Aussage ist eine \"Ubungsaufgabe in \"Ubungsblatt~9. Die zweite und die dritte Aussage folgen leicht aus der ersten Aussage und den Definitionen.


\begin{beispiel}
Wir betrachten die ``rechte offene Halbsph\"are'' \label{beispiel:rechte-halbsphaere}
\[ H\,\,:=\,\,\{(x,y,z)\in S^2\,|\, x>0\}.\]
Wir bezeichnen wiederum mit~$g$ die \"ubliche Riemannsche Struktur auf~$H$, welche durch das Skalarprodukt auf~$\R^3$ gegeben ist.
Wir betrachten zudem den Diffeomorphismus\footnote{Dies ist ein Diffeomorphismus zwischen den Untermannigfaltigkeiten $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\times (0,\pi)$ und $H$.}
\[ \begin{array}{rcl}\Psi\colon V:=\big(-\tmfrac{\pi}{2},\tmfrac{\pi}{2}\big)\times  (0,\pi)&\to &  H\\
(\varphi,\theta)&\mapsto & \begin{pmatrix} \cos \varphi\cdot \sin \theta\\ \sin \varphi\cdot \sin \theta\\ \cos \theta\end{pmatrix}. \end{array}\]
Es sei nun $(\varphi,\theta)\in V$ und es seien $v,w\in T_{(\varphi,\theta)}V=\R^2$. Dann gilt per Definition, dass\label{bsp:pullback-von-sphaerischer-metrik}
\[ \begin{array}{rl}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Definition von $\Psi^*g$}\\
&\downarrow\\ (\Psi^*g)_{(\varphi,\theta)}(v,w)&=\,\,g_{\Psi(\varphi,\theta)}(\Psi_*v,\Psi_*w)\hspace{1.75cm}
=\,\, g_{\Psi(\varphi,\theta)}(D_{(\varphi,\theta)}\Psi(v),D_{(\varphi,\theta)}\Psi (w))\\[0.1cm]
&=\,\, \langle D_{(\varphi,\theta)}\Psi(v), D_{(\varphi,\theta)}\Psi(w)\rangle\hspace{0.5cm}
=\,\, v^T(D_{(\varphi,\theta)}\Psi)^T\cdot D_{(\varphi,\theta)}\Psi\cdot  w\\
&\uparrow\hspace{5.4cm}\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Definition von $g$}\hspace{2cm}\mfbox{f\"ur beliebige Vektoren $a$ und $b$ gilt $\langle a,b\rangle=a^Tb$}\\
&=\,\,
v^T 
\footnotesize{\begin{pmatrix} -\sin \varphi\cdot \sin \theta& \hfill \cos\varphi \cdot \sin\theta&0\\ 
\hfill \cos \varphi\cdot \cos \theta&\sin \varphi\cdot \cos \theta&-\sin \theta&  \end{pmatrix} }
\footnotesize{\begin{pmatrix} -\sin \varphi\cdot \sin \theta& \hfill \cos\varphi \cdot \cos\theta\\ 
\hfill \cos \varphi\cdot \sin \theta&\sin \varphi\cdot \cos \theta\\
0&-\sin \theta&  \end{pmatrix} }w\\
&=\,\, v^T \footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{cc} \sin^2 \theta&0\\ 0&1 \end{array}\hspace{-0.1cm}\Big)} w.\end{array}\]
Insbesondere ist die Riemannsche Struktur $\Psi^*g$ auf~$V$ von der Form des Beispiels, welches wir in Lemma~\ref{lem:riemannsche-metrik-auf-r2}  betrachtet hatten.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{beschreibung-rechte-halbsphaere.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}
Wir wollen diese etwas abstrakte Rechnung noch an dem Beispiel von L\"angen von Wegen nachvollziehen. F\"ur $-\frac{\pi}{2}<a<b<\frac{\pi}{2}$ und fest gew\"ahltes $\theta\in (0,\pi)$ betrachten wir den horizontalen Weg 
\[ \begin{array}{rcl} \gamma_\theta\colon [a,b]&\to & V\\
t&\mapsto & (t,\theta),\end{array}\]
Auf Seite~\pageref{bsp:riemannsche-untermannigfaltigkeit-sphaere} hatten wir schon gesehen, dass 
\[ \ell_{\Psi^*g}(\gamma_\theta)\,\,=\,\,\sin(\theta)\cdot (b-a).\]
Dies entspricht gerade der Tatsache, dass auf der Sph\"are  auf einem festgew\"ahlten Breitengrad\footnote{Der L\"angengrad mi\ss t die ``West-Ost''-Koordinate, und der Breitengrad entspricht der ``Nord-S\"ud''-Koordinate auf der Sph\"are.} $\theta$ der Weg vom L\"angengrad $a$ zum L\"angengrad $b$ die L\"ange $(b-a)\sin \theta$ besitzt.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{beschreibung-rechte-halbsphaere-2.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}



Wenn wir die Geod\"aten  von $H$ verstehen wollen haben wir nun also im Hinblick auf Lemma~\ref{lem:laenge-und-isometrien}  die Wahlfreiheit:
\begin{enumerate}
\item entweder wir arbeiten direkt mit der Halbsph\"are $H$ und der einfachen Riemannschen Struktur, welche durch das \"ubliche Skalarprodukt gegeben ist, oder
\item wir arbeiten mit dem offenen Rechteck $V=\big(-\tmfrac{\pi}{2},\tmfrac{\pi}{2}\big)\times  (0,\pi)$, aber dann m\"ussen wir in Kauf nehmen, dass die Riemannsche Struktur etwas komplizierter ist.
\end{enumerate}
\end{beispiel}



%======================================
\subsection{Geod\"aten auf der Sph\"are}
Zur Erinnerung, ein \emph{Gro\ss kreis} auf~$S^2$ ist der Schnitt von $S^2$ mit einer Ebene, welche den Ursprung enth\"alt. F\"ur zwei Punkte $P\ne \pm Q$  auf~$S^2$ gibt es genau eine Ebene, welche den Ursprung sowie die Punkte $P$ und $Q$ enth\"alt.
Mit anderen Worten, f\"ur $P\ne \pm Q$ gibt es genau einen Gro\ss kreis durch $P$ und $Q$.

Unser Ziel ist es nun folgenden Satz zu beweisen.

\begin{satz}\label{satz:geodaeten-auf-s2}
Es seien $P$ und $Q$ zwei Punkte auf~$S^2$. Jede Geod\"ate von $P$ nach $Q$ liegt auf einem Gro\ss kreis. 
\end{satz}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{grosskreis.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}
Bevor wir uns dem eigentlichen Beweis von Satz~\ref{satz:geodaeten-auf-s2} zuwenden betrachten wir erst einmal Geod\"aten in offenen Halbsph\"aren. Es sei nun $P\in S^2$. Wir bezeichnen 
\[ H(P)\,\,:=\,\,\{ Q\in S^2\,|\, \langle P,  Q\rangle>0\}\]
als die \emph{Halbsph\"are um den Punkt $P$}.\footnote{Mit anderen Worten, $H(P)$ ist die Menge aller Punkte auf $S^2$, welche n\"aher an $P$ als an $-P$ liegen.}


\begin{lemma}\label{lem:geodaete-in-halbsphaere}
Es sei $P\in S^2$ und es sei $Q\ne P\in H(P)$. Jede Geod\"ate von $P$ nach $Q$ \emph{innerhalb von $H(P)$} liegt auf dem  Gro\ss kreis durch $P$ und $Q$.\footnote{Das Lemma schlie\ss t zumindest a priori nicht aus, dass es eine Geod\"ate in $S^2$ gibt, welche $H(P)$ verl\"a\ss t, und nicht auf einem Gro\ss kreis liegt.}
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei also $P\in S^2$ und es sei $Q\ne P\in H(P)$. 
Nach Anwendung einer orthogonalen Matrix k\"onnen wir o.B.d.A.\ annehmen, dass $P=(1,0,0)$.\footnote{Hierbei verwenden wir, dass wir schon auf Seite~\pageref{bsp:o(3)-isometrien-von-s2} gesehen hatten, dass die Multiplikation mit einer orthogonalen Matrizen eine Isometrie von $S^2$ ist. Zudem verwenden wir, dass nach Lemma~\ref{lem:laenge-und-isometrien}  Isometrien Geod\"aten in Geod\"aten \"uberf\"uhren.} In diesem Fall ist 
\[ H(P)\,\,=\,\,\{ (x,y,z)\in S^2\,|\, x>0\}\]
die ``rechte offene Halbsph\"are''.
Nach Anwendung einer Rotation um die $x$-Achse k\"onnen wir zudem  annehmen, dass
$Q=(\sin\alpha,0,\cos \alpha)$ f\"ur ein $\alpha \in (0,\pi)$. Wie auf Seite~\pageref{beispiel:rechte-halbsphaere} betrachten wir den Diffeomorphismus
\[ \begin{array}{rcl}\Psi\colon V:=\big(-\tmfrac{\pi}{2},\tmfrac{\pi}{2}\big)\times  (0,\pi)&\to &  H\\
(\varphi,\theta)&\mapsto & \begin{pmatrix} \cos \varphi\cdot \sin \theta\\ \sin \varphi\cdot \sin \theta\\ \cos \theta\end{pmatrix}. \end{array}\]
In diesem Fall ist $\Psi(0,\frac{\pi}{2})=P$ und $\Psi(0,\alpha)=Q$. 

Wir bezeichnen mit~$g$ die Riemannsche Metrik auf~$H\subset S^2$, welche wie immer durch das Skalarprodukt auf $\R^3$ gegeben ist. 
Nachdem $\Psi$ ein Diffeomorphismus ist, ist $\Psi$ per Definition auch eine Isometrie zwischen $(V,\Psi^*g)$ und $(H,g)$. Lemma~\ref{lem:laenge-und-isometrien} besagt insbesondere, dass $\Psi$ eine Bijektion zwischen den Geod\"aten auf~$(V,\Psi^*g)$ und den Geod\"aten auf~$(H,g)$ induziert. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{geodaeten-rechte-halbsphaere.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Lemma~\ref{lem:geodaete-in-halbsphaere}.}
\end{center}
\end{figure}
Auf Seite~\pageref{bsp:pullback-von-sphaerischer-metrik} hatten wir gesehen, dass die  Riemannsche Metrik $\Psi^*g$ auf~$V$ an jedem Punkt $(\varphi,\theta)$ gegeben ist durch
\[ \begin{array}{rcl} \R^2\times \R^2&\mapsto & \R\\
(v,w)&\mapsto &v^T \Big(\hspace{-0.1cm}\mbox{$\footnotesize{\begin{array}{cc} \sin^2\theta&0\\ 0&1\end{array}}$}\hspace{-0.1cm}\Big)w.\end{array}\]
Es folgt nun aus Lemma~\ref{lem:riemannsche-metrik-auf-r2}, dass in  $(V,\Psi^*g)$, jede Geod\"ate von $(0,\frac{\pi}{2})$ nach $(0,\alpha)$ vertikal verl\"auft.  Aber das Bild einer solchen vertikalen Gerade in $V$ unter der Abbildung $\Psi$ liegt gerade auf dem Gro\ss kreis durch $P$ und $Q$.
\end{proof}


Wir wenden uns nun dem eigentlichen Beweis von Satz~\ref{satz:geodaeten-auf-s2} zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:geodaeten-auf-s2}]
Es sei $\gamma\colon [a,b]\to S^2$ eine Geod\"ate zwischen zwei Punkten  $P$ und $Q$  auf~$S^2$. Wenn $P=Q$, dann gibt es nichts zu beweisen. Wir nehmen jetzt also an, dass $P\ne Q$. 

Es sei $t\in (a,b)$ beliebig. Wir w\"ahlen  ein $\epsilon>0$, so dass $[t-\epsilon,t+\epsilon]\subset [a,b]$, und so dass\footnote{Es ist $\gamma(t)\in H(\gamma(t))$. Nachdem $H(\gamma(t))$ eine offene Teilmenge von $S^2$ ist und nachdem $\gamma$ stetig ist, existiert insbesondere solch ein $\epsilon>0$.} $\gamma([t-\epsilon,t+\epsilon])\subset H(\gamma(t))$.
Nach Lemma~\ref{lem:geodaete-in-halbsphaere} liegt $\gamma|_{[t-\epsilon,t+\epsilon]}$ auf einem eindeutig bestimmten Gro\ss kreis $G(t)$.\footnote{Nach Voraussetzung ist $\gamma$ eine Geod\"ate in $S^2$. Also ist nach Lemma~\ref{lem:einschraenkung-von-weg-minimal} auch $\gamma|_{[t-\epsilon,t+\epsilon]}$ eine Geod\"ate in $S^2$. Nachdem $\gamma|_{[t-\epsilon,t+\epsilon]}$ ganz in $H(\gamma(t))$ liegt, ist dann $\gamma|_{[t-\epsilon,t+\epsilon]}$ auch eine Geod\"ate in der offenen Halbsph\"are $H(\gamma(t))$. Wir k\"onnen also in der Tat Lemma~\ref{lem:geodaete-in-halbsphaere} anwenden. Der Gro\ss kreis ist eindeutig, weil aus Lemma~\ref{lem:einschraenkung-von-weg-minimal} sofort folgt, dass $\gamma(t-\epsilon)\ne \gamma(t+\epsilon)$.}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{definition-gt.pstex_t}
\caption{Skizze zur Definition von $G(t)$.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{behauptung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die Definition von $G(t)$ h\"angt nicht von der Wahl von $\epsilon>0$ ab.
\item Die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl}G\colon (a,b)&\to & \mbox{Menge der Gro\ss kreise}\\
t&\mapsto& G(t)\end{array}\]
ist lokal konstant, d.h.\ zu jedem $t\in (a,b)$ gibt es ein $\eta>0$, so dass $G$ auf~$(t-\eta,t+\eta)$ konstant ist.
\end{enumerate}
\end{behauptung}

Wir beweisen zuerst die Aussage (1). Es sei also $t\in (a,b)$. 
Es seien $\epsilon>0$ und $\eta>0$ mit den vorgeschriebenen Eigenschaften.
Wir bezeichnen die entsprechenden Gro\ss kreise kurzzeitig mit~$G_\epsilon$ und $G_\eta$. Wir m\"ussen zeigen, dass $G_\epsilon=G_\eta$.  O.B.d.A.\ sei $\eta<\epsilon$. Dann gilt $\gamma|_{[t-\eta,t+\eta]}\subset G_\eta$ und auch
 $\gamma|_{[t-\eta,t+\eta]}\subset \gamma|_{[t-\epsilon,t+\epsilon]}\subset G_\epsilon$. Aus der Eindeutigkeitsaussage von Lemma~\ref{lem:einschraenkung-von-weg-minimal} folgt, dass $G_\eta=G_\epsilon$.

Wir beweisen nun Aussage (2). Es sei also $t\in (a,b)$ und es sei $\epsilon>0$  mit den vorgeschriebenen Eigenschaften. Wir setzen $\eta=\frac{1}{2}\epsilon$. Nun sei $s\in (t-\eta,t+\eta)$. Dann gilt
\[ \begin{array}{rll}\gamma([s-\eta,s+\eta])&\subset\,\, \gamma([t-\epsilon,t+\epsilon])&\subset\,\, G(t).\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-2.1cm}\mfbox{denn $\eta=\frac{1}{2}\epsilon$ und $s\in (t-\eta,t+\eta)$}
&\hspace{-0.2cm}\mfbox{Definition von $G(t)$}\end{array}
\]
Also gilt per Definition, dass $G(s)=G(t)$. Wir haben damit die Behauptung bewiesen.

\begin{behauptung}
Es gibt genau einen Gro\ss kreis $G$, so dass $\gamma((a,b))\subset G$.
\end{behauptung}

Es sei $X$ die Menge der Gro\ss kreise. Wir betrachten $X$ mit der diskreten Topologie. Es folgt aus der obigen Behauptung, dass die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} (a,b)&\to& X\\
t&\mapsto &G(t)\end{array} \] stetig\footnote{Warum folgt das aus der obigen Behauptung?} ist. Also ist die Abbildung nach Lemma~\ref{lem:diskrete-bilder-konstant} auch konstant.
Wir haben damit die Behauptung bewiesen.

Aus Stetigkeitsgr\"unden\footnote{Was soll das jetzt hei\ss en? Warum folgt die Aussage aus ``Stetigkeitsgr\"unden''?} folgt nun aber auch, dass $\gamma([a,b])\subset G$.
\end{proof}

F\"ur $P$ und $Q$ auf~$S^2$  sei nun 
$\alpha(P,Q)\in [0,\pi]$ der Winkel, welcher von dem Ursprung und den Punkten $P$ und $Q$ aufgespannt wird. Etwas genauer, $\alpha= \alpha(P,Q)$ ist die eindeutig bestimmte reelle Zahl $\alpha$ in $[0,\pi]$ mit
\[ \langle P, Q\rangle \,\,=\,\, \cos(\alpha).\]
Mit ein klein bi\ss chen Mehraufwand kann man, ganz analog zum Beweis von Satz~\ref{satz:einzige-geodaete-in-rn},   nun noch folgenden Satz beweisen.
Wir \"uberlassen die genaue Ausf\"uhrung des Beweises als \"Ubungsaufgabe.

\begin{satz}\label{satz:geodaete-auf-s2}
Es seien $P$ und $Q$ zwei Punkte auf~$S^2$. Dann gilt
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item $d_{S^2}(P,Q)=\alpha(P,Q)$.
\item Wenn  $P\ne \pm Q$, dann gibt es genau eine Geod\"ate von $P$ nach $Q$, diese   bewegt sich auf dem eindeutig bestimmten Gro\ss kreis durch $P$ und $Q$. 
\item Wenn $P=-Q$, dann gibt es unendlich viele Gro\ss kreise durch $P$ und $Q$, und jeder Halbgro\ss kreis durch $P$ und $Q$  entspricht gerade einer Geod\"ate von $P$ nach $Q$.
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{geodaete-s2-eindeutig.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}





\clearpage
%======================================
\section{Hyperbolische Geometrie}



%======================================
\subsection{Der hyperbolische Raum}
In diesem Kapitel identifizieren wir $\R^2$ mit~$\C$, und wechseln kommentarlos von einem Gesichtspunkt zum anderen.

\begin{definition}
Der \emph{$2$-dimensionale hyperbolische Raum} ist die Riemannsche Untermannigfaltigkeit, welche gegeben ist durch 
\[ \H\,\,=\,\,\{ z=x+iy\in \C=\R^2\,|\, \operatorname{Im}(z)>0\}\]
zusammen mit der Riemannschen Struktur $g$, welche an jedem Punkt $z=x+iy\in \H$ gegeben ist durch\footnote{Die Riemannsche Struktur ist also vom Typ $g(\rho)$ mit $\rho(z)=\frac{1}{\operatorname{Im}(z)^2}$, siehe Seite~\pageref{bsp:g(rho)}.}\footnote{Diese Definition verallgemeinert sich leicht auf h\"ohere Dimensionen. Der \emph{$n$-dimensionale hyperbolische Raum} ist die Riemannsche Untermannigfaltigkeit, welche gegeben ist durch 
\[ \H^n\,\,=\,\,\{ (x_1,\dots,x_n)\in \R^n\,|\, x_n>0\}\]
zusammen mit der Riemannschen Struktur $g$, welche an jedem Punkt $(x_1,\dots,x_n)\in \H^n$ gegeben ist durch
\[  \begin{array}{rcl} g\colon \R^n\times \R^n&\to & \R \\
(v,w)&\mapsto & \frac{1}{x_n^2}\langle v, w\rangle.\end{array}\]
In dieser Vorlesung betrachten wir der Einfachheit halber nur den Fall $n=2$.}
\[  \begin{array}{rcl} g\colon \R^2\times \R^2&\to & \R \\
(v,w)&\mapsto & \tmfrac{1}{\operatorname{Im}(z)^2}\langle v, w\rangle\,\,=\,\,\tmfrac{1}{y^2}\langle v, w\rangle,\end{array}\]
wobei $\langle v, w\rangle$ das \"ubliche Skalarprodukt auf~$\R^2$ bezeichnet.
F\"ur einen Weg $\gamma\colon [a,b]\to \H$ bezeichnen wir $\ell_g(\gamma)$ als die \emph{hyperbolische L\"ange} von $\gamma$. Zudem bezeichnen wir die Geod\"aten in $(\H,g)$ als die \emph{hyperbolischen Geod\"aten}. 
\end{definition}

\begin{beispiel}
Es sei $\gamma\colon [a,b]\to \H$ eine stetig differenzierbare Abbildung.
Dann ist nat\"urlich
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{3cm} \mbox{euklidische L\"ange von $\gamma$}&=&\bint\limits_a^b |\gamma'(t)|\,dt,
\intertext{w\"ahrend direkt aus den Definitionen folgt, dass} 
 \mbox{hyperbolische L\"ange von $\gamma$}&=& \bbint\limits_a^b \tmfrac{1}{\operatorname{Im}(\gamma(t))}|\gamma'(t)|\,dt.\end{array}\end{align*}
\end{beispiel}

Im Folgenden wollen wir insbesondere die Geod\"aten im hyperbolischen Raum bestimmen. Wir verfahren dabei dabei ganz \"ahnlich zum euklidischen und zum sph\"arischen Fall: wenn zwei Punkte $P$ und $Q$ in $\H$ gegeben sind, dann wollen wir $P$ und $Q$ mithilfe einer Isometrie von $\H$ in eine besonders g\"unstige Lage \"uberf\"uhren, in der es dann einfach ist die Geod\"aten zu bestimmen. Um dieses Programm durchzuf\"uhren m\"ussen wir nun ``gen\"ugend'' Isometrien von $\H$ bestimmen. Wir bewerkstelligen dies, indem wir uns an die M\"obiustransformationen aus der Analysis~III entsinnen.

\begin{lemma}\label{lem:verknuepfung-moebiustransformation}
\mbox{}
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item Es seien $a,b,c,d\in \R$ mit~$ad-bc=1$. Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \H&\to & \H\\
z&\mapsto & \setminusfrac{az+b}{cz+d},\end{array}\]
genannt \emph{M\"obiustransformation}, ist ein Diffeomorphismus.
\item Die  Verkn\"upfung von zwei M\"obius\-trans\-formationen und die Umkehrabbildung einer M\"obiustransformation sind wiederum M\"obius\-trans\-formationen.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
Es seien $a,b,c,d\in \R$ mit~$ad-bc=1$. Wir zeigen zuerst, dass das Bild der Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon \H&\to & \H\\
z&\mapsto & \lmfrac{az+b}{cz+d},\end{array}\] wiederum in $\H$ liegt.
Dies ist in der Tat der Fall, denn f\"ur $z=x+iy$ mit~$y>0$ gilt
\[ \begin{array}{rll}\operatorname{Im}\Big(\setminusfrac{az+b}{cz+d}\Big)\,\,=\,\,
\operatorname{Im}\Big(\setminusfrac{(c(x-iy)+d)(a(x+iy)+b)}{(c\overline{z}+d)(cz+d)}\Big)&=\,\,\setminusfrac{yad-ybc}{\|cz+d\|^2}&=\,\,\setminusfrac{y}{\|cz+d\|^2}\,\,>\,\,0.\\[-0.2cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1.2cm}\mfbox{denn $a,b,c,d\in \R$}&\hspace{-0.2cm}\mfbox{denn $ad-bc=1$}\end{array}\]

Wir bezeichnen nun mit $M(\H)$ die Menge der glatten Abbildungen von $\H\to \H$. Dies ist eine Halbgruppe bez\"uglich der Verkn\"upfung, d.h.\ das Assoziativgesetz gilt und es gibt ein neutrales Element, n\"amlich die Identit\"at. 

Wir beweisen nun folgende Behauptung.

\begin{behauptung}
Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \sl(2,\R)&\to & M(\H)\\
A:=\mbox{$\footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm} \begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big)}$}&\to & \mbox{$\footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm} \begin{array}{rcl}
\Phi(A)\colon \H&\to & \H \\
z&\mapsto & \tmfrac{az+b}{cz+d}\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big)}$}\end{array}\]
ist ein Homomorphismus von Halbgruppen.
\end{behauptung}

Es ist offensichtlich, dass $\Phi(\operatorname{id}_2)$ die Identit\"atsabbildung auf $\H$ ist. Wir m\"ussen also nur noch zeigen, dass die Abbildung multiplikativ ist. Es seien also 
\[ A\,\,:=\,\,\mbox{$\footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm} \begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big)}$}\quad \mbox{ und }\quad A'\,\,:=\,\,\mbox{$\footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm} \begin{array}{cc} a'&b'\\c'&d'\end{array} \hspace{-0.1cm}\Big)}$}\]
zwei Matrizen in $\sl(2,\R)$. Dann ist
\[ \begin{array}{rl}(\Phi(A)\circ \Phi(A'))(z)&=\, 
\Phi(A)\Big(\tmfrac{a'z+b'}{c'z+d'}\Big)\,\,=\,\,
\lmfrac{a\tmfrac{a'z+b'}{c'z+d'}+b}{c\tmfrac{a'z+b'}{c'z+d'}+d}
\,=\,
\lmfrac{a(a'z+b')+b(c'z+d')}{c(a'z+b')+d(c'z+d')}\\[0.2cm]
&=\,\lmfrac{(aa'+bc')z+ab'+bd'}{(ca'+dc')z+cb'+dd'}\,=\,
\Phi\mbox{$\footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm} \begin{array}{cc} aa'+bc'&ab'+bd'\\ca'+dc'&cb'+dd'\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big)}$}(z)
\,=\,\Phi(A\cdot A')(z).\end{array}\]
Wir haben damit die Behauptung bewiesen.

Jede M\"obiustransformation ist offensichtlich glatt.
Es folgt aus der obigen Behaupten, dass die Umkehrabbildung der M\"obiustransformation $\Phi(A)$ 
gegeben ist durch die M\"obiustransformation $\Phi(A^{-1})$. Also ist jede M\"obiustransformation ein Diffeomorphismus. 

Nachdem das Produkt von zwei Matrizen in $\sl(2,\R)$ wiederum eine Matrix in $\sl(2,\R)$ ist, folgt nun aus der obigen Behauptung, dass die Verkn\"upfung von zwei M\"obius\-trans\-form\-ationen wiederum eine M\"obiustransformation ist.
\end{proof}

Wir sind im Folgenden besonders an den folgenden drei Typen von M\"obiustransformat\-ionen interessiert:\footnote{Warum sind dies eigentlich M\"obiustransformationen?}
\begin{enumerate}
\item f\"ur $r>0$ ist die Streckung $z\mapsto rz=\tmfrac{\sqrt{r} \cdot z+0}{0\cdot z+\frac{1}{\sqrt{r}}}$ eine M\"obiustransformation,
\item f\"ur $d\in \R$ ist die horizontale Verschiebung $z\mapsto z+d=\tmfrac{1\cdot z+d}{0\cdot z+1}$ eine M\"obiustrans\-for\-mation,
\item die Abbildung  $z\mapsto -\frac{1}{z}=\tmfrac{0\cdot z+1}{(-1)\cdot z+0}$ ist eine M\"obiustransformation.
\end{enumerate}
Wir betrachten die letzte M\"obiustransformation noch etwas genauer.
Diese ist die Verkn\"upfung der Inversion am Einheitskreis $z\mapsto \frac{1}{z}$ mit der Spiegelung $z\mapsto -z$ am Ursprung. Die Abbildung wird in Abbildung~\ref{fig:inversion} skizziert. Der Einfachheit halber nennen wir die Abbildung $z\mapsto -\frac{1}{z}$ ebenfalls eine Inversion.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{inversion.pstex_t}
\caption{}\label{fig:inversion}
\end{center}
\end{figure}


\begin{satz}\label{satz:moebiustransformationen-erzeugt}
Jede M\"obiustransformation kann geschrieben werden als eine Verkn\"upfung von Streckungen,  Verschiebungen und Inversionen am Einheitskreis.
\end{satz}

\begin{proof}
Es seien $a,b,c,d\in \R$ mit~$ad-bc=1$ und es sei  
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6.5cm}\Phi(z)&=& \setminusfrac{az+b}{cz+d}
\intertext{die zugeh\"orige M\"obiustransformation. Wenn $c=0$, dann ist }
 \Phi(z)&=&\setminusfrac{a}{d}z+\setminusfrac{b}{d}\end{array}\end{align*}
die Verkn\"upfung der Streckung $z\mapsto \frac{a}{d}z$ und der Verschiebung $z\mapsto \frac{b}{d}z$. 
Wenn $c\ne 0$, dann ist
\[ \begin{array}{rll} \Phi(z)\,\,=\,\,\setminusfrac{az+b}{cz+d}\,\,=\,\,
\setminusfrac{acz+bc}{c^2z+dc}&=\,\,\setminusfrac{acz+ad-1}{c^2z+cd}
\,\,=\,\,\setminusfrac{-1+a(cz+d)}{c^2z+cd}
\,\,=\,\,\setminusfrac{-1}{c^2z+dc}+\setminusfrac{a}{c}.\\[-0.1cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $ad-bc=1$}\end{array} \]
Wir sehen also, dass $\Phi$ die Verkn\"upfung der folgenden Abbildungen ist:
\[ z\mapsto c^2z,\quad  z\mapsto z+dc, \quad z\mapsto \setminusfrac{-1}{z} \quad\mbox{ und }z\mapsto z+\setminusfrac{a}{c}.\vspace{-0.6cm}\]
\end{proof}


\begin{satz}\label{satz:mobiustransformation-isometrie}
Jede M\"obiustransformation ist eine  orientierungserhaltende Isometrie von $\H$.
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Es gilt auch die interessantere Aussage, dass jede\label{bem:alle-isometrien-moebius} orientierungserhaltende Isometrie von $\H$ eine M\"obiustransformation ist. Dies wird beispielsweise in Theorem~3.19 von Anderson: Hyperbolic Geometry bewiesen.
\end{bemerkung}

\begin{proof}
Nach Satz~\ref{satz:orientierung-homomorphismus} und Satz~\ref{satz:moebiustransformationen-erzeugt} gen\"ugt es zu zeigen, dass 
Streckungen,  Verschiebungen und Inversionen orientierungserhaltende Isometrien sind.

Wir wenden uns zuerst  den Streckungen zu. Es sei also $r>0$. Wir bezeichnen dann mit~$\Phi(z)=rz$ die zugeh\"orige Streckung.  Es sei $z\in \H$. Dann ist
\[ D_z\Phi\,\,=\,\, \Big(\hspace{-0.1cm}\mbox{$\footnotesize{\begin{array}{cc} r&0\\ 0&r\end{array}}$}\hspace{-0.1cm}\Big),\]
diese Matrix hat eine positive Determinante, also ist $\Phi$ orientierungserhaltend. Wir m\"ussen nun noch zeigen, dass $\Phi$ eine Isometrie ist. Es sei also $z\in H$ und es seien  $v,w\in T_z\H=\R^2$. Dann ist
\[ \begin{array}{rlll} (\Phi^*g)_z(v,w)&=\,\,g_{\Phi(z)}\big(D_z\Phi(v),D_z\Phi(w)\big)&=\,\,g_{rz}(rv,rw)&=\,\,
\tmfrac{1}{\operatorname{Im}(rz)^2}\langle rv, rw\rangle\\[-0.1cm]
&&&\uparrow\\
&&&\hspace{-3cm}\mfbox{Definition der Riemannschen  Struktur auf~$\H$}\\
&=\,\, \tmfrac{1}{r^2\operatorname{Im}(z)^2}\cdot r^2\cdot \langle v,w\rangle&=\,\,\tmfrac{1}{\operatorname{Im}(z)^2}\langle v,w\rangle&=\,\, g_z(v,w).\end{array}
\]
Wir haben also gezeigt, dass jede Streckung eine Isometrie ist.

Ganz analog, und noch etwas leichter, kann man  verifizieren, dass Verschiebungen orientierungserhaltende Isometrien von $\H$ sind.

Die Aussage, dass die Inversion $z\mapsto -\frac{1}{z}$ eine orientierungserhaltende Isometrie von $\H$ ist wird in \"Ubungsblatt~10 bewiesen.
\end{proof}



\begin{lemma}\label{lem:moebiustransformationen-transitiv}
Zu je zwei Punkten $P,Q\in \H$ gibt es immer eine M\"obiustransformation $\varphi$ mit~$\varphi(P)=Q$.
\end{lemma}

Man kann das Lemma einfach dadurch beweisen, dass man zwei Punkte $P$ und $Q$ mithilfe von Verschiebungen und Streckungen ineinander \"uberf\"uhrt. Der Beweis wird in \"Ubungsblatt~9 ausgef\"uhrt.

% Ende 17. Vorlesung

Wir f\"uhren jetzt folgende, auf den ersten Blick sehr ungew\"ohnliche Definition ein. Wir werden sp\"ater begr\"unden, warum der Name ``hyperbolische Gerade'' durchaus angebracht ist.

\begin{definition}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
F\"ur jedes $a\in \R$ bezeichnen wir 
\[ \{ z\in \H\,|\, \operatorname{Re}(z)=a\}\]
als \emph{hyperbolische Gerade mit Endpunkten $a$ und $\infty$}.
\item F\"ur $s\in \R$ und $r>0$ bezeichnen wir
\[ \{ z\in \H\,|\, |z-s|=r\}\]
als  \emph{hyperbolische Gerade mit Endpunkten $s-r$ und $s+r$}.
\end{enumerate}
\end{definition}

Eine hyperbolische Gerade vom ersten Typ ist also eine euklidische Halbgerade, welche senkrecht auf der $x$-Achse steht. Eine hyperbolische Gerade vom zweiten Typ entspricht einem euklidischen Halbkreis, dessen Mittelpunkt auf der $x$-Achse liegt.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{hyperbolische-geraden.pstex_t}
\caption{Beispiele von hyperbolischen Geraden.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{lemma}\label{lem:gerade-eindeutig-bestimmt}
Zu je zwei verschiedenen Punkten $P$ und $Q$ in $\H$ gibt es genau eine hyperbolische Gerade $g(P,Q)$ durch $P$ und $Q$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es seien also $P\ne Q$ zwei Punkte in $\H$. Wenn $\operatorname{Re}(P)=\operatorname{Re}(Q)$, dann liegt $g$ auf der hyperbolischen Gerade, welche durch $\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}(P)=\operatorname{Re}(Q)$ beschrieben ist. Wenn $\operatorname{Re}(P)\ne \operatorname{Re}(Q)$, dann gibt es genau einen euklidischen Halbkreis durch $P$ und $Q$, dessen Mittelpunkt auf der $x$-Achse liegt, siehe Abbildung~\ref{fig:hyperbolische-gerade-durch-p-und-q}. Die Eindeutigkeit folgt aus den klassischen S\"atzen der euklidischen Geometrie oder aus einer leichten Rechnung.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{hyperbolische-gerade-durch-p-und-q.pstex_t}
\caption{Hyperbolischen Gerade durch zwei Punkte $P$ und $Q$.}
\label{fig:hyperbolische-gerade-durch-p-und-q}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}

\begin{satz}\label{satz:mobiustransformation-und-geraden}
Es sei $\Phi$ eine M\"obiustransformation. Dann gilt\footnote{Hierbei verwenden wir die \"ublichen ``Rechenregeln'' f\"ur $\infty$, z.B.\ ist  $\frac{1}{0}=\infty$ und $\frac{1}{\infty}=0$.}
\[ \Phi\Big(\begin{array}{c}\mbox{hyperbolische Gerade mit}\\\mbox{Endpunkten $P$ und $Q$}\end{array}\Big)\,\,=\,\,\begin{array}{c}\mbox{hyperbolische Gerade mit}\\\mbox{Endpunkten $\Phi(P)$ und $\Phi(Q)$}.\end{array}\]
\end{satz}

\begin{beispiel}
In Abbildung~\ref{fig:inversion-vertikale-gerade} sehen wir, dass die Inversion angewandt auf eine Gerade von Typ (1) eine Gerade von Typ (2) ergibt.\footnote{Diese Aussage stimmt nicht ganz, f\"ur welche Gerade von Typ (1) erhalten wir keine Gerade von Typ (2)?}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{inversion-vertikale-gerade.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:inversion-vertikale-gerade}
\end{center}
\end{figure}
\end{beispiel} 

\begin{proof}
Nach Satz~\ref{satz:moebiustransformationen-erzeugt} gen\"ugt es den Satz f\"ur 
Streckungen,  Verschiebungen und Inversionen zu beweisen. 
Die Aussage ist offensichtlich f\"ur Streckungen und Verschiebungen. 

Es sei nun $\Phi(z)=-\frac{1}{z}$ die Inversion. Bevor wir uns dem eigentlichen Beweis zuwenden machen wir noch folgende Vorbemerkung:
F\"ur jedes $a\in \R$ ist
\begin{align*}
\begin{array}{rl} \hspace{4cm} \{ z\in \H\,|\, \operatorname{Re}(z)=a\}&=\,\,\{ z\in \H\,|\, z+\overline{z}=2a\}
\intertext{und f\"ur $s\in \R$ und $r>0$ ist}
\{ z\in \H\,|\, |z-s|=r\}&=\,\, \{z\in \H\,|\, z\overline{z}-sz-s\overline{z}=r^2-s^2\}.\\
&\uparrow \\
&\hspace{-1cm}\mfbox{denn $|z-s|^2=(z-s)(\overline{z}-s)$}\end{array}
\end{align*}
Es sei zuerst $g$ eine hyperbolische Gerade vom zweiten Typ, d.h.\ es gibt $s\in \R$ und $r>0$ mit
\[ g\,\,=\,\,  \{ z\in \H\,|\, z\overline{z}-sz-s\overline{z}=r^2-s^2\}.\]
Dann ist
\[
 \begin{array}{rl}\Phi(g)\,\,=\,\, \big\{ z\in \H\,\big|\, \tmfrac{1}{z}\tmfrac{1}{\overline{z}}+s\tmfrac{1}{z}+s\tmfrac{1}{\overline{z}}=r^2-s^2\big\}
 &=\,\,  \big\{ z\in \H\,\big|\, (r^2-s^2)z\overline{z}-s\overline{z}-sz=1\big\}.\\[-0.1cm]
 &\uparrow\\[-0.1cm]
 &\hspace{-1cm}\mfbox{Durchmultiplizieren mit~$z\cdot \overline{z}$}\end{array}\]
Wenn $r^2-s^2=0$, dann beschreibt dies eine hyperbolische Gerade vom ersten Typ und wenn $r^2-s^2\ne 0$, dann beschreibt dies eine hyperbolische Gerade vom zweiten Typ.\footnote{Wenn man genau hinschaut, dann ist das Argument im zweiten Fall etwas flott. Eine Teilmenge der Form
$\{ z\in \H\,|\, z\overline{z}+az+a\overline{z}=b\}$ mit $a,b\in \R$ ist eine hyperbolische Gerade genau dann, wenn $b+a^2>0$. In unserem Fall ist
\[
\big\{ z\in \H\,\big|\, (r^2-s^2)z\overline{z}-s\overline{z}-sz=1\big\}\,=\,
\big\{ z\in \H\,\big|\, z\overline{z}-\tmfrac{s}{r^2-s^2}\overline{z}-\tmfrac{s}{r^2-s^2}z=\tmfrac{1}{r^2-s^2}\big\}\]
gl\"ucklicherweise von dieser Form.}
Der Fall, dass $g$ eine hyperbolische Gerade vom ersten Typ ist, wird ganz analog bewiesen. Die Aussage \"uber die Endpunkte kann man ebenso leicht nachvollziehen.
\end{proof}

Folgendes Lemma wird in \"Ubungsblatt~10 bewiesen.

\begin{lemma}\label{lem:geraden-via-moebiustransformationen}
Zu je zwei hyperbolischen Geraden $g$ und $h$ gibt es immer eine M\"obiustrans\-formation, welche $g$ in $h$ \"uberf\"uhrt. 
\end{lemma}

\begin{satz}\label{satz:geodaeten-auf-h}
Es seien $P$ und $Q$ zwei verschiedene Punkte auf~$\H$. Jede Geod\"ate von $P$ nach $Q$ verl\"auft auf der eindeutigen hyperbolischen Gerade durch $P$ und $Q$. 
\end{satz}


Wie wir gleich sehen werden, ist der Beweis von Satz~\ref{satz:geodaeten-auf-h} formal fast der  gleiche wie der Beweis von Lemma~\ref{lem:wegmetrik-auf-rn} und von Lemma~\ref{lem:geodaete-in-halbsphaere}.

\begin{proof}
Es seien also $P$ und $Q$ zwei verschiedene Punkte auf~$\H$. Nach Satz~\ref{lem:gerade-eindeutig-bestimmt} gibt es eine hyperbolische Gerade $g$, welche $P$ und $Q$ verbindet. Nach Lemma~\ref{lem:geraden-via-moebiustransformationen} gibt es eine  M\"obiustransformation $\Phi$, welche $g$ in die hyperbolische Gerade $h=\{ z\in \H\,|\, \operatorname{Re}(z)=0\}$ \"uberf\"uhrt. Wir schreiben $\Phi(P)=(0,p)$ und $\Phi(Q)=(0,q)$.

Nach Satz~\ref{satz:mobiustransformation-isometrie} ist die M\"obiustransformation $\Phi$  insbesondere eine Isometrie und f\"uhrt damit nach Lemma~\ref{lem:laenge-und-isometrien}  insbesondere Geod\"aten in Geod\"aten \"uber. 
 Es gen\"ugt nun zu zeigen, dass jede Geod\"ate in $\H$ von $(0,p)$ zu $(0,q)$ auf~$h$ liegt. Aber dies folgt sofort aus Lemma~\ref{lem:riemannsche-metrik-auf-r2}, denn die Riemannsche Struktur $g$ auf~$\H$ ist von der Form 
\[ g_{x+iy}(v,w)\,\,=\,\, \setminusfrac{1}{y^2}\langle v,w\rangle\,\,=\,\, \setminusfrac{1}{y^2}v^Tw\,\,=\,\,v^T  \underset{=:A(x,y)}{\underbrace{\begin{pmatrix} \frac{1}{y^2}&0\\ 0&\frac{1}{y^2}\end{pmatrix}}}w.\qedhere\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{geodaeten-auf-h.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Satz~\ref{satz:geodaeten-auf-h}.}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}

Wenn man genau hinschaut, dann sieht man, dass wir eigentlich noch gar nicht gezeigt haben, dass es \"uberhaupt immer eine Geod\"ate zwischen zwei Punkten in $\H$ gibt.
Wir holen dies nun nach.


\begin{satz}\mbox{}\label{satz:geodaete-h2-eindeutig}
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item Es seien $(0,a)$ und $(0,b)$ Punkte in $\H$ mit~$b>a$. Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} \gamma\colon [0,\ln(b)-\ln(a)] &\to & \H\\
t&\mapsto&\footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{c} 0\\ \exp(t+\ln(a))\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big)} \end{array}\]
die einzige Geod\"ate von $(0,a)$ nach $(0,b)$.
\item Es ist
\[ \mbox{hyperbolischer Abstand zwischen  $(0,a)$ und $(0,b)$}\,\,=\,\, \ln(b)-\ln(a).\]
\item Zu je zwei Punkten $P$ und $Q$ in $\H$ gibt es genau eine Geod\"ate von $P$ nach $Q$.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Die Kurve $\gamma$ ist offensichtlich glatt. Au\ss erdem sieht man sofort durch Einsetzen, dass $\gamma(0)=(0,a)$ und $\gamma(\ln(b)-\ln(a))=(0,b)$. Zudem gilt f\"ur alle $t$, dass
\[ \begin{array}{rcl} \|\gamma'(t)\|_{\H}&=& \setminusfrac{1}{\opnormal{$y$-Koordinate von $\gamma(t)^2$}}\langle \gamma'(t),\gamma'(t)\rangle\\
&=&\setminusfrac{1}{\exp(t+\ln(a))^2}\cdot \Big\langle \footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{c} 0\\[0.1cm] \exp(t+\ln(a))\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big)},\footnotesize{\Big(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{c} 0\\ \exp(t+\ln(a))\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big)}\Big\rangle\,\,=\,\,1.\end{array} \]
Der Rest vom Argument ist nun ganz analog zum Beweis von Satz~\ref{satz:einzige-geodaete-in-rn}.
\item Diese Aussage folgt sofort aus (1), denn f\"ur jede Geod\"ate $\gamma\colon [a,b]\to \H$ gilt per Definition einer Geod\"ate, dass $d_\H(\gamma(a),\gamma(b))=b-a$.
\item Diese Aussage kann man, wie \"ublich, mithilfe einer M\"obiustransformation auf den ersten Fall zur\"uckf\"uhren.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

Viele Definitionen und Aussagen der klassischen euklidischen Geometrie \"ubertragen sich auf die hyperbolische Geometrie. 
Beispielsweise werden wir im Folgenden 
Spiegelungen in Geraden im hyperbolischen Raum einf\"uhren.

Wir erinnern uns dazu erst noch einmal an die Definition im euklidischen Fall. Es sei also $g$ eine euklidische Gerade und $P$ ein Punkt, welcher nicht auf $g$ liegt. Wir definieren die Spiegelung $s_g(P)$ wie folgt:
\begin{enumerate}
\item Wir bezeichnen mit $h$ die eindeutig bestimmte euklidische Gerade $h$ durch $P$, welche $g$ orthogonal in einem Punkt $S$ schneidet. 
\item Wir definieren dann $Q=s_g(P)$ als den eindeutig bestimmten Punkt auf $h$, mit $d(S,Q)=d(S,P)$ und mit $P\ne Q$.
\end{enumerate}
F\"ur $P\in g$ definieren wir zudem $s_g(P)=P$.

Wir f\"uhren nun die gleiche Konstruktion hyperbolisch durch.
Es sei also $g$ eine hyperbolische Gerade und $P$ ein Punkt, welcher nicht auf $g$ liegt. Wir definieren die Spiegelung $s_g(P)$ wie folgt:
\begin{enumerate}
\item Man kann leicht zeigen, dass es eine eindeutig bestimmte hyperbolische Gerade $h$ durch $P$ gibt, welche $g$ orthogonal\footnote{Hierbei meinen wir mit ``orthogonal'', dass sich die hyperbolischen Geraden, welche ja euklidische Halbkreise oder Halbgeraden sind, euklidisch orthogonal schneiden.} in einem Punkt $S$ schneidet.\footnote{Die Beweisidee ist immer die gleiche. Man beweist die Aussage zuerst f\"ur die hyperbolische Gerade $g=\{iy\,|\,y\in \R_{>0}\}$ und f\"uhrt dann den allgemeinen Fall mithilfe einer M\"obiustransformation auf den Spezialfall zur\"uck.}
\item Wir definieren dann $Q=s_g(P)$ als den eindeutig bestimmten Punkt auf $h$, mit $d_{\H}(S,Q)=d_{\H}(S,P)$ und mit $P\ne Q$.
\end{enumerate}
F\"ur $P\in g$ definieren wir wiederum $s_g(P)=P$.
Diese beide Konstruktionen von Spiegelungen sind in Abbildung~\ref{fig:spiegelung-in-geraden} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{spiegelung-in-geraden.pstex_t}
\caption{Spiegelung in der hyperbolischen Gerade $g$.}
\label{fig:spiegelung-in-geraden}
\end{center}
\end{figure}

\begin{lemma}\label{lem:spiegelungen-konjugiert}
Es seien $g$ und $h$ zwei hyperbolische Geraden und es sei $\Phi$ eine 
M\"obiustrans\-formation mit $\Phi(g)=h$. Dann gilt
\[ s_g\,\,=\,\,\Phi^{-1}\circ s_h\circ \Phi.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Das Lemma folgt aus der in Satz~\ref{satz:mobiustransformation-isometrie} bewiesenen Tatsache, dass  M\"obiustrans\-formationen Isometrien sind, insbesondere winkelerhaltend sind. 

