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\begin{document}


\title{Analysis~III - Wintersemester 2015}
\author{Stefan Friedl}
%\center{sfriedl@gmail.com}

\maketitle

\tableofcontents



%==================================================================
\section*{Literatur}

Zum Erlernen des Stoffes und zur Bearbeitung der \"Ubungsaufgaben reicht das Skript. Die Vorlesung besteht aus zwei Teilen, der Funktionentheorie sowie der Integrations- und Ma\ss theorie. Die erste  Teil der Vorlesung \"uber Funktionentheorie orientiert sich an
\begin{enumerate}
\item[] J\"anich: Funktionentheorie - Eine Einf\"uhrung, und
\item[] Fritzsche:  Grundkurs Funktionentheorie.
\end{enumerate}
Der zweite Teil \"uber Ma\ss- und Integrationstheorie basiert auf
\begin{enumerate}
\item[] Forster: Analysis~III.
\end{enumerate}
\newpage

%==================================================================
\chapter{Funktionentheorie}

%================================
\section{Die komplexen Zahlen}


Die Funktionentheorie behandelt die Theorie der komplexen Funktionen, das hei\ss t der komplex-wertigen Funktionen auf einer offenen Teilmenge von $\C$. 
In diesem Kapitel erinnern wir  zuerst an die Definition der komplexen Zahlen, und wir erinnern uns dann an einige der Eigenschaften und Aussagen, welche wir schon in Analysis~I und Analysis~II nachgewiesen hatten.

%================================
\subsection{Der K\"orper der komplexen Zahlen}
Die \emph{Menge der komplexen Zahlen}
ist gegeben durch
\[ \C\,\,:=\,\,\{ a+bi\,|\, a,b\in \R \},\]
dies ist die Menge aller formalen Summen $a+bi$, wobei $i$ ein festgew\"ahltes Symbol ist.
 F\"ur $a\in \R$ schreiben wir hierbei
$a+0i=a$  und $0+ai=ai$. Wir fassen also die reellen Zahlen als Teilmenge der komplexen Zahlen auf.

Wir k\"onnen komplexe Zahlen wie folgt addieren
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} \hspace{2cm} (x+yi)+(x'+y'i)&:=&(x+x')+(y+y')i,\quad&\mbox{wobei $x,y,x',y'\in \R$},
\intertext{und wie folgt mit einem Skalar, d.h.\ mit einer reellen Zahl, multiplizieren}
\lambda\cdot (x+yi)&:=&\lambda  x+\lambda  yi,&\mbox{wobei $x,y,\lambda\in \R$}.\end{array} 
\end{align*} 
Man kann nun leicht \"uberpr\"ufen, dass $\C$ mit dieser Addition und dieser Skalarmultplikation ein 2-dimensionaler reeller Vektorraum ist. Insbesondere ist die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl}  \R^2 &\to & \C \\
(x,y) &\mapsto & x+yi\end{array} \]
ein Isomorphismus von reellen Vektorr\"aumen. Wir stellen uns deswegen die komplexen Zahlen bildlich auch als die 2-dimensionale Ebene vor.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{komplexe-zahlen.pstex_t}
\caption{Graphische Darstellung von komplexen Zahlen und deren Addition.}\label{fig:komplexe-zahlen}
\end{center}
\end{figure}

In Analysis~I hatten wir folgenden Satz bewiesen, welcher  besagt, dass man auf den komplexen Zahlen eine Multiplikation einf\"uhren kann, so dass alle K\"orperaxiome erf\"ullt sind. 

\begin{satz}
Die Menge $\C$ der komplexen Zahlen mit der Addition
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} \hspace{1.5cm} (x+yi)+(x'+y'i)&:=&(x+x')+(y+y')i,\quad&\mbox{wobei $x,y,x',y'\in \R$},
\intertext{und der Multiplikation}
 (x+yi)\cdot(x'+y'i)&:=&(xx'-yy')+(xy'+x'y)i,&\mbox{wobei $x,y,x',y'\in \R$}.\end{array} 
\end{align*} 
ist ein K\"orper.
\end{satz}



Die Multiplikation 
\[ (x+yi)\cdot (x'+y'i)\,\,=\,\,(xx'-yy')+(xy'+x'y)i\]
erfolgt also  durch Ausmultiplizieren und indem wir $i^2=-1$ setzen.
Der vielleicht \"uber\-raschendste Aspekt ist, dass es zu jeder komplexen Zahl $z\ne 0$ ein multiplikativ inverses Element gibt.
In der gilt f\"ur $x+iy\in \C\setminus \{0\}$, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{1.5cm}(x+iy)\cdot \smfrac{1}{x^2+y^2}(x-iy)&=&\smfrac{1}{x^2+y^2}(x+iy)(x-iy)\,\,=\,\,\smfrac{1}{x^2+y^2}(x^2+y^2)\,\,=\,\,1.
\intertext{In anderen Worten, es ist}
 (x+iy)^{-1}&=&\smfrac{1}{x^2+y^2}(x-iy).\end{array} \end{align*}



Wir f\"uhren jetzt weitere Definitionen ein.
F\"ur $z=x+iy$ mit $x,y\in \R$ hei\ss t
\[
\begin{array}{rcll} \operatorname{Re}(z)&:=&x&\mbox{der \emph{Realteil von $z$}},\\
\operatorname{Im}(z)&:=&y& \mbox{der \emph{Imagin\"arteil von $z$}},\\
\overline{z}&:=&x-iy\quad&\mbox{die \emph{zu $z$ konjugiert komplexe Zahl}}.\end{array}
\]
Die konjugiert komplexe Zahl $\overline{z}$ wird oft als \emph{$z$ quer} bezeichnet.
Die geometrische Bedeutung dieser Definitionen wird in Abbildung \ref{fig:komplexe-zahlen-xy} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{komplexe-zahlen-xy.pstex_t}
\caption{Die geometrische Bedeutung von Realteil, Imagin\"arteil und konjugiert komplexer Zahl.}
\label{fig:komplexe-zahlen-xy}
\end{center}
\end{figure}
Durch elementares Nachrechnen kann man leicht zeigen, dass
f\"ur $w,z\in \C$ folgende Aussagen gelten
\[
\begin{array}{lrcl}
(1) \quad &\operatorname{Re}(z)&=&\frac{1}{2}(z+\overline{z}),\hspace{4cm}\\[2mm]
(2) &\operatorname{Im}(z)&=&\frac{1}{2i}(z-\overline{z}), \end{array} \quad 
\begin{array}{lrcl}
(3) &\overline{w+z}&=&\overline{w}+\overline{z},\\[2mm]
(4) &\overline{wz}&=&\overline{w}\cdot \overline{z}.\end{array} \]


Es sei $z=x+yi$ eine komplexe Zahl. Wir bezeichnen dann $|z|:=\sqrt{x^2+y^2}$ als den \emph{Betrag von $z$}.\footnote{In anderen Wort, $|z|$ ist gerade die euklidische Norm von $z=x=iy$ aufgefasst als Punkt in $\C=\R^2$.}
Das folgende Lemma fasst einige Eigenschaften des Betrags von komplexen Zahlen zusammen. Der Beweis des Lemmas ist elementar und verbleibt eine freiwillige \"Ubungsaufgabe.

\begin{lemma}\label{lem:betragz}

Es seien $w,z\in \C$. Dann gilt:
\[
\begin{array}{lrcll} 
(1)\quad &|z|&\geq& 0& \mbox{und $|z|=0$ genau dann, wenn $z=0$},\hspace{1cm}\\
(2) &|z|&=&\sqrt{z\cdot \overline{z}},&\\
(3)&\mbox{f\"ur $z\ne 0$ gilt }z^{-1}&=&\tmfrac{1}{|z|^2}\overline{z}\\
(4) &|w\cdot z|&=&|w|\cdot |z|,&\mbox{insbesondere ist $|-z|=|z|$},\\
(5) &|w+z|&\leq& |w|+|z|\quad &  \mbox{$($Dreiecksungleichung$)$},\\
(6) &|z|&\geq& |\operatorname{Re}(z)|&\mbox{und }|z|\geq |\operatorname{Im}(z)|.\end{array} \]
\end{lemma}

Aus den Eigenschaften (1), (4) und (5) erhalten wir sofort folgendes Korollar.

\begin{korollar}\label{kor:cmetrischerraum}
Der reelle Vektorraum $\C$ mit dem Betrag ist ein normierter Vektorraum. Insbesondere ist $\C$ mit der Abstandsfunktion $d(z,w)=|z-w|$ ein metrischer Raum.
\end{korollar}

Im Folgenden betrachten wir $\C$ durchgehend als metrischen Raum bez\"uglich der Abstandsfunktion $d(z,w)=|z-w|$. Insbesondere \"ubertragen sich alle Aussagen aus der Analysis~II f\"ur metrische R\"aume auf die komplexen Zahlen.


%================================
\subsection{Offene und abgeschlossene Mengen in $\C$}\label{section:offen-abgeschlossen}
Wir erinnern noch an ein paar weitere Definitionen aus der Analysis~II.
\begin{enumerate}
\item
Es sei  $z\in \C$ und $r\in \R$. Wir bezeichnen\footnote{In Analysis~II hatten wir die gleiche Menge mit $B_r(z)$ bezeichnet. Der Wechsel von `$B$' auf `$D$' r\"uhrt daher, dass wir in Analysis~II allgemeine metrische R\"aume betrachtet hatten, und wir uns die Menge als Kugeln oder B\"alle vorgestellt haben. Im komplexen, d.h.\ im reell 2-dimensionalen Fall, sind diese Mengen jedoch Scheiben und wir bezeichnen diese mit `$D$' f\"ur `diskus' oder `disk'.}
\[ D_r(z)\,\,:=\,\,\big\{ w\in \C\,\big|\, |w-z|<r\big\}\]
als die \emph{offene $r$-Scheibe um $z$}. 
\item Wir sagen eine Teilmenge $U\subset \C$ ist \emph{offen}, wenn es zu jedem $z\in U$ ein $r>0$ gibt, so dass $D_r(z)$
noch ganz in $U$ liegt. Beispielsweise sind $\C$ und die leere Menge offen.
Zudem kann man leicht zeigen, dass jede offene Scheibe in der Tat offen im obigen Sinne ist.
\item Wir sagen $U\subset \C$ ist eine \emph{Umgebung von $z\in \C$}, wenn es ein $r>0$ gibt, so dass $D_r(z)\subset U$.
\item Eine Menge $X\subset \C$ hei\ss t \emph{abgeschlossen}, wenn das Komplement $\C\setminus X$ offen ist.
Beispielsweise sind $\C$ und $\emptyset$ auch wiederum abgeschlossene Mengen.
F\"ur  $z\in \C$ und $r\in \R$ bezeichnen wir
\[\overline{D_r(z)}\,\,:=\,\,\big\{ w\in \C\,\big|\, |w-z|\leq r\big\}\]
als die \emph{abgeschlossene $r$-Scheibe um $z$}. In \"Ubungs\-blatt~0 werden wir sehen, dass $\overline{D_r(z)}$ in der Tat eine abgeschlossene Teilmenge ist.
\item F\"ur eine Teilmenge $X\subset \C$ bezeichnen wir \label{def:innerec}
\[ \interior{X}\,\,:=\,\,\big\{z\in \C\,\big|\,\mbox{es gibt ein $\epsilon>0$, so dass $D_\epsilon(z)\subset X$}\big\}\]
als das \emph{Innere von $X$}.
\item F\"ur eine Teilmenge $X\subset \C$ bezeichnen wir \label{def:abschlussc}
\[ \overline{X}\,\,:=\,\,\big\{z\in \C\,\big|\,\mbox{f\"ur alle $\epsilon>0$ gilt $D_\epsilon(z)\cap X\ne \emptyset$}\big\}\]
als den \emph{Abschlu\ss\, von $X$}. In \"Ubungs\-blatt~0 werden wir sehen, dass $\overline{D_r(z)}$ in der Tat der Abschlu\ss\, von $D_r(z)$ ist.
Zudem werden wir sehen, dass der Abschlu\ss\, einer Menge immer abgeschlossen ist. 
\end{enumerate}



Wir f\"uhren nun den Rand einer Teilmenge von $\C$ ein.\footnote{Der  Begriff vom Rand kann auch ganz analog f\"ur allgemeine metrische R\"aume eingef\"uhrt werden, in der Tat war dies der Bestandteil eines `inoffiziellen' Kapitels der Analysis~II Vorlesung. Der Einfachheit halber bleiben wir jetzt aber beim Spezialfall.}


\begin{definition}
Es sei $Y$ eine Teilmenge von $\C$. 
Ein Punkt  $z\in \C$ ist ein \emph{Randpunkt von $Y$},  wenn  jede Scheibe $D_r(z)$  um  $z$ sowohl einen Punkt von $Y$ als auch einen Punkt vom Komplement $\C\setminus Y$ enth\"alt.
Die Menge aller Randpunkte von $Y$ hei\ss t der \emph{Rand} von $Y$ und wird mit $\partial Y$ bezeichnet.
\end{definition}

\begin{beispiel}
In \"Ubungs\-blatt 1 werden wir sehen, dass der Rand einer Scheibe (offen oder abgeschlossen) der zugeh\"orige `Randkreis' ist. Genauer gesagt, f\"ur $z\in \C$ und $r>0$ gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4.5cm} \partial D_r(z)&=&\big\{w\in \C\,\big|\,|w-z|=r\big\}
\intertext{sowie}
\partial \overline{D_r(z)}&=&\big\{w\in \C\,\big|\,|w-z|=r\big\}.\end{array}
 \end{align*}
\end{beispiel}

Es folgt leicht aus den Definitionen, dass f\"ur ein $X\subset \C$ der Abschlu\ss $\overline{X}$ gegeben ist durch $\overline{X}=X\cup \partial X$. Ebenso leicht zeigt man, dass $X\setminus \partial{X}$ das Innere von $X$ ist.


%================================
\subsection{Konvergenz von Folgen und Reihen von komplexen Zahlen}
Wir hatten gerade in Korollar~\ref{kor:cmetrischerraum} gesehen, dass $\C$ mit der Betragsfunktion $|-|\colon \C\to \R_{\geq 0}$ ein normierter Vektorraum. Wir k\"onnen nun die verschiedenen Definitionen und Ergebnisse  aus der Analysis~I und Analysis~II \"uber konvergente Folgen auf die komplexen Zahlen \"ubertragen.
Es sei beispielsweise $(z_n)$ eine Folge von komplexen Zahlen und  $z\in \C$.
Die Definition von Konvergenz im metrischen Raum $\C$ besagt, dass 
\[ \lim_{n\to \infty} z_n=z\quad :\Longleftrightarrow \quad \underset{\epsilon>0}{\bigforall} \,\,\underset{N\in \N}{\bigexists} \,\,\underset{n\geq N}{\bigforall}\,\, |z_n-z|<\epsilon.\]
F\"ur die Konvergenz von Folgen von komplexen Zahlen gelten fast die gleichen Aussagen wie f\"ur die Konvergenz von reellen Folgen.  Insbesondere gilt:

\begin{enumerate}
\item Wenn eine komplexe Folge konvergiert, dann ist der Grenzwert eindeutig bestimmt.
\item Eine komplexe Folge $(z_n)$, welche konvergiert, ist auch beschr\"ankt, d.h.\ es gibt ein $C\in \R$, so dass $|z_n|\leq C$ f\"ur alle $n\in \N$.
\end{enumerate}
Es seien $(a_n)$ und $(b_n)$ konvergente Folgen von komplexen Zahlen. Dann gilt mit den gleichen Beweis wie in Analysis~I, dass
\[
\begin{array}{rclclcl}
\hspace{0.65cm}(3) &\hspace{2cm}& \underset{n\to \infty}{\lim}\, (a_n+b_n)&=&\underset{n\to \infty}{\lim}\,a_n\,+\,\underset{n\to \infty}{\lim}\, b_n,&\hspace{2.65cm}&\\[2mm]
(4) &&\underset{n\to \infty}{\lim}\,  (a_n\cdot b_n)&=&\underset{n\to \infty}{\lim}\, a_n\,\cdot\,\underset{n\to \infty}{\lim}\, b_n,\\
(5)&\mbox{es sei $\lambda\in \C$, dann ist} \hspace{-1cm}&\\
&&\underset{n\to \infty}{\lim}\,  \lambda  a_n&=&\lambda  \underset{n\to \infty}{\lim}\,  a_n,
\end{array}\]
\begin{enumerate}
\item[(6)]\hspace{0.0cm} wenn  $b_n\ne 0$ f\"ur alle $n$ und wenn zudem  $\underset{n\to \infty}{\lim}\, b_n\ne 0$, dann gilt
\[ \hspace{0.0cm}\lim_{n\to \infty} \lmfrac{a_n}{b_n}\,\,=\,\,\lmfrac{\underset{n\to \infty}{\lim}\, a_n}{\underset{n\to \infty}{\lim}\, b_n}.\]
\item[(7)] es ist
\[ \lim_{n\to \infty} \overline{a_n}\,\,=\,\,\overline{\lim_{n\to \infty} a_n}.\]
\end{enumerate}

Der folgende Satz aus der Analysis~I besagt nun, dass man die Konvergenz von Folgen von komplexen Zahlen auf die Konvergenz von den Real- und Imagin\"arteilen zur\"uckf\"uhren kann.

\begin{satz}\label{satz:konvzn}
Es sei $(z_n)$ eine Folge von komplexen Zahlen und $z\in \C$.
Dann gilt
\footnote{Die linke Seite betrifft die Konvergenz von einer Folge von komplexen Zahlen, w\"ahrend die rechte Seite  von der Konvergenz von zwei Folgen von reellen Zahlen handelt.}
\[ \lim_{n\to \infty} z_n=z \quad \Longleftrightarrow \quad
\lim_{n\to \infty} \operatorname{Re}(z_n)=\operatorname{Re}(z) \mbox{ und }
\lim_{n\to \infty} \operatorname{Im}(z_n)=\operatorname{Im}(z).\]
\end{satz}





Die Definition einer Cauchy-Folge von komplexen Zahlen ist wort-w\"ortlich die Gleiche wie f\"ur reelle Folgen, d.h.
\[ \mbox{$(z_n)$ ist eine Cauchy-Folge }\quad :\Longleftrightarrow \quad \underset{\epsilon>0}{\bigforall} \,\,\underset{N\in \N}{\bigexists} \,\,\underset{n,m\geq N}{\bigforall}\,\, |z_n-z_m|<\epsilon.\]
Nachdem die reellen Zahlen vollst\"andig sind, und nachdem wir die Konvergenz von Folgen von komplexen Zahlen auf die Konvergenz von Folgen von reellen Zahlen zur\"uckf\"uhren kann, erhalten wir folgenden Satz.\footnote{Der Satz wurde etwas ausf\"uhrlicher in Analysis~I bewiesen.}


\begin{satz}
Jede  Cauchy-Folge von komplexen Zahlen konvergiert in $\C$.
\end{satz}


F\"ur eine Folge $(z_n)$ von komplexen Zahlen definieren wir wiederum die Reihe $\sum_{n=0}^\infty z_n$ als die Folge der Partialsummen, d.h.\ es ist
\[\sum_{n=0}^\infty z_n\,\,:=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim}  \sum_{n=0}^k z_n.\]  
Beispielsweise hatten wir in Analysis~I gesehen, dass  f\"ur jedes $z\in \C$ mit $|z|<1$ gilt, dass 
\[ \sum_{n=0}^\infty z^n\,\,=\,\,\lmfrac{1}{1-z}\quad\quad \mbox{`geometrische Reihe'}\]
F\"ur konvergente Reihen gelten dann die \"ublichen Rechenregeln. Zudem vertr\"agt sich nach Lemma~\ref{satz:konvzn} Reihenbildung mit komplexer Konjugation. D.h.\ f\"ur eine konvergente $\sum_{n=0}^\infty z_n$  Reihe von komplexen Zahlen gilt
\[ \sum_{n=0}^\infty \overline{z_n}\,\,=\,\,\overline{\sum_{n=0}^\infty z_n}.\]

Eine Reihe $\sum_{n=0}^\infty z_n$ von komplexen Zahlen hei\ss t \emph{absolut konvergent}, wenn die Reihe 
$\sum_{n=0}^\infty |z_n|$ der Betr\"age konvergiert. In Analysis~I hatten wir gesehen, dass jede absolut konvergente Reihe konvergiert. Zudem hatten wir das Majorantenkriterium und das Quotientenkriterium f\"ur die absolute Konvergenz von Reihen formuliert und bewiesen.

Beispielsweise folgt aus dem Quotientenkriterium, dass f\"ur jedes $z\in \C$ die
Exponentialreihe
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}e^z\,\,:=\,\, \exp(z)&:=&\lmsum{n=0}{\infty} \,\,\smfrac{z^n}{n!}\,\,\in \C
\intertext{absolut konvergiert. Wir hatten zudem bewiesen, dass f\"ur alle $z,z'\in \C$  gilt}
 \exp(z+z')&=&\exp(z)\cdot \exp(z').
 \intertext{Au\ss erdem folgt aus der obigen Aussage \"uber die komplexe Konjugation,
 dass f\"ur alle $z\in \C$ gilt}
\hspace{6cm} \exp(\overline{z})&=&\overline{\exp(z)}.\end{array}
\end{align*}


Wir haben jetzt also gesehen, dass viele Definitionen und Aussagen \"uber reelle Folgen und Reihen problemlos auf Folgen und Reihen von komplexen Zahlen \"ubertragen werden k\"onnen. Insbesondere alle Aussagen, welche nur mit dem Absolutbetrag $|\,\,|$ von reellen Zahlen formuliert wurden, \"ubertragen sich problemlos. 
Allerdings k\"onnen die Definitionen und Aussagen  \"uber reelle Zahlen, Folgen und Reihen, welche die Anordnung $>$ verwenden, \emph{nicht} auf die komplexen Zahlen \"ubertragen werden. Insbesondere gilt:
\begin{enumerate}
\item es gibt \emph{kein} Analogon vom Leibniz-Kriterium f\"ur komplexe Folgen,
\item das Supremum und Infimum einer Teilmenge von $\C$ ist \emph{nicht} definiert,
\item es macht keinen Sinn zu sagen, dass eine Folge von komplexen Zahlen $(z_n)$ bestimmt gegen $-\infty$ oder $+\infty$ divergiert.
\end{enumerate}


%================================
\subsection{Stetige Funktionen}
Wir werden in diesem Kapitel sehen, dass wir  ohne gr\"o\ss ere Probleme viele der Definitionen und S\"atze von reellen Funktionen auf komplexe Funktionen  \"ubertragen k\"onnen.
Es sei $D\subset \C$ eine Teilmenge und es sei $f\colon  D\to \C$ eine komplexe Funktion und $z_0\in D$. Wir definieren
 \[ \mbox{$f$ ist stetig im Punkt $x_0$}\quad :\Leftrightarrow \quad
  \underset{\epsilon>0}{\bigforall} \,\,\underset{\delta>0}{\bigexists} \,\,\underset{{\tiny \begin{array}{c}z\in D\,\operatorname{mit}\\|z-z_0|<\delta\end{array}}}{\bigforall} \,|f(z)-f(z_0)|<\epsilon.\]


Durch einfaches Umschreiben der Beweise f\"ur reelle Funktionen erhalten wir folgende Aussagen:
\begin{enumerate}
\item Es sei  $c\in \C$, dann  sind die Funktionen
\[ \hspace{1cm}\begin{array}{rcl}   \C&\to & \C \\ z&\mapsto & z \end{array} \quad
\begin{array}{rcl}   \C&\to & \C \\ z&\mapsto & \overline{z} \end{array} \quad \mbox{ und } \quad\begin{array}{rcl}   \C&\to & \C \\ z&\mapsto & c \end{array}  \quad \mbox{ sowie } \quad \begin{array}{rcl}  \C&\to & \C \\ z&\mapsto &| z|\end{array}\]
 stetig.
\item Die Summe, das Produkt, der Quotient
 und die Verkn\"upfung zweier stetiger Funktionen sind stetig. Insbesondere sind Polynomfunktionen und rationale Funktionen stetig. 
\item Die Einschr\"ankung einer stetigen Funktion $f\colon  D\to \C$ auf eine Teilmenge $E\subset D$ ist wiederum stetig. 
\end{enumerate}
Der Beweis von der Stetigkeit der reellen Exponentialfunktion  \"ubertr\"agt sich auch wort-w\"ortlich auf komplexe Zahlen. Wir erhalten daher, dass auch die komplexe Exponentialfunktion 
\[ \begin{array}{rcl} \exp\colon  \C&\to &\C\\ z&\mapsto &\exp(z)\end{array} \]
stetig ist.

