
\documentclass[12pt]{amsart}


\textwidth 6.4in
\evensidemargin +0.01in
\oddsidemargin +0.01in

\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{hyperref,color,mathdots,accents,extarrows,bigints}
\usepackage[all]{xypic}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[ansinew]{inputenc}
\usepackage{enumitem,amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage[all,graph]{xy}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{korollar}[theorem]{Korollar}
\newtheorem{satz}[theorem]{Satz}
\newtheorem*{satz*}{Satz}


\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{bemerkung}{Bemerkung}
\newtheorem*{definition}{Definition}
\newtheorem*{notation}{Notation}
\newtheorem*{beispiel}{Beispiel}
\newtheorem*{beispiele}{Beispiele}
\newtheorem*{konvention}{Konvention}
\newtheorem*{behauptung}{Behauptung}
\newtheorem*{aussage}{Aussage}

\makeatletter
\newcommand*{\textlabel}[2]{%
  \edef\@currentlabel{#1}% Set target label
  \phantomsection% Correct hyper reference link
  #1\label{#2}% Print and store label
}
\makeatother

\newcommand*{\medcap}{\mathbin{\scalebox{1.5}{\ensuremath{\cap}}}}%
\newcommand*{\medcup}{\mathbin{\scalebox{1.5}{\ensuremath{\cup}}}}%
\newcommand*{\bigforall}{\mathbin{\scalebox{1.2}{\ensuremath{\forall}}}}%
\newcommand*{\bigexists}{\mathbin{\scalebox{1.2}{\ensuremath{\exists}}}}%

\newcommand{\lmcup}[2]{\mbox{\small$\displaystyle\bigcup\limits_{#1}^{#2}$}} % large medium  cup
\newcommand{\smcup}[2]{\mbox{\footnotesize$\displaystyle\bigcup\limits_{#1}^{#2}$}} % small medium cup
\newcommand{\tmcup}[2]{\mbox{$\textstyle \bigcup\limits_{#1}^{#2}$}} % tiny medium cup 
\newcommand{\ttmcup}[2]{\mbox{$\textstyle \bigcup\limits_{#1}^{#2}$}} % tiny medium sum
\newcommand{\lmcap}[2]{\mbox{\small$\displaystyle\bigcap\limits_{#1}^{#2}$}} % large medium  cap
\newcommand{\smcap}[2]{\mbox{\footnotesize$\displaystyle\bigcap\limits_{#1}^{#2}$}} % small medium cap
\newcommand{\tmcap}[2]{\mbox{$\textstyle \bigcap\limits_{#1}^{#2}$}} % tiny medium cap 

\def\bint{\textstyle \bigintssss}  
\def\bbint{\textstyle \bigintsss}
\def\bbbint{\textstyle\bigintss}

\def\Q{\mathbb{Q}} 
\def\F{\mathbb{F}} 
\def\Z{\mathbb{Z}} 
\def\R{\mathbb{R}} 
\def\C{\mathbb{C}}
\def\N{\mathbb{N}} 



\newcommand{\lmfrac}[2]{\mbox{\small$\displaystyle\frac{#1}{#2}$}}   % large medium frac
\newcommand{\smfrac}[2]{\mbox{\footnotesize$\displaystyle\frac{#1}{#2}$}} % small medium frac
\newcommand{\tmfrac}[2]{\mbox{\large$\frac{#1}{#2}$}} % tiny medium frac
\newcommand{\ttmfrac}[2]{\mbox{$\textstyle\frac{#1}{#2}$}}
\newcommand{\lmsum}[2]{\mbox{\small$\displaystyle\sum\limits_{#1}^{#2}$}} % large medium sum
\newcommand{\setminussum}[2]{\mbox{\footnotesize$\displaystyle\sum\limits_{#1}^{#2}$}} % small medium sum
\newcommand{\tmsum}[2]{\mbox{\large$\sum\limits_{#1}^{#2}$}} % tiny medium sum
\newcommand{\ttmsum}[2]{\mbox{$\textstyle \sum\limits_{#1}^{#2}$}} % tiny medium sum
\newcommand{\tmint}[2]{\mbox{\large$\int\limits_{#1}^{#2}$}} % tiny medium sum
\newcommand{\opnormal}[1]{\operatorname{\textnormal{#1}}}