Genauer gesagt, es sei $P$ ein Punkt, welcher nicht auf $g$ liegt. 
Wir m\"ussen zeigen, dass
\[ \Phi(s_g(P))\,\,=\,\, s_h(\Phi(P)).\]
Es sei $k$ die hyperbolische Gerade durch $P$, welche $g$ orthogonal schneidet.
Es sei $S$ der Schnittpunkt von $k$ und $g$. 
Dann ist $s_g(P):=Q\ne P$ der Punkt, welcher auf $k$ liegt mit $d_\H(P,S)=d_\H(Q,S)$. 
Also ist $\Phi(Q)$ der Punkt, welcher auf $\Phi(k)=:l$ liegt mit $\Phi(Q)\ne \Phi(P)$ und mit  $d_\H(\Phi(P),\Phi(S))=d_\H(\Phi(Q),\Phi(S))$. Aber $\Phi(k)$ ist orthogonal zu $\Phi(g)=h$ und geht durch $\Phi(P)$. Also erhalten wir per Definition von der Spiegelung $s_h(\Phi(P))$ die Gleichheit  $\Phi(Q)=s_h(\Phi(P))$.
\end{proof} 

Wir k\"onnen die Spiegelungen an hyperbolischen Geraden auch explizit angeben.

\begin{lemma}\label{lem:formeln-fuer-spiegelungen}
\mbox{}
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item F\"ur die Gerade $h=\{z\in \H\,|\, \operatorname{Re}(z)=a\}$ ist  die \emph{Spiegelung in $h$} gerade die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \hspace{0.5cm} s_h\colon \H&\to & \H\\
x+iy&\mapsto & 2a-x+iy,\end{array}\]
dies ist also die \"ubliche Spiegelung an der euklidischen Gerade. 
\item F\"ur die Gerade $h=\{z\in \H\,|\, |z-s|=r\}$ ist  die \emph{Spiegelung in $h$} gerade die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} s_h\colon \H&\to & \H\\
z&\mapsto & \tmfrac{r^2}{\,\,\overline{z}-s\,\,}+s,\end{array}\]
dies ist also die \"ubliche Spiegelung am entsprechenden euklidischen Kreis.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
F\"ur die Gerade $h=\{ z\in \H\,|\, \operatorname{Re}(z)=0\}$ ist der Beweis  in Abbildung~\ref{fig:spiegelung-in-vertikaler-gerade}  skizziert. 
Der allgemeine Beweis von (1) verl\"auft ganz analog.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{spiegelung-in-vertikaler-gerade.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:spiegelung-in-vertikaler-gerade}
\end{center}
\end{figure}

Wir betrachten nun die Gerade $g=\{ z\in \H\,|\, |z|=1\}$ mit Endpunkten $\pm 1$. 
Es sei
\[ \Phi(z)\,\,=\,\,\tmfrac{z+1}{z-1} \]
die  M\"obiustransformation, welche  nach Satz~\ref{satz:mobiustransformation-und-geraden} die Eigenschaft besitzt, dass $\Phi(g)=h$. Dann gilt
\[ \begin{array}{rllll} s_g(z)&=\,\,(\Phi^{-1}\circ s_h\circ \Phi)(z)&=
\,\,
\Phi\Big(s_h\Big(\tmfrac{z+1}{z-1}\Big)\Big)&=
\Phi\Big(-\tmfrac{\overline{z}+1}{\overline{z}-1}\Big)\,\,=\,\,
\,\,=\,\,\lmfrac{-\tmfrac{\overline{z}+1}{\overline{z}-1}+1}{-\tmfrac{\overline{z}+1}{\overline{z}-1}-1}  \,\,=\,\,  \lmfrac{1}{\,\,\overline{z}\,\,}.\\[-0.5cm]
&\uparrow&\uparrow&\uparrow \\[-0.3cm]
&\hspace{0.046cm}|&\hspace{0.046cm}|&\hspace{0.046cm}|\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:spiegelungen-konjugiert}}&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $\Phi^{-1}=\Phi$}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{wie oben berechnet ist $s_h(w)=-\overline{w}$}\end{array}\]
Der allgemeine Fall von (2) wird ganz analog behandelt.
\end{proof}



\begin{satz} \label{satz:moebiustransformtation-spiegelungen}
\mbox{}
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item Jede Spiegelung ist eine orientierungsumkehrende Isometrie von $\H$. 
\item
Jede M\"obiustransformation ist die Verkn\"upfung von einer geraden Anzahl an Spiegelungen.\footnote{Ist es m\"oglich, dass eine M\"obiustransformation als Verkn\"upfung von einer ungeraden Anzahl an Spiegelungen geschrieben werden kann? Was besagt Satz~\ref{satz:orientierung-homomorphismus} in diesem Fall?}
\end{enumerate}
\end{satz}
 
\begin{bemerkung}
Wir hatten auf Seite~\pageref{bem:alle-isometrien-moebius} schon erw\"ahnt, dass jede orientierungserhaltende Isometrie von $\H$ eine M\"obiustransformation ist. Satz~\ref{satz:moebiustransformtation-spiegelungen} besagt also insbesondere, dass jede orientierungserhaltende Isometrie von $\H$
die Verkn\"upfung von einer geraden Anzahl an Spiegelungen ist. Genau die gleiche Aussage gilt auch f\"ur den euklidischen Raum: jede orientierungserhaltende Isometrie von $\R^2$  ist
die Verkn\"upfung von einer geraden Anzahl an euklidischen Spiegelungen.\footnote{Dann stellt sich nat\"urlich die Frage, warum diese Aussage im euklidischen Fall wahr ist.} 
\end{bemerkung}

 
\begin{proof}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Man kann problemlos mithilfe der Definitionen  beweisen, dass die Spiegelung in der positiven $y$-Achse, d.h.\ die Abbildung $s_h(x+iy):= -x+iy$ eine orientierungsumkehrende Isometrie von $\H$ ist. Es sei nun $g$ eine beliebige hyperbolische Gerade. Nach
Lemma~\ref{lem:geraden-via-moebiustransformationen} existiert eine M\"obiustransformation $\Phi$ mit $\Phi(g)=h$. Dann gilt nach Lemma~\ref{lem:spiegelungen-konjugiert}, dass  $s_g=\Phi^{-1}\circ s_h\circ \Phi$. Also ist $s_g$ die  Verkn\"upfung von $s_h$ mit zwei M\"obiustransformationen ist. Es folgt nun aus Satz~\ref{satz:orientierung-homomorphismus}, dass jede Spiegelung eine  orientierungsumkehrende Isometrie von $\H$ ist.
\item
Nach Satz~\ref{satz:moebiustransformationen-erzeugt} ist jede M\"obiustransformation  eine Verkn\"upfung von Streckungen,  Verschiebungen und Inversionen. Es gen\"ugt nun also zu zeigen, dass jede dieser Abbildungen die Verkn\"upfung von zwei Spiegelungen ist.

F\"ur eine euklidische Gerade $g$, welche orthogonal zur $x$-Achse ist und f\"ur einen euklidischen Kreis $g$, dessen Mittelpunkt auf der $x$-Achse liegt bezeichnen wir nun kurzzeitig  mit~$s(g)$ die Spiegelung an der entsprechenden hyperbolischen Gerade. 
 
Man kann nun mithilfe von Lemma~\ref{lem:formeln-fuer-spiegelungen} leicht folgende Aussagen zeigen:
\begin{enumerate}[leftmargin=1.6cm]

\item f\"ur $d\in \R$ ist
\[\hspace{0.4cm}(z\mapsto z+d) \,\,=\,\, s\left(\operatorname{Re} (z) = d\right)\circ s\big(\operatorname{Re}( z) = \tmfrac{1}{2}d\big),\]
\item f\"ur $r\in \R_{>0}$ ist
\[(z\mapsto rz) \,\,=\,\, s(|z|=r)\circ s(|z|=\sqrt{r}),\hspace{0.4cm}\]
\item es ist
\[ \big(z\mapsto -\tmfrac{1}{z}\big) \,\,=\,\,s(\operatorname{Re} (z)=0)\circ s(|z|=1|).\hspace{0.2cm}\vspace{-0.6cm}\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}

%======================================
\subsection{Das Poincar\'e-Model f\"ur den hyperbolischen Raum}
In diesem Kapitel f\"uhren wir das Poincar\'e-Model $\D$ f\"ur den hyperbolischen Raum ein. Dies ist eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit, welche isometrisch zu $\H$ ist.
Je nach Problemstellung ist es manchmal einfacher mit~$\H$ oder mit~$\D$ zu arbeiten.

\begin{definition}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Das \emph{Poincar\'e-Model f\"ur den hyperbolischen Raum} ist die Riemannsche Untermannigfaltigkeit, welche gegeben ist durch die offene Scheibe\label{def:poincare-scheibe}
\[ \D\,\,=\,\,\{ z\in \C\,|\, |z|^2<1\}\]
zusammen mit der Riemannschen Struktur $g$, welche an jedem Punkt $z\in \D$ auf dem Tangentialraum $T_{z}\D=\R^2$ gegeben ist durch
\[  \begin{array}{rcl} g_z\colon \R^2\times \R^2&\to & \R \\
(v,w)&\mapsto & \setminusfrac{2}{(1-|z|^2)^2}\langle v, w\rangle.\end{array}\]
\item
Eine \emph{Gerade in $\D$} ist eine Teilmenge von $\D$ der folgenden Form:
\begin{enumerate}
\item der Schnitt $g\cap \D$, wobei $g$ eine euklidische Gerade durch $0$ ist,
\item der Schnitt $K\cap \D$, wobei $K$ ein euklidischer Kreis ist, welcher den Kreis $S^1=\partial \D$ orthogonal schneidet.
\end{enumerate}
Die Schnittpunkte von $g$ beziehungsweise $K$ mit~$S^1$ sind die \emph{Endpunkte der Gerade}.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{geraden-im-poincare-model.pstex_t}
\caption{Beispiele von Geraden im Poincar\'e-Model.}
\end{center}
\end{figure}


\begin{satz}\label{satz:h-und-d-sind-isometrisch}
Die Abbildungen 
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon \H&\to & \D\\
z&\mapsto & \tmfrac{z-i}{z+i}\end{array}\quad \mbox{ und } \quad
\begin{array}{rcl} \Psi\colon \D&\to & \H\\
w&\mapsto & \tmfrac{i+iw}{1-w}\end{array}\]
sind zueinander inverse orientierungserhaltende Isometrien. Diese induzieren zudem Bijektionen  zwischen den hyperbolischen Geraden in $\H$ und den Geraden in $\D$.\footnote{Eine hyperbolische Gerade  $g$ mit Endpunkten $P$ und $Q$ wird hierbei auf eine Gerade in $\D$ mit Endpunkten $\Phi(P)$ und $\Phi(Q)$ geschickt. Hierbei bezeichnen wir mit $\Phi$ die offensichtliche Fortsetzung von der bisherigen Abbildung $\Phi$ zu einer Abbildung $\C\cup \{\infty\}\to \C\cup\{\infty\}$.}
\end{satz}

\begin{proof}
In Analysis~III Lemma~13.2 hatten wir schon bewiesen, dass $\Psi\colon \D\to \H$ ein Diffeomorphismus ist. Wir zeigen nun, dass $\Psi$ eine Isometrie ist.

Wir beginnen mit ein paar Vorbemerkungen. F\"ur $v,w\in \C=\R^2$ ist $\langle v,w\rangle =\operatorname{Re}(v\cdot \overline{w})$. Zudem entspricht das Differential $D_z\Psi$ gerade der Ableitung $\Psi'(z)\in \C$. 

Wir beginnen nun mit dem eigentlichen Beweis, dass $\Psi$ eine Isometrie ist.  Es sei also $z=x+iy\in \D$ und es seien $v,w\in T_z\D=\R^2$. Wir bezeichnen mit $g$ die Riemannsche Struktur auf $\D$ und wir bezeichnen mit $h$ die Riemannsche Struktur auf $\H$. Zudem ist
\[ \Psi'(z)\,\,=\,\, \tmfrac{1+i}{(1-z)^2}.\]

F\"ur $z\in \D$ ist nun
\[\begin{array}{rll} (\Psi^*h)_z(v,w)&=\,\,h_{\Psi(z)}(\Psi'(z),\Psi'(z))\,\,=\,\,
\setminusfrac{1}{\operatorname{Im}(\Psi(z))^2} \operatorname{Re}\big(\Psi'(z)v\cdot \overline{\Psi'(z)}\overline{w}\big)\\
&=\,\,\lmfrac{1}{\operatorname{Im}\big(\frac{i+iz}{1-z}\big)^2}\Psi'(z)\overline{\Psi'(z)}\cdot \operatorname{Re}(v\cdot \overline{w})\,\,\\[0.2cm]
&=\,\,\setminusfrac{1}{-\frac{1}{4}\big(\frac{-i-i\overline{z}}{1-\overline{z}}-\frac{i+iz}{1-z}\big)^2}\setminusfrac{2}{(1-z)^2(1-\overline{z})^2}\cdot \operatorname{Re}(v\cdot \overline{w})\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mfbox{denn $\operatorname{Im}(w)=\frac{1}{2i}(w+\overline{w})$}\\
&=\,\,\tmfrac{-8}{\big((-i-i\overline{z})(1-z)-(i+iz)(1-\overline{z}\big)^2}\cdot \operatorname{Re}(v\cdot \overline{w})\\[0.2cm]
&=\,\,\tmfrac{-8}{(-i+iz-i\overline{z}+iz\overline{z}-i-iz+i\overline{z}+iz\overline{z})^2}\cdot \operatorname{Re}(v\cdot \overline{w})\\
&=\,\,\tmfrac{-8}{(-2i+i2z\overline{z})^2}\cdot \operatorname{Re}(v\cdot \overline{w})
\,\,=\,\,\tmfrac{2}{(1-|z|^2)^2}\cdot \operatorname{Re}(v\cdot \overline{w})\,\,=\,\,g_z(v,w).\end{array}
\]

Den Beweis der Aussage \"uber die Geraden ist ganz \"ahnlich zum Beweis von Satz~\ref{satz:mobiustransformation-und-geraden}. Wir \"uberlassen die Ausf\"uhrung des Beweises als freiwillige \"Ubungs\-auf\-gabe. 
\end{proof}

Nachdem Isometrien unter anderem auch Geod\"aten in Geod\"aten \"uberf\"uhren, erhalten wir aus Satz~\ref{satz:geodaeten-auf-h} und Satz~\ref{satz:h-und-d-sind-isometrisch} folgendes Korollar.

\begin{korollar}\label{korollar:geodaeten-auf-d}
Es seien $P$ und $Q$ zwei verschiedene Punkte auf~$\D$. Jede Geod\"ate von $P$ nach $Q$ verl\"auft auf der eindeutigen  Gerade durch $P$ und $Q$. 
\end{korollar}

Die Definition von Spiegelung in einer Gerade \"ubertr\"agt sich auf das Poincar\'e-Model f\"ur den hyperbolischen Raum. Ganz \"ahnlich zu Lemma~\ref{lem:formeln-fuer-spiegelungen} wir  folgendes Lemma beweisen.

\begin{lemma}\label{lem:hyperbolische-spiegelung}
Es sei $z\in S^1$ und es sei $s_z\colon \D\to \D$ die Spiegelung an der hyperbolischen Gerade $\{ tz\,|\,t\in (-1,1)\}$. Dann ist $s_z$ gegeben durch die \"ubliche euklidische Spiegelung. 
\end{lemma}
                                         
Zum Abschlu\ss{} des Kapitels betrachten wir Abbildung~\ref{fig:escher}. Diese zeigt eine vereinfachte Version von Escher's Circle Limit IV. Das Bild besteht letztendlich aus Sechsecken in $\D$, welche durch Spiegelungen in  Geraden ineinander \"ubergef\"uhrt werden k\"onnen. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{escher.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:escher}
\end{center}
\end{figure}
In Abbildung~\ref{fig:escher-2} sehen wir noch weitere Graphiken von Escher, welche mit Methoden der hyperbolischen Geometrie entworfen wurden. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{escher-2.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:escher-2}
\end{center}
\end{figure}
Mehr \"uber die Mathematik hinter Escher's Bildern kann man beispielsweise auf 
\[\mbox{\url{http://www.math.cornell.edu/~mec/Winter2009/Mihai/index.html}}
\]
und
\[\mbox{\url{http://www.math-art.eu/Documents/pdfs/Dunham.pdf}}\]
nachlesen. Es gibt auch eine lange Liste von Videos zu hyperbolischer Geometrie, beispielsweise 
\[\mbox{\url{https://www.youtube.com/watch?v=eGEQ_UuQtYs}}\]

% Ende 19. Vorlesung

\clearpage
%======================================
\section{Volumen und Kr\"ummung  auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}

Wir f\"uhren nun folgende Bezeichnungen f\"ur Riemannsche Untermannigfaltigkeiten ein:
\begin{enumerate}
\item $\E^n$ bezeichnet $\R^n$  zusammen mit der euklidischen Metrik.
\item $\S^2$ bezeichnet die Sph\"are $S^2$ zusammen mit der sph\"arischen Metrik, d.h.\ mit der \"ublichen Riemannschen Struktur, welche durch das Skalarprodukt in $\R^3$ gegeben ist.
\item Wie zuvor bezeichnet $\H$ die obere Halbebene zusammen mit der hyperbolischen Metrik und $\D$ bezeichnet die offene Scheibe $D_1(0)\subset \C=\R^2$ zusammen mit der  Riemannschen Struktur, welche wir auf Seite~\pageref{def:poincare-scheibe} eingef\"uhrt hatten.
\end{enumerate}
In diesem Kapitel werden wir haupts\"achlich den Fl\"acheninhalt und die Kr\"ummung  auf den obigen Riemannschen Untermannigfaltigkeiten studieren. In diesem Kapitel werden wir an manchen Stellen der Verst\"andlichkeit halber etwas anschaulich argumentieren. 


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\subsection{Volumen auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}
\label{section:integration-riemannschen-untermannigfaltigkeiten}
Es sei $f\colon M\to \R$ eine Funktion auf einer $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $M$.  Wir nehmen zuerst an, dass es eine Karte $\Phi\colon U\to V$ gibt, so dass $\mbox{Tr\"ager}(f)\subset U$. Wir bezeichnen mit~$\Psi\colon V\to U$ die Umkehrabbildung. Wir hatten, siehe Seiten~\pageref{def:definition-gram} und  \pageref{def:integral-von-f-bzgl-karte}, das Integral von $f$ auf~$M$  definiert als
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{3cm} \bint\limits_M f&:=& \bint\limits_{V\cap E_k} f(\Psi(x))\cdot \sqrt{\det\big(\langle \Psi_*e_i,\Psi_*e_j\rangle_{i,j=1,\dots,k}\big)}.
\intertext{Mithilfe von messbaren Zerlegung hatten wir den allgemeinen Fall, d.h.\ das Integral einer beliebigen Funktionen,  auf diesen Spezialfall zur\"uckgef\"uhrt. F\"ur eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit 
 k\"onnen wir nun das Skalarprodukt durch die Riemannsche Struktur ersetzen. Mit anderen Worten wir definieren }
\bint\limits_{(M,g)} f&:=& \bint\limits_{V\cap E_k} f(\Psi(x))\cdot \sqrt{\det\big(g_{\Psi(x)}( \Psi_*e_i,\Psi_*e_j)_{i,j=1,\dots,k}\big)}.\end{array} \end{align*}
Das \label{def:integral-riemannsche-untermanigfaltigkeit} Argument von Satz~\ref{satz:integration-wohldefiniert} zeigt, dass diese Definition nicht von der Wahl der Karte abh\"angt. Wir verallgemeinern diese Definition, ganz analog zur Diskussion  in den Kapiteln~\ref{section:intii} und~\ref{section:intiii}, mithilfe von messbaren Zerlegungen auf  Funktionen, deren Tr\"ager nicht in einer Karte enthalten ist.
F\"ur eine Teilmenge $A\subset M$ definieren wir insbesondere
\[ \operatorname{Vol}_{(M,g)}(A)\,\,:=\,\, \bint\limits_{(M,g)} \chi_A,\]
vorausgesetzt das Integral auf der rechten Seite ist definiert.
Der folgende Satz folgt leicht aus den Definitionen.\footnote{Der Beweis der ersten Aussage ist ganz \"ahnlich dem Beweis der \"Ubungsaufgabe 4 in \"Ubungsblatt~9.}

\begin{satz}\label{satz:isometrie-gleiches-volumen}
Es sei $\varphi\colon (M,g)\to (N,h)$ eine Isometrie zwischen Riemannschen Untermannigfaltigkeiten.
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item F\"ur jede Funktion $f\colon N\to \R$ gilt
\[ \bint\limits_{(M,g)} \varphi\circ f\,\,=\,\, \bint\limits_{(N,h)} f.\hspace{0.7cm}\]
\item F\"ur eine Teilmenge $A$ von $M$ gilt
\[ \hspace{0.5cm}\operatorname{Vol}_{(M,g)}(A)\,\,=\,\, \operatorname{Vol}_{(N,h)}(\varphi(A)).\]
\end{enumerate}
\end{satz}

Wir betrachten nun noch etwas ausf\"uhrlicher den Fl\"acheninhalt von Teilmengen von $\H$. F\"ur eine Teilmenge $A$ von $\H$  bezeichnen wir $\operatorname{Vol}_{\H}(A)$ als den \emph{hyperbolischen Fl\"acheninhalt}.
 F\"ur $A\subset \H$  gilt
\[ \begin{array}{rl} \mbox{hyperbolischer Fl\"acheninhalt}&=\,\,\bbint\limits_{\H} \chi_A(y)\cdot \tmfrac{1}{y^2}\,dx\,dy\,\,=\,\,\bbint\limits_A \tmfrac{1}{y^2}\,dx\,dy.\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-4.2cm}\mfbox{folgt aus der Karte $\Phi=\operatorname{id}$ und $g_{(x,y)}(e_i,e_j)=\frac{1}{y^2}\langle e_i,e_j\rangle$}\end{array}\]

\begin{beispiel}
Wir betrachten die Teilmenge $\Delta$ von $\H$, welche in Abbildung~\ref{fig:volumen-vertikaler-streifen} skizziert ist, wobei $0<\theta<\varphi<\pi$. Es ist
\label{beispiel:volumen-vertikaler-streifen}
\[ \begin{array}{rlll} 
\hspace{-0.4cm}
\begin{array}{c}\mbox{hyperbolischer}\\
\mbox{Fl\"acheninhalt von $\Delta$}\end{array}\hspace{-0.3cm}&=\,\,\bbint\limits_\Delta\tmfrac{1}{y^2}\,dx\,dy
&= \bbint\limits_{x=\cos(\varphi)}^{x=\cos(\theta)}\bbint\limits_{y=\sqrt{1-x^2}}^\infty \tmfrac{1}{y^2}\,dy\,dx=\bbint\limits_{x=\cos(\varphi)}^{x=\cos(\theta)}\hspace{-0.1cm}\Big[\tmfrac{-1}{y}\Big]^{y=\infty}_{y=\sqrt{1-x^2}}\,dx \\[-0.3cm]
&&\uparrow\\
&&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz von Fubini}\\
&=\bbint\limits_{x=\cos(\varphi)}^{x=\cos(\theta)}\hspace{-0.1cm}\tmfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\hspace{-0.2cm}&=\,\,\bbint\limits_{u=\varphi}^{u=\theta}-du\,\,=\,\,\varphi-\theta.\\[-0.3cm]
&&\uparrow\\
&&\hspace{-1.5cm}\mfbox{Substitution $u=\arccos(x)$,}\\[-0.1cm]
&&\hspace{-0.67cm}\mfbox{wobei $\frac{du}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$}
\end{array}\]
Wir sehen also, dass der hyperbolische Fl\"acheninhalt von $\Delta$ endlich ist, obwohl der euklidische Fl\"acheninhalt von $\Delta$ unendlich ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{volumen-vertikaler-streifen.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:volumen-vertikaler-streifen}
\end{center}
\end{figure}

\end{beispiel}




%======================================
\subsection{Winkel und Dreiecke auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}

\begin{definition}
Es sei $(M,g)$ eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit, es sei $P\in M$ und es seien $v,w\in T_PM\setminus \{0\}$. Dann gibt es genau ein $\varphi\in [0,\pi]$ mit
\[ \cos(\varphi)\,\,=\hspace{-0.64cm}\underset{\scriptsize{\begin{array}{c}\opnormal{$\in [-1,1]$ nach der Cauchy-Schwartz}\\ \opnormal{Ungleichung}\end{array}}}{\underbrace{\lmfrac{g(v,w)}{\sqrt{g(v,v)\cdot g(w,w)}},}}\]
welches wir als den \emph{Winkel zwischen $v$ und $w$ bezeichnen}. 
\end{definition}

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}[leftmargin=1.0cm]
\item Es sei $M=\E$, $P\in \E^2=\R^2$ und   $v,w\in T_P\E^2=\R^2$. Es sei $\varphi\in [0,\pi]$ der Winkel zwischen $v$ und $w$. Dies bedeutet gerade, dass
\[ \langle v,w\rangle \,\,=\,\,\cos (\varphi)\cdot \|v\|\cdot \|w\|.\]
Wir erhalten also die \"ubliche Definition f\"ur den Winkel zwischen zwei Vektoren in $\R^2$.
\item F\"ur $M=\S^2$ ist die Riemannsche Struktur gegeben, durch die Einschr\"ankung des Skalarprodukts von $\R^3$ auf den jeweiligen Tangentialraum. Es folgt also aus dem gleichen Argument wie in (1), dass der Winkel zwischen zwei Tangentialvektoren gerade der \"ubliche euklidische Winkel ist.
\item  Es sei $U\subset \R^2$ eine offene Teilmenge und es sei $\rho\colon U\to \R_{>0}$ eine nichtnegative glatte Funktion. Wir betrachten dann auf $U$ die Riemannsche Struktur $g=g(\rho)$, welche wir  schon auf Seite~\pageref{bsp:g(rho)}  eingef\"uhrt hatten, und welche an einem Punkt $P\in U$ gegeben ist durch
\[ \begin{array}{rcl}g(\rho)_P\colon T_PU\times T_PU&\to &\R\\
(v,w)&\mapsto & \rho(P)\cdot \langle v,w\rangle.\end{array}\]
 F\"ur $P\in U$ und $v,w\in T_U=\R^2$ gilt dann
\[
\begin{array}{rl} 
\hspace{0.7cm}
\lmfrac{g(v,w)}{\sqrt{g(v,v)\cdot g(w,w)}}\,\,=\,\,\lmfrac{\rho(P)\langle v,w\rangle }{\sqrt{\rho(P)\langle v,v\rangle\cdot \rho(P)\langle w,w\rangle }}&=\,\, \lmfrac{\langle v,w\rangle}{\sqrt{\langle v,v\rangle\cdot \langle w,w\rangle}}\,\,=\,\,\lmfrac{\langle v,w\rangle}{\|v\|\cdot \|w\|}.\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm} \mfbox{denn $\rho(P)$ k\"urzt  sich weg}\end{array}\]
Also ist
\[ 
\hspace{0.8cm}\mbox{Winkel zwischen $v$ und $w$ in $(U,g(\rho))$}\,\,=\,\,\mbox{euklidischer Winkel zwischen $v$ und $w$.}\]
Wenn wir diese Beobachtung auf den hyperbolischen Raum $\H$
anwenden, erhalten wir, dass f\"ur $P\in \H$ und $v,w\in T_P\H=\R^2$ gilt, dass
\[
\hspace{1cm}\mbox{hyperbolischer Winkel zwischen $v$ und $w$}\,\,=\,\,\mbox{euklidischer Winkel zwischen $v$ und $w$.}\]

Genau das gleiche Argument zeigt auch, dass in $\D$ der hyperbolische Winkel ebenfalls gerade dem euklidischen Winkel entspricht.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

Das n\"achste Lemma folgt sofort aus den Definitionen.

\begin{lemma}\label{lem:isometrien-winkelerhaltend}
Jede lokale Isometrie $\varphi\colon (M,g)\to (N,h)$ zwischen zwei Riemannschen Untermannigfaltigkeiten ist winkelerhaltend\footnote{In der Literatur werden winkelerhaltende Abbildungen gerne auch \emph{konform} genannt.}, d.h.\ f\"ur alle $P\in M$ und alle $v,w\in T_PM$ gilt
\[ \emph{Winkel zwischen $v$ und $w$ in $T_PM$}\,\,=\,\,
\emph{Winkel zwischen $\varphi_*v$ und $\varphi_*w$ in $T_{\varphi(P)}N$.}\]
\end{lemma}


\begin{definition}
Es sei $(M,g)$ eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit. 
\begin{enumerate}
\item Es seien $A,B\in M$. Eine \emph{Strecke von $A$ nach $B$} ist das Bild einer Geod\"ate von $A$ nach $B$.
\item Es sei $b$ eine Strecke von $A$ nach $B$ und es sei $c$ eine Strecke von $A$ nach $C$. Wir bezeichnen mit~$\beta$ und $\gamma$ die entsprechenden Geod\"aten. Wir definieren
\[ \mbox{Winkel zwischen $b$ und $c$}\,\,:=\,\, \mbox{Winkel zwischen $\beta'(0)$ und $\gamma'(0)$.}\]
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
F\"ur $(M,g)=\E^2$ erhalten wir nach Satz~\ref{satz:einzige-geodaete-in-rn} den \"ublichen Begriff von einer Strecke und es gibt genau eine Strecke zwischen zwei Punkten.
In $\S^2$ gibt es nach Satz~\ref{satz:geodaete-auf-s2} f\"ur $A\ne -B$ ebenfalls genau eine Strecke von $A$ nach $B$. Wenn $A$ und $B$ Antipoden sind, d.h.\ wenn $A=-B$, dann gibt es jedoch unendlich viele Strecken von $A$ nach $B$. Auf $\H$ gibt es nach Satz~\ref{satz:geodaete-h2-eindeutig} immer nur genau eine Strecke zwischen zwei Punkten.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{beispiele-von-strecken.pstex_t}
\caption{Beispiele von Strecken in $\E^2$, $\S^2$ und $\H$.}
\label{fig:beispiele-von-strecken}
\end{center}
\end{figure}
\end{beispiel}


\begin{definition}
Es sei $(M,g)$ eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit. 
Ein \emph{Dreieck} $\Delta_{ABC}$ ist eine offene\footnote{Warum habe ich das Dreieck nicht als kompakte Teilmenge mit den entsprechenden Eigenschaften definiert?} Teilmenge von $M$ mit folgender Eigenschaft: Der Rand\footnote{Hierbei bezeichnen wir mit~$\partial{\Delta_{ABC}}$ den topologischen Rand von der Teilmenge $\Delta_{ABC}$ von $M$} kann geschrieben werden als 
\[ \partial  \Delta_{ABC}\,\,=\,\,  a\, \cup\, b\,\cup\, c,\]
wobei gilt
\begin{enumerate}
\item $a$ ist eine Strecke von $B$ nach $C$,
\item $b$ ist eine Strecke von $A$ nach $C$,
\item $c$ ist eine Strecke von $A$ nach $B$,
\item es ist $a\cap b=\{C\}$, $a\cap c=\{B\}$ und $b\cap c=\{A\}$.
\end{enumerate}
Wir bezeichnen  $A,B$ und $C$ als die \emph{Eckpunkte von $\Delta_{ABC}$}, wir bezeichnen $a,b,c$ als die \emph{Seiten von $\Delta_{ABC}$} und wir bezeichnen die Winkel zwischen den Strecken als die \emph{Innenwinkel von $\Delta_{ABC}$}.
\end{definition}

\begin{beispiel}
F\"ur $(M,g)=\E^2$ erhalten wir den \"ublichen Begriff von einem Dreieck.
In $\S^2$ wird ein Dreieck durch Gro\ss kreise beschrieben und in $\H$ wird ein Dreieck durch hyperbolische Geraden beschrieben.
Beispiele von solchen Dreiecken werden in Abbildung~\ref{fig:beispiele-von-dreiecken} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{beispiele-von-dreiecken.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:beispiele-von-dreiecken}
\end{center}
\end{figure}
\end{beispiel}

 
\begin{satz}
\label{satz:flaecheninhalt-dreieck-s2}
Es sei $\triangle_{ABC}$ ein Dreieck auf~$\S^2$, welches sich in einer offenen Halbsph\"are befindet.
Dann gilt
\[ 
\mbox{Fl\"acheninhalt von }\triangle_{ABC}\,\,=\,\,\mbox{Summe der Innenwinkel}-\pi.\]
\end{satz}

\begin{bemerkung}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Satz~\ref{satz:flaecheninhalt-dreieck-s2} besagt also, dass der Fl\"acheninhalt von einem Dreieck auf~$
\S^2$  durch seine Innenwinkel festgelegt ist, oder mit anderen Worten, aus seinen Innenwinkeln bestimmt werden kann.
\item Die vorherige Bemerkung auch auf der Erde und gilt insbesondere f\"ur alle Dreiecke, welche man in der Schule gezeichnet und abgemessen hat. Diese Dreiecke sind jedoch im Vergleich zur Erdoberfl\"ache so klein, dass man den Unterschied zwischen der Summe der Innenwinkel und $\pi$ nicht messen kann.
\end{enumerate}
\end{bemerkung}


\begin{beispiel}
Wir betrachten ein Dreieck, welches aufgespannt wird durch den ``Nordpol'' $(0,0,1)$ und zwei Punkte auf dem ``\"Aquator'' $\{(x,y,z)\in S^2\,|\,z=0\}$, siehe Abbildung~\ref{fig:dreieck-s2}. Es sei $\alpha$ der Innenwinkel am Nordpol. Die Innenwinkel an den Punkten auf dem \"Aquator sind gerade $\frac{\pi}{2}$. Wir sehen also, dass der Fl\"acheninhalt des Dreiecks gegeben ist durch 
\[ \text{Summe der Innenwinkel} -\pi\,\,=\,\,\alpha+\tmfrac{\pi}{2}+\tmfrac{\pi}{2}-\pi\,\,=\,\,\alpha.\]
Das gleiche Ergebnis h\"atten wir nat\"urlich auch mit der Rechenmethode auf Seite~\pageref{beispiel:flaeche-s2} bestimmen k\"onnen. 
\end{beispiel}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{dreieck-s2.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:dreieck-s2}
\end{center}
\end{figure}


 

\begin{proof}
Wir beginnen den Beweis mit einer einfachen Vorbemerkung.
Ein \emph{Zweieck mit Winkel $\alpha\in (0,\pi)$} ist eine Teilmenge von $S^2$, welche durch zwei Gro\ss kreise begrenzt wird, welche den Winkel $\alpha$ einschlagen. Diese Definition wird in Abbildung~\ref{fig:zweieck} illustriert.
 \begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{zweieck.pstex_t}
 \caption{Ein Zweieck mit Innenwinkel $\alpha$ auf~$S^2$. }
 \label{fig:zweieck}
 \end{center}
 \end{figure}
Mit fast dem gleichen Argument wie auf Seite~\pageref{beispiel:flaeche-s2} sieht man, dass 
\[\mbox{Fl\"acheninhalt von Zweieck mit Winkel $\alpha$}\,\, = 2\alpha.\]

Wir beginnen nun mit dem eigentlichen Beweis von Satz~\ref{satz:flaecheninhalt-dreieck-s2}.
Es sei also $\Delta=\triangle_{ABC}$ ein Dreieck auf~$S^2$.
Die drei Gro\ss{}kreise, welche durch die Seiten des Dreiecks gebildet werden, zerteilen $S^2$ in folgende acht Dreiecke:\footnote{Zwei Gro\ss kreise zerlegen $S^2$ in vier Zweiecke, der dritte Gro\ss kreis zerteilt nun jedes Zweieck in zwei Dreiecke, wir erhalten also insgesamt acht Dreiecke.}
\begin{enumerate}
\item das urspr\"ungliche Dreieck $\Delta$,
\item das Dreieck $X$, welches auf der anderen Seite der Strecke $BC$ liegt,\footnote{Etwas genauer, $X$ ist das Dreieck, welches von $B$, $C$ und vom Spiegelbild $-A$ aufgespannt wird.}
\item das Dreieck $Y$,  welches auf der anderen Seite der Strecke $AC$ liegt,
\item das Dreieck $Z$, welches auf der anderen Seite der Strecke $AB$ liegt,
\item die Spiegelungen $\Delta',X',Y',Z'$ der Dreiecke $\Delta,X,Y,Z$ im Ursprung.
\end{enumerate} 
Diese acht Dreiecke sind in Abbildung~\ref{fig:acht-dreiecke} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{8-dreiecke.pstex_t}
\caption{}\label{fig:acht-dreiecke}
\end{center}
\end{figure}
Wir bezeichnen  mit~$x,y,z,\delta,x',y',z',\delta'$ die Fl\"acheninhalte von $X,Y,Z,\triangle$, $X',Y',Z',\triangle'$. 
Offensichtlich ist $\triangle\cup X$ ein Zweieck mit Winkel $\alpha$.\footnote{Wenn man ganz genau hinschaut, dann sieht man, dass die Aussage so nicht ganz stimmt. Wir hatten Dreiecke und Zweiecke als offene Teilmengen definiert. Also ist die Vereinigung von $\Delta$ mit $X$ \emph{und mit einer Kante} ein Zweieck. Nachdem wir uns nur f\"ur Fl\"acheninhalte interessieren ignorieren wir durchgehend Nullmengen in diesem Beweis.} Damit folgt aus der Vorbemerkung, dass $x+\delta = 2\alpha$. Analog gilt $x+\delta = 2\beta$ und $z+\delta = 2\gamma$.
Es folgt nun, dass 
\[
\begin{array}{rll}
4\pi\, =\,\mbox{Fl\"acheninhalt von $S^2$}\hspace{-0.1cm}&=\, \delta+ \delta' + x +x' + y+y'+z+z' &=\, 2\delta + 2 x + 2 y + 2 z\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-3cm}\mfbox{Zerlegung von $S^2$ in die 8 Dreiecke}&\hspace{-3.5cm}\mfbox{$\Delta$ und $\Delta'$ sind Spiegelbilder, also ist $\delta=\delta'$,}\\[-0.1cm]
&&\hspace{-3.2cm}\mfbox{ganz analog gilt $x = x'$, $y = y'$, $z = z'$}
\\[0.2cm]
&=\,2(\underset{=2\alpha}{\underbrace{\delta+x}})+2(\underset{=2\beta}{\underbrace{\delta+y}})+2(\underset{=2\gamma}{\underbrace{\delta+z}})-4\delta\hspace{-0.1cm}&=\,4(\alpha+\beta+\gamma)-4\delta.\end{array}\]
Durch Aufl\"osen nach $\delta$ erhalten wir jetzt die gew\"unschte Aussage.\footnote{In der Voraussetzung von Satz~\ref{satz:flaecheninhalt-dreieck-s2} steht: es sei $\triangle_{ABC}$ ein Dreieck auf~$\S^2$, \emph{welches sich in einer offenen Halbsph\"are befindet}. Haben wir diese Voraussetzung irgendwo verwendet? Gilt die Aussage des Satzes auch ohne die Voraussetzung?}
\end{proof}


Wir wenden uns nun den hyperbolischen Dreiecken zu. Auch in diesem Fall erhalten wir eine denkbar einfache Formel.

\begin{satz}\label{satz:flaecheninhalt-dreieck-h}
Es sei $\Delta_{ABC}$ ein Dreieck in $\H$. Dann gilt
\[ 
\mbox{hyperbolischer Fl\"acheninhalt von }\triangle_{ABC}\,\,=\,\,\pi-\mbox{Summe der Innenwinkel}.\]
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Satz~\ref{satz:flaecheninhalt-dreieck-h} besagt also insbesondere, dass der Fl\"acheninhalt von einem hyperbolischen Dreieck immer kleiner als $\pi$ ist.
\end{bemerkung}

Wir skizzieren im Folgenden den Beweis von Satz~\ref{satz:flaecheninhalt-dreieck-h}.   Wir erweitern dazu den Begriff von einem Dreieck.                      
\begin{enumerate}
\item Es sei $P\in \H$ und $Q\in \R\cup \{\infty\}$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte hyperbolische Gerade $g$ durch $P$ mit Endpunkt $Q$.\footnote{Warum ist dies der Fall?} Der \emph{Halbstrahl von $P$ nach $Q$} ist die Menge aller Punkte auf~$g$, welche zwischen $P$ und $Q$ liegen.
\item Es seien $P$ und $Q$ zwei verschiedene Punkte in $\H$ und es sei $R\in \R\cup \{\infty\}$. 
Das \emph{ideale Dreieck} $\Delta_{PQR}$ ist definiert als die offene Teilmenge von $\H$, welche begrenzt ist durch 
\[ \hspace{1cm}\mbox{Strecke von $P$ nach $Q$}\cup \mbox{Halbstrahl von $P$ nach $R$} \cup \mbox{Halbstrahl von $Q$ nach $R$}.\]
Der  Innenwinkel am Punkt $R$ ist hierbei per Definition der Nullwinkel.
\end{enumerate}
Die Definitionen werden in Abbildung~\ref{fig:ideales-dreieck} illustriert. 
\begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{ideales-dreieck.pstex_t}
 \caption{}
 \label{fig:ideales-dreieck}
 \end{center}
 \end{figure}
 

\begin{lemma}\label{lem:ideales-dreieck}
Es sei $\Delta_{ABC}$ ein ideales Dreieck. Dann gibt es eine M\"obiustransformation $\Phi$, so dass 
\[  \Phi(\Delta_{ABC})\,\,=\,\,\Delta_{PQ\infty},\]
wobei $P$ und $Q$ auf der hyperbolischen Gerade $\{z\in \H\,|\,|z|=1\}$ liegen.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei $\Delta_{ABC}$ ein ideales Dreieck. Wir betrachten zuerst den Fall, dass $C=\infty$. Durch Verschieben und Strecken k\"onnen wir den die hyperbolische Gerade durch $A$ und $B$ in den Einheitskreis $\{z\in \C\,|\, |z|=1\}$ \"uberf\"uhren. Aber dann haben wir auch $\Delta_{ABC}$ in die gew\"unschte Form \"ubergef\"uhrt.

Wir betrachten nun noch den Fall, dass $C\in \R$. Nach einer Verschiebung k\"onnen wir annehmen, dass $C=0$. Wir wenden die Inversion $z\mapsto \frac{-1}{z}$ an. Unter dieser Abbildung wird $C=0$ in den Punkt $\infty$ \"ubergef\"uhrt. Wir fahren jetzt wie im ersten Fall fort.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:flaecheninhalt-dreieck-h}]
Wir beweisen zuerst folgende etwas einfachere Behauptung.

\begin{behauptung}
Es seien $A,B\in \H$ und es sei $D\in \R\cup \{\infty\}$. Dann gilt
\[ 
\mbox{Fl\"acheninhalt von }\triangle_{ABD}\,\,=\,\,\pi-\mbox{Summe der Innenwinkel}.\] 
\end{behauptung}

Nach Lemma~\ref{lem:ideales-dreieck} gibt es eine M\"obiustransformation $\Phi$, so dass 
$\Phi(\Delta_{ABD})=\Delta_{PQ\infty},$
wobei $P=e^{i\theta}$ und $Q=e^{i\varphi}$ mit~$0<\theta<\varphi<\pi$.
M\"obiustransformationen sind nach Satz~\ref{satz:mobiustransformation-isometrie} Isometrien von $\H$ und erhalten daher nach 
Lemma~\ref{lem:laenge-und-isometrien} und Satz~\ref{satz:isometrie-gleiches-volumen} Winkel und Fl\"acheninhalte. Es gen\"ugt daher die Aussage f\"ur $\Delta_{PQ\infty}$ zu beweisen.
Hierbei ist
\[ \begin{array}{rll}
\mbox{Fl\"acheninhalt von }\triangle_{PQ\infty}&=\,\,\varphi-\theta&=\,\, \pi-\mbox{Summe der Innenwinkel}.\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-3.6cm}\mfbox{siehe Berechnung auf Seite~\pageref{beispiel:volumen-vertikaler-streifen}}
&\hspace{-0.3cm}\mfbox{siehe Abbildung~\ref{fig:volumen-ideales-dreieck}}\\[-0.1cm]
\end{array}\]
Wir haben damit die Behauptung bewiesen.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{volumen-ideales-dreieck.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:volumen-ideales-dreieck}
\end{center}
\end{figure}

Es sei nun $\Delta_{ABC}$ ein Dreieck in $\H$. 
Wir bezeichnen mit~$R$ den  Punkt auf~$\R\cup \{\infty\}$, den wir dadurch erhalten, dass wir die Strecke von $A$ nach $C$ zu einem Halbstrahl verl\"angern. 
Wir betrachten die Winkel, welche in Abbildung~\ref{fig:volumen-hyperbolisches-dreieck} skizziert sind.
Wir erhalten nun, dass
\[ 
\begin{array}{rll}
\mbox{Fl\"acheninhalt}(\triangle_{ABC})\hspace{-0.2cm}&=
\mbox{Fl\"acheninhalt}(\triangle_{ABR})\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}
\mbox{Fl\"acheninhalt}(\triangle_{CBR})\\
&=(\pi\hspace{-0.07cm}-\hspace{-0.07cm}\alpha\hspace{-0.07cm}-\hspace{-0.07cm}(\beta\hspace{-0.07cm}+\hspace{-0.07cm}\beta'))\hspace{-0.07cm}-\hspace{-0.07cm}(\pi\hspace{-0.07cm}-\hspace{-0.07cm}\gamma'\hspace{-0.07cm}-\hspace{-0.07cm}\beta')\,=\, -\hspace{-0.07cm}\alpha\hspace{-0.07cm}-\hspace{-0.07cm}\beta\hspace{-0.07cm}+\hspace{-0.07cm}\gamma'\hspace{-0.2cm}&=\, \pi\hspace{-0.07cm}-\hspace{-0.07cm}\alpha\hspace{-0.07cm}-\hspace{-0.07cm}\beta\hspace{-0.07cm}-\hspace{-0.07cm}\gamma.\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}
\mfbox{obige Behauptung angewandt auf die}
&\hspace{-0.5cm} \mfbox{denn $\gamma'+\gamma=\pi$}
\\[-0.1cm]
&\hspace{-1cm}\mfbox{idealen Dreiecke $\Delta_{ABR}$ und $\Delta_{CBR}$}\end{array}\vspace{-0.6cm}\]
\end{proof}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{volumen-hyperbolisches-dreieck.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:volumen-hyperbolisches-dreieck}
\end{center}
\end{figure}

Zum Abschlu\ss{} der Diskussion von Dreiecken formulieren wir  folgenden vertrauten Satz.

\begin{satz}\label{satz:sws-hyperbolisch}
Es seien $\Delta_{ABC}$ und $\Delta_{DEF}$ zwei Dreiecke in $\H$ mit $\sphericalangle ABC=\sphericalangle DEF>0$ und mit  $d(B,A)=d(E,D)$ und $d_\H(B,C)=d_\H(E,F)$. Dann gibt es genau eine M\"obiustrans\-formation $\Phi$  mit $\Phi(B)=E$ und $\Phi(\Delta_{ABC})=\Delta_{DEF}$. 
\end{satz}

\begin{proof}[Beweisskizze]
Wir sagen ein Dreieck $\Delta_{PQR}$ ist \emph{positiv orientiert}, wenn die Tangentialvektoren der Strecken $PQ$ und $QR$ am Punkt $Q$ eine positive Basis von $T_Q\H=\R^2$ bilden. 

Es seien nun $\Delta_{ABC}$ und $\Delta_{DEF}$ zwei Dreiecke in $\H$ mit $\sphericalangle ABC=\sphericalangle DEF>0$ und mit  $d(B,A)=d(E,D)$ und $d(B,C)=d(E,F)$. Indem wir notfalls $A$ und $C$ beziehungsweise $D$ und $F$ vertauschen k\"onnen wir o.B.d.A.\ annehmen, dass $\Delta_{ABC}$ und $\Delta_{DEF}$ positiv orientiert sind. 