Wir beschlie\ss en das Kapitel mit folgendem Lemma, welches ganz analog zum reellen Fall bewiesen wird. Der Beweis ist eine \"Ubungsaufgabe in \"Ubungs\-blatt 0. Wir werden dieses Lemma im sp\"ateren Verlauf der Vorlesung noch einmal verwenden.

\begin{lemma}\label{lem:nicht-null-auf-umgebung}
Es sei $U\subset \C$ offen und $f\colon U\to \C$ stetig.
Es sei $z_0\in U$ mit $f(z_0)\ne 0$. Dann gibt es ein $\epsilon>0$, so dass $f(z)\ne 0$ f\"ur alle $z\in D_\epsilon(z_0)\cap U$.
\end{lemma}




%================================
\subsection{Grenzwerte von komplexen Funktionen}
Es sei $U\subset \C$ eine Teilmenge. Wir sagen $z\in \C$ ist ein \emph{H\"aufungspunkt von $U$}, wenn es zu jedem $\epsilon>0$ ein $w\ne z\in U$ mit $|z-w|<\epsilon$ gibt.
\label{def:haufungspunkt}

\begin{beispiel}\label{bsp:haufungspunkt}
\[ \begin{array}{r|l}
\mbox{Menge} & \mbox{H\"aufungspunkte}\\
\hline
\\[-0.3cm]
D_r(z)&\overline{D_r(z)}\\
\overline{D_r(z)}&\overline{D_r(z)}\\
\C\setminus \{z_0\}&\C\\
\{\frac{1}{n}\,|\,n\in \N\}&\{0\}\end{array}
\quad
 \begin{array}{r|l}
\mbox{Menge} & \mbox{H\"aufungspunkte}\\
\hline
\\[-0.3cm]
\Z&\emptyset\\
(a,b)&[a,b]\\[0mm]
[a,\infty)& [a,\infty)\\
\Q&\R\end{array}\]
\end{beispiel}


Es sei nun $U\subset \C$, es sei  $f\colon U\to \C$ eine Funktion und es sei $z_0\in \C$ ein H\"aufungspunkt von $U$. F\"ur $w\in \C$  schreiben wir
\begin{align*}
\begin{array}{rrl} 
\hspace{4cm} \underset{z\to z_0}{\lim}\, g(z)=w & :\Longleftrightarrow& \,\,\underset{\epsilon>0}{\bigforall}\,\,\underset{\delta>0}{\bigexists}\,\,\underset{z\ne z_0\in
D_\delta(z_0)\cap U}{\bigforall}|g(z)-w|<\epsilon.
\intertext{Wenn solch ein $w$ existiert, dann nennen wir diesen den \emph{Grenzwert} von $f$ am Punkt $z_0$. In \"Ubungs\-blatt 0 werden wir sehen, dass der Grenzwert, wenn er existiert, eindeutig bestimmt ist. Wenn $z_0\in U$, dann folgt zudem sofort aus den Definitionen, dass}
 \mbox{$g$ stetig im Punkt $z_0$ } &\Longleftrightarrow&  \underset{z\to z_0}{\lim}\, g(z)=g(z_0).
\intertext{Zudem schreiben wir}
  \underset{z\to z_0}{\lim}\, g(z)=\infty & :\Longleftrightarrow& \,\,\underset{C>0}{\bigforall}\,\,\underset{\delta>0}{\bigexists}\,\,\underset{z\ne z_0\in
  D_\delta(z_0)\cap U}{\bigforall}|g(z)|\geq C.
 \end{array} \end{align*}
 
\begin{bemerkung}
In der Definition von $\lim_{z\to z_0}g(z)=\infty$ betrachten wir nur den 
\emph{Betrag} der Funktion $g(z)$. Dies f\"uhrt zu der etwas verwirrenden Situation, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcrl} 
\hspace{3cm} \underset{x\to 0}{\lim}\, -\smfrac{1}{x^2}&=&-\infty,&\mbox{ wenn $f$ als reelle Funktion aufgefasst wird},
\intertext{aber}
 \underset{z\to 0}{\lim}\, -\smfrac{1}{z^2}&=&\infty,&\mbox{ wenn $f$ als komplexe Funktion aufgefasst wird}.
\intertext{Zudem gilt}
 \underset{z\to 0}{\lim}\,\,\, \smfrac{1}{z}&=&\infty,&\mbox{ wenn $f$ als komplexe Funktion aufgefasst wird}.
\end{array}
\end{align*}
In dieser Vorlesung werden wir nur den Grenzwertbegriff f\"ur komplexe Funktionen verwenden.
\end{bemerkung}

Im Folgenden f\"uhren wir noch den Grenzwert f\"ur $z\to \infty$ ein.
Es sei also $f\colon  U\to \C$ wiederum eine  Funktion. F\"ur  $a\in \C$ schreiben wir
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{3.5cm}\underset{z\to \infty}{\lim}\, f(z)=a &:\Longleftrightarrow&
\underset{\epsilon>0}{\bigforall}\,\,\underset{D\in \R}{\bigexists}\,\,\underset{z\in U\operatorname{ mit }|z|\geq D}{\bigforall}|f(z)-a|<\epsilon
\intertext{und wir definieren}
 \underset{z\to \infty}{\lim}\, f(z)=\infty &:\Longleftrightarrow&
\underset{C>0}{\bigforall}\,\,\underset{D\in \R}{\bigexists}\,\,\underset{z\in U\operatorname{ mit }|z|\geq D}{\bigforall}|f(z)|\geq C.
\end{array}
\end{align*}
Wir bezeichnen dann $\underset{z\to \infty}{\lim} f(z)$ als den \emph{Grenzwert von $f$ f\"ur $z$ gegen $\infty$}. \smallskip

Ein \emph{Polynom von Grad $n$} ist eine Funktion der Form
\[ f(z)\,\,=\,\,a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+z_0,\]
wobei $a_0,\dots,a_n\in \C$ und wobei $a_n\ne 0$. Wir nennen $a_n$ den \emph{h\"ochsten Koeffizienten von $f(z)$}. 
Zudem sagen wir, dass das Nullpolynom $f(z)=0$ ein Polynom von Grad $-1$ ist.
Eine \emph{rationale Funktion} 
ist eine Funktion der Form
\[ f(z)\,\,=\,\,\lmfrac{p(z)}{q(z)},\]
wobei $p(z)$ und $q(z)\ne 0$ Polynome sind. Folgendes Lemma wird ganz \"ahnlich wie die analoge Aussage f\"ur reelle Polynome und reelle rationale Funktionen bewiesen.

\begin{lemma}\label{lem:grenzwert-polynom}
Es sei $p(z)$ eine Polynom mit $\operatorname{Grad}(p)\geq 1$. Dann gilt
\[ \lim_{z\to \infty} p(z)\,\,=\,\,\infty.\]
Es seien $p(z),q(z)\ne 0$ zwei Polynome. Dann gilt
\[ \lim_{z\to \infty} \lmfrac{p(z)}{q(z)}\,\,=\,\,\left\{ \begin{array}{ll} 
0,&\mbox{wenn $\operatorname{Grad}(p)<\operatorname{Grad}(q)$},\\
\lmfrac{\mbox{h\"ochster Koeffizient von $p$}}{\mbox{h\"ochster Koeffizient von $q$}},&\mbox{wenn $\operatorname{Grad}(p)=\operatorname{Grad}(q)$},\\
\infty,&\mbox{wenn $\operatorname{Grad}(p)>\operatorname{Grad}(q)$}.\end{array}\right.\]
\end{lemma}

Beispielsweise gilt
\[\begin{array}{ll}  \underset{z\to \infty}{\lim} \lmfrac{3z^2+1}{5z^2-2z+7}
&= \lmfrac{\mbox{h\"ochster Koeffizient von $3z^2+1$}}{\mbox{h\"ochster Koeffizient von $5z^2-2z+7$}}\,\,=\,\,\lmfrac{3}{5}.\\
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:grenzwert-polynom}}\end{array}\]

\newpage
%================================
\section{Holomorphe Funktionen}


%================================
\subsection{Definition von holomorphe Funktionen und erste Eigenschaften}
Viele Definitionen \"ubertragen sich ganz nat\"urlich von den reellen Funktionen auf die komplexen Funktionen. Dies gilt beispielsweise auch f\"ur die Differenzierbarkeit.

\begin{definition}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge und $z_0\in U$. Eine Funktion $f\colon U\to \C$ hei\ss t  \emph{komplex differenzierbar im Punkt $z_0\in U$}, wenn  der Grenzwert
\[ \lmfrac{d}{dz} f(z_0)\,\,:=\,\, f'(z_0)\,\,:=\,\,\lim_{z\to z_0} \lmfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,\,\in \C\]
existiert. Wenn $f$ in allen Punkten komplex differenzierbar ist, dann nennen wir die Funktion \emph{komplex differenzierbar} oder k\"urzer, \emph{holomorph}. Zudem nennen wir dann die Funktion 
\[ \begin{array}{rcl}U&\to& \C\\
 z&\mapsto &f'(z)\end{array}\]
  die \emph{Ableitung von $f$.} 
Ganz analog f\"uhren wir auch $k$-mal komplex differenzierbar ein, und bezeichnen die $k$-te komplexe Ableitung mit $f^{(k)}$. 
\end{definition}

Genau wie in Analysis~I zeigt man nun folgenden Satz.

\begin{satz}\label{satz:ableitungsregeln}
Es sei $U\subset \C$ offen und es seien $f,g\colon U\to \C$ holomorphe Funktionen.
Dann sind die Funktionen $f+g$ und $f\cdot g$ holomorph, wobei
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}
\hspace{4cm} (f+g)'&=&f'+g'&\mbox{$($Summenregel$)$}\\
 (f\cdot g)'&=&f'\cdot g+f\cdot g'\hspace{1cm}&\mbox{$($Produktregel$)$}.
\intertext{Wenn zudem $g(z)\ne 0$ f\"ur alle $z\in U$, dann ist auch $\frac{f}{g}$ holomorph mit}
 \Big(\smfrac{f}{g}\Big)'&=&\smfrac{f'g-fg'}{g^2}&\mbox{$($Quotientenregel$)$}\end{array}\end{align*}
\end{satz}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Man kann leicht `per Hand' zeigen, dass die konstanten Funktionen $f(z)=\lambda$ mit $\lambda\in \C$ und die Funktion $f(z)=z$ holomorph sind. Es folgt dann aus Satz~\ref{satz:ableitungsregeln}, dass auch Polynome und rationale Funktionen holomorph sind.
\item Mit Beispiel (1), der Produktregel und einem leichten Induktionsargument kann man zeigen, dass 
\[ \tmfrac{d}{dz}z^n\,\,=\,\,nz^{n-1}.\]
\item In \"Ubungsblatt~1 werden wir sehen, dass die Funktion $f(z)=\overline{z}$ und $g(z)=|z|$ \emph{nicht} holomorph sind.
\end{enumerate} 
\end{beispiel}


Zudem gilt auch die Kettenregel.  Der Beweis ist dabei wiederum ganz analog zum reellen Fall.

\begin{satz}\label{satz:kettenregel}
Es seien $U,V\subset \C$ offene Teilmengen, es seien $f\colon U\to \C$ und $g\colon V\to \C$ holomorphe Abbildungen mit $f(U)\subset V$. Dann ist auch $g\circ f\colon U\to \C$ holomorph, wobei
\[ (g\circ f)'(z)\,\,=\,\,g'(f(z))\cdot f'(z).\]
\end{satz}

Wir erinnern nun noch an die `klein-o' Notation aus der Analysis~II. 

\begin{definition}
Es sei $U\subset \C$  eine  Umgebung von $0$ und  es seien $f,g\colon U\to \R$ Funktionen.
Wir definieren
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{4cm} f(z)\,=\,o(g(z)) 
&\Longleftrightarrow &
\underset{\epsilon>0}{\bigforall}\,\underset{\delta>0}{\bigexists}\, \underset{x\in D_\delta(0)\cap U}{\bigforall}\, |f(z)|\leq \epsilon |g(z)|.
\intertext{F\"ur Funktionen  $f,g,h\colon U\to \R$ definieren  wir auch}
 f(z)\,=\,g(z)+o(h(z))&:\Longleftrightarrow&  f(z)-g(z)\,=\,o(h(z)).\end{array} \end{align*}
\end{definition}

Sehr vereinfacht gilt $f(z)\,=\,o(g(z))$, wenn $|f(z)|$ beliebig viel kleiner als $|g(z)|$ ist in kleinen Umgebungen von $0$.

\begin{beispiel}
Auf $U=\C$ gilt beispielsweise, dass
\[ z^3\,=\,o(z^2),\]
denn f\"ur jedes $\epsilon>0$ setzen wir $\delta=\epsilon$, und dann gilt f\"ur ein beliebiges $z\in D_\delta(0)$, dass
\[ |z^3|\,\,=\,\,|z^2|\cdot |z|\,\,<\,\,|z^2|\cdot \delta\,\,=\,\,|z^2|\cdot \epsilon.\]
\end{beispiel}


% Ende 1. Vorlesung 

Folgendes Lemma gibt nun eine Umformulierung von komplexer Differenzierbarkeit. Der Beweis dazu folgt leicht aus den Definitionen und ist eine freiwillige \"Ubungsaufgabe.

\begin{lemma}\label{lem:holomorph-klein-o}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge, es sei $f\colon U\to \C$ eine Funktion, es sei $z_0\in U$ und es sei $a\in \C$. Dann gilt
\[   \mbox{$f$ komplex differenzierbar im Punkt $z_0$ mit $f'(z_0)=a$}  \Longleftrightarrow  \mbox{$f(z_0+h)=f(z_0)+h\cdot a+o(h)$}.\]
\end{lemma}



%================================
\subsection{Potenzreihen}
Wir erinnern an den Begriff der Potenzreihen, welche wir schon in Analysis~I eingef\"uhrt hatten.
Im Folgenden sei $(c_n)_{n\in \N}$ eine Folge von \emph{komplexen Zahlen} und es sei $a\in \C$. Eine
\emph{Potenzreihe} ist ein formaler Ausdruck von der Form
\[  f\,\,=\,\,\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n,\]
wobei $z$ eine Variable ist.
Wir interessieren uns f\"ur die Menge der komplexen Zahlen, f\"ur welche die Potenzreihe konvergiert.

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Betrachten wir   die Potenzreihe $f=\sum_{n=0}^\infty z^n$. Es sei $z\in \C$. Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item Wenn $|z|<1$,  dann konvergiert die Reihe $\sum_{n=0}^\infty z^n$ nachdem die gerade die geometrische Reihe ist.
\item Wenn $|z|\geq 1$, dann ist $(z^n)_{n\in \N}$, keine Nullfolge, das hei\ss t  die Reihe  divergiert.
\end{enumerate}
\item
Betrachten wir nun
die Potenzreihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}$. Es sei $z\in \C$. Dann k\"onnen wir folgende Beobachtungen machen:
\begin{enumerate}
\item Wenn  $|z|<1$ dann konvergiert die Potenzreihe nach dem Quotientenkriterium.
\item Wenn $|z|>1$ dann divergiert die Reihe, nachdem $ \frac{z^n}{n}$ keine Nullfolge ist.
\item F\"ur $z=1$ erhalten wir die harmonische Reihe.
\item F\"ur $z=-1$ konvergiert die Potenzreihe nachdem  Leibniz-Kriterium.
\item F\"ur $z=i$ hatten wir in \"Ubungs\-blatt 9 von Analysis~I gesehen, dass die Reihe konvergiert.
\end{enumerate}
Im allgemeinen  ist es  kniffelig zu bestimmen, f\"ur welche $z$'s auf dem Einheitskreis die Reihe $f(z)$ konvergiert.\footnote{Es sei $z$ eine $k$-te Einheitswurzel. Dann konvergiert die Potenzreihe wenn $k$ gerade ist und die Potenzreihe divergiert wenn $k$ ungerade.}
\end{enumerate}
\end{beispiel}



\begin{definition}
Es  sei $f(z)=\sum_{n=k}^\infty c_n(z-a)^n$ eine Potenzreihe. Dann nennen wir
\[ R:=\sup\Big\{ |z-a|\,\,\,\Big|\,\,z\in \C \mbox{ und } \tmsum{n=0}{\infty} c_n(z-a)^n\mbox{ konvergiert }\Big\}\in \R_{\geq 0}\cup \{\infty\}\]
den \emph{Konvergenzradius der Potenzreihe $f(z)$.}
\end{definition}

\begin{beispiel}
In der Diskussion oben und in Analysis~I hatten wir folgende Konvergenzradien bestimmt.
\begin{enumerate}
\item Der Konvergenzradius der Reihen $\sum\limits_{n=0}^\infty z^n $ und $\sum\limits_{n=1}^\infty \tmfrac{z^n}{n}$ ist eins. 
\item Der Konvergenzradius der  Exponentialreihe $\sum\limits_{n=0}^\infty \tmfrac{z^n}{n!}$  ist $\infty$.
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{bemerkung}
In Analysis~I hatten wir die Hadamardsche Formel formuliert, welche es erlaubt, zumindest im Prinzip, den Konvergenzradius direkt aus den Koeffizienten abzulesen. Genauer gesagt, es sei   $(c_n)_{n\in \N}$ eine Folge von komplexen Zahlen. Dann besagt die Hadamardsche Formel, dass\footnote{Hierbei ist der Limes superior einer Folge von reellen Zahlen $a_n$ wie folgt definiert:
\[\underset{n\to\infty}{\limsup }\,a_n\,\,=\,\,\underset{n\to\infty}{\lim}
\sup\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\dots \}.\] 
Die Folge auf der rechten Seite ist monoton fallend. Die Folge konvergiert also  gegen eine reelle Zahl oder sie divergiert bestimmt gegen $-\infty$.}
\[ \mbox{Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n$}\,\,=\,\, \bigg(\underset{n\to\infty}{\opnormal{lim sup}} \sqrt[n]{|c_n|}\bigg)^{-1}\]
Hier verwenden wir die Konvention, dass
$0^{-1}:=\infty$ und $\infty^{-1}:=0$. Wir werden die Hadamardsche Formel im weiteren Verlauf der Vorlesung nicht verwenden. 
\end{bemerkung}

In  Kapitel 17 der Analysis~I hatten wir folgenden Satz bewiesen.

\begin{satz}\label{satz:konvr}\label{satz:potenzglm}\label{satz:fzstetig}
Es sei $R$ der Konvergenzradius einer Potenzreihe 
\[ f\,\,=\,\,\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n.\]
F\"ur $z\in \C$ gilt
\[\begin{array}{rcl}
|z-a|<R &\Longrightarrow & f(z) \mbox{ konvergiert},\\
|z-a|>R &\Longrightarrow & f(z) \mbox{ divergiert}.\end{array} \]
Zudem gelten folgende Aussagen
\begin{enumerate}
\item  f\"ur alle $s<R$ konvergiert $f(z)$
\footnote{D.h.\ wir betrachten die Funktionenfolge $f_k(z):=\sum_{n=0}^k c_n(z-a)^n$.} auf der abgeschlossenen Scheibe $\overline{D_s(a)}$ absolut und gleichm\"a\ss ig,
\footnote{F\"ur $D\subset \C$ und eine Funktion $f\colon  D\to \C$ definieren wir hierbei, ganz analog zu reellen Funktionen, die Norm von $f$ als
\[ \|f\|:=\sup\big\{ |f(z)|\,\big|\, z\in D\big\}.\]
F\"ur  eine Folge von beschr\"ankten Funktionen $f_n\colon U\to \C$, $n\in \N$ und eine Funktion $f\colon U\to \C$ definieren wir nun, ganz analog zum Fall von reellen Funktionen, dass
\[
\begin{array}{lccccccccc}
\mbox{$(f_n)$ konvergiert gleichm\"a\ss ig gegen $f$}\quad  &\Longleftrightarrow&\quad
\underset{\epsilon>0}{\bigforall}&\underset{N\in \N}{\bigexists}&\underset{n\geq N}{\bigforall}
&\|f_n-f\|<\epsilon.\end{array} \]}
\item  die Funktion $z\mapsto f(z)$ ist auf der offenen Scheibe $D_R(a)$ stetig.
\end{enumerate}
\end{satz}




Wie wir am Beispiel der Reihe $\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n}$ gesehen hatten, k\"onnen wir keine allgemeine Aussage \"uber die Konvergenz einer Reihe f\"ur komplexe Zahlen $z$ mit $|z-a|=R$ treffen.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{scheibe2.pstex_t}
\caption{Illustration von Satz \ref{satz:konvr}.}
\end{center}
\end{figure}

