% Das Skript ist `open source' in dem Sinne, dass es als Ganzes oder in Teilen beliebig verwendet und abgeaendert werden kann, ohne Verweis auf den Autoren der urspruenglichen Version. Die Abbildungen wurden alle mit winfig erstellt.


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\numberwithin{equation}{section}


\begin{document}


\title{Analysis~II - Sommersemester 2015}
\author{Stefan Friedl}
%\email{sfriedl@gmail.com}

\maketitle

\tableofcontents

\newpage


%==================================================================
\section*{Literatur}

Zum Erlernen des Stoffes und zur Bearbeitung der \"Ubungsaufgaben reicht das Skript. Das Skript der Vorlesung  orientiert sich zumeist an
\begin{enumerate}
\item[] Forster: Analysis~II
\item[] Br\"ocker: Analysis~II.
\end{enumerate}
Es kann also hilfreich sein, diese beiden  B\"ucher begleitend zu studieren.
\newpage

%==================================================================
\section{Metrische R\"aume}
In diesem Semester wollen wir uns haupts\"achlich mit Abbildungen $\R^n\to \R^m$ besch\"aftigen. Wir beginnen mit dem Studium der Stetigkeit von solchen Abbildungen.

Wir werden die Stetigkeit nicht nur f\"ur solche Abbildungen betrachten, sondern etwas allgemeiner f\"ur Abbildungen zwischen metrischen R\"aume.
Diese Verallgemeinerung wird uns im weiteren Verlauf noch von Nutzen sein.

%==================================================================
\subsection{Definition von metrischen R\"aumen}
\begin{definition}
Ein \emph{metrischer Raum} ist ein Paar $(X,d)$
bestehend aus einer Menge $X$ und einer \emph{Metrik} $d$ auf $X$, d.h.\ einer  Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} X\times X&\to &\R_{\geq 0}:=\{x\in \R\,|\,x\geq 0\}, \\
(x,y)&\mapsto &d(x,y),\end{array} \]
mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $d(x,y)=0$ genau dann, wenn $x=y$,
\item f\"ur alle $x,y\in X$ gilt
\[ \hspace{0.3cm} d(x,y)\,\,=\,\,d(y,x)\hspace{2.7cm} \mbox{(Symmetrie)}\]
\item f\"ur alle $x,y,z\in X$ gilt
\[ \hspace{2.2cm}d(x,z)\,\,\leq\,\, d(x,y)+d(y,z) \hspace{1cm} \mbox{(Dreiecksungleichung)}.\]
\end{enumerate}
Wir nennen $d(x,y)$ manchmal den \emph{Abstand von $x$ zu $y$}.
\end{definition}


\begin{beispiel}
Wir betrachten zuerst die Menge $X=\R^n$. Wie man leicht nachrechnen kann, ist die \emph{euklidische Metrik}
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 \hspace{3cm} d((x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n))&:=& \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n (x_k-y_k)^2}
\intertext{in der Tat eine Metrik. Allerdings kann man auf $X=\R^n$ auch noch viele andere Metriken betrachten. Beispielsweise definiert auch }
 d((x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n))&:=&\sum\limits_{k=1}^n |x_k-y_k|.
 \end{array}
 \end{align*}
eine Metrik. Diese wird manchmal die \emph{Manhattan-Metrik} 
\footnote{Warum? Wenn Sie zu Fuss von der Ecke `25th Street 6th Avenue' zu `59th Street, 3rd Avenue' gehen wollen,
wie messen Sie  die Distanz bez\"uglich der Koordinaten $(25,6)$ und $(59,3)$?}
genannt. Es gibt aber auch noch ausgefallenere Metriken, beispielsweise ist
\[
\begin{array}{rcl}
\hspace{0.8cm}
 d((x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n))&:=& \min\left\{1,\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n (x_k-y_k)^2}\right\}\end{array}
\]
ebenfalls eine Metrik auf $X=\R^n$.
\end{beispiel}



\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{metrikenaufr2.pstex_t}
\caption{Die euklidische Metrik und die Manhattanmetrik auf $\R^2$.} \label{fig:metrikenaufr2}
\end{center}
\end{figure}


\begin{beispiel} 
Es sei $X$ eine beliebige Menge, beispielsweise  $X=\{1,2,3,\dots,k\}$, $X=\R^n$ oder $X=\C$. Dann kann man leicht \"uberpr\"ufen, dass 
\[ d(x,y)\,\,:=\,\,\left\{ \begin{array}{ll} 0, &\mbox{ falls }x=y, \\
1,&\mbox{ falls }x\ne y.\end{array}\right. \]
eine Metrik auf $X$ definiert.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $A\subset X$ eine Teilmenge. Dann ist die Einschr\"ankung von $d$ auf $A$ eine Metrik auf $A$. Wir k\"onnen also $A$ ebenfalls als metrischen Raum auffassen.
\end{beispiel}

%==================================================================
\subsection{Normierte Vektorr\"aume}\label{section:norm}
In diesem Kapitel f\"uhren wir die normierten Vektorr\"aume ein. Diese werden uns besonders wichtige Beispiele von metrischen R\"aumen liefern.



\begin{definition}
Ein \emph{normierter Vektorraum} ist ein Paar $(V,\|-\|)$ bestehend aus einem Vektorraum $V$ \"uber $\R$ und einer \emph{Norm auf $V$}, d.h.\ einer Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \|-\|\colon V&\to &\R_{\geq 0} \\
x&\mapsto &\|x\|\end{array}  \]
mit folgenden Eigenschaften:
\[
\begin{array}{crcll}
(1)&\hspace{1cm} \|x\|&=&0 \hspace{0.5cm}\mbox{ genau dann, wenn $x=0$},\\
(2)& \|\lambda  x\|&=&|\lambda|\cdot \|x\|\hspace{1cm}\mbox{ f\"ur alle $\lambda\in \R$ und $x\in V$}&\mbox{(Homogenit\"at)}\\
(3) & \|x+y\|&\leq &\|x\|+\|y\|\hspace{0.63cm}\mbox{ f\"ur alle $x,y\in V$} &\mbox{(Dreiecksungleichung).}
\end{array}
\]
\end{definition}



\begin{beispiel}
Wir betrachten zuerst den Vektorraum $V=\R^n$. 
Auf diesem Vektorraum gibt es insbesondere folgende Normen
\[
\begin{array}{rcll}
 \|(x_1,\dots,x_n)\|_{eukl}&=&\sqrt{\sum_{k=1}^{n} x_k^2}& \mbox{(Euklidische Norm), und}\\
 \|(x_1,\dots,x_n)\|_{max}&=&\max\{|x_1|,\dots,|x_k|\}\hspace{1cm}&\mbox{(Maximumsnorm) }\end{array}
 \]
\end{beispiel}

In \"Ubungs\-blatt 1 werden Sie folgendes Lemma beweisen.

\begin{lemma}\label{lem:euklmax}
F\"ur $x=(x_1,\dots,x_n)\in \R^n$ und jedes $i\in \{1,\dots,n\}$ gilt
\[ |x_i|\,\,\leq \,\,\|x\|_{max}\,\,\leq\,\, \|x\|_{eukl}\,\,\leq\,\, \sqrt{n}\|x\|_{max}.\]
\end{lemma}

\begin{beispiel}
Wir k\"onnen auch Normen auf anderen reellen Vektorr\"aumen betrachten.  Beispielsweise bildet
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4cm}M(n\times m,\R)&=&\mbox{Vektorraum der $m\times n$--Matrizen}
\intertext{zusmmen mit}
 \|(a_{ij})\|&=&\max\big\{|a_{ij}|\,\big|i\in \{1,\dots,n\},j\in \{1,\dots,m\}\big\}\end{array}\end{align*}
einen normierten Vektorraum.\footnote{Wenn man sich's recht \"uberlegt, dann sieht man, dass dieser normierte Vektorraum  isomorph ist zum normierten Vektorraum $(\R^{nm},\|-\|_{max})$.}
\end{beispiel}

Folgender Satz folgt sofort aus den Definitionen:

\begin{satz}
Es sei $(V,\|-\|)$ ein normierter Vektorraum. Dann ist
\[ d(v,w)\,\,:=\,\,\|v-w\|\]
eine Metrik auf $V$.
\end{satz}


Im Folgenden betrachten wir $\R^n$ durchgehend  als normierten Vektorraum bez\"uglich der Euklidischen Norm,
au\ss er wir sagen explizit etwas anderes.  Insbesondere betrachten wir $\R^n$ als metrischen Raum bez\"uglich der Euklidischen Metrik. Dies wiederum bedeutet, dass  wir $\R$ durchgehend mit der Metrik $d(x,y)=\sqrt{(x-y)^2}=|x-y|$ betrachten. 



%==================================================================
\subsection{Vektorr\"aume von Abbildungen}\label{section:funktionenalsvektorraum}
Es sei $X$ eine 
 Menge, beispielsweise eine nichtleere Teilmenge von $\R^n$, dann ist
\[ F(X,\R^m)\,\,:=\,\,\mbox{alle Abbildungen $X\to \R^m$}\]
ein Vektorraum,
\footnote{Wie schaut's aus mit dem Fall, dass $X$ die leere Menge ist?
Um diese Frage zu beantworten hilft es sich genau zu \"uberlegen, was eigentlich eine Abbildung ist. 
Eine Abbildung $f\colon A\to B$ zwischen zwei Mengen ist per Definition eine Teilmenge $D\subset A\times B$, mit der Eigenschaft, dass es zu jedem $a\in A$ genau ein $b\in B$ gibt, so dass $(a,b)\in D$. (In der naiven Definition einer Abbildung ist also $f(a)\in B$ das eindeutig bestimmte Element mit $(a,f(a))\in D$.) Wenn $A=\emptyset$, dann ist auch $A\times B=\emptyset$, und die (einzige) Teilmenge $D=\emptyset$ besitzt die obige Eigenschaft. Wir haben also gezeigt, dass f\"ur $A=\emptyset$ und einer beliebigen Menge $B$ die Menge der Abbildungen $A\to B$ aus genau einem Element besteht. Insbesondere ist dies ein Vektorraum.}
 denn je zwei Abbildungen
\footnote{Genauer gesagt, wenn $\varphi,\psi\colon X\to \R^m$ Abbildungen sind, dann definieren wir $\varphi+\psi$ als die Abbildung, welche f\"ur $x\in X$ den Wert $(\varphi+\psi)(x):=\varphi(x)+\psi(x)$ annimmt.}
kann man addieren, und jede Abbildung kann man mit einem Skalar multiplizieren. Man kann zudem leicht verifizieren, dass mit diesen Verkn\"upfungen alle Axiome eines reellen Vektorraums erf\"ullt sind. 
Das Nullelement im Vektorraum $F(X,\R^m)$ ist hierbei die Abbildung, welche jedem Punkt $x\in X$ den Nullvektor in $\R^m$ zuordnet. 

\begin{beispiel}


Wir erinnern an die Definition von linearer Unabh\"angigkeit in einem Vektorraum. Vektoren $v_1,\dots,v_k$ in einem reellen Vektorraum $V$ hei\ss en \emph{linear unabh\"angig}, wenn f\"ur beliebige $\lambda_1,\dots,\lambda_k\in\R$ gilt 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\lambda_1v_1+\dots+\lambda_kv_k=0  & \Longrightarrow& \lambda_1=\dots=\lambda_k=0.
\intertext{Eine Abbildung ist genau dann null im Vektorraum der Abbildungen, wenn sie an allen Punkten den Wert null annimmt. Es folgt also, dass Abbildungen $f_1,\dots,f_k\colon X\to \R^m$ genau dann linear unabh\"angig sind, wenn gilt:}
 \hspace{1.5cm} \lambda_1f_1(x)+\dots+\lambda_kf_k(x)=0 \mbox{ f\"ur alle $x\in X$} &\Longrightarrow& \lambda_1=\dots=\lambda_k=0.\end{array}\end{align*}
Dies bedeutet nicht, dass f\"ur jedes einzelne $x$ die Vektoren $f_1(x),\dots,f_k(x)$ linear unabh\"angig sind. Beispielsweise werden wir in \"Ubungs\-blatt 1 sehen, dass  die Funktionen $f(x)=\sin(x)$, $g(x)=1+x^2$ und $h(x)=2-x$ auf $\R$ linear unabh\"angig sind, obwohl f\"ur jedes einzelne $x$ die Vektoren $f(x),g(x),h(x)\in \R^1=\R$ linear abh\"angig sind.
\end{beispiel} 

Im folgenden Beispiel sehen wir auch, dass wir manchmal solche Vektorr\"aume von Abbildungen als normierte Vektorr\"aume auffassen k\"onnen.

\begin{beispiel}
Es  sei $D\subset \R$ eine Teilmenge. Dann bildet
\footnote{Eine Abbildung, welche Werte in $\R$ annimmt, wird normalerweise als Funktion bezeichnet.}
\begin{align*}\begin{array}{rcl}
 \hspace{4cm} V&=&\mbox{alle beschr\"ankten Funktionen $D\to \R$}, 
\intertext{zusammen mit der \emph{Supremumsnorm}}
 \|f\|&=&\sup\big\{|f(x)|\,\,\big|\,x\in D\big\}.\end{array} \end{align*}
einen normierten Vektorraum.\footnote{Wir haben diesen normierten Vektorraum schon am Ende von Analysis~I kennengelernt. Es ist offensichtlich, dass $\|-\|$ die ersten beiden Eigenschaften einer Norm erf\"ullt. Wir m\"ussen noch zeigen, dass $\|-\|$   die Dreiecksungleichung erf\"ullt. \label{note:supnorm} Es seien also $f,g\in V$, dann gilt 
\[ \begin{array}{rcl} \|f+g\|&=&\sup\big\{ |f(x)+g(x)|\,\big|\,x\in D\big\}\\
&\leq & \sup\big\{ |f(x)|+|g(x)|\,\big|\,x\in D\big\}\\
&\leq &\sup\big\{ |f(x)|\,\big|\,x\in D\big\}+\sup\big\{ |g(x)|\,\big|\,x\in D\big\}\,\,=\,\,\|f\|+\|g\|.\end{array} \]}
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
 Es seien $a,b\in \R, a<b$, dann bilden
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{2.8cm}
 C([a,b])&:=&\mbox{Menge aller stetigen  Funktionen $[a,b]\to \R$}, 
\intertext{und die sogenannte \emph{$L^2$-Norm}}
 \|f\|&=&\sqrt{\int_a^b f(x)^2 \,dx} \end{array} \end{align*}
einen normierten Vektorraum. Der Nachweis, dass dies ein normierter Vektorraum ist, ist allerdings nicht ganz trivial. Die Aussage wird beispielsweise in Kapitel 18 von Forster: Analysis~I bewiesen.
\end{beispiel}




%==================================================================
\subsection{Offene und abgeschlossene Mengen in metrischen R\"aumen}

\begin{definition}
Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
\begin{enumerate}
\item Es sei $x\in X$ und $r>0$, dann hei\ss t
\[ \hspace{2cm} B_r(x)\,\,:=\,\,\{y\in X\,|\, d(x,y)<r \}\]
die \emph{offene Kugel} um $x$ mit Radius $r$.
\item
Eine Teilmenge $A\subset X$ hei\ss t \emph{offen}, wenn es zu jedem $a\in A$ ein $r>0$ gibt, so dass
\[ B_r(a)\,\,\subset\,\, A.\hspace{1.3cm}\]
\end{enumerate}
\end{definition}

 Wir wollen zuerst ausf\"uhrlich den metrischen Raum $X=\R$ mit $d(x,y)=|x-y|$ betrachten.
F\"ur jedes $x\in \R$ und $r>0$ gilt dann $B_r(x)=(x-r,x+r)$. 
Das folgende Lemma besagt, dass die Intervalle, welche wir in Analysis~I als `offene Intervalle' bezeichnet hatten, auch offen im obigen Sinne sind.

\begin{lemma}
Es seien $-\infty \leq a<b\leq \infty $. Dann ist das Intervall $(a,b)$ eine offene Teilmenge von $\R$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir betrachten zuerst den Fall, dass $a$ und $b$ reelle Zahlen sind. Es sei nun $x\in \R$. Dann gilt f\"ur $r=\min\{x-a,b-x\}$, dass $B_r(x)\subset (a,b)$. Die anderen F\"alle des Lemmas werden ganz \"ahnlich bewiesen.
\end{proof}

Andererseits ist ein Intervall von der Form $[a,b)$  nicht offen, weil es f\"ur $x=a$ kein geeignetes $r>0$ gibt. Ganz analog sind auch Intervalle von der Form $(a,b]$ und $[a,b]$ nicht offen. Die Intervalle, welche offen im obigen Sinne sind, sind also genau die Intervalle, welche wir in Analysis~I als offen bezeichnet hatten. 


Folgendes Lemma folgt sofort aus den Definitionen.

\begin{lemma}\label{lem:ganzoffen}
 Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
Dann ist $X$ eine offene Menge und die leere Menge ist ebenfalls eine offene Menge.
\end{lemma}

\begin{proof}
Die Teilmenge $A:=X$ ist offen, weil f\"ur jedes $x\in A=X$ der Radius $r=1$ die gew\"unschte Eigenschaft besitzt.

Die leere Menge besitzt per Definition kein einziges Element, also gibt es bei der Offenheit auch nichts zu \"uberpr\"ufen, d.h.\ die leere Menge ist offen.
\end{proof}

Wir hatten $B_r(x)$ als `offene Kugel' bezeichnet. Das folgende Lemma besagt, dass dies in der Tat eine korrekte Verwendung vom Adjektiv `offen' ist. 

\begin{lemma}\label{lem:balloffen}
Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $x\in X$ und $r>0$. Dann ist $B_r(x)\subset X$ eine offene Teilmenge.
\end{lemma}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{kugeloffen.pstex_t}
\caption{Skizze f\"ur den Beweis von Lemma \ref{lem:balloffen}} 
\label{fig:kugeloffen}
\end{center}
\end{figure}
\begin{proof}
Es sei $y\in B_r(x)$. Wir setzen $s:=d(x,y)$.
Per Definition von $B_r(x)$ gilt $s<r$.
Wir setzen nun $t:=r-s$.
Nachdem $t>0$ gen\"ugt es folgende Behauptung zu beweisen:

\begin{behauptung}
\[ B_t(y)\,\,\subset\,\, B_r(x).\]
\end{behauptung}

Es sei also $z\in B_t(y)$. Mithilfe der Dreiecksungleichung erhalten wir
\[ d(x,z)\,\,\leq\,\, d(x,y)+d(y,z)\,\,<\,\,s+t\,\,=\,\,r.\]
Wir haben also gezeigt, dass wie gew\"unscht, $z\in B_r(x)$. 
\end{proof}

\begin{satz}\label{satz:offen}
Es sei $X$ ein metrischer Raum.
\footnote{Wenn nichts anderes angegeben ist, dann wird die Metrik immer mit $d$ bezeichnet, d.h.\ `sei $X$ ein metrischer Raum' ist kurz f\"ur `sei $(X,d)$ ein metrischer Raum'.}
\begin{enumerate}
\item Wenn $U_1,\dots,U_k$ offene Teilmengen von $X$ sind, dann ist auch die Schnittmenge $U_1\cap U_2\cap \dots \cap U_k$  offen.
\item Es sei $U_i, i\in I$ eine Familie
\footnote{Auf gut Deutsch hei\ss t das Folgendes: $I$ ist eine Menge (z.B.\  $\{1,\dots,k\}$ oder $\N$, aber $I$ kann auch z.B.\  \"uberabz\"ahlbar sein), und jedem Element $i\in I$ ist eine Menge $U_i$ zugeordnet. Siehe auch:
\[\mbox{\url{http://de.wikipedia.org/wiki/Familie\_(Mathematik)}}\]
}
 von offenen Teilmengen, dann ist die Vereinigungsmenge $\cup_{i\in I}U_i$ ebenfalls offen.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{bemerkung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Anders ausgedr\"uckt, der Satz besagt, dass die Schnittmenge von \emph{endlich} vielen offenen Mengen wiederum offen ist, und dass die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen wieder offen ist.
\item Die Schnittmenge von unendlich vielen offenen Mengen ist im Allgemeinen \emph{nicht} offen. Beispielsweise sind die Mengen
$U_n:=(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})\subset \R, n\in \N$ offen, aber die Schnittmenge
$\cap_{n=1}^\infty U_n$ besteht nur aus $\{0\}$, aber $\{0\}\subset \R$ ist nicht offen.
\end{enumerate}
\end{bemerkung}

\begin{proof}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es sei $x\in U_1\cap U_2\cap \dots \cap U_k$. Nach Voraussetzung existiert f\"ur jedes $i\in \{1,\dots,k\}$ ein  $\epsilon_i>0$, so dass
    $B_{\epsilon_i}(x)\subset U_i$. Wir setzen $\epsilon:=\min\{\epsilon_1,\dots,\epsilon_k\}$. Dann gilt f\"ur jedes $i\in \{1,\dots,k\}$, dass $B_\epsilon(x)\subset B_{\epsilon_i}(x)\subset U_i$. Also folgt,  dass
    \[ B_{\min(\epsilon_1,\dots,\epsilon_k)}(x)\,\,\subset\,\, U_1\cap U_2\cap \dots \cap U_k.\]
\item Es sei $x\in \cup_{i\in I}U_i$. Dann existiert insbesondere ein  $i\in I$, so  dass $x\in U_i$. Nach Voraussetzung existiert ein $\epsilon>0$, so dass $B_\epsilon(x)\subset U_i$. Dann gilt aber auch, dass
\[\hspace{0.45cm} B_{\epsilon}(x)\,\,\subset\,\, U_i\,\,\subset\,\, \bigcup\limits_{i\in I}U_i.\]
\end{enumerate}
\end{proof}

% Ende 1. Vorlesung 

\begin{definition}
Es sei $X$ ein metrischer Raum. Wir nennen eine Teilmenge $U$ von $X$  \emph{abgeschlossen}, wenn $X\setminus U$ offen ist.
\end{definition}

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es seien $a,b\in \R$, $a\leq b$, dann ist $[a,b]\subset \R$ abgeschlossen, denn das Komplement
\[ \R\setminus [a,b]\,\,=\,\,\underset{\operatorname{offen}}{\underbrace{(-\infty,a)}}\cup  \underset{\operatorname{offen}}{\underbrace{(b,\infty)}}\]
ist die Vereinigung zweier offener Mengen, also nach Satz~\ref{lem:abgeschlossen} ebenfalls offen. Ganz analog zeigt man auch, dass Intervalle der Form $(-\infty,a]$ und $[a,\infty)$ abgeschlossen sind. Andererseits kann man nun auch leicht sehen, dass diese drei Typen von Intervallen die einzigen Intervalle sind, welche abgeschlossen sind. Die Intervalle, welche im obigen Sinne abgeschlossen sind, sind also genau die Intervalle, welche wir in Kapitel~7 von Analysis~I als abgeschlossen bezeichnet hatten.
\item Es gibt auch Mengen, welche weder offen noch abgeschlossen sind. Beispielsweise ist f\"ur reelle Zahlen $a<b$ das halb-offene Intervall $(a,b]$  weder offen noch abgeschlossen in $\R$. 
\item Es sei $X$ ein metrischer Raum, dann sind nach Lemma~\ref{lem:ganzoffen} die ganze Menge $X$ und die leere Menge  offen. Ihre Komplemente sind per Definition abgeschlossen, also sind die leere Menge und $X$ auch abgeschlossen.
\item Das vorherige Beispiel besagt inbesondere, dass die leere Menge und die ganze Menge $X$ sowohl abgeschlossen als auch offen sind. Man kann nun zeigen, dass bez\"uglich der \"ublichen euklidischen Metrik dies auch die einzigen Teilmengen von $\R^n$ sind, welche sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
\footnote{F\"ur $n=1$ ist dies eine sch\"one \"Ubungsaufgabe, f\"ur $n\geq 2$ ist das auch sch\"on, aber etwas schwieriger.} 
\item Es sei $X$ ein metrischer Raum und $x\in X$. In  \"Ubungs\-blatt~1 werden wir sehen, dass $\{x\}\subset X$ abgeschlossen ist.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

Das folgende Lemma ist das Analogon von Satz~\ref{satz:offen} f\"ur abgeschlossene Teilmengen. 

\begin{lemma}\label{lem:abgeschlossen}\mbox{}
Es sei $(X,d)$ eine metrischer Raum. Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item die Vereinigung von endlich vielen abgeschlossen Teilmengen ist abgeschlossen,
\item der Durchschnitt von beliebig vielen abgeschlossenen Teilmengen ist wiederum abgeschlossen.
\end{enumerate}
\end{lemma}

Im Beweis von Lemma~\ref{lem:abgeschlossen} werden wir folgende  elementare Aussage verwenden:  f\"ur beliebige Teilmengen $A,B$ von einer Menge $M$ gilt
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} 
\hspace{5cm}  M\setminus (A\cup B)&=&(M\setminus A)\cap (M\setminus B)
\intertext{und}
M\setminus (A\cap B)&=&(M\setminus A)\cup (M\setminus B).
\end{array}
\end{align*}
Dies folgt sofort aus den Definition und elementarer Logik.
Man kann dies auch mithilfe von Abbildung \ref{fig:msetminusacupb} verifizieren.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{msetminusacupb.pstex_t}
\caption{} \label{fig:msetminusacupb}
\end{center}
\end{figure}


\begin{proof}
Es sei $(X,d)$ eine metrischer Raum.
\begin{enumerate}
\item
Es seien also $A_1,\dots,A_k\subset X$ abgeschlossene Mengen von $(X,d)$. Dann gilt, wie wir oben gesehen haben, dass 
\[ X\setminus (A_1\cup \dots\cup A_k)\,\,=\,\,\bigcap\limits_{i=1}^k X\setminus A_i,\]
aber nach Voraussetzung sind die Mengen $X\setminus A_i$ offen, und nach Satz~\ref{satz:offen} (2) ist die Schnittmenge von endlich vielen offenen Mengen wieder offen.
\item 
Der Beweis der zweiten Aussage des Lemmas verl\"auft nach dem gleichen Schema wie der Beweis der ersten Aussage. Es sei also $\{A_i\}_{i\in I}$ eine Familie von abgeschlossenen Teilmengen von $X$. Dann gilt
\[ X\,\setminus \,\bigcap\limits _{i\in I}A_i\,\,=\,\,\bigcup\limits_{i\in I}\,\,(X\setminus A_i),\]
aber dies ist nach Satz~\ref{satz:offen} (1)  eine offene Menge.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bemerkung}
Die Vereinigung von unendlich vielen abgeschlossenen Teilmengen ist nicht notwendigerweise abgeschlossen. Ein Beispiel daf\"ur ist gegeben durch
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6cm} \bigcup\limits_{n\in \N} \underset{\operatorname{abgeschlossen}}{\underbrace{\Big[-1+\tmfrac{1}{n},1-\tmfrac{1}{n}\Big]}}\,\,=\,\,\underset{\operatorname{offen}}{\underbrace{(-1,1)}}
\intertext{oder alternativ durch}
 \bigcup\limits_{x\in (-1,1)} \underset{\operatorname{abgeschlossen}}{\underbrace{\{x\}}}\,\,=\,\,\underset{\operatorname{offen}}{\underbrace{(-1,1)}}\end{array} \end{align*}
\end{bemerkung}

F\"ur die Formulierung vom letzten Satz des Kapitels ben\"otigen wir noch folgende Definition.

\begin{definition}
Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und  $x\in X$. Eine \emph{Umgebung von $x$} ist eine Teilmenge von $X$, wenn es eine offene Teilmenge $V$\footnote{Beispielsweise eine offene Kugel $B_r(x)$ mit $r>0$.} von $X$ gibt, mit der Eigenschaft, dass
 $x\in V$ und $V\subset U$.
\end{definition}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Wenn $U$ eine offene Teilmenge von $X$ ist, welche $x$ enth\"alt, dann folgt sofort aus den Definitionen, dass  $U$ eine Umgebung von $x$ ist. Nachdem $U$ offen und eine Umgebung von $x$ ist, nennen wir $U$ manchmal auch eine \emph{offene Umgebung von $x$}. 
\item Es sei $x=1\in \R$. Dann ist f\"ur jedes $\epsilon>0$, dass  Intervall $(1-\epsilon,1+\epsilon)$ eine offene Umgebung von $1$. 
Weitere Beispiele von  Umgebungen von $1\in \R$ sind gegeben durch  $ [0,2), (-\infty,3]$ und $\R$.
\end{enumerate}
\end{beispiel} 


\begin{satz} \textbf{\emph{(Hausdorffsches Trennungsaxiom)}}
\label{satz:hausdorff}
Es sei $X$ ein metrischer Raum
 und es seien $x,y\in X$ zwei verschiedene Punkte. Dann existieren offene Umgebungen $U$ von $x$ und $V$ von $y$, welche disjunkt sind, d.h.\ $U\cap V=\emptyset$.
\end{satz}

\begin{proof}
Es sei $X$ ein metrischer Raum und es seien  $x,y\in X$ zwei verschiedene Punkte.
Wir setzen $\epsilon:=\frac{1}{2}d(x,y)$.
Dann folgt aus Lemma~\ref{lem:balloffen}, dass $U:=B_\epsilon(x)$ und $V:=B_\epsilon(y)$ Umgebungen von $x$ bzw. $y$. Wir m\"ussen nun noch zeigen, dass diese disjunkt sind.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{hausdorff.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Satz \ref{satz:hausdorff}.} \label{fig:hausdorff}
\end{center}
\end{figure}

Nehmen wir an, es gibt einen Punkt $z\in U\cap V$. Dann folgt aus der Dreiecksungleichung, dass
\[ 2\epsilon\,\,=\,\,d(x,y)\,\,\leq\,\, d(x,z)+d(z,y)\,\,<\,\,\epsilon+\epsilon\,\,=\,\,2\epsilon.\]
Zusammengefasst folgt, dass   $2\epsilon<2\epsilon$.  Wir erhalten also einen Widerspruch.
\end{proof}



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\subsection{Der Rand einer Teilmenge eines metrischen Raums $(*)$}
\label{section:rand}
Dieses Kapitel ist nicht offizieller Teil der Vorlesung. 


\begin{definition}
Es sei $Y$ eine Teilmenge eines metrischen Raumes $X$. Wir sagen $x\in X$ ist \emph{Randpunkt von $Y$}, falls jede Umgebung von $x$ sowohl einen Punkt von $Y$ als auch einen Punkt von $X\setminus Y$ enth\"alt.
Die Menge aller Randpunkte von $Y$ hei\ss t der \emph{Rand} von $Y$ und wird mit $\partial Y$ bezeichnet.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
Wie in der Bemerkung vor Lemma~\ref{lem:balloffen} kann man Folgendes zeigen:
Ein Punkt  $x\in X$ ist ein Randpunkt von $Y$, genau dann, wenn  jede Kugel $B_r(x)$ um  $x$ sowohl einen Punkt von $Y$ als auch einen Punkt von $X\setminus Y$ enth\"alt.
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es seien $a,b\in R$, $a<b$. Die Randpunkte der Intervalle 
\[ (a,b),\, (a,b] \,\mbox{ und }\,[a,b) \subset \R\]
sind $a$ und $b$.
\footnote{In der Tat, jedes Intervall $(a-r,a+r)$ enth\"alt einen Punkt von $(a,b)$ und einen Punkt au\ss erhalb von $(a,b)$, also ist $a$ ein Randpunkt von $(a,b)$. Genauso zeigt man, dass $b$ ein Randpunkt von $(a,b)$.
Wenn $x\in (a,b)$, dann gibt es ein $r>0$, so dass $(x-r,x+r)\subset (a,b)$, also ist $x\in (a,b)$ kein Randpunkt von $(a,b)$, und genauso zeigt man, dass ein Punkt $x\in (-\infty,a)\cup (b,\infty)$ kein Randpunkt von $(a,b)$ ist.}
\item Der Rand der $n$-dimensionalen Kugel
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6cm} D^n&:=&\big\{ v\in \R^n\,\big|\, \|v\|\leq 1\big\},
\intertext{ist die $(n-1)$-dimensionale Sph\"are}
 S^{n-1}&:=&\big\{ v\in \R^n \,\big|\, \|v\|=1\big\}.\end{array} 
 \end{align*}
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{satz}
Es sei $X$ ein metrischer Raum und $Y\subset X$. Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item $Y\setminus \partial Y$ ist offen,
\item $Y\cup \partial Y$ ist abgeschlossen,
\item $\partial Y$ ist abgeschlossen.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}Es sei $X$ ein metrischer Raum und $Y\subset X$.
\begin{enumerate}
\item Es sei also $y\in Y\setminus \partial Y$.
Wir m\"ussen zeigen, dass es ein $\epsilon>0$ gibt, so dass $B_\epsilon(y)\subset Y\setminus \partial Y$.

Nachdem jede Umgebung von $y$ insbesondere $y$ enth\"alt, und nachdem $y\not\in \partial Y$ existiert eine Umgebung $U$ von $y$, welche keinen Punkt von $X\setminus Y$ enth\"alt. Per Definition von Umgebung gibt es nun ein $\epsilon>0$, so dass $B_\epsilon(y)\subset U\subset Y$.

Wir m\"ussen jetzt noch zeigen, dass $B_\epsilon(y)\cap \partial Y=\emptyset$. Sei $z\in B_\epsilon(y)$. Nach
Lemma~\ref{lem:balloffen} ist  $B_\epsilon(y)$ eine offene Teilmenge, insbesondere ist  $B_\epsilon(y)$ eine offene Umgebung von $z$.
Aber die Umgebung $B_\epsilon(y)$ von $z$ enth\"alt keinen Punkt von $X\setminus Y$, also kann $z$ kein Randpunkt sein.

\item Wir setzen $Y':=X\setminus Y$. Aus der Definition folgt sofort, dass $\partial Y=\partial Y'$. Es folgt, dass
    \[ Y\cup \partial Y\,\,=\,\,(X\setminus Y')\cup \partial Y'\,\,=\,\,X\setminus\underset{\operatorname{offen\,nach \,(a)}}{\underbrace{(Y'\setminus \partial Y')}}\]
    abgeschlossen ist.
\item Wir setzen $Y':=X\setminus Y$. Aus (a) folgt, dass
\[ X\setminus \partial Y\,\,=\,\,(Y\cup Y')\setminus \partial Y\,\,=\,\,
(Y\setminus \partial Y)\cup (Y'\setminus \partial Y')\]
offen ist, insbesondere ist $\partial Y\subset X$ abgeschlossen.
\end{enumerate}
\end{proof}

%==================================================================
\subsection{Topologische R\"aume}

Wir betrachten jetzt die sogenannten topologischen R\"aume. Diese kann man als eine Verallgemeinerung des Begriffes des metrischen Raumes auffassen.
Topologische R\"aume werden in dieser Vorlesung eine eher untergeordnete Rolle spielen, aber f\"ur die meisten h\"oheren Vorlesungen in der reinen Mathematik
(z.B.\  Funktionalanalyis, Topologie, algebraische Geometrie, Zahlentheorie) ist dies ein sehr wichtiger Begriff.

\begin{definition}
Ein \emph{topologischer Raum} ist ein Paar $(X,\mathcal{T})$,
wobei $X$ eine Menge ist und $\mathcal{T}$ eine \emph{Topologie auf $X$}, d.h.\ $\mathcal{T}$ ist eine Menge von Teilmengen von $X$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item die leere Menge und die ganze Menge $X$ sind in $\mathcal{T}$ enthalten,
\item der Durchschnitt von \emph{endlich vielen} Mengen in $\mathcal{T}$ ist wiederum eine Menge in $\mathcal{T}$,
\item die Vereinigung  von \emph{beliebig vielen} Mengen in $\mathcal{T}$ ist wiederum eine Menge in $\mathcal{T}$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[(A)] Wenn $(X,d)$ ein metrischer Raum ist, dann folgt aus Lemma~\ref{lem:ganzoffen} und Satz~\ref{satz:offen}, dass
\[ \mathcal{T}:=\mbox{alle offenen Teilmengen von $(X,d)$}\]
eine Topologie auf $X$ ist.
\item[(B)] Sei $X$ eine Menge, dann ist $\mathcal{T}=\{\emptyset,X\}$ eine Topologie auf $X$. Diese Topologie wird manchmal die \emph{triviale Topologie auf $X$} genannt.
\item[(C)] Sei $X$ eine Menge und $\mathcal{T}$ die Menge aller Untermengen von $X$. Dann ist $\mathcal{T}$ eine Topologie auf $X$. Die Topologie wird oft auch als die \emph{diskrete Topologie auf $X$} bezeichnet.
\item[(D)] Sei $X=\R$ und es sei $\mathcal{T}$ wie folgt definiert:
     \[ \hspace{1cm}\begin{array}{rcl} U\in \mathcal{T} &:\Longleftrightarrow &\begin{array}{l}\mbox{entweder ist $U=\emptyset$, oder}\\
     \mbox{$U$ ist das Komplement von endlich vielen Punkten in $\R$.}\end{array} \end{array} \]
Beispielsweise liegen $\emptyset, \R\setminus \{\pi\}, \R\setminus \{-1,\sqrt{2}\}$ aber auch $\R$ (als Komplement von null Punkten) in $\mathcal{T}$. Es folgt nun leicht aus den `Rechenregeln' f\"ur die Mengenlehre nach Lemma~\ref{lem:abgeschlossen}, dass  $\mathcal{T}$ eine Topologie auf $X=\R$ ist.
\footnote{Dieses Beispiel von einem topologischen Raum \"ahnelt etwas der Zariski-Topologie auf $\R$, siehe
\[ \mbox{\url{http://de.wikipedia.org/wiki/Zariski-Topologie}}\]}
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition}
Sei $(X,\mathcal{T})$ ein topologischer Raum.
\begin{enumerate}
\item Die Mengen in $\mathcal{T}$ werden \emph{offen} genannt.
\item Eine Teilmenge $U$ von $X$ hei\ss t \emph{abgeschlossen}, wenn $X\setminus U$ offen ist. 
\item
Sei  $x\in X$.
Eine Teilmenge $U\subset X$ hei\ss t \emph{Umgebung von $x$}, falls es eine offene Menge $V$ gibt, so dass $x\in V\subset U$. Wir sagen $U$ ist eine \emph{offene Umgebung von $x$}, wenn $U$ zudem offen ist. 
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}
Ein topologischer Raum hei\ss t \emph{Hausdorff}, wenn es zu zwei verschiedenen Punkten $x\ne y$ disjunkte offene Umgebungen $U$ von $x$ und $V$ von $y$ gibt.
\end{definition}



\begin{beispiel}
Wir \"uberpr\"ufen, ob die obigen Beispiele Hausdorff sind:
\begin{enumerate}
\item[(A)] Es folgt aus Satz~\ref{satz:hausdorff}, dass der einem metrischen Raum zugeordnete topologische Raum Hausdorff ist.
\item[(B)] Wenn $X$ mindestens zwei Elemente hat, dann ist $(X,\mathcal{T})$ nicht Hausdorff.
\item[(C)] Diese Topologie ist Hausdorff, denn, f\"ur gegebene $x\ne y$ k\"onnen wir $U=\{x\}$ und $V=\{y\}$ w\"ahlen.
\item[(D)] Diese Topologie ist nicht Hausdorff, denn die Schnittmenge von zwei nichtleeren offenen Mengen in $(X,\mathcal{T})$ ist nichtleer, es gibt also keine disjunkten nichtleeren offene Teilmengen in $(X,\mathcal{T})$.
\end{enumerate}
\end{beispiel}

Wir beschlie\ss en das Kapitel mit folgendem Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:gleichetopologie}
Eine Menge in $\R^n$ ist offen bez\"uglich der euklidischen Norm, genau dann, wenn sie offen ist bez\"uglich der Maximumsnorm.
\end{lemma}

Anders ausgedr\"uckt, die euklidische Norm und die Maximumsnorm definieren die gleiche Topologie auf $\R^n$. Es gilt sogar eine st\"arkere Aussage: alle Normen auf $\R^n$ definieren die gleiche Topologie. Nachdem wir diese Aussage nicht ben\"otigen werden wir diese auch nicht beweisen.
\footnote{Diese Aussage gilt ganz allgemeiner f\"ur Normen auf endlich dimensionalen Vektorr\"aumen (nachdem diese alle isomorph zu einem $\R^n$ sind), aber die Aussage ist falsch f\"ur Normen auf unendlich dimensionalen Vektorr\"aumen.}

\begin{proof}
Zur Erinnerung, f\"ur $(x_1,\dots,x_n)\in \R^n$ schreiben wir
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}
\|(x_1,\dots,x_n)\|_{eukl}&=&\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n} x_i^2},&\mbox{(euklidische Norm)} \\[1mm]
\|(x_1,\dots,x_n)\|_{max}&=&\max\{|x_1|,\dots,|x_n|\}&\mbox{(Maximumsnorm)}.
\intertext{
Zudem bezeichnen wir f\"ur $x\in \R^n$ und $\epsilon>0$ mit }
\hspace{4cm} B_\epsilon^{eukl}(x)&=&\Big\{ y\in \R^n\,\Big|\, \|x-y\|_{eukl}<\epsilon\Big\}
\intertext{den euklidischen $\epsilon$-Ball um $x$ und wir betrachten au\ss erdem}
B_\epsilon^{max}(x)&=&\big\{ y\in \R^n\,\big|\, \|x-y\|_{max}<\epsilon\big\}.\end{array}
\end{align*}

Es folgt sofort aus der Definition von offenen Mengen in normierten Vektorr\"aumen, dass es gen\"ugt folgende Behauptung zu beweisen.
\footnote{In der Tat, nehmen wir an wir haben diese Behauptung bewiesen. Es sei $U$ eine Teilmenge in $\R^n$, welche offen ist bez\"uglich der euklidischen Norm. Wir m\"ussen zeigen, dass $U$ auch offen ist bez\"uglich der Maximumsnorm. Sei also $x\in U$. Nach Voraussetzung exist also ein $\epsilon>0$, so dass $B_{\epsilon}^{eukl}(x)\subset U$. Die Behauptung besagt dann, dass es ein $\epsilon'>0$ gibt, so dass $B_{\epsilon'}^{max}(x)\subset B_{\epsilon}^{eukl}(x)$. Insbesondere ist also $B_{\epsilon}^{eukl}(x)$ in $U$ enthalten. Wir haben also gezeigt, dass $U$ offen ist bez\"uglich der Maximumsnorm.}

\begin{behauptung}
Es sei $x\in \R^n$ beliebig.
Dann gelten folgende Aussagen:
\begin{enumerate}
\item f\"ur alle $\epsilon>0$ gibt es ein $\epsilon'>0$, so dass $B_{\epsilon'}^{max}(x)\subset B_{\epsilon}^{eukl}(x)$, und
\item f\"ur alle $\epsilon>0$ gibt es ein $\epsilon'>0$, so dass $B_{\epsilon'}^{eukl}(x)\subset B_{\epsilon}^{max}(x)$.
\end{enumerate}
\end{behauptung}

In \"Ubungs\-blatt 1 werden Sie diese Behauptung beweisen. Genauer gesagt, Sie werden mithilfe von 
Lemma~\ref{lem:euklmax}
zeigen, dass f\"ur alle $x\in \R^n$ und $\epsilon>0$ gilt, dass
\[ B_{\frac{1}{\sqrt{n}}\epsilon}^{eukl}(x)\,\,\subset\,\, B_{\frac{1}{\sqrt{n}}\epsilon}^{max}(x)\,\,\subset \,\, B_{\epsilon}^{eukl}(x).\]
Die Aussage wird f\"ur $n=2$ in Abbildung~\ref{fig:normbaelle} skizziert. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{normbaelle.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Lemma \ref{lem:gleichetopologie}} \label{fig:normbaelle}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}


%==================================================================
\section{Konvergente Folgen und stetige Abbildungen}



%==================================================================
\subsection{Konvergenz von Folgen}\label{section:konvfolg}



\begin{definition}
Es sei $X$ ein metrischer Raum und $(x_k)_{k\in \N}$ eine Folge von Punkten aus $X$.
Wir sagen \emph{$(x_k)_{k\in \N}$ konvergiert gegen den Grenzpunkt $x\in X$}, wenn
\[ \underset{\epsilon>0}{\bigforall}\,\,\underset{K\in \N}{\bigexists}\,\,\underset{k\geq K}{\bigforall} \,\,d(x_k,x)<\epsilon.\]
Wie \"ublich schreiben wir in diesem Fall
$\underset{k\to \infty}{\lim} x_k=x$.
\end{definition}

Die Definition ist wort-w\"ortlich die gleiche wie die Konvergenz von reellen Folgen, der einzige Unterschied ist, dass wir den Absolutbetrag $|x_k-x|$ durch den Abstand $d(x_k,x)$ ersetzt haben. Nachdem der Abstand die gleichen Eigenschaften wie der Absolutbetrag erf\"ullt erhalten wir die gleichen Aussagen. Beispielsweise beweist man wort-w\"ortlich wie im Beweis von Satz 3.1 in Analysis~I, dass der Grenzpunkt, wenn er existiert, eindeutig ist. 


Der Beweis des folgenden Lemmas ist eine \"Ubungsaufgabe im 1.\ \"Ubungs\-blatt.

\begin{lemma}\label{lem:konvergenzxk}
Es sei $X$ ein metrischer Raum und $(x_k)_{k\in \N}$ eine Folge von Punkten aus $X$.
Dann gilt  f\"ur $x\in X$, dass 
\[ \lim_{k\to \infty} x_k=x\quad \Longleftrightarrow \quad
 \underset{\begin{array}{c} \operatorname{Umgebungen} \\U\operatorname{ von }x\end{array} }{\bigforall}\underset{K\in \N}{\bigexists}\,\,\underset{k\geq K}{\bigforall} \,x_k\in U.\]
\end{lemma}

\begin{bemerkung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Das Lemma besagt unter anderem, dass es bei der Konvergenz von Folgen nicht auf die Metrik ankommt, sondern auf die offenen Mengen.
 Beispielsweise hatten wir gesehen, dass  auf dem Vektorraum $\R^n$
die  euklidische  Norm und die  Maximumsnorm die gleichen offenen Mengen definieren. Es folgt also aus  Lemma~\ref{lem:konvergenzxk}, dass eine Folge von Punkten in $\R^n$ genau dann bez\"uglich der euklidischen  Norm konvergiert, wenn sie bez\"uglich der Maximumsnorm konvergiert.
\item Die Formulierung f\"ur Konvergenz, welche in Lemma~\ref{lem:konvergenzxk} gegeben ist, hat zudem den Vorteil, dass sie auch Sinn f\"ur topologische R\"aume macht.\footnote{Aber gilt dann bei topologischen R\"aumen noch die Eindeutigkeit vom Grenzpunkt?}
\end{enumerate}
\end{bemerkung}

% Ende 2. Vorlesung

Folgendes Lemma wird im 2.\ \"Ubungs\-blatt bewiesen.

\begin{lemma}\label{lem:grenzwertabgeschlossen}
Es sei $X$ ein metrischer Raum und $A$ eine abgeschlossene Teilmenge. Es sei $(x_k)_{k\in \N}$ eine Folge von Punkten in $A$. Wenn die Folge in $X$ konvergiert, dann liegt der Grenzwert ebenfalls in $A$.
\end{lemma}

\begin{beispiel}
Es sei $X=\R$ und $A=[a,b]$ ein abgeschlossenes Intervall. Lemma~\ref{lem:grenzwertabgeschlossen} besagt, dass wenn $(x_k)$ eine Folge von Zahlen in $[a,b]$ ist, welche in $\R$ konvergiert, dann liegt auch der Grenzwert in $[a,b]$. Diese Aussage folgt beispielsweise auch aus Satz~3.4 in der Analysis~I.
\end{beispiel}

In dieser Vorlesung werden wir durchgehend folgende Konvention verwenden.

\begin{konvention} Wenn $x$ ein Punkt in $\R^n$ ist, dann bezeichnen wir f\"ur $i \in \{1,\dots,n\}$ 
mit $x_i$ die $i$-te Koordinate von $x$. Insbesondere ist also $x=(x_1,\dots,x_n)$.
\end{konvention}

\begin{satz}\label{satz:limrn}
Es sei $(x_k)_{k\in \N}$ eine Folge von Punkten in $\R^n$ und es sei $y\in \R^n$.
\footnote{Wie oben erw\"ahnt, wenn nichts anderes angegeben ist, dann betrachten wir $\R^n$ mit der euklidischen Norm.}
 Dann gilt
\[ \lim_{k\to \infty} x_k=y\quad  \,\,\Longleftrightarrow \quad \,\,\mbox{  $\underset{k\to\infty}{\lim} x_{ki}=y_i$\,\, f\"ur alle $i=1,\dots,n$}.\]
\end{satz}

\begin{bemerkung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Dieser Satz erlaubt es uns die Konvergenz von Folgen im $\R^n$ auf das Studium der Konvergenz von Folgen von reellen Zahlen zur\"uckzuf\"uhren.  Insbesondere k\"onnen wir die Konvergenz von Folgen im $\R^n$ mithilfe der Methoden aus der Analysis~I  studieren.
\item
Der Satz ist ganz \"ahnlich dem Satz 9.6 aus der Analysis~I, dieser besagt, dass eine Folge $\{z_n\}_{n\in \N}$ von komplexen Zahlen konvergiert, genau dann, wenn die Realteile und Imagin\"arteile von den Folgengliedern konvergieren. Der Beweis von Satz~\ref{satz:limrn} ist dementsprechend fast der gleiche wie der Beweis von Satz 9.6 in der Analysis~I.
\end{enumerate}
\end{bemerkung}

\begin{proof}
Wir erinnern zuerst daran, dass wir in Lemma~\ref{lem:euklmax} gezeigt hatten, dass f\"ur einen Punkt $x=(x_1,\dots,x_n)\in \R^n$ und jedes $i\in \{1,\dots,n\}$ gilt
\begin{equation} \label{equ:euklmax} |x_i| \,\,\leq\,\, \|x\|\,\,\leq\,\, \sqrt{n}\max\{|x_1|,\dots,|x_n|\}.\end{equation}

Der Satz folgt nun leicht aus diesen beiden Ungleichungen und aus Standard-Argumenten. Der vollst\"andigkeithalber f\"uhren wir das Argument noch ausf\"uhrlich aus. 
Nehmen wir zuerst an, dass $\lim_{k\to \infty} x_k=y$.  Es gilt also:
\[ \underset{\epsilon>0}{\bigforall}\,\,\,\underset{K\in \N}{\bigexists}\,\,\,\underset{k\geq K}{\bigforall} \,\,\|x_k-y\|<\epsilon.\]
Es sei nun $i\in \{1,\dots,n\}$. Wir m\"ussen zeigen:
\[ \underset{\eta>0}{\bigforall}\,\,\,\underset{L\in \N}{\bigexists}\,\,\,\underset{l\geq L}{\bigforall} \,\,|x_{li}-y_i|<\epsilon.\]
Sei also $\eta>0$. Wenn wir $\epsilon=\eta$ setzen, erhalten wir ein $K\in \N$, so dass
f\"ur alle $k\geq K$ gilt, $\|x_k-y\|<\epsilon$. Dann folgt  aber aus (\ref{equ:euklmax}), dass f\"ur alle $l\geq L:=K$ gilt
\[ |x_{li}-y_i|\,\,\leq\,\,       \|x_l-y\|\,\,<\,\,\epsilon\,\,=\,\,\eta.\]

Nehmen wir nun an, dass f\"ur alle $i=1,\dots,n$ gilt, dass $\lim_{k\to \infty} x_{ki}=y_i$.
Wir wollen zeigen, dass $\lim_{k\to \infty} x_k=y$, d.h.\ wir wollen zeigen, dass
\[ \underset{\epsilon>0}{\bigforall}\,\,\,\underset{K\in \N}{\bigexists}\,\,\,\underset{k\geq K}{\bigforall}\, \|x_k-y\|<\epsilon.\]
Sei also $\epsilon>0$. 
Sei nun $i\in \{1,\dots,n\}$. Nachdem $\lim_{k\to \infty} x_{ki}=y_i$ existiert insbesondere ein $L_i\in \N$, so dass
f\"ur alle $k\geq L_i$ gilt: $|x_{ki}-y_i|<\eta=\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}$. Wenn wir nun $K:=\max\{L_1,\dots,L_n\}$ setzen, dann gilt f\"ur alle $k\geq K$, dass
\[  \|x_k-y\|\,\,\leq\,\, \sqrt{n}\max\Big\{\underset{<\eta=\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}}{\underbrace{|x_{k1}-y_1|}},\dots,\underset{<\eta=\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}}{\underbrace{|x_{kn}-y_n|}}\Big\}\,\,<\,\,\epsilon.\]
\end{proof}


\begin{definition}
Es sei $X$ ein metrischer Raum.
Eine Folge $(x_k)_{k\in \N}$ hei\ss t \emph{Cauchy-Folge}, wenn gilt
\[\displaystyle \underset{\epsilon>0}{\bigforall}\,\,\underset{K\in \N}{\bigexists}\,\,\underset{k,l\geq K}{\bigforall} \,\,d(x_k,x_l)<\epsilon.\]
\end{definition}

Auch diese  Definition ist fast wort-w\"ortlich die gleiche wie die Definition einer Cauchy-Folge von  reellen Folgen.
Genau wie in Analysis~I, Satz 4.1, kann man zeigen, dass jede konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist.

\begin{definition} Ein metrischer Raum hei\ss t \emph{vollst\"andig}, wenn jede Cauchyfolge konvergiert.
\end{definition}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Aus Analysis~I wissen wir, dass $\R$ vollst\"andig ist.
\item In Satz~9.8 aus der Analysis~I hatten wir schon gesehen, dass der reelle Vektorraum $\C$ mit $d(w,z)=|z-w|$ vollst\"andig ist.
\item Es folgt aus der Vollst\"andigkeit von $\R^n$ und aus Satz~\ref{satz:limrn}, dass $\R^n$ ebenfalls vollst\"andig ist.\label{bsp:rnvollstandig}
\footnote{Genauer gesagt: Es sei $(x_k)_{k\in \N}$ eine Cauchy--Folge in $\R^n$, dann kann man \"ahnlich wie in Satz~\ref{satz:limrn} zeigen, dass
f\"ur jedes $i\in\{1,\dots,n\}$ die Folge von reellen Zahlen $(x_{ki})_{k\in \N}$ eine Cauchyfolge ist. Nachdem $\R$ vollst\"andig ist, existiert f\"ur jedes $i\in\{1,\dots,n\}$ ein $y_i\in \R$,
so dass $\lim_{k\to \infty} x_{ki}=y_i$. Dann folgt aber aus Satz~\ref{satz:limrn}, dass $\lim_{k\to \infty} x_k=(y_1,\dots,y_n)$.}
\item Die Menge $X=\R \setminus \{0\}$ mit der Metrik $d(x,y)= |x-y|$,
ist nicht vollst\"andig, denn $x_k=\frac{1}{k}$ ist eine Cauchyfolge, welche in $X$ nicht konvergiert.
\item Die Menge $ X= \Q$ mit der Metrik $d(x,y)= |x-y|$ ist ebenfalls nicht vollst\"andig, nachdem es beispielsweise eine Folge von rationalen Zahlen gibt, welche gegen die irrationale Zahl $\sqrt{2}$ konvergiert.
\item Wir betrachten den Vektorraum
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} \hspace{3cm} C([-1,1])&=&\{\mbox{alle stetigen Funktionen $[-1,1]\to \R$}\}, \\
\intertext{Auf dieser Menge betrachten wir die Metriken $d$ und $e$, welche definiert sind durch\footnotemark}
d(f,g)&=&\max\big\{|f(x)-g(x)|\,\big|\,x\in [-1,1]\big\}
\intertext{beziehungsweise}
e(f,g)&=&\bint\limits_{-1}^1 |f(x)-g(x)|\,dx.\end{array}\end{align*}
\footnotetext{Diese Definition macht Sinn, denn die stetige Funktion $|f(x)-g(x)|$ nimmt ein Maximum an.}
Satz~16.3 aus der Analysis~I besagt, dass die Menge $C([-1,1])$ zusammen mit der Metrik $d$ vollst\"andig ist.

Wir werden im Folgenden sehen, dass hingegen die Menge $C([-1,1])$ zusammen mit der Metrik $e$ nicht vollst\"andig ist.
Wir betrachten dazu die Folge von Funktionen
\[ \begin{array}{rcl} f_n\colon [-1,1]&\to &\R \\
x&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} 0, &\mbox{ wenn $x\in [-1,0)$}, \\ nx, &\mbox{ wenn $x\in [0,\frac{1}{n})$}, \\ 1, &\mbox{ wenn $x\in [\frac{1}{n},1]$.} \end{array} \right.\end{array} \]
Die Graphen der Funktionen $f_n$ mit $n=1,2,3$ werden in Abbildung~\ref{fig:funktionenfolge} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{funktionenfolge.pstex_t}
\caption{}\label{fig:funktionenfolge}
\end{center}
\end{figure}
Dann gilt f\"ur $n\geq m$, dass
\footnote{Diese Ungleichung beweist man wie folgt: die Funktionen $f_n$ und $f_m$ besitzen die gleichen Werte au\ss erhalb vom Intervall $[0,\frac{1}{m}]$ haben, und auf dem Intervall $[0,\frac{1}{m}]$ gilt
$|f_n(x)-f_m(x)|\leq 1$. Also gilt
\[ d(f_n,f_m)\,\,=\,\,\int_{-1}^1 |f_n(x)-f_m(x)|\,dx \,\,=\,\,\int_{0}^{\frac{1}{m}}\underset{\leq 1}{\underbrace{|f_n(x)-f_m(x)|}} \,dx\,\,\leq\,\, \frac{1}{m}.\]}
\[ e(f_n,f_m)\,\,=\,\,\int_{-1}^1 |f_n(x)-f_m(x)|\,dx\,\, \leq\,\, \lmfrac{1}{m}.\]
Es folgt, dass $(f_n)_{n\in \N}$ eine Cauchy-Folge bez\"uglich der Metrik $e$ ist.\footnote{Andererseits ist  $(f_n)_{n\in \N}$ keine Cauchy-Folge bez\"uglich der Metrik $d$. Warum?}

Andererseits konvergiert die Folge nicht in dem metrischen Raum $(C([-1,1]),d)$. In der Tat, wenn es einen Grenzpunkt $f$ der Folge $(f_n)_{n\in \N}$ in $(C([-1,1]),d)$ g\"abe, dann m\"usste gelten $f(x)=0$ f\"ur $x\in [-1,0)$ und $f(x)=1$ f\"ur $x\in (0,1]$. Aber es gibt keine stetige Funktion auf $[-1,1]$ mit solchen Eigenschaften.
\end{enumerate}
\end{beispiel}


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\subsection{Stetige Abbildungen}
Die folgende Definition der Stetigkeit von Abbildungen zwischen zwei metrischen R\"aumen ist wort-w\"ortlich die gleiche wie f\"ur die Stetigkeit einer Funktion $f\colon \R\to \R$.

\begin{definition}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung zwischen zwei metrischen R\"aumen.  F\"ur $x_0\in X$ definieren wir
\[ \mbox{$f$ ist stetig im Punkt $x_0$}\quad  :\Longleftrightarrow\quad  \underset{\epsilon>0}{\bigforall}\,\,\underset{\delta>0}{\bigexists}\,\,\underset{x\in B_\delta(x_0)}{\bigforall}d(f(x),f(x_0)) <\epsilon.\]
Wir sagen \emph{$f$ ist stetig}, wenn $f$ in jedem Punkt stetig ist.
\end{definition}

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item F\"ur Abbildungen $\R\to \R$ ist dies genau der gleiche  Stetigkeitsbegriff wie in der Analysis~I. 
\item Wie in Analysis~I, Lemma 6.1 zeigt man, dass die Identit\"atsabbildung $f(x)=x$ auf einem metrischen Raum stetig ist. Zudem ist auch jede konstante Abbildung zwischen metrischen R\"aumen stetig.
\item In \"Ubungs\-blatt 2 werden wir zeigen, dass f\"ur jedes $j$ die Projektion\label{projektion-stetig}
\[ \begin{array}{rcl}
\R^n&\to &\R \\
(v_1,\dots,v_n)&\mapsto& v_j\end{array} \]
von $\R^n$ auf die $j$-te Koordinate stetig ist.
\item Es sei $X$ eine Menge und $d$ die Metrik
\[ d(x,y):=\left\{ \begin{array}{ll} 1, &\mbox{ falls }x=y, \\
0,&\mbox{ falls }x\ne y.\end{array}\right. \]
Es sei $(Y,e)$ ein weiterer metrischer Raum, dann ist jede Abbildung $X\to Y$ stetig.
In der Tat, f\"ur jedes $\epsilon>0$ hat $\delta=\frac{1}{2}$ die gew\"unschte Eigenschaft.

\end{enumerate}
\end{beispiele}


Der Beweis von Satz~6.3 aus der Analysis~I \"ubertr\"agt sich auch wort-w\"ortlich und liefert uns folgendes Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:sumstetig}
Es sei $X$ ein metrischer Raum und es seien $f,g\colon X\to \R$ zwei stetige Funktionen
\footnote{Wir verwenden normalerweise das Wort `Funktion' f\"ur Abbildungen nach $\R$ oder $\R^n$.}, zudem sei $\lambda\in \R$.
Dann sind die Funktionen
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.4cm} f+g\colon X&\to & \R \\ x&\mapsto & f(x)+g(x) \\
 f\cdot g\colon X&\to & \R \\ x&\mapsto & f(x)\cdot g(x) 
\intertext{und}  \lambda\cdot f\colon X&\to & \R \\ x&\mapsto & \lambda \cdot f(x) 
\intertext{stetig. Falls $g(x)\ne 0$ f\"ur alle $x\in X$, dann ist auch die Funktion}
 \tmfrac{f}{g}\colon X&\to & \R \\ x&\mapsto & \tmfrac{f(x)}{g(x)} \end{array} \end{align*}
 stetig.
\end{lemma}




Das folgende Lemma wird ganz analog zu Satz~\ref{satz:limrn} 
bewiesen. 

\begin{lemma}\label{lem:nachrnstetig}
Es sei $X$ ein metrischer Raum und es sei
\[ \begin{array}{rcl} f=(f_1,\dots,f_n)\colon X&\to& \R^n\\
x&\mapsto& (f_1(x),\dots,f_n(x))\end{array} \]
eine Abbildung. Dann gilt:
\[ f\colon X\to \R^n \mbox{ ist stetig} \quad \Longleftrightarrow \quad \mbox{f\"ur alle $i\in\{1,\dots,n\}$ ist die Funktion $f_i\colon X\to \R$ stetig.}\]
\end{lemma}


\begin{lemma}\label{lem:rnrmstetig}
Es sei $A$ eine reelle $m\times n$--Matrix. Dann ist die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \R^n&\to & \R^m \\
v&\mapsto &Av \end{array} \]
stetig.
\end{lemma}

\begin{proof}
Sei also $A=(a_{ij})$ eine reelle $m\times n$--Matrix.
Aus Lemma~\ref{lem:nachrnstetig} folgt, dass es gen\"ugt zu zeigen, dass f\"ur jedes $i$ die Abbildung
\begin{align*}\begin{array}{rcl}
\hspace{6.5cm} \R^n&\to &\R \\
(v_1,\dots,v_n)&\mapsto & a_{i1}v_1+\dots+a_{in}v_n,
\intertext{stetig ist. Auf Seite~\pageref{projektion-stetig} hatten wir schon erw\"ahnt, dass f\"ur jedes $j$ die  Projektion}
\R^n&\to &\R \\
(v_1,\dots,v_n)&\mapsto& v_j
\intertext{stetig ist.
Es folgt nun aus Lemma~\ref{lem:sumstetig}, dass die Funktionen}
 (v_1,\dots,v_n)&\mapsto& a_{i1}v_1+\dots+a_{in}v_n\end{array} \end{align*}
wie gew\"unscht stetig sind.
\end{proof}

Der n\"achste Satz besagt, dass wir bei stetigen Abbildungen `die Abbildung und den Grenzwert vertauschen k\"onnen'. Der Satz wird genau wie Satz~6.8 in Analysis~I bewiesen.

\begin{satz}\label{satz:fstetiggw}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen zwei metrischen R\"aumen. Dann gilt f\"ur jede konvergente Folge $(x_k)_{k\in \N}$ in $X$, dass
\[ \lim_{k\to \infty} f(x_k)\,\,=\,\,f\bigg(\lim_{k\to \infty} x_k\bigg).\]
\end{satz}

Der folgende Satz gibt drei verschiedene \"aquivalente Definitionen von Stetigkeit. Der Beweis des Satzes ist eine \"Ubungsaufgabe in \"Ubungs\-blatt 2.


\begin{satz}\label{satz:defstetig}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung zwischen zwei metrischen R\"aumen. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent.
\begin{enumerate}
\item \mbox{$f$ ist stetig}, 
\item f\"ur jede offene Menge $U$ in $Y$ ist auch das Urbild $f^{-1}(U)$ offen,
\item f\"ur jede abgeschlossene  Menge $A$ in $Y$ ist auch das Urbild $f^{-1}(A)$  abgeschlossen.
\end{enumerate}
\end{satz}


\begin{bemerkung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Der Satz besagt also, dass es bei der Stetigkeit nur auf die offenen Mengen ankommt. Insbesondere folgt aus dem Satz und aus Lemma~\ref{lem:gleichetopologie}, dass bei einer Abbildung $\R^n\to \R^m$ der Begriff der Stetigkeit nicht davon abh\"angt, ob wir mit der euklidischen Norm oder der Maximumsnorm arbeiten.
\item
Die Definition der Stetigkeit \"uber die offenen Mengen macht auch Sinn f\"ur Abbildungen zwischen beliebigen topologischen R\"aumen.
\end{enumerate}
\end{bemerkung}

\begin{satz}\label{satz:verknupfungstetig}
Es seien $f\colon X\to Y$  und $g\colon Y\to Z$ stetige Abbildungen zwischen metrischen R\"aumen.
Dann ist die Verkn\"upfung $g\circ f\colon X\to Z$ ebenfalls stetig.
\end{satz}

\begin{proof}
Aus Satz~\ref{satz:defstetig} folgt, dass es gen\"ugt zu zeigen, dass f\"ur jede offene Teilmenge $U\subset Z$ auch das Urbild $(g\circ f)^{-1}(U)\subset X$ offen ist.

Es sei also $U\subset Z$ offen. Dann gilt
\footnote{Hierbei verwenden wir folgende ganz allgemeine Aussage, wenn 
 $f\colon X\to Y$  und $g\colon Y\to Z$ Abbildungen zwischen Mengen sind, dann gilt ganz allgemein f\"ur $S\subset Z$, dass 
 \[ (g\circ f)^{-1}(U)\,\,=\,\,f^{-1}(g^{-1}(U)).\]
 Diese Aussage folgt sofort aus der Definition von Verkn\"upfung von Abbildungen und der Definition vom Urbild einer Teilmenge.}
\[ (g\circ f)^{-1}(U)\,\,=\,\,f^{-1}(g^{-1}(U)).\]
Aber $g^{-1}(U)\subset Y$ ist offen, weil $g$ stetig und $U$ offen. Dann ist aber auch $f^{-1}(g^{-1}(U))$ offen, weil $f$ stetig und $g^{-1}(U)$ offen ist.
\end{proof}

Man kann den Satz auch genau wie in Analysis~I, Satz 6.7 zeigen, man muss nur in dem Beweis von Satz 6.7 die  Absolutbetr\"age durch die Metriken auf $X,Y$ und $Z$ ersetzen.
Allerdings ist der obige Beweis von Satz~\ref{satz:verknupfungstetig} deutlich einfacher als der urspr\"ungliche Beweis in Analysis~I. Dies ist ein Beispiel daf\"ur, dass die  Formulierung der Stetigkeit \"uber offene Mengen  viele Beweise vereinfacht.

\begin{beispiel}
Wir betrachten
\[ \begin{array}{rcl} M(n,\R)&=&\mbox{alle reellen $n\times n$--Matrizen}, \\
GL(n,\R)&=&\mbox{alle invertierbaren $n\times n$--Matrizen}.\end{array} \]
Die Abbildung\label{det:stetig}
\[ \begin{array}{rcl} \det\colon M(n,\R)&\to &\R \\
A&\mapsto &\det(A) \end{array} \]
ist stetig.
\footnote{Wir betrachten dabei $M(n,\R)$ als metrischen Raum mit $\|(a_{ij}\|=\max\{|a_{ij}|\,|\,i,j\in\{1,\dots,n\}\}$.}
\footnote{Dies folgt aus Lemma~\ref{lem:sumstetig} und aus der Leibniz-Formel, welche insbesondere besagt, dass die Determinante ein Polynom in den Eintr\"agen der Matrix ist.}
Nachdem die Funktion $\det$ stetig ist, und nachdem $\R\setminus \{0\}\subset \R$ offen ist, folgt aus Satz~\ref{satz:defstetig}, dass
\[ GL(n,\R)\,\,=\,\,\{A\in M(n,\R)\,|\,\det(A)\ne 0\}\,\,=\,\,\mbox{det}^{-1}(\R\setminus \{0\})\]
eine  offene Teilmenge von $M(n,\R)$ ist.
\footnote{Das besagt beispielsweise Folgendes: wenn $A$ eine invertierbare $n\times n$-Matrix ist, dann gibt es ein $\epsilon>0$, so dass  jede $n\times n$-Matrix $B$, deren Eintr\"age von $A$ um h\"ochstens $\epsilon$ abweichen, ebenfalls invertierbar ist.}
\end{beispiel}


\begin{definition}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung zwischen metrischen R\"aumen. Wir sagen $f$ ist ein \emph{Hom\"oomorphismus}, wenn gilt:
\begin{enumerate}
\item $f$ ist stetig,
\item $f$ ist bijektiv,
\item die Umkehrabbildung $f^{-1}$ ist stetig.
\end{enumerate}
Wenn es einen solchen Hom\"oomorphismus zwischen $X$ und $Y$ gibt, dann sagen wir, dass $X$ und $Y$ \emph{hom\"oomorph} sind.
\end{definition}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die metrischen R\"aume $\R$ und $(-1,1)$ sind hom\"oomorph. In der Tat, die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \hspace{-0.5cm}f\colon \R &\to & (-1,1) \\
x&\mapsto & \tmfrac{2}{\pi}\arctan(x) \end{array} \]
ist stetig und bijektiv, und die Umkehrabbildung $x\mapsto \tan(\frac{\pi}{2}x)$ ist ebenfalls stetig.
\item Auf Seite~96 in Analysis~I hatten wir schon gesehen, dass es stetige, bijektive Abbildungen gibt, deren Umkehrfunktion nicht stetig ist. Wir geben hier noch ein weiteres Beispiel. Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl}\hspace{1.35cm} f\colon X:=[0,2\pi) &\to & Y:=\{(x,y)\in \R^2\,|\, x^2+y^2=1 \} \\
t &\mapsto & (\cos(t),\sin(t)) \end{array} \]
ist stetig und bijektiv, aber die Umkehrabbildung $f^{-1}$ ist im Punkt $(1,0)$ nicht stetig.\footnote{Wir betrachten dazu die Folge $x_n=f(2\pi-\frac{1}{n}), n\in \N$ von Punkten in $Y$. Dann ist $\lim_{n\to \infty} x_n=(1,0)$.\label{bsp:keinhomeo}
Es folgt, dass $f^{-1}(\lim_{n\to \infty} x_n)=f^{-1}(1,0)=0$. Andererseits ist $\lim_{n\to \infty} f^{-1}(x_n)=\lim_{n\to \infty} (2\pi-\frac{1}{n})=2\pi$. Es folgt also aus Satz~\ref{satz:fstetiggw},  dass die Umkehrabbildung $f^{-1}$ nicht stetig ist.}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{eipi2.pstex_t}
\caption{Eine stetige, bijektive Abbildung, deren Umkehrabbildung nicht stetig ist.} \label{fig:eipi2}
\end{center}
\end{figure}
\footnote{Wenn nichts anderes angegeben ist, dann betrachten wir $\R^n$ immer mit dem euklidischen Abstand, und jede Teilmenge von $\R^n$ mit der induzierten Metrik. Dies bedeutet, dass wir f\"ur eine Teilmenge von $\R^n$ wiederum die euklidische Metrik verwenden. 
Beispielsweise gilt f\"ur $X=[0,2\pi)$, dass 
\[ B_{r=2}(a=1)\,=\,\big\{ x\in X\,\big|\,|x-a|<r\big\}\,=\,\big\{x\in [0,2\pi)\,\big|\, |x-1|<2\big\}\,=\,[0,3).\]
}
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{bemerkung}
Die obige Abbildung 
\[ X:=[0,2\pi) \,\,\xrightarrow{f}\,\,  Y:=\{(x,y)\in \R^2\,|\, x^2+y^2=1 \} \]
ist also kein Hom\"oomorphismus. In der Tat kann man zeigen, dass es keinen Hom\"oomor\-phismus zwischen diesen beiden metrischen R\"aumen geben kann.\footnote{Die Idee ist hierbei wie folgt: wenn es einen Hom\"oomorphismus $g\colon X\to Y$ g\"abe, dann w\"aren auch $X\setminus \{\pi\}$ und $Y\setminus \{f(\pi)\}$ hom\"oomorph. Aber $X\setminus \{\pi\}$ ist nicht mehr zusammenh\"angend, w\"ahrend die Menge $Y\setminus \{f(\pi)\}$ weiterhin zusammenh\"angend ist. Eine saubere Ausarbeitung dieses Beweises erfolgt in der Vorlesung Algebraische Topologie.

Einen anderer Beweis, dass $X$ und $Y$ nicht hom\"oomorph sind, liefern wir im n\"achsten Kapitel. Wir werden sehen, dass $X$ nicht `kompakt' ist, aber $Y$ ist `kompakt'. Aber es folgt aus den Definitionen und aus Satz~\ref{satz:defstetig}, dass wenn zwei metrische R\"aume hom\"oomorph sind, dann ist der eine `kompakt' genau dann, wenn der andere Raum `kompakt' ist.} 
 Im Allgemeinen ist es jedoch eine schwierige Aufgabe zu zeigen, dass gewisse R\"aume nicht hom\"oomorph sind. Beispielsweise gibt es f\"ur jedes $n$ eine stetige surjektive Abbildung
$\R\to \R^n$, siehe
\[  \mbox{\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve}}\]
Aber man ben\"otigt die Methoden der `algebraischen Topologie' um zu zeigen, dass f\"ur $n\ne m$ die metrischen R\"aume $\R^n$ und $\R^m$ nicht  hom\"oomorph sind.
\end{bemerkung}


% Ende 3. Vorlesung

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\subsection{Stetigkeit von linearen Abbildungen $(*)$}

In Lemma~\ref{lem:rnrmstetig} hatten wir gesehen, dass alle linearen Abbildungen $f\colon \R^n \to \R^m$ stetig sind. 
Im Anschlu\ss\, an Lemma~\ref{lem:gleichetopologie} hatten wir erw\"ahnt, dass alle Normen auf $\R^n$ die gleiche Topologie erzeugen.
Es folgt, dass jede lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen normierten Vektorr\"aumen ebenfalls stetig ist.
Wir werden nun sehen, dass lineare Abbildungen zwischen unendlich-dimensionalen normierten Vektorr\"aumen nicht notwendigerweise stetig sind.

\begin{satz}
Es sei $\phi\colon V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen normierten Vektorr\"aumen.
Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
\begin{enumerate}
\item $\phi$ ist stetig,
\item $\phi$ ist stetig im Nullpunkt,
\item es existiert ein $C\geq 0$, so dass $\|\phi(x)\|\leq C\|x\|$ f\"ur alle $x\in V$.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}\mbox{}\
\begin{enumerate}
\item[$(1) \Rightarrow (2)$] Die Aussage ist trivialerweise richtig. 
\item[$(2) \Rightarrow (3)$] Nehmen wir an $\phi$ ist stetig im Nullpunkt. Wir werden die Stetigkeit auf $\epsilon=1$ an und erhalten ein $\delta>0$, so dass
\[ (*)\hspace{2cm} \|\phi(z)\|<1 \mbox{ f\"ur alle }z\in V \mbox{ mit }\|z\|<\delta.\hspace{2cm}\]
Wir behaupten, dass $C:=\frac{2}{\delta}$ die gew\"unschte Eigenschaft besitzt. F\"ur $x=0$ gilt die Ungleichung trivialerweise.
Sei also $x\in V\setminus \{0\}$ beliebig. Dann gilt
\[ \begin{array}{rcll}\hspace{2cm}\|\phi(x)\|&=&\bigg\| \phi\bigg(\tmfrac{2\|x\|}{\delta}\cdot \underset{
\operatorname{Norm}=\frac{\delta}{2}}{\underbrace{\tmfrac{x}{\|x\|}\cdot \tmfrac{\delta}{2}}}\bigg)\bigg\| &\mbox{skalieren  von $x$ auf L\"ange $\frac{\delta}{2}$}
\\
&=&\tmfrac{2\|x\|}{\delta}\cdot\underset{< 1\,\operatorname{nach\,Wahl\,von}\delta}{\underbrace{\bigg\| \phi\bigg( \underset{\operatorname{Norm}=\frac{\delta}{2}}{\underbrace{\tmfrac{x}{\|x\|}\cdot \tmfrac{\delta}{2}}}\bigg)\bigg\|}}& \mbox{Linearit\"at von $\phi$ und Homogenit\"at von $\|-\|$}\\
&<&\tmfrac{2}{\delta}\cdot \|x\|.\end{array} \]
Wir sehen also, dass $C:=\frac{2}{\delta}$ in der Tat die gew\"unschte Eigenschaft besitzt.
\item[$(3) \Rightarrow (1)$] Es sei $x_0\in V$. Wir wollen zeigen, dass $\phi$ im Punkt $x_0$ stetig ist. Es gilt f\"ur alle $x\in V$, dass
\[ \begin{array}{rcll}\|\phi(x)-\phi(x_0)\|&=&\|\phi(x-x_0)\|\quad &\mbox{da $\phi$ linear ist}\\
&\leq& C \|x-x_0\|&\mbox{nach Voraussetzung (3)}.\end{array} \]
Nun kann man leicht zeigen, dass $\phi$ im Punkt $x_0$ stetig ist.\footnote{In der Tat, denn f\"ur gegebenes $\epsilon$ hat $\delta=\frac{\epsilon}{C}$ die gew\"unschte Eigenschaft.}
\end{enumerate}
\end{proof}

Wir betrachten nun den normierten Vektorraum, welcher gegeben ist durch
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{2.5cm} V&:=&C^{\infty}([0,1]):=\mbox{Vektorraum aller $C^\infty$--Funktionen $[0,1]\to \R$}
\intertext{mit der Supremumsnorm}
 \|f\|&:=&\sup\big\{| f(x)|\,\big|\, x\in [0,1]\big\}.\end{array}
 \end{align*}
Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \phi\colon V&\to & V \\
f&\mapsto &f'=\tmfrac{df}{dx}\end{array} \]
ist eine lineare Abbildung. Es sei $n\in \N$. F\"ur die Funktion $f(x):=x^n$ gilt $\|f\|=1$,
aber andererseits gilt $\|f'\|=\|nx^{n-1}\|=n$. Insbesondere gibt es kein $C\geq 0$, so dass $\|f'\|\leq C \|f\|$ f\"ur alle $f\in V$. Es folgt aus dem vorherigen Satz, dass $\phi\colon V\to V$ nicht stetig ist.


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\section{Kompakte Mengen}\label{section:kompakt}

In Analysis~I hatten wir Intervalle vom Typ $[a,b]$, also Intervalle bei denen die Endpunkte enthalten sind, als \emph{kompakt} bezeichnet. Wir hatten gesehen, dass kompakte Intervalle mehrere wichtige Eigenschaften besitzen.
Beispielsweise folgt aus dem Satz von Bolzano--Weierstra\ss\, und aus Satz 3.4 von Analysis~I, dass gilt:
\begin{enumerate}
\item Jede Folge von Punkten in einem kompakten Intervall $I$ besitzt eine konvergente Teilfolge, welche gegen einen Punkt in $I$ konvergiert.
\end{enumerate}
Zudem hatten wir mithilfe von (1) gezeigt,  dass wenn $I$ ein kompaktes Intervall ist, und wenn $f\colon I\to \R$ eine stetige Funktion ist, dann gelten folgende Aussagen:\footnote{Die drei Aussagen sind Satz 7.1, 7.2 und 7.5 aus der Analysis~I-Vorlesung.}
\begin{enumerate}
\item[(2)] die Funktion $f$ ist beschr\"ankt, d.h.\ es existiert ein $C\geq 0$, so dass $|f(x)|\leq C$ f\"ur alle $x\in I$,
\item[(3)] $f$ nimmt ihr Maximum und ihr Minimum ein, d.h.\ es existieren $x_0,x_1\in I$, so dass
\[ f(x_0)\leq f(x)\leq f(x_1) \mbox{ f\"ur alle $x\in I$}.\]
\end{enumerate}
Wenn $X$ nun ein beliebiger metrischer Raum ist, dann werden wir im Folgenden sogenannte `kompakte Teilmengen' einf\"uhren.
Wenn $A\subset X$ kompakt ist, dann gilt eine zu (1) analoge Aussage, und wenn $f\colon A\to \R$ stetig ist, dann werden wir sehen, dass $f$ ebenfalls Eigenschaften (2) und (3)  besitzt. 