Es gen\"ugt nun den Fall zu betrachten\footnote{Warum?}, dass $E=i$, dass $D=iy$ f\"ur $y>1$, und dass zudem $F\in \H$ mit $\operatorname{Re}(C)<0$. Wir zeigen zuerst, dass es eine M\"obiustrans\-form\-ation $\Phi$ mit $\Phi(B)=E$ und $\Phi(\Delta_{ABC})=\Delta_{DEF}$ gibt. Nach 
Lemma~\ref{lem:geraden-via-moebiustransformationen} existiert eine M\"obiustransformation $\Phi$ mit $\Phi(g(B,A))=g(D,E)$. Nach Anwendung einer Streckung und eventuell einer Inversion k\"onnen wir zudem annehmen, dass $\Phi(B)=E$ und $\Phi(A)=iy'$ f\"ur ein $y'>1$. Aus $d_\H(A,B)=d_\H(D,E)$ folgt dann $y=y'$, d.h.\ $\Phi(B)=E$. Der Halbstrahl $\Phi(\overrightarrow{BC})$ schl\"agt den Winkel 
 $\sphericalangle ABC=\sphericalangle DEF$ mit dem Halbstrahl $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{ED}$ ein. Aus der Tatsache, dass beide Dreiecke positiv orientiert sind folgt nun, dass $\Phi(\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{EF}$. Nachdem $d_\H(C,B)=d_\H(F,E)$ folgt dann $\Phi(C)=F$. Zusammengefasst gilt also $\Phi(\Delta_{ABC})=\Delta_{DEF}$.

Die Eindeutigkeit von $\Phi$ wird in \"Ubungsblatt~10 bewiesen.
\end{proof}


%======================================
\subsection{Kr\"ummung  auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten}
\label{section:kruemmung-riemannsche-untermannigfaltigkeiten}
Es gibt eine sehr gut entwickelte Theorie von ``Kr\"ummung'' auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten. Wir haben leider keine Zeit, diese in dieser Vorlesung zu entwickeln. Wir begn\"ugen uns deshalb mit einer sehr anschaulichen Definition auf 2-dimensionalen Riemannschen Untermannigfaltigkeiten.

\begin{definition}
Es sei $(M,g)$ eine 2-dimensionale Riemannsche Untermannigfaltigkeit und es sei $P\in M$.
Wir sagen die \emph{Kr\"ummung in $P$ ist positiv}, wenn es eine Umgebung $U$ von $P$ gibt, so dass f\"ur jedes Dreieck in $U$ gilt, dass 
\[ \mbox{Summe der Innenwinkel} \,\,>\,\,\pi.\]
Ganz analog definieren wir auch, dass die Kr\"ummung in $P$  negativ ist.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
Die obige Definition ist weit entfernt von der Standarddefinition der Kr\"ummung einer 2-dimensionalen Riemannschen Untermannigfaltigkeit. 
Mit mehr Aufwand kann man jedem Punkt $P$ einer 2-dimensionalen Riemannschen Untermannigfaltigkeit eine Kr\"ummung $k(P)\in \R$ zuordnen. Das Vorzeichen von $k(P)$ entspricht dann der obigen Konvention.
\end{bemerkung}
 
\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es folgt aus Satz~\ref{satz:flaecheninhalt-dreieck-s2}, dass  die Kr\"ummung in jedem Punkt auf~$\S^2$ positiv ist.
\item Es folgt aus Satz~\ref{satz:flaecheninhalt-dreieck-h}, dass  die Kr\"ummung in jedem Punkt auf~$\H$ negativ ist.
\item In den Abbildungen~\ref{fig:kruemmung-auf-flaechen} und~\ref{fig:kruemmung-auf-flaechen-2} sind mehrere Punkte von positiven und negativer Kr\"ummung skizziert. F\"ur einen Punkt $P$ auf einer Fl\"ache $M$ in $\R^3$ gilt anschaulich gesprochen folgende Regel:
\begin{enumerate}
\item die Kr\"ummung ist positiv, wenn die Fl\"ache in der N\"ahe von $P$ wie eine Ausbuchtung ausschaut,
\item die Kr\"ummung ist negativ, wenn die Fl\"ache in der N\"ahe von $P$ wie ein Sattel ausschaut.
\end{enumerate}
In Riemannschen Untermannigfaltigkeiten h\"angt im Allgemeinen die Kr\"ummung vom Punkt ab.
\begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{kruemmung-auf-flaechen.pstex_t}
 \caption{}
 \label{fig:kruemmung-auf-flaechen}
 \end{center}
 \end{figure}
\begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{kruemmung-auf-flaechen-2.pstex_t}
 \caption{}
 \label{fig:kruemmung-auf-flaechen-2}
 \end{center}
 \end{figure}
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}
Es sei $(M,g)$ eine 2-dimensionale Riemannsche Untermannigfaltigkeit.\label{def:konstante-kruemmung-untermannigfaltigkeiten}
\begin{enumerate}
\item Wir sagen $(M,g)$ ist \emph{lokal isometrisch} zu einer 2-dimensionalen Riemannschen Untermannigfaltigkeit $(N,h)$, wenn es f\"ur jedes $P\in M$ eine offene Umgebung $U$ und eine offene Teilmenge $V\subset N$ sowie eine Isometrie $\varphi\colon (U,g)\to (V,h)$ gibt.
\item Wir sagen $(M,g)$  besitzt \emph{konstante Kr\"ummung $0$}, wenn $(M,g)$ lokal isometrisch zu $\E^2$ ist.
\item Wir sagen $(M,g)$ besitzt \emph{konstante Kr\"ummung $+1$}, wenn $(M,g)$ lokal isometrisch zu $\S^2$ ist.
\item Wir sagen $(M,g)$ besitzt \emph{konstante Kr\"ummung $-1$}, wenn $(M,g)$ lokal isometrisch zu $\H$ ist.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bemerkung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Wenn eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit $(M,g)$ konstante Kr\"ummung $+1$ besitzt, dann folgt leicht aus Satz~\ref{satz:flaecheninhalt-dreieck-s2}, dass  die Kr\"ummung in jedem Punkt auf~$M$ positiv ist. Die analoge Aussage gilt nach Satz~\ref{satz:flaecheninhalt-dreieck-h} auch, wenn wir ``$+1$'' und ``positiv'' durch ``$-1$'' und ``negativ'' ersetzen.
\item Es sei $\chi\in \{-1,0,+1\}$ und es sei $(M,g)$ eine  Riemannsche Untermannigfaltigkeit, welche konstante Kr\"ummung $\chi$ besitzt. Dann folgt aus Satz~\ref{satz:flaecheninhalt-dreieck-s2},  Satz~\ref{satz:flaecheninhalt-dreieck-h} und aus klassischer Schulmathematik, dass f\"ur jedes gen\"ugend kleine Dreieck in $(M,g)$ die Gleichung 
\[ \chi\cdot \mbox{Fl\"acheninhalt des Dreiecks}\,\,=\,\,\mbox{Summe der Innenwinkel}\,-\,\pi\]
gilt.
\item Der Zylinder \label{bsp:zylinder-kruemmung-0}
\[ Z\,\,:=\,\,\{(x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2=1\}\]
besitzt
konstante Kr\"ummung $0$. In der Tat zeigt die Rechnung von Seite~\pageref{bsp:zylinder-isometrisch-zu-r2}, dass die Abbildung
\[  \begin{array}{rcl} \R^2&\to & Z\\ (s,t)&\mapsto &\mbox{$\footnotesize{ \bigg(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{c}\cos s\\\sin s\\t \end{array} \hspace{-0.1cm}\bigg).}$}\end{array}\]
eine lokale Isometrie ist. Diese Abbildung ist anschaulich dadurch gegeben, dass wir ein Blatt Papier zu einem  Zylinder ``Zusammenrollen''.  Auf dem Blatt Papier ist die Winkelsumme immer $\pi$, nachdem das Zusammenrollen eine lokale Isometrie ist, gilt dies auch f\"ur Dreiecke auf dem Zylinder. 
\begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{kruemmung-auf-zylinder.pstex_t}
 \caption{}
 \label{fig:kruemmung-auf-zylinder}
 \end{center}
 \end{figure}
\end{enumerate}
\end{bemerkung}

Wir haben gerade gesehen, dass der Zylinder konstante Kr\"ummung $0$ besitzt. Andererseits hatten wir in Abbildung~\ref{fig:kruemmung-auf-flaechen} anschaulich gesehen, dass der Standardtorus in $\R^3$ keine konstante Kr\"ummung besitzt. Es stellt sich jetzt folgende Frage:

\begin{frage}\label{frage:kruemmung-auf-flaechen}
Gibt es geschlossene 2-dimensionale Riemannsche Untermannigfaltigkeiten, au\ss er $\S^2$, welche konstante Kr\"ummung besitzen?
\end{frage}

% Ende 19. Vorlesung

\clearpage 


%======================================
\section{Topologische R\"aume II}

Wir haben uns jetzt also ausf\"uhrlich mit Untermannigfaltigkeiten besch\"aftigt.
Die Theorie der  Untermannigfaltigkeiten ist aus mehreren Gr\"unden etwas unbefriedigend:
\begin{enumerate}
\item Unser Universum schaut zwar in unserer Umgebung aus wie eine Teilmenge von $\R^3$, und vermutlich ist dies an den meisten Orten des Universums der Fall, aber es ist nicht klar, dass unser Universum als ganzes als Teilmenge des $\R^3$ aufgefasst werden kann.\footnote{Wenn unser Universum eine Teilmenge von $\R^3$ w\"are und es anscheinend wohl endlich ist, was soll dann das Komplement vom Universum sein? Hmm.} Andererseits ist unser Universum erst Recht nicht eine 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit eines gr\"o\ss eren $\R^n$'s. Wir w\"urden deshalb gerne eine Theorie von ``3-dimensionalen Objekten'' aufbauen, welche nicht Teilmenge von einem $\R^n$ sind.
\item Jede Fl\"ache von Geschlecht $g$, wie in Abbildung~\ref{fig:flaeche-geschlecht-g}, sollte eigentlich eine 2-dimen\-sionale Untermannigfaltigkeit sein. Aber mit der Sprache der Untermannigfaltigkeiten ist es sehr schwierig eine mathematisch saubere Definition und Beschreibung von Fl\"achen von Geschlecht $g$ zu geben.
\end{enumerate}
Wir werden im Folgenden den Begriff einer ``Mannigfaltigkeit'' einf\"uhren, welcher den Begriff von ``Untermannigfaltigkeit'' erweitert. Um diesen Begriff einf\"uhren zu k\"onnen, m\"ussen wir die topologischen R\"aume noch einmal genauer studieren. Insbesondere werden wir in diesem Kapitel verschiedene Konstruktionen von topologischen R\"aumen kennenlernen.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{flaeche-geschlecht-g.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:flaeche-geschlecht-g}
\end{center}
\end{figure}


%==================================================================
\subsection{Definition eines topologischen Raums und Beispiele}
Wir erinnern noch einmal an die Definition von einem topologischen Raum.

\begin{definition}
Ein \emph{topologischer Raum} ist ein Paar $(X,\mathcal{T})$,
wobei $X$ eine Menge ist und $\mathcal{T}$ eine \emph{Topologie auf~$X$}, d.h.\ $\mathcal{T}$ ist eine Menge von Teilmengen von $X$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item[(T1)] die leere Menge und die ganze Menge $X$ sind in $\mathcal{T}$ enthalten,
\item[(T2)] der Durchschnitt von \emph{endlich vielen} Mengen in $\mathcal{T}$ ist wiederum eine Menge in $\mathcal{T}$,
\item[(T3)] die Vereinigung  von \emph{beliebig vielen} Mengen in $\mathcal{T}$ ist wiederum eine Menge in $\mathcal{T}$.
\end{enumerate}
Die Mengen in $\mathcal{T}$ werden als \emph{offen bez\"uglich $\mathcal{T}$}, oder, wenn keine Verwechslungsgefahr besteht, einfach nur als \emph{offen} bezeichnet.
\end{definition}





%==================================================================
\subsection{Basis einer Topologie}

Es sei $X$ eine Menge und es sei $\mathcal{B}=\{B_i\}_{i\in I}$ eine Familie von Teilmengen von $X$.
 Wir sagen $\mathcal{B}$
besitzt die \emph{Basiseigenschaft}, wenn gilt:
\begin{enumerate}
\item[(B1)] Zu jedem $x\in X$ existiert ein $i\in I$, so dass $x\in B_i$.\footnote{Mit anderen Worten, es ist $X=\ttmcup{i\in I}{}B_i$.}
\item[(B2)] Es seien $i,j \in I$ und es sei  $x\in B_{i}\cap B_j$. Dann  existiert ein $k\in I$, so dass $x\in B_k$ und $B_k\subset B_i\cap B_j$.
\end{enumerate}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{axiom-b2.pstex_t}
\caption{Schematisches Bild f\"ur die Basiseigenschaft (B2).}
\end{center}
\end{figure}



\begin{lemma}\label{lem:basiseigenschaft-erzeugt-topologie}
Es sei $X$ eine Menge und es sei $\mathcal{B}=\{B_i\}_{i\in I}$ eine Familie von Teilmengen von $X$, welche die Basiseigenschaft besitzt.
Wir definieren
\[ \mathcal{T}\,\,:=\,\,\{ V\subset X\,|\, \mbox{zu jedem $x\in V$  gibt es ein $i\in I$, so dass $x\in B_{i}\subset V$}\}.\]
Dann ist  $\mathcal{T}$  eine Topologie auf~$X$.
\end{lemma}


Wir nennen $\mathcal{T}$ die \emph{von $\mathcal{B}$ erzeugte Topologie auf~$X$}.\label{def:basis-der-topologie}
Umgekehrt, sagen wir, dass $\mathcal{B}$ eine \emph{Basis der Topologie $\mathcal{T}$} ist.

\begin{beispiel}
Es sei $X$ ein metrischer Raum und es sei  $\mathcal{B}$ die Menge aller offenen Kugeln in $X$, d.h.
\[ \mathcal{B}\,\,:=\,\,\{ B_\epsilon(x)\,|\, x\in X\mbox{ und }\epsilon>0\},\]
dann besitzt $\mathcal{B}$ die Basiseigenschaft.\footnote{Warum besitzt $\mathcal{B}$ die Basiseigenschaft (B2)?} Die von $\mathcal{B}$ erzeugte Topologie ist dann die \"ubliche Topologie auf einem metrischen Raum. 
\end{beispiel}

\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{lem:basiseigenschaft-erzeugt-topologie}]
Wir zeigen nun, dass die Axiome (T1), (T2) und (T3) erf\"ullt sind.
\begin{enumerate}
\item[(T1)]
Nach (B1) gibt es zu jedem $x\in X$ ein $i\in I$ mit~$x\in B_i$. Es folgt also per Definition,  dass $X\in \mathcal{T}$.
Zudem ist $\emptyset \in \mathcal{T}$, nachdem die Vereinigung von null Mengen, die Nullmenge ist.
\item[(T2)] Wir m\"ussen zeigen, dass der Durchschnitt von endlich vielen Mengen in $\mathcal{T}$ wieder in $\mathcal{T}$ liegt. 

Wir betrachten  zuerst den Fall von zwei Mengen in $\mathcal{T}$.
Es seien also $U,V\in \mathcal{T}$. Wir wollen zeigen,
dass $U\cap V\in \mathcal{T}$ ist.
Es sei also $x\in U\cap V$. Nachdem $U$ und $V$ in $\mathcal{T}$ liegen,
gibt es also $i,j\in I$, so dass
$x\in B_i\subset U$ und $x\in B_j\subset V$.
Nach Eigenschaft (B2) von $\mathcal{B}$ existiert  ein $k\in I$, so dass $x\in B_k$ und $B_k\subset B_i\cap B_j$. Insbesondere gilt dann auch, dass $x\in B_k\subset U\cap V$.
 Also ist $U\cap V\in \mathcal{T}$.
 
Es seien nun $U_1\cap \dots \cap U_k$ offene Mengen. Es folgt aus der gerade bewiesenen Aussage und einem einfachen Induktionsargument, dass $U_1\cap \dots \cap U_k$ ebenfalls in $\mathcal{T}$ liegt.

\item[(T3)]
Es sei also $U_j, j\in J$ eine Familie von Mengen in $\mathcal{T}$.
Wir m\"ussen zeigen, dass die Vereinigungsmenge $\ttmcup{j\in J}{}\, U_j$ in $\mathcal{T}$ liegt. Es sei also $x\in \ttmcup{j\in J}{} U_j$.
Dann gibt es insbesondere ein $j\in J$, so dass $x\in U_j$. Nachdem $U_j\in \mathcal{T}$ gibt es ein $i\in I$, so dass $x\in B_i\subset U_j$. Dann gilt aber auch, dass
\[ x\,\in\, B_i \,\subset\, U_k\,\,\subset\, \tmcup{j\in J}{}\, U_j.\qedhere\]
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}\label{lem:induziertetopologie}
Es sei $X$ eine Menge und es sei $\mathcal{B}=\{B_i\}_{i\in I}$ eine Familie von Teilmengen von $X$, welche die Basiseigenschaft besitzt. Es  sei $\mathcal{T}$ die von $\mathcal{B}$ erzeugte Topologie auf~$X$.
Dann gilt
\[ V\subset X \mbox{ ist offen bez\"uglich $\mathcal{T}$}\quad \Longleftrightarrow\quad
\mbox{$V$ ist die Vereinigung von  Mengen in $\mathcal{B}$.}\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir nehmen zuerst an, dass $V=\ttmcup{j\in J}{}B_j$  die Vereinigung von Mengen in $\mathcal{B}$ ist.
Nachdem die Mengen in $\mathcal{B}$ offen bez\"uglich $\mathcal{T}$ sind, und nachdem $\mathcal{T}$ eine Topologie ist, folgt auch, dass $V\in \mathcal{T}$.

Nehmen wir nun an, dass $V\subset X$ offen ist bez\"uglich $\mathcal{T}$.
F\"ur jedes $x\in V$ existiert dann, per Definition von $\mathcal{T}$, ein $i_x\in I$, so dass
$x\in B_{i_x}\subset V$. Dann folgt aber, dass
\[ V\,\,=\,\,\tmcup{x\in V}{}\,\{x\}\,\,\subset\,\, \tmcup{x\in V}{}\,B_{i_x}\,\,\subset\,\, V, \quad \mbox{ es folgt also, dass }V\,\,=\,\,\tmcup{x\in V}{}B_{i_x}.\vspace{-0.7cm}\]
\end{proof}

Basen von Topologien k\"onnen erstaunlich praktisch sein, beispielsweise besagt folgendes Lemma, dass es gen\"ugt die Stetigkeitseigenschaft einer Abbildung zwischen topologischen R\"aumen f\"ur offene Mengen in einer Basis zu \"uberpr\"ufen:

\begin{lemma}\label{lem:stetigbasis}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung zwischen topologischen R\"aumen.
Es sei $\mathcal{B}=\{B_i\}_{i\in I}$ eine Basis f\"ur die Topologie von $Y$. Dann gilt
\[ \mbox{$f$ ist stetig }\quad \Longleftrightarrow \quad \mbox{ f\"ur jedes $i\in I$ ist $f^{-1}(B_i)$  offen in $X$.}\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Die Richtung ``$\Rightarrow$'' ist offensichtlich.
Nehmen wir nun an, dass  f\"ur jedes $i\in I$ das Urbild $f^{-1}(B_i)$  offen in $X$ ist.
Wir wollen zeigen, dass $f$ stetig ist.
Es sei also $U\subset Y$ eine offene Teilmenge.
Nach Lemma~\ref{lem:induziertetopologie} gibt es eine Teilmenge $J$ von $I$, so dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{5cm} U&=&\tmcup{j\in J}{} B_j.
\intertext{Dann ist}
 f^{-1}(U)&=&f^{-1}\Big(\ttmcup{j\in J}{}B_j\Big)\,\,=\,\,\hspace{-0.4cm}\underset{\begin{array}{c}\mfbox{Vereinigung von offenen}\\[-0.1cm]\mfbox{Mengen, also offen in $X$}\end{array}}{\underbrace{\setminuscup{j\in J}{}\,\,\underset{\mfbox{offen in $X$}}{\underbrace{f^{-1}(B_j).}}}}\vspace{-0.8cm}\end{array}
\end{align*}
\end{proof}



\begin{lemma}\label{lem:kritbasis}
Es sei $(X,\mathcal{T})$ ein topologischer Raum und es sei $\mathcal{C}$ eine Familie von offenen Mengen in $(X,\mathcal{T})$ mit folgender Eigenschaft:
\[ \mbox{Zu jeder offenen Menge $U$ und zu jedem $x\in U$ gibt es ein $C\in \mathcal{C}$, so dass
$x\in C\subset U$.}\]
Dann ist $\mathcal{C}$ eine Basis f\"ur die Topologie $\mathcal{T}$.
\end{lemma}


\begin{beispiel}
Es sei $X=\R^2$ und\label{beispiel:quader-erzeugen-topologie} es sei
\[ \mathcal{C}\,\,:=\,\,\{ (a,b)\times (c,d)\,|\, a,b,c,d\in \R\}\]
die Menge aller offenen Rechtecke in $\R^2$. 
Dann kann man sich leicht davon \"uber\-zeugen, siehe Abbildung~\ref{fig:offene-rechtecke-basis-der-topologie}, dass $\mathcal{C}$ die gew\"unschte Eigenschaft in Lemma~\ref{lem:kritbasis} besitzt, und daher eine Basis f\"ur die Standardtopologie auf~$\R^2$ bildet.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{offene-rechtecke-basis-der-topologie.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:offene-rechtecke-basis-der-topologie}
\end{center}
\end{figure}
\end{beispiel}


\begin{proof}
Wir zeigen zuerst, dass $\mathcal{C}$ die Basiseigenschaft erf\"ullt:
\begin{enumerate}
\item[(B1)] Wenden wir die Eigenschaft von $\mathcal{C}$ auf~$U=X$ an, dann erhalten wir sofort,  dass es zu jedem $x\in X$ ein $C\in \mathcal{C}$ gibt, so dass $x\in C$.
\item[(B2)] Es sei nun $x\in C_{1}\cap C_2$, wobei $C_1,C_2\in \mathcal{C}$. Nachdem $C_1$ und $C_2$ offen sind,
ist auch $U=C_1\cap C_2$ offen. Wir wenden die definierende  Eigenschaft von $\mathcal{C}$ auf~$U=C_1\cap C_2$ an, und  erhalten  ein $C\in \mathcal{C}$, so dass $x\in C
\subset C_1\cap C_2$.
\end{enumerate}
Wir bezeichnen nun mit~$\SS$ die Topologie auf~$X$, welche von $\mathcal{C}$ erzeugt wird. Wir m\"ussen zeigen, dass $\SS=\mathcal{T}$.

Wir zeigen zuerst die Inklusion $\SS\subset \mathcal{T}$.
Nachdem alle Mengen in $\mathcal{C}$ offen bez\"uglich $\mathcal{T}$ sind, folgt per Definition
und aus Lemma~\ref{lem:induziertetopologie}, dass in der Tat $\SS\subset \mathcal{T}$.


Wir zeigen nun die umgekehrte Inklusion $\mathcal{T}\subset \SS$.
Es sei also   $U\in \mathcal{T}$. Wir wollen zeigen, dass $U\in \SS$. Sei also $x\in U$.
Dann existiert nach Voraussetzung  ein $C\in \mathcal{C}$, so dass
$x\in C\subset U$. Also folgt per Definition, dass $U\in \SS$. Wir haben also gezeigt, dass $\mathcal{T}\subset \SS$. 
\end{proof}

Wir erinnern nun an den Begriff der Teilraumtopologie, welchen wir schon   auf Seite~\pageref{def:teilraumtopologie} eingef\"uhrt hatten.
Es sei also $(X,\mathcal{T})$ ein topologischer Raum und es sei $A\subset X$ eine Teilmenge.
Die Teilraumtopologie auf~$A$ ist dann gegeben durch die Topologie
\[ \SS\,\,:=\,\,\{ A\cap U\,|\, U\in \mathcal{T}\}.\]
Die Definition besagt also, dass eine Teilmenge $U$ offen in $A$ ist, genau dann, wenn es eine offene Menge $V\subset X$ gibt,  so dass $U=A\cap V$.


\begin{lemma}\label{lem:basiseinschrankung}
Es sei $X$ ein topologischer Raum und $A\subset X$ eine Teilmenge. Es sei $\mathcal{B}$ eine Basis f\"ur die Topologie von $X$. Dann ist
\[ \{ B\cap A\,|\, B\in \mathcal{B}\}\]
eine Basis f\"ur die Topologie von $A$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir beweisen das Lemma mithilfe von Lemma~\ref{lem:kritbasis}.
Es sei also $U\subset A$ eine offene Menge in $A$ und $x\in U$. Nach Voraussetzung
existiert eine offene Menge $V\subset X$ in $X$ mit~$U=V\cap A$.
Nachdem $\mathcal{B}$ eine Basis f\"ur die Topologie von $X$ ist, existiert ein $B\in \mathcal{B}$,
so dass $x\in B\subset V$. Dann folgt aber auch, dass $x\in B\cap A\subset V\cap A=U$.
Es folgt aus Lemma~\ref{lem:kritbasis}, dass
\[ \{ B\cap A\,|\, B\in \mathcal{B}\}\]
eine Basis f\"ur die Topologie von $A$ ist.
\end{proof}

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Wir betrachten\label{beispiel:basis-topologie-s1}
\[\hspace{1cm} S^1\,\,=\,\,\{(x,y)\in \R^2\,|\, x^2+y^2=1\} \,\,\subset \,\,\R^2.\]
Eine Basis f\"ur die Topologie auf~$\R^2$ ist gegeben durch
\[\hspace{1cm} \mathcal{B}\,\,=\,\,\{ B_r(x,y)\,|\, (x,y)\in \R^2 \mbox{ und }r>0\}.\]
Die Schnittmenge von einem offenen Ball in $\R^2$ mit~$S^1$ ist ein ``offenes Intervall auf~$S^1$'', d.h.\ eine Teilmenge der Form $\{ e^{i\varphi}\,|\,\varphi\in (a,b)\}$. 
Nach Lemma~\ref{lem:basiseinschrankung} bildet also die Menge $\mathcal{C}$ der offenen Intervalle auf~$S^1$ eine Basis der Topologie auf~$S^1$.
\item
Wir betrachten jetzt wieder die ``Gerade mit einem Punkt im Unendlichen'', d.h.\ $X=\R\cup \{\infty\}$ mit der Topologie, welche wir auf Seite~\pageref{beispiel:gerade-mit-punkt-im-unendlichen} eingef\"uhrt hatten.
Man kann sich leicht davon \"uber\-zeugen, dass eine Basis der Topologie von $X$ gegeben ist durch
\[ \hspace{1cm}\mathcal{D}\,\,:=\,\,\big\{ (a,b)\,|\, a<b\in \R\big\}\, \cup\, \big\{ (-\infty,C)\cup \{\infty\}\cup (D,\infty)\,\big|\,C,D\in \R\big\}.\]
Wir betrachten nun die Abbildung
\[ \hspace{1cm}\begin{array}{rcl}f\colon  X&\to & S^1 \\
x&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} e^{i2\arctan(x)}, &\mbox{ wenn }x\in \R\\
(-1,0), &\mbox{ wenn }x=\infty.\end{array} \right.\end{array} \]
Diese Abbildung ist offensichtlich eine Bijektion. Man sieht auch leicht, dass
\[ \hspace{1cm} U\in \mathcal{D} \quad \Longleftrightarrow \quad f(U)\in \mathcal{C}.\]
Es folgt nun aus Lemma~\ref{lem:stetigbasis}, dass die Abbildung $f$  ein Hom\"oo\-morph\-ismus ist. Insbesondere ist  $X$  hom\"oomorph zu $S^1$.
\end{enumerate}
\end{beispiele}







%==================================================================
\subsection{Das Produkt von topologischen R\"aumen}

\begin{lemma}
Es seien $X$ und $Y$ topologische R\"aume.
Dann besitzt
\[ \mathcal{B}\,\,:=\,\,\{ U\times V \,|\, U\mbox{ offen in $X$ und $V$ offen in $Y$}\}\]
 die Basiseigenschaft.
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir m\"ussen  nun also nachweisen, dass $\mathcal{B}$ in der Tat die beiden Basiseigenschaften besitzt:
\begin{enumerate}
\item[(B1)] Es ist $X\times Y\in \mathcal{B}$, also gibt es zu jedem $(x,y)\in X\times Y$ eine Teilmenge in $\mathcal{B}$, n\"amlich $X\times Y$, welche $(x,y)$ enth\"alt.
$\mathcal{B}$  erf\"ullt also die Basiseigenschaft (B1).
\item[(B2)] Es seien nun $U_1\times V_1$ und $U_2\times V_2$ aus $\mathcal{B}$, dann gilt
\[ (U_1\times V_1) \cap (U_2\times V_2)\,\,=\,\,(U_1\cap U_2)\times (V_1\cap V_2)\,\in\, \mathcal{B}.\]
Insbesondere erf\"ullt also $\mathcal{B}$ auch die Basiseigenschaft (B2).\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}
Es seien $X$ und $Y$ topologische R\"aume. Die \emph{Produkttopologie auf~$X\times Y$} ist die von
\[ \mathcal{B}\,\,:=\,\,\{ U\times V \,|\, U\mbox{ offen in $X$ und $V$ offen in $Y$}\}\]
erzeugte Topologie auf~$X\times Y$.
\end{definition}





\begin{konvention}
Im Folgenden, wenn  $X$ und $Y$ topologische R\"aume sind, dann versehen wir $X\times Y$ immer mit der Produkttopologie.
\end{konvention}

\begin{lemma}\label{lem:quader-bilden-basis}
Es sei $\mathcal{B}$ eine Basis f\"ur den topologischen Raum  $X$
und es sei $\mathcal{C}$ eine Basis f\"ur den topologischen Raum  $Y$.
Dann ist
\[ \mathcal{D}=\{ B\times C\,|\, B\in \mathcal{B} \mbox{ und }C\in \mathcal{C}\}\]
eine Basis f\"ur $X\times Y$.
\end{lemma}

\begin{beispiel}
Es sei $X=Y=\R$ mit der Standardtopologie. Die offenen endlichen Intervalle bilden eine Basis f\"ur den topologischen Raum $X=Y=\R$. Es folgt also aus Lemma~\ref{lem:quader-bilden-basis}, dass die Produkttopologie auf~$\R\times \R$  von ``offenen Quadern'' der Form $(a,b)\times (c,d)$ erzeugt wird. Wie wir auf Seite~\pageref{beispiel:quader-erzeugen-topologie} gesehen hatten, erzeugen die offenen Quader gerade die Standardtopologie auf~$\R^2=\R\times \R$.
\end{beispiel}

\begin{proof}
Wir beweisen das Lemma mithilfe von Lemma~\ref{lem:kritbasis}.
Es sei also $W\subset X\times Y$ eine offene Menge und $(x,y)\in W$.
Nach Definition der Produkttopologie existieren offene Mengen $U\subset X$ und $V\subset Y$,
so dass $(x,y)\in U\times V$ und $U\times V\subset W$.

Nachdem  $\mathcal{B}$ eine Basis f\"ur  $X$ ist, folgt, dass
es $B\in \mathcal{B}$ mit~$x\in B\subset U$ gibt. Ganz analog zeigt man, dass
es $C\in \mathcal{C}$ mit~$y\in C\subset V$ gibt. Es folgt, dass
\[ (x,y)\,\in\, B\times C\,\subset\, U\times V\,\subset\, W.\]
Es folgt also aus Lemma~\ref{lem:kritbasis}, dass
\[ \mathcal{D}\,=\,\{ B\times C\,|\, B\in \mathcal{B} \mbox{ und }C\in \mathcal{C}\}\]
eine Basis f\"ur den topologischen Raum $X\times Y$ ist.
\end{proof}



\begin{lemma}\label{lem:produkt-hausdorff}
Es seien $X$ und $Y$ zwei nichtleere topologische R\"aume. Dann gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rrcl} 
\hspace{0.8cm}\mbox{\emph{(a)}} &\hspace{1.1cm} \mbox{$X$ und $Y$ sind Hausdorff}& \Longleftrightarrow & \mbox{$X\times Y$ ist Hausdorff}
\intertext{und} 
\mbox{\emph{(b)}}&\mbox{$X$ und $Y$ sind kompakt}& \Longleftrightarrow & \mbox{$X\times Y$ ist kompakt}.\end{array}\end{align*}
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir beweisen Teil (a) des Lemmas, Teil (b) ist eine \"Ubungsaufgabe in \"Ubungs\-blatt~11.

Es seien also $X$ und $Y$ zwei topologische R\"aume. Wir nehmen zuerst an, dass $X$ und $Y$ Hausdorff sind. Es seien nun $(x,y)$ und $(x',y')$ zwei Punkte in $X\times Y$. Nach Voraussetzung existieren offene Umgebungen $U$ von $x$ und $U'$ von $x'$ sowie $V$ von $y$ und $V'$ von $y'$, so dass $U\cap U'=\emptyset $ und $V\cap V'=\emptyset$. Also ist $U\times V\cap U'\times V'=\emptyset$. Per Definition der Topologie auf $X\times Y$ sind $U\times V$ und $U'\times V'$ offen in $X\times Y$. Wir haben also disjunkte offene Umgebungen um $(x,y)$ und $(x',y')$ gefunden. Also ist $X\times Y$ Hausdorff.
(Der Beweis ist in Abbildung~\ref{fig:produkt-hausdorff} links skizziert.)

Wir nehmen nun an, dass $X\times Y$ Hausdorff ist. Wir wollen zeigen, dass $X$ Hausdorff ist. Es seien also $x$ und $x'$ zwei verschiedene Punkte in $X$. Nachdem $Y$ nichtleer ist existiert ein $y\in Y$. Nachdem $X\times Y$ Hausdorff ist existieren disjunkte offene Umgebungen $W$ und $W'$ von $(x,y)$ und $(x',y)$. Per Definition der Produkttopologie gibt es offene Umgebungen $U$ von $x$ und $U'$ von $x'$ sowie $V$ von $y$ und $V'$ von $y$, so dass $(U\times V)\cap (U'\times V')=\emptyset $. Insbesondere ist dann auch 
$(U\times \{y\})\cap (U'\times \{y\})=\emptyset $.
Dann gilt aber auch $U\cap U'=\emptyset$. Insbesondere sind $U$ und $U'$ disjunkte offene Umgebungen von $x$ und $x'$. Also ist $X$ Hausdorff.
(Der Beweis ist in Abbildung~\ref{fig:produkt-hausdorff} rechts skizziert.)
Der Beweis, dass auch $Y$ Hausdorff, ist nat\"urlich genau der gleiche.
\end{proof}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{produkt-hausdorff.pstex_t}
\caption{Skizzen zum Beweis von Lemma~\ref{lem:produkt-hausdorff}.}
\label{fig:produkt-hausdorff}
\end{center}
\end{figure}


Wir beschlie\ss en die Diskussion von Produktr\"aumen mit dem Beweis, dass $S^1\times S^1$ hom\"oomorph zum Torus 
\[ T\,\,:=\, \,\big\{ ( (2+\sin\theta)\cos \varphi, \, (2+\sin \theta)\sin \varphi, \, \cos \theta)\,\big|\, \theta,\varphi\in \R\big\}\]
ist. Wir betrachten hierzu die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} f\colon T &\to & S^1\times S^1\\
( (2+\sin\theta)\cos \varphi, \, (2+\sin \theta)\sin \varphi, \, \cos \theta)&\mapsto& (e^{i\theta},e^{i\varphi}).\end{array}\]
Man kann leicht zeigen, dass die Abbildung $f$ bijektiv. Mithilfe von Lemma~\ref{lem:quader-bilden-basis} und der Basis $\mathcal{C}$ der Topologie von $S^1$, welche wir auf Seite~\pageref{beispiel:basis-topologie-s1} eingef\"uhrt hatten, kann man zudem ohne gr\"o\ss ere Probleme zeigen, dass die Abbildung $f$ stetig ist. 
Nachdem $T$ kompakt ist und nachdem $S^1\times S^1$ nach Lemma~\ref{lem:produkt-hausdorff} Hausdorff ist, folgt nun aus Satz~\ref{satz:kompakthausdorffstetig}, dass $f$ ein Hom\"oomorphismus ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{untermannigfaltigkeit-torus.pstex_t}
\caption{Der Torus $T$ in $\R^3$.}
\label{fig:untermannigfaltigkeit-torus-2}
\end{center}
\end{figure}

% Ende 20. Vorlesung 




\clearpage


%======================================
\section{Quotientenr\"aume}

%======================================================
\subsection{\"Aquivalenzrelationen}
Es sei $X$ eine Menge. Wir werden in diesem Kapitel aus\-f\"uhr\-lich mit \"Aquivalenzrelationen und \"Aquivalenzklassen arbeiten. Wir erinnern deshalb zuerst noch einmal an die wichtigsten Definitionen. Eine \emph{\"Aqui\-valenz\-relation} auf~$X$ ist eine Teilmenge $M\subset X\times X$, so dass
f\"ur alle $x,y,z\in X$ gilt
\[
\begin{array}{rcll} && (x,x)\in M&\\
(x,y)\in M&\Longrightarrow & (y,x)\in M&\mbox{(Symmetrie)}\\
(x,y)\in M\mbox{ und }(y,z)\in M&\Longrightarrow & (x,z)\in M & \mbox{(Transitivit\"at)}.\end{array} \]
Wir schreiben im Folgenden
\[\hspace{0.65cm} x\sim y\quad  :\Longleftrightarrow \quad (x,y)\in M,\]
und wir sagen \emph{$x$ und $y$ sind \"aquivalent}.
Mithilfe dieser Notation k\"onnen wir die obigen definierenden Eigenschaften wie folgt umformulieren:
 $\sim$ ist eine \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation auf einer Menge $A$, wenn f\"ur alle $x,y,z\in A$ gilt
\[ \begin{array}{rcl} && x\sim x \hspace{1.9cm}\\ x\sim y &\Longrightarrow & y\sim x \\ x\sim y \mbox{ und } y\sim z&\Longrightarrow & x\sim z.\end{array} \]

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[(a)] F\"ur $x,y\in \R$ definieren wir
\[ x\sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad (x-y) \in \Z.\hspace{2.9cm}\]
Dies ist eine \"Aquivalenzrelation auf~$\R$.
\item[(b)] F\"ur $P,Q\in S^2:=\{(x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2+z^2=1\}$ schreiben wir
\[ P\sim Q \quad :\Longleftrightarrow \quad   \mbox{$P=Q$ oder $P=-Q$}\hspace{1.5cm}\]
Dies ist eine \"Aquivalenzrelation auf~$S^2$.
\item[(c)] F\"ur $P,Q\in D^2:=\{(x,y)\in \R^2\,|\, x^2+y^2\leq 1\}$ definieren wir
\[ \hspace{3.6cm} P\sim Q \quad :\Longleftrightarrow \quad  \begin{array}{l} \mbox{$P=Q$ oder}\\
\mbox{$P$ und $Q$ liegen  auf~$S^1:=\{(x,y)\,|\,x^2+y^2=1\}$.}\end{array}\]
Dies ist eine \"Aquivalenzrelation auf~$D^2$.
\item[(d)] Wir verallgemeinern jetzt Beispiel (c). Genauer gesagt, es sei $X$ eine Menge und $A\subset X$ eine Teilmenge. Wir definieren dann
\[\hspace{2.2cm} P\sim Q \quad :\Longleftrightarrow \quad  \begin{array}{l} \mbox{$P=Q$ oder $P$ und $Q$ liegen  in $A$.}\end{array}\hspace{1cm}\]
Dies ist eine \"Aquivalenzrelation auf~$X$.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

 Es sei $\sim$  eine \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation auf einer Menge $X$. Eine \emph{\"Aqui\-va\-lenz\-klasse} ist eine Teilmenge $Y\subset X$, so dass gilt
 \begin{enumerate}
 \item f\"ur alle $y,y'\in Y$ gilt: $y\sim y'$,
 \item wenn $z\sim y$ f\"ur ein $y\in Y$, dann gilt auch $z\in Y$,
 \end{enumerate}
Anders ausgedr\"uckt, eine \"Aqui\-va\-lenz\-klasse von $X$ ist eine Teilmenge $Y$, so dass je zwei Elemente in $Y$ \"aquivalent sind, und welches jedes Element von $X$ enth\"alt, welches
zu einem Element in $Y$ \"aquivalent ist.

In Analysis~III hatten wir folgendes (elementare) Lemma bewiesen:

\begin{lemma}\label{lem:equivclass}
Es sei $\sim$  eine \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation auf einer Menge $X$. Dann ist  $X$ die disjunkte Vereinigung aller \"Aqui\-valenz\-klassen ist, d.h.
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item jedes $x\in X$ liegt in einer \"Aqui\-va\-lenz\-klasse,
\item wenn $A$ und $B$ \"Aqui\-valenz\-klassen sind, dann gilt entweder $A=B$ oder $A\cap B=\emptyset$.
\end{enumerate}
\end{lemma}




 Es sei $\sim$  eine \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation auf einer Menge $X$.
 Wir bezeichnen dann mit  $X/\sim$ die Menge der \"Aqui\-valenz\-klassen.
Wenn $x\in X$, dann bezeichnen wir die \"Aqui\-va\-lenz\-klasse von $x$
\footnote{Die \"Aqui\-va\-lenz\-klasse von $x$ ist die nach Lemma~\ref{lem:equivclass} eindeutig bestimmte  \"Aqui\-va\-lenz\-klasse von $X$, welche $x$ enth\"alt. Man sieht leicht, dass
\[ [x]\,=\,\{ y\in X\,|\, y\sim x\}.\]}
 normalerweise mit~$[x]\in X/\sim$ oder $\overline{x}\in X/\sim$.

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[(a)] In Beispiel (a) ist jede  \"Aqui\-valenz\-klasse von der Form
\[ t+\Z\,\,:=\,\,\{t+n\,|\, n\in \Z\}\]
wobei $t\in \R$. Zudem gilt $s+\Z=t+\Z$ genau dann, wenn $s-t\in \Z$. Die Menge der \"Aquivalenzklassen wird mit~$\R/\Z$ bezeichnet. Dies ist gerade die Quotientengruppe der abelschen Gruppe $\R$ bez\"uglich der Untergruppe $\Z$. 
\item[(b)] In Beispiel (b) ist jede  \"Aqui\-valenz\-klasse von der Form
$ \{P,-P\}$, wobei $P\in S^2$.
\item[(c)] In Beispiel (c) ist jeder Punkt $(x,y)\in \R^2$ mit~$x^2+y^2<1$ eine \"Aqui\-va\-lenz\-klasse,
und alle Punkte in $S^1=\{(x,y)\,|\,x^2+y^2=1\}$ bilden eine \"Aqui\-va\-lenz\-klasse.
\item[(d)] In Beispiel (d) ist jeder Punkt $x\in X\setminus A$ eine \"Aqui\-va\-lenz\-klasse,
und $A$ bildet eine \"Aqui\-va\-lenz\-klasse.
Wir bezeichnen die Menge der \"Aqui\-valenz\-klassen oft auch mit~$X/A$.\footnote{Die Notation ist manchmal etwas gef\"ahrlich. Beispielsweise hat $\R/\Z$ nun zwei verschiedene Bedeutungen, je nachdem ob wir der Notation aus Beispiel (a) oder der Notation aus Beispiel (d) folgen. Vom Kontext her sollte es aber normalerweise klar sein, welche Konvention wir verwenden.}
\end{enumerate}
\end{beispiele}


%======================================
\subsection{Die Quotiententopologie}\label{section:quotiententopologie}

Es sei nun $(X,\mathcal{T})$ ein topologischer Raum und es sei $\sim$  eine \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation auf~$X$.
Wir werden  nun eine Topologie auf der Menge $X/\sim$ der \"Aqui\-valenz\-klassen ein\-f\"uhren.

Wir bezeichnen im Folgenden 
\[ \begin{array}{rcl} p\colon X&\to &X/\sim \\
x&\mapsto &[x]\end{array} \]
als die \emph{Projektionsabbildung}.
Wir betrachten
\[ \SS\,\,:=\,\,\{ U\subset X/\sim\,\,|\,\, p^{-1}(U)\mbox{ ist offen in $X$}\}.\]
Dann kann man leicht \"uberpr\"ufen, dass $\SS$ eine Topologie auf~$X/\sim$ definiert.
 Diese Topologie wird die \emph{Quotiententopologie} genannt.
Wir betrachten im Folgenden $X/\sim$ durchgehend als topologischen Raum bez\"uglich der Quotiententopologie.


Aus der Definition der Quotiententopologie folgt sofort folgendes Lemma:

\begin{lemma}\label{lem:projektionstetig}
Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei $\sim$  eine \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation auf~$X$.
Dann ist die Projektionsabbildung $p\colon X\to X/\sim$ stetig.
\end{lemma}


Die Tatsache, dass die Projektionsabbildung $X\to X/\sim$ stetig ist, ist nat\"urlich nicht \"uberraschend,
wir haben die Topologie auf~$X/\sim$ genauso gew\"ahlt, dass die Projektion $X\to X/\sim$ stetig ist.



\begin{bemerkung}
Wenn $X$ ein kompakter topologischer Raum ist, dann folgt aus Satz~\ref{satz:bildkompakt} und Lemma~\ref{lem:projektionstetig}, dass auch jeder Quotientenraum $X/\sim$ wiederum kompakt ist. In \"Ubungs\-blatt~10 werden wir jedoch ein Beispiel von einem Hausdorff Raum $X$ mit einer \"Aquivalenz\-relation $\sim$ sehen, so dass der Quotientenraum $X/\sim$ nicht Hausdorff ist.
\end{bemerkung}

\begin{definition}
Eine  Abbildung $f\colon X\to Y$  zwischen topologische R\"aumen hei\ss t \emph{offen},
wenn das Bild jeder offenen Menge in $X$ offen in $Y$ ist.\label{def:abbildung-offen}
\end{definition}

\begin{beispiele}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die Projektionsabbildung $p\colon \R^2\to \R$, $p(x,y):=x$ ist offen, w\"ahrend die Inklusionsabbildung $i\colon \R\to \R^2$, $i(x)=(x,0)$ offensichtlich nicht offen ist.
\item Es sei $X=\R$ und es sei $\sim$ die \"Aquivalenzrelation, welche gegeben ist durch
\[\hspace{2.2cm} P\sim Q \quad :\Longleftrightarrow \quad  \begin{array}{l} \mbox{$P=Q$ oder $P$ und $Q$ liegen  in $[-2,2]$.}\end{array}\hspace{1cm}\]
Dann  ist die Projektionsabbildung $p\colon X\to X/\sim$ \emph{nicht offen}.
In der Tat, wir betrachten  $U=(-1,1)\subset \R$. Dann ist $U$ nat\"urlich offen in $\R$ aber $p(U)$ ist nicht offen in $\R/\sim$, denn $p^{-1}(p(U))=[-2,2]$ ist nicht offen in $\R$.
\end{enumerate}
\end{beispiele}


\begin{lemma}\label{lem:basis-der-topologie-quotientenraum}
Es sei $X$ ein topologischer Raum, es sei $\sim$  eine \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation auf~$X$ und es sei $\mathcal{B}$  eine Basis der Topologie auf~$X$.
Wenn die Projektionsabbildung $X\to X/\sim$ offen ist, dann ist\footnote{Die Mengen $p(B)$ sind offen in $X/\sim$, weil nach Voraussetzung die Projektionsabbildung $X\to X/\sim$ offen ist.}
\[ p(\mathcal{B})\,\,=\,\,\{ p(B)\,|\, B\in \mathcal{B}\}\]
eine Basis der Topologie auf~$X/\sim$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir verwenden das Kriterium von Lemma~\ref{lem:kritbasis} um zu zeigen, dass $p(\mathcal{B})$ eine Basis der Topologie auf~$X/\sim$ ist.
Es sei also $U\subset X/\sim$ eine offene Menge und es sei $y\in U$.
Wir m\"ussen zeigen, dass es ein $B\in \mathcal{B}$ mit $y\in p(B)\subset U$ gibt.