Das folgende Lemma zeigt, dass bestimmte Ab\"anderungen einer Potenzreihe den Konvergenzradius nicht ab\"andern.
Die Aussagen folgen dabei entweder leicht aus den Definitionen oder aus Lemma~17.5 aus der Analysis~I.



\begin{lemma}\label{lem:gleicherkonvergenzradius-leicht}
\label{lem:gleicherkonvergenzradius}
Es sei $(c_n)$ eine Folge von komplexen Zahlen. Dann gilt f\"ur alle $k\in \N_0$ und alle Polynome $p(n)$, dass
folgende Reihen den gleichen Konvergenzradius besitzen:
\[
\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n, \quad
\sum\limits_{n=k}^\infty c_n(z-a)^n, \quad
\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-a)^{n+k}, \quad 
\sum\limits_{n=0}^\infty |c_n|(z-a)^n\mbox{ sowie }
\sum\limits_{n=0}^\infty p(n)c_n(z-a)^{n}.\]
\end{lemma}





Es sei nun 
$f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R$.
Wir hatten gerade gesehen, dass die Funktion $f(z)$  auf $D_R(a)$ stetig ist.  Im Folgenden werden wir die deutlich st\"arkere Aussage beweisen, dass $f$ auch holomorph ist. Es folgt aus Lemma~\ref{lem:gleicherkonvergenzradius}, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty nc_n(z-a)^{n-1}$ ebenfalls $R$ betr\"agt.
Der folgende Satz besagt nun, dass diese Potenzreihe, wie man sich das naiv w\"unschen w\"urde, in der Tat die Ableitung von $f$ ist.


\begin{satz}\label{satz:gliedweises-ableiten}
Es sei 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4cm} f(z)&=&\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n
\intertext{eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R$. 
Dann ist $f$ auf $D_R(a)$ holomorph mit Ableitung}
f'(z)&=&\sum\limits_{n=0}^\infty nc_n(z-a)^{n-1} \quad\quad \mbox{`gliedweises ableiten'}.\end{array}\end{align*}
\end{satz}



\begin{bemerkung}
F\"ur \emph{reelle} Potenzreihen hatten wir in Analysis~I Satz~17.7 gezeigt, dass die zugeh\"orige \emph{reelle} Funktion differenzierbar ist. Wir k\"onnen diesen Beweis aus der Analysis~I allerdings nicht auf den komplexen Fall \"ubertragen, weil wir damals den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verwendet hatten, welcher uns im jetzigen Fall nicht zur Verf\"ugung steht.
\end{bemerkung}

Durch mehrfaches Anwenden von Satz~\ref{satz:gliedweises-ableiten} erhalten wir sofort folgendes Korollar, welches uns erlaubt die Koeffizienten einer Potenzreihe $f(z)$ durch Ableiten und Einsetzen abzulesen.

\begin{korollar}\label{kor:cn-durch-ableiten}
Es sei 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6cm} f(z)&=&\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n
\intertext{eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R>0$. 
Dann gilt f\"ur alle $n\in \N_0$, dass}
\lmfrac{1}{n!}f^{(n)}(a)&=&c_n.\end{array}\end{align*}
\end{korollar}

Wir wenden uns nun dem Beweis von Satz~\ref{satz:gliedweises-ableiten} zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:gliedweises-ableiten}]
Um die Notation etwas zu vereinfachen, betrachten wir nur den Spezialfall $a=0$. 
Es sei also $f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R$.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{gliedweises-ableiten.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}
F\"ur den Rest des Beweises sei nun $z\in D_R(0)$ fest gew\"ahlt. Der Punkt $z$ liegt also in der offenen Scheibe $D_R(0)$.
Es gibt insbesondere ein $r>0$, so dass $\overline{D_r(z)}\subset D_R(0)$. 

Wir wollen zeigen, dass $f$ im Punkt $z$ holomorph  ist mit $f'(z)=\sum_{n=0}^\infty nc_n(z-a)^{n-1}$, d.h.\ wir wollen zeigen, dass
\[ \underset{h\to 0}{\lim}\, \Big(\lmfrac{f(z+h)-f(z)}{h}-\sum_{n=0}^\infty nc_n(z-a)^{n-1}\Big)\,\,=\,\,0.\]
In der Tat gilt f\"ur beliebiges $h\ne 0\in D_r(0)$, dass
\[
\begin{array}{ll}
\hspace{0.55cm}\Big|\lmfrac{f(z+h)-f(z)}{h}-\sum\limits_{n=0}^\infty nc_nz^{n-1}\Big|&=\,\,\Big|\lmfrac{1}{h}\Big(\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z+h)^n-\sum\limits_{n=0}^\infty c_nz^n\Big)-\sum\limits_{n=0}^\infty nc_nz^{n-1}\Big|\\
=\,\,\bigg| \sum\limits_{n=0}^\infty \Big( c_n\smfrac{1}{h}\big((z+h)^n-z^n\big)-nc_nz^{n-1}\Big)\bigg|
&=\,\,\bigg| \sum\limits_{n=0}^\infty hc_n\sum\limits_{k=0}^{n-2}\Big(\hspace{-0.2cm}\begin{array}{c} n\\k\end{array}\hspace{-0.2cm}\Big) h^{n-2-k}z^{k}\bigg|\\[-0.2cm]
&\uparrow\\[-0.2cm]
&\hspace{-0.5cm}\mbox{nachdem $(z+h)^n=z^n+nhz^{n-1}+\sum\limits_{k=0}^{n-2}\Big(\hspace{-0.2cm}\begin{array}{c} n\\k\end{array}\hspace{-0.2cm}\Big) h^{n-k}z^{k}$}\\[0.1cm]
\leq\,\, |h|\cdot\smsum{n=0}{\infty} |c_n|\underbrace{\lmsum{k=0}{n-2}\Big(\hspace{-0.2cm}\begin{array}{c} n\\k\end{array}\hspace{-0.2cm}\Big) |h|^{n-2-k}|z|^{k}}&\leq\,\,|h|\cdot \underset{=:\varphi(|h|)}{\underbrace{\smsum{n=0}{\infty} |c_n|\cdot n(n-1)\cdot (|h|+|z|)^{n-2}}}\\[-0.65cm]
&\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{0.045cm}\mid\\
&\hspace{-6cm}\begin{array}{l}\opnormal{der Term \"uber der geschleiften Klammer erinnert etwas an $(|h|+|z|)^{n-2}$,}\\\opnormal{in der Tat gilt}\\
(|h|+|z|)^{n-2}\,=\,\lmsum{k=0}{n-2}\Big(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{c} n-2\\k\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big) |h|^{n-2-k}|z|^{k}\,\geq\,  
\lmsum{k=0}{n-2}
\smfrac{1}{n(n-1)}
\Big(\hspace{-0.1cm}\begin{array}{c} n\\k\end{array}\hspace{-0.1cm}\Big) |h|^{n-2-k}|z|^{k}\end{array}
\end{array}\]
Wir m\"ussen also zeigen, dass dieser Ausdruck im Grenzwert $h\to 0$ verschwindet. Es gen\"ugt nun folgende Behauptung zu zeigen.

\begin{behauptung}
Die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} [0,r]&\to & \R_{\geq 0}\\
 s&\mapsto &  \varphi(s):=\smsum{n=0}{\infty} |c_n|\cdot n(n-1)\cdot (s+|z|)^{n-2}\end{array}\]
ist beschr\"ankt.
\end{behauptung}

Wir betrachten nun die Potenzreihe $\varphi(s)$.
Es ist
\[ 
\begin{array}{lll} \mbox{Konvergenzradius}\big(\varphi(s)\big)
&=\,\,\mbox{Konvergenzradius}\bigg(\smsum{n=0}{\infty} c_n (s+|z|)^{n}\bigg)&\geq\,\,R-|z|>r\\[-0.2cm]
&\uparrow&\uparrow \\
&\hspace{-1cm}\mbox{Lemma~\ref{lem:gleicherkonvergenzradius}}&
\hspace{-5.7cm}\mbox{da $\smsum{n=0}{\infty} c_n w^{n}$ auf $D_{R-|z|}(|z|)\subset D_R(0)$ konvergiert}
\end{array} \]
Es folgt aus Satz~\ref{satz:fzstetig}, dass $\varphi$ auf dem kompakten Intervall $[0,r]$ stetig ist.
Die Behauptung folgt nun daraus, dass jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall beschr\"ankt ist.
\end{proof}

Beispielsweise folgt nun aus Satz~\ref{satz:gliedweises-ableiten}, dass die Exponentialfunktion
\[ e^z\,\,:=\,\,\exp(z)\,\,=\,\,\sum_{n=0}^\infty \lmfrac{z^n}{n!}\]
auf ganz $\C$ holomorph ist, und die Ableitung ist wiederum die Exponentialfunktion.
Zudem sind die komplexen trigonometrischen Funktionen 
\begin{align*}
\begin{array}{rclcrcl}
\hspace{2.5cm}
 \sin(z)&=&\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\lmfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} &\mbox{ und } &
 \cos(z)&=&\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\lmfrac{z^{2n}}{(2n)!}
\intertext{auf ganz $\C$ holomorph, wobei, wenig \"uberraschend }
 \lmfrac{d}{dz} \sin(z)&=&\cos(z) & \mbox{ und } & 
\lmfrac{d}{dz} \cos(z)&=&-\sin(z).\end{array} \end{align*}


%================================
\subsection{Der Zusammenhang zwischen reeller Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit}
\label{section:reell-diffbar}
Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \R^2 &\to &\C \\
(x,y)&\mapsto & x+iy\end{array}\]
definiert nat\"urlich einen Isomorphismus von reellen Vektorr\"aumen. 
Wir werden im weiteren Verlauf der Vorlesung $\R^2$ und $\C$ mithilfe von diesem Isomorphismus identifizieren.

Das n\"achste Lemma besagt, auf welche Weise wir die Multiplikation mit komplexen Zahlen durch Matrizen ausdr\"ucken k\"onnen.

\begin{lemma}\label{lem:komplex-matrix}
Es sei $a+bi$ eine komplexe Zahl. Dann ist 
\[ \begin{array}{rcl} \C&\to & \C \\
z&\mapsto & (a+bi)\cdot z\end{array}\]
eine lineare Abbildung vom reellen Vektorraum $\C=\R^2$. Bez\"uglich der Basis $\{1,i\}$ wird diese lineare Abbildung durch die Matrix
\[ \begin{pmatrix} a&-b \\ b&\hfill a\end{pmatrix} \]
repr\"asentiert.
\end{lemma}

\begin{proof}
Der Beweis vom Lemma besteht nur darin, die Definition von einer Matrix, welche eine lineare Abbildung bez\"uglich einer gegebenen Basis repr\"asentiert hinzuschreiben. In diesem Fall ist die Basis $\{1,i\}$ und die lineare Abbildung ist die Multiplikation mit $a+bi$. Wir berechnen, dass
\[  (a+bi)\cdot \begin{array}{c} 1\\+\\0\cdot i\end{array} \,\,=\,\,
 \begin{array}{c} a\\+\\b\cdot i\end{array} \quad \mbox{ und }
 (a+bi)\cdot \begin{array}{c} 0\\+\\1\cdot i\end{array} \,\,=\,\,
  \begin{array}{c} -b\\+\\a\cdot i\end{array}.\]
Wir erhalten nun die gesuchte Matrix aus den Koeffizienten, welche jeweils rechts stehen.
\end{proof}

Es sei nun $U\subset \C$ offen und es sei $f\colon U\to \C$ eine komplexe Funktion.
Mit der Identifikation $\C=\R^2$ k\"onnen wir also $f$ auch  als Abbildung $U\to \R^2$ auffassen. Es sei $z_0\in U$. Wir haben nun zwei verschiedene Begriffe von Differenzierbarkeit am Punkt $z_0$.
\begin{enumerate}
\item Wir hatten gerade den Begriff von komplex differenzierbar eingef\"uhrt.
\item In Analysis~II hatten wir auch den Begriff von reell differenzierbar eingef\"uhrt.
In unserem jetzigen Zusammenhang ist  $f\colon U\to \R^2$ im Punkt $z_0$ reell differenzierbar,
wenn es eine reelle $2\times 2$--Matrix $A$ gibt, so dass
\[ \lim_{v\to 0} \frac{f(z_0+v)-f(z_0)-Av}{\|v\|}\, =\,0.\]
Wir nennen dann die Matrix $A$ das \emph{Differential $Df(z_0)$ von $f$ am Punkt $z_0$.}
\end{enumerate}

Der folgende Satz zeigt nun den Zusammenhang zwischen den beiden Formulierungen von Differenzierbarkeit.

\begin{satz}\label{satz:reell-komplex-diffbar}
Es sei $U\subset \C=\R^2$ offen, $f\colon U\to \C=\R^2$ eine Funktion, es sei $z_0\in U$ und es seien $a,b\in \R$. Dann gilt
\[ \begin{array}{c}\mbox{$f$ ist komplex differenzierbar}\\\mbox{am Punkt $z_0$ mit Ableitung $a+bi$}\end{array}
\Longleftrightarrow \begin{array}{c}\mbox{$f$ ist reell differenzierbar am Punkt $z_0$}\\\mbox{mit Differential $Df(z_0)=\begin{pmatrix} a& -b\\ b&\hfill a \end{pmatrix}.$}\end{array}\]
\end{satz}

In anderen Worten, die Funktion ist komplex differenzierbar, wenn die Funktion reell differenzierbar ist, und das Differential entspricht, im Sinne von Lemma~\ref{lem:komplex-matrix}, gerade der Multiplikation mit einer komplexen Zahl.

\begin{proof}
Das Lemma folgt leicht aus den Definitionen. Der Vollst\"andigkeit halber f\"uhren wir das Argument aus.
Es gilt
\[ \begin{array}{rl}\begin{array}{c}\mbox{$f$ komplex differenzierbar}\\\mbox{mit Ableitung $a+bi$}\end{array}
&\Longleftrightarrow \,\,
\underset{h\to 0}{\lim}\, \smfrac{f(z_0+h)-f(z_0)-(a+bi)h}{h}=0\\
&\Longleftrightarrow \,\,
\underset{\opnormal{komplexer Grenzwert}}{\underbrace{\underset{h\to 0}{\lim}\, \smfrac{f(z_0+h)-f(z_0)-(a+bi)h}{|h|}}}=0\\
&\Longleftrightarrow \,\, \underset{\opnormal{reeller Grenzwert}}{\underbrace{\underset{v\to 0}{\lim}\, \smfrac{f(z_0+v)-f(z_0)-{\tiny{\begin{pmatrix} a& -b\\ b&\hfill a \end{pmatrix} v}}}{\|v\|}}}\, =\,0\\[-0.55cm]
&\hspace{0.2cm}\uparrow\\
&\hspace{-2.3cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:komplex-matrix}}\\
&\Longleftrightarrow \,\,
\mbox{$f$ reell differenzierbar mit  $Df(z_0)={\tiny{\begin{pmatrix} a& -b\\ b&\hfill a \end{pmatrix}.}}$}\end{array}\]
\end{proof}

Es sei $U\subset \C$ offen und es sei $f=u+iv\colon U\to \C=\R^2$ eine reell differenzierbare Funktion mit $u=\operatorname{Re}(f)$ und $v=\operatorname{Im}(f)$. Dann gilt
\[ Df\,\,=\,\,\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\[2mm]
\frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}.\]
Das Differential ist also von der Form wie in Satz~\ref{satz:reell-komplex-diffbar} genau dann, wenn 
\[ \lmfrac{\partial u}{\partial x}\,\,=\,\,\lmfrac{\partial v}{\partial y}\quad \mbox{ und } \quad \lmfrac{\partial u}{\partial y}\,\,=\,\,-\lmfrac{\partial v}{\partial x}.\]
Diese Differentialgleichung werden manchmal die \emph{Cauchy--Riemannschen Differentialgleichungen} genannt.

Wir k\"onnen nun auch die Umkehrregel f\"ur holomorphe Funktionen beweisen.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Umkehrregel f\"ur holomorphe Funktionen)}}
\label{satz:umkehrregel}
Es sei $f\colon U\to V$ eine holomorphe bijektive Abbildung zwischen zwei offenen Teilmengen von $\C$. Wenn $f'(z)\ne 0$ f\"ur alle $z\in U$,  dann ist die Umkehrfunktion $f^{-1}$ holomorph mit
\[ \big(f^{-1}\big)'(z)\,\,=\,\,\lmfrac{1}{f'(f^{-1}(z))}.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Wir beweisen zuerst folgende Behauptung.

\begin{behauptung}
Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ ist holomorph.
\end{behauptung}

Aus Satz~\ref{satz:reell-komplex-diffbar} folgt, dass $f$ insbesondere reell differenzierbar ist mit invertierbaren Differentialen. 
Es sei nun $z\in V$.
Aus Kapitel~9 der Analysis~II Vorlesung wissen wir, dass die Umkehrfunktion $f^{-1}$ im Punkt $z$ reell differenzierbar ist mit Differential
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{6cm} Df^{-1}(z)&=&Df(f^{-1}(z))^{-1}.
\intertext{Nach Satz~\ref{satz:reell-komplex-diffbar} gibt es $c,d\in \R$, so dass}
 Df(f^{-1}(z))&=&\begin{pmatrix} c& -d\\ d&\hfill c \end{pmatrix}.
\intertext{Es folgt also, dass}
 Df^{-1}(z)\,\,=\,\,\begin{pmatrix} c& -d\\ d&\hfill c \end{pmatrix}^{-1}&=&\lmfrac{1}{c^2+d^2}
\begin{pmatrix} \hfill c& d\\ -d&\hfill c \end{pmatrix}.\end{array} \end{align*}
Diese Matrix ist also von der Form wie auf der rechten Seite von  Satz~\ref{satz:reell-komplex-diffbar}.
Es folgt daher aus Satz~\ref{satz:reell-komplex-diffbar}, dass $f^{-1}$ im Punkt $z$ holomorph ist. Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.

\begin{behauptung} 
Es ist
\[ \big(f^{-1}\big)'(z)\,\,=\,\,\lmfrac{1}{f'(f^{-1}(z))}.\]
\end{behauptung}

Wir wenden  die Kettenregel auf $z=f(f^{-1}(z))$ an. Wir erhalten, dass 
\footnote{Warum haben wir jetzt eigentlich die erste Behauptung bewiesen?}
\[ 1\,=\,\big(f(f^{-1}(z))\big)'\,=\,f'(f^{-1}(z))\cdot (f^{-1})'(z)\mbox{ und damit }
\big(f^{-1}\big)'(z)\,\,=\,\,\lmfrac{1}{f'(f^{-1}(z))}.\]
\end{proof}

Wir beschlie\ss en das Kapitel mit folgendem Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:ableitung-null-funktion-konstant}
Es sei  $f\colon D_r(z_0)\to  \C$ eine holomorphe Funktion auf einer Kreisscheibe in $\C$. Wenn $f'(z)=0$ f\"ur alle $z$, dann ist die Funktion $f(z)$ konstant.
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir fassen $f$ auf als Abbildung von $D_r(z_0)\subset \C=\R^2$ nach $\C=\R^2$. 
Nach Satz~\ref{satz:reell-komplex-diffbar} und  der Voraussetzung, dass $f'\equiv 0$ folgt nun, dass das Differential $Df$ dieser Abbildung \"uberall verschwindet. 
Es folgt dann aus Analysis~II Lemma~8.3, dass die Funktion $f$ konstant ist.
\end{proof}


% Ende 2. Vorlesung

\newpage
%================================
\section{Wegintegrale}




%================================
\subsection{Komplexwertige Funktionen in einer reellen Variablen}
\label{section:integral-ueber-intervall}
In Analysis~II hatten wir eine Funktion $f\colon [a,b]\to \R^n$ (stetig) differenzierbar genannt, wenn die Koordinatenfunktionen (stetig) differenzierbar sind. Zudem hatten wir das Integral von $f$ koordinatenweise eingef\"uhrt. Wir verfahren nun ganz analog f\"ur Funktionen $f\colon [a,b]\to \C$ indem wir anstatt den Koordinaten nun den Realteil und den Imagin\"arteil getrennt betrachten.