%==================================================================
\subsection{Definition von kompakten Mengen}

\begin{definition}
Es sei $X$ ein metrischer Raum und $A\subset X$ eine Teilmenge. Eine \emph{offene \"Uberdeckung von $A$} ist eine Familie $\{U_i\}_{i\in I}$ von offenen Teilmengen von $X$, so dass
\[ A\,\,\subset\,\, \bigcup_{i\in I} U_i.\]
\end{definition}

\begin{beispiel}
Wir betrachten $A=(0,1]\subset \R$ und f\"ur $n\in \N$ setzen wir zudem
\[ U_n:=\Big(\tmfrac{1}{n},2\Big).\]
Dann ist $\{U_n\}_{n\in \N}$ eine offene \"Uberdeckung von $A$.
\end{beispiel}

\begin{definition}
Es sei $X$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge $A\subset X$ hei\ss t \emph{kompakt},
wenn es zu jeder offenen \"Uberdeckung $\{U_i\}_{i\in I}$ von $A$ endlich viele Indizes
$i_1,\dots,i_k\in I$ gibt, so dass
\[ A\subset U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup \dots \cup U_{i_k}.\]
\end{definition}

Anders ausgedr\"uckt, $A$ hei\ss t kompakt, wenn man f\"ur \emph{jede} offene \"Uberdeckung $\{U_i\}_{i\in I}$ von $A$  endlich viele Mengen aus den $U_i$'s finden kann, so dass diese schon $A$ \"uberdecken.


\begin{beispiel}\label{bsp:01nichtkompakt}
Wir wollen zeigen, dass die Menge  $(0,1]$  \emph{nicht} kompakt ist. Wir betrachten dazu wiederum die obige offene \"Uberdeckung, welche gegeben ist durch $U_n:=\Big(\frac{1}{n},2\Big)$, $n\in \N$.
Wenn $(0,1]$ kompakt w\"are, dann g\"abe es  endliche viele $i_1,\dots,i_k\in \N$, so dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} (0,1]&\subset& U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup \dots \cup U_{i_k},
\intertext{aber es ist leicht zu sehen, dass}
 \hspace{4cm}\lmfrac{1}{\max\{i_1,\dots,i_k\}}&\not \in& U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup \dots \cup U_{i_k}.\end{array} \end{align*}
Wir haben also einen Widerspruch erhalten. Wir haben damit bewiesen, dass $(0,1]$ nicht kompakt ist.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Wir betrachten
\[ A\,:=\,\{0\}\cup  \{\tmfrac{1}{n}\,|\,n\in \N\}\,\subset\, \R.\]
Wir behaupten, dass $A$ kompakt ist. Sei also $\{U_i\}_{i\in I}$ eine offene \"Uberdeckung von $A$.
\begin{enumerate}
\item Nachdem $\{U_i\}_{i\in I}$ eine offene \"Uberdeckung von $A$ ist, existiert insbesondere  ein $i\in I$, so dass $0\in U_i$.
\item Nachdem $U_i$ offen ist, existiert ein $\epsilon>0$, so dass $(-\epsilon,\epsilon)\subset U_i$.
\item Nachdem $\epsilon>0$, existiert ein $N\in \N$, so dass $\frac{1}{N}\in (0,\epsilon)$.
\item Dann gilt aber auch, dass $\frac{1}{n}\in (0,\epsilon)$ f\"ur alle $n\geq N$.
Insbesondere enth\"alt $U_i$ alle Punkte $\frac{1}{N},\frac{1}{N+1},\dots$.
\item Nachdem  $\{U_i\}_{i\in I}$ eine offene \"Uberdeckung ist, existiert zu jedem $n\in \{1,\dots,N-1\}$ ein $i_n\in I$, so dass $\frac{1}{n}\in U_{i_n}$.
\end{enumerate}
Es folgt nun, dass $A\subset U_i\cup U_{i_1}\cup \dots \cup U_{i_{N-1}}$.
\end{beispiel}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{kompakt.pstex_t}
\caption{Skizze f\"ur den Beweis, dass $ A:=\{0\}\cup \ \{\frac{1}{n}\,|\,n\in \N\}$ kompakt ist.} \label{fig:kompakt}
\end{center}
\end{figure}



%==================================================================
\subsection{Der Satz von Heine--Borel}\label{section:heineborel}
Das folgende Lemma besagt nun, dass `kompakte Intervalle' aus der Analysis~I in der Tat kompakt im obigen Sinne sind.

\begin{satz}\label{satz:abkompakt}
Es seien $a,b\in \R, a<b$. Dann ist $[a,b]\subset \R$ kompakt.
\end{satz}

Ganz analog zum Beispiel auf Seite~\ref{bsp:01nichtkompakt} kann man zeigen, dass alle Intervalle, welche nicht von der Form $[a,b]$ mit $a,b\in \R$ sind, auch nicht kompakt sind. Anders ausgedr\"uckt, ein Intervall ist genau dann kompakt, wenn es von der Form $[a,b]$ ist. Dies sind genau die Intervalle, welche wir auch in Analysis~I als kompakt bezeichnet hatten.


\begin{proof}
Um die Notation etwas zu vereinfachen betrachten wir den Spezialfall, dass $a=0$ und $b=1$.  Wir schreiben $I:=[0,1]$. Wir nehmen nun an, dass $I$  nicht kompakt ist.
Dann existiert eine offene \"Uberdeckung $\{U_j\}_{j\in J}$, so dass $I$ nicht durch endlich viele $U_{j}$ \"uberdeckt werden kann.

\begin{behauptung}
Es gibt eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
\[ I=I_0\supset I_1\supset I_2\supset \dots \]
so dass f\"ur jedes $m\in \N_0$ gilt:
\begin{enumerate}
\item $I_m$ kann nicht durch endlich viele der  $U_{j}$'s \"uberdeckt werden,
\item die L\"ange von $I_m$ ist $2^{-m}$.
\end{enumerate}
\end{behauptung}

Wir zeigen die Behauptung durch vollst\"andige Induktion.
Wir setzen $I_0:=I$. Nehmen wir an, dass wir $I_0,I_1,\dots,I_m$ schon gefunden haben.
Wir  teilen $I_m$ in zwei abgeschlossene Intervalle $I'$ und $I''$ der halben L\"ange.
Da $I_m$ nicht durch endlich viele $U_j$ \"uberdeckt werden kann, kann zumindest eines der Intervalle $I'$ oder $I''$ nicht durch endlich viele $U_j$ \"uberdeckt werden.
Dieses Intervall w\"ahlen wir als $I_{m+1}$.

\begin{behauptung}
Es gibt ein $x\in I$ mit der Eigenschaft, $x\in \cap_{m\in \N} I_m$.
\end{behauptung}

F\"ur jedes $m$ w\"ahlen wir ein $a_m\in I_m$. Wenn $m\geq n$ gegeben sind, liegen $a_m$ und $a_n$ in $I_n$, insbesondere gilt \[ |a_m-a_n|\,\,\leq \,\,\mbox{L\"ange}(I_n)\,\,=\,\,\smfrac{1}{2^n}.\] Es folgt, dass $(a_m)_{m\in \N}$ eine Cauchyfolge ist.
\footnote{Dies sieht man wie folgt: Sei also $\epsilon>0$. Dann existiert ein $N\in \N$, so dass $\frac{1}{2^N}<\epsilon$, dann folgt aber, dass f\"ur alle
$n,m\geq N$ gilt $|a_m-a_n|\leq \frac{1}{2^N}<\epsilon$.}
 Wir setzen $x:=\lim_{m\to \infty} a_m$.
 \footnote{Bis zu diesem Schritt ist der Beweis sehr \"ahnlich dem Beweis vom Satz von Bolzano--Weierstra\ss.}

Wir m\"ussen noch zeigen, dass $x \in \cap_{m\in \N} I_m$.
Anders ausgedr\"uckt, wir m\"ussen zeigen, dass f\"ur jedes $m\in \N$ gilt: $x\in I_m$.
Sei also $m\in \N$. Dann gilt f\"ur alle $n\geq m$, dass $a_n\in I_n\subset I_m$. Insbesondere  ist $(a_n)_{n\geq m}$ eine konvergente Folge von Punkten in $I_m$.
Nachdem $I_m$ ein abgeschlossenes Intervall ist, folgt aus Lemma~\ref{lem:grenzwertabgeschlossen}, dass $\lim_{n\to \infty} a_n\in I_m$. Wir haben also damit die Behauptung bewiesen.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{abkompakt.pstex_t}
\caption{Skizze f\"ur den Beweis, dass $[0,1]$ kompakt ist.} \label{fig:abkompakt}
\end{center}
\end{figure}

Nachdem $\{U_j\}_{j\in J}$ eine \"Uberdeckung von $I$ ist, existiert ein $j\in J$, so dass
$x\in U_j$. Wegen der Offenheit von $U_j$ existiert ein $\epsilon>0$, so dass $(x-\epsilon,x+\epsilon)\subset U_j$.
Wir w\"ahlen nun ein $m\in \N$, so dass $2^{-m}<\epsilon$.
Nachdem $x\in I_m$ und nachdem die L\"ange von $I_m$ genau $2^{-m}$ ist, folgt, dass
\[ I_m\subset [x-2^{-m},x+2^{-m}].\]
Dann folgt aber, dass
\[ I_m\subset [x-2^{-m},x+2^{-m}]\subset (x-\epsilon,x+\epsilon)\subset U_j,\]
d.h.\ $I_m$ ist in einem einzigen $U_j$ enthalten,
im Widerspruch zur Eigenschaft (1) der Intervalle $I_m$.
\end{proof}

Ganz \"ahnlich, allerdings mit etwas aufwendigerer Notation,  beweist man auch folgenden Satz. Der Satz wird beispielsweise auf Seite 26 von Forster: Analysis~II bewiesen.

\begin{satz}\label{satz:wurfel}
F\"ur jedes $a\geq 0$ ist der W\"urfel
\[ [-a,a]^n\,:=\,\{ (x_1,\dots,x_n)\,|\, x_i\in [-a,a]\}\,\subset\, \R^n\]
kompakt.
\end{satz}

Mithilfe des folgenden Satzes erhalten wir weitere Beispiele von kompakten Mengen:

\begin{satz}\label{satz:teilmengekompakt}
Es sei $X$ ein metrischer Raum, $K\subset X$ eine kompakte Teilmenge und $A\subset K$ eine abgeschlossene Teilmenge. Dann ist auch $A$ kompakt.
\end{satz}

Betrachten wir beispielsweise noch einmal die Menge $A=\{0\}\cup \{\frac{1}{n}\,|\,n\in \N\}$. Diese ist enthalten in der kompakten Menge $K=[0,1]$. Zudem ist $A$ offen, denn
\[ \R\setminus A\,\,=\,\,(-\infty,0)\,\cup\, \bigcup\limits_{n\in \N} (\tmfrac{1}{n+1},\tmfrac{1}{n})\,\cup\, (1,\infty)\]
ist die Vereinigung von offenen Intervallen, also offen. 
Wir erhalten nun mithilfe von Satz~\ref{satz:teilmengekompakt} einen neuen Beweis daf\"ur, dass $A$ kompakt ist.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{teilmengekompakt.pstex_t}
\caption{Skizze f\"ur den Beweis von Satz~\ref{satz:teilmengekompakt}.} \label{fig:teilmengekompakt}
\end{center}
\end{figure}

\begin{proof}
Es sei $\{U_i\}_{i\in I}$ eine offene \"Uberdeckung von $A$.
Nachdem $A$ abgeschlossen ist, folgt, dass $X\setminus A$ offen ist. Also  ist
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6cm}&& (X\setminus A)\cup \{U_i\}_{i\in I} 
\intertext{eine offene \"Uberdeckung von $X$, insbesondere eine offene \"Uberdeckung von $K$. Nachdem $K$ kompakt ist, k\"onnen wir $K$ durch endlich viele dieser Mengen $X\setminus A$ und $U_i, i\in I$ \"uberdecken. Es gibt also $i_1,\dots,i_k$, so dass}
 K&\subset& (X\setminus A)\cup U_{i_1}\cup \dots \cup U_{i_k}.
 \intertext{Nachdem $A\subset K$ folgt, dass}
 A&\subset& (X\setminus A)\cup U_{i_1}\cup \dots \cup U_{i_k}.
\intertext{Aber nachdem $A\cap (X\setminus A)=\emptyset$ erhalten wir, dass}
 A &\subset& U_{i_1}\cup \dots \cup U_{i_k}.\end{array}
 \end{align*}
 Wir haben also gezeigt, dass $A$ durch endlich viele der $U_i$'s \"uberdeckt wird, d.h.\ $A$ ist in der Tat kompakt. 
\end{proof}

Im Folgenden nennen wir eine Teilmenge $A$ eines metrischen Raumes \emph{beschr\"ankt}, wenn es ein $C\geq 0$ gibt, so dass
\[ d(x,y)\leq C \mbox{ f\"ur alle $x,y\in A$}.\]

\begin{lemma}\label{lem:abeschrankt}
Es sei $A$ eine Teilmenge eines metrischen Raumes. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
\begin{enumerate}
\item $A$ ist beschr\"ankt,
\item f\"ur alle   $x\in X$ gibt es ein $D\geq 0$,  so dass $A\subset B_D(x)$.
\item es gibt ein  $x\in X$ und  ein $D\geq 0$, so dass $A\subset B_D(x)$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir zeigen zuerst die Implikationen (1) $\Rightarrow$ (2). Es sei also $A$ beschr\"ankt, d.h.\ es gibt ein $C\geq 0$ gibt, so dass
$ d(a,b)\leq C$ f\"ur alle $a,b\in A$. Es sei $x\in X$ beliebig. Wir w\"ahlen zudem $a\in A$ beliebig.
Wir setzen $D=d(a,x)+C$. Dann gilt f\"ur alle $b\in A$, dass 
\[ d(x,b)\,\,\leq\,\,\d(a,x)+d(a,b)\,\,\leq d(a,x)+C\,\,=\,\,D.\]
Wir haben also gezeigt, dass $A\subset B_D(x)$.


Die Implikation (2) $\Rightarrow$ (3) ist trivial. Wir m\"ussen also noch die  Implikation (3) $\Rightarrow$ (1)  zeigen. 
Nehmen wir nun also an es gibt ein  $x\in X$ und  ein $D\geq 0$, so dass $A\subset B_D(x)$. Dann gilt f\"ur alle $a,b\in A$, dass 
\[ d(a,b)\,\,\leq\,\,d(a,x)+d(x,b)\,\,<\,\,D+D\,\,=:\,\,C.\]
Wir haben also gezeigt, dass $A$ beschr\"ankt ist.
\end{proof}

\begin{satz}\label{satz:kompaktbeschrankt}
Es sei $X$ ein metrischer Raum. Wenn $A\subset X$ kompakt ist, dann ist $A$ beschr\"ankt und abgeschlossen.
\end{satz}


\begin{proof}
Wir zeigen zuerst, dass $A$ beschr\"ankt ist. Wir w\"ahlen ein beliebiges $a\in A$. F\"ur $n\in \N$ betrachten wir
\[ U_n:=B_n(a).\]
Nach Lemma~\ref{lem:balloffen} ist $U_n$ offen.
Nachdem jeder Punkt einen endlichen Abstand von $a$ hat, folgt, dass $\cup_{n\in \N}U_n=X$.
Insbesondere ist $\{U_n\}_{n\in \N}$ eine offene \"Uberdeckung von $A$.
Nachdem $A$ kompakt ist, existieren $n_1<n_2<\dots<n_k$, so dass
\[ A\subset U_{n_1}\cup\dots \cup U_{n_k},\]
insbesondere gilt, dass $d(a,x)< n_k$ f\"ur alle $x\in A$.
Es folgt aus Lemma~\ref{lem:abeschrankt}, dass $A$ beschr\"ankt ist.

Wir wollen nun zeigen, dass $A$ abgeschlossen ist, d.h.\ wir wollen zeigen, dass $X\setminus A$ offen ist. Sei also $x\in X\setminus A$.
Wir m\"ussen zeigen, dass es ein $\epsilon>0$  gibt, so dass $B_\epsilon(x)\subset X\setminus A$.
F\"ur $n\in \N$ betrachten wir die offene Teilmenge\footnote{Warum ist in einem metrischen Raum $X$ f\"ur jedes $x\in X$ und $r>0$ die Menge $\{ y\in X|d(y,x)>r\}$ offen?}
\[ U_n\,:=\,\{y\in X\,|\, d(y,x)>\tmfrac{1}{n}\}.\]
Wie in Lemma~\ref{lem:balloffen} zeigt man, das $U_n$ offen ist.
Offensichtlich gilt $\cup_{n\in \N}U_n=X\setminus \{x\}$. Nachdem $x\in X\setminus A$ folgt, dass
$\{U_n\}_{n\in \N}$ eine offene \"Uberdeckung von $A$ ist.
Nachdem $A$ kompakt ist, existieren $n_1<n_2<\dots<n_k$, so dass
\[ A\,\subset\, U_{n_1}\cup\dots \cup U_{n_k}\,=\,U_{n_k},\]
insbesondere gilt, dass $d(a,x)\geq \frac{1}{n_k}$ f\"ur alle $a\in A$.
Es folgt, dass
\[ B_{\frac{1}{n_k}}(a)\,\subset\, X\setminus A.\]
Wir haben also gezeigt, dass  $X\setminus A$ offen ist.

\end{proof}

\begin{satz}\label{satz:heine-borel} \textbf{\emph{Satz von Heine--Borel}} Es sei $A$ eine Teilmenge von $\R^n$.
\footnote{Zur Erinnerung, hier betrachten wir $\R^n$ mit der euklidischen Metrik. Die Aussage ist im Allgemeinen nicht richtig, wenn wir $\R^n$ mit einer anderen Metrik betrachten.
Beispielsweise werden wir in \"Ubungs\-blatt 3 sehen, dass  wenn wir auf $\R$ die Metrik 
\[ d(x,y):=\min\{1,|x-y|\}\]
betrachten, dann gibt es Teilmengen, welche  abgeschlossen und beschr\"ankt, aber nicht kompakt sind.}
Dann gilt:
\[ \mbox{$A$ ist kompakt } \Longleftrightarrow \mbox{ $A$ ist beschr\"ankt und abgeschlossen}.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Wenn $A$ kompakt ist, dann besagt Satz~\ref{satz:kompaktbeschrankt}, dass $A$ auch beschr\"ankt und abgeschlossen ist.

Nun nehmen wir an, dass $A$ beschr\"ankt und abgeschlossen ist. Nachdem $A$ beschr\"ankt ist, folgt aus 
Lemma~\ref{lem:abeschrankt}, dass es ein $a>0$ gibt, so dass $A\subset B_a(O)$.
\footnote{Hier, und im weiteren Verlauf der Vorlesung bezeichnen wir mit $O$ den Nullpunkt oder Ursprung von $
R^n$.}
 Dann ist $A$ insbesondere eine Teilmenge des W\"urfels $[-a,a]^n\subset \R^n$.
Der W\"urfel ist nach Satz~\ref{satz:wurfel} kompakt. Nachdem $A$ abgeschlossen ist,
folgt dann aus Satz~\ref{satz:teilmengekompakt}, dass auch $A$ kompakt ist.
\end{proof}

% Ende 4. Vorlesung



\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Wir betrachten die $n$--dimensionale Sph\"are
\[\hspace{1cm} S^n\,\,:=\,\,\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in \R^{n+1}\,|\, x_1^2+\dots+x_{n+1}^2=1\}\,\,=\,\,\{x\in \R^n\,|\,\, d(x,O)=1\}.\]
Wir wollen zeigen, dass $S^n$ kompakt ist.
Nach dem Satz  von Heine--Borel gen\"ugt es zu zeigen, dass $S^n$ beschr\"ankt und abgeschlossen ist.
Es folgt sofort aus der Definition und aus Lemma~\ref{lem:abeschrankt}, dass $S^n$ beschr\"ankt ist.
Wir zeigen nun noch, dass $S^n$ abgeschlossen ist.
Wir betrachten
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R^{n+1}&\to & \R \\
(x_1,\dots,x_{n+1})&\mapsto & x_1^2+\dots+x_{n+1}^2.\end{array}\]
Die Funktion ist stetig und es gilt $S^n=f^{-1}(\{1\})$.
Nachdem $\{1\}\subset \R$ abgeschlossen ist, folgt aus Satz~\ref{satz:defstetig},
dass auch $S^n$ abgeschlossen ist.
\footnote{Man k\"onnte nat\"urlich auch versuchen `per Hand' mithilfe der $\epsilon$--Definition zu zeigen, dass $\R^{n+1}\setminus S^n$ offen ist. Aber dies ist gelinde gesagt umst\"andlich. In vielen F\"allen kann man die Offenheit bzw. Abgeschlossenheit einer Menge durch geschicktes anwenden von Satz~\ref{satz:defstetig} zeigen.}
\item Ganz analog kann man auch zeigen, dass die $n$-dimensionale Scheibe
\[ D^n\,\,:=\,\,\{(x_1,\dots,x_{n})\in \R^{n}\,|\, x_1^2+\dots+x_{n}^2\leq 1\}\]
kompakt ist.
\end{enumerate}
\end{beispiele}



%==================================================================
\subsection{Eigenschaften von kompakten Mengen}
In diesem Kapitel werden wir sehen, dass kompakte Mengen in der Tat die drei Eigenschaften besitzen, welche wir zu Beginn von Kapitel~\ref{section:kompakt} erw\"ahnt hatten.

\begin{satz} \label{satz:bildkompakt}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen metrischen R\"aumen. Wenn  $K\subset X$ kompakt ist, dann ist auch $f(K)$ kompakt.
\end{satz}

Bevor wir uns dem Beweis von Satz~\ref{satz:bildkompakt} zuwenden erinnern wir an einige elementere Aussagen der Mengentheorie. Es sei $f\colon A\to B$ eine Abbildung zwischen zwei Mengen $A$ und $B$.
Dann gilt
\[\begin{array}{crrcll}
(1)& \hspace{3cm}\mbox{f\"ur alle $U\subset Y$ ist}&f(f^{-1}(U))&\subset& U\,\,\footnotemark\hspace{4cm}&\\
(2)& \mbox{f\"ur alle $U\subset X$ ist}&U&\subset& f^{-1}(f(U))\,\,\footnotemark\\
(3)& \mbox{f\"ur alle $U,V\subset X$ ist}&f(U\cup V)&=&f(U)\cup f(V)\,\,\footnotemark \\
(4)& \mbox{f\"ur alle $U,V\subset Y$ ist}&f^{-1}(U\cup V)&=&f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V).
\end{array} \]
\footnotetext{Es gilt $f(f^{-1}(U))=U$ wenn $f$ surjektiv ist, aber wenn $f$ nicht surjektiv ist, dann gilt im Allgemeinen, dass $ f(f^{-1}(U))\subsetneq U$.}
\footnotetext{Es gilt $U=f(f^{-1}(U))$ wenn $f$ injektiv ist, aber wenn $f$ nicht injektiv ist, dann gilt im Allgemeinen, dass $U\subsetneq f(f^{-1}(U))$.  Betrachten wir z.B.\  die Abbildung $f\colon \R\to \R, x\mapsto x^2$,
dann ist $f^{-1}(f(2))=\pm 2$.}
\footnotetext{Gilt auch die analoge Aussage f\"ur Durchschnitte? D.h.\ gilt immer, dass $f(U\cap V)=f(U)\cap f(V)$?}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:bildkompakt}]
Sei also $\{U_i\}_{i\in I}$ eine offene \"Uberdeckung von $f(K)$.
Wir m\"ussen zeigen, dass $f(K)$ in der Vereinigung von endlich vielen $U_i$'s enthalten ist.

Es folgt aus den obigen Aussagen \"uber Abbildungen von Mengen, dass
\[ K\,\,\subset \,\,f^{-1}(f(K))\,\,\subset\,\, f^{-1}\bigg(\underset{i\in I}{\medcup} U_i\bigg)\,\,=\,\,  \underset{i\in I}{\medcup} \,f^{-1}(U_i).\]
Nachdem $f$ stetig ist folgt aus Satz~\ref{satz:defstetig}, dass die Urbilder von den $U_i$ ebenfalls offen sind. Insbesondere ist $\{f^{-1}(U_i)\}_{i\in I}$ eine offene \"Uberdeckung von $K$. Nachdem $K$ kompakt ist, existieren
Indizes $i_1,\dots,i_k$, so dass
\[ K\,\,\subset\,\, f^{-1}(U_{i_1})\cup \dots \cup f^{-1}(U_{i_k}).\]
Dann folgt aus den obigen Aussagen \"uber Abbildungen von Mengen, dass
\[ \begin{array}{rcl} f(K)&\subset& f\left(f^{-1}(U_{i_1})\cup \dots \cup f^{-1}(U_{i_k})\right)\\
&=&f\left(f^{-1}(U_{i_1})\right)\cup \dots \cup f\left(f^{-1}(U_{i_k})\right)\,\, \subset\,\,U_{i_1}\cup \dots \cup U_{i_k}.\end{array} \]
\end{proof}

Das folgende Korollar ist eine Verallgemeinerung von Satz 7.2 aus Analysis~I.

\begin{korollar}\label{kor:kompaktminmax}
Es sei $K$ eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes $X$.
\footnote{Hier, und in den anderen S\"atzen ist nat\"urlich der Fall $K=X$ zugelassen, wenn $X$ schon selber kompakt ist.}
Es sei $f\colon K\to \R$ eine stetige Abbildung. Dann  nimmt $f$ ein globales Minimum und ein globales Maximum an, d.h.\
es existieren $x_0,x_1\in K$, so dass
\[ f(x_0)\,\leq\, f(x)\,\leq\, f(x_1)\]
f\"ur alle $x\in K$. Insbesondere ist $f$ beschr\"ankt. 
\end{korollar}

Es folgt also beispielsweise aus Korollar~\ref{kor:kompaktminmax} und dem vorherigen Beispiel, dass jede stetige Funktion auf der Kugeloberfl\"ache $S^2$ sein Maximum und Minimum annimmt. 

\begin{proof}
Nachdem $K$ kompakt und $f$ stetig ist, folgt aus Satz~\ref{satz:bildkompakt}, dass das Bild $f(K)\subset \R$ kompakt ist.
Aus Satz~\ref{satz:kompaktbeschrankt} folgt, dass $f(K)\subset \R$ beschr\"ankt und abgeschlossen ist.
Da $f(K)$ beschr\"ankt ist, existiert insbesondere $y_1:=\sup(f(K))$.
Nachdem $f(K)$ abgeschlossen ist, gilt $y_1\in f(K)$.
\footnote{Zur Erinnerung,
das Supremum $y_0:=\sup(f(K))\in \R$ ist durch die folgenden zwei Eigenschaften eindeutig charakterisiert:
\begin{enumerate}
\item f\"ur alle $a\in f(K)$ gilt $y_0\geq a$,
\item f\"ur alle $\epsilon>0$ gibt es ein $a\in A$, so dass $a>y_0-\epsilon$.
\end{enumerate}
Wir wollen nun zeigen, dass $y_0\in f(K)$. Nehmen wir an, dies w\"are nicht der Fall, dann ist $y_0\in \R\setminus f(K)$.
Nachdem $f(K)$ abgeschlossen ist, ist $\R\setminus f(K)$ offen, d.h.\ es existiert ein $\epsilon>0$, so dass $(y_0-\epsilon,y_0+\epsilon)$ ebenfalls in $\R\setminus f(K)$ liegt. Aber dies ist ein Widerspruch zu (2).

Alternativ kann man auch folgendes Argument verwenden: das Supremum $\sup(f(K))$ ist der Grenzwert einer Folge von Punkten in $f(K)$, nachdem $f(K)$ abgeschlossen ist, liegt auch der Grenzwert in $f(K)$.}
Es existiert also ein $x_1\in K$, so dass $f(x_1)=y_1=\inf(f(K))$. Dann gilt aber f\"ur alle $x\in K$, dass
\[ f(x_1)\,\,=\,\,\sup(f(K))\,\,\geq \,\,f(x).\]
Die Existenz von $x_0$ zeigt man ganz analog.
\end{proof}

\begin{beispiel}
Betrachten wir $X:=\{ v\in \R^2\,|\, 0<\|v\|\leq 1\}$. Dann ist $X$ beschr\"ankt aber nicht abgeschlossen.
In diesem Fall existiert eine unbeschr\"ankte  stetige Funktion auf $X$, beispielsweise 
\[ \begin{array}{rcl} f\colon X&\to &\R \\
x&\mapsto &\tmfrac{1}{\|x\|}. \end{array} \]
Betrachten wir hingegen die stetige Funktion
\[ \begin{array}{rcl} g\colon X&\to &\R \\
x&\mapsto &\|x\|, \end{array} \]
dann ist diese  zwar beschr\"ankt, aber es gibt kein $x_0\in X$, so dass $f(x_0)\leq f(x)$ f\"ur alle $x\in X$. In \"Ubungs\-blatt 3 werden wir sehen, dass es f\"ur eine nicht-kompakte Teilmenge $T\subset \R^n$ immer eine stetige Funktion $f\colon T\to \R$ gibt, welche unbeschr\"ankt ist. 
\end{beispiel}

Auf Seite~\ref{bsp:keinhomeo} hatten wir gesehen, dass eine stetige, bijektive Abbildung $f\colon X\to Y$  nicht notwendigerweise auch ein Hom\"oomorphismus ist. Der folgende Satz besagt nun, dass dies doch der Fall ist, wenn wir zudem wissen, dass $X$ kompakt ist.

\begin{satz}\label{satz:kompakthomeo}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine stetige bijektive Abbildung. Wenn $X$ kompakt ist, dann ist $f$ sogar ein Hom\"oomorphismus.
\end{satz}

\begin{proof}
Wir m\"ussen also zeigen, dass die Umkehrabbildung $g:=f^{-1}\colon Y\to X$ stetig ist.
Nach Satz~\ref{satz:defstetig} gen\"ugt es zu zeigen, dass f\"ur alle abgeschlossenen Teilmengen $A\subset X$ auch das Urbild $g^{-1}(A)$ abgeschlossen ist.

Es sei also $A\subset X$ eine abgeschlossene Menge. Nachdem $X$ kompakt ist, ist nach Satz~\ref{satz:teilmengekompakt} auch $A$ kompakt. Es folgt aus Satz~\ref{satz:bildkompakt}, dass $g^{-1}(A)=f(A)$ eine kompakte Teilmenge von $Y$ ist. Dann ist nach Satz~\ref{satz:kompaktbeschrankt} die Menge $g^{-1}(A)=f(A)$  auch eine abgeschlossene Teilmenge von $Y$.
\end{proof}


\begin{satz}\textbf{\emph{(Bolzano--Weierstra\ss)}} \label{satz:bw}
Es sei $K$ eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes $X$.  Es sei $(x_n)_{n\in \N}$
eine Folge von Punkten in $K$. Dann gibt es eine Teilfolge $(x_{n_k})_{k\in \N}$,
welche in $K$ konvergiert.
\end{satz}

\begin{proof}
Nehmen wir an, es existiert keine Teilfolge, welche in $K$ konvergiert.
Wir wollen diese Annahme zu einem Widerspruch f\"uhren.
Wir beweisen zuerst folgende Behauptung.


\begin{behauptung}
Es sei $a\in K$ beliebig. Dann existiert ein $m\in \N$, so dass $B_{\frac{1}{m}}(a)$ h\"ochstens endlich viele Folgenglieder enth\"alt.
\end{behauptung}

Nehmen wir an, dies sei nicht der Fall. Dann w\"urden zu jedem $m\in \N$ unendlich viele Folgenglieder
existieren, welche sich in $B_{\frac{1}{m}}(a)$ befinden.
Insbesondere k\"onnte man dann
\[ n_1<n_2<n_3<\dots \]
finden, so dass $x_{n_m}\in B_{\frac{1}{m}}(a)$ f\"ur alle $m\in \N$.
\footnote{In der Tat, denn nehmen wir an, dass wir schon $n_1,\dots,n_{m-1}$ gefunden haben. Nach Voraussetzung gibt es unendlich viele Folgenglieder, welche nicht in $B_{\frac{1}{m}}(a)$ liegen. Insbesondere gibt es ein $n_m>n_{m-1}$, so dass $x_{n_m}\in B_{\frac{1}{m}}(a).$}
Dann h\"atten wir aber eine Teilfolge konstruiert, welche gegen $a\in K$ konvergiert.
Wir hatten aber angenommen, dass es solche Teilfolgen nicht gibt.
Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.

Wir setzen nun $U_a:=B_{\frac{1}{m}}(a)$. Wir haben nun also f\"ur jedes $a\in K$
eine offene Menge $U_a$ mit folgenden Eigenschaften gefunden:
\begin{enumerate}
\item $U_a$ enth\"alt den Punkt $a$,
\item $U_a$ enth\"alt h\"ochstens endlich viele Folgenglieder.
\end{enumerate}
Aus (1) folgt, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{6cm} K&\subset& \bigcup\limits_{a\in K} U_a.
\intertext{Nachdem jedes $U_a$ offen ist, ist  $\{U_a\}_{a\in A}$ eine offene \"Uberdeckung von $K$.
Nachdem $K$ kompakt ist, gibt es nun aber $a_1,\dots,a_n$, so dass}
 K&\subset& U_{a_1}\cup \dots \cup U_{a_n}.\end{array} \end{align*}
Nachdem jedes $U_{a_i}$ nach (2) aber h\"ochstens endlich viele Folgenglieder enth\"alt, enth\"alt $K$ h\"ochstens
endlich viele Folgenglieder. Das kann aber nicht sein, weil $K$ alle Folgenglieder enth\"alt.
\end{proof}


Wir erhalten nun folgende Verallgemeinerung von Satz 4.20 aus Analysis~I.

\begin{korollar}
Jede beschr\"ankte Folge in $\R^n$ besitzt eine konvergente Teilfolge.
\end{korollar}

\begin{proof}
Es sei $(x_k)_{k\in \N}$ eine beschr\"ankte Folge. Es  gibt also ein $C\in \R$, so dass $\|x_k\|\leq C$ f\"ur alle $k\in \N$. Dann ist $(x_k)_{k\in \N}$ eine Folge in
\[ K\,:=\,\big\{ v\in \R^n\,\big|\, \|v\|\leq C\big\},\]
aber dies ist eine  Teilmenge von $\R^n$, welche abgeschlossen und beschr\"ankt ist, also kompakt nach dem Satz~\ref{satz:heine-borel} von Heine-Borel. 
Aus dem Satz~\ref{satz:bw} von Bolzano--Weierstrass folgt nun, dass $(x_k)_{k\in \N}$ eine konvergente Teilfolge besitzt.\footnote{Man k\"onnte das Korollar auch auf den Satz von Bolzano--Weiserstra\ss\, aus der Analysis~I zur\"uckf\"uhren. In der Tat, es sei $(x_k)$ eine beschr\"ankte Folge in $\R^n$. Dann ist auch die Folge der ersten Koordinaten $(x_{k1})$ beschr\"ankt, es gibt also nach dem Satz von Bolzano--Weierstra\ss\, eine Teilfolge, f\"ur welche die ersten Koordinaten konvergieren. Jetzt betrachten wir die zweiten Koordinaten dieser Teilfolge, und finden davon wiederum eine Teilfolge, so dass nun auch die zweiten Koordinaten konvergieren. Indem wir dieses Verfahren insgesamt $n$-Mal durchf\"uhren erhalten wir eine Teilfolge, in der alle Koordinaten konvergieren, also konvergiert nach Satz~\ref{satz:limrn} auch die Teilfolge von Punkten in $\R^n$.}
\end{proof}



%======================================================
\subsection{Gleichm\"a\ss ige Stetigkeit von Abbildungen  $(*)$ }
Dieses kurze Kapitel ist nicht Teil der Vorlesung.

Es sei  $f\colon X\to Y$ eine Abbildung zwischen metrischen R\"aumen $X$ und $Y$.
Wir hatten  definiert:
\begin{align*}\begin{array}{rcccccccccc}
 \mbox{$f$ ist stetig }& :\Longleftrightarrow&  \underset{x\in X}{\bigforall}&\underset{\epsilon>0}{\bigforall}&\underset{\delta>0}{\bigexists}
&\underset{y\in B_\delta(x)}{\bigforall}&d(f(x),f(y)) <\epsilon.
\intertext{Wir definieren nun}
\hspace{1.3cm} \mbox{$f$ ist gleichm\"a\ss ig stetig } &:\Longleftrightarrow& \underset{\epsilon>0}{\bigforall}&\underset{\delta>0}{\bigexists}
&\underset{x\in X}{\bigforall}&\underset{y\in B_\delta(x)}{\bigforall}&d(f(x),f(y)) <\epsilon.\end{array}
\end{align*}
Diese Definition von gleichm\"a\ss iger Stetigkeit verallgemeinert den Begriff der gleichm\"a\ss ig stetigen Funktionen $f\colon D\to \R$ auf einer Teilmenge $D\subset \R$.

 Satz 8.4 aus Analysis~I besagt, dass jede stetige Funktion $f\colon [a,b]\to \R$ auch gleichm\"a\ss ig stetig ist.
 Der folgende Satz ist nun eine  Verallgemeinerung:


\begin{satz} \label{satz:glmstetig}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung. Wenn $X$ kompakt ist, dann ist $f$ auch gleichm\"a\ss ig stetig.
\end{satz}

Der Satz wird in Forster: Analysis~II auf Seite 34 bewiesen.


%======================================================
\section{Kurven in $\R^n$}


%======================================================
\subsection{Definitionen und Beispiele}

Wir wenden uns in diesem Kapitel wieder deutlich `konkreteren' Objekten zu.

\begin{definition}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Eine \emph{Kurve} in $\R^n$ ist eine stetige Abbildung
\[ f=(f_1,\dots,f_n)\colon I\to \R^n,\]
wobei $I\subset \R$ ein Intervall ist.
\item Wir sagen eine  Kurve  $f\colon I\to \R$  ist \emph{$($stetig$)$ differenzierbar}, wenn die $n$ Koordinatenfunktionen
$f_i\colon I\to \R$, $i=1,\dots,n$ (stetig) differenzierbar sind.
\footnote{Zur Erinnerung, eine Funktion 
$g\colon I\to \R$ auf einem Intervall hei\ss t 
\emph{stetig differenzierbar}, wenn die Funktion auf den inneren Punkten von $I$ stetig differenzierbar ist, und wenn sich die Ableitungsfunktion auf die Randpunkte vom Intervall $I$ stetig fortsetzt. Diese Fortsetzung wird dann ebenfalls mit $g'$ bezeichnet. Beispielsweise ist die Funktion 
\[ \begin{array}{rcl} [0,1]&\to &\R \\
x&\mapsto&\sqrt{x}\end{array} \]
\emph{nicht} stetig differenzierbar, nachdem sich die Ableitungsfunktion $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ nicht stetig von $(0,1)$ auf $[0,1]$ fortsetzen l\"a\ss t.}
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die Kurve
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} \hspace{5.7cm} f\colon [0,2\pi ]&\to & \R^2, \\
t&\mapsto &(\sin(t),\cos(t))
\intertext{ist stetig differenzierbar, und die Bildmenge ist der Einheitskreis um den Ursprung. Die Kurve}
 f\colon \R&\to & \R^2, \\
t&\mapsto &(\sin(t),\cos(t))\end{array} \end{align*}
besitzt die gleiche Bildmenge. Die beiden Kurven sind aber unterschiedlich, weil sie verschiedene Definitionsbereiche besitzen. Eine Kurve in unserem Sinne ist also wirklich eine Abbildung,
und nicht nur eine `ein-dimensionale' Teilmenge von $\R^n$.
\item Es seien $r>0$ und $c\ne 0$ gegeben. Die Kurve
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R&\to &\R^3 \\
t&\mapsto &(ct,r\cos(t),r\sin(t))\end{array} \]
beschreibt eine unendliche Helix, welche in Abbildung~\ref{fig:helix} skizziert wird.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{helix.pstex_t}
\caption{} \label{fig:helix}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition}
Es sei $I$ ein offenes Intervall und 
\begin{align*}\begin{array}{rcl}
\hspace{5cm} f\colon I&\to& \R^n \\
t&\mapsto &(f_1(t),\dots,f_n(t))
\intertext{eine differenzierbare Kurve. F\"ur $t\in I$ nennen wir}
 f'(t)&:=&(f_1'(t),\dots,f_n'(t))\in \R^n\end{array} \end{align*}
den \emph{Tangentialvektor} der Kurve $f$ zum Parameterwert $t$.
\end{definition}

Anschaulich gesprochen zeigt der Tangentialvektor in die `Durchlaufrichtung' und die L\"ange des Tangentialvektors misst die `Geschwindigkeit' zum Zeitpunkt $t$. Diese Aussage wird in Abbildung~\ref{fig:tangentialvektoren} illustriert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{tangentialvektoren.pstex_t}
\caption{} \label{fig:tangentialvektoren}
\end{center}
\end{figure}

% Ende 5. Vorlesung

\begin{definition}
Es sei $f\colon I\to \R^n$ eine stetig differenzierbare Kurve.
\begin{enumerate}
\item $t\in I$ hei\ss t \emph{singul\"ar}, wenn $f'(t)=0$,
\item wenn $f$ keine singul\"aren Punkte besitzt, dann hei\ss t die Kurve $f$ \emph{regul\"ar}.
\end{enumerate}
\end{definition}


\begin{beispiel}
Die Kurve
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R &\to &\R^2\\
t&\mapsto & (t^2,t^3) \end{array} \]
hei\ss t Neilsche Parabel. Es gilt $f'(t)=(2t,3t^2)$, insbesondere ist $t=0$ der einzige singul\"are Punkt der Neilschen Parabel.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{neilscheparabel.pstex_t}
\caption{Die Neilsche Parabel.} \label{fig:neilscheparabel}
\end{center}
\end{figure}
\end{beispiel}


%======================================================
\subsection{Rektifizierbare Kurven}

\begin{definition}
Eine Kurve  $f\colon [a,b]\to \R^n$ hei\ss t \emph{Polygonzug}, wenn es
Punkte $P_0,\dots,P_k\in \R^n$ und
eine Zerlegung
\[ a=t_0<t_1<\dots <t_{k-1}<t_k=b \]
des Intervalls $[a,b]$ mit folgender Eigenschaft gibt:
F\"ur jedes $i\in \{0,\dots,k-1\}$ und jedes $t\in [t_i,t_{i+1}]$ gilt:
\[ f(t)=P_i\cdot \underset{\tiny{\begin{array}{l}=1,\,\operatorname{\textnormal{f\"ur}}\,t=t_i\\=0,\,\operatorname{\textnormal{f\"ur}}\,t=t_{i+1}\end{array}}}{\underbrace{\lmfrac{t_{i+1}-t}{t_{i+1}-t_i}}}+ P_{i+1}\cdot \underset{\tiny{\begin{array}{l}=0,\,\operatorname{\textnormal{f\"ur}}\,t=t_i\\=1,\,\operatorname{\textnormal{f\"ur}}\,t=t_{i+1}\end{array}}}{\underbrace{\lmfrac{t-t_i}{t_{i+1}-t_i}.}}\]
\end{definition}

Bildlich ausgedr\"uckt, ein Polygonzug bewegt sich f\"ur $t\in [t_i,t_{i+1}]$
mit konstanter Geschwindigkeit vom Punkt $P_i$ zum Punkt $P_{i+1}$. Ein Beispiel f\"ur einen Polygonzug in $\R^2$ ist in Abbildung~\ref{fig:polygonzug} zu sehen.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{polygonzug.pstex_t}
\caption{Ein Polygonzug.} \label{fig:polygonzug}
\end{center}
\end{figure}
Wenn $f$ ein Polygonzug wie oben ist, dann definieren wir die
\emph{L\"ange des Polygonzugs $f$} als
\[ L(f)\,:=\,\sum_{i=0}^{k-1} \|P_{i+1}-P_i\|.\]

Wenn $f\colon [a,b]\to \R^n $ eine beliebige Kurve ist, dann wollen wir auch einen L\"angenbegriff einf\"uhren. Die Idee ist zu sagen, dass $f$ eine L\"ange $L$ hat, wenn man $f$ durch Polygonz\"uge ann\"ahern kann, deren L\"ange gegen $L$ konvergiert.
Wenn man versucht diese Idee mathematisch sauber zu formulieren, muss man etwas arbeiten:

\begin{definition}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item 
Eine \emph{Zerlegung  $Z$ vom Intervall $[a,b]$}  besteht aus reellen Zahlen
\[  a=t_0<t_1<\dots <t_{k-1}<t_k=b.\]
Wir sagen die Zerlegung hat \emph{Feinheit $\delta$}, wenn $t_{i+1}-t_i<\delta$ f\"ur alle $i$.
F\"ur eine Kurve $f\colon [a,b]\to \R^n$  definieren wir
\[ L(f,Z)\,:=\,\sum_{i=0}^{k-1} \|f(t_{i+1})-f(t_{i})\|.\]
Dies ist also die L\"ange des Polygonzugs, welcher festgelegt ist durch die Punkte
$f(t_0),f(t_1),\dots,f(t_k)$.
\item
Wir sagen eine Kurve $f\colon [a,b]\to \R^n$ ist \emph{rektifizierbar},
wenn es ein $L$ gibt mit folgender Eigenschaft:
\[ 
\underset{\epsilon>0}{\bigforall}\,\underset{\delta>0}{\bigexists}\,\underset{\tiny{\begin{array}{c}\operatorname{Zerlegung\,}Z\\\operatorname{der\,Feinheit\,}\delta \end{array}}}{\bigforall}\, \left| L(f,Z) \,\,-\, L\right|\,<\,\epsilon.\]
Wenn $f$ rektifizierbar ist, dann nennen wir $L$ die \emph{L\"ange} von $f$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{rektifizierbar.pstex_t}
\caption{Approximation einer Kurve durch einen Polygonzug.} \label{fig:rektifizierbar}
\end{center}
\end{figure}

\begin{beispiel}
Es seien $P,v\in \R^n$. Wir betrachten das Geradenst\"uck 
\[ \begin{array}{rcl} f\colon [a,b]&\to &\R^n\\
t&\mapsto& P+tv.\end{array} \]
Dann gilt f\"ur jede Zerlegung $Z$ der Form $a=t_0<t_1<\dots <t_{k-1}<t_k=b$, dass
\[ L(f,Z)\,=\,\sum_{i=0}^{k-1} \Big\|\underset{\tiny{\begin{array}{c}=(P+t_{i+1}v)-(P+t_iv)\\=(t_{i+1}-t_i)v\end{array}} }{\underbrace{f(t_{i+1})\,\,-\,\,f(t_{i})}}\Big\|\,=\,
\sum_{i=0}^{k-1} (t_{i+1}-t_i)\|v\|\,=\,(b-a)\|v\|.
\]
Es folgt, dass $f$ rektifizierbar ist mit L\"ange $(b-a)\|v\|$.
\end{beispiel}

Es folgt aus dem vorherigen Beispiel und dem folgenden Satz, dass Polygonz\"uge rektifizierbar sind, und dass die beiden Definitionen von L\"angen von Polygonz\"ugen (die Definition nur f\"ur Polygonz\"uge, und dann allgemein f\"ur alle rektifizierbaren  Kurven),  das gleiche Ergebnis liefern.  


\begin{satz}\label{satz:verklebenkurven}
Es sei $f\colon [a,b]\to \R^n$ eine Kurve und es sei $a<c<b$. Wir bezeichnen mit $f_{[a,c]}$ und $f_{[c,b]}$ die Einschr\"ankungen von $f$ auf die Intervalle $[a,c]$ und $[c,b]$. Dann gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{3cm} \mbox{$f$ ist rektifizierbar}&\Longleftrightarrow& \mbox{$f_{[a,c]}$ und $f_{[c,b]}$ sind rektifizierbar}.
\intertext{Zudem, wenn die Kurven rektifizierbar sind, dann gilt}
 \mbox{L\"ange}(f)&=&\mbox{L\"ange}(f_{[a,c]})+\mbox{L\"ange}(f_{[c,b]}).
\end{array} 
\end{align*}
\end{satz}

Die `$\Leftarrow$'-Richtung ist eine \"Ubungsaufgabe in \"Ubungs\-blatt~4. Die `$\Rightarrow$'-Richtung wird \"ahnlich bewiesen und verbleibt eine freiwillige \"Ubungsaufgabe.


\begin{beispiel}
Wir werden nun sehen, dass es Kurven gibt, welche nicht rektifizierbar sind.
F\"ur reelle Zahlen $a<b$ und $y\geq 0$ sowie $m\in \N$ bezeichnen wir mit $f(a,b
|y,m)$ die Kurve, welche in Abbildung~\ref{fig:nichtrektifizierbar} links abgebildet ist. Hierbei ist
\footnote{Man sieht dies, in dem man die $4m$ Geradenst\"ucke umlegt zur Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten der L\"ange $(b-a)$ und $4my$.}
\[ \mbox{L\"ange}\Big(f(a,b|y,m)\Big)\,\,=\,\,\sqrt{(b-a)^2+(4ym)^2}\,\,\geq\,\, 4ym.\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{nichtrektifizierbar.pstex_t}
\caption{Eine nicht rektifizierbare Kurve.} \label{fig:nichtrektifizierbar}
\end{center}
\end{figure}
Wir betrachten die Kurve 
\[ \begin{array}{rcl} f\colon [0,1]&\to &\R^2 \\
t&\mapsto& \left\{ \begin{array}{rl} (0,0),\quad &\mbox{ wenn }t=0, \\
f\Big(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}|\frac{1}{2^k},2^{k}\Big),\quad& \mbox{ wenn }t\in \Big(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\Big]\mbox{ f\"ur ein }k\in \N_0,\end{array}\right.\end{array} \]
welche in Abbildung~\ref{fig:nichtrektifizierbar} auf der rechten Seite skizziert wird.
\footnote{Die Abbildung $f$ ist in der Tat auch f\"ur $t=0$ stetig.}
Wir wollen nun zeigen, dass diese Kurve nicht rektifizierbar ist.
Nehmen wir also an, die Kurve $f$ w\"are rektifizierbar mit L\"ange $L$. 
F\"ur $[a,b]\subset [0,1]$ bezeichen wir, wie oben, mit $f_{[a,b]}$ die Einschr\"ankung der Kurve $f$ auf das Intervall $[a,b]$. Es folgt aus Satz~\ref{satz:verklebenkurven}, dass die Kurve $f_{[a,b]}$ ebenfalls rektifizierbar ist, wobei  $\mbox{{L\"ange}}(f_{[a,b]})\leq \mbox{{L\"ange}}(f)=L$.
Insbesondere sind also die L\"angen der Kurven $f_{[a,b]}$ alle durch $L$ nach oben beschr\"ankt. F\"ur jedes $n$  folgt aus Satz~\ref{satz:verklebenkurven}, dass 
\[ \mbox{L\"ange}\Big(f_{[\frac{1}{2^n},1]}\Big)
\,\,=\,\,\sum\limits_{k=0}^{n-1}  \mbox{L\"ange}\Big(f_{[\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}]}\Big)
\,\,=\,\,\sum\limits_{k=0}^{n-1}\underset{\geq 4\cdot \frac{1}{2^k}\cdot 2^{k}=4}{\underbrace{\mbox{L\"ange}\bigg(f\Big(\tmfrac{1}{2^{k+1}},\tmfrac{1}{2^k}|\tmfrac{1}{2^k},2^{k}\Big)\bigg)}}
\,\,\geq\,\,4n.\]
Insbesondere sind die L\"angen nicht nach oben beschr\"ankt. Wir haben also gezeigt, dass die urspr\"ungliche Kurve $f$ nicht rektifizierbar war.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Ein weiteres Beispiel einer nicht-rektifizierbaren Kurve ist durch die Peano--Kurve gegeben:
\[ \mbox{\url{http://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Kurve}}\]
Diese Kurve ist eine stetige Abbildung $f\colon [0,1]\to  \R^2$,
so dass die Bildmenge aus dem  Quadrat $[0,1]^2$ besteht.
Die Peano--Kurve ist nicht rektifizierbar.
\end{beispiel}


Der folgende Satz zeigt, dass stetige differenzierbare Kurven rektifizierbar sind, und er erlaubt es uns deren L\"angen zu bestimmen.

\begin{satz}\label{satz:laengekurve}
Es sei $f\colon [a,b]\to \R^n$ eine stetig differenzierbare Kurve. Dann ist
$f$ rektifizierbar, und es gilt
\[ \mbox{\emph{L\"ange}}(f)\,=\,\int_a^b \|f'(t)\|\,dt.\]
\end{satz}

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Betrachten wir zuerst ein Geradenst\"uck, d.h.\ eine Kurve vom Typ
\[ \begin{array}{rcl} f\colon [a,b]&\to & \R^n \\
t&\mapsto &P+tv,\end{array} \]
wobei  $P\in \R^n$ ein Punkt ist und $v\in \R^n$ ist ein Vektor. Dann ist dies insbesondere ein Polygonzug mit den Eckpunkten $f(a)$ und $f(b)$, d.h.\ die L\"ange ist
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{3.5cm} \|f(b)-f(a)\|=\|(b-a)v\|&=&(b-a)\|v\|.
\intertext{Andererseits gilt  $f'(t)=v$, d.h.}
\bint\limits_a^b \|f'(t)\|\,dt&=&(b-a)\|v\|.\end{array} \end{align*}
Die Aussage des Satzes gilt also in diesem Fall.
\item
Wir betrachten die Kurve
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} 
 \hspace{5cm} f\colon [0,2\pi]&\to & \R^2 \\
t&\mapsto &(\cos(t),\sin(t)), \
\intertext{dann folgt aus Satz~\ref{satz:laengekurve}, dass}
 \mbox{{L\"ange}}(f)\,\,=\,\,\bint\limits_0^{2\pi} \|f'(t)\|\,dt&=&\bint\limits_0^{2\pi}\|(-\sin(t),\cos(t))\|\,dt\\[2mm]
&=&\bint\limits_0^{2\pi}\underset{=1}{\underbrace{\sqrt{(-\sin(t))^2+\cos(t)^2}}}\,dt\,\,=\,\,2\pi.\end{array} \end{align*}
Wir erhalten also das wenig \"uberraschende Ergebnis, dass die L\"ange des Kreises von Durchmesser $1$ gerade $2\pi$ betr\"agt.\footnote{Wir haben jetzt also gezeigt, dass die auf den ersten Blick eigenwillige Definition von $\pi$ aus der Analysis~I der Definition aus der Schule entspricht. Insbesondere haben wir jetzt die Definition aus der Schule `$2\pi$ ist der Umfang von einem Kreis von Radius $1$' pr\"azise gemacht, denn jetzt wissen wir, was   `L\"ange von einem Kreis' wirklich hei\ss en soll.}
\item Es seien $r>0$ und $c\ne 0$ gegeben. Wir betrachten wiederum die Helix
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} 
 \hspace{4cm} f\colon [0,2\pi]&\to &\R^3 \\
t&\mapsto &(ct,r\cos(t),r\sin(t)),
\intertext{welche wir in Abbildung~\ref{fig:helix} skizziert hatten. Es folgt aus Satz~\ref{satz:laengekurve}, dass}
 \mbox{{L\"ange}}(f)\,\,=\,\,\bint\limits_0^{2\pi} \|f'(t)\|\,dt&=&\bint\limits_0^{2\pi}\|(c,-r\sin(t),r\cos(t))\|\,dt\\[2mm]
&=&\bint\limits_0^{2\pi}\sqrt{c^2+(-r\sin(t))^2+(r \cos(t))^2}\,dt\,\,=\,\,2\pi\sqrt{c^2+ r^2}.\end{array} \end{align*}
\footnote{Wie kann man sich dieses Ergebnis anschaulich vorstellen? Stellen wir uns die Helix vor als Kurve auf einem Zylinder. Wenn wir den Zylinder entrollen, wie schaut dann die Kurve aus?}
\end{enumerate}
\end{beispiele}

F\"ur den  Beweis von Satz~\ref{satz:laengekurve} werden wir folgendes Lemma ben\"otigen.

\begin{lemma}\label{lem:abschaetzunga}
Es sei $f\colon [a,b]\to \R^n$ eine stetig differenzierbare
Abbildung. Dann gilt
\[ \underset{\epsilon>0}{\bigforall}\,\underset{\delta>0}{\bigexists}\,\underset{\tiny{\begin{array}{c}t\ne t'\operatorname{ mit }\\|t-t'|\leq \delta\end{array}}}{\bigforall}\, \Bigg\| \underset{\tiny{\begin{array}{c}\operatorname{\textnormal{f\"ur}}\,n=1\,\operatorname{ist\,dies\,die}\\ \operatorname{durchschnittliche}\\\operatorname{Steigung\,auf\,dem}\\\operatorname{Intervall}\,[t,t']\end{array}}}{\underbrace{\lmfrac{f(t)-f(t')}{t-t'}}}-f'(t)\Bigg\|\,\,<\,\,\epsilon.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir betrachten zuerst den Fall $n=1$. 
Es sei also $f\colon [a,b]\to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion und es sei $\epsilon>0$. 
Die Ableitung $f'\colon [a,b]\to \R$ ist nach Voraussetzung stetig. Nach Satz~7.5 aus der Analysis~I ist die Funktion $f'$ sogar gleichm\"a\ss ig stetig. Dies bedeutet
\[ \underset{\delta>0}{\bigexists}\,\underset{\tiny{ \begin{array}{c}s,t\operatorname{ mit}\\|t-s|\leq \delta\end{array}} }{\bigforall}\, |f'(t)-f'(s)|\,\leq\,\epsilon.\]
Es seien nun $t\ne t'\in [a,b]$ mit $|t-t'|\leq \delta$. Dann gilt
\[ \begin{array}{rcl} \Bigg|\underset{\tiny{\begin{array}{c}=f'(s)\opnormal{f\"ur}\,s\,\operatorname{zwischen}\,t\,\operatorname{und}\,t'\\
\operatorname{nach\,dem\,Mittelwertsatz}\\
\operatorname{der\,Differentialrechnung}\end{array}}}{\underbrace{\lmfrac{\,\,f(t)\,\,-\,\,f(t')\,\,}{t-t'}}}-f'(t)\Bigg|
&=&|f'(s)-f'(t)|\\[-0.5cm]
&\leq &\epsilon\hspace{1.5cm} \mbox{ da $|s-t|\leq |t-t'|\leq \delta$} \end{array}\]
Wir haben damit also die Aussage f\"ur $n=1$ bewiesen.

Wir betrachten jetzt den allgemeinen Fall. 
Es sei also $f=(f_1,\dots,f_n)\colon [a,b]\to \R^n$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Es folgt aus Lemma~\ref{lem:euklmax}, dass 
\[  \left\| \lmfrac{f(t)-f(t')}{t-t'}-f'(t)\right\|\,\,\leq\,\,
 \sqrt{n}\underset{i=1,\dots,n}{\max}\left\| \lmfrac{f_i(t)-f_i(t')}{t-t'}-f'_i(t)\right\|.\]
Wir erhalten nun die gew\"unschte Aussage in dem wir den Fall $n=1$ auf die Koordinatenfunktionen $f_1,\dots,f_n$ und $\epsilon'=\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}$ anwenden. Wir erhalten dann $\delta_1,\dots,\delta_n>0$, und $\delta:=\min\{\delta_1,\dots,\delta_n\}$ hat dann die gew\"unschte Eigenschaft.
\end{proof}

Wir k\"onnen jetzt zum eigentlichen Beweis von Satz~\ref{satz:laengekurve} \"ubergehen.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:laengekurve}]
Es sei $f\colon [a,b]\to \R^n$ eine stetig differenzierbare Kurve. Wir wollen zeigen, dass $f$ rektifizierbar ist mit L\"ange $\int_a^b \|f'(t)\|\,dt$. Es sei also $\epsilon>0$. 

Wir betrachten  erst einmal folgende Absch\"atzung f\"ur eine beliebige Zerlegung der Form $a=t_0<t_1<\dots<t_k=b$:
\[ \begin{array}{rcl} &&\left| \tmsum{i=1}{k}\|f(t_i)-f(t_{i-1})\|\,-\,\int\limits_a^b\|f'(t)\|\,dt\right|\\[2mm]
&\leq&\underset{\footnotesize{\begin{array}{rl}
=& \sum\limits_{i=1}^{k}(t_i-t_{i-1})\cdot \bigg|\bigg\|\smfrac{f(t_i)-f(t_{i-1})}{t_i-t_{i-1}}\bigg\|\,-\,\|f'(t_i)\|\bigg|\\[2mm]
\leq & \sum\limits_{i=1}^{k}(t_i-t_{i-1})\bigg\|\smfrac{f(t_i)-f(t_{i-1})}{t_i-t_{i-1}}\,-\,f'(t_i)\bigg\|\footnotemark \\[2mm]
\leq & (b-a)\,\underset{i=1,\dots,k}{\max}\,\underset{\operatorname{Ausdruck\,von\,Lemma\,}\ref{lem:abschaetzunga}}{\underbrace{\bigg\|\smfrac{f(t_i)-f(t_{i-1})}{t_i-t_{i-1}}\,-\,f'(t_i)\bigg\|}}\\
\end{array}}}{\underbrace{\left| \tmsum{i=1}{k}\|f(t_i)-f(t_{i-1})\|\,-\,\tmsum{i=1}{k}\|f'(t_i)\|(t_i-t_{i-1})\right|}}\,\,+\,\,\Bigg|\underset{\tiny{\begin{array}{c}\operatorname{Differenz\,zwischen\,einer\,Riemannsumme}\\\operatorname{und\, dem\,Riemann-Integral}\end{array}}}{\underbrace{\tmsum{i=1}{k}\|f'(t_i)\|(t_i-t_{i-1})-\tmint{a}{b}\|f'(t)\|\,dt}}\Bigg|.\end{array}\]
\footnotetext{Hier haben wir verwendet, dass f\"ur alle  $v,w$ gilt, dass $\Big| \|v\|-\|w\|\Big|\leq \|v-w\|$.}
Wir wollen jetzt also ein $\delta_1>0$ finden, so dass f\"ur jede Zerlegung der Feinheit $\delta_1$, der erste  Summand kleiner als $\frac{\epsilon}{2}$ ist, und ganz analog wollen wir  ein $\delta_2>0$ finden, so dass f\"ur jede Zerlegung der Feinheit $\delta_2$, der zweite Summand kleiner gleich $\frac{\epsilon}{2}$ ist. Dann hat $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ die gew\"unschte Eigenschaft.



Wir beginnen mit dem ersten Summanden.
Nach Lemma~\ref{lem:abschaetzunga} existiert ein $\delta_1>0$ so dass 
f\"ur alle $t,t'$ in $[a,b]$ mit $|t-t'|\leq \delta_1$ gilt, dass 
\[ \left\|\smfrac{f(t)-f(t')}{t-t'}-f'(t)\right\|\,\,<\,\,\lmfrac{\epsilon}{2(b-a)}.\]
Dann gilt f\"ur jede Zerlegung $a=t_0<t_1<\dots<t_k=b$ der Feinheit $\delta_1$, dass
\[ \mbox{erster Summand}\,\,\leq \,\,(b-a)\,\underset{i=1,\dots,k}{\max}\,
 \underset{<\tmfrac{\epsilon}{2(b-a)}}{\underbrace{\bigg\|\smfrac{f(t_i)-f(t_{i-1})}{t_i-t_{i-1}}\,-\,f'(t_i)\bigg\|}}\,\,<\,\,\lmfrac{\epsilon}{2}
\]
Wir wenden uns dem zweiten Summanden in der obigen Absch\"atzung zu.
Die Funktion $t\mapsto \|f'(t)\|$ ist stetig\footnote{Nach Voraussetzung ist die Abbildung $t\mapsto f'(t)$ stetig, aber die Abbildung $v\mapsto \|v\|=\sqrt{v_1^2+\dots+v_n^2}$ ist ebenfalls stetig. Also ist nach Satz~\ref{satz:verknupfungstetig} auch die Funktion $t\mapsto \|f'(t)\|$ stetig.}. Nach Satz~7.5 aus der Analysis~I ist die Funktion auch gleichm\"a\ss ig stetig. Insbesondere gilt
\[ \underset{\delta_2>0}{\bigexists}\,\underset{\tiny{\begin{array}{c} s,t\operatorname{ mit}\\|t-s|\leq \delta_2 \end{array} }}{\bigforall}\, \Big|\|f'(t)\|-\|f'(s)\|\Big|\,\leq\,\frac{\epsilon}{2|b-a|}.\]
Der Beweis von Satz~13.9 aus der Analysis~I\footnote{Dieser Satz besagt, dass jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ integrierbar ist.} zeigt nun, dass f\"ur jede  Zerlegung der Form $a=t_0<t_1<\dots<t_k=b$ der Feinheit $\delta_2$ gilt
\[ \mbox{zweiter Summand}\,\,\leq \,\,\lmfrac{\epsilon}{2}.\]
Wir haben also gezeigt, dass $\delta_2$ die gew\"unschte Eigenschaft besitzt.
\end{proof}

% Ende 6. Vorlesung




%======================================================
\subsection{Parametertransformationen $(*)$}
Dieses kurze und leichte Kapitel ist nicht offizieller Teil der Vorlesung. 

Es sei $f\colon [a,b]\to \R^n$ eine Kurve und $\varphi\colon  [c,d]\to [a,b]$
eine stetige bijektive Abbildung. Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} f\circ \varphi\colon [c,d]&\to & \R^n \\
t&\mapsto &f(\varphi(t)) \end{array} \]
ebenfalls eine Kurve, welche genau die gleichen Punkte annimmt wie $f$.
Wir sagen, diese Kurve  geht aus der Kurve $f$ durch \emph{Parametertransformation $\varphi$} hervor.

\begin{lemma}
Es sei $f\colon [a,b]\to \R^n$ eine stetig differenzierbare Kurve ist und es sei zudem $\varphi\colon  [c,d]\to [a,b]$
eine stetig differenzierbare, bijektive Funktion. Dann gilt
\[ \mbox{\emph{L\"ange}}(f)\,=\,\mbox{\emph{L\"ange}}(f\circ \varphi).\]
\end{lemma}

Etwas vereinfacht gesagt besagt das Lemma, dass sich die L\"ange einer Kurve nicht ver\"andert, wenn man die Bildpunkte mit einer anderen Geschwindigkeit `durchf\"ahrt'. 

\begin{proof}
Nachdem $\varphi$ stetig und bijektiv ist, folgt, dass entweder $\varphi$ streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. Wir betrachten zuerst den Fall, dass $\varphi$ streng monoton steigend ist,
d.h.\ es ist $\varphi'(s)\geq 0$ f\"ur alle $s\in (c,d)$. Insbesondere ist $\varphi(c)=a$ und $\varphi(d)=b$.
Dann gilt
\[ \begin{array}{rcll} \mbox{{L\"ange}}(f\circ \varphi)&=&\int\limits_c^d \|(f\circ \varphi)'(s)\|\,ds&\mbox{nach Satz \ref{satz:laengekurve}}\\[2mm]
&=&\int\limits_c^d \|f'(\varphi(s))\cdot \varphi'(s)\| \, ds\hspace{1cm}&\mbox{Kettenregel koordinatenweise angewandt}\\[2mm]
&=&\int\limits_c^d \|f'(\varphi(s))\|\cdot \varphi'(s) \, ds&\mbox{nachdem $\varphi'(s)\geq 0$}\\[2mm]
&=&\int\limits_{\varphi(c)}^{\varphi(d)} \|f'(u)\| \, du&\mbox{nach der Substitutionsregel mit $u=\varphi(s)$}\\[2mm]
&=&\int\limits_{a}^{b} \|f'(u)\| \, du\,\,=\,\,\mbox{{L\"ange}}(f).\end{array} \]

Jetzt betrachten wir den Fall, dass $\varphi$ streng monoton fallend ist. Es  folgt, dass $\varphi'(s)\leq 0$ f\"ur alle $s$.
Zudem ist $\varphi(c)=b$ und $\varphi(d)=a$.
 Wir wenden das obige Argument noch einmal an, allerdings mit zwei kleinen Modifikationen:
\[ \begin{array}{rcll} \hspace{-0.2cm}\mbox{{L\"ange}}(f\circ \varphi)&=&\int\limits_c^d \|(f\circ \varphi)'(s)\|\,ds&\mbox{nach Satz \ref{satz:laengekurve}}\\[2mm]
&=&\int\limits_c^d \|f'(\varphi(s))\cdot \varphi'(s)\| \, ds&\mbox{Kettenregel koordinatenweise angewandt}\\[2mm]
&=&\int\limits_c^d \|f'(\varphi(s))\|\cdot |\varphi'(s)| \, ds\\[2mm]
&=&\int\limits_c^d \|f'(\varphi(s))\|\cdot (-\varphi'(s)) \, ds&\mbox{nachdem $\varphi'(s)\leq 0$}\\[2mm]
&=&-\int\limits_{\varphi(c)}^{\varphi(d)} \|f'(u)\| \, du&\mbox{nach der Substitutionsregel mit $u=\varphi(s)$}\\[2mm]
&=&-\int\limits_{b}^{a} \|f'(u)\| \, du&\mbox{da $\varphi(c)=b$ und $\varphi(d)=a$}\\[2mm]
&=&\int\limits_{a}^{b} \|f'(u)\| \, du&\mbox{da allgemein  $\int\limits_b^ag(u)\,du=-\int\limits_a^b g(u)\,du$}\\[2mm]
&=& \mbox{{L\"ange}}(f).\end{array} \]
\end{proof}

\begin{bemerkung}
Man kann das Lemma  auch direkt \"uber die Definition von der L\"ange einer Kurve zeigen.
In der Tat, sei $L$ die L\"ange von $f$ und es sei $\epsilon>0$ gegeben.
Es sei $\delta>0$ so gew\"ahlt wie in der Definition von der L\"ange von $f$.
Wir setzen
\[ C:=\sup\big\{|\varphi'(t)|\,\,\big|\,\,t\in [a,b]\big\}.\]
Dann kann man leicht sehen, dass f\"ur das gleiche vorgegebene $L$ und $\epsilon>0$ jetzt  $\delta':=\frac{1}{C}\delta$
die gew\"unschte Eigenschaft f\"ur $f\circ \varphi$ besitzt.
\end{bemerkung}


%======================================================
\section{Partielle Ableitungen}

Im Folgenden bezeichnen wir f\"ur $i\in \{1,\dots,n\}$ mit
\[ \begin{array}{c}e_i\,:=\,(0,\dots,0,1,0,\dots,0)\, \in\, \R^n\\
\begin{array}{c}\uparrow\\\mbox{$i$--te Koordinate}\end{array}\end{array}\]
den $i$--ten Einheitsvektor.
Die Vektoren $e_1,\dots,e_n$ werden oft die \emph{Standardbasis} oder auch die \emph{kanonische Basis} des Vektorraums $\R^n$ genannt.


\begin{definition}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine Funktion.
\begin{enumerate}
\item
Es sei $x\in U$. Wenn der Grenzwert
\footnote{Nachdem $U$ offen ist, existiert ein $\epsilon>0$, so dass $x+he_i\in U$ f\"ur alle $h\in (-\epsilon,\epsilon)$. Wir bestimmen hier dann den Grenzwert der Funktion
\[ \begin{array}{rcl} (-\epsilon,\epsilon)\setminus \{0\}&\to & \R \\
h&\mapsto & \frac{f(x+he_i)-f(x)}{h},\end{array} \]
d.h.\ wir bestimmen den Grenzwert einer reellwertigen Funktion in einer Variablen, diesen hatten  wir schon in Analysis~I definiert.}
\footnote{Das Symbol $\partial$ wird als `Del' ausgesprochen. Es ist kein griechischer Buchstabe, und insbesondere nicht mit dem griechischen Delta $\delta$ zu verwechseln. In Latex wird es als \textbackslash partial geschrieben.}
\[ \lmfrac{\partial}{\partial x_i}f(x)\,:=\,\lim_{h\to 0}\lmfrac{f(x+he_i)-f(x)}{h} \]
existiert, dann hei\ss t \emph{$f$ partiell am Punkt $x$ in der $i$--ten Koordinate differenzierbar}
und wir nennen $\frac{\partial}{\partial x_i}f(x)$ die \emph{$i$--te partielle Ableitung von $f$ am Punkt $x$}.
\item Wir sagen \emph{$f$ ist in $x$ partiell differenzierbar}, wenn $f$ in allen Koordinaten partiell differenzierbar ist.
\item
Die Funktion $f\colon U\to \R$ hei\ss t \emph{partiell differenzierbar}, wenn $f$ in allen Punkten $x\in U$ partiell differenzierbar ist. 
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bemerkung}
Sei nun $(x_1,\dots,x_n)\in U$ ein fest gew\"ahlter Punkt.
Dann ist
\[ \lmfrac{\partial}{\partial x_i}f(x_1,\dots,x_n)\,=\,\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1,\dots,x_i+h,\dots,x_n)-f(x_1,\dots,x_i,\dots x_n)}{h}\]
nichts anderes als die Ableitung der Funktion
\[ x_i\mapsto f(x_1,\dots,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\dots,x_n)\]
nach der Variable $x_i$, wir betrachten dabei die anderen Symbole
 $x_1,\dots,x_{i-1}$ und $x_{i+1},\dots,x_n$ als Konstanten.
Wir k\"onnen deswegen partielle Ableitungen  wie gew\"ohnliche Ableitungen von Funktionen einer Variablen bestimmen.
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item F\"ur die Funktion $f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2x_2+x_2^5+\sin(x_1x_3)$ gilt
\[ \begin{array}{rcl}
\hspace{2.85cm}\smfrac{\partial}{\partial x_1}f&=& 6x_1x_2+x_3\cos(x_1x_3), \\[2mm]
 \smfrac{\partial}{\partial x_2}f&=&3x_1^2+5x_2^4,\\[2mm]
  \smfrac{\partial}{\partial x_3}f&=&x_1\cos(x_1x_3).\end{array} \]
Wir bilden also ganz normal die Ableitungen bez\"uglich der vorgegebenen Variable, alle anderen Variablen sind Konstanten.
\item F\"ur Funktionen $\R^2\to \R$ verwendet man oft auch $x$ und $y$ anstatt $x_1$ und $x_2$.
Beispielsweise gilt
\[ \begin{array}{rcl} \lmfrac{\partial}{\partial y}e^{x^2+y^2}&=&2ye^{x^2+y^2}.\end{array}\]
\end{enumerate}
\end{beispiel}

Wir hatten oben festgestellt,  dass partielle Ableitungen nichts anderes sind, als gew\"ohn\-liche Ableitungen
von Funktionen einer Variablen. Insbesondere  erhalten wir  die \"ublichen  Rechenregeln. Genauer gesagt, es sei $U\subset \R^n$ offen und es seien $f,g\colon U\to \R$ zwei partiell differenzierbare Funktionen, dann gilt f\"ur alle $i$
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}  
\hspace{3cm}\smfrac{\partial}{\partial x_i}(f+g)&=&  \smfrac{\partial}{\partial x_i}f+ \smfrac{\partial}{\partial x_i}g &\mbox{(Summenregel)}\\[2mm]
 \smfrac{\partial}{\partial x_i}(f\cdot g)&=&  f\cdot \smfrac{\partial}{\partial x_i}g+
 \smfrac{\partial}{\partial x_i}f \,\cdot g&\mbox{(Produktregel)}.
\intertext{Zudem, wenn $g(x)\ne 0$ f\"ur alle $x\in U$, dann ist}
  \smfrac{\partial}{\partial x_i}\bigg(\lmfrac{f}{g}\bigg)&=& \smfrac{ g\cdot \tmfrac{\partial}{\partial x_i}f-
 \tmfrac{\partial}{\partial x_i}g \,\cdot f}{g^2}
 &\mbox{(Quotientenregel)}. \end{array}
\end{align*}



\begin{definition}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine partiell differenzierbare Funktion.
\begin{enumerate}
\item Wir sagen, $f$ ist \emph{stetig partiell differenzierbar}, wenn  alle partiellen Ableitungen existieren und zudem stetig sind.\footnote{Die partiellen Ableitungen sind wiederum Funktionen $\frac{\partial}{\partial x_i}f\colon U\to \R$, welche wir also auch auf Stetigkeit \"uberpr\"ufen k\"onnen.}
\item
Wenn die partiellen Ableitungen $\frac{\partial}{\partial x_i}f\colon U\to \R, i=1,\dots,n$ wieder partiell differenzierbar sind, dann
hei\ss t $f$ \emph{zweimal partiell differenzierbar}. Analog definieren wir \emph{$k$-mal partiell differenzierbar}.
\item Wir sagen $f$ ist \emph{$k$--mal stetig partiell differenzierbar}, wenn die Funktion $f$ $k$--mal partiell differenzierbar ist, und alle partiellen Ableitungen
    \[ \smfrac{\partial}{\partial x_{i_1}}\dots \smfrac{\partial}{\partial x_{i_l}}f\colon U\to \R \]
   von Grad $l\leq k$ stetig sind.
\end{enumerate}
\end{definition}

Betrachten wir die Funktion $f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2x_2+x_2^5+\sin(x_1x_3)$. In diesem Fall gilt beispielsweise, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rclcl}  
\hspace{1cm}\smfrac{\partial}{\partial x_3} \smfrac{\partial}{\partial x_1}f&=& \smfrac{\partial}{\partial x_3}\Big( 6x_1x_2+x_3\cos(x_1x_3)\Big)
&=&1\cdot  \cos(x_1x_3)-x_3\cdot x_1\sin(x_1x_3),
\intertext{und }
\smfrac{\partial}{\partial x_1} \smfrac{\partial}{\partial x_3}f&=& \smfrac{\partial}{\partial x_1}(x_1\cos(x_1x_3))
&=& 1\cdot \cos(x_1x_3)-x_1\cdot x_3\sin(x_1x_3).\end{array} \end{align*}
Wir sehen also, dass
\[  \lmfrac{\partial}{\partial x_3} \lmfrac{\partial}{\partial x_1}f\,\,=\,\, \lmfrac{\partial}{\partial x_1} \lmfrac{\partial}{\partial x_3}f.\]
In diesem Beispiel erhalten wir also  die gleichen zweifachen partiellen Ableitungen, egal, in welcher Reihenfolge wir die Ableitungen durchf\"uhren.

Der n\"achste Satz besagt, dass dies kein Zufall ist, sondern dass diese Aussage allgemein f\"ur zweimal stetig partiell differenzierbare Funktionen Funktionen gilt.

\begin{satz}\label{satz:xyyx}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion.
Dann gilt f\"ur alle $p\in U$ und $i,j\in \{1,\dots,n\}$, dass
\[ \lmfrac{\partial}{\partial x_{i}}\,\,\lmfrac{\partial}{\partial x_{j}}f(p)\,\,=\,\,
 \lmfrac{\partial}{\partial x_{j}}\,\,\lmfrac{\partial}{\partial x_{i}}f(p).\]
\end{satz}

Im \"Ubungs\-blatt 4 werden wir sehen, dass die Aussage im Allgemeinen nicht f\"ur Funktionen gilt,
welche zwar zweimal partiell differenzierbar sind, aber nicht zweimal stetig partiell differenzierbar sind.

Im Beweis von Satz~\ref{satz:xyyx} werden wir folgendes Lemma verwenden.

\begin{lemma}\label{lem:same00}
Es seien $F,G\colon\R^2\to \R$ zwei stetige Funktionen.
Wir nehmen an,  f\"ur alle $a>0$ und $b>0$, existieren $(\xi,\eta),(\tilde{\xi},\tilde{\eta})$ in $[0,a]\times [0,b]\subset \R^2$, so dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{6cm} A(\xi,\eta)&=&B(\tilde{\xi},\tilde{\eta}).
\intertext{Dann gilt}
A(0,0)&=&B(0,0).\end{array} \end{align*}
\end{lemma}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{same00.pstex_t}
\caption{Skizze zu Lemma~\ref{lem:same00}.} \label{fig:same00}
\end{center}
\end{figure}


\begin{proof}
Es gen\"ugt zu zeigen, dass f\"ur alle $\kappa>0$ gilt: $|F(0,0)-G(0,0)|< \kappa$. Es sei also $\kappa>0$. Nachdem $F$ und $G$ stetig sind, gibt es ein $\delta>0$, so dass f\"ur alle $(a,b)\in \R^2$ mit $\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ gilt, dass $|F(0,0)-F(a,b)|<\frac{\kappa}{2}$ und   $|G(0,0)-G(a,b)|<\frac{\kappa}{2}$.

Wir w\"ahlen nun $a>0$ und $b>0$, so dass $\sqrt{a^2+b^2}<\delta$. Nach Voraussetzung gibt es 
 $\xi,\tilde{\xi} \in [0,a]$ und $\eta,\tilde{\eta}\in [0,b]$, so dass
$F(\xi,\eta)=G(\tilde{\xi},\tilde{\eta})$.
Dann gilt 
\begin{align*}\begin{array}{rcll} 
\hspace{1.2cm} |F(0,0)-G(0,0)|
&= &|F(0,0)-F(\xi,\eta)+G(\tilde{\xi},\tilde{\eta})-G(0,0)|\\[2mm]
&\leq &|F(0,0)-F(\xi,\eta)|+|G(0,0)-G(\tilde{\xi},\tilde{\eta})|\,\,=\,\,(*)
\intertext{Nachdem $\sqrt{\xi^2+\eta^2}\leq \sqrt{a^2+b^2}<\delta$
und $\sqrt{\tilde{\xi}^2+\tilde{\eta}^2}\leq \sqrt{a^2+b^2}<\delta$ folgt, dass}
(*)&< &\smfrac{\kappa}{2}+\smfrac{\kappa}{2}\,\,=\,\,\kappa.\end{array}\end{align*}
\end{proof}


Wir werden auch den Mittelwertsatz der Differentialrechnung aus der Analysis~I verwenden.
Dieser kann wie folgt formuliert werden.

\begin{theorem}\textbf{\emph{(Mittelwertsatz der Differentialrechnung)}}\label{mittelwertsatz}
Es sei $h(s)$  eine differenzierbare Funktion auf $\R$ und $c>0$.
 Dann gibt es eine reelle Zahl $\nu\in (0,c)$, so dass
\[ h'(\nu)\,=\,\lmfrac{1}{c}(h(c)-h(0)).\]
\end{theorem}

Wir wenden uns nun dem Beweis von Satz \ref{satz:xyyx} zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz \ref{satz:xyyx}]
Um die Notation etwas zu vereinfachen betrachten wir nur den Spezialfall, dass  $U=\R^2$, $i=1$, $j=2$ und $p=(0,0)$. Der allgemeine Fall wird ganz analog bewiesen.

Es sei also $f\colon \R^2\to \R$ eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion. Wir wollen mithilfe von Lemma~\ref{lem:same00} zeigen, dass
\[\lmfrac{\partial}{\partial x}\,\,\lmfrac{\partial}{\partial y}f(0,0)\,\,=\,\,
 \lmfrac{\partial}{\partial y}\,\,\lmfrac{\partial}{\partial x}f(0,0).\]


\begin{behauptung}
Es seien $a>0$ und $b>0$, dann existieren $\xi\in (0,a)$ und $\eta\in (0,b)$, so dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 \hspace{3cm} \lmfrac{\partial}{\partial y}\,\,\lmfrac{\partial}{\partial x}f(\xi,\eta)&=&\lmfrac{1}{ab}\Big(f(a,b)-f(a,0)-f(0,b)+f(0,0)\Big).
\intertext{und es existieren $\tilde{\xi}\in (0,a)$ und $\tilde{\eta}\in (0,b)$}
  \lmfrac{\partial}{\partial x}\,\,\lmfrac{\partial}{\partial y}f(\tilde{\xi},\tilde{\eta})&=&\lmfrac{1}{ab}\Big(f(a,b)-f(a,0)-f(0,b)+f(0,0)\Big).\end{array} \end{align*}
\end{behauptung}


Die Behauptung impliziert also insbesondere folgende Aussage:  f\"ur beliebige $a>0$ und $b>0$,  existieren $\xi\in (0,a)$ und $\eta\in (0,b)$ sowie $\tilde{\xi}\in (0,a)$ und $\tilde{\eta}\in (0,b)$, so dass
\[ \lmfrac{\partial}{\partial y}\,\,\lmfrac{\partial}{\partial x}f(\xi,\eta)=\lmfrac{\partial}{\partial x}\,\,\lmfrac{\partial}{\partial y}f(\tilde{\xi},\tilde{\eta}).\]
Nach Voraussetzung ist $f$ zweimal stetig partiell differenzierbar, d.h.\ die Funktionen
\[ \lmfrac{\partial}{\partial y}\,\,\lmfrac{\partial}{\partial x}f \mbox{ und }\lmfrac{\partial}{\partial x}\,\,\lmfrac{\partial}{\partial y}f\]
sind stetig. Der Satz folgt nun also aus der Behauptung und aus Lemma~\ref{lem:same00}.

Wir wenden uns nun dem Beweis der Behauptung zu.
Die Idee f\"ur den Beweis ist, dass wir den Mittelwertsatz der Differentialrechnung zweimal geschickt auf die rechte Seite der Behauptung anwenden wollen, n\"amlich einmal auf eine `Funktion in der $x$-Variable' und dann auf eine `Funktion in der $y$-Variable'. Genauer gesagt, es ist
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} &&\tmfrac{1}{ab}\left( f(a,b)-f(a,0)-f(0,b)+f(0,0)\right)\\[2mm]
&=& \tmfrac{1}{b}\tmfrac{1}{a}(h(a)-h(0))&\mbox{wobei }h(x):=f(x,b)-f(x,0)\\[2mm]
&=& \tmfrac{1}{b}\underset{\footnotesize{\begin{array}{c}=h'(\xi)\opnormal{ f\"ur ein }\xi\in (0,a)\\\opnormal{nach dem Mittelwertsatz,}\\\opnormal{angewandt auf $h(x)$ und $c=a$}\end{array}}}{\underbrace{\tmfrac{1}{a}\,\Big(\,h(a)\,\,-\,\,h(0)\,\Big)}}&\\
&=& \tmfrac{1}{b} h'(\xi) \\[2mm]
&=&\tmfrac{1}{b}\left(   \smfrac{\partial}{\partial x}f(\xi,b)-\smfrac{\partial}{\partial x}f(\xi,0)\right)&\mbox{nachdem }h(x)=f(x,y)-f(x,0) \\[2mm]
&=&\tmfrac{1}{b}\left(   h(b)-h(0)\right)&\mbox{wobei nun }h(y)=\smfrac{\partial}{\partial x}f(\xi,y) \\[2mm]
&=&\underset{\footnotesize{\begin{array}{c}=
h'(\eta)\opnormal{ f\"ur ein }\eta\in (0,b),\\\opnormal{nach dem Mittelwertsatz,}\\\opnormal{angewandt auf\,$h(y)$\,und\,$c=b$}\end{array}}}{\underbrace{\tmfrac{1}{b}\,\Big(\,   h(b)\,\,-\,\,h(0)\,\Big))}}& \\[2mm]
&=&h'(\eta)\\[1mm]
&=&\frac{\partial}{\partial_y}\frac{
\partial}{\partial x}f(\xi,\eta)&\mbox{nachdem nun }h(y)=\smfrac{\partial}{\partial x}f(\xi,y).
\end{array}
\end{align*}
Wir haben damit also die erste Behauptung bewiesen.
Wenn man die Rollen von $x$ und $y$ im obigen Beweis vertauscht
(d.h.\ wir betrachten zuerst $G_x(t):=f(x,t)-f(0,t)$ etc.) dann erhalten wir den Beweis f\"ur die zweite Behauptung.