Wir w\"ahlen ein $x\in X$ mit $p(x)=y$. Nachdem $\mathcal{B}$ eine Basis der Topologie auf~$X$ und nachdem $p^{-1}(U)$ offen in $X$ ist, gibt es nach 
Lemma~\ref{lem:kritbasis} ein $B\in \mathcal{B}$ mit $x\in B\subset p^{-1}(U)$. Dann gilt aber auch, dass $y=p(x)\in p(B)\subset p(p^{-1}(U))=U$.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{lem:induzierteabbildung}
 Es sei $\sim$  eine \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation auf einer Menge $X$ und es sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass $f(x)=f(y)$, wenn $x\sim y$. Dann existiert genau eine Abbildung $g\colon X/\sim \, \to Y$,
 so dass $f=g\circ p$, d.h.\ so dass das folgende Diagramm von Abbildungen kommutiert:
 \[ \xymatrix@C1.2cm@R0.7cm{ X\ar[r]^-p \ar[dr]_{f}& X/\sim \ar[d]^g \\ & Y.}\]
 Wenn $f$ stetig ist, dann ist zudem auch $g$ stetig.
 \end{lemma}

\begin{bemerkung}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Es sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung wie in Lemma~\ref{lem:induzierteabbildung}.
 Wir nennen  die Abbildung $g\colon X/\sim \, \to Y$  die \emph{induzierte Abbildung}. Wir bezeichnen die induzierte Abbildung  oft  mit~$\overline{f}$, oder auch, wenn keine Verwechslungsgefahr besteht, einfach nur mit~$f$.
\item Die Aussage von Lemma~\ref{lem:induzierteabbildung} ist ganz \"ahnlich zur folgenden, hoffentlich aus der Algebra bekannten, Aussage: es sei $\varphi\colon G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus und $K\subset G$ eine normale Untergruppe mit $K\subset \operatorname{Kern}(\varphi)$. Dann induziert $\varphi$ einen eindeutig bestimmten Homomorphismus $\psi\colon G/K\to H$, so dass $\varphi=\psi\circ \rho$, wobei $\rho\colon G\to G/K$ die Projektionsabbildung ist.
\end{enumerate}
\end{bemerkung}

 \begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{lem:induzierteabbildung}]
 Es sei $\sim$  eine \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation auf einer Menge $X$ und es sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass $f(x)=f(y)$, wenn $x\sim y$.
 Es sei nun $a$ ein Element in $X/\sim$. Dann existiert ein $x\in X$ mit~$a=[x]$. Wir setzen 
 \[ g(a)\,\,:=\,\,f(x).\]
 Diese Definition h\"angt nicht von der Wahl von $x$ ab, nachdem $f(x)=f(y)$, wenn immer $x\sim y$.
 Diese Abbildung $g\colon X/\sim \, \to Y$ hat dann offensichtlich die Eigenschaft, dass $f=g\circ p$.
 Nachdem die Projektion $X\to X/\sim$ surjektiv ist, ist die Abbildung $g$ auch eindeutig bestimmt.

Nehmen wir nun an, dass $f$ stetig ist. Wir wollen zeigen, dass $g$ stetig ist.
Es sei also $U\subset Y$ offen. Wir m\"ussen zeigen, dass $g^{-1}(U)\subset X/\sim$ offen ist.
Per Definition der Quotiententopologie m\"ussen wir also zeigen, dass $p^{-1}(g^{-1}(U))$ offen in $X$ ist.
Es ist aber
\[ p^{-1}(g^{-1}(U))\,\,=\,\,(g\circ p)^{-1}(U)\,\,=\,\,f^{-1}(U)\]
offen, nachdem $f$ stetig ist.
\end{proof}




\begin{beispiel}
Wir betrachten noch einmal Beispiel (a). Zur Erinnerung, f\"ur $x,y\in \R$ gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6.2cm}x\sim y & :\Leftrightarrow&  (x-y) \in \Z.
\intertext{Auf \"Ubungs\-blatt 10 werden wir sehen, dass $\R/\sim$ kompakt ist.
Wir betrachten}
 \varphi\colon \R &\to & S^1 \\
x &\mapsto & (\cos(2\pi x),\sin(2\pi x)).
\intertext{Es gilt offensichtlich, dass $\varphi(x)=\varphi(y)$, wenn immer $x\sim y$.
Nach Lemma~\ref{lem:induzierteabbildung} existiert daher genau eine Abbildung}
\overline{\varphi} \colon \R/\Z:=\R/\sim  &\to& S^1,\end{array}
\end{align*} mit der Eigenschaft, dass $\overline{\varphi}(\overline{x})=\varphi(x)$ f\"ur alle $x\in \R$.\label{bsp:rz-homoomorph-zu-s1}
Man kann sich leicht davon \"uber\-zeugen, dass $\overline{\varphi}$ bijektiv ist.

Nachdem $\R/\sim$ kompakt ist, und nachdem $S^1$ Hausdorff ist, folgt nun aus
Satz~\ref{satz:kompakthausdorffstetig}, dass $\overline{\varphi}\colon \R/\Z\to S^1$  ein Hom\"oo\-morph\-ismus ist.
\end{beispiel}




\begin{beispiel}
Zum Abschlu\ss \, betrachten wir noch  Beispiel (d). Zur Erinnerung,
f\"ur $P,Q\in D^2$ hatten wir folgende \"Aquivalenzrelation eingef\"uhrt:
\begin{align*}
\begin{array}{rl}
\hspace{3.8cm} P\sim Q &:\Leftrightarrow \,\,\begin{array}{l} \mbox{$P=Q$ oder}\\
\mbox{$P$ und $Q$ liegen  auf~$S^1:=\{(x,y)\,|\,x^2+y^2=1\}$.}\end{array}
\intertext{Wir betrachten zuerst die stetige Abbildung}
 \varphi\colon D^2 &\to \,\, S^2 \\
(x,y)  &\mapsto\,\, (\cos(\varphi)\cdot \sin(\pi r),\sin(\varphi)\cdot \sin(\pi r),\cos(\pi r)).\\
&\uparrow\\
&\hspace{-1.4cm}\mfbox{wir schreiben $(x,y)=(r\cos \varphi,r\sin \varphi)$ mit~$r\in [0,1]$ und $\varphi\in [0,2\pi]$}\end{array} \end{align*}
Man kann sich leicht vergewissern, dass diese Abbildung in der Tat wohl definiert ist, d.h.\ dass der Ausdruck auf der rechten Seite nicht von der Wahl der Polarkoordinaten $(r,\varphi)$ f\"ur einen Punkt $(x,y)\in D^2$ abh\"angt,
und dass der Punkt auf der rechten Seite in der Tat in $S^2$ liegt.

Es gilt zudem, dass $\varphi(x,y)=(0,0,-1)$ f\"ur alle Punkte mit~$r=1$, d.h.\ f\"ur alle Punkte
$(x,y)$ in $S^1=\{(x,y)\,|\,x^2+y^2=1\}$.
Es folgt also insbesondere, dass $\varphi(P)=\varphi(Q)$ f\"ur alle Punkte $P,Q\in D^2$ mit~$P\sim Q$.
Nach Lemma~\ref{lem:induzierteabbildung} existiert daher genau eine Abbildung
$g\colon D^2/\sim \, \to S^2$, mit der Eigenschaft, dass $g([P])=\varphi(P)$ f\"ur alle $P\in D^2$.
Man kann sich problemlos davon \"uber\-zeugen, dass $g$ bijektiv ist.

Der topologische Raum $D^2$ ist kompakt. Aus Satz~\ref{satz:bildkompakt} folgt dann auch, dass
$D^2/\sim$ kompakt. Nachdem $S^2$ zudem Hausdorff ist, folgt nun aus
Satz~\ref{satz:kompakthausdorffstetig}, dass $g$  ein Hom\"oo\-morph\-ismus ist.

Die anschauliche Darstellung des Arguments ist in Abbildung~\ref{fig:quotient-scheibe-ist-sphaere} skizziert. In $D^2/\sim$ fassen wir alle Punkte auf dem Rand zu einem Punkt zusammen. Das ``Endergebnis'' ist eine 2-dimensionale Sph\"are. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{quotient-scheibe-ist-sphaere-2.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:quotient-scheibe-ist-sphaere}
\end{center}
\end{figure}

\end{beispiel}




%======================================
\subsection{Beispiele: Zylinder, Torus, das M\"obius Band und die Kleinsche Flasche}\label{section:zylinderetal}

Wir betrachten im Folgenden noch viele weitere Beispiele von \"Aquivalenzrelationen auf topologischen R\"aumen. Bei der Beschreibung der Beispiele ist  es hilfreich folgende Sprechweise einzuf\"uhren. 
Es sei $\sim$ eine Relation auf~$X$, d.h.\ es sei eine Teilmenge von $X\times X$ gegeben. Wir sagen $x,y\in X$ sind \"aquivalent, wenn es $x=x_1,\dots,x_k=y$ in $X$ gibt, so dass f\"ur alle $i=1,\dots,k-1$ gilt: entweder ist $x_i\sim x_{i+1}$ oder es ist $x_{i+1}\sim x_i$. Wir schreiben dann wiederum $x\sim y$, wenn $x$ und $y$ \"aquivalent sind.

\begin{beispiel}
Die Relationen $x\sim (x+1)$ mit~$x\in \R$ auf~$\R$ erzeugen  die schon verwendete \"Aquivalenzrelation  $x\sim y\Leftrightarrow x-y\in \Z$.
\end{beispiel}


\noindent (A)
Wir betrachten $X=[0,1]\times [0,1]\subset \R^2$ und
die \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation, welche erzeugt wird von 
\[  (x,0)\,\,\sim \,\, (x,1)\quad \mbox{ f\"ur alle $x\in [0,1]$}.\footnotemark\]
\footnotetext{Die \"Aquivalenzrelation ist also gegeben durch
\[ P\sim Q\quad  :\Longleftrightarrow \quad \mbox{$P=Q$ oder $P=(x,1)$ und $Q=(x,0)$ f\"ur ein $x\in [0,1]$.}\]}
Der Quotientenraum $X/\sim$ entsteht also aus dem Quadrat $X$, indem wir jeden Punkt auf der oberen Kante mit dem entsprechenden Punkt auf der unteren Kante identifizieren. Etwas anschaulicher, wir erhalten den Quotientenraum indem wir die ``obere Kante mit der unteren Kante verkleben''.
Die Abbildung \ref{fig:zylinder} veranschaulicht diese Operation und suggestiert, dass der Quotientenraum $X/\sim$ ein Zylinder ist. Wir bezeichnen diesen topologischen Raum manchmal auch als Annulus.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{zylinder.pstex_t}
\caption{Verkleben von zwei Seiten eines Quadrats ergibt einen Zylinder.}\label{fig:zylinder}
\end{center}
\end{figure}

Wir k\"onnen diese Aussage auch leicht beweisen.\label{bsp:annulus-homoeomorph}
Wir betrachten zuerst die stetige surjektive Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \varphi\colon X=[0,1]\times [0,1] &\to & [0,1]\times S^1 \\
(x,y)&\mapsto & (x,\cos(2\pi y),\sin(2\pi y)).\end{array} \]
Nachdem $\varphi(a)=\varphi(b)$ f\"ur alle $a\sim b$ induziert $\varphi$
eine Abbildung $\psi\colon X/\sim\to [0,1]\times S^1$. Diese Abbildung ist stetig und (wie man leicht  sieht), bijektiv. 
Es folgt aus  Satz~\ref{satz:bildkompakt}, dass $X/\sim$ kompakt ist. Nachdem  $[0,1]\times S^1\subset \R^3$ zudem  Hausdorff ist,
folgt wiederum aus
Satz~\ref{satz:kompakthausdorffstetig}, dass $\psi$  ein Hom\"oo\-morph\-ismus ist,
d.h.\ $X/\sim$ ist in der Tat hom\"oomorph zu einem Zylinder.
\\
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{pacman.pstex_t}
\caption{}\label{fig:pacman}
\end{center}
\end{figure}




\noindent (B)
Wir betrachten jetzt $X=[0,1]\times (0,1)\subset \R^2$,  dieses Mal mit der \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation, welche erzeugt wird von
\[  (0,y)\sim (1,1-y)\quad \mbox{ f\"ur alle $y\in (0,1).$}\]
Der Quotientenraum $X/\sim$ entsteht also aus dem Quadrat $X$, indem wir die ``linke Kante nach einer Verdrillung mit der rechten  Kante verkleben''.
Den topologischen Raum $X/\sim$ nennen wir das \emph{M\"obiusband}.\label{def:moebiusband}
Die Abbildung \ref{fig:mobius} veranschaulicht diese Operation.
Wir \"uberlassen es als \"Ubungsaufgabe nachzuweisen, dass $X/\sim$ hom\"oomorph ist zum Teilraum von $\R^3$, welchen wir im Beweis von  Lemma~\ref{lem:moebiusband-nicht-orientierbar} eingef\"uhrt hatten.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{mobius.pstex_t}
\caption{Das M\"obiusband.}\label{fig:mobius}
\end{center}
\end{figure}

\noindent (C)
Wir betrachten jetzt wiederum $X=[0,1]\times [0,1]\subset \R^2$, aber dieses Mal mit der \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation, welche erzeugt wird von
\begin{align*}
\begin{array}{rl} 
\hspace{5cm}(x,0)\sim (x,1)&\mbox{ f\"ur alle $x\in [0,1]$}
\intertext{und von }
 (0,y)\sim (1,y)&\mbox{ f\"ur alle $y\in [0,1].$}\end{array}\end{align*}
Der Quotientenraum $X/\sim$ entsteht also aus dem Quadrat $X$, indem wir die ``obere Kante mit der unteren Kante verkleben''
und die ``linke Kante mit der rechten Kante verkleben''.
Die Abbildung \ref{fig:torus} veranschaulicht diese Operation und suggestiert, dass der Quotientenraum $X/\sim$ ein Torus  ist.


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{torus.pstex_t}
\caption{Verkleben von den gegen\"uberliegenden Kanten eines Quadrats ergibt einen Torus.}\label{fig:torus}
\end{center}
\end{figure}
Man kann nun ohne gr\"o\ss ere Probleme, ganz analog zum Argument auf Seite~\pageref{bsp:annulus-homoeomorph} zeigen, dass $X$ in der Tat hom\"oomorph ist zum topologischen Raum $S^1\times S^1$.
\\


\noindent (D)
Wir betrachten jetzt noch einmal $X=[0,1]\times [0,1]\subset \R^2$, jedoch dieses Mal mit der \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation, welche erzeugt wird von
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} 
\hspace{4.2cm}(x,0)&\sim& (x,1)&\mbox{ f\"ur alle $x\in [0,1]$}
\intertext{und von }
 (0,y)&\sim& (1,1-y)&\mbox{ f\"ur alle $y\in [0,1].$}\end{array}\end{align*}
Der Quotientenraum $X/\sim$ entsteht also aus dem Quadrat $X$, indem wir die ``obere Kante mit der unteren Kante verkleben''
und die ``linke Kante nach einer Verdrillung mit der rechten Kante verkleben''.
Den topologischen Raum $X/\sim$ nennen wir die \emph{Kleinsche Flasche}.\footnote{Die Kleinsche Flasche ist nach dem Mathematiker Felix Klein (1849-1925) benannt.}
Die Abbildung \ref{fig:klein} veranschaulicht diese Operation.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{klein.pstex_t}
\caption{Die Definition der Kleinschen Flasche.}\label{fig:klein}
\end{center}
\end{figure}
In Abbildung~\ref{fig:kleinsche-flasche} sehen wir die Skizze einer stetigen Abbildung von der Kleinschen Flasche in $\R^3$. Diese Abbildung ist nicht injektiv, zwei Kreise auf der Kleinschen Flasche bilden auf den gleichen Kreis in $\R^3$ ab. In der Tat kann man zeigen, aber dies geht weit \"uber diese Vorlesung hinaus, dass es keine injektive stetige Abbildung von der Kleinschen Flasche nach $\R^3$ geben kann.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{kleinsche-flasche.pstex_t}
\caption{Die Kleinsche Flasche kann nicht als Teilmenge von $\R^3$ dargestellt werden.}\label{fig:kleinsche-flasche}
\end{center}
\end{figure}

Es gibt allerdings eine injektive stetige Abbildung von der Kleinschen Flasche nach $\R^4$. Die Konstruktion ist in Abbildung~\ref{fig:kleinsche-flasche-r4} skizziert. Genauer gesagt, es sei $\Phi\colon X/\sim\, \to\, \R^3$ die Abbildung, welche in Abbildung~\ref{fig:kleinsche-flasche} skizziert ist. Wir w\"ahlen eine weitere stetige Abbildung $\Psi(x,y)=f(x)\colon X/\sim\, \to \,\R$, welche die Eigenschaft hat, dass die Werte f\"ur alle Punkte auf $A$ echt kleiner sind als die Werte auf $B$. Dann ist die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} X/\sim &\to & \R^4=\R^3\times \R\\{}
[(x,y)]&\mapsto & (\Phi(x,y),f(x))\end{array}\]
injektiv. In der Tat, denn wenn $\Phi(x,y')=\Phi(x,y)$ mit $(x,y)\ne (x',y')$, dann liegen $(x,y)$ und $(x',y')$ auf zwei verschiedenen Kreisen $A$ und $B$, also unterscheiden sich  die $f$-Werte.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{kleinsche-flasche-r4.pstex_t}
\caption{Die Kleinsche Flasche kann jedoch als Teilmenge von $\R^4$ aufgefasst werden.}\label{fig:kleinsche-flasche-r4}
\end{center}
\end{figure}


%======================================
\subsection{Beispiele: Fl\"achen von h\"oherem Geschlecht}
\label{kapitel:flaeche-geschlecht-2}
Wir wollen im folgenden eine mathematische saubere Definition von Fl\"achen von Geschlecht 2 geben. Um diese zu motivieren beginnen wir zuerst mit einer etwas informellen Diskussion.

Wir betrachten erst einmal den topologischen Raum, welcher auf der linken Seite von Abbildung~\ref{fig:torus-ohne-scheibe} skizziert ist. Wir betrachten hierbei ein Pentagon, bei dem jeweils zwei Seiten mit entgegengesetzter Orientierung identifiziert werden. 

In dem Beispiel sind die f\"unf Eckpunkte \"aquivalent.\footnote{In der Tat, denn $1\sim 4$ (wegen rot) und $4\sim 3$ (wegen blau) und $3\sim 2$ (wegen rot) und $2\sim 5$ (wegen blau).} Daher ist dieser topologische Raum hom\"oomorph zum topologischen Raum, welchen wir aus dem Torus $X=[0,1]\times [0,1]/\sim$ erhalten, indem wir eine offene Scheibe entfernen. Wir erhalten also eine Fl\"ache mit einer Randkomponente. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{torus-ohne-scheibe.pstex_t}
\caption{}\label{fig:torus-ohne-scheibe}
\end{center}
\end{figure}

Wir betrachten  jetzt das regul\"are Oktagon\footnote{Ein $n$-Eck $E$ im $\R^2$ hei\ss t regul\"ar, wenn alle Kanten die gleiche L\"ange besitzen und wenn alle Innenwinkel gleich sind.}
 $E_8$, welches in  Abbildung \ref{fig:flaeche} skizziert ist. Wie f\"ur den Torus w\"ahlen wir  eine \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation, so dass 
jeweils zwei Kanten, welche durch genau eine Kante getrennt sind, mit ``entgegengesetzter Orientierung'' \"aquivalent werden.
Das Oktagon mit den Verklebungen  wird in Abbildung \ref{fig:flaeche} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{oktagon-flaeche.pstex_t}
\caption{Die Fl\"ache von Geschlecht 2.}\label{fig:flaeche}
\end{center}
\end{figure}
Der topologische Raum $E_8/\sim$, den wir dadurch erhalten, ist anschaulich die Fl\"ache von Geschlecht 2. Dies kann man wie folgt sehen:
Wir betrachten in $E_8$ zuerst die rechte obere H\"alfte, wir identifizieren dann jeweils zwei Kanten, und erhalten, wie wir gerade gesehen hatten  einen ``Torus minus eine Scheibe''.  Genau das gleiche gilt auch f\"ur die linke untere H\"alfte. Wir erhalten jetzt $E_8/\sim$, indem wir zwei solche ``Tori minus eine Scheibe'' am Rand verkleben. Das Ergebnis ist, wie in Abbildung~\ref{fig:flaeche} illustriert, eine Fl\"ache von Geschlecht 2.
\\

Wir kehren jetzt zur\"uck zu pr\"aziser Mathematik. Genauer gesagt, wir beschreiben jetzt $E_8$ und die obige \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation pr\"azise. 
Dabei bezeichnen wir mit~$E_8$ das  regul\"are Oktagon  mit den Eckpunkten $Q_k=e^{2\pi ik/16}$, wobei ${k=1,3,\dots,15}$.
F\"ur Punkte $A,B\in \R^2=\C$ bezeichnen wir wie \"ublich mit~$\overline{AB}$ die
euklidische Strecke von $A$ nach $B$. Zudem bezeichnen wir f\"ur $z\in S^1$ mit~$s_z\colon \C\to \C$ die Spiegelung an der euklidischen Geraden $\{tz\,|\,t\in \R\}$.
Wir bezeichnen mit~$\sim$ die \"Aquivalenzrelation auf~$E_8$, welche erzeugt  ist durch
\label{def:flaeche-geschlecht-2}
\[ P\in \overline{Q_{2k-1}Q_{2k+1}}\,\,\sim\,\, s_{e^{2\pi i(2k+2)/16}}(P)\,\,\in\,\, \overline{Q_{2k+3}Q_{2k+5}}\]
f\"ur $k=0,1,4,5$. Diese vier Relationen werden in Abbildung~\ref{fig:flaeche-relationen} skizziert.\footnote{Es ist eine am\"usante Aufgabe sich davon zu \"uberzeugen, dass  bei dieser \"Aquivalenzrelation alle Eckpunkte des Oktagons \"aquivalent sind.}
Die obige Diskussion motiviert jetzt die Konvention,
dass wir den  topologischen Raum $E_8/\sim$ als die \emph{Fl\"ache von Geschlecht 2} bezeichnen. 


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{oktagon-relationen.pstex_t}
\caption{Jeweils zwei Kanten werden mithilfe einer Spiegelung identifiziert.}\label{fig:flaeche-relationen}
\end{center}
\end{figure}

Ganz analog kann man f\"ur jedes $g\geq 3$ auch die Fl\"ache von Geschlecht $g$ definieren. Genauer gesagt, wir starten in diesem Fall mit einem regul\"aren $4g$-Eck und identifizieren f\"ur $j=1,\dots,g$ die Kante $4j+1$ mit der Kante $4j+3$ und die Kante $4j+2$ mit der Kante $4j+4$, wobei die Identifizierung jedes Mal gegeben ist durch eine Spiegelung. F\"ur $g=3$ ist diese Konstruktion in Abbildung~\ref{fig:flaeche-geschlecht-drei} skizziert.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{flaeche-geschlecht-drei.pstex_t}
\caption{Die Fl\"ache von Geschlecht drei.}\label{fig:flaeche-geschlecht-drei}
\end{center}
\end{figure}

\clearpage

%======================================
\section{Topologische Mannigfaltigkeiten}


%======================================
\subsection{Zweitabz\"ahlbare topologische R\"aume}
Bevor wir die  topologischen Mannigfaltigkeiten einf\"uhren k\"onnen, ben\"otigen wir noch folgende etwas technische Definition.

\begin{definition}
Ein topologischer Raum hei\ss t \emph{zweitabz\"ahlbar}, wenn es eine abz\"ahlbare Basis f\"ur die Topologie gibt.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{lem:teilmenge-von-rn-zweitabzahlbar}
\mbox{}
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item $\R^n$, mit der \"ublichen Topologie, ist zweitabz\"ahlbar,
\item jede Teilmenge von $\R^n$, mit der \"ublichen Teilraumtopologie, ist zweitabz\"ahlbar.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir betrachten zuerst
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{1.5cm}
 \mathcal{B}&:=&\{\mbox{alle Teilmengen von $\R^n$ der Form $B_\epsilon(p)$ mit~$\epsilon\in \Q_{>0}$ und $p\in \Q^n$}\}.
\intertext{Es folgt leicht aus Lemma~\ref{lem:kritbasis}, dass $\mathcal{B}$ eine Basis der Topologie von $\R^n$ ist.\footnotemark{}
Nachdem $\mathcal{B}$ aus nur abz\"ahlbar vielen Mengen besteht ist also $\R^n$ zweitabz\"ahlbar. Es sei nun $A$ eine Teilmenge von $\R^n$.  Es folgt dann aus 
Lemma~\ref{lem:basiseinschrankung}, dass }
 \mathcal{C}&:=&\{\mbox{alle Teilmengen von $A$ der Form $A\cap X$ mit~$X\in \mathcal{B}$}\}\end{array}
 \end{align*}
eine\footnotetext{In der Tat, denn sei $U\subset \R^n$ offen und es sei $x\in U$. Dann gibt es per Definition ein $\epsilon>0$, so dass $B_\epsilon(x)\subset U$. Wir w\"ahlen nun eine rationale Zahl $\eta<\frac{\epsilon}{2}$ und wir w\"ahlen einen Punkt $y\in \Q^n$ mit $\|x-y\|<\eta$. Dann gilt $x\in B_\eta(y)\subset B_{\eta+\|x-y\|}(x)\subset B_{\epsilon}(x)\subset U$. Es folgt nun aus Lemma~\ref{lem:kritbasis}, dass $\mathcal{B}$ eine Basis der Topologie von $\R^n$ ist.} Basis der Topologie von $A$ ist. Nachdem $\mathcal{C}$ offensichtlich abz\"ahlbar ist, folgt, dass $A$ zweitabz\"ahlbar ist. 
\end{proof}

\begin{lemma}\label{lem:produkt-zweitabzaehlbar}
Das Produkt von zwei zweitabz\"ahlbaren topologische R\"aumen ist wiederum zweitabz\"ahlbar.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es seien also $X$ und $Y$ zwei zweitabz\"ahlbare topologische R\"aume.
Zudem sei  $\{B_i\}_{i\in I}$ beziehungsweise $\{C_j\}_{j\in J}$ eine abz\"ahlbare Basis der Topologie von $X$ beziehungsweise $Y$. 
Es folgt aus Lemma~\ref{lem:quader-bilden-basis}, dass $\{B_i\times C_j\}_{(i,j)\in I\times J}$ eine Basis f\"ur $X\times Y$ ist. Das Produkt der beiden abz\"ahlbaren Mengen $I$ und $J$ ist wiederum abz\"ahlbar\footnote{Warum ist das Produkt von zwei abz\"ahlbaren Mengen wiederum abz\"ahlbar?}, also ist  $\{B_i\times C_j\}_{(i,j)\in I\times J}$ eine abz\"ahlbare Basis f\"ur $X\times Y$.
\end{proof}

Folgendes Lemma folgt sofort aus Lemma~\ref{lem:basis-der-topologie-quotientenraum}.

\begin{lemma}\label{lem:quotient-zweitabzaehlbar}
Es sei $X$ ein zweitabz\"ahlbarer topologischer Raum und es sei $\sim$ eine \"Aqui\-valenz\-relation auf~$X$. Wenn die Projektionsabbildung $p\colon X\to X/\sim$ offen ist, dann ist auch $X/\sim$ zweitabz\"ahlbar.
\end{lemma}

\begin{beispiel}
Die bisherigen beiden Lemmas besagen, dass die meisten Beispiele von topologischen R\"aumen, welche wir kennen, in der Tat zweitabz\"ahlbar sind. Allerdings sind nicht alle topologischen R\"aumen zweitabz\"ahlbar. Beispielsweise ist $\R$ mit der \emph{diskreten} Topologie nicht zweitabz\"ahlbar.\footnote{Warum nicht?}
\end{beispiel}


%======================================
\subsection{Definition von topologischen Mannigfaltigkeiten}

Wir k\"onnen jetzt den Begriff der ``topologischen Mannigfaltigkeit'' einf\"uhren.

\begin{definition}
Es sei $X$ ein topologischer Raum.
\begin{enumerate}
\item Eine \emph{$n$-dimensionale Karte} f\"ur $X$ ist ein Hom\"oo\-morph\-ismus $\Phi\colon U\to V$ zwischen einer
offenen Teilmenge $U\subset X$ und einer  offenen Teilmenge von $\R^n$.
\item Ein \emph{$n$-dimensionaler Atlas} f\"ur $X$ ist eine Familie von $n$-dimensionalen Karten $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i\in I}$, so dass $ \ttmcup{i\in I}{}U_i=X$.
\item Wir sagen $X$ ist eine \emph{$n$-dimen\-sionale topologische Mannigfaltigkeit}, wenn $X$ ein zweitabz\"ahlbarer Hausdorff-Raum
ist und
wenn es zu jedem $x\in X$ eine $n$-dimen\-sionale Karte $\Phi\colon U\to V$ mit~$x\in U$ gibt.\footnote{Mit anderen Worten,  ein zweitabz\"ahlbarer Hausdorff-Raum $X$ ist eine topologische $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit, wenn $X$ einen $n$-dimensionalen Atlas besitzt.}
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Jede $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $M$ mit~$\partial M=\emptyset$ ist eine $k$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit. In der Tat, denn es gilt:
\begin{enumerate}
\item $M$ ist eine Teilmenge von $\R^n$, also insbesondere nach Seite~\pageref{bem:metrischer-raum-hausdorff} Hausdorff und nach Lemma~\ref{lem:teilmenge-von-rn-zweitabzahlbar}  zudem zweitabz\"ahlbar,
\item zudem schr\"ankt sich jede Karte $\Phi\colon U\to V$, im Sinne der Definition auf Seite~\pageref{def:karte-untermannigfaltigkeit},  auf einen Hom\"oomorphismus $\Phi\colon U\cap M\to V\cap E_k\subset E_k=\R^k$ ein. Diese Aussage wird in Abbildung~\ref{fig:verschiedene-karten} illustriert.
\end{enumerate}
\item Es sei $X$ die Gerade mit zwei Nullen, welche wir auf Seite~\pageref{beispiel:gerade-mit-zwei-nullen} kennengelernt hatten. 
In \"Ubungsblatt~12 werden wir sehen, dass es zu jedem $x\in X$ eine Karte $\Phi\colon U\to V$ mit~$x\in U$ gibt. Andererseits hatten wir schon gesehen, dass $X$ nicht Hausdorff ist. Dies zeigt, dass  die Hausdorff-Eigenschaft  nicht aus der Existenz von Karten folgt.
\end{enumerate}
\end{beispiele}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{verschiedene-karten.pstex_t}
\caption{}\label{fig:verschiedene-karten}
\end{center}
\end{figure}


\begin{bemerkung}
Die Bedingung, dass eine topologische Mannigfaltigkeit $X$ zweitabz\"ahlbar sein soll ist sicher unerwartet. 
Wir geben hier eine Begr\"undung, und etwas sp\"ater geben wir noch eine weitere  Begr\"undung, warum man diese Einschr\"ankung vornimmt. 

Man kann sich fragen, was f\"ur eindimensionale zusammenh\"angende  topologische Mannigfaltigkeiten es gibt.
Wir kennen nat\"urlich $S^1$ und $\R$, und es erscheint auf den ersten Blick vern\"unftig, dass jede eindimensionale zusammenh\"angende  topologische Mannigfaltigkeit zu einer der beiden Beispiele hom\"oomorph ist.\footnote{Beispielsweise ist $(-1,1)$ hom\"oomorph zu $\R$, via $t\mapsto \tan(\frac{\pi}{2}t)$. Andererseits entspricht die obige Definition von topologischer Mannigfaltigkeit der urspr\"unglichen Definition von Untermannigfaltigkeit auf Seite~\pageref{def:untermannigfaltigkeit}, d.h.\ wir erlauben keinen Rand.}
Erstaunlicherweise gibt es jedoch noch einen weiteren topologischen Raum, welcher Hausdorff  ist, und welcher einen Atlas besitzt, welcher jedoch nicht zu $S^1$ oder $\R$ hom\"oomorph ist. Dies ist   die sogenannte
``lange Gerade'', siehe
\[
 \mbox{\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Long\_line\_(topology)}}
\]
oder
\[\mbox{\url{http://de.wikipedia.org/wiki/Lange\_Gerade}}\]
oder
\[\mbox{\url{http://pages.uoregon.edu/koch/math431/LongLine.pdf}}\]
Dieser topologische Raum ist jedoch nicht zweitabz\"ahlbar, und damit keine
topologische Mannigfaltigkeit in unserem Sinne. 
Um dieses exotische Beispiel auszuschlie\ss en haben wir in der Definition gefordert, dass eine topologische Mannigfaltigkeit  zweitabz\"ahlbar sein soll.
\end{bemerkung}

Das folgende Lemma gibt ein weiteres Beispiel einer topologischen Mannigfaltigkeit.

\begin{lemma}\label{lem:mobiusband-mannigfaltigkeit}
Das  M\"obiusband ist eine 2-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
\end{lemma}

\begin{bemerkung}
Mit den Methoden des Beweises von Lemma~\ref{lem:mobiusband-mannigfaltigkeit} kann man auch problemlos zeigen, dass auch die anderen topologischen R\"aume, welche wir in Kapitel~\ref{section:zylinderetal} eingef\"uhrt hatten, n\"amlich der Zylinder, der Torus und die Kleinsche Flasche ebenfalls  2-dimensionale topologische Mannigfaltigkeiten sind. Wir werden den Fall einer Fl\"ache von Geschlecht 2 etwas sp\"ater auch noch explizit betrachten und wir werden dann zeigen, dass es sich hierbei auch um eine topologische Mannigfaltigkeit handelt. 
\end{bemerkung}

\begin{proof} Wir betrachten  wie auf Seite~\pageref{def:moebiusband} den topologischen Raum $X=[0,1]\times (0,1)\subset \R^2$  mit der \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation, welche erzeugt wird von
\[ (0,y)\sim (1,1-y)\quad \mbox{ f\"ur alle }y\in (0,1).\]
Wir bezeichnen mit 
\[ \begin{array}{rcl} p\colon X&\to& X/\sim\\
Q&\mapsto &p(Q)=[Q]\end{array} \]
 die Projektionsabbildung. 
In \"Ubungsblatt~12 wird gezeigt, dass  $X/\sim$  zweitabz\"ahlbar ist.
Zudem wird in \"Ubungsblatt~11  gezeigt, dass $X/\sim$ Hausdorff ist.\footnote{Nicht alle Eigenschaften einer topologischen Mannigfaltigkeit sind gleich wichtig. Die Hausdorff-Eigenschaft und die Zweitabz\"ahlbarkeit kann man in den meisten vern\"unftigen F\"allen problemlos nachweisen. Der Knackpunkt ist normalerweise die Existenz der Karten.}

Wir m\"ussen nun also nur noch zeigen, dass es zu jedem Punkt $Q\in X/\sim$ eine $2$-dimensionale Karte um $Q$ gibt.  Es sei also $Q\in X/\sim$.
\begin{enumerate}
\item[1.\ Fall]  Wir nehmen zuerst an, dass $Q=p(x,y)$ mit~$x\ne 0,1$. Wir setzen $V_1=(0,1)\times (0,1)$.  Die Einschr\"ankung von $p$ auf~$V_1$ ist ein Hom\"oomorphismus\footnote{Warum?} und $U_1:=p(V_1)$ ist eine offene Umgebung von $Q$. Also ist $\Phi_1:=p^{-1}\colon U_1\to V_1$ eine Karte um $Q$.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{mobius-mannigfaltigkeit-erster-fall.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Lemma~\ref{lem:mobiusband-mannigfaltigkeit}: 1.\ Fall}
\end{center}
\end{figure}
\item[2.\ Fall]  Wir nehmen nun an, dass $Q=p(0,y)$ f\"ur ein $y\in (0,1)$. Wir setzen
\[  W\,\,:=\,\,[0,\ttmfrac{1}{4})\times (0,1) \,\cup\, (\ttmfrac{3}{4},1]\times (0,1).\]
Dies ist offensichtlich eine offene Menge von $X$. Wir setzen nun $U_2:=p(W)$. Nachdem $p^{-1}(U_2)=p^{-1}(p(W))=W$ offen ist, ist $U_2$ eine offene Umgebung von $Q=p(0,y)$. Wir betrachten nun die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl}  \hspace{0.6cm}\Phi_2\colon U_2=p(W)&\to & V_2:=(-\ttmfrac{1}{4},\ttmfrac{1}{4})\times (0,1)\\[0.1cm]
p(a,b)&\mapsto & \left\{ \begin{array}{rl} (a,b), &\mbox{ wenn $(a,b)\in [0,\ttmfrac{1}{4})\times (0,1)$,}\\
(a-1,1-b), &\mbox{ wenn $(a,b)\in (\ttmfrac{3}{4},1]\times (0,1)$.}\end{array}\right.\end{array}\]
Diese Abbildung ist, wie man leicht zeigen kann, wohl-definiert\footnote{D.h.\ wenn $p(a,b)=p(a',b')$, dann gilt auch nach der obigen Definition $\Phi_2(p(a,b))=\Phi_2(p(a',b'))$.}, bijektiv, stetig und die Umkehrabbildung ist ebenfalls stetig. Also ist $\Phi_2\colon U_2\to V_2$ eine Karte um $Q=p(0,y)$.
\end{enumerate}
Wir haben nun also einen Atlas $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i=1,2}$ f\"ur das M\"obiusband gefunden.\footnote{Warum m\"ussen wir nicht auch noch den Fall betrachten, dass $Q=p(1,y)$ f\"ur ein $y\in (0,1)$?}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{mobius-mannigfaltigkeit-zweiter-fall.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Lemma~\ref{lem:mobiusband-mannigfaltigkeit}: 2.\ Fall.}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}




%======================================
\subsection{Gruppenoperationen}\label{section:operationen}
Um weitere Beispiele von topologischen Mannigfaltigkeiten zu konstruieren, f\"uhren wir den Begriff von Gruppenoperationen ein.

\begin{definition}
Es sei $X$ eine Menge und $G$ eine Gruppe mit trivialem Element $e$. 
\begin{enumerate}
\item Eine \emph{Gruppenoperation} (oder kurz \emph{Operation}) von $G$ auf~$X$ ist eine Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} G\times X&\to & X \\
(g,x)&\mapsto & g\cdot x\end{array} \]
mit folgenden Eigenschaften
\[ \begin{array}{rcll} e\cdot x&=&x,&\mbox{f\"ur alle $x\in X$}, \\
g\cdot (h\cdot x)&=&(gh)\cdot x, &\mbox{f\"ur alle $x\in X$ und $g,h\in G$.}\footnotemark \end{array} \]\footnotetext{Links wenden wir also zwei Mal die Operation an, w\"ahrend wir rechts erst die beiden Elemente in der Gruppe multiplizieren, und dann auf $x$ anwenden.}
\item Die Operation hei\ss t \emph{transitiv}, wenn es zu allen $x,y\in X$ ein $g\in G$ mit~$g\cdot x=y$ gibt.
\item Die Operation hei\ss t \emph{frei}, wenn $g\cdot x=x$ f\"ur ein $x\in X$ impliziert, dass $g=e$. 
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die orthogonale Gruppe $O(n)$ operiert auf~$\R^n$ durch die \"ubliche Multiplikation. Diese Operation ist weder transitiv noch frei.\footnote{Warum nicht?}
\item Die M\"obiustransformationen bilden nach Lemma~\ref{lem:verknuepfung-moebiustransformation} eine Gruppe, welche nach Satz~\ref{satz:mobiustransformation-und-geraden} auf der Menge der hyperbolischen Geraden operiert. Lemma~\ref{lem:geraden-via-moebiustransformationen} besagt, dass diese Operation transitiv ist. Allerdings ist die Operation  nicht frei.\footnote{Auch hier, warum nicht?}
\item
Es sei $X$ die Menge aller unangeordneten Basen von $\R^n$. 
Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} \operatorname{GL}(n,\R)\times X&\mapsto & X\\
(A,\{v_1,\dots,v_n\})&\mapsto & \{Av_1,\dots,Av_n\}\end{array}\]
eine transitive Operation, welche jedoch nicht frei ist. 
\item Es sei $S_n$ die Permutationsgruppe der Menge $\{1,\dots,n\}$. Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} S_n\times \R^n&\to & \R^n\\
(\sigma,(v_1,\dots,v_n))&\mapsto & (v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(n)})\end{array}\]
eine Operation, welche weder frei noch transitiv ist.
\item Jede Gruppe $G$ operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation. Diese Operation ist transitiv und frei.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

Folgendes Lemma folgt leicht aus den Definitionen und verbleibt eine freiwillige \"Ubungs\-aufgabe.

\begin{lemma}\label{lem:gaction}
Es sei $X$ eine Menge und $G$ eine Gruppe, welche auf~$X$ operiert. Dann ist
\[ x\sim y \quad :\Longleftrightarrow\quad  \mbox{es existiert ein $g\in G$, sodass $g\cdot x=y$}\]
eine \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation auf~$X$.
\end{lemma}


Es sei $X$ eine Menge und $G$ eine Gruppe, welche auf~$X$ operiert. Wir bezeichnen mit~$\sim$
die \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation aus Lemma~\ref{lem:gaction}. Wir definieren dann
\[ X/G\,\,:=\,\,X/\sim.\]

Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir folgendes elementare Lemma mehrmals verwenden.

\begin{lemma}\label{lem:quotienten-disjunkt}
Es sei $G$ eine Gruppe, welche auf einer Menge $X$ operiert. Wir bezeichnen mit $p\colon X\to X/G$ die Projektionsabbildung. Es seien $A$ und $B$ Teilmengen von $X$. Dann gilt 
\[ p(A)\cap p(B)\,=\,\emptyset \quad \Longleftrightarrow \quad \mbox{f\"ur alle $g\in G$ ist $gA\cap B=\emptyset$}\]
und die \"aquivalente Aussage
\[ \hspace{0.85cm} p(A)\cap p(B)\,\ne\,\emptyset \quad \Longleftrightarrow \quad \mbox{es gibt ein $g\in G$ mit $gA\cap B\ne\emptyset$.}\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir beweisen die zweite Aussage, die erste Aussage ist zu dieser \"aquivalent. 
Es gilt
\[ \begin{array}{rll} p(A)\cap p(B)\,\ne\,\emptyset & \Longleftrightarrow \,\,
\mbox{es gibt $a\in A$ und $b\in B$ mit $p(a)=p(b)\in X/G$}\\
 & \Longleftrightarrow \,\,
\mbox{es gibt $a\in A$ und $b\in B$ und ein $g\in G$ mit $ga=b$}\\
& \Longleftrightarrow \,\,\mbox{es gibt ein $g\in G$ mit $gA\cap B\ne\emptyset$.}\end{array}\vspace{-0.6cm}\]
\end{proof}

%======================================
\subsection{Stetige Operationen}

\begin{definition}
Es sei  $X$ ein topologischer Raum und $G$ eine Gruppe, welche auf~$X$ operiert.
Wir sagen  die Operation ist \emph{stetig}, 
wenn f\"ur jedes $g\in G$ die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} X&\to & X\\
x&\mapsto & g\cdot x\end{array} \]
stetig ist. 
\end{definition} 

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}\label{bsp:gruppenoperationen-auf-mannigfaltigkeiten}
\item[(A)] Es sei $X=\R^n$ und $G=\Z^n$. Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} \Z^n \times \R^n &\to & \R^n \\
(z,v)&\mapsto &z+v\end{array} \]
 eine stetige und freie Operation. 
\item[(B)] Es sei $X=\R\times (-1,1)$ und $G=\Z$. Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} \Z\times (\R\times (-1,1))&\to & \R\times (-1,1)\\
(n,(x,y))&\mapsto & (x+n,(-1)^ny)\end{array}\]
 eine Operation\footnote{Warum ist dies eine Operation?}, welche ebenfalls stetig und frei ist.
\item[(C)] Es sei $X=\R$ und $G=\{\pm 1\}$. Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} \{\pm 1\} \times \R&\to & \R \\
(\epsilon,x)&\mapsto & \epsilon \cdot x\end{array} \]
eine stetige Operation. Diese ist jedoch nicht frei, denn $(-1)\cdot 0=0$, aber $-1$ ist nicht das triviale Element der Gruppe $G=\{\pm 1\}$. 
\item[(D)] Es sei $X=S^n$ und $G=\{\pm 1\}$. Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} \{\pm 1\} \times S^n&\to & S^n \\
(\epsilon,P)&\mapsto & \epsilon\cdot P\end{array} \]
eine stetige und freie Operation. 
\item[(E)] Es sei $X=\R$ und $G=\Q$. Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} \Q \times \R &\to & \R\\
(r,x)&\mapsto &r+x,\end{array} \]
ganz analog zu Beispiel (A) eine stetige und freie Operation.
\item[(F)]
Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \sl(2,\R)\times \H&\to & \H\\[0.1cm]
\Big(\Big(\hspace{-0.15cm}\footnotesize{\begin{array}{cc} a&b\\ c&d\end{array}}\hspace{-0.15cm}\Big) ,z\Big) &\mapsto & 
\lmfrac{az+b}{cz+d}\end{array}\]
ist eine stetige und transitive Operation.\footnote{Die Aussage, dass dies in der Tat eine Operation ist folgt aus folgender nicht besonders erhellenden Rechnung:
f\"ur $z\in \H$ ist\vspace{-0.2cm}
\[ 
\operatorname{id}\cdot z\,\,=\,\,\Big(\hspace{-0.1cm}\footnotesize{\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1\end{array}}\hspace{-0.1cm}\Big)\cdot z\,\,=\,\,\setminusfrac{1\cdot z+0}{0\cdot z+1}\,\,=\,\,z.\vspace{-0.2cm}\]
Zudem gilt f\"ur\vspace{-0.2cm}
\[ G\,\,=\,\, \Big( \hspace{-0.1cm}\footnotesize{\begin{array}{cc} a&b\\ c&d\end{array}}\hspace{-0.1cm}\Big)\quad \mbox{ und }\quad G'\,\,=\,\,  \Big(\hspace{-0.15cm}\footnotesize{\begin{array}{cc} a'&b'\\ c'&d'\end{array}}\hspace{-0.15cm}\Big)\vspace{-0.2cm}
\]
in $\sl(2,\R)$ und $z\in \H$, dass 
\[ \begin{array}{rll} G'\cdot (G\cdot z)&=\,\,\Big(\hspace{-0.1cm}\footnotesize{\begin{array}{cc} a'&b'\\ c'&d'\end{array}}\hspace{-0.1cm}\Big)\cdot 
\Big(\Big(\hspace{-0.1cm}\footnotesize{\begin{array}{cc} a&b\\ c&d\end{array}}\hspace{-0.1cm}\Big)z\Big)&=\,\,
\Big(\hspace{-0.1cm}\footnotesize{\begin{array}{cc} a'&b'\\ c'&d'\end{array}}\hspace{-0.1cm}\Big)\cdot 
\setminusfrac{az+b}{cz+d}\,\,=\,\,
\setminusfrac{a'\tmfrac{az+b}{cz+d}+b'}{c'\tmfrac{az+b}{cz+d}+d'}\\[0.1cm]
&=\,\,\setminusfrac{(aa'+b'c)z+(a'b+b'd)}{(c'a+d'c)z+(c'b+d'd)}
&=\,\,\Big(\hspace{-0.1cm}\footnotesize{ \begin{array}{cc} aa'+b'c& a'b+b'd\\ c'a+d'c&c'b+d'd\end{array}}\hspace{-0.1cm}\Big)\cdot z\,\,=\,\, (G'\cdot G')\cdot z.\end{array}
\]
Die Aussage, dass diese eine transitive Operation ist, ist eine Umformulierung von 
Lemma~\ref{lem:moebiustransformationen-transitiv}.}
\end{enumerate}
\end{beispiele}


\begin{lemma}\label{lem:stetige-operation-homoomorphismus}
Es sei $G$ eine Gruppe, welche stetig auf einem topologischen Raum $X$ operiert.
F\"ur jedes $g\in G$ ist  die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} X&\to & X\\
x&\mapsto & g\cdot x\end{array} \]
ein Hom\"oo\-morph\-ismus.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei $G$ eine Gruppe, welche stetig auf einem topologischen Raum $X$ operiert
und es sei $g\in G$.
Die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} X&\to & X\\
x&\mapsto & g^{-1}\cdot x\end{array} \]
ist nach Voraussetzung ebenfalls stetig. Zudem ist diese Abbildung die Umkehrabbildung der gegebenen Abbildung, denn f\"ur alle $x\in X$ ist
\[ \begin{array}{rll} g^{-1}\cdot (g\cdot x))&=\,\, (g^{-1}g)\cdot x\,\,=\,\,e\cdot x&=\,\,x.\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-3.2cm}\mfbox{zweites Axiom einer Operation}
&\hspace{-1.9cm}\mfbox{erstes Axiom einer Operation}.\end{array}\]
Genau das gleiche Argument zeigt auch, dass $g\cdot (g^{-1}\cdot x)=x$ f\"ur alle $x$. 
\end{proof}


Es sei $X$ ein topologischer Raum und $G$ eine Gruppe, welche auf~$X$ stetig operiert. Wir fassen dann $X/G$ immer als topologischen Raum bez\"uglich der Quotiententopologie auf, welche wir in Kapitel~\ref{section:quotiententopologie} eingef\"uhrt hatten.
Zur Erinnerung, dies bedeutet, dass  $U\subset X/G$  offen ist, wenn unter der Projektionsabbildung $p\colon X\to X/G$ das Urbild $p^{-1}(U)\subset X$ offen ist.