\DeclareMathAlphabet{\mathbf}{OML}{cmm}{b}{it}

\numberwithin{equation}{section}


%================= to be deleted at the end
\def\l{\lambda} 
\def\ll{\langle} \def\rr{\rangle}
\def\g{\gamma}  
\def\bp{\begin{pmatrix}}  \def\ep{\end{pmatrix}} 
\def\sm{\setminus}
\def\bn{\begin{enumerate}} 
\def\en{\end{enumerate}}
\def\graph{\operatorname{Graph}}
\def\ba{\begin{array}} \def\ea{\end{array}} 
\def\L{\Lambda}
\def\s{\sigma} 
\def\ti{\tilde} 
\def\QQ{\mathcal{Q}}
\def\omegati{\omegaidetilde}
\def\us{\underset}
\def\ub{\underbrace}
\def\eps{\epsilon}
\def\ol{\overline}
\def\suml{\sum\limits}

\def\dt{\,dt}
\def\dz{\,dz}
\def\Re{\op{Re}}
\def\Im{\op{Im}}
\def\op{\operatorname}
\def\BB{\mathcal{B}}
\def\CC{\mathcal{C}}
\def\DD{\mathcal{D}}
\def\EE{\mathcal{E}}
\def\FF{\mathcal{F}}
\def\LL{\mathcal{L}}
\def\TT{\mathcal{T}}
\def\SS{\mathcal{S}}
\def\UU{\mathcal{U}}
\def\VV{\mathcal{V}}
\def\NN{\mathcal{N}}
\def\XX{\mathcal{X}}
\def\WW{\mathcal{W}}
\def\YY{\mathcal{Y}}
\def\MM{\mathcal{M}}
\def\PP{\mathcal{P}}
\def\RR{\mathcal{R}}
\def\AA{\mathcal{A}}
\def\ZZ{\mathcal{Z}}
\def\id{\op{id}}
\def\gram{\op{Gram}}
\begin{document}


                  %%%%%%%%%%%%%% Blattkopf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noindent
{\sc
	Universit\"at Regensburg \hfill SS 2016 \\
	Fakult\"at f\"ur Mathematik \hfill Analysis IV \\
\begin{center}
	1. \"Ubungsblatt\\
\end{center}	
}
\begin{center}
	 Stefan Friedl \\
\end{center}
\medskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\noindent Bearbeiten Sie folgende Aufgaben selbst\"andig und werfen Sie das bearbeitete \"Ubungsblatt bis sp\"atestens Freitag den 23.10.\ um 10.15 Uhr in die
daf\"ur vorgesehenen Briefk\"asten  ein. 
\\


\subsection*{Aufgabe 1}
\bn[label=(\alph*)]
\item Verwenden Sie Sph\"arische Koordinaten um einen Atlas f\"ur die 2-Sph\"are $S^2$ zu bestimmen.
\item Skizzieren Sie die Untermannigfaltigkeiten
\[ \{ (x_1,x_2,x_3)\,|\, x_1^2+x_2^2-x_3^2=1\} \mbox{ und }
(x_1,x_2,x_3)\,|\, x_1^2-x_2^2-x_3^2=1\}.\]
\en


\subsection*{Aufgabe 1}
Es sei 
\[ f\colon \R^n \to \R\]
eine $C^\infty$-Funktion. Zeigen Sie, dass der Graph
\[ \{(x,f(x))\,|\, x\in \R^n\}\subset \R^{n+1}\]
eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist, welche einen Atlas mit nur einer Karte besitzt.