\end{proof}

Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine $k$--mal partiell differenzierbare Funktion.
Es seien $i,j\in \{1,\dots,n\}$, dann schreiben wir
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
\hspace{0cm}\lmfrac{\partial^2}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}f&=&
\lmfrac{\partial}{\partial x_{i}}\,\,\lmfrac{\partial}{\partial x_{j}}f\\[2mm]
\lmfrac{\partial^2}{\partial x_{i}^2}f&=&
\lmfrac{\partial}{\partial x_{i}}\,\,\lmfrac{\partial}{\partial x_{i}}f.
\end{array} \end{align*}
Wir verwenden zudem die ganz analogen Notationen f\"ur die h\"oheren partiellen Ableitungen.

Der folgende Satz besagt nun, dass es bei $k$--mal stetig partiell differenzierbaren Funktionen v\"ollig egal ist, 
stetig, in welcher Reihenfolge wir die ersten $k$ partiellen Ableitungen bilden.

\begin{satz}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine $k$--mal stetig partiell differenzierbare Funktion.
Es seien $i_1,\dots,i_k\in \{1,\dots,n\}$ und es sei $\sigma\in S_k$ eine Permutation\footnote{Zur Erinnerung, $S_k$ bezeichnet die $k$-te Permutationsgruppe, d.h.\ die Gruppe aller bijektiven Abbildungen $\{1,\dots,k\}\to \{1,\dots,k\}$.}. Dann gilt 
\[ \lmfrac{\partial^k}{\partial x_{i_{\sigma(1)}}\,\partial x_{i_{\sigma(2)}}\dots  \partial x_{i_{\sigma(k)}}}f
\,\,=\,\, \lmfrac{\partial^k}{\partial x_{i_1}\,\partial x_{i_2}\dots  \partial x_{i_k}}f.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Es folgt aus  Satz~\ref{satz:xyyx}, dass man je zwei nebeneinanderstehende partielle Ableitungen vertauschen kann. Der Satz folgt nun aus der Tatsache, welche ,n der Linearen Algebra bewiesen wurde, dass jedes Element in der Permutationsgruppe ein Produkt von Transpositionen ist. 
\end{proof}

%======================================================
\section{Differenzierbarkeit}


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\subsection{Grenzwerte von Abbildungen}
Es sei $V\subset \R^n$ offen und es
sei \[ \begin{array}{rcl} g\colon V&\to & \R^m \\  v&\mapsto &g(v) \end{array} \]
eine Abbildung. Zudem sei $v_0\in \R^n$. Wir  definieren, wie in Analysis~I:
\begin{align*}
\begin{array}{rrl} 
\hspace{3.5cm} \underset{v\to v_0}{\lim} g(v)=w & :\Longleftrightarrow& \,\,\underset{\epsilon>0}{\bigforall}\,\,\underset{\delta>0}{\bigexists}\,\,\underset{v\ne v_0\in
B_\delta(v_0)\cap V}{\bigforall}\|g(v)-w\|<\epsilon.
\intertext{Wenn $v_0\in V$, dann folgt sofort aus den Definitionen, dass}
 \mbox{$g$ stetig im Punkt $v_0$ } &\Longleftrightarrow&  \underset{v\to v_0}{\lim} g(v)=g(v_0).\end{array} \end{align*}


%======================================================
\subsection{Das Landau--Symbol $o$}
Wir f\"uhren jetzt das Landau--Symbole  $o$ ein. Diese Schreibweise wird im weiteren Verlauf der Vorlesung die Notation bei mehreren Gelegenheiten deutlich vereinfachen.

\begin{definition}
Es sei $U\subset \R^n$  eine offene Umgebung von $0$ und  es seien $f,g\colon U\to \R$ Funktionen.
Wir definieren\footnote{Gesprochen wird das wie folgt: `$f(x)$ ist klein-O von $g(x)$'.}
\[ f(x)\,=\,o(g(x)) 
\quad \Longleftrightarrow \quad
\underset{\epsilon>0}{\bigforall}\,\underset{\delta>0}{\bigexists}\, \underset{x\in B_\delta(0)\cap U}{\bigforall}\, |f(x)|\leq \epsilon |g(x)|.\]
F\"ur Funktionen  $f,g,h\colon U\to \R$  schreiben wir auch
\[ f(x)\,=\,g(x)+o(h(x)),\mbox{ wenn } f(x)-g(x)\,=\,o(h(x)).\]
\end{definition}

Sehr vereinfacht gilt $f(x)\,=\,o(g(x))$, wenn $|f(x)|$ beliebig viel kleiner als $|g(x)|$ ist in kleinen Umgebungen vom Ursprung.

\begin{beispiel}
Auf $U=\R$ gilt beispielsweise, dass
\[ x^3\,=\,o(x^2),\]
denn f\"ur jedes $\epsilon>0$ setzen wir $\delta=\epsilon$, und dann gilt f\"ur $x\in (-\delta,\delta)$, dass
\[ |x^3|\,\,=\,\,|x^2|\cdot |x|\,\,<\,\,|x^2|\cdot \delta\,\,=\,\,|x^2|\cdot \epsilon.\]
\end{beispiel}

In \"Ubungs\-blatt 4 werden wir folgendes Lemma beweisen:

\begin{lemma}\label{lem:kleino}
Es sei $U\subset \R^n$ eine offene Umgebung von $0$ und  es seien $f,g\colon U\to \R$ Funktionen, so dass $f(0)=0$ und so dass $g(x)\ne 0$ f\"ur alle $x\in U$. Dann gilt:
\[ \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=0\quad\Longleftrightarrow \quad f(x)\,=\,o(g(x)).\]
\end{lemma}



% Ende 7. Vorlesung


%======================================================
\subsection{Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen}
Wir f\"uhren  nun den Begriff der differenzierbaren Abbildung ein.

\begin{definition}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R^m$ eine Abbildung. Es sei $x_0\in U$.
Wir sagen \emph{$f$ ist im Punkt $x_0$ differenzierbar}\footnote{In der Literatur wird dies manchmal auch als  \emph{total differenzierbar} bezeichnet.},
wenn es eine $m\times n$--Matrix $A$ gibt, so dass
\footnote{Nachdem $U$ offen ist, gibt es ein $\epsilon>0$, so dass $B_\epsilon(x_0)\subset U$. Wir betrachten dann also den Grenzwert der Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} B_\epsilon(0)\setminus \{0\} &\to &\R^n \\
v&\mapsto & \frac{f(x_0+v)-f(x_0)-Av}{\|v\|}\end{array} \]
am Punkt $v_0=0$.}
\[ \lim_{v\to 0} \frac{f(x_0+v)-f(x_0)-Av}{\|v\|}\, =\,0.\]
Wir nennen dann die Matrix $A$ das \emph{Differential $Df(x_0)$ von $f$ am Punkt $x_0$.}
\footnote{Das Differential wird manchmal auch \emph{Funktional--Matrix} oder
\emph{Jacobi--Matrix} genannt.}
Wir sagen \emph{$f$ ist differenzierbar}, wenn $f$ in allen Punkten des Definitionsbereichs differenzierbar ist.
\end{definition}

\begin{bemerkung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Wenn $m=n=1$, dann erhalten wir die gleiche Definition von Differenzierbarkeit wie in Analysis~I. In diesem Fall ist dann
$A$ die $1\times 1$--Matrix, welche durch $f'(x)$ gegeben ist.
\footnote{Genauer gesagt, wenn $f\colon (a,b)\to \R$ eine Funktion ist, dann hatten wir in Analysis~I definiert, dass $f$ im Punkt $x$ differenzierbar hei\ss t, wenn der
Grenzwert
\begin{align*}
\begin{array}{rrl} f'(x)&:=&\underset{h\to 0}{\lim} \tmfrac{f(x+h)-f(x)}{h} 
\intertext{existiert. Wenn nun also $f$ diese Definition aus Analysis~I erf\"ullt, dann gilt auch, dass}
\hspace{2cm} \underset{h\to 0}{\lim}\tmfrac{f(x+h)-f(x)-f'(x)\cdot h}{h}&=&\underset{h\to 0}{\lim} \bigg(\tmfrac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'(x)\bigg)\\
&=&\underset{h\to 0}{\lim}\tmfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\,\,-f'(x)\,\,=\,\,f'(x)-f'(x)\,\,=\,\,0,\end{array} \end{align*}
d.h.\ $f$ erf\"ullt die obige Definition der Differenzierbarkeit, wenn wir $A=(f'(x))$ setzen. Umgekehrt kann man leicht zeigen, dass wenn $f$ differenzierbar im Sinne der obigen Definition ist mit Differential $A=(a)$, dann ist $f$ auch differenzierbar im Sinne von Analysis~I mit Ableitung $a$.}
\item Es sei $B$ eine $m\times n$--Matrix es sei $C\in \R^m$. Wir  nennen 
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R^n&\to &\R^m \\
x&\mapsto &Bx+C \end{array} \]
eine \emph{affine Abbildung}.\footnote{Die Abbildung ist eine lineare Abbildung genau dann, wenn $C=0$.} Diese affine Abbildung ist an jedem Punkt  differenzierbar mit Differential $B$. In der Tat, denn f\"ur jedes $x\in \R^n$ gilt
\[ \begin{array}{rcl} \underset{v\to 0}{\lim} \smfrac{f(x+v)-f(x)-Bv}{\|v\|}&=&\underset{v\to 0}{\lim} \smfrac{(B(x+v)+C)-(Bx+C)-Bv}{\|v\|}\\[2mm]
&=&\underset{v\to 0}{\lim}\smfrac{(Bx+Bv+C)-(Bx+C)-Bv}{\|v\|}\\[2mm]
&=&\underset{v\to 0}{\lim} \smfrac{0}{\|v\|}\,\,=\,\,0.\end{array} \]
\item Dank Lemma~\ref{lem:kleino} k\"onnen wir Differenzierbarkeit auch mithilfe vom Landau--Symbol $o$ formulieren. Genauer gesagt,  $f\colon U\to \R^m$ ist im Punkt $x_0$ differenzierbar, genau dann, wenn es eine $m\times n$--Matrix $A$ gibt, so dass \label{formultierung-differenzierbar-o}
\[ f(x_0+v)\,\,=\,\,f(x_0)+Av+o(\|v\|).\]
\item F\"ur Funktionen $f\colon \R\to \R$ hatten wir in der Analysis~I Vorlesung gesehen, dass $f$ differenzierbar ist im Punkt $x_0$, wenn $f$ durch die  Funktion $x\mapsto f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ approximiert werden kann, in dem Sinne, dass 
\[ \hspace{1.1cm}\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-\Big(f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\Big)}{|x-x_0|}\,=\,0.\]
Im jetzigen Fall ist die Intuition ganz analog. Eine Funktion $f$ ist differenzierbar im Punkt $x_0$ mit Differential $Df(x_0)$, wenn man $f$ im Punkt $x_0$ durch die affine Abbildung
$x\mapsto f(x_0)+Df(x_0)(x-x_0)$ `approximieren' kann, indem Sinne, dass 
\[ \hspace{1cm}\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-\Big(f(x_0)+Df(x_0)(x-x_0)\Big)}{\|x-x_0\|}\,=\,0.\]
In Analysis~I hatten wir gesehen, dass die Ableitung viele Eigenschaften einer Funktion bestimmt.  Das weitere Ziel der Vorlesung  ist zu zeigen, dass das Differential auch viele Eigenschaften einer Funktion bestimmt.
\item Es sei $U$ eine Teilmenge von $\R^2$. Eine Funktion $f\colon U\to \R$ kann man dann mithilfe des Graphen
\[ \{ (x,y,f(x,y))\,|\, (x,y)\in U\} \,\subset \R^3\]
bildlich darstellen. Wenn $f$ in einem Punkt $v_0=(x_0,y_0)$ in $U$ differenzierbar ist mit Differential $D$, dann kann der Graph in der Umgebung von $x_0$ durch die affine Ebene 
\[ \{ (v,f(v_)+D(v-v_0))\,|\, v\in \R^2\} \]
approximiert werden. Dies wird in Abbildung~\ref{fig:tangenter2} illustriert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{tangenter2.pstex_t}
\caption{} \label{fig:tangenter2}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}
\end{bemerkung}



\begin{satz}\label{satz:differential}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und es sei
\[ f=(f_1,\dots,f_m)\colon U\to \R^m\]
 eine Abbildung, welche im Punkt $x\in U$ differenzierbar  mit Differential $A=(a_{ij})$ ist.
Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item $f$ ist stetig im Punkt $x$,
\item f\"ur alle $i\in \{1,\dots,m\}$ und $j\in \{1,\dots,n\}$ existiert die partielle Ableitung $ \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)$ und es gilt
\[  a_{ij} \,=\, \lmfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x).\]
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{bemerkung}\mbox{}
Der Satz besagt insbesondere, dass wenn $f$ im Punkt $x$ differenzierbar ist, dann kann das Differential durch die partiellen Ableitungen bestimmt werden, insbesondere ist das Differential eindeutig bestimmt.

Andererseits werden wir in \"Ubungs\-blatt~5 sehen, dass es Funktionen $f\colon \R^2\to \R$ gibt, welche am Punkt $(0,0)$ partiell differenzierbar sind, welche aber am Punkt $(0,0)$ nicht differenzierbar sind.
\end{bemerkung}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:differential}]
Es sei $U\subset \R^n$ offen und es sei
$ f=(f_1,\dots,f_m)\colon U\to \R^m$
 eine Abbildung, welche im Punkt $x\in U$ differenzierbar  mit Differential $A=(a_{ij})$ ist.
\begin{enumerate}
\item Aus der Voraussetzung
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 \hspace{5.8cm}\underset{v\to 0}{\lim} \lmfrac{f(x+v)-f(x)-Av}{\|v\|}& =&0,
 \intertext{folgt insbesondere, dass}
  \underset{v\to 0}{\lim} \Big(f(x+v)-f(x)-Av\Big)&=&0,
  \end{array} \end{align*}
daraus folgt dann, dass
\[ \hspace{2.7cm} \lim_{v\to 0} f(x+v)\,\,=\,\,\lim_{v\to 0}(f(x)+Av)\,\,=\,\,f(x)+\underset{\tiny{\begin{array}{c}=0\opnormal{ nach}\\\opnormal{Lemma~\ref{lem:rnrmstetig}}\end{array}}}{\underbrace{\lim_{v\to 0}\,Av}}\,\,=\,\,f(x).
\]
Wir haben also bewiesen, dass die Abbildung $f$ im Punkt $x$ stetig ist.
\item Es seien  $i\in \{1,\dots,m\}$ und $j\in \{1,\dots,n\}$. Nach Voraussetzung gilt
\[ \hspace{0.7cm}\lim_{v\to 0} \lmfrac{f(x+v)-f(x)-Av}{\|v\|} \,\,=\,\,0.\]
Dann gilt insbesondere, dass
\[ \lim_{h\to 0} \lmfrac{f(x+he_j)-f(x)-Ahe_j}{\|he_j\|} \,\,=\,\,0.\]
Es folgt, wie in Satz~\ref{satz:limrn}, dass dann auch die Grenzwerte f\"ur die $m$ Koordinaten gegen 0 konvergieren.
Die $i$--te Koordinate von $A\cdot he_j$ ist $ha_{ij}$, es folgt also, dass
\[ \lim_{h\to 0} \frac{f_i(x+he_j)-f_i(x)-ha_{ij}}{\|he_j\|} \,\,=\,\,0.\]
Nachdem $\|he_j\|\,\,=\,\,h$, folgt nun, dass
\[ \lim_{h\to 0} \frac{f_i(x+he_j)-f_i(x)-ha_{ij}}{\|h\|} \,\,=\,\,0.\]
Nachdem der Grenzwert Null ist, ist der Absolutbetrag  im Nenner irrelevant, und es folgt, dass sogar
\[ \lim_{h\to 0} \frac{f_i(x+he_j)-f_i(x)-ha_{ij}}{h} \,\,=\,\,0,\]
also
\[\hspace{1.5cm} \lim_{h\to 0} \frac{f_i(x+he_j)-f_i(x)}{h}\,\,=\,\,a_{ij},\]
aber die linke Seite ist  gerade die Definition der partiellen Ableitung $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)$.
\end{enumerate}
\end{proof}

Der vorherige Satz besagt, dass wenn $f$ an einem Punkt differenzierbar ist, dann ist $f$ auch an diesem Punkt partiell differenzierbar. Der folgende Satz ist in gewisser Weise die Umkehrung, wenn $f$ stetig partiell differenzierbar ist, dann ist $f$ auch differenzierbar. 
Genauer gesagt, wir haben folgenden Satz.


\begin{satz}\label{satz:totaldiffbar}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine stetig partiell differenzierbare Funktion.
Dann ist $f$  differenzierbar.
\end{satz}

Der Satz besagt also,  dass eine stetig partiell differenzierbare Funktion insbesondere differenzierbar ist. Wir f\"uhren nun folgende Sprechweisen ein.
\begin{enumerate}
\item Wir sagen  \emph{$f$ ist stetig differenzierbar}, wenn $f$  stetig partiell differenzierbar ist.
\item F\"ur $k\geq 2$ sagen wir, $f$ ist \emph{$k$-mal stetig differenzierbar}, wenn die Funktion $k$-mal stetig partiell differenzierbar ist.
\end{enumerate}


Im Beweis von Satz~\ref{satz:totaldiffbar} werden wir folgende Formulierung des Mittelwertsatzes verwenden.

\begin{theorem}\textbf{\emph{(Mittelwertsatz der Differentialrechnung)}}\label{mittelwertsatz2}
Es sei $h(t)$  eine differenzierbare Funktion auf $\R$ und $v\in \R$.
 Dann gibt es eine reelle Zahl $t$ zwischen $0$ und $c$, so dass\footnote{F\"ur $v>0$ ist dies gerade der \"ubliche Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Die Aussage ist aber auch trivialerweise wahr f\"ur $c=0$.}
\[ c\cdot h'(t)\,=\,h(c)-h(0).\]
\end{theorem}


\begin{proof}[Beweis von Satz \ref{satz:totaldiffbar}]
Wir m\"ussen also zeigen, dass $f$ in jedem Punkt $x$  differenzierbar ist. Um die Notation etwas zu vereinfachen betrachten wir den Spezialfall, dass
 $U=\R^n$ und $x=0$. Der allgemeine Fall wird ganz analog bewiesen.

Wir setzen
\[ D\,:=\,\bigg(\lmfrac{\partial f}{\partial x_1}(0)\,\dots\,\lmfrac{\partial f}{\partial x_n}(0)\bigg).\]
Wir wollen nun  zeigen, dass
\[ \lim_{v\to 0} \lmfrac{f(v)-f(0)-Dv}{\|v\|}\, =\,0.\]
Wir beweisen zuerst einmal folgende Behauptung.

\begin{behauptung}
 F\"ur alle $v\in \R^n\setminus \{0\}$  existieren  $u_1,\dots,u_n$ mit $\|u_i\|\leq \|v\|$, $i=1,\dots,n$, so dass
\[ \left|\lmfrac{f(v)-f(0)-Dv}{\|v\|}\right|\,\,\leq\,\,\sum_{i=1}^n \bigg|\lmfrac{\partial f}{\partial x_i}(u_i)-
\lmfrac{\partial f}{\partial x_i}(0)\bigg|.\]
\end{behauptung}

Es  sei also $v=(v_1,\dots,v_n)\in \R^n$  beliebig. Wir wollen auch diese Behauptung mithilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung beweisen. Wir m\"ussen dazu den Ausdruck $f(v)-f(0)-Dv$ durch Funktionen in einer Variablen beschreiben. Wir schreiben
\[ \begin{array}{rcl} w_0&:=&(0,\dots,0),\\
 w_1&:=&(v_1,0,\dots,0),\\
  w_2&:=&(v_1,v_2,0,\dots,0),\\
  \vdots \\
   w_n&:=&(v_1,\dots,v_n).\end{array} \]
Dann gilt
\[ \begin{array}{rcl} &&f(v)-f(0)-Dv\\
&=& \lmsum{i=1}{n} \left(f(w_i)-f(w_{i-1})\right)\,\, -\,\,\lmsum{i=1}{n} \lmfrac{\partial f}{\partial x_i}(0)\cdot v_i\\
&=&\lmsum{i=1}{n} 
\underset{=h(v_i)-h(v)\opnormal{ f\"ur }h(s)=f(v_1,\dots,v_{i-1},s,0,\dots,0)}{\underbrace{f(v_1,...,v_{i-1},v_{i},0,...,0)-f(v_1,...,v_{i-1},0,0,...,0)}}\, -\,\lmsum{i=1}{n}  v_i\lmfrac{\partial f}{\partial x_i}(0)\\
&=&(*)
\end{array} \]
F\"ur jedes $i\in \{1,\dots,n\}$ wenden wir Satz~\ref{mittelwertsatz2} an auf
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} h(s)&=&f(v_1,\dots,v_{i-1},s,0,\dots,0)\mbox{  und }c=v_i.
\intertext{Wir erhalten ein $t_i$ zwischen $0$ und $v_i$ mit}
v_ih'(t_i)&=&h(v_i)-h(0)
\intertext{Aber durch R\"uck\"ubersetzen in die Funktion $f$ erhalten, wir dass}
h'(t_i)&=&\lmfrac{\partial f}{\partial x_i}(v_1,\dots,v_{i-1},t_i,0,\dots,0)
\intertext{und}
\hspace{3cm} h(v_i)-h(0)&=&f(v_1,...,v_{i-1},v_{i},0,...,0)-f(v_1,...,v_{i-1},0,0,...,0)
\end{array}
\end{align*}
F\"ur jedes $i$  setzen  wir nun $u_i=(v_1,\dots,v_{i-1},t_i,0,\dot\,0)$ und erhalten, dass
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
 (*)&=& \lmsum{i=1}{n}  v_i \bigg(\lmfrac{\partial f}{\partial x_i}(u_i)\, -\, \lmfrac{\partial f}{\partial x_i}(0)\bigg).\hspace{7cm}
\end{array}
\end{align*}
Es folgt aus dieser Gleichung und der Dreiecksungleichung, dass
\[ \bigg|\frac{1}{\|v\|}(f(v)-f(0)-Dv)\bigg|\,\,\leq\,\,
\lmsum{i=1}{n} \underset{\in [0,1]}{\underbrace{\lmfrac{|v_i|}{\|v\|}}} \bigg|\lmfrac{\partial f}{\partial x_i}(u_i)\, -\, \lmfrac{\partial f}{\partial x_i}(0)\bigg|.\]
Die Behauptung folgt nun aus der Beobachtung, dass die Normen der Punkte $u_1,\dots,u_n$ kleiner gleich der Norm von $v$ sind.
Wir haben damit also die Behauptung bewiesen. 

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{totaldiffbar.pstex_t}
\caption{Skizze f\"ur den Beweis von Satz~\ref{satz:totaldiffbar}} \label{fig:totaldiffbar}
\end{center}
\end{figure}


Wir wollen jetzt zeigen, dass  in der Tat
\[ \lim_{v\to 0} \lmfrac{f(v)-f(0)-Dv}{\|v\|} \,\,=\,\,0.\]
Sei also $\epsilon>0$. Nach Voraussetzung sind die partiellen Ableitungen stetig, d.h.\ es existiert ein $\delta>0$, so dass f\"ur alle $i\in \{1,\dots,n\}$ gilt:
\[ u\in B_\delta(0)\,\, \Longrightarrow \,\,\left|\lmfrac{\partial f}{\partial x_i}(u)-\lmfrac{\partial f}{\partial x_i}(0)\right|<\frac{\epsilon}{n}\]
Es sei nun also  $v\in B_\delta(0)$. Wir w\"ahlen $u_1,\dots,u_n$ wie in der Behauptung. Dann ist 
\[ \left|\frac{f(v)-f(0)-Dv}{\|v\|}\right|\,\,\leq\,\,\sum_{i=1}^n \underset{<\frac{\epsilon}{n}\opnormal{ da }\|u_i\|\leq \|v\|<\delta}{\underbrace{\bigg|\lmfrac{\partial f}{\partial x_i}(u_i)-
\lmfrac{\partial f}{\partial x_i}(0)\bigg|}}\,\,<\,\,\epsilon.\]
Wir haben damit also gezeigt, dass der Grenzwert in der Tat $0$ ist.
\end{proof}


\begin{satz}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f=(f_1,\dots,f_m)\colon U\to \R^m $ eine Abbildung, so dass alle partiellen Ableitungen
$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ definiert und stetig sind. Dann ist $f$ differenzierbar,
und an jedem Punkt $x$ ist das Differential die $m\times n$--Matrix
\[ \begin{pmatrix}   \tmfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(x)&\dots &  \tmfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(x) \\ \vdots &&\vdots  \\  \tmfrac{\partial f_m}{\partial x_1}(x)&& \tmfrac{\partial f_m}{\partial x_n}(x)\end{pmatrix}.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Der Satz folgt sofort aus  Satz~\ref{satz:limrn}, Satz~\ref{satz:differential} und aus  Satz~\ref{satz:totaldiffbar} angewandt auf die Koordinatenfunktionen $f_1,\dots,f_m$.
\end{proof}

\begin{bemerkung}
Ein Ziel der Analysis ist es das Studium von Funktionen m\"oglichst auf Lineare Algebra zur\"uckzuf\"uhren, denn lineare (oder affine) Abbildungen sind deutlich leichter zu verstehen, als ganz allgemeine Abbildungen zwischen $\R^n$ und $\R^m$.
Wenn eine Abbildung $f=(f_1,\dots,f_m)\colon\R^n\to \R^m$ in einem Punkt $x$ differenzierbar ist, dann k\"onnen wir die Abbildung in der N\"ahe von $x$ durch die affine Abbildung
$v\mapsto f(x)+Df(x)\cdot (v-x)$ `approximieren'. Unser Interesse besteht daher darin, das Differential $Df$ zu bestimmen.
Satz~\ref{satz:totaldiffbar} besagt nun, dass man das Differential mithilfe der partiellen Ableitungen von den Koordinatenfunktionen $f_i$ bestimmen kann.
\end{bemerkung}

%======================================================
\subsection{Norm von Matrizen}
In diesem kurzen Kapitel f\"uhren wir die Norm einer Matrix ein. Wir werden diese im n\"achsten Kapitel f\"ur den Beweis der Kettenregel ben\"otigen. Die Norm einer Matrix wird aber auch im weiteren Verlauf der Vorlesung immer wieder auftauchen.

F\"ur eine $m\times n$--Matrix  $A\in M(m\times n,\R)$ definieren 
wir die Norm von $A$ als\footnote{Hier ist $\|v\|$ die euklidische Norm von $v\in \R^n$ und $\|Av\|$ ist die euklidische Norm von $Av\in \R^m$. Nachdem $S^{n-1}$ kompakt ist und die Funktion $v\mapsto \|v\|$ stetig ist, wird das Maximum in der Tat angenommen, d.h.\ die Definition\label{definition:norma}
\[ \|A\|\,:=\,\max \big\{ \|Av\| \,\big|\, v\in \R^n \mbox{ mit } \|v\|=1\big\}\]
macht Sinn.}
\[ \|A\|\,:=\,\max \big\{ \|Av\| \,\big|\, v\in \R^n \mbox{ mit } \|v\|=1\big\}.\]

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item F\"ur die Matrix $A=\lambda  \operatorname{id}$ mit $\lambda  \in \R$ gilt $\|A\|=|\lambda|$.
\item F\"ur eine orthogonale $n\times n$-Matrix $A$ gilt per Definition, dass es das Skalarprodukt $v\cdot w=\langle v,w\rangle$ erh\"alt.   F\"ur alle $v\in \R^n$ gilt insbesondere 
\[ \|Av\|\,\,=\,\,\sqrt{\langle Av,Av\rangle}\,\,=\,\,\sqrt{\langle v,v\rangle}\,\,=\,\,\|v\|.\]
 Also ist $\|A\|=1$. 
\end{enumerate}
\end{beispiel}

% Ende 8. Vorlesung

Wir fassen einige Eigenschaften von $\|A\|$ in folgendem Lemma zusammen.

\begin{lemma}\label{lem:matrixnorm}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die Abbildung
\[ \hspace{-1.8cm} \begin{array}{rcl} M(m\times n,\R)&\to &\R_{\geq 0}\\
A&\mapsto &\|A\|\end{array} \]
ist eine Norm auf dem Vektorraum $M(m\times n,\R)$.
\item F\"ur alle $A\in M(m\times n,\R)$ und  $w\in \R^n$ gilt
\[ \hspace{0.7cm}\|Aw\|\,\,\leq\,\, \|A\|\cdot \|w\|.\]
\item F\"ur jede $n\times m$--Matrix $A=(a_{ij})$ gilt
\footnote{Es gilt sogar $ \|A\|\,\,\leq\,\, \sqrt{nm}\,{\max}\,|a_{ij}|$, aber f\"ur unsere Zwecke gen\"ugt die schw\"achere Absch\"atzung.}
\[\hspace{2.45cm} \|A\|\,\,\leq\,\, {nm}\,\underset{i,j}{\max}\,|a_{ij}|.\]
\end{enumerate}
\end{lemma}

Die Norm $\|A\|$ ist im Allgemeinen schwierig zu berechnen. Die Absch\"atzung in Lemma~\ref{lem:matrixnorm} (3) erlaubt es uns sp\"ater die Norm $\|A\|$ relativ einfach nach oben abzusch\"atzen.

\begin{proof}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die Homogenit\"at von $\|-\|$ folgt leicht aus den Definitionen. 
Das Argument von Fu\ss note \ref{note:supnorm} zeigt zudem, dass 
  $\|-\|$ die Dreiecksungleichung erf\"ullt.
Wir m\"ussen noch zeigen, dass $\|A\|=0$ genau dann, wenn $A=0$.\footnote{Die Bedeutung von $0$ h\"angt vom Kontext ab. In diesem Fall ist `$0$' die $m\times n$-Matrix deren Eintr\"age alle $0$ sind.}
Es ist offensichtlich, dass $\|0\|=0$. Es verbleibt also zu beweisen, dass $\|A\|\ne 0$, wenn $A\ne 0$. Es sei also $A=(a_{ij})\ne 0$. Dann gibt es zumindest ein $a_{ij}\ne 0$. Es folgt, dass
\[ \|A\|\,\,\geq\,\, \| Ae_j\|\,\,=\,\,\left\|\footnotesize{\begin{pmatrix} a_{a1j}\\ \vdots\\ a_{mj}\end{pmatrix}} \right\|\,\,\geq\,\,|a_{ij}|\,\,>\,\,0.\]
\item Es sei also $w\in \R^n$. Wenn $w=0$, dann ist die Ungleichung trivialerweise erf\"ullt. Nehmen wir nun an, dass $w\ne 0$. In diesem Fall gilt
\[ \begin{array}{rcl}\hspace{1.5cm} \|Aw\|\,\,=\,\,\bigg\|A\underset{=w}{\underbrace{\|w\|\tmfrac{1}{\|w\|}w}}\bigg\|&=&
\Big\|w\|\cdot \|A\underset{\|-\|=1}{\underbrace{\tmfrac{1}{\|w\|}w}}\Big\|\\
&\leq&\|w\|\cdot \|A\|\hspace{2cm}\mbox{per Definition von $\|A\|$}.\end{array} \]
\item Es sei also  $A=(a_{ij})$ eine $n\times m$--Matrix. 
Wir w\"ahlen $k,l$, so dass $|a_{ij}|\leq |a_{kl}|$ f\"ur alle $i,j$.
 Es sei nun $v=(v_1,\dots,v_m)\in \R^m$ mit $\|v\|=1$.
Dann gilt
\[
\begin{array}{rcll}
\|Av\|^2&= &\sum\limits_{i=1}^m\bigg|\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}v_j\bigg|^2&\mbox{denn }\|(x_1,\dots,x_n)\|^2=\sum\limits_{i=1}^nx_i^2\\
&\leq &\sum\limits_{i=1}^m\bigg(\underset{\leq n|a_{kl}|}{\underbrace{\sum\limits_{j=1}^n \underset{\leq |a_{kl}|}{\underbrace{|a_{ij}|}}\cdot \underset{\leq \|v\|=1}{\underbrace{|v_j|}}}}\bigg)^2&\mbox{Dreiecksungleichung}\\
&\leq & \sum\limits_{i=1}^m (n|a_{kl}|)^2\\[2mm]
&=&mn^2|a_{kl}|^2\,\,\leq\,\,m^2n^2|a_{kl}|^2.\end{array} \]
Die gew\"unschte Ungleichung erfolgt nun durch Wurzelziehen auf beiden Seiten.
\end{enumerate}
\end{proof}


%======================================================
\subsection{Die Kettenregel}
In diesem Kapitel formulieren und beweisen wir die Kettenregel f\"ur die Verkn\"upfung von zwei differenzierbaren Abbildungen.
Zur Erinnerung, wenn $f,g\colon \R\to \R$ differenzierbare Funktionen sind, dann besagt die Kettenregel, dass $g\circ f$
ebenfalls differenzierbar ist, und es gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 (g\circ f)'(x)&=&g'(f(x))\cdot f'(x).\\
\intertext{Das hei\ss t also, dass}
 \hspace{2cm} \mbox{Ableitung von $g\circ f$ am Punkt $x$}& =&\mbox{Ableitung von $g$ am Punkt $f(x)$} \\
&&\mbox{mal Ableitung von $f$ am Punkt $x$.}\end{array} \end{align*}
F\"ur differenzierbare Abbildungen zwischen Abbildungen in mehreren Variablen gilt eine ganz analoge Kettenregel:

\begin{satz} \textbf{\emph{(\textlabel{Kettenregel}{satz:kettenregel})}}
Es seien $U\subset \R^n$ und $V\subset \R^m$ offene Mengen und es seien $ f\colon U\to \R^m$ und $g\colon V\to \R^k$
differenzierbare Abbildungen, so dass $f(U)\subset V$.
Dann ist die Abbildung $ g\circ f\colon  U\to \R^k$
ebenfalls differenzierbar, und f\"ur jeden Punkt $x\in U$ gilt:
\[\hspace{1.15cm}  D(g\circ f)(x)\,\,=\,\, (Dg)(f(x))\cdot Df(x).\]
\end{satz}

Die Kettenregel besagt also, dass
\[ \begin{array}{rcl} \mbox{Differential von $g\circ f$ am Punkt $x$}& =&\mbox{Differential von $g$ am Punkt $f(x)$} \\
&&\mbox{mal Differential von $f$ am Punkt $x$.}\end{array} \]
Hierbei ist  $(Dg)(f(x))$ eine $k\times m$--Matrix und  $Df(x)$ ist eine $m\times n$--Matrix. Das Matrixprodukt $(Dg)(f(x))\cdot Df(x)$ ist also dann, wie gew\"unscht, eine $k\times n$--Matrix.

\begin{proof}
In der Formulierung der Differenzierbarkeit auf Seite~\pageref{formultierung-differenzierbar-o} m\"ussen wir zeigen, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
(g\circ f)(x+\xi)&=&(g\circ f)(x)+Dg(f(x))Df(x)\xi+o(\|\xi\|).
\intertext{Nach Voraussetzung gilt}
\hspace{2.4cm}f(x+\xi)&=&f(x)+Df(x)\xi+\varphi(\xi)\quad \hspace{1.1cm}\mbox{ wobei }\varphi(\xi)\,=\,o(\|\xi\|),
\intertext{sowie}
g(f(x)+\eta)&=&g(f(x))+Dg(f(x))\eta+\psi(\eta)\quad \mbox{ wobei }\psi(\eta)\,=\,o(\|\eta\|).
\end{array} \end{align*}
Mit dieser Notation erhalten wir, dass 
\[ \begin{array}{rcl}
 (g\circ f)(x+\xi)&=&g(f(x+\xi))\\
 &=&g\Big(f(x)+\underset{=:\eta}{\underbrace{Df(x)\xi+\varphi(\xi)}}\Big)\\
&=& g(f(x))+Dg(f(x))\eta+\psi(\eta)\\
&=&g(f(x))+Dg(f(x))Df(x)\xi\,\,+\,\,\underset{=(1)}{\underbrace{Dg(f(x))\varphi(\xi)}}+\underset{=(2)}{\underbrace{\psi\Big(Df(x)\xi+\varphi(\xi)\Big)}}.\end{array} \]
Es gen\"ugt nun also zu zeigen, dass die Terme $(1)$ und $(2)$  vom Typ $o(\|\xi\|)$ sind.\footnote{Hierbei ben\"utzen wir die elementare Aussage, dass wenn $p(\xi)=o(\|\xi\|)$ und $q(\xi)=o(\|\xi\|)$, dann ist auch $(p+q)(\xi)=o(\|\xi\|)$.} Genauer gesagt, es gen\"ugt nun  folgende Behauptung zu beweisen:

\begin{behauptung}
Es ist 
\begin{align*}
\begin{array}{llrcl}
\hspace{1cm}&(1)& Dg(f(x))\varphi(\xi)&=&o(\|\xi\|).
\intertext{sowie}
&(2)&\hspace{3cm}\psi\Big(Df(x)\xi+\varphi(\xi)\Big)&=&o(\|\xi\|).\hspace{4cm}\end{array} \end{align*}
\end{behauptung}

Wir beweisen zuerst die erste Aussage. Wir setzen $A:=Dg(f(x))$. 
Dann ist
\[ \begin{array}{rcll}\underset{\xi\to 0}{\lim}\lmfrac{A\varphi(\xi)}{\|\xi\|}&=&
\underset{\xi\to 0}{\lim} \bigg( A\lmfrac{1}{\|\xi\|}\varphi(\xi)\bigg)&\mbox{da die Matrix-Multiplikation linear ist}\\[4mm]
&=& A\bigg(\underset{\xi\to 0}{\lim}\lmfrac{1}{\|\xi\|}\varphi(\xi)\bigg)&\mbox{da Multiplikation mit $A$ nach Lemma~\ref{lem:rnrmstetig} stetig ist}\\[2mm]
&=&A\cdot 0&\mbox{da $\varphi(\xi)=o(\|\xi\|)$}\\
&=&0.\end{array}\]
Wir wenden uns nun der zweiten Aussage zu. Wir setzen $B:=Df(x)$. 
Wir wollen also zeigen, dass 
\[
 \underset{\xi\to 0}{\lim}\lmfrac{\psi(B\xi+\varphi(\xi))}{\|\xi\|}\,\\=\,\,0.\]
Um diesen Grenzwert zu bestimmen, wollen wir zuerst den Ausdruck $B\xi+\varphi(\xi)$ besser verstehen.
Nachdem $\varphi(\xi)=o(\|\xi\|)$ gibt es insbesondere eine offene Umgebung $U$ von $0$, so dass $\|\varphi(\xi)\|\leq \|\xi\|$ f\"ur alle $\xi\in U$. 
Wir bezeichnen nun mit $\|B\|$ die Norm der Matrix $B$, welche wir im vorherigen Kapitel eingef\"uhrt hatten. F\"ur alle $\xi \in U$  gilt dann
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{3cm}
\|B\xi+\varphi(\xi)\|&\leq& \|B\xi\|+\|\varphi(\xi)\|\\
&\leq&(\|B\|+1)\|\xi\|\hspace{1cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:matrixnorm} (2)}
\intertext{Insbesondere gilt}
\underset{\xi\to 0}{\lim}(B\xi +\varphi(\xi))&=&0.
\intertext{Es folgt, dass}
 \lmfrac{\psi(B\xi+\varphi(\xi))}{\|\xi\|}&=&
\underset{\tiny{\begin{array}{c}\underset{\xi\to 0}{\lim}=0,\opnormal{ da $\underset{\xi\to 0}{\lim}(B\xi +\varphi(\xi))=0$}\\\opnormal{und $\psi(\nu)=o(\|\nu\|)$}\end{array}}}{\underbrace{\lmfrac{\psi(B\xi+\varphi(\xi))}{\|B\xi+\varphi(\xi)\|}}}\cdot
\underset{\tiny \begin{array}{c}\opnormal{beschr\"ankt durch}\\ \|B\|+1\end{array}}{\underbrace{\lmfrac{\|B\xi+\varphi(\xi)\|}{\|\xi\|}}}.\end{array} \end{align*}
Es folgt nun auch, dass die Funktion auf der linken Seite mit $\xi\to 0$ gegen $0$ konvergiert.\footnote{Hierbei verwenden wir die Aussage, dass wenn $\underset{\xi\to 0}{\lim}p(\xi)=0$ und $q(\xi)$ beschr\"ankt ist, dann gilt auch $\underset{\xi\to 0}{\lim}p(\xi)q(\xi)=0$.}
\end{proof}


Wir beschlie\ss en das Kapitel mit folgendem Korollar.

\begin{korollar} \label{kor:umkehrabbildung}
Es seien $U\subset \R^n$ und $V\subset \R^n$  offene Mengen und es sei $ f\colon U\to V$ eine bijektive differenzierbare Abbildung, welche zudem eine differenzierbare Umkehrabbildung $f^{-1}\colon V\to U$ besitzt. Dann gilt  f\"ur jeden Punkt $y\in V$, dass
\[ Df^{-1}(y)\,\,=\,\,\mbox{Inverses der Matrix } Df(f^{-1}(y)).\]
\end{korollar}

\begin{proof}
Es sei also $y\in V$. Nachdem sowohl $f$ als auch $f^{-1}$ differenzierbar sind folgt aus der Kettenregel, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 \operatorname{id}&=&D\operatorname{id} (y)\,\,=\,\,D(f\circ f^{-1})(y)\,\,=\,\,Df(f^{-1}(y))\cdot Df^{-1}(y)
\intertext{Durch Aufl\"osen nach $Df^{-1}(y)$ erhalten wir}
\hspace{2cm}Df^{-1}(y)&=&\mbox{Inverses der Matrix } Df(f^{-1}(y)).\end{array}
\end{align*}
\end{proof}


%======================================================
\subsection{Der Gradient}



\begin{definition}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine partiell differenzierbare Funktion.
Es sei $x\in U$. Dann hei\ss t der Vektor
\[ \nabla f(x)\,:=\,\operatorname{Grad} f(x)\,:=\,  \bigg(\lmfrac{\partial}{\partial x_1}f(x),\dots, \lmfrac{\partial}{\partial x_n}f(x)\bigg)\]
der \emph{Gradient} von $f$ am Punkt $x$.
\footnote{Das Symbol $\nabla$ wird als `Nabla' ausgesprochen. Das Wort `Nabla' ist der hebr\"aische Name f\"ur einen Harfentyp, welcher in etwa die Form von $\nabla$ besitzt.}
\footnote{Wir schreiben Vektoren in $\R^n$ manchmal in Zeilenform (z.B.\ wenn der Platz beschr\"ankt ist) und manchmal in Spaltenform (z.B.\ wenn wir die Multiplikation mit einer Matrix verdeutlichen wollen).}
\end{definition}

\begin{beispiel}
Wir betrachten die Funktion  $f(x,y)=\frac{1}{4}(x^2+y^2)$ auf $\R^2$. Der Gradient am Punkt $(x,y)$ gegeben durch
\[ \operatorname{Grad} f(x,y)\,=\,\bigg(\smfrac{\partial}{\partial x}f(x,y),\smfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)\bigg)\,=\,\bigg(\smfrac{1}{2}x,\smfrac{1}{2}y\bigg).\]
In Skizzen zeichnet man normalerweise $\operatorname{Grad} f(x,y)$ als Vektor, welcher am Punkt $(x,y)$ beginnt. Einige der Gradienten der Funktion $f(x,y)=\frac{1}{4}(x^2+y^2)$ sind in Abbildung~\ref{fig:gradient} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{gradient.pstex_t}
\caption{Gradienten der Funktion $f(x,y)=\frac{1}{4}(x^2+y^2)$.} \label{fig:gradient}
\end{center}
\end{figure}
\end{beispiel}


Bevor wir fortfahren  erinnern wir nun kurz  an das Skalarprodukt von zwei Vektoren $v=(v_1,\dots,v_n)$ und $w=(w_1,\dots,w_n)$ in $\R^n$,
welches wie folgt  definiert ist:
\[ \langle v,w\rangle\,\,:=\,\,v\cdot w\,\,:=\,\,\sum\limits_{i=1}^n v_i\cdot w_i.\]
Folgendes Lemma gibt eine geometrische Interpretation vom Skalarprodukt.

\begin{lemma}\label{lem:skalarphi}
Es sei $\varphi$ der Winkel zwischen zwei Vektoren $v$ und $w$ in $\R^n$, dann gilt
\footnote{Es stellt sich nat\"urlich die Frage, wie den der Winkel zwischen $v$ und $w$ definiert ist. Hier gibt es verschiedene M\"oglichkeiten:
\begin{enumerate}
\item Man kann die Gleichung im Lemma  als Definition des Winkels zwischen den Vektoren $v$ und $w$ auffassen. Dann ist die Aussage des Lemmas eine Tautologie.
\item F\"ur zwei Vektoren $v$ und $w$ in $\R^n$ gibt es eine orthogonale Matrix $A\in O(n)$, so dass $Av$ und $Aw$ in $\R^2\subset \R^n$ liegen. Wir definieren dann den Winkel zwischen $v$ und $w$ als den Winkel zwischen $Av$ und $Aw$. Diese Definition ist unabh\"angig von der Wahl von $A$.
\end{enumerate}
}
 \[ v, w\rangle\,\, =\,\,\cos(\varphi)\cdot \|v\|\cdot \|w\|.\]
\end{lemma}


Wir k\"onnen nun folgenden  wichtigen Spezialfall der \ref{satz:kettenregel} formulieren.




\begin{satz}\label{satz:kettenregel1}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine differenzierbare Funktion. Es sei $p\in U$ und es sei zudem $v\in \R^n$ ein Vektor. Dann gibt es ein $\epsilon>0$, so dass $p+tv\in U$ f\"ur alle $t\in (-\epsilon,\epsilon)$. F\"ur alle $t\in (-\epsilon,\epsilon)$  gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcccl}
 \hspace{3.3cm} \lmfrac{d}{dt} f(p+tv)&=&\underset{\tiny{1\times n-\operatorname{Matrix}}}{\underbrace{Df(p+tv)}}\underset{\in \R^n}{\underbrace{ v}}&=&\Big\langle \underset{\in \R^n}{\underbrace{\operatorname{Grad} f(p+tv)}},\underset{\in \R^n}{\underbrace{\phantom{\Big(} v}}\Big\rangle.
 \intertext{Insbesondere erhalten wir am Punkt $t=0$, dass}
 \lmfrac{d}{dt} f(p+tv)\Big|_{t=0}&=&Df(p) v&=&\langle \operatorname{Grad} f(p),v\rangle.\end{array} \end{align*}
\end{satz}

Die Aussage des Lemmas wird in Abbildung~\ref{fig:ersteableitung} illustriert.

\begin{proof}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine differenzierbare Funktion. Zudem sei $p\in U$ und es sei $v\in \R^n$ ein Vektor. Aus der Offenheit von $U$ folgt leicht, dass es ein $\epsilon>0$ gibt, so dass $p+tv\in U$ f\"ur alle $t\in (-\epsilon,\epsilon)$.
Die erste Gleichheit des Satzes folgt sofort aus der \ref{satz:kettenregel} angewandt auf die Verkn\"upfung $f\circ h$ der Abbildungen 
\[ \quad \begin{array}{rcl}f\colon U&\to &\R\\ s&\mapsto &f(s) \end{array}\quad \mbox{und} \quad \begin{array}{rcl} h\colon (-\epsilon,\epsilon)&\to &\R^n \\
t&\mapsto &p+tv\end{array}\]
und der Beobachtung, dass $Dh(t)=v$ f\"ur alle $t\in (-\epsilon,\epsilon)$. 

Die zweite Gleichheit folgt nun ebenfalls leicht aus den Definitionen und den bisherigen Ergebnissen.
Der vollst\"andigkeithalber f\"uhren wir das Argument dazu noch aus.
Wir schreiben $v=(v_1,\dots,v_n)$. 
Dann gilt
\[ \begin{array}{rcll} Df(p+tv)v&=&  \begin{pmatrix} \tmfrac{\partial f}{\partial x_1}(p+tv)&\dots & \tmfrac{\partial f}{\partial x_n}(p+tv)\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n\end{pmatrix}&\mbox{Berechnung von $Df$ mit Satz~\ref{satz:totaldiffbar}} \\[2mm]
&=&\lmsum{i=1}{n}  \tmfrac{\partial f}{\partial x_i}(p+tv)\cdot v_i \\[2mm]
&=&\langle \operatorname{Grad} f(p+tv), v\rangle&\mbox{Definition vom Skalarprodukt}.\end{array} \]
\end{proof}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{ersteableitung.pstex_t}
\caption{Skizze zu Satz~\ref{satz:kettenregel1}.}
\label{fig:ersteableitung}
\end{center}
\end{figure}

% Ende 9. Vorlesung 


Durch zweifaches Anwenden von Satz~\ref{satz:kettenregel1} erhalten wir auch folgende Aussage, welche in \"Ubungs\-blatt 5 bewiesen wird. Wir werden diesen Satz sp\"ater ben\"otigen, wenn wir lokale Maxima und Minima von Funktionen auf $\R^n$ bestimmen wollen.

\begin{satz}\label{satz:kettenregel2}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine differenzierbare Funktion. Es sei $p\in U$ und es sei zudem $v=(v_1,\dots,v_n)\in \R^n$ ein Vektor. Es sei $\epsilon>0$, so dass $p+tv\in U$ f\"ur alle $t\in (-\epsilon,\epsilon)$.  Wir betrachten die Funktion
 \[ \begin{array}{rcl} g\colon (-\epsilon,\epsilon)&\to & \R \\
 t&\mapsto & f(p+tv) \end{array} \]
Dann gilt f\"ur alle $t\in (-\epsilon,\epsilon)$, dass\footnote{Was ist eigentlich die Aussage des Satzes f\"ur $n=1$?}
 \[ g^{(2)}(t)\,\,=\,\,\sum_{i=1}^n
 \sum_{j=1}^n  \lmfrac{\partial }{\partial x_i} \lmfrac{\partial }{\partial x_j}f(p+tv) \cdot v_iv_j.\]
\end{satz}




%======================================================
\subsection{Richtungsableitungen}

\begin{definition}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine Funktion.
Sei $x\in U$ und $v\in \R^n$ ein Vektor mit $\|v\|=1$. Falls der  Grenzwert 
\[ \lmfrac{d}{dt}f(x+tv)\Big|_{t=0}\,\,=\,\,\lim_{h\to 0} \lmfrac{f(x+hv)-f(x)}{h}\]
existiert, dann bezeichnen wir den Grenzwert als die \emph{Richtungsableitung $D_vf(x)$ von $f$ im Punkt $x$ in Richtung $v$}.
\end{definition}

\begin{beispiel}
Wenn $v=e_i$, d.h.\ wenn  $v$ der $i$--te Einheitsvektor ist, dann folgt direkt aus den Definitionen, dass
\[ D_{e_i}f(x)\,\,=\,\, \lmfrac{\partial f}{\partial x_i}(x).\]
\end{beispiel}


Folgender Satz folgt sofort aus  Satz~\ref{satz:kettenregel1} und Lemma~\ref{lem:skalarphi}.

\begin{satz}\label{satz:graddvf}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine  differenzierbare Funktion.
Sei $x\in U$ und $v\in \R^n$ ein Vektor mit $\|v\|=1$. Dann gilt
\begin{align*}\begin{array}{rcl}
\hspace{5cm} D_vf(x)&=& \langle v, \operatorname{Grad} f(x)\rangle.
\intertext{Insbesondere, wenn  $\varphi\in [0,2\pi)$ der Winkel zwischen $v$ und $\operatorname{Grad} f(x)$ ist, dann gilt}
 D_vf(x)&=& \cos(\varphi)\cdot \| \operatorname{Grad} f(x)\|.
 \end{array}
 \end{align*}
\end{satz}

Satz~\ref{satz:graddvf} besagt insbesondere, dass die Richtungsableitung maximal ist, wenn  $\varphi=0$, d.h.\ wenn $v$ und $\operatorname{Grad} f(x)$ in die gleiche Richtung zeigen. Wir erhalten also folgendes Korollar:

\begin{korollar}
Es sei $U\subset \R^n$ offen, $f\colon U\to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion und $x\in U$ ein Punkt, so dass $\operatorname{Grad} f(x)\ne 0$.
Dann ist
\footnote{Eine `Richtung' ist immer ein Vektor mit L\"ange 1, wir m\"ussen deswegen den Gradienten auf die L\"ange 1 normieren.}
\[ v\,:=\,\frac{\operatorname{Grad} f(x)}{\|\operatorname{Grad} f(x)\|}\]
die Richtung mit maximaler Richtungsableitung.
\end{korollar}

Anders ausgedr\"uckt, `der Gradient zeigt in die Richtung in welche $f$ am schnellsten ansteigt'.


%======================================================
\subsection{Gradienten und Niveaulinien}
In diesem Kapitel betrachten wir nur  Funktionen $f\colon U\to \R$ auf einer Teilmenge $U$ von $\R^2$.
Wir haben schon gesehen, dass man sich solche Funktionen durch den Graphen
\[ \{(x,y,f(x,y))\,|\, (x,y)\in U\} \,\,\subset\,\,\R^3\]
veranschaulichen kann. In Abbildung~\ref{fig:graphen} sind beispielsweise die Graphen der Funktionen $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ und $g(x,y)=x^2+y^2$ skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{graphen.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:graphen}
\end{center}
\end{figure}
 Eine alternative Methode um Funktion zu veranschaulichen ist wie folgt gegeben: f\"ur verschiedene Werte $C\in \R$ betrachten wir die \emph{Niveaulinie}\footnote{Auf Wanderkarten wird die H\"ohe, als Funktion $(x,y)\mapsto h(x,y)$ durch Niveaulinien illustriert, diese werden dabei normalerweise H\"ohenlinien genannt.}
\[ \{ (x,y)\in \R^2\,|\, f(x,y)=C\}.\]
 Beispielsweise werden in Abbildung~\ref{fig:niveaulinien} 
die Niveaulinien f\"ur die Funktion
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}
\hspace{4cm} f(x,y)&=&\sqrt{x^2+y^2}&\mbox{mit $C=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2$}
\intertext{sowie f\"ur die Funktion}
g(x,y)&=&x^2+y^2&\mbox{mit $C=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\dots,4$}
\intertext{skizziert. F\"ur diese beiden Funktionen ist der Gradient gegeben durch} 
\operatorname{Grad} f(x,y)&=&\left(\tmfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\tmfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right),&\mbox{wobei $(x,y)\ne (0,0)$}
\intertext{sowie durch}
\operatorname{Grad} g(x,y)&=&(2x,2y).
\end{array} \end{align*}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{niveaulinien.pstex_t}
\caption{Beispiele von Niveaulinien.}
\label{fig:niveaulinien}
\end{center}
\end{figure}
In beiden F\"allen zeigt also der Gradient `weg vom Ursprung'. Im ersten Fall besitzt der Gradient immer die L\"ange $1$, d.h.\ der Anstieg ist konstant. Im zweiten Fall besitzt der Gradient die L\"ange $2\sqrt{x^2+y^2}$, er wird also l\"anger, wenn man sich vom Ursprung fortbewegt. Die Gradienten f\"ur beide Funktionen werden in Abbildung~\ref{fig:gradienten} skizziert.
Damit die Skizzen \"ubersichtlich bleiben, sind in beiden F\"allen die Gradienten auf $\frac{1}{4}$ der L\"ange gestaucht.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{gradienten.pstex_t}
\caption{Beispiele von Gradienten.}
\label{fig:gradienten}
\end{center}
\end{figure}


In den Bildern sehen wir, dass der Gradient senkrecht auf den Niveaulinien steht.
\label{gradient-senkrech-niveaulinien} Wir werden sp\"ater sehen, dass dies kein Zufall ist, sondern dass dies unter geeigneten Voraussetzungen immer der Fall ist.\footnote{Insbesondere m\"ussen wir noch pr\"azise machen, was es hei\ss en soll, dass ein Vektor an einem Punkt senkrecht zu einer Kurve ist.} In Abbildung~\ref{fig:niveaugradienten} zeigen wir das typische Bild f\"ur eine Funktion $f\colon \R^2\to \R$. Die Gradienten stehen senkrecht auf den Niveaulinien und zeigen in die Richtung, in der die Funktion ansteigt. Desto enger die Niveaulinien aneinander liegen, desto gr\"o\ss er ist die `Steigung', und desto l\"anger sind die Gradienten.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{niveaugradienten.pstex_t}
\caption{Niveaulinien und  Gradienten f\"ur eine Funktion $f\colon \R^2\to \R$.}
\footnotemark
\label{fig:niveaugradienten}
\end{center}
\end{figure}
\footnotetext{Wie schaut der zugeh\"orige Graph dieser Funktion aus?}


%======================================================
\section{Die Taylorformel und lokale Extrema}
In Analysis~I hatten wir gesehen, dass wir Funktionen auf $\R$ in der Umgebung von einem Punkt durch die Taylorpolynome  approximieren k\"onnen. Ganz analog wollen wir jetzt 
Taylorpolynome in mehreren Variablen\footnote{Ein Polynom in den Variablen $\xi_1,\dots,\xi_n$ ist eine Funktion auf $\R^n$ von der Form 
\[f(\xi_1,\dots,\xi_n)\,=\,-5\xi_1\xi_2^3+\xi_1\xi_3\xi_n^7+\smfrac{2}{3}\xi_3\xi_4^2.\]} einf\"uhren, um Funktionen auf $\R^n$  zu approximieren. Zudem wollen wir in diesem Kapitel Methoden finden um mithilfe von partiellen Ableitungen lokale Maxima und Minima von Funktionen $f\colon \R^n\to \R$ zu bestimmen.


%======================================================
\subsection{Die Taylorformel aus der Analysis~I}

Bevor wir Taylorpolynome  f\"ur Funktionen $\R^k\to \R$ einf\"uhren, erinnern wir an das Taylorpolynom aus der Analysis~I.
Es sei also $g\colon (a,b)\to \R$ eine $C^k$-Funktion\footnote{Zur Erinnerung, wir sagen eine Funktion $f\colon (a,b)\to \R$ ist eine $C^k$-Funktion, wenn $f$ $k$-mal stetig differenzierbar ist.} und $c\in (a,b)$.
Dann hei\ss t
\[\hspace{0.8cm}  p_k(t)\,\,:=\,\,p_{k,c}(t)\,\,:=\,\,\sum_{m=0}^k\frac{1}{m!}g^{(m)}(c)(t-c)^m\]
das \emph{$k$-te Taylorpolynom von $g$ bei $c$}.
Zur Erinnerung, das Polynom $p_{k}$ zeichnet sich dadurch aus,
dass f\"ur alle $m=0,\dots,k$ gilt:
\[ p_k^{(m)}(c)\,\,=\,\,g^{(m)}(c),\]
d.h.\ die ersten $k$ Ableitungen von $p_k$ und $g$ stimmen am Punkt $c$ \"uberein.
 Der folgende Satz ist nun
Satz~15.4 aus der Analysis~I:

\begin{satz}\label{satz:taylorana1}
Es sei $g\colon (a,b)\to \R$ eine $C^{k}$-Funktion und $c\in (a,b)$, dann gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{5cm}\underset{t\to c}{\lim} \lmfrac{g(t)-p_{k,c}(t)}{(t-c)^k}&=&0.
\intertext{Oder anders ausgedr\"uckt, es ist}
g(c+\xi)&=&p_k(c+\xi)+o(\xi^m).
\end{array}
\end{align*}
\end{satz}

Eine etwas genauere Formulierung ist durch  Satz~15.6 aus der Analysis~I gegeben:\footnote{Warum folgt aus Satz~\ref{satz:lagrange} auch Satz~\ref{satz:taylorana1}?}

\begin{satz}\textbf{\emph{(Restgliedformel von Lagrange)}}\label{satz:lagrange}
Es sei $g\colon (a,b)\to \R$ eine $C^{k}$-Funktion, $c\in (a,b)$ und $t\in (a,b)$.
Dann existiert ein $\theta$ zwischen $c$ und $t$, so dass
\[ g(t)\,\,=\,\,p_{k-1,c}(t)\,\,+\,\, \lmfrac{1}{k!} \,g^{(k)}(\theta)\cdot (t-c)^{k}.\]
\end{satz}


%======================================================
\subsection{Die Taylorformel im $\R^n$}
Die Idee ist nun eine Funktion $\R^n\to \R$ durch ein Polynom in $n$ Variablen zu approximieren.
Wir f\"uhren dazu zuerst die Taylorpolynome von Funktionen in $n$ Variablen ein, und danach zeigen wir, dass diese in der Tat die urspr\"ungliche Funktion approximieren.

\begin{definition}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine $k$-mal stetig differenzierbare Funktion.
Es sei $x\in U$. Wir bezeichnen
\footnote{Selbst wenn es die Notation etwas verheimlicht, der Ausdruck auf der rechten Seite ist ein Polynom in den Variablen $\xi_1,\dots,\xi_n$.}
\[ p_k(\xi_1,\dots,\xi_n)\,\,:=\,\,\sum_{m=0}^k\underset{=:q_m(\xi_1,\dots,\xi_m)}{\underbrace{\lmfrac{1}{m!}\sum\limits_{i_1=1}^n\dots \sum\limits_{i_m=1}^n \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_1}}\dots \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_m}}\,f(x)\cdot \xi_{i_1}\cdots \xi_{i_m}}}.\]
als das \emph{$k$--te Taylorpolynom von $f$ im Punkt $x$}.
\end{definition}

Diese Definition wirkt am Anfang etwas einsch\"uchternd, aber wie f\"ur das $k$-te Taylorpolynom in Analysis~I betrachten wir wieder f\"ur $m=0,\dots,k$ die (partiellen) Ableitungen von Grad $m$. Nachdem es viele solche partiellen Ableitungen gibt, m\"ussen wir notgedrungen auch alle partiellen Ableitungen von Grad $m$ ber\"ucksichtigen.

\begin{bemerkung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Wenn $n=1$,  dann ist gibt es f\"ur jedes $m$ genau die M\"oglichkeit $i_1=\dots=i_m=1$ zu ber\"ucksichtigen, d.h.\ wir bilden genau die $m$-te Ableitung von $f$. Es folgt, dass
\[ p_k(\xi)\,\,=\,\,\sum_{m=0}^k \frac{1}{m!}f^{(m)}(x)\xi^m.\]
Wenn $x=0$, dann ist dies gerade das \"ubliche Taylorpolynom aus der Analysis~I. Wenn $x\ne 0$, dann erhalten wir das Taylorpolynom aus der Analysis~I um `$x$ auf der $x$-Achse verschoben'.
\item Das $k$-te Taylorpolynom ist so gew\"ahlt,  dass die partiellen Ableitungen von $f$ bis zur Ordnung $k$ am Punkt $x$  den partiellen Ableitungen von $p_k$ am Punkt $0$ entsprechen.
Diese Aussage wird f\"ur den  Spezialfall $k=2$ im 6.~\"Ubungs\-blatt bewiesen. Der allgemeine Fall ist ebenfalls nicht schwierig zu beweisen, aber die Notation wird etwas un\"ubersichtlich.
\end{enumerate}
\end{bemerkung}

Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir fast durchgehend nur die Taylorpolynome $p_0,p_1,p_2$ betrachten. Wir wollen daher im Folgenden  explizite Formeln f\"ur die  Polynome $q_0$, $q_1$ und $q_2$ und damit auch f\"ur die Taylorpolynome $p_0$, $p_1$ und $p_2$  geben.
 
Es sei also $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zudem sei $x\in U$. 
Wir betrachten zuerst das Polynom $q_0$. In diesem Fall ist $m=0$, d.h.\ $\frac{1}{m!}=\frac{1}{0!}=1$. Zudem leiten wir $f$ nicht ab.  Es folgt also, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.4cm} q_0(\xi)&=&f(x).
\intertext{Anders ausgedr\"uckt, $q_0(\xi)$ ist das konstante Polynom $f(x)$. 
Wir wenden uns dem Polynom $q_1$ zu. Dann ist $m=1$, d.h.\ $\frac{1}{m!}=\frac{1}{1!}=1$. Es folgt dann sofort aus der Definition von $q_1(\xi_1,\dots,\xi_n)$, dass}
 q_1(\xi_1,\dots,\xi_n)&=&\lmsum{i=1}{n}\lmfrac{\partial}{\partial_i}f(x)\xi_i.
\intertext{F\"ur $m=2$ erhalten wir zudem, dass }
 q_2(\xi)&=&\lmfrac{1}{2} \lmsum{i=1}{n}\sum\limits_{j=1}^n \lmfrac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}f(x)\cdot \xi_i\xi_j.\end{array}
\end{align*}
\label{equ:q2}

% Ende 10. Vorlesung 

Wir k\"onnen jetzt den wichtigsten Satz dieses Kapitels formulieren:
\footnote{Im Spezialfall $n=1$ ist die Aussage von Satz~\ref{satz:taylor} genau die Aussage von Satz~\ref{satz:taylorana1}, allerdings mit einer etwas anderen Notation.}

\begin{satz}\label{satz:taylor} \textbf{\emph{(Satz von Taylor)}}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine $k$-mal stetig differenzierbare Funktion.
Es sei $x\in U$. Wir bezeichnen mit $p_k(\xi)$ das $k$--te Taylorpolynom von $f$ im Punkt $x$. Dann gilt
\[ f(x+\xi)\,\,=\,\,p_k(\xi)\,\,+\,o(\|\xi\|^k).\]
\end{satz}

Es sei also $U\subset \R^n$ offen und es sei $f\colon U\to \R$ eine $k$-mal stetig differenzierbare Funktion. Zudem sei $x\in U$. 
Das Ziel ist also zu zeigen, dass man f\"ur `kurze' Vektoren $\xi \in \R^n$ den Funktionswert $f(x+\xi)$ durch $p_k(\xi)$  ann\"ahern kann.

Der Beweis von Satz~\ref{satz:taylor} besteht  grob gesprochen aus den  folgenden drei Schritten.
\begin{enumerate}
\item F\"ur jedes `kurze' $\xi$ wollen wir $f(x+\xi)$ ann\"ahern, dazu betrachten wir f\"ur jedes $\xi$  die Funktion
\[ \begin{array}{rcl}\R&\to &\R^n\\
 t&\mapsto &f(x+t\xi).\end{array}\]
Wir k\"onnen nun Satz~\ref{satz:lagrange} auf diese Funktion und mit $t=1$  anwenden. 
\item Um das Ergebnis aus (1) mit Satz~\ref{satz:taylor} in Verbindung zu bringen, m\"ussen wir die Ableitungen von $t\mapsto f(x+t\xi)$ durch die partiellen Ableitungen von $f$ ausdr\"ucken.
F\"ur  $k=1$ und $k=2$ hatten wir solche Formeln  schon in den S\"atzen~\ref{satz:kettenregel1} und~\ref{satz:kettenregel2} formuliert und bewiesen. 
\item Wir m\"ussen dann noch zeigen, dass die Aussagen f\"ur jedes einzelne $\xi$ dann auch in der Tat die gew\"unschte Aussage liefern. Hierbei verwenden wir, dass $f$ $k$-mal stetig differenzierbar ist, d.h.\ wir k\"onnen den Fehlerterm in Satz~\ref{satz:lagrange} in der N\"ahe von $0$ kontrollieren.
\end{enumerate} 



%======================================================
\subsection{Beweis von Satz~\ref{satz:taylor}}
In diesem Kapitel werden wir die obigen  drei Schritte f\"ur den Beweis von Satz~\ref{satz:taylor} ausf\"uhren.
Wir beginnen dieses Kapitel  mit folgendem Satz, welcher dem 2.\ Schritt entspricht.


\begin{satz}\label{satz:falongv}
Es sei $f\colon \R^n\to \R$ eine $k$-mal stetig differenzierbare Funktion.
Es sei $x\in \R^n$ und zudem sei $\xi \in \R^n$ ein Vektor.
Dann ist die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} g\colon [0,1]&\to & \R \\
t&\mapsto & f(x+t\xi) \end{array} \]
$k$--mal stetig differenzierbar, und es gilt \footnote{Die Notation $\sum\limits_{i_1,\dots,i_k=1}^n$ ist eine Abk\"urzung von $\sum\limits_{i_1=1}^n\,\sum\limits_{i_2=1}^n\dots \sum\limits_{i_k=1}^n$.}
\[ g^{(k)}(t)\,\,=\,\,\sum_{i_1,\dots,i_k=1}^n \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_k}}\cdots \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_1}}f(x+t\xi)\,\xi_{i_1}\cdots \xi_{i_k}.\]
\end{satz}

F\"ur $k=1$ entspricht dieser Satz gerade der Aussage von Satz~\ref{satz:kettenregel1}
und f\"ur $k=2$ ist dies  Satz~\ref{satz:kettenregel2}. Wir hatten beide S\"atze dadurch bewiesen, dass wir die \ref{satz:kettenregel} einmal, beziehungsweise zweimal angewandt hatten. Satz~\ref{satz:falongv} wird nun, nicht \"uberraschend, dadurch bewiesen, dass wir die \ref{satz:kettenregel} insgesamt $k$-Mal anwenden.


\begin{proof}
Wir beweisen die Behauptung durch Induktion nach $k$. F\"ur $k=1$ folgt aus der Kettenregel, genauer gesagt aus Satz~\ref{satz:kettenregel1}, dass
\[ g'(t)\,\,=\,\,\lmfrac{d}{dt}f(x+t\xi)\,\,=\,\,\sum_{i=1}^n \lmfrac{\partial}{\partial x_{i}}f(x+t\xi)\xi_i.\]
Wir f\"uhren nun den Induktionsschritt $k-1\to k$ durch. Wir nehmen also an, dass die Aussage f\"ur $k-1$ gilt. Dann folgt, dass
\[ \begin{array}{rcll} g^{(k)}(t)&=&\tmfrac{d}{dt} g^{(k-1)}(t)\\[2mm]
&=&\tmfrac{d}{dt}\Bigg( \sum\limits_{i_1,\dots,i_{k-1}=1}^n \tmfrac{\partial}{\partial x_{i_{k-1}}}\cdots \tmfrac{\partial}{\partial x_{i_1}}f(x+t\xi)\xi_{i_1}\cdots \xi_{i_{k-1}}\Bigg)&\mbox{Induktionsannahme}\\
&=& \sum\limits_{i_1,\dots,i_{k-1}=1}^n \tmfrac{d}{dt}\bigg( \tmfrac{\partial}{\partial x_{i_{k-1}}}\cdots \tmfrac{\partial}{\partial x_{i_1}}f(x+t\xi)\bigg)\cdot \xi_{i_1}\cdots \xi_{i_{k-1}}\\
&=&\sum\limits_{i_1,\dots,i_{k-1}=1}^n \sum\limits_{j=1}^n \tmfrac{\partial}{\partial x_j}\bigg( \tmfrac{\partial}{\partial x_{i_{k-1}}}\cdots \tmfrac{\partial}{\partial x_{i_1}}f(x+t\xi)\bigg)\xi_j\cdot \xi_{i_1}\cdots \xi_{i_{k-1}}&\begin{array}{l}\mbox{Satz~\ref{satz:kettenregel1} angewandt}\\
\mbox{auf }
\frac{\partial}{\partial x_{i_{k-1}}}\cdots \frac{\partial}{\partial x_{i_1}}f\end{array} \\
&=& \sum\limits_{i_1,\dots,i_k=1}^n \tmfrac{\partial}{\partial x_{i_k}}\cdots \tmfrac{\partial}{\partial x_{i_1}}f(x+t\xi)\xi_{i_1}\cdots \xi_{i_k}&\mbox{wir ersetzen $j$ durch $i_k$}.\end{array} \]
Wir haben damit den Induktionsschritt vollzogen, insbesondere haben wir jetzt den Satz bewiesen.
\end{proof}

Der folgende Hilfssatz entspricht gerade den oben genannten ersten beiden Schritten im obigen Programm f\"ur den Beweis von Satz~\ref{satz:taylor}.

\begin{satz}\label{satz:existtheta}
Es sei  $f\colon \R^n\to \R$ eine $k$--mal stetig differenzierbare Funktion. Zudem sei $x\in \R^n$. Wir bezeichnen mit $p_{k-1}$ das $k$-te Taylorpolynom von $f$ am Punkt $0$. F\"ur alle Vektoren $\xi \in \R^n$  existiert ein $\theta \in [0,1]$, so dass
\[ f(\xi)\,\,=\,\,p_{k-1}(\xi)\,\,+\,\,\lmfrac{1}{k!}\sum_{i_1,\dots,i_k=1}^n \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_k}}\cdots \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_1}}f(\theta\xi)\,\xi_{i_1}\cdots \xi_{i_k}.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Wir wenden  Satz~\ref{satz:lagrange} an auf die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} g\colon \R&\to & \R \\
t&\mapsto & g(t):=f(t\xi), \end{array} \]
mit $c=0$ und $t=1$. Der Satz folgt dann sofort aus Satz~\ref{satz:falongv} und der Definition von $p_{k-1}$.
\end{proof}

Wir k\"onnen nun Satz~\ref{satz:taylor} beweisen.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:taylor}]
Wir beweisen  Satz~\ref{satz:taylor} im Spezialfall, dass $U=\R^n$ und $x=0$. Der allgemeine Fall wird fast genauso bewiesen.

Es sei also $f\colon \R^n\to \R$ eine $k$-mal stetig differenzierbare Funktion.
Wir wollen zeigen, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{5.7cm} f(\xi)&=&p_k(\xi)\,\,+\,o(\|\xi\|^k).
\intertext{Sei also $\epsilon>0$. Wir m\"ussen zeigen, dass es  ein $\delta>0$ gibt, so dass}
 |f(\xi)-p_k(\xi)|&\leq &\epsilon \|\xi\|^k \quad \mbox{ f\"ur alle $\xi\in B_\delta(0)$.}\end{array} \end{align*}
Nach Satz~\ref{satz:existtheta} existiert zu jedem $\xi \in \R^n$  ein $\theta\in [0,1]$, so dass
\[ f(\xi)\,\,=\,\,p_{k-1}(\xi)\,\,+\,\,\lmfrac{1}{k!}\sum_{i_1,\dots,i_k=1}^n \lmfrac{\partial^k}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_1}}f(\theta\xi)\cdot \xi_{i_1}\cdots \xi_{i_k}.\]
Es folgt aus der Definition von $p_k(\xi)$, dass
\[ \begin{array}{rcl} &&|f(\xi)-p_k(\xi)|\\
&=& |f(\xi)-p_{k-1}(\xi)-q_k(\xi)|\\
&=&\bigg| \underset{=f(\xi)-p_{k-1}(\xi)}{\underbrace{\smfrac{1}{k!}\setminussum{i_1,\dots,i_k=1}{n} \smfrac{\partial^k}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_1}}f(\theta\xi)\cdot \xi_{i_1}\cdots \xi_{i_k}}}\,\,-\,\,\underset{=q_k(\xi)}{\underbrace{\smfrac{1}{k!}\setminussum{i_1,\dots,i_k=1}{n} \smfrac{\partial^k}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_1}}f(0)\cdot \xi_{i_1}\cdots \xi_{i_k}}}\bigg|\\[2mm]
&\leq &  \smfrac{1}{k!} \underset{\opnormal{$n^k$ Summanden}}{\underbrace{\setminussum{i_1,\dots,i_k=1}{n} \bigg| \smfrac{\partial^k}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_1}}f(\theta\xi)\, - \, \smfrac{\partial^k}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_1}}f(0)\bigg|}}\cdot \underset{\leq \|\xi\|^k}{\underbrace{\underset{\leq \|\xi\|}{\underbrace{ |\xi_{i_1}|}}\cdots \underset{\leq \|\xi\|}{\underbrace{ |\xi_{i_k}|}}}}\\
&\leq &  \|\xi\|^k\cdot  \smfrac{1}{k!}  k^n\cdot \underset{i_1,\dots,i_k}{\max} \bigg| \smfrac{\partial^k}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_1}}f(\theta\xi)\, - \, \smfrac{\partial^k}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_1}}f(0)\bigg|.\\
&&\hspace{5.7cm}\uparrow \\
&&\hspace{4.9cm}{\phantom{a}}^{\|\theta\xi\|\leq \|\xi\|}
\end{array} \]
Aus der Stetigkeit der $k$-fachen partiellen Ableitungen folgt, dass es ein $\delta>0$ gibt, so dass f\"ur alle $i_1,\dots,i_k\in \{1,\dots,n\}$  und $y\in B_\delta(0)$ gilt:
\[ \bigg\|   \smfrac{\partial^k}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_1}}f(y) - \smfrac{\partial^k}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_1}}f(0)\bigg\|\,\,<\,\,\epsilon\cdot \lmfrac{k!}{n^k}.\]
Es folgt sofort aus der obigen Absch\"atzung, dass dieses $\delta$ die gew\"unschte Eigenschaft besitzt.
\end{proof}


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\subsection{Eine alternative Definition  der  Taylorpolynome $(*)$}
Dieses Kapitel ist nicht Teil der offiziellen Vorlesung.

Die Definition des Taylorpolynoms in mehreren Variablen hat zwei Nachteile:
\begin{enumerate}
\item die Definition ist lang und optisch nicht besonders ansprechend, 
\item die Berechnung ist umst\"andlich, weil wir alle partiellen Ableitungen hinschreiben m\"ussen, ohne auszun\"utzen, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge wir diese bestimmen.
\end{enumerate}
In diesem Kapitel werden wir eine alternative Definition der Taylorpolynome kennenlernen, welche beide Problem behebt.