Genauer gesagt, es sei $f\colon [a,b]\to \C$ eine stetige Funktion von dem kompakten Intervall $[a,b]$ nach $\C$. 
Wir sagen $f$ ist \emph{$($stetig$)$ differenzierbar}, wenn der  Realteil und der Imagin\"arteil von $f$ (stetig) differenzierbar sind. Wenn dies der Fall ist, dann schreiben wir 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{2.7cm} f'(t)&=&\operatorname{Re}(f(t))'+i\operatorname{Im}(f(t))'.
\intertext{Beispielsweise gilt}
(e^{it})'&=&(\cos(t)+i\sin(t))'=\cos(t)'+i\sin(t)'=-\sin(t)+i\cos(t)=ie^{it}.
\intertext{Zudem definieren wir  das Integral $ \int_a^b f(t)\,dt$ indem wir den Realteil und den Imagin\"arteil getrennt integrieren. Genauer gesagt wir definieren}
 \bbint\limits_a^b f(t)\,dt&:=&\bbint\limits_a^b \operatorname{Re}(f(t))\,dt+i\bbint\limits_a^b \operatorname{Im}(f(t))\,dt\,\,\in\,\, \C.\end{array} \end{align*}
Folgendes Lemma gibt eine hilfreiche Absch\"atzung f\"ur Integrale.

\begin{lemma}\label{lem:integral-a-b-abschaetzung}
Es sei $f\colon [a,b]\to \C$ eine stetige Funktion. Dann gilt
\[ \bigg| \bint\limits_a^b f(t)\,dt\bigg|\,\,\leq\,\, \bint\limits_a^b |f(t)|\,dt.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Lemma 8.2 aus der Analysis II besagt, dass f\"ur eine beliebige stetige Abbildung $g\colon [a,b]\to \R^n$ die Ungleichung
\[ \bigg\| \bint\limits_a^b g(t)\,dt\bigg\|\,\,\leq\,\, \bint\limits_a^b \|g(t)\|\,dt\]
gilt. 
Das Lemma folgt nun aus dieser Aussage angewandt auf $n=2$, denn unter dem Isomorphismus $\R^2=\C$ entspricht die euklidische Norm von $(x,y)\in \R^2$ gerade dem Betrag von $x+iy\in \C$.
\end{proof}

%================================
\subsection{Die Definition von Wegintegralen}
Wir erinnern zuerst an den Begriff von einem Weg (oder auch Kurve genannt) in einem metrischen Raum. 
Es sei also $X$ ein metrischer Raum, z.B.\ $X=\C$ oder $X=\R^n$. Ein \emph{Weg} ist eine stetige Abbildung 
\[ \gamma\colon [a,b]\to X.\]
Wir verwenden hierbei folgende Notationen und Sprechweisen:
\begin{enumerate}
\item
 Ein Weg $\gamma\colon [a,b]\to \C$ hei\ss t \emph{geschlossen}, wenn $\gamma(a)=\gamma(b)$. 
\item F\"ur einen Weg $\gamma\colon [a,b]\to X$ bezeichnen wir mit $|\gamma|=\gamma([a,b])$ die Menge der Bildpunkte von $\gamma$.
\item F\"ur einen Weg  $\gamma\colon [a,b]\to \C$ bezeichnen wir mit 
$-\gamma$ den Weg, welcher durch 
\[ \begin{array}{rcl} -\gamma\colon [-b,-a]&\to &\C\\
t&\mapsto &(-\gamma)(t):=\gamma(-t)\end{array} \]
gegeben ist.\footnote{Der Weg $-\gamma$ durchl\"auft also die gleichen Bildpunkte, in umgekehrter Richtung.}
\end{enumerate}


Wir wenden uns nun Wegen in $\C$ zu.

\begin{definition}\mbox{}
Ein \emph{In\-teg\-rations\-weg} ist ein Weg $\gamma\colon [a,b]\to \C$, welcher abschnittsweise stetig differenzierbar ist. Dies bedeutet, dass  es eine Zerlegung $a=t_0<t_1<t_2<\dots< t_n=b$ gibt, so dass die Einschr\"ankungen auf die Intervalle $[t_i,t_{i+1}]$ jeweils stetig differenzierbar sind. 
(Ein Beispiel von einem In\-teg\-rations\-weg ist in Abbildung~\ref{fig:integrationsweg} skizziert.)
\footnote{Der Name In\-teg\-rations\-weg r\"uhrt daher, dass man entlang von In\-teg\-rations\-wegen stetige Funktionen integrieren kann.} Wir definieren die \emph{L\"ange von $\gamma$}\footnote{In Analysis~II hatten wir eine andere Definition von L\"ange, und wir hatten dann gezeigt, dass wir die L\"ange mithilfe dieser Formel bestimmen k\"onnen. Mit anderen Worten, die jetzige Definition von L\"ange ist \"aquivalent zur Definition in Analysis~II f\"ur abschnittsweise stetig differenzierbare Wege.} als\label{def:laenge-wegintegral}\vspace{-0.5cm}
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{5cm}\mbox{L\"ange}(\gamma)&:=& \lmsum{i=0}{n-1}\bbint\limits_{t_i}^{t_{i+1}} | \gamma'(t)|\,dt.
\intertext{Es sei nun $U\subset \C$, es sei $f\colon U\to \C$ stetig und wir nehmen an, dass $\gamma$ in $U$ liegt. Wir definieren das \emph{Wegintegral von $f$ \"uber $\gamma$} als} 
  \bbint\limits_\gamma f(z)\,dz&:=& \lmsum{i=0}{n-1}\bbint\limits_{t_i}^{t_{i+1}} f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt\,\,\in\,\, \C.\end{array} \end{align*}
  \label{def:wegintegral}
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{integrationsweg.pstex_t}
\caption{Skizze von einem In\-teg\-rations\-weg.}\label{fig:integrationsweg}
\end{center}
\end{figure}




\begin{beispiel}
\label{bsp:integral1durchz}
Es sei $U=\C\setminus \{0\}$ und $r>0$. Wir betrachten $f(z)=\frac{1}{z}$ und es sei 
\[ \begin{array}{rcl} \gamma \colon [0,2\pi]&\to & \C \\
t&\mapsto & re^{it}\end{array}\]
der geschlossene In\-teg\-rations\-weg, welcher sich auf dem Kreis von Radius $r$ einmal gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung bewegt. Dann ist $\gamma$ ein geschlossener In\-teg\-rations\-weg mit
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5cm} \opnormal{L\"ange}(\gamma)&=&\bbint\limits_{0}^{2\pi } \underset{=|ire^{it}|=r}{\underbrace{\,\,|\gamma'(t)|\,\,}}\,dt\,\,=\,\,2\pi r
\intertext{und das Wegintegral von $f$ \"uber $\gamma$ betr\"agt}
  \bbint\limits_\gamma \tmfrac{1}{z}\,dz&=& \bbint\limits_{0}^{2\pi}
\underset{=\frac{1}{re^{it}}}{\underbrace{f(\gamma(t))}}\cdot \underset{=ire^{it}}{\underbrace{\gamma'(t)}}\,dt\,\,=\,\,
\bbint\limits_{0}^{2\pi}i\,dt \,\,=\,\,2\pi i.\end{array}\end{align*}
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Es sei $f\colon \C\to \C$ eine Funktion und es sei $\gamma$ der Weg
\[ \begin{array}{rcl} \gamma\colon [a,b]&\to & \C\\
t&\mapsto & t,\end{array}\]
welcher die Punkte $a$ und $b$ auf der reellen Achse von $\C$ verbindet. Dann ist
\[ \bbint\limits_{\gamma} f(z)\,dz\,\,=\,\,\bbint\limits_{a}^b \underset{=f(t)}{\underbrace{f(\gamma(t))}}\cdot \underset{=1}{\underbrace{\gamma'(t)}}\,dt
\,\,=\,\,\bbint\limits_{a}^b f(t)\,dt.\]
Wir erhalten also das gleiche Integral wie in Kapitel~\ref{section:integral-ueber-intervall}.
\end{beispiel}


\begin{lemma}\label{lem:abschaetzung-wegintegral}
\textbf{\emph{(Standardabsch\"atzung von Wegintegralen)}}
Es sei $U\subset \C$, es sei $f\colon U\to \C$ stetig, und es sei $\gamma\colon [a,b]\to U$ ein In\-teg\-rations\-weg. Wenn es ein $C\geq 0$ gibt, so dass $|f(\gamma(t))|\leq C$ f\"ur alle $t\in [a,b]$, dann gilt
\[ \Big|\bbint\limits_\gamma f(z)\,dz\Big|\,\,\leq\,\,\opnormal{L\"ange}(\gamma)\cdot C.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir betrachten zuerst den Fall, dass $\gamma\colon [a,b]\to U$ ein stetig differenzierbarer Weg ist. In diesem Fall gilt
\[
\begin{array}{ll}
 \Big|\hspace{-0.1cm} \bbint\limits_\gamma \hspace{-0.1cm} f(z)\,dz\Big|\,=\,
  \bigg|\hspace{-0.1cm} \bbint\limits_a^b \hspace{-0.1cm} f(\gamma(t))\, \gamma'(t)\,dt\bigg|&\leq
    \bbint\limits_a^b \hspace{-0.1cm} \underset{\leq C \cdot |\gamma'(t)|}{\underbrace{\big|f(\gamma(t))\, \gamma'(t)\big|}} \,dt\,=\,C \hspace{-0.1cm} \bbint\limits_a^b\hspace{-0.1cm}  |\gamma'(t)|\,dt\,=\,C\cdot \opnormal{L\"ange}(\gamma). \\[-0.2cm]
    &\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{Lemma~\ref{lem:integral-a-b-abschaetzung}}
    \end{array}
    \]
Der allgemeine Fall kann leicht auf den differenzierbaren Fall zur\"uckgef\"uhrt werden. Die Details dazu werden in \"Ubungsblatt~2 ausgef\"uhrt.
\end{proof}


Es sei $\gamma\colon [a,b]\to \C$ ein In\-teg\-rations\-weg und es sei $\varphi\colon  [c,d]\to [a,b]$
eine  bijektive, stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} \gamma\circ \varphi\colon [c,d]&\to & \C \\
t&\mapsto &\gamma(\varphi(t)) \end{array} \]
ebenfalls ein In\-teg\-rations\-weg, welcher genau die gleichen Punkte annimmt wie $\gamma$.
Wir sagen, dieser In\-teg\-rations\-weg  geht aus dem In\-teg\-rations\-weg $\gamma$ durch \emph{Parametertransformation $\varphi$} hervor. Wir sagen die Parametertransformation ist \emph{orientierungserhaltend}, wenn $\varphi(c)=a$ und $\varphi(d)=b$. Andernfalls sagen wir, dass $\varphi$ \emph{orientierungsumkehrend} ist.

Folgendes Lemma besagt nun, dass Umparametrisierungen Wegintegrale h\"ochstens um ein Vorzeichen ab\"andern.

\begin{lemma}\label{lem:integral-umparametrisierung}
Es sei $U\subset \C$, es sei $f\colon U\to \C$ stetig, und es sei $\gamma\colon [a,b]\to U$ ein In\-teg\-rations\-weg. Zudem sei $\varphi\colon  [c,d]\to [a,b]$
eine stetig differenzierbare, bijektive Funktion. Dann gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcrl}
 \hspace{2cm} \bint\limits_{\gamma\circ \varphi} f(z)\,dz&=&\bint\limits_{\gamma} f(z)\,dz&\mbox{ wenn $\varphi$ orientierungserhaltend ist}
\intertext{und} 
 \bint\limits_{\gamma\circ \varphi} f(z)\,dz&=&-\bint\limits_{\gamma} f(z)\,dz&\mbox{ wenn $\varphi$  orientierungsumkehrend ist.}
\end{array} 
\end{align*}
\end{lemma}

Etwas vereinfacht gesagt besagt das Lemma, dass sich das Wegintegral  nicht ver\"andert, wenn man die Bildpunkte mit einer anderen Geschwindigkeit in der gleichen Richtung `durchf\"ahrt'. Das Wegintegral wechselt das Vorzeichen, wenn man den Weg in der umgekehrten Richtung `durchf\"ahrt'. 
 
Der Beweis von Lemma~\ref{lem:integral-umparametrisierung} ist \"ahnlich zum Beweis von  Lemma~4.4 in Analysis~II.

\begin{proof}
Wir betrachten zuerst den Fall, dass der In\-teg\-rations\-weg $\gamma\colon [a,b]\to U$ auf dem ganzen Intervall $[a,b]$ stetig differenzierbar ist. 
Dann gilt
\[ \begin{array}{rll} \bint\limits_{\gamma\circ \varphi} f(z)\,dz\hspace{-0.2cm}&=\,\,\bint\limits_c^d f((\gamma\circ \varphi)(t))\cdot (\gamma\circ \varphi)'(t)\,dt\,\,=\,\,\bint\limits_c^d f(\gamma(\varphi(t)))\cdot \gamma'(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)\,dt\\[-0.3cm]
&\uparrow\hspace{5.9cm}\uparrow\\
&\hspace{-1.3cm}\mbox{nach Definition vom Wegintegral}\hspace{2cm}\hspace{-0.9cm}\mbox{Kettenregel}\\[2mm]
&=\,\,\bint\limits_{\varphi(c)}^{\varphi(d)} f(\gamma(u))\cdot \gamma'(u)\, du\,\,=\,\,\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1.5cm}\mbox{nach der Substitutionsregel mit $u=\varphi(t)$}\\
&=\,\,\left\{ \hspace{-0.15cm}\begin{array}{rll}
\bint\limits_{a}^{b} f(\gamma(u))\cdot \gamma'(u)\, du&\hspace{-0.2cm}=\,\phantom{-}
\bint\limits_{\gamma} f(z)\,dz, \mbox{ wenn $\varphi$ orientierungerhaltend,}\\
\bint\limits_{b}^{a} f(\gamma(u))\cdot \gamma'(u)\, du&\hspace{-0.2cm}=\,-
\bint\limits_{\gamma} f(z)\,dz, \mbox{ wenn $\varphi$ orientierungsumkehrend.}\end{array}\right.\\[-0.3cm]
&\hspace{4.7cm}\uparrow\\
&\hspace{2cm}\mbox{Vertauschen der Grenzen \"andert das Vorzeichen}

\end{array}\]

Der Fall, dass $\gamma$ nur abschnittsweise stetig differenzierbar ist wird ganz analog behandelt, man muss die gleiche Rechnung nur f\"ur die verschiedenen Abschnitte durchf\"uhren und dann wieder aufaddieren.
\end{proof}

\begin{definition}
Es seien $\alpha\colon [a,a+p]\to \C$ und $\beta\colon [b,b+q]\to \C$ zwei Wege mit 
$\alpha(a+p)=\beta(b)$. 
Wir bezeichnen dann 
\[ \begin{array}{rcl} \alpha \cdot \beta \colon [a,a+p+q]&\to & \C \\
t&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} \alpha(t),&\mbox{ wenn }t\in [a,a+p]\\
\beta(t-a-p+b),&\mbox{ wenn }t\in (a+p,a+p+q]\end{array} \right.\end{array}\]
als die \emph{Verkn\"upfung von $\alpha$ und $\beta$}.
\end{definition}

In anderen Worten, der Wege $\alpha\cdot \beta$ ist der Weg, welchen man dadurch erh\"alt, dass man zuerst entlang $\alpha$ und danach entlang $\beta$ l\"auft. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{verknupfung-kurven.pstex_t}
\caption{Die Verkn\"upfung von zwei Wegen.}\label{fig:verknupfung-kurven}
\end{center}
\end{figure}

Folgendes Lemma folgt leicht aus den Definitionen. Wir \"uberlassen den Beweis als freiwillige \"Ubungsaufgabe.

\begin{lemma}\label{lem:kurvenintegral-verknupfung}
Es sei $U\subset \C$ offen und $f\colon U\to \C$ eine stetige Funktion. 
Zudem seien $\alpha\colon [a,a+p]\to \C$ und $\beta\colon [b,b+q]\to \C$ zwei In\-teg\-rations\-wege mit 
$\alpha(a+p)=\beta(b)$. Dann gilt
\[ \bint\limits_{\alpha\cdot \beta} f(z)\,dz\,\,=\,\,\bint\limits_{\alpha} f(z)\,dz\,\,+\,\,\bint\limits_{\beta} f(z)\,dz.\]
\end{lemma}




Es sei nun $U\subset \C$ eine offene Teilmenge und $f\colon U\to \C$ eine Funktion.
Wir sagen, eine holomorphe Funktion $F\colon U\to \C$ ist eine \emph{Stammfunktion von $f$}, wenn $F'=f$.
Beispielsweise ist f\"ur jedes $n\in \Z$ mit $n\neq -1$ eine Stammfunktion von $f(z)=z^n$ gegeben durch die Funktion $F(z)=\frac{z^{n+1}}{n+1}$.

In Analysis~I hatten wir gesehen, dass sich Stammfunktionen von reellen Funktionen auf einem Intervall um h\"ochstens eine additive Konstante unterscheiden. Das folgende Lemma, welches sofort aus Lemma~\ref{lem:ableitung-null-funktion-konstant} folgt, besagt nun, dass die analoge Aussage auch f\"ur komplexe Funktionen gilt.

\begin{lemma}\label{lem:eindeutigkeit-stammfunktion}
Es sei $f\colon D\to \C$ eine Funktion auf einer offenen Scheibe $D$.
Stammfunktionen von  $f$ unterscheiden sich um h\"ochstens eine additive Konstante. Genauer gesagt, wenn $F$ und $G$ zwei Stammfunktionen sind, dann gibt es ein $C\in \C$, so dass $F(z)=G(z)+C$ f\"ur alle $z\in D$.
\end{lemma}

Der folgende Satz besagt, dass man Stammfunktionen von Potenzreihen `ganz naiv' bestimmen kann.

\begin{satz}\label{satz:gliedweises-integrieren}
Es sei 
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} 
 \hspace{5cm}f(z)&=&\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n
\intertext{eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R$. 
Dann besitzt}
F(z)&=&\sum\limits_{n=0}^\infty c_n\lmfrac{(z-a)^{n+1}}{n+1}\quad\quad\mbox{`gliedweises integrieren'}\end{array}\end{align*}
den gleichen Konvergenzradius $R$ und definiert auf $D_R(a)$ eine Stammfunktion von $f$.
Zudem ist dies die einzige Stammfunktion mit $F(a)=0$. 
\end{satz}

\begin{proof}
Es folgt aus Lemma~\ref{lem:gleicherkonvergenzradius}, dass die Potenzreihe $F$ wiederum den Konvergenzradius $R$ besitzt. Es folgt dann aus Satz~\ref{satz:gliedweises-ableiten}, dass $F$ in der Tat eine Stammfunktion von $f$ ist. Durch Einsetzen sehen wir, dass $F(a)=0$. Die Eindeutigkeit von $F$ folgt nun aus Lemma~\ref{lem:eindeutigkeit-stammfunktion}.
\end{proof}


Folgender Satz erlaubt es nun Wegintegrale mithilfe von Stammfunktionen, falls diese existieren, zu bestimmen.

\begin{lemma}\label{lem:stammfunktion}
Es sei  $U\subset \C$ eine offene Teilmenge und es sei $f\colon U\to \C$ eine Funktion, welche eine Stammfunktion $F$ besitzt. Dann gilt f\"ur jeden In\-teg\-rations\-weg $\gamma\colon [a,b]\to U$, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{5cm}\bint\limits_{\gamma} f(z)\,dz&=&F(\gamma(b))-F(\gamma(a)).
\intertext{Insbesondere gilt f\"ur einen  geschlossenen In\-teg\-rations\-weg $\gamma$, dass}
\bint\limits_{\gamma} f(z)\,dz&=&0.
\end{array} 
\end{align*}
\end{lemma}

\begin{beispiel}
Auf Seite~\pageref{bsp:integral1durchz} hatten wir den geschlossenen In\-teg\-rations\-weg  
\[ \begin{array}{rcl} \gamma \colon [0,2\pi]&\to & \C \\
t&\mapsto & re^{it}\end{array}\]
betrachtet, und wir hatten gesehen, dass
\[  \bbint\limits_{\gamma} \tmfrac{1}{z}\,dz\,\,=\,\,2\pi i,\]
also insbesondere nicht null ist. 
Es folgt also aus Lemma~\ref{lem:stammfunktion}, dass die Funktion $f(z)=\frac{1}{z}$ auf $U=\C\setminus \{0\}$ \emph{keine} Stammfunktion besitzt.\label{bsp:1z-keine-stammfunktion}
\end{beispiel}

\begin{proof}
Es sei  $a=t_0<t_1<t_2<\dots< t_n=b$ eine Zerlegung, so dass  die Einschr\"ankungen von $\gamma$ auf die Intervalle $[t_i,t_{i+1}]$ jeweils stetig differenzierbar sind. Dann gilt
\[ \begin{array}{rll} 
 \bbint\limits_\gamma f(z)\,dz&=\,\, \lmsum{i=0}{n-1}\bbint\limits_{t_i}^{t_{i+1}} f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt&=\,\,
\lmsum{i=0}{n-1}\bbint\limits_{t_i}^{t_{i+1}} F'(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt\\
&=\,\,
\lmsum{i=0}{n-1}\bbint\limits_{t_i}^{t_{i+1}} (F\circ \gamma)'(t)\,dt
&=\,\,\lmsum{i=0}{n-1} F(\gamma(t_{i+1}))-F(\gamma(t_i))\,\,=\,\,F(\gamma(b))-F(\gamma(a)).\\[-0.2cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1.5cm}\mbox{nach der Kettenregel}
&\hspace{-1.5cm}\opnormal{Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}\\
&&\hspace{-1.5cm}\opnormal{angewandt auf den Realteil und den Imagin\"arteil}\end{array}
\]

Die Aussage \"uber die geschlossenen In\-teg\-rations\-wege folgt sofort aus dem ersten Teil und den Definitionen.
\end{proof}

F\"ur $z_0,\dots,z_n\in \C$  bezeichnen wir mit 
\[ \begin{array}{rcl} \gamma(z_0,\dots,z_n)\colon [0,n]&\to& \C\\
t&\mapsto & (k+1-t)z_k+(t-k)z_{k+1}\mbox{ f\"ur }t\in [k,k+1]\end{array}\]
den In\-teg\-rations\-weg, welcher  f\"ur jedes $k\in \{0,\dots,n-1\}$ auf dem Intervall $[k,k+1]$ die Punkte $z_k$ und $z_{k+1}$ direkt verbindet. Wenn $z_n=z_0$, dann ist der In\-teg\-rations\-weg nat\"urlich geschlossen. In Analysis~II hatten wir einen solchen In\-teg\-rations\-weg auch als Polygonzug bezeichnet. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{polygonzug.pstex_t}
\caption{}\label{fig:polygonzug}
\end{center}
\end{figure}

Interessanterweise gilt auch eine Umkehrung von Lemma~\ref{lem:stammfunktion}. Genauer gesagt, es gilt folgender Satz.

\begin{satz}\label{satz:stammfunktion-holomorph}
Es sei  $U=D_r(a)$ eine offene Scheibe in $\C$ und  es sei $f\colon U\to \C$ eine stetige Funktion. 
Dann sind die folgenden beiden Aussagen \"aquivalent:
\begin{enumerate}
\item $f$ besitzt eine Stammfunktion,
\item f\"ur jeden geschlossenen Dreiecksweg der Form $\gamma(z_0,z_1,z_2,z_0)$ in $U$ gilt
\[\bint\limits_{\gamma} f(z)\,dz\,\,=\,\,0.\]
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
Es sei  also $U=D_r(a)$ eine offene Scheibe in $\C$ und  es sei $f\colon U\to \C$ eine stetige Funktion.