\subsection*{Aufgabe 4}
Wir betrachten
\[ S^2=\{ (x,y,z)\,|\, x^2+y^2+z^2=1\}.\]
Wir betrachten die Abbildung
\[ \ba{rcl} \Phi:\{(x,y,z)\,|\,z<1\}&\to & \R^3 \\
(x,y,z)&\mapsto& \left(\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z},1-x^2-y^2-z^2\right).\ea \]
\bn
\item[(a)] Bestimmen Sie das Differential von $\Phi$.
\item[(b)] An welchen Punkten des Definitionsbereichs ist das Differential invertierbar?
\item[(c)] Zeigen Sie: es gibt  offene Teilmengen $U$ in $\{(x,y,z)\,|\,z<1\}$ und $V$ in $\R^3$ mit folgenden Eigenschaften:
\bn
\item[(i)] $U$ enth\"alt $S^2\sm N$,
\item[(ii)] die Einschr\"ankung von $\Phi$ auf $U$ definiert einen Diffeomorphismus $\Phi:U\to V$,
\item[(iii)] die Einschr\"ankung von $\Phi$ auf $U$ definiert eine Karte f\"ur $S^2$.
\en
\en
Hinweis zu (c): eine Abbildung $\Phi:U\to V$ zwischen offenen Mengen des $\R^n$ ist ein Diffeomorphismus, wenn $\Phi$ bijektiv ist,
und wenn $\Phi$ an allen Punkten ein lokaler Diffeomorphismus ist. Mithilfe des `Satzes \"uber die Umkehrabbildung'(siehe Analysis II, Satz 7.4) kann man leicht mithilfe des 
Differentials bestimmen ob $\Phi$ ein lokaler Diffeomorphismus an einem Punkt ist. 


\subsection*{Aufgabe 1}
\bn
\item[(a)]
Es sei $M\subset \R^n$ eine $k$--dimensionale Untermannigfaltigkeit.
Wir sagen $U\subset M$ ist offen, wenn es eine offene Menge $V\subset \R^n$ gibt, mit $U=M\cap V$.
Es sei nun $f\colon M\to \R$ eine Funktion. Zeigen Sie, das folgende Definitionen von Stetigkeit \"aquivalent sind:
\bn
\item[(i)]  F\"ur jede offene Menge $X\subset \R$ ist das Urbild $f^{-1}(X)$ eine offene Teilmenge von $M$.
\item[(ii)] F\"ur jede
Karte $\Phi\colon U\to V$ von $M$ ist die Funktion
\[ V\cap E_k\xrightarrow{\Phi^{-1}} U\cap M\xrightarrow{f}\R \]
stetig.
\en
\item[(b)]
Wir betrachten $M=\R$ mit der offenen \"Uberdeckung
\[ U_0=(-\infty,1) \mbox{ und } U_i=(i-1,i+1), i=1,2,3,\dots.\]
Finden Sie eine explizite differenzierbare Zerlegung der Eins \[ \{z_j:M\to [0,1]\}_{j\in J}\] bez\"uglich dieser offenen \"Uberdeckung von $M$.\\
Hinweis: die Funktionen $z_j$ m\"ussen also differenzierbar sein, aber nicht notwendigerweise $C^\infty$.
\en


\subsection*{Aufgabe 2}
\bn
\item[(a)] Es sei $M$ eine kompakte $k$--dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$.
\bn
\item[(i)] Zeigen Sie: es gibt einen endlichen Atlas f\"ur $M$, d.h. sie sollen zeigen, dass  es  einen Atlas f\"ur $M$ gibt, welcher aus endlich vielen Karten besteht.
\item[(ii)] Es sei nun $U_1,\dots,U_k$ eine endliche offene \"Uberdeckung  von $M$. Zeigen Sie: es gibt eine endliche Zerlegung der Eins f\"ur $M$ bez\"uglich dieser offenen \"Uberdeckung.
\en
\item[(b)] Geben Sie ein Beispiel f\"ur eine 2--dimensionale Untermannigfaltigkeit $M\subset \R^3$, welche man nicht durch endlich viele Karten \"uberdecken kann. Geben Sie eine sorgf\"altige Skizze von $M$. Sie m\"ussen \emph{nicht} beweisen, dass Ihr Beispiel die gew\"unschte Eigenschaft besitzt.
\en


\subsection*{Aufgabe 3}
halbstetig von unten, delta-Funktion etc.