Allerdings m\"ussen wir dazu zuerst einige Notationen einf\"uhren.

\begin{notation}
F\"ur ein $n$--Tupel $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in \N_0^n$ definieren wir
\begin{align*}\begin{array}{rcl} |\alpha|&:=& \alpha_1+\dots+\alpha_n, \\
\alpha!&:=& \alpha_1!\, \alpha_2! \, \dots \, \alpha_n! 
\intertext{F\"ur  $x=(x_1,\dots,x_n)\in \R^n$ schreiben wir}
 x^\alpha&:=&x_1^{\alpha_1}\cdot \dots \cdot x_n^{\alpha_n}.
\intertext{Wenn $f$ eine $|\alpha|$--mal stetig differenzierbare Funktion ist, so setzen wir}
 \hspace{6cm} D^\alpha  f&:=&\lmfrac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_n^{\alpha_n}}.\end{array} \end{align*}
\end{notation}

Wir k\"onnen nun folgenden Satz formulieren.

\begin{satz}\label{satz:taylorpolynomdef2}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine $k$-mal stetig differenzierbare Funktion.
Es sei $x\in U$. Dann gilt
\footnote{Wir nehmen also die Summe \"uber alle $\alpha\in \N_0^n$, so dass $|\alpha|=m$.}
\[ p_k(x)\,\,=\,\,\sum_{m=0}^k\sum\limits_{|\alpha|=m}\lmfrac{1}{\alpha!}D^\alpha  f(x)\xi^\alpha.\]
\end{satz}

Diese Schreibweise des Taylorpolynoms ist deutlich kompakter als die urspr\"ungliche Definition und \"ahnelt auch deutlich mehr der Definition im ein-dimensionalen Fall.
Zudem besitzt die Formel in Satz~\ref{satz:taylorpolynomdef2} f\"ur jedes $m$ deutlich weniger Summanden als in der urspr\"unglichen Definition von $q_m(\xi)$.\footnote{Wieviele Summanden gibt es jeweils f\"ur $m=2$ und ein beliebiges $n$?}

\begin{proof} 
Es folgt sofort aus den Definitionen, dass es gen\"ugt folgende Behauptung zu beweisen.

\begin{behauptung}
F\"ur alle $m=0,\dots,k$ gilt
\[\sum_{i_1,\dots,i_m=1}^n \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_m}}\cdots \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_1}}f(x)\xi_{i_1}\cdots \xi_{i_m}\,\,=\,\,\sum_{|\alpha|=m} \lmfrac{m!}{\alpha!} (D^\alpha  f)(x) \cdot \xi^\alpha.\]
\end{behauptung}


Es seien $i_1,\dots,i_m\in \{1,\dots,n\}$.
Wenn unter den Indizes $i_1,\dots,i_m$ der Index 1 genau $\alpha_1$-mal, der Index 2 genau $\alpha_2$-mal etc. vorkommt, so folgt aus der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen, dass
\[  \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_m}}\cdots \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_1}}f(x)\xi_{i_1}\cdots \xi_{i_m}\,\,=\,\,\lmfrac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_n^{\alpha_n}}f(x)\xi_1^{\alpha_1}\cdots \xi_n^{\alpha_n}\,\,=\,\,D^\alpha  f(x)\cdot \xi^\alpha.\]
F\"ur gegebenes $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ mit $|\alpha|=m$ gibt es genau
\[ \lmfrac{m!}{\alpha_1!\cdots \alpha_n!}\,\,=\,\,\lmfrac{m!}{\alpha!} \]
$m$--Tupel $(i_1,\dots,i_m)$, bei denen jede Zahl $s$ genau $\alpha_s$ Mal vorkommt.
\footnote{
F\"ur vorgegebene $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ wollen wir also wissen, wieviele $m$-Tupel $(i_1,\dots,i_m)$ gibt es, so dass
die 1 genau $\alpha_1$-Mal, die 2 genau $\alpha_2$-Mal etc. vorkommt.
Ein solches $m$-Tupel ist gegeben durch 
 \[ \Big(
 \underset{\alpha_1-\operatorname{Mal}}{\underbrace{1,\dots,1}},\underset{\alpha_2-\operatorname{Mal}}{\underbrace{2,\dots,2,}},
\dots,\underset{\alpha_n-\operatorname{Mal}}{\underbrace{n,\dots,n}}\Big).\]
Wir erhalten alle anderen $m$-Tupel indem wir eine Permutation auf dieses $m$-Tupel anwenden. Andererseits \"andert sich das Tupel nicht, wenn wir nur die $\alpha_1$-Eintr\"age mit Eintrag $1$ permutieren, oder nur die $\alpha_2$-Eintr\"age mit Eintrag $2$ permutieren, usw. Zusammengefasst erhalten wir also, dass 
\[ \mbox{Zahl solcher $m$-Tupel}\,\,=\,\,\frac{\mbox{Zahl der Permutationen von $(1,\dots,m)$}}{\prod\limits_{j=1}^m\mbox{Zahl der Permutationen von $(1,\dots,\alpha_j)$}}\,\,=\,\,\frac{m!}{\alpha_1!\cdots \alpha_m!}.\]
}
 Es folgt, dass f\"ur gegebenes $\alpha\in \N_0^n$ mit $|\alpha|=m$,
in dem Ausdruck
\[  \sum_{i_1,\dots,i_m=1}^n \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_m}}\cdots \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_1}}f(x)\xi_{i_1}\cdots \xi_{i_m}\]
die partielle Ableitung $D^\alpha  f(x)$ genau $\frac{m!}{\alpha!}$ Mal erscheint. Es folgt die Behauptung.
\end{proof}



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\subsection{Das zweite Taylorpolynom  und die Hessesche Matrix}
Wir erinnern zuerst an den Satz von Taylor, welchen wir gerade bewiesen hatten. Der Satz lautet wie folgt:

\begin{satz} \textbf{\emph{(Satz von Taylor)}}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine $k$-mal stetig differenzierbare Funktion.
Es sei $x\in U$. Dann gilt
\begin{align*}\begin{array}{rcl}
 \hspace{3.55cm} f(x+\xi)&=&p_k(\xi)\,\,+\,o(\|\xi\|^k),
\intertext{wobei}
 p_k(\xi)&=&\lmsum{m=0}{k} \lmfrac{1}{m!}\lmsum{i_1=1}{n}\dots \lmsum{i_m=1}{n} \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_1}}\dots \lmfrac{\partial}{\partial x_{i_m}}\,f(x)\xi_{i_1}\cdots \xi_{i_m}.\end{array} \end{align*}
\end{satz}

Wenn $k=1$, dann hatten wir schon gesehen, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4cm} p_1(\xi)&=&q_0(\xi)+q_1(\xi)=f(x)+\langle \operatorname{Grad} f(x),\xi\rangle, 
\intertext{und wir erhalten aus dem Satz von Taylor, dass}
 f(x+\xi)&=&f(x)+\langle \operatorname{Grad} f(x),\xi\rangle\,\,+\,o(\|\xi\|).\end{array} \end{align*}
\footnote{Diese Aussage ist \"aquivalent  zu der Aussage, dass
\[ \lim_{\xi\to 0} \frac{f(x+\xi)-f(x)-\langle \operatorname{Grad} f(x),\xi\rangle}{|\xi\|}=0,\]
welches gerade die Definition der Differenzierbarkeit am Punkt $x$ mit Differential $\operatorname{Grad} f(x)$ ist.}
Der Fall $k=2$ ist vielleicht der wichtigste Spezialfall. Es folgt sofort aus den Definitionen, siehe auch  Seite~\pageref{equ:q2}, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} q_2(\xi)&=&\lmfrac{1}{2} \lmsum{i=1}{n}\lmsum{j=1}{n} \lmfrac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}f(x)\cdot \xi_i\xi_j.
\intertext{Es folgt also, dass}
\hspace{1.8cm}  f(x+\xi)&=& f(x)+\langle \operatorname{Grad} f(x),\xi\rangle\,\,+\lmfrac{1}{2} \lmsum{i=1}{n}\lmsum{j=1}{n} \lmfrac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}f(x)\cdot \xi_i\xi_j+\,o(\|\xi\|^2).\end{array} \end{align*}
Um die Notation etwas zu vereinfachen f\"uhren wir die Hessesche Matrix ein:

\begin{definition}
Es sei $U\subset \R^n$ offen, $x\in U$ ein Punkt und $f\colon U\to \R$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion.
Die $n\times n$--Matrix
\[ \operatorname{Hess} f(x)\,\,:=\,\,\bigg(\lmfrac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}f(x)\bigg)_{i,j=1,\dots,n}=\,\,
\begin{pmatrix} \tmfrac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_1}f(x)&\dots &\tmfrac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_n}f(x)\\
\vdots&&\vdots \\
\tmfrac{\partial^2}{\partial x_n\partial x_1}f(x)&\dots &\tmfrac{\partial^2}{\partial x_n\partial x_n}f(x)\end{pmatrix}.
\]
wird als die \emph{Hessesche Matrix von $f$ im Punkt $x$} bezeichnet.
\footnote{Der Name geht auf den Mathematiker Otto Hesse zur\"uck
\[ \mbox{\url{http://de.wikipedia.org/wiki/Otto_Hesse}}\]
}
\end{definition}

\begin{bemerkung}
Nach Satz~\ref{satz:xyyx} sind die partiellen Ableitungen vertauschbar. Es folgt, dass $\operatorname{Hess} f(x)$ eine symmetrische Matrix ist.
\end{bemerkung}

Wir k\"onnen nun folgendes Korollar zum Satz von Taylor formulieren.

\begin{korollar}\label{kor:taylorapproximationm2}
Es sei $U\subset \R^n$ offen, $x\in U$ ein Punkt und $f\colon U\to \R$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion.
Dann gilt
\[ f(x+\xi)\,=\,f(x)+\langle \operatorname{Grad} f(x),\xi\rangle\,\,+\lmfrac{1}{2} \langle \xi,\operatorname{Hess} f(x) \xi\rangle  +o(\|\xi\|^2).\]
\end{korollar}

\begin{bemerkung}
Eine elementare Rechnung zeigt, dass f\"ur jede symmetrische $n\times n$-Matrix $H$ und jeden Vektor $\xi\in \R^n$ gilt, dass $\langle \xi,H\xi\rangle=\langle H\xi,\xi\rangle$. Aus der Symmetrie der Hesse-Matrix folgt also, dass
\[ \langle \xi,\operatorname{Hess} f(x) \xi\rangle\,\,=\,\,\langle \operatorname{Hess} f(x) \xi,\xi\rangle.\]
\end{bemerkung}

\begin{proof}
Das Korollar folgt aus der obigen Gleichung und der elementaren Berechnung, dass f\"ur eine beliebige $n\times n$-Matrix $H=(h_{ij})$ und einen beliebigen Vektor $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)\in \R^n$ gilt, dass 
\[ \begin{array}{rcl}\langle \xi, H\xi\rangle&=&\bigg\langle (\xi_1,\dots,\xi_n),\bigg(\sum\limits_{i=1}^n h_{1i}\xi_i,\dots,\sum\limits_{i=1}^n h_{ni}\xi_i\bigg)\bigg\rangle\\
&=&\sum\limits_{i=1}^n h_{1i}\xi_1\xi_i+\dots+\sum\limits_{i=1}^n h_{ni}\xi_n\xi_i\\
&=&\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^n h_{ji}\xi_i\xi_j.\end{array} \]
\end{proof}

Aus Satz~\ref{satz:kettenregel1} und  Satz~\ref{satz:kettenregel2}, der Berechnung vom Beweis von Korollar~\ref{kor:taylorapproximationm2} und den Definitionen 
folgt leicht folgende hilfreiche Interpretation von den Werten $\langle v,\operatorname{Hess} f(x)v\rangle $:

\begin{lemma}\label{lem:hessian}
Es sei $U\subset \R^n$ offen,  $x\in U$
und es sei  $f\colon U\to \R$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion.
Es sei
 $v\in \R^n$ ein Vektor und $\epsilon>0$, so dass $x+tv\in U$ f\"ur alle $t\in (-\epsilon,\epsilon)$.
F\"ur die Funktion
\begin{align*} \begin{array}{rcl}
\hspace{5.5cm} g\colon (-\epsilon,\epsilon)&\to & \R \\ t&\mapsto & f(x+tv).
\intertext{gilt}
g(0)&=&f(x)\\
g'(0)&=&\langle \operatorname{Grad} f(x),v\rangle\\
 g''(0)&=&\langle v,\operatorname{Hess} f(x) v\rangle.\end{array} \end{align*}
\end{lemma}

Die Aussage des Lemmas wird in Abbildung~\ref{fig:zweiteableitung} illustriert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{zweiteableitung.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:zweiteableitung}
\end{center}
\end{figure}



%======================================================
\subsection{Lokale Extrema I}\label{section:extrema}

\begin{definition}
Es sei  $f\colon U\to \R$ eine Funktion auf einer Teilmenge $U$ von $\R^n$. 
\begin{enumerate}
\item Wir sagen, $x\in U$ ist ein \emph{globales Minimum} (oder auch \emph{absolutes Minimum}), wenn  $f(x)\leq f(y)$ f\"ur alle $y\in U$.
\item Wir sagen, $x\in U$ ist ein \emph{lokales Minimum} (oder auch \emph{relatives Minimum}), wenn es eine  Umgebung $V$ von $x$ gibt, so dass $f(x)\leq f(y)$ f\"ur alle $y\in V$.
\item Wir sagen, $x\in U$ ist ein \emph{striktes lokales Minimum}, wenn es eine  Umgebung $V$ von $x$ gibt, so dass $f(x)< f(y)$ f\"ur alle $y\ne x\in V$.
\end{enumerate}
Ganz analog definieren wir  \emph{globales Maximum} und \emph{(striktes) lokales Maximum}. Ein (striktes) lokales Extremum ist ein (striktes) lokales Maximum oder Minimum.
\end{definition}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{minima.pstex_t}
\caption{Definition von globalen und (strikten) lokalen Extrema.}
\label{fig:minima}
\end{center}
\end{figure}

Wir werden in den folgenden Kapiteln  Methoden kennenlernen, um lokale Extrema von zweimal stetig differenzierbaren Funktionen auf offenen Teilmengen zu bestimmen. Im Anschlu\ss\, daran  werden wir dann studieren, wie wir globale Extrema von Funktionen bestimmen k\"onnen.

In Kapitel 12 von Analysis~I hatten wir gesehen, dass wenn $f\colon (a,b)\to \R$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist, dann gilt f\"ur $x\in (a,b)$, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 x \emph{ lokales Minimum } &\Longrightarrow & f'(x)=0\mbox{ und } f''(x)\geq 0, 
\intertext{und}
\hspace{3cm}f'(x)=0\mbox{ und }f''(x)>0 &\Longrightarrow & x \emph{ striktes lokales Minimum. }\end{array} \end{align*}
Das Ziel ist nun, diese Aussagen aus der Analysis~I auf zweimal stetig differenzierbare Funktionen $f\colon U\to \R$ zu verallgemeinern.

Es ist offensichtlich, dass das Differential von $f\colon U\to \R$ (oder \"aquivalent, der Gradient), die Rolle der 1. Ableitung spielt, und wir erhalten, nicht \"uberraschend, folgenden Satz:

\begin{satz}\label{satz:extremumgrad}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine partiell differenzierbare Funktion.
Wenn $x\in U$ ein lokales Extremum von $f$ ist, dann gilt
\[ \operatorname{Grad} f(x)\,\,=\,\,0.\]
\end{satz}

Im Folgenden sagen wir, \emph{$x$ ist ein kritischer Punkt von $f$}, wenn $\operatorname{Grad} f(x)=0$. 

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{minima-partielle-ableitungen.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Satz~\ref{satz:extremumgrad}.}
\label{fig:minima-partielle-ableitungen}
\end{center}
\end{figure}


\begin{proof}
Es sei $i\in \{1,\dots,n\}$. Nachdem $U$ offen ist gibt es ein $\epsilon>0$, so dass $x+te_i\in U$ f\"ur alle $t\in (-\epsilon,\epsilon)$. Wir betrachten nun die Funktion
\[ \hspace{0.3cm} \begin{array}{rcl} g_i\colon (-\epsilon,\epsilon)&\to & \R \\
t&\mapsto & f(x+te_i).\end{array} \]
Nach Voraussetzung und nach der \ref{satz:kettenregel} ist diese Funktion differenzierbar und sie nimmt in $t=0$ ein lokales  Extremum an.\footnote{Hier ist das ausf\"uhrliche Argument dazu. 
\label{note:extremumgrad}
Nehmen wir an, $x$ sei ein lokales Minimum von $f$. Dann gibt es eine offene Umgebung $V$ von $x$, so dass $f(y)\geq f(x)$ f\"ur alle $y\in V$. Aus der Definition von einer offenen Umgebung folgt, dass es ein $\eta>0$ gibt, so dass $B_\eta(y)\subset V$. Dann gilt aber auch f\"ur alle $t\in (-\eta,\eta)$, dass $f(x+te_i)\in V$. Insbesondere gilt f\"ur alle solche $t$, dass $f(x+te_i)\geq f(x)$. Also ist $t=0$ in der Tat ein lokales Minimum von $t\mapsto f(x+te_i)$.} Es folgt also aus Lemma~12.1 von Analysis~I, dass
$g_i'(t)=0$. Andererseits folgt aus der Definition der partiellen Ableitung, dass
\[ \lmfrac{\partial f}{\partial x_i}(x)\,\,=\,\,g_i'(0).\]
Wir haben also gezeigt,  dass alle partiellen Ableitungen von $f$ am Punkt $x$ verschwinden. Insbesondere haben wir bewiesen, dass $\operatorname{Grad} f(x)=0$.
\end{proof}

% Ende 11. Vorlesung


Die Rolle der 2. Ableitung einer Funktion $f\colon (a,b)\to \R$ \"ubernimmt im mehrdimensionalen die Hessesche Matrix.
Es ist auf den ersten Blick vielleicht nicht offensichtlich, was die Verallgemeinerung von $g''(x)>0$ sein soll. Der folgende Satz gibt uns eine Idee, wie wir diese Aussage auf den mehr-dimensionalen Fall verallgemeinern k\"onnen. 

Fast der gleiche Beweis wie von Satz~\ref{satz:extremumgrad} liefert uns folgende Aussage.

\begin{satz}\label{satz:extremumhesse}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine zweifach stetig  differenzierbare Funktion.
Wenn $x\in U$ ein lokales Minimum von $f$ ist, dann gilt f\"ur alle $\xi\in \R^n$, dass 
\[ \langle \xi,\operatorname{Hess} f(x)\xi\rangle \,\,\geq\,\,0.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Sei $x$ ein lokales Minimum und es sei  $\xi\in \R^n$. Nachdem $U$ offen ist existiert ein $\epsilon>0$, so dass $x+t\xi \in U$ f\"ur alle $t\in (-\epsilon,\epsilon)$. 
Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} g\colon (-\epsilon,\epsilon)&\to & \R \\
t&\mapsto & f(x+t\xi).\end{array} \]
Nach Voraussetzung nimmt die Funktion $g$  ein lokales Minimum in $t=0$ an.\footnote{Das Argument daf\"ur wird Fu\ss note \ref{note:extremumgrad} ausgef\"uhrt.} Es folgt aus Satz~12.7 der Analysis~I, dass $g''(0)\geq 0$.
\footnote{Satz~12.7 besagt, dass wenn $g''(0)<0$ w\"are, dann w\"are $0$ ein striktes lokales Maximum, es kann also kein lokales Minimum sein.}
Aus Lemma~\ref{lem:hessian} folgt nun, dass 
\[ \langle \xi,\operatorname{Hess} f(x)\xi\rangle\,\,=\,\,g''(0)\,\,\geq\,\, 0.\]
\end{proof}

Im folgenden Kapitel wollen wir jetzt besser verstehen, was es hei\ss t, dass f\"ur eine $n\times n$-Matrix $H$ gilt, dass $\langle \xi,H\xi\rangle\geq 0$ f\"ur alle $\xi\in \R^n$.

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\subsection{Definite Matrizen und Eigenwerte}\label{section:definitematrizen}
In diesem Kapitel besch\"aftigen wir uns nur mit Matrizen.
Die Aussage von Satz~\ref{satz:extremumhesse} motiviert folgende  Definition:

\begin{definition}
Es sei $A\in M(n\times n,\R)$ eine Matrix.
\begin{enumerate}
\item Die Matrix $A$ hei\ss t \emph{positiv semidefinit}, falls
\[ \langle \xi,A \xi\rangle \geq 0\mbox{ f\"ur alle $\xi \in \R^n\setminus \{0\}$}.\]
\item Die Matrix $A$ hei\ss t \emph{positiv definit}, falls
\[ \langle \xi, A\xi\rangle >0\mbox{ f\"ur alle $\xi \in \R^n\setminus \{0\}$}.\]
\end{enumerate}
Ganz analog definieren wir negativ definit und negativ semidefinit.
\begin{enumerate}
\item[(c)] Die Matrix $A$ hei\ss t \emph{indefinit}, falls $A$ weder positiv semidefinit  noch negativ semidefinit ist.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
 Eine $1\times 1$--Matrix $A=(a)$ ist positiv semidefinit, genau dann, wenn 
 $a\geq 0$, sie ist negative semidefinit, genau dann, wenn $a\leq 0$.
\item Es seien $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ reelle Zahlen. Wir betrachten die diagonale Matrix
\[ D\,=\,\begin{pmatrix} \lambda_1&\dots &0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots& \lambda_n\end{pmatrix}, \mbox{ dann gilt f\"ur $\xi=\begin{pmatrix} \xi_1\\\vdots \\ \xi_n\end{pmatrix}$, dass }\langle \xi,D\xi\rangle=\sum_{i=1}^n\lambda_i\xi_i^2.\]
Es folgt also, dass $A$ positiv definit ist, genau dann, wenn alle $\lambda_i$'s positiv sind. Ganz analog kann man direkt aus den $\lambda_i$'s auch ablesen, ob die Matrix $D$ positiv semidefinit beziehungsweise negativ (semi-) definit ist. Die Matrix ist zudem indefinit genau dann, wenn es einen positiven und einen negativen Eintrag auf der Diagonalen gibt.\label{diagonal-matrix-definit}
\end{enumerate}
\end{beispiel}

F\"ur eine Matrix $P=(p_{ij})$ bezeichnen wir mit $P^t=(p_{ji})$ die zu $P$ \emph{transponierte Matrix}. Anders ausgedr\"uckt, wir erhalten $P^t$ aus $P$ indem wir `die Matrix an der Diagonale spiegeln', d.h.\  indem wir die Spalten und Zeilen vertauschen. Beispielsweise ist
\[ \begin{pmatrix} \hfill 1& 3\\ -2&7\\ \hfill 2&0\end{pmatrix}^t\,\,=\,\,\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ 3&\hfill 7&0\end{pmatrix}.\]
Es folgt sofort aus der Definition der transponierten Matrix, dass $(P^t)^t=P$. Man kann zudem leicht verifizieren, dass $(PQ)^t=Q^tP^t$.
 
Wir k\"onnen jetzt folgendes Lemma formulieren.

\begin{lemma}\label{lem:ptapdefinit}
Es sei $A$ eine $n\times n$-Matrix und $P$ eine invertierbare $n\times n$-Matrix. Dann gilt
\[ \mbox{$A$ ist positiv definit}\quad \Longleftrightarrow \quad \mbox{$P^tAP$ ist positiv definit.}\]
Die analogen Aussagen gelten zudem f\"ur positiv semidefinit, negativ (semi-) definit und indefinit.
\end{lemma}

\begin{bemerkung}
Es ist im Allgemeinen nicht wahr, dass $A$ positiv definit ist, genau dann, wenn $P^{-1}AP$ positiv definit ist. Beispielsweise gilt\label{bsp:nicht-positiv-definit}
\[ \underset{=P^{-1}}{\underbrace{\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2&-1\\ -1&2\end{pmatrix}}}\underset{=A}{\underbrace{\begin{pmatrix} -1&4\\ -4&9\end{pmatrix}}}\underset{=P}{\underbrace{\begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2\end{pmatrix}}}\,\,=\,\,\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&7\end{pmatrix}.\]
Die diagonale Matrix auf der rechten Seite ist positiv definit. Andererseits ist $A$ nicht positiv definit, denn
\[ \langle e_1,Ae_1\rangle\,\,=\,\,\bigg\langle \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1&4\\ -4&9\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}\bigg\rangle\,\,=\,\,-1.\]
\end{bemerkung}


\begin{proof}
Nehmen wir an, $A$ ist positiv definit. Wir wollen zeigen, dass $P^tAP$ positiv definit ist.
Es sei also $\xi \in \R^n\setminus \{0\}$. Dann gilt 
\[\begin{array}{rcll} \langle \xi,P^tAP\xi\rangle&=&\xi^tP^tAP\xi&\mbox{denn f\"ur beliebige $v,w\in \R^n$ gilt $\langle v,w\rangle=v^tw$}\\
&=&(P\xi)^tAP\xi&\mbox{die Regel $(XY)^t=Y^tX^t$ angewandt auf $X=P^t$ und $Y=\xi$}\\
&=&\langle P\xi,AP\xi\rangle \\
&>&0&\mbox{denn $A$ ist positiv definit und $P\xi\ne 0$}.\end{array}\]
Die umgekehrte Aussage folgt nun aus $A=(P^{-1})^t \cdot P^tAP\cdot P^{-1}$.
\end{proof}


Im Hinblick auf Satz~\ref{satz:extremumhesse} wollen wir jetzt Kriterien daf\"ur finden, ob eine gegebene Matrix positiv (semi-) definit ist. Um solch ein Kriterium zu formulieren ben\"otigen wir den Begriff des Eigenwertes einer Matrix. 

\begin{definition}
Wir  sagen eine komplexe Zahl $\lambda\in \C$ ist ein \emph{Eigenwert} einer komplexen $n\times n$-Matrix $A$, wenn es einen Vektor $v\ne 0\in \C^n$ mit $Av=\lambda  v$ gibt. Einen Vektor $v\ne 0$ mit $Av=\lambda  v$ nennen wir einen \emph{Eigenvektor} zum Eigenwert $\lambda$. 
\end{definition}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es seien $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ komplexe Zahlen. Wir betrachten die diagonale Matrix
\[ D\,=\,\begin{pmatrix} \lambda_1&\dots &0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots& \lambda_n\end{pmatrix}.\]
Dann gilt $De_i=\lambda_ie_i$, d.h.\ die komplexen Zahlen $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ sind Eigenwerte von $D$.
\item Wir betrachten die Matrix
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
B&=& \begin{pmatrix} 1&\hfill 1\\ 1&-1\end{pmatrix} 
\intertext{dann gilt }
\hspace{3cm}  \begin{pmatrix} 1&\hfill 1\\ 1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1+\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 2+\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\end{pmatrix}\,\,=\,\,\sqrt{2}\begin{pmatrix} 1+\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}
\intertext{ und }
 \begin{pmatrix} 1&\hfill 1\\ 1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1-\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 2-\sqrt{2}\\ -\sqrt{2}\end{pmatrix}\,\,=\,\,-\sqrt{2}\begin{pmatrix} 1-\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}.\end{array} \end{align*}
Also sind $-\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ Eigenwerte der Matrix $B$. 
\item Wir betrachten die Matrix
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
C&=& \begin{pmatrix} \hfill 1&\hfill 1\\ -1&1\end{pmatrix} 
\intertext{dann gilt }
\hspace{3cm} \begin{pmatrix} \hfill 1&\hfill 1\\ -1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} i\\1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 1+i\\ 1-i\end{pmatrix}\,\,=\,\,(1-i)\begin{pmatrix} i\\1\end{pmatrix}
\intertext{ und }
\hspace{3.8cm} \begin{pmatrix} \hfill 1&\hfill 1\\ -1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -i\\\hfill 1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 1-i\\ 1+i\end{pmatrix}\,\,=\,\,(1+i)\begin{pmatrix} -i\\\hfill 1\end{pmatrix}.\end{array} \end{align*}
Also sind $1-i$ und $1+i$  Eigenwerte  der Matrix $C$. 
\end{enumerate}
\end{beispiel}

F\"ur eine $n\times n$-Matrix bezeichnen wir 
\begin{align*}
\begin{array}{rcrcl} &&\chi_A(t)&:=&\det(A-t\operatorname{id}_n)
\intertext{als das \emph{charakteristische Polynom} von $A$. Aus der Leibniz-Formel f\"ur die Determinante folgt leicht, dass dies ein Polynom von Grad $\leq n$ ist.  Beispielsweise gilt f\"ur die obigen  Matrizen $B,C,D$, dass }
\hspace{0.7cm}\chi_B(t)&=&
\det\left(  \begin{pmatrix} 1&\hfill 1\\\hfill 1&-1\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} \right)&=&
\det \begin{pmatrix} 1-t&1\\ 1&-1-t\end{pmatrix}\,\,=\,\,t^2-2,
\intertext{und  f\"ur die obige Matrix $C$ gilt, dass }
\hspace{0.4cm}\chi_C(t)&=&
\det\left(  \begin{pmatrix} \hfill 1&\hfill 1\\\hfill -1&1\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} \right)&=&
\det \begin{pmatrix} 1-t&1\\ -1&1-t\end{pmatrix}\,\,=\,\,t^2-2t+2.
\intertext{Zudem gilt}
\chi_D(t)&=&\det\begin{pmatrix} \lambda_1-t&\dots &0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots& \lambda_n-t\end{pmatrix}&=&(\lambda_1-t)\cdots (\lambda_n-t).
\end{array} \end{align*}
Folgender Satz gibt nun eine einfache Methode um Eigenwerte einer Matrix zu bestimmen.

\begin{satz}\label{satz:eigenwerte-charakteristisches-polynom}
Es sei $A$ eine komplexe $n\times n$-Matrix. Dann gilt
\[ \lambda\mbox{ ist ein Eigenwert von $A$}\quad \Longleftrightarrow \quad \mbox{$\lambda$ ist Nullstelle von $\chi_A(t)$}.\]
Insbesondere besitzt $A$ h\"ochstens $n$ verschiedene Eigenwerte.
\end{satz}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Die Nullstellen von $\chi_B(t)=t^2-2$ sind $\pm \sqrt{2}$, wir hatten oben schon explizit gesehen, dass dies Eigenwerte von $B$ sind, und wir wissen jetzt, dass dies auch die einzigen Eigenwerte von $B$ sind.
\item F\"ur eine diagonale Matrix hatten wir schon gesehen, dass die Eintr\"age auf der Diagonale  Eigenwerte sind. Es folgt nun aus Satz~\ref{satz:eigenwerte-charakteristisches-polynom}, dass dies auch die einzigen Eigenwerte sind.\label{eigenwerte-diagonal-matrix}
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{proof}
Es sei $\lambda \in \C$ beliebig. Dann gilt
\[ \begin{array}{rcl}\lambda\mbox{ ist ein Eigenwert von $A$}&\Longleftrightarrow&
\mbox{es gibt ein $v\ne 0$ mit $Av=\lambda v$}\\
&\Longleftrightarrow&
\mbox{es gibt ein $v\ne 0$ mit $(A-\lambda \operatorname{id}_n)v=0$}\\
&\Longleftrightarrow&
\mbox{$\ker(A-\lambda \operatorname{id}_n)\ne 0$}\\
&\Longleftrightarrow&
\mbox{$\det(A-\lambda \operatorname{id}_n)= 0$}\\
&\Longleftrightarrow&
\mbox{$\lambda$ ist Nullstelle von $\det(A-t\operatorname{id}_n)=\chi_A(t)$}.\end{array} \]
Das charakteristische Polynom von $A$ ist ein Polynom von Grad $\leq n$, also besitzt es auch h\"ochstens $n$ Nullstellen, insbesondere besitzt $A$ h\"ochstens $n$ Eigenwerte. 
\end{proof}

\begin{satz}\label{satz:eigenwertepminusap}
Es sei $A$ eine komplexe $n\times n$-Matrix und $P$ eine invertierbare komplexe $n\times n$-Matrix. Dann gilt
\[ \mbox{Eigenwerte von $A$}\,\,=\,\,\mbox{Eigenwerte von $P^{-1}AP$}.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Wir geben zwei verschiedene Beweise f\"ur die Aussage.
\begin{enumerate}
\item Es sei $\lambda $ ein Eigenwert von $A$. Es gibt also ein $v\ne 0$ mit $Av=\lambda v$. Dann gilt aber auch, dass
\[ (P^{-1}AP)(P^{-1}v)\,\,=\,\, (P^{-1}A)\underset{=\operatorname{id}_n}{\underbrace{(PP^{-1}}})v\,\,=\,\,P^{-1}Av\,\,=\,\,P^{-1}\lambda v\,\,=\,\,\lambda P^{-1}v.\]
Wir haben also gezeigt, dass $\lambda$ auch ein Eigenwert von $P^{-1}AP$ ist. Die Umkehrung der Aussage wird ganz analog bewiesen.
\item Nach Satz~\ref{satz:eigenwerte-charakteristisches-polynom} gen\"ugt es zu zeigen, dass die charakteristischen  Polynome von $A$ und $P^{-1}AP$ \"ubereinstimmen. In der Tat ist
\[ \begin{array}{rcll} \hspace{1cm}\chi_{P^{-1}AP}(t)&=&\det(P^{-1}AP-t\operatorname{id}_n)\\
&=&\det(P^{-1}AP-P ^{-1}t\operatorname{id}_nP)&\mbox{denn $P^{-1}P=\operatorname{id}$}\\
&=&\det(P^{-1}(A-t\operatorname{id}_n)P)\\
&=&\det(P^{-1})\det(A-t\operatorname{id}_n)\det(P)&\mbox{denn $\det(XY)=\det(X)\cdot \det(Y)$}\\
&=&\det(P)^{-1}\chi_A(t)\det(P)&\mbox{denn $\det(P^{-1})=\det(P)^{-1}$}\\
&=&\chi_A(t).\end{array}\]
\end{enumerate}
\end{proof}

Im Folgenden nennen wir eine quadratische Matrix\footnote{Wenn wir nicht explizit sagen, dass eine Matrix komplex sein kann, dann ist die gegebene Matrix reell.} $P$ \emph{orthogonal}, wenn $P^t=P^{-1}$. Beispielsweise ist jede Drehmatrix der Form
\[ \begin{pmatrix} \cos (\theta) & -\sin (\theta)\\ \sin( \theta)&\hfill \cos (\theta)\end{pmatrix}\]
eine orthogonale Matrix. Das folgende Lemma besagt, dass orthogonale Matrizen Isometrien, d.h.\ l\"angenerhaltend, sind.

\begin{lemma}\label{lem:orthogonale-matrix-isometrie}
Es sei $P$ eine orthogonale $n\times n$-Matrix. Dann gilt f\"ur alle $\xi\in \R^n$, dass
\[ \| P\xi\|\,\,=\,\,\|\xi\|.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei $\xi \in \R^n$ beliebig. Dann gilt
\[ \begin{array}{rcl}\| P\xi\|^2\,\,=\,\,\langle P\xi,P\xi\rangle\,\,=\,\,(P\xi)^tP\xi&=&\xi^tP^tP\xi\\
&=&\xi^tP^{-1}P\xi\quad \quad \mbox{ weil $P$ orthogonal}\\
&=&\xi^t\xi\,\,=\,\,\|\xi\|^2.
\end{array}\]
Die gew\"unschte Gleichheit folgt nun durch Wurzelziehen auf beiden Seiten.
\end{proof}



Der folgende Satz ist einer der wichtigsten S\"atze der Linearen Algebra.\footnote{Der Satz ist beispielsweise Korollar 4 auf Seite 279 in Bosch: Lineare Algebra.}

\begin{satz}\label{satz:symmetrischdiagonalisierbar}\textbf{\emph{(Spektralsatz)}}
Es sei $A$ eine symmetrische Matrix. Dann gibt es eine orthogonale Matrix $P$, so dass 
$ P^{-1}AP$ eine diagonale Matrix mit reellen Eintr\"agen ist.
\end{satz}

\begin{bemerkung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Es folgt insbesondere aus Satz~\ref{satz:eigenwertepminusap} und Satz~\ref{satz:symmetrischdiagonalisierbar}, dass die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix reell sind. Am Beispiel der obigen Matrix $C$ hatten wir gesehen, dass diese Aussage f\"ur nicht-symmetrische Matrizen im Allgemeinen nicht gilt, d.h.\ es gibt nicht-symmetrische reelle Matrizen, welche komplexe, aber keine reellen Eigenwerte besitzen. 
\item Verallgemeinerungen vom Spektralsatz auf unendlich-dimensionale komplexe Vektorr\"aume spielen unter Anderem eine sehr wichtige Rolle in der Quantenphysik. 
\end{enumerate}
\end{bemerkung}

Der folgende Satz besagt nun, dass man an den Eigenwerten
ablesen kann, ob eine symmetrische Matrix $A$ definit oder indefinit ist.

  

\begin{satz}\label{satz:definiteigenwerte}
Es sei $A$ eine symmetrische Matrix. Dann gilt:
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} 
 \hspace{2.6cm}\emph{$A$ ist positiv definit} &\Longleftrightarrow & \emph{alle Eigenwerte von $A$ sind positiv} \\
 \emph{$A$ ist positiv semidefinit} &\Longleftrightarrow & \emph{alle Eigenwerte von $A$ sind $\geq 0$}\\
 \emph{$A$ ist negativ definit} &\Longleftrightarrow & \emph{alle Eigenwerte von $A$ sind negativ} \\
 \emph{$A$ ist negativ semidefinit} &\Longleftrightarrow & \emph{alle Eigenwerte von $A$ sind $\leq 0$},
\intertext{zudem gilt}
  \emph{$A$ ist indefinit} &\Longleftrightarrow &\emph{$A$ besitzt positive und negative Eigenwerte}.\end{array} \end{align*}
\end{satz}

\begin{bemerkung}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Wir hatten weiter oben schon angemerkt, dass aus  Satz~\ref{satz:xyyx} folgt, dass  Hesse-Matrizen symmetrisch sind. Wir k\"onnen also mithilfe von Satz~\ref{satz:eigenwerte-charakteristisches-polynom} und Satz~\ref{satz:definiteigenwerte} leicht \"uberpr\"ufen, ob eine Hesse-Matrix  positiv (semi-) definit ist.
\item Das Beispiel auf Seite~\pageref{bsp:nicht-positiv-definit} zeigt, dass die Aussage von Satz~\ref{satz:definiteigenwerte} im Allgemeinen nicht f\"ur nicht-symmetrische Matrizen gilt.
\end{enumerate}
\end{bemerkung}

\begin{proof}
Es sei $A$ eine symmetrische Matrix. Nach Satz~\ref{satz:symmetrischdiagonalisierbar} gibt es eine orthogonale Matrix $P$, so dass 
\[ P^{-1}AP\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \lambda_1&\dots &0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots& \lambda_n\end{pmatrix},\]
wobei $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ reell sind. Nach Satz~\ref{satz:eigenwertepminusap} und der Diskussion auf Seite~\pageref{eigenwerte-diagonal-matrix} sind $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ gerade die Eigenwerte von $A$.

Es folgt, dass
\[ \begin{array}{rcll} &&\mbox{$A$ ist positiv definit}\\
&\Longleftrightarrow&\mbox{$P^tAP$ ist positiv definit}&\mbox{nach Lemma~\ref{lem:ptapdefinit}}\\
&\Longleftrightarrow&\mbox{$P^{-1}AP$ ist positiv definit}&\mbox{weil $P^t=P^{-1}$, da $P$ orthogonal}\\
&\Longleftrightarrow&\mbox{alle $\lambda_i$'s sind positiv}&\mbox{siehe Diskussion auf Seite~\pageref{diagonal-matrix-definit}}\\
&\Longleftrightarrow&\mbox{alle Eigenwerte von $A$ sind positiv}.\quad\end{array}\]
Zusammengefasst haben wir also gezeigt, dass $A$ positiv definit ist, genau dann, wenn die Eigenwerte von $A$ positiv definit sind. 
Alle anderen Aussagen von Satz~\ref{satz:definiteigenwerte} werden ganz analog bewiesen.
\end{proof}

Der folgende Satz macht die $\Longleftarrow$-Richtung der ersten beiden Aussagen vom vorherigen Satz noch etwas pr\"aziser. 

\begin{satz}\label{satz:symmetrisch-kleinster-eigenwert}
Es sei $A$ eine symmetrische Matrix und $\lambda$ der kleinste Eigenwert von $A$. Dann gilt f\"ur alle $\xi\in \R^n$, dass
\[ \langle \xi,A\xi\rangle\,\,\geq \,\, \lambda\|\xi\|^2.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Wir betrachten zuerst den Fall, dass $A$ eine diagonale Matrix ist mit diagonalen Eintr\"agen $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Dann gilt f\"ur alle $\xi\in \R^n$, dass
\[ \langle \xi,A\xi\rangle\,\,=\,\,\xi^tA\xi\,\,=\,\,\sum_{i=1}^n\underset{\geq \lambda}{\underbrace{\lambda_i}}\xi_i^2\,\,\geq\,\,\lambda \sum_{i=1}^n \xi_i^2\,\,=\,\,\lambda  \cdot \|\xi\|^2.\]
Es sei nun $A$ eine beliebige symmetrische Matrix. Nach Satz~\ref{satz:symmetrischdiagonalisierbar} gibt es eine orthogonale Matrix $P$, so dass 
\[ P^{-1}AP\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \lambda_1&\dots &0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots& \lambda_n\end{pmatrix},\]
wobei $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ gerade die Eigenwerte von $A$ sind.
Es sei nun $\xi\in \R^n$. Dann gilt
\[ \begin{array}{rcll} \langle \xi,A\xi\rangle&=&\xi^tA\xi\\
&=&(P^{-1}\xi)^t\,P^{-1}AP\, P^{-1}\xi\\\
&\geq& \lambda  \cdot\|P^{-1}\xi\|^2  &\mbox{da $P^{-1}AP$ diagonale Matrix}\\
&=&\lambda  \cdot \|\xi\|^2&\mbox{nach Lemma~\ref{lem:orthogonale-matrix-isometrie}}.\end{array}\]
\end{proof}

% Ende 12. Vorlesung



Wir beschlie\ss en das Kapitel \"uber Eigenwerte und definite Matrizen mit der Diskussion von $2\times 2$-Matrizen. 
Im Folgenden erinnern wir daran, dass die Spur einer $n\times n$-Matrix $A=(a_{ij})$ definiert ist als
\[ \operatorname{Spur}(A)\,\,=\,\,\sum_{i=1}^n a_{ii}\,\,=\,\,\mbox{Summe der Diagonaleintr\"age von $A$}.\]
Folgendes Lemma gibt nun f\"ur $2\times 2$-Matrizen eine einfache Methode, um schnell festzustellen, ob die Matrix definit oder indefinit ist.

\begin{lemma}\label{lem:2mal2definit}
Es sei $A$ eine symmetrische $2\times 2$-Matrix. Dann gilt 
\[\begin{array}{rcl} \mbox{$A$ ist positiv definit}&\Longleftrightarrow &\det(A)>0\mbox{ und }\operatorname{Spur}(A)>0,\\
\mbox{$A$ ist negativ definit}&\Longleftrightarrow &\det(A)>0\mbox{ und }\operatorname{Spur}(A)<0,\\
\mbox{$A$ ist indefinit}&\Longleftrightarrow &\det(A)<0.\end{array} \]
\end{lemma} 

\begin{proof}
Nachdem $A$ symmetrisch ist gibt es nach Satz~\ref{satz:symmetrischdiagonalisierbar} eine orthogonale Matrix $P$, so dass 
\[ P^{-1}AP\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \lambda&0\\ 0&\mu\end{pmatrix}\]
eine diagonale Matrix ist. Aus der Linearen Algebra wissen wir, dass 
\begin{align*} \begin{array}{rcl}\det(P^{-1}AP)&=&\det(A)\\
\intertext{und} \operatorname{Spur}(P^{-1}AP)&=&\operatorname{Spur}(A).
 \intertext{Zudem folgt aus $P^{-1}=P^t$ und Lemma~\ref{lem:ptapdefinit}, dass}
\hspace{3.2cm}\mbox{$P^{-1}AP$ ist positiv definit}&\Leftrightarrow& \mbox{$A$ ist positiv definit.}
\end{array}
\end{align*}
Es gen\"ugt  also das Lemma f\"ur diagonale Matrizen zu beweisen. Aber f\"ur solche Matrizen folgt die Aussage aus einer elementaren Fallunterscheidung, je nach Vorzeichen von $\lambda$ und $\mu$.
\end{proof}


%======================================================
\subsection{Lokale Extrema II}\label{section:extrema2}
Nach dem kurzen Ausflug in die Lineare Algebra kehren wir jetzt gest\"arkt zur Analysis zur\"uck. In der Sprache vom vorherigen Kapitel k\"onnen wir jetzt die Aussage von Satz~\ref{satz:extremumhesse} wie folgt formulieren.

\begin{satz}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion.
Es sei $x\in U$ ein kritischer Punkt, d.h.\ ein Punkt mit $\operatorname{Grad} f(x)=0$.
Dann gilt
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
 \hspace{2cm} \mbox{$x$ ist lokales Minimum}&\Longrightarrow &  \operatorname{Hess} f(x)\mbox{ ist positiv semidefinit }
\intertext{sowie}
 \mbox{$x$ ist lokales Maximum}&\Longrightarrow &  \operatorname{Hess} f(x)\mbox{ ist negativ semidefinit.} 
\intertext{Insbesondere gilt}
\mbox{$\operatorname{Hess} f(x)$ indefinit}&\Longrightarrow& \mbox{$x\in U$ ist weder ein lokales Minimum}\\
&&\hspace{3cm}\mbox{noch ein lokales Maximum.}
\end{array} \end{align*}
\end{satz}

\begin{proof}
Die erste Aussage ist genau die Aussage von Satz~\ref{satz:extremumhesse}. Die zweite Aussage wird ganz analog zur ersten Aussage bewiesen. Die letzte Aussage folgt sofort aus den ersten beiden Aussagen.
\end{proof}

Der folgende Satz gibt die deutlich interessantere Aussage, dass man mithilfe der Hesse-Matrix zeigen kann, dass ein striktes lokales Extremum vorliegt.

\begin{satz}\label{satz:lokalmax}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei $x\in U$ ein Punkt mit $\operatorname{Grad} f(x)=0$.  Dann gilt:
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
 \hspace{2cm}\operatorname{Hess} f(x)\mbox{ ist positiv definit }&\Longrightarrow & \mbox{$x$ ist striktes lokales Minimum,} 
\intertext{sowie}
\operatorname{Hess} f(x)\mbox{ ist negativ definit }&\Longrightarrow & \mbox{$x$ ist striktes lokales Maximum}. \end{array} \end{align*}
\end{satz}

\begin{proof}
 Wir beweisen nur die erste Aussage. Die zweite wird nat\"urlich ganz analog bewiesen.
\footnote{Die zweite Aussage kann man auch durch Betrachten der Funktion $-f$ auf die erste Aussage zur\"uckf\"uhren.}
Wir betrachten also den Fall, dass $H:=\operatorname{Hess} f(x)$ positiv definit ist.
Nachdem zudem $\operatorname{Grad} f(x)=0$ folgt aus Korollar~\ref{kor:taylorapproximationm2}, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} 
\hspace{4.5cm} f(x+\xi)&=&f(x)+\tmfrac{1}{2} \langle \xi,H\xi\rangle +\varphi(\xi),
\intertext{wobei $\varphi(\xi)=o(\|\xi\|^2)$. Es sei nun $\lambda$ der kleinste Eigenwert von $H$. Nachdem $H$ positiv definit ist folgt aus Satz~\ref{satz:definiteigenwerte}, dass $\lambda>0$. Dann folgt aus Satz~\ref{satz:symmetrisch-kleinster-eigenwert}, dass}
f(x+\xi)&\geq &f(x)+\tmfrac{1}{2}\lambda \|\xi\|^2+\varphi(\xi).
\intertext{Nachdem  $\varphi(\xi)=o(\|\xi\|^2)$ gibt es insbesondere ein $\delta>0$, so dass}
 |\varphi(\xi)|&\leq &\tmfrac{1}{4}\lambda\|\xi\|^2& \mbox{f\"ur alle $\xi$ mit $\|\xi\|<\delta$}.
\intertext{Dann folgt f\"ur alle $\xi\ne 0\in B_\delta(x)$, dass}
 f(x+\xi)&\geq &f(x)+\tmfrac{1}{2}\lambda \|\xi\|^2+\varphi(\xi)\\[2mm]
&\geq &f(x)+\tmfrac{1}{2}\lambda \|\xi\|^2- \tmfrac{1}{4}\lambda\|\xi\|^2&\mbox{da $\varphi(\xi)\geq -\tmfrac{1}{4}\lambda\|\xi\|^2$}\\[2mm]
&=&f(x)+ \tmfrac{1}{4}\lambda\|\xi\|^2\\
&>&f(x)&\mbox{da $\xi\ne 0$ und $\lambda>0$.}\end{array}\end{align*}
Wir haben also gezeigt, dass $f$ im Punkt $x$ ein striktes lokales Minimum annimmt.
\end{proof}

\begin{beispiel}
Die Hessesche Matrix der Funktion
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} \R^2&\to & \R \\
(x,y)&\mapsto &x^2+y^2
\intertext{besitzt genau einen kritischen Punkt, n\"amlich $(0,0)$. An diesem Punkt ist}
\hspace{5.1cm} \operatorname{Hess} f(0,0)&=& \begin{pmatrix} 2&0 \\ 0&2 \end{pmatrix},\end{array} \end{align*}
insbesondere positiv definit. Die Funktion $f$ erf\"ullt also alle Bedingungen von Satz~\ref{satz:lokalmax}, der Punkt $(0,0)$ ist also ein striktes lokales Minimum.
In diesem Fall kann man dies nat\"urlich auch direkt zeigen, denn es ist offensichtlich, dass $f(x,y)>0=f(0,0)$ f\"ur alle $(x,y)\ne (0,0)$.
\end{beispiel}


%======================================================
\subsection{Globale Extrema}\label{section:globaleextrema}
Es sei erst einmal $f\colon [a,b]\to \R$ eine differenzierbare Funktion auf dem kompakten Intervall $[a,b]$. Nach Satz~7.2 aus der Analysis~I besitzt $f$ ein globales Maximum. Dieses kann sich im Inneren des Intervalls, oder an den Randpunkten des Intervalls befinden.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{globale-maxima-auf-kompakten-intervall.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:globale-maxima-auf-kompakten-intervall}
\end{center}
\end{figure}


Um das globale Maximum von $f$ zu bestimmen k\"onnen wir beispielsweise folgenden Algorithmus aus der Schule verwenden:
\begin{enumerate}
\item wir bestimmen alle kritischen Punkte von $f$, d.h.\ alle Punkte in $(a,b)$ an denen die Ableitung verschwindet und wir berechnen die zugeh\"origen Funktionswerte,
\item wir berechnen $f(a)$ und $f(b)$,
\item das globale Maximum von $f$ auf $[a,b]$ ist dann das Maximum der Funktionswerte, welche wir in (1) und (2) berechnet haben.
\end{enumerate}

In diesem Kapitel wollen wir uns \"uberlegen, wie wir diesen Algorithmus verallgemeinern k\"onnen, um f\"ur differenzierbare Funktionen auf kompakten Teilmengen von $\R^n$ das globale Maximum zu bestimmen. 

Im Folgenden wollen wir erst einmal den Begriff `Innere von einem Intervall' und `Rand von einem abgeschlossenen Intervall' verallgemeinern. 
Wir f\"uhren dazu folgende Definitionen ein. 
Es sei $A\subset \R^n$ eine abgeschlossene Teilmenge. Wir sagen, $x\in A$ ist ein \emph{innerer Punkt von $A$}, wenn es ein $\epsilon>0$ gibt, so dass $B_\epsilon(x)\subset A$. Andernfalls sagen wir, dass $x$ ein \emph{Randpunkt von $A$} ist.\footnote{Diese Definitionen sind Spezialf\"alle der allgemeineren Definitionen in Kapitel~\ref{section:rand}. } Die Menge der inneren Punkte bezeichnen wir als das \emph{Innere $\operatorname{Inn}(A)$ von $A$}, und die Menge der Randpunkte bezeichnen wir als den \emph{Rand $\partial A$ von $A$}. Man kann leicht zeigen, dass das Innere von $A$ eine offene Teilmenge von $\R^n$ ist.\footnote{In der Tat, es sei $x$ ein innerer Punkt von $A$. Nach Voraussetzung gibt es ein $\epsilon>0$, so dass $B_\epsilon(x)\subset A$. Aber der Beweis von Lemma~\ref{lem:balloffen} zeigt, dass alle Punkte in $B_\epsilon(x)$  auch innere Punkte von $A$ sind, d.h.\ es ist $x\in B_\epsilon(x)\subset \operatorname{Inn}(A)$.} 

In der folgenden Tabelle bestimmen wir das Innere und den Rand von mehreren Teilmengen von $\R^n$.
\[
\begin{array}{cccc} \mbox{Teilmenge $A$ von $\R$}&\quad \mbox{das Innere von $A$}\quad &\mbox{der Rand von $A$}\\
{} [a,b]& (a,b)&\{a,b\}\\
{}[a,\infty)& (a,\infty)&\{a\}\\[2mm]
 \mbox{Teilmenge $A$ von $\R^2$}&\mbox{das Innere von $A$}&\mbox{der Rand von $A$}\\
\{(x,y)|y\geq x\}& \{(x,y)|y>x\}& \{(x,y)|x=y\}\\
\R^2&\R^2&\emptyset \\
D^2=\{ v\in \R^2\,|\,\|v\|\leq 1\}&\{ x\in \R^2\,|\,\|v\|<1\}&\{ x\in \R^2\,|\,\|v\|=1\}\\
\hspace{0.08cm}S^1=\{v\in \R^2\,|\,\|v\|=1\}&\emptyset& S^1\\[2mm]
 \mbox{Teilmenge $A$ von $\R^n$}&\mbox{das Innere von $A$}&\mbox{der Rand von $A$}\\
\hspace{0.285cm} D^n=\{ v\in \R^n\,|\,\|v\|\leq 1\}&\{ x\in \R^n\,|\,\|v\|<1\}&S^{n-1}=\{ x\in \R^n\,|\,\|v\|=1\}\\
S^{n-1}=\{v\in \R^{n}\,|\,\|v\|=1\}&\emptyset& S^{n-1}.
\end{array} \]
In Abbildung~\ref{fig:globales-maximum} sehen wir zudem f\"ur drei verschiedene abgeschlossene Teilmengen von $\R^2$ das Innere und den Rand.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{globales-maximum.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:globales-maximum}
\end{center}
\end{figure}


Es sei nun $K\subset \R^n$ eine kompakte Teilmenge und es sei $f\colon K\to \R$ eine differenzierbare\footnote{Wir sagen $f\colon K\to \R$ ist differenzierbar, wenn $f$ stetig ist und wenn die Einschr\"ankung von $f$ auf das Innere von $K$ differenzierbar ist.}  Funktion. Korollar~\ref{kor:kompaktminmax} besagt nun, dass $f$ ein globales Maximum besitzt. Um diesen maximalen Funktionswert zu bestimmen, wollen wir alle $x\in K$ finden, welche m\"oglicherweise ein globales Maximum von $f$ sind.
Die Suche teilt sich hierbei auf in zwei Teile:
\begin{enumerate}
\item Wir bestimmen zuerst die kritischen Punkte von $f$ im Inneren von $K$, d.h.\ wir bestimmen die Punkte im Inneren von $f$, an denen der Gradient verschwindet. F\"ur diese kritischen Punkte bestimmen wir jeweils den Funktionswert.
\footnote{Hierbei verwenden wir implizt folgendes Argument:
Wir bezeichnen mit $U$ das Innere von $K$. Wenn $f$ das globale Maximum an einem Punkt $x$ im Inneren von $K$ annimmt, dann ist $x$ insbesondere ein lokales Maximum von $f\colon U\to \R$. Nachdem $U$ offen ist, folgt aus Satz~\ref{satz:extremumgrad}, dass $\operatorname{Grad} f(x)=0$, d.h.\ $x$ ist in der Tat ein kritischer Punkt von $f$.}

\item Wir bestimmen den maximalen Wert von  $f$ auf dem Rand von $K$.
\end{enumerate}
Wie zuvor im ein-dimensionalen Fall erhalten wir jetzt das globale Maximum wie folgt:
\begin{enumerate}
\item[(3)] Das globale Maximum von $f$ auf $K$ ist das Maximum der Funktionswerte, welche wir in (1) und (2) bestimmt hatten.
\end{enumerate}

Es stellt sich nun allerdings noch die Frage, wie wir den das Maximum von $f$ auf dem Rand von $K$ bestimmen k\"onnen. Im ein-dimensionalen Fall besteht der Rand aus Punkten, wir k\"onnen also das Maximum durch Einsetzen bestimmen. Im zwei-dimensionalen Fall ist der Rand `in der Regel' eine 1-dimensionale Kurve, welche wir `normalerweise' parametrisieren k\"onnen, wir werden dies gleich im Anschlu\ss\, mit einem Beispiel illustrieren. Den h\"oher-dimensionalen Fall werden wir sp\"ater in der Vorlesung noch genauer studieren.

\begin{beispiel}
Wir wollen das globale Maximum von
\[ \begin{array}{rcl} f\colon D^2=\{ (x,y)\in \R^2\,|\,x^2+y^2\leq 1\}&\to & \R\\
(x,y)&\mapsto & x+y\end{array} \]
bestimmen. Wir f\"uhren dazu den obigen Algorithmus aus.
\begin{enumerate}
\item Nachdem $Df(x,y)=(1,1)$ immer ungleich null ist, besitzt $f$ im Inneren von $D^2$ keine kritischen Punkte. 
\item Wir m\"ussen nun  das globale Maximum von $f$ auf dem Rand 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{5.1cm}\partial D^2=S^1&=&\{ (x,y)\in \R^2\,|\,x^2+y^2=1\}
\intertext{finden. Nachdem }
  p\colon [0,2\pi]&\to &S^1\\
t&\mapsto &(\cos(t),\sin(t))
\intertext{surjektiv ist, gilt}
\mbox{maximaler Wert von $f$ auf $S^1$}&= &\mbox{maximaler Wert von $f\circ p$ auf $[0,2\pi]$}.
\intertext{Es gen\"ugt also das globale Maximum der Funktion }
 f\circ p\colon [0,2\pi]&\to &\R\\
t&\mapsto &(f\circ p)(t)=\cos(t)+\sin(t)\end{array}\end{align*}
zu bestimmen. Mit den Methoden der Analysis~I kann man leicht zeigen, dass das globale Maximum dieser Funktion $\sqrt{2}$ betr\"agt. 
\item Wir haben also gezeigt, dass das globale Maximum von
$ f\colon D^2\to \R$ gegeben ist durch $\sqrt{2}$.
\end{enumerate}
\end{beispiel} 

% Ende 13. Vorlesung

%======================================================
\section{Die Norm von Matrizen und Absch\"atzungen von Integralen}
Folgender Satz ist ein Korollar zum Mittelwertsatz der Differentialrechnung aus der Analysis~I.

\begin{satz}\label{satz:mwsint}
Es sei $f\colon I\to \R$ eine differenzierbare Funktion auf einem offenen Intervall $I$. Wenn es ein $C\geq 0$ gibt, so dass $|f'(x)|\leq C$ f\"ur alle $x$, dann gilt f\"ur beliebige $s,t\in I$, dass
\[ |f(s)-f(t)|\,\,\leq \,\, C\cdot |s-t|.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Es sei $f\colon I\to \R$ eine differenzierbare Funktion auf einem offenen Intervall $I$ mit der Eigenschaft, dass $|f'(x)|\leq C$ f\"ur alle $x$. Es seien zudem  $s,t\in I$. Wenn $s=t$, dann ist die gew\"unschte Ungleichung trivialerweise erf\"ullt. Wir nehmen also an, dass $s\ne t$.  Dann gibt es nach dem  Mittelwertsatz der Differentialrechnung ein $\xi$ zwischen $s$ und $t$, so dass 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 f'(\xi)&=&\lmfrac{f(s)-f(t)}{s-t}.
\intertext{Es folgt, dass}
\hspace{5cm}|f(s)-f(t)|&=&\underset{\leq C}{\underbrace{|f'(\xi)|}}\cdot |s-t|.\end{array} \end{align*}
\end{proof}



Anders ausgedr\"uckt, der Satz besagt, dass wenn wir eine Schranke f\"ur den Absolutbetrag der Ableitung besitzen, dann k\"onnen wir den Abstand zwischen Funktionswerten absch\"atzen. 

Unser Ziel in diesem Kapitel ist eine analoge Aussage f\"ur differenzierbare Abbildungen $f\colon U\to \R^m$ auf einer offenen Teilmenge $U\subset \R^n$ zu finden. Diese Verallgemeinerung wird dann im weiteren Verlauf der Vorlesung noch eine wichtige Rolle spielen. 

F\"ur eine stetige Abbildung  $f=(f_1,\dots,f_m)\colon [a,b]\to \R^m$  definieren wir
\[ \textstyle \bbint\limits_a^b f(t)\,dt\,\,:=\,\,\Bigg(\bbint\limits_a^b f_1(t)\,dt,\dots,\bbint\limits_a^bf_m(t)\,dt \Bigg),\]
d.h.\ wir integrieren die Abbildung $f$ komponentenweise. Ganz analog, in dem wir jeden Matrixeintrag separat integrieren, definieren wir das Integral einer stetigen Abbildung
$f\colon [a,b]\to M(n\times m,\R)$ in den Raum der $n\times m$--Matrizen.

Wir beweisen zuerst folgendes Lemma, welches wir im Laufe der Vorlesung immer wieder verwenden werden.
\footnote{Lemma~13.16 aus  Analysis~I besagt,
dass f\"ur jede stetige Funktion $f\colon [a,b]\to \R$ die Ungleichung
\[ \textstyle \Bigg| \bint\limits_a^b f(t)\,dt \Bigg|\,\,\leq\,\, \bint\limits_a^b |f(t)|\,dt\]
gilt. Wir k\"onnen Lemma~\ref{lem:intnormen} als Verallgemeinerung von diesem Lemma auffassen.}

\begin{lemma}\label{lem:intnormen}
Es sei $v\colon [a,b]\to \R^m$ eine stetige Abbildung. Dann gilt\footnote{Dieses Lemma ist eine Verallgemeinerung der Dreiecksungleichung $\|c+d\|\leq \|c\|+\|d\|$, in dem Sinne, dass man f\"ur eine geeignet gew\"ahlte Abbildung $v$ gerade die Dreiecksungleichung erh\"alt. Was f\"ur eine Abbildung m\"ussten Sie dazu w\"ahlen?}
\[ \textstyle\Bigg\| \bint\limits_a^b v(t)\,dt \Bigg\|\,\,\leq\,\, \bint\limits_a^b \|v(t)\|\,dt \in \R.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir setzen
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}u&:=&\int\limits_a^b v(t)\,dt\in \R^n.
\intertext{Wenn $\|u\|=0$, dann gibt es nichts zu zeigen. Wir k\"onnen also annehmen, dass $\|u\|>0$. Dann gilt} 
\hspace{0.1cm}
\Bigg\| \bint\limits_a^b v(t)\,dt \Bigg\|^2\,=\,\|u\|^2\,=\,\langle u,u\rangle &=&\bigg\langle \int\limits_a^b v(t)\,dt,u \bigg\rangle\\[2mm]
&=&\bigg\langle \bigg(\int\limits_a^b v_1(t)\,dt,\dots,\int\limits_a^bv_m(t)\,dt \bigg), (u_1,\dots,u_m)\bigg\rangle\\[2mm]
&=& \sum\limits_{i=1}^m \int\limits_a^b v_i(t)\,dt \cdot u_i\\[2mm]
&=&  \int\limits_a^b \sum\limits_{i=1}^m v_i(t)\cdot u_i\,dt \\[2mm]
&=&\int\limits_a^b \langle v(t),u\rangle \,dt\\[2mm]
&\leq &\int\limits_a^b\|v(t)\|\cdot \|u\|\,dt\hspace{1cm}\mbox{f\"ur $x,y\in \R^n$ gilt $\langle x,y\rangle \leq \|x\|\cdot \|y\|$} \\[2mm]
&=&\|u\|\cdot  \int\limits_a^b\|v(t)\|\,dt.\end{array} \end{align*}
Das Lemma folgt nun indem wir durch $\|u\|$ k\"urzen.
\end{proof}

\begin{lemma} \label{lem:mittelwert}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f=(f_1,\dots,f_m)\colon U\to \R^m$ eine stetig differenzierbare Abbildung.
Es sei $x\in U$ und $v=(v_1,\dots,v_n)\in \R^n$ ein Vektor, so dass $x+tv\in U$ f\"ur alle $t\in [0,1]$. Dann gilt
\footnote{Die rechte Seite ist das Produkt einer $m\times n$--Matrix mit einem Vektor in $\R^n$.}
\[\textstyle f(x+v)-f(x)\,\,=\,\,\Bigg(\bint\limits_0^1 Df(x+tv)\,dt \Bigg)\cdot v\in \R^m.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Es gen\"ugt die Aussage f\"ur die $m$ verschiedenen Koordinaten zu beweisen. Es sei also $i\in\{1,\dots,m\}$. 
Dann gilt
\[ \begin{array}{rcll}  f_i(x+v)-f_i(x)&=&\bint\limits_0^1 \hspace{-0.2cm}\underset{\tiny{\begin{array}{c}=\sum\limits_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x+tv)v_j\\\opnormal{nach Satz~\ref{satz:kettenregel1}}\end{array}}}{\underbrace{\tmfrac{d}{dt} f_i(x+tv)}}\hspace{-0.2cm} \,dt
\quad\quad \begin{array}{c}\mbox{Hauptsatz der Differential-}\\\mbox{und Integralrechnung}\end{array} \\
&=& \bint\limits_0^1 \sum\limits_{j=1}^n \tmfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x+tv)v_j\,\,\,dt\\
&=&\sum\limits_{j=1}^n  \bint\limits_0^1 \tmfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x+tv)\,dt\cdot v_j\\
&=&\mbox{$i$-te Zeile von\footnotemark} \hspace{0.5cm}\Bigg(\bint\limits_0^1 Df(x+tv)\,dt \Bigg)\cdot v \,\in\, \R^m.\end{array}\]
\footnotetext{Zur Erinnerung,  $\int_0^1 Df(x+tv)\,dt$ ist per Definition die Matrix
\[   \begin{pmatrix} \int_0^1\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x+tv)\,dt &\dots & \int_0^1\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x+tv)\,dt \\ \vdots &&\vdots \\ \int_0^1\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(x+tv)\,dt&\dots &
\int_0^1\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(x+tv)\,dt\end{pmatrix}.\]}
\end{proof}

Wir k\"onnen jetzt die Verallgemeinerung von Satz~\ref{satz:mwsint} formulieren und beweisen. Die Rolle der Ableitung spielt dabei nat\"urlich das Differential, und anstatt dem Absolutbetrag der Ableitung betrachten wir die Norm des Differentials. Zur Erinnerung, die Norm einer $m\times n$-Matrix $A$ ist definiert als
\[ \|A\|\,:=\,\max \big\{ \|Av\| \,\big|\, v\in \R^n \mbox{ mit } \|v\|=1\big\}.\]
Wir erhalten jetzt folgendes Korollar zu den obigen Ergebnissen:

\begin{korollar}\label{kor:mws}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f=(f_1,\dots,f_m)\colon U\to \R^m$ eine stetig differenzierbare Abbildung.
Es sei $x\in U$ und $v\in \R^n$ ein Vektor, so dass $x+tv\in U$ f\"ur alle $t\in [0,1]$.
Wir setzen
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 C&:=&\underset{t\in [0,1]}{\sup} \|Df(x+tv)\|.
\intertext{Dann gilt}
\hspace{4cm} \|f(x+v)-f(x)\|&\leq& C \|v\|.\end{array}
 \end{align*}
\end{korollar}

\begin{proof}
Es ist
\[ \begin{array}{rcll}  \|f(x+v)-f(x)\|&=&\left\|\left(\int\limits_0^1 Df(x+tv)\,dt \right)\cdot v\right\|\hspace{0.4cm}&\mbox{nach Lemma~\ref{lem:mittelwert}}\\[2mm]
&=&\left\|\int\limits_0^1 Df(x+tv)\cdot v \,dt \right\|&\mbox{folgt aus der Linearit\"at des Integrals}\\[2mm]
&\leq & \int\limits_0^1 \|Df(x+tv)\cdot v \|\,dt &\mbox{nach Lemma~\ref{lem:intnormen}}\\[2mm]
&\leq & \int\limits_0^1 \|Df(x+tv)\|\cdot \|v \|\,dt&\mbox{nach Lemma~\ref{lem:matrixnorm} (2)} \\[2mm]
&\leq & \int\limits_0^1 C\cdot\| v \|\,dt \\[2mm]
&= & C\cdot \|v\|.\end{array} \]
\end{proof}






%======================================================
\section{Der Satz \"uber die Umkehrfunktion und implizite Funktionen}

%======================================================
\subsection{Der Banachsche Fixpunktsatz}
In diesem Kapitel formulieren und beweisen wir den Banachschen Fixpunktsatz. Auf den ersten Blick hat dieser wenig Bezug zu  dem eigentlichen Ziel dieser Vorlesung, n\"amlich dem Studium von Abbildungen $\R^n\to \R^m$. Wir werden aber sp\"ater sehen, dass der Banachsche Fixpunktsatz eine essentielle Rolle im Beweis von zwei sehr wichtigen Aussagen spielt.

\begin{definition}
Ein \emph{Banachraum}  ist ein normierter Vektorraum, so dass der zugeh\"orige metrische Raum vollst\"andig ist. 
\footnote{Zur Erinnerung, f\"ur einen normierten Vektorraum  $(V,\|-\|)$ definiert
$d(x,y):=\|x-y\|$ eine Metrik auf $V$.  Ein metrischer Raum  hei\ss t vollst\"andig, wenn jede Cauchy--Folge konvergiert.}
\end{definition}

\begin{beispiel}
In Analysis~I und Kapitel~\ref{section:konvfolg} hatten wir gesehen, dass die normierten Vektorr\"aume
\begin{align*}
\begin{array}{rcrcl}
 \R^n &\mbox{ mit }&\|x\|&=&\sqrt{\textstyle\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}
\intertext{und\footnotemark}
 C([a,b],\R)&\mbox{ mit }&\|f\|&=&\sup\big\{|f(x)|\,\big|\,x\in [a,b]\big\}
\intertext{Banachr\"aume sind. Andererseits hatten wir gesehen, dass der normierte Vektorraum}
\hspace{4cm} C([a,b],\R)&\mbox{ mit }&\|f\|&=&\int\limits_{a}^b |f(x)|\,dx
\end{array}
\end{align*}
\footnotetext{Zur Erinnerung, $C([a,b],\R)$ ist die Menge der stetigen Funktionen $[a,b]\to \R$.}
kein Banachraum ist.
\end{beispiel}

Der folgende Satz verallgemeinert das zweite Beispiel von einem Banachraum. Der Beweis von Satz 16.3 in Analysis~I kann problemlos abgewandelt werden um folgenden Satz zu beweisen.

\begin{satz}\label{satz:cburm}
Es sei $U\subset \R^n$ eine Teilmenge. Der Vektorraum
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}\hspace{1cm} C_b(U,\R^m)&=&\mbox{Vektorraum aller beschr\"ankten stetigen Abbildungen $f\colon U\to \R^m$}
\intertext{mit der Supremumsnorm, d.h.\ mit der Norm}
 \|f\|&=&\sup\big\{\|f(x)\|\,\big|\, x\in U\big\}\end{array} \end{align*}
ist ein Banachraum.
\end{satz}

Bevor wir den n\"achsten Banachschen Fixpunktsatz formulieren, f\"uhren wir noch zwei Begriffe ein:
\begin{enumerate}
\item Es sei $(V,\|-\|)$ ein normierter Vektorraum. Eine Abbildung $\Phi\colon V\to V$ hei\ss t \emph{Kontraktion}, wenn es ein $\Theta \in [0,1)$, genannt \emph{Kontraktionsfaktor}, gibt, so dass
\[ \|\Phi(x)-\Phi(y)\|\,\leq \,\Theta\|x-y\|\quad \mbox{ f\"ur alle $x,y\in V$.}\]
\item Es sei $\Phi\colon X\to X$ eine Abbildung. Ein Punkt $x\in X$ hei\ss t \emph{Fixpunkt von $\Phi$}, wenn $\Phi(x)=x$.
\end{enumerate}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es sei $\alpha \in (0,2\pi)$. Wir betrachten die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R^2&\to& \R^2\\
v&\mapsto &\mbox{Drehung von $v$ um den Winkel $\alpha$ im Uhrzeigersinn}.\end{array}\]
Diese Abbildung besitzt genau einen Fixpunkt, n\"amlich den Ursprung.
\item Es sei $P\in \R^n$ ein Punkt. Dann ist die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl}\Phi\colon\R^n&\to &\R^n \\ x&\mapsto &\frac{1}{2}(P+x) \end{array} \]
eine Kontraktion mit Kontraktionsfaktor $\frac{1}{2}$,
\footnote{In der Tat, denn f\"ur alle $x,y\in \R^n$ gilt
\[ \| \Phi(x)-\Phi(y)\|\,\,=\,\,\|\tmfrac{1}{2}(P+x)-\tmfrac{1}{2}(P+y)\|\,\,=\,\,\|\tmfrac{1}{2}(x-y)\|\,\,=\,\,\tmfrac{1}{2}\|x-y\|.\]}
 und der Punkt $P$  ist (der einzige) Fixpunkt von $\Phi$.
Geometrisch bildet $\Phi$ jeden Punkt $x$ auf den Mittelpunkt von $x$ und $P$ ab. Anders ausgedr\"uckt, der Abstand von $\Phi(x)$ zu $P$ ist halb so gro\ss \, wie der Abstand von $x$ zu $P$. Das Beispiel wird in Abbildung~\ref{fig:fixpunkt-r2} illustriert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{fixpunkt-r2.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:fixpunkt-r2}
\end{center}
\end{figure}
\item Die Abbildung
\[  \begin{array}{rcl}\Phi\colon\R^n\setminus \{0\}&\to &\R^n \setminus \{0\} \\ x&\mapsto &\frac{1}{3}x \end{array} \]
ist eine Kontraktion, aber die Abbildung besitzt keinen Fixpunkt.
\end{enumerate}
\end{beispiel}

Wir k\"onnen jetzt den folgenden wichtigen Satz formulieren:


\begin{satz} \textbf{\emph{(Banachscher Fixpunktsatz)}}\label{satz:fixpunkt}
Es sei  $(V,\|-\|)$ ein Banachraum. Dann besitzt jede Kontraktion  $\Phi\colon A\to A$ auf einer abgeschlossenen Teilmenge $A\subset V$ genau einen Fixpunkt.
\end{satz}

Dieser unscheinbare Satz spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik, wir werden ihn  sp\"ater bei mehreren Gelegenheiten wieder treffen.

\begin{beispiel}
Es sei $A$ die Altstadt von Regensburg, aufgefasst als abgeschlossene Teilmenge von $\R^2$.
Wenn man nun in der Altstadt steht, und eine detailgetreue Karte $K$ der Altstadt im Ma\ss stab 1:10000 in der Hand h\"alt, dann ist die Kartenabbildung $\Phi\colon A\to K$ eine Kontraktion mit Kontraktionsfaktor $\frac{1}{10000}$. Der Banachsche Fixpunktsatz besagt also, dass es genau einen Punkt auf der Karte gibt, welcher mit dem direkt darunter liegenden Punkt in der realen Welt \"ubereinstimmt.
\end{beispiel}

Im Beweis vom Banachschen Fixpunktsatz werden wir folgendes Lemma verwenden.

\begin{lemma}\label{lem:kontraktionstetig}
Jede Kontraktion auf einem normierten Vektorraum ist stetig.
\end{lemma}

\begin{proof}
Eine Kontraktion mit  Kontraktionsfaktor $\Theta$ ist insbesondere Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante $\Theta$. Das Argument von Lemma~13.12 aus der Analysis~I zeigt, dass jede Lipschitz-stetige Funktion, insbesondere also jede Kontraktion, stetig ist.
\end{proof}


Wir wenden uns nun dem Beweis vom Banachschen Fixpunktsatz zu.


\begin{proof}[Beweis vom Banachschen Fixpunktsatz]
Es sei  $(V,\|-\|)$ ein Banachraum und es sei  zudem $\Phi\colon A\to A$ eine Kontraktion auf einer abgeschlossenen Teilmenge $A\subset V$ mit Kontraktionsfaktor $\Theta\in [0,1)$.
Wir zeigen zuerst, dass $\Phi$ h\"ochstens einen Fixpunkt besitzt:
Es seien also $v,w\in V$ mit $\Phi(v)=\Phi(w)$, dann gilt
\[ \|v-w\|\,\,=\,\,\|\Phi(v)-\Phi(w)\|\,\,<\,\,\Theta \cdot \|v-w\|.\]
Nachdem $\Theta \in [0,1)$ ist dies nur m\"oglich, wenn $\|v-w\|=0$, d.h.\ wenn $v=w$.

Wir zeigen nun, dass $\Phi$ einen Fixpunkt besitzt. Genauer gesagt, wir werden folgende Behauptung beweisen:

\begin{behauptung}
Es sei $v_0\in A$ beliebig. Dann konvergiert die durch $v_k:=\Phi(v_{k-1})$ rekursiv definierte Folge gegen einen Fixpunkt von $\Phi$.
\end{behauptung}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{banachscher-fixpunktsatz.pstex_t}
\caption{Illustration zum Beweis vom Banachschen Fixpunktsatz.}
\label{fig:banachscher-fixpunktsatz}
\end{center}
\end{figure}

Die Idee ist nun zu zeigen, dass die Folge $(v_k)_{k\in \N}$ eine Cauchy-Folge ist. 
 Wir wollen zuerst die sukzessiven Abst\"ande $\|v_{i+1}-v_i\|$ besser verstehen. F\"ur $i\geq 1$ gilt 
\[ \begin{array}{rcll} \hspace{0.25cm}\|v_{i+1}-v_i\|&=& \|\Phi(v_i)-\Phi(v_{i-1})\|\\
&\leq &\Theta \cdot \|v_{i}-v_{i-1}\|\hspace{1cm}&\mbox{da $\Phi$ Kontraktion mit Kontraktionsfaktor $\Theta$} \\
&\leq& \Theta^2\cdot \|v_{i-1}-v_{i-2}\|&\mbox{Kontraktion auf $v_i$ und $v_{i-1}$ angewandt}\\
&\leq &\Theta^i\cdot \underset{=:c}{\underbrace{\|v_{1}-v_{0}\|}}&\mbox{Kontraktion insgesamt $i$-Mal angewandt}\\
&=&\Theta^i\cdot c.\end{array} \]
F\"ur beliebige $m>k\in \N$ folgt also
\[ \begin{array}{rcll} \|v_m-v_k\|&=&\bigg\| \sum\limits_{i=k}^{m-1} (v_{i+1}-v_i)\bigg\|\\[2mm]
&\leq& \sum\limits_{i=k}^{m-1} \|v_{i+1}-v_i\|&\mbox{Dreiecksungleichung}\\[2mm]
&\leq &\sum\limits_{i=k}^{m-1} \Theta^ic&\mbox{obige Ungleichung}\\[2mm]
&=&c\Theta^k\sum\limits_{i=0}^{m-1-k}\Theta^i\\[2mm]
&<& c\Theta^k \sum\limits_{i=0}^{\infty} \Theta^i\\
& =& {c\Theta^k}\tmfrac{1}{1-\Theta}&\mbox{geometrische Reihe}\end{array} \]
Nachdem ${c\Theta^k}\frac{1}{1-\Theta}=\frac{c}{1-\Theta}\cdot \Theta^k$ sieht man leicht, dass $(v_n)_{n\in \N}$ eine Cauchy-Folge in $V$ ist.
\footnote{In der Tat, nachdem $\Theta\in [0,1)$ existiert f\"ur gegebenes $\epsilon>0$  ein $N$, so dass $\frac{c}{1-\Theta}\cdot \Theta^N<\epsilon$. F\"ur alle $k,m\geq N$ folgt dann: $\|v_m-v_k\|<\frac{c}{1-\Theta}\cdot \Theta^N<\epsilon$.}Da $V$ vollst\"andig ist, konvergiert die Folge gegen ein $v\in V$. Aus der Voraussetzung, dass  $A$ abgeschlossen ist, und nachdem alle Folgenglieder $v_n$ in $A$ liegen, folgt aus Lemma~\ref{lem:grenzwertabgeschlossen}, dass $v\in A$.

Wir wollen nun zeigen, dass $v$ ein Fixpunkt von $\Phi$ ist.
Es ist
\[\begin{array}{rcl} \Phi(v)&=&\Phi\bigg(\underset{n\to\infty}{\lim} v_n\bigg)\\
&=&\underset{n\to\infty}{\lim} \Phi(v_n)\hspace{2cm} \mbox{nach Satz~\ref{satz:fstetiggw}  und Lemma~\ref{lem:kontraktionstetig}}\\
&=&\underset{n\to\infty}{\lim} v_{n+1}\,\,=\,\,v.\end{array}\]
\end{proof}

% Ende 14. Vorlesung   (dazwischen Vorlesung von RZ ueber Fourier-Reihen)


F\"ur $x\in \R^n$ und $r\geq 0$ bezeichnen wir im Folgenden
\[ \overline{B_r(x)}\,\,:=\,\,\big\{ y\in \R^n\,\big|\, \|y-x\|\leq r\big\}
\]
als die \emph{abgeschlossene $r$-Kugel um $x$}.\footnote{Manchmal bezeichnen wir $\overline{B_r(x)}$ auch einfach nur als `geschlossene Kugel'.} Dies ist in der Tat eine abgeschlossene Teilmenge von $\R^n$. 

Der folgende Satz gibt ein wichtiges Beispiel f\"ur eine kontrahierende Abbildung.



\begin{satz} \label{satz:kontraktiondf0}
Es sei $g\colon \R^n\to \R^n$ eine stetig differenzierbare Abbildung mit $Dg(0)=0$. Wir setzen\footnote{Hierbei verwenden wir die Konvention, dass das Maximum einer nach oben unbeschr\"ankten Menge das Symbol $\infty$ ist.}
\footnote{Anders ausgedr\"uckt, $r$ ist  der gr\"o\ss te Radius einer Scheibe um den Ursprung, so dass auf der Scheibe gilt $\|Dg(x)\|\leq \frac{1}{2}$.}
\footnote{Warum existiert das Maximum? Anders ausgedr\"uckt, warum k\"onnen wir an dieser Stelle Maximum anstatt Supremum schreiben?}
\[ r:=\max\big\{ s\in [0,\infty)\,\big|\,\mbox{f\"ur alle }x\in \overline{B_s(0)}\mbox{ gilt }\|Dg(x)\|\leq \tmfrac{1}{2}\big\}\in \R\cup\{\infty\}.\]
Dann gelten folgende Aussagen:
\begin{enumerate}
\item $r>0$.
\item Die Einschr\"ankung $g\colon \overline{B_r(0)}\to \R^n$ ist kontrahierend  mit  Kontraktionsfaktor $\frac{1}{2}$.
\item Wir schreiben $y=g(0)$. Dann ist 
\[ f\Big(\overline{B_r(0)}\Big)\,\,\subset\,\,\overline{B_{\frac{r}{2}}(y)}\,\,\subset\,\, \overline{B_{\frac{r}{2}+\|y\|}(0)}.\]
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{beispiel-kontraktion.pstex_t}
\caption{Illustration von Satz~\ref{satz:kontraktiondf0}.}
\label{fig:beispiel-kontraktion}
\end{center}
\end{figure}



\begin{beispiel}
Wir betrachten die Funktion $g(x)=x^2$. Dann ist $Dg(0)=g'(0)=0$. 
In diesem Fall gilt
\[ r\,\,=\,\,\max\big\{s\in [0,\infty)\,\big|\,\mbox{f\"ur alle $x\in [-s,s]$ gilt $\underset{=|2x|}{\underbrace{|f'(x)|}}\leq \frac{1}{2}$}\big\}\,\,=\,\,\tmfrac{1}{4}.\]
Die Einschr\"ankung von $f(x)=x^2$ auf 
\[ \begin{array}{rcl} \big[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\big]&\to & \big[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\big]\\
x&\mapsto &x^2\end{array} \]
ist eine kontrahierende Abbildung mit Kontraktionsfaktor $\frac{1}{2}$.\footnote{Dies kann man auch direkt sehen, denn f\"ur $x,y\in [-\frac{1}{4},\frac{1}{4}]$ gilt 
\[ |f(x)-f(y)|\,\,=\,\,|x^2-y^2|\,\,=\,\,|x-y|\cdot \underset{\leq{\frac{1}{2}}}{\underbrace{|x+y|}}\,\,\leq \,\,\tmfrac{1}{2}|x-y|.\]}
\end{beispiel}

\begin{proof}
Es sei $g\colon \R^n\to \R^n$ eine stetig differenzierbare Abbildung mit  $Dg(0)=0$. 
\begin{enumerate}
\item 
Es folgt aus $Dg(0)=0$, der Stetigkeit der partiellen Ableitungen und aus Lemma~\ref{lem:matrixnorm}~(3), dass es ein $s>0$ gibt, so dass $\|Dg(x)\|\leq \frac{1}{2}$ f\"ur alle $x\in \overline{B_s(0)}$. Insbesondere ist also $r\geq s>0$. 
\item Es folgt sofort aus Korollar~\ref{kor:mws}, dass $g$ auf der abgeschlossenen Scheibe $\overline{B_r(0)}$ kontrahierend ist mit Kontraktionsfaktor $\frac{1}{2}$.
\item Es sei $x\in \overline{B_r(0)}$. Dann folgt aus (2), dass 
\[ \|f(x)-y\|\,\,=\,\,\|f(x)-f(0)\|\,\,\leq\,\,\tmfrac{1}{2}\|x-0\|\,\,=\,\,\tmfrac{r}{2}.\]
Wir haben also gezeigt, dass $f\Big(\overline{B_r(0)}\Big)\subset\overline{B_{\frac{r}{2}}(y)}$. Die Inklusion $\overline{B_{\frac{r}{2}}(y)}\subset \overline{B_{\frac{r}{2}+\|y\|}(0)}$ folgt leicht aus der Dreiecksungleichung.
\end{enumerate}
\end{proof}


%======================================================
\subsection{Der Satz \"uber die Umkehrabbildung}
Es sei $f\colon U\to V$ eine bijektive differenzierbare Abbildung zwischen zwei offenen Mengen $U,V\subset \R^n$. Wenn die Umkehrabbildung $g=f^{-1}\colon V\to U$ ebenfalls differenzierbar ist,  dann hatten wir schon in Korollar~\ref{kor:umkehrabbildung} gesehen, dass $Df(x)$ an jedem Punkt $a\in U$ invertierbar ist.\footnote{Zur Erinnerung, f\"ur alle $a\in U$ gilt, dass $g(f(a))=a$, d.h.\ $g\circ f$ ist die Identit\"atsabbildung auf $U$.
F\"ur beliebiges $a$ folgt dann aus der \ref{satz:kettenregel}, dass
\[ \operatorname{id}_n\,\,=\,\,D(\operatorname{id})(a)\,\,=\,\,D(g\circ f)(a)\,\,=\,\,Dg(f(a))\cdot Df(a).\]
Insbesondere sehen wir, dass die $n\times n$--Matrix $Df(a)$  invertierbar ist, mit inverser Matrix $Dg(f(a))$.}

Es ist sehr leicht zu \"uberpr\"ufen, ob  eine lineare Abbildung  invertierbar ist, beispielsweise gen\"ugt es die Determinante zu berechnen.
Andererseits ist es im Allgemeinen sehr schwer festzustellen, ob eine beliebige Abbildung $f\colon U\to V$ umkehrbar ist.
Der folgende Satz besagt nun, dass wenn das Differential $Df(a)$ einer stetig differenzierbaren Funktion $f$ an einem Punkt $a$ invertierbar ist, dann ist $f$ `lokal umkehrbar'\footnote{Manchmal sagt man auch `lokal invertierbar'. Die Begriffe `umkehrbar' und `invertierbar' sind v\"ollig austauschbar.}, d.h.\ es gibt eine kleine Umgebung $U$ von $a$,
so dass die Einschr\"ankung von $f$ auf $U$ umkehrbar ist.


\begin{satz}
\label{satz:umkehrabbildung}
\emph{\textbf{(Satz \"uber die Umkehrabbildung)}}
Es sei $X\subset \R^n$ offen, $f\colon X\to \R^n$ eine stetig differenzierbare Abbildung und $a\in X$.
Wenn $Df(a)$ invertierbar ist, dann existieren offene Umgebungen $U\subset X$ von $a$ und $V$ von $b:=f(a)$,
so dass $f\colon U\to V$ bijektiv ist, und so dass die Umkehrabbildung $f^{-1}\colon V\to U$ ebenfalls stetig ist.
\end{satz}

Auf Seite 47 von Br\"ocker: Analysis~II wird die st\"arkere Aussage bewiesen, dass die 
 Umkehrabbildung $f^{-1}\colon V\to U$ sogar  stetig differenzierbar ist. Wir werden diese Aussage im weiteren Verlauf der Vorlesung nicht ben\"otigen, und daher auch nicht beweisen.


\begin{beispiel}
Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R&\to & \R \\
x&\mapsto &\frac{1}{2}x^2 \end{array} \]
und den Punkt $a=2$ in $\R$. Dann ist $Df(a)=f'(a)=a=2$  ungleich null.
Die offenen Umgebungen $U=(1,3)$ von $a=2$ und $V=(\frac{1}{2},\frac{9}{2})$ von $b=f(a)=2$ und die Abbildung $f^{-1}\colon V\to U, x\mapsto \sqrt{x}$ haben dann beispielsweise die geforderten Eigenschaften.
Das Beispiel wird in Abbildung~\ref{fig:umkehrabbildung} illustriert.
\end{beispiel}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{umkehrabbildung.pstex_t}
\caption{Illustration vom Satz \"uber die Umkehrabbildung.}
\label{fig:umkehrabbildung}
\end{center}
\end{figure}

\begin{bemerkung}
Den Fall  $n=1$ k\"onnen wir auch mithilfe von Analysis~I beweisen. Es  sei $X\subset \R$ offen, $f\colon X\to \R$ eine stetig differenzierbare Abbildung und $a\in X$, so dass 
 $f'(a)\ne 0$. Nachdem $f$ stetig differenzierbar ist, ist $f'$ stetig. Es existiert daher ein $\epsilon>0$, so dass $f'(x)>0$ f\"ur $x\in (a-\epsilon,a+\epsilon)$. Aus Analysis~I Satz~12.4 folgt, dass die Einschr\"ankung von $f$ auf $U:=(a-\epsilon,a+\epsilon)$ streng monoton ist. Insbesondere besitzt diese Einschr\"ankung eine Umkehrfunktion. Nach Satz~11.12 aus der Analysis~I Vorlesung ist die Umkehrfunktion zudem differenzierbar.
\end{bemerkung}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{beweis-umkehrabbildung.pstex_t}
\caption{Illustration zum Beweis vom  Satz \"uber die Umkehrabbildung.}
\label{fig:beweis-umkehrabbildung}
\end{center}
\end{figure}

\begin{proof}
Wir beweisen den Satz \"uber die Umkehrabbildung f\"ur $X=\R^n$ und $a=b=0$. Der allgemeine Fall wird ganz analog bewiesen. O.B.d.A.\ k\"onnen wir auch annehmen, dass $Df(0)=\operatorname{id}$.\footnote{In der Tat, denn nehmen wir an, dass $A:=Df(0)$ nicht die Identit\"at ist. Wir betrachten dann die Abbildung $g:=A^{-1}\circ f$. Aus der Kettenregel folgt, dass $dg(0)=A^{-1}\circ Df(0)=\operatorname{id}$. Wenn $g$ eine lokale Umkehrabbildung besitzt, dann ist $g^{-1}\circ A^{-1}$ eine Umkehrabbildung f\"ur $f$.}

\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{\footnote{Wie in Analysis~I ist der Text in blau nur dazu gedacht, auf die Beweisidee zu kommen. Der Text in blau ist nicht Bestandteil des eigentlichen Beweises.} Unser Ziel ist also, in der N\"ahe des Ursprungs eine Umkehrfunktion $f^{-1}$ zu finden. Es sei also $y\in \R^n$ ein Punkt nahe am Ursprung. Das Ziel ist nun zu zeigen, dass es ein $x$ mit $y=f(x)$ gibt. 
Wir wollen solch ein $x$ mit dem Banachschen Fixpunktsatz finden. Wir m\"ussen die Problemstellung also als Fixpunktproblem umformulieren. Offensichtlich gilt
\[ y=f(x) \quad \Longleftrightarrow\quad x=\underset{=:g_y(x)}{\underbrace{y+(x-f(x))}}.\]
Um den Banachschen Fixpunktsatz anwenden zu k\"onnen, m\"ussen wir nun die Lage so arrangieren, dass  die Abbildung $g_y$ kontrahierend ist.}
\end{enumerate} 
F\"ur ein beliebiges $y\in \R^n$ betrachten wir die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl}g_y\colon \R^n&\to & \R^n\\
x&\mapsto &g_y(x):=y+(x-f(x)).\end{array}\]
Die Abbildungen unterscheiden sich nur durch eine Translation, insbesondere besitzen alle Abbildungen die gleichen Differentiale. Wir schreiben $g:=g_0$.
F\"ur alle $y\in \R^n$ gilt dann
\[ \begin{array}{rcl} Dg_y(0)&=&Dg(0)\\
&=&D(\operatorname{id}-f)(0)\hspace{4cm}\mbox{denn $g=\operatorname{id}-f$}\\
&=&\underset{=\operatorname{id}}{\underbrace{D\operatorname{id}(0)}}-\underset{=\operatorname{id}}{\underbrace{Df(0)}}\,\,=\,\,\operatorname{id}-\operatorname{id}=0.\end{array}\]
Wie in Satz~\ref{satz:kontraktiondf0} setzen wir nun 
\[ r:=\max\big\{ s\in [0,\infty)\,\big|\,\mbox{f\"ur alle }x\in \overline{B_0(s)}\mbox{ gilt }\|Dg(x)\|\leq 
\tmfrac{1}{2}\big\}.\]
Es folgt nun aus Satz~\ref{satz:kontraktiondf0} (1), dass $r>0$. 
Zudem folgt aus $g_y(0)=y$ und aus Satz~\ref{satz:kontraktiondf0} (2) und (3), dass f\"ur alle $y$ mit $\|y\|\leq \frac{r}{2}$ die Abbildung $g_y$ sich einschr\"ankt auf eine kontrahierende Abbildung
\[ g_y\colon \overline{B_r(0)}\,\,\to\,\, \overline{B_r(0)}\]
mit  Kontraktionsfaktor $\frac{1}{2}$. Der Banachsche Fixpunktsatz\footnote{Wir weden den Banachschen Fixpunktsatz an auf die abgeschlossene Teilmenge $\overline{B_r(0)}$ von dem Banachraum $\R$ und die Kontraktion $g_y$.} besagt nun, dass es f\"ur jedes  $y\in \overline{B_{\frac{r}{2}}(0)}$ genau ein $x\in \overline{B_r(0)}$ mit $g_y(x)=x$, also mit $f(x)=y$, gibt. 