Wir betrachten nun noch die Quotientenr\"aume von  einigen der vorherigen Beispiele.

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[(A)] Wir betrachten wiederum die stetige   Operation von $\Z^n$ auf $\R^n$. 
Auf Seite~\pageref{bsp:rz-homoomorph-zu-s1} hatten wir gesehen, dass $\R/\Z$ hom\"oomorph zu $S^1$ ist. Genau der gleiche Beweis zeigt nun, dass 
\[ \begin{array}{rcl} \R^n/\Z^n&\to & (S^1)^n=\overset{n-\operatorname{Mal}}{\overbrace{S^1\times \dots \times S^1}}\\{}
[(x_1,\dots,x_n)]&\mapsto & \big(e^{2\pi ix_1},\dots,e^{2\pi ix_n}\big)\end{array}\]
ein Hom\"oomorphismus ist. Wir bezeichnen $\R^n/\Z^n\cong (S^1)^n$  Raum als den \emph{$n$-dimen-sionalen Torus}.
\item[(B)] Es sei $X=[0,1]\times (0,1)$ und es sei $\sim$ die \"Aquivalenzrelation von Seite~\pageref{def:moebiusband}, welche das M\"obiusband definiert. Man kann nun leicht zeigen, dass die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} X/\sim &\to & (\R\times (-1,1))/\Z\\
(x,y)&\mapsto & [(x,1-2y)]\end{array}\]
wohldefiniert ist, und dass dies ein Hom\"oomorphismus ist. Mit anderen Worten, $(\R\times (-1,1))/\Z$ ist hom\"oomorph zum M\"obiusband. Im weiteren Verlauf bezeichnen wir oft auch $(\R\times (-1,1))/\Z$ als das M\"obiusband.
\item[(C)] Wir betrachten noch einmal die Operation von $G=\{\pm 1\}$ auf $X=\R$. Man kann nun leicht zeigen, dass 
\[ \begin{array}{rcl} \R/\{\pm 1\}&\to & [0,\infty)\\ {}
[x]&\mapsto & |x|\end{array}\]
ein Hom\"oomorphismus  ist.
\item[(D)]  Wir bezeichnen den Quotientenraum $S^n/\{ \pm1\}$ als den \emph{$n$-dimen\-sionalen projektiven Raum $\R\operatorname{P}^n$}. Der reelle $n$-dimensionale projektive Raum wird normalerweise definiert als 
\[ \R \operatorname{P}^n\,\,=\,\,\mbox{Menge aller Geraden in $\R^{n+1}$}\,\,=\,\,(\R^{n+1}\setminus \{0\})/\sim,\]
wobei $v\sim w$, wenn $v=\lambda w$ f\"ur ein $\lambda\in \R$. Die Abbildung $S^n/\sim \,\to\, (\R^{n+1}\setminus \{0\})/\sim$, welche gegeben ist durch $[v]\mapsto [v]$, ist jedoch offensichtlich eine Bijektion. Der projektive Raum spielt eine wichtige Rolle in der ``algebraischen Geometrie'' und der ``Topologie''.
\item[(E)] Wir betrachten wiederum die Operation
\[ \begin{array}{rcl} \Q \times \R &\to & \R\\
(r,x)&\mapsto &r+x.\end{array} \]
In diesem Fall ist der Quotientenraum $\R/\Q$ kein ``alter Bekannter'', sondern ein eher eigenwilliger Raum. Beispielsweise ist $\R/\Q$ kein Hausdorff-Raum.
In der Tat, denn es seien $P$ und $Q$ in $\R/\Q$ und es seien $U$ und $V$ offene Umgebungen von $P$ und $Q$. Wir wollen zeigen, dass $U\cap V\ne \emptyset$. Wir setzen $A=p^{-1}(U)$ und $B=p^{-1}(V)$. Dann ist $U=p(p^{-1}(U))=p(A)$ und $V=p(p^{-1}(V))=p(B)$. Wir m\"ussen also zeigen, dass $p(A)\cap p(B)\ne \emptyset$. Nachdem $A$ eine offene Teilmenge von $\R$ ist gibt es ein $r\in \Q$ mit $(r+A)\cap B\ne \emptyset$. 
Also folgt aus Lemma~\ref{lem:quotienten-disjunkt}, dass $p(A)\cap p(B)\ne \emptyset$.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

% Ende 22. Vorlesung 

Wir wollen jetzt ein Kriterium daf\"ur finden, dass f\"ur einen Hausdorff-Raum $X$ auch der  Quotientenraum $X/G$ wiederum Hausdorff ist. 


\begin{definition}
Es sei  $X$ ein topologischer Raum und $G$ eine Gruppe, welche auf~$X$ operiert.
Wir sagen, $G$ \emph{operiert eigentlich}, wenn es f\"ur alle $x$ und $y$ in $X$ offene Umgebungen $U$ von $x$ und $V$ von $y$ gibt, so dass die Menge $\{g\in G\,|\, gU\cap V\ne \emptyset\}$ endlich ist.\footnote{Diese Definition ist nicht die Standarddefinition von einer eigentlichen Operation. Normalerweise sagt man, dass eine Gruppe $G$ eigentlich operiert, wenn f\"ur alle kompakten Teilmengen $K$ und $L$ die Menge $\{g\in G\,|\, gK\cap L\ne \emptyset\}$ endlich ist. Wir interessieren uns im Folgenden nur f\"ur Operationen auf topologischen Mannigfaltigkeiten, und mit etwas Aufwand kann man zeigen, dass in diesem Spezialfall die beiden Definitionen \"aquivalent sind.}
\end{definition} 

Wir betrachten wiederum einige der vorherigen Beispiele. 

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[(A)] Die Operation von $G=\Z^n$ auf  $X=\R^n$  ist eigentlich.
In der Tat, denn es seien $P$ und $Q$ zwei Punkte in $\R^n$. Dann gilt f\"ur jede Wahl von beschr\"ankten Umgebungen $U$ und $V$, dass  $\{z\in \Z^n\,|\,z+U\cap V\ne \emptyset\}$ endlich ist.\footnote{Da $U$ und $V$ beschr\"ankt sind gibt es ein $C\geq 0$, so dass $\| u\|\leq d$ und $\|v\|\leq d$ f\"ur alle $u\in U$ und $v\in V$. F\"ur $z\in \Z^n$ mit $z+U\cap V\ne \emptyset$ gibt es also $u\in U$ und $v\in V$ mit $z=v-u$, also folgt aus der Dreiecksungleichung, dass $\|z\|\leq 2d$. Aber es gibt nur endlich viele $z\in \Z^n$ mit $\|z\|\leq 2d$.}
\item[(B)] 	Ein \"ahnliches Argument wie in (A) zeigt, dass die Operation der Gruppe $G=\Z$ auf $X=\R\times (-1,1)$ eigentlich ist.
\item[(C\&{}D)] Jede stetige Operation einer endlichen Gruppe ist offensichtlich eigentlich. Insbesondere sind die Operationen der Gruppe $G=\{\pm 1\}$ auf $X=\R$ und $X=S^n$ eigentlich.
\item[(E)] Die Operation von $G=\Q$ auf  $X=\R$ ist nicht eigentlich. Diese Aussage kann man leicht ganz explizit nur mithilfe der Definitionen zeigen. Die Aussage folgt auch aus der oben bewiesenen Tatsache, dass $\R/\Q$ nicht Hausdorff ist, zusammen mit dem n\"achsten Satz.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{satz}\label{satz:eigentliche-operation-hausdorff}
Es sei $G$ eine Gruppe, welche auf einem Hausdorff-Raum $X$ stetig operiert. Wenn die Operation zudem eigentlich ist, dann ist der Quotientenraum $X/G$ ebenfalls Hausdorff.
\end{satz}


Im Beweis von Satz~\ref{satz:eigentliche-operation-hausdorff} werden wir folgende zwei Lemmas verwenden.

\begin{lemma} \label{lem:projektionstetigoffen}
Es sei $G$ eine Gruppe, welche stetig auf einem topologischen Raum $X$ operiert.
Dann ist die Projektionsabbildung $X\to X/G$  offen.\footnote{Zur Erinnerung, wir hatten auf Seite~\pageref{def:abbildung-offen}  eine  Abbildung $f\colon X\to Y$  zwischen topologische R\"aumen \emph{offen} genannt,
wenn das Bild jeder offenen Menge in $X$ offen in $Y$ ist.}
\end{lemma}

\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{lem:projektionstetigoffen}]
Wir m\"ussen also  zeigen, dass $p$ offen ist. Es sei also $U\subset X$ offen. Wir m\"ussen zeigen, dass $p(U)$ offen in $X/G$ ist, d.h.\ wir m\"ussen zeigen, dass $p^{-1}(p(U))$ offen in $X$ ist.
Es folgt aus den Definitionen, dass\footnote{Warum folgt das ``aus den Definitionen''?}
\[ p^{-1}(p(U))\,\,=\,\,\setminuscup{g\in G}{}\, gU.\]
Nachdem $G$ stetig operiert, ist die Multiplikationsabbildung $x\mapsto gx$ nach 
Lemma~\ref{lem:stetige-operation-homoomorphismus} ein Hom\"oo\-morph\-ismus.
Also  ist $gU$ offen in $X$.
Es folgt, dass $p^{-1}(p(U))$ als Vereinigung von offenen Mengen,  offen in $X$ ist.
\end{proof}

Wir ben\"otigen auch noch folgendes Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:umgebungen-eigentliche-operation}
Es sei $G$ eine Gruppe, welche auf einem Hausdorff-Raum $X$ stetig und eigentlich operiert.
Es seien $a$ und $b$ zwei Punkte in $X$. Dann gibt es offene Umgebungen $A$ von $a$ und $B$ von $b$ mit folgender Eigenschaft: f\"ur alle $g\in G$ mit $ga\ne b$ gilt auch $gA\cap B=\emptyset$.
\end{lemma}



\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{lem:umgebungen-eigentliche-operation}]
Es sei $G$ eine Gruppe, welche auf einem Hausdorff-Raum $X$ stetig und eigentlich operiert.
Es seien $a$ und $b$ zwei Punkte in $X$. 

Nachdem $G$ eigentlich auf $X$ operiert gibt es offene Umgebungen $U$ von $a$ und $V$ von $b$, so dass $\{ g\in G\,|\, gU\cap V\ne \emptyset \}$ eine endliche Menge ist. Wir bezeichnen die Elemente in dieser Menge mit $g_1,\dots,g_r$. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{quotient-ist-hausdorff.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Lemma~\ref{lem:umgebungen-eigentliche-operation} mit $I=\{1,\dots,r\}$.}
\end{center}
\end{figure}
Wir setzen nun $I:=\{i=1,\dots,r\,|\, g_i a\ne b\}$. 
Nachdem $X$ ein  Hausdorff-Raum ist, existieren f\"ur jedes $i\in I$  eine offene Umgebung $U_i$ von $g_i a$ und eine offene Umgebung $V_i$ von $b$, so dass $U_i\cap V_i=\emptyset$. Wir setzen nun 
\[ A\,\,:=\,\,U\,\cap\, \setminuscap{i\in I}{} g_i^{-1}U_i\quad \mbox{ und }\quad 
B\,\,:=\,\,V\,\cap\, \setminuscap{i\in I}{} V_i.\]
Die Mengen $A$ und $B$ sind als Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen\footnote{Hierbei verwenden wir, dass $G$ stetig operiert, denn dies impliziert, dass die Mengen $h^{-1}U_i$  wiederum offen sind.}
wiederum offen. Insbesondere ist also $A$ eine offene Umgebung von $a$ und $B$ ist eine offene Umgebung von $b$.

Man kann nun leicht verifizieren, dass $A$ und $B$ die gew\"unschten Eigenschaften besitzen. 
In der Tat, es sei  $g\in G$ mit $ga\ne b$. Wenn $g\not \in \{g_1,\dots,g_r\}$, dann ist schon $gU\cap V=\emptyset$, also ist $gA\cap B=\emptyset$. Wenn $g\in \{g_1,\dots,g_r\}$, dann ist $g=g_i$ f\"ur ein $i\in I$. Es folgt, dass $g_i(g_i^{-1}U_i)\cap V_i=U_i\cap V_i=\emptyset$, also ist auch $g_iA\cap B=\emptyset$.
\end{proof}


Wir wenden uns nun dem eigentlichen Beweis von  Satz~\ref{satz:eigentliche-operation-hausdorff} zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:eigentliche-operation-hausdorff}]
Es sei $G$ eine Gruppe, welche auf einem Hausdorff-Raum $X$ stetig und eigentlich operiert. Wir wollen zeigen, dass der  Quotientenraum $X/G$ ebenfalls Hausdorff ist.
Wir bezeichnen mit $p\colon X\to X/G$ die Projektionsabbildung.
Es seien $x$ und $y$ zwei verschiedene Punkte in $X/G$. Wir w\"ahlen $a$ und $b$ in $X$ mit $p(a)=x$ und $p(b)=y$. Nachdem $p(a)=x\ne y=p(b)$ gilt $ga\ne b$ f\"ur alle $g\in G$. Nach Lemma~\ref{lem:umgebungen-eigentliche-operation} gibt es  nun offene Umgebungen $A$ von $a$ und $B$ von $b$, so dass  $gA\cap B=\emptyset$ f\"ur alle $g\in G$.  Es folgt aus Lemma~\ref{lem:quotienten-disjunkt}, dass $p(A)$ und $p(B)$ disjunkt sind.

Nachdem $A$ und $B$ offen sind folgt zudem  aus Lemma~\ref{lem:projektionstetigoffen}, dass $p(A)$ und $p(B)$ offene Teilmengen von $X/G$ und insbesondere offene Umgebungen von $x=p(a)$ und $y=p(b)$  sind. Wir haben also die gew\"unschten disjunkten Umgebungen von $x$ und $y$ in $X/G$ gefunden.
\end{proof}


%======================================
\subsection{Gruppenoperationen auf topologischen Mannigfaltigkeiten}\label{section:gruppenoperation}
Es sei nun $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit und $G$ eine Gruppe, welche auf~$M$ operiert. Der folgende Satz besagt nun, dass unter vern\"unftigen Voraussetzungen der Quotient $M/G$ wiederum  eine topologische Mannigfaltigkeit ist.

\begin{satz}\label{satz:quotientmfd}
Es sei $M$ eine $n$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit und es sei $G$ eine Gruppe, welche auf~$M$ stetig, frei und eigentlich operiert.
Dann ist auch $M/G$ eine $n$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
\end{satz}

F\"ur den Beweis von Satz~\ref{satz:quotientmfd} ben\"otigen wir noch folgende zwei, etwas technische Lemmas. 

\begin{lemma}\label{lem:eigentlich-frei-impliziert-diskret}
Es sei $X$ ein Hausdorff-Raum und es sei $G$ eine Gruppe, welche auf $X$ stetig, frei und eigentlich operiert.
Dann gibt es zu jedem $x\in X$ eine offene Umgebung $U$, so dass $gU\cap U = \emptyset$  f\"ur alle $g\ne e$.\footnote{Ganz allgemein sagt man, dass eine Gruppe $G$ auf einem topologischen Raum $X$  \emph{diskret} operiert, wenn es f\"ur jedes $x\in X$ eine offene Umgebung $U$ gibt, so dass $gU\cap U = \emptyset$  f\"ur alle $g\ne e$. Das Lemma besagt also, dass eine Gruppe, welche frei, stetig und eigentlich  auf einem Hausdorff-Raum operiert auch diskret operiert. Gilt diese Aussage auch ohne die Voraussetzung ``Hausdorff-Raum'' oder ohne die Voraussetzung ``frei''?}
\end{lemma}

\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{lem:eigentlich-frei-impliziert-diskret}]
Es sei $X$ also ein Hausdorff-Raum und es sei $G$ eine Gruppe, welche auf $X$ stetig, frei und eigentlich operiert. Zudem sei $x$ ein Punkt in $X$. Nachdem $G$ frei operiert gilt $gx\ne x$ f\"ur alle $g\ne e$.

Wir wenden Lemma~\ref{lem:umgebungen-eigentliche-operation} auf $a=b=x$ an und erhalten offene Umgebungen $A$  und $B$ von $x$ mit  $gA\cap B=\emptyset$ f\"ur alle $g\ne e$. Aber dann besitzt $U:=A\cap B$ die gew\"unschte Eigenschaft.
\end{proof}


\begin{lemma}\label{lem:projektion-homoomorphismus}
Es sei $X$ ein Hausdorff-Raum und es sei $G$ eine Gruppe, welche auf $X$ stetig operiert. Wir bezeichnen mit $p\colon X\to X/G$ die Projektionsabbildung.
Es sei nun $U\subset X$ eine offene Teilmenge, so dass die Abbildung $p\colon U\to X/G$ injektiv ist. Dann ist die Abbildung $p\colon U\to p(U)$ ein Hom\"oomorphismus.
\end{lemma}

\begin{proof}
Die Projektionsabbildung $p\colon X\to X/G$ ist nach Lemma~\ref{lem:projektionstetig} stetig, und damit ist auch die Einschr\"ankung von $p$ auf $U$ stetig. Die Abbildung $p\colon U\to p(U)$ ist nach Voraussetzung injektiv und offensichtlich surjektiv, also eine Bijektion.

Es verbleibt zu zeigen, dass $q:=p^{-1}\colon p(U)\to U$ stetig ist. 
Es sei also $W\subset U$ offen. Dann ist $q^{-1}(W)=(p^{-1})^{-1}(W)=p(W)$ offen nach 
Lemma~\ref{lem:projektionstetigoffen}. Also ist $p^{-1}\colon p(U)\to U$ stetig.
\end{proof}

Wir sind nun in der Lage  Satz~\ref{satz:quotientmfd} zu beweisen.


\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:quotientmfd}]
Es sei $M$ eine $n$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit und es sei $G$ eine Gruppe, welche auf~$M$ stetig, frei und eigentlich operiert. Wir wollen zeigen, dass $M/G$ eine $n$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist.
Wir m\"ussen also folgende drei Aussagen beweisen:
\begin{enumerate}
\item $M/G$ ist zweitabz\"ahlbar,
\item $M/G$ ist Hausdorff, und
\item um jeden Punkt $y\in M/G$ gibt es eine $n$-dimensionale Karte.
\end{enumerate}
Die erste Aussage folgt aus Lemmas~\ref{lem:quotient-zweitabzaehlbar} und~\ref{lem:projektionstetigoffen}.
Die zweite Aussage folgt sofort aus Satz~\ref{satz:eigentliche-operation-hausdorff}.
Wir wenden uns nun der dritten Aussage zu. 
Wir bezeichnen mit~$p\colon M\to M/G$ die  Projektionsabbildung. Es sei $y\in M/G$. Wir w\"ahlen ein $x\in M$ mit~$p(x)=y$.
\begin{enumerate}
\item  Nachdem $M$ eine $n$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist, existiert  eine $n$-dimensionale Karte $\Phi\colon V\to W$ um $x$.
\item
Lemma~\ref{lem:eigentlich-frei-impliziert-diskret} besagt, dass es eine offene Umgebung $U$ von $x$ gibt, so dass $gU\cap U \ne \emptyset$ f\"ur alle $g\ne e$. 
Dies ist \"aquivalent zu der Aussage, dass die Einschr\"ankung von $p\colon M\to M/G$ auf~$U$ injektiv ist.\footnote{Es ist eine gute \"Ubung sich zu \"uberlegen, dass dies in der Tat der Fall ist.}
\end{enumerate}
Indem wir $U$ und $V$ durch $U\cap V$ ersetzen   k\"onnen wir o.B.d.A.\ annehmen, dass $U=V$.
Wir betrachten nun die Abbildungen
\[ p(U)\,\,\xrightarrow{p^{-1}}\,\,  U\,\,\xrightarrow{\Phi}\,\, W.\]
Die Abbildung $\Phi$ ist ein Hom\"oomorphismus, und es folgt aus  Lemma~\ref{lem:projektion-homoomorphismus}, dass auch die Abbildung $p\colon U\to p(U)\subset M/G$ ein Hom\"oo\-morph\-ismus ist.
Also ist die obige Abbildung $\Phi\circ p^{-1}\colon p(U)\to W$ 
ein Hom\"oomorphismus, und insbesondere eine $n$-dimensionale Karte f\"ur $M/G$ um $y$.
 Wir haben damit bewiesen, dass $M/G$ eine $n$-dimensionale topologische  Mannigfaltigkeit ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{beweis-quotient-mannigfaltigkeit.pstex_t}
\caption{Schematische Skizze f\"ur den Beweis von Satz~\ref{satz:quotientmfd}.}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}


\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[(A)] Wir hatten schon gesehen, dass die Operation von $G=\Z^n$ auf $X=\R^n$ stetig, frei und eigentlich ist. Es folgt also aus Satz~\ref{satz:quotientmfd}, dass $M=\R^n/\Z^n$ eine  $n$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist. Insbesondere erhalten wir einen weiteren\footnote{Wir hatten auf Seite~\pageref{beispiel:torus-untermannigfaltigkeit}  schon mal angedeutet, dass der 2-dimensionale Torus eine Untermannigfaltigkeit ist. Allerdings war der Beweis so umst\"andlich, das wir gleich verzichtet hatten, diesen auszuf\"uhren.} Beweis f\"ur die Aussage, dass der 2-dimensionale Torus $\R^2/\Z^2=S^1\times S^1$ eine  $2 $-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist.
\item[(B)] Ganz analog zu (A) sehen wir nun, dass $(\R\times (-1,1))/\Z$ eine 
 topologische Mannigfaltigkeit ist. Nachdem dieser topologische Raum hom\"oomorph zum M\"obiusband ist erhalten wir nun nach Lemma~\ref{lem:mobiusband-mannigfaltigkeit}, einen weiteren Beweis f\"ur die Aussage, dass das  M\"obiusband  eine  topologische Mannigfaltigkeit ist. Der Beweis in Lemma~\ref{lem:mobiusband-mannigfaltigkeit} war ``ad hoc'', w\"ahrend sich der Beweis mithilfe von Satz~\ref{satz:quotientmfd}, wie wir gerade auf dieser Seite sehen, auf viele weitere Beispiele verallgemeinert. 
\item[(C)] Wir hatten schon gesehen, dass
\[ \begin{array}{rcl} \{\pm 1\} \times S^n&\to & S^n \\
(\epsilon,P)&\mapsto & \epsilon\cdot P\end{array} \]
eine stetige, freie und eigentliche Operation ist. Also ist der $n$-dimen\-sionalen projektiven Raum $\R\operatorname{P}^n=S^n/\{ \pm1\}$  eine $n$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
\end{enumerate}
\end{beispiele}




\clearpage

%======================================
\section{Mannigfaltigkeiten}





%======================================
\subsection{Definition und Beispiele von Mannigfaltigkeiten}

Wir erinnern zuerst an die Definition einer  $n$-dimensionalen topologischen Mannigfaltigkeit $M$.

\begin{definition}
Es sei $M$ ein topologischer Raum.
\begin{enumerate}
\item Eine \emph{$n$-dimensionale Karte} f\"ur $X$ ist ein Hom\"oo\-morph\-ismus $\Phi\colon U\to V$ zwischen einer
offenen Teilmenge $U\subset X$ und einer  offenen Teilmenge von $\R^n$.
\item Ein \emph{$n$-dimensionaler Atlas} f\"ur $X$ ist eine Familie von $n$-dimensionalen Karten $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i\in I}$, so dass $ \ttmcup{i\in I}{}U_i=X$.
\item Eine \emph{$n$-dimen\-sionale topologische Mannigfaltigkeit} ist ein  zweitabz\"ahlbarer Haus\-dorff-Raum, welcher einen $n$-dimensionalen Atlas besitzt.
\end{enumerate}
\end{definition}




Es sei nun $f\colon M\to \R$ eine Funktion auf einer $n$-dimensionalen topologischen Mannigfaltigkeit. Nachdem $M$ ein topologischer Raum ist, macht es Sinn von Stetigkeit von $f$ zu sprechen.
K\"onnen wir auch von Differenzierbarkeit von $f$ sprechen?

Man k\"onnte ganz naiv folgende ``Definition'' ein\-f\"uhren: wir sagen $f\colon M\to \R$ ist im Punkt $x\in M$ differenzierbar,
wenn f\"ur eine Karte $\Phi\colon U\to V$ mit~$x\in U$ die Abbildung $f\circ \Phi^{-1}\colon V\to \R$ im Punkt $\Phi(x)$ differenzierbar ist.
Auf den ersten Blick macht diese Definition Sinn, denn $f\circ \Phi^{-1}$ ist eine Abbildung von einer offenen Teilmenge in $\R^n$ nach $\R$,
d.h. es macht Sinn von der Differenzierbarkeit von $f\circ \Phi^{-1}$ zu reden.

Aber was passiert, wenn wir eine andere Karte $\widetilde{\Phi}\colon U\to W$ um $x$ w\"ahlen? Wir verfahren wie im Beweis von Satz~\ref{satz:bezueglich-allen-karten-stetig-differenzierbar}.
Genauer gesagt wir schreiben
\[ f\circ \widetilde{\Phi}^{-1}\,\,=\,\,(f\circ \Phi^{-1})\circ (\Phi \circ \widetilde{\Phi}^{-1}).\]
Wir wissen, dass $\Phi \circ \widetilde{\Phi}^{-1}$ stetig ist, aber a priori wissen wir nicht, dass $\Phi \circ \widetilde{\Phi}^{-1}$ auch differenzierbar ist.
Im Allgemeinen folgt aus der Differenzierbarkeit von $f\circ \Phi^{-1}$  also nicht notwendigerweise die Differenzierbarkeit von $f\circ \widetilde{\Phi}^{-1}$.

Wenn wir hingegen nur Karten $\{\Phi_i\}_{i\in I}$ betrachten w\"urden,  so dass jeder Kartenwechsel $\Phi_j\circ \Phi_i^{-1}$ glatt ist, dann h\"atten wir kein Problem. Diese Beobachtung gibt uns die Idee f\"ur folgende Definition.

\begin{definition}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item  Ein Atlas $\{\Phi\colon U_i\to V_i\}_{i\in I}$ f\"ur eine topologische Mannigfaltigkeit $M$ hei\ss t \emph{glatt}, wenn f\"ur alle $i,j\in I$ der Kartenwechsel
\[ \Phi_j\circ \Phi_i^{-1}\colon \Phi_i(U_i\cap U_j)\,\,\to\,\, \Phi_j(U_i\cap U_j) \]
glatt ist.
\item Eine \emph{$n$-dimensionale Mannigfaltigkeit}\footnote{Manchmal wird eine Mannigfaltigkeit auch als ``differenzierbare Mannigfaltigkeit'' oder ``glatte Mannigfaltigkeit'' bezeichnet, um diese st\"arker von den topologischen Mannigfaltigkeiten abzugrenzen.}\footnote{Jetzt, nach gerade Mal 12 Wochen Vorlesung haben wir nun also endlich Mannigfaltigkeiten eingef\"uhrt, nach denen eigentlich die ganze Vorlesung benannt ist.} ist ein Paar $(M,\mathcal{A})$, wobei $M$ eine  topologische $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit und $\mathcal{A}$  ein glatter Atlas f\"ur $M$ ist.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
Jede $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $M$ mit~$\partial M=\emptyset$ ist eine $k$-dimensionale  Mannigfaltigkeit. In der Tat, denn es sei $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i\in I}$ ein Atlas f\"ur $M$ im  Sinne der Definition auf Seite~\pageref{def:karte-untermannigfaltigkeit}. Dann ist
$\{\Phi_i\colon U_i\cap M\to V_i\cap E_k\}_{i\in I}$ ein glatter Atlas im obigen Sinne.\footnote{Dies sieht man wie folgt.\label{fussnote:untermannigfaltigkeit-ist-mannigfaltigkeit}
Es sei  $\Phi_i\colon U_i\to V_i$ eine der $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $M$. Dies ist also ein Diffeomorphismus zwischen offenen Teilmengen von $\R^n$. Insbesondere ist auch jeder Kartenwechsel 
$\Phi_j\circ \Phi_i^{-1}\colon \Phi_i(U_i\cap U_j)\to \Phi_j(U_i\cap U_j)$ ein Diffeomorphismus.

F\"ur eine Karte
$\Phi_i\colon U_i\to V_i$ der $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $M$ bezeichnen wir im Folgenden mit 
$\widetilde{\Phi}_i\colon \widetilde{U}_i:=U_i\cap M\to \widetilde{V}_i:=V_i\cap E_k$ die Einschr\"ankung von $\Phi_i$ auf $U_i\cap M$. Wir m\"ussen  zeigen, dass die entsprechenden Kartenwechsel alle glatt sind. Der Kartenwechsel $\widetilde{\Phi}_j\circ \widetilde{\Phi}_i^{-1}\colon \widetilde{\Phi}_i(\widetilde{U}_i\cap \widetilde{U}_j)\to \widetilde{\Phi}_j(\widetilde{U}_i\cap \widetilde{U}_j)$ ist die Einschr\"ankung von dem Diffeomorphismus $\Phi_j\circ \Phi_i^{-1}\colon \Phi_i(U_i\cap U_j)\to \Phi_j(U_i\cap U_j)$ auf die Teilmenge $\Phi_i(U_i\cap U_j)\cap E_k=\widetilde{\Phi}_i(\widetilde{U}_i\cap \widetilde{U}_j)\subset E_k=\R^k$. Dies ist also wiederum ein Diffeomorphismus.}
\end{beispiel}


\begin{lemma}\label{lem:mobiusband-glatte-mannigfaltigkeit}
Das  M\"obiusband ist eine 2-dimensionale  Mannigfaltigkeit.\footnote{Etwas genauer m\"usste man sagen, ``das  M\"obiusband besitzt einen glatten Atlas''.}
\end{lemma}

\begin{bemerkung}
Man kann  mit \"ahnlichen Methoden wie im Beweis von Lemma~\ref{lem:mobiusband-glatte-mannigfaltigkeit} nachweisen, dass auch die Kleinsche Flasche eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit ist.
\end{bemerkung}

\begin{proof}
Wir hatten schon in Lemma~\ref{lem:mobiusband-mannigfaltigkeit} gezeigt, dass das M\"obiusband  eine 2-dimen\-si\-onale  topologische Mannigfaltigkeit ist.

Es gen\"ugt nun zu zeigen, dass der Atlas aus dem Beweis von 
Lemma~\ref{lem:mobiusband-mannigfaltigkeit} glatt ist.
Wir betrachten also jetzt $X=[0,1]\times (0,1)\subset \R^2$  mit der \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation, welche erzeugt ist durch 
$(0,y)\,\,\sim \,\, (0,1-y)$ f\"ur alle $y\in (0,1)$.

Wir bezeichnen mit~$p\colon X\to X/\sim$
 die Projektionsabbildung. Im  Beweis von 
 Lemma~\ref{lem:mobiusband-mannigfaltigkeit} hatten wir gesehen, dass\footnote{Wir haben hierbei $U_1$ und $U_2$ etwas abge\"andert, damit es leichter ist $U_1\cap U_2$ zu skizzieren, mathematisch macht das keinen Unterschied.}
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{2.7cm}\Phi_1\colon \overset{=:U_1}{\overbrace{p\big((\ttmfrac{1}{8},\ttmfrac{7}{8})\times (0,1)\big)}}&\to & \overset{=:V_1}{\overbrace{(\ttmfrac{1}{8},\ttmfrac{7}{8})\times (0,1)}}\\
 p(a,b)&\mapsto & (a,b)
\intertext{und}
 \Phi_2\colon \overset{=:U_2}{\overbrace{p\big(([0,\ttmfrac{3}{8})\cup (\ttmfrac{5}{8},1])\times (0,1)\big)}}&\to &\overset{=:V_2}{\overbrace{(-\ttmfrac{3}{8},\ttmfrac{3}{8})}}\times (0,1)\\{}
p(a,b)&\mapsto & \left\{ \hspace{-0.15cm}\begin{array}{rl} (a,b), &\hspace{-0.15cm}\mbox{wenn $(a,b)\in [0,\ttmfrac{3}{8})\times (0,1)$,}\\
(a-1,1-b), &\hspace{-0.15cm}\mbox{wenn $(a,b)\in (\ttmfrac{5}{8},1)\times (0,1)$.}\end{array}\right.\end{array}\end{align*}
ein Atlas f\"ur $X/\sim$ ist. Wir wollen nun zeigen, dass dieser Atlas sogar glatt ist.

Wir zeigen zuerst, dass der Kartenwechsel
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \Phi_2\circ \Phi_1^{-1}\colon \Phi_1(U_1\cap U_2)&\to& \Phi_2(U_1\cap U_2)
\intertext{glatt ist. In unserem Fall ist dies gerade die Abbildung}
\hspace{1cm}(\ttmfrac{1}{8},\ttmfrac{3}{8})\times (0,1)\,\cup \,
(\ttmfrac{5}{8},\ttmfrac{7}{8})\times (0,1)&\to & 
(-\ttmfrac{3}{8},-\ttmfrac{1}{8})\times (0,1)\,\cup\,
(\ttmfrac{1}{8},\ttmfrac{3}{8})\times (0,1)
\\
(a,b)&\mapsto & \left\{\hspace{-0.15cm} \begin{array}{rl} (a,b), &\hspace{-0.15cm}\mbox{wenn $(a,b)\in (\ttmfrac{1}{8},\ttmfrac{3}{8})\times (0,1)$,}\\[1mm]
(a-1,1-b), &\hspace{-0.15cm}\mbox{wenn $(a,b)\in (\ttmfrac{5}{8},\ttmfrac{7}{8})\times (0,1)$.}\end{array}\right.\end{array}\end{align*}
Aber diese Abbildung ist in der Tat glatt, denn die Abbildung ist offensichtlich auf den beiden Komponenten $(\ttmfrac{1}{8},\ttmfrac{3}{8})\times (0,1)$ und $ 
(\ttmfrac{5}{8},\ttmfrac{7}{8})\times (0,1)$ des Definitionbereichs glatt.

Genau das gleiche Argument zeigt, dass auch der Kartenwechsel
\[ \Phi_1\circ \Phi_2^{-1}\colon \Phi_2(U_1\cap U_2)\,\,\to\,\, \Phi_1(U_1\cap U_2)\]
glatt ist.  Wir haben also gezeigt, dass $\{ \Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i=1,2}$ ein glatter Atlas f\"ur das M\"obius\-band ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{mobiusband-glatte-mannigfaltigkeit.pstex_t}
\caption{Schematische Skizze f\"ur den Beweis von Lemma~\ref{lem:mobiusband-glatte-mannigfaltigkeit}.}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}

% Ende 23. Vorlesung

\begin{definition}
Es sei $(M,\mathcal{A})$ eine $m$-dimensionale Mannigfaltigkeit und es sei $(N,\mathcal{B})$  eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Es sei  $f\colon M\to N$  eine stetige Abbildung. 
\begin{enumerate} 
\item Wir sagen $f$ ist glatt, wenn f\"ur alle Karten $\Phi\colon U\to V$ aus $\mathcal{A}$ und $\Psi\colon W\to X$ aus $\mathcal{B}$ die Abbildung
\[ \begin{array}{rll} &\underbrace{\Phi(f^{-1}(W)\cap U)} \,\,  \xrightarrow{\Phi^{-1}} \,\,f^{-1}(W)\cap U \,\,\xrightarrow{f}\,\, W\xrightarrow{\Psi}& X\\
&\hspace{1.31cm}\uparrow &\hspace{0.1cm}\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{offene Teilmenge von $\R^m$}&
\hspace{-1cm}\mfbox{Teilmenge von $\R^n$}
\end{array}\]
glatt\footnote{Ganz analog k\"onnte man nun auch ``differenzierbar'' und ``glatt'' einf\"uhren, aber da wir daf\"ur keine Verwendung haben, unterlassen wir es diese Begriffe einzuf\"uhren.} ist.
\item Wir sagen $f\colon M\to N$ ist ein \emph{Diffeomorphismus}, wenn $f$ ein Hom\"oomorphismus ist und wenn zudem sowohl $f$ als auch $f^{-1}$ glatte Abbildungen sind.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{definition-glatte-abbildung-zwischen-mannigfaltigkeiten.pstex_t}
\caption{Schematische Skizze f\"ur die Definition von glatten Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten.}
\end{center}
\end{figure}


\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Es sei $(M,\mathcal{A})$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit und es sei $f\colon M\to \R^n$ eine stetige Abbildung. Wir betrachten $\R^n$ als $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit dem Atlas, welcher nur aus der Identit\"atsabbildung besteht. Die Abbildung $f\colon M\to \R^n$ ist dann per Definition  genau dann glatt,  wenn f\"ur alle Karten $\Phi\colon U\to V$ im Atlas $\mathcal{A}$ die Abbildung $f\circ \Phi^{-1}\colon V\to \R^n$ glatt ist.
\item
Es sei $X=[0,1]\times (0,1)$ und es sei $\sim$ wiederum die \"Aquivalenzrelation  auf~$X$, welche durch $(0,y)\sim (1,1-y)$ erzeugt wird.  Mit anderen Worten, $X/\sim$ ist das M\"obiusband. In \"Ubungsblatt~12 werden wir sehen, dass die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} X/\sim &\to & \R\\{}[(x,y)]&\mapsto & (1-y)y\cdot \cos(2\pi x)\end{array}\]
glatt ist.
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition}
Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit\footnote{Wir unterschlagen hierbei den glatten Atlas in der Notation.} und $G$ eine Gruppe. Eine \emph{glatte Operation} von $G$ auf~$M$ ist eine Operation
\[ \begin{array}{rcl} G\times M&\to & M \\
(g,x)&\mapsto & g\cdot x,\hspace{0.6cm}\end{array} \]
so dass f\"ur jedes $g\in G$ die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl}\hspace{0.2cm} M&\to & M\\
x&\mapsto & g\cdot x\end{array} \]
eine glatte Abbildung  ist.
\end{definition}

\begin{beispiel}
Die  Gruppe $G=\Z^n$ operiert durch Addition glatt auf der $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $\R^n$. Ganz analog sind auch alle weiteren Beispiele, welche wir auf Seite~\pageref{bsp:gruppenoperationen-auf-mannigfaltigkeiten} eingef\"uhrt hatten, Beispiele von glatten Operationen auf Mannigfaltigkeiten.
\end{beispiel} 




\begin{satz}\label{satz:quotientmfdsmooth}\label{satz:quotient-lokaler-diffeomorphismus}
Es sei $(M,\mathcal{A})$ eine  Mannigfaltigkeit und es sei $G$ eine Gruppe, welche auf~$M$ frei, eigentlich und glatt operiert.
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item Es gibt  einen glatten Atlas auf~$M/G$,  so dass die Projektionsabbildung $p\colon M\to M/G$ eine glatte Abbildung ist.
\item Die Projektionsabbildung $p\colon M\to M/G$ ist ein lokaler Diffeomorphismus.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
\mbox{}
\begin{enumerate} 
\item Es sei $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i\in I}$ der Atlas f\"ur $M/G$, welchen  wir wie im Beweis von Satz~\ref{satz:quotientmfd}, ausgehend von den Karten in $\mathcal{A}$, konstruieren.
Man sieht nun leicht, dass f\"ur alle $i,j\in I$ der entsprechende Kartenwechsel $\Phi_j\circ \Phi_i^{-1}\colon \Phi_i(U_i\cap U_j)\to \Phi_j(U_i\cap U_j)$
gegeben ist durch Verkn\"upfungen von folgenden Abbildungen:
\begin{enumerate}
\item Karten und deren Umkehrabbildungen,
\item die Operation von einem $g\in G$ auf offenen Teilmengen von $M$.
\end{enumerate} 
Alle diese Abbildungen sind glatte Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten.\footnote{Die Mannigfaltigkeiten sind hierbei entweder offene Teilmengen von $M$ oder offene Teilmengen von $\R^n$.} Die Verkn\"upfung von glatten Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten ist aber wiederum eine glatte Abbildung.
\item
Es sei also $P\in M$. Nachdem $G$ stetig, frei und eigentlich auf~$M$ operiert gibt es
nach Lemma~\ref{lem:eigentlich-frei-impliziert-diskret} 
 eine  offene Umgebung $U$, so dass $gU\cap U \ne \emptyset$  f\"ur alle $g\ne e$. Es folgt aus Lemma~\ref{lem:projektion-homoomorphismus},
  dass die Einschr\"ankung $p\colon U\to p(U)$  ein Hom\"oomorphismus ist.
 Es folgt  leicht aus den Definitionen, dass  $p\colon U\to p(U)$ sogar ein Diffeomorphismus ist.\qedhere
 \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{beispiele}
Wir kehren ein letztes Mal zu den Beispielen von Seite~\pageref{bsp:gruppenoperationen-auf-mannigfaltigkeiten} zur\"uck.
\begin{enumerate}
\item[(A)] Die Gruppe $G=\Z^n$ operiert frei, eigentlich und glatt auf der $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M=\R^n$. Also besagt
Satz~\ref{satz:quotientmfdsmooth}, dass wir den  $n$-dimensionalen Torus  $\R^n/\Z^n$ als $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit auffassen k\"onnen.
\item[(B)] Die Gruppe $G=\Z$ operiert frei, eigentlich und glatt auf der 2-dimensionalen Mannigfaltigkeit  $M=\R\times (-1,1)$, also ist 
$M/G=(\R\times (-1,1))/\Z$ eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Dies gibt also nach Lemma~\ref{lem:mobiusband-glatte-mannigfaltigkeit} einen weiteren Beweis daf\"ur, dass das M\"obiusband  eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit ist.
\item[(D)] Die Gruppe $G=\{\pm 1\}$ operiert frei, eigentlich und glatt auf der $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit  $M=S^n$, also ist  der projektive Raum
$M/G=S^n/\{\pm 1\}=\R\operatorname{P}^n$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

%======================================
\subsection{Untermannigfaltigkeiten und Produkte von Mannigfaltigkeiten}

\begin{definition}
Es sei $(M,\mathcal{A})$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Wir sagen $N\subset M$ ist eine \emph{$k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $M$},
wenn es zu jedem $P\in N$ eine Karte $\Phi\colon U\to V$ in $\mathcal{A}$ um $P$ gibt, so dass
\[ \Phi(U\cap N)\,\,=\,\,V\cap E_k.\]
\end{definition}


\begin{bemerkung}
Es sei $N$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $(M,\mathcal{A})$. Die Einschr\"ankungen der Karten in $\mathcal{A}$ auf~$N$ bilden, wie wir schon in Fu\ss note~\ref{fussnote:untermannigfaltigkeit-ist-mannigfaltigkeit} gesehen hatten, einen glatten Atlas f\"ur $N$. Wir k\"onnen deshalb $N$ wiederum als Mannigfaltigkeit auffassen.
\end{bemerkung}


\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Es sei $M=\R^n$ und es sei $\mathcal{A}$ der glatte Atlas, welcher gegeben ist durch alle Diffeomorphismen  $\Phi\colon U\to V$ zwischen offenen Teilmengen von $\R^n$. Dann ist eine Teilmenge von $\R^n$ eine  Untermannigfaltigkeit der Mannigfaltigkeit $(\R^n,\mathcal{A})$ genau dann, wenn sie eine Untermannigfaltigkeit im Sinne der Definition von Kapitel~\ref{section:untermf} ist. 
\item In \"Ubungsblatt~13 werden wir sehen, dass jeder Gro\ss kreis auf $S^2$ eine $1$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $S^2$ ist. 
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{untermannigfaltigkeit-von-s2.pstex_t}
\caption{Jeder Gro\ss kreis ist eine Untermannigfaltigkeit von $S^2$.}\label{fig:untermannigfaltigkeit-von-s2}
\end{center}
\end{figure}


\begin{lemma}\label{lem:produkt-mannigfaltigkeiten}
Es sei $(M,\mathcal{A})$ eine $m$-dimensionale  Mannigfaltigkeit und es sei $(N,\mathcal{B})$  eine $n$-dimensionale  Mannigfaltigkeit. Dann gelten folgende Aussagen:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item  Es sei $\Phi\colon U\to V$ eine Karte aus $\mathcal{A}$ und es sei $\Psi\colon W\to X$ eine Karte aus $\mathcal{B}$. Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\times \Psi\colon U\times W& \to & V\times X\\
(p,q)&\mapsto & (\Phi(p),\Psi(q))\end{array}\]
eine $(m+n)$-dimensionale Karte f\"ur $M\times N$ und alle solche Karten $\Phi\times \Psi$ bilden einen glatten Atlas f\"ur $M\times N$. 
\item Das Produkt $M\times N$ ist eine $(m+n)$-dimensionale Mannigfaltigkeit.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{beispiel}
Es folgt beispielsweise aus Lemma~\ref{lem:produkt-mannigfaltigkeiten}, dass das Produkt $S^k\times S^l$ von zwei Sph\"aren $S^k$ und $S^l$ eine $(k+l)$-dimensionale  Mannigfaltigkeit ist.
\end{beispiel}

\begin{proof}
Die erste Aussage kann man problemlos \"uberpr\"ufen. 
Die zweite Aussage folgt aus der ersten Aussage zusammen mit Lemmas~\ref{lem:produkt-hausdorff} und~\ref{lem:produkt-zweitabzaehlbar}.
\end{proof}



Wir haben jetzt viele Beispiele von Mannigfaltigkeiten kennengelernt. Insbesondere k\"onnen wir den Torus auf verschiedene Weisen als Mannigfaltigkeit auffassen:
\begin{enumerate}
\item Auf Seite~\pageref{beispiel:torus-untermannigfaltigkeit} hatten wir den Torus als ``explizite'' Teilmenge von $\R^3$ hingeschrieben:
\[ T^2\,:=\, \big\{ ( (2+\sin\theta)\cos \varphi, \, (2+\sin \theta)\sin \varphi, \, \cos \theta)\,\big|\, \theta,\varphi\in \R\big\}.\] 
Wir hatten zumindest angedeutet, dass man mit etwas M\"uhe beweisen kann, dass $T^2$ eine  Untermannigfaltigkeit ist, also nach der obigen Diskussion auch eine Mannigfaltigkeit.
\item Wir k\"onnen den Torus als Quotient $\R^2/\Z^2$ auffassen. Dies ist nach Satz~\ref{satz:quotientmfdsmooth} ebenfalls eine Mannigfaltigkeit.
\item Wir k\"onnen den Torus als Produkt $S^1\times S^1$ von zwei Mannigfaltigkeiten auffassen. Nach Lemma~\ref{lem:produkt-mannigfaltigkeiten} ist dies eine Mannigfaltigkeit.
\end{enumerate}
Mit einer elementaren, aber etwas langwierigen, Rechnung kann man nun zeigen, dass die drei Mannigfaltigkeiten $T, \R^2/\Z^2$ und $S^1\times S^1$ diffeomorph sind. 