Die Implikation $(1)\Rightarrow (2)$ hatten wir gerade in Lemma~\ref{lem:stammfunktion} bewiesen.
Wir nehmen nun an, dass $(2)$ gilt.
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Der Gedanke ist nun, ganz analog zu Analysis~I, eine Funktion $F$ durch Wegintegrale einzuf\"uhren. Nachdem wir den Hauptsatz \"uber die Differential- und Integralrechnung nicht zur Verf\"ugung haben, m\"ussen wir dann `per Hand' zeigen, dass die Funktion $F$ holomorph ist mit $F'=f$.}
\end{enumerate}
Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} F\colon U&\to & \C\\
z&\mapsto &F(z):=\bint\limits_{\gamma(a,z)} f(\xi)\,d\xi.\end{array}\]
Wir wollen nun zeigen, dass $F$ holomorph ist mit $F'=f$.
Es sei also $z_0\in U$. Wir m\"ussen beweisen, dass $F'(z_0)=f(z_0)$. F\"ur $h\in \C$  betrachten wir dazu erst einmal
\begin{align*}
\begin{array}{rl} \hspace{1cm}F(z_0+h)-F(z_0)&=\,\, \bint\limits_{\gamma(a,z_0+h)}f(\xi)\,d\xi-\bint\limits_{\gamma(a,z_0)}f(\xi)\,d\xi\\
&=\,\,\bint\limits_{\gamma(a,z_0+h)}f(\xi)\,d\xi+\bint\limits_{\gamma(z_0,a)}f(\xi)\,d\xi\,\,=\,\,(*)\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:integral-umparametrisierung}}
\intertext{Wir wollen nun verwenden, dass das Integral \"uber den Dreiecksweg $\gamma(a,z_0,z_0+h,a)$ verschwindet. Wir f\"uhren dazu den Term f\"ur die dritte Kante ein.}
(*)&=\,\,\underset{\opnormal{$=0$ nach Voraussetzung}}{\underbrace{\bint\limits_{\gamma(a,z_0+h)}\hspace{-0.3cm}f(\xi)\,d\xi+\bint\limits_{\gamma(z_0,a)}\hspace{-0.3cm}f(\xi)\,d\xi+\bint\limits_{\gamma(z_0+h,z_0)}\hspace{-0.3cm}f(\xi)\,d\xi}}-\bint\limits_{\gamma(z_0+h,z_0)}\hspace{-0.3cm}f(\xi)\,d\xi\\
&=\,\,\bint\limits_{\gamma(z_0,z_0+h)}f(\xi)\,d\xi\\
&=\,\,\bint\limits_{0}^1 f(z_0+th)\cdot h\,dt.\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{denn $\gamma(z_0,z_0+h)=z_0(1-t)+(z_0+h)t=z_0+th$}.\end{array}\end{align*}
Es folgt nun, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rl}
\underset{h\to 0}{\lim}\,\,\lmfrac{1}{h}\big(F(z_0+h)-F(z_0)\big)\,\,=\,\,\underset{h\to 0}{\lim}\,\,\lmfrac{1}{h}\bint\limits_{0}^1 f(z_0+th)\cdot h\,dt
\,\,=\,\,
\underset{h\to 0}{\lim}\,\,\bint\limits_{0}^1 f(z_0+th)\,dt&=\,\,f(z_0).\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-4.5cm}\opnormal{da $f$ stetig, siehe \"Ubungsblatt 2}
 \end{array}\end{align*}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{integral-dreieck.pstex_t}
\caption{}\label{fig:integral-dreieck}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}

% Ende 3. Vorlesung 


%================================
\subsection{Wegintegrale und die Koeffizienten von Potenzreihen}
F\"ur $z_0\in \C$ und $r\in \R_{\geq 0}$ schreiben wir
\[ \bint\limits_{|z-z_0|=r}f(x)\,dz\,\,=\,\,\bint\limits_{\gamma}f(x)\,dz,\]
wobei $\gamma\colon [0,2\pi]\to \C$ gegeben ist durch $\gamma(t)=z_0+re^{it}$. In anderen Worten, $\gamma$ uml\"auft einmal den Rand der Scheibe $D_r(z_0)$ gegen den Uhrzeigersinn. Noch einmal anders ausgedr\"uckt, $\gamma$ durchl\"auft den Kreis mit Mittelpunkt $z_0$ und Radius $r$ einmal gegen den Uhrzeigersinn.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{kreis-integral.pstex_t}
\caption{}\label{fig:kreis-integral}
\end{center}
\end{figure}

\begin{lemma}\label{lem:integral-fn}
F\"ur alle $z_0\in \C$,  $r\in \R_{\geq 0}$ und alle $n\in \Z$ gilt
\[ \bint\limits_{|z-z_0|=r}(z-z_0)^n\,dz\,\,=\,\,\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mbox{ wenn }n\ne -1,\\
2\pi i,&\mbox{ wenn }n=-1.\end{array}\right.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Wenn $n\ne -1$, dann besitzt die Funktion $f(z)=(z-z_0)^n$ die Stammfunktion $F(z)=\frac{1}{n+1}(z-z_0)^{n+1}$. Lemma~\ref{lem:stammfunktion} besagt dann also, dass das Wegintegral verschwindet. Den Fall $n=-1$ hatten wir auf Seite~\pageref{bsp:integral1durchz} explizit berechnet.
\end{proof}

Der folgende Satz besagt, dass man die Koeffizienten einer Potenzreihe durch Wegintegrale bestimmen kann.

\begin{satz}\label{satz:cn-durch-kurvenintegrale}
Es sei
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4.5cm} f(z)&=&\lmsum{n=0}{\infty} c_n(z-z_0)^n
\intertext{eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R$. Dann gilt f\"ur jedes $r\in (0,R)$ und alle $n\in \N$, dass}
 c_n&=&\lmfrac{1}{2\pi i}\bbint\limits_{|z-z_0|=r} \lmfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz.\end{array} \end{align*}
\end{satz}

In dem Beweis von Satz~\ref{satz:cn-durch-kurvenintegrale} werden wir verwenden, dass wir bei gleichm\"a\ss iger Konvergenz von Funktionenfolgen `Integral und Grenzwert vertauschen k\"onnen'. Genauer gesagt verwenden wir folgenden Satz, welcher leicht aus Satz~16.6 aus der Analysis~I folgt. 

\begin{satz} \label{satz:konvint} \textbf{\emph{(Konvergenzsatz f\"ur Wegintegrale)}}
Es sei $U\subset \C$ eine Teilmenge, $\gamma\colon [a,b]\to U$ ein In\-teg\-rations\-weg und es sei $f_n\colon  U\to \C$, $n\in \N$ eine Folge von stetigen Funktionen, welche gleichm\"a\ss ig konvergiert. Dann gilt
\[ \bbint\limits_\gamma \underset{n\to \infty}{\lim} f_n(z)\,dz\,\,=\,\,\underset{n\to \infty}{\lim} \bbint\limits_\gamma f_n(z)\,dz.\]
\end{satz}

Wir wenden uns nun dem Beweis von Satz \ref{satz:cn-durch-kurvenintegrale} zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz \ref{satz:cn-durch-kurvenintegrale}]
Es sei $r\in (0,R)$ und $n\in \Z$ beliebig. Dann ist 
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} \hspace{1cm}\lmfrac{1}{2\pi i}\bbint\limits_{|z-z_0|=r} \lmfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz&=&\lmfrac{1}{2\pi i}\bbint\limits_{|z-z_0|=r} \lmfrac{1}{(z-z_0)^{n+1}}\cdot \sum\limits_{k=0}^\infty c_k(z-z_0)^k\,dz\\
&=&\lmfrac{1}{2\pi i}\bbint\limits_{|z-z_0|=r}  \sum\limits_{k=0}^\infty c_k(z-z_0)^{k-n-1}\,dz\,\,=\,\,(*)
\intertext{Nach Satz~\ref{satz:konvr} konvergiert die Reihe auf $\overline{D_r(z_0)}$ gleichm\"a\ss ig. Der Konvergenzsatz~\ref{satz:konvint} f\"ur Wegintegrale besagt nun, dass wir die Reihe mit dem Integral vertauschen k\"onnen. Wir erhalten also, dass }
(*)
&=&\lmfrac{1}{2\pi i}  \sum\limits_{k=0}^\infty \bbint\limits_{|z-z_0|=r} c_k(z-z_0)^{k-n-1}\,dz.\\
\end{array}
\end{align*}
Die gew\"unschte Aussage folgt nun aus Lemma~\ref{lem:integral-fn}.
\end{proof}



%================================
\subsection{Der komplexe Logarithmus}
F\"ur $\varphi\in \R$ bezeichnen wir mit  
\[\overline{S}_\varphi\,\,=\,\, \big\{ r\cos \varphi+ir\sin \varphi=re^{i\varphi}\,\big|\, r\geq 0\big\}\]
den abgeschlossenen Strahl in $\varphi$-Richtung.
In Analysis~I hatten wir sehen, dass die Abbildung
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} \hspace{0.2cm} \exp\colon \big\{x+iy\,\big|\,x\in \R \mbox{ und }y\in (\varphi,\varphi+2\pi)\big\}&\to & \C\setminus \overline{S}_\varphi\\
z=x+iy&\mapsto & \exp(z)=\exp(x)\cdot (\cos(y)+i\sin(y))
\intertext{bijektiv ist. Wir bezeichnen mit}
\ln_{\varphi}\colon \C\setminus \overline{S}_\varphi&\to & \big\{x+iy\,\big|\,x\in \R \mbox{ und }y\in (\varphi,\varphi+2\pi)\big\}\\
z&\mapsto & \ln_\varphi(z)=\exp^{-1}(z)
\intertext{die zugeh\"orige Umkehrfunktion. Diese Funktion wird der \emph{durch $\varphi$ bestimmte Logarithmuszweig} benannt. In anderen Worten, wenn $z=re^{it}$, wobei $r>0$ und $t\in (\varphi,\varphi+2\pi)$, so ist $\ln_\varphi(z)$ definiert und es gilt}
\ln_\varphi(z)&=&\ln(r)+t\cdot i.
\end{array}\end{align*}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{exp-log-in-c.pstex_t}
\caption{}\label{fig:exp-log-in-c}
\end{center}
\end{figure}

Aus Satz~\ref{satz:umkehrregel}, d.h.\ aus der Umkehrregel f\"ur holomorphe Funktionen folgt, dass $\ln_\varphi$ holomorph ist mit 
\[ \lmfrac{d}{dz}\ln_\varphi(z)\,\,=\,\,\lmfrac{1}{\exp'(\ln_\varphi^{-1}(z))}
\,\,=\,\,\lmfrac{1}{\exp(\ln_\varphi^{-1}(z))}\,\,=\,\,\lmfrac{1}{z}.\]
In anderen Worten, auf $\C\setminus \overline{S}_\varphi$ ist $\ln_\varphi$ eine Stammfunktion von $\frac{1}{z}$. Auf Seite~\pageref{bsp:1z-keine-stammfunktion} hatten wir andererseits gesehen, dass $\frac{1}{z}$ keine Stammfunktion besitzt, welche auf ganz $\C\setminus \{0\}$ definiert ist. Die Logarithmusfunktionen $\ln_\varphi$ haben also in gewisser Weise den `gr\"o\ss tm\"oglichen Definitionsbereich' einer Stammfunktion von $\frac{1}{z}$.



Im Folgenden bezeichnen wir
\[ \begin{array}{rcl} \ln\colon \C\setminus \overline{S_{-\pi}}=\{x+iy\,|\,y\ne 0\mbox{ oder }x>0\}&\to & \C\\
z&\mapsto & \ln(z):=\ln_{-\pi}(z)\end{array}\]
als die  \emph{Standardlogarithmusfunktion}. Diese stimmt auf den reellen Zahlen mit der \"ublichen Logarithmusfunktion aus Analysis~I \"uberein.

\newpage
%================================
\section{Der Cauchysche Integralsatz}

%================================
\subsection{Randkurven von Rechtecken und der Durchmesser von Teilmengen in $\C$}\label{section:durchmesser}
In diesem Kapitel werden wir zuerst verschiedene elementare Begriffe einf\"uhren, welche wir im Folgenden immer wieder verwenden werden.

\begin{definition}
Es seien $z\in \C$ und es seien $a,b$ positive reelle Zahlen. Wir bezeichnen 
\[ \big\{ z+(x+iy)\,\big|\, x\in [0,a]\mbox{ und } y\in [0,b]\big\}\]
als \emph{Rechteck in $\C$ mit Kantenl\"angen $a$ und $b$}. F\"ur solch ein Rechteck $Q$ bezeichnen wir 
\[ \begin{array}{rcl}\partial Q\colon [0,2a+2b]&\to & \C \\
t&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} z+t, &\mbox{ wenn }t\in [0,a),\\
z+a+(t-a)i, &\mbox{ wenn }t\in [a,a+b)\\
z+a+bi-(t-(a+b)), &\mbox{ wenn }t\in [a+b,2a+b)\\
z+bi-(t-(2a+b))i, &\mbox{ wenn }t\in [2a+b,2a+2b]\end{array} \right.\end{array}\]
als die \emph{Randkurve $\partial Q$ von $Q$}. \label{def:randkurve-q}
\end{definition}

Bildlich gesprochen umf\"ahrt die Randkurve  das Rechteck einmal gegen den Uhrzeigersinn.
Wir bezeichnen die L\"ange $2a+2b$ der Randkurve des Rechtecks manchmal als \emph{Umfang} des Rechtecks.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{randkurve-rechteck.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}

\begin{definition}
F\"ur eine beschr\"ankte, nichtleere Teilmenge $X\subset \C$ bezeichnen wir \label{def:durchmesser}
\[ \sup\big\{ |z-w|\,\big|\, z,w\in X\big\}\]
als den \emph{Durchmesser von $X$}.
\end{definition}

Wenn $X$ kompakt ist, dann kann man relativ leicht zeigen, dass das Supremum ein Maximum ist, d.h.\ der Durchmesser von $X$ ist
\[ \max\big\{ |z-w|\,\big|\, z,w\in X\big\},\]
d.h.\ der Durchmesser ist der maximale Abstand von zwei Punkten in $X$.
Beispielsweise gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \mbox{Durchmesser von der geschlossenen Scheibe }\overline{D_r(z_0)}&=&2r,
\intertext{sowie}
\hspace{1.2cm}
\mbox{Durchmesser von Rechteck mit Seitenl\"angen $a$ und $b$}&=&\sqrt{a^2+b^2}.\end{array}\end{align*}

\begin{definition}
Eine Teilmenge  $X\subset \C$ hei\ss t \emph{konvex}, wenn f\"ur alle $z,w\in X$ die Verbindungsstrecke $z(1-t)+wt$, $t\in [0,1]$ ebenfalls in $X$ liegt. 
\end{definition}

Es ist offensichtlich, dass jede Scheibe und jedes Rechteck konvex ist. Weitere Beispiele von konvexen und nicht-konvexen Teilmengen sind in Abbildung~\ref{fig:konvex} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{konvex.pstex_t}
\caption{Beispiele von konvexen und nicht-konvexen Teilmengen von $\C$.}\label{fig:konvex}
\end{center}
\end{figure}

\begin{lemma}\label{lem:bild-durchmesser}
Es sei $U\subset \C$ offen, es sei $X\subset \C$ eine konvexe, nichtleere, beschr\"ankte  Teilmenge und es sei zudem  $\varphi\colon U\to \C$ eine stetig reell differenzierbare\footnote{Wir sagen $\varphi$ ist stetig reell differenzierbar, wenn die Abbildung, aufgefasst als Abbildung zwischen $U\subset \C=\R^2$ und $\C=\R^2$ stetig reell differenzierbar ist.} Abbildung. Es sei $D\in \R$ mit
\footnote{
Zur Erinnerung, die  Norm einer reellen $n\times n$-Matrix ist definiert als
\label{def:norm-von-a}
\[ \|A\|\,:=\,\max \big\{ \|Av\| \,\big|\, v\in \R^n \mbox{ mit } \|v\|=1\big\}.\]
Aber eigentlich ist die Definition der Norm von der Matrix $D\varphi$ ist im Moment gar nicht so wichtig. Die Hauptsache ist, dass diese Norm existiert, dass sie stetig von der Matrix abh\"angt. Insbesondere existiert das Maximum der Normen $\|D\varphi)\|$ auf der kompakten Menge $X$.}
\[ D\,\,\geq \,\, \max\big\{ \| D\varphi(p)\|\,\big|\, p\in X\big\}.\]
Dann gilt
\[ \mbox{Durchmesser von $\varphi(X)$} \,\,\leq \,\,D\cdot \mbox{Durchmesser von $X$}.\]
\end{lemma}

Wenn  $\varphi\colon \C\to \C$ beispielsweise geben ist durch Multiplikation mit $\l\in \R_{>0}$, dann ist  $\|D\varphi\|=\|\l \operatorname{id}\|=\l$, und  der Durchmesser multipliziert sich mit dem Faktor $\lambda$.

\begin{proof}
Es seien $z,w\in X$. Nachdem nach Voraussetzung die Verbindungsstrecke von $z$ nach $w$ in $X$ liegt, folgt  aus Korollar~8.4 aus der Analysis~II, dass
\[ |\varphi(z)-\varphi(w)|\,\,\leq \,\,D\cdot |z-w|.\]
Das Lemma folgt nun sofort aus dieser Ungleichung und der Definition von Durchmesser.
\end{proof}

%================================
\subsection{Der Cauchysche Integralsatz f\"ur Rechtecke}

Wir k\"onnen jetzt den ersten wichtigen Satz der Funktionentheorie formulieren und beweisen.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Cauchysche Integralsatz f\"ur Rechtecke)}}
\label{satz:cauchy-rechtecke}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge, es sei $f\colon U\to \C$ holomorph und es sei $Q\subset U$ ein Rechteck. Dann gilt
\[ \bint\limits_{\partial Q} f(z)\,dz\,\,=\,\,0.\]
\end{satz}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{aussage-von-cauchy-integralsatz.pstex_t}
\caption{Die Aussage vom  Cauchyschen Integralsatz f\"ur Rechtecke.}
\end{center}
\end{figure}


\begin{proof}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge, es sei $f\colon U\to \C$ holomorph und es sei $Q\subset U$ ein Rechteck mit Umfang $\ell$ und Durchmesser $d$. Wenn $f$ eine Stammfunktion besitzt, dann folgt die Aussage sofort aus Lemma~\ref{lem:stammfunktion}.
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Selbst wenn $f$ auf ganz $U$ keine Stammfunktion besitzen sollte, so besitzt $f$ doch um jeden Punkt eine gute Approximation einer Stammfunktion. Genauer gesagt, nachdem $f$ holomorph ist k\"onnen wir f\"ur jedes $z_0\in \C$  schreiben 
\[ f(z_0+h)\,\,=\,\,f(z_0)+f'(z_0)\cdot h+\chi(h),\mbox{ wobei }\chi(h)=o(h).\]
Die ersten beiden Summanden haben nat\"urlich eine Stammfunktion. Wir m\"ussen also nur noch den kleinen Ausdruck $\chi(h)$ kontrollieren. In einer kleinen Menge, z.B.\ einem kleinen Rechteck, ist $\chi(h)$ dabei auch sehr klein.\\
Wir f\"uhren jetzt den allgemeinen Fall auf den Fall eines `kleinen' Rechtecks zur\"uck, indem wir das gro\ss e Rechteck in gen\"ugend kleine Rechtecke aufteilen.}
\end{enumerate}
Wir unterteilen das Rechteck $Q_0:=Q$ durch vertikales und horizontales Halbieren in vier kleine Rechtecke $R_1,\dots,R_4$, siehe Abbildung~\ref{fig:integrale-heben-sich-weg-2}. Nachdem sich die inneren Wegintegrale wegheben gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 \hspace{5.5cm} \bint\limits_{\partial Q} f(z)\,dz&=&\sum\limits_{i=1}^4\bint\limits_{\partial R_i} f(z)\,dz.
\intertext{Es sei nun $Q_1$ das Rechteck aus $R_1,\dots,R_4$, dessen Wegintegral den gr\"o\ss ten Betrag besitzt. Dann ist}
\bigg|\bint\limits_{\partial Q} f(z)\,dz\bigg|&\leq&4\cdot \bigg|\bint\limits_{\partial Q_1} f(z)\,dz\bigg|.\end{array} \end{align*}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{integrale-heben-sich-weg-3.pstex_t}
\caption{}\label{fig:integrale-heben-sich-weg-2}
\end{center}
\end{figure}
Wir unterteilen jetzt wiederum $Q_1$ in vier Rechtecke und f\"uhren das gleiche Verfahren durch. Wir erhalten eine Folge von Rechtecken $Q=Q_0\supset Q_1\supset Q_2\supset \dots$ mit der Eigenschaft, dass f\"ur alle $n$ gilt
\[
\bigg|\bint\limits_{\partial Q} f(z)\,dz\bigg|\,\,\leq\,\,4^n\cdot \bigg|\bint\limits_{\partial Q_n} f(z)\,dz\bigg|.\]
In diesem Verfahren halbieren wir nat\"urlich jedes Mal den Umfang und den Durchmesser des Rechtecks. In anderen Worten, der Umfang von $\partial Q_n$ betr\"agt $\frac{1}{2^n}\ell$  und der Durchmesser betr\"agt $\frac{1}{2^n}d$.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{folge-von-rechtecken.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}


F\"ur jedes $n$ sei nun $p_n$ der Mittelpunkt von $Q_n$. In \"Ubungs\-blatt~2 werden wir zeigen, dass die Folge von Mittelpunkten $(p_n)$ eine Cauchy-Folge ist, und dass zudem der Grenzpunkt $z_0:=\underset{n\to \infty}{\lim} p_n$ in allen Rechtecken $Q_n$ enthalten ist.

Um den Satz zu bewiesen gen\"ugt es zu  zeigen, dass f\"ur alle $\epsilon>0$ gilt
\[ \bigg|\bint\limits_{\partial Q} f(z)\,dz\bigg|\,\,\leq \,\,\epsilon.\]
Es sei also $\epsilon>0$. Nachdem $f$ im Punkt $z_0$ holomorph ist gilt nach Lemma~\ref{lem:holomorph-klein-o}, dass 
\[ f(z)=f(z_0)+(z-z_0)\cdot f'(z_0)+\chi(z-z_0),\mbox{ wobei } \chi(z-z_0)=o(z-z_0).\]
Wir setzen nun 
\[ \epsilon'\,\,:=\,\,\lmfrac{\epsilon}{\ell d}\]
Aus der Definition von $\chi(h)=o(h)$ folgt, dass es ein $\delta>0$ gibt,
so dass 
\[ |\chi(z-z_0)|\,\,\leq \,\,\epsilon'\cdot |z-z_0|\hspace{0.5cm}\mbox{ f\"ur alle $z\in D_\delta(z_0)$.}\]
Nachdem f\"ur alle $n$ gilt $z_0\in Q_n$ und  nachdem der Durchmesser von jedem $Q_n$   gegeben ist durch $\frac{1}{2^n}d$, gibt es ein $n\in \N$, so dass $Q_n\subset D_\delta(z_0)$.