\subsection*{Aufgabe 3}
\bn
\item 
Bestimmen Sie
\[ \lmfrac{d}{dz} \bint\limits_0^{\sin(z)}  e^{t^2}\dt.\]
\item
Bestimmen Sie
\[ \lmfrac{d}{dz} \bint\limits_0^{\sin(z)}  e^{z^2}\dt.\]
Hinweis: Sie k\"onnen eventuell eine Hilfsfunktion $F(x,y)$ einf\"uhren und dann Methoden aus der Analysis~II verwenden.
\en


\subsection*{Aufgabe 3}
Es seien $v_1,\dots,v_k$ linear unabh\"angige Vektoren in $\R^nn$. Zeigen Sie, dass es eine orthogonale Matrix $A$ gibt, so
dass $Av_1,\dots,Av_k\in E_k$.\\
Hinweis: Erg\"anzen Sie $v_1,\dots,v_k$ zu einer Basis $v_{k+1},\dots,v_n$.\\
Hinweis: Der Gram-Schmidt-Algorithmus ordnet einer Basis $v_1,\dots,v_n$ eine orthonormale Basis $w_1,\dots,w_n$ zu mit der Eigenschaft, dass f\"ur alle $m\in \{1,\dots,n\}$ gilt $\op{Span}\{v_1,\dots,v_m\}=\op{Span}\{w_1,\dots,w_m\}$.
++++++++++++ hoffentlich reicht das +++++++++++

\subsection*{Aufgabe 3}
Es seien $v_1,\dots,v_k$ linear unabh\"angige Vektoren in $\R^n$.
\bn
\item[(a)] Es seien $A$ und $B$ orthogonale Matrizen, so dass $Av_1,\dots,Av_k\in E_k$ und so dass $Bv_1,\dots,Bv_k\in E_k$.
Zeigen Sie, dass
\[ |\det(Av_1\,\dots\,Av_k)|=|\det(Bv_1\,\dots\,Bv_k)|.\]
Hier fassen wir $Av_1,\dots,Av_k$ und $Bv_1,\dots,Bv_k$ als Vektoren in $\R^k$ auf.
\item[(b)] Gilt die Gleichheit in (a), wenn wir nicht verlangen, dass die Matrizen $A$ und $B$ orthogonal sind, sondern nur verlangen, dass $\det(A)=1$ und $\det(B)=1$?
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\en


\subsection*{Aufgabe 4}
\bn
\item[(a)] Es seien $v_1,\dots,v_k$ Vektoren in $\R^n$ und $\l\in \R$. Zeigen Sie, dass
\[
\ba{rcll} \gram(v_1,\dots,\l v_i,\dots,v_k)&=&\l^2\cdot \gram(v_1,\dots,v_i,\dots,v_k),&\mbox{ f\"ur alle $i$}, \\
\gram(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_k)&=&\gram(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_k),&\mbox{ f\"ur alle $i\ne j$},\\
\gram(v_1,\dots,v_i+\l\cdot v_j,\dots,v_k)&=&\gram(v_1,\dots,v_i,\dots,v_k),& \mbox{ f\"ur alle $i\ne j$}.\ea \]
\item[(b)] Es seien $v_1,\dots,v_k$ Vektoren in $\R^n$. Zeigen Sie:
\[  v_1,\dots,v_k\mbox{  linear abh\"angig } \Leftrightarrow \gram(v_1,\dots,v_k)=0.\]
%\item (Diese Aufgabe wird nicht bewertet) Es seien $v_1,\dots,v_k\in \R^n$ linear unabh\"angige Vektoren und es sei $A=(a_{ij})$ eine $k\times k$--Matrix.
%Zeigen Sie, dass
%\[ \gram(\sum_{i=1}^ka_{1i}v_i\,\dots\,\sum_{i=1}^ka_{ki}v_i)=\det(A)^2\cdot \gram(v_1\,\dots\,v_k).\]
%Hinweis: Beweisen Sie die Aussage zuerst f\"ur diagonale Matrizen. Jede Matrix kann durch elementare Spaltenoperationen in eine diagonale Matrix \"uberf\"uhrt werden.
\en