Wenn wir Mannigfaltigkeiten studieren, dann ist es in den allermeisten F\"allen irrelevant mit welchem glatten Atlas wir arbeiten, wir werden diesen deswegen ab sofort fast immer in der Notation weglassen.\footnote{Allerdings ist es nicht immer so, dass wir uns keinen Gedanken dar\"uber machen m\"ussen, mit welchem glatten Atlas wir arbeiten. Selbst auf h\"oherdimensionalen Sph\"aren ist Vorsichtig geboten:
\[ \mbox{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Exotic\_sphere}}\]}


%======================================
\subsection{Die Fl\"ache von Geschlecht 2 als Mannigfaltigkeit}


\begin{satz}\label{satz:flaeche-mannigfaltigkeit}
Die Fl\"ache von Geschlecht $g$  ist eine  2-dimensionale Man\-nig\-fal\-tig\-keit.
\end{satz}

Der Beweis von Satz~\ref{satz:flaeche-mannigfaltigkeit} ist eine etwas aufw\"andigere Variante des Beweises von Lemma~\ref{lem:mobiusband-mannigfaltigkeit}
und Lemma~\ref{lem:mobiusband-glatte-mannigfaltigkeit}.

\begin{proof}
Wir beweisen den Satz f\"ur den Fall $g=2$. Der allgemeine Fall wird ganz analog bewiesen. Wir betrachten also wieder das Oktagon $E_8$ mit den Eckpunkten $Q_k=e^{2\pi ik/16}$, $k=1,3,\dots,15$ und der \"Aquivalenzrelation $\sim$, welche wir in Kapitel~\ref{kapitel:flaeche-geschlecht-2} eingef\"uhrt hatten. Das Oktagon mit der \"Aquivalenzrelation sind  in Abbildung~\ref{fig:flaeche-geschlecht-2} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{oktagon-xis.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:flaeche-geschlecht-2}
\end{center}
\end{figure}

Man kann leicht nachweisen, dass $E_8/\sim$ zweitabz\"ahlbar und Hausdorff ist.
Wir \"uberlassen die Ausf\"uhrung des Arguments als freiwillige \"Ubungsaufgabe.

Wir zeigen als n\"achstes, dass $E_8/\sim$ eine topologische 2-dimensionale Mannigfaltigkeit ist. Genauer gesagt, wir bestimmen explizit einen Atlas f\"ur $E_8/\sim$. Wir werden danach zeigen, dass es sich bei diesem Atlas um einen glatten Atlas handelt.

Es sei zuerst $P$ ein Punkt im Inneren $\interior{E_8}$ von $E_8$.\label{bem:karten-fuer-e8-1}
Die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon U:=p\big(\interior{E_8}\big)&\to & V=\interior{E_8}\,\,\subset\,\,\R^2\\
p(X)&\mapsto & X\end{array}\]
ist dann eine Karte um $p(P)$. Wir bezeichnen diese  als Karte vom 1.\ Typ.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{oktagon-karte-p1.pstex_t}
\caption{Karte vom 1.\ Typ f\"ur einen Punkt im Inneren von $E_8$.}
\end{center}
\end{figure}

\medskip


Es sei nun $P$ ein Punkt, welcher im Inneren einer Kante von $E_8$ liegt.
Wir wollen eine Karte um $p(P)$ finden.
O.B.d.A.\ sei $P\in \overline{Q_{-1}Q_1}$. In dem Beweis verwenden wir folgende Notation: wir bezeichnen wir mit~$s_{\frac{\pi}{4}}\colon \C\to \C$ die Spiegelung an der  Gerade $\{re^{i\frac{\pi}{4}}\,|\,r\in \R\}$ und wir bezeichnen mit~$P'=s_{{\frac{\pi}{4}}}(P)$ den Punkt, welcher mit~$P$ identifiziert wird. Wir w\"ahlen ein $\epsilon>0$, so dass die offene Scheibe $B_\epsilon(P)$ keinen Eckpunkt des Oktagons ber\"uhrt. Wir schreiben $U:=B_\epsilon(P)\cap E_8$ und $U':=B_{\epsilon}(P')\cap E_8$. 
Dann ist $p(U\cup U')$
eine offene  Umgebung um $P$. Es sei  $f\colon \R^2\to \R^2$ die Spiegelung an der Geraden, welche durch die Kante $\overline{Q_{-1}Q_1}$ definiert wird.
Es folgt nun leicht aus den Definitionen, dass die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} p(U\,\,\cup\,\, U')&\to & B_{\epsilon}(P)\,\,\subset \,\,\R^2\\[0mm]
p(X)&\mapsto &\left\{ \begin{array}{ll} X,&\mbox{ wenn } X\in U\\
f(s_{\frac{\pi}{4}}(X)),&\mbox{ wenn }X\in U'\end{array} \right.\end{array}\]
wohl-definiert ist, und dass diese Abbildung ein Hom\"oomorphismus ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{oktagon-karte-p2.pstex_t}
\caption{Karte vom 2.\ Typ f\"ur einen Punkt im Inneren einer Kante von $E_8$.}
\end{center}
\end{figure}
Insbesondere ist dies also eine Karte f\"ur $E_8$ um $p(P)$. 
Wir bezeichnen diese als Karte vom 2.\ Typ.
\medskip

Wir wollen nun noch eine Karte um $p(Q_1)=p(Q_3)=\dots=p(Q_{15})$ finden.
Wir w\"ahlen ein $\eta>0$, so dass sich die $\eta$-Scheiben um $Q_1,\dots,Q_{15}$ nicht schneiden.
F\"ur $k=1,3,\dots,15$ betrachten wir jetzt $U_k:=B_{\eta}(Q_k)\cap E_8$.
Die Mengen $U_1,U_3,\dots,U_{15}$ sind disjunkt und man kann sich leicht davon \"uberzeugen, dass 
\[ p(U_1)\cup p(U_3)\cup \dots \cup p(U_{15})\]
eine offene Umgebung von  $p(Q_1)=p(Q_3)=\dots=p(Q_{15})$ ist. 
\\

Bevor wir die Karte mathematisch sauber aufschreiben, wollen wir uns die  Lage veranschaulichen.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{oktagon-karte-p3c.pstex_t}
\caption{Karte vom 3.\ Typ f\"ur einen Eckpunkt von  $E_8$.}
\label{fig:karte3}
\end{center}
\end{figure}
In Abbildung \ref{fig:karte3} sehen wir links die Mengen $U_1,\dots,U_{15}$. Wenn wir diese wie im 
zweiten Bild anordnen, dann sehen wir die ``Tortenst\"ucke'' mit den \"Offnungswinkeln $\frac{3\pi}{4}$ mit den jeweiligen Identifikationen am Rand.
Die Abbildung vom zweiten Bild zum dritten Bild ist dadurch gegeben, dass wir jedes ``Tortenst\"uck'' auf ein Drittel des \"Offnungswinkels zusammenstauchen. Diese acht Tortenst\"ucke, welche jeweils den \"Offnungswinkel $\frac{\pi}{4}$ besitzen, f\"ugen sich dann zusammen zu einer Scheibe in $\R^2$.
\\

Wir f\"uhren jetzt die gerade beschriebene Idee sauber aus.
Wir betrachten die Abbildung\footnote{F\"ur jedes Tortenst\"uck besitzt die Randkurve eine Orientierung. Es macht daher Sinn von der Ausgangskante zu reden. Die Abbildung verf\"ahrt nun also wie folgt mit Tortenst\"uck $k$:
\begin{enumerate}
\item das Tortenst\"uck wird in den Ursprung verschoben,
\item es wird gegen den Uhrzeigersinn um $\beta(k)$ gedreht, so dass die Ausgangskante auf der $x$-Achse liegt,
\item dann wird das Tortenst\"uck auf ein Drittel des \"Offnungswinkels gestaucht,
\item dann wird das Tortenst\"uck um den Winkel $\beta(k)$ im Uhrzeigersinn zum Winkel $\gamma$ gedreht.
\end{enumerate}}
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon p(U_1)\cup \dots \cup p(U_{15}) &\to & U_{\eta}(0) \\
p(\underset{\in p(U_k)}{\underbrace{Q_k+re^{i\alpha}}})&\mapsto & \begin{array}{l} re^{i\left(\frac{1}{3}(\alpha-\beta(k))+\gamma(k) \right)}, \mbox{ f\"ur } k=1,3,\dots,15, \end{array} \end{array} \]
wobei  $\beta(k)$ durch folgende Tabelle gegeben ist:
\[ \begin{array}{ccccccccc} k& 1&3&5&7&9&11&13&15 \\ \hline  
\\[-0.35cm]
\beta(k)& \frac{3}{4}\pi&\pi&\frac{5}{4}\pi&\frac{3}{2}\pi&\frac{7}{4}\pi&0&\frac{1}{4}\pi&\frac{1}{2}\pi\\[2mm]
\gamma(k)& \frac{3}{4}\pi&\pi&\frac{5}{4}\pi&\frac{1}{2}\pi&\frac{7}{4}\pi&0&\frac{1}{4}\pi&\frac{3}{2}\pi
\end{array} \]
Man kann nun leicht \"uberpr\"ufen, dass die Abbildung $\Phi$ wohl-definiert ist und das dies in der Tat 
ein  Hom\"oomorphismus ist.

Wir bezeichnen diese Abbildung  als Karte vom 3.\ Typ.
\medskip 

Wir haben  bisher nur bewiesen, dass die Fl\"ache von Geschlecht $2$ eine topologische 2-dimensionale Man\-nig\-fal\-tig\-keit ist. Wir m\"ussen nun noch zeigen, dass die obigen Karten   einen glatten Atlas bilden. Dies ist in der Tat der Fall.
Der Kartenwechsel zwischen den Karten von den ersten beiden Typen vergleichen ist entweder die Identit\"at oder eine Verkn\"upfung von zwei Spiegelungen In beiden F\"allen ist der Kartenwechsel glatt. Wenn wir die Karte um den ``Eckpunkt'' mit den anderen Karten vergleichen, dann sieht man, dass die Kartenwechsel  im \"Uberlappungsgebiet Verkn\"upfungen von
\begin{enumerate}
\item Spiegelungen,
\item Translationen,
\item  und der Abbildung 
\[
\begin{array}{rcl}\{ re^{i\alpha}\,|\, r\in (0,\eta),\alpha\in (0,\frac{\pi}{4})\}&\to &
\{ re^{i\alpha}\,|\, r\in (0,\eta),\alpha\in (0,\frac{3\pi}{4})\}\\
 re^{i\varphi}&\mapsto&re^{3i\varphi},\end{array}\]
\item   und der Umkehrfunktion aus (3) 
\end{enumerate}
sind. 
Diese Abbildungen sind jedoch glatt, also ist der Kartenwechsel wie gew\"unscht glatt.
\end{proof}

\clearpage

%======================================
\section{Riemannsche Mannigfaltigkeiten}

Wir wollen nun nat\"urlich die Begriffe ``Integral einer Funktion'', ``L\"ange einer Kurve'', ``Geod\"aten'' und ``$k$-Formen'' von Untermannigfaltigkeiten auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern.

Es sei $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ mit einer Karte $\Phi\colon U\to V$ mit Umkehrabbildung $\Psi\colon V\to U$. 
\begin{enumerate}
\item In der Definition vom ``Integral einer Funktion'' hatten wir insbesondere  die Skalarprodukte
\[ \hspace{0.7cm} \langle D\Psi(e_i),D\Psi(e_j)\rangle\,\,=\,\,
\langle \mbox{Ableitung von $\Psi(Q+te_i)$},\mbox{Ableitung von $\Psi(Q+te_j)$}\rangle\]
verwendet.
\item In der Definition der L\"ange einer Kurve $\gamma$ hatten wir das Skalarprodukt $\langle \gamma'(t),\gamma'(t)\rangle$ verwendet.
\item Eine $m$-Form war definiert als eine glatte alternierende $m$-Form auf den Tangentialr\"aumen $T_PM$. Insbesondere hatten wir in der Definition des Integrals einer $k$-Form $\omega$ auf~$M$ diese ausgewertet auf den Vektoren
\[ D\Psi(e_i)\,\,=\,\,\mbox{Ableitung von $\Psi(Q+te_i)$}\]
f\"ur $i=1,\dots,k$. 
\end{enumerate}

Wir wollen nun diese Begriffe auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern.
Das Problem hierbei ist, dass Mannigfaltigkeiten nicht notwendigerweise in einem $\R^n$ liegen, dass hei\ss t, es macht keinen Sinn von Ableitungen von Kurven zu reden. 
Zudem hatten wir das Skalarprodukt auf dem ``umgebenden'' $\R^n$ verwendet. Dieses steht uns f\"ur Mannigfaltigkeiten nicht zur Verf\"ugung.

F\"ur beide Probleme hatten wir schon mehr oder minder gesehen, was die L\"osung ist.
\begin{enumerate}
\item In Kapitel~\ref{section:induzierte-abbildung-auf-tpm-untermannigfaltigkeit} hatten wir schon gesehen, dass wir den Tangentialraum einer Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ als die Menge von \"Aqui\-valenz\-klassen von Kurven  definieren k\"onnen. Diese Sichtweise werden wir ohne gr\"o\ss ere Probleme auf Mannigfaltigkeiten \"ubertragen.
\item In Kapitel~\ref{section:riemansche-untermannigfaltigkeiten} hatten wir schon gesehen, dass wir anstatt mit dem Skalarprodukt in $\R^n$ auch mit einer beliebigen Riemannschen Struktur, d.h.\ mit einer Wahl von positiv definiten symmetrischen Bilinearformen auf den Tangentialr\"aumen arbeiten k\"onnen. Diesen Gesichtspunkt k\"onnen wir problemlos auf Mannigfaltigkeiten \"uber\-tragen.\label{bem:motivation-riemansche-mannigfaltigkeiten}
\end{enumerate}


%======================================
\subsection{Der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit}

\begin{definition}
Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und  $P$ ein Punkt auf  $M$.
\begin{enumerate}
\item Eine  \emph{Kurve in $M$ durch $P$} ist eine glatte Abbildung 
$ \gamma\colon I\to  M $ auf einem offenen  Intervall $I$ mit~$0\in I$ und mit~$\gamma(0)=P$.
\item Wir sagen zwei Kurven $\gamma$ und $\delta$ durch $P$ sind \emph{\"aquivalent}, wenn es eine Karte\footnote{Eine ``Karte einer Mannigfaltigkeit'' ist hierbei immer eine Karte aus dem differenzierbaren Atlas.}  $\Phi\colon U\to V$ um $P$ gibt, so dass\footnote{Die Abbildungen $\Phi\circ \gamma$ und $\Phi\circ \delta$ sind glatte Abbildungen von einem offenen Intervall, welches $0$ enth\"alt, zu einer offenen Teilmenge von $\R^n$. Es macht also Sinn, die Ableitungen zu bestimmen.}
$(\Phi\circ\gamma)'(0)=(\Phi\circ \delta)'(0)$.
\item Die Menge aller \"Aqui\-valenz\-klassen von Kurven durch $P$  wird mit~$T_PM$ bezeichnet. Wir nennen $T_PM$ den \emph{Tangentialraum} am Punkt $P$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{aquivalente-kurven-auf-mannigfaltigkeit.pstex_t}
\caption{\"Aquivalenz von Kurven auf einer Mannigfaltigkeit.}
\label{fig:aquivalente-kurven-auf-mannigfaltigkeit}
\end{center}
\end{figure}

\begin{lemma}\label{lem:aequivalenz-von-kurven}
Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Es seien  $\gamma$ und $\delta$ zwei Kurven durch einen Punkt $P$ auf~$M$. Dann gilt
\[ \mbox{$\gamma$ und $\delta$  sind \"aquivalent}
\quad \Longleftrightarrow \quad  \begin{array}{c}\mbox{f\"ur jede Karte $\Psi\colon W\to X$ um $P$ gilt}\\
(\Psi\circ\gamma)'(0)=(\Psi\circ \delta)'(0).\end{array}\]
\end{lemma} 

\begin{proof}
Wir m\"ussen nat\"urlich nur die ``$\Rightarrow$''-Richtung beweisen.
Es seien  also $\gamma$ und $\delta$ zwei \"aquivalente Kurven durch  $P$ auf~$M$. 
Es gibt also eine Karte $\Phi\colon U\to V$ um $P$, so dass
$(\Phi\circ\gamma)'(0)=(\Phi\circ \delta)'(0)$. Es sei nun $\Psi\colon W\to X$ eine weitere Karte um $P$. Dann ist
\[ \begin{array}{rll} (\Psi\circ\gamma)'(0)\,\,=\,\, \big((\Psi\circ \Phi^{-1})\circ (\Phi\circ \gamma)\big)'(0)&=\,\, D_{\Phi(P)}(\Psi\circ \Phi^{-1})\big((\Phi\circ \gamma)'(0)\big)
\\
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mfbox{Kettenregel}\\
&=\,\, D_{\Phi(P)}(\Psi\circ \Phi^{-1})\big((\Phi\circ \delta)'(0)\big)&=\,\,(\Psi\circ\delta)'(0).\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mfbox{nach Voraussetzung}
&\hspace{-1.7cm}\mfbox{gleiche Argument r\"uckw\"arts}\end{array}\]
Hierbei haben wir verwendet, dass $\Psi\circ \Phi^{-1}$ eine glatte Abbildung ist. Dies ist der Fall, denn $\Psi$ und $\Phi$ liegen in dem festgew\"ahlten glatten Atlas der Mannigfaltigkeit $M$. 
\end{proof}

\begin{bemerkung}\label{bem:klassischer-abstrakter-tangentialraum}
Es sei nun $M$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit  von $\R^n$ und es sei $P\in M$.
Wir haben nun zwei verschiedene Definitionen vom Tangentialraum $T_PM$.
Zum einen haben wir den klassischen Begriff, welchen wir auf Seite~\ref{def:tangentialraum-untermannigfaltigkeit} eingef\"uhrt hatten, zum anderen haben wir den abstrakteren Begriff, welchen wir gerade erst eingef\"uhrt hatten. Man kann nun aber ohne Probleme zeigen,
dass ganz analog zur Diskussion in Kapitel~\ref{section:induzierte-abbildung-auf-tpm-untermannigfaltigkeit},
 die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \begin{array}{c}\mbox{Menge der \"Aqui\-valenz\-klassen}\\
\mbox{von Kurven durch $P$}\end{array} &\to & \mbox{Ableitungen von Kurven durch $P$}\\{}
[\gamma]&\to & \gamma'(0)\end{array}\]
eine Bijektion ist. Wir verwenden im Folgenden diese Bijektion um die beiden Definitionen von $T_PM$   zu identifizieren. 
\end{bemerkung}

Es  sei $f\colon M\to N$ eine glatte Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten  und es sei $P\in M$. Ganz analog zur Diskussion auf Seite~\pageref{def:fstar}  betrachten 
wir die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} f_*\colon T_PM&\to & T_{f(P)}N\\ {}
[\gamma\colon I\to M]&\to & [f\circ \gamma\colon I\to N].\end{array}\]
Fast das gleiche Argument wie im Beweis von Lemma~\ref{lem:aequivalenz-von-kurven} zeigt, dass diese Abbildung nicht von der Wahl der Kurve $\gamma$ abh\"angt.
F\"ur eine glatte Abbildung zwischen zwei Untermannigfaltigkeiten  von $\R^n$ entspricht diese Definition gerade der Definition aus Kapitel~\ref{section:induzierte-abbildung-auf-tpm-untermannigfaltigkeit}.
Wort-w\"ortlich der gleiche Beweis wie von Satz~\ref{satz:kettenregel-differentiale} liefert uns nun auch folgenden Satz.


\begin{satz}\label{satz:kettenregel-differentiale-mannigfaltigkeiten}
\mbox{}
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item F\"ur eine Mannigfaltigkeit $M$ und $P\in M$ gilt
\[ \hspace{0.5cm} \operatorname{id}_*\,\,=\,\,\operatorname{id}\colon T_PM\,\to \,T_PN.\]
\item
Es seien $f\colon L\to M$ und $g\colon M\to N$ glatte Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten und es sei $P\in L$. Dann ist
\[ (g\circ f)_*\,\,=\,\, g_*\circ f_*\colon T_PL\,\to \,T_{g(f(P))}N.\]
\end{enumerate}
\end{satz}

% Ende 24. Vorlesung

Es sei nun $M$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit und es sei $P$ ein Punkt auf~$M$. Wir hatten gerade  den Tangentialraum $T_PM$ eingef\"uhrt. Aber es ist von der Definition her nicht klar, in wieweit $T_PM$ eigentlich ein Vektorraum ist. Wir holen dies nun nach und definieren eine Vektorraumstruktur auf~$T_PM$. Wir w\"ahlen dazu eine Karte\footnote{Wie immer muss die Karte in unserem festgew\"ahlten glatten Atlas liegen.} $\Phi\colon U\to V$ um $P$. F\"ur $v,w\in T_PM$ definieren wir nun
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.5cm} v+w&:=& \Phi^{-1}_*(\underset{\in T_{\Phi(P)}V=\R^n}{\underbrace{\Phi_*(v)+\Phi_*(w)}}),
\intertext{und f\"ur $v\in T_PM$ und $\lambda\in \R$ definieren wir}
\lambda\cdot v&:=&\Phi^{-1}_*(\hspace{-0.2cm}\underset{\in T_{\Phi(P)}V=\R^n}{\underbrace{\lambda\cdot  \Phi_*(v)}}\hspace{-0.2cm}).\end{array}
\end{align*}
Wie \"ublich m\"ussen wir nun zeigen, dass diese Definitionen nicht von der Wahl der Karte abh\"angt. Das folgende Lemma besagt, dass die Addition und die Skalarmultiplikation auf einem Tangentialraum wohldefiniert sind.

\begin{lemma}\label{lem:addition-von-kurven}
Es sei $M$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit, es sei $P$ ein Punkt auf~$M$ 
 und es seien $\Phi\colon U\to V$ und $\Psi\colon W\to X$ zwei Karten um $P$. Dann gilt f\"ur alle $v,w\in T_PM$, dass
\[ \Phi^{-1}_*(\Phi_*(v)+\Phi_*(w))\,\,=\,\,\Psi^{-1}_*(\Psi_*(v)+\Psi_*(w)).\]
Zudem gilt f\"ur alle $v\in T_PM$ und $\lambda\in \R$, dass
\[ \Phi^{-1}_*(\lambda\cdot \Phi_*(v))\,\,=\,\,\Psi^{-1}_*(\lambda\cdot \Psi_*(v)).\]
\end{lemma} 

\begin{proof}
Wir beweisen nur die erste Aussage, die zweite Aussage wird ganz analog bewiesen.
Es seien also $v,w\in T_PM$. Dann ist 
\[ \begin{array}{rl} 
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $\Psi_*^{-1}\circ \Psi_*=\operatorname{id}$}\\
&\downarrow\\
\Phi^{-1}_*(\Phi_*v+\Phi_*w)
&=\, (\Psi_*^{-1}\circ \Psi_*)\big(\Phi^{-1}_*(\Phi_*v+\Phi_*w)\big)\\[0.1cm]
&=\, \Psi_*^{-1}\big((\Psi_*\circ \Phi^{-1}_*)\big(\Phi_*v+\Phi_*w\big)\big)\\[0.1cm]
&=\, \Psi_*^{-1}\big((\Psi_*\circ \Phi^{-1}_*)(\Phi_*v)\big)+\Psi_*^{-1}\big((\Psi_*\circ \Phi^{-1}_*)(\Phi_*w)\big)=\Phi^{-1}_*(\Phi_*v+\Phi_*w).
\\
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mfbox{$\Psi_*\circ \Phi_*^{-1}=(\Psi\circ \Phi^{-1})_*$ ist eine lineare Abbildung, }\\[-0.1cm]
&\hspace{-1.2cm}\mfbox{denn $\Psi\circ \Phi^{-1}$ ist eine glatte Abbildung zwischen offenen Teilmengen von $\R^n$}\vspace{-0.6cm}\end{array}\]
\end{proof}



Das folgende Lemma wird \"ahnlich wie Satz~\ref{satz:differential-linear} bewiesen.


\begin{lemma}\label{lem:differential-ist-linear}
Es  sei $f\colon M\to N$ eine glatte Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten  und es sei $P\in M$. Dann ist die Abbildung
\[ f_*\colon T_PM \,\,\to\,\, T_{f(P)}N\]
eine lineare Abbildung.
\end{lemma}

\begin{korollar}\label{kor:tangentialraum-n-dimensional}
Es sei $M$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit und es sei $P\in M$ ein Punkt. Dann ist $T_PM$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum.
\end{korollar}

\begin{proof}
Wir w\"ahlen eine Karte $\Phi\colon U\to V$  um $P$. 
Es folgt aus Lemma~\ref{lem:differential-ist-linear}, dass  die induzierte Abbildung $\Phi_*\colon T_PM=T_PU\to T_{\Phi(P)}V$ ein lineare Abbildung ist und es folgt leicht aus  Satz~\ref{satz:kettenregel-differentiale-mannigfaltigkeiten}, dass  $(\Phi^{-1})_*\colon T_{\Phi(P)}V\to T_PM=T_PU$ eine Umkehrabbildung zu $\Phi_*$ ist. Also ist $\Phi_*\colon T_PM=T_PU\to T_{\Phi(P)}V$ ein Isomorphismus von Vektorr\"aumen. 

Nachdem $V\subset U$ eine offene Teilmenge von $\R^n$ ist, folgt aus der 
Bemerkung auf Seite~\pageref{bem:klassischer-abstrakter-tangentialraum}, dass $T_{\Phi(P)}V=T_{\Phi(P)}\R^n=\R^n$. Zusammengefasst ist also $T_PM$ isomorph zum $n$-dimensionalen Vektorraum $\R^n$.
\end{proof}


Wir betrachten die  \emph{Kategorie der Mannigfaltigkeiten $\mathcal{M}$}, welche gegeben ist durch
\[ \begin{array}{rcl} \operatorname{Ob}(\mathcal{M})&:=&\mbox{alle Mannigfaltigkeiten}, \\
\hspace{2cm}\operatorname{Mor}(M,N)&:=&\mbox{alle glatten Abbildungen  von $M$ nach $N$.}\end{array} \]
Eine \emph{punktierte Mannigfaltigkeit} ist eine Paar $(M,P)$, wobei $M$ eine Mannigfaltigkeit ist und $P$ ein Punkt auf~$M$.
Wir  betrachten die  \emph{Kategorie der punktierten Mannigfaltigkeiten $\mathcal{P}$}, welche gegeben ist durch
\[ \begin{array}{rcl} \operatorname{Ob}(\mathcal{P})&:=&\{\mbox{alle punktierten Mannigfaltigkeiten}\}, \\
\hspace{1cm}\operatorname{Mor}((M,P),(N,Q))&:=&\left\{\begin{array}{l} \mbox{alle glatten  Abbildungen  $f$ }\\\mbox{von $M$ nach $N$ mit~$f(P)=Q$}\end{array}\right\}.\end{array} \]
Satz~\ref{satz:kettenregel-differentiale-mannigfaltigkeiten} und 
Lemma~\ref{lem:differential-ist-linear} besagen, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6.4cm} (M,P)&\mapsto & T_PM 
\intertext{und}  (f\colon (M,P)\to (N,Q))&\mapsto& (f_*\colon T_PM\to T_QN)\end{array}
\end{align*}
einen kovarianten Funktor von der Kategorie der punktierten Mannigfaltigkeiten zu der Kategorie der Vektorr\"aume definiert.




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\subsection{Riemannsche Mannigfaltigkeiten und Integration von  Funktionen}
Wir wollen nun Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integrieren. Nachdem uns das Skalarprodukt nicht mehr zur Verf\"ugung steht m\"ussen wir, wie  schon auf Seite~\pageref{bem:motivation-riemansche-mannigfaltigkeiten} angedeutet, diesen Wegfall durch die Wahl einer positiv definiten symmetrischen Bilinearform f\"ur jeden Tangentialraum kompensieren. Dies f\"uhrt uns zum Begriff der  Riemannschen Mannigfaltigkeit. Deren Definition ist fast wort-w\"ortlich die gleiche wie die Definition von Riemannschen Untermannigfaltigkeiten  von $\R^n$, welche wir auf Seite~\pageref{def:riemannsche-untermannigfaltigkeit} gegeben hatten. 

Etwas genauer gesagt, eine 
 \emph{Riemannsche Struktur} auf einer Mannigfaltigkeit $M$ ist eine glatte Abbildung $g$, welche jedem Punkt $P\in M$ eine positiv definite symmetrische Bilinearform $g_P$ auf~$T_PM$ zuordnet. Die Definition von ``glatt'' erfolgt hierbei \"uber Karten, ganz analog zur Definition auf Seite~\pageref{def:riemannsche-untermannigfaltigkeit}.
Eine \emph{Riemannsche Mannigfaltigkeit} ist ein Paar $(M,g)$, wobei $M$ eine Mannigfaltigkeit  und $g$  eine Riemannsche Struktur auf~$M$ ist. 

Es sei nun  $f\colon M\to \R$ eine Funktion auf einer $k$-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit $(M,g)$. 
Wir nehmen zuerst an, dass es eine Karte $\Phi\colon U\to V$ aus dem gegebenen Atlas gibt, so dass $\mbox{Tr\"ager}(f)\subset U$. Wir bezeichnen mit~$\Psi\colon V\to U$ die Umkehrabbildung. Dann definieren wir, ganz analog zur Definition auf Seite~\pageref{def:integral-riemannsche-untermanigfaltigkeit}
\[ 
\begin{array}{rcl}
\bint\limits_{(M,g)} f&:=& \bint\limits_{V} f(\Psi(x))\cdot \sqrt{\det\big(g_{\Psi(x)} (\Psi_*e_i,\Psi_*e_j)_{i,j=1,\dots,k}\big)}.\\[-0.7cm]
&&\hspace{4.3cm}\underbrace{\phantom{(\Psi_*e_i,\Psi_*e_j)}}\\[0.2cm]
&&\hspace{3.3cm}\mfbox{$e_i,e_j$ liegen in $\R^k=T_xV$ und}\\[-0.1cm]
&&\hspace{3cm}\mfbox{$\Psi_*e_i,\Psi_*e_j$ liegen daher in $T_{\Psi(x)}M$}\end{array}
\]
Das Argument von Satz~\ref{satz:integration-wohldefiniert} zeigt, dass diese Definition nicht von der Wahl der Karte abh\"angt. 

Wir verallgemeinern nun diese Definition auf die Integration von Funktionen auf beliebigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten:
\begin{enumerate}
\item Ganz analog zur Diskussion  in  Kapitel~\ref{section:intii} erweitern wir die Definition auf Mannigfaltigkeiten, welche durch endliche viele Karten aus dem vorgegebenen Atlas abgedeckt werden.
\item In Kapitel~\ref{section:intiii} hatten wir das Integral einer Funktion auf einer beliebigen Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ eingef\"uhrt. 
Hierbei hatten wir Lemma~\ref{lem:untermannigfaltigkeit-abzaehlbaren-atlas} verwendet, welches besagt, dass jede Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ einen abz\"ahlbaren Atlas besitzt. 

An dieser Stelle verwenden wir jetzt die Tatsache, dass per Definition jede Mannigfaltigkeit $M$ zweitabz\"ahlbar ist. Der Beweis von Lemma~\ref{lem:untermannigfaltigkeit-abzaehlbaren-atlas} zeigt dann, dass $M$ auch einen abz\"ahlbaren glatten Atlas besitzt.\footnote{Der Vollst\"andigkeit halber f\"uhren wir das Argument aus. 
Es sei also $M$ eine Mannigfaltigkeit und es sei $\mathcal{A}$ ein glatter Atlas f\"ur $M$. Zudem sei $\mathcal{B}$ eine abz\"ahlbare Basis der Topologie. 
Zu jedem $x\in M$ gibt es  eine Karte $\Phi_x\colon U_x\to V_x$ aus dem Atlas $\mathcal{A}$. Per Definition einer Basis der Topologie, siehe Seite~\pageref{def:basis-der-topologie}, gibt es zu jedem $x\in M$ ein $W_x\in \mathcal{B}$ mit $x\in W_x$ und $W_x\subset U_x$.  Dann ist auch $\{\Phi_x\colon W_x\to \Phi_x(W_x)\}_{x\in M}$ ein Atlas f\"ur $M$. Nachdem es nur abz\"ahlbar viele offene Mengen in $\mathcal{B}$ gibt, gen\"ugen nun schon abz\"ahlbar viele dieser Karten um $M$ zu \"uberdecken, d.h.\ $M$ besitzt einen abz\"ahlbaren Atlas.}
Der Rest von Kapitel~\ref{section:intiii} kann nun problemlos \"ubernommen werden.\label{bem:brauchen-zweitabzaehlbar}
\end{enumerate}






%======================================
\subsection{Mannigfaltigkeiten mit Rand}
In Kapitel~\ref{section:untermf} hatten wir zuerst Untermannigfaltigkeiten von $\R^n$ ``ohne Rand'' eingef\"uhrt. In Kapitel~\ref{section:untermannigfaltigkeiten-mit-rand} hatten wir diesen urspr\"unglichen Begriff von  Untermannigfaltigkeiten   erweitert, und wir hatten Untermannigfaltigkeiten  von $\R^n$ zugelassen, welche einen nichtleeren Rand besitzen.
Mit fast wort-w\"ortlich der gleichen Vorgehensweise kann man nun auch topologische Mannigfaltigkeiten mit Rand sowie Mannigfaltigkeiten mit Rand einf\"uhren.
Im folgenden kann eine (topologische) Mannigfaltigkeit auch immer einen Rand besitzen.

Es gelten  die offensichtlichen Verallgemeinerungen der Aussagen \"uber Untermannigfaltigkeiten mit Rand und den Rand einer Untermannigfaltigkeit.
Beispielsweise gilt, ganz analog zu Satz~\ref{satz:rand-ist-untermannigfaltigkeit},
dass der Rand $\partial M$ einer  $k$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M$ mit Rand
eine  $(k-1)$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit leerem Rand ist.

\begin{beispiel}
Wir betrachten jetzt $Y=[0,1]\times [0,1]\subset \R^2$, wobei die \"Aqui\-va\-lenz\-re\-lation erzeugt ist durch
\[ (0,y)\,\sim \, (1,1-y)\quad \mbox{ f\"ur alle $y\in [0,1]$.}\]
Dies ist also fast die gleiche Definition wie die Definition vom M\"obiusband auf Seite~\pageref{def:moebiusband}. Aber dieses Mal betrachten wir das abgeschlossene Quadrat $[0,1]\times [0,1]$ anstatt dem halboffenen Quadrat $[0,1]\times (0,1)$.
Der Quotientenraum $Y/\sim$ entsteht wie zuvor aus dem Quadrat $Y$, indem wir die ``linke Kante nach einer Verdrillung mit der rechten  Kante verkleben''.
Den topologischen Raum $Y/\sim$ nennen wir das \emph{abgeschlossene M\"obiusband}.

Fast das gleiche Argument wie in Lemmas~\ref{lem:mobiusband-mannigfaltigkeit} und~\ref{lem:mobiusband-glatte-mannigfaltigkeit}  zeigt, dass das abgeschlossene M\"obiusband eine  2-dimensionale Mannigfaltigkeit ist mit Rand
\[ \big(\{0,1\}\times [0,1]\big)/\sim \,\,\,=\,\,\, \big((\{0\}\times [0,1])\cup (\{1\}\times [0,1])\big)/\sim,\]
wobei $(0,0)\sim (1,1)$ und $(0,1)\sim (1,0)$. 
Man kann nun leicht zeigen, dass der Rand von $Y/\sim$ diffeomorph  zum Kreis $S^1$ ist. 
Die Abbildung \ref{fig:abgeschlossenes-mobiusband} veranschaulicht das abgeschlossene M\"obiusband und seinen Rand.
\end{beispiel}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{abgeschlossenes-mobiusband.pstex_t}
\caption{Das abgeschlossene M\"obiusband.}\label{fig:abgeschlossenes-mobiusband}
\end{center}
\end{figure}

%======================================
\subsection{Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten}
In den Kapiteln~\ref{section:differentialformen-auf-untermannigfaltigkeiten} und~\ref{section:satz-von-stokes}
hatten wir f\"ur eine Untermannigfaltigkeit $M$ von $\R^n$ folgende Begriffe eingef\"uhrt:
\begin{enumerate}
\item stetige und glatte Differentialformen,
\item die Menge $\Omega_k(M)$ der glatten $k$-Formen auf~$M$,
\item Orientierungen auf~$M$,
\item das Integral einer stetigen $k$-Form auf einer kompakten orientierten $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit  von $\R^n$,
\item das Differential $d\omega$ einer glatten $k$-Form.
\end{enumerate}
In allen diesen Definitionen hatten wir immer mit den Tangentialr\"aumen gearbeitet, aber wir hatten ansonsten nie verwendet, dass $M$ einen ``umgebenden Raum'' besitzt.\footnote{Die Definitionen und S\"atze wurden auch immer formuliert in der Form ``Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit'', und nie von der Form ``Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit von $\R^n$'', weil eben der $\R^n$ nie eine Rolle gespielt hat.} Insbesondere hatten wir bei diesen Definitionen und S\"atzen nie das Skalarprodukt des $\R^n$ in irgendeiner Weise verwendet.

Nachdem wir jetzt f\"ur Mannigfaltigkeiten ebenfalls einen Begriff von Tangentialr\"aumen haben, k\"onnen wir nun diese Begriffe und alle Aussagen aus  Kapitel~\ref{section:differentialformen-auf-untermannigfaltigkeiten}  und~\ref{section:satz-von-stokes} fast wort-w\"ortlich zu Mannigfaltigkeiten \"ubertragen.\footnote{Allerdings m\"ussen wir uns bei Karten dann immer auf Karten des Atlanten einschr\"anken. Beispielsweise hei\ss t eine $k$-Form auf einer Mannigfaltigkeit $(M,\mathcal{A})$ glatt, wenn f\"ur alle Karten $\Phi\colon U\to V$ \emph{im Atlas $\mathcal{A}$} die $k$-Form $(\Phi^{-1})^*\omega$ auf~$V$ glatt ist.}
 Insbesondere erhalten wir folgendes Analogon zu
Satz~\ref{satz:regelnd}, 
 Satz~\ref{satz:pullback-von-stetigen-alternierenden-formen} und Satz~\ref{satz:d-kommutiert-mit-varphi}.
 
 

\begin{satz}\label{satz:d-auf-mannigfaltigkeit-kommutiert-mit-varphi}
\mbox{}
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item F\"ur jede glatte $k$-Form $\omega$ auf einer Mannigfaltigkeit ist $d\omega$  eine glatte $(k+1)$-Form und es gilt $d\,d\omega=0$.
\item Es sei $f\colon M\to N$ eine glatte Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten und es sei $\omega\in \Omega_k(N)$. Dann ist $f^*\omega$ eine glatte $k$-Form auf~$M$ und es gilt
\[ d(f^*\omega)\,\,=\,\,f^*(d\omega ).\]
\end{enumerate}
\end{satz}


\begin{bemerkung}
Der Satz besagt also insbesondere, dass f\"ur eine glatte Abbildung $f\colon M\to N$ zwischen zwei Mannigfaltigkeiten folgendes Diagramm von Abbildungen kommutiert:
\[ \xymatrix@R-0.3cm{ \Omega_k(N)\ar[d]^d\ar[r]^{f^*} & \Omega_k(M)\ar[d]_d\\ \Omega_{k+1}(N)\ar[r]^{f^*} & \Omega_{k+1}(M).}\]
\end{bemerkung}

Wir k\"onnen auch problemlos das Integral von  stetigen $k$-Formen  auf  orientierten kompakten $k$-dimensionalen  Mannigfaltigkeiten einf\"uhren.
Das Integral wird durch den folgenden Satz vollst\"andig charakterisiert.


\begin{satz}\label{satz:integral-von-k-form-auf-mannigfaltigkeit}
Es gibt genau eine Abbildung, genannt das Integral, welche jeder stetigen $k$-Form $\omega$ auf einer orientierten kompakten $k$-dimensionalen  Mannigfaltigkeit $M$ eine reelle Zahl 
\[ \bint\limits_M\omega\]
zuordnet, welche folgende Eigenschaften besitzt:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item Das Integral ist linear, d.h.\ f\"ur jede orientierte kompakte $k$-dimensionale  Mannigfaltigkeit $M$ und alle stetigen $k$-Formen $\omega,\sigma$  auf $M$ sowie alle $\lambda\in \R$ gilt
\[ \bint\limits_M(\omega+\sigma)\,\,=\,\,\bint\limits_M\omega\,+\,\bint\limits_M\sigma\quad \mbox{ und }\quad \bint\limits_M\lambda \omega\,=\,\lambda \bint\limits_M\omega.\]
\item Wenn $M$ eine $k$-dimensionale kompakte Untermannigfaltigkeit von $\R^k$ ist, und wenn $f\colon M\to \R$ eine stetige Funktion ist, dann gilt
\[ \underset{\opnormal{Integral einer $k$-Form}}{\underbrace{\bint\limits_M f \cdot dx_1\wedge \dots\wedge dx_k}}\,\,=\,\, \underset{\opnormal{Lebesgue-Integral}}{\underbrace{\bint\limits_M f \,dx_1\dots dx_k.}}\]
\item F\"ur jeden  orientierungserhaltenden Diffeomorphismus $ f\colon M\to N$ zwischen zwei kompakten orientierten $k$-dimensionalen Mannigfaltigkeiten und jede stetige $k$-Form auf  $N$ gilt
\[ \bint\limits_M f^*\omega\,\,=\,\, \bint\limits_N \omega.\]
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
Die Tatsache, dass das Integral von $k$-Formen diese Eigenschaften besitzt folgt leicht aus den Definitionen, sowie aus Lemma~\ref{lem:integration-n-form-auf-rn} und
Satz~\ref{satz:transformationsformel-fuer-integral-von-k-formen}, umformuliert f\"ur Mannigfaltigkeiten. Die Tatsache, dass das Integral durch diese Eigenschaften charakterisiert ist, folgt aus der Beobachtung, dass man, ganz analog zur Diskussion auf Seite~\pageref{bem:zerlegung-einer-k-form},  jede glatte $k$-Form auf einer kompakten Mannigfaltigkeit als Summe von glatten $k$-Formen schreiben kann, deren Tr\"ager jeweils im Definitionsbereich einer Karte enthalten sind. F\"ur solche $k$-Formen ist das Integral durch die Eigenschaften (2) und (3) charakterisiert.
\end{proof}

Wir erhalten auch  folgende Verallgemeinerung vom Satz~\ref{satz:stokes} von Stokes f\"ur Untermannigfaltigkeiten  von $\R^n$ auf Mannigfaltigkeiten.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Satz von Stokes)}}\label{satz:stokes-mannigfaltigkeiten}
Es sei $M$ eine orientierte $k$-dimensionale kompakte Mannigfaltigkeit
 und es sei $\omega\in \Omega_{k-1}(M)$. Dann gilt
\[ \bint\limits_M d\omega \,\,=\,\,\bint\limits_{\partial M}\omega.\]
Insbesondere, wenn $\partial M=\emptyset$, dann gilt
\[ \bint\limits_M d\omega \,\,=\,\,0.\hspace{0.7cm}\]
\end{satz}

Im Folgenden f\"uhren wir noch eine M\"oglichkeit ein, Differentialformen auf Quotientenmannigfaltigkeiten zu konstruieren. Wir ben\"otigen f\"ur die Formulierung des n\"achsten Lemmas  folgende zwei Definitionen.


\begin{definition}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es sei  $G$ eine Gruppe, welche glatt auf einer Mannigfaltigkeit  $M$  operiert. F\"ur $g\in G$ bezeichnen wir mit~$\phi_g\colon M\to M$ den Diffeomorphismus, welcher gegeben ist durch $x\mapsto g\cdot x$. Wir sagen eine $k$-Form $\omega$ auf~$M$ ist \emph{$G$-invariant}, wenn f\"ur alle $g\in G$ gilt, dass $\phi_g^*(\omega)=\omega$.\label{def:g-invariante-formen}
\item Eine Differentialform $\omega$ auf einer Mannigfaltigkeit $M$ wird \emph{geschlossen} genannt, wenn $d\omega =0$.
\end{enumerate}
\end{definition}


\begin{lemma}\label{lem:g-invariante-1-formen} 
Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $G$ eine Gruppe, welche auf~$M$ frei, glatt und eigentlich operiert.
Wir bezeichnen mit $p\colon M\to M/G$ die Projektionsabbildung. Es sei $\omega$ eine $k$-Form auf~$M$, welche   $G$-invariant ist. Dann gibt es genau eine glatte $k$-Form $\overline{\omega}$ auf der Mannigfaltigkeit $M/G$ mit
\[ \omega\,\,=\,\, p^*(\overline{\omega}).\]
Wenn $\omega$ geschlossen ist, dann ist auch die induzierte $k$-Form $\overline{\omega}$ auf der Quotientenmannigfaltigkeit~$M/G$ geschlossen.
\end{lemma}

\begin{beispiel}\label{beispiel:dx-dy-auf-torus}
Wir bezeichnen mit~$dx$ und $dy$ die 1-Formen auf~$\R^2$, welche an jedem $P\in \R^2$ gegeben sind durch 
\[ \begin{array}{rcl} \,dx\colon T_P\R^2=\R^2&\to & \R \\
(v_x,v_y)&\mapsto& v_x\end{array} \quad \mbox{ und } \quad \begin{array}{rcl} \,dy\colon T_P\R^2=\R^2&\to & \R \\
(v_x,v_y)&\mapsto& v_y.\end{array}\]
Diese 1-Formen sind invariant unter der Operation von $\Z^2$ auf~$\R^2$.
Diese beiden 1-Formen induzieren also 1-Formen $\overline{dx}$ und $\overline{dy}$ auf~$\R^2/\Z^2$. Nachdem $dx$ und $dy$ geschlossen sind, sind auch die 1-Formen $\overline{dx}$ und $\overline{dy}$ geschlossen.\label{beispiel:dx-geschlossen}

Die 2-Form $dx\wedge dy$ auf~$\R^2$ ist ebenfalls invariant unter der Operation von $\Z^2$ und induziert damit eine 2-Form $\overline{dx\wedge dy}$ auf~$\R^2/\Z^2$. 
Man sieht leicht, dass $\overline{dx\wedge dy}=\overline{dx}\wedge \overline{dy}$. Dann gilt beispielsweise\footnote{Dies sieht man wie folgt: wir schreiben $U=(0,1)\times (0,1)$, dann  ist $p\colon U\to p(U)$ ein Diffeomorphismus und es ist
\[  \begin{array}{rllll}
\bint\limits_{\R^2/\Z^2} \overline{dx}\wedge \overline{dy}&=
\bint\limits_{p(U)} \overline{dx}\wedge \overline{dy}&=\,\,
\bint\limits_{U} p^*(\overline{dx}\wedge \overline{dy})&=\,\,
\bint\limits_{U} dx\wedge dy&=\,\,\mbox{Fl\"acheninhalt von $U=(0,1)^2$}\,\,=\,\,1.\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow&\uparrow &\uparrow\\
&\hspace{-1.7cm}\mbox{denn $\R^2/\Z^2\setminus p(U)$}&\hspace{-0.6cm}\mbox{Satz~\ref{satz:integral-von-k-form-auf-mannigfaltigkeit}} (3)&\hspace{-1.2cm}\mbox{obige Diskussion}&\hspace{-0.3cm}\mbox{Satz~\ref{satz:integral-von-k-form-auf-mannigfaltigkeit}} (2)\\
&\hspace{-1.8cm}\mbox{ist eine ``Nullmenge''}
\end{array}\]
}
\[ \bint\limits_{\R^2/\Z^2} \overline{dx}\wedge \overline{dy}\,\,=\,\,1.\]
\end{beispiel}

\begin{proof}
Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $G$ eine Gruppe, welche auf~$M$ frei, glatt und eigentlich operiert.
Wir bezeichnen mit $p\colon M\to M/G$ die Projektionsabbildung. Es sei $\omega$ eine $k$-Form auf~$M$, welche   $G$-invariant ist.