Zusammengefasst haben wir jetzt also folgende Aussage bewiesen.

\begin{aussage}
Es gibt ein $r>0$, so dass es zu jedem $y\in \overline{B_{\frac{r}{2}}(0)}$  genau ein $f^{-1}(y):=x\in \overline{B_r(0)}$ mit  $f(x)=y$ gibt. 
\end{aussage}

Wir haben nun also eine Abbildung $f^{-1}\colon \overline{B_{\frac{r}{2}}(0)}\to \overline{B_r(0)}$ definiert.
Die folgende Behauptung besagt, dass die Abbildung $f^{-1}$ eine Lipschitz-Abbildung ist. Insbesondere  ist also $f^{-1}$ eine stetige Abbildung.

\begin{behauptung}
F\"ur alle $y,z\in  \overline{B_{\frac{r}{2}}(0)}$ gilt
\[  \|f^{-1}(y)-f^{-1}(z)\|\,\,\leq \,\, 2\|y-z\|.\]
\end{behauptung}

Es seien also $y,z\in  \overline{B_{\frac{r}{2}}(0)}$. Dann gilt
\[
 \begin{array}{rcll}\hspace{0.1cm}
&&  \|f^{-1}(y)-f^{-1}(z)\|\\[2mm]
 &=&\Big\|\underset{=f^{-1}(y)}{\underbrace{g(f^{-1}(y))+\underset{=y}{\underbrace{f(f^{-1}(y))}}}}-\underset{=f^{-1}(z)}{\underbrace{(g(f^{-1}(z))+\underset{=z}{\underbrace{f(f^{-1}(z))}})}}\Big\|&
 \mbox{denn }g(w)=w-f(w)\\[2mm]
&\leq & \underset{\tiny{\begin{array}{c}\leq \frac{1}{2}\|f^{-1}(y)-f^{-1}(z)\|,\opnormal{ da $g$ }\\\opnormal{kontrahierend auf $V\subset \overline{B_r(0)}$}\\\opnormal{mit Kontraktionsfaktor $\frac{1}{2}$}\end{array}}}{\underbrace{\|g(f^{-1}(y))-g(f^{-1}(z))\|}}+\|y-z\|&\mbox{Dreiecksungleichung}\\[2mm]
&\leq & \tmfrac{1}{2}\|f^{-1}(y)-f^{-1}(z)\|+\|y-z\|.
\end{array}\]
Indem wir die Ungleichung nach $\|f^{-1}(y)-f^{-1}(z)\|$ aufl\"osen  erhalten wir die gew\"unschte Ungleichung
\[
\|f^{-1}(y)-f^{-1}(z)\|\,\,\leq \,\, 2\|y-z\|. \]
Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.



Wir m\"ussen nun  \emph{offene} Umgebungen $U$ von $a=0$ und $V$ von $b=0$ finden, so dass $f\colon U\to V$ bijektiv ist, und so dass die Umkehrabbildung $f^{-1}\colon V\to U$ stetig ist. 
Wir setzen 
\[ \begin{array}{rcl} U&:=& \big\{x\in \R^n\,\big|\, \|x\|<r\mbox{ und }\|f(x)\|<\tmfrac{r}{2}\big\},\mbox{ und }\\[2mm]
V&:=&f(U).\end{array} \]
Dann ist $U$ eine offene\footnote{Warum ist $U$ offen?} Umgebung von $a=0$ und $V$ enth\"alt $b=0$. 
Aus der Wahl von $U$ folgt, dass zudem $V=f(U)\subset B_{\frac{r}{2}}(0)$. Es folgt nun aus der vorherigen Aussage folgt, dass $f\colon U\to f(U)=V$ nicht nur surjektiv, sondern auch injektiv, also   bijektiv ist. Zudem folgt aus der vorherigen Behauptung, dass  $f^{-1}\colon V\to U$ stetig ist.

Es verbleibt noch zu zeigen, dass $V$ offen ist. Wir werden folgende etwas genauere Behauptung beweisen.

\begin{behauptung}
Es ist $V=B_{\frac{r}{2}}(0)$.
\end{behauptung}

Wir hatten schon gesehen, dass $V\subset B_{\frac{r}{2}}(0)$. Wir m\"ussen nun noch zeigen, dass auch $B_{\frac{r}{2}}(0)\subset V$.
Es sei also $y\in B_{\frac{r}{2}}(0)$. Da $f^{-1}$ auf $B_{\frac{r}{2}}(0)$ definiert ist, gibt es ein $x\in \overline{B_{\frac{r}{2}}(0)}$ mit $f(x)=y$. 
Wir m\"ussen zeigen, dass $x\in U$, d.h.\ wir m\"ussen zeigen, dass $\|x\|<r$. In der Tat ist
\[ \begin{array}{rcll} \|x\|\,\,=\,\,\|x-0\|&=&\|f^{-1}(y)-f^{-1}(0)\|\\
&\leq & 2\|y-0\| &\mbox{nach der vorherigen Behauptung}\\
&<&2\frac{r}{2}\,\,=\,\,r.\end{array}\]
Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.
\end{proof}





%======================================================
\subsection{Polarkoordinaten als Beispiel f\"ur eine lokale Umkehrabbildung}
In diesem Kapitel betrachten wir ein ausf\"uhrliches Beispiel f\"ur den Satz \"uber die Umkehrabbildung.
Wir erinnern zuerst daran, dass wir in Satz~10.10 in der Analysis~I gesehen hatten, dass jeder Punkt $(x,y)\in \R^2$  geschrieben werden kann als
\[ (x,y)\,\,=\,\,(r\cos \varphi,r\sin \varphi),\]
wobei $r\in \R_{>0}$ und $\varphi\in \R$.
Wir nennen $(r,\varphi)$ \emph{Polarkoordinaten von $(x,y)$}. Die Polarkoordinaten von einem Punkt sind nicht eindeutig bestimmt, beispielsweise k\"onnen wir $\varphi$ immer durch $\varphi+2\pi$ ersetzen.\footnote{Wir hatten in der Analysis~I Vorlesung die Polarkoordinaten etwas anders eingef\"uhrt. N\"amlich f\"ur jeden Punkt $(x,y)\ne (0,0)$ gibt es \emph{eindeutige} $r\in \R_{>0}$ und $\varphi\in [0,2\pi)$, so dass $(x,y)=(r\cos \varphi,r\sin \varphi)$. Dann sind $(r,\varphi)$ sind also eindeutig bestimmte Polarkoordinaten von $(x,y)$. Diese haben aber den gro\ss en Nachteil, dass diese nicht stetig vom Punkt $(x,y)$ abh\"angen, nachdem der Winkel beim `\"uberschreiten' der positiven $x$-Achse von $0$ auf `fast' $2\pi$ springt.}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{polarkoordinaten.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:polarkoordinaten}
\end{center}
\end{figure}

Wir betrachten jetzt etwas formaler die Abbildung\footnote{F\"ur Vektoren verwenden wir sowohl die `horizontale' als auch die `vertikale' Schreibweise. In vielen F\"allen ist die horizontale Schreibweise $(x,y)$ platzsparender. Andererseits ist manchmal die vertikale Schreibweise ${\Big( \begin{array}{c}f\\ g\end{array} \Big)}$ logischer, beispielsweise wenn wir das Differential bestimmen wollen.}
\[ \begin{array}{rcl} P\colon \R_{\geq 0} \times \R&\to & \R^2 \\
(r,\varphi)&\mapsto &  (r\cos \varphi,r\sin \varphi)=\begin{pmatrix} r\cos \varphi\\r\sin\varphi\end{pmatrix}. \end{array} \]
Dies ist  eine  $C^\infty$--Abbildung
 aber keine Bijektion, nachdem $P(r,\varphi)=P(r,\varphi+2\pi)$. Die Tatsache, dass $P$ nicht injektiv ist, entspricht genau der Aussage, dass die Polarkoordinaten von einem Punkt nicht eindeutig sind.
Das Differential der Abbildung $P$ ist gegeben durch
\[ DP(r,\varphi)\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \frac{\partial P_1}{\partial r} & \frac{\partial P_1}{\partial \varphi} \\[2mm] \frac{\partial P_2}{\partial r}& \frac{\partial P_2}{\partial \varphi}\end{pmatrix}\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \cos(\varphi) &-r\sin(\varphi) \\
\sin(\varphi)&\hfill r\cos(\varphi)\end{pmatrix}.\]
Die Determinante des Differentials  ist $r$. F\"ur  $r>0$ ist die Determinante also  nicht null, das Differential ist also eine invertierbare Matrix.
\footnote{Die Abbildung $P\colon \R_{>0}\times \R\to \R^2 \setminus \{0\}$ hat also die Eigenschaft, dass das Differential \"uberall invertierbar ist, aber $P$ ist trotzdem nicht bijektiv.
Dies ist im Gegensatz zur Situation von Funktionen $g\colon (a,b)\to (c,d)$ in einer Variablen: wenn die Ableitung \"uberall nicht null ist, dann ist $g$ bijektiv.}
Aus dem Satz \"uber die Umkehrabbildung folgt nun, dass $P$ an allen Punkten $(r,\varphi)\in \R_{>0}\times \R$ `lokal invertierbar' ist. Anders ausgedr\"uckt, in der N\"ahe von jedem Punkt $(x,y)\ne (0,0)$ k\"onnen wir also eindeutige Polarkoordinaten einf\"uhren, welche stetig vom Punkt abh\"angen.

Betrachten wir beispielsweise den Punkt $(1,0)$. Dann ist die Einschr\"ankung von $P$ auf
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} P\colon U:=\R_{>0}\times (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})&\to& V:=\R_{>0} \times \R \\
(r,\varphi)&\mapsto &(r\cos \varphi,r\sin \varphi)
\intertext{umkehrbar mit Umkehrabbildung}
 \hspace{4cm} Q\colon  V= \R_{>0} \times \R &\to & U= \R_{>0}\times (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \\[2mm]
(x,y)&\mapsto & \Big(\sqrt{x^2+y^2},\arctan\Big(\tmfrac{y}{x}\Big)\Big).\end{array} \end{align*}

% Ende 15. Vorlesung

%======================================================
\subsection{Umkehrabbildungen von $C^k$--Abbildungen $(*)$}
In diesem Kapitel wollen wir die Umkehrabbildungen von $k$-fach stetig differenzierbaren Abbildungen studieren. Dieses Kapitel ist nicht offizieller Teil der Vorlesung.

\begin{definition}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
 Es sei $U\subset \R^n$ offen und
 \[ f=(f_1,\dots,f_m)\colon\, U\,\to\, \R^m\]
  eine Abbildung.
Wir nennen $f$ eine $C^k$--Abbildung, wenn die Koordinatenfunktionen $f_1,\dots,f_m$ alle $k$--mal stetig differenzierbar sind.
\item
Wir sagen, $f$ ist eine $C^\infty$ Abbildung, wenn $f$ f\"ur alle $k$ eine $C^k$--Abbildung ist, d.h.\ $f$ ist eine $C^\infty$--Abbildung, wenn die Koordinatenfunktionen $f_1,\dots,f_m$  beliebig oft  stetig  differenzierbar sind.
\end{enumerate}
\end{definition}

Die Umkehrabbildung einer bijektiven $C^k$--Abbildung ist nicht notwendigerweise eine $C^k$--Abbildung, wie man schon an dem Beispiel
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R&\to & \R \\ x&\mapsto& x^3 \end{array} \]
sieht, denn die Umkehrabbildung $x\mapsto \sqrt[3]{x}$ ist nicht differenzierbar, d.h.\ $f^{-1}$ ist noch nicht einmal eine $C^1$--Funktion. 

Erstaunlicherweise besagt der n\"achste Satz, dass das einzige Problem bei $k=1$ auftaucht. Anders ausgedr\"uckt, wenn $f$ eine $C^k$--Abbildung ist, und die Umkehrabbildung $f^{-1}$ eine $C^1$--Abbildung ist, dann ist die Umkehrabbildung $f^{-1}$ sogar schon eine $C^k$--Abbildung.

\begin{satz}\label{satz:finverseck}
Es sei $f\colon U\to V$ eine bijektive $C^k$--Abbildung zwischen offenen Teilmengen von $\R^n$. Wenn die Umkehrabbildung eine $C^1$--Abbildung ist, dann ist die Umkehrabbildung sogar eine $C^k$--Abbildung.
\end{satz}

\begin{beispiel}
Es sei $f\colon (a,b)\to \R$ eine bijektive $C^2$--Abbildung, so dass $f^{-1}$ differenzierbar ist. Dann gilt
\[\lmfrac{d}{dx} f^{-1}(x)\,\,=\,\,\lmfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}.\]
Nach Voraussetzung sind $f'$ und $f^{-1}$ differenzierbar. Also ist auch $(f^{-1})'$ als Verkn\"upfung von zwei differenzierbaren Funktionen wiederum differenzierbar.
Der Beweis von Satz~\ref{satz:finverseck} ist eine Verallgemeinerung von diesem Argument.
\end{beispiel}



Im Beweis von Satz~\ref{satz:finverseck} werden wir folgendes Lemma verwenden.

\begin{lemma} \label{lem:ainvdiffbar}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}\hspace{6.3cm} U&\to & GL(n,\R) \\
x&\mapsto & A(x)=(a_{ij}(x)) 
\intertext{eine Abbildung, so dass die Matrixeintr\"age stetig differenzierbar sind, d.h.\ die Funktionen}
 U&\to & \R \\
x&\mapsto & a_{ij}(x) 
\intertext{sind stetig differenzierbar. Dann  sind auch die Eintr\"age von}
 U&\to & GL(n,\R) \\
x&\mapsto & A(x)^{-1} \end{array} \end{align*}
stetig differenzierbar.
\end{lemma}

\begin{proof}
Die Cramersche Regel\footnote{F\"ur eine invertierbare $2\times 2$-Matrix besagt die Regel, dass
\[ \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}\,\,=\,\,\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} \hfill d&-b\\ -c&\hfill a\end{pmatrix}.\]} 
   aus der Linearen Algebra besagt, dass f\"ur eine beliebige Matrix $A$ mit $\det(A)\ne 0$ gilt
\[ A^{-1}\,\,=\,\,\lmfrac{1}{\det(A)}A^{adj}, \]
wobei $A^{adj}$ die Adjunkte der Matrix $A$ ist, d.h.\ der $ij$--Eintrag von $A^{adj}$ ist gegeben durch
\[(-1)^{i+j} \,\,\cdot \begin{array}{l} \mbox{Determinante der Matrix, welche man aus $A$ durch} \\
\mbox{Streichen der $i$--ten Spalte und der $j$--ten Zeile erh\"alt.}\end{array} \]
Es folgt also, dass die Eintr\"age von $A^{-1}$ rationale Funktionen in den Eintr\"agen von $A$ sind.
Insbesondere, wenn die Eintr\"age von $x\mapsto A(x)$ stetig differenzierbar sind, dann sind auch die Eintr\"age von $x\mapsto A(x)^{-1}$ stetig differenzierbar.
\end{proof}

Wir wenden uns jetzt dem Beweis von Satz \ref{satz:finverseck} zu.


\begin{proof}[Beweis von Satz \ref{satz:finverseck}]
Wir beweisen das Lemma f\"ur den Fall $k=2$, der allgemeine Fall folgt dann durch Induktion.

Wir bezeichnen mit $g\colon V\to U$ die Umkehrabbildung von $f$.
Nachdem $g$ stetig differenzierbar ist, folgt aus Satz~\ref{satz:differential}, dass die Eintr\"age von $Dg(y)$ gerade die partiellen Ableitungen von $g$ sind. Wir m\"ussen zeigen, dass diese stetig differenzierbar sind.
Korollar~\ref{kor:umkehrabbildung} besagt, dass 
\[  Dg(y)\,\,=\,\,\Big(Df(g(y))\Big)^{-1}\]
f\"ur alle $y\in V$. 
Nachdem $g$ eine $C^1$--Abbildung ist, und nachdem die partiellen Ableitungen von $f$ nach Voraussetzung stetig differenzierbar sind, folgt,
dass die Eintr\"age von $y\mapsto Df(g(y))$ stetig differenzierbar sind. Wir m\"ussen aber wirklich zeigen,
dass die Eintr\"age von $\Big(Df(g(y))\Big)^{-1}$ stetig differenzierbar sind.
Dies folgt aber aus Lemma~\ref{lem:ainvdiffbar}.
\end{proof}


\begin{definition}
Es sei $f\colon U\to V$ eine bijektive $C^\infty$ Abbildung zwischen zwei offenen Teilmengen von $\R^n$. Wenn die Umkehrfunktion ebenfalls eine $C^\infty$--Abbildung ist, dann nennen wir $f$
einen \emph{Diffeomorphismus}.
\end{definition}




\begin{korollar}
Es sei $X\subset \R^n$ offen, $f\colon X\to \R^n$ eine $C^\infty$--Abbildung und zudem $a\in X$.
Wenn $Df(a)$ invertierbar ist, dann existieren offene Umgebungen $U\subset X$ von $a$ und $V$ von $b:=f(a)$,
so dass $f\colon U\to V$ ein Diffeomorphismus ist.
\end{korollar}

\begin{proof}
Der Satz \"uber die Umkehrabbildung besagt, dass es offene Umgebungen $U\subset X$ von $a$ und $V$ von $b:=f(a)$ gibt,
so dass $f\colon U\to V$ eine Bijektion ist, und so dass  $f^{-1}$ stetig ist.
Wie schon erw\"ahnt wird auf Seite 47 von Br\"ocker: Analysis~II bewiesen, dass $f^{-1}$ sogar stetig differenzierbar ist. Das Korollar folgt nun aus  Satz~\ref{satz:finverseck}.
\end{proof}





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\subsection{Satz \"uber implizite Funktionen}
Der folgende Satz ist wahrscheinlich der auf den ersten Blick unverdaulichste Satz der Analysis~II:


\begin{satz}\emph{\textbf{(Satz \"uber implizite Funktionen)}}
Es seien $U_x\subset \R^k$ und $U_y\subset \R^m$ offene Teilmengen und es sei
\[ \begin{array}{rcl} f\colon U_x\times U_y&\to& \R^m\\
(x,y)&\mapsto & f(x,y) \end{array} \]
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $C\in \R^m$ und es sei $(a,b)\in U_x\times U_y$ ein Punkt mit den folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $f(a,b)=C$, und
\item die $m\times m$--Matrix
\[ \lmfrac{\partial f}{\partial y}
\,\,:=\,\,\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial y_1}&\dots &  \frac{\partial f_1}{\partial y_m} \\
\vdots &&\vdots \\
 \frac{\partial f_m}{\partial y_1}&\dots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m}\end{pmatrix} \]
 ist im Punkt $(a,b)$ invertierbar.
 \end{enumerate}
 Dann existieren
 \begin{enumerate}
 \item eine offene Umgebungen $V_x\subset U_x$ von $a$,
 \item eine Umgebung $V_y\subset U_y$ von $b$, sowie
 \item eine stetig differenzierbare Abbildung $g\colon V_x\to V_y$ mit $g(a)=b$,
 \end{enumerate}
so dass folgende Aussagen gelten:
\begin{enumerate}
\item f\"ur alle $x\in V_x$ ist
\[ f(x,g(x))=C, \]
\item und f\"ur alle $(x,y)\in V_x\times V_y$ mit $f(x,y)=C$ gilt, dass $y=g(x)$.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{bemerkung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Etwas vereinfacht ausgedr\"uckt besagt der Satz  \"uber implizite Funktionen Folgendes:
Es sei $(a,b)$ ein Punkt, welcher die Gleichung $f(x,y)=C$ erf\"ullt, und so dass die Matrix $\frac{\partial f}{\partial y}$ am Punkt $(a,b)$
invertierbar ist. Dann kann man eine kleine Umgebung um den Punkt $(a,b)$ finden, so dass die $y$--Koordinaten von den L\"osungen der Gleichung $f(x,y)=C$ eine Funktion der $x$--Koordinaten sind.
\item Die Ausgangslage vom Satz \"uber  implizite Funktionen definiert also Abbildungen $g\colon V_x\to V_y$. Diese Funktionen nennt man manchmal die durch $f$ definierten impliziten Funktionen.
\end{enumerate}
\end{bemerkung}




\begin{beispiel}
Wir betrachten  den Fall $k=m=1$, $U_x=\R$ und $U_y=\R$, die Funktion
\begin{align*} \begin{array}{rcl}
\hspace{5cm} f\colon \R\times \R &\to & \R \\
(x,y)&\mapsto &x^2+y^2.
\intertext{und den Wert $C=4$. Dann gilt f\"ur alle $(a,b)\in \R^2$, dass}
 \lmfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)&=&2b.
\intertext{Betrachten wir den Punkt $(a,b)=(0,2)$. Dann gilt $f(0,2)=4$ und am Punkt $(0,2)$ ist $\frac{\partial f}{\partial y}=(4)$,
insbesondere eine invertierbare $1\times 1$--Matrix. Die Bedingungen des Satzes \"uber implizite Funktionen sind also erf\"ullt.
Beispielsweise haben $V_x=(-1,1)$ und $V_y=(1,3)$ und}
g\colon V_x&\to & V_y \\
x&\mapsto & \sqrt{4-x^2} \end{array} \end{align*}
die gew\"unschte Eigenschaft:
\begin{enumerate}
\item f\"ur alle $x\in (-1,1)$ gilt
\[ f(x,g(x))\,\,=\,\,f\Big(x,\sqrt{4-x^2}\Big)\,\,=\,\,x^2+\Big(\sqrt{4-x^2}\Big)^2\,\,=\,\,4,\]
\item wenn $(x,y)\in V_x\times V_y=(-1,1)\times (1,3)$ die Gleichung $f(x,y)=x^2+y^2=4$ erf\"ullt, dann erh\"alt man durch Aufl\"osen nach $y$, unter der Verwendung, dass $y>0$, dass  $y=\sqrt{4-x^2}$.
\end{enumerate}
Das Beispiel wird auch in Abbildung~\ref{fig:implizitefunktionen} illustriert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{implizitefunktionen.pstex_t}
\caption{Beispiel zum Satz \"uber die impliziten Funktionen.}
\label{fig:implizitefunktionen}
\end{center}
\end{figure}
Wir beschlie\ss en die Diskussion von diesem Beispiel mit zwei Beobachtungen:
\begin{enumerate}
\item
Wenn wir  $V_y=\R$ gew\"ahlt h\"atten, dann w\"urde die zweite Bedingung nicht mehr gelten, denn dann w\"aren die Punkte in der Nullstellenmenge unterhalb der $x$-Achse nicht mehr im Graphen von $g$.
\item F\"ur den Punkt $(a,b)=(2,0)$ gilt ebenfalls $f(a,b)=4$. In diesem Fall ist aber $\frac{\partial f}{\partial y}(2,0)=0$, wir k\"onnen den Satz \"uber implizite Funktionen also nicht anwenden. In der Tat kann man leicht anhand von Abbildung~\ref{fig:implizitefunktionen} sehen, dass es keine offene Umgebung $V_x$ von $2$ gibt, so dass es zu jedem $x\in V_x$ ein $y$  mit $f(x,y)=4$ gibt.
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{beispiel}\label{beispiel:implizite-funktionen-projektion}
Wir betrachten den Fall $U_x=\R^k$, $U_y=\R^m$ und die Projektionsabbildung
\[ \begin{array}{rcl} p\colon \R^k\times \R^m &\to & \R^m \\
(x,y)&\mapsto & y.\end{array}\]
Wir betrachten zudem ein beliebiges $C\in \R$. F\"ur den Punkt $(a,b)=(0,C)$ gilt dann $p(0,C)=0$. Nachdem  $\frac{\partial p}{\partial y}=\operatorname{id}_m$ k\"onnen wir den Satz \"uber implizite Funktionen anwenden. In der Tat haben beispielsweise $V_x=\R^k$, $V_y=\R^m$ und $g(x)=C$ die gew\"unschten Eigenschaften.
\end{beispiel}

Bevor wir uns dem Beweis vom Satz \"uber implizite Funktionen zuwenden, wollen wir  noch einen weiteren Begriff einf\"uhren.
Es sei $V\subset \R^k\times \R^m$ eine Teilmenge. Wir sagen eine Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} F\colon V&\to &\R^k\times \R^m\\
(x,y)&\mapsto &F(x,y)\end{array}\]
ist \emph{$x$-erhaltend}, wenn $F(x,y)$ von der Form $(x,f(x,y))$ ist.
\footnote{Anders ausgedr\"uckt, f\"ur jedes $(x,y)\in V$ ist $F(x,y)=(x,\widetilde{y})$ f\"ur ein $\widetilde{y}\in \R^m$.}

Im Beweis vom Satz \"uber implizite Funktionen werden wir folgendes elementare Lemma verwenden.

\begin{lemma}\label{lem:xerhaltend}\mbox{} Das Inverse einer bijektiven $x$-erhaltenden Abbildung ist wiederum $x$-erhaltend.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es seien also $V$ und $W$  Teilmengen von $\R^k\times \R^m$ und es sei $F\colon V\to W$ eine bijektive $x$-erhaltende Abbildung. Wir wollen zeigen, dass $F^{-1}\colon W\to V$ ebenfalls $x$-erhaltend ist.
Es sei also $(x,y)\in W$. Wir schreiben $F^{-1}(x,y)=(x',y')$. Nachdem $F$ eine $x$-erhaltende Abbildung ist folgt, dass 
$(x,y)=F(x',y')=(x',\widetilde{y})$ f\"ur ein $\widetilde{y}\in \R^k$. Insbesondere ist, wie gew\"unscht, $x=x'$.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis des Satzes \"uber implizite Funktionen]
Um die Notation etwas zu vereinfachen betrachten wir nur den Spezialfall $U_x=\R^k$ und $U_y=\R^m$. Der allgemeine Fall wird ganz analog bewiesen.
Es sei also
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R^k\times \R^m&\to& \R^m\\
(x,y)&\mapsto & f(x,y) \end{array} \]
eine stetig differenzierbare Abbildung. Zudem sei $C\in \R$ und es sei $(a,b)\in \R^k\times \R^m$ ein Punkt mit $f(a,b)=C$, und so dass  die $m\times m$--Matrix $ \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$ invertierbar ist.



Die Idee des Beweises ist die Aussage  auf den Satz~\ref{satz:umkehrabbildung} \"uber die Umkehrabbildung zur\"uckzuf\"uhren.
Um den Satz \"uber die Umkehrabbildung anwenden zu k\"onnen `erg\"anzen' wir $f$ zu einer Abbildung $F\colon \R^k\times \R^m\to \R^{k+m}$, welche ein invertierbares Differential am Punkt $(a,b)$ besitzt. Genauer gesagt, wir betrachten die $x$-erhaltende Abbildung
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} 
 \hspace{5cm} F\colon \R^k \times \R^m&\to &\R^{k+m} \\
(x,y)&\mapsto & F(x,y):=(x,f(x,y)).
\intertext{Dann gilt\footnotemark}
DF&=&\begin{pmatrix} \operatorname{id}_k&0\\ *&
\frac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix}.
\intertext{Es folgt also aus der Voraussetzung, dass}
DF(a,b)&=&\begin{pmatrix} \operatorname{id}_k&0\\ *&\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\end{pmatrix}
\end{array} \end{align*}invertierbar ist.
\footnotetext{Das Symbol $*$ soll nur bedeuten, dass es irrelevant ist, was die Eintr\"age sind.}

Es folgt nun aus dem  Satz~\ref{satz:umkehrabbildung} \"uber die Umkehrabbildung, dass es eine offene Umgebung $V$ von $(a,b)$ sowie eine offene Umgebung $W$ von $F(a,b)$ gibt, so dass $F\colon V\to W$ eine stetig differenzierbare\footnote{Die Aussage, dass die Umkehrabbildung stetig differenzierbar ist wird, wie erw\"ahnt, auf Seite 47 von  Br\"ocker: Analysis~II bewiesen.}
 Umkehrabbildung $F^{-1}\colon W\to V$ besitzt. Wir machen folgende Beobachtungen:
\begin{enumerate}
\item In dem wir uns notfalls auf eine kleinere offene Menge einschr\"anken, k\"onnen wir o.B.d.A.\ annehmen, dass $V=V_x\times V_y$, wobei $V_x$ eine offene Umgebung von $a$ und $V_y$ eine offene Umgebung von $b$ ist. 
\item Nachdem $(a,C)=F(a,b)\in W$ und nachdem $F$ eine $x$-erhaltende Abbildung ist k\"onnen wir o.B.d.A.\ annehmen, dass $V_x\times \{C\}\subset W$.
\footnote{In der Tat, denn aus der Offenheit von $W$ folgt, dass es eine offene Umgebung $X$ von $a$ gibt, so dass $X\times \{C\}\subset W$. Indem wir $V_x$ durch $V_x \cap X$ ersetzen, und nachdem $F$ eine $x$-erhaltende Abbildung ist folgt dann, dass $V_x\times \{C\}\subset W$.}
\item Es folgt aus Lemma~\ref{lem:xerhaltend}, dass $F^{-1}$ ebenfalls $x$-erhaltend ist, d.h.\ $F^{-1}(x,y)$ ist von der Form $F^{-1}(x,y)=(x,h(x,y))$.
\end{enumerate}
Wir betrachten nun auch noch  die Projektionsabbildung
\[\begin{array}{rcl}
 p\colon\R^{k+m}=\R^k \times \R^m&\to & \R^m\\
(x,y)&\mapsto &p(x,y):=y.\end{array} \]
Die Lage ist in Abbildung~\ref{fig:beweis-vom-satz-ueber-implizite-funktionen-2} zusammengefasst.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{beweis-vom-satz-ueber-implizite-funktionen-2.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:beweis-vom-satz-ueber-implizite-funktionen-2}
\end{center}
\end{figure}
Wir hatten schon gesehen, dass auf der rechten Seite von Abbildung~\ref{fig:beweis-vom-satz-ueber-implizite-funktionen-2} die gew\"unschte implizite Funktion  gegeben ist durch
\[ \begin{array}{rcl}
p\colon \R^k&\to &  \R^m\\
x&\mapsto & C.\end{array}\]
Die Idee ist nun diese L\"osung mithilfe  der Abbildung $F^{-1}(x,y)=(x,h(x,y))$ auf die linke Seite zur\"uckzuziehen. Wir betrachten also die Abbildung
\footnote{Es folgt aus Beobachtung (2), dass $(x,C)\in W$.}
\[ \begin{array}{rcl} g\colon V_x&\to & V_y \\
x&\mapsto& h(x,C)= \mbox{$y$-Koordinate von $F^{-1}(x,C)$}.\end{array}\]
Wir m\"ussen nun zeigen, dass $g$ in der Tat die beiden gew\"unschten Eigenschaften besitzt.
\begin{enumerate}
\item Es sei also $x\in V_x$. Dann gilt
\[ \begin{array}{rcl} f(x,g(x))\,\,=\,\,f(\underset{=F^{-1}(x,C)}{\underbrace{(x,h(x,C))}})&=&f(F^{-1}(x,C))\\[-0.3cm]
&=&p(x,C)\hspace{1cm}\mbox{aus $p\circ F=f$ folgt $p=f\circ F^{-1}$}\\
&=&C.\end{array} \]
\item Es sei nun $(x,y)\in V_x\times V_y$. Dann gilt
\[ \begin{array}{rcrcl} f(x,y)=C&\Longrightarrow &  F(x,y)&=&(x,C)\\
&\Longrightarrow &(x,y)&=&F^{-1}(x,C)=(x,h(x,C)) \\
&\Longrightarrow &y&=&h(x,C)=g(x)\end{array}\]
\end{enumerate}

\end{proof}




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\section{Untermannigfaltigkeiten}
In vielen Anwendungen betrachtet man nicht Funktionen auf offenen Teilmengen von $\R^n$, sondern auf `niedrig-dimensionaleren' Teilmengen von $\R^n$. 
Ein Beispiel von einer solchen Funktion ist gegeben durch 
\begin{align*}\begin{array}{rcl} 
\hspace{4cm} \mbox{Erdoberfl\"ache}&\to & \R \\
P&\mapsto&\mbox{Luftdruck am Punkt $P$}.
\intertext{Oder, wenn $D$ ein gebogenes Drahtst\"uck im drei-dimensionalen Raum ist, dann interessiert man sich f\"ur die Funktion}
 \mbox{D}&\to & \R \\
P&\mapsto&\mbox{Temperatur am Punkt $P$}.\end{array} \end{align*}
Im ersten Fall betrachten wir also eine Funktionen auf einem `2-dimensionalen Objekt' und im zweiten Fall  eine Funktion auf einem `1-dimensionalen Objekt'. Weitere solche Beispiele hatten wir in Kapitel~\ref{section:globaleextrema} gesehen, beispielsweise hatten wir gesehen, dass wenn wir das globale Maximum einer Funktion $f$ auf der Kugel $D^3=\{ p\in \R^3\,|\,\|p\|\leq 1\}$ bestimmen wollen, dann m\"ussen wir insbesondere das globale Maximum von $f$ auf der Kugeloberfl\"ache  $S^2=\{ p\in \R^3\,|\,\|p\|=1\}$ bestimmen. 

In diesem Kapitel wollen wir jetzt Methoden finden um auch f\"ur  Funktionen  auf  `niedrig-dimensionaleren' Teilmengen von $\R^n$ relative Maxima und Minima zu bestimmen. 
Dazu m\"ussen wir aber erst einmal eine vern\"unftige Definition von einem `$k$-dimensionalen Objekt' in $\R^n$ einf\"uhren. Diese Objekte werden im weiteren Verlauf der Vorlesung `Untermannigfaltigkeiten' genannt.



%======================================================
\subsection{Polarkoordinaten, zylindrische Koordinaten und sph\"arische Koordinaten}
Bevor wir uns der eigentlichen Definition von Untermannigfaltigkeiten zuwenden, wollen wir an die Polarkoordinaten auf $\R^2$ aus der Analysis~I erinnern, und wir f\"uhren zudem die zylindrischen und die sph\"arischen Koordinaten auf $\R^3$ ein. Im Folgenden werden wir manchmal $\R^2$ mit $\C$ identifizieren, d.h.\ f\"ur $x,y\in \R$ schreiben wir $(x,y)=x+iy$. 


Wir betrachten die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} P\colon \R_{\geq 0}\times \R&\to & \R^2=\C\\
(r,\varphi)&\mapsto& (r\cos \varphi,r\sin \varphi)=re^{i\varphi}.\end{array}\]
In Kapitel~10 von Analysis~I hatten wir gesehen, dass diese Abbildung surjektiv ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{polarkoordinaten.pstex_t}
\caption{Illustration von Polarkoordinaten.}
\label{fig:polar-koordinaten}
\end{center}
\end{figure}
 Wenn $(x,y)=P(r,\varphi)$, dann bezeichnen wir $r$ und $\varphi$ als \emph{Polarkoordinaten von $(x,y)$}. In Analysis~I hatten wir zudem gesehen, dass f\"ur $r,r'>0$ und $\varphi,\varphi'\in \R$ gilt, dass
\[ P(r,\varphi)=P(r',\varphi')\quad \Longleftrightarrow \quad r=r'\mbox{ und }\varphi=\varphi'+2\pi k \mbox{ wobei } k\in \Z.\]
Anders ausgedr\"uckt, f\"ur einen Punkt $(x,y)\ne (0,0)$ sind die Polarkoordinaten $(r,\varphi)$, bis auf Addition von einem Vielfachen von $2\pi$ zu $\varphi$,  eindeutig bestimmt.

Bevor wir die Zylinderkoordinaten und die sph\"arischen Koordinaten betrachten, f\"uhren wir noch mehrere Definitionen ein, welche uns in der Beschreibung der verschiedenen Koordinaten behilflich sein werden.
F\"ur $\varphi\in \R$ betrachten wir den offenen Strahl
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}
\hspace{4cm} S_\varphi&=& \{ (r\cos \varphi,r\sin \varphi)=re^{i\varphi}\,|\, r>0\}
\intertext{und den abgeschlossenen\footnotemark Strahl} 
\overline{S}_\varphi&=& \{ (r\cos \varphi,r\sin \varphi)=re^{i\varphi}\,|\, r\geq 0\}.
\intertext{F\"ur $r>0$ liegt der Punkt $P(r,\varphi)$ offensichtlich im offenen Strahl $S_\varphi$. Zudem betrachten wir die offene Halbebene}
H_\varphi&=& \{ (r\cos \varphi,r\sin \varphi,z)=(re^{i\varphi},z)\,|\, r>0\mbox{ und }z\in \R\},
\intertext{und die abgeschlossene Halbebene} 
\overline{H}_\varphi&=& \{ (r\cos \varphi,r\sin \varphi,z)=(re^{i\varphi},z)\,|\, r\geq 0\mbox{ und }z\in \R\}.
\end{array}\end{align*}
\footnotetext{Die Bezeichnung `offener' Strahl ist vielleicht etwas mi\ss verst\"andlich, weil es sich hierbei nicht um eine offene Teilmenge von $\R^2$ handelt. Wir verwenden den Begriff nur, um die Strahl `ohne den Rand', von den abgeschlossenen Strahlen `mit dem Rand' zu unterscheiden.}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{strahl-halbebene.pstex_t}
\caption{Strahlen und Halbebenen.}
\label{fig:strahl-halbebene}
\end{center}
\end{figure}


\begin{lemma}\label{lem:rho}
Die Abbildung
\[
 \begin{array}{rcl} 
 \rho\colon \R^2\setminus \overline{S}_{\pi}&\to & \R\\
 (x,y)&\mapsto& \begin{array}{c}\mbox{der eindeutige bestimmte Winkel}\\ \mbox{$\varphi\in (-\pi,\pi)$ mit $(x,y)\in S_\varphi$}\end{array}\end{array}
\]
ist stetig.
\end{lemma}

\begin{proof}
Man kann sich leicht davon \"uberzeugen, dass f\"ur $(x,y)\in \R^2\setminus \overline{S}_\pi$ gilt\footnote{Hierbei ist $\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(x,y)$ die radiale Projektion von $(x,y)$ auf den Einheitskreis. Wir betrachten im Argument von $\arcsin$ also die $y$-Koordinate von der Projektion von $(x,y)$ auf den Einheitskreis.}
\[ \rho(x,y)\,\,=\,\,\left\{\begin{array}{rl} \arcsin\Big(\frac{\mbox{\small $y$}}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big),&\mbox{wenn }x\geq 0,\\[2mm]
\pi-\arcsin\Big(\frac{\mbox{\small $y$}}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big),&\mbox{wenn }x<0\mbox{ und }y>0,\\[2mm]
-\pi+\arcsin\Big(\frac{\mbox{\small $y$}}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big),&\mbox{wenn }x<0\mbox{ und }y<0.\end{array} \right.
\]
Es ist nun eine freiwillige \"Ubungsaufgabe zu zeigen, dass $\rho$ in der Tat stetig ist.
\end{proof}
\medskip

Wir wenden uns nun den Zylinderkoordinaten zu.
Wir betrachten dazu die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} Z\colon \R_{\geq 0}\times \R^2&\to & \R^3=\C\times \R\\
(r,\varphi,z)&\mapsto& (r\cos \varphi,r\sin \varphi,z)=(re^{i\varphi},z).\end{array}\]
Aus der obigen Diskussion von Polarkoordinaten folgt, dass  diese Abbildung surjektiv ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{zylinder-koordinaten.pstex_t}
\caption{Illustration von Zylinder-Koordinaten}
\label{fig:zylinder-koordinaten}
\end{center}
\end{figure}
 Wenn $(x,y,z)=Z(r,\varphi,z)$, dann bezeichnen wir $(r,\varphi,z)$  als \emph{Zylinderkoordinaten von $(x,y,z)$}. Aus der obigen Diskussion von Polarkoordinaten folgt, dass f\"ur $r,r'>0$, $\varphi,\varphi'\in \R$ und $z,z'\in \R$ gilt
\[ Z(r,\varphi,z)=Z(r',\varphi',z')\quad \Longleftrightarrow \quad r=r', z=z'\mbox{ und }\varphi=\varphi'+2\pi k \mbox{ wobei } k\in \Z.\]
Anders ausgedr\"uckt, f\"ur einen Punkt $(x,y,z)$ mit $(x,y)\ne (0,0)$ sind die Zylinderkoordinaten $(r,\varphi,z)$, bis auf Addition von einem Vielfachen von $2\pi$ zu $\varphi$,  eindeutig bestimmt.
% Ende 16. Vorlesung

\medskip

Zum Abschlu\ss\, des Kapitels f\"uhren  wir noch die sph\"arischen Koordinaten ein. Wir betrachten die Abbildung
\[
 \begin{array}{rcl}
 S\colon \R_{\geq 0}\times \R\times \R &\to & \R^3 \\
   (r,\varphi,\theta)&\mapsto & \big(r \sin \theta \cdot \cos \varphi,\,r \sin \theta \cdot \sin \varphi,\,r\cos \theta\big). \end{array} \]
In \"Ubungs\-blatt 9 werden  folgende Aussage bewiesen:
\begin{enumerate}
\item
Der Punkt $S(r,\varphi,\theta)$ hat Abstand $r$ vom Ursprung.
\item 
F\"ur $r>0$ und $\theta\in (0,\pi)$ liegt  der Punkt $P:=S(r,\varphi,\theta)$ in der Halbebene $H_\varphi$. 
\item Der Winkel vom Vektor $\overrightarrow{OP}$ zur positiven $z$-Achse betr\"agt $\theta$. 
\item Die Abbildung $S$ ist surjektiv.
\item F\"ur ein fest gew\"ahltes $r>0$ ist 
\[ \big\{S(r,\varphi,\theta)\,\big|\,\varphi\in \R,\theta \in \R\big\}\,\,=\,\,\big\{p\in \R^3\,\big|\,\|p\|=r\},\]
d.h.\ wir erhalten die 2-dimensionale Sph\"are mit Radius $r$.
\end{enumerate}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{sphaerische-koordinaten-2.pstex_t}
\caption{Illustration von sph\"arischen Koordinaten.}
\label{fig:sphaerische-koordinaten}
\end{center}
\end{figure}
 Wenn $(x,y,z)=S(r,\varphi,z)$, dann bezeichnen wir $(r,\varphi,z)$  als \emph{sph\"arische Koordinaten\footnote{Manchmal sagt man auch `Kugelkoordinaten' anstatt `sph\"arische Koordinaten'.} von $(x,y,z)$}. Wenn $(x,y,z)\in \R^3$ ein Punkt ist, welcher nicht auf der $z$-Achse liegt, d.h.\ wenn $(x,y)\ne (0,0)$, dann kann man sich leicht davon \"uberzeugen, dass  f\"ur $r,r'>0$, $\varphi,\varphi'\in \R$ und $\theta,\theta'\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ gilt
\[ S(r,\varphi,\theta)=S(r',\varphi',\theta')\quad \Longleftrightarrow \quad r=r', \theta=\theta'\mbox{ und }\varphi=\varphi'+2\pi k \mbox{ wobei } k\in \Z.\]
Anders ausgedr\"uckt, f\"ur einen Punkt $(x,y,z)$ mit $(x,y)\ne (0,0)$ sind die sph\"arischen Koordinaten $(r,\varphi,z)$, bis auf Addition von einem Vielfachen von $2\pi$ zu $\varphi$,  eindeutig bestimmt.


%======================================================
\subsection{Immersionen und Einbettungen}
Wir erinnern zuerst an eine Definition aus der Linearen Algebra.
Es sei $A$  eine Matrix. Dann ist der \emph{Rang von $A$} definiert als
\[ \operatorname{Rang}(A)\,\,=\,\,\mbox{Dimension des Spaltenraums}.\]
Wir werden im weiteren Verlauf \"ofters folgendes Lemma aus der Linearen Algebra verwenden.\footnote{Die genaue Definition vom Rang einer Matrix ist im weiteren Verlauf der Vorlesung unerheblich, wir werden nur die Aussage von Lemma~\ref{lem:rang} verwenden.}

\begin{lemma}\label{lem:rang}
Es sei $A$ eine $n\times k$-Matrix. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
\begin{enumerate}
\item $A$ besitzt Rang $k$,
\item die Spaltenvektoren sind linear unabh\"angig,
\item die Abbildung $\R^k\to \R^n$, $v\mapsto Av$ ist injektiv,
\item es gibt $k$ Zeilen, welche linear unabh\"angig sind,
\item es gibt eine $k\times k$-Untermatrix mit nicht verschwindender Determinante.
\end{enumerate}
\end{lemma}

Es folgt beispielsweise aus dem Lemma, dass der Rang der Matrix
\[ \begin{pmatrix} \hfill 2 & -1 \\ -4 & \hfill 2  \\\hfill 0&\hfill 1 \end{pmatrix} \]
gleich zwei ist, weil die $2\times 2$--Untermatrix, welche wir aus der ersten und der letzten Zeile bilden, eine nicht verschwindende Determinante besitzt.

\begin{definition} Es sei $T\subset \R^k$ eine offene Teilmenge.
Eine stetig differenzierbare Abbildung
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} F \colon T&\to &\R^n\\
(t_1,\dots,t_k)&\to & F (t_1,\dots,t_k) 
\intertext{
hei\ss t \emph{Immersion}, wenn in jedem Punkt von $T$ der Rang des Differentials}
 \hspace{5.6cm} DF &=&\begin{pmatrix} \frac{\partial F _1}{\partial t_1}&\dots & \frac{\partial F _1}{\partial t_k} \\
\vdots &&\vdots \\ \frac{\partial F _n}{\partial t_1}&\dots&\frac{\partial F _n}{\partial t_k} \end{pmatrix}\end{array}
\end{align*}
 gleich $k$ ist.
\end{definition}

Wir betrachten zuerst ein sehr einfaches Beispiel.

\begin{beispiel}
Wir betrachten die Abbildung
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
\hspace{6cm} F\colon \R &\to & \R^2 \\
   \varphi&\mapsto & \begin{pmatrix} \cos \varphi\\ \sin \varphi\end{pmatrix}.
\intertext{Diese Abbildung ist also gerade die Abbildung $P$ f\"ur die Polarkoordinaten, mit der Einschr\"ankung, dass $r=1$. Die Bildmenge ist der Einheitskreis in $\R^2$. Es ist}
 DF&=&\begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \hfill \cos \varphi \end{pmatrix}.\end{array}\end{align*}
Diese Matrix ist nie die Null-Matrix, also ist $F$ eine Immersion.
\end{beispiel}


Wir  betrachten nun noch  ein etwas komplizierteres Beispiel.

\begin{beispiel}
Wir betrachten die Abbildung
\[\begin{array}{rcl}F\colon \R\times (0,\pi)&\to &\R^3\\
   (\varphi,\theta)&\mapsto & \begin{pmatrix} \sin \theta \cdot \cos \varphi\\\sin \theta \cdot \sin \varphi\\ \cos \theta\end{pmatrix}.\end{array}\]
Diese Abbildung ist gegeben durch die  Abbildung $S$ f\"ur die sph\"arischen Koordinaten, mit der Einschr\"ankung, dass $r=1$.  Aus der Diskussion von den sph\"arischen Koordinaten folgt:  die   Bildmenge von $F$ ist die Sph\"are mit Radius 1 im $\R^3$, ohne den `Nordpol' und den `S\"udpol', d.h.\ ohne die Punkte $(0,0,1)$ und $(0,0,-1)$. Die Abbildung ist aber keine Bijektion, denn $F(\theta,\varphi+2\pi)=F(\theta,\varphi)$.  
In \"Ubungs\-blatt 10 werden wir sehen, dass $F$ eine Immersion ist.
\end{beispiel}

\begin{definition}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es sei $F\colon X\to Y$ eine Abbildung zwischen zwei metrischen R\"aumen. Wir sagen, die Abbildung \emph{$F$ ist ein Hom\"oomorphismus auf ihr Bild}, wenn $F\colon X\to F(X)$ ein Hom\"oomorphismus ist.
\item
Es sei $T\subset \R^k$ eine offene Teilmenge.
Eine Abbildung $F\colon T\to \R^n$ hei\ss t \emph{Einbettung}, wenn $F$ eine Immersion ist und wenn zudem die Abbildung $F$ ein Hom\"oomorphismus auf ihr Bild ist.
\end{enumerate}
\end{definition}

Das folgende elementare Lemma gibt ein Kriterium daf\"ur, dass eine stetige, bijektive Abbildung ein 
Hom\"oorphismus ist. 



\begin{lemma}\label{lem:homoeomorphismus}
Es sei $T\subset \R^k$ offen und  $F\colon T\to \R^n$ eine stetige und injektive Abbildung. Wenn es eine offene Teilmenge $V$ von $\R^n$ gibt, welche $F(T)$ enth\"alt und wenn es zudem  eine stetige Abbildung $G\colon V\to \R^k$ gibt, so dass $G(F(t))=t$ f\"ur alle $t\in T$, dann ist die Abbildung $F$ ein 
Hom\"oomorphismus auf ihr Bild.
\end{lemma}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{homoeomorphismus.pstex_t}
\caption{Illustration zu Lemma \ref{lem:homoeomorphismus}.}
\label{fig:homoeomorphismus}
\end{center}
\end{figure}

\begin{proof}
Es sei $T\subset \R^k$ offen und  $F\colon T\to \R^n$ eine stetige und injektive Abbildung. Es sei zudem $V$  eine offene Teilmenge  von $\R^n$ gibt, welche $F(T)$ enth\"alt und  $G\colon V\to \R^k$ eine stetige Abbildung, so dass $G(F(t))=t$ f\"ur alle $t\in T$.

Wir m\"ussen noch zeigen, dass $F^{-1}\colon F(T)\to T$ stetig ist.
Die Einschr\"ankung von $G$  auf   $F(T)$ ist  die Umkehrabbildung von $F$. Die Einschr\"ankung der stetigen Abbildung $G\colon V\to T$ auf $F(T)$ ist weiterhin stetig. Es folgt, dass die Umkehrabbildung von $F$ stetig ist, d.h.\ $F$ ist ein Hom\"oomorphismus
\end{proof}

\begin{beispiel}
Wir betrachten die Abbildung
\[
 \begin{array}{rcl}
 F\colon T:=(-\pi,\pi) &\to & \R^2 \\
   \varphi&\mapsto & \begin{pmatrix} \cos \varphi\\ \sin \varphi\end{pmatrix},\end{array}\]
welche die Punkte in $S^1\setminus \{(-1,0)\}$ durchl\"auft. Wir wollen zeigen, dass $F\colon T\to \R^2$ eine Einbettung ist. Wir hatten oben schon gesehen, dass $F$ eine Immersion ist. Die Abbildung $F$ ist zudem injektiv mit $F(T)=S^1\setminus\{ (-1,0)\}$. 
Wir wollen nun Lemma~\ref{lem:homoeomorphismus} verwenden um zu zeigen, dass die Abbildung $F$ ein Hom\"oomorphismus auf ihr Bild ist. 

In Lemma~\ref{lem:rho} hatten wir gezeigt, dass die Abbildung
\[
 \begin{array}{rcl} 
 \rho\colon V:= \R^2\setminus \overline{S}_{\pi}&\to & \R\\
 (x,y)&\mapsto& \begin{array}{c}\mbox{der eindeutige bestimmte Winkel}\\ \mbox{$\varphi\in (-\pi,\pi)$ mit $(x,y)\in S_\varphi$}\end{array}\end{array}
\]
stetig ist. Es ist leicht nachzupr\"ufen, dass diese Abbildung alle gew\"unschten Eigenschaften von Lemma~\ref{lem:homoeomorphismus} erf\"ullt. Wir haben also gezeigt, dass die Abbildung $F$ ein Hom\"oomorphismus auf ihr Bild ist.
\end{beispiel}


\begin{beispiel}
Wir betrachten  die Abbildung
\[
 \hspace{-1.6cm}\begin{array}{rcl}
 F\colon T:=(-\pi,\pi)\times (0,\pi) &\to & \R^3 \\
   (\varphi,\theta)&\mapsto & \begin{pmatrix} \sin \theta \cdot \cos \varphi\\ \sin \theta \cdot \sin \varphi\\ \cos \theta\end{pmatrix},\end{array}\] 
die dadurch gegeben ist, dass wir die Abbildung $S$ der sph\"arischen Koordinaten auf $r=1$ einschr\"anken.  Wir wollen zeigen, dass  $F\colon T\to \R^3$ eine Einbettung ist.  Wir hatten oben schon gesehen, dass $F$ eine Immersion ist, und man kann leicht zeigen, dass $F$ injektiv ist. Man sieht zudem leicht, dass $F(T)$ die Sph\"are $S^2$ ist `ohne den Schlitz bei $\overline{H}_\pi$', genauer gesagt, es ist
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}\hspace{0.7cm} F(T)&=&S^2\setminus  \overline{H}_{\pi}.
\intertext{Wenn wir  Lemma~\ref{lem:homoeomorphismus} mit der Abbildung}
\hspace{4.5cm}\psi\colon V:=\R^3\setminus \overline{H_\pi}&\to & \R^2\\
(x,y,z)&\mapsto& \left(\rho(x,y), \arccos\left(\tmfrac{z}{\|(x,y,z)\|}\right)\right).\end{array}\end{align*}
anwenden, welche nach  Lemma~\ref{lem:rho} stetig ist, dann sehen wir, dass $F$ ein Hom\"oomorphismus ihr Bild ist.
\end{beispiel}



\begin{beispiel}
Es sei zuletzt $I\subset \R$ ein offenes Intervall und $F\colon I\to \R^n$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist  $F$ eine stetig differenzierbare Kurve mit 
\[ F'(t)\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \frac{d F_1(t)}{dt}\\\vdots\\\frac{dF_n(t)}{dt}\end{pmatrix} \,\,=\,\,\begin{pmatrix} \frac{\partial F_1(t)}{\partial t}\\\vdots\\\frac{\partial F_n(t)}{\partial t}\end{pmatrix}\,\,=\,\,DF(t).\]
Wir sehen also, dass $F$ eine Immersion ist, genau dann, wenn $F'(t)\ne 0$ f\"ur alle $t$, d.h.\ genau dann, wenn $F$  eine regul\"are Kurve ist. In Abbildung~\ref{fig:immersion-keine-einbettung} ist eine Kurve skizziert, welche eine injektive Immersion ist, aber keine Einbettung.
\end{beispiel}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{immersion-keine-einbettung.pstex_t}
\caption{Eine injektive Immersion, welche keine Einbettung ist.}
\label{fig:immersion-keine-einbettung}
\end{center}
\end{figure}


%======================================================
\subsection{Untermannigfaltigkeiten}

\begin{definition}
Es sei $M\subset \R^n$ eine Teilmenge. Wir sagen $U\subset M$ ist eine \emph{offene Teilmenge von $M$}, wenn es eine offene Teilmenge $V\subset \R^n$ gibt, so dass $U=M\cap V$. 
\end{definition}

\begin{beispiel}
Es sei 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
M&=&\big\{z\in \C\,\big|\, |z|=1\big\}\subset \C=\R^2
\intertext{der Einheitskreis in $\C=\R^2$. Dann ist f\"ur jede Wahl von $a<b$ der `offene' Kreisbogen}
\hspace{4.6cm}U&=&\{e^{it}\,|\,a<t<b\}
\intertext{eine offene Teilmenge von $M$, denn}
U&=&M\cap V
\intertext{wobei}
V&=&\{re^{it}\,|\,a<t<b\mbox{ und }0<r<2\}
\end{array} \end{align*}
eine offene Teilmenge von $\C=\R^2$ ist.\footnote{Warum ist $V$ eine offene Teilmenge?} Diese Aussage wird auch in Abbildung \ref{fig:offeneteilmenges1} illustriert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{offeneteilmenges1.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:offeneteilmenges1}
\end{center}
\end{figure}
\end{beispiel}


Wir haben jetzt alle Begriffe eingef\"uhrt, welche wir f\"ur die wichtigste Definition von diesem Kapitel ben\"otigen.

\begin{definition}
Es sei  $M\subset \R^n$ eine Teilmenge.
\begin{enumerate}
\item Eine  \emph{$k$-dimensionale Parametrisierung von $M$ im Punkt  $a$} ist definiert als eine Einbettung  $F\colon T\to \R^n$ von einer offenen Teilmenge  $T\subset \R^k$, so dass $F(T)$ eine offene Umgebung von $a$  in $M$ ist.
\item
Eine Teilmenge $M\subset \R^n$ hei\ss t \emph{$k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit\footnote{Es stellt sich hier nat\"urlich die Frage, wenn es `Untermannigfaltigkeiten' gibt, gibt es dann auch `Mannigfaltigkeiten'? Diese gibt es in der Tat, wir werden diese allerdings erst in Analysis~IV einf\"uhren.} von $\R^n$}, wenn es zu jedem Punkt $a\in M$ eine $k$-dimensionale Parametrisierung gibt.
\item Ein \emph{Atlas f\"ur eine Untermannigfaltigkeit $M$} ist eine Familie von Parametrisierungen $\{F_i\colon T_i\to \R^n\}_{i\in I}$, so dass $\bigcup\limits_{i\in I}F_i(T_i)=M$.
\end{enumerate}
\end{definition}



\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{untermannigfaltigkeiten12.pstex_t}
\caption{Veranschaulichung der Definition von Untermannigfaltigkeiten.}
\label{fig:untermannigfaltigkeiten12}
\end{center}
\end{figure}


\begin{beispiel}
Wir wollen zeigen, dass 
\[ 
\begin{array}{rcl}M&=&\big\{ z\in \C=\R^2\,\big|\,|z|=1\big\}\end{array} \]
eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^2$ ist. Es sei also $a\in M$ beliebig. Wir betrachten zuerst den Fall $a\ne (-1,0)$. 
Wie wir im vorherigen Kapitel gesehen hatten ist
\[
 \hspace{-0.45cm} \begin{array}{rcl}
 F\colon T:=(-\pi,\pi) &\to & \R^2 \\
   \varphi&\mapsto & ( \cos \varphi,\, \sin \varphi),\end{array}\]
 eine Einbettung ist. Zudem ist $F(T)=S^1\setminus \{(-1,0)\}$ eine offene Teilmenge, welche nach Voraussetzung den Punkt $a$ enth\"alt. Die Abbildung $F$ ist also eine Parametrisierung von $M$ um den Punkt $a$. 
 
Wir betrachten nun noch den Fall, dass $a=(-1,0)$. Es sei 
\[ \hspace{0.45cm} \begin{array}{rcl} s\colon\R^2&\to &\R^2\\
(x,y)&\mapsto& (-x,y)\end{array} \]
die Spiegelung von $\R^2$ an der $y$-Achse. Man kann nun leicht verifizieren, dass die Abbildung $s\circ F\colon (-\pi,\pi)\to \R^2$ eine Parametrisierung um den Punkt $a=(-1,0)$ ist.  

Wir haben also insbesondere gezeigt, dass $F\colon (-\pi,\pi)\to \R^2$ und $s\circ F\colon (-\pi,\pi)\to \R^2$ einen Atlas f\"ur die 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit $M$ von $\R^2$ bilden.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}\label{bsp:s2mfd}
Wir wollen nun zeigen, dass
\[ S^2\,\,=\,\,\{ (x,y,z)\,|\, x^2+y^2+z^2=1\}\]
eine 2--dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^3$ ist.
Der Beweis dieser Aussage l\"auft ganz analog zum vorherigen Beispiel. Wir betrachten zuerst die Einbettung 
\[
 \begin{array}{rcl} 
 F\colon
 T:=(-\pi,\pi)\times (0,\pi) &\to & \R^3 \\
   (\varphi,\theta)&\mapsto & \big( \sin \theta \cdot \cos \varphi,\, \sin \theta \cdot \sin \varphi,\,\cos \theta\big).\end{array}\]
 Dies ist sogar eine Parametrisierung, denn 
\[ F(T)\,\,=\,\,S^2\setminus \overline{H_\pi}\,\,=\,\,S^2\cap \underset{\opnormal{offen in $\R^3$}}{\underbrace{(\R^3\setminus \overline{H_\pi})}}\]
 ist eine offene Umgebung von $a$ in $S^2$. Wir haben also eine Parametrisierung f\"ur alle Punkte au\ss erhalb des Halbkreises
\[ S^2\cap \overline{H_\pi}\,\,=\,\,\{(x,y,z)\in S^2\,|\,x\leq 0,y=0\}\]
gefunden.

Wir brauchen nun noch eine Parametrisierung, welche die fehlenden Punkte  abdeckt. Wir verwenden dazu die vorherige Parametrisierung, vertauschen die Rollen der $y$ und $z$--Koordinaten und wir spiegeln entlang der $xz$-Ebene. 
Genauer gesagt, wir betrachten die Parametrisierung\label{page:parametrisierung-g}
\[
 \begin{array}{rcl} 
 G\colon
 T:=(-\pi,\pi)\times (0,\pi) &\to & \R^3 \\
   (\varphi,\theta)&\mapsto & \big( -\sin \theta \cdot \cos \varphi,\, \cos \theta,\,\sin \theta \cdot \sin \varphi\big).\end{array}\]
Diese Parametrisierung deckt alle  au\ss erhalb des Halbkreises
\[ \{(x,y,z)\in S^2\,|\,x\geq 0,z=0\}.\]
Nachdem es keinen Punkt gibt, welcher in beiden Halbkreisen liegt, decken die beiden Parametrisierungen $S^2$ ab.
Wir haben also insbesondere gezeigt, dass $S^2$ einen Atlas besitzt, welcher aus zwei Parametrisierungen besteht.\label{beispiel:kartens2}
\end{beispiel}






\begin{beispiel}
In \"Ubungs\-blatt 10 werden wir sehen, dass der 
`unendliche Zylinder'
\[ M:=\{ (x,y,z)\,|\, x^2+y^2=1\}\]
 eine 2--dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^3$ ist.
Der Beweis dieser Aussage ist ganz analog zum Beweis, dass der Kreis $S^1$ und die Sph\"are $S^2$ Untermannigfaltigkeiten sind. Der einzige Unterschied ist, dass man in diesem Fall die Abbildung $Z$ f\"ur die Zylinderkoordinaten geeignet einsetzen muss.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Wir bezeichnen mit 
\[ E_k\,:=\,\{ (x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)\,|\, x_1,\dots,x_k\in \R\}\subset \R^n\]
eine $k$-dimensionale Ebene in $\R^n$. Dann ist 
\[ \begin{array}{rcl} F\colon \R^k&\to &  \R^n\\
(x_1,\dots,x_k)&\mapsto & (x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)\end{array} \]
offensichtlich eine Parametrisierung.  Also ist $E_k$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$. 
\end{beispiel}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{untermannigfaltigkeiten-beispiele.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:untermannigfaltigkeiten-beispiele}
\end{center}
\end{figure}

\begin{beispiel}
Es sei $U\subset \R^2$ eine offene Teilmenge und $f\colon U\to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion. In \"Ubungs\-blatt 10 werden wir sehen, dass der Graph
\[ \operatorname{Graph}(f)\,:=\,\{ (x,y,f(x,y))\in \R^3\,|\, (x,y)\in U\}\]
eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^3$ ist.
\end{beispiel}


\begin{beispiel}
Zum Abschlu\ss\, betrachten wir dass `Kreuz'\label{page:kreuz}
\[ M\,\,:=\,\,\{ (x,y)\in \R^2\,|\, x=0\mbox{ oder }y=0\}.\]
In diesem Fall ist $M$ \emph{keine} 1--dimensionale Untermannigfaltigkeit, weil  jede offene Umgebung $U\subset M$ von $(0,0)$  ein `kleines Kreuz' enth\"alt, und solch ein `Kreuz' ist nicht hom\"oomorph zu einer offenen Teilmenge  von $\R^1$.\footnote{Diese Aussage ist zwar intuitiv klar, aber es ist nicht evident, wie man das mathematisch sauber beweist.
Hier ist ein m\"oglicher Ansatz zu zeigen, dass es keinen Hom\"oomorphismus $\varphi$ von der Teilmenge
\[ M' =\{ (x,y)\in \R^2\,|\, x,y\in (-\epsilon,\epsilon) \mbox{ und } x=0\mbox{ oder }y=0\}\]
auf eine Teilmenge $N'\subset \R$ geben kann: Nachdem $M'$ wegzusammenh\"angend ist, m\"usste dann insbesondere auch $N'=\varphi(M')\subset \R$ wegzusammenh\"angend sein.
Andererseits besteht $M'\setminus \{(0,0)\}$ aus vier Komponenten, die Teilmenge $\varphi(M'\setminus \{(0,0)\})=N'\setminus \varphi(0,0)$ m\"usste also auch aus vier Komponenten bestehen.
Aber es gibt keine wegzusammenh\"angende Teilmenge von $\R$, so dass durch herausnehmen eines Punktes die Teilmenge in vier Komponenten zerbricht.}
\end{beispiel}

% Ende 17. Vorlesung




%=================================================
\subsection{Extrema f\"ur Funktionen auf Untermannigfaltigkeiten}
Es sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit und $f\colon M\to \R$ eine Funktion.
\begin{enumerate}
\item Wir sagen, $x\in M$ ist ein \emph{globales Maximum}, wenn  $f(y)\leq f(x)$ f\"ur alle $y\in M$.
\item Wir sagen, $x\in M$ ist ein \emph{lokales Maximum}, wenn es eine offene Umgebung $V$ von $x$ in $M$ gibt, so dass $f(y)\leq f(x)$ f\"ur alle $y\in V$.
\item Wir sagen, $x\in M$ ist ein \emph{striktes lokales Maximum}, wenn es eine offene Umgebung $V$ von $x$ in $M$ gibt, so dass $f(y)< f(x)$ f\"ur alle $y\ne x\in V$.
\end{enumerate}
Ganz analog definieren wir  \emph{globales Minimum} und \emph{$($striktes$)$ lokales Minimum}. Ein (striktes) lokales Extremum ist ein (striktes) lokales Maximum oder Minimum.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{extremum-auf-s1.pstex_t}
\caption{Beispiel von einem lokalen Maximum einer Funktion $f\colon S^1\to \R$.}
\end{center}
\end{figure}



Wir wollen jetzt lokale Extrema von Funktionen auf Untermannigfaltigkeiten bestimmen.
Wir werden dazu  folgendes Lemma verwenden.

\begin{lemma} \label{lem:extremumuntermannigfaltigkeit}
Es sei  $M\subset \R^n$ eine $k$--dimensionale Untermannigfaltigkeit,   $f\colon M\to \R$ eine Funktion und es sei $a\in M$. Zudem sei $\varphi\colon T\to \R^n$ eine Parametrisierung von $M$ am Punkt  $a$. Dann gilt
\[ \begin{array}{c}\mbox{$a$ ist  lokales Maximum}\\\mbox{der Funktion $f$}\end{array}\quad \Longleftrightarrow  \begin{array}{c}\mbox{$\varphi^{-1}(a)$ ist  lokales Maximum}\\\mbox{der Funktion $f\circ \varphi$.}\end{array}\]
Ganz analog gelten auch die Aussagen f\"ur lokale Minima und strikte Extrema.
\end{lemma}

Das Lemma besagt insbesondere, dass wenn 
 $\{\varphi_i\colon T_i\to \R^n\}_{i=1,\dots,m}$ ein endlicher Atlas von einer Untermannigfaltigkeit $M$ ist, dann kann man die lokalen Extrema einer Funktion $f\colon M\to \R$ dadurch bestimmen, dass man alle lokale Extrema von den Verkn\"upfungen $f\circ \varphi_i\colon T_i\to \R$, $i=1,\dots,m$ bestimmt.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{extremumuntermannigfaltigkeit.pstex_t}
\caption{Illustration von Lemma~\ref{lem:extremumuntermannigfaltigkeit}}
\label{fig:extremumuntermannigfaltigkeit}
\end{center}
\end{figure}


\begin{proof}
Es sei  $M\subset \R^n$ eine $k$--dimensionale Untermannigfaltigkeit,  es sei $f\colon M\to \R$ eine Funktion und es sei $a\in M$. Zudem sei $\varphi\colon T\to \R^n$ eine Parametrisierung von $M$ am Punkt  $a$. Dann gilt
\[\begin{array}{rcll}&&\mbox{$a$ ist lokales Maximum von $f\colon M\to \R$}\\
& \Longrightarrow &\mbox{es gibt eine offene Umgebung $V$ von $a$ mit $f(y)\leq f(a)$ f\"ur alle $y\in V$}\\
&\Longrightarrow & \mbox{es ist  $\underset{=f(\varphi(x))}{\underbrace{(f \circ \varphi)(x)}}\leq \underset{=f(a)}{\underbrace{(f\circ \varphi)(\varphi^{-1}(a))}}$ f\"ur alle $x\in \underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{offen in $\R^k$}\\\opnormal{nach\,Satz\,\ref{satz:defstetig}}\end{array}}}{\underbrace{\varphi^{-1}\,(\,V\,)}}$}\\
&\Longrightarrow &
\mbox{$\varphi^{-1}(a)$ ist lokales Maximum der Funktion $f\circ \varphi$.}\end{array}\]
Unter Verwendung der Voraussetzung, dass die Umkehrabbildung $\varphi^{-1}$ existiert kann man auch leicht die  R\"uckrichtung beweisen.

Die anderen Aussagen des Satzes werden ganz analog bewiesen.
\end{proof}


\begin{beispiel}
Wir betrachten die Untermannigfaltigkeit $S^2=\{ (x,y,z)\,|\, x^2+y^2+z^2=1\}$ und darauf die Funktion
\begin{align*} 
  \begin{array}{rcl}g\colon S^2&\to& \R\\
(x,y,z)&\mapsto & xy.
\intertext{Es folgt aus dem Satz~\ref{satz:heine-borel} von Heine--Borel, dass $S^2$ kompakt ist. Korollar~\ref{kor:kompaktminmax} besagt nun, dass die stetige Funktion $f\colon S^2\to\R$ ein globales Maximum annimmt. Wir wollen dieses nun mithilfe von Lemma~\ref{lem:extremumuntermannigfaltigkeit} bestimmen.
 Wir betrachten wiederum die Parametrisierung }
F\colon T=(-\pi,\pi)\times (0,\pi) &\to & \R^3 \\
   (\varphi,\theta)&\mapsto & \begin{pmatrix} \sin \theta \cdot \cos \varphi\\ \sin \theta \cdot \sin \varphi\\\cos \theta\end{pmatrix},
\intertext{Die Verkn\"upfung der Parametrisierung und der Funktion $g$ ergibt uns dann die differenzierbare Funktion}
\hspace{2cm}g\circ F\colon T=(-\pi,\pi)\times(0,\pi) &\to & \R \\
   (\varphi,\theta)&\mapsto & \sin \theta \cdot \cos \varphi\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi.
\intertext{Es ist} 
 \operatorname{Grad} (g\circ F)&=&\begin{pmatrix}\sin^2\theta(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)\\ 2\cos \theta\cdot \sin \theta\cdot \cos \varphi\cdot \sin\varphi\end{pmatrix}.
\end{array} \end{align*}
Auf dem Definitionsbereich $T$ verschwindet der Gradient genau dann, wenn\footnote{Im Definitionsbereich ist $\sin(\theta)\ne 0$. Die erste Koordinate ist null, genau dann, wenn $\cos^2\varphi=\sin^2\varphi$, d.h.\ wenn $\tan^2(\varphi)=1$, aber im Bereich $\varphi\in (-\pi,\pi)$ ist dies genau der Fall, wenn $\varphi\in \{\pm\frac{\pi}{4},\pm\frac{3\pi}{4}\}$. Die zweite Koordinate kann dann nur null sein, wenn $\cos \theta=0$, d.h.\ wenn $\theta=\frac{\pi}{2}$.} 
\begin{align*}
\begin{array}{rclcrcl} (\varphi,\theta)&=&\big(\pm\tmfrac{\pi}{4},\tmfrac{\pi}{2}\big)&\mbox{ oder }& (\varphi,\theta)&=&\big(\pm\tmfrac{3\pi}{4},\tmfrac{\pi}{2}\big)
\intertext{Diese vier Punkte sind also die einzigen Punkte, bei denen $g\circ F$ m\"oglicherweise ein lokales Extremum besitzt. Die Bildpunkte}
\hspace{1.4cm} F\big(\pm\tmfrac{\pi}{4},\tmfrac{\pi}{2}\big)&=&\Big( \tmfrac{\sqrt{2}}{2},\pm \tmfrac{\sqrt{2}}{2},0\Big) &\mbox{ und }& F\big(\pm\tmfrac{3\pi}{4},\tmfrac{\pi}{2}\big)&=&\Big(- \tmfrac{\sqrt{2}}{2},\pm \tmfrac{\sqrt{2}}{2},0\Big)
 \end{array}\end{align*}
sind dann nach  Lemma~\ref{lem:extremumuntermannigfaltigkeit} die einzigen Punkte in $F(T)\subset S^2$, bei denen $g$ m\"oglicherweise das globale Maximum annimmt. Wir berechnen die zugeh\"origen Funktionswerte
\[\underset{=\frac{1}{2}}{\underbrace{g\Big( \tmfrac{\sqrt{2}}{2},\tmfrac{\sqrt{2}}{2},0\Big)
 }},\quad
 \underset{=-\frac{1}{2}}{\underbrace{g\Big( \tmfrac{\sqrt{2}}{2},-\tmfrac{\sqrt{2}}{2},0\Big)
 }},\quad
 \underset{=-\frac{1}{2}}{\underbrace{g\Big( -\tmfrac{\sqrt{2}}{2},\tmfrac{\sqrt{2}}{2},0\Big)
 }},\quad
 \underset{=\frac{1}{2}}{\underbrace{g\Big( -\tmfrac{\sqrt{2}}{2},-\tmfrac{\sqrt{2}}{2},0\Big)
 }}.\]
Wir k\"onnen jetzt auf zwei verschiedene Arten fortfahren:
\begin{enumerate}
\item Auf Seite~\ref{beispiel:kartens2} hatten wir einen Atlas f\"ur $S^2$ mit zwei Parametrisierungen $F$ und $G$ gefunden. Wir k\"onnen jetzt die obige Rechnung f\"ur die  Parametrisierung $G$ durchf\"uhren. Fast die gleiche Rechnung wie oben zeigt, dass die vier obigen Punkte tats\"achlich die einzigen m\"oglichen Maxima sind, d.h.\ das globale Maximum  von $g\colon S^2\to \R$ ist $\frac{1}{2}$.
\item Die Parametrisierung $F$ deckt alle Punkte in $S^2$ bis auf die Punkte in 
\[ F(T)\,\,=\,\,S^2\cap \overline{H}_{-\pi}\,\,=\,\,\big\{(x,y,z)\in S^2\,\big|\, y=0\mbox{ und }x\leq 0\big\}\]
 ab. Auf dieser Teilmenge ist die $y$-Koordinate null, d.h.\ die Funktion $g(x,y,z)=xy$ ist null auf dieser Menge. Der oben gefundene Funktionswert $\frac{1}{2}$ ist also schon der maximale Funktionswert. Wir sehen also wiederum, dass  das globale Maximum von $g\colon S^2\to \R$ gegeben ist durch $\frac{1}{2}$.
 \end{enumerate}
\end{beispiel}





%=================================================
\section{Der Satz vom regul\"aren Wert und lokale Extrema mit Nebenbedingungen}

In diesem Kapitel geben wir zuerst eine alternative Definition von Untermannigfaltigkeiten. Danach formulieren und beweisen wir  den Satz vom regul\"aren Wert. Dieser erlaubt es uns oft relativ leicht zu zeigen, dass eine Teilmenge von $\R^n$ eine Untermannigfaltigkeit ist. Danach werden wir auch eine Methode einf\"uhren, welche in vielen F\"allen das Bestimmen von lokalen Extrema auf Untermannigfaltigkeiten deutlich vereinfacht. 