\subsection*{Aufgabe 1}
Zeigen Sie, dass
\[ Z:=\{ (x,y,z)\in \R^3\,|\, x^2+y^2=1 \mbox{ und }z\in (-1,1]\}\subset \R^3\]
 eine $2$--dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand ist.\\
 Hinweis: wir wissen schon, dass
 \[ S=\{(x,y)\in \R^2\,|\, x^2+y^2=1\} \subset \R^2\]
 eine 1--dimensionale Untermannigfaltigkeit ist. Wie kann man aus den Karten f\"ur $S$ wohl Karten f\"ur $Z$ konstruieren?


\subsection*{Aufgabe 2}
\bn
\item[(a)]
Zeigen Sie nur mithilfe der Definition, dass das Intervall $[0,1]\subset \R$ zusammenh\"angend ist.\\
Hinweis: Es seien also $U,V$ offene disjunkte Mengen von $[0,1]$ mit $U\cup V=[0,1]$.
O.B.d.A. k\"onnen wir annehmen, dass $0\in U$. Betrachten Sie
\[ \sup \{ t\in [0,1]\,|\, [0,t]\subset U\}.\]
\item[(b)] Es sei $M\subset \R^n$ eine zusammenh\"angende Untermannigfaltigkeit und $f:M\to \R$ eine stetige Funktion, welche \"uberall ungleich Null ist.
Zeigen Sie, dass entweder $f(x)>0$ f\"ur alle $x\in M$ oder $f(x)<0$ f\"ur alle $x\in M$.
\en


\subsection*{Aufgabe 3}
Ist jede endliche Teilmenge in einem topologischen Raum diskret?



\subsection*{Aufgabe 4}
Wir betrachten
\[ A:=\{(x,y,z)\in \R^3\,|\, \frac{x^2}{4}+y^2+\frac{z^2}{9}\leq 1\}.\]
\bn
\item Zeigen Sie, dass $A$ eine 3--dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand ist.
\item Es sei $\nu$ das \"au\ss ere Einheitsnormalenfeld auf $\partial A$. Wir betrachten das Vektorfeld
\[ \ba{rcl} F:\R^3&\to & \R^3 \\ (x,y,z)&\mapsto &(3x^2z,y^2-2x,z^3).\ea \] Bestimmen Sie
\[ \int_{\partial A} F\cdot \nu.\]
\en

\subsection*{Aufgabe 2}
Wir betrachten das Vektorfeld
\[ \ba{rcl} F:\R^n\sm \{0\}&\to &\R^n \\
x&\mapsto &x.\ea\]
\bn
\item[(a)] Bestimmen Sie die Divergenz von $F$.
\item[(b)]

\item Gibt es eine stetig differenzierbare Funktion $F$ mit $\div(F)=0$, welche auf ganz $D^n$ definiert ist, und welche die Eigenschaft hat,
dass $F(P)=P$ f\"ur alle $P$ mit $||P||=1$?
\item Gibt es eine stetig differenzierbare Funktion $F$ mit $\div(F)=0$, welche auf ganz $D^n\sm\{0\}$ definiert ist, und welche die Eigenschaft hat,
dass $F(P)=P$ f\"ur alle $P$ mit $||P||=1$?
\en
Man k\"onnte auch
\[ X(r,R):=\{x\in \R^n\,|\, r\leq ||x||\leq R\}\]
betrachten.
Zeigen dass Fluss von $F$ nicht davon abh\"angt welche Hyperfl\"ache man verwendet.