Es  folgt nun, dass
\[
\begin{array}{rl}
\bigg|\bint\limits_{\partial Q} f(z)\,dz\bigg|&\leq\,\,4^n\cdot \bigg|\bint\limits_{\partial Q_n} f(z)\,dz\bigg|\hspace{3cm} \\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{nach der obigen Absch\"atzung}\\
&=\,\,4^n\cdot \bigg|\bint\limits_{\partial Q_n} f(z_0)+(z-z_0)\cdot f'(z_0)+\chi(z-z_0)\,dz\bigg|\\
&\leq \,\,
4^n\cdot \bigg|\bint\limits_{\partial Q_n} \hspace{-0.2cm}\underset{\tiny{
\begin{array}{c}\opnormal{Integrand besitzt Stammfunktion}\\
F(z)=f(z_0)\cdot z+\frac{1}{2}(z-z_0)^2\cdot f'(z_0)\\
\opnormal{also ist $\int\limits_{\partial Q_n}=0$, nach Lemma~\ref{lem:stammfunktion}}\end{array} }}{\underbrace{ f(z_0)+(z-z_0)\cdot f'(z_0)}} \hspace{-0.2cm}\,dz\bigg|+4^n\cdot \bigg|\bint\limits_{\partial Q_n}
 \chi(z-z_0) \,dz\bigg|\\
&= \,\,4^n\cdot \bigg|\bint\limits_{\partial Q_n}
 \hspace{-0.2cm} \underset{\tiny{\begin{array}{c}
\leq \epsilon'\cdot |z-z_0|\leq \epsilon'\cdot \frac{1}{2^n}d\\
\opnormal{da $\partial Q_n\subset Q_n\subset D_\delta(z_0)$
}\end{array}}}{\underbrace{\chi(z-z_0)}} \hspace{-0.2cm}\,dz\bigg|\\
&\leq \,\,4^n\cdot \opnormal{L\"ange}(\partial Q_n)\cdot \epsilon'\cdot \frac{1}{2^n}d\,\,=\,\,4^n\cdot \tmfrac{1}{2^n}\ell\cdot \tmfrac{\epsilon}{\ell d}\cdot \tmfrac{1}{2^n}d \,\,=\,\,\epsilon.\\
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm} \opnormal{nach Lemma~\ref{lem:abschaetzung-wegintegral}}\end{array}\]
\end{proof}

% Ende 4. Vorlesung

Der Name des vorherigen Satzes, Cauchysche Integralsatz f\"ur Rechtecke, legt schon nahe, dass es wohl Verallgemeinerungen dieses Satzes gibt. In der Tat, war die Tatsache, dass wir mit einem Rechteck arbeiten gar nicht so wichtig. Was wir haupts\"achlich verwendet hatten war, dass wir ein Rechteck systematisch in kleinere Rechtecke zerlegen k\"onnen. 

Wir k\"onnen diese Idee auch f\"ur Teilmengen von $\C$ durchf\"uhren, welche wir als Bilder von Rechtecken unter geeigneten Abbildungen beschreiben k\"onnen. Genauer gesagt, wir haben folgenden Satz.



\begin{satz}\textbf{\emph{(Cauchysche Integralsatz f\"ur Bilder von Rechtecken)}}
\label{satz:cauchy-bilder-rechtecke}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge, es sei $f\colon U\to \C$ holomorph und es sei $\varphi\colon Q\to U$ eine stetig reell differenzierbare Abbildung von einem  Rechteck $Q$ nach $U$. Dann gilt\footnote{Mit $\varphi\circ \partial Q$ bezeichen wir hierbei die Verkn\"upfung von dem  In\-teg\-rations\-weg $\partial Q$ von Seite~\pageref{def:randkurve-q} mit der Abbildung $\varphi$.}
\[ \bint\limits_{\varphi\circ \partial Q} f(z)\,dz\,\,=\,\,0.\]
\end{satz}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{bild-von-rechteck.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}

Bevor wir uns dem Beweis von  Satz~\ref{satz:cauchy-bilder-rechtecke} zuwenden, wollen wir erst eine wichtige Anwendung betrachten. 


\begin{korollar}\label{kor:cauchy-scheibe}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge, es sei $f\colon U\to \C$ holomorph und es sei $\overline{D_r(z_0)}\subset U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe. Dann gilt
\[ \bint\limits_{|z-z_0|=r} f(z)\,dz\,\,=\,\,0.\]
\end{korollar}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{bild-von-rechteck-ist-kreis.pstex_t}
\caption{Illustration von Korollar~\ref{kor:cauchy-scheibe}.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{proof}
Es sei also $\overline{D_r(z_0)}$ eine abgeschlossene Kreisscheibe in der offenen Menge $U\subset \C$ und es sei $f\colon U\to \C$ holomorph.
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Wir wollen hier nat\"urlich den Cauchyschen Integralsatz f\"ur Bilder von Rechtecken verwenden. Wir m\"ussen dazu eine Abbildung $\varphi$ w\"ahlen, welche die abgeschlossene Kreisscheibe $\overline{D_r(z_0)}$ als Bild von einem Rechteck beschreibt.
}
\end{enumerate}
Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \varphi\colon Q:=[0,r]\times [0,2\pi]&\to & \C\\
(s,t)&\mapsto & z_0+se^{it}.\end{array}\]
Das Bild $\varphi(Q)$ ist dann die Kreisscheibe $\overline{D_r(z_0)}$. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{kreis-als-bild-von-rechteck.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:kreis-als-bild-von-rechteck}
\end{center}
\end{figure}
Nach Voraussetzung ist $\varphi(Q)\subset U$. 
Aus Satz~\ref{satz:cauchy-bilder-rechtecke} folgt, dass 
\[ \bint\limits_{\varphi\circ \partial Q} f(z)\,dz\,\,=\,\,0.\]
Wir wollen nun dieses Wegintegral etwas genauer studieren. 
Wir bezeichnen dazu mit $\alpha,\beta,\gamma$ und $\delta$ die Wege, welche in Abbildung~\ref{fig:kreis-als-bild-von-rechteck} skizziert sind. Dann gilt 
\[ \begin{array}{rl} 
0&=\,\,\bint\limits_{\varphi\circ \partial Q} f(z)\,dz\\
&=\,\, \bint\limits_{\varphi\circ \alpha}f(z)\,dz+\bint\limits_{\varphi\circ \beta}f(z)\,dz+ \bint\limits_{\varphi\circ \gamma}f(z)\,dz+ \bint\limits_{\varphi\circ \delta}f(z)\,dz\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:kurvenintegral-verknupfung}}\\
&=\,\,\bint\limits_{\varphi\circ \beta}f(z)\,dz\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1.5cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:integral-umparametrisierung} heben sich die beiden Integrale \"uber $\varphi \circ \alpha$ und $\varphi \circ \gamma$ weg,}\\
&\hspace{-1.5cm}\mbox{zudem verschwindet das Wegintegral \"uber den konstanten Weg $\varphi\circ \delta$}\\[0.2cm]
&=\,\,\bint\limits_{|z-z_0|=r} f(z)\,dz.\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:integral-umparametrisierung}}\end{array}\]
Wir haben also gezeigt, dass das Wegintegral \"uber den Kreis wie gew\"unscht verschwindet.
\end{proof}


Bevor wir uns weiteren Anwendungen von Satz~\ref{satz:cauchy-bilder-rechtecke} betrachten, wollen wir den Satz nun doch erst einmal beweisen.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:cauchy-bilder-rechtecke}]
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge und es sei $f\colon U\to \C$ holomorph.
Zudem sei $Q$ ein Rechteck mit Umfang $\ell$ und Durchmesser $d$ und es sei zudem $\varphi\colon Q\to U$ eine stetig differenzierbare Abbildung.


Es gen\"ugt zu zeigen, dass f\"ur alle $\epsilon>0$ gilt
\[ \bigg|\bint\limits_{\varphi\circ \partial Q} f(z)\,dz\bigg|\,\,\leq \,\,\epsilon.\]
Es sei also $\epsilon>0$. 
Wie im Beweis von Satz~\ref{satz:cauchy-rechtecke} konstruieren wir  eine Folge von Rechtecken $Q=Q_0\supset Q_1\supset Q_2\supset \dots$, so dass  f\"ur alle $n$ folgende Aussagen gelten
\[
\begin{array}{crcl} (1)&\hspace{2cm}\mbox{Durchmesser von $Q_n$}&=&\tmfrac{1}{2^n}d\hspace{4cm}\\[2mm]
 (2)&\mbox{Umfang  von $Q_n$}&=&\tmfrac{1}{2^n}\ell\\[2mm]
(3) &
\bigg|\bint\limits_{\varphi\circ \partial Q} f(z)\,dz\bigg|&\leq&4^n\cdot \bigg|\bint\limits_{\varphi\circ \partial Q_n} f(z)\,dz\bigg|.\end{array}\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{bild-von-rechteck-qn.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}

Um mit der gleichen Idee wie im Beweis von Satz~\ref{satz:cauchy-rechtecke} fortzufahren m\"ussen wir nun jedoch den Durchmesser der Bilder $\varphi(Q_n)$ und die L\"ange der Wege $\varphi\circ \partial Q_n$ kontrollieren. Nachdem $Q$ kompakt ist  existiert
\[ D\,\,:=\,\, \sup\big\{ \| D\varphi(q)\|\,\big|\, q\in Q\big\}.\]
Lemma~\ref{lem:bild-durchmesser} besagt, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rclcl}
 \hspace{2.4cm} \mbox{Durchmesser von $\varphi(Q_n)$} &\leq &D\cdot \mbox{Durchmesser von $Q_n$}&=&\tmfrac{1}{2^n}d\cdot D.
\intertext{Das gleiche Argument wie im Beweis von Lemma~\ref{lem:bild-durchmesser}, angewandt auf die Definition von L\"ange aus Analysis II, zeigt zudem, dass}
\mbox{L\"ange  von $\varphi\circ \partial Q_n$} &\leq &D\cdot \mbox{L\"ange von $\partial Q_n$}&=&\tmfrac{1}{2^n}\ell\cdot D.
\end{array}
\end{align*}
Wir bezeichnen  mit $p$ den einzigen Punkt, welcher in allen Rechtecken $Q_n$ enthalten ist. Wir setzen $z_0=\varphi(p)$. 
Nachdem $f$ im Punkt $z_0$ holomorph ist gilt nach Lemma~\ref{lem:holomorph-klein-o}, dass 
\[ f(z)=f(z_0)+(z-z_0)\cdot f'(z_0)+\chi(z-z_0),\mbox{ wobei } \chi(z-z_0)=o(z-z_0).\]
Wir setzen nun 
\[ \epsilon'\,\,:=\,\,\lmfrac{\epsilon}{D^2d\ell}.\]
Aus der Definition von $\chi(z-z_0)=o(z-z_0)$ folgt, dass es ein $\delta>0$ gibt,
so dass 
\[ |\chi(z-z_0)|\,\,\leq\,\, \epsilon'\cdot |z-z_0|\mbox{ f\"ur alle $z\in D_\delta(z_0)$.}\]
Nachdem f\"ur alle $n$ gilt, $z_0\in \varphi(Q_n)$ und der Durchmesser von $\varphi(Q_n)$ gegen null konvergiert, gibt es ein $n\in \N$, so dass $\varphi(Q_n)\subset D_\delta(z_0)$.

Wie im Beweis von Satz~\ref{satz:cauchy-rechtecke} folgt nun, dass
\[
\begin{array}{rl}
\bigg|\bint\limits_{\partial Q} f(z)\,dz\bigg|&\leq\,\,4^n\cdot \bigg|\bint\limits_{\partial Q_n} f(z_0)+(z-z_0)\cdot f'(z_0)+\chi(z-z_0)\,dz\bigg|\\
&\leq \,\,
4^n\cdot \bigg|\bint\limits_{\partial Q_n} \hspace{-0.2cm}\underset{\tiny{
\begin{array}{c}\opnormal{Integrand besitzt Stammfunktion, also}\\
\opnormal{verschwindet das Integral nach Lemma~\ref{lem:stammfunktion}}\end{array} }}{\underbrace{ f(z_0)+(z-z_0)\cdot f'(z_0)}} \hspace{-0.2cm}\,dz\bigg|+4^n\cdot \bigg|\bint\limits_{\partial Q_n}
 \underset{|\chi(z-z_0)|\leq \epsilon'|z-z_0|}{\underbrace{\chi(z-z_0)}} \,dz\bigg|\\[0.2cm]
&\leq\,\,4^n\cdot \opnormal{L\"ange von}\varphi\circ \partial Q_n\cdot \epsilon'\cdot \opnormal{Durchmesser von }\varphi(\partial Q_n)\\
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm} \opnormal{nach Lemma~\ref{lem:abschaetzung-wegintegral}}\\
&\leq \,\,4^n\cdot \tmfrac{1}{2^n} \ell D \cdot \tmfrac{\epsilon}{D^2d\ell}\cdot \tmfrac{1}{2^n}dD\,\,=\,\,\epsilon.\\
\end{array}\]
\end{proof}



Wir werden im Folgenden noch zwei weitere Korollare zu Satz~\ref{satz:cauchy-bilder-rechtecke} formulieren und beweisen.

\begin{korollar}\label{kor:cauchy-ring}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge, es sei $f\colon U\to \C$ holomorph und es seien $z_0\in \C$ und $r\leq R$ zwei nicht-negative reellen Zahlen, so dass der Ring
\[ \big\{ se^{it}\,\big|\, s\in [r,R]\mbox{ und }t\in [0,2\pi]\big\}\]
in $U$ enthalten ist. Dann gilt
\[ \bint\limits_{|z-z_0|=r} f(z)\,dz\,\,=\,\, \bint\limits_{|z-z_0|=R} f(z)\,dz.\]
\end{korollar}



\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{cauchy-ring.pstex_t}
\caption{Illustration von Korollar~\ref{kor:cauchy-ring}.}
\label{fig:cauchy-ring}
\end{center}
\end{figure}

\begin{beispiel}
Auf Seite~\pageref{bsp:integral1durchz} hatten wir schon gesehen, dass f\"ur alle $r>0$ gilt, dass 
\[ \bbint\limits_{|z|=r}\tmfrac{1}{z}\,dz\,\,=\,\,2\pi i,\]
d.h.\ wir hatten insbesondere gesehen, dass das Wegintegral nicht vom Radius vom Kreis um $0$ abh\"angt. Die Tatsache, dass das Wegintegral nicht vom Radius abh\"angt ist gerade die Aussage von Korollar~\ref{kor:cauchy-ring}.
\end{beispiel}

Indem wir Korollar~\ref{kor:cauchy-ring} auf  $r=0$ anwenden,  erhalten wir insbesondere Korollar~\ref{kor:cauchy-scheibe} als Spezialfall. In der Tat ist der Beweis von Korollar~\ref{kor:cauchy-ring} ganz \"ahnlich zum Beweis von Korollar~\ref{kor:cauchy-scheibe}.

\begin{proof}
Wir wollen nun den Ring als Bild von einem Rechteck beschreiben.
Wir betrachten dazu die stetig differenzierbare Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \varphi\colon Q:=[r,R]\times [0,2\pi]&\to & \C\\
(s,t)&\mapsto & z_0+se^{it}.\end{array}\]
Das Bild von $Q$ ist dann  der durch die Radien $r$ und $R$ bestimmte Ring um $z_0$.
Nach Voraussetzung ist $\varphi(Q)\subset U$. 
Aus Satz~\ref{satz:cauchy-bilder-rechtecke} folgt, dass 
\[ \bint\limits_{\varphi\circ \partial Q} f(z)\,dz\,\,=\,\,0.\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{ring-als-bild-von-rechteck.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:ring-als-bild-von-rechteck}
\end{center}
\end{figure}
 















Wir bezeichnen nun mit $\alpha,\beta,\gamma$ und $\delta$ die Wege, welche in Abbildung~\ref{fig:ring-als-bild-von-rechteck} skizziert sind. Dann gilt 
\[ \begin{array}{rl} 
0&=\,\,\bint\limits_{\varphi\circ \partial Q} f(z)\,dz\\
&=\,\, \bint\limits_{\varphi\circ \alpha}f(z)\,dz+\bint\limits_{\varphi\circ \beta}f(z)\,dz+ \bint\limits_{\varphi\circ \gamma}f(z)\,dz+ \bint\limits_{\varphi\circ \delta}f(z)\,dz\\
&=\,\,\bint\limits_{\varphi\circ \beta}f(z)\,dz+\bint\limits_{\varphi\circ \delta}f(z)\,dz\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1.5cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:integral-umparametrisierung} heben sich die beiden Integrale \"uber $\alpha$ und $\gamma$ weg}\\[0.2cm]
&=\,\,\bint\limits_{|z|=R} f(z)\,dz\,-\, \bint\limits_{|z|=r} f(z)\,dz.\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:integral-umparametrisierung}}
\end{array}\]
\end{proof}


Auf ganz \"ahnliche Weise kann man zudem auch folgendes Korollar beweisen.


\begin{korollar}\label{kor:cauchy-ring-2}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge, es sei $f\colon U\to \C$ holomorph und es seien $w_0,z_0\in \C$ und $r,s\in \R_{\geq 0}$, so dass
$\overline{D_s(w_0)}\subset D_r(z_0)$ und so dass der Ring
\[ \overline{D_r(z_0)}\setminus D_s(w_0)\]
in $U$ enthalten ist. Dann gilt
\[ \bint\limits_{|z-z_0|=r} f(z)\,dz\,\,=\,\, \bint\limits_{|z-w_0|=s} f(z)\,dz.\]
\end{korollar}



\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{cauchy-ring-2.pstex_t}
\caption{Illustration von Korollar~\ref{kor:cauchy-ring-2}.}
\end{center}
\end{figure}


\newpage
%================================
\section{Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz}
In diesem Kapitel werden wir eine lange Liste von Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz herleiten. Insbesondere werden wir den Fundamentalsatz der Algebra beweisen.

%================================
\subsection{Der Potenzreihenentwicklungssatz}
Der folgende Satz besagt, dass man lokal\footnote{Wenn $E$ eine Eigenschaft von Funktionen ist (z.B.\ stetig, konstant, konvex, in eine Potenzreihe entwickelbar), dann sagt man eine Funktion $f$ auf einer offenen Menge $U\subset \C$  besitzt \emph{lokal die Eigenschaft $E$}, wenn es zu jedem $z\in U$ eine offene Umgebung $V$ besitzt, so dass die Einschr\"ankung von $f$ auf $V$ die Eigenschaft $E$ besitzt.} jede holomorphe Funktion als Potenzreihe schreiben kann.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Potenzreihenentwicklungssatz)}}
\label{satz:potenzreihenentwicklung}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge, es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion und es sei $z_0\in U$. Es sei $r>0$, so dass ${D_r(z_0)}\subset U$.  Dann gibt es eine Folge $(c_n)_{n\in \N}$ von komplexen Zahlen, so dass  
\[ f(z)\,\,=\,\, \sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n\quad \mbox{f\"ur alle $z\in {D_r(z_0)}$.}\]
Hierbei k\"onnen die Koeffizienten $c_n$ auf zwei verschiedene Weisen bestimmt werden:
\begin{enumerate}
\item f\"ur alle $n$ ist 
\[c_n\,\,=\,\,\lmfrac{1}{n!}f^{(n)}(z_0),\hspace{0.7cm}\]
\item  f\"ur alle $n$ und alle $s>0$ mit $\overline{D_s(z_0)}\subset U$ ist
   \[\hspace{2.0cm} c_n\,\,=\,\,\lmfrac{1}{2\pi i}\bbint\limits_{|z-z_0|=s} \lmfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz.\]
\end{enumerate}
\end{satz}

Wir werden den Potenzreihenentwicklungssatz erst im n\"achsten Kapitel beweisen. Wir wollen nun erst einmal die Aussage des Potenzreihenentwicklungssatzes etwas besser verstehen und zudem verschiedene Korollare beweisen. 



\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item \label{bsp:1durchza-als-potenzreihe}
 Es sei $a\ne 0$. Wir k\"onnen dann $f(z)=\frac{1}{a-z}$ auf der offenen Scheibe $D_{|a|}(0)$ wie folgt als Potenzreihe schreiben
\[\begin{array}{rl} f(z)\,\,=\,\,\lmfrac{1}{a-z}\,\,=\,\,\lmfrac{1}{a}\cdot \lmfrac{1}{1-\frac{z}{a}}&=\,\,\tmfrac{1}{a}\cdot 
 \lmsum{n=0}{\infty}\,\Big(\tmfrac{z}{a}\Big)^n
 \,\,=\,\,\lmsum{n=0}{\infty}\,\tmfrac{1}{a^{n+1}}z^n.\\[-0.2cm]
 &\uparrow\\
 &\hspace{-1cm}\mbox{geometrische Reihe, denn $|\frac{z}{a}|<1$}\end{array}\]
\item
\label{bsp:1durchz-als-potenzreihe}
Wir betrachten die Funktion $f(z)=\frac{1}{z}$ auf $U=\C\setminus \{0\}$.
Es sei nun $D_r(z_0)$ eine beliebige Scheibe in $\C\setminus \{0\}$. Nachdem $0\not\in D_r(z_0)$ ist $r\leq |z_0|$. 
F\"ur alle $z\in D_r(z_0)$ gilt nun
\[ \begin{array}{ll}
\hspace{0.7cm}f(z)\,=\,\lmfrac{1}{z}\,=\,\lmfrac{1}{z_0-(z_0-z)}
\,=\,\lmfrac{1}{z_0}\cdot \lmfrac{1}{1-(-\frac{1}{z_0})\cdot (z-z_0)}&=\,\lmfrac{1}{z_0}\cdot \lmsum{n=0}{\infty}
\Big(\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}\smfrac{1}{z_0}\Big)^n(z-z_0)^n.\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-2cm}\begin{array}{c}\mbox{geometrische Reihe, denn}\\
 \mbox{aus $|z-z_0|<r\leq |z_0|$ folgt}\\
  \Big|\big(-\frac{1}{z_0}\big)\cdot (z-z_0)\Big|<1
 \end{array}\end{array}
\]
Wir haben nun also $f(z)=\frac{1}{z}$ explizit als Potenzreihe auf der Scheibe $D_r(z_0)$ geschrieben.
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{satz}\textbf{\emph{(Satz von Goursat)}}
\label{satz:goursat}\label{satz:holomorph=c-unendlich}
Jede holomorphe Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\subset \C$  ist beliebig oft komplex differenzierbar.
\end{satz}


\begin{bemerkung}
Wir sehen nun, dass sich holomorphe Funktionen anders verhalten als differenzierbare Funktionen. Wir hatten gerade gesehen, dass jede holomorphe Funktion beliebig oft komplex differenzierbar ist.  Die analoge Aussage f\"ur reelle Funktionen ist nat\"urlich v\"ollig falsch. Beispielsweise ist die Funktion 
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R&\to & \R \\
x&\mapsto & \left\{ \begin{array}{rl} -x^2,&\mbox{wenn }x\leq 0, \\ x^2,&\mbox{wenn }x>0\end{array}\right.\end{array}\]
differenzierbar, aber nicht zweimal differenzierbar, geschweige den beliebig oft  differenzierbar.
\end{bemerkung} 

\begin{proof}[Beweis vom Satz von Goursat]
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge, es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion und es sei $z_0\in U$. Nachdem $U$ offen ist gibt es ein $r>0$, so dass ${D_r(z_0)}\subset U$. Nachdem Potenzreihenentwicklungssatz kann $f$ auf $D_r(z_0)$ durch eine Potenzreihe beschrieben werden. Nach Satz~\ref{satz:gliedweises-ableiten} ist jede Potenzreihe beliebig oft komplex differenzierbar, also ist auch $f$ im Punkt $z_0$ beliebig oft komplex differenzierbar.
\end{proof}

\begin{satz}
\textbf{\emph{(Existenz von Stammfunktionen auf Scheiben)}}
\label{satz:existenz-stammfunktion}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge und es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion. Dann besitzt die Einschr\"ankung von $f$ auf eine beliebige offene Scheibe $D\subset U$ eine Stammfunktion.
\end{satz}


\begin{proof}
Es sei also $D_r(z_0)$ eine Scheibe in $U$.  Nach dem Potenzreihenentwicklungssatz~\ref{satz:potenzreihenentwicklung} k\"onnen wir  dann $f(z)$ auf $D_r(z_0)$ als Potenzreihe in $z_0$ schreiben.
In Satz~\ref{satz:gliedweises-integrieren} hatten wir gesehen, dass jede Potenzreihe $f(z)$ in $z_0$ eine Stammfunktion  besitzt.
\end{proof}