%=================================================
\subsection{Eine alternative Definition von Untermannigfaltigkeiten}
Es gibt verschiedene \"aquivalente Definitionen von Untermannigfaltigkeiten. Im weiteren Verlauf der Vorlesung wird es \"ofters hilfreich sein mit der \"aquivalenten Definition von Satz \ref{satz:equivmfd} zu arbeiten.
Bevor wir den Satz formulieren f\"uhren wir noch eine Definition ein.

\begin{definition}
Eine bijektive Abbildung  $f\colon U\to V$ zwischen zwei offenen Teilmengen von $\R^n$ hei\ss t \emph{$C^1$--Diffeomorphismus}, wenn sowohl $f$ also auch $f^{-1}$ stetig differenzierbar sind.
\end{definition}


\begin{satz}\label{satz:equivmfd}
Es sei  $M$ eine Teilmenge von $\R^n$. Dann ist $M$ eine $k$--dimensionale Untermannigfaltigkeit genau dann, wenn
es zu jedem Punkt $a\in M$ eine offene Umgebung $U\subset \R^n$,
eine offene Menge $V\subset \R^n$, sowie einen $C^1$--Diffeomorphismus  $\Phi\colon U\to V$ gibt, so dass
\footnote{Zur Erinnerung,
\[ E_k\,\,:=\,\,\{(x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)\in \R^n\,|\, x_1,\dots,x_k\in \R\}\]
bezeichnet eine $k$-dimensionale Ebene in $\R^n$.}
\[
\Phi(M\cap U)\,\,=\,\, V\cap E_k. \]
\end{satz}

Die Abbildungen $\Phi$  werden \emph{Karten von $M$} genannt.
Parametrisierungen sind also Immersionen von offenen Teilmengen von $\R^k$, welche $M$ beschreiben. Karten hingegen sind Abbildungen von offenen Teilmengen des $\R^n$ nach $\R^n$, welche `$M$ gerade biegen'.
Beide Gesichtspunkte sind hilfreich und werden oft verwendet.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{karte.pstex_t}
\caption{Illustration einer Parametrisierung und  einer Karte f\"ur eine Untermannigfaltigkeit $M$.}
\label{fig:karte}
\end{center}
\end{figure}


\begin{proof}
Sei $a\in M$ ein Punkt.
Nehmen wir zuerst an, dass es einen $C^1$--Diffeomorphismus $\Phi\colon U\to V$ mit den genannten Eigenschaften gibt.
Wir werden sehen, dass die Einschr\"ankung von $\Phi^{-1}$ auf $V\cap E_k$ (aufgefasst als Teilmenge von $\R^k$), die gew\"unschte Parametrisierung ist.


\begin{behauptung}
Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \varphi\colon T:=\{x\in \R^k\,|\,(x,0)\in V\}&\mapsto &\R^n\\
x&\mapsto & \Phi^{-1}(x,0)\end{array} \]
ist eine Parametrisierung von $M$ um den Punkt $a$.
\end{behauptung}

F\"ur die  Behauptung m\"ussen wir folgende Aussagen beweisen:
\begin{enumerate}
\item $T$ ist eine offene Teilmenge von $\R^k$,
\item $\varphi(T)\subset M$,
\item $\varphi(T)$ ist eine offene Umgebung von $a$ in $M$, 
\item $\varphi$ ist eine Immersion,
\item $\varphi\colon T\to \varphi(T)$ ist ein Hom\"oomorphismus.
\end{enumerate}
Wir beweisen nun diese Aussagen:
\begin{enumerate}
\item Es folgt leicht aus der Offenheit von $V$ und den Definitionen, dass $T$ ebenfalls offen ist.
\item F\"ur $x\in \R^k$ und $y\in \R^{n-k}$ mit $(x,y)\in V$ gilt $\Phi^{-1}(x,y)\in M$ genau dann, wenn $y=0$. 
Die erste  Aussage folgt nun sofort aus den Definitionen.
\item In  (1) hatten wir gerade insbesondere gezeigt, dass $V\cap M=\varphi(T)$. Aber dies bedeutet gerade, dass $\varphi(T)$ eine offene Teilmenge von $M$ ist.
\item Wir betrachten die Abbildung $\psi(x_1,\dots,x_k):=(x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)\in \R^n$.
Dann gilt $\varphi=\Phi^{-1}\circ \psi$.
Es sei nun $x\in T$, es folgt aus der \ref{satz:kettenregel}, dass
\[ D\varphi(x)\,\,=\,\,D\Phi^{-1}(\psi(x))\cdot D\psi(x)\,\,=\,\,\mbox{die ersten $k$ Spalten von $D\Phi^{-1}(x)$}.\]
Nachdem $\Phi^{-1}$ invertierbar ist, besitzt die $n\times n$-Matrix $D\Phi^{-1}(x)$ den Rang $n$, insbesondere sind alle Spalten linear unabh\"angig. Es folgt, dass die $n\times k$-Matrix $D\varphi(x)$ den Rang $k$ besitzt. 
\item Die Abbildung $\varphi=\Phi^{-1}\circ \psi$ ist die Verkn\"upfung von stetigen injektiven Abbildungen. Also ist auch $\varphi\colon T\to \varphi(T)$  stetig und injektiv. 
Es folgt aus Lemma~\ref{lem:homoeomorphismus}, angewandt mit $\rho\circ \Phi$, wobei $\rho(x_1,\dots,x_n)=(x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)$, dass $\varphi\colon T\to \varphi(T)$ ein Hom\"oomorphismus ist.
\end{enumerate}

Wir beweisen nun die andere Richtung des Satzes. Wir nehmen  nun also an, dass $M$ eine $k$--dimensionale Untermannigfaltigkeit ist.
Es sei $a\in M$ ein Punkt. Nach Voraussetzung existiert  eine offene Umgebung $U\subset \R^n$,  eine offene Teilmenge $T\subset \R^k$,  sowie eine Immersion
\[ \varphi\colon T\to \R^n, \]
 so dass $\varphi(T)=M\cap U$, und so dass $\varphi\colon T\to M\cap U$  ein Hom\"oomorphismus ist. Wir schreiben $b=\varphi^{-1}(a)$. Nachdem $\varphi$ eine Immersion ist, sind die Spalten der $n\times k$-Matrix $D\varphi(b)$ linear un\"abh\"angig. Nachdem 
 Basiserg\"anzungssatz\footnote{Wir bezeichnen mit $v_1,\dots,v_k$ die Spalten von $D\varphi(b)$. Da diese Vektoren linear unabh\"angig sind gibt es nach dem Basiserg\"anzungssatz Vektoren $w_1,\dots,w_{n-k}$, so dass $v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_{n-k}$ eine Basis von $\R^n$ bilden. Wir bezeichnen dann mit $W$ die Matrix, deren Spalten gerade $w_1,\dots,w_{n-k}$ sind.}
  aus der Linearen Algebra folgt, dass es eine $n\times (n-k)$-Matrix $W$ gibt, so dass die Spalten der $n\times n$-Matrix $(D\varphi(b)\,W)$ eine Basis sind, d.h.\ so dass diese Matrix invertierbar ist. 
Wir betrachten jetzt die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \Psi\colon T\times \R^{n-k}&\to & \R^n \\
(x,y)&\mapsto & \varphi(x)+Wy.\end{array}\]
Das Differential am Punkt $(x,0,\dots,0)$ ist gegeben durch die Matrix
\[ (D\varphi(x)\,W), \]
welche invertierbar ist. Nach dem Satz \"uber die Umkehrabbildung besitzt $\Psi$ eine lokale Umkehrung $\Phi$. Diese Abbildung $\Phi$ hat dann die gew\"unschten Eigenschaften.
\end{proof}



%=================================================
\subsection{Der Satz vom regul\"aren Wert}
In der Linearen Algebra wird gezeigt, dass f\"ur eine beliebige Matrix $A$ gilt, dass $\operatorname{Rang}(A)=\operatorname{Rang}(A^t)$. Aus Lemma~\ref{lem:rang} erhalten wir nun insbesondere folgendes Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:rang2}
Es sei $A$ eine $k\times n$-Matrix. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
\begin{enumerate}
\item $A$ besitzt Rang $k$,
\item die Zeilen von $A$ sind  linear unabh\"angig
\item die Abbildung $\R^n\to \R^k, v\mapsto Av$ ist surjektiv.
\end{enumerate}
\end{lemma}




\begin{definition}
Es sei  $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R^k$ eine stetig differenzierbare Abbildung.
\begin{enumerate}
\item Wir sagen $x\in U$ ist ein \emph{regul\"arer Punkt von $f$}, wenn  das Differential $Df(x)$ den Rang $k$ besitzt.
\item Wir sagen $z\in \R^k$ ist ein \emph{regul\"arer Wert von $f$}, wenn alle Punkte in $f^{-1}(z)$ regul\"ar sind.
\end{enumerate}
Ein Punkt (bzw. Wert), welcher nicht regul\"ar ist, wird \emph{singul\"ar} genannt.\footnote{Anders ausgedr\"uckt, ein Wert $w\in \R^k$ ist regul\"ar, wenn dieser nicht das Bild von einem singul\"aren Punkt in $U$ ist.}
\end{definition}

\begin{bemerkung}\mbox{}
Der Fall $k=1$ ist ein wichtiger Spezialfall. Eine $1\times n$-Matrix besitzt Rang $1$ genau dann, wenn die Matrix ungleich Null ist.
F\"ur $k=1$ entspricht das Differential gerade dem Gradienten.
Wir sehen also, dass ein Punkt  $x\in U$ ein regul\"arer Punkt einer Abbildung $f\colon U\to \R$ ist, genau dann, wenn $\operatorname{Grad} f(x)\ne 0$.
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}
Es seien $a_1,\dots,a_n$ positive reelle Zahlen.
Wir betrachten
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} f\colon \R^n &\to & \R \\
(x_1,\dots,x_n)&\mapsto & a_1x_1^2+\dots+a_nx_n^2, 
\intertext{dann gilt f\"ur jeden Punkt $x=(x_1,\dots,x_n)$ in $\R^n$, dass}
\hspace{5cm} \operatorname{Grad} f(x_1,\dots,x_n)&=&(2a_1x_1,\dots,2a_nx_n),\end{array} \end{align*}
insbesondere ist der Gradient ungleich null f\"ur jeden Punkt $x\ne 0$. Anders ausgedr\"uckt, die Menge der regul\"aren Punkte von $f$ ist $\R^n\setminus \{0\}$.
Nachdem $f(x)=0$ genau dann, wenn $x=0$ folgt, dass alle Werte in $\R\setminus\{0\}$ regul\"ar sind.
\end{beispiel}

Wir k\"onnen jetzt folgenden wichtigen Satz formulieren:

\begin{satz}\label{satz:regularerwert} \textbf{\emph{(Satz vom regul\"aren Wert)}}
Es sei  $X\subset \R^n$ offen und $f\colon X\to \R^k$ eine stetig differenzierbare Abbildung.
Wenn $z\in \R^k$ ein regul\"arer Wert ist, dann ist $f^{-1}(z)\subset \R^n$ eine $(n-k)$--dimensionale Untermannigfaltigkeit.\footnote{Wenn $z$ nicht im Bild von $f$ liegt, dann ist $f^{-1}(z)=\emptyset$ die leere Menge, insbesondere eine (nicht besonders interessante) Untermannigfaltigkeit beliebiger Dimension.}
\end{satz}


\begin{proof}
% Broecker: Seite 55.
Um die Notation zu vereinfachen betrachten wir  den Fall, dass $X=\R^n$. Der allgemeine Fall wird ganz analog bewiesen.
Wir wollen mithilfe von Satz~\ref{satz:equivmfd} zeigen, dass $M:=f^{-1}(z)$ eine $(n-k)$--dimensionale Untermannigfaltigkeit ist. 

Es sei also $c\in M=f^{-1}(z)$. Wir m\"ussen f\"ur $c$ eine Karte finden.
Die Idee hierbei ist die Abbildung $f\colon M\to \R^k$, auf einer Umgebung $U$ von $c$, zu einer Karte $f\colon U\to V$ zu erg\"anzen. 

Wir machen dies wie folgt. 
Nach Voraussetzung ist $c$  ein regul\"arer Punkt. 
Das Differential $Df(c)$ hat daher den Rang $k$, nach Lemma~\ref{lem:rang} sind also die Zeilen der $k\times n$-Matrix  $Df(c)$ linear unabh\"angig. Nach dem Basiserg\"anzungssatz gibt es eine $(n-k)\times n$-Matrix $B$, so dass die Zeilen der $n\times n$-Matrix
\[ \begin{pmatrix} B\\ Df(c)\end{pmatrix} \]
linear unabh\"angig sind, d.h.\ die Matrix ist invertierbar. 
Wir betrachten jetzt die  Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon \R^n&\to & \R^n=\R^{n-k}\times \R^{k}\\
x&\mapsto & \begin{pmatrix} Bx\\f(x)-z\end{pmatrix}.\end{array} \]
Am Punkt $c$ ist das Differential  gegeben durch die invertierbare Matrix
\[ \begin{pmatrix} B\\ Df(c)\end{pmatrix}. \] 
Es folgt nun aus dem Satz~\ref{satz:umkehrabbildung} \"uber die Umkehrabbildung, dass es eine offene Umgebung $U$ von $c$ und eine offene Umgebung $V$ von $\Phi(c)\in \R^n$ gibt, so dass $\Phi\colon U\to V$ eine Umkehrabbildung $\Psi^{-1}\colon V\to U$ besitzt, welche  ebenfalls stetig differenzierbar ist.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{regularer-wert-2.pstex_t}
\caption{Illustration zum Beweis vom Satz vom regul\"aren Wert.}
\label{fig:regularer-wert}
\end{center}
\end{figure}

Nach Satz~\ref{satz:equivmfd} gen\"ugt es nun folgende Behauptung zu bewiesen.


\begin{behauptung}
Die Abbildung $F\colon U\to V$ ist eine Karte um den Punkt $c$.
\end{behauptung}

Es gen\"ugt zu zeigen, dass
\[\begin{array}{rcl} \Phi(U\cap M)&=&V\cap E_{n-k}\\
&=&\mbox{alle $x\in V$, so dass die ersten $(n-k)$--Koordinaten verschwinden}.\end{array} \]
Aber es folgt sofort aus der Definition von $F$ und von $M$, dass dies der Fall ist. In der Tat, denn sei $x\in U$. Dann gilt
\[ x\in M\,\,\Longleftrightarrow \,\,f(x)=z\,\,\Longleftrightarrow \,\,\Phi(x)\in \R^{n-k}\times \{0\}\,\,\Longleftrightarrow\,\, \Phi(x)\in V\cap E_{n-k}.\]
\end{proof}

\begin{beispiel}
Es seien $a_1,\dots,a_n$ positive reelle Zahlen.
Wie oben  betrachten wir die Funktion
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} f\colon \R^n &\to & \R \\
(x_1,\dots,x_n)&\mapsto & a_1x_1^2+\dots+a_nx_n^2.
\intertext{F\"ur  $a_1=\dots=a_n=1$ und den regul\"aren Wert $z=1$,  erhalten wir mithilfe vom Satz vom regul\"aren Wert einen  Beweis daf\"ur, dass die Sph\"are }
 S^{n-1}&=&\{ (x_1,\dots,x_n)\,|\,x_1^2+\dots+x_n^2=1 \}
\intertext{eine $(n-1)$--dimensionale Untermannigfaltigkeit ist.
Im allgemeinen Fall sehen wir, dass f\"ur jede Wahl von positiven reellen Zahlen $a_1,\dots,a_n$ das Ellipsoid}
\hspace{3.3cm} E(a_1,\dots,a_n)&=& \{ (x_1,\dots,x_n)\,|\,a_1x_1^2+\dots+a_nx_n^2=1 \} \end{array}\end{align*}
eine $(n-1)$--dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ ist.
Die 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit $E(a_1,a_2)$ von $\R^2$ ist eine Ellipse, welche in Abbildung~\ref{fig:ellipse} abgebildet ist.
\end{beispiel}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{ellipse.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:ellipse}
\end{center}
\end{figure}

%=====================
% Ende 18. Vorlesung


\begin{beispiel}
Wir betrachten nun noch die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R^2&\to & \R \\
(x,y)&\mapsto & xy.\end{array}\]
Der Gradient ist gegeben durch $\operatorname{Grad} f(x,y)=(y,x)$. Dieser ist also \"uberall ungleich null, au\ss er bei am Ursprung. Insbesondere sind alle Werte in $\R\setminus \{0\}$ regul\"are Werte. F\"ur jedes $a\ne 0$ ist also $f^{-1}(a)=\{(x,y)\in \R^2\,|\,xy=a\}$ eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit. F\"ur $a=0$ ist $f^{-1}(0)$ das `Kreuz', welches von der $x$-Achse und der $y$-Achse gebildet wird. Dies ist, wie schon auf Seite~\pageref{page:kreuz} diskutiert, keine  Untermannigfaltigkeit.
In Abbildung~\ref{fig:niveaulinien-untermannigfaltigkeit} werden die Untermannigfaltigkeiten $f^{-1}(\frac{1}{2})$ und $f^{-1}(1)$ skizziert. Zudem wird auch das Urbild $f^{-1}(0)$ skizziert.
\end{beispiel}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{niveaulinien-untermannigfaltigkeit.pstex_t}
\caption{Verschiedene Urbilder f\"ur $f(x,y)=xy$.}
\label{fig:niveaulinien-untermannigfaltigkeit}
\end{center}
\end{figure}



\begin{beispiel}
 Wir betrachten zuerst die Abbildung
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{2cm} P\colon U:=\{(x,y,z)\in \R^3\,|\, (x,y)\ne (0,0)\}&\to &\R^3 \\
(x,y,z)&\mapsto &\tmfrac{1}{\|(x,y)\|}(x,y,0).
\intertext{Diese Abbildung projeziert also einen Punkt $(x,y,z)$ auf die $xy$-Ebene und normiert dann den Abstand zum Ursprung auf $1$. Wir betrachten dann die Abbildung}
 f\colon U:=\{(x,y,z)\in \R^3\,|\, (x,y)\ne (0,0)\}&\to &\R \\
(x,y,z)&\mapsto & \left\| (x,y,z)-P(x,y,z)\right\|.\end{array}\end{align*}
Diese Abbildung misst den Abstand vom Punkt $(x,y,z)$ zum Punkt $P(x,y,z)$. In \"Ubungs\-blatt 10 werden wir sehen, dass $\frac{1}{4}$ ein regul\"arer Wert von $f$ ist. Es folgt also aus dem Satz vom regul\"aren Wert, dass $f^{-1}(\frac{1}{4})$ eine $2$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^3$ ist. 

Es stellt sich die Frage, wie  wir uns diese Untermannigfaltigkeit vorstellen sollen. F\"ur $\varphi\in [0,2\pi)$  betrachten wir dazu wiederum die offene Halbebene 
\[ H_\varphi:=\{ (r\cos\varphi,r\sin \varphi,z)\,|\, r\in \R_{>0}\mbox{ und }z\in \R\}.\]
Eine elementare Rechnung zeigt, dass alle Punkt auf $H_\varphi$ unter der Abbildung $P$ auf den Punkt $(\cos \varphi,\sin \varphi,0)$ geschickt werden.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{untermannigfaltigkeit-torus.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:untermannigfaltigkeit-torus}
\end{center}
\end{figure}
In $H_\varphi$ betrachten wir dann alle Punkte, welche den Abstand $\frac{1}{4}$ zum Punkt $(\cos \varphi,r\sin \varphi,0)$ besitzen. Anders ausgedr\"uckt, die Urbildmenge $M=f^{-1}(\frac{1}{4})$ schneidet jede offene Halbebene in einem Kreis von Radius $\frac{1}{4}$. Die Menge $M$ bildet also einen Torus. 
\footnote{Der Vollst\"andigkeit halber, Parametrisierungen von $M$ sind beispielsweise dadurch gegeben, dass man die  Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} F\colon \R^2&\to & \R^3 \\
           (\theta,\varphi) &\mapsto & \begin{pmatrix} (1+\frac{1}{4}\sin\theta)\cos \varphi \\[2mm] (1+\frac{1}{4}\sin \theta)\sin \varphi \\[2mm] \frac{1}{4}\cos \theta\end{pmatrix}\end{array} \]
auf offene Teilmengen von $\R^2$ einschr\"ankt, auf denen $F$ injektiv ist. }
\end{beispiel}


\begin{beispiel}
Wir betrachten nun $M(n,\R)$, die Menge aller reellen $n\times n$--Matrizen. Nachdem eine $n\times n$--Matrix durch die $n^2$ Eintr\"age bestimmt ist, k\"onnen wir $M(n,\R)$ mit dem Raum $\R^{n^2}$ identifizieren.
Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \det\colon M(n,\R)=\R^{n^2}&\to & \R \\
A&\mapsto &\det(A) \end{array} \]
ist ein Polynom in den Eintr\"agen der Matrix $A$, insbesondere ist diese Abbildung  stetig differenzierbar.
Dann ist jede Matrix $A\in M(n,\R)=\R^{n^2}$ mit $\det(A)\ne 0$ ein regul\"arer Punkt der Determinantenabbildung.\footnote{Dies sieht man beispielsweise wie folgt: es sei $A$ eine Matrix mit $\det(A)\ne 0$. Wir m\"ussen zeigen, dass $\operatorname{Grad} \det_A\ne 0$.
Nach Satz~\ref{satz:graddvf} gen\"ugt es eine Richtung $v$ zu finden, so dass die Richtungsableitung nicht null ist. Wir bezeichnen mit $a_1,\dots,a_n$ die Spalten von $A$. Es sei $B=(\frac{1}{\|a_1\|}a_10\dots 0)$ die Matrix, deren erste Spalte gerade die erste Spalte von $A$, normiert auf die L\"ange  ist, und deren anderen Spalten null sind. Dann gilt f\"ur die zugeh\"orige Richtungsableitung, dass
\[  \begin{array}{rcll}\smfrac{d}{dt}\det(A+tB)\Big|_{t=0}&=&\underset{h\to 0}{\lim}\tmfrac{1}{h} \left(\det\left(a_1(1+\frac{h}{\|a_1\|})a_2\dots a_n\right)-\det(a_1\dots a_n)\right)\\[2mm]
&=&\underset{h\to 0}{\lim}\tmfrac{1}{h} \left(\big(1+\tmfrac{h}{\|a_1\|}\big)\det\left(a_1a_2\dots a_n\right)-\det(a_1\dots a_n)\right)\quad\mbox{Linearit\"at der Determinante}\\[2mm]
&=&\frac{1}{\|a_1\|}\det(A),\end{array}\]
d.h.\ die Richtungsableitung ist ungleich null.}
Es folgt, dass jedes $z\in \R\setminus\{0\}$ ein regul\"arer Wert der Determinantenabbildung ist. Insbesondere folgt aus dem Satz vom regul\"aren Wert, dass
\[ SL(n,\R)\,\,:=\,\,\{ A\in M(n,\R)\,|\, \det(A)=1 \} \subset M(n,\R)\,\,=\,\,\R^{n^2} \]
eine $(n^2-1)$--dimensionale Untermannigfaltigkeit ist.
\end{beispiel}



%======================================================
\subsection{Tangentialvektoren zu Untermannigfaltigkeiten}

\begin{definition}
Es sei $M\subset \R^n$ eine Untermannigfaltigkeit und $a\in M$.
\begin{enumerate}
\item Eine  \emph{Kurve in $M$ durch $a$} ist eine Kurve
$ \gamma\colon I\to  M $ auf einem offenen Intervall $I$ mit  $\gamma(0)=a$.
\item
Ein Vektor $v\in \R^n$ hei\ss t \emph{Tangentialvektor} an $M$ im Punkt $a$, wenn es eine stetig differenzierbare Kurve $\gamma$ in $M$ durch $a$ gibt, so dass $\gamma'(0)=v$.
\item Die Menge aller Tangentialvektoren am Punkt $a$ wird mit $T_aM$ bezeichnet. Wir nennen $T_aM$ den \emph{Tangentialraum} am Punkt $a$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{definition-tangentialvektor.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:definition-tangentialvektor}
\end{center}
\end{figure}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Wir betrachten zuerst die 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{5.9cm} S^1&=&\{(x,y)\,|\,x^2+y^2=1\}.
\intertext{Es sei $(x,y)=(\cos \varphi,\sin \varphi)$ ein Punkt auf $S^1$. 
F\"ur $r\in \R$ betrachten wir die differenzierbare Kurve}
 \gamma_r\colon (-\pi,\pi)&\to & S^1\\
t&\mapsto &(\cos(\varphi+rt),\sin(\varphi+rt)).
\intertext{Dann ist $\gamma_r(0)=(x,y)$ und }
 \gamma_r'(0)&=&(-r\sin(\varphi+rt),r\cos(\varphi+rt))=(-ry,rx).
\intertext{Die Menge aller dieser Ableitungen ist gerade die Menge der Vektoren, welche orthogonal zum Vektor $(x,y)$ sind. 
Wir werden in Satz~\ref{satz:tam} sehen, dass dies alle Tangentialvektoren zum Punkt $(x,y)$ sind, d.h.}
 T_{(x,y)}S^1&=&\{(-ry,rx)\,|\,r\in \R\}.\end{array}
 \end{align*}
Verschiedene Beispiele von Tangentialvektoren zu $S^1$ werden in Abbildung~\ref{fig:tpm} illustriert.
\item
Wir betrachten die 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{6cm} S^2&=&\{ (x,y,z)\,|\, x^2+y^2+z^2=1\}
\intertext{und den Punkt $a=(0,0,1)$. Dann ist $v=(1,0,0)$ ein Tangentialvektor, nachdem $v$ die Ableitung der Kurve}
  \gamma\colon (-\pi,\pi) &\to & S^2 \\
t&\mapsto & (\sin(t),0,\cos(t)) 
\intertext{durch den Punkt $a$ ist. Wenn wir die gleiche Kurve um den Faktor $r\in \R$ `beschleunigen' erhalten wir die Kurve}
 \gamma\colon (-\pi,\pi) &\to & S^2 \\
t&\mapsto & (\sin(rt),0,\cos(rt)) 
\intertext{mit $\gamma'(0)=(r,0,0)$. Indem wir diese Kurve noch um den Vektor $\varphi \in [0,2\pi]$ um die $z$-Achse drehen erhalten  wir die Kurve}
  \gamma\colon (-\pi,\pi) &\to & S^2 \\
t&\mapsto & (\sin(rt)\cdot \cos(\varphi),\sin(rt)\cdot \sin(\varphi),\cos(rt)). \end{array} \end{align*}
\footnote{Diese Kurve beschreibt den Gro\ss kreis durch den Nordpol von `L\"angengrad' $\varphi$. Ein Gro\ss kreis in $\R^3$ ist hierbei der Schnitt von $S^2$ mit einer Ebene, welche den Ursprung enth\"alt.}
Wir berechnen, dass $\gamma'(0)=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi),0)$.
Wir sehen also, dass alle Vektoren vom Typ $(x,y,0)$, d.h.\ alle Vektoren in der $xy$-Ebene, Tangentialvektoren von $S^2$ am Punkt $(0,0,1)$ sind. Anders ausgedr\"uckt, es ist 
\[ \{ (x,y,0)\,|\, x,y\in \R\}\,\,\subset\,\,T_{(0,0,1)}S^2.\]
Mithilfe von Satz~\ref{satz:tam} werden wir die nicht  ganz offensichtliche  Aussage beweisen, dass dies in der Tat schon alle Tangentialvektoren.
\item Als letztes Beispiel betrachten wir die $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit
\[ E_k:=\{ (x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)\,|\, x_1,\dots,x_k\in \R\}\subset \R^n.\]
Es sei $a\in E_k$. F\"ur jedes $v\in E_k$ ist dann  $\gamma(t)=a+tv$ eine Kurve durch $E_k$ mit $\gamma'(0)=v$. Wir sehen also, dass $E_k\subset T_aE_k$. Dies sind sogar alle Tangentialvektoren, denn f\"ur eine beliebige Kurve $\gamma$ in $E_k$ sind die letzten $(n-k)$ Koordinaten null, dies gilt dann auch f\"ur die Ableitung, d.h.\ $\gamma'(0)\in E_k$. Wir haben also gezeigt, dass $T_aE_k=E_k$.\label{page:tangentialraum-ek}
\end{enumerate}
\end{beispiel}

Wir skizzieren in Abbildung~\ref{fig:tpm} Tangentialvektoren f\"ur $S^1$ und den Tangentialraum zu $S^2$ am Punkt $(0,0,1)$. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{tpm.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:tpm}
\end{center}
\end{figure}
Der folgende Satz besagt nun insbesondere, dass die Tangentialr\"aume immer Vektorr\"aume sind.


\begin{satz}\label{satz:tam}
Es sei $M\subset \R^n$ eine $k$--dimensionale Untermannigfaltigkeit und $a\in M$.
Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item $T_aM$ ist ein $k$--dimensionaler Vektorraum,
\item wenn $\varphi\colon X\to M$ eine Parametrisierung von $M$ am Punkt $a$ ist mit $\varphi(b)=a$, dann bilden die Spalten des Differentials
\[D\varphi(b)\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \frac{\partial \varphi_1}{\partial t_1}(b)&\dots& 
\frac{\partial \varphi_1}{\partial t_k}(b)\\
\vdots&&\vdots\\
\frac{\partial \varphi_n}{\partial t_1}(b)&\dots&
\frac{\partial \varphi_n}{\partial t_k}(b)\end{pmatrix} \]
eine Basis von $T_aM$.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Von der Anschauung her ist $T_aM$ der $k$-dimensionale Unterraum von $\R^n$, welche die Untermannigfaltigkeit am Punkt $a$ am besten approximiert. Der Tangentialraum spielt also f\"ur Untermannigfaltigkeiten die Rolle der Tangenten f\"ur Graphen in $\R^2$. 
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}
Wir betrachten wiederum
\begin{align*} \begin{array}{rcl} 
  S^2&=&\{(x,y,z)\,|\,x^2+y^2+z^2=1\}
\intertext{und  den Punkt $a=(0,0,1)$. Auf Seite~\pageref{page:parametrisierung-g} hatten wir gesehen, dass}
\hspace{2.5cm} G\colon
(-\pi,\pi)\times (0,\pi) &\to & \R^3 \\
(\varphi,\theta)&\mapsto & 
\begin{pmatrix} -\sin \theta \cdot \cos \varphi\\ \cos \theta\\ \sin \theta \cdot \sin \varphi\end{pmatrix},
\end{array}\end{align*}
eine Parametrisierung um den Punkt $a=(0,0,1)$ ist. Offensichtlich ist $G(b)=a$ f\"ur $b=(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$. Es folgt also aus Satz~\ref{satz:tam}, dass $T_aS^2$ der 2-dimensionale Vektorraum ist, welcher aufgespannt wird von den Spalten von
\[ DG\big(\tmfrac{\pi}{2},\tmfrac{\pi}{2}\big)\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \sin\theta\cdot \sin \varphi&-\cos \theta\cdot \cos \varphi\\ 0&-\sin \theta\\ \hfill \sin \theta\cdot \cos \varphi&\cos \theta\cdot \sin \varphi\end{pmatrix}\big(\tmfrac{\pi}{2},\tmfrac{\pi}{2}\big)\,\,=\,\,
 \begin{pmatrix} 1&\hfill 0\\0&-1\\ 0&\hfill 0\end{pmatrix}.\]
Anders ausgedr\"uckt, $T_{(0,0,1)}S^2$ ist die $xy$-Ebene.  
\end{beispiel}


\begin{proof}
Es sei $M\subset \R^n$ eine $k$--dimensionale Untermannigfaltigkeit und $a\in M$.
Zudem sei  $\varphi\colon X\to M$ eine Parametrisierung von $M$ am Punkt $a$ mit $\varphi(b)=a$.
F\"ur $i\in \{1,\dots,k\}$  bezeichnen wir mit $v_i$ den $i$-ten Spaltenvektor von $D\varphi(b)$. Nachdem $\varphi$ eine Immersion ist folgt aus Lemma~\ref{lem:rang}, dass die Vektoren $v_1,\dots,v_k$ linear unabh\"angig sind. Wir  bezeichnen mit $V$ den Vektorraum, welcher von $v_1,\dots,v_k$ aufgespannt wird. Wir m\"ussen zeigen, dass $T_aM=V$. Wir zeigen zuerst, dass $V\subset T_aM$. 
Sei also $v=\sum_{i=1}^kc_iv_i\in V$. Wir betrachten die Kurve
\[ \xymatrix@C3.3cm{I\ar@/_1.5pc/[rr]_{\varphi\circ \eta}\ar[r]^{\eta(s):=b+s\cdot (c_1,\dots,c_k)} &X\ar[r]^{\varphi}& M},\]
wobei $I$ ein geeignet gew\"ahltes offenes Intervall ist.
Dann ist $s\mapsto (\varphi\circ \eta)(s)$ eine Kurve in $M$ durch $a$, und aus der \ref{satz:kettenregel} folgt, dass
\[ (\varphi\circ \eta)'(0)\,\,=\,\,D\varphi(\eta(0))\cdot \eta'(0) \,\,=\,\, \begin{pmatrix} v_1&\dots &v_k\end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_k \end{pmatrix}\\
\,\,=\,\,\sum_{i=1}^kc_iv_i\,\,=\,\,v. \]
Wir haben nun gezeigt, dass der $k$--dimensionale Vektorraum $V$ in $T_aM$ \emph{enthalten} ist. Um die Gleichheit $V=T_aM$ zu zeigen gen\"ugt es nun zu beweisen, dass $T_aM$ ebenfalls ein $k$-dimensionaler Vektorraum ist. 
Auf Seite~\pageref{page:tangentialraum-ek} hatten wir schon gesehen, dass jeder Tangentialraum zu der $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $E_k\subset \R^n$ ein $k$-dimensionaler Vektorraum ist. Mithilfe einer Karte wollen wir jetzt diese Aussage auf den Tangentialraum $T_aM$ \"ubertragen.

Wir w\"ahlen nun also eine Karte $\Phi\colon A\to B$ wie in Satz~\ref{satz:equivmfd}.
Genauer gesagt, nach Satz~\ref{satz:equivmfd} gibt es eine offene Umgebung $A$ von $a$
und einen $C^1$-Diffeomorphismus $\Phi\colon A\to B$ auf eine offene Teilmenge $B$ von $\R^n$, so dass $\Phi(A\cap M)=B\cap E_k$. 


\begin{behauptung}
Das Differential $D\Phi(a)$ induziert eine Abbildung zwischen $T_aM$ und $E_k$.
\footnote{Das Differential ist eine $n\times n$--Matrix, also eine lineare Abbildung $\R^n\to \R^n$.
Der Tangentialraum $T_aM$ ist ein Unterraum von $\R^n$, und die Aussage der Behauptung ist nun, dass das Bild von $T_aM\subset \R^n$ unter der linearen Abbildung $D\Phi(a)\colon\R^n\to \R^n$
in $E_k$ liegt.}
\footnote{Wir werden in Analysis~IV sehen, dass eine differenzierbare Abbildung $f\colon M\to N$ zwischen zwei Untermannigfaltigkeiten an jedem Punkt $a\in M$ eine lineare Abbildung $Df(a)\colon T_aM\to T_{f(a)}N$ induziert. Viele Aussagen \"uber Differentiale k\"onnen dann leicht verallgemeinert werden. Beispielsweise, wenn $Df(a)$ eine invertierbare lineare Abbildung ist, dann besitzt $f$ lokal eine Umkehrabbildung.}
\end{behauptung}

Es sei $v\in T_aM$ ein Vektor.
Wir m\"ussen zeigen, dass $(D\Phi)(a)\cdot v\in E_k$. Es ist
\[ \begin{array}{rcll} (D\Phi)(a)\cdot v&=&(D\Phi)(a)\cdot \gamma'(0)&\mbox{wobei  $\gamma$ eine Kurve in $M$ durch $a$ mit $\gamma'(0)=v$}\\
&=& (\Phi\circ \gamma)'(0) &\mbox{nach der \ref{satz:kettenregel}}\\
&\in& T_{\Phi(a)}E_k&\mbox{denn $\Phi\circ \gamma$ ist eine Kurve in $E_k$ durch $\Phi(a)$}\\
&=&E_k&\mbox{denn auf Seite~\pageref{page:tangentialraum-ek} hatten wir gezeigt,}\\
&&&\mbox{dass $T_zE_k=E_k$ f\"ur alle $z\in E_k$.}\end{array}\]
Wir haben damit die Behauptung bewiesen.


Wir haben also bewiesen, dass $D\Phi(a)(T_aM)\subset E_k$. Zusammengefasst erhalten wir, dass
\[  V\,\,\subset\,\, T_aM \,\,\subset \,\,\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{$k$-dimensionaler Vektorraum}\\\opnormal{denn $E_k$ ist ein $k$-dimensionaler}\\\opnormal{Vektorraum und $(D\Phi)(a)$ ist}\\\opnormal{ein Isomorphismus}\end{array}}}{\underbrace{W:=\big((D\Phi)(a)\big)^{-1}(E_k).}}\]
Nachdem  $V$ und $W$ jeweils $k$--dimensionale Vektorr\"aume sind, muss $V=W$ gelten, also insbesondere auch $V=T_aM$.
\end{proof}

F\"ur $v\in \R^n$ schreiben wir im Folgenden
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4cm} v^\perp&=&\{ w\in \R^n\,|\, w\mbox{ orthogonal zu }v\}.
\intertext{Wenn $v\ne 0$, dann ist $v^\perp$ ein Untervektorraum von $\R^n$ der Dimension $n-1$. Allgemeiner, f\"ur eine Teilmenge $A\subset \R^n$ schreiben wir}
A^\perp&=&\{ w\in \R^n\,|\, w\mbox{ orthogonal zu allen }v\in A\}.\end{array} \end{align*}
Wenn wir Untermannigfaltigkeiten betrachten, welche als Urbild eines regul\"aren Wertes einer Funktion $f\colon U\to \R$ gegeben sind, dann ist es nun besonders einfach den Tangentialraum zu bestimmen:

\begin{satz}\label{satz:tamfminus}
Es sei  $U\subset \R^n$ offen, es sei $f\colon U\to \R$ eine stetig differenzierbare Abbildung und es sei $z\in \R$ ein regul\"arer Wert.
Dann ist $M:=f^{-1}(z)\subset \R^n$ eine $(n-1)$--dimensionale Untermannigfaltigkeit,
und f\"ur jedes $a\in M$ gilt:
\[ T_aM\,\,=\,\,\big(\operatorname{Grad} f(a)\big)^{\perp}.\]
\end{satz}

\begin{beispiel}
Es sei  $U\subset \R^2$ offen, es sei $f\colon U\to \R$ eine stetig differenzierbare Abbildung und es sei $C\in \R$ ein regul\"arer Wert. Dann ist 
\[ M\,\,=\,\,f^{-1}(C)\,\,=\,\{x\in U\,|\, f(x)=C\}\]
insbesondere eine Niveaulinie von $f$. Satz~\ref{satz:tamfminus} besagt nun, dass diese Niveaulinie orthogonal zu den Gradienten von $f$ ist. Dies ist genau die Aussage, welche wir schon auf Seite~\pageref{gradient-senkrech-niveaulinien}, ohne Beweis, formuliert hatten.
\end{beispiel}

\begin{proof}
Nach dem Satz~\ref{satz:regularerwert} vom regul\"aren Wert ist $M=f^{-1}(z)$ eine $(n-1)$--dimensionale Untermannigfaltigkeit. Sei nun $a\in M$.
Nach  Satz~\ref{satz:tam}  ist $T_aM$ ein
$(n-1)$--dimensionaler Untervektorraum.  Nachdem $z$ ein regul\"arer Wert ist, ist $a$ ein regul\"arer Punkt von $f$, d.h.\ $\operatorname{Grad} f(a)$ ist nicht der Nullvektor.
Es folgt, dass $(\operatorname{Grad} f(a))^{\perp}$ 
ebenfalls ein $(n-1)$--dimensionaler Untervektorraum ist.

Es gen\"ugt nun zu zeigen, dass $T_aM\subset (\operatorname{Grad} f(a))^\perp$.
Es sei also $v\in T_aM$. Wir m\"ussen zeigen, dass $\langle \operatorname{Grad} f(a),v\rangle=0$. Es ist
\[ \begin{array}{rcll} \langle \operatorname{Grad} f(a),v\rangle&=&\langle \operatorname{Grad} f(a),\gamma'(0)\rangle&\mbox{wobei $\gamma$ eine Kurve in $M$ durch $a$ mit $\gamma'(0)=v$}\\
&=&(f\circ \gamma)'(0)&\mbox{nach Satz~\ref{satz:kettenregel1}}\\
&=&0&\mbox{da  $(f\circ \gamma)(t)=z$ f\"ur alle $t$, d.h.\ $f\circ \gamma$ ist konstant.}\end{array}\]
\end{proof}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Wir betrachten zuerst die Untermannigfaltigkeit 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5cm} S^1&=&\big\{(x,y)\in \R^2\,\big|\,\underset{=:f(x,y)}{\underbrace{x^2+y^2}}=1\big\}.
\intertext{Dann gilt $\operatorname{Grad} f(x,y)=(2x,2y)$. Es folgt aus Satz~\ref{satz:tamfminus}, dass der Tangentialraum von $M$ an einem beliebigen Punkt $(x,y)\in S^1$  gegeben ist durch}
 T_{(x,y)}S^1&=&(2x,2y)^{\perp}\,\,=\,\,\{ \lambda(y,-x)\,|\, \lambda\in \R\}.\end{array} \end{align*}
\item
Betrachten wir nun das Ellipsoid
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{5cm} M&=&\big\{(x,y,z)\,\big|\, \underset{=:f(x,y,z)}{\underbrace{2x^2+3y^2+4z^2}}=9 \big\}.
\intertext{Dann gilt $\operatorname{Grad} f(x,y,z)=(4x,6y,8z)$, 
und es folgt aus Satz~\ref{satz:tamfminus}, dass der Tangentialraum von $M$ am Punkt $(1,1,1)$  gegeben ist durch}
 T_{(1,1,1)}M&=&(4,6,8)^{\perp}\,\,=\,\,\{ \lambda(3,-2,0)+\mu(-2,0,1)\,|\, \lambda,\mu\in \R\}.\end{array}\end{align*}
\end{enumerate}
\end{beispiel}

Wir beschlie\ss en das Kapitel mit einer Umformulierung von Satz~\ref{satz:tamfminus}

\begin{definition}
Es sei $M\subset \R^n$ eine Untermannigfaltigkeit und $a\in M$.
Ein Vektor $v\in \R^n$ hei\ss t \emph{Normalenvektor}  von $M$ in $a$, wenn $v\in (T_aM)^\perp$.
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{normalenvektoren.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:normalenvektoren}
\end{center}
\end{figure}

% Ende 19. Vorlesung


Der folgende Satz kann als Umformulierung von Satz~\ref{satz:tamfminus} betrachtet werden.

\begin{satz}\label{satz:normal-fminus}
Es sei  $U\subset \R^n$ offen, $f\colon U\to \R$ eine stetig differenzierbare Abbildung und  $z\in \R$ ein regul\"arer Wert.
Dann ist $M:=f^{-1}(z)\subset \R^n$ eine $(n-1)$--dimensionale Untermannigfaltigkeit,
und f\"ur jedes $a\in M$ gilt:
\[\mbox{Menge der Normalenvektoren am Punkt $a$}\,\,=\,\,\R\cdot \operatorname{Grad} f(a).\]
\end{satz}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{normalenvektoren-mannigfaltigkeit.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:normalenvektoren-mannigfaltigkeit}
\end{center}
\end{figure}

\begin{proof}
F\"ur einen beliebigen Vektor $v\ne 0\in \R^n$  gilt
\footnote{Dies kann man beispielsweise wie folgt sehen: es folgt aus dem
Basis-Erg\"anzungssatz und aus dem Gram-Schmidt-Verfahren, dass man $v$ zu einer orthogonalen Basis $v,w_1,\dots,w_{n-1}$ von $\R^n$ erg\"anzen kann. Hierbei bedeutet `orthogonal', dass   $\langle v,w_i\rangle=0$ f\"ur $i=1,\dots,n-1$ und es ist $\langle w_i,w_j\rangle=0$ f\"ur alle $i\ne j$.  Dann ist $v^\perp$ der von $w_1,\dots,w_{n-1}$ aufgespannte Vektorraum. Zudem ist ein Vektor $\lambda  v+\sum_{i=1}^{n-1}\mu_iw_i$ genau dann zu allen $w_i$'s orthogonal, wenn $\mu_1=\dots=\mu_{n-1}=0$. Dies zeigt, dass $(v^\perp)^\perp=\R v$.}
\[ (v^{\perp})^\perp\,\,=\,\,\R\cdot  v.\]
In dem wir diese Aussage auf $v=\operatorname{Grad} f(a)$ anwenden, erhalten wir, dass
\[\begin{array}{c}\R\cdot \operatorname{Grad} f(a)\,=\,\big((\operatorname{Grad} f(a))^\perp \big)^\perp\,
=\,(T_aM)^\perp\,=\, \mbox{Menge der Normalenvektoren im Punkt $a$.}\\
\hspace{-2.3cm}\uparrow\hspace{1.55cm}\\
\hspace{-2cm}\mbox{nach Satz~\ref{satz:tamfminus}}\hspace{1.6cm}\end{array}\]
\end{proof}

%======================================================
\subsection{Die Methode der Lagrangemultiplikatoren}
In diesem Kapitel werden wir eine Methode einf\"uhren, welche es in vielen F\"allen erlaubt ohne gro\ss en Aufwand  lokale Extrema einer Funktion auf einer Untermannigfaltigkeit zu bestimmen.



\begin{satz}\label{satz:lagrangemult}
Es sei  $M:=g^{-1}(z)$ das Urbild eines regul\"aren Wertes $z\in \R$ einer stetig differenzierbaren Funktion  $g\colon U\to \R$ auf einer offenen Menge $U\subset \R^n$.
Es sei $f\colon U\to \R$ eine weitere stetig differenzierbare Funktion. Wenn $x\in M$ ein lokales Extremum von $f\colon M\to \R$ ist, dann existiert ein $\lambda\in \R$, so dass
\[ \operatorname{Grad} f(x)\,=\,\lambda\cdot \operatorname{Grad} g(x).\]
\end{satz}



\begin{bemerkung}
In der Literatur  bezeichnet man \"ofters ein lokales Extremum der Funktion 
\[ f\colon M=g^{-1}(z)\,\to\, \R\]
als \emph{lokales Extremum von $f\colon U\to \R$ unter der Nebenbedingung $g=z$.}
Die reelle Zahl $\lambda$ wird zudem oft als \emph{Lagrangemultiplikator} bezeichnet.
\end{bemerkung}

\begin{proof}
Es sei also $x\in M$ ein lokales Extremum der Funktion $f\colon M\to \R$. Wir wollen zeigen, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{6.5cm} \operatorname{Grad} f(x)&\in &\R\cdot \operatorname{Grad} g(x)
\intertext{In Satz~\ref{satz:normal-fminus} hatten wir gesehen, dass}
\R\cdot \operatorname{Grad} g(x)&=& (T_xM)^\perp.\end{array} \end{align*}
Es gen\"ugt also zu zeigen, dass $\operatorname{Grad} f(x)$ orthogonal zu allen Vektoren in $T_xM$ ist.
Sei also $v\in T_xM$. Wir m\"ussen zeigen, dass $\langle \operatorname{Grad} f(x),v\rangle=0$.
Es ist in der Tat
\[ \begin{array}{rcll} 
\langle \operatorname{Grad} f(x),v\rangle&=&\langle \operatorname{Grad} f(x),\gamma'(0)\rangle&\mbox{wobei $\gamma$ eine Kurve auf $M$ durch $x$ mit  $\gamma'(0)=v$}\\
&=& \tmfrac{d}{dt} (f\circ \gamma)(t)\Big|_{t=0} &\mbox{nach~Satz~\ref{satz:kettenregel1}}\\[2mm]
&=&0&\mbox{da $0$ ein lokales Extremum\footnotemark von $f\circ \gamma$ ist}.\end{array}\]
\footnotetext{Das Argument von  Fu\ss note~\ref{note:extremumgrad} zeigt, dass $t=0$ in der Tat ein lokales Extremum von $f\circ \gamma$ ist.}
Wir haben also bewiesen, dass $\operatorname{Grad} f(x)$ orthogonal zu allen Vektoren in $T_xM$ ist,
d.h.\ $\operatorname{Grad} f(x)$ ist orthogonal zu $T_xM$.
\end{proof}

\begin{bemerkung}
Der Satz kann auch verallgemeinert werden zu Funktionen auf Untermannigfaltigkeiten, welche durch mehrere Gleichungen
$ g_1=0, g_2=0,\dots, g_s=0$
beschrieben sind. Siehe Forster, Analysis~II, Seite 110 f\"ur Details.
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}
Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon S^1&\to & \R \\
(x,y)&\mapsto & x.\end{array} \]
Wir k\"onnen den Kreis $S^1$ beschreiben also  $S^1=g^{-1}(1)$, wobei $g(x,y)=x^2+y^2$. 
Hierbei ist $\operatorname{Grad} f(x,y)=(1,0)$ und $\operatorname{Grad} g(x,y)=(2x,2y)$. 
Offensichtlich wird das globale Maximum von $f$ \emph{auf dem Kreis $S^1$ im Punkt $(1,0)$} angenommen. In diesem Punkt gilt
\[ \operatorname{Grad} f(1,0)\,\,=\,\,(1,0)\,\,=\,\,\tmfrac{1}{2}\operatorname{Grad} g(1,0).\]
Die Gradienten von $f$ und $g$ sind also, wie von   Satz~\ref{satz:lagrangemult} vorhergesagt, im Punkt $(1,0)$ parallel. 
Der Punkt $(1,0)$ ist nat\"urlich kein globales Maximum von $f$ auf $\R^2$, der Gradient $\operatorname{Grad} f(1,0)$ muss also nicht der Nullvektor sein.
\end{beispiel} 

\begin{beispiel}
Wir betrachten die Funktionen\label{bsp:maxaufs2}
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6cm} 
 f\colon \R^3 &\to & \R \\
(x,y,z)&\mapsto & xy
\intertext{und}
g\colon \R^3&\to& \R\\
 g(x,y,z)&=&x^2+y^2+z^2.\end{array} \end{align*}
Wir wollen das globale Maximum von $f$ auf $S^2:=g^{-1}(1)$ bestimmen.\footnote{Oder anders ausgedr\"uckt, wir wollen das globale Maximum von $f$ unter der Nebenbedingung $g=1$ bestimmen.}
Es ist
\[ \begin{array}{rcl}\hspace{0.2cm}\operatorname{Grad} g&=&(2x,2y,2z), \\
\operatorname{Grad} f&=&(y,x,0).\end{array} \]
Wir versuchen also alle Punkte in $\R^3$ zu finden, welche die Gleichungen
\[
\begin{array}{rccrclccc}&(A)&\hspace{3.15cm}& x^2+y^2+z^2&=&1, \mbox{ und}\\
&(B)&& (y,x,0)&=&(2\lambda x,2\lambda y,2\lambda z),\quad \mbox{ f\"ur ein }\lambda\in \R &\hspace{2cm}\end{array}
\]
l\"osen. 
Wenn $\lambda=0$, dann  folgt aus (B), dass $x=y=0$, und aus $x^2+y^2+z^2=1$ erhalten wir dann, dass $z=\pm 1$. Wir schreiben
\[ R_-=(0,0,-1)\mbox{ und }R_+=(0,0,1).\] 
Andererseits, wenn $\lambda\ne 0$, dann liefert die letzte Koordinate von (B), dass $z=0$. Die anderen beiden Koordinaten ergeben die Gleichungen $x=2\lambda y$ und $y=2\lambda x$. Wir erhalten die Gleichung $x=2\lambda y=4\lambda^2 x$. Entweder ist $x=0$, und dann auch $y=0$. Aber wir hatten schon gesehen, dass $z=0$, d.h.\ dieser Fall tritt nicht ein. Also folgt aus $x=4\lambda^2 x$, dass $\lambda=\pm \frac{1}{2}$, und daraus folgt dann $x=\pm y$.
Es gibt genau 4 Punkte auf $S^2$, d.h.\ genau 4 Punkte mit $x^2+y^2+z^2=1$, so dass $z=0$ und $x=\pm y$, n\"amlich
\[ 
P_+=\Big(\tmfrac{\sqrt{2}}{2},\tmfrac{\sqrt{2}}{2},0\Big),
P_-=\Big(-\tmfrac{\sqrt{2}}{2},-\tmfrac{\sqrt{2}}{2},0\Big),
Q_+=\Big(\tmfrac{\sqrt{2}}{2},-\tmfrac{\sqrt{2}}{2},0\Big) \mbox{ und }
Q_-=\Big(-\tmfrac{\sqrt{2}}{2},\tmfrac{\sqrt{2}}{2},0\Big). \]
Satz~\ref{satz:lagrange} besagt, dass das globale Maximum (bzw. Minimum) von $f\colon S^2\to \R$ an einem der Punkte $P_\pm, Q_\pm,R_\pm$ angenommen wird.

Es gilt $f(P_\pm)=\frac{1}{2}$, $f(Q_\pm)=-\frac{1}{2}$ und $f(R_\pm)=0$. Also ist $\frac{1}{2}$ das globale Maximum von $f$ und $-\frac{1}{2}$ das globale Minimum von $f\colon S^2\to \R$.
Wir erhalten also das gleiche Ergebnis wie auf Seite~\pageref{bsp:maxaufs2}, aber mit  weniger Rechenaufwand.\footnote{Allerdings haben wir auch in diesem Beispiel schon gesehen, dass es gar nicht so einfach ist, alle Punkte zu finden, an denen $\operatorname{Grad} f=\lambda \operatorname{Grad} g$ gilt.}
\end{beispiel}

%======================================================
\section{Differentialgleichungen: Definition und Beispiele}


%======================================================
\subsection{Definition von Differentialgleichungen}

\begin{definition}
Es sei $A\subset \R^n$ eine Teilmenge. Ein \emph{Vektorfeld auf $A$} ist eine stetige Abbildung $f\colon A\to \R^n$.
\end{definition}

Ein Vektorfeld auf $A$ ordnet also jedem Punkt in $A\subset \R^n$ einen Vektor in $\R^n$ zu. Beispielsweise ist 
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R^2&\to &\R^2 \\
(x,y)&\mapsto&\tmfrac{1}{2}(-y,x)\end{array} \]
ein Vektorfeld auf $\R^2$. Dieses Vektorfeld ist in  Abbildung~\ref{fig:vektorfeld} auf der linken Seite skizziert.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{vektorfeld.pstex_t}
\caption{Illustration von Vektorfeldern auf $\R^2$.}
\label{fig:vektorfeld}
\end{center}
\end{figure}

Wir verallgemeinern nun noch etwas den Begriff von einem Vektorfeld.

\begin{definition}
Es sei $A\subset \R^n$ eine Teilmenge. Ein \emph{variables Vektorfeld auf $A$} besteht aus einem Intervall $I\subset \R$ und einer stetigen Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} f\colon I\times A&\to & \R^n \\
(t,y)&\mapsto & f(t,y). \end{array} \]
\end{definition}

Ein variables Vektorfeld 
definiert  also insbesondere f\"ur ein fest gew\"ahltes  $t\in I$ ein Vektorfeld $y\mapsto f(t,y)$.
Anders ausgedr\"uckt, $f$ ist ein Vektorfeld auf $A$, welches sich mit der `Zeit' $t$ ver\"andern kann.
Umgedreht definiert jedes Vektorfeld $v$ auf $A$  durch $f(t,y):=v(y)$ auch ein variables Vektorfeld. 


Wir k\"onnen jetzt die wichtigste Definition des Kapitels einf\"uhren.

\begin{definition}
Es sei $f\colon I\times A\to  \R^n$
ein variables Vektorfeld auf einer Teilmenge $A\subset \R^n$.
Eine differenzierbare Kurve $\varphi\colon J\to A\subset \R^n$ auf einem offenen Intervall $J\subset I$ ist eine
\emph{L\"osung der  Differentialgleichung $y'=f(t,y)$}, wenn f\"ur alle $t\in J$ gilt
\[  \varphi'(t)\,\,=\,\,f(t,\varphi(t)).\]
\end{definition}

\begin{bemerkung}
Eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=f(t,y)$ ist also eine Kurve $\varphi$, so dass zu jedem Zeitpunkt $t$ die Ableitung gerade durch den Vektor des variablen Vektorfeldes am Punkt $\varphi(t)$ zur Zeit $t$ gegeben ist.
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}
Wir betrachten das Vektorfeld 
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
 \hspace{5cm} f\colon \R\times \R^2&\to &\R^2 \\
(t,x,y)&\mapsto&\tmfrac{1}{2}(-y,x).
\intertext{ein Vektorfeld auf $\R^2$. Dann definiert beispielsweise}
\varphi(t)&=&\big(\cos\big(\ttmfrac{1}{2}t\big),\sin\big(\ttmfrac{1}{2}t\big)\big)\end{array}\end{align*}
auf jedem offenen Intervall $I\subset \R$ eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=f(t,y)$ zur Anfangsbedingung $\varphi(0)=(1,0)$. Diese L\"osung ist in  Abbildung~\ref{fig:vektorfeld} skizziert.
\end{beispiel}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{vektorfeld-loesung.pstex_t}
\caption{Illustration von L\"osungen von Differentialgleichungen  auf $\R^2$.}
\label{fig:vektorfeld-loesung}
\end{center}
\end{figure}



\begin{beispiel}
Es sei $A\subset \R^3$ eine `Teilmenge eines Sees' und es sei $f(t,a)$ die Wassergeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ am Punkt $a$.
Dann entspricht die L\"osung der Differentialgleichung $y'=f(t,y)$ gerade der Bahn eines Wassermolek\"uls.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Wir betrachten das variable Vektorfeld\footnote{Das Vektorfeld zeigt an einem Punkt $y\in \R^2$ `nach au\ss en' und hat die L\"ange $\frac{1}{t}\|y\|$, d.h.\ mit zunehmender Zeit werden die Vektoren immer k\"urzer.}
\[ \begin{array}{rcl} f\colon\R_{>0}\times \R^2&\to & \R^2 \\
(t,y)&\mapsto & \frac{1}{t}y\end{array} \]
und die dazugeh\"orige Differentialgleichung $y'=f(t,y)=\frac{1}{t}y$.
F\"ur jedes $w\in \R^n\setminus \{0\}$ ist dann
\[ \begin{array}{rcl} \hspace{0.3cm} \varphi\colon \R_{>0} &\to & \R^2 \\
t&\mapsto & tw \end{array} \]
eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=f(t,y)$. In der Tat, denn f\"ur alle $t\in \R_{>0}$  gilt
\[ \varphi'(t)\,\,=\,\,w\,\,=\,\,\tmfrac{1}{t}tw\,\,=\,\,f(t,tw)\,\,=\,\,f(t,\varphi(t)).\]
\end{beispiel}

Es gibt kein allgemeines Verfahren, um Differentialgleichungen zu l\"osen.
Wir werden in diesem Kapitel verschiedene Verfahren kennenlernen, um bestimmte Typen von Differentialgleichungen zu l\"osen.
In den folgenden Kapiteln werden wir dann die Theorie der Differentialgleichungen behandeln.


%======================================================
\subsection{Differentialgleichungen mit getrennten Variablen}

Wir betrachten jetzt nur Differentialgleichungen im Fall $n=1$.
Es seien $I,J\subset \R$ offene Intervalle und es seien $f\colon I\to \R$, sowie $g\colon J\to \R$ zwei stetige Funktionen. Eine Differentialgleichung vom Typ
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{6.3cm} y&=&f(t)g(y)
\intertext{hei\ss t \emph{Differentialgleichung mit getrennten Variablen}. Beispielsweise ist}
y'&=&2ty^2\end{array}\end{align*}
eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

Wir versuchen zuerst einmal die Differentialgleichung $y'=f(t)g(y)$ ganz naiv zu l\"osen.
Hierbei f\"uhren wir  folgende suggestive, allerdings sinnlose `Rechnung' durch
\[ \begin{array}{rcrcll} &&\tmfrac{dy}{dt}&=&f(t)g(y)\\
 &\Longrightarrow &\tmfrac{1}{g(y)}dy&=&f(t)dt\\[2mm]
&\Longrightarrow &\bint \tmfrac{1}{g(y)}dy&=&\bint f(t)dt+C\\[2mm]
&\Longrightarrow & G(y)&=&F(t)&\mbox{wobei $F,G$ Stammfunktionen von $f,g$ sind}\\
&\Longrightarrow &y&=&G^{-1}(F(t)).\end{array} \]
Der folgende Satz besagt nun, dass unter geigneten Voraussetzungen diese naive Rechnung in der Tat eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=f(t)g(y)$ liefert.


\begin{satz}\label{satz:getrenntevariablen}
Es seien $I,J\subset \R$ offene Intervalle und es seien $f\colon I\to \R$ sowie $g\colon J\to \R$ zwei stetige Funktionen, so dass
$g(y)\ne 0$ f\"ur alle $y\in J$. Sei $(t_0,y_0)\in I\times J$ ein Punkt.
Wir definieren
\[ \begin{array}{rclcrcl} F\colon I&\to & \R &\mbox{ und }&G\colon J&\to & \R \\ t&\mapsto & \bint\limits_{t_0}^tf(s)ds&&
y&\mapsto & \bint\limits_{y_0}^y \tmfrac{1}{g(s)}ds.\end{array} \]
Wenn  $F(I)\subset G(J)$, dann ist \footnote{Die Voraussetzung $g(y)\ne 0$ impliziert,
dass $G'(y)=\frac{1}{g(y)}$ durchgehend das gleiche Vorzeichen besitzt, d.h.\ $G$ ist eine streng monotone
Funktion, insbesondere besitzt $G$ eine Umkehrfunktion.}
\[ \begin{array}{rcl} \varphi\colon I&\to & \R \\
t&\mapsto & G^{-1}(F(t)) \end{array} \]
die einzige L\"osung der Differentialgleichung $y'=f(t)g(y)$ auf dem Intervall $I$, welche die
Anfangsbedingung $\varphi(t_0)=y_0$ erf\"ullt.
\end{satz}

\begin{proof}
Wir zeigen zuerst, dass $\varphi\colon I\to \R$ in der Tat eine L\"osung ist. Es ist
\[ \begin{array}{rcll} \varphi'(t)&=& \big(G^{-1}(F(t))\big)'\\[2mm]
&=& (G^{-1})'(F(t))\cdot F'(t)&\mbox{\ref{satz:kettenregel}} \\[2mm]
&=& \tmfrac{1}{G'(G^{-1}(F(t)))} \cdot F'(t)&\mbox{Differentiation der Umkehrfunktion} \\[2mm]
&=&g(\underset{=\varphi(t)}{\underbrace{G^{-1}(F(t))}})\cdot f(t)\quad &\begin{array}{l}\mbox{Hauptsatz der Differential-}\\\mbox{und Integralrechnung}\end{array}\\
&=&g(\varphi(t))\cdot f(t)&\mbox{Definition von $\varphi$.}\end{array} \]
Wir haben also gezeigt, dass $\varphi$ eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=g(y)f(t)$ ist. Man kann zudem leicht verifizieren, dass $\varphi(t_0)=y_0$.

Wir zeigen nun noch die Eindeutigkeit der L\"osung.  Es sei also $\psi\colon I\to \R$ eine beliebige L\"osung der Differentialgleichung $y'=f(t)g(y)$ mit $\psi(t_0)=y_0$.
Wir wollen zeigen, dass $\psi(t)=G^{-1}(F(t))$, oder anders ausgedr\"uckt, dass $G(\psi(t))=F(t)$ f\"ur alle $t\in I$.
In der Tat  gilt
\[ \begin{array}{rcll}
G(\psi(t))&=&\int\limits_{\psi(t_0)}^{\psi(t)}\frac{1}{g(u)}\, du&\mbox{Definition von $G$}\\[2mm]
&=&\int\limits_{t_0}^{t}  \tmfrac{\psi'(s)}{g(\psi(s))}\, ds&\mbox{Substitutionsregel mit $u=\psi(s)$ r\"uckw\"arts angewandt}\\[2mm]
&=&\int\limits_{t_0}^t f(s)\,ds&\mbox{denn $\psi'(s)=f(s)g(\psi(s))$, da $\psi$ L\"osung von $y'=f(t)g(y)$}\\
&=&F(t)&\mbox{Definition von $F$.}\end{array} \]
\end{proof}



\begin{beispiel}\label{bsp:endlicherdefinitionsbereich}
Wir betrachten die Differentialgleichung
\begin{align*}\begin{array}{rclcl}
 \hspace{6cm} y'&=&2ty^2.
\intertext{Es sei $c\ne 0$. Wir suchen die L\"osung der Differentialgleichung  mit der Anfangsbedingung $\varphi(0)=c$.
Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen,
wir k\"onnen daher Satz~\ref{satz:getrenntevariablen} anwenden.
Wir berechnen also}
 F(t)&:=&\int\limits_0^t 2s\,ds&=&t^2, \\[2mm]
G(y)&:=& \int\limits_c^y\tmfrac{1}{s^2}\,ds&=&-\tmfrac{1}{y}+\tmfrac{1}{c}.
\intertext{Insbesondere ist}
G^{-1}(z)&=&\tmfrac{1}{\frac{1}{c}-z}
\intertext{Dann ist nach Satz~\ref{satz:getrenntevariablen} die Funktion}
 \varphi(t)&=&G^{-1}(F(t))&=&\smfrac{1}{\frac{1}{c}-t^2} \end{array} \end{align*}
\footnote{Mit der `unsinnigen' aber intuitiven L\"osungsmethode der obigen Bemerkung erhalten wir  L\"osungen der Differentialgleichung $y'=2ty^2$ wie folgt
\[ \begin{array}{rcrcl} \tmfrac{dy}{dt}=2ty^2 &\Longrightarrow &\tmfrac{1}{y^2}\,dy&=&2t\, dt\\[2mm]
&\Longrightarrow &\bint \tmfrac{1}{y^2}dy&=&\bint 2t\,dt+D\,\,
\Longrightarrow \,\, -\tmfrac{1}{y}\,=\,t^2+D
\,\,\Longrightarrow \,\,y\,=\,\tmfrac{-1}{t^2+D}.\end{array} \]
Die Anfangsbedingung wird dann f\"ur ein geeignetes $D$ gel\"ost.}
die einzige L\"osung der Differentialgleichung $y'=2ty^2$ mit $\varphi(0)=c$.
Wenn $c<0$, dann ist $\varphi(t)$ auf ganz $\R$ definiert.
Andererseits, wenn $c>0$, dann ist das  maximale Intervall auf dem $\varphi$ definiert ist, und welches $0$ enth\"alt, gegeben durch
\[ I\,=\,\big\{t\in \R\,\big|\,|t|<\sqrt{\tmfrac{1}{c}}=c^{-1/2}\big\}.\]
Anders ausgedr\"uckt, f\"ur $c>0$ divergiert  die L\"osung $\varphi(t)$ f\"ur $t\to \pm c^{-1/2}$. Insbesondere gibt es zur Anfangsbedingung $\varphi(0)=c>0$ keine L\"osung
\footnote{Hierbei verwenden wir, dass es nach Satz~\ref{satz:getrenntevariablen} keine weitere L\"osung, au\ss er der angegebenen, geben kann.}
 der Differentialgleichung,
welche auf ganz $\R$ definiert ist.
\footnote{Die Differentialgleichung $y'=2ty^2$ ist f\"ur alle $t,y\in \R$ definiert. Warum besagt dann Satz~\ref{satz:getrenntevariablen} nicht, dass auch die L\"osung auf ganz $\R$ existiert?}
\end{beispiel}

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\subsection{Homogene lineare Differentialgleichungen}
\label{section:linearhomogenn1}
Es sei $a\colon I\to \R$ eine stetige Funktion auf einem offenen Intervall $I$. Wir nennen eine Differentialgleichung der Form
\[ y'\,\,=\,\,a(t)y\]
\emph{homogene lineare Differentialgleichung}.
Eine homogene lineare Differentialgleichung ist ein wichtiger Spezialfall einer Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

\begin{satz}\label{satz:explos}
Es  $a\colon I\to \R$ eine stetige Funktion auf einem offenen Intervall $I$, es sei $t_0\in I$ und es sei
$c\in \R$. Dann besitzt die  homogene lineare Differentialgleichung
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6cm} y'&=&a(t)y
\intertext{genau eine L\"osung $\varphi\colon I\to \R$, welche die Anfangsbedingung $\varphi(t_0)=c$ erf\"ullt, n\"amlich}
 \varphi(t)&=&c\cdot \exp \bigg(\bint\limits_{t_0}^t a(s)\,ds\bigg).\footnotemark\end{array}
 \end{align*}
\footnotetext{Die `dreckige' L\"osung der Differentialgleichung mit getrennten Variablen liefert hierbei:\\
\[\textstyle \frac{dy}{dt}\,=\,a(t)y\,\,\Longrightarrow\,\,\frac{1}{y}dy\,=\,a(t)dt\,\,\Longrightarrow\,\,\int\frac{1}{y}dy\,=\,\int a(t)dt\,\,\Longrightarrow\,\,
\ln(y)dy\,=\,\int a(t)dt\,\,\Longrightarrow\,\,
y\,=\,\exp\big(\int a(t)dt\big).\]}
\end{satz}

\begin{beispiel}
Es sei $a\in \R$. Dann besagt der Satz insbesondere, dass es genau eine differenzierbare Funktion $\varphi\colon\R\to \R$ mit $\varphi'(t)=a\varphi(t)$ und $\varphi(t_0)=c$ gibt, n\"amlich $\varphi(t)=c\cdot e^{a(t-t_0)}$.
\end{beispiel}

Nachdem homogene lineare Differentialgleichungen ein Spezialfall von Differentialgleichungen mit getrennten Variablen sind, kann man Satz~\ref{satz:explos} insbesondere mithilfe von Satz~\ref{satz:getrenntevariablen} beweisen. Wir geben im Folgenden allerdings einen unabh\"angigen, etwas einfacheren Beweis.


\begin{proof}
Wir setzen also
\[  \varphi(t)\,\,=\,\,\textstyle c\cdot \exp \bigg(\bint\limits_{t_0}^t a(s)\,ds\bigg).\]
Es  folgt sofort aus $\exp(g(t))'=g'(t)\cdot \exp(g(t))$ und dem Hauptsatz der Integral-- und Differentialrechnung, dass $\varphi$ in der Tat eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=a(t)y$ ist. Zudem ist offensichtlich die Anfangsbedingung $\varphi(t_0)=c$ erf\"ullt.

Es sei nun $\psi\colon I\to \R$  eine beliebige L\"osung der Differentialgleichung mit $\psi(t_0)=c$.
Wir wollen zeigen, dass $\psi(t)=\varphi(t)$ f\"ur alle $t$. Nachdem $\psi(t_0)=\varphi(t_0)$ gen\"ugt es zu zeigen, dass die Quotientenfunktion $t\mapsto \frac{\psi(t)}{\varphi(t)}$ konstant ist.
Dies ist aber der Fall, denn
\[ \Big(\psi(t)\cdot \lmfrac{1}{\varphi(t)}\Big)'\,\,=\,\,\frac{\psi'(t)\varphi(t)-\psi(t)\varphi'(t)}{\varphi(t)^2}
\,\,=\,\,\frac{a(t)\psi(t)\varphi(t)-\psi(t)a(t)\varphi(t)}{\varphi(t)^2}\,\,=\,\,0.\]
\end{proof}

% Ende 20. Vorlesung

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\subsection{Inhomogene lineare Differentialgleichungen}
\label{section:linearinhomogenn1}

Es seien $a,b\colon I\to \R$ stetige Funktionen auf einem offenen Intervall $I$. Wir nennen eine Differentialgleichung der Form
\[ y'\,\,=\,\,a(t)y+b(t)\]
\emph{inhomogene lineare Differentialgleichung}. 

Sei nun $t_0\in I$ und $c\in \R$. Das Ziel ist eine L\"osung $\varphi$ der inhomogenen linearen Differentialgleichung
zu finden, welche die Anfangsbedingung $\varphi(t_0)=c$ erf\"ullt.
Sei dazu $\psi\colon I\to \R$ die L\"osung der \emph{homogenen} linearen Differentialgleichung $y'=a(t)y$ zu der Anfangsbedingung $\psi(t_0)=1$, welche wir beispielsweise mithilfe von Satz~\ref{satz:explos} finden k\"onnen.
Sei $u\colon I\to \R$ nun eine beliebige differenzierbare Funktion.
Wir wollen untersuchen, unter welchen Bedingungen das Produkt $\varphi(t)=\psi(t)u(t)$ eine L\"osung der inhomogenen linearen Differentialgleichung ist, welche
die Anfangsbedingung $\varphi(t_0)=c$ erf\"ullt.
Es ist
\[ \begin{array}{rcll}
 \varphi'&=&(\psi \cdot u)'\\
&=&\psi'\cdot u+\psi\cdot u'&\mbox{Produktregel}\\
&=&a\cdot \underset{=\varphi}{\underbrace{\psi \cdot u}}+\psi\cdot u'\quad &\mbox{da $\psi$ L\"osung von $y'=a(t)y$}\\
&=&a\varphi+\psi\cdot u'&\mbox{Definition von $\varphi$.}\end{array}\]
Wir sehen also, dass
\begin{align*} \begin{array}{rcll}
\hspace{6cm} 
\varphi'&=&a\varphi+b
\intertext{genau dann, wenn }
b&=&\psi\cdot u'. 
\end{array}\end{align*}
Nachdem $\psi$ und $b$ schon gegeben sind, m\"ussen wir nach $u$ `aufl\"osen', und dieses geschickt w\"ahlen. Die obige Gleichung gilt  genau dann, wenn
\begin{align*}\begin{array}{rcll}
\hspace{6cm}
u'&=&\frac{1}{\psi}b,
\intertext{oder anders ausgedr\"uckt, wenn}
 u(t)&=&\bint\limits_{t_0}^t \tmfrac{1}{\psi(s)}b(s)\,ds+\mbox{const}.\end{array} \end{align*}
Die Anfangsbedingung $\varphi(t_0)=c$ ist zudem genau dann erf\"ullt, wenn wir die Integrationskonstante gleich $c$ setzen.
Wir erhalten nun folgenden Satz:

\begin{satz}\label{satz:variationkonstanten1}
Es seien $a,b\colon I\to \R$  stetige Funktionen auf einem offenen Intervall $I$.
Es sei $t_0\in I$ und $c\in \R$. Die einzige L\"osung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} y'&=&a(t)y+b(t),
\intertext{welche die Anfangsbedingung $\varphi(t_0)=c$ erf\"ullt, ist gegeben durch die Funktion }
\hspace{5cm} \varphi(t)&=& \psi(t) \cdot \bigg(c+\bint\limits_{t_0}^t \tmfrac{1}{\psi(s)}b(s)\,ds\bigg)
\intertext{wobei}
 \psi(t)&=&\exp\bigg(\bint\limits_{t_0}^ta(s)\,ds\bigg).\end{array}\end{align*}
\end{satz}

\begin{proof}
Wir haben vor dem Satz schon bewiesen, dass $\varphi$ eine L\"osung der Differentialgleichung ist (und man kann das auch noch mal leicht durch Einsetzen nachweisen). Zudem ist $\psi(t_0)=1$, es folgt, dass $\varphi(t_0)=c$. Die Funktion $\varphi$ erf\"ullt also auch die gew\"unschte Anfangsbedingung.

Wir m\"ussen nun noch zeigen, dass $\psi$ die einzige L\"osung der inhomogenen linearen Differentialgleichung $ y'=a(t)y+b(t)$ ist, welche die Anfangsbedingung $\varphi(t_0)=c$ erf\"ullt.
Sei dazu $\phi(t)$ eine weitere L\"osung. Nachdem $\psi(t)\ne 0$ f\"ur alle $t$, existiert eine Funktion $v$, n\"amlich $v(t)=\frac{\phi(t)}{\psi(t)}$, so dass
$\phi(t)=\psi(t)v(t)$. Aber vor dem Satz hatten wir schon gesehen, dass es genau eine solche Funktion $v$ gibt, n\"amlich $v=u$. Es folgt also, dass  $\phi=\varphi$.
\end{proof}

\begin{beispiel}
Wir betrachten  die inhomogene lineare Differentialgleichung
\[ y'\,\,=\,\,2ty+t^3.\]
Wir suchen eine L\"osung, welche die Anfangsbedingung $\varphi(0)=c$ erf\"ullt.
Die zugeh\"orige homogene lineare Differentialgleichung $y'=2t\cdot y$ besitzt die L\"osung
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{5cm}\psi(t)&=&\exp\Big(\int\limits_0^t 2s\,ds\Big)\,\,=\,\,\exp(t^2),
\intertext{welche die Anfangsbedingung $\psi(0)=1$ erf\"ullt.
Aus dem obigen Satz folgt, dass}
 \varphi(t)&=&e^{t^2}\cdot
 \Big(c+\int\limits_0^t s^3e^{-s^2}\,ds\Big)
 \end{array}
\end{align*}
die L\"osung der inhomogenen linearen Differentialgleichung mit der  Anfangsbedingung $\varphi(0)=c$ ist.
Mithilfe der Substitution $u=-s^2$ und durch partielle Integration bestimmt man, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{3.7cm}
 \bint\limits_0^t s^3e^{-s^2}\,ds&=&\tmfrac{1}{2}-\tmfrac{1}{2}(t^2+1)e^{-t^2},
\intertext{also ist}
 \varphi(t)&=&\big(c+\tmfrac{1}{2}\big)e^{t^2}-\tmfrac{1}{2}(t^2+1).
\end{array} \end{align*}
\end{beispiel}


%======================================================
\section{Der Existenz-- und Eindeutigkeitssatz}

Es sei
\[ y'=f(t,y) \]
eine Differentialgleichung. Es stellen sich folgende Fragen:
\begin{enumerate}
\item Besitzt die Differentialgleichung immer eine L\"osung?
\item Ist eine L\"osung, zu einer gegebenen Anfangsbedingung, eindeutig bestimmt?
\end{enumerate}
In allen bisherigen Beispielen haben wir gesehen, dass beide Fragen bejaht werden k\"onnen. 
In diesem Kapitel wollen wir auf beide Fragen ganz allgemein eingehen.


%======================================================
\subsection{Lipschitz--stetige Abbildungen}
Bevor wir uns den oben genannten Fragen zuwenden, m\"ussen wir allerdings noch kurz ein etwas trockenes Kapitel abarbeiten.

\begin{definition}
Es sei $G\subset \R\times \R^n$ und es sei
\[ \begin{array}{rcl} f\colon G&\to & \R^n \\
(t,y)&\mapsto & f(t,y)\end{array} \]
eine Abbildung.
\begin{enumerate}
\item Wir sagen die Abbildung \emph{$f$ ist Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variablen  mit Lipschitzkonstante $L\geq 0$}, wenn
\[ \| f(t,y)-f(t,y')\|\,\,\leq\,\, L\|y-y'\| \quad \mbox{ f\"ur alle $(t,y),(t,y')\in G$.}\]
\item Wir sagen $f$ ist \emph{lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variable}, falls jeder Punkt $(a,b)\in G$ eine Umgebung $U$ besitzt,
so dass $f\colon G\cap U\to \R^n$ Lipschitz--stetig  bez\"uglich der $y$-Variablen  ist.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon\R\times \R&\to & \R\\
(t,y)&\mapsto &y^{\frac23} \end{array} \]
ist nicht lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variablen am Punkt $(0,0)$, insbesondere ist  $f$ nicht  Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variable.
\item
Die Funktion
\[ \begin{array}{rcl}\hspace{0.85cm} f\colon\R\times \R&\to & \R\\
(t,y)&\mapsto &t^{\frac{2}{3}}+y^2 \end{array} \]
ist nicht Lipschitz--stetig bez\"uglich der $t$-Variable, aber $f$ ist lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variable. Beides ist nicht schwierig zu zeigen, und ist Teil von \"Ubungs\-blatt~12.
\end{enumerate}
\end{beispiel}


Der folgende Satz besagt insbesondere, dass  stetig differenzierbare Abbildungen lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variablen sind.

\begin{satz}\label{satz:flokallipschitz}
Es sei $G\subset \R\times \R^n$ offen und es sei
\[ \begin{array}{rcl} f\colon G&\to & \R^n \\
(t,y)&\mapsto & f(t,y)\end{array} \]
eine Abbildung, welche bez\"uglich der Variablen $y=(y_1,\dots,y_n)$ stetig partiell differenzierbar ist.
Dann ist $f$ lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variablen.
\end{satz}


\begin{proof}
Wir betrachten den Fall $G=\R\times \R^n$, der allgemeine Fall wird ganz \"ahnlich bewiesen.
Sei also $(a,b)\in \R\times \R^n$. Es sei $r>0$. Wir betrachten folgende Umgebung von $(a,b)$:
\[ X\,\,:=\,\,\big\{ (t,y)\,\big|\,|t-a|\leq r\mbox{ und }\|y-b\|\leq r\big\},\]
welche  nach dem Satz~\ref{satz:heine-borel} von Heine--Borel kompakt ist.

Wir werden jetzt zeigen, dass $f$  Lipschitz-stetig bez\"uglich der $y$-Variablen auf $X$ ist. 
Es seien also $(t,y)$ und $(t,y+v)$ in $U$. Dann gilt 
\begin{align*} \begin{array}{rcll} 
\hspace{0.8cm}\|f(t,y)-f(t,y+v)\|
&\leq & \|v\|\cdot n^2\cdot \underset{\tiny{\begin{array}{c}t\in [0,1]\\i,j=1,...,n\end{array}}}{\max}\Big|\tmfrac{\partial f_i}{\partial y_j}(x+tv)\Big|  &\begin{array}{l}\mbox{nach Korollar~\ref{kor:mws}}\\\mbox{und Lemma~\ref{lem:matrixnorm}}\end{array}\\
&\leq & \|v\|\cdot n^2\cdot \underset{\tiny{\begin{array}{c}w\in X\\i,j=1,...,n\end{array}}}{\max}\Big|\tmfrac{\partial f_i}{\partial y_j}(w)\Big|\\
&=&(*)\\
\intertext{Die partiellen Ableitungen  $\frac{\partial f_i}{\partial y_j}$ sind nach Voraussetzung stetig, insbesondere sind sie nach Korollar~\ref{kor:kompaktminmax} auf der kompakten Menge $X$ durch eine Konstante $C$ beschr\"ankt. Also gilt}
(*)&\leq & \|v\|\cdot n^2\cdot C.\end{array}\end{align*}
Wir haben also gezeigt, dass $f$ auf $X$ Lipschitz-stetig bez\"uglich der $y$-Variablen mit Lipschitzkonstante $n^2\cdot C$ ist.
\end{proof}

%======================================================
\subsection{Der Existenzsatz  von Picard--Lindel\"of}
Es sei 
\[ y'\,\,=\,\,f(t,y)\]
eine Differentialgleichung. Wir m\"ochten nun gerne zeigen, dass es zu jeder Anfangsbedingung $\varphi(s)=a$ eine L\"osung $\varphi$ gibt, welche zumindest auf einem kleinen offenen Intervall $(s-\epsilon,s+\epsilon)$ definiert ist.\footnote{Im Beispiel nach Satz~\ref{satz:getrenntevariablen}  hatten wir gesehen, dass selbst wenn die Differentialgleichung auf $\R\times \R^n$ definiert ist, 
und wenn $f\colon G\to \R^n$ ein variables Vektorfeld, welches lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variablen  ist, dann ist eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=f(t,y)$ nicht notwendigerweise auf ganz $\R$ definiert. Wir k\"onnen also nicht hoffen, eine L\"osung auf ganz $\R$ zu finden.}


Das Hilfsmittel, welches wir dabei verwenden wollen, um solch ein $\varphi$ zu finden ist der Banachsche Fixpunktsatz~\ref{satz:fixpunkt}. Zur Erinnerung, dieser lautet wie folgt.

\begin{satz} \label{satz:fixpunkt2}\emph{\textbf{(Banachscher Fixpunktsatz)}}
Es sei $A$ eine abgeschlossene Teilmenge eines Banachraumes\footnote{Ein Banachraum ist ein  vollst\"andiger normierter Vektorraum, d.h.\ ein normierter Vektorraum, in dem jede Cauchyfolge konvergiert.} $(V,\|-\|)$ und es sei $T\colon A\to A$ eine Kontraktion\footnote{Eine Abbildung $T\colon A\to A$ hei\ss t \emph{Kontraktion}, wenn es eine Konstante $\Theta \in [0,1)$  gibt, so dass
\[ \|T(x)-T(y)\|\,\,\leq\,\, \Theta\|x-y\| \quad \mbox{ f\"ur alle $x,y\in A$.}\]}.
Dann besitzt $T$ genau einen Fixpunkt, d.h.\ es gibt genau ein $a\in A$ mit $a=T(a)$. 
\end{satz}

Es stellen sich nun verschiedene Fragen:
\begin{enumerate}
\item[(A)] Was soll der  Banachraum in unserem Fall sein?
\item[(B)] Wie k\"onnen wir das L\"osen  einer Differentialgleichung als Fixpunktproblem formulieren?
\item[(C)] Welche Kontraktion wollen wir verwenden?
\item[(D)] Welche abgeschlossene Teilmenge $A$ wollen wir verwenden?
\end{enumerate}
Wir suchen die L\"osung einer Differentialgleichung, d.h.\ wir suchen eine  Abbildung $I\to \R^n$ auf einem Intervall $I$. Oder noch mal anders ausgedr\"uckt, wir suchen einen Punkt im Vektorraum der Abbildungen $I\to \R^n$. 
Satz~\ref{satz:cburm} besagt, dass f\"ur eine beliebiges kompaktes Intervall $[a,b]$ der Vektorraum
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}\hspace{1cm} C([a,b],\R^n)&=&\mbox{Vektorraum aller  stetigen Abbildungen $f\colon [a,b]\to \R^n$}
\intertext{mit der Maximumsnorm, d.h.\ mit der Norm}
 \|\varphi\|&=&\max\big\{\|\varphi(t)\|\,\big|\, t\in [a,b]\big\}\end{array} \end{align*}
ein Banachraum ist.