\subsection*{Aufgabe 1}
Es sei $V$ ein  reeller Vektorraum und $V^*=\hom(V,\R)$
der zu $V$ duale Vektorraum.
\bn
\item[(a)] Es sei $v_1,\dots,v_k$ eine Basis von $V$. Es seien $v_1^*,\dots,v_k^*:V\to \R$  die eindeutig bestimmten Abbildungen, welche die Eigenschaft besitzen, dass
\[ w=v_1^*(w)v_1+\dots+v_k^*(w)v_k\mbox{ f\"ur alle $w\in V$.}\]
Zeigen Sie,  dass $v_1^*,\dots,v_k^*$ lineare Abbildungen sind, und dass $v_1^*,\dots,v_k^*$ eine Basis von $V^*$ bilden.
\item[(b)] Wir betrachten nun den reellen Vektorraum
\[ V:=\left\{ (a_1,a_2,a_3,\dots) \,|\, \ba{l} a_1,a_2,\dots \in \R \mbox{ und es gibt ein $n$,} \\\mbox{so dass $a_{k}=0$ f\"ur alle $k\geq n$}\ea \right\}.\]
Wir betrachten
\[ \ba{rcl} e_1&:=&(1,0,0,0,\dots),\\
 e_2&:=&(0,1,0,0,\dots),\\
  e_3&:=&(0,0,1,0,\dots),\\
  \vdots &&\ea   \]
Die Vektoren $\{e_i\}_{i\in \N}$ bilden dann eine Basis f\"ur $V$.
Es bezeichnen nun $e_1^*,e_2^*,\dots \in V^*$ die zur Basis $e_1,e_2,\dots$ dualen Homomorphismen.
Es gilt also, dass
\[ e_i^*(a_1,a_2,\dots)=a_i.\]
Beantworten Sie folgende Frage: Bilden $e_1^*,e_2^*,\dots$ eine Basis f\"ur $V^*$?  Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\en






\subsection*{Aufgabe 2} (5 Punkte)
\bn
\item[(a)] Definieren Sie f\"ur jede lineare Abbildung $\varphi:U\to V$ zwischen reellen Vektorr\"aumen eine lineare Abbildung $\varphi^*:V^*\to U^*$, welche folgende zwei Eigenschaften besitzt:
    \bn
    \item[(i)] wenn $\id:U\to U$ die Identit\"atsabbildung ist, dann ist $\id^*:U^*\to U^*$ ebenfalls die Identit\"atsabbildung,
    \item[(ii)] wenn $\varphi:U\to V$ und $\psi:V\to W$ lineare Abbildungen sind, dann gilt
    \[ (\psi\circ \varphi)^*=\varphi^*\circ \psi^*.\]
    \en
\item[(b)] Es sei $f:M\to N$ eine $C^\infty$--Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten $M$ und $N$ von $\R^n$ (welche nicht notwendigerweise die gleiche Dimension besitzen m\"ussen). Es sei $P\in M$.
\bn
\item[(i)] Wir definieren nun eine Abbildung
$f_*:T_PM\to T_{f(P)}N$ wie folgt: f\"ur  $v\in T_PM$ w\"ahlen wir eine Kurve $\g:(-\eps,\eps)\to M$  mit  $v=\g'(0)$ und  $\g(0)=P$.
Wir setzen dann
\[ f_*(v):=(f\circ \g)'(0).\]
Zeigen Sie, dass $(f\circ \g)'(0)$ nicht von der Wahl  der Kurve $\g$ abh\"angt.
\item[(ii)] Zeigen Sie, dass die Abbildung $f_*$  eine lineare Abbildung ist.
\item[(iii)] Definieren Sie eine Abbildung $f^*:T^*_{f(P)}N\to T^*_PM$, so dass f\"ur alle $v\in T_PM$ und $\varphi\in T_{f(P)}^*N$ gilt:
\[ \varphi(f_*v)=(f^*\varphi)(v).\]
\en
Hinweis: f\"ur (i) und (ii) kann es hilfreich sein, eine Karte von $M$ um $P$ zu betrachten, und Aussagen aus der Analysis II zu verwenden.
\en