Eine \emph{ganze Funktion} ist eine holomorphe Funktion, welche auf ganz $\C$ definiert ist.
Beispielsweise sind Polynome, die trigonometrischen Funktionen und die Exponentionalfunktion ganze Funktion.
F\"ur $U=\C$ und $z_0=0$ erhalten wir folgenden wichtigen Spezialfall vom Potenzreihenentwicklungssatz. 

\begin{satz}
\label{satz:potenzreihenentwicklung-auf-c}
Jede ganze Funktion ist durch eine Potenzreihe gegeben. 
\end{satz}


\begin{bemerkung}
Der Potenzreihenentwicklungssatz impliziert also, dass jede holomorphe Funktion auf $\C$ durch eine Potenzreihe gegeben ist. Die analoge Aussage f\"ur reelle Funktionen ist nat\"urlich falsch, sie ist sogar falsch f\"ur reelle Funktionen, welche beliebig oft differenzierbar sind.
Beispielsweise hatten wir in Lemma~14.15 von Analysis~I gesehen, dass die 
 Funktion\label{bsp:exp1x2}
\[ \begin{array}{rcl} f\colon  \R&\to & \R\\
x&\mapsto &\left\{ \begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}}, & \mbox{ wenn }x>0, \\ 0, &\mbox{ wenn }x\leq 0\end{array} \right.\end{array} \]
beliebig oft differenzierbar ist, und dass $f^{(n)}(0)=0$ f\"ur alle $n\in \N$. Wenn wir $f$ durch eine Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$ beschreiben k\"onnten, dann m\"usste hierbei gelten $c_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)=0$. Aber dann definiert  die Potenzreihe die Nullfunktion, aber $f$ ist nicht null f\"ur $x>0$.  
\end{bemerkung}

% Ende 5. Vorlesung


%================================
\subsection{Der Beweis vom Potenzreihenentwicklungssatz}
Das Ziel von diesem Kapitel ist nun den Potenzreihenentwicklungssatz zu beweisen. Ein wichtiges Hilfsmittel ist hierbei folgender Satz.

\begin{satz}\label{satz:f(a)}\textbf{\emph{(Cauchysche Integralformel)}}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge, $f\colon U\to \C$ holomorph und es sei $z_0\in U$. Zudem sei $r>0$, so dass $\overline{D_r(z_0)}\subset U$. Dann gilt f\"ur jedes $z\in D_r(z_0)$, dass
\[ f(z)\,\,=\,\,\lmfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|\xi-z_0|=r} \lmfrac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi.\]
\end{satz}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{f-von-a.pstex_t}
\caption{Illustration von Satz~\ref{satz:f(a)}.}
\end{center}
\end{figure}

Die Cauchysche Integralformel besagt insbesondere, dass man die Funktionswerte einer holomorphen Funktion im Inneren einer Scheibe $D_r(z_0)$ durch die Funktionswerte auf den Randkreis $\partial \overline{D_r(z_0)}$ bestimmen kann. Insbesondere ist die holomorphe Funktion $f$ im Inneren durch die Funktion auf dem Randkreis eindeutig festgelegt.\label{bsp:f-bestimmt-auf-kreis}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:f(a)}]
Es folgt aus Korollar~\ref{kor:cauchy-ring}, dass f\"ur gen\"ugend kleine $s$\footnote{Genauer gesagt, die Aussage gilt f\"ur alle $s\in \R_{>0}$ mit $\overline{D_s(z)}\subset D_r(z_0)$.} gilt
\[
\lmfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|\xi-z_0|=r} \lmfrac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi
\,\,=\,\,\lmfrac{1}{2\pi i}
\bbbint\limits_{|\xi-z|=s} \lmfrac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi.
\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{beweis-von-satz-f-von-a.pstex_t}
\caption{Abbildung zum Beweis von Satz~\ref{satz:f(a)}.}
\end{center}
\end{figure}
Es folgt, dass 
\[
\begin{array}{rcll}
\lmfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|\xi-z_0|=r} \lmfrac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi
&=&
\underset{s\to 0}{\lim}\,\,\lmfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|\xi-z|=s} \lmfrac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi
&\\
\\[-0.2cm]
&=&
 \underset{s\to 0}{\lim}\,\,\lmfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|\xi-z|=s}
 \lmfrac{\,\,f(\xi)-f(z)\,\,}{\xi-z}\,d\xi\,\,+\,\,
 \underset{s\to 0}{\lim}
\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{$=f(z)$, nach der Rechnung}\\
\opnormal{auf Seite~\pageref{bsp:integral1durchz}}\end{array}}}{\underbrace{\lmfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|\xi-z|=s} \lmfrac{f(z)}{\xi-z}\,d\xi.}}\\[2mm]
\end{array}\]
Der zweite Summand ist also $f(z)$, also verbleibt es folgende Behauptung zu beweisen.

\begin{behauptung}
Es ist
\[ \underset{s\to 0}{\lim}\,\,\bbbint\limits_{|\xi-z|=s} \lmfrac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}\,d\xi\,\,=\,\,0.\]
\end{behauptung}

F\"ur alle $s$ mit $\overline{D_s(z)}\subset \overline{D_r(z_0)}$ gilt die Ungleichung
\begin{align*} \begin{array}{ll} \bigg|\bbbint\limits_{|\xi-z|=s} \hspace{-0.3cm}\tmfrac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}d\xi\bigg|&\leq\,
\underset{=2\pi s}{\underbrace{\mbox{Umfang von Kreis mit Radius $s$}}}\cdot \underset{\opnormal{endlich, weil $f$ in $z$ holomorph}}{\underbrace{\sup\Big\{ \Big|
\tmfrac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}\Big|\,\Big|\, \xi\in \overline{D_r(z_0)}\setminus \{z\}\Big\}}}\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\opnormal{Standardabsch\"atzung von Lemma~\ref{lem:abschaetzung-wegintegral}}
\end{array}
\end{align*}
Wir sehen also, dass der Betrag vom Integral im Grenzwert $s\to 0$ gegen 0 konvergiert.
Wir haben damit die Behauptung bewiesen.
\end{proof}





Wir erinnern auch noch an das Majoranten-Kriterium f\"ur Funktionenreihen, welches wir in Satz~16.5 in der Analysis~I bewiesen hatten.\footnote{Streng genommen hatten wir das Majoranten-Kriterium nur f\"ur Funktionen auf $D\subset \R$ bewiesen, aber der Beweis geht wort-w\"ortlich auch durch f\"ur den Fall $D\subset \C$.}

\begin{satz}\label{satz:majkritreihe} \emph{\textbf{(Majoranten-Kriterium f\"ur Funktionenreihen)}}
Es sei $K\subset \C$ eine kompakte Teilmenge und es sei  $g_n\colon  K\to \C, n\in \N$ eine Folge von stetigen Funktionen. Es sei zudem $(d_n)_{n\in \N}$ eine Folge von reellen Zahlen mit  $\|g_n\|\leq d_n$ f\"ur alle $n\in \N$. Dann gilt
\[ \sum\limits_{n=0}^\infty d_n\mbox{ konvergiert}\quad \Longrightarrow\quad \sum\limits_{n=0}^\infty g_n\mbox{   konvergiert gleichm\"a\ss ig.}\]
\end{satz}

Wir k\"onnen uns nun endlich dem Beweis vom Potenzreihenentwicklungssatz
zuwenden.

\begin{proof}[Beweis vom Potenzreihenentwicklungssatz]
Um die Notation etwas zu vereinfachen betrachten wir den Fall $z_0=0$.
Es sei also $U\subset \C$ eine offene Teilmenge, es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion und es sei  $r>0$, so dass ${D_r(0)}\subset U$. 
Wir betrachten zuerst den Fall, dass die abgeschlossene Scheibe $\overline{D_r(0)}$ auch noch in $U$ enthalten ist.
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Auf Seite~\pageref{bsp:1durchza-als-potenzreihe} hatten wir explizit $g(z)=\frac{1}{a-z}$ als Potenzreihe entwickelt.
Nach Satz~\ref{satz:f(a)} k\"onnen wir jetzt unsere urspr\"ungliche Funktion $f(z)$ als Integral von solchen Funktionen, welches sich als Potenzreihen entwickeln lassen, schreiben. Dies wollen wir nun verwenden.}
\end{enumerate}
Es sei nun $z\in {D_r(0)}$ festgew\"ahlt. Dann gilt,  dass 
\[
\begin{array}{llll} f(z)&=\,\,\lmfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|\xi|=r} \lmfrac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi
\,\,=\,\,\lmfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|\xi|=r} \lmfrac{f(\xi)}{\xi}\lmfrac{1}{1-\frac{z}{\xi}}\,d\xi
&=\,\,\lmfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|\xi|=r} \tmfrac{f(\xi)}{\xi}\lmsum{n=0}{\infty}
\big(\tmfrac{z}{\xi}\big)^n\,d\xi
\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow&\\[-0.2cm]
&\hspace{-1cm}\mbox{nach Satz~\ref{satz:f(a)}}
&\hspace{-1.9cm}\mbox{denn aus $|\frac{z}{\xi}|=|\frac{z}{r}|<1$ folgt  $\tmfrac{1}{1-\frac{z}{\xi}}=\tmsum{n=0}\infty
\big(\frac{z}{\xi}\big)^n$}\\
&=\,\,\lmfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|\xi|=r} \lmsum{n=0}{\infty}
\tmfrac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}\cdot z^n\,d\xi.
\end{array}\]
Wir wollen nun das Integral mit der Reihe vertauschen. 
Nach dem Konvergenzsatz~\ref{satz:konvint} f\"ur Wegintegrale ist dies m\"oglich, wenn die Funktionenreihe  gleichm\"a\ss ig konvergiert. Wir beweisen daher als n\"achstes folgende Behauptung.

\begin{behauptung}
Die Funktionenreihe $\sum\limits_{n=0}^\infty
\tmfrac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}\cdot z^n$ konvergiert auf  $K:=\big\{\xi\in \C\,\big|\,|\xi|=r\big\}$  gleichm\"a\ss ig.\footnote{Folgt die Aussage schon aus Satz~\ref{satz:konvr}?}
\end{behauptung}

Um die gleichm\"a\ss ige Konvergenz zu zeigen, wollen wir das  Majoranten-Kriterium f\"ur Funktionenreihen anwenden. 
Die Funktion $|f|$ ist auf der kompakten Menge $K$ stetig, insbesondere durch ein $C\geq 0$ beschr\"ankt. Also gilt f\"ur alle $\xi\in K$, dass
\[ \Big|\tmfrac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}\cdot z^n\Big|\,\,=\,\,\Big|\smfrac{f(\xi)}{\xi}\Big(\smfrac{z}{\xi}\Big)^n\Big|\,\,\leq\,\, \smfrac{C}{r}\cdot \Big(\underset{=:s}{\underbrace{\smfrac{\,\,|z|\,\,}{r}}}\Big)^n\,\,=\,\,\smfrac{C}{r}\cdot s^n.\]
Da $z\in D_r(0)$ gilt, dass $s=\frac{|z|}{r}\in[0,1)$. Insbesondere konvergiert die geometrische Reihe $\sum_{n=0}^\infty \frac{C}{r}s^n$. 
Die Behauptung folgt nun aus dem  Majoranten-Kriterium f\"ur Funktionenreihen.

Zusammengefasst folgt nun f\"ur $z\in D_r(0)$, dass 
\[ 
\begin{array}{lll}
f(z)&=\,\,\lmfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|\xi|=r} \lmsum{n=0}{\infty}
\tmfrac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}\cdot z^n\,d\xi
&=\,\, \lmsum{n=0}{\infty}\smfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|\xi|=r}
\tmfrac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}\cdot z^n\,d\xi
\,\,
=\,\,
\lmsum{n=0}{\infty}\underset{=:c_n}{\underbrace{\smfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|\xi|=r}
\smfrac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}\,d\xi}}\cdot z^n.\\[-0.7cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mbox{obige Rechnung}&\hspace{-1cm}
\mbox{Konvergenzsatz~\ref{satz:konvint}}\\
&&\hspace{-1.3cm}\opnormal{angewandt auf $g(\xi)=\frac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}z^n$}\end{array} \]
Wir haben also  bewiesen, dass wir die Funktion $f(z)$ auf $D_r(0)$ als Potenzreihe schreiben k\"onnen. Die beiden Formeln f\"ur $c_n$ folgen direkt aus Korollar~\ref{kor:cn-durch-ableiten} und aus Korollar~\ref{satz:cn-durch-kurvenintegrale}.



Wir betrachten nun den allgemeinen Fall. Wir 
k\"onnen also nicht mehr annehmen, dass die 
abgeschlossene Scheibe $\overline{D_r(0)}$ auch noch in $U$ enthalten ist.
Es sei nun $s\in (0,r)$ beliebig. Dann  ist die 
abgeschlossene Scheibe $\overline{D_{s}(0)}$ noch ganz in $U$ enthalten. Wir haben also gerade eben gezeigt, dass  
\[ f(z)\,\,=\,\,\sum\limits_{n=0}^\infty \lmfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot z^n\quad\mbox{ f\"ur alle }z\in D_s(0).\]
Nachdem diese Gleichheit auf allen Scheiben $D_s(0)$ mit $s\in (0,r)$ gilt, gilt diese wie gew\"unscht auch auf ganz $D_r(0)$.
\end{proof}


%================================
\subsection{Der Satz von Liouville und der Fundamentalsatz der Algebra}
Eine Funktion $f\colon U\to \C$ hei\ss t \emph{beschr\"ankt}, wenn es ein $M\in \R$ gibt, so dass $|f(z)|\leq M$ f\"ur alle $z\in \C$. 

\begin{satz}\label{satz:liouville}\textbf{\emph{(Satz von Liouville)}}
Eine ganze Funktion, welche beschr\"ankt ist, ist konstant.
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Die reelle Funktion
\[
\begin{array}{rcl} f\colon \R &\to & \R \\
x&\mapsto & \smfrac{1}{1+x^2}\end{array} \]
ist beliebig oft differenzierbar, beschr\"ankt, aber nat\"urlich nicht konstant. Wir sehen also wiederum, dass sich die holomorphen Funktionen ganz anders als die differenzierbaren Funktionen verhalten. Die analoge komplexe Funktion $f(z)=\frac{1}{1+z^2}$ ist kein Gegenbeispiel zum Satz von Liouville, denn $f(z)$ ist nicht auf ganz $\C$ definiert. Genauer gesagt, $f(z)$ ist bei den Nullstellen des Nenners, d.h.\ bei $z=\pm i$ nicht definiert.
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}
Die Einschr\"ankung der holomorphen Funktion $\sin(z)$  auf den Definitionsbereich $\R\subset \C$ ist nat\"urlich beschr\"ankt und nicht konstant. Der Satz von Liouville besagt nun, dass die ganze Funktion $\sin(z)$ auf $\C$ unbeschr\"ankt ist. In der Tat werden wir in \"Ubungsblatt 3 sehen, dass
\[ \underset{t\to \infty}{\lim}\, |\sin(it)|\,\,=\,\,\infty.\]
\end{beispiel}

\begin{proof}
Es sei $f\colon \C\to \C$ eine holomorphe Funktion, welche beschr\"ankt ist.
Wir w\"ahlen  ein $M\in \R$, so dass  $|f(z)|\leq M$ f\"ur alle $z\in \C$.  
Nach Satz~\ref{satz:potenzreihenentwicklung-auf-c} gilt auf ganz $\C$, dass 
\begin{align*} \begin{array}{rl}
\hspace{2cm} f(z)&=\,\, \sum\limits_{n=0}^\infty c_nz^n.
\intertext{Wir wollen nun zeigen, dass $c_n=$ f\"ur $n\geq 1$. F\"ur jedes $r>0$ k\"onnen wir $c_n$ bestimmen durch}
 c_n&=\,\,\smfrac{1}{2\pi i}\bbint\limits_{|\xi|=r} \smfrac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}\,dz.
\intertext{Hierbei ist}
 |c_n|&=\,\,\Big|\smfrac{1}{2\pi i}\Big|\cdot \bigg|\bbint\limits_{|\xi|=r} \underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{Betrag}\\\opnormal{ist $\leq\frac{M}{r^{n+1}}$}\end{array}}}{\underbrace{\lmfrac{f(\xi)}{\,\,\xi^{n+1}\,\,}}}\,dz\bigg|\\
 &\leq \,\, \smfrac{1}{2\pi}\cdot \mbox{Umfang von Kreis mit Radius $r$}\cdot\smfrac{M}{r^{n+1}}\,\,=\,\,\smfrac{1}{2\pi}\cdot 2\pi r\cdot \smfrac{M}{r^{n+1}}\,\,=\,\,\smfrac{M}{r^n}.\\[-0.05cm]
 &\uparrow\\
 &\hspace{-0.5cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:abschaetzung-wegintegral}}
\intertext{Zusammengefasst haben wir gezeigt, dass}
|c_n|&\leq \,\,\smfrac{M}{r^n}\hspace{2cm} \mbox{ f\"ur alle $r>0$}
 \end{array} \end{align*}
Dies ist jedoch nur m\"oglich, wenn $|c_n|=0$ f\"ur alle $n\geq 1$. Wir sehen also, dass $f(z)=c_0$ eine konstante Funktion ist.
\end{proof}

Der folgende Satz ist eine der wichtigsten S\"atze der Mathematik \"uberhaupt.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Fundamentalsatz der Algebra)}}\label{fundamentalsatz}
Jedes Polynom $f(z)$ von Grad $n\geq 1$ besitzt eine komplexe Nullstelle.
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Wenn $f(z)$ ein Polynom von Grad $n=2$ ist, dann kann man nat\"urlich die Nullstellen explizit bestimmen und man sieht, dass jedes solche Polynom eine komplexe Nullstelle besitzt. F\"ur Polynome von Grad 3 und 4 gibt es ebenfalls, deutlich komplizierte L\"osungsformeln, welche in
\[ \mbox{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Kubische\_Gleichung}}\]
und
\[ \mbox{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Quartische\_Gleichung}}\]
beschrieben sind. Man kann mithilfe dieser Formeln auch die Existenz von Nullstellen beweisen.
In der Algebra-Vorlesung wird jedoch gezeigt, dass es f\"ur Polynome von Grad $\geq 5$ keine allgemeine L\"osungsformel gibt. Wir k\"onnen also den Fundamentalsatz der Algebra nicht dadurch beweisen, dass die Nullstellen explizit mithilfe einer Formel `hinschreiben'. 
\end{bemerkung}


\begin{proof}
Wenn $f(z)=0$, dann gibt es nichts zu beweisen.
Es sei also
\[ f(z)\,\,=\,\,a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+z_0\]
ein komplexes Polynom, welches nicht null ist. 
Wir nehmen an, dass $f$ keine  komplexe Nullstelle besitzt. Wir wollen zeigen, dass $n=0$, d.h.\ dass $f(z)$ konstant ist.
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Die gew\"unschte Aussage klingt so, als wollten wir den Satz von Liouville anwenden. Allerdings k\"onnen wir  den Satz von Liouville nicht direkt auf $f(z)$ anwenden, denn ein Polynom ist ja im Allgemeinen unbeschr\"ankt. Anstattdessen wollen wir, wie sich im Beispiel $f(z)=\frac{1}{1+z^2}$ schon angedeutet hat, den Satz von Liouville auf $\frac{1}{f(z)}$ anwenden.}
\end{enumerate}
Nachdem $f(z)$ keine  komplexe Nullstelle besitzt, ist die Funktion $\frac{1}{f(z)}$ auf ganz $\C$ definiert. Zudem ist diese Funktion holomorph. Au\ss erdem ist die Funktion $f(z)$ konstant, genau dann, wenn $\frac{1}{f(z)}$ konstant ist. Im Hinblick auf den Satz von Liouville gen\"ugt es nun folgende Aussage zu beweisen.

\begin{behauptung}
Die auf ganz $\C$ definierte  Funktion $\tmfrac{1}{f(z)}$ ist beschr\"ankt.
\end{behauptung}

Wenn $n=0$ gibt es nichts zu beweisen. Wir betrachten nun den Fall, dass $n\geq 1$. 
Nach Lemma~\ref{lem:grenzwert-polynom} gilt
\[ \lim_{z\to \infty}f(z)=\infty.\]
Dies bedeutet insbesondere, dass es ein $M\in \R$ gibt, so dass 
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} 
\hspace{4cm} |f(z)|&\geq 1&\mbox{ f\"ur alle $z$ mit $|z|\geq M$.}
\intertext{Mit anderen Worten, es ist }
\Big|\smfrac{1}{f(z)}\Big|&\leq 1&\mbox{ f\"ur alle $z\not\in D_M(0)$.}
\end{array}
\end{align*}
Andererseits ist die stetige Funktion $\frac{1}{f(z)}$ auf der kompakten Menge $\overline{D_M(0)}$ beschr\"ankt. Zusammengefasst sehen wir,  dass $\frac{1}{f(z)}$ auf ganz $\C$ beschr\"ankt ist.  Wir haben also die Behauptung bewiesen.
\end{proof}

Das folgende Korollar gibt eine etwas genauere Aussage, n\"amlich es besagt, dass jedes komplexe Polynom als Produkt von linearen Polynomen (oft auch Linearfaktoren genannt) geschrieben werden kann.

\begin{korollar}\label{kor:linearfaktorzerlegung}
Es sei $f(z)$ ein  Polynom  von Grad $n\geq 1$, dann existieren $a_1,\dots,a_n\in \C$ und $b\in \C\setminus \{0\}$, so dass 
\[ f(z)\,\,=\,\,b(z-a_1)\cdot \dots \cdot (z-a_n).\]
\end{korollar}

Bevor wir das Korollar beweisen erinnern wir noch an den Satz \"uber die Polynomdivision, welcher in der Algebra\footnote{Oder in guten Schulen.} bewiesen wird.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Satz \"uber die Polynomdivision)}} \label{satz:polynomdivision}
Es seien $f(z)$ und $g(z)$ Polynome, wobei $g(z)\ne 0$. Dann existieren Polynome $p(z)$ und $q(z)$ mit $\operatorname{Grad}(q(z))<\operatorname{Grad}(g(z))$, so dass\footnote{Zur Erinnerung, dass Nullpolynom hat per Definition den Grad $-1$.}
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.5cm} f(z)&=&g(z)\cdot p(z)+q(z).
\intertext{Insbesondere, wenn $\operatorname{Grad}(p(z))=1$, d.h.\ wenn $p(z)$ ein lineares Polynom ist, dann gibt es eine Polynom $p(z)$ und eine Konstante $C\in \C$, so dass }
f(z)&=&g(z)\cdot p(z)+C.\end{array}\end{align*}
\end{satz}

\begin{beispiel}
Der Beweis von Satz~\ref{satz:polynomdivision} ist nicht Bestandteil dieser Vorlesung. Wir f\"uhren daher nur ein Beispiel aus, welches hoffentlich den Grundgedanken der Polynomdivision deutlich macht.
Wir betrachten also
\[ f(z)\,=\,4z^3-2z+1\mbox{ und } g(z)\,=\,z^2-2z+1,\]
dann gilt
\[ \begin{array}{rcl} f(z)\,=\,4z^3-2z+1&=&\underset{=8z^2-6z+1}{\underbrace{4z^3-2z+1-4z(z^2-2z+1)}}+4z(z^2-2z+1)\\
&=&\underset{=-14z-7}{\underbrace{8z^2-6z+1-8(z^2-2z+1)}}+(4z+8)(z^2-2z+1)\\
&=&\underset{=p(z)}{\underbrace{(4z+8)}}g(z)+\underset{=q(z)}{\underbrace{(-14z-7)}} \end{array}\]
\end{beispiel}

Wir wenden uns nun dem Beweis von Korollar~\ref{kor:linearfaktorzerlegung} zu.

\begin{proof}[Beweis von Korollar~\ref{kor:linearfaktorzerlegung}]
Wir beweisen die Aussage mithilfe von Induktion nach dem Grad vom Polynom $f(z)$. Wenn $\operatorname{Grad}(f(z))=1$, dann ist die Aussage trivialerweise wahr.