Der folgende Satz erlaubt es uns nun das Auffinden einer Funktion $\varphi$ mit $\varphi'(t)=f(t,\varphi(t))$ als Fixpunktproblem umzuformulieren.


\begin{satz} \label{satz:intgleichung}
Es sei $I$ ein Intervall, es sei $A\subset \R^n$ offen, es sei $f\colon I\times A\to \R^n$ ein  variables Vektorfeld und es sei $(s,a)\in I\times A$.
F\"ur eine  Kurve  $\varphi\colon J\to \R^n$  auf einem Intervall $J\subset I$ sind folgende beiden Aussagen \"aquivalent:
\begin{enumerate}
\item $\varphi$ ist eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=f(t,y)$ bez\"uglich der Anfangsbedingung $\varphi(s)=a$,
\item es gilt
\[\textstyle \varphi(t)\,\,=\,\,a+\bbint\limits_s^t f(z,\varphi(z))\,dz\quad \mbox{ f\"ur alle $t\in J$.}\]
\end{enumerate}
\end{satz}

Der Satz besagt also, dass eine Funktion $\varphi$ eine Differentialgleichung erf\"ullt, genau dann, wenn $\varphi$ die in (2) formulierte Integralgleichung erf\"ullt. 

\begin{proof}
Nehmen wir zuerst an, dass $\varphi$ eine L\"osung der Differentialgleichung bez\"uglich der Anfangsbedingung $\varphi(s)=a$.
Dann folgt f\"ur alle $t\in J$, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{2cm} \bint\limits_s^t f(z,\varphi(z))\,dz&=&\bint\limits_s^t \varphi'(z)\,dz\,\,=\,\,\varphi(t)-\varphi(s)\,\,=\,\,\varphi(t)-a.
\intertext{Nehmen wir nun an, dass $\varphi$ die Integralgleichung erf\"ullt. Dann gilt
$\varphi(s)=a$ und aus dem  Hauptsatz der Differential-- und Integralrechnung folgt, dass}
 \varphi'(t)&=&\lmfrac{d}{dt}\bint\limits_s^t f(z,\varphi(z))\,dz\,\,=\,\,f(t,\varphi(t))\end{array}\end{align*}
 f\"ur alle $t\in J$. 
\end{proof}

Es sei nun also $y'=f(t,y)$ eine Differentialgleichung, sagen wir auf $\R\times \R^n$, wobei $f$ stetig ist. Der Einfachheithalber wollen wir nur die Differentialgleichung zur Anfangsbedingung $\varphi(0)=0$ l\"osen. Es sei erst einmal $\epsilon>0$ beliebig.
Wir k\"onnen jetzt folgenden Ansatz versuchen. Wir betrachten den Banachraum
$C([-\epsilon,\epsilon],\R^n)$ zusammen mit der Abbildung\label{page:definition-kontraktion-t}
\[ \begin{array}{rcl}T\colon C([-\epsilon,\epsilon],\R^n)&\to & C([-\epsilon,\epsilon],\R^n)\\
\psi &\mapsto & \left( \begin{array}{rcl} T(\psi)\colon [-\epsilon,\epsilon] &\to & \R^n\\
t &\mapsto & \bint\limits_0^t f(z,\psi(z))\,dz\end{array}\right). \end{array} \]
Nach Satz~\ref{satz:intgleichung} gen\"ugt es nun zu zeigen, dass $T$ einen Fixpunkt besitzt.\footnote{Ein Fixpunkt von $T$ ist also ein $\varphi \in C([-\epsilon,\epsilon],\R^n)$ mit 
\[ \varphi(t)\,\,=\,\,T(\varphi)(t)\,\,=\,\,\textstyle \bint\limits_0^t f(z,\psi(z))\,dz\quad\mbox{f\"ur alle $t\in [-\epsilon,\epsilon]$.}\]} Aus dem Banachschen Fixpunktsatz wiederum folgt, dass wir nun noch eine abgeschlossene Teilmenge $A\subset C([-\epsilon,\epsilon],\R^n)$ finden m\"ussen, so dass $T\colon A\to A$ eine Kontraktion ist. 

Wir m\"ussen also besser verstehen, unter welchen Voraussetzungen die Abbildung $T$ kontrahierend ist. 
Es seien nun $\varphi,\psi\in  C([-\epsilon,\epsilon],\R^n)$. Dann gilt
\[\begin{array}{rcll}
\hspace{1.5cm}\big\| T(\varphi)-T(\psi)\big\|&=&\underset{t\in [-\epsilon,\epsilon]}{\operatorname{max}}\Big\| T(\varphi)(t)-T(\psi)(t)\Big\|\\
&=&
\underset{t\in [-\epsilon,\epsilon]}{\operatorname{max}}\Big\|\bint\limits_0^t f(z,\varphi(z))-f(z,\psi(z))\,dz\Big\|\\
&\leq& \underset{t\in [-\epsilon,\epsilon]}{\operatorname{max}}\Big|\bint\limits_0^t \big\| f(z,\varphi(z))-f(z,\psi(z))\big\|\,dz\Big| &\mbox{ nach Lemma~\ref{lem:intnormen}}\\
&=&(*)\end{array} \]
Um zu zeigen, dass $T$ kontrahierend ist m\"ussen wir zuallermindest $(*)$ durch $\|\varphi-\psi\|$ absch\"atzen. Anders ausgedr\"uckt, wir m\"ussen  den Integranden durch $\|\varphi-\psi\|$ absch\"atzen.
Wir k\"onnen dies dadurch bewerkstelligen, dass  wir im Folgenden annehmen, dass $f$ Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variablen mit einer Lipschitz--Konstante $L>0$ ist. Dann gilt
\[ \begin{array}{rcl}
\hspace{0.15cm}(*)&=&\underset{t\in [-\epsilon,\epsilon]}{\operatorname{max}}\Big|\bint\limits_0^t \big\| \underset{\leq L\|\varphi(z)-\psi(z)\|\leq L\|\varphi-\psi\|}{\underbrace{f(z,\varphi(z))-f(z,\psi(z))}}\big\|\,dz\Big|
\\
&\leq &\underset{t\in [-\epsilon,\epsilon]}{\operatorname{max}}\Big|  \bint\limits_0^t L\|\varphi-\psi\|\,dz\Big|\\[2mm]
&\leq & L\cdot |t| \cdot \|\varphi-\psi\|\\[1mm]
&\leq & L\epsilon \cdot \|\varphi-\psi\|.\end{array}\]
Wenn wir beispielsweise $\epsilon=\frac{1}{2L}$ w\"ahlen, dann ist also die Abbildung $T$ kontrahierend, mit Kontraktionsfaktor $\frac{1}{2}$.
\\

Wir sehen also, dass es hilfreich ist anzunehmen, dass $f$   Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variablen ist. Nachdem wir uns nur Gedanken \"uber L\"osungen auf kleinen Intervallen machen, gen\"ugt es wohl anzunehmen, dass  $f$ lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variablen ist. Wir k\"onnen also jetzt den Hauptsatz von diesem Kapitel formulieren.

\begin{satz} \textbf{\emph{(Existenzsatz von Picard--Lindel\"of)}}\label{satz:existenz}
Es sei $I$ ein Intervall, es sei $A\subset \R^n$ offen und  es sei $f\colon I\times A\to \R^n$ ein  variables Vektorfeld,  welches lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$--Variable ist.
Dann gibt es zu jedem $(s,a)\in G$ ein $\epsilon>0$ und eine L\"osung
$\varphi\colon (s-\epsilon,s+\epsilon)\to \R^n$
der  Differentialgleichung
\[ y'\,\,=\,\,f(t,y),\]
welche die  Anfangsbedingung $\varphi(s)=a$ erf\"ullt.
\end{satz}




\begin{proof}
Wir beweisen den Existenzsatz f\"ur den Spezialfall $I=\R$ und $A=\R^n$ sowie  $s=0$ und $a=0$.  Der allgemeine Fall wird ganz \"ahnlich bewiesen. 

Nach Voraussetzung ist  $f$  lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$--Variable. Es existiert also ein $\delta>0$ und ein $r>0$, so dass
die Einschr\"ankung von $f$ auf
\[ Q\,\,:=\,\,\big\{ (t,y)\in \R\times \R^n\,\Big|\, t\in [-\delta,\delta]\mbox{ und } \|y\|\leq r\big\}\]
Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$--Variable mit einer  Lipschitzkonstante $L>0$ ist.
Es folgt aus der Diskussion vor Satz~\ref{satz:existenz}, dass f\"ur Funktionen auf $[-\epsilon,\epsilon]$ gilt
\[ \|T(\varphi)-T(\psi)\|\,\,\leq\,\,L\epsilon \|\varphi-\psi\|,\]
\emph{solange} auf dem Definitionsbereich  gilt, dass  $(z,\varphi(z))\in Q$ und $(z,\psi(z))\in Q$. Insbesondere ist nun f\"ur jedes $\epsilon\in (0,\delta]$ mit $\epsilon\leq \frac{1}{2L}$ die Abbildung
\[ T\colon B:=\big\{ \psi\in C([-\epsilon,\epsilon],\R^n)\,\big|\, \|\psi\|\leq r\big\}\,\,\to\,\,  C([-\epsilon,\epsilon],\R^n)\]
kontrahierend  mit Kontraktionsfaktor $\frac{1}{2}$.

Die Menge $B$ ist abgeschlossen in $C([-\epsilon,\epsilon],\R^n)$.\footnote{Dies ist eine ganz allgemeine Aussage: f\"ur jeden metrischen Raum $(X,d)$, jedes $x\in X$ und jedes $r\geq 0$, ist $B:=\{y\in X\,|\, d(x,y)\leq r\}\subset X$ abgeschlossen.}
Wir m\"ussen nun also noch \"uberpr\"ufen, ob $T(B)\subset B$.
Es sei also $\psi\in B$. Wir wollen also wissen, ob $\|T(\psi)\|\leq r$.
Es gilt 
\[ \begin{array}{rcll} \|T(\psi)\|&=&\underset{t\in [-\epsilon,\epsilon]}{\operatorname{max}}\,\|T(\psi)(t)\|\\
&=&\underset{t\in [-\epsilon,\epsilon]}{\operatorname{max}}\,\bigg\| \bint\limits_0^tf(z,\psi(z))\,dz\bigg\|&\mbox{Definition von $T(\psi)$}\\
&\leq& \underset{t\in [-\epsilon,\epsilon]}{\operatorname{max}}\,\Big|\bint\limits_0^t\|f\underset{\in Q}{\underbrace{(z,\psi(z)}})\|\,dz \Big|&\mbox{ nach Lemma \ref{lem:intnormen}}\\
&\leq& \epsilon\cdot \underset{=:M}{\underbrace{\max\big\{\|f(t,y)\|\,\big|\, (t,y)\in Q\big\}}}\\
&=&\epsilon \cdot M.\end{array}\]
Damit $T(B)\subset B$ muss auch $\|T(\psi)\|\leq r$ gelten. Dies k\"onnen wir dadurch erreichen, dass $\epsilon\cdot M\leq r$, d.h.\ in dem wir sicher stellen, dass $\epsilon\leq \frac{r}{M}$. 

Zusammengefasst haben wir nun folgende Aussage bewiesen. F\"ur \label{page:beweis-von-existenzsatz}
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \epsilon&=&\min\big\{\delta,\tmfrac{r}{M},\tmfrac{1}{2L}\big\}
\intertext{und}
\hspace{4cm}
A&=& \big\{ \psi\in C([-\epsilon,\epsilon],\R^n)\,\Big|\, \|\psi\|\leq r\big\}.\end{array} \end{align*}
schr\"ankt sich $T$ ein auf eine kontrahierende Abbildung $T\colon A\to A$.
Diese Abbildung hat also nach dem Banachschen Fixpunktsatz einen Fixpunkt $\varphi\in  C([-\epsilon,\epsilon],\R^n)$. Es folgt aus  Satz~\ref{satz:intgleichung}, dass die Abbildung $\varphi$ eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=f(t,y)$ ist.
\end{proof}

% Ende 21. Vorlesung

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\subsection{Das Picard-Lindel\"of Iterationsverfahren}
In dem Beweis vom  Banachschen Fixpunktsatz~\ref{satz:fixpunkt} hatten wir folgende, etwas st\"arkere Aussage bewiesen:
Es sei $A$ eine abgeschlossene Teilmenge eines Banachraumes $(V,\|-\|)$ und es sei $T\colon A\to A$ eine Kontraktion.
Es sei $v_0\in A$. Dann konvergiert die durch $v_k:=T(v_{k-1})$ rekursiv definiert Folge gegen ein $v\in A$
mit $T(v)=v$.


Es sei im Folgenden $f\colon  \R\times \R^n\to  \R^n$ eine Abbildung, welche lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variablen ist
und es sei zudem $(s,a)\in \R\times \R^n$. Wir suchen eine L\"osung der Differential\-gleichung
\[ y'\,\,=\,\,f(t,y),\]
welche die Anfangsbedingung $\varphi(s)=a$ erf\"ullt. 
Es sei nun $\varphi_0\colon [s-\epsilon,s+\epsilon]\to \R^n$ erst einmal eine beliebige differenzierbare Abbildung mit $\varphi_0(s)=a$.\footnote{Wir k\"onnten beispielsweise die konstante Funktion $\varphi_0(t)=a$ w\"ahlen.}
Wir wenden nun die Abbildung $T$, welche wir auf Seite~\pageref{page:definition-kontraktion-t} eingef\"uhrt hatten mehrmals an
\footnote{In unserer etwas verallgemeinerten Situation, bei der wir die Anfangsbedingung $\varphi(s)=a$ betrachten, ist $T$ gegeben durch
\[ \begin{array}{rcl}T\colon C([s-\epsilon,s+\epsilon],\R^n)&\to & C([s-\epsilon,s+\epsilon],\R^n)\\
\varphi &\mapsto & \left( \begin{array}{rcl} T(\varphi)\colon [s-\epsilon,s+\epsilon] &\to & \R^n\\
t &\mapsto & a+\bint\limits_s^t f(z,\varphi(z))\,dz\end{array}\right). \end{array} \]}
und wir erhalten  die Folge von Funktionen
\[ \begin{array}{rcl} \varphi_0(t)&&\\
\varphi_1(t)&:=&a+\int\limits_s^t f(z,\varphi_0(z))\,dz \\[2mm]
\varphi_2(t)&:=&a+\int\limits_s^t f(z,\varphi_1(z))\,dz \\[2mm]
\varphi_3(t)&:=&a+\int\limits_s^t f(z,\varphi_2(z))\,dz \\
\vdots &&\end{array} \]
F\"ur geeignetes $\epsilon>0$ folgt aus der obigen Formulierung des Banachschen Fixpunktsatzes und aus der Diskussion auf Seite~\pageref{page:beweis-von-existenzsatz}, dass diese Folge von Funktionen im Banachraum
$C([s-\epsilon,s+\epsilon],\R^n)$ gegen eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=f(t,y)$ konvergiert.

Betrachten wir beispielsweise die Differentialgleichung $y'=2ty$. Wir wollen eine L\"osung finden, welche die Anfangsbedingung $\varphi(0)=a$ erf\"ullt. Wir setzen 
\begin{align*}
\begin{array}{rclclcl}\hspace{1cm}\varphi_0(t)&=&a.
\intertext{Dann erhalten wir die Funktionenfolge}
\varphi_1(t)&=&a+\int\limits_0^t 2z\varphi_0(z)\,dz &=&a+\int\limits_0^t 2za\,dz&=&a\left(1+t^2\right)\\[2mm]
\varphi_2(t)&=&a+\int\limits_0^t2 z\varphi_1(z)\,dz
&=&a+\int\limits_0^t 2za(1+z^2)\,dz&=&a\left(1+t^2+\tmfrac{t^4}{2}\right)\hspace{1cm} \\
\vdots &&\end{array} \end{align*}
Mit einem Induktionsargument kann man nun beweisen, dass f\"ur jedes $k\in \N$ gilt, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{1.1cm}\varphi_k(t)&=&a\left(1+t^2+\tmfrac{t^4}{2}+\tmfrac{t^6}{3!}+\dots+\tmfrac{t^{2k}}{k!}\right)
\intertext{F\"ur jedes $b>0$ konvergiert diese Folge von Funktionen im Banachraum $C([-b,b],\R)$ gegen }
\varphi(t)&:=&\underset{k\to \infty}{\lim}\varphi_k(t)\,\,=\,\,
\underset{k\to \infty}{\lim}a\left(1+t^2+\tmfrac{t^4}{2}+\tmfrac{t^6}{3!}+\dots+\tmfrac{t^{2k}}{k!}\right)\,\,=\,\,a\lmsum{k=0}{\infty} \tmfrac{(t^2)^k}{k!}\,\,=\,\,ae^{t^2}.\end{array} \end{align*}
Die Funktion $\varphi(t)=ae^{t^2}$ ist also eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=2ty$. Dies kann man nat\"urlich auch durch Einsetzen leicht verifizieren.

\begin{bemerkung}
Es ist nat\"urlich unwahrscheinlich, dass f\"ur eine beliebige vorgegebene Differentialgleichung, die Rechnung so sch\"on aufgeht, wie in dem gerade durchgef\"uhrten Beispiel $y'=2ty$. 
Das Picard-Lindel\"of Iterationsverfahren kann aber durchaus verwendet werden, um N\"aherungsl\"osungen von Differentialgleichungen zu finden.
\end{bemerkung}


%======================================================
\subsection{Der Eindeutigkeitssatz}
Wir gehen nun der Frage nach, ob eine L\"osung einer Differentialgleichung zu einer vorgegebenen Anfangsbedingung immer eindeutig  ist.

\begin{beispiel}
Wir betrachten die Differentialgleichung
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{6cm}y'&=&y^{\frac{2}{3}}.
\intertext{Offensichtlich ist }
\varphi(t)&:=&0
\intertext{eine L\"osung der Differentialgleichung mit $\varphi(0)=0$. Andererseits gilt f\"ur}
 \psi(t)&:=&\tmfrac{1}{27}t^3, 
\intertext{dass $\psi(0)=0$ und}
\psi'(t)&=&\tmfrac{1}{9}t^2\,\,=\,\,\big(\tmfrac{1}{27}t^3\big)^{\frac{2}{3}}\,\,=\,\,\psi(t)^{\frac{2}{3}}.\end{array}\end{align*}
Wir sehen also, dass $\psi(t)$ ebenfalls eine L\"osung f\"ur die gleiche Anfangsbedingung ist.
Die Differentialgleichung $y'=y^{\frac{2}{3}}$ besitzt also keine eindeutig bestimmte L\"osung zur Anfangsbedingung $\varphi(0)=0$.

Man kann das obige Beispiel noch wie folgt verallgemeinern: es sei $a<0$ und $b>0$, dann kann man leicht nachweisen, dass
\[ \phi(t)\,\,:=\,\,\left\{ \begin{array}{ll}\frac{1}{27}(t-a)^3, &\mbox{ f\"ur }t<a, \\[2mm]
0,&\mbox{ f\"ur }t\in [a,b],\\[2mm]
\frac{1}{27}(t-b)^3, &\mbox{ f\"ur }t>b.\end{array} \right.\]
ebenfalls eine L\"osung der Differentialgleichung ist, welche die Anfangsbedingung $\phi(0)=0$ erf\"ullt.
\end{beispiel}

Wir sehen also, dass eine Differentialgleichung im Allgemeinen keine eindeutig bestimmte L\"osung besitzt.
Im Hinblick auf die Tatsache, dass in unserem Beispiel die Funktion $f(y)=y^{\frac{2}{3}}$ nicht Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variablen ist, und im Hinblick auf  den Existenzsatz~\ref{satz:existenz} von Picard--Lindel\"of liegt es nahe sich einzuschr\"anken, auf variable Vektorfelder $f(t,y)$, welche   lokal Lipschitz--stetig in der $y$--Variable sind. In der Tat gilt folgender Satz.



\begin{satz} \textbf{\emph{(Eindeutigkeitssatz)}}\label{satz:eindeutig}
Es sei $I\subset \R$ ein offenes Intervall, $A\subset \R^n$ eine offene Teilmenge und es sei $f\colon I\times A\to \R^n$ eine stetige Abbildung, welche lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$--Variablen ist.
Wenn die Differentialgleichung
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 y'&=&f(t,y)
\intertext{zwei L\"osungen $ \varphi,\psi\colon J\to \R^n$ auf einem offenen Intervall besitzt, welche an einem Punkt $s\in J$ \"ubereinstimmen, dann ist}
\hspace{6.1cm} \varphi(t)&=&\psi(t) \quad \mbox{ f\"ur alle $t\in J$.}\end{array} \end{align*}
\end{satz}

Der Eindeutigkeitssatz \ref{satz:eindeutig} besagt also insbesondere, dass die L\"osung von Satz~\ref{satz:existenz} auf dem Intervall $(s-\epsilon,s+\epsilon)$ zudem eindeutig ist.

Bevor wir den Eindeutigkeitssatz~\ref{satz:eindeutig} beweisen formulieren wir zuerst folgendes Lemma, welches ein Kriterium daf\"ur gibt, dass zwei Funktionen auf $\R$ \"ubereinstimmen. 

\begin{lemma}\label{lem:fgleichg}
Es seien $f,g\colon\R\to \R^n$ zwei stetige Funktionen. Wir nehmen an, dass folgende zwei Aussagen erf\"ullt sind:
\begin{enumerate}
\item es gibt ein $s\in \R$ mit $f(s)=g(s)$,
\item zu jedem  $b\in \R$ mit $f(b)=g(b)$ gibt es ein $\epsilon>0$, so dass
$f$ und $g$ auf dem Intervall $(b-\epsilon,b+\epsilon)$ \"ubereinstimmen.
\end{enumerate}
Dann stimmen $f$ und $g$ auf ganz $\R$ \"uberein.
\end{lemma}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{fgleichg.pstex_t}
\caption{Skizze f\"ur den Beweis von Lemma~\ref{lem:fgleichg}}
\label{fig:fgleichg}
\end{center}
\end{figure}

\begin{proof}
Wir beweisen zuerst, dass $f$ und $g$ auf dem Intervall $[s,\infty)$ \"ubereinstimmen.
Nehmen wir an, dies sei nicht der Fall, es gibt also ein $x>s$ mit $f(x)\ne g(x)$. Wir betrachten
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 \hspace{3cm} T&:=&\big\{ t\geq s\,\big|\, \mbox{die Funktionen $f$ und $g$ stimmen auf $[s,t]$ \"uberein}\big\}
\intertext{Nach unserer Annahme ist $s\in T$ und $T$ ist durch $x$ nach oben beschr\"ankt. Wir setzen}
 b&:=&\sup(T).\end{array} \end{align*}
Aus der Definition von $b$ folgt, dass es f\"ur jedes $\epsilon>0$ ein $t\in [b-\epsilon,b]$ mit $f(t)=g(t)$ gibt. Aus der Stetigkeit von $f$ und $g$ erhalten wir, dass $f(b)=g(b)$.
Nach Voraussetzung gibt es dann aber ein $\epsilon>0$, so dass $f$ und $g$ auf dem Intervall $(b-\epsilon,b+\epsilon)$ \"ubereinstimmen. Nachdem $f$ und $g$ zudem auf $[s,b]$ \"ubereinstimmen, sehen wir also, dass $f$ und $g$ sogar auf dem Intervall $[s,b+\epsilon)$ gleich sind. Wir sehen also, dass $b+\frac{\epsilon}{2}\in T$, im Widerspruch zur Definition von $b$.
Wir haben also bewiesen, dass $f$ und $g$ auf dem Intervall $[s,\infty)$ \"ubereinstimmen.

Die Aussage, dass $f$ und $g$ auf dem Intervall $(-\infty,s]$ ebenfalls \"ubereinstimmen wird ganz analog bewiesen.
\end{proof}


Wir wenden uns jetzt dem Beweis des Eindeutigkeitssatzes zu:

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:eindeutig}]
Wir behandeln nur den Fall, dass $I\times A=\R\times \R^n$ und $J=\R$. Der allgemeine Fall wird ganz \"ahnlich bewiesen. Es sei also $f\colon \R\times \R^n\to \R^n$ eine stetige Abbildung, welche lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$--Variablen ist. Zudem seien  $ \varphi,\psi\colon \R\to \R^n$ zwei L\"osungen der Differentialgleichung $y'=f(t,y)$, welche an einem Punkt $s\in I$ \"ubereinstimmen. Wir wollen zeigen, dass $\varphi(t)=\psi(t)$ f\"ur alle $t\in \R$.
Nach Lemma~\ref{lem:fgleichg}
gen\"ugt es folgende Behauptung zu beweisen.

\begin{behauptung}
Es sei $b\in \R$, so dass $\varphi(b)=\psi(b)$. Dann existiert ein $\epsilon>0$, so dass
\[ \varphi(t)\,\,=\,\,\psi(t) \quad \mbox{ f\"ur alle $t\in (b-\epsilon,b+\epsilon)$.}\]
\end{behauptung}

Um die Notation etwas zu vereinfachen  nehmen wir zudem an, dass  $\varphi(b)=\psi(b)=0$. 
Der allgemeine Fall wird ganz analog bewiesen. Das Ziel ist mithilfe der Eindeutigkeitsaussage vom Banachschen Fixpunktsatz~\ref{satz:fixpunkt} zu beweisen, dass $\varphi$ und $\psi$ auf einem kleinen Intervall \"ubereinstimmen.

Nach Voraussetzung ist  $f$  lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$--Variable. Es existiert also ein $\delta>0$ und ein $r>0$, so dass
die Einschr\"ankung von $f$ auf
\[ Q\,\,:=\,\,\big\{ (t,y)\in \R\times \R^n\,\Big|\, t\in [b-\delta,b+\delta]\mbox{ und } \|y\|\leq r\big\}\]
Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$--Variable ist.
Nachdem $\varphi(b)=0$ und $\psi(b)=0$ und nachdem $\varphi$ und $\psi$ stetig sind, existiert ein $\eta \in (0,\delta]$, so dass $\|\varphi(t)\|\leq r$ und $\|\psi(t)\|\leq r$ f\"ur alle $t\in [b-\eta,b+\eta]$. 
 
Im Beweis vom Existenzsatz~\ref{satz:existenz} von Picard-Lindel\"of hatten wir gesehen, dass es ein $\epsilon\in (0,\eta]$ gibt, so dass die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl}T\colon C([b-\epsilon,b+\epsilon],\R^n)&\to & C([b-\epsilon,b+\epsilon],\R^n)\\
\gamma &\mapsto & \left( \begin{array}{rcl} T(\gamma)\colon [b-\epsilon,b+\epsilon] &\to & \R^n\\
t &\mapsto & \bint\limits_b^t f(z,\gamma(z))\,dz\end{array}\right). \end{array} \]
sich einschr\"ankt auf eine Kontraktion $T\colon A\to A$ auf der abgeschlossenen Teilmenge 
\[ \hspace{1.5cm}  A\,\,:=\,\,\big\{\gamma\in C([b-\epsilon,b+\epsilon],\R^n)\,\big|\,\|\gamma\|\leq r\big\} \]
von $C([-\gamma,\gamma],\R^n)$.
Nachdem Banachschen Fixpunktsatz~\ref{satz:fixpunkt} besitzt also $T\colon A\to A$ \emph{genau einen} Fixpunkt.

Nachdem $\epsilon\leq \eta$ liegen die  Einschr\"ankungen von $\varphi$ und $\psi$ auf $[b-\epsilon,b+\epsilon]$  in $A$. Zudem  folgt aus Satz~\ref{satz:intgleichung}, dass diese  Einschr\"ankungen von $\varphi$ und $\psi$ Fixpunkte von $T$ sind. Es folgt also, dass 
die Einschr\"ankungen von $\varphi$ und $\psi$ auf $[b-\epsilon,b+\epsilon]$ \"ubereinstimmen.
Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.
\end{proof}



%======================================================
\section{Differentialgleichungen h\"oherer Ordnung}

\begin{definition}
Es sei $G\subset \R\times \R^n$ eine Teilmenge und $f\colon G\to \R$ eine stetige Funktion.
Wir nennen
\begin{align*} 
\begin{array}{rcl}
 \hspace{4cm} y^{(n)}&=&f\left(t,y,y',\dots,y^{(n-1)}\right)
\intertext{eine \emph{Differentialgleichung $n$--ter Ordnung}.
Eine L\"osung davon ist eine $n$--mal differenzierbare Funktion
$\varphi\colon I\to \R$ auf einem offenen Intervall $I$, mit der Eigenschaft, dass}
  \varphi^{(n)}(t)&=&f\big(t,\varphi(t),\varphi'(t),\dots,\varphi^{(n-1)}(t)\big)\quad \mbox{ f\"ur alle $t\in I$.}\end{array}\end{align*}
\footnote{Damit die rechte Seite definiert ist, muss f\"ur alle $t\in I$ gelten, dass
\[ \left(t,\varphi(t),\varphi'(t),\dots,\varphi^{(n-1)}(t)\right)\,\in \,G.\]}
\end{definition}

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die Differentialgleichung zweiter Ordnung
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{6cm} y''&=&-y
\intertext{wird gel\"ost von den Funktionen $\sin(t)$ und $\cos(t)$. Genauer gesagt, sogar von allen Linearkombinationen}
 \varphi(t)&=&a\sin(t)+b\cos(t), \mbox{ wobei }a,b\in \R.\end{array}\end{align*}
Insbesondere ist also zur Anfangsbedingung $\varphi(0)=0$ jede Funktion von der Form $\varphi(t)=a\sin(t)$ eine L\"osung. Wir sehen also, dass es keine eindeutige L\"osung gibt, wenn wir nur den Anfangspunkt festlegen. Wir werden in Satz~\ref{satz:exein} sehen, dass man  f\"ur Differentialgleichungen $n$--ter Ordnung
die Anfangswerte f\"ur die ersten $(n-1)$ Ableitungen vorgegeben muss, um eine eindeutige L\"osung zu erhalten.
\item Wir betrachten einen K\"orper der Masse $m$ auf der reellen Achse. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{6.5cm} y''&=&\tmfrac{1}{m}F,
\intertext{wobei $F$ die Kraft ist, welche auf den K\"orper wirkt. Die Kraft $F$ kann dabei von der Zeit, vom Ort, aber auch von der Geschwindigkeit (z.B.\ Reibungskraft) abh\"angen. Anders ausgedr\"uckt, die Bahn des K\"orpers ist bestimmt durch die Differentialgleichung zweiter Ordnung }
 y''&=&\tmfrac{1}{m}F(t,y,y').
 \end{array}
 \end{align*}
 \item Wir betrachten die Differentialgleichung zweiter Ordnung
 \[ y''\,\,=\,\,-g,\]
wobei $g\in \R$ die Gravitationskonstante ist.
Diese beschreibt die Bahn eines K\"orpers auf der $z$-Achse, welcher der Schwerkraft ausgesetzt ist.
Die Bahn $\varphi$ h\"angt dabei nicht nur vom Anfangspunkt $\varphi(0)$ sondern auch von der Anfangsgeschwindigkeit $\varphi'(0)$ ab. Genauer gesagt, die L\"osung der  Differentialgleichung $y''=-g$ mit Anfangsbedingungen $\varphi(0)=z$ und $\varphi'(0)=v$ ist gegeben durch
\[ \varphi(t)=z+vt-\tmfrac{1}{2}gt^2.\]
\item
Die Funktionen  $\varphi(t)=-\sin(t)+\cos(t)$ und $\psi(t)=e^t$ sind L\"osungen der Differentialgleichung 4. Ordnung
\[ y^{(4)}\,\,=\,\,\tmfrac{1}{2}(y+y'). \]
In diesem Fall gilt  $\varphi(0)=1=\psi(0)$, d.h. die beiden L\"osungen haben den gleichen Anfangswert. Wir sehen also, dass auch `sehr verschiedene' Funktionen eine Differentialgleichung l\"osen k\"onnen.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

Wir werden jetzt sehen, dass man das Studium von Differentialgleichungen h\"oherer Ordnung auf das Studium von Differentialgleichungen 1. Ordnung zur\"uckf\"uhren kann.

F\"ur eine Differentialgleichung $n$--ter Ordnung
\[  y^{(n)}\,\,=\,\,f\big(t,y,y',\dots,y^{(n-1)}\big)\]
schreiben wir im Folgenden
\[ Y\,:=\,\begin{pmatrix} y_0\\ \vdots \\ y_{n-2} \\ y_{n-1}\end{pmatrix}\]
 und wir betrachten die Abbildung 
 \[ \begin{array}{rcl} F\colon \R\times \R^n&\to &\R^n\\
 (t,Y)&\mapsto& F(t,Y)\,:=\,F(t,\begin{pmatrix} y_0\\ \vdots \\ y_{n-2} \\ y_{n-1}\end{pmatrix})\,=\,\begin{pmatrix} y_1\\ \vdots \\ y_{n-1}\\ f(t,y_0,\dots,y_{n-1})\end{pmatrix}.\end{array} \]
Etwas vereinfacht ausgedr\"uckt schiebt also $F$ die letzten $n-1$ Koordinaten `um eins nach oben' und ersetzt die letzte Koordinate durch $f(t,Y)=f(t,y_0,\dots,y_{n-1})$.

Die folgenden beiden Lemmas besagen nun, dass die L\"osungen der Differentialgleichung $n$--ter Ordnung
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6cm} y^{(n)}&=&f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})
\intertext{in ein--eindeutiger Beziehung zu den L\"osungen der Differentialgleichung erster Ordnung}
Y'&=&F(t,Y)
\end{array} \end{align*}
in $n$ Variablen stehen.

\begin{lemma} \label{lem:equ1}
Es sei $\varphi\colon I\to \R$  eine L\"osung der Differentialgleichung $n$-ter Ordnung
\[ y^{(n)}\,\,=\,\,f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)}).\]
Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon I&\to& \R^n \\
t&\mapsto & \Phi(t):=\begin{pmatrix} \varphi(t) \\ \varphi'(t) \\ \vdots \\ \varphi^{(n-1)}(t)\end{pmatrix} \end{array} \]
eine L\"osung der Differentialgleichung $Y'=F(t,Y)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Dieses Lemma folgt sofort durch Einsetzen. In der Tat, es  sei $\varphi\colon I\to \R$  eine L\"osung der Differentialgleichung $n$-ter Ordnung
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{3.2cm} y^{(n)}&=&f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)}).
\intertext{D.h.\ es ist}
\varphi^{(n)}(t)&=&f\big(t,\varphi(t),\varphi'(t),\dots,\varphi^{(n-1)}(t)\big).
\intertext{Dann gilt}
 \Phi'(t)&=&\begin{pmatrix} \varphi'(t) \\ \varphi''(t) \\ \vdots \\ \varphi^{(n)}(t)\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \varphi'(t) \\ \varphi''(t) \\ \vdots \\ f\big(t,\varphi(t),\dots,\varphi^{(n-1)}(t)\big)\end{pmatrix}\,\,=\,\,F(t,\Phi(t)).
\end{array} \end{align*}
\end{proof}


\begin{lemma} \label{lem:equ2}
Es sei  $\Phi=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)\colon I\to \R^n$  eine L\"osung der Differentialgleichung
$Y'=F(t,Y)$, dann ist $\varphi_1$ eine L\"osung der Differentialgleichung  $y^{(n)}=f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei nun also $\Phi=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)\colon I\to \R^n$  eine L\"osung der Differentialgleichung
$Y'=F(t,Y)$. Ausgeschrieben bedeutet dies, dass
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} 
 \hspace{2cm} \begin{pmatrix} \varphi_1'(t)\\ \varphi_2'(t) \\ \vdots \\ \varphi_n'(t)\end{pmatrix} \,\,=\,\,\Phi'(t)&=&F(t,\Phi(t))\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \varphi_2(t)\\\varphi_3(t)\\ \vdots \\ f(t,\varphi_1(t),\varphi_2(t),\dots,\varphi_n(t))\end{pmatrix} 
\intertext{Die ersten $n-1$ Koordinaten  implizieren, dass $\varphi_{k+1}(t)=\varphi_1^{(k)}(t)$, $k=1,\dots,n-1$.
Die letzte Koordinate  besagt nun, dass}
 \varphi_1^{(n)}(t)&=&f\big(t,\varphi_1(t),\varphi_1'(t),\dots,\varphi_1^{(n-1)}(t)\big),
\intertext{d.h.\ $\varphi_1$ ist eine L\"osung der Differentialgleichung}
 y^{(n)}&=&f\big(t,y,y',\dots,y^{(n-1)}\big).\end{array}\end{align*}
\end{proof}

% Ende 22. Vorlesung 


Nachdem L\"osungen der Differentialgleichung
\[ y^{(n)}=f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})\]
in ein--eindeutiger Beziehung zu den L\"osungen der Differentialgleichung $Y'=F(t,Y)$ stehen,
\"ubertragen sich der Eindeutigkeitssatz und der Existenzsatz f\"ur Differentialgleichungen erster Ordnung zu Aussagen \"uber Differentialgleichungen beliebiger Ordnung. Genauer gesagt erhalten wir folgenden Satz:

\begin{satz}\label{satz:exein}
Es sei $G\subset \R\times \R^n$ eine offene Teilmenge und $f\colon G\to \R$ eine stetige Funktion, welche lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variablen
 ist.
Wir betrachten die Differentialgleichung $n$-ter Ordnung
\[ y^{(n)}\,\,=\,\,f\big(t,y,y',\dots,y^{(n-1)}\big).\]
Dann gelten folgende Aussagen.
\begin{enumerate}
\item $($Existenz$)$ F\"ur jeden Punkt $(s,a_0,\dots,a_{n-1})\in G$ gibt es ein $\epsilon>0$ und eine
L\"osung
\[ \varphi\colon (s-\epsilon,s+\epsilon)\to \R\]
der Differentialgleichung, welche die Anfangsbedingungen
\[ \varphi(s)\,=\,a_0,\,\,\varphi'(s)\,=\,a_1,\dots,\varphi^{(n-1)}(s)\,=\,a_{n-1}\]
erf\"ullt.
\item $($Eindeutigkeit$)$ Es seien $\varphi,\psi\colon I\to \R$ zwei L\"osungen der Differentialgleichung $n$-ter Ordnung,
so dass an einem Punkt $s\in I$ die Funktionswerte und die ersten $n-1$ Ableitungen von $\varphi$ und $\psi$  \"ubereinstimmen.  Dann gilt $\varphi(t)=\psi(t)$ f\"ur alle $t\in I$.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}[Beweisskizze]
Es sei  $f\colon \R\times \R^n\to \R$ eine stetige Abbildung, welche lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variablen ist.
Dann kann man leicht sehen, dass die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \R\times \R^n&\to &\R^n \\
(t,\underset{=Y}{\underbrace{y_0,\dots,y_{n-1}}}) &\mapsto & F(t,Y):=\begin{pmatrix} y_0\\ \vdots \\ y_{n-1}\\ f(t,y_0,\dots,y_{n-1})\end{pmatrix}\end{array} \]
ebenfalls lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variablen ist.
Der Satz folgt nun sofort aus Lemmas~\ref{lem:equ1} und~\ref{lem:equ2}, sowie aus
dem Existenzsatz~\ref{satz:existenz} und dem Eindeutigkeitssatz~\ref{satz:eindeutig}.
\end{proof}

Nachdem wir jetzt gesehen haben, dass man die Theorie der Differentialgleichungen h\"oherer Ordnung auf die Theorie von Differentialgleichungen erster Ordnung zur\"uckf\"uhren kann, werden wir uns im Folgenden haupts\"achlich mit Differentialgleichungen erster Ordnung besch\"aftigen.

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\section{Lineare Differentialgleichungen}

\begin{definition}
Es sei $I\subset \R$ ein offenes Intervall und es sei  $A\colon I\to M(n,\R)$ eine stetige Abbildung. Wir nennen 
\begin{align*}\begin{array}{rcl}
 \hspace{6.3cm} y'&=&A(t)y
\intertext{eine \emph{homogene lineare Differentialgleichung}.
Es sei zudem $b\colon I\to \R^n$ eine weitere stetige Abbildung, dann hei\ss t}
 y'&=&A(t)y+b(t)\end{array} \end{align*}
\emph{inhomogene lineare Differentialgleichung}.
\footnote{
F\"ur $n=1$ hatten wir diese Differentialgleichungen schon in Kapitel~\ref{section:linearhomogenn1} und Kapitel~\ref{section:linearinhomogenn1}
 behandelt.
Wenn $n\geq 2$, dann wird eine solche Differentialgleichung  oft auch als \emph{$($in-$)$ homogenes lineares Differentialgleichungssystem} bezeichnet.}
\end{definition}

\begin{satz}\label{satz:exeinlin}
Es sei $I\subset \R$ ein offenes Intervall. Es seien zudem
 $A\colon I\to M(n,\R)$ sowie  $b\colon I\to \R^n$ stetige Abbildungen.
Es sei $a\in I$ und $c\in \R^n$. Dann besitzt die  inhomogene lineare Differentialgleichung
\[ y'\,\,=\,\,A(t)y+b(t)\]
 genau eine L\"osung $\varphi$, welche die Anfangsbedingung $\varphi(a)=c$ erf\"ullt und welche auf dem ganzen Intervall $I$ definiert ist.
\end{satz}


\begin{bemerkung}
Die Funktion $b$ kann nat\"urlich die Nullfunktion sein, d.h.\ der Satz gilt insbesondere f\"ur homogene lineare Differentialgleichungen.
\end{bemerkung}


Der Satz besagt insbesondere, dass die \emph{L\"osung auf dem ganzen Intervall $I$ existiert}. Dies ist eine st\"arkere Aussage als der Existenzsatz von Picard-Lindel\"of liefert, denn dieser liefert nur die Existenz von L\"osungen auf einem kleinen Intervall $(a-\epsilon,a+\epsilon)$.
Im Beispiel auf Seite~\pageref{bsp:endlicherdefinitionsbereich} hatten wir gesehen, dass  im Allgemeinen L\"osungen von Differentialgleichungen nicht notwendigerweise den Definitionsbereich der Differentialgleichung besitzen. Die Tatsache, dass die L\"osung auf ganz $I$ definiert ist, ist
also eine Besonderheit von inhomogenen linearen Differentialgleichungen.


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\subsection{Beweis von Satz~\ref{satz:exeinlin} $(*$)}
In diesem Kapitel werden wir Satz~\ref{satz:exeinlin} beweisen. Aus Zeitgr\"unden ist dieses Kapitel nicht Teil der offiziellen Vorlesung.

Um  Satz~\ref{satz:exeinlin} zu beweisen brauchen wir also ein Kriterium daf\"ur, dass eine L\"osung auf dem ganzen Intervall $I$ definiert ist. Folgender Satz gibt uns solch ein Kriterium.

\begin{satz}\label{satz:starkerpl}
Es sei $I\subset \R$ ein offenes Intervall und  es sei $f\colon I\times \R^n\to \R^n$ eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass es zu jedem kompakten Intervall $J\subset I$   ein $L\in \R$ gibt, so dass f\"ur alle $x\in J$ und $y,\widetilde{y}\in \R^n$ gilt
\[  \| f(x,y)-f(x,\widetilde{y})\|\,\,\leq\,\, L\|y-\widetilde{y}\|.\]
Dann gibt es zu jedem $(a,c)\in I\times \R^n$ genau eine L\"osung 
$\varphi\colon I\to \R^n$
der  Differentialgleichung
\[ y'\,\,=\,\,f(t,y),\]
welche die  Anfangsbedingung $\varphi(a)=c$ erf\"ullt.
\end{satz}

\begin{proof} 
Um die Notation etwas zu vereinfachen betrachten wir nur den Fall $I=\R$. Der allgemeine Fall wird ganz analog bewiesen.

Die Abbildung $f$ ist insbesondere lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variable.\footnote{Zur Erinnerung, eine Abbildung $f(x,y)$ hei\ss t lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der $y$-Variable, falls jeder Punkt $(x,y)$ eine Umgebung $U$ besitzt,
so dass $f\colon  U\to \R^n$ Lipschitz--stetig  bez\"uglich der Variablen $y$ ist. In unserem Fall besagt die Voraussetzung, dass f\"ur $(x,y)$ die Einschr\"ankung auf jede Teilmenge der Form $[x-a,x+a]\times \R^n$ Lipschitz--stetig  bez\"uglich der Variablen $y$ ist.} Die Eindeutigkeit der L\"osung folgt also sofort aus Satz~\ref{satz:eindeutig}. Der Existenzsatz von Picard-Lindel\"of garantiert nur die Existenz einer L\"osung auf einem Intervall der Form $(a-\epsilon,a+\epsilon)$. Wir wollen aber zeigen, dass es eine L\"osung gibt, welche auf ganz $\R$ definiert ist. 

Ganz analog zum Picard-Lindel\"of Iterationsverfahren betrachten wir die folgende Folge von Abbildungen $\varphi_k\colon \R\to \R^n$
\[ \begin{array}{rcl} \varphi_0(t)&:=&c\\
\varphi_1(t)&:=&c+\int\limits_a^t f(s,\varphi_0(s))\,ds \\[2mm]
\varphi_2(t)&:=&c+\int\limits_a^t f(s,\varphi_1(s))\,ds \\
\vdots &&\end{array} \]
Alle diese Abbildungen sind auf $\R$ definiert und differenzierbar.
\footnote{Diese Aussage kann man leicht durch Induktion zeigen. Die Aussage gilt offensichtlich f\"ur $\varphi_0$. Nehmen wir nun an, dass die Aussage schon f\"ur $\varphi_k$ stimmt. Die Abbildungen $f$ und  $\varphi_k$ sind stetig. Es folgt,  dass die Abbildung $s\mapsto f(s,\varphi_k(s))$ auf $\R$ stetig ist.
Insbesondere ist sie integrierbar, und die rekursiv definierte Abbildung $\varphi_{k+1}(t)=c+\int_a^t f(s,\varphi_{k}(s))ds$ existiert auf $I$. Zudem folgt aus dem  Hauptsatz der Integral- und Differentialrechung, dass $\varphi_{k+1}$ differenzierbar ist.}
Es gen\"ugt nun folgende Behauptung zu beweisen.
\footnote{In der Tat, wenn wir diese Behauptung bewiesen haben, dann folgt, dass 
die Funktionenfolge $(\varphi_k)_{k\in \N}$ punktweise auf ganz $\R$ gegen eine Abbildung $\varphi$ konvergiert. Zudem folgt aus der Behauptung, dass f\"ur jedes $r>0$ die Einschr\"ankung von $\varphi$ auf das  Teilintervall $(a-r,a+r)\subset I$ eine L\"osung $\varphi$ der Differentialgleichung ist. Aber dann ist $\varphi$ auch auf ganz $\R$ eine L\"osung der Differentialgleichung.}

\begin{behauptung}
Die Funktionenfolge $(\varphi_k)_{k\in \N}$ konvergiert f\"ur jedes $r>0$ auf dem  Teilintervall $(a-r,a+r)$ gleichm\"a\ss ig gegen eine L\"osung $\varphi$ der Differentialgleichung.
\end{behauptung}

Es sei also $r>0$.  Wir werden zuerst zeigen, dass die Funktionenfolge $(\varphi_k)_{k\in \N}$ auf dem kompakten Teilintervall $[a-r,a+r]\subset I$ gleichm\"a\ss ig konvergiert.
Es sei $L$ die Lipschitz-Konstante
f\"ur die Abbildung $f$  auf dem kompakten Teilintervall $[a-r,a+r]$, welche nach Voraussetzung existiert. Es folgt aus Korollar~\ref{kor:kompaktminmax}, dass 
\[ K\,\,:=\,\,\max\big\{ \|\varphi_1(x)-\varphi_0(x)\|\,\big|\,x\in [a-r,a+r]\big\}\]
existiert.  Wir zeigen nun mit Induktion, dass f\"ur alle $k\in \N$ und $x\in [a-r,a+r]$ gilt
\[ \|\varphi_{k+1}(x)-\varphi_k(x)\|\,\,\leq\,\,K\lmfrac{L^k|x-a|^k}{k!}.\]
Die Aussage gilt f\"ur $k=0$ per Definition von $K$. Der Induktionsschritt $k\to k+1$ ist dann
\[ \begin{array}{rcll} \|\varphi_{k+2}(x)-\varphi_{k+1}(x)\|&=&\left\|\bint\limits_{a}^xf(t,\varphi_{k+1}(t))-f(t,\varphi_k(t))\,dt\right\|\\[2mm]
&\leq&\bigg| \bint\limits_{a}^x\Big\|f(t,\varphi_{k+1}(t))-f(t,\varphi_k(t))\Big\|\,dt\bigg|\quad &\mbox{nach Lemma~\ref{lem:intnormen}}\\[2mm]
&\leq& L\bigg|\bint\limits_{a}^x\Big\|\varphi_{k+1}(t)-\varphi_k(t)\Big\|\,dt\bigg|&\mbox{Eigenschaft von $L$}\\[2mm]
&\leq& KL^{k+1}\left|\bint\limits_{a}^x\lmfrac{|t-a|^k}{k!}\,dt\right|&\mbox{Induktionsvoraussetzung}\\[2mm]
&=&K\lmfrac{L^{k+1}|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}.\end{array} \]
Wir haben damit also den Induktionsbeweis abgeschlossen.

Es folgt, dass die  Reihe $\sum_{k=0}^\infty (\varphi_{k+1}-\varphi_k)$ auf $[a-r,a+r]$ durch die konvergente Reihe
\[ K\sum_{k=0}^\infty \lmfrac{L^kr^k}{k!}\,\,=\,\,Ke^{Lr}\]
majorisiert wird. Es folgt nun aus dem Majoranten-Kriterium f\"ur Funktionenreihen\footnote{Dies ist Satz 16.5 im Analysis~I-Skript.}, dass die Reihe $\sum_{k=0}^\infty (\varphi_{k+1}-\varphi_k)$ auf $[a-r,a+r]$ gleichm\"a\ss ig konvergiert. Es folgt aus Satz 16.3 der Analysis~I-Vorlesung, dass die Funktion
\[ \varphi\,\,:=\,\,\lim_{k\to \infty}\varphi_k\,\,=\,\,\varphi_0+\sum_{k=0}^\infty (\varphi_{k+1}-\varphi_k)\]
auf $[a-r,a+r]$ stetig ist. 

Wir m\"ussen nun noch zeigen, dass $\varphi$ in der Tat auf $(a-r,a+r)$ eine L\"osung der Differentialgleichung ist.

Nach Satz~\ref{satz:intgleichung} gen\"ugt es dabei folgende Behauptung zu beweisen.

\begin{behauptung}
F\"ur alle $x\in (a-r,a+r)$ gilt 
\[ \varphi(x)\,\,=\,\,c+\textstyle\bint\limits_a^x f(t,\varphi(t))\,dt.\]
\end{behauptung}



Satz 16.6 aus der Analysis~I-Vorlesung besagt zudem, dass man bei gleichm\"a\ss iger Konvergenz Grenzwert-Bildung und Integral vertauschen kann. In unserem Fall bedeutet dies, dass f\"ur jedes $x\in (a-r,a+r)$ gilt
\[\begin{array}{rcll} \varphi(x)&=&\underset{k\to \infty}{\lim}\varphi_k(x)\\[2mm]
&=&\underset{k\to \infty}{\lim}\Big(c+\bint\limits_a^x f(t,\varphi_{k-1}(t))\,dt\Big)\quad &\mbox{Definition von $\varphi_k$}\\[2mm]
&=& c+\bint\limits_a^x \underset{k\to \infty}{\lim} f(t,\varphi_{k-1}(t))\,dt&\mbox{Satz 16.6 aus der Analysis~I-Vorlesung}\\[2mm]
&=& c+\bint\limits_a^x  f\Big(t,\underset{k\to \infty}{\lim}\varphi_{k-1}(t)\Big)\,dt&\mbox{Stetigkeit von $f$}\\[2mm]
&=& c+\bint\limits_a^x  f(t,\varphi(t))\,dt.
\end{array}
\]
Wir haben damit also die Behauptung, und damit auch den Satz bewiesen.
\end{proof}



Wir wenden uns nun dem Beweis von Satz~\ref{satz:exeinlin} zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:exeinlin}]
Wir schreiben $f(t,y)=A(t)y+b(t)$. Mit Verweis auf Satz~\ref{satz:starkerpl} gen\"ugt es nun  folgende Behauptung zu beweisen.\footnote{Die Aussage und der Beweis der Behauptung haben eine starke \"Ahnlichkeit mit Satz~\ref{satz:flokallipschitz}}.

\begin{behauptung}
Es sei $J\subset I$ ein kompaktes Intervall. Dann gibt es  ein $L\in \R$, so dass f\"ur alle $x\in J$ und $y,\widetilde{y}\in \R^n$ gilt
\[  \| f(x,y)-f(x,\widetilde{y})\|\,\,\leq\,\, L\|y-\widetilde{y}\|.\]
\end{behauptung}


Es sei also $J\subset I$ ein kompaktes Intervall. 
Wir setzen 
\[ L\,\,:=\,\,n^2\cdot \max\big\{ |a_{ij}(t)|\,\big|\, t\in J\big\}.\footnotemark\]
\footnotetext{Nach Voraussetzung ist $t\mapsto a_{ij}(t)$ stetig, also existiert $L$  nach Korollar~\ref{kor:kompaktminmax}.} 
Es folgt aus Lemma~\ref{lem:matrixnorm} (3), dass $\|A(t)\|\leq L$ f\"ur alle $t\in J$. Insbesondere gilt f\"ur alle $x\in J$ und $y,\widetilde{y}\in \R^n$, dass
\[ \begin{array}{rcl} \| f(x,y)-f(x,\widetilde{y})\|&=&
\big\|(A(t)y+b(t))-(A(t)\widetilde{y}+b(t))\big\|\\[2mm]
&=&\|A(t)(y-\widetilde{y})\|\,\,\leq\,\, \|A(t)\|\cdot \|y-\widetilde{y}\|\,\,\leq\,\,L\cdot \|y-\widetilde{y}\|.\end{array}\]
Wir haben also damit die Behauptung bewiesen.
\end{proof} 




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\subsection{Homogene lineare Differentialgleichungen}
F\"ur eine (in-) homogene lineare Differentialgleichung $y'=A(t)y+b(t)$ auf einem offenen Intervall $I$ bezeichnen wir
\[ \mathcal{L}\big(y'=A(t)y+b(t)\big)\,\,:=\,\,\mbox{Menge aller L\"osungen von $y'=A(t)y+b(t)$ auf $I$}\]
als die \emph{L\"osungsmenge}. 
Das folgende Lemma besagt, dass f\"ur \emph{homogene} lineare Differentialgleichungen die L\"osungmenge   einen Vektorraum bildet.

\begin{lemma}\label{lem:lsgvr}
F\"ur eine homogone lineare Differentialgleichung $y'=A(t)y$ auf einem offenen Intervall $I$ ist die L\"osungsmenge
$\mathcal{L}(y'=A(t)y)$ ein Vektorraum.\footnote{Genauer gesagt, die L\"osungsmenge
$\mathcal{L}(y'=A(t)y)$ bildet einen Untervektorraum des Vektorraums aller Abbildungen $I\to \R^n$.} 
\footnote{Das Lemma folgt auch leicht aus linearer Algebra. Genauer gesagt, wir betrachten die Abbildung
\label{footnote:untervektorraum}
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon V:=\{\mbox{differenzierbare Abbildungen $I\to \R^n$}\}&\to &  W:=\{\mbox{stetige Abbildungen $I\to \R^n$}\}\\
y&\mapsto &A(t)y'-y.\end{array} \]
Dies ist eine lineare Abbildung und der Kern dieser Abbildung ist gerade $\mathcal{L}(y'=A(t)y)$. Nachdem der Kern einer linearen Abbildung ein Untervektorraum ist, ist $\mathcal{L}(y'=A(t)y)$ also in der Tat ein Untervektorraum von $V$.}
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir m\"ussen also zeigen, dass  wenn  $\varphi,\psi\colon I\to \R^n$ L\"osungen der Differentialgleichung $y'=A(t)y$ sind, und wenn $\lambda\in \R$, dann sind auch $\varphi+\psi$ und $\lambda\varphi$ L\"osungen der Differentialgleichungen.

Beide Aussagen kann man ganz leicht durch Einsetzen zeigen.
Es seien $\varphi,\psi\colon I\to \R^n$ L\"osungen der Differentialgleichung $y'=A(t)y$. Dann gilt in der Tat  f\"ur alle  $t\in I$, dass 
\[ \begin{array}{rcll} (\varphi+\psi)(t)'&=&\varphi(t)'+\psi(t)'\\
&=&A(t)\varphi(t)+A(t)\psi(t)\quad&\mbox{denn $\varphi$ und $\psi$ sind L\"osungen von $y=A(t)y$}\\
&=&A(t)(\varphi(t)+\psi(t))&\mbox{Linearit\"at von Matrizenmultiplikation}\\
&=&A(t)(\varphi+\psi)(t).\end{array} \]
Ganz analog zeigt man, dass wenn $\varphi$ eine L\"osung ist, und $\lambda\in \R$, dann ist $t\mapsto \lambda\varphi(t)$ ebenfalls eine L\"osung der Differentialgleichung.
\end{proof}

Nachdem die L\"osungsmenge $\mathcal{L}$ einer homogenen linearen Differentialgleichung $y'=A(t)y$ ein Vektorraum ist, gen\"ugt es eine Basis zu finden, um die L\"osungsmenge $\mathcal{L}$ zu beschreiben.
Der folgende Satz gibt ein Kriterium daf\"ur, dass L\"osungen linear unabh\"angig sind. Mithilfe von diesem Satz werden wir dann eine Basis f\"ur die L\"osungsmenge $\mathcal{L}$ bestimmen.

\begin{satz}\label{satz:losunabh}
Es  seien $\varphi_1,\dots,\varphi_k\colon I\to \R^n$ L\"osungen der homogenen linearen Differentialgleichung 
\[ y'\,\,=\,\,A(t)y\]
 auf dem offenen Intervall $I$. 
Dann sind folgende Aussagen \"aquivalent:
\begin{enumerate}
\item die Funktionen $\varphi_1,\dots,\varphi_k$ sind linear unabh\"angig,\footnote{Der Begriff der linearen Unabh\"angigkeit von Funktionen wird in Kapitel~\ref{section:funktionenalsvektorraum} diskutiert.}
\item es existiert ein $t_0\in I$, so dass die Vektoren
\[ \varphi_1(t_0),\dots,\varphi_k(t_0)\,\,\in\,\, \R^n\]
linear unabh\"angig sind,
\item f\"ur jedes $t_0\in I$, sind  die Vektoren
\[ \varphi_1(t_0),\dots,\varphi_k(t_0)\,\,\in\,\, \R^n\]
linear unabh\"angig.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
Es ist offensichtlich, dass (3) $\Rightarrow$ (2) und (2) $\Rightarrow$ (1). Wir m\"ussen also nur noch zeigen,
dass (1) $\Rightarrow$ (3).  Seien also $\varphi_1,\dots,\varphi_k$ linear unabh\"angige L\"osungen von $y'=A(t)y$
und es sei $t_0\in I$.
Wir m\"ussen zeigen, dass
\[ \lambda_1\varphi_1(t_0)+\dots+\lambda_k\varphi_k(t_0)=0\,\,  \implies \,\, \lambda_1=\dots=\lambda_k=0.\]
Es seien also $\lambda_1,\dots,\lambda_k\in \R$ gegeben, so dass $\lambda_1\varphi_1(t_0)+\dots+\lambda_k\varphi_k(t_0)=0\in \R^n$.
Dann ist die Linearkombination $\varphi:=\lambda_1\varphi_1+\dots+\lambda_k\varphi_k$ nach Lemma~\ref{lem:lsgvr} eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=A(t)y$ bez\"uglich der Anfangsbedingung $\varphi(t_0)=0$.
Andererseits ist $\psi(t)=0$ ebenfalls eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=A(t)y$ bez\"uglich der Anfangsbedingung $\psi(t_0)=0$.
Aus Satz~\ref{satz:exeinlin} folgt nun, dass $\varphi(t)=\psi(t)=0$ f\"ur alle $t\in I$. Insbesondere ist
$\lambda_1\varphi+\dots+\lambda_k\varphi_k$ die Nullfunktion, aus der linearen Unabh\"angigkeit von den Funktionen $\varphi_1,\dots,\varphi_k$ folgt nun,
dass $\lambda_1=\dots=\lambda_k=0$.
\end{proof}


\begin{satz}\label{satz:losdim}
Die L\"osungsmenge $\mathcal{L}$ einer homogenen linearen Differentialgleichung Differentialgleichung 
\[ y'\,\,=\,\,A(t)y\]
auf einem offenen Intervall $I$ ist ein $n$--dimensionaler Vektorraum.
\end{satz}


\begin{proof}
Es sei $t_0\in I$. Aus Satz~\ref{satz:exeinlin} folgt, dass es f\"ur jedes $i\in \{1,\dots,n\}$ eine L\"osung $\varphi_i$ der Differentialgleichung $y'=A(t)y$ gibt,
welche die Anfangsbedingung 
\[ \begin{array}{c}\varphi_i(t_0)\,\,=\,\,(0,\dots,0,1,0,\dots,0)\\
\hspace{1.9cm}\begin{array}{c}\uparrow\\\mbox{$i$-te Koordinate}\end{array}\end{array} \]
Wir werden nun zeigen, dass $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ eine Basis von $\mathcal{L}$ bilden.

Aus Satz~\ref{satz:losunabh} folgt, dass die Funktionen $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ linear unabh\"angig sind.
Sei nun $\psi$ eine beliebige L\"osung der Differentialgleichung $y'=A(t)y$. Wir schreiben $\psi(t_0)=:(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$.
Dann gilt
\[ \psi(t_0)\,\,=\,\,(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\,\,=\,\,\lambda_1\varphi(t_0)+\dots+\lambda_n\varphi(t_0)\,\in \, \R^n.\]
Die Funktionen $\psi$ und $\lambda_1\varphi+\dots+\lambda_n\varphi$ sind also L\"osungen der Differentialgleichung und haben den gleichen Wert zur Zeit $t_0$. Aus Satz~\ref{satz:exeinlin} folgt nun, dass $\psi=\lambda_1\varphi+\dots+\lambda_n\varphi$.
\end{proof}

\begin{definition}
Es sei $y'=A(t)y$ eine homogene lineare Differentialgleichung, eine Basis des L\"osungsraumes der Differentialgleichung
wird \emph{L\"osungsfundamentalsystem}  genannt.
\end{definition}

\begin{beispiel}\label{bsp:antidiagonal}
Es sei $c\in \R$. Wir betrachten die  homogene lineare Differentialgleichung
\[ \underset{=y'}{\underbrace{\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\end{pmatrix}'}}\,\,=\,\,\underset{=A}{\underbrace{\left(\begin{array}{rr} 0&-c \\ c&0  \end{array}\right)}}\underset{=y}{ \underbrace{\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\end{pmatrix}}}\]
Dann kann man durch Einsetzen leicht zeigen, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rclcrcl}
\hspace{3.5cm} \varphi_1(t)&=&\begin{pmatrix} \cos(ct)\\ \sin(ct)\end{pmatrix} &\mbox{ und }& \varphi_2(t)&=&\begin{pmatrix} -\sin(ct) \\\hfill \cos(ct)\end{pmatrix} 
\intertext{L\"osungen der Differentialgleichung sind. Nachdem die Vektoren}
\varphi_1(0)&=&\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix} &\mbox{ und }& \varphi_2(0)&=&\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{array}\end{align*}
eine Basis von $\R^2$ sind, folgt aus Satz~\ref{satz:losunabh} und Satz~\ref{satz:losdim}, dass $\varphi_1$ und $\varphi_2$ ein
L\"osungs\-fundamental\-system der Differentialgleichung $y'=Ay$ bilden. Insbesondere kann jede andere L\"osung $\psi$ geschrieben werden als Linearkombination $\psi=\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2$.
\end{beispiel}





%======================================================
\subsection{Inhomogene lineare Differentialgleichungen}
F\"ur einen Vektorraum $V$, einen Vektor $v\in V$ und einen Untervektorraum $U\subset V$ schreiben wir 
\[ v+U\,\,:=\,\,\{v+u\,|\,u\in U\}.\]
Anders ausgedr\"uckt, $v+U$ ist die Translation des Untervektorraums $U$ um den Vektor $v$. Eine solche Teilmenge von $V$ wird manchmal auch als \emph{affiner Unterraum von $V$} bezeichnet.
Mit dieser Notation k\"onnen wir den n\"achsten Satz formulieren.


\begin{satz}\label{satz:inhomogenedgl}
Es sei $I\subset \R$ ein offenes Intervall und
es seien $A\colon I\to M(n,\R)$ und  $b\colon I\to \R^n$ stetige Abbildungen.
Es sei 
\[ \psi\in \mathcal{L}\big(y'=A(t)y+b(t)\big).\]
Dann ist\footnote{Diese Aussage kann man auch ganz \"ahnlich wie in Fu\ss note~\ref{footnote:untervektorraum} auf lineare Algebra zur\"uckf\"uhren.}
\[
 \mathcal{L}\big(y'=A(t)y+b(t)\big)\,\,=\,\,\psi+\mathcal{L}\big(y'=A(t)y\big).\]
\end{satz}

Der Satz besagt also, dass es gen\"ugt \emph{alle} L\"osungen der homogenen linearen Differentialgleichung $y'=A(t)y$
und \emph{eine}  L\"osung der  inhomogenen linearen Differentialgleichung $y'=A(t)y+b(t)$ zu finden,
um alle  L\"osungen der  inhomogenen linearen Differentialgleichung $y'=A(t)y+b(t)$ zu beschreiben.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{affiner-unterraum.pstex_t}
\caption{Die L\"osungsmenge einer inhomogenen linearen Differentialgleichung ist ein affiner Unterraum.}
\label{fig:affiner-unterraum}
\end{center}
\end{figure}



\begin{proof}
Wir m\"ussen also zeigen, dass
\[
 \mathcal{L}\big(y'=A(t)y+b(t)\big)\,\,=\,\,\big\{\psi+\varphi\,\big|\,\varphi\in \mathcal{L}\big(y'=A(t)y\big)\big\}.\]
Es gen\"ugt die Inklusionen ``$\subset$'' und ``$\supset$'' zu zeigen.
\begin{enumerate}
\item[``$\supset$''] Es sei also $\varphi\in \mathcal{L}(y'=A(t)y)$. Dann gilt 
\[ \hspace{1cm}(\psi+\varphi)'\,=\,\psi'+\varphi'\,=\,A(t)\psi+b(t)+A(t)\varphi\,=\,A(t)(\psi+\varphi)+b(t),\]
d.h.\  $\psi+\varphi$ ist in der Tat eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=A(t)y+b(t)$. 
\item[``$\subset$'']
Sei nun $\phi$ eine L\"osung von $y'=A(t)y+b(t)$. Wir setzen $\varphi=\phi-\psi$, d.h.\ $\phi=\psi+\varphi$. Wir m\"ussen zeigen, dass $\varphi\in \mathcal{L}(y'=A(t)y)$. In der Tat  gilt
\[ \hspace{1cm} \varphi'\,=\,\phi'-\psi'\,=\,(A(t)\phi+b(t))-(A(t)\psi+b(t))\,=\,A(t)(\phi-\psi)\,=\,A(t)\varphi,\]
d.h.\ $\varphi$ ist wie gew\"unscht eine L\"osung der homogenen linearen Differentialgleichung $y'=A(t)y$.
\end{enumerate}
\end{proof}

Satz~\ref{satz:inhomogenedgl} besagt, dass wir zur vollst\"andigen L\"osung einer 
 inhomogenen linearen Differentialgleichung $y'=A(t)y+b(t)$ 
ein L\"osungsfundamentalsystem f\"ur die lineare homogone Differentialgleichung $y'=A(t)y$ finden m\"ussen, und dass wir \emph{eine} L\"osung der  inhomogenen linearen Differentialgleichung $y'=A(t)y+b(t)$ finden m\"ussen.

\begin{bemerkung}
F\"ur den Fall $n=1$ hatten wir schon gesehen, wie wir aus einer L\"osung der homogenen linearen Differentialgleichung $y'=a(t)y$ eine L\"osung der inhomogenen linearen Differentialgleichung $y'=a(t)y+b(t)$ erhalten. Genauer gesagt, in Satz~\ref{satz:variationkonstanten1} hatten wir folgende Aussage bewiesen:
wenn  $\psi\colon I\to \R$ eine L\"osung der homogenen linearen Differentialgleichung $y'=a(t)y$ ist, dann ist 
\[\textstyle \varphi(t)\,\,=\,\, \psi(t) \cdot \bigg(c+\int\limits_{t_0}^t \psi(s)^{-1}b(s)\,ds\bigg)\]
eine L\"osung der inhomogenen linearen Differentialgleichung $y'=a(t)y+b(t)$. Wir wollen nun dieses Verfahren verallgemeinern. Allerdings stellt sich nun die Frage, was die Rolle von $\psi(s)^{-1}$ spielen soll, wo doch nun die L\"osungen Abbildungen $I\to \R^n$ sind.
\end{bemerkung}

 In Satz~\ref{satz:losunginhomogenedgl} werden wir eine L\"osung der inhomogenen linearen Differentialgleichung $y'=A(t)y+b(t)$ finden. Um diesen Satz zu formulieren ben\"otigen wir allerdings noch folgende Definition.


\begin{definition}
Es seien $\varphi_1,\dots,\varphi_n\colon I\to \R^n$
L\"osungen einer  homogenen linearen Differentialgleichung 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 y'&=&A(t)y
\intertext{auf einem offenen Intervall $I$. Dann hei\ss t}
 \hspace{6.1cm} W(t)&:=&\big( \varphi_1(t)\,\dots\, \varphi_n(t)\big) \end{array} \end{align*}
die \emph{Wronski--Matrix}\footnote{Diese ist benannt nach dem polnischen Mathematiker J\'osef Ho\"en\'e-Wronski.}der L\"osungen $\varphi_1,\dots,\varphi_n$.
\end{definition}

\begin{beispiel}
Es sei $c\in \R$. Wir betrachten wiederum die  homogene lineare Differentialgleichung\label{page:beispieldrehung}
\[ \underset{=y'}{\underbrace{\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\end{pmatrix}'}}\,\,=\,\,\underset{=A}{\underbrace{\left(\begin{array}{rr} 0&-c \\ c&0  \end{array}\right)}}\underset{=y}{ \underbrace{\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\end{pmatrix}}}.\]
Die L\"osungen $\varphi_1$ und $\varphi_2$ von Seite~\pageref{bsp:antidiagonal} ergeben die Wronski-Matrix
\[ W(t)\,\,=\,\,\Big( \underset{=\varphi_1(t)}{\underbrace{\begin{array}{c} \cos(ct)\\ \sin(ct)\end{array}}}\,
\underset{=\varphi_2(t)}{\underbrace{\begin{array}{c} -\sin(ct) \\\hfill \cos(ct)\end{array} }}\Big).\]
Die Determinante der Wronski-Matrix ist hierbei immer $1$. 
\end{beispiel}


Wir k\"onnen nun Satz~\ref{satz:losunabh} mithilfe von Satz~\ref{satz:losdim} wie folgt umformulieren:
Es seien
\[\varphi_1,\dots,\varphi_n\colon I\to \R^n\]
L\"osungen der Differentialgleichung $y'=A(t)y$, dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
\begin{enumerate}
\item $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ bilden ein L\"osungsfundamentalsystem,
\item es existiert ein $t_0\in I$, so dass $\det(W(t_0))\ne 0$,
\item $\det(W(t))\ne 0$ f\"ur alle $t\in I$.
\end{enumerate}
Der folgende Satz ist nun eine Verallgemeinerung von Satz~\ref{satz:variationkonstanten1}.




\begin{satz}\label{satz:losunginhomogenedgl}
 Es sei $\varphi_1,\dots,\varphi_n$
ein L\"osungs\-fundamental\-system einer  homogenen linearen Differentialgleichung 
\[y'\,\,=\,\,A(t)y\]
auf einem offenen Intervall $I$. 
F\"ur jedes $t\in I$ bezeichne
\[ W(t)\,\,:=\,\,\big( \varphi_1(t)\,\dots \,\varphi_n(t)\big) \,\in\, M(n,\R)\]
die Wronski--Matrix der L\"osungen $\varphi_1(t),\dots,\varphi_n(t)$.
Es seien $t_0\in I$ und $C\in \R^n$ beliebig.
Dann ist eine  L\"osung der  inhomogenen linearen Differentialgleichung $y'=A(t)y+b(t)$
gegeben durch\footnote{Es folgt aus Satz~\ref{satz:losunabh}, dass f\"ur jedes $t\in I$ die Vektoren $\varphi_1(t),\dots,\varphi_n(t)$ linear unabh\"angig sind, d.h.
f\"ur jedes $t$ ist die Matrix $W(t)$ invertierbar.}
\[ \psi(t)\,\,=\,\,W(t)u(t)\quad \mbox{mit}\quad u(t)\,\,=\,\,\textstyle\bbint\limits_{t_0}^t W(s)^{-1}b(s)\,dt+C.
\footnote{Der Integrand $W(t)^{-1}b(t)$ ist eine Funktion $I\to \R^n$, dass Integral einer solchen Funktion wird komponentenweise bestimmt.}
\]
\end{satz}

\begin{proof}
Wir zeigen durch Einsetzen, dass $\psi$ eine L\"osung der  inhomogenen linearen Differentialgleichung $y'=A(t)y+b(t)$
ist. In der Tat, es gilt
\[ \begin{array}{rcll} \psi'&=&(W u)'\\
&=&W'u+W u'&\begin{array}{l}\mbox{Produktregel f\"ur Ableitungen}\\\mbox{komponentenweise angewandt}\end{array}\\[3mm]
&=&\big( \varphi_1'\,\dots\,\varphi_n'\big) u\,+\,W \cdot W^{-1} b(t)&\begin{array}{l}\mbox{Hauptsatz der Differential-}\\\mbox{und Integralrechnung}\end{array}\\[3mm]
&=& \big( A(t)\varphi_1\,\dots \,A(t)\varphi_n\big) u\,+\,b(t)&\begin{array}{l}\mbox{denn $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ sind L\"osungen}\\\mbox{der Differentialgleichung $y'=A(t)y$}\end{array}\\
&=&  A(t)\big( \varphi_1\,\dots \,\varphi_n\big) u\,+\,b(t)\\
&=& A(t)W u\,+\,b(t)\\
&=&A(t)\psi+b(t).\end{array} \]
\end{proof}

% Ende 23. Vorlesung

                            
                           
%======================================================
\section{Differentialgleichungen in Abh\"angigkeit vom Anfangspunkt}
Der Existenzsatz~\ref{satz:existenz} von Picard--Lindel\"of besagt, dass eine Differentialgleichung, unter vern\"unftigen Voraussetzungen, zu jeder Anfangsbedingung eine L\"osung besitzt. Der folgende Satz besagt nun, dass diese L\"osung `stetig von der Anfangsbedingung abh\"angt'.



\begin{satz}\label{satz:existenzparameter}
Es sei $f\colon \R\times \R^n\to \R^n$ eine stetige Abbildung, welche lokal Lipschitz--stetig bez\"uglich der Variablen $y$ ist.
Wir nehmen an, dass f\"ur jedes $x\in \R^n$ die L\"osung $\varphi_x$ der Differentialgleichung $y'=f(t,y)$ zur Anfangsbedingung $\varphi_x(0)=x$ auf ganz $\R$ definiert ist.
Dann ist die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon \R\times \R^n&\to &\R^n\\
(t,x)&\mapsto &\Phi(t,x):=\varphi_x(t)\end{array} \]
stetig. 
\end{satz}

Wir werden diesen Satz nicht beweisen. 
 Einen Beweis des Satzes kann man beispielsweise  in Kapitel 2 von Br\"ocker: Analysis~III finden.

\begin{korollar}\label{kor:existenzparameter}
Unter den gleichen Voraussetzungen und der gleichen Notation von Satz~\ref{satz:existenzparameter} ist f\"ur jede Teilmenge $A\subset \R^n$ und jedes $t\in \R$ die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} A&\to &\R^n\\
x&\mapsto &\Phi(t,x)=\varphi_x(t)\end{array} \]
stetig. 
\end{korollar}

\begin{proof}
Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} A&\to &\R^n\\
x&\mapsto &\varphi_x(t)\end{array} \]
ist die Verkn\"upfung der Abbildungen
\[ \begin{array}{rcl} A&\to &\R\times \R^n\\
x&\mapsto& (t,x)\end{array} \quad \mbox{ und }\quad \begin{array}{rcl} \R\times \R^n&\to & \R^n\\ (t,x)&\mapsto &\varphi_x(t)=\Phi(t,x).\end{array} \]
Die erste Abbildung ist offensichtlich stetig, und die zweite Abbildung ist stetig nach Satz~\ref{satz:existenzparameter}. Das Korollar folgt nun aus der Tatsache, dass die Verkn\"upfung von zwei stetigen Abbildungen wiederum stetig ist.
\end{proof}

Das Korollar besagt also, anschaulich gesprochen, dass sich jede Teilmenge $A$ von $\R^n$ unter der Differentialgleichung stetig entwickelt. Diese Aussage wird auch in Abbildung~\ref{fig:parameter-stetig} illustriert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{parameter-stetig.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:parameter-stetig}
\end{center}
\end{figure}






%======================================================
\subsection{Volumen und Matrizen}
F\"ur Vektoren $v_1,\dots,v_n$ in $\R^n$ bezeichnen wir im Folgenden mit 
\[  P(v_1,\dots,v_n)\,:=\,\Big\{\ttmsum{i=1}{n} \lambda_i v_i\,\Big|\, \lambda_1,\dots,\lambda_n\in [0,1]\Big\}\]
das durch $v_1,\dots,v_n$ aufgespannte Parallelotop. F\"ur $n=2$ ist dies insbesondere das durch $v_1$ und $v_2$ aufgespannte Parallelogramm. F\"ur $n=3$ ist dies der  durch $v_1,v_2$ und $v_3$ aufgespannte Spat.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{parallelotop.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:parallelotop}
\end{center}
\end{figure}
Das folgende Lemma gibt eine geometrische Interpretation des Absolutbetrags der Determinante einer $2\times 2$-Matrix.

\begin{lemma}
Es seien $v,w\in \R^2$ zwei Vektoren. Dann gilt
\[ \mbox{Fl\"acheninhalt von $P(v,w)$}\,\,=\,\,\left|\det \begin{pmatrix} v& w\end{pmatrix}\right|.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Wenn $v$ der Nullvektor ist, dann ist sowohl der Fl\"acheninhalt als auch die Determinante null. Insbesondere gilt die Aussage des Lemmas.

Wir betrachten nun den Fall, dass $v$ nicht der Nullvektor ist. Wir schreiben
\[ v\,=\,\begin{pmatrix} v_0\\ v_1\end{pmatrix} \mbox{ und } v^\perp\,:=\,\begin{pmatrix} -v_1\\ \hfill v_0\end{pmatrix}.\]
Anders ausgedr\"uckt, $v^\perp$ ist ein Vektor, welcher orthogonal zu $v$ ist, von gleicher L\"ange.
Nachdem $v\ne 0$ bilden $v$ und $v^\perp$ eine Basis von $\R^2$. Wir schreiben
$w=\lambda  v+\mu v^\perp.$ Dann gilt
\[ \begin{array}{rcll}\mbox{Fl\"acheninhalt von $P(v,w)$}&=&\mbox{Fl\"acheninhalt von $\underset{\opnormal{=Rechteck}}{\underbrace{P(v,\mu v^\perp)}}$}&\mbox{Cavalierisches Prinzip}\\
&=& \|v\|\cdot \|\mu v^\perp\|&\mbox{Fl\"acheninhalt von Rechteck}\\[2mm]
&=& \|v\|\cdot |\mu|\cdot \|v^\perp\|\\[2mm]
&=&|\mu|(v_0^2+v_1^2)\\[2mm]
&=&\left|\det \begin{pmatrix} v_0& -\mu v_1\\ v_1&\hfill \mu v_0\end{pmatrix}\right|\\[2mm]
&=&\left|\det \begin{pmatrix} v&\mu v^\perp\end{pmatrix} \right|\\[2mm]
&=&\left|\det \begin{pmatrix} v&v+\mu v^\perp\end{pmatrix}\right|\\
&=&\left|\det \begin{pmatrix} v&w\end{pmatrix}\right|.\end{array}\]
\end{proof}

In Analysis~III werden wir einen allgemeinen Volumenbegriff f\"ur Teilmengen von $\R^n$ einf\"uhren. Wir werden dann insbesondere folgendes Lemma beweisen.

\begin{lemma}\label{lem:volumenparallelotop}
Es seien $v_1,\dots,v_n\in \R^n$.  Dann gilt
\[ \operatorname{Vol}\big(P(v_1,\dots,v_n)\big)\,\,=\,\,\left|\det \big( v_1\, \dots\,v_n\big)\right|.\]
\end{lemma}

Es sei nun $P(v_1,\dots,v_n)$ ein Parallelotop und es sei $A\in M(n,\R)$ eine Matrix. Wenn wir die Matrix $A$ auf das Parallelotop anwenden dann erhalten wir ein neues  Parallelotop 
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} A\cdot P(v_1,\dots,v_n)&=&P(Av_1,\dots,Av_n).
\intertext{Hierbei gilt}
\hspace{1.0cm}\operatorname{Vol}\big(A\cdot P(v_1,\dots,v_n)\big)&=&\operatorname{Vol}\big(P(Av_1,\dots,Av_n)\big)\\[2mm]
&=&\left|\det\big(\big( Av_1\,\dots\, Av_n\big)\big)\right|&\mbox{nach Lemma~\ref{lem:volumenparallelotop}}\\[2mm]
&=&\big|\det\big( A\cdot (v_1\,\dots\,v_n)\big)\big|\\[2mm]
&=&\big|\det A\big|\cdot \big|\det \big( v_1\,\dots\,v_n\big)\big|&\mbox{da $\det(IJ)=\det(I)\det(J)$}\\[2mm]
&=&\big|\det A\big|\cdot \operatorname{Vol}\big(P(v_1,\dots,v_n)\big)&\mbox{nach Lemma~\ref{lem:volumenparallelotop}}.\end{array} \end{align*}
Wir haben also folgende Aussage bewiesen: wenn wir eine Matrix $A$ auf ein Parallelotop anwenden, dann  multipliziert sich das Volumen mit dem Faktor $|\det(A)|$.



%======================================================
\subsection{Die Wronski--Determinante}
Wir wollen in diesem Kapitel untersuchen, wie sich das Volumen unter einer 
homogenen linearen Differentialgleichung ver\"andert.  Folgendes Lemma wird in \"Ubungsblatt 13 bewiesen. 


\begin{lemma}\label{lem:flusslinear} 
Es sei  $y'=A(t)y$  eine  homogene lineare Differentialgleichung auf einem offenen Intervall $I$. 
F\"ur $x\in \R^n$ bezeichnen wir mit $\varphi_x\colon I\to \R^n$ die L\"osung der Differentialgleichung, welche die Anfangsbedingung  $\varphi_x(0)=x$ erf\"ullt.
Dann ist f\"ur jedes $t\in I$ die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \R^n&\to & \R^n \\
x&\mapsto & \Phi(t,x):=\varphi_x(t)\end{array}\]
eine lineare Abbildung. 
\end{lemma}

Die Aussage von Lemma~\ref{lem:flusslinear} wird in Abbildung~\ref{fig:flusslinear} skizziert.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{flusslinear.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:flusslinear}
\end{center}
\end{figure}


Es sei nun $y'=A(t)y$ wiederum eine  homogene lineare Differentialgleichung auf einem offenen Intervall $I$. 
Zudem sei $\varphi_1,\dots,\varphi_n\colon I\to \R^n$
ein L\"osungsfundamentalsystem dieser Differentialgleichung.
Zur Erinnerung, wir  bezeichnen  mit 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6cm}  W(t)&:=&\big( \varphi_1(t)\,\dots\, \varphi_n(t)\big) 
\intertext{die zugeh\"orige Wronski--Matrix. Zudem bezeichnen wir nun}
 D(t)&:=& \det(W(t))
\intertext{als die \emph{Wronski--Determinante der L\"osungen $\varphi_1,\dots,\varphi_n$}. 
Im vorherigen Kapitel hatten wir gesehen, dass}
 |D(t)|&=&\left|\det\big( \varphi_1(t)\,\dots \, \varphi_n(t)\big)\right|
\end{array}\end{align*}
das Volumen des durch die Vektoren $\varphi_1(t),\dots,\varphi_n(t)$ aufgespannten Parallelotops ist. 