\subsection*{Aufgabe 3} (3 Punkte)
Es sei $M\subset \R^n$ eine $k$--dimensionale Untermannigfaltigkeit und es sei $\omega$ eine stetige Pfaffsche Form auf $M$.
Es sei   $ \gamma\colon [a,b] \to M$ eine stetig differenzierbare differenzierbare Kurve auf $M$
und $\delta:[c,d]\to M$ eine  Kurve, welche aus $\gamma$ durch
eine \emph{orientierungsumkehrende} Parametertransformation  $\varphi\colon [c,d]\to [a,b]$ hervorgeht. Zeigen Sie, dass
\[ \int_\delta \omega= -\int_\gamma \omega.\]

%\subsection*{Aufgabe 4}
%Es sei $P\in \R^2$ ein Punkt. Zeigen Sie, dass es eine Pfaffsche Form auf der offenen Menge $U:=\R^2\sm \{P\}$ gibt,
%welche nicht integrierbar ist.


\subsection*{Aufgabe 4}
Es sei $V$ ein $n$--dimensionaler reeller Vektorraum.
\bn
\item[(a)] Es sei $\omega:V^2\to \R$ eine Abbildung, welche linear in jedem der beiden Argumente ist.
Zeigen Sie, dass folgende Bedingungen \"aquivalent sind:
\bn
\item[(i)]  f\"ur alle $v\in V$  gilt $ \omega(v,v)=0$,
\item[(ii)] f\"ur alle $v,w\in V$ gilt $\omega(v,w)=-\omega(w,v)$.
\en
\item[(b)]
Es sei $\omega:V^k\to \R$ eine alternierende $k$--Form. Zeigen Sie, dass
\[ \omega(\dots,v,\dots,u,\dots)=\omega(\dots,v,\dots,u+v,\dots)\]
f\"ur alle $u,v\in V$.
\item[(c)] Es sei nun $k>n$ und es sei $\omega:V^k\to \R$ eine alternierende $k$--Form.
Zeigen Sie, dass $\omega$ die Nullabbildung ist, d.h. f\"ur alle $v_1,\dots,v_k\in \R^n$ gilt
\[ \omega(v_1,\dots,v_k)=0.\]
\en




\subsection*{Aufgabe 1}
Wir betrachten den Vektorraum $\R^4$ und f\"ur $i=1,2,3,4$ be\-zeichnen wir mit $dx_i\in \hom(\R^4,\R)$
die Linearform, welche durch 
\[ dx_i(a_1,a_2,a_3,a_4)=a_i\] definiert ist.
Zeigen Sie: es gibt keine Linearformen $\varphi,\psi:\R^4\to \R$, so dass
\[ \varphi\wedge \psi=dx_1\wedge dx_2+dx_3\wedge dx_4.\]
Hinweis: f\"ur eine alternierende 2--Form $\omega$ kann es hilfreich sein, folgende Menge zu betrachten:
\[ \{ v\in \R^4\,|\, \omega(v,w)=0 \mbox{ f\"ur alle $w\in \R^4$}\}.\]

\subsection*{Aufgabe 2}
Es sei $V$ ein $k$--dimensionaler reeller Vektorraum mit $k>0$.
Wir sagen zwei Basen
 $\{v_1,\dots,v_k\}$ und $\{w_1,\dots,w_k\}$
sind \"aquivalent, wenn die Determinante des Basiswechsels positiv ist.
\bn
\item[(a)]
Zeigen Sie, dass dies in der Tat eine \"Aquivalenzrelation auf der Menge der Basen von $V$ ist.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass es genau zwei \"Aquivalenzklassen gibt.
\en

\subsection*{Aufgabe 3}
Es sei $M\subset \R^n$ eine Untermannigfaltigkeit und $F$ ein $C^\infty$--Vektorfeld auf $M$.
Wir betrachten  die  Differentialform $(n-1)$--ter Ordnung $\omega$ auf $M$, welche
jedem $P\in M$ die  alternierende $(n-1)$--Form
\[ \ba{rcl} (T_PM)^{n-1}&\to & \R \\ (v_1,\dots,v_{n-1})&\mapsto& \det\us{n\times n-\op{Matrix}}{\ub{(F(P)\,v_1\,\dots\,v_{n-1})}}. \ea \]
zuordnet. Zeigen Sie, dass $\omega$  eine  $C^\infty$--Differentialform $(n-1)$--ter Ordnung auf $M$ ist.