Es sei nun $x$ ein Punkt in $M/G$. Wir w\"ahlen ein $y\in M$ mit~$p(y)=x$. Nach Satz~\ref{satz:quotient-lokaler-diffeomorphismus} gibt es eine offene Umgebung $U$ von $y$, so dass $p\colon U\to p(U)$ ein Diffeomorphismus ist. Wir bezeichnen mit~$q\colon p(U)\to U$ die Umkehrabbildung und wir setzen 
$\overline{\omega}_x=q^*\omega_y$. Wir zeigen nun, dass $\omega=p^*(\overline{\omega})
$ f\"ur alle Punkte in $p^{-1}(y)=G\cdot y=\{gy\,|\, g\in G\}$. Es sei also $g\in G$ beliebig. Wir bezeichnen mit $\phi_{g^{-1}}\colon M\to M$ die Abbildung, welche durch $\phi_{g^{-1}}(x):=g^{-1}\cdot x$ definiert ist.  Dann gilt in der Tat
\[
\begin{array}{rlllll}&&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Definition von $\overline{\omega}$}&&\hspace{-1.1cm}\mfbox{da $p\circ q=\phi_{g^{-1}}$ auf $gU$}\\ &&\downarrow&&\downarrow\\ p^*(\overline{\omega})_{gy}\,\,=p^*(\overline{\omega}_{p(gy)})&=\,\,p^*(\overline{\omega}_x)&=\,\,p^*(q^*(\omega_{y}))&=\,\,
(p\circ q)^*(\omega_{y})&=\,\,\phi_{g^{-1}}^*(\omega_{y})&=\omega_{gy}.\\
&\uparrow&&\uparrow&&\uparrow\\
&\hspace{-1.6cm}\mfbox{denn $p(gy)=p(y)=x$}
&&\hspace{-2.3cm}\mfbox{nach Seite~\pageref{bem:formen-kontravariant} ist dies ein}
&
&\hspace{-0.9cm}\mfbox{denn $\omega$ ist}\\[-0.1cm]
&&&\hspace{-2.2cm}\mfbox{kontravarianter Funktor}&&
\hspace{-0.95cm}\mfbox{$G$-invariant}\vspace{-0.6cm}
\end{array}\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{g-invariante-1-formen.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Lemma~\ref{lem:g-invariante-1-formen}.}\label{fig:g-invariante-1-formen}
\end{center}
\end{figure}

Wir nehmen nun noch an, dass $\omega$ geschlossen ist. Wir wollen zeigen, dass auch $\overline{\omega}$ geschlossen ist. Dies sieht man wie folgt.
Es gen\"ugt zu zeigen, dass es f\"ur jedes $b\in M/G$ eine offene Umgebung gibt, so dass $\overline{\omega}$ auf dieser offenen Umgebung geschlossen ist. Es sei also $b\in M/G$. Wir bezeichnen mit~$p\colon M\to M/G$ die Projektionsabbildung und wir w\"ahlen ein $a\in M$ mit~$p(a)=b$. Nach Satz~\ref{satz:quotient-lokaler-diffeomorphismus} gibt es eine offene Umgebung $U$ von $a$, so dass $p\colon U\to p(U)$ ein Diffeomorphismus ist. Wir bezeichnen mit $q=p^{-1}\colon p(U)\to U$ die Umkehrabbildung.
Es folgt nun, dass
\[ \begin{array}{rllll} d\overline{\omega}\,&=\,\,\, d(q^*p^*\overline{\omega})\,&=\,\,\,dq^*(\omega)\,&=\,\,\,\,q^*(d\omega)\,&=\,\,\,0.\\
&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-2.3cm}\mfbox{da $q^*\circ p^*=(p\circ q)^*=\operatorname{id}$}&\hspace{-0.4cm}\mfbox{da $\omega= p^*(\overline{\omega})$}&\hspace{-0.2cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:d-auf-mannigfaltigkeit-kommutiert-mit-varphi} (2)}
&\hspace{-0.1cm}\mfbox{da $d\omega=0$}
\end{array}\]
\end{proof}


\clearpage
%======================================
\section{Kr\"ummung auf Mannigfaltigkeiten}
Der Begriff der L\"ange eines Weges und der Begriff der Geod\"ate, welche wir in Kapitel~\ref{section:riemansche-untermannigfaltigkeiten} f\"ur Riemannsche Untermannigfaltigkeiten  von $\R^n$ eingef\"uhrt hatten \"ubertr\"agt sich problemlos auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Etwas genauer gesagt,
es sei $(M,g)$ eine Riemannsche  Mannigfaltigkeit.\label{def:laenge-riemannsche-mannigfaltigkeit}
\begin{enumerate}
\item F\"ur $P\in M$ und $v\in T_PM$ bezeichnen wir $\|v\|_g:=\sqrt{g_P(v,v)}$
als die \emph{L\"ange von $v$ bez\"uglich der Riemannschen Struktur $g$}. 
\item Es sei nun  $\gamma\colon [a,b]\to M$ ein Weg, d.h.\ eine abschnittweise glatte Abbildung.
Wir w\"ahlen eine Zerlegung  $a=s_0<s_1<\dots<s_m=b$ gibt, so dass f\"ur $i=0,\dots,m-1$ die Abbildung $\gamma|_{[s_i,s_{i+1}]}$ glatt ist. Wir   definieren  die \emph{L\"ange von $\gamma$ bez\"uglich $g$} als
\label{def:laenge-kurve-mit-g-mannigfaltigkeit}
\[\begin{array}{rl} \ell_g(\gamma)&:=\,\,\lmsum{i=0}{m-1}\,\bint\limits_{t=s_i}^{t=s_{i+1}} \|\underset{\uparrow}{\underbrace{\gamma_*(e)}}\|_g\,dt.\\
&\hspace{1.7cm}\mfbox{es ist $e=(1)\in \R=T_t\R$}\\[-0.1cm]
&\hspace{1.4cm}\mfbox{und daher ist $\gamma_*(e)\in T_{\gamma(t)}M$}\end{array}
\]
\item Eine  \emph{Geod\"ate in $(M,g)$} ist ein Weg $\gamma\colon [a,b]\to M$, welcher folgende drei Bedingungen erf\"ullt:
\begin{enumerate}
\item $\gamma$ ist glatt,
\item $\|\gamma'(t)\|_g=1$ f\"ur alle $t\in [a,b]$ und
\item jeder andere Weg von $\gamma(a)$ nach $\gamma(b)$ ist mindestens so lang wie $\gamma$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



Wir k\"onnen zudem die Kr\"ummungsbegriffe  auf Riemannschen Untermannigfaltigkeiten  von $\R^n$, welche wir in Kapitel~\ref{section:kruemmung-riemannsche-untermannigfaltigkeiten}
f\"ur 2-dimensionale Riemannsche Untermannigfaltigkeiten  von $\R^n$ eingef\"uhrt hatten, auf 2-dimensionale
Riemannsche Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Beispielsweise sagen wir nun, dass eine   2-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$  gekr\"ummt ist, wenn es ein Dreieck gibt, dessen Winkelsumme $\ne \pi$ ist.


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\subsection{Kr\"ummung des Raums}
Dieses kurze Kapitel behandelt die Kr\"ummung des physikalischen Raums. Nachdem dies keine Physikvorlesung ist, sollte man dieses Kapitel nicht zu ernst nehmen.

Seit Einstein wissen wir, dass ``der physikalische Raum'' gekr\"ummt ist, genauer gesagt, dass Masse den Raum kr\"ummt. 
In der Literatur wird das oft wie in Abbildung~\ref{fig:kruemmung-universum-falsch} illustriert. Das Bild zeigt das Universum als Teilmenge von ``einem gr\"o\ss eren $\R^n$'', in dem es gekr\"ummt ist. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{kruemmung-universum-falsch.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:kruemmung-universum-falsch}
\end{center}
\end{figure}
Das ist nat\"urlich nicht der Fall, das Universum ist besser beschrieben als eine 3-dimensionale Riemannsche\footnote{Es ist wohl jetzt ziemlich klar, warum wir uns unser Universum als 3-dimensionale Mannigfaltigkeit vorstellen k\"onnen. Allerdings ist es vielleicht weniger offensichtlich, warum wir es uns als Riemannsche Mannigfaltigkeit vorstellen k\"onnen. Eine Bilinearform an einem Punkt ist \"aquivalent zu folgenden zwei Begriffen:
\begin{enumerate}
\item L\"angenmessung von Vektoren,
\item den Begriff des Winkels zwischen zwei Vektoren.
\end{enumerate}
Beide Begriffe sind in jedem Punkt des Universums gegeben. } Mannigfaltigkeit. Lichtstrahlen bewegen sich auf Geod\"aten, und diese sind gekr\"ummt. Es sei beispielsweise ein Dreieck gegeben, welches durch Lichtstrahlen gebildet ist, und in dessen Mitte sich ein schwerer K\"orper befindet. Die Summe der  Innenwinkel wird dann nicht $\pi$ betragen. 
Beispielsweise zeigt die Abbildung~\ref{fig:kruemmung-universum-richtig} zwei Lichtstrahlen, ausgehend vom gleichen Objekt, welche nicht parallel sind, aber sich dennoch treffen.

Es gibt Vermutungen, dass schon Gau\ss{} experimentell versucht hat zu \"uberpr\"ufen, ob das Universum gekr\"ummt ist. Allerdings waren die Me\ss{}fehler viel zu gro\ss{} um eine Aussage treffen zu k\"onnen. 
Details zum Experiment von Gau\ss{} kann man auf folgender Webseite finden:
\[ \mbox{\url{https://thatsmaths.com/2014/07/10/gausss-great-triangle-and-the-shape-of-space/}}\]
Die Theorie von Einstein wurde 1919 experimentell w\"ahrend einer Sonnenfinsternis best\"atigt. 
Die Geschichte dieses Experiments kann man auf folgender Webseite nachlesen:
\[ \mbox{\url{https://www.mpg.de/9236014/eddington-sonnenfinsternis-1919}}\]

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{kruemmung-universum-richtig-2.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:kruemmung-universum-richtig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{cartoon.pstex_t}
\caption{Quelle: \url{http://xkcd.com/}}
\label{fig:cartoon}
\end{center}
\end{figure}

%======================================
\subsection{Kr\"ummung von 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten}
Folgende Definition f\"ur 2-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten ist wort-w\"ortlich die gleiche Definition, welche wir schon auf Seite~\pageref{def:konstante-kruemmung-untermannigfaltigkeiten} f\"ur Riemannsche Untermannigfaltigkeiten von $\R^n$ eingef\"uhrt hatten.

\begin{definition}
Es sei $(M,g)$ eine 2-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit.
\begin{enumerate}
\item Wir sagen $(M,g)$ ist \emph{lokal isometrisch} zu einer 2-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit $(N,h)$, wenn es f\"ur jedes $P\in M$ eine offene Umgebung $U$ um $P$ und eine offene Teilmenge $V\subset N$ sowie eine Isometrie $f\colon (U,g)\to (V,h)$ gibt.
\item Wir sagen $(M,g)$ besitzt \emph{konstante Kr\"ummung $0$}, wenn $(M,g)$ lokal isometrisch zu $\E^2$ ist.
\item Wir sagen $(M,g)$ besitzt \emph{konstante Kr\"ummung $+1$}, wenn $M$ lokal isometrisch zu $\S^2$ ist.
\item Wir sagen $(M,g)$ besitzt \emph{konstante Kr\"ummung $-1$}, wenn $M$ lokal isometrisch zu $\H$ (oder \"aquivalent, zu $\D$) ist.
\end{enumerate}
\end{definition}

Wir erinnern an folgende Frage, welche wir schon auf Seite~\pageref{frage:kruemmung-auf-flaechen} gestellt hatten.



\begin{frage}
Welche $($geschlossenen$)$ 2-dimensionale Riemannsche $($Unter-$)$ Mannigfaltigkeiten besitzen
konstante Kr\"ummung?
\end{frage}

Die Sph\"are $S^2$ besitzt nat\"urlich, per Definition, konstante Kr\"ummung $+1$.
Wir hatten zudem in Kapitel~\ref{section:kruemmung-riemannsche-untermannigfaltigkeiten}
gesehen, dass der Zylinder 
\[ Z\,\,=\,\,\{(x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2=1\}\]
konstante Kr\"ummung $0$ besitzt. Andererseits hatten wir in Abbildung~\ref{fig:kruemmung-auf-flaechen} anschaulich gesehen, dass der Standardtorus in $\R^3$ keine konstante Kr\"ummung besitzt.

Folgender Satz besagt nun, dass der Torus mit der ``richtigen'' Metrik  konstante Kr\"um\-mung $0$ besitzt.

\begin{satz}\label{satz:torus-kruemmung-0}
Auf den folgenden Mannigfaltigkeiten gibt es eine Riemannsche Metrik mit konstanter Kr\"ummung $0$:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item der Torus,
\item der Zylinder $S^1\times \R$, 
\item das M\"obiusband,
\item die Kleinsche Flasche.
\end{enumerate}
\end{satz}



In dem Beweis von Satz~\ref{satz:torus-kruemmung-0} werden wir folgendes Lemma verwenden.

\begin{lemma}\label{lem:g-invariante-riemannsche-metriken} 
Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $G$ eine Gruppe, welche auf~$M$ frei, glatt und eigentlich operiert. Es sei $g$ eine Riemannsche Struktur auf~$M$. Wenn $g$ invariant ist unter der Operation durch $G$\footnote{Hierbei definieren wir $G$-invariante Riemannsche Strukturen ganz analog zu den $G$-invarianten Differentialformen, welche wir auf Seite~\pageref{def:g-invariante-formen} eingef\"uhrt hatten. Eine Riemannsche Struktur ist per Definition genau dann $G$-invariant, wenn Multiplikation mit einem $g\in G$ eine Isometrie der gegebenen Riemannschen Mannigfaltigkeit ist.},  dann gibt es genau eine Riemannsche Struktur $\overline{g}$ auf~$M/G$ mit\footnote{Hierbei ist $\overline{g}$  wie auf Seite~\pageref{def:pullback-riemannsche-struktur} definiert.}
\[ g\,\,=\,\, p^*(\overline{g}).\]
Insbesondere ist die Projektionsabbildung $p\colon M\to M/G$ eine lokale Isometrie. 
\end{lemma}

\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{lem:g-invariante-riemannsche-metriken}]
Die eindeutige Existenz von $\overline{g}$ auf~$M/G$ wird  ganz \"ahnlich wie Lemma~\ref{lem:g-invariante-1-formen}  bewiesen.
Satz~\ref{satz:quotient-lokaler-diffeomorphismus} besagt, dass die Projektionsabbildung $p\colon M\to M/G$ ein lokaler Diffeomorphismus ist. 
Mit der Wahl der Riemannschen Strukturen ist dies nun eine lokale Isometrie.
\end{proof}

Wir wenden uns nun dem Beweis von Satz~\ref{satz:torus-kruemmung-0} zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:torus-kruemmung-0}]
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[(1)] Wir betrachten nun den Torus geschrieben als $T=\R^2/\Z^2$. 
Wir bezeichnen jetzt mit~$p\colon \R^2\to \R^2/\Z^2$ die Projektionsabbildung und wir bezeichnen mit~$g$ die \"ubliche Riemannsche Struktur auf~$\R^2$. Diese ist offensichtlich invariant unter der Operation von $\Z^2$ auf~$\R^2$. 
Es folgt also aus Lemma~\ref{lem:g-invariante-riemannsche-metriken}, dass  es genau eine Riemannsche Struktur $\overline{g}$ auf~$\R^2/\Z^2$ mit~$g=p^*(\overline{g})$ gibt.  Zudem besagt Lemma~\ref{lem:g-invariante-riemannsche-metriken}, dass die Abbildung $p\colon \R^2\to \R^2/\Z^2$ eine lokale Isometrie ist. Insbesondere ist der Torus $\R^2/\Z^2$  lokal isometrisch zu $\E^2$.
\item[(2)] Wir betrachten folgende Operation von $G=\Z$ auf $M=\R^2$:
\[ \begin{array}{rcl} \Z\times \R^2&\to & \R^2\\
(n,(x,y))&\mapsto &(x+n,y).\end{array}\]
Die Gruppe $G=\Z$ operiert durch Isometrien auf $\E^2$. Es folgt wie in (2), dass der Quotient $\R^2/\Z$ lokal isometrisch zu $\E^2$ ist. Andererseits ist der Quotient $\R^2/\Z$ offensichtlich\footnote{Was ist der Hom\"oomorphismus?} hom\"oomorph zu $S^1\times \R$.\footnote{Der Zylinder $S^1\times \R$ ist nat\"urlich auch 
 hom\"oomorph zu $Z=\{(x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2=1\}$. 
 Wie gerade erst erw\"ahnt  hatten wir schon in Kapitel~\ref{section:kruemmung-riemannsche-untermannigfaltigkeiten}
gesehen, dass der Zylinder $Z\cong S^1\times \R$ eine Riemannsche Metrik mit
konstanter Kr\"ummung $0$ besitzt.}
\item[(3)] Wir betrachten noch einmal, wie auf Seite~\pageref{bsp:gruppenoperationen-auf-mannigfaltigkeiten}, folgende Operation von $G=\Z$ auf $X=\R\times (-1,1)$:
\[ \begin{array}{rcl} \Z\times (\R\times (-1,1))&\to & \R\times (-1,1)\\
(n,(x,y))&\mapsto & (x+n,(-1)^ny).\end{array}\]
Die Gruppe $G$ operiert also durch Isometrien. Wie in (1) sehen wir also, dass das M\"obiusband $(\R\times (-1,1))/\Z$ lokal isometrisch zu $\R\times (-1,1)$ ist. Insbesondere ist es lokal isometrisch zu $\E^2$.
\item[(4)] Wir betrachten die folgenden beiden  Isometrien von $\E^2$:
\[ \hspace{1cm} \begin{array}{rcl} A\colon \R^2&\to & \R^2\\ (x,y)&\mapsto & (x+1,1-y)\end{array}\quad \mbox{ und }  \begin{array}{rcl} B\colon \R^2&\to & \R^2\\ (x,y)&\mapsto & (x,y+1).\end{array}\]
Wir bezeichnen mit $G$ die Untergruppe aller Diffeomorphismen von $\R^2$, welche von $A$ und $B$ erzeugt wird.\footnote{D.h.\ die Elemente in $G$ sind Diffeomorphismen die man durch Verkn\"upfungen von $A,A^{-1}$ sowie $B$ und $B^{-1}$  erh\"alt.} Man kann nun, mit etwas Aufwand, zeigen, dass $G$ auf $\R^2$ glatt, frei und eigentlich operiert. Es folgt nun, ganz analog zu (1),  dass $\R^2/G$ lokal isometrisch zu $\E^2$ ist. 

Wir betrachten nun $X=[0,1]\times [0,1]$ mit der \"Aquivalenzrelation, welche erzeugt wird durch $(0,y)\sim (1,1-y)$ und $(x,0)\sim (x,1)$. Man kann nun zeigen, dass die Abbildung
\[ \hspace{1cm}\begin{array}{rcl} X/\sim &\to & \R^2/G\\{}
[(x,y)]&\mapsto &[(x,y)]\end{array}\]
ein Hom\"oomorphismus ist. Mit anderen Worten, $\R^2/G$ ist hom\"oomorph zur Kleinschen Flasche.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

% 25. Vorlesung

\begin{bemerkung}
Wenn wir den Torus $S^1\times S^1$ als Teilmenge von $\R^2\times \R^2=\R^4$ auffassen, dann kann man, ganz analog zur Diskussion auf den Seiten~\pageref{bsp:zylinder-isometrisch-zu-r2} und~\pageref{bsp:zylinder-kruemmung-0} zeigen, dass das \"ubliche Skalarprodukt auf $\R^4$ eine Riemannsche Metrik auf $S^1\times S^1$ mit konstanter Kr\"ummung 0 definiert.
\end{bemerkung}


Nachdem die Spiegelung $P\mapsto -P$ eine Isometrie von $\S^2$ ist, 
kann man ganz analog zu Satz~\ref{satz:torus-kruemmung-0} auch leicht folgenden Satz beweisen.

\begin{satz}\label{satz:rp-kruemmung-+1}
Es gibt eine Riemannsche Metrik auf dem projektiven Raum $\R \operatorname{P}^2=S^2/\{\pm 1\}$  mit konstanter Kr\"ummung $+1$.
\end{satz}


%======================================
\subsection{Fl\"achen von h\"oherem Geschlecht}
Wir wollen nun noch der Frage nachgehen, ob die Fl\"achen von h\"oherem Geschlecht ebenfalls eine Riemannsche Metrik konstanter Kr\"ummung besitzen. Nachdem wir die  Fl\"achen von h\"oherem Geschlecht \"uber Verklebungen eingef\"uhrt hatten, wollen wir nun nach Lemma~\ref{lem:g-invariante-riemannsche-metriken} eine weitere M\"oglichkeit kennenlernen, um eine Riemannsche Metrik konstanter Kr\"ummung zu konstruieren. 
Wir  f\"uhren dazu  folgende Definitionen ein.
Es sei $N$ eine  Man\-nig\-fal\-tig\-keit. In unseren Anwendungen ist $N=\E^2$, $N=\H=\D$ oder $N=\S^2$.  Ein \emph{$N$-Atlas} f\"ur eine  Man\-nig\-fal\-tig\-keit $M$ ist eine Familie $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i\in I}$
von Diffeomorphismen von offenen Teilmengen in $M$  zu offenen Teilmengen in $N$, so dass $\ttmcup{i\in I}{}U_i=M$. 
F\"ur $i,j\in J$ bezeichnen wir dann die Abbildung
\[ \Phi_i({U_i\cap U_j})\xrightarrow{\left(\Phi_i|_{U_i\cap U_j}\right)^{-1}}  U_i\cap U_j\xrightarrow{\Phi_j|_{U_i\cap U_j}} 
\Phi_j({U_i\cap U_j})\]
als den \emph{Kartenwechsel von $\Phi_i$ zu $\Phi_j$}. 


\begin{lemma}\label{lem:atlasmetrik}
Es sei $M$ eine 2-dimensionale  Man\-nig\-fal\-tig\-keit. Folgende beiden Aussagen sind \"aqui\-valent:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item  $M$ besitzt eine Riemannsche Metrik von konstanter Kr\"ummung $0$.
\item $M$ besitzt einen $\E^2$-Atlas, so dass alle Kartenwechsel Isometrien von Teilmengen von $\E^2$ sind.
\end{enumerate}
Die analogen Aussagen gelten auch f\"ur $\D$ und konstante Kr\"ummung $-1$ sowie  f\"ur $\S^2$ und konstante Kr\"ummung $+1$.
\end{lemma}

\begin{beispiel}
Im Beweis von Lemma~\ref{lem:mobiusband-glatte-mannigfaltigkeit}
hatten wir gezeigt, dass das  M\"obiusband einen Atlas bestehend aus zwei Karten besitzt. Der einzige Kartenwechsel ist gegeben durch die Identit\"at (auf einer der beiden Komponenten) und die Abbildung $(a,b)\mapsto (a-1,1-b)$  (auf der anderen Komponente). Beide Abbildungen  sind Isometrien von $\E^2$. Also erhalten wir nach Satz~\ref{satz:torus-kruemmung-0} einen weiteren Beweis daf\"ur, dass  das M\"obiusband eine Riemannsche Metrik von konstanter Kr\"ummung $0$ besitzt.
Ganz analog sieht man auch, dass die Kleinsche Flasche eine Riemannsche Metrik mit konstanter Kr\"ummung $0$ besitzt. 
\end{beispiel}  

\begin{proof}
Es sei $M$ also eine $2$-dimensionale Man\-nig\-fal\-tig\-keit. Wir bezeichnen mit $h$ die \"ubliche Riemannsche Metrik auf $\R^2$.
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item Wir nehmen zuerst an, dass  $M$  eine Riemannsche Metrik $g$ von konstanter Kr\"um\-mung $0$ ist.  Per Definition bedeutet dies, dass es einen Atlas $\{\Phi_i\colon U_i\to V_i\}_{i\in I}$ gibt, so dass jedes $\Phi_i$ eine Isometrie von $ (U_i,g)$  zu $(V_i,h)$ ist, wobei $(V_i,h)$  eine Teilmenge von $\E^2$ ist. Dann sind aber auch alle Kartenwechsel Verkn\"upfungen von Isometrien, also selber schon Isometrien. Also ist (2) erf\"ullt. 
\item Wir nehmen nun an, dass $M$  einen $\E^2$-Atlas besitzt, so dass alle Kartenwechsel Isometrien von $\E^2$ sind. Wir definieren jetzt eine Riemannsche Struktur auf $M$ wie folgt. F\"ur einen Punkt $P\in M$ w\"ahlen wir nun eine Karte $\Phi\colon U\to V$ um $P$ in unserem $\E^2$-Atlas und wir definieren $g_P:=\Phi^*(h_{\Phi(P)})$. H\"atten wir eine andere Karte in dem $\E^2$-Atlas gew\"ahlt, h\"atten wir die gleiche Metrik erhalten, nachdem die Kartenwechsel Isometrien sind. Man kann nun leicht zeigen, dass $g$ eine  Metrik von konstanter Kr\"ummung $0$ ist.\footnote{In der Tat, denn sei $P\in M$. Wir w\"ahlen eine Karte $\Phi\colon U\to V$ aus dem $\E^2$-Atlas um $P$. Dann gilt nicht nur
$g_P:=\Phi^*(h_{\Phi(P)})$ sondern auch 
$g_Q=\Phi^*(h_{\Phi(Q)})$  f\"ur alle $Q\in U$. Also ist $\Phi$ eine Isometrie von einer offenen Teilmenge von $(M,g)$ zu einer offenen Teilmenge von $\E^2=(\R^2,h)$.}
\end{enumerate}
Die  Aussagen f\"ur $\D$ und $\S^2$ werden nat\"urlich ganz analog bewiesen.
\end{proof}


%======================================
\subsection{Regul\"are $n$-Ecke und hyperbolische Geometrie}
Im Beweis von Satz~\ref{satz:flaeche-mannigfaltigkeit} hatten wir einen Atlas angegeben, welcher beweist, dass die Fl\"ache von Geschlecht $2$   eine  2-dimensionale Man\-nig\-fal\-tig\-keit ist. Der Kartenwechsel von der Karte um einen Eckpunkt zu der Karte f\"ur das Innere des Oktagons  ist hierbei, wie in Abbildung~\ref{fig:karten-wechsel-oktagon} skizziert,  gegeben durch die Verkn\"upfung der folgenden drei Typen von Abbildungen:
\begin{enumerate}
\item Verschiebung,
\item Drehung,
\item die Einschr\"ankung der Abbildung $re^{i\varphi}\mapsto re^{3i\varphi}$ auf eine offene Teilmenge von $\C$.
\end{enumerate}
Die ersten beiden Abbildungen sind Isometrien von $\E^2$, aber die dritte Abbildung ist  keine Isometrie von $\E^2$. Der Atlas im Beweis von Satz~\ref{satz:flaeche-mannigfaltigkeit}
erf\"ullt also \emph{nicht} die Bedingung von Lemma~\ref{lem:atlasmetrik}~(2). 

Die Abbildung $re^{i\varphi}\mapsto re^{3i\varphi}$ wiederum taucht deswegen auf, weil  der Innenwinkel in einem euklidischen Oktagon $\frac{3}{4}\pi$ betr\"agt, und wir den Innenwinkel auf  $\frac{1}{4}\pi$ reduzieren m\"ussen, damit wir die acht ``Tortenst\"ucke'' zu einem einzigen Kreis zusammenfassen k\"onnen. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{oktagon-karte-dritteln.pstex_t}
\caption{Kartenwechsel f\"ur die Fl\"ache von Geschlecht 2.}
\label{fig:karten-wechsel-oktagon}
\end{center}
\end{figure}

Wir k\"onnten dieses Problem umschiffen, wenn wir ein Oktagon mit Innenwinkel $\frac{1}{4}\pi$ h\"atten. Dies ist im euklidischen Fall nat\"urlich nicht m\"oglich. Aber wir werden jetzt sehen, dass dies im hyperbolischen Fall kein Problem ist.

\begin{lemma}\label{lem:hypoktagon}
Es gibt ein $r>0$, so dass das von $Q_k=e^{2\pi ik/16}$, $k=1,3,\dots,15$ in $\D$ aufgespannte hyperbolische Oktagon an allen Eckpunkten den Innenwinkel $\frac{\pi}{4}$ besitzt.
\end{lemma} 

\begin{proof}[Beweisskizze]
Wir geben im Folgenden nur eine Skizze f\"ur den Beweis von Lemma~\ref{lem:hypoktagon}. Die Beweisidee ist leicht nachvollziehbar, aber es ist etwas umst\"andlich, diesen Beweis dann wirklich sauber aufzuschreiben.

Es sei $r\in (0,1)$. Wir bezeichnen mit $O_r$ das hyperbolische Oktagon, welches von den Punkten $re^{2\pi ik/16}$, $k=1,3,\dots,15$ in $\D$ aufgespannt wird. 
Dieses Oktagon wird f\"ur  $r$ nahe an $0$ und f\"ur $r$ nahe an $1$ in Abbildung~\ref{fig:hyperbolische-oktagone} skizziert.
F\"ur $r\to 0$ konvergiert der Fl\"acheninhalt gegen null. Mithilfe von  Satz~\ref{satz:flaecheninhalt-dreieck-h} kann man nun zeigen, dass der Innenwinkel von $O_r$ gegen den euklidischen Innenwinkel, d.h.\ gegen $\frac{3\pi}{4}$ konvergiert. 
F\"ur $r\to 1$ konvergieren die Eckpunkte gegen Punkte auf dem Randkreis $S^1$, aber nachdem hyperbolische Geraden senkrecht auf dem Randkreis $S^1$ stehen, konvergiert  der Innenwinkel mit $r\to 1$ gegen $0$.
Aus Stetigkeitsgr\"unden\footnote{Hier ist der Haken bei dieser Beweisskizze: warum ist der Innenwinkel, beziehungsweise der  Fl\"acheninhalt, stetig in $r$?} muss es nun auch ein $r\in (0,1)$ geben, so dass der Innenwinkel genau $\frac{\pi}{4}$ betr\"agt.
\end{proof}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{hyperbolische-oktagone.pstex_t}
\caption{Hyperbolische Oktagone von verschiedener Gr\"o\ss e.}
\label{fig:hyperbolische-oktagone}
\end{center}
\end{figure}

%======================================
\subsection{Hyperbolische Metriken auf Fl\"achen von Geschlecht 2}\label{section:hypflaechen}
Unser Ziel in diesem Kapitel ist es folgenden Satz zu beweisen:

\begin{satz}\label{satz:flaeche-hyperbolisch}
Die Fl\"ache von Geschlecht 2 besitzt eine Riemannsche Metrik mit konstanter Kr\"ummung $-1$.
\end{satz}

Wie sich im letzten Kapitel schon angedeutet hat, werden wir
Satz~\ref{satz:flaeche-hyperbolisch} dadurch beweisen, dass wir uns die
Fl\"ache von Geschlecht~2  nicht mehr  als Quotient von einem euklidischen Oktagon, sondern als Quotient von einem hyperbolischen Oktagon vorstellen.

Bevor wir mit dem eigentlichen Beweis von Satz~\ref{satz:flaeche-hyperbolisch} anfangen, wollen wir noch eine Definition einf\"uhren.

\begin{definition}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die \emph{Kreisscheibe in $\D$ mit Mittelpunkt $P\in \D$ und Radius $r\in \R_{>0}$} ist die  Teilmenge 
\[ U_r(P)\,\,=\,\, \{Q\in \D\,|\, d_{\D}(P,Q)\leq r\}.\]
Wir bezeichnen jede hyperbolische Gerade durch $P$ als \emph{Durchmesser} der Kreisscheibe.\footnote{Jede hyperbolische Kreisscheibe $U_r(P)= \{Q\in \D\,|\, d_{\D}(P,Q)\leq r\}$ in $\D$ ist auch eine euklidische Kreisscheibe $D_s(R)= \{Q\in \D\,|\, \|R-Q\|\leq s\}$, allerdings ist $r\ne s$ und f\"ur $P\ne 0$ ist auch $R\ne P$. Die Tatsache, dass $U_r(P)$ eine euklidische Kreisscheibe ist, ist klar f\"ur $P=0$. F\"ur $P\ne 0$ folgt die Aussage aus dem Spezialfall $P=0$ und folgenden beiden Tatsachen:
\begin{enumerate}
\item M\"obiustransformation operieren transitiv auf hyperbolischen Kreisscheiben von gleichem Radius,  und
\item  M\"obiustransformation f\"uhren, ganz analog zu Satz~\ref{satz:mobiustransformation-und-geraden},  euklidische Kreise in $\D$ in euklidische Kreise in $\D$ \"uber.
\end{enumerate}}
\item Eine Teilmenge einer Kreisscheibe, welche durch zwei Durchmesser  $g$ und $h$  begrenzt ist, wird \emph{Tortenst\"uck} genannt. Wir bezeichnen den Winkel zwischen den beiden Durchmessern als den \emph{\"Offnungswinkel} und wir bezeichnen den Radius des Kreises als die \emph{Seitenl\"ange} des Tortenst\"ucks.\label{def:tortenstueck}
\end{enumerate}
Ganz analog definieren wir auch Tortenst\"ucke in $\E^2$ und Tortenst\"ucke in $\H$.
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{tortenstuecke.pstex_t}
\caption{Euklidische und hyperbolische Tortenst\"ucke.}
\label{fig:tortenstuecke}
\end{center}
\end{figure}

Wir erinnern zuerst an folgenden Satz, welchen man schon mithilfe der Schulmathematik beweisen kann.


\begin{lemma}\label{lem:kongruente-tortenstuecke-r2}
Es seien $K,L$ zwei Tortenst\"ucke in $\E^2$ mit gleicher Seitenl\"ange und gleichem \"Off\-nungs\-winkel. Dann gibt es genau eine orientierungserhaltende Isometrie $f$ von $\E^2$ mit $f(K)=L$.
\end{lemma}

\begin{proof}[Beweisskizze] Wir werden die  Aussage nicht verwenden, wir werden diese deswegen auch nicht pr\"azise beweisen. Aber es sollte klar sein, dass man mithilfe einer Translation und einer Drehung $K$ in $L$ \"uberf\"uhren kann. 
Es verbleibt die Eindeutigkeit zu beweisen. Es gen\"ugt zu zeigen, dass f\"ur jedes Tortenst\"uck $T$ die Identit\"at die einzige orientierungserhaltende Isometrie ist, welche $T$ auf $T$ schickt. Diese
Aussage wiederum folgt leicht aus der Tatsache, dass jede orientierungserhaltende Isometrie von $\E^2$ durch die Verkn\"upfung von einer Translation und einer Drehung gegeben ist. Wir \"uberlassen die Durchf\"uhrung des Arguments als \"Ubungsaufgabe.
\end{proof}

Die wichtigsten Symmetrien vom hyperbolischen Raum sind die  M\"obiustransformationen.
F\"ur $\H$ hatten wir diese schon in Lemma~\ref{lem:verknuepfung-moebiustransformation} kennengelernt. Wir f\"uhren diese nun auch noch auf $\D$ ein. Wir bezeichnen dazu mit $\Phi\colon \H\to \D$, $\Phi(z)=\frac{z-i}{z+i}$ die Isometrie aus Satz~\ref{satz:h-und-d-sind-isometrisch}. 
Wir sagen eine Abbildung $\alpha\colon \D\to \D$ ist eine \emph{M\"obius\-transformation auf $\D$}, wenn es eine M\"obius\-transformation $\beta\colon \H\to \H$ gibt, so dass $\alpha=\Phi\circ \beta\circ \Phi^{-1}$.

Wir k\"onnen jetzt das hyperbolische Analogon zu Lemma~\ref{lem:kongruente-tortenstuecke-r2} formulieren.

\begin{lemma}\label{lem:kongruente-tortenstuecke}
\mbox{}
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item  Es seien $K,L$  Tortenst\"ucke in $\H$ mit gleicher Seitenl\"ange und gleichem \"Off\-nungs\-winkel. Dann gibt es genau eine M\"obiustransformation $f$ von $\H^2$ mit $f(K)=L$.
\item  Es seien $K,L$  Tortenst\"ucke in $\D$ mit gleicher Seitenl\"ange und gleichem \"Off\-nungs\-winkel. Dann gibt es genau eine M\"obiustransformation $f$  von $\D^2$ mit $f(K)=L$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es seien $K,L$ zwei Tortenst\"ucke in $\H$ mit gleicher Seitenl\"ange und gleichem \"Off\-nungs\-winkel. In Lemma~\ref{lem:sws-hyperbolisch} wurde schon folgende Aussage bewiesen:
Es seien $\Delta_{ABC}$ und $\Delta_{DEF}$ zwei Dreiecke in $\H$ mit $\sphericalangle ABC=\sphericalangle DEF$ und mit  $d(B,A)=d(E,D)$ und $d(B,C)=d(E,F)$. Dann gibt es genau eine M\"obiustrans\-formation $f$  mit $f(B)=E$ und $f(\Delta_{ABC})=\Delta_{DEF}$.  Wir wenden nun die Aussage an auf die Dreiecke, welche von den drei Eckpunkten der  Tortenst\"ucke aufgespannt werden und erhalten die gew\"unschte eindeutig bestimmte M\"obiustransformation.
\item Diese Aussage folgt sofort aus (1).\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}


Wir wenden uns nun dem eigentlichen Beweis von Satz~\ref{satz:flaeche-hyperbolisch} zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:flaeche-hyperbolisch}]
Wir  betrachten jetzt das regul\"are hyperbolische Oktagon $H_8$ in $\D$, welches wir im Beweis von Lemma \ref{lem:hypoktagon} konstruiert hatten. Die Eckpunkte des Oktagons sind die Punkte $Q_k=re^{2\pi ik/16}$ mit~$k=1,3,\dots,15$, wobei $r$ so gew\"ahlt ist, dass die Innenwinkel alle gleich $\frac{\pi}{4}$ sind.
F\"ur Punkte $A,B\in \D^2$ bezeichnen wir   mit~$\overline{AB}$ die hyperbolische Strecke von $A$ nach $B$. Zudem bezeichnen wir f\"ur $\varphi\in [0,2\pi]$ mit~$s_\varphi\colon \D\to \D$ die Spiegelung an der hyperbolischen Geraden $\{re^{i\varphi}\,|\,r\in (-1,1)\}\subset \D$. (Wir hatten schon in Lemma~\ref{lem:hyperbolische-spiegelung} gesehen, dass diese Spiegelung durch die \"ubliche euklidische Spiegelung gegeben ist.)
Wir bezeichnen mit~$\sim$ die \"Aquivalenzrelation auf~$H_8$, welche, ganz analog zur Definition auf Seite~\pageref{def:flaeche-geschlecht-2}, 
 erzeugt wird durch die Relationen
\[ P\in \overline{Q_{2k-1}Q_{2k+1}}\,\,\sim\,\, s_{2\pi (2k+2)/16}(P)\,\,\in\,\, \overline{Q_{2k+3}Q_{2k+5}}\]
f\"ur $k=0,1,4,5$. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{hyp-oktagon-spiegelungen.pstex_t}
\caption{Hyperbolisches Oktagon mit Innenwinkel $\frac{\pi}{4}$ mit identifizierten Seiten.}
\end{center}
\end{figure}
Es ist leicht zu sehen, dass der  topologische Raum $H_8/\sim$ hom\"oomorph zu $E_8/\sim$ ist.\footnote{F\"ur einen Punkt $P\ne 0$ in $E_8$ sei $e(P)$ die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl mit $t\cdot P\in \partial E_8$ und ganz analog definieren wir $h(P)$ auf~$H_8\setminus \{0\}$. Dann induziert die Abbildung $0\mapsto 0$ und $P\mapsto \frac{h(P)}{e(P)}\cdot P$ f\"ur $P\ne 0$ einen Hom\"oomorphismus $E_8/\sim\,\to\, H_8/\sim$.}
Der topologische Raum $H_8/\sim$ ist also hom\"oomorph zur  Fl\"ache von Geschlecht 2. Es gen\"ugt daher f\"ur $H_8/\sim$ einen $\D$-Atlas zu finden, so dass alle Kartenwechsel durch Isometrien von $\D$ gegeben sind.  

Wir bezeichen mit~$p$ die Projektionsabbildung $H_8\to H_8/\sim$. Wir verfahren im Folgenden soweit wie m\"oglich wie auf Seite~\pageref{bem:karten-fuer-e8-1}.


Es sei also zuerst $P$ ein Punkt im Inneren $\interior{H_8}$ von $H_8$.
Die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon U:=p\big(\interior{H_8}\big)&\to & V=\interior{H_8}\,\,\subset\,\,\C=\R^2\\
p(X)&\mapsto & X\end{array}\]
ist dann eine Karte um $p(P)$. 

Es sei nun $P$ ein Punkt, welcher im Inneren einer Kante von $H_8$ liegt.
Wir wollen eine Karte um $p(P)$ finden.
O.B.d.A.\ sei $P\in \overline{Q_{-1}Q_1}$.  Wir bezeichnen mit~$P'=s_{\frac{\pi}{4}}(P)$ den Punkt, welcher mit~$P$ identifiziert wird. Wir w\"ahlen ein $\epsilon>0$, so dass 
$U_\epsilon(P)$
keinen Eckpunkt des Oktagons ber\"uhrt und so dass $U_\epsilon(P)\cap U_\epsilon(P')=\emptyset$. Wir schreiben jetzt $U:=U_\epsilon(P)\cap H_8$ und $U':=U_{\epsilon}(P')\cap H_8$. 
Dann ist $p(U\cup U')$ 
eine offene  Umgebung um $p(P)$. Es sei  $f\colon \D^2\to \D^2$ die Spiegelung an der hyperbolischen Gerade, welche durch die Kante $\overline{Q_{-1}Q_1}$ definiert wird.
Es folgt nun leicht aus den Definitionen, dass die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} p(U\cup U')&\to & U_\epsilon(P)\\[0mm]
p(X)&\mapsto &\left\{ \begin{array}{ll} X,&\mbox{ wenn } X\in U,\\
f(s_{\frac{\pi}{4}}(X)),&\mbox{ wenn }X\in U'\end{array} \right.\end{array}\]
wohl-definiert ist, und dass diese Abbildung ein Hom\"oomorphismus ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{hyp-oktagon-karte-p2b.pstex_t}
\caption{Karte f\"ur einen Punkt im Inneren einer Kante von $H_8$.}
\label{fig:hyp-oktagon-karte-p2b}
\end{center}
\end{figure}
Insbesondere ist dies also eine Karte f\"ur $H_8$ um $p(P)$. Diese Karte wird in Abbildung~\ref{fig:hyp-oktagon-karte-p2b} skizziert.

Wir betrachten nun noch $p(Q_1)=p(Q_3)=\dots=p(Q_{15})$, das Bild der Eckpunkte des Oktagons.
Wir w\"ahlen ein $\epsilon>0$, so dass die hyperbolischen $\epsilon$-Umgebungen um die Eckpunkte $Q_1,Q_3,\dots,Q_{15}$ disjunkt sind.
F\"ur $k=1,3,\dots,15$ betrachten wir dann jeweils das Tortenst\"uck\footnote{Dies ist in der Tat ein Tortenst\"uck im Sinne der Definition auf Seite~\pageref{def:tortenstueck}, denn es ist eine Teilmenge der Kreisscheibe $U_\epsilon(Q_k)$, welche durch die beiden hyperbolischen Geraden begrenzt wird, welche durch die beiden Kanten am Punkt $Q_k$ definiert sind.} $U_k:=U_\epsilon(Q_k)\cap H_8$. 
Die Mengen $U_1,U_3,\dots,U_{15}$ sind disjunkt und es folgt aus den Definitionen, dass 
\[ p(U_1)\cup p(U_3)\cup \dots \cup p(U_{15})\]
eine offene Umgebung von  $p(Q_1)=p(Q_3)=\dots=p(Q_{15})$ ist. 
\\


F\"ur $\varphi\in [0,2\pi]$ bezeichnen wir dann mit
\[ T(\varphi)\,\,:=\,\,U_\epsilon(0)\,\cap \, \big\{re^{i\alpha}\,\big|\, \alpha\in \big[\varphi,\varphi+\tmfrac{\pi}{4}\big]\big\}\]
das hyperbolische Tortenst\"uck\footnote{Auch dies ist ein Tortenst\"uck im Sinne der Definition auf Seite~\pageref{def:tortenstueck}.} um den Ursprung mit \"Offnungswinkel $\frac{\pi}{4}$ und hyperbolischer Seitenl\"ange $\epsilon$,  welches um den Winkel $\varphi$ zur $x$-Achse verdreht ist. Das Tortenst\"uck $T(\varphi)$ ist in Abbildung~\ref{fig:tortenstueck-phi} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{tortenstueck-phi.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:tortenstueck-phi}
\end{center}
\end{figure}

F\"ur  $k\in \{1,3,\dots,15\}$ definieren wir nun $\gamma(k)$  durch die folgende Tabelle:
\[ \begin{array}{ccccccccc} k& 1&3&5&7&9&11&13&15 \\ \hline  
\\[-0.35cm]
\gamma(k)&\frac{3}{4}\pi&\pi&\frac{5}{4}\pi&\frac{1}{2}\pi&\frac{7}{4}\pi&0&\frac{1}{4}\pi&\frac{3}{2}\pi.
\end{array} \]
F\"ur $k=1,3,\dots,15$ besitzen die Tortenst\"ucke $U_k$ und $T(\gamma(k))$ die gleiche hyperbolische Seitenl\"ange $\epsilon$ und den gleichen \"Offnungswinkel $\frac{\pi}{4}$. 
Es gibt also nach Lemma~\ref{lem:kongruente-tortenstuecke} jeweils genau eine M\"obiustransformation $f_k$ mit $f_k(U_k)=T(\gamma(k))$.