Die Funktion $t\mapsto |D(t)|$ gibt also an, wie sich unter der homogenen linearen Differentialgleichung $y'=A(t)y$ das Volumen von einem Parallelotop ver\"andert.
In vielen F\"allen studiert man volumenerhaltende Differentialgleichungen, d.h.\ Differentialgleichungen, so dass $|D(t)|$ konstant ist f\"ur ein L\"osungsfundamentalsystem.
\footnote{Die Wronski--Determinante ist konstant 
f\"ur ein L\"osungsfundamentalsystem, genau dann, wenn die Wronski--Determinante konstant ist
f\"ur jedes L\"osungsfundamentalsystem. Dies folgt daraus, dass es f\"ur zwei Wronski--Matrizen $V$ und $W$ eine Matrix $P\in GL(n,\R)$ gibt mit $V(t)=P W(t)$ f\"ur alle $t$.\\
In der Tat: sei $t_0\in I$, wir setzen $P:=V(t_0)\cdot W(t_0)^{-1}$. Dann folgt aus dem Eindeutigkeitssatz~\ref{satz:eindeutig}, dass $V(t)=P W(t)$ f\"ur alle $t$.}
Beispielsweise ist jede Differentialgleichung, welche den Fluss von Wasser beschreibt, notwendigerweise volumenerhaltend.

\begin{satz} \textbf{\emph{(Satz von \textlabel{Liouville}{satz:vonliouville})}}
Es sei $\varphi_1,\dots,\varphi_n\colon I\to \R^n$  ein L\"osungsfundamental\-sys\-tem  einer  homogenen linearen Differentialgleichung $y'=A(t)y$. Die dazugeh\"orige Wronski--Determinante $D(t)$ 
erf\"ullt die Differentialgleichung
\[ D'(t)\,\,=\,\,\operatorname{Spur}(A(t))\cdot D(t).\]
\end{satz}


\begin{bemerkung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Sei $t_0\in I$. Aus Satz~\ref{satz:explos} folgt, dass
\[ \hspace{0.6cm} D(t)\,\,=\,\,D(t_0)\cdot e^{\int\limits_{t_0}^t \operatorname{Spur}(A(s))\,ds}.\]
Insbesondere folgt, dass $D(t_0)\ne 0$, genau dann, wenn $D(t)\ne 0$ f\"ur alle $t$.
F\"ur $n$ L\"osungen gibt der Satz von Liouville  damit insbesondere einen neuen Beweis der \"Aquivalenz der Aussagen (2) und (3) in Satz~\ref{satz:losunabh}.
\item Die homogene lineare Differentialgleichung $y'=A(t)y$ ist also volumenerhaltend, genau dann, wenn $\operatorname{Spur}(A(t))=0$ f\"ur alle $t$. 
Betrachten wir beispielsweise, wie auf Seite~\pageref{page:beispieldrehung},    die  homogene lineare Differentialgleichung
\[ \underset{=y'}{\underbrace{\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\end{pmatrix}'}}\,\,=\,\,\underset{=A}{\underbrace{\left(\begin{array}{rr} 0&-c \\ c&0  \end{array}\right)}}\underset{=y}{ \underbrace{\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\end{pmatrix}}}.\]
In diesem Fall ist also $\operatorname{Spur}(A)=0$. 
Die L\"osungen $\varphi_1$ und $\varphi_2$ von Seite~\pageref{bsp:antidiagonal} ergeben die Wronski-Matrix
\[ W(t)\,\,=\,\,\underset{\opnormal{Drehung um den Winkel $ct$}}{\underbrace{\Big( \underset{=\varphi_1(t)}{\underbrace{\begin{array}{c} \cos(ct)\\ \sin(ct)\end{array}}}\,
\underset{=\varphi_2(t)}{\underbrace{\begin{array}{c} -\sin(ct) \\\hfill \cos(ct)\end{array} }}\Big).}}\]
Die Determinante der Wronski-Matrix ist hierbei immer $1$. Das Volumen bleibt also konstant. 
\end{enumerate}
\end{bemerkung}

\begin{proof}
Um die Notation etwas zu vereinfachen nehmen wir an, dass $I=\R$. 
Wir beweisen zuerst folgende Behauptung:

\begin{behauptung}
Es sei $B\colon \R\to M(n,\R)$ eine differenzierbare Abbildung\footnote{D.h.\  alle $n^2$--Eintr\"age der Matrix sind differenzierbar}.
Wir bezeichnen mit $b_i(t)$ den $i$--ten Zeilenvektor von $B(t)$. Dann gilt
\[ \footnotesize{\frac{d}{dt}\det(B(t))\,\,=\,\,\sum_{i=1}^n \det\begin{pmatrix} b_{1}(t) \\ \vdots \\ b_i'(t) \\ \vdots \\ b_n(t)\end{pmatrix}} \]
\end{behauptung}

Wir beweisen jetzt erst einmal die Behauptung. Es sei $t\in \R$.
Nachdem $B$ differenzierbar ist, k\"onnen wir schreiben
\[ B(t+h)\,\,=\,\,B(t)+hB'(t)+R(h),\] 
wobei 
\[ R\colon \R\to M(n,\R)\] eine Abbildung ist mit  
$R(h)=o(h)$.
\footnote{Hierbei bedeutet $R(h)=o(h)$, dass f\"ur alle $i,j\in \{1,\dots,n\}$ gilt $r_{ij}(h)=o(h)$, d.h.\
\[ \lim_{h\to 0} \frac{r_{ij}(h)}{h}=0.\]}
Wir bezeichnen zudem mit $r_i$ die $i$-te Zeile von $R$.
Dann gilt
\[ \begin{array}{rcl}
\smfrac{d}{dt}\det(B(t))
&=&\underset{h\to 0}{\lim}\smfrac{1}{h}\big(\det(B(t+h))-\det B(t)\big)\\[4mm]
&
=&\underset{h\to 0}{\lim}\smfrac{1}{h}\Big(\det\Big(B(t)+hB'(t)+R(h)\Big)-\det B(t)\Big)\\[4mm]
&=& {\underset{h\to 0}{\lim}\,\smfrac{1}{h}\left(\det \begin{pmatrix} b_{1}+hb_{1}'+r_1\\ b_{2}+hb_{2}'+r_2\\
\vdots  \\ b_{n}+hb_{n}'+r_n\end{pmatrix}  -\det B(t)\right)}\,\,=\,\,(*)\hspace{3cm}\end{array}\]
Indem wir die Linearit\"at der Determinante\footnote{Die Determinante ist linear in dem Sinne, dass sie auf jeder Zeile linear ist. Dies bedeutet, dass f\"ur Vektoren $v_1,\dots,v_n\in \R^n$, einen Vektor $u_i\in \R^n$ und $\lambda,\mu\in \R$ gilt, dass 
\[ \tiny{\det \begin{pmatrix} v_1\\ \vdots \\ \lambda  v_i+\mu u_i\\\vdots \\ v_n\end{pmatrix}=
\lambda  \det \begin{pmatrix} v_1\\ \vdots \\  v_i\\\vdots \\ v_n\end{pmatrix}
+
\mu\det \begin{pmatrix} v_1\\ \vdots \\  u_i\\\vdots \\ v_n\end{pmatrix}.}\]
}
auf die  erste Zeile anwenden erhalten wir, dass
\[
\begin{array}{rcl}(*)&=&\tiny{\underset{h\to 0}{\lim}\, \smfrac{1}{h}\left(\det \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}+hb_{2}'+r_2\\
\vdots  \\ b_{n}+hb_{n}'+r_n\end{pmatrix} +h\det \begin{pmatrix} b_{1}'\\ b_{2}+hb_{2}'+r_2\\
\vdots  \\ b_{n}+hb_{n}'+r_n\end{pmatrix}+
\det \begin{pmatrix} r_1\\ b_{2}+hb_{2}'+r_2\\
\vdots  \\ b_{n}+hb_{n}'+r_n\end{pmatrix} -\det B(t)\right)} \\[2mm]
&=&\tiny{\underset{h\to 0}{\lim}\smfrac{1}{h}\left(\hspace{-0.1cm}\det \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}+hb_{2}'+r_2\\
\vdots  \\ b_{n}+hb_{n}'+r_n\end{pmatrix} \hspace{-0.1cm} -\hspace{-0.1cm}{\det B(t)}\hspace{-0.1cm}\right)\hspace{-0.1cm}+\hspace{-0.1cm}\underset{=\det \begin{pmatrix} b_{1}'\\ b_{2}\\
\vdots  \\ b_{n}\end{pmatrix},\operatorname{\,da\,det\,stetig}}{\underbrace{\underset{h\to 0}{\lim}\det \begin{pmatrix} b_{1}'\\ b_{2}+hb_{2}'+r_2\\
\vdots  \\ b_{n}+hb_{n}'+r_n\end{pmatrix}}}
\hspace{-0.1cm}+\hspace{-0.1cm}\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{$=0$, denn $r_1(h)=o(h)$}\\\opnormal{impliziert $\underset{h\to 0}{\lim}\frac{r_1(h)}{h}=0$}\end{array}}}{\underbrace{\underset{h\to 0}{\lim}\,\det \begin{pmatrix} \frac{1}{h}r_1(h)\\ b_{2}+hb_{2}'+r_2\\
\vdots  \\ b_{n}+hb_{n}'+r_n\end{pmatrix}}}.}\end{array} \]
Wir haben also gezeigt, dass
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
 \hspace{1cm} \frac{d}{dt}\det B(t)
&=&\tiny{\underset{h\to 0}{\lim}\smfrac{1}{h}\left(\det \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}+hb_{2}'+r_2\\
\vdots  \\ b_{n}+hb_{n}'+r_n\end{pmatrix}  -\det B(t)\right)+\det \begin{pmatrix} b_{1}'\\ b_{2}\\
\vdots  \\ b_{n}\end{pmatrix}.}
\intertext{
Wir  wenden nun das obige Verfahren auf die Zeilen $2,3,\dots,n$ an. Wir erhalten, dass}
 \frac{d}{dt}\det(B(t))&=&\tiny{
\underset{h\to 0}{\lim}\frac{1}{h}\Bigg(\det \underset{=B(t)}{\underbrace{\begin{pmatrix} b_{1}\\\vdots  \\ b_{n}\end{pmatrix}}}
 -\det(B(t))\Bigg)+\sum\limits_{i=1}^n \det\begin{pmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_i' \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}\,\,=\,\,\sum\limits_{i=1}^n \det\begin{pmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_i' \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}.}\end{array} \end{align*}
Wir haben damit die Behauptung bewiesen.

Wir wenden uns nun dem eigentlich Beweis vom Satz von Liouville zu.
Es sei also $\varphi_1,\dots,\varphi_n\colon I\to \R^n$ ein  L\"osungsfundamentalsystem der  homogenen linearen Differentialgleichung $y'=A(t)y$.
Wir bezeichnen  mit $W$ die Wronski--Matrix der L\"osungen $\varphi_1,\dots,\varphi_n$.
Wir bezeichnen mit $w_1,\dots,w_n$ die Zeilen von $W$.
Nachdem $\varphi_i'=A(t)\varphi_i$ folgt sofort, dass $W'=A(t)W$. In die Sprache der Zeilen \"ubersetzt bedeutet dies gerade, dass
\[ w_i'\,\,=\,\,\sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot w_j\quad \mbox{ f\"ur alle $i=1,\dots,n$,}\]
wobei wie \"ublich $a_{ij}$ die Eintr\"age der Matrix $A$ sind. 
Setzen wir dies in die obige Gleichung f\"ur $\frac{d}{dt}\det(W(t))$ aus der Behauptung ein, dann erhalten mithilfe der Linearit\"at der Determinante, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{0.0cm} \lmfrac{d}{dt}\det(W(t))&=&
 \footnotesize{\sum\limits_{i=1}^n \det\hspace{-0.1cm} \begin{pmatrix} w_{1}\\ \vdots \\ w_i' \\ \vdots \\ w_n\end{pmatrix}}=
\footnotesize{\sum\limits_{i=1}^n \det\hspace{-0.1cm} \begin{pmatrix} w_{1} \\ \vdots \\ \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}\cdot w_j \\ \vdots \\ w_n\end{pmatrix}\hspace{-0.1cm} \mbox{$\leftarrow$\,$i$-te~Zeile} 
= \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij} \det\hspace{-0.1cm} \begin{pmatrix} w_{1} \\ \vdots \\  w_j \\ \vdots \\ w_n\end{pmatrix}
\hspace{-0.1cm} \mbox{$\leftarrow$\,$i$-te~Zeile}.} 
\intertext{Die Matrizen ganz rechts haben jeweils zwei gleiche Zeilen, au\ss er wenn $i=j$. Insbesondere ist also f\"ur $i\ne j$ die Determinante null. Wir m\"ussen also nur die Summanden mit $i=j$ ber\"ucksichtigen. Wir erhalten also die gew\"unschte Aussage, dass}
  \lmfrac{d}{dt}\det(W(t))&=&\footnotesize{ \sum\limits_{i=1}^n  a_{ii} \det\underset{=W}{\underbrace{\begin{pmatrix} w_{1} \\ \vdots \\  w_i \\ \vdots \\ w_n\end{pmatrix}}} \mbox{$\leftarrow$\,\,$i$--te Zeile}\quad=\,\,\operatorname{Spur}(A)\cdot \det(W).}\end{array} \end{align*}
\end{proof}


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\subsection{Der Fluss eines autonomen Differentialgleichungssystems}
\footnote{Der Stoff dieses Kapitels basiert nicht auf Forster: Analysis~II, sondern basiert lose auf Br\"ocker: Analysis~III, Kapitel I.}



\begin{definition}
Es sei $M\subset \R^n$ eine Teilmenge und $f\colon M\to \R^n$ eine stetige Abbildung. Eine Differentialgleichung vom Typ
\[ y'\,\,=\,\,f(y)\]
hei\ss t \emph{autonome Differentialgleichung}.\footnote{Autonom hei\ss t also, dass das Vektorfeld nicht von `der Zeit $t$' abh\"angt.}
\end{definition}

Im Folgenden sei $y'=f(y)$ eine autonome Differentialgleichung auf $\R^n$, wobei $f$ Lipschitz-stetig ist.
Wir nehmen an, dass f\"ur jedes $x\in \R^n$ die L\"osung $\varphi_x$ der Differentialgleichung mit $\varphi_x(0)=x$ auf ganz $\R$ definiert ist. Wir bezeichnen dann
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon \R\times \R^n&\to &\R^n\\
(t,x)&\mapsto &\Phi(t,x):=\varphi_x(t)\end{array}\]
als den \emph{Fluss der autonomen Differentialgleichungen $y'=A(y)$}. 
Wir f\"uhren dazu nun noch verschiedene Begriffe ein.
\begin{enumerate}
\item F\"ur $x\in \R^n$  hei\ss t die Kurve
\[ \begin{array}{rcl} \varphi_x\colon\R &\to & M \\
t&\mapsto& \Phi(t,x)=\varphi_x(t)\end{array} \]
die \emph{Flusslinie zum Anfangspunkt $x$}. Manchmal bezeichnen wir auch die Teilmenge 
\[ \varphi_x(\R)\,\,=\,\,\{ \varphi_x(t)\,|\, t\in \R\}\]
als Flusslinie. 
\item Ein Punkt $x$ hei\ss t \emph{Fixpunkt} oder auch \emph{singul\"arer Punkt}, wenn $\varphi_x(t)=x$ f\"ur alle $t\in \R$.
\item  Eine Flusslinie $\varphi_x$ hei\ss t \emph{periodisch}, wenn diese nicht konstant ist, und wenn es ein $p>0$ gibt, so dass
\[ \varphi_x(p)\,\,=\,\,\varphi_x(0)=x. \]
f\"ur alle $t\in \R$. 
\end{enumerate}






\begin{beispiel}
Wir betrachten die Differentialgleichung
\[ \quad \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\end{pmatrix} '\,=\,\begin{pmatrix} 0&-1 \\ 1&\hfill 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\end{pmatrix}, \mbox{ dabei ist }\varphi_{\tiny{\begin{pmatrix}  1\\0\end{pmatrix}}}(t)=\begin{pmatrix} \cos t\\\sin t\end{pmatrix}\mbox{ und }\varphi_{\tiny{\begin{pmatrix}  0\\1\end{pmatrix}}}(t)=\begin{pmatrix} \sin t\\\cos t\end{pmatrix}.\]
Jede andere L\"osung ist eine Linearkombination von diesen beiden L\"osungen. Also ist der Fluss gegeben durch 
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon\R\times \R^2&\to &\R^2 \\
\left(t,\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \right)&\mapsto & \underset{\footnotesize{\begin{array}{c}\mbox{Rotation um}\\ \mbox{Winkel }t\end{array}}}{\underbrace{ \begin{pmatrix} \cos(t) & -\sin(t) \\ \sin(t) &\hfill \cos(t) \end{pmatrix} }}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \end{array}. \]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{rotationsfluss-dgl.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:rotationsfluss-dgl}
\end{center}
\end{figure}
Im obigen Beispiel ist $(0,0)$ der einzige Fixpunkt des Flusses. F\"ur jedes $(x,y)\ne (0,0)$ ist die dazugeh\"orige Flusslinie periodisch.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Es sei $M=\R^2$ eine 2-dimensionale Welt mit der Eigenschaft, dass die Windrichtung und die Windst\"arke zeitunabh\"angig ist. 
Dies bedeutet also, dass die Abbildung
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} \R^2&\to &\R^2 \\
P&\mapsto & \mbox{Windst\"arke}\cdot \mbox{Windrichtung} \mbox{ am Punkt $P$}
\intertext{ein  Vektorfeld ist. Es sei  $P\in \R^2$ der Ort eines Molek\"uls  zum Zeitpunkt $t=0$, dann ist}
\hspace{2.6cm}\Phi(t,P)&=&\mbox{der Ort des Luftmolek\"uls zum Zeitpunkt $t$}.
\intertext{Allgemeiner, wenn $W\subset \R^2$ eine Wolke zum Zeitpunkt $t=0$ beschreibt, dann ist }
\Phi(t,W)&=&\mbox{Ausdehnung der Wolke zum Zeitpunkt $t$}.\end{array}\end{align*}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{fluss-vektorfeld.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:fluss-vektorfeld}
\end{center}
\end{figure}
\end{beispiel}

In dem ersten Beispiel hatten wir gesehen, dass die Flusslinien entweder gleich oder disjunkt sind. Dies ist in der Tat immer der Fall.


\begin{lemma}\label{lem:flussliniendisjunkt}
Wir verwenden die Notation von dem Kapitel. Es  seien  $x,y\in \R^n$.
Dann gilt
\begin{enumerate}
\item entweder ist $\varphi_x(\R)=\varphi_y(\R)$, oder
\item $\varphi_x(\R)$ und $\varphi_y(\R)$ sind disjunkt.
\end{enumerate}
Anders ausgedr\"uckt, wenn sich zwei Flusslinien schneiden, dann sind sie auch schon identisch.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es seien also $x,y\in \R^n$. Wir nehmen an, dass $\varphi_x(\R)\cap \varphi_y(\R)\ne \emptyset$.
Wir m\"ussen nun zeigen, dass $\varphi_x(\R)=\varphi_y(\R)$. 

Nachdem  $\varphi_x(\R)\cap \varphi_y(\R)\ne \emptyset$ gibt es ein $a\in \R$ und ein $b\in \R$, so dass 
$\varphi_x(a)=\varphi_y(b)$. Wir betrachten die Kurven
\[ \begin{array}{rcl} \alpha\colon \R&\to &\R^n \\ t&\mapsto &\varphi_x(a+t)\end{array} \mbox{ und }
\begin{array}{rcl} \beta\colon \R&\to &\R^n \\ t&\mapsto &\varphi_y(b+t).\end{array}\]
Dann gilt $\alpha(0)=\varphi_x(a)=\varphi_y(b)=\beta(0)$. Zudem gilt
\[ \begin{array}{rcll} \lmfrac{d}{dt} \alpha(t)\,\,=\,\,\ \lmfrac{d}{dt}\varphi_x(a+t)&=&\varphi_x'(a+t)&\mbox{Kettenregel}\\
&=&f(\varphi_x(a+t))&\mbox{da $\varphi_x$ L\"osung von $y'=f(y)$}\\
&=&f(\alpha(t)).\end{array}\]
Wir haben also gezeigt, dass $\alpha$ eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=f(y)$ ist. Das gleiche Argument zeigt, dass dies auch f\"ur $\beta$ der Fall ist. Aber nachdem $\alpha(0)=\beta(0)$ folgt nun aus dem Eindeutigkeitssatz~\ref{satz:eindeutig}, dass $\alpha=\beta$. Dann gilt aber insbesondere auch, dass  $\varphi_x(\R)=\varphi_y(\R)$. 
\end{proof}



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\subsection{Der Fluss eines autonomen Differentialgleichungssystems II $(*$)}
In diesem Kapitel wollen wir eine etwas allgemeinere Definition von einem Fluss geben.
Dieses Kapitel ist nicht Teil der offiziellen Vorlesung.




\begin{definition}
Es sei $M\subset \R^n$ eine Teilmenge. Ein \emph{Fluss} ist eine stetige Abbildung
\[ \Phi\colon\R\times M\to M, \]
welche die folgenden beiden Eigenschaften erf\"ullt:
\begin{enumerate}
\item $\Phi(0,x)=x$ f\"ur alle $x\in M$,
\item f\"ur alle $s,t\in \R$ und $x\in M$ gilt
\[ \Phi(s,\Phi(t,x))\,\,=\,\,\Phi(s+t,x).\]
\end{enumerate}
\end{definition}


 
\begin{definition}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Es sei $\Phi\colon\R\times M\to M$ ein Fluss und $x\in M$. Dann hei\ss t die Kurve
\[ \begin{array}{rcl} \varphi_x\colon\R &\to & M \\
t&\mapsto& \Phi(t,x)\end{array} \]
die \emph{Flusslinie zum Anfangspunkt $x$}. Manchmal bezeichnen wir auch die Teilmenge 
\[ \varphi_x(\R)\,\,=\,\,\{ \varphi_x(t)\,|\, t\in \R\}\]
als Flusslinie. 
\item Ein Punkt $x$ hei\ss t \emph{Fixpunkt} oder auch \emph{singul\"arer Punkt}, wenn $\Phi(x,t)=x$ f\"ur alle $t\in \R$.
\item  Eine Flusslinie $\varphi_x$ hei\ss t \emph{periodisch}, wenn diese nicht konstant ist, und wenn es ein $p>0$ gibt, so dass
\[ \varphi_x(t+p)\,\,=\,\,\varphi_x(t) \]
f\"ur alle $t\in \R$. \footnote{Wenn $\varphi_x(t+p)=\varphi_x(t)$ f\"ur \emph{ein} $t\in \R$, dann folgt aus der zweiten Eigenschaft eines Flusses,
dass $\varphi_x(t+p)=\varphi_x(t)$ f\"ur \emph{alle} $t\in \R$.}
Das kleinste $p>0$ mit der Eigenschaft, dass $\varphi_x(t+p)=\varphi_x(t)$ f\"ur alle $t\in \R$, nennt man die \emph{Periode} der Flusslinie.
\footnote{Es sei $\varphi_x$ eine periodische Flusslinie. Wir betrachten dann
\[ Q:=\{ q>0\,|\, \varphi_x(t+q)=\varphi_x(t)\mbox{ f\"ur alle $t\in \R$}\}.\]
Dies ist eine nichtleere Menge. Zudem kann man zeigen, dass $\inf(Q)>0$, und dass $p:=\inf(Q)$ ebenfalls die Eigenschaft hat,
dass $\varphi_x(t+p)=\varphi_x(t)$ f\"ur alle $t\in \R$. Dies zeigt, dass es wirklich Sinn macht, von dem
`kleinsten $p>0$ mit der Eigenschaft, dass $\varphi_x(t+p)=\varphi_x(t)$ f\"ur alle $t\in \R$' zu sprechen.}
\end{enumerate}
\end{definition}

Der Beweis vom folgenden Lemma ist eine freiwillige \"Ubungsaufgabe.

\begin{lemma}\label{lem:flussliniendisjunkt}
Es sei $\Phi\colon\R\times M\to M$ ein Fluss und es seien  $x,y\in M$.
Dann gilt
\begin{enumerate}
\item entweder ist $\varphi_x(\R)=\varphi_y(\R)$, oder
\item $\varphi_x(\R)$ und $\varphi_y(\R)$ sind disjunkt.
\end{enumerate}
Anders ausgedr\"uckt, wenn sich zwei Flusslinien schneiden, dann sind sie auch schon identisch.
\end{lemma}




\begin{satz}\label{satz:fluss}
Es sei $M\subset \R^n$ eine Teilmenge und $f\colon M\to \R^n$ eine Lipschitz stetige Abbildung.
Wir nehmen an, dass f\"ur jedes $x\in M$ die L\"osung $\varphi_x$ der Differentialgleichung $y'=f(y)$,
 welche die Anfangsbedingung $\varphi_x(0)=x$ erf\"ullt, auf ganz $\R$ definiert ist.
 Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon\R\times M&\to & M \\
(t,x)&\mapsto &\varphi_x(t) \end{array} \]
ein Fluss auf $M$.
\end{satz}



\begin{proof}
Nach Satz~\ref{satz:existenzparameter} ist f\"ur jedes $x\in M$ ist die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon\R\times M&\to & M \\
(t,x)&\mapsto &\varphi_x(t) \end{array} \]
stetig.
Wir m\"ussen nun noch zeigen, dass
\begin{enumerate}
\item $\Phi(0,x)=x$ f\"ur alle $x\in M$,
\item f\"ur alle $s,t\in \R$ und $x\in M$ gilt
\[ \Phi(s,\Phi(t,x))\,\,=\,\,\Phi(s+t,x).\]
\end{enumerate}
Die erste Aussage folgt sofort daraus, dass $\varphi_x$ die Anfangsbedingung $\varphi_x(0)=x$ erf\"ullt.
Sei nun $x\in M$ und $t\in \R$. Wir betrachten die Abbildungen
\[ \begin{array}{rcl} \R &\to & M \\
s &\mapsto &  \Phi(s,\Phi(t,x))\end{array} \quad \mbox{ und }\quad \begin{array}{rcl} \R &\to & M \\
s&\mapsto & \Phi(s+t,x).\end{array} \]
Beide Kurven nehmen den Wert $\Phi(t,x)$ zum Zeitpunkt $s=0$ an. Nachdem $\varphi_x$ eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=f(y)$ ist, folgt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 \hspace{1.5cm}\lmfrac{d}{ds} \Phi(s+t,x)&=&\lmfrac{d}{ds}\varphi_x(s+t)\,\,=\footnotemark\,\,f(\varphi_x(s+t))\,\,=\,\,f(\Phi(s+t,x)) 
\intertext{und nachdem $\varphi_{\Phi(t,x)}$  eine L\"osung der Differentialgleichung $y'=f(y)$ ist, folgt}
 \lmfrac{d}{ds} \Phi(s,\Phi(t,x))&=&\lmfrac{d}{ds}\varphi_{\Phi(t,x)}(s)\,\,=\,\,f(\varphi_{\Phi(t,x)}(s))\,\,=\,\,f(\Phi(s,\Phi(t,x))).\end{array} \end{align*}
\footnotetext{Wenn man genau hinschaut, sieht man, dass man f\"ur die zweite Gleichheit die \ref{satz:kettenregel} auf die Abbildungen $s\mapsto \varphi_x(s)$ und $s\mapsto s+t$ anwenden muss.}
D.h.\  beide Kurven erf\"ullen die Differentialgleichung $y'=f(y)$ bez\"uglich der gleichen Anfangsbedingung.
Es folgt nun aus dem Eindeutigkeitssatz~\ref{satz:eindeutig}, dass
\[ \Phi(s,\Phi(t,x))\,\,=\,\,\Phi(s+t,x)\quad \mbox{ f\"ur alle $s\in \R$.}\]
\end{proof}


%======================================================
\section{Homogene lineare autonome Differentialgleichungen}
Zur Erinnerung: eine lineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung vom Typ 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{6.3cm} y'&=&A(t)y+b(t),
\intertext{und sie hei\ss t  linear, wenn $b(t)=0$.
Zudem hei\ss t eine Differentialgleichung \emph{autonom}, wenn das Vektorfeld  nicht von der Zeit $t$ abh\"angt. Eine homogene lineare autonome Differentialgleichungen
ist also von der Form}
 y'&=& Ay\end{array} \end{align*}
f\"ur eine festgew\"ahlte $n\times n$--Matrix $A$.


Wir erinnern uns zuerst an die L\"osung im Fall $n=1$: Es sei $a\in \R$ und $c\in \R$. Die L\"osung $\varphi$ der Differentialgleichung $y'=ay$ bez\"uglich der Anfangsbedingung
$\varphi(0)=c$ ist gegeben durch $\varphi(t)=e^{at}c$, wobei
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 \hspace{6.3cm} e^{x}&:=&\lmsum{k=0}{\infty} \lmfrac{x^k}{k!}. 
\intertext{Wir kehren zur\"uck zum allgemeinen Fall, es sei also $A$ eine beliebige $n\times n$--Matrix. Wir betrachten die homogene lineare autonome Differentialgleichung}
 y'&=&Ay.\end{array} \end{align*}
Unser Ziel ist alle L\"osungen zu beschreiben, oder anders ausgedr\"uckt, den dazugeh\"origen Fluss zu beschreiben.

Bevor wir den n\"achsten Satz formulieren, f\"uhren wir noch folgende Konvention ein. F\"ur den Rest der Vorlesung schreiben wir f\"ur eine reelle $n\times n$--Matrix $A$ 
\[  \|A\|\,\,:=\,\,\max\big\{ |a_{ij}|\,\big|\, i,j=1,\dots,n\big\}.\]
Dies ist eine Norm auf dem Vektorraum der $n\times n$-Matrizen. Diese unterscheidet  sich jedoch von der Norm, welche wir auf Seite~\pageref{definition:norma} eingef\"uhrt hatten. Andererseits hatten wir im Anschlu\ss\, an Lemma~\ref{lem:gleichetopologie} schon erw\"ahnt, dass alle Normen auf einem endlich dimensionalen Vektorraum die gleiche Topologie definieren. Beispielsweise folgt nun aus Lemma~\ref{lem:konvergenzxk},  eine Folge von Matrizen bez\"uglich einer Norm konvergiert, genau dann, wenn sie bez\"uglich einer anderen Norm konvergiert.


\begin{satz}\label{satz:expaex}
Es sei $A$ eine beliebige reelle $n\times n$--Matrix. Dann konvergiert
\footnote{Eine Reihe von Matrizen ist nat\"urlich, ganz analog zu den Reihen von reellen Zahlen, definiert als der Grenzwert der Partialsummen von Matrizen. Beispielsweise ist
\[ \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}\,\,:= \,\,\underset{n\to\infty}{\lim}\sum\limits_{k=0}^n \frac{A^k}{k!}.\]
}
\[ e^A\,\,:=\,\,\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} \]
im Vektorraum der reellen $n\times n$--Matrizen bez\"uglich der Norm
\[  \|A\|\,\,:=\,\,\max\big\{ |a_{ij}|\,\big|\, i,j=1,\dots,n\big\}.\]
\end{satz}

Hierbei verwenden wir die Konvention, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{5cm} \mbox{Nullmatrix}^0 &=&\operatorname{id}_n.
\intertext{Insbesondere gilt}
 e^{\operatorname{Nullmatrix}}&=&\operatorname{id}_n.
 \intertext{Manchmal schreiben wir zudem}
 \exp(A)&=&e^A.\end{array} \end{align*}

 
\begin{beispiel}\label{beispiel:ehochdiagonal}
Es sei $D$ eine Diagonalmatrix mit den Eintr\"agen $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Dann gilt\label{bsp:ehochd}
\[ \begin{array}{rcl} e^D\,\,=\,\,\lmsum{k=0}{\infty} \lmfrac{1}{k!}D^k&=&\lmsum{k=0}{\infty} \lmfrac{1}{k!}\begin{pmatrix} \lambda_1&0&0 \\ 0&\ddots &0 \\ 0&0&\lambda_n\end{pmatrix}^k\\[2mm]
&=&\lmsum{k=0}{\infty} \lmfrac{1}{k!}\begin{pmatrix} \lambda_1^k&0&0 \\ 0&\ddots &0 \\ 0&0&\lambda_n^k\end{pmatrix}\\[2mm]
&=&\begin{pmatrix} \sum\limits_{k=0}^\infty \lmfrac{1}{k!}\lambda_1^k&0&0 \\ 0&\ddots &0 \\ 0&0&\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\lambda_n^k\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} e^{\lambda_1}&0&0 \\ 0&\ddots &0 \\ 0&0&e^{\lambda_n}\end{pmatrix}.\end{array} \]
\end{beispiel}

Im Beweis von Satz~\ref{satz:expaex} verwenden wir folgendes Konvergenzkriterium f\"ur Reihen von Matrizen.

\begin{lemma}\textbf{\emph{(Majoranten-Kriterium)}}
\label{lem:majoranten}
Es sei $\sum_{k=0}^\infty B_k$ eine Reihe in $M(n,\R)$. Wenn es eine konvergente Reihe $\sum_{k=0}^\infty c_k$ von reellen Zahlen und ein $m\in \N$ gibt, so dass $\|B_k\|\leq c_k$ f\"ur alle $k\geq m$, dann konvergiert die Reihe $\sum_{k=0}^\infty B_k$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Wort-w\"ortlich der gleiche Beweis wie vom Majoranten-Kriterium f\"ur Reihen von reellen Zahlen, siehe Satz~5.7 im Analysis~I Skript, zeigt, dass die Folge von Partialsummen $\sum_{k=0}^n B_k$ eine Cauchy--Folge im normierten Vektorraum $(M(n,\R),\|-\|)$ bildet. Es gen\"ugt nun folgende Behauptung zu beweisen:

\begin{behauptung}
Der normierte Vektorraum $(M(n,\R),\|-\|)$ ist vollst\"andig.
\end{behauptung}

Der normierte Vektorraum $(M(n,\R),\|-\|)$ ist offensichtlich isomorph zum normierten Vektorraum $(\R^{n^2},\|-\|_{max})$. 
Es folgt aus Lemma~\ref{lem:euklmax}, dass eine Folge von Punkte in $\R^{n^2}$, welche eine Cauchy-Folge bez\"uglich der Maximumsnorm $\|-\|_{max}$ bildet, auch eine Cauchy-Folge bez\"uglich der euklidischen Norm bildet. 
Aber auf Seite~\pageref{bsp:rnvollstandig} hatten wir gesehen, dass jede solche Cauchy-Folge konvergiert. 
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:expaex}]
Wir wollen den Satz mithilfe von Lemma~\ref{lem:majoranten} beweisen. 
Um Lemma~\ref{lem:majoranten} anwenden zu k\"onnen m\"ussen wir nat\"urlich zuerst die Normen der Summanden, also insbesondere die Normen der Potenzen $A^n$ absch\"atzen. 
Wir beweisen dazu zuerst folgende Behauptung:

\begin{behauptung}\label{behauptung:normpq}
Es seien $P,Q\in M(n,\R)$. Dann gilt
\[ \|P\cdot Q\|\,\,\leq \,\,n\,\|P\|\cdot \|Q\|.\]
\end{behauptung}

\noindent Es seien also $P,Q\in M(n,\R)$. Dann gilt f\"ur alle $i,j\in \{1,\dots,n\}$, dass 
\begin{align*}\begin{array}{rcl} \big|\mbox{$ij$-Eintrag der Matrix $PQ$}\big|&=&\left|\sum\limits_{k=1}^n p_{ik}q_{kj}\right|\\[1mm]
&\leq&  \sum\limits_{k=1}^n|p_{ik}q_{kj}|\\[1mm]
&\leq &\sum\limits_{k=1}^n \max\big\{ |p_{ij}|\,\big|\, i,j=1,\dots,n\big\}\cdot \max\big\{ |q_{ij}|\,\big|\, i,j=1,\dots,n\big\} \\[1mm]
&=& n\|P\|\cdot \|Q\|.
\intertext{Es folgt also per Definition von $\|PQ\|$, dass}
 \|PQ\|&\leq& n\|P\|\cdot \|Q\|.\end{array}\end{align*}
Wir haben also  die Behauptung bewiesen.

Wir wenden uns nun dem eigentlichen Beweis des Satzes zu. Es sei also $A\in M(n;\R)$. Dann gilt f\"ur alle $k$, dass 
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} 
\hspace{2.5cm} \Big\|\smfrac{A^k}{k!} \Big\|&\leq& \smfrac{1}{k!} n^{k-1}\|A\|^k&\mbox{$(n-1)$-faches Anwenden der Behauptung}\\[2mm]
&=&\smfrac{1}{k!} \smfrac{1}{n} (n\|A\|)^k\,\,=\,\,(*).
\intertext{
Wir w\"ahlen ein $m\in \N$ mit $m\geq 2n\|A\|$.
Dann gilt  f\"ur $k\geq m$, dass}
(*)&=& \smfrac{1}{n}\smfrac{1}{m!}\,(n\|A\|)^m\,\prod\limits_{i=1}^{k-m} \underset{<\frac{1}{2}}{\underbrace{ \smfrac{n\|A\|}{m+i}}}\\[2mm]
&\leq &  \smfrac{1}{n}\smfrac{1}{m!}\,\big(n\|A\|^m\big)\,\smfrac{1}{2^{k-m}}\\[2mm]
&= &  \underset{\operatorname{=:C}}{\underbrace{\smfrac{1}{n}\smfrac{1}{m!}\,\big(n\|A\|^m\big)\,2^m}}\,\smfrac{1}{2^{k}}.
\intertext{Zusammengefasst haben wir also gezeigt, dass f\"ur alle $k\geq m$ gilt, dass}
\Big\|\smfrac{A^k}{k!} \Big\|&\leq & C\cdot \smfrac{1}{2^k}
\end{array} \end{align*}
Nachdem die geometrische Reihe $\sum_{k=0}^\infty C\frac{1}{2^k}$ konvergiert, konvergiert nach  Lemma~\ref{lem:majoranten} auch die Reihe $\sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}$.

\end{proof}



Das folgende Lemma wird \"ahnlich wie Theorem~5.18 in Analysis~I  bewiesen.

\begin{lemma}\label{lem:expab}
Es seien $A,B\in M(n,\R)$. Wenn $A$ und $B$ kommutieren, das hei\ss t wenn $AB=BA$, dann gilt
\begin{align*} \begin{array}{rcl}\hspace{7cm} e^{A+B}&=&e^A\cdot e^B.
\intertext{Insbesondere gilt f\"ur alle $A\in M(n,\R)$, dass}
 \left(e^A\right)^{-1}&=&e^{-A},\end{array} \end{align*}
insbesondere ist die Matrix $e^A$  invertierbar.
\end{lemma}

Mithilfe der Abbildung $A\mapsto e^A$ k\"onnen wir jetzt die vollst\"andige L\"osung einer homogenen linearen autonomen Differentialgleichung hinschreiben. 

\begin{satz}\label{satz:eat}
Es sei $A$ eine beliebige $n\times n$--Matrix und $v\in \R^n$.
Die L\"osung $\varphi$ der homogenen linearen autonomen Differentialgleichung
\[ \hspace{0.1cm} y'\,\,=\,\,Ay\]
bez\"uglich der Anfangsbedingung $\varphi(0)=v$ ist gegeben durch
\[ \begin{array}{rcl} \varphi\colon  \R&\to &\R^n \\
t&\mapsto & e^{At}v.\end{array} \]
\end{satz}

Anders ausgedr\"uckt, der Fluss, welcher durch die Differentialgleichung $y'=Ay$ definiert ist, ist gegeben durch
\[\hspace{-1cm} \begin{array}{rcl}  \Phi\colon\R\times \R^n&\to &\R^n \\
(t,v)&\mapsto& e^{At}v.\end{array} \]

\begin{proof}
Es sei also $\varphi(t)=e^{At}v$.\footnote{Der Beweis ist ganz \"ahnlich zum Beweis von Satz~11.9 aus der Analysis~I Vorlesung in dem wir die Ableitung der Exponentialfunktion bestimmt hatten.}
Dann gilt
\[
 \begin{array}{rcll} \varphi'(t)&=&\underset{h\to 0}{\lim} \smfrac{1}{h}\big(e^{A(t+h)}v-e^{At}v\big)\\[2mm]
&=&\underset{h\to 0}{\lim} \smfrac{1}{h}\big(e^{Ah}e^{At}-e^{At}\big)v\hspace{2cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:expab}, da $Ah$ und $At$ kommutieren}\\[2mm]
&=&\underset{h\to 0}{\lim} \smfrac{1}{h}\big(e^{Ah}-\operatorname{id}\big)e^{At}v
\\[2mm]
&=&\underset{h\to 0}{\lim} \smfrac{1}{h}\Big(\operatorname{id}+Ah+\sum\limits_{k=2}^\infty \tmfrac{A^k}{k!}h^k\,\,  -\operatorname{id}\Big)e^{At}v\\[2mm]
&=&\underset{h\to 0}{\lim} \bigg(A+\sum\limits_{k=2}^\infty \tmfrac{A^{k}}{k!}h^{k-1}\,\,\bigg)e^{At}v\\
&=&\underset{h\to 0}{\lim}\bigg(A+\underset{\underset{h\to 0}{\lim}=0}{\underbrace{A^2\,h}}\cdot\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{Beweis von Satz~\ref{satz:expaex}}\\\opnormal{zeigt, dass die Norm}\\\opnormal{auf  $[-1,1]$ beschr\"ankt ist}\end{array}}}{\underbrace{\sum\limits_{k=0}^\infty \smfrac{A^{k}}{(k+2)!}h^{k}}}\,\,\bigg)e^{At}v\\
&=&Ae^{At}v.\end{array} \]
\end{proof}

Wir haben damit, zumindest theoretisch, eine L\"osung  der homogenen linearen autonomen Differentialgleichung
\[ y'\,\,=\,\,Ay\] gefunden.
Es stellt sich aber die Frage, ob man  $t\mapsto e^{At}v$ auch berechnen kann. Wir werden dieser Frage in den  n\"achsten  Kapiteln nachgehen. 






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\section{Homogene lineare autonome Differentialgleichungen in Dimension 2}
 Wir wollen zum Abschlu\ss\, der Vorlesung den Fluss einer  homogenen linearen autonomen Differentialgleichung $y'=Ay$ 
f\"ur eine reelle $2\times 2$--Matrix $A$ 
 explizit beschreiben. Im folgenden Teilkapitel wollen wir hierzu kurz  reelle $2\times 2$--Matrizen  etwas genauer studieren.
 
 
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\subsection{Reelle $2\times 2$--Matrizen}

\begin{definition}
Wir sagen zwei Matrizen $A,B\in M(n,\R)$ sind \emph{komplex \"ahnlich}, wenn es eine Matrix $P\in \operatorname{GL}(n,\C)$ mit $P^{-1}AP=B$ gibt. Wir sagen $A$ und $B$ sind \emph{reell \"ahnlich}, wenn es eine reelle Matrix $P\in \operatorname{GL}(n,\R)$ mit $P^{-1}AP=B$ gibt.
\end{definition}

Der Name `\"ahnlich' r\"uhrt unter Anderem daher, dass viele Invarianten von  \"ahnlichen Matrizen \"ubereinstimmen. Beispielsweise wird in der Linearen Algebra folgendes Lemma bewiesen.



\begin{lemma}\label{lem:spur}
Es seien $A$ und $B$ komplex \"ahnliche Matrizen. Dann gilt
\[\begin{array}{ccrclcl} (1)& \hspace{3cm}& \det(A)&=&\det(B)&\hspace{2cm}&\\
(2)& \hspace{3cm}& \operatorname{Spur}(A)&=&\operatorname{Spur}(B)&\hspace{2cm}&\\
(3)& \hspace{3cm}& \mbox{Eigenwerte von $A$}&=&\mbox{Eigenwerte von $B$}&\hspace{2cm}&
\end{array}\]
\end{lemma}


Wir werden sp\"ater folgendes Lemma ben\"otigen.

\begin{lemma}\label{lem:matrizenaehnlich}
Es seien  $A,B$ zwei reelle $n\times n$-Matrizen. Wenn $A$ und $B$ komplex \"ahnlich sind, dann sind sie auch reell \"ahnlich.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es seien  $A,B$ zwei reelle $n\times n$-Matrizen.
Wir beginnen mit der Vorbemerkung, dass $A$ und $B$ komplex (bzw.\ reell) \"ahnlich sind, genau dann, wenn es eine invertierbare komplexe (bzw.\ reelle) Matrix $P$ mit $AP=PB$ gibt.

Wir nehmen nun an, dass $A$ und $B$ komplex \"ahnlich sind. Es gibt also eine Matrix $Z\in \operatorname{GL}(n,\C)$ mit $AZ=ZB$. Wir schreiben $Z=X+iY$, wobei $X$ und $Y$ reelle Matrizen sind. Durch Ausmultiplizieren und Trennen nach Real- und Imagin\"arteil erhalten wir, dass 
\[  AX=XB \quad \mbox{ und }\quad  AY=YB.\] 
Es sei nun $s\in \R$. 
Indem wir die rechte Gleichung mit $s\in \R$ multiplizieren und beide Gleichungen addieren, erhalten wir, dass $A(X+sY)=(X+sY)B$. Nachdem $X+sY$ f\"ur jedes $s\in \R$ eine reelle Matrix ist,  m\"ussen wir nur noch zeigen, dass es ein $s\in \R$ gibt, so dass $\det(X+sY)\ne 0$.

Das Polynom $p(t):=\det(X+tY)$ ist nicht das Nullpolynom, denn nach Voraussetzung gilt $p(i)=\det(X+iY)=\det(Z)\ne 0$. Also besitzt $p$ nur endlich viele Nullstellen. F\"ur jedes $s\in \R$, welches keine Nullstelle ist, gilt dann also, dass $\det(X+sY)=p(s)\ne 0$.
\end{proof} 

Eine reelle Matrix $A$ hei\ss t \emph{komplex-diagonalisierbar}, wenn es eine invertierbare Matrix $P\in \operatorname{GL}(n,\C)$ gibt, so dass $P^{-1}AP$ eine diagonale Matrix ist.
Ganz analog definieren wir auch \emph{reell-diagonalisierbar}.
Wir erinnern noch an folgenden Satz aus der Linearen Algebra.

\begin{satz}\label{satz:diagonalisierbar}
Es sei $A$ eine reelle $n\times n$-Matrix.
\begin{enumerate}
\item Wenn $\lambda=x+iy\in \C$ ein Eigenwert von $A$ ist, dann ist auch die komplex-konjugierte Zahl $\overline{\lambda}=x-iy$ ein Eigenwert von $A$.
\item Wenn es $n$ verschiedene Eigenwerte $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ zu $A$ gibt, dann ist $A$ diagonalisierbar. Genauer gesagt, es seien $v_1,\dots,v_n$ Eigenvektoren zu $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Wir bezeichnen mit $P=(v_1\,\dots\,v_n)$ die Matrix deren Spalten gerade $v_1,\dots,v_n$ sind. Dann ist $P$ invertierbar und es gilt
\[ P^{-1}AP\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \lambda_1&0&0\\ 0&\ddots & 0\\ 0&0&\lambda_n\end{pmatrix}.\]
Wenn alle Eigenwerte reell sind, dann kann $P$ auch reell gew\"ahlt werden.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}[Beweisskizze]
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es sei $v\in \C^n$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$. Dann gilt
\[ \begin{array}{rcll} A\overline{v}&=&\overline{Av} &\mbox{denn $A$ ist eine reelle Matrix}\\
&=&\overline{\lambda v}=\overline{\lambda}\overline{v}.\end{array}\]
Wir haben also gezeigt, das $\overline{\lambda}$ ein Eigenwert ist.
\item Die Tatsache, dass $v_1,\dots,v_n$ linear unabh\"angig sind wird in der Linearen Algebra bewiesen. Wir wollen noch zeigen, dass $P^{-1}AP$ eine diagonale Matrix ist. Um die Notation zu vereinfachen betrachten wir nur den Fall einer $2\times 2$-Matrix.
Dann gilt
\[\begin{array}{rcl}\mbox{erste Spalte von $P^{-1}AP$}&=&P^{-1}AP\scriptsize{\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}}\\
&=&P^{-1}Av\,=\,P^{-1}\lambda_1 v_1\,=\,\lambda P^{-1}v_1\\
&=&\lambda_1\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}\hspace{0.5cm}\mbox{aus $P\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}=v_1$ folgt $P^{-1}v_1=\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}$}\\
&=&\begin{pmatrix} \lambda_1\\0\end{pmatrix}.\end{array}\]
\end{enumerate}
\end{proof}

Wir wenden jetzt die obigen Resultate auf den Spezialfall von $2\times 2$-Matrizen an und erhalten folgenden Satz.

\begin{satz}\label{satz:2x2matrix}
Es sei $A$ eine reelle $2\times 2$--Matrix. Dann tritt genau eine der folgenden M\"oglichkeiten ein.
\begin{enumerate}
\item  $A$ ist reell-diagonalisierbar, 
\item $A$ ist komplex-diagonalisierbar aber nicht reell-diagonalisierbar,
\item $A$ ist nicht diagonalisierbar.
\end{enumerate}
Da\"uber hinaus gelten folgende Aussagen:
\begin{enumerate}
\item Wenn $A$  reell-diagonalisierbar ist, dann gibt es eine invertierbare reelle Matrix $P$, so dass
\[ P^{-1}AP\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \lambda&0 \\ 0&\mu \end{pmatrix},\]
wobei $\lambda,\mu\in \R$ die Eigenwerte von $A$ sind.
\item Wenn $A$ komplex-diagonalisierbar ist, dann  gibt es eine invertierbare reelle Matrix $P$, so dass
\[ P^{-1}AP\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \lambda&-\alpha \\ \alpha&\hfill \lambda \end{pmatrix},\]
wobei $\alpha\ne 0$ und wobei $\lambda\pm i\alpha$ die Eigenwerte von $A$ sind.
\item Wenn $A$ nicht diagonalisierbar ist, gibt es eine invertierbare reelle Matrix $P$, so dass
\[ P^{-1}AP\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \lambda&1 \\ 0&\lambda \end{pmatrix},\]
wobei $\lambda\in \R$ der einzige Eigenwert von $A$ ist.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
Es sei $A$ eine reelle $2\times 2$--Matrix. 
Die Aussage, dass $A$ in genau eine der drei Klassen f\"allt ist eine Tautologie.\footnote{
\[ \mbox{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Tautologie\_(Logik)}}\]}

Wir wenden uns nun dem zweiten Teil des Satzes zu.
\begin{enumerate}
\item Diese Aussage ist gerade die Definition von  reell-diagonalisierbar.
\item Es sei also $A$ komplex-diagonalisierbar mit Eigenwerten
$\mu=\lambda+i\alpha$ und $\overline{\mu}=\lambda-i\alpha$, wobei $\alpha\ne 0$. 
Wir schreiben 
\[B=\begin{pmatrix} \lambda &-\alpha\\ \alpha&\hfill \lambda\end{pmatrix}.\]
Eine elementare Rechnung, beispielsweise mithilfe von Satz~\ref{satz:eigenwerte-charakteristisches-polynom} zeigt, dass die Matrix $B$
ebenfalls die komplexen Eigenwerte $\mu$ und $\overline{\mu}$ besitzt. 
Die beiden Matrizen $A$ und $B$ sind also nach Satz~\ref{satz:diagonalisierbar} komplex \"ahnlich zu der diagonalen Matrix mit Diagonaleintr\"agen $\mu$ und $\overline{\mu}$. Insbesondere sind auch $A$ und $B$ komplex \"ahnlich. Es folgt nun aus 
Lemma~\ref{lem:matrizenaehnlich}, dass $A$ und $B$ sogar reell \"ahnlich sind.
\item Es sei nun $A$ nicht diagonalisierbar. Der Satz \"uber die Jordan-Transformation besagt, dass es eine invertierbare komplexe Matrix $P$ gibt, so dass
\[ P^{-1}AP\,\,=\,\,J:=\begin{pmatrix} \lambda&1 \\ 0&\lambda \end{pmatrix}.\]
Hierbei ist  $\lambda$ der einzige Eigenwert von $A$. Nachdem $A$ reell ist, ist nach Satz~\ref{satz:diagonalisierbar} auch das komplex-konjugierte $\overline{\lambda}$ ein Eigenwert von $A$. Aber $\lambda$ ist der einzige Eigenwert, also muss $\lambda=\overline{\lambda}$ gelten, d.h.\ $\lambda$ ist reell. 
Wir sehen also, dass $A$ komplex \"ahnlich zu der reellen Matrix $J$ ist, also sind nach Lemma~\ref{lem:matrizenaehnlich} die Matrizen $A$ und $J$  auch reell \"ahnlich.
\end{enumerate}
\end{proof}



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\subsection{Koordinatentransformationen}
Es sei also $A$ eine reelle $2\times 2$-Matrix.
Wir wollen nun die homogene lineare autonome Differentialgleichung $y'=Ay$ studieren. 
Wir werden dabei wie folgt vorgehen:
\begin{enumerate}
\item Wir bestimmen zuerst, wie sich die L\"osungen unter einer linearen Transformation $A\mapsto PAP^{-1}$ verhalten.
\item Wir unterscheiden dann die drei verschiedenen Klassen von Matrizen aus Satz~\ref{satz:2x2matrix}.
Diese drei F\"alle werden in den folgenden drei Kapiteln getrennt behandelt.
\end{enumerate}

Das folgende Lemma besagt, dass wir die L\"osungen der Differentialgleichung $y'=Ay$ leicht aus den L\"osungen der  Differentialgleichung $y'=PAP^{-1}y$ herleiten k\"onnen.

\begin{lemma}\label{lem:losungbasiswechsel}
Es sei $A$ eine reelle $n\times n$-Matrix und es sei $P$ eine invertierbare reelle $n\times n$-Matrix. F\"ur eine differenzierbare Abbildung $\varphi\colon \R\to \R^n$ gilt
\[ \varphi\mbox{ ist L\"osung von $y'=Ay$} \quad \Longleftrightarrow\quad P\varphi\mbox{ ist L\"osung von $y'=PAP^{-1}y$}.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
F\"ur eine differenzierbare Abbildung $\varphi\colon \R\to \R^n$ gilt, $(P\varphi)'=P\varphi'$.\footnote{Wenn man die linke und die rechte Seite ausschreibt, dann sieht man, dass dies nichts anderes ist, als die Aussage, dass f\"ur  differenzierbare Funktionen $f,g\colon \R\to \R$ und $p\in \R$ gilt $(pf)'=pf'$ und $(f+g)'=f'+g'$.} Es folgt
\[ \begin{array}{rcl}\varphi\mbox{ ist L\"osung von $y'=Ay$}  &\Longleftrightarrow&\hspace{0.65cm}\varphi'\,=\,A\varphi\\
&\Longleftrightarrow&\hspace{0.31cm} P\varphi'\,=\,PA\varphi\\
&\Longleftrightarrow&(P\varphi)'\,=\,PAP^{-1}P\varphi\\
&\Longleftrightarrow& P\varphi\mbox{ ist L\"osung von $y'=PAP^{-1}y$}.\end{array}\]
\end{proof}


Im folgenden Kapitel werden wir auch noch studieren, unter welchen Voraussetzungen Differentialgleichungen fl\"achenerhaltend usw. sind. 
Wir verwenden dabei folgenden Spezialfall vom Satz von~\ref{satz:vonliouville}. 

\begin{satz}\label{satz:liouville2}
Es sei $A\in M(2\times 2,\R)$ und es seien $\varphi_1,\varphi_2\colon \R\to \R^2$   L\"osungen der  homogenen linearen autonomen Differentialgleichung $y'=Ay$. Die dazugeh\"orige Wronski--Determinante
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{6cm} D(t)&=&\det\big( \varphi_1(t)\,\varphi_2(t)\big)
\intertext{erf\"ullt die Differentialgleichung}
 \lmfrac{d}{dt} D(t)&=&\operatorname{Spur}(A)\cdot D(t).\end{array}\end{align*}
Insbesondere gilt
\[ \begin{array}{lll}  \mbox{die Differentialgleichung ist fl\"achenreduzierend}&\Longleftrightarrow&\operatorname{Spur}(A)<0\\
 \mbox{die Differentialgleichung ist fl\"achenerhaltend}&\Longleftrightarrow&\operatorname{Spur}(A)=0\\
\mbox{die Differentialgleichung ist fl\"achenvergr\"o\ss ernd}&\Longleftrightarrow&\operatorname{Spur}(A)>0.\end{array} \]
\end{satz}



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\subsection{Der reell-diagonalisierbare Fall}\label{section:reelldiagonalisierbar}
Wir betrachten zuerst die Differentialgleichung 
\[ y'\,\,=\begin{pmatrix} \lambda&0\\0&\mu\end{pmatrix} y,\]
wobei $\lambda,\mu \in \R$.
F\"ur $(a,b) \in \R^2$ ist nach Satz~\ref{satz:eat} die L\"osung $\varphi$ mit Anfangsbedingung $\varphi(0)=(a,b)$ gegeben durch
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{1.9cm}\varphi_{(a,b)}(t)&=&\begin{array}{c} e^{\begin{pmatrix} \lambda&0\\0&\mu\end{pmatrix} t}\end{array}\begin{pmatrix} a\\b\end{pmatrix}\,\,=\,\,\begin{pmatrix} e^{\lambda t}&0\\ 0&e^{\mu t}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\b\end{pmatrix}\,\,=\,\,\begin{pmatrix} ae^{\lambda t}\\be^{\mu t}\end{pmatrix}.
\intertext{F\"ur den Vektor $(1,0)$  erhalten wir inbesondere}
\varphi_{(1,0)}(t)&=&(e^{\lambda t},0)\end{array}\end{align*}
Diese Kurve verl\"auft also auf der positiven $x$-Achse. Das Verhalten der Kurve h\"angt dabei von $\lambda$ ab. Genauer gesagt, 
\begin{enumerate}
\item[] wenn $\lambda>0$, dann l\"auft die Flusslinie f\"ur $t\to\infty$ ins Unendliche,
\item[] wenn $\lambda=0$, dann ist die Flusslinie singul\"ar, d.h.\ konstant,
\item[] wenn $\lambda<0$, dann l\"auft die Flusslinie f\"ur $t\to\infty$ gegen den Ursprung.
\end{enumerate}
Eine ganz analoges Verhalten zeigt auch die Flusslinie $\varphi_{(0,1)}$, welche sich auf der positiven $y$-Achse bewegt. Etwas schwieriger sind die anderen Flusslinien. Beispielsweise ist
\[ \varphi_{(1,1)}(\R)\,\,=\,\,\big\{ (e^{\lambda t},\underset{=(e^{\lambda t})^{\frac{\mu}{\lambda}}}{\underbrace{e^{\mu t}}})\,|\, t\in \R\big\}\\
\,\,=\,\,\big\{ \big(x,x^{\frac{\mu}{\lambda}}\big)\,\big|\, x\in (0,\infty)\big\}.\]
Anders ausgedr\"uckt, die Flusslinie $\varphi_{(1,1)}(\R)$ ist der Graph der Funktion $x^{\frac{\mu}{\lambda}}$. 


In Abbildung~\ref{fig:fluss-reell-diagonalisiert} skizzieren wir qualitativ die Flusslinien f\"ur die  folgenden Spezialf\"alle
\footnote{Alle weiteren F\"alle kann man sich aus diesen F\"allen  herleiten. Zum Beispiel, wenn $\lambda<\mu<0$, dann erhalten wir die gleichen Linien wie  in Abbildung~\ref{fig:fluss-reell-diagonalisiert}, der einzige Unterschied ist, dass wir die Orientierungen der Flusslinien umdrehen m\"ussen.} 
\[
\begin{array}{ccccccccc}
 \lambda=\mu>0 && \lambda>\mu>0 && \lambda>0\mbox{ und } \mu<0&& \lambda>0 \mbox{ und }\mu=0
 \end{array} \]
 In allen vier F\"allen skizzieren wir in
\[ \begin{array}{rcl}
\textcolor{blue}{\mbox{blau}}&\quad&
\textcolor{black}{\mbox{die Flusslinie von $\varphi_{(1,0)}$}}\\
\textcolor{red}{\mbox{rot}}&&
\textcolor{black}{\mbox{die Flusslinie von $\varphi_{(0,1)}$}}\\
\textcolor{green}{\mbox{gr\"un}}&&
\textcolor{black}{\mbox{die Fixpunkte vom Fluss}}\\
\mbox{schwarz}&&\mbox{weitere Flusslinien}.\end{array}
\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{fluss-reell-diagonalisiert.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:fluss-reell-diagonalisiert}
\end{center}
\end{figure}
Es folgt aus Satz~\ref{satz:liouville2}, dass 
insbesondere gilt
\[ \begin{array}{rll} \mbox{die Differentialgleichung ist fl\"achenreduzierend}&\Longleftrightarrow& \lambda+\mu<0\\
 \mbox{die Differentialgleichung ist fl\"achenerhaltend}&\Longleftrightarrow& \lambda+\mu=0\\
\mbox{die Differentialgleichung ist fl\"achenvergr\"o\ss ernd}&\Longleftrightarrow& \lambda+\mu>0\\\end{array} \]
\smallskip 
 
Wir betrachten jetzt allgemeiner eine Differentialgleichung $y'=Ay$, wobei $A$ eine diagonalisierbare $2\times 2$-Matrix ist, welche  zwei 
reelle Eigenwerte $\lambda$ und $\mu$ besitzt.  
Wir bezeichnen mit $v$ einen Eigenvektor zu $\lambda$ und wir bezeichnen mit $w$ einen Eigenvektor zu $\mu$.
Zudem sei $P=\begin{pmatrix} v &w\end{pmatrix}$ die $2\times 2$-Matrix, deren Spalten aus den Vektoren $v$ und $w$ besteht. 
Aus Satz~\ref{satz:diagonalisierbar} folgt, dass
\[ P^{-1} A P\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \mu&0\\ 0&\lambda  \end{pmatrix}\mbox{ oder anders ausgedr\"uckt }A\,\,=\,\,P\begin{pmatrix} \mu&0\\ 0&\lambda  \end{pmatrix} P^{-1}.\]
Wir wenden nun Lemma~\ref{lem:losungbasiswechsel} an.
 F\"ur eine beliebige differenzierbare Abbildung $\varphi\colon \R\to \R^n$ gilt also 
\[ \varphi(t)\mbox{ ist L\"osung von $y'=\begin{pmatrix} \mu&0\\ 0&\lambda  \end{pmatrix} y$} \quad \Longleftrightarrow\quad P\varphi(t)\mbox{ ist L\"osung von $y'=\underset{=A}{\underbrace{P\begin{pmatrix} \mu&0\\ 0&\lambda  \end{pmatrix} P^{-1}}}y$}.\]
Anders ausgedr\"uckt, in dem wir die Matrix $P$ auf  die uns bekannten L\"osungen der Differentialgleichung $y'=P\scriptsize{\begin{pmatrix} \mu&0\\ 0&\lambda  \end{pmatrix}} P^{-1}y$ anwenden, erhalten wir die gew\"unschten L\"osungen von $y'=Ay$. 

Insbesondere erhalten wir die Flusslinien von $y'=Ay$, in dem wir die Matrix $P$, oder genauer gesagt die lineare Abbildung $u\mapsto Pu$, auf die Flusslinien in Abbildung~\ref{fig:fluss-reell-diagonalisiert} anwenden.
Das Ergebnis wird in Abbildung~\ref{fig:fluss-reell-diagonalisierbar} illustriert. Die $x$-Achse wird dabei auf die Gerade $\R v$ geschickt und die $y$-Achse wird in die Gerade $\R w$ \"ubergef\"uhrt.
Mithilfe von Satz~\ref{satz:liouville2} und Lemma~\ref{lem:spur} kann man nun wieder anhand der Eigenwerte ablesen, ob die Differentialgleichung fl\"achenerhaltend etc. ist.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{fluss-reell-diagonalisierbar.pstex_t}
\caption{Flusslinien f\"ur die Differentialgleichung 
$y'=Ay$.}
\label{fig:fluss-reell-diagonalisierbar}
\end{center}
\end{figure}


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\subsection{Der komplex-diagonalisierbare Fall}
Wir betrachten zuerst wieder einen Spezialfall. Genauer gesagt, f\"ur $\alpha\in \R\setminus \{0\}$ und $\lambda\in \R$ betrachten wir im Folgenden die
Differentialgleichung\footnote{Im Beweis von Satz~\ref{satz:2x2matrix} hatten wir schon gesehen, dass die Eigenwerte der Matrix 
$\begin{pmatrix} \lambda &-\alpha\\ \alpha&\hfill \lambda\end{pmatrix}$ gegeben sind durch $\lambda+i\alpha$ und $\lambda-i\alpha$.}
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{4.5cm} y'&=&\begin{pmatrix} \lambda &-\alpha\\ \alpha&\hfill \lambda\end{pmatrix} y.
\intertext{Es bietet sich an die rechte Seite in zwei Summanden aufzuteilen:}\\[2mm]
y'&=&\underset{\operatorname{orthogonal\,zu\,}y}{\underbrace{\begin{pmatrix} 0 &-\alpha\\ \alpha&\hfill 0\end{pmatrix} y}}\,\,+\,\,\underset{\operatorname{parallel \,zu\,}y}{\underbrace{\begin{pmatrix} \lambda &0\\ 0&\lambda \end{pmatrix} y}}.\end{array} \end{align*}
H\"atten wir nur den ersten Summanden, dann w\"are die Differentialgleichung wie in Beispiel~\ref{bsp:antidiagonal} und die L\"osung w\"urde aus Kreisen um den Ursprung bestehen. Wenn wir nur den zweiten Summanden h\"atten, dann w\"aren wir im Fall von  Kapitel~\ref{section:reelldiagonalisierbar}, und die L\"osungen streben entweder hin zum oder weg vom Ursprung.

Die L\"osung dieser Differentialgleichung `setzt sich zusammen' aus den L\"osungen von Beispiel~\ref{bsp:antidiagonal} und der L\"osung von Kapitel~\ref{section:reelldiagonalisierbar}.  Genauer gesagt, die L\"osung $\varphi$ mit Anfangsbedingung $\varphi(0)=(1,0)$ ist gegeben durch
\footnote{Das dies die L\"osung ist kann man nat\"urlich durch Einsetzen leicht verifizieren. Wir wollen jetzt nicht genauer darauf eingehen, wie diese L\"osung zustande kommt. Man kann diese entweder anhand der obigen Diskussion `erraten', oder man kann auch explizit zeigen, dass 
\[ \begin{array}{c} e^{\begin{pmatrix} \lambda &\alpha\\ -\alpha&\lambda\end{pmatrix} t}\end{array} \,\,=\,\, e^{\lambda t}\begin{pmatrix} \cos (\alpha  t)&-\sin (\alpha  t)\\\sin(\alpha  t)&\hfill \cos (\alpha  t)\end{pmatrix}.\]
In Kapitel~\ref{section:autonome-dgl-in-rn} werden wir die dazu n\"otigen Hilfsmittel herleiten.}
\[ \varphi_{(1,0)}(t)\,\,=\,\,e^{\lambda t}\begin{pmatrix} \cos (\alpha  t)\\\sin(\alpha  t)\end{pmatrix}.\]
 Das Verhalten der Kurve h\"angt dabei von $\lambda$ und $\alpha$ ab. Genauer gesagt 
\begin{itemize}
\item wenn $\lambda>0$, dann beschreibt die Flusslinie eine Spirale, welche f\"ur $t\to\infty$ ins Unendliche l\"auft,
\item wenn $\lambda=0$, dann ist die Flusslinie ein Kreis,
\item wenn $\lambda<0$, dann beschreibt die Flusslinie eine Spirale, welche f\"ur $t\to\infty$ gegen den Ursprung l\"auft. 
\end{itemize}
Zudem
\begin{itemize}
\item wenn $\alpha>0$, dann wird die Flusslinie gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, und 
\item wenn $\alpha<0$, dann wird die Flusslinie im Uhrzeigersinn durchlaufen.
\end{itemize}
In Abbildung~\ref{fig:fluss-standard-spirale} skizzieren wir qualitativ die Flusslinien.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{fluss-standard-spirale.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:fluss-standard-spirale}
\end{center}
\end{figure}
Die Spur der Matrix ist gegeben durch $2\lambda$. 
Es folgt also aus Satz~\ref{satz:liouville2}
\[ \begin{array}{rll} \mbox{die Differentialgleichung ist fl\"achenreduzierend}&\Longleftrightarrow& \lambda<0\\
 \mbox{die Differentialgleichung ist fl\"achenerhaltend}&\Longleftrightarrow& \lambda=0\\
\mbox{die Differentialgleichung ist fl\"achenvergr\"o\ss ernd}&\Longleftrightarrow& \lambda>0\\\end{array} \]


\smallskip 
 
Wir betrachten jetzt allgemeiner eine Differentialgleichung $y'=Ay$, wobei $A$ eine diagonalisierbare $2\times 2$-Matrix ist, welche zwei komplexe, nicht-reelle Eigenwerte 
$\mu=\lambda+i\alpha$ und $\overline{\mu}=\lambda-i\alpha$ besitzt.

Es folgt aus Satz~\ref{satz:2x2matrix}, dass es eine invertierbare reelle Matrix $P=\begin{pmatrix} v&w\end{pmatrix}$ mit 
\[ P^{-1}AP\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \lambda &-\alpha\\ \alpha&\hfill \lambda\end{pmatrix}\]
gibt.
Wie im vorherigen Kapitel erhalten wir also die L\"osungen f\"ur die Differentialgleichung $y'=Ay$ indem wir die Matrix $P=\begin{pmatrix} v&w\end{pmatrix}$ auf die uns schon bekannten L\"osungen der Differentialgleichung
\[y'\,\,=\,\,\begin{pmatrix}\hfill  \lambda &\alpha\\ -\alpha&\lambda\end{pmatrix} y\]
anwenden. 
Das Ergebnis wird in Abbildung~\ref{fig:spirale-diagonalisierbar} illustriert.\footnote{Die Frage, ob die Flusslinie sich nun im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn dreht ist allerdings etwas subtil. Genaueres \"uberlegen zeigt, dass sich die Flusslinie gegen den Uhrzeigersinn dreht, genau dann, wenn $\alpha\cdot \det(v\,w)>0$.}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{spirale-diagonalisierbar.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:spirale-diagonalisierbar}
\end{center}
\end{figure}
Mithilfe von Satz~\ref{satz:liouville2} und Lemma~\ref{lem:spur} kann man in diesem Fall auch  wieder anhand der Eigenwerte ablesen, ob die Differentialgleichung fl\"achenerhaltend etc. ist.







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\subsection{Der nicht diagonalisierbare Fall}
Auch in diesem Kapitel  betrachten wir zuerst einen Spezialfall. Genauer gesagt, f\"ur $\lambda\in \R$ betrachten wir die
Differentialgleichung
\[y'\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \lambda &1\\ 0&\lambda\end{pmatrix} y.\]
In diesem Fall ist 
\[ \begin{array}{rcll}
\exp\begin{pmatrix} \lambda t &t\\ 0&\lambda t\end{pmatrix}&=&\exp\left(\begin{pmatrix} \lambda t &0\\ 0&\lambda t\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0&t\\ 0&0\end{pmatrix}\right)\\
&=&\exp\begin{pmatrix} \lambda t &0\\ 0&\lambda t\end{pmatrix}\cdot \exp\underset{=:U}{\underbrace{\begin{pmatrix} 0&t\\ 0&0\end{pmatrix}}}&\begin{array}{c}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:expab}, da die}\\\mbox{Matrizen kommutieren}\end{array}\\
&=&\underset{=e^{\lambda t}\operatorname{id}_2}{\underbrace{\begin{pmatrix} e^{\lambda t}&0\\0&e^{\lambda  t}\end{pmatrix}}}\cdot \left(\operatorname{id}+U+\frac{1}{2}\underset{=0}{\underbrace{U^2}}+\frac{1}{3!}\underset{=0}{\underbrace{U^3}}+\dots\right)\\
&=& e^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1&t\\0&1\end{pmatrix}.\end{array} \]
Insbesondere erhalten wir also aus Satz~\ref{satz:eat},  dass 
\[ \begin{array}{rcl} \varphi_{(1,0)}(t)&=&(e^{\lambda  t},0),\\
\varphi_{(0,1)}(t)&=&(te^{\lambda  t},e^{\lambda  t}).\end{array} \]
Diese beiden L\"osungskurven, werden mit weiteren Flusslinien 
in Abbildung~\ref{fig:fluss-nicht-diagonalisierbar} qualitativ skizziert.\footnote{Die Flusslinie 
$\varphi_{(0,1)}$ kann man wie folgt bestimmen. Es ist
\[ \begin{array}{rcll}\varphi_{(0,1)}(\R)&=&\big\{ (te^{\lambda  t},e^{\lambda  t})\,|\,t\in \R\big\}\\[2mm]
&=&\big\{ (\frac{1}{\lambda}\ln(y)y,y)\,|\,y\in (0,\infty)\big\}&\mbox{durch Substitution $y=e^{\lambda  t}$}\\[2mm]
&=&\mbox{Graph von $y\mapsto \frac{1}{\lambda}\ln(y)y$.}\end{array}\]}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{fluss-nicht-diagonalisierbar.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:fluss-nicht-diagonalisierbar}
\end{center}
\end{figure}
Die Spur der Matrix ist gegeben durch $2\lambda$. 
Es folgt also aus Satz~\ref{satz:liouville2}, dass 
\[ \begin{array}{rll} \mbox{die Differentialgleichung ist fl\"achenreduzierend}&\Longleftrightarrow& \lambda<0\\
 \mbox{die Differentialgleichung ist fl\"achenerhaltend}&\Longleftrightarrow& \lambda=0\\
\mbox{die Differentialgleichung ist fl\"achenvergr\"o\ss ernd}&\Longleftrightarrow& \lambda>0\\\end{array} \]
\smallskip 

Wir betrachten jetzt den allgemeinen Fall einer Differentialgleichung $y'=Ay$, wobei $A$ eine Matrix ist, welche nicht diagonalisierbar ist. Nach Satz~\ref{satz:2x2matrix}  besitzt $A$ einen reellen Eigenwert $\lambda$ mit Eigenvektor $v$. Zudem 
gibt es eine Matrix $P$ mit Spalten $v$ und $w$, so dass 
\[ PAP^{-1}\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \lambda &1\\ 0&\lambda\end{pmatrix}.\]
Hierbei ist $v$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$.
Wie in den beiden vorherigen Kapiteln erhalten wir also die L\"osungen f\"ur die Differentialgleichung $y'=Ay$ indem wir die Matrix $P=\begin{pmatrix} v&w\end{pmatrix}$ auf die uns schon bekannten L\"osungen der Differentialgleichung
\[y'\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \lambda &1\\ 0&\lambda\end{pmatrix} y\]
anwenden. 
Das Ergebnis wird in Abbildung~\ref{fig:fluss-nicht-diagonalisierbar-mit-p} illustriert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{fluss-nicht-diagonalisierbar-mit-p.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:fluss-nicht-diagonalisierbar-mit-p}
\end{center}
\end{figure}
Mithilfe von Satz~\ref{satz:liouville2} und Lemma~\ref{lem:spur} kann man in diesem Fall auch  wieder  anhand des Eigenwertes erkennen, ob die Differentialgleichung fl\"achenerhaltend etc. ist.


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\section{Homogene lineare autonome Differentialgleichungen  in h\"oheren Dimensionen $(*)$}\label{section:autonome-dgl-in-rn}
Dieses Kapitel ist nicht mehr offizieller Teil der Analysis~II Vorlesung.
In diesem Kapitel wollen wir noch kurz beschreiben, wie wir die Matrizen $e^A$ im Allgemeinen explizit bestimmen k\"onnen. Wir erinnern dazu zuerst an den Satz \"uber die Jordan-Normalform  aus der Linearen Algebra.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Jordan-Normalform)}}
Zu jeder quadratischen Matrix $A$ gibt es eine invertierbare  komplexe Matrix $P$, so dass $P^{-1}AP$ in Jordan--Form ist, d.h.\ $P^{-1}AP$ besteht aus Jordan--Bl\"ocken  der Form
\[ \begin{pmatrix} \lambda  & 1 &0&\dots &0 \\ 0&\lambda&1&&\vdots \\ \vdots &&\ddots&\ddots&0 \\  0&\dots&0&\lambda&1 \\ 0&\dots&0&0&\lambda\end{pmatrix}\]
wobei $\lambda\in \C$. 
\end{satz}


Die Jordan--Matrix $J$ ist  nicht notwendigerweise eine reelle Matrix, sondern sie ist im Allgemeinen eine komplexe Matrix.
F\"ur eine komplexe $n\times n$-Matrix $A$ definieren wir, ganz analog zu Satz~\ref{satz:expaex}, die Matrix
\[ e^A\,\,:=\,\,\exp(A)\,\,:=\,\,\sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}\,\,\in\,\, \operatorname{GL}(n,\C).\]
Es gilten zudem die gleiche Aussagen wie in Lemma~\ref{lem:expab} f\"ur komplexe Matrizen $A$ und $B$. 

Das folgende Lemma erm\"oglicht es uns insbesondere die Berechnung von $e^A$ auf die Matrizen in Jordan-Normalform zur\"uckzuf\"uhren.


\begin{lemma}\label{lem:ehochpap}
Es sei $A$ eine quadratische Matrix und $P$ eine invertierbare Matrix. Dann gilt 
\[ e^{PAP^{-1}}\,\,=\,\,Pe^{A}P^{-1}.\hspace{1cm} \]
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei $A$ also eine quadratische Matrix und $P$ eine invertierbare Matrix. Dann gilt 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} e^{PAP^{-1}}&=&\sum\limits_{k=1}^\infty \smfrac{1}{k!}(PAP^{-1})^k\,\,=\,\,(*)
\intertext{Wir f\"uhren nun folgende Nebenrechnung durch}
 \hspace{4.9cm}(PAP^{-1})^k&=&(PAP^{-1})^k\\
 &=&PA\underset{=\operatorname{id}}{\underbrace{P^{-1}P}}A\underset{=\operatorname{id}}{\underbrace{P^{-1}P}}AP^{-1}\cdot \dots \cdot PAP^{-1}\\
&=&PAA\cdot \dots \cdot AP^{-1}\\
&=&PA^kP^{-1}.
\intertext{Wir k\"onnen also jetzt oben weitermachen und erhalten, dass}
(*)&=&\sum\limits_{k=1}^\infty \smfrac{1}{k!}PA^kP^{-1}\\[2mm]
&=&P\left(\sum\limits_{k=1}^\infty \smfrac{1}{k!}A^k\right)P^{-1}=Pe^{A}P^{-1}.\end{array}\end{align*}
\end{proof}

Wir m\"ussen nun also noch die Exponentialabbildung f\"ur Matrizen in Jordan-Normalform bestimmen. Das folgende Lemma erlaubt es uns die Berechnung auf die Berechnung f\"ur die Jordan-Bl\"ocke zur\"uckzuf\"uhren.


\begin{lemma}\label{lem:ehochblockmatrix}
F\"ur zwei beliebige quadratische Matrizen $A,B$ gilt
\[ \begin{array}{rcl} \begin{array}{c} e^{\begin{pmatrix} A&0 \\ 0&B\end{pmatrix} }\end{array} &=&\begin{pmatrix} e^{A} &0 \\ 0&e^{B}\end{pmatrix}.\end{array} \]
\end{lemma}

\begin{proof}
Das Lemma  folgt leicht aus den Definitionen und der Beobachtung, dass f\"ur alle $k\in \N_0$ gilt
\[ \begin{pmatrix} A&0 \\ 0&B\end{pmatrix}^k\,\, =\,\,\begin{pmatrix} A^k&0 \\ 0&B^k\end{pmatrix}. \]
\end{proof}

\begin{beispiel}
Es sei $A$ eine reelle symmetrische $n\times n$--Matrix mit Eigenwerten $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ bez\"uglich den Eigenvektoren $v_1,\dots,v_n$.
Es sei $P$ die Matrix deren Spalten gerade $v_1,\dots,v_n$ sind. Dann ist $P^{-1}AP=D$, wobei $D$ die Diagonalmatrix mit den Eintr\"agen $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ ist.
Es folgt, dass
\[
\begin{array}{rcll}e^{At}&=&e^{PDtP^{-1}}\\
&=&Pe^{Dt}P^{-1}&\mbox{nach Lemma~\ref{lem:ehochpap}}\\
&=&P\begin{pmatrix} e^{\lambda_1t} &0&0 \\ 0&\ddots&0\\ 0&0&e^{\lambda_nt}\end{pmatrix}  P^{-1}&\mbox{nach Lemma~\ref{lem:ehochblockmatrix}}.\end{array} \]
\end{beispiel}




Das folgende Lemma zusammen mit Lemmas~\ref{lem:ehochpap} und~\ref{lem:ehochblockmatrix} und der obigen Diskussion erlaubt es uns nun $e^{At}$ f\"ur eine beliebige Matrix $A$ schnell zu berechnen, vorausgesetzt man kann die Jordan-Normalform bestimmen.

\begin{satz} Es sei $\lambda\in \C$. F\"ur
\[ J=\begin{pmatrix} \lambda  & 1 &0&\dots &0 \\ 0&\lambda&1&&\vdots \\ \vdots &&\ddots&\ddots&0 \\  0&\dots&0&\lambda&1 \\ 0&\dots&0&0&\lambda\end{pmatrix} \mbox{ ist }
e^{Jt}\,\,=\,\,e^{\lambda  t}  \begin{pmatrix} 1&t&\frac{t^2}{2} &\dots & \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} \\ 0&1&t&\dots & \frac{t^{n-2}}{(n-2)!} \\
0&\ddots &\ddots&\ddots&\vdots \\ 0&\dots&0&1& t \\ 0&\dots&\dots&0&1\end{pmatrix}.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Wir setzen
\[ U\,\,:=\,\,\begin{pmatrix} 0& 1 &0&\dots &0 \\ 0&0&1&&\vdots \\ &&\ddots&\ddots&0 \\ 0&\dots&0&0&1 \\ 0&\dots&0&0&0\end{pmatrix}.\]
Dann gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} e^{Jt}&=&e^{(\lambda  \operatorname{id}+U)t}\\
&=&e^{\lambda  \operatorname{id} t}e^{Ut}\hspace{2cm} \mbox{ nach Lemma~\ref{lem:expab}}\\
&=&e^{\lambda  t}\sum\limits_{k=0}^\infty \lmfrac{1}{k!}(Ut)^k.
\intertext{Man kann sich leicht davon \"uberzeugen, dass $U^n$ die Nullmatrix ist. Es folgt, dass}
\hspace{4cm} \sum\limits_{k=0}^\infty \lmfrac{1}{k!}(Ut)^k&=&
\sum\limits_{k=0}^{n-1} \lmfrac{1}{k!}(Ut)^k,
\intertext{
und diese Summe kann man leicht explizit berechnen. Man sieht, dass}
 \sum\limits_{k=0}^{n-1} \lmfrac{1}{k!}(Ut)^k&=&\begin{pmatrix} 1&t&\frac{t^2}{2} &\dots & \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} \\ 0&1&t&\dots & \frac{t^{n-2}}{(n-2)!} \\
0&\ddots &\ddots&\ddots&\vdots \\ 0&\dots&0&1& t \\ 0&\dots&\dots&0&1\end{pmatrix}.\end{array} \end{align*}
\end{proof}



\begin{beispiel}
Wir betrachten die Differentialgleichung
\[ y'\,=\,Ay \quad \mbox{  mit }A\,=\,\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1&\hfill 0 \end{pmatrix}.\]
Die Matrix $A$ hat Eigenwerte $\pm i$ mit Eigenvektoren $\scriptsize{\begin{pmatrix} \hfill 1 \\ -i \end{pmatrix}}$ und $\scriptsize{\begin{pmatrix} 1 \\ i\end{pmatrix}}$.
Wir setzen
\[ P\,:=\,\begin{pmatrix} \hfill 1 & 1 \\ -i &i\end{pmatrix}, \mbox{ dann gilt } P^{-1}AP\,=\,\begin{pmatrix} i &\hfill 0 \\ 0&-i\end{pmatrix}.\]
Es folgt also aus den obigen Ergebnissen, dass
\begin{align*}\begin{array}{rcl}\hspace{4cm} e^{At}&=&e^{P\begin{pmatrix} i &\hfill 0 \\ 0&-i \end{pmatrix} P^{-1}t }\\[2mm]
&=&Pe^{\begin{pmatrix} i &\hfill 0 \\ 0&-i \end{pmatrix} t }P^{-1}\\[2mm]
&=&\begin{pmatrix} \hfill 1 & 1 \\ -i &i\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{it} &0 \\ 0&e^{-it}\end{pmatrix}  \frac{1}{2}   \begin{pmatrix} 1 & \hfill i \\ 1 &-i\end{pmatrix}\\[2mm]
&=&\begin{pmatrix} \frac{1}{2}(e^{it}+e^{-it})  &  \frac{1}{2}(ie^{it}-ie^{-it})\\[2mm] \frac{1}{2}(-ie^{it}+ie^{-it})&\frac{1}{2}(e^{it}+e^{-it})\end{pmatrix}.
\intertext{Aus $e^{it}=\cos(t)+i\sin(t)$ folgt nun, dass}
 e^{At}&=&\begin{pmatrix} \cos(t) & -\sin(t) \\ \sin(t)&\hfill \cos(t)\end{pmatrix}.
\end{array}\end{align*}
Diese L\"osung hatten weiter oben schon `erraten' (siehe das Beispiel nach Satz~\ref{satz:fluss}),
aber in diesem Beispiel sehen wir nun, dass wir die L\"osung auf Lineare Algebra zur\"uckf\"uhren k\"onnen.
\end{beispiel}



\end{document}