\subsection*{Aufgabe 4}
 Es sei $f\colon \R^n\to \R$ eine $C^\infty$--Funktion und $z\in \R$ ein regul\"arer Wert.
Wir betrachten die $(n-1)$--dimensionale Untermannigfaltigkeit $M:=f^{-1}(z)$.
Es sei nun $P\in M$. Wir sagen eine Basis $\{v_1,\dots,v_{n-1}\}$ ist positiv, wenn
\[ \det(\op{grad} f(P)\,v_1\,\dots\,v_{n-1})>0.\]
Dies definiert eine Orientierung f\"ur jeden Tangentialraum $T_PM$. 
Zeigen Sie, dass diese  Orientierungen der Tangentialr\"aume eine Orientierung der Untermannigfaltigkeit  $M$ definiert.




%==================================================================
\subsection{Definition eines topologischen Raums und Beispiele}


Wir beschlie\ss en dieses Kapitel mit zwei weiteren Beispiel von topologischen R\"aumen,
welche uns in den kommenden Wochen begleiten werden.

\begin{beispiel} (Gerade mit zwei Nullen)
Wir betrachten die Menge
\[ X:=\R\cup \{*\},\]
d.h.\ $X$ besteht aus $\R$ und einem weiteren Punkt $*$.
Wir sagen $U\subset X$ ist offen wenn gilt:
\bn
\item zu jedem Punkt $x\in U\cap \R$ existiert ein $\eps>0$, so dass $(x-\eps,x+\eps)\subset U$,
\item wenn $*\in U$, dann gibt es ein $\eps>0$, so dass $(-\eps,0)\cup (0,\eps)\subset U$.
\en
In \"Ubungs\-blatt 1 werden wir sehen, dass dies in der Tat eine Topologie auf $X$ definiert.
Zeigen Sie, dass dieser topologische Raum Hom\"oomorph zu $S^1$ ist.
\end{beispiel}


\begin{beispiel} (Gerade mit einem Punkt im Unendlichen)
Wir betrachten die Menge
\[ Y:=\R\cup \{\infty\},\]
d.h.\ $Y$ besteht aus $\R$ und einem weiteren Punkt $\infty$.
Wir sagen $U\subset Y$ ist offen, wenn die beiden folgenden  Bedingungen erf\"ullt sind:
\bn
\item zu jedem Punkt $x\in U\cap \R$ existiert ein $\eps>0$, so dass $(x-\eps,x+\eps)\subset U$,
\item wenn $\infty\in U$, dann gibt es ein $C>0$, so dass $(-\infty,-C)\cup (C,\infty)\subset U$.
\en
In \"Ubungs\-blatt 1 werden wir wiederum sehen, dass dies in der Tat eine Topologie auf $Y$ definiert.
\end{beispiel}



\subsection*{Aufgabe 3}
Eine Abbildung zwischen zwei Riemannschen Mannigfaltigkeiten hei\ss t \emph{konform} oder winkelerhaltend, wenn 
\bn
\item sind die sph\"arischen Karten von $S^2$ konform?
\item ist die stereographische Projektion konform?
\en


\subsection*{Aufgabe 3}
\bn
\item
Zeigen Sie, dass $\R\times (0,1)/\Z$ hom\"oomorph zum M\"obiusband ist.
\item Wie kann man die Kleinsche Flasche als Quotient von $\R^2$ schreiben?
\en


\subsection*{Aufgabe 3}
Zeigen Sie, dass $H^2(S^2\times T^2)\ne 0$. 
\end{document}