Wir  betrachten jetzt die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon p(U_1)\cup \dots \cup p(U_{15}) &\to & U_{\epsilon}(0) \\
p(X)&\mapsto & f_k(X),\quad \mbox{ wenn }X\in U_k.\end{array} \]
Man kann nun leicht \"uberpr\"ufen, dass die Abbildung $\Phi$ wohl-definiert ist, und das dies in der Tat 
ein  Hom\"oomorphismus ist.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{hyp-oktagon-karte-p3.pstex_t}
\caption{Karte f\"ur die Projektion der  Eckpunkte von  $H_8$.}
\end{center}
\end{figure}



\medskip 

Wir haben jetzt also wiederum bewiesen, dass $H_8/\sim$ eine 2-dimensionale Man\-nig\-fal\-tig\-keit ist. Genauer gesagt, wir haben einen $\D$-Atlas f\"ur $H_8/\sim$ gefunden.
Alle Kartenwechsel sind nun gegeben durch Verkn\"upfungen von
Spiegelungen und M\"obiustransformation.
Aber nach Satz~\ref{satz:mobiustransformation-isometrie} 
und Satz~\ref{satz:moebiustransformtation-spiegelungen} sind beides Isometrien. 
Mit anderen Worten,
alle Kartenwechsel  sind gegeben  durch Isometrien von $\D^2$. 

Es folgt daher  aus Lemma \ref{lem:atlasmetrik}, dass $H_8/\sim$ eine Metrik besitzt, welche konstante Kr\"ummung $-1$ besitzt. Wir haben damit Satz~\ref{satz:flaeche-hyperbolisch} bewiesen.
\end{proof}


%======================================
\subsection{Die Klassifizierung von  geschlossenen Fl\"achen}\label{section:hypflaechen-2}
Wir f\"uhren nun noch folgende Bezeichnungen ein:
\begin{enumerate}
\item eine \emph{Fl\"ache} ist eine geschlossene 2-dimensionale Mannigfaltigkeit,
\item wir bezeichnen  die Sph\"are als \emph{Fl\"ache von Geschlecht $0$},
\item wir bezeichnen den Torus als \emph{Fl\"ache von Geschlecht $1$}.
\end{enumerate}
Folgender Satz klassifiziert  orientierbare Fl\"achen bis auf einen Diffeomorphismus. 

\begin{satz}\label{satz:klassifikation-flaechen} 
Zu jeder  orientierbaren Fl\"ache $M$ gibt es genau ein $g\in \Z_{\geq 0}$, so dass $M$ diffeomorph zur Fl\"ache von Geschlecht $g$ ist.
\end{satz}

Der Satz beinhaltet genau betrachtet zwei Aussagen:
\begin{enumerate}
\item  Jede  orientierbare Fl\"ache ist diffeomorph zu einer  Fl\"ache von Geschlecht $g$.
\item F\"ur $g\ne h$ sind die Fl\"achen von Geschlecht $g$ und $h$ nicht diffeomorph.
\end{enumerate}
Wir werden im n\"achsten Kapitel des Skripts zeigen, dass die Sph\"are nicht diffeomorph zum Torus ist. Mit anderen Worten, die Fl\"ache von Geschlecht 0 ist nicht diffeomorph zur Fl\"ache von Geschlecht 1. Die allgemeine Aussage (2) werden wir in der Vorlesung algebraische Topologie beweisen. Aus Zeitgr\"unden k\"onnen wir leider die Aussage (1) nicht beweisen.

\begin{bemerkung}
Mehr zur Klassifikation von Fl\"achen kann man auf
\[ \mbox{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Surface\_(topology)\#Classification\_of\_closed\_surfaces}}
\]
finden. Insbesondere wird dort auch die Klassifikation von \emph{nicht} orientierbaren Fl\"achen angegeben.\footnote{Wir kennen bisher die Kleinsche Flasche und den projektiven Raum $\R \operatorname{P}^2$ als Beispiele von nichtorientierbaren Fl\"achen. Gibt es noch weitere Beispiele?}
\end{bemerkung}

Wir f\"uhren auch noch folgende Bezeichnungen ein:
\begin{enumerate}
\item eine Riemannsche Metrik mit konstanter Kr\"ummung $+1$ hei\ss t \emph{sph\"arisch},
\item eine Riemannsche Metrik mit konstanter Kr\"ummung $0$ hei\ss t \emph{euklidisch},
\item  eine Riemannsche Metrik mit konstanter Kr\"ummung $-1$ hei\ss t \emph{hyperbolisch}.
\end{enumerate}
Den folgenden Satz von Gau\ss-Bonnet k\"onnen wir leider auch nicht beweisen.
Mehr Informationen dazu kann man hier finden:
\[ \mbox{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet\_theorem}}\]
Wir werden den Satz von Gau\ss-Bonnet in Algebraischer Topologie~I beweisen.

\begin{satz}\label{satz:gauss-bonnet}\textbf{\emph{(Gau\ss-Bonnet)}}
Es sei $M$ eine Fl\"ache von Geschlecht $g$ mit einer Riemannschen Metrik $h$ von konstanter Kr\"ummung $\epsilon\in \{-1,0,1\}$. Dann gilt
\[ \epsilon\cdot \operatorname{Vol}(M,h)\,\,=\,\, 2-2g.\]
\end{satz}

Das Volumen einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist immer positiv.
Der Satz von Gau\ss-Bonnet besagt also, dass wenn eine Fl\"ache von Geschlecht $g$ eine sph\"arische Metrik besitzt, dann ist $2-2g>0$, d.h.\ es ist $g=0$. Mit anderen Worten, $S^2$ ist bis auf Diffeomorphismus die einzige orientierbare Fl\"ache, welche eine sph\"arische Metrik besitzt. Ganz \"ahnlich  sieht man, dass der Torus  bis auf Diffeomorphismus die einzige orientierbare Fl\"ache ist, welche eine euklidische  Metrik besitzt.\footnote{Man kann zudem auch zeigen, dass (bis auf Diffeomorphie) der projektive Raum $\R \operatorname{P}^2$ die einzige nicht orientierbare  sph\"arische Fl\"ache ist, und dass die Kleinsche Flasche die einzige nicht orientierbare euklidische Fl\"ache ist.}

Wir haben also gerade gesehen, dass wenn $M$ eine Fl\"ache von Geschlecht $g\geq 2$ ist, dann kann $M$ weder eine sph\"arische noch eine euklidische Metrik besitzen.  Wir hatten gerade in Satz~\ref{satz:flaeche-hyperbolisch} gesehen, dass die Fl\"ache von Geschlecht 2  eine hyperbolische  Metrik besitzt. Eine kleine Verallgemeinerung dieses Beweises zeigt, dass die gleiche Aussage auch f\"ur jede orientierbare Fl\"ache von Geschlecht $\geq 2$ gilt.

Zusammengefasst gilt also folgender Satz:

\begin{satz}\label{satz:geometrisierung-von-flaechen}
Es gelten folgende Aussagen:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item Die Sph\"are besitzt eine sph\"arische  Metrik,
\item der Torus besitzt eine euklidische Metrik,
\item jede Fl\"ache von Geschlecht $g\geq 2$ besitzt eine hyperbolische Metrik.
\end{enumerate} 
Dar\"uber hinaus kann keine dieser Fl\"achen eine Riemannsche Metrik der anderen beiden Arten besitzen.
\end{satz}



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\subsection{Die Geometrie von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten}
F\"ur $n\in \N$ ist der \emph{$n$-dimensionale hyperbolische Raum} definiert als die Riemannsche Mannigfaltigkeit, welche gegeben ist durch 
\[ \H^n\,\,=\,\,\{ (x_1,\dots,x_n)\in \R^n\,|\, x_n>0\},\]
zusammen mit der Riemannschen Struktur $g$, welche an jedem Punkt $(x_1,\dots,x_n)\in \H^n$ gegeben ist durch
\[  \begin{array}{rcl} g\colon \R^n\times \R^n&\to & \R \\
(v,w)&\mapsto & \tmfrac{1}{x_n^2}\langle v, w\rangle.\end{array}\]
Wir sagen eine Metrik $g$ auf einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M$ ist \emph{hyperbolisch}, wenn $(M,g)$ lokal isometrisch zu $\H^n$ ist. 

Wir haben gerade gesehen, dass, bis auf zwei Ausnahmen, alle orientierbaren 2-dimen\-sionalen orientierbaren geschlossenen Mannigfaltigkeiten  eine hyperbolische Metrik besitzen. Jetzt kann man sich nat\"urlich fragen, wie es den in anderen Dimensionen ausschaut. F\"ur $n\geq 4$ sind die ``meisten''\footnote{Wir wollen und k\"onnen jetzt die genaue Bedeutung von ``meisten'' nicht pr\"azise machen.} geschlossenen $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeiten nicht hyperbolisch.

F\"ur geschlossene 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten ist es sehr schwierig explizit eine hyperbolische Metrik anzugeben. In der Tat gab es bis etwa 1970 nur ein Beispiel von einer
geschlossenen 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit, welche eine hyperbolische Metrik besitzt, n\"amlich die sogenannte Seifert--Weber Mannigfaltigkeit:
\[ \mbox{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Seifert-Weber\_space}}\]

In der Mitte der 70er Jahre hat William Thurston die damals sehr gewagte Vermutung aufgestellt, dass die ``meisten''  geschlossenen 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten eine hyperbolische Metrik  besitzen. Er hat diese Vermutung Ende der 70er Jahre f\"ur eine sehr gro\ss e Klasse von 3-Mannigfaltigkeiten bewiesen. 
Die Vermutung von Thurston wurde dann endg\"ultig in 2002 von Grigori Perelman bewiesen. 
Es gilt also folgender Satz:

\begin{satz}\textbf{\emph{(Thurston-Perelman)}}
Die ``meisten'' geschlossenen 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten besitzen eine hyperbolische Metrik.
\end{satz}

Die genaue Formulierung von die ``meisten'' ist nicht so schwierig, aber f\"ur die jetzige Vorlesung doch zu umfangreich. Wir werden die Formulierung  in der Vorlesung ``Introduction to knot theory'' nachreichen. Allerdings gehen die Beweise von Thurston und Perelman weit jenseits dessen, was man in einer (oder sogar mehreren) Vorlesungen behandeln kann.

Thurston erhielt 1982 f\"ur seine Arbeiten die Fields-Medaille und Perelman h\"atte diese 2006 bekommen, wenn er diese nicht abgelehnt h\"atte.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{perelman-thurston.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}

% Ende 26. Vorlesung

\clearpage

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\section{Die de~Rham-Kohomologie von Mannigfaltigkeiten}

In diesem Kapitel f\"ur wir die de~Rham-Kohomologiegruppen von Mannigfaltigkeiten ein. Diese werden es uns unter anderem erm\"oglichen zu zeigen, dass die Sph\"are $S^2$ nicht diffeomorph zum Torus ist.



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\subsection{Quotientenvektorr\"aume}
In diesem kurzen Kapitel erinnern wir an die Definition der Quotientenvektorr\"aume und an einige Eigenschaften derselben. Diese wurden schon in der  Linearen Algebra~II eingef\"uhrt.

Es sei im Folgenden  $V$ ein reeller  Vektorraum und $U\subset V$ ein Untervektorraum.
F\"ur $v,w\in V$ schreiben wir
\[ v\sim w \quad :\Longleftrightarrow \quad v-w\in U.\]
Es ist leicht nachzupr\"ufen, dass dies eine \"Aquivalenzrelation auf~$V$ definiert.
Jede \"Aquivalenz\-klasse\footnote{\"Aqui\-valenz\-klassen werden in diesem Zusammenhang oft auch \emph{Restklassen} genannt.} ist von der Form
\[ v+U \,\,:=\,\,\{v+u\,|\,u\in U\}\]
f\"ur ein $v\in V$. 
Wir bezeichnen nun mit~$V/U$ die Menge aller \"Aqui\-valenz\-klassen.

Wir wollen jetzt eine Addition auf~$V/U$ definieren.
Es seien also $x,y\in V/U$. Dann gibt es $a,b\in V$, so dass $x=a+U$ und $y=b+U$. Wir definieren
\[ x+y\,\,:=\,\,a+b+U.\]
Wir m\"ussen nat\"urlich zeigen, dass diese Definition nicht von der Wahl von $a$ und $b$ abh\"angt.
Wir w\"ahlen  $a',b'\in V$ mit~$x=a'+U$ und $y=b'+U$. Dann gilt
\[ a'+b'+U\,\,=\,\,a+b+\underset{\in U}{\underbrace{a'-a+b'-b}}+U\,\,=\,\,a+b+U.\]
Ganz analog k\"onnen wir eine Skalarmultiplikation auf~$V/U$ einf\"uhren.
In der Tat, es sei  $x\in V/U$ und $\l \in \R$. Wir w\"ahlen $a\in V$ mit~$x=a+U$. Wir definieren
\[ \l\cdot x\,\,:=\,\,\l\cdot a+U.\]
Wie oben kann man zeigen, dass diese Definition nicht von der Wahl von $a$ abh\"angt.

Man kann nun leicht nachweisen, dass mit dieser Addition und dieser Skalarmultiplikation $V/U$ wiederum ein reeller Vektorraum ist.
Die ``Null'' des Vektorraums $V/U$ ist dabei die \"Aqui\-valenz\-klasse $0+U=U$.
Dieser Vektorraum wird auch \emph{Quotientenvektorraum} genannt.

Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} V&\to &V/U \\ v&\mapsto &v+U\end{array} \]
ist surjektiv und ein Homomorphismus. Diese Abbildung wird die \emph{Projektionsabbildung} von $V$ auf~$V/U$ genannt.

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\subsection{Die Definition der de~Rham-Kohomologie}
Es sei  $M$ eine  Mannigfaltigkeit.
F\"ur $k\in \N_0$ betrachten wir 
\[\Omega_k(M)\,\,:=\,\,\{\mbox{glatte $k$-Formen auf~$M$}\}.\]
Wir setzen zudem $\Omega_{-1}(M)=\{0\}$. Nach
Satz~\ref{satz:d-auf-mannigfaltigkeit-kommutiert-mit-varphi}~(1)  definiert  das Differential f\"ur jedes $k$ eine lineare Abbildung
\[ d\colon \Omega_{k-1}(M)\,\,\to\,\,\Omega_k(M).\]
Wir sagen eine glatte Differentialform $\omega$ ist \emph{geschlossen}, wenn $d\omega=0$ und wir sagen $\omega$ ist \emph{exakt}, wenn es eine Differentialform $\sigma$ mit~$d\sigma=\omega$ gibt. 
F\"ur jedes $k$ betrachten wir nun
\begin{align*} \begin{array}{rclcl} 
\hspace{1.8cm} Z_k(M)&:=& \operatorname{Kern}\{d\colon \Omega_k(M)\to \Omega_{k+1}(M)&=&\{\mbox{alle geschlossenen $k$-Formen}\}
\intertext{und}
B_k(M)&:=&
\operatorname{Im}\{d\colon \Omega_{k-1}(M)\to \Omega_{k}(M)\}&=&\{\mbox{alle exakten $k$-Formen}\}.
\end{array}
\end{align*}
Nach Satz~\ref{satz:d-auf-mannigfaltigkeit-kommutiert-mit-varphi}~(1) gilt $ d\, d\omega =0$ f\"ur jede Differentialform
$\omega\in \Omega_{k-1}(M)$. Mit anderen Worten,  
 $B_k(M)$ ist ein Untervektorraum von $Z_k(M)$.
Wir k\"onnen also den Quotientenvektorraum
\[ 
 H^k(M)\,\,:=\,\,Z_k(M)/B_k(M)\]
 bilden. Der Vektorraum $H^k(M)$ wird die \emph{$k$-te de~Rham-Kohomologiegruppe von $M$} genannt.\footnote{Georges de~Rham (1903-1990) war ein schweizer Mathematiker.}
 

 
%======================================
\subsection{Berechnungen der  de~Rham-Kohomologie} 
Die de~Rham-Kohomologie ordnet also jeder  Mannigfaltigkeit $M$ die de~Rham-Kohomologiegruppen $H^k(M)$, $k\in \Z_{\geq 0}$ zu. Wir wollen im Folgenden einige de~Rham-Kohomologiegruppen von Mannigfaltigkeiten bestimmen.
 
\begin{lemma}
F\"ur eine  Mannigfaltigkeit $M$ mit~$m$ Komponenten gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6cm} H^0(M)&\cong &\R^m.
\intertext{Insbesondere gilt f\"ur jede zusammenh\"angende Mannigfaltigkeit $M$, dass}
H^0(M)&\cong &\R.\end{array}\end{align*} 
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei also $M$ eine Mannigfaltigkeit. Dann ist
\[ \begin{array}{rlll}
H^0(M)&= \,\,\operatorname{Kern}\{\Omega_0(M)\to \Omega_1(M)\}&\hspace{-2.8cm}=\,\,\{f\colon M\to \R\,|\, df=0\}.\\
&\uparrow&\hspace{-2.8cm}\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{da $\Omega_{-1}(M)=0$}&\hspace{-2cm}\hspace{-2.8cm}\mfbox{da $\Omega_0(M)=\{\mfbox{glatte Funktionen $M\to \R$}\}$}
\\[0.2cm]
&=\,\,\{\mbox{alle lokal konstanten Funktionen auf $M$}\}\\
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:df=0-lokal-konstant} angewandt auf Mannigfaltigkeiten}
\end{array}\]
Das Lemma folgt nun aus der Beobachtung, dass  die Dimension vom  Vektorraum der lokal konstanten Funktion  auf $M$  gerade die Anzahl der Komponenten von $M$ ist.\footnote{Warum ist dies der Fall?}
\end{proof}
 
\begin{bemerkung}
Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit von Dimension $n\geq 1$. 
Der Vektorraum $H^k(M)$ ist f\"ur $k\in \{1,\dots,n\}$ der Quotient von zwei unendlich (sogar \"uber\-abz\"ahl\-bar) dimensionalen Vektorr\"aumen. Wenn $M$ kompakt ist, dann gilt allerdings \"uberraschenderweise,  dass  die de~Rham-Kohomologiegruppen $H^k(M)$  endlich dimensionale Vektorr\"aume sind.
Wir k\"onnen diese Aussage in dieser Vorlesung aus Zeitgr\"unden leider nicht beweisen. 
\end{bemerkung}

\begin{lemma}\label{lem:kohomologie-null}
F\"ur jede $k$-dimensionale  Mannigfaltigkeit gilt $H^i(M)=0$ f\"ur $i>k$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Jeder Tangentialraum einer $k$-dimensionalen  Mannigfaltigkeit ist nach Korollar~\ref{kor:tangentialraum-n-dimensional} ein $k$-dimen\-siona\-ler Vektorraum. F\"ur $i>k$ folgt also aus Lemma~\ref{lem:dim-alternierend-null}, dass $\wedge^i T_P^*M=0$ f\"ur alle $P\in M$. Insbesondere ist $\Omega^i(M)=0$, und damit auch $H^i(M)=0$.
\end{proof}

Andererseits gilt folgender Satz.

\begin{satz}\label{satz:top-de-rham-kohomologie}
Es sei $M$ eine orientierbare $k$-dimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit. Dann gilt $\dim H^k(M)\geq 1$.
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Es gilt die st\"arkere Aussage, dass die Dimension von $H^k(M)$ gerade gegeben ist durch die Anzahl der Komponenten von $M$. Wir k\"onnen diese Aussage in dieser Vorlesung nicht beweisen.
\end{bemerkung}


\begin{proof}
Es ist
\[ \begin{array}{rll} H^k(M)\,\,=\,\,Z_k(M)/B_k(M)\,\,=\,\,\operatorname{Kern}\{d\colon \Omega_k(M)\to \Omega_{k+1}(M)\}/B_k(M)&=\,\,\Omega_k(M)/B_k(M).\\
&\uparrow\\
&\hspace{-5cm}\mfbox{nach dem Beweis von Lemma~\ref{lem:kohomologie-null} ist $\Omega_{k+1}(M)=0$}
\end{array}
\]
Wir betrachten die lineare Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \varphi\colon \Omega_k(M)&\to & \R\\
\omega&\mapsto & \bint\limits_M \omega.\end{array}\]
Da $M$ orientierbar und geschlossen ist, folgt aus dem Satz~\ref{satz:stokes-mannigfaltigkeiten} von Stokes, dass  f\"ur alle $\omega\in \Omega_{k-1}(M)$ gilt $\varphi(\omega)=0$. Mit anderen Worten, es ist  $B_k(M)\subset \operatorname{Kern}(\varphi)$.
Die lineare Abbildung $\varphi$ induziert also eine wohl-definierte lineare Abbildung
\[  \begin{array}{rcl} \varphi\colon H^k(M)=\Omega_k(M)/B_k(M)&\to & \R\\{}
[\omega]&\mapsto & \bint\limits_M \omega.\end{array}\]
Es gen\"ugt nun also zu zeigen, dass es eine $k$-Form $\omega$ auf~$M$ gibt mit~$\varphi(\omega)\ne 0$. Es sei $P\in M$ ein beliebiger Punkt. Wir w\"ahlen eine Karte $\Phi\colon U\to V$ und eine nichtnegative glatte Funktion $z\colon \R^n\to \R_{\geq 0}$ mit $z(\Phi(P))>0$ und $\opnormal{Tr\"ager}(z)\subset V$.\footnote{Warum gibt es solch eine Funktion?} Die Karte $\Phi$ und die Funktion $z$ sind in Abbildung~\ref{fig:top-de-rham-kohomologie} skizziert.
Wir betrachten nun die $k$-Form $\omega$ auf~$M$, welche gegeben ist durch
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}
\hspace{5cm} \omega&=& \Phi^*(z\cdot dx_1\wedge\dots\wedge dx_k)&\mbox{ auf $U$}
\intertext{und } 
\omega&=0&\mbox{ au\ss erhalb von $U$}.\end{array} \end{align*}
Dies ist eine glatte $k$-Form auf~$M$ und es gilt
\[ \begin{array}{rlll}\bint\limits_M \omega\,\,=\,\,\bint\limits_U \omega&=\,\,\bint\limits_U 
 \Phi^*(z\cdot dx_1\wedge\dots\wedge dx_k)\\
&=\,\,
\bint\limits_V z\cdot dx_1\wedge\dots\wedge dx_k&=\,\,
\bint\limits_V z\,dx_1\dots dx_k&>\,\,0.\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm} \mfbox{Satz~\ref{satz:integral-von-k-form-auf-mannigfaltigkeit} (3)}
&\hspace{-1.5cm} \mfbox{Satz~\ref{satz:integral-von-k-form-auf-mannigfaltigkeit} (2)}&\hspace{-2.7cm} \mfbox{die Funktion $z$ ist nicht-negativ,}\\[-0.1cm]
&&&\hspace{-2.2cm}\mfbox{stetig, und f\"ur $\Phi(P)$ ist die }\\[-0.1cm]
&&&\hspace{-1.8cm}\mfbox{Funktion positiv}\end{array}\vspace{-0.6cm}
\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{top-de-rham-kohomologie.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Satz~\ref{satz:top-de-rham-kohomologie}.}
\label{fig:top-de-rham-kohomologie}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}


%======================================
\subsection{Die Funktorialit\"at der de~Rham-Kohomologie}

\begin{satz}\label{satz:induzierte-abbildung-kohomologie}
Es sei $f\colon M\to N$ eine glatte Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten.
Dann ist f\"ur jedes $k$ die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} f^*\colon H^k(N)&\to & H^k(M)\\{}
[\omega]&\mapsto & [f^*\omega]\end{array}\]
wohl-definiert und linear.
\end{satz} 

\begin{proof}
Wir m\"ussen folgende drei Aussagen beweisen:
\begin{enumerate}
\item wenn $d\omega =0$, dann ist auch $d(f^*\omega)=0$,
\item wenn $[\omega]=[\sigma] \in H^k(N)$ dann ist auch $[f^*\omega]=[f^*\sigma] \in H^k(M)$,
\item $f^*$ ist linear.
\end{enumerate}
Die erste Aussage folgt sofort aus Satz~\ref{satz:d-auf-mannigfaltigkeit-kommutiert-mit-varphi}.
Es seien nun $\omega$ und $\sigma$ zwei geschlossene $k$-Formen auf~$M$ mit~$[\omega]=[\sigma]$. Dann gilt $[\omega-\sigma]=[\omega]-[\sigma]=0$. Dies wiederum bedeutet, dass es eine $(k-1)$-Form $\delta$ auf~$M$ gibt mit 
\begin{align*}\begin{array}{rll}
\hspace{6.5cm} \omega-\sigma&=\,\,d\delta.
\intertext{Dann gilt auch}
f^*\omega-f^*\sigma\,\,=\,\,f^*(\omega-\sigma)&=\,\,f^*(d\delta)&=\,\,d(f^*\delta)\\
&&\uparrow\\
&&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:d-auf-mannigfaltigkeit-kommutiert-mit-varphi}}\end{array}\end{align*}
Dies impliziert, dass $[f^*\omega]=[f^*\sigma] \in H^k(M)$. Wir haben damit die zweite  Behauptung bewiesen.

Es ist leicht zu sehen, dass die Abbildung wohl-definiert und linear ist.
\end{proof}


\begin{satz}~\label{satz:kohomologie-kontravarianter-funktor}
F\"ur jedes $k$ definieren die Abbildungen 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6.4cm} M&\mapsto & H^k(M) 
\intertext{und}  (f\colon M\to N)&\mapsto& (f^*\colon H^k(N)\to H^k(M))\end{array}
\end{align*}
einen kontravarianten Funktor von der Kategorie der  Mannigfaltigkeiten zu der Kategorie der Vektorr\"aume.
\end{satz}

\begin{proof}
Im Hinblick auf Satz~\ref{satz:induzierte-abbildung-kohomologie} gen\"ugt es folgende zwei Aussagen zu bewiesen:
\begin{enumerate}
\item f\"ur eine Mannigfaltigkeit $M$ gilt $\operatorname{id}_M^*=\operatorname{id}_{H^k(M)}$,
\item f\"ur glatte Abbildungen $f\colon L\to M$ und $g\colon M\to N$ gilt
$(f\circ g)^*=g^*\circ f^*$. 
\end{enumerate}
Beide Aussagen folgen leicht aus den Definitionen. 
\end{proof}  

Das folgende Korollar besagt insbesondere, dass diffeomorphe Mannigfaltigkeiten isomorphe de~Rham-Kohomologiegruppen besitzen.

\begin{korollar}\label{korollar:diffeomorphismus-gibt-iso-auf-kohomologie}
Es sei $f\colon M\to N$ ein Diffeomorphismus zwischen Mannigfaltigkeiten, dann ist f\"ur alle $k$ die induzierte Abbildung $f^*\colon H^k(N)\to H^k(M)$ ein Isomorphismus.
\end{korollar}

Der Beweis von Korollar~\ref{korollar:diffeomorphismus-gibt-iso-auf-kohomologie} ist fast identisch mit dem Beweis von Korollar~\ref{kor:fstar-umkehrabbildung}.


\begin{definition}
Es sei $f\colon M\to N$ eine glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten. Wir sagen $f$ besitzt ein \emph{Linksinverses}, wenn es eine glatte Abbildung $g\colon N\to M$ gibt, so dass $g\circ f=\operatorname{id}_M$. 
\end{definition}

Folgendes Lemma ist ganz \"ahnlich der Aussage von \"Ubungsaufgabe~4 in \"Ubungsblatt~4.

\begin{lemma}\label{lem:linksinverses-induziert-injektion}
Es sei  $f\colon M\to N$ eine glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten, welche ein Linksinverses besitzt. Dann ist f\"ur alle $k$ die induzierte Abbildung  $f^*\colon H^k(N)\to H^k(M)$ ein Epimorphismus.
\end{lemma}

\begin{beispiel}
Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} f\colon S^1&\to & S^1\times S^1\\
x&\mapsto & (x,1)\end{array} \quad \mbox{ besitzt das Linksinverse }\quad 
\begin{array}{rcl} g\colon S^1\times S^1&\to &S^1\\
(x,y)&\mapsto & x.\end{array} \]
Es folgt aus Lemma~\ref{lem:linksinverses-induziert-injektion}, dass $f^*\colon H^1(S^1\times S^1)\to H^1(S^1)$ ein Epimorphismus ist. 
Satz~\ref{satz:top-de-rham-kohomologie} besagt, dass $H^1(S^1)\ne 0$, also ist auch $H^1(S^1\times S^1)\ne 0$.\label{beispiel:h1-torus}
\end{beispiel} 

\begin{proof}
Es sei  $f\colon M\to N$ eine glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten und es sei $g\colon N\to M$ eine glatte Abbildung mit  $g\circ f=\operatorname{id}_M$. 
Dann ist
\[\begin{array}{rll} \operatorname{id}_{H^1(M)}&=\,\, \operatorname{id}_M^*\,\,=(g\circ f)^*&=\,\,f^*\circ g^*.\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.4cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:kohomologie-kontravarianter-funktor}}
&\hspace{-0.4cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:kohomologie-kontravarianter-funktor}}\end{array}
\]
Nachdem $f^*\circ g^*=\operatorname{id}$ insbesondere ein Epimorphismus ist, muss auch $f^*$ ein Epimorphismus sein.
\end{proof}

%======================================
\subsection{Das Dachprodukt auf de~Rham-Kohomologie}
Mithilfe von Satz~\ref{satz:regelnd} (4) kann man problemlos folgenden Satz beweisen.

\begin{satz}\label{satz:dachprodukt-auf-mannigfaltigkeiten}
Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und es seien $\omega\in \Omega_k(M)$, $\sigma\in \Omega_l(M)$. Es ist
 \[ d(\omega\wedge \sigma)\,\,=\,\,d\omega \wedge \sigma+(-1)^k w\wedge d\sigma.
 \]
\end{satz}

Mithilfe von Satz~\ref{satz:eigenschaften-dachprodukt} und Satz~\ref{satz:dachprodukt-auf-mannigfaltigkeiten} kann man nun leicht folgendes Korollar beweisen. 

\begin{korollar}\label{kor:wedge-produkt-auf-mannigfaltigkeit}
Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Dann ist
\[ \begin{array}{rcl}\wedge\colon  H^k(M)\times H^l(M)&\to & H^{k+l}(M)\\{}
([\omega],[\sigma])&\mapsto & [\omega]\wedge [\sigma]:=[\omega\wedge \sigma]
\end{array}\]
eine wohldefinierte Abbildung. Diese hat zudem folgende Eigenschaften:
\begin{enumerate}[font=\normalfont]
\item die folgende Abbildung  ist bilinear:
\[ \begin{array}{rcl}\wedge\colon  H^k(M)\times H^l(M)&\to &H^{k+l}(M)\hspace{1.3cm}\\
(a,b)&\mapsto & a\wedge b\end{array}\]
\item f\"ur alle $a\in H^k(M)$, $b\in H^l(M)$ und $c\in H^m(M)$ ist
\[ \hspace{0.58cm}a\wedge (b\wedge c)\,\,=\,\,(a\wedge b)\wedge c.\]
\item f\"ur alle $a\in H^k(M)$ und $b\in H^l(M)$ ist
\[\hspace{2.05cm} b\wedge a\,\,=\,\,(-1)^{kl}\cdot  b\wedge a.\]
\end{enumerate}
\end{korollar}



\begin{beispiel}\label{beispiel:kohomologie-torus}
Wir betrachten die beiden 1-Formen $\overline{dx}$ und $\overline{dy}$ auf dem Torus $T=\R^2/\Z^2$, welche wir auf Seite~\pageref{beispiel:dx-dy-auf-torus} eingef\"uhrt hatten. Wir hatten auf Seite~\pageref{beispiel:dx-geschlossen} bewiesen, dass $\overline{dx}$ und $\overline{dy}$ geschlossen sind.
Hierbei ist $[\overline{dx}]\wedge [\overline{dy}]=[\overline{dx}\wedge \overline{dy}]$. 
Wir hatten auf Seite~\pageref{beispiel:dx-dy-auf-torus} gezeigt, dass 
\[ \bint\limits_{\R^2/\Z^2} \overline{dx}\wedge \overline{dy}\,\,=\,\,1.\]
Es folgt nun aus dem Beweis von Seite~\pageref{satz:top-de-rham-kohomologie}, dass $[\overline{dx}\wedge \overline{dy}]\ne 0\in H^2(T)$. Zudem folgt  aus 
Korollar~\ref{kor:wedge-produkt-auf-mannigfaltigkeit} (1), dass $[\overline{dx}]\ne 0\in H^1(T)$ und $[\overline{dy}]\ne 0\in H^1(T)$.  Au\ss erdem folgt  aus 
Korollar~\ref{kor:wedge-produkt-auf-mannigfaltigkeit} (3), dass $[\overline{dx}]$ und $[\overline{dy}]$ linear unabh\"angig in $H^1(T)$ sind.\footnote{In der Tat, denn wenn $[\overline{dx}]$ und $[\overline{dy}]$ linear abh\"angig w\"aren, dann g\"abe es insbesondere ein $\lambda\in \R\setminus \{0\}$ mit~$[\overline{dx}]=\lambda [\overline{dy}]$. Daraus wiederum folgt, dass
\[ \begin{array}{rl}[\overline{dx}]\wedge [\overline{dy}]\,\,=\,\, \lambda [\overline{dy}]\wedge [\overline{dy}]&=\,\,-\lambda [\overline{dy}]\wedge [\overline{dy}]\,\,=\,\,-[\overline{dx}]\wedge [\overline{dy}],\\
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Korollar~\ref{kor:wedge-produkt-auf-mannigfaltigkeit} (3)} \end{array}\]
d.h.\ es ist $[\overline{dx}]\wedge [\overline{dy}]=0$.} Wir haben also gezeigt, dass $\dim H^1(T)\geq 2$.\footnote{In der Tat gilt $H^0(T)\cong \R, H^1(T)\cong \R^2$ und $H^2(T)\cong \R$. Aber wir k\"onnen das mit den bisher erarbeiteten Methoden nicht beweisen.} 
\end{beispiel}


F\"ur eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $M$ setzen wir nun\footnote{F\"ur Vektorr\"aume $V_0,\dots,V_n$ bezeichnen wir hierbei mit 
\[ \setminusoplus{i=0}{n}V_i\,\,:=\,\, V_0\oplus \dots\oplus V_n\,\,:=\,\,\{ (v_1,\dots,v_n)\,|\, v_i\in V_i\}\]
die \emph{direkte Summe} von $V_0,\dots,V_n$. 
Die direkte Summe besitzt eine offensichtliche Vektorraumstruktur. F\"ur jedes $i\in \{0,\dots,n\}$ ist 
\[ \begin{array}{rl}V_i\,\to \, \tmoplus{i=0}{n}V_i\,\,=\,\, V_0\oplus \dots\oplus V_n\quad&
w\,\mapsto \, (0,\dots,0,\underset{\uparrow}{\underbrace{w}},0,\dots)\\
&\hspace{2cm}\mfbox{$i$-te Koordinate}\end{array}\]
ein Monomorphismus von Vektorr\"aumen und wir identifizieren $V_i$ mit dem Bild dieser Abbildung, d.h.\ wir fassen $V_i$ als Untervektorraum von $
 \tmoplus{i=0}{n}V_i\,\,=\,\, V_0\oplus \dots\oplus V_n$ auf. F\"ur $v_i\in V_i$, $i=0,\dots,n$ schreiben wir also insbesondere
\[ v_0+\dots+v_n\,\,=\,\, (v_0,\dots,v_n).\]}
\[ \hspace{0.4cm} H^*(M)\,\,=\,\,\tmoplus{i=0}{n} H^i(M).\]
F\"ur $a_i,b_i\in H^i(M)$, $i=0,\dots,n$  definieren wir 
\[
\Big(\,\tmsum{i=0}{n} a_i\Big)\wedge \Big(\,\tmsum{i=0}{n}b_i\Big)\,\,:=\,\, \tmsum{i=0}{n}\,\tmsum{j=0}{n} \,\underset{\in H^{i+j}(M)}{\underbrace{a_i\wedge b_j.}}\hspace{0.85cm}\]
Es folgt aus Korollar~\ref{kor:wedge-produkt-auf-mannigfaltigkeit}, dass mit dieser Multiplikation $H^*(M)$  ein (nicht notwendigerweise kommutativer) Ring ist.\footnote{Besitzt der Ring $H^*(M)$ ein multiplikativ neutrales Element?}

Auf Seite~\ref{bem:dachprodukt-funktoriell} hatten wir schon erw\"ahnt, dass f\"ur eine lineare Abbildung $f\colon U\to V$ zwischen Vektorr\"aumen und f\"ur alle $\alpha\in \wedge^k V^*$ und $\beta\in \wedge^l V^*$ gilt, dass
\[ f^*(\alpha \wedge \beta)\,\,=\,\,f^*\alpha\wedge f^*\beta.\]
Mithilfe dieser Bemerkung kann man nun, ganz analog zu Satz~\ref{satz:induzierte-abbildung-kohomologie}, folgenden Satz beweisen. 

\begin{satz}~\label{satz:kohomologiering-kontravarianter-funktor}
Die Abbildungen 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6.4cm} M&\mapsto & H^*(M) 
\intertext{und}  (f\colon M\to N)&\mapsto& (f^*\colon H^*(N)\to H^*(M))\end{array}
\end{align*}
definieren einen kontravarianten Funktor von der Kategorie der  Mannigfaltigkeiten zu der Kategorie der Ringe.
\end{satz}

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\subsection{Die Sph\"are und der Torus sind nicht diffeomorph}
Wir wollen nun zum Abschlu\ss{} der Vorlesung beweisen, dass die Sph\"are und der Torus  nicht diffeomorph sind. Wir werden dabei folgenden Satz verwenden.

\begin{satz}\label{satz:quaderfoermig}
Es ist $H^1(\R^2)=0$.
\end{satz}

\begin{bemerkung}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Mit etwas mehr Aufwand kann man auch beweisen, dass  f\"ur alle $n\geq 0$ und f\"ur alle $k\geq 1$ gilt, dass $H^k(\R^n)=0$.
\item 
Eine Teilmenge $U\subset \R^n$ hei\ss t \emph{sternf\"ormig ist}, wenn es ein $x\in U$ gibt, so dass f\"ur alle $y\in U$ die Verbindungsstrecke  $(1-s)x+sy$, $s\in [0,1]$ 
   von $x$ nach $y$ ebenfalls ganz in $U$ liegt. Beispielsweise sind konvexe Teilmengen von $\R^n$ sternf\"ormig. Insbesondere ist der ganze $\R^n$ sternf\"ormig. In Forster: Analysis~III wird gezeigt, dass f\"ur jede sternf\"ormige Teilmenge $U$ von $\R^n$ die Kohomologiegruppen $H^k(U)$ f\"ur $k\geq 1$ verschwinden. Die Aussage wird oft als das Poincar\'e-Lemma bezeichnet.
\end{enumerate} 
\end{bemerkung}

\begin{proof}
Wir m\"ussen also zeigen, dass jede geschlossene 1-Form auf~$\R^2$ auch schon exakt ist. Es sei also 
\[ \omega\,\,=\,\,f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy\]
eine geschlossene 1-Form. Dies bedeutet, dass
\[ \begin{array}{rll} 0\,\,=\,\,d\omega&=\,\,d(f\cdot dx+g\cdot \,dy)\,\,=\,\, df\wedge dx+dg\wedge dy\\
&=\,\,\Big(\tmfrac{\partial f}{\partial x}dx+\tmfrac{\partial f}{\partial y}dy\Big)\wedge dx+\Big(\tmfrac{\partial g}{\partial x}dx+\tmfrac{\partial g}{\partial y}dy\Big)\wedge dy&=\Big(-\tmfrac{\partial f}{\partial y}+\tmfrac{\partial g}{\partial x}\Big)dx\wedge dy.\\[-0.2cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:berechnung-totale-differential}}
&\hspace{-1.5cm}\mfbox{denn $dy\wedge dx=-dx\wedge dy$}\\[-0.1cm]
&&\hspace{-1.37cm}\mfbox{und $dx\wedge dx=dy\wedge dy=0$}
\end{array}\]
Es folgt also, dass 
\[ \tmfrac{\partial f}{\partial y}\,\,=\,\,\tmfrac{\partial g}{\partial x}.\]
Wir hatten schon in \"Ubungsblatt~5 gesehen, dass dies bedeutet, dass $\omega$ exakt ist.

Der Vollst\"andigkeit halber f\"uhren wir das Argument noch einmal aus. Es gen\"ugt nun eine Funktion $c$ zu finden mit
\[ \tmfrac{\partial c}{\partial x} \,\,=\,\,f(x,y)\quad \mbox{ und }\quad 
\tmfrac{\partial c}{\partial y}\,\,=\,\,g(x,y),\]
denn nach Lemma~\ref{lem:berechnung-totale-differential} ist dann $dc=\omega$.
Es liegt nahe, als erstes eine Stammfunktion von $f$ bez\"uglich $x$ zu betrachten. F\"ur $(x,y)\in U$ definieren wir nun
\[ a(x,y)\,\,:=\,\, \bint\limits_{s=0}^{s=x} f(s,y)\,ds.\]
Dann gilt
\[ \begin{array}{rl} \tmfrac{\partial a}{\partial x}\,\,=\,\, 
\tmfrac{\partial}{\partial x}\bint\limits_{s=0}^{s=x} f(s,y)\,ds&=\,\,
f(x,y).\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.2cm}\mfbox{HDI}\end{array}\]
Zudem gilt
\[\begin{array}{rll} \tmfrac{\partial a}{\partial y}\,\,=\,\, 
\tmfrac{\partial}{\partial y}\bint\limits_{s=0}^{s=x} f(s,y)\,ds&=\,\,
\bint\limits_{s=0}^{s=x} \tmfrac{\partial}{\partial y} f(s,y)\,ds
&=\,\,\bint\limits_{s=0}^{s=x} \tmfrac{\partial}{\partial s} g(s,y)\,ds
\,\,=g(x,y)-g(0,y).\\[-0.2cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1.7cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:vertauschbarkeit-integral-differentiation} angewandt}&
\hspace{-0.4cm}\mfbox{denn $\frac{\partial }{\partial y}f(s,y)\,\,=\,\,\frac{\partial }{\partial s}g(s,y)$ auf~$f$}\\[-0.1cm]
&\hspace{-2.1cm}\mfbox{auf das Rechteck $[0,x]\times [0,y]$}\end{array}
\]
Wir erhalten also die gew\"unschte partielle Ableitung bez\"uglich $x$. Wir erhalten fast die gew\"unschte partielle Ableitung bez\"uglich $y$, aber im Moment erhalten wir noch den Extraterm $-g(0,y)$.  Wir k\"onnen nun jedoch noch eine geeignet gew\"ahlte Funktion in $y$ hinzuaddieren. In der Tat kann man nun leicht nachpr\"ufen, dass
\[ c(x,y)\,\,:=\,\, a(x,y)\,+\,\bint\limits_{s=0}^{s=y} g(0,y)\,ds\]
die gew\"unschte Eigenschaft besitzt.
\end{proof}


Wir beschlie\ss en das Kapitel mit folgendem Satz.

\begin{satz}\label{satz:s2-nicht-diffeomorph-t}
Die Sph\"are $S^2$ ist nicht diffeomorph zum Torus $T=S^1\times S^1=\R^2/\Z^2$.
\end{satz}


\begin{proof}
Nehmen wir also an, es gibt einen Diffeomorphismus $\Phi\colon S^2\to T:=S^1\times S^1$.  Wir  bezeichnen mit~$P=(0,0,1)$ den ``Nordpol'' von $S^2$
und wir schreiben $\Phi(P)=:(z,w)$.  Die Einschr\"ankung von $\Phi$ auf~$S^2\setminus P\to T\setminus \Phi(P)$ ist ebenfalls ein Diffeomorphismus von  Mannigfaltigkeiten.

Korollar~\ref{korollar:diffeomorphismus-gibt-iso-auf-kohomologie} besagt, dass diffeomorphe Mannigfaltigkeiten isomorphe Kohomologiegruppen besitzen.
Es gen\"ugt nun also folgende Behauptung zu beweisen.

\begin{behauptung}
Es ist $H^1(S^2\setminus P)=0$ und es ist $H^1(T\setminus \Phi(P))\ne 0$.
\end{behauptung}

Wie auf Seite~\pageref{def:stereographische-projektion} betrachten wir nun die stereographische Projektion 
\[ \begin{array}{rcl} \Psi\colon S^2\setminus P&\to & \R^2 \\
(x,y,z)&\mapsto& \Big(\setminusfrac{x}{1-z},\setminusfrac{y}{1-z}\Big).\end{array} \]
Dies gibt uns einen Diffeomorphismus von der Mannigfaltigkeit $S^2\setminus P$ zu  $\R^2$. Es folgt nun aus Satz~\ref{satz:quaderfoermig} und aus 
Korollar~\ref{korollar:diffeomorphismus-gibt-iso-auf-kohomologie}, dass $H^1(S^2\setminus P)=0$.

Der Beweis, dass $H^1(T\setminus \Phi(P))\ne 0$ ist fast identisch zu dem Beweis auf Seite~\pageref{beispiel:h1-torus}, dass $H^1(T)\ne 0$. Wir w\"ahlen ein $v\ne w$. Dann ist
$S^1\times \{v\}\subset S^1\times S^1\setminus (z,w)=T\setminus \Phi(P)$. 
Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} f\colon S^1&\to & S^1\times S^1\setminus \Phi(P)\\
x&\mapsto & (x,v)\end{array} \quad \mbox{besitzt das Linksinverse}\quad 
\begin{array}{rcl} g\colon S^1\times S^1\setminus \Phi(P)&\to &S^1\\
(x,y)&\mapsto & x.\end{array} \]
Es folgt aus Lemma~\ref{lem:linksinverses-induziert-injektion}, dass $f^*\colon H^1(S^1\times S^1\setminus \Phi(P))\to H^1(S^1)$ ein Epimorphismus ist. 
Satz~\ref{satz:top-de-rham-kohomologie} besagt, dass $H^1(S^1)\ne 0$. Also ist auch $H^1(S^1\times S^1\setminus \Phi(P))\ne 0$.
\end{proof}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{s2-nicht-diffeomorph-t.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Satz~\ref{satz:s2-nicht-diffeomorph-t}.}
\label{fig:s2-nicht-diffeomorph-t}
\end{center}
\end{figure}


\begin{bemerkung}
Der vorherige Satz besagt also, dass die Sph\"are $S^2$ \emph{nicht diffeomorph} zum Torus $T=S^1\times S^1=\R^2/\Z^2$ ist. A priori k\"onnte es allerdings sein, dass die Sph\"are $S^2$ \emph{hom\"oomorph} zum Torus $T$ ist. In der Tat gibt es Mannigfaltigkeiten, welche hom\"oomorph aber nicht diffeomorph sind. Wir werden in der Vorlesung Algebraische Topologie I sehen, dass dies in diesem Fall jedoch nicht der Fall ist.

\end{bemerkung}


\clearpage
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\section{Ausblick}
Im letzten Kapitel haben wir gezeigt, dass die 2-dimensionale Sph\"are und der Torus nicht diffeomorph sind. Wir haben dies dadurch bewerkstelligt, dass wir einen Funktor von der Kategorie der  Mannigfaltigkeiten zu der Kategorie der Vektorr\"aume eingef\"uhrt hatten. Dieser Funktor hat es uns dann erm\"oglicht Mannigfaltigkeiten mithilfe von der (deutlich einfacheren Theorie) der Vektorr\"aume zu studieren.

In den Vorlesungen Algebraische Topologie I und II werden wir ganz \"ahnlich verfahren. Wir werden Funktoren von der Kategorie der topologischen R\"aume in die Kategorie der Gruppen und in die Kategorie der Vektorr\"aume einf\"uhren. Diese erm\"oglichen es uns topologische Probleme mithilfe von algebraischen Methoden zu studieren.

Insbesondere werden wir in der Algebraische Topologie II  die ``singul\"are Kohomologiegruppen'' f\"ur beliebige topologische R\"aume einf\"uhren. F\"ur Mannigfaltigkeiten sind diese isomorph zu der de~Rham-Kohomologie. Wir werden zudem viele Eigenschaften der Kohomologiegruppen kennenlernen, welche es erm\"oglichen diese f\"ur viele Mannigfaltigkeiten zu bestimmen. 
\end{document}