Nehmen wir nun an, dass die Aussage schon f\"ur alle Polynome von Grad $<n$ gilt.
Es sei nun $f(z)$ eine Polynom mit $\operatorname{Grad}(f(z))=n\geq 2$. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt $f(z)$ eine Nullstelle $a\in \C$. 
Wir wenden nun Satz~\ref{satz:polynomdivision} auf $f(z)$ und $g(z)=z-a$ an.
Es gibt also eine Polynom $p(z)$ und eine Konstante $C\in \C$, so dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.5cm}
f(z)&=&g(z)\cdot (z-a)+C.
\intertext{Durch Einsetzen von $z=a$ sehen wir, dass $C=0$. Also folgt}
f(z)&=&g(z)\cdot (z-a).\end{array}\end{align*}
Nachdem $\operatorname{Grad}(g(z))=\operatorname{Grad}(f(z))-1=n-1$ k\"onnen wir die Induktionsvoraussetzung auf $g(z)$ anwenden, und erhalten die gew\"unschte Aussage f\"ur $f(z)$.
\end{proof}





%================================
\subsection{Der Satz von Morera und das Spiegelungsprinzip}
Es seien  $u,v,w\in \C$ drei verschiedene Punkte. Wir schreiben 
\[ \Delta(u,v,w)\,\,=\,\,\big\{ u+s(v-u)+t(w-u)\,\big|\, s,t\in [0,1]\mbox{ mit }s+t\leq 1\big\}.\]
Dies ist das von $u,v,w$ aufgespannte Dreieck. 
Zudem bezeichnen wir die Kurve $\gamma(u,v,w,u)$ als \emph{Randkurve $\partial \Delta(u,v,w)$}.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{dreieck.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}
In \"Ubungsblatt~3 beweisen wir, mithilfe vom Cauchyschen Integralsatz~\ref{satz:cauchy-bilder-rechtecke} f\"ur Bilder von Rechtecken, folgenden Satz.

\begin{satz}\label{satz:integral-null-auf-dreieck}
Es sei $U\subset \C$ offen und $f\colon U\to \C$ holomorph. Dann gilt
f\"ur alle Dreiecke $\Delta\subset U$, dass
\[ \bbint\limits_{\partial \Delta}f(z)\,dz\,\,=\,\,0.\]
\end{satz}

Viel interessanter ist nun die Aussage, dass Satz~\ref{satz:integral-null-auf-dreieck} folgende Umkehrung besitzt. 

\begin{satz}\textbf{\emph{(Satz von Morera)}}\label{satz:morera}
Es sei $U\subset \C$ offen und $f\colon U\to \C$ stetig. Wenn f\"ur alle Dreiecke $\Delta\subset U$ gilt, dass
\[ \bbint\limits_{\partial \Delta}f(z)\,dz\,\,=\,\,0,\]
dann ist $f$ holomorph.
\end{satz}

% Ende 6. Vorlesung

\begin{proof}
Es sei  $z_0\in U$. Wir wollen zeigen, dass $f$ im Punkt $z_0$ holomorph  ist. Nachdem $U$ offen ist gibt es ein $r>0$, so dass $D_r(z_0)\subset U$. Es folgt nun aus der Voraussetzung und aus 
Satz~\ref{satz:stammfunktion-holomorph}, dass $f$ auf $D_r(z_0)$ eine Stammfunktion $F$ besitzt.

Mit anderen Worten, es gibt auf $D_r(z_0)$ eine holomorphe Funktion $F$ mit $F'=f$.
Nach dem Satz~\ref{satz:goursat} von Goursat ist dann aber $F$ beliebig oft komplex differenzierbar. Insbesondere ist $F'=f$ auf $D_r(z_0)$, insbesondere im Punkt $z_0$, komplex differenzierbar.
\end{proof}



\begin{satz}\label{satz:holomorph-bis-auf-einen-punkt}
Es sei  $U$ eine offene Teilmenge von $\C$, es sei $z_0\in U$ und  es sei $f\colon U\to \C$ eine Funktion, welche auf $U\setminus \{z_0\}$ holomorph ist, und welche in $z_0$ stetig ist. Dann ist $f$ sogar auf ganz $U$ holomorph.
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Die Aussage von Satz~\ref{satz:holomorph-bis-auf-einen-punkt} widerspricht der Intuition von Analysis~I. Beispielsweise ist die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} \R&\to & \R\\
x&\mapsto &|x|\end{array}\]
stetig und zudem in allen Punkten von $\R\setminus \{0\}$ differenzierbar, aber $f$ ist nat\"urlich nicht auf ganz $\R$ differenzierbar.
\end{bemerkung}


\begin{proof}
Wir m\"ussen nur noch zeigen, dass $f$ im Punkt $z_0$ komplex holomorph ist.
Wir w\"ahlen ein $r>0$, so dass die abgeschlossene Scheibe $\overline{D_r(z_0)}$ noch ganz in $U$ enthalten ist.  

Nach dem Satz~\ref{satz:morera} von Morera gen\"ugt es folgende Behauptung zu beweisen:

\begin{behauptung}
F\"ur jedes Dreieck $\Delta\subset D_r(z_0)$ gilt
\[\bint\limits_{\partial \Delta} f(z)\,dz\,\,=\,\,0.\]
\end{behauptung}

Wir wollen diese Behauptung mithilfe von folgenden zwei Aussagen beweisen:
\begin{enumerate}
\item[(a)] F\"ur jedes Dreieck $\Delta$ in $D_r(z_0)$, welches den  Punkt $z_0$  nicht enth\"alt, verschwindet nach Satz~\ref{satz:integral-null-auf-dreieck} das zugeh\"orige Wegintegral.
\item[(b)] Nachdem $\overline{D_r(z_0)}$ kompakt ist, und nachdem $f$ nach Voraussetzung stetig ist, gibt es ein $M\in \R$, so dass $|f(z)|\leq M$ f\"ur alle $z\in \overline{D_r(z_0)}$. Insbesondere folgt aus der Standardabsch\"atzung von Wegintegralen aus Lemma~\ref{lem:abschaetzung-wegintegral}, dass f\"ur jeden In\-teg\-rations\-weg $\gamma$ in  $\overline{D_r(z_0)}$ gilt, dass
\[ \bigg|\bint\limits_\gamma f(z)\,dz\bigg|\,\,\leq\,\,M\cdot \opnormal{L\"ange}(\gamma).\]
\end{enumerate}
Wir wenden uns jetzt dem eigentlichen Beweis der obigen Behauptung zu. 
Es sei also  $\Delta=\Delta(u,v,w)\subset D_r(z_0)$ ein beliebiges Dreieck. 
Wir unterscheiden  vier F\"alle:
\begin{enumerate}
\item[1.\ Fall.] Der Punkt $z_0$ liegt nicht in $\Delta$. Dann folgt aus (a),  dass das Wegintegral verschwindet.
\item[2.\ Fall.] Der Punkt $z_0$ ist ein Eckpunkt von $\Delta$. O.B.d.A.\ sei $u=z_0$. F\"ur $s>0$ klein genug\footnote{Beispielsweise gilt die Aussage f\"ur $s\in (0,\min\{|v-u|,|w-u|\})$.} bezeichnen wir mit $v_s$ den Punkt auf der Strecke von $z_0=u$ nach $v$, welcher den Abstand $s$ zu $u$ besitzt. Ganz analog definieren wir $w_s$. Dann gilt f\"ur alle solche $s$, dass
\[ \begin{array}{ll}
\hspace{0.6cm}
\bbint\limits_{\partial \Delta(z_0,v,w)}f(z)\,dz&=\,\,\underset{\opnormal{$=0$, nach (a)}}{\underbrace{\bbint\limits_{\Delta(v_s,v,w)}f(z)\,dz}}\,\,+\,\,\,\,\underset{\opnormal{$=0$, nach (a)}}{\underbrace{\bbint\limits_{\Delta(v_s,w,w_s)}f(z)\,dz}}\,\,+\,\,\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{der Betrag ist}\\
\opnormal{$\leq 4s\cdot M$ nach (b)}\end{array}}}{\underbrace{\bbint\limits_{\Delta(u_s,v,w_s)}f(z)\,dz}}\\[-1.3cm]
&\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{0.042cm}|\\[-0.1cm]
&\hspace{0.042cm}|\\
&\hspace{-1.5cm}\mbox{siehe Abbildung~\ref{fig:z0-eckpunkt}}\end{array}
\]
Wir sehen also, dass der Betrag von unserem Wegintegral kleiner als jede positive Zahl ist, also muss das Wegintegral schon null sein.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{z0-eckpunkt.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:z0-eckpunkt}
\end{center}
\end{figure}
\item[3.\ Fall.] Der Punkt $z_0$ liegt im Inneren von $\Delta$. 
In diesem Fall k\"onnen wir, wie in Abbildung~\ref{fig:dritteln-von-dreieck} auf der linken Seite skizziert, das Dreieck $\Delta(u,v,w)$ in drei kleinere Dreiecke  zerlegen, bei denen jeweils $z_0$ ein Eckpunkt ist. Wir haben gerade gezeigt, dass die Wegintegrale \"uber diese kleineren Dreiecke verschwinden, also verschwindet auch das Wegintegral \"uber das urspr\"ungliche Dreieck.
\item[4.\ Fall.] Der Punkt $z_0$ liegt auf einer Kante von $\Delta$. In diesem Fall zerlegen wir,  wie in Abbildung~\ref{fig:dritteln-von-dreieck} auf der rechten Seite skizziert, das Dreieck in zwei kleinere Dreiecke,  bei denen jeweils $z_0$ ein Eckpunkt ist und wir verfahren wie im 3.\ Fall.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{dritteln-von-dreieck.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:dritteln-von-dreieck}
\end{center}
\end{figure}

\begin{definition}
Es sei $f\colon X\to \C$ eine Funktion auf einer Teilmenge $X\subset \C$. Wir sagen \emph{$f$ l\"asst sich zu einer holomorphen Funktion fortsetzen}, wenn es eine offene Teilmenge $U\subset \C$  mit $X\subset U$ und eine holomorphe  Funktion $\tilde{f}\colon U\to \C$ gibt,  so dass die Einschr\"ankung von $\tilde{f}$ auf $X$ gerade der Funktion $f$ entspricht.
\end{definition}

Beispielsweise lassen sich sich die reelle Sinusfunktion $\sin\colon \R\to \R$ und alle Polynomfunktionen auf $\R$ zu einer holomorphen Funktion auf ganz $\C$ fortsetzen. Zudem l\"asst sich die Funktion $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ zu einer holomorphen Funktion auf $\C\setminus \{\pm i\}$ fortsetzen.

Das n\"achste Lemma besagt nun, dass sich nicht jede 
 unendlich oft differenzierbare Funktionen $f\colon (a,b)\to \R$ auf einem offenen Interval zu einer holomorphen Funktion fortsetzen l\"asst.
 
\begin{lemma}\label{lem:f-nicht-holomorph-fortsetzbar}
Es gibt eine unendlich oft differenzierbare Funktionen $f\colon (a,b)\to \R$ auf einem offenen Intervall, welche sich nicht zu einer  holomorphen Funktion fortsetzen l\"asst. 
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir betrachten wiederum die Funktion 
\[ \begin{array}{rcl} f\colon  \R&\to & \R\\
x&\mapsto &\left\{ \begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}}, & \mbox{ wenn }x>0, \\ 0, &\mbox{ wenn }x\leq 0,\end{array} \right.\end{array} \]
welche uns schon auf Seite~\pageref{bsp:exp1x2} behilflich war. Zur Erinnerung, diese Funktion ist  unendlich oft differenzierbar, alle Ableitungen am Punkt $x=0$ verschwinden und zudem gilt noch $f(x)>0$ f\"ur $x>0$.
Wir werden nun zeigen, dass sich $f$ nicht  zu einer  holomorphen Funktion fortsetzen l\"asst. Nehmen wir an, es g\"abe eine solche Fortsetzung $\tilde{f}\colon U\to \C$ auf einer offenen Teilmenge $U$. Dann gibt es insbesondere ein $r>0$ mit $D_r(0)\subset U$. Nach dem Potenzreihenentwicklungssatz~\ref{satz:potenzreihenentwicklung}  gibt es dann eine Folge $(c_n)_{n\in \N}$ von komplexen Zahlen, so dass  
f\"ur alle $z\in {D_r(0)}$ gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 \hspace{5.7cm} \tilde{f}(z)&=& \lmsum{n=0}{\infty}c_nz^n.
\intertext{Wir zerlegen nun $c_n=a_n+ib_n$, wobei $a_n,b_n\in \R$. Dann gilt insbesondere f\"ur alle $x\in (-r,r)$, dass }
 f(x)\,\,=\,\,\tilde{f}(x)&=& \underset{\opnormal{reell}}{\underbrace{\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n}}\,+\,\underset{\opnormal{rein imagin\"ar}}{\underbrace{i\cdot 
\sum\limits_{n=0}^\infty b_nx^n}}.\end{array}
\end{align*}
Nachdem $f(x)$ auf $(-r,r)$ nur reelle Werte annimmt sind also alle $b_n=0$. Zudem folgt aus $f^{(n)}(0)=0$, dass alle $a_n=0$. Wir haben also gezeigt, dass $c_n=0$ f\"ur alle $n$. Insbesondere verschwindet die Potenzreihe auf ganz $(-r,r)$, sie kann also auf dem Intervall $(0,r)$ nicht mit der urspr\"unglichen Funktion $f$  \"ubereinstimmen. Wir haben also einen Widerspruch erhalten.
\end{proof}

Wir erinnern noch an folgende Definition aus der Analysis II. Es sei $X$ ein metrischer Raum und $A\subset X$ eine Teilmenge. Wir sagen, eine Menge \emph{$U\subset A$  ist offen in $A$}, wenn es eine offene Teilmenge $V\subset X$ gibt, so dass $U=V\cap A$. Wir betrachten beispielsweise den Fall $A=[0,2]\subset X=\C$. Dann ist  das Intervall $U=[0,1)$ eine offene Teilmenge von $A=[0,2]$, denn $U=A\cap D_1(0)$. 

Der folgende Satz gibt nun ein Kriterium daf\"ur, dass man gewisse Funktionen auf einer Teilmenge  holomorph fortsetzen kann.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Schwarzsches Spiegelungsprinzip)}}
Es sei $U$ eine offene Teilmenge der oberen Halbebene $\{z\in \C\,|\, \operatorname{Im}(z)\geq 0\}$\footnote{Dies bedeutet, dass es eine offene Menge $V\subset \C$ gibt, so dass $U=V\cap \{z\in \C\,|\, \operatorname{Im}(z)\geq 0\}$.}.
Zudem sei $f\colon U\to \C$ eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $f$ ist holomorph auf $U':=\{z\in U\,|\, \operatorname{Im}(z)>0\}$,
\item $f$ nimmt nur reelle Werte auf $U\cap \R$ an.
\end{enumerate}
Dann ist die Funktion\footnote{Hierbei bezeichnet 
\[ \overline{U}\,\,=\,\,\{ \overline{z}\,|\, z\in U\},\]
die komplexe Konjugation von $U$, d.h.\ die Spiegelung von $U$ an der reellen Achse. In diesem Fall handelt es sich bei $\overline{U}$ also nicht um Abschlu\ss\, von $U$.}
\[ \begin{array}{rcl} \tilde{f}\colon U\cup \overline{U}&\to & \C\\
z&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} f(z), &\mbox{ wenn }z\in U,\\[2mm]
\overline{f(\overline{z})},&\mbox{ wenn }z\in \overline{U},\end{array}\right.\end{array} \]
holomorph. Insbesondere l\"asst sich also $f$ zu einer holomorphen Funktion fortsetzen.
\end{satz}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{spiegelungsprinzip.pstex_t}
\caption{Illustration der Aussage vom Schwarzschen Spiegelungsprinzip.}
\end{center}
\end{figure}

Wir werden das Schwarzsche Spiegelungsprinzip im weiteren Verlauf der Vorlesung nicht mehr verwenden, wir skizzieren deswegen nur den Beweis.

\begin{proof}[Beweisskizze]
In \"Ubungsaufgabe~4 von \"Ubungsblatt~1 hatten wir schon gesehen, dass 
die Funktion $z\mapsto \tilde{f}(z)=\overline{f(\overline{z})}$   auf der offenen Menge $\overline{U'}$ holomorph ist. 

Wir wollen nun mithilfe vom Satz~\ref{satz:morera} von Morera zeigen, dass $\tilde{f}$ sogar auf ganz $U\cup \overline{U}$ holomorph ist. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{spiegelungsprinzip-beweis.pstex_t}
\caption{Illustration zum Beweis vom Schwarzschen Spiegelungsprinzip.}
\label{fig:spiegelungsprinzip-beweis}
\end{center}
\end{figure}
Es sei also $\Delta(u,v,w)\subset U\cup \overline{U}$ ein Dreieck. Wenn $\Delta(u,v,w)$ ganz in $U'$ oder $\overline{U'}$ liegt, dann 
folgt aus Satz~\ref{satz:integral-null-auf-dreieck}, dass das Wegintegral verschwindet. 

Es sei nun  $\Delta=\Delta(u,v,w)\subset U\cup \overline{U}$ ein Dreieck, welches sowohl $U$ als auch $\overline{U}$ schneidet. Wir bezeichnen mit $\alpha$ und $\beta$ die Wege, welche man, wie in Abbildung~\ref{fig:spiegelungsprinzip-beweis} skizziert, durch `schneiden von $\Delta$ entlang der reellen Achse' erh\"alt. Zudem w\"ahlen wir eine `stetige' Familie von In\-teg\-rations\-wegen $\alpha_s, s\in [0,1]$ und $\beta_s$, $s\in [0,1]$, so dass $\alpha_0=\alpha$ und $\beta_0=\beta$, und so dass f\"ur $s>0$ die Wege $\alpha_s$ in $U'$ und die Wege $\beta_s$ in $\overline{U'}$ liegen. Dann gilt
\[
\begin{array}{llll}
\hspace{1cm}\bbint\limits_\Delta f(z)\,dz&=\,\,\bbint\limits_\alpha f(z)\,dz\,+\,
\bbint\limits_\beta f(z)\,dz&=\,\,\underset{s\to 0}{\lim}
\bbint\limits_{\alpha_s} f(z)\,dz\,+\,
\underset{s\to 0}{\lim}
\bbint\limits_{\beta_s} f(z)\,dz&=\,\,0.\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-2cm}\opnormal{die Wegintegrale entlang}&\hspace{-1cm}
\opnormal{folgt aus der}
&\hspace{-3cm}\opnormal{nach dem Cauchyschen}\\
&\hspace{-1.5cm}\opnormal{der reellen Achse}&\hspace{-1.1cm}\opnormal{Stetigkeit von $f$}&
\hspace{-3.1cm}
\opnormal{Integralsatz verschwinden}\\
&\hspace{-1.4cm}\opnormal{heben sich weg}&\hspace{-1.4cm}\mbox{und der Stetigkeit von}&\hspace{-2.5cm}\opnormal{beide Wegintegrale}\\
&&\hspace{-1.8cm} \mbox{$\alpha_s$ und $\beta_s$ im Parameter $s$}
\end{array}\]
\end{proof}



%================================
\subsection{Der lokale Darstellungssatz}

\begin{definition}
Es sei $U\subset \C$ offen und es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion. Wenn es ein $k\in \N$ gibt, so dass
\[ f(z_0)=f^{(1)}(z_0)=\dots=f^{(k-1)}(z_0)=0\mbox{ aber } f^{(k)}(z_0)\ne 0,\]
dann nennen wir $z_0$ eine \emph{Nullstelle $k$-ter Ordnung von $f$}.
Eine Nullstelle erster Ordnung nennen wir auch eine \emph{einfache Nullstelle}.
\end{definition}

Beispielsweise ist $z_0=0$ eine Nullstelle $k$-ter Ordnung von $f(z)=z^k$.
Etwas allgemeiner, es sei  $g(z)$ eine holomorphe Funktion mit $g(z_0)\ne 0$. Dann besitzt $f(z)=(z-z_0)^k\cdot g(z)$ eine Nullstelle $k$-ter Ordnung in $z_0$. Der folgende Satz besagt nun, dass zumindest auf einer offenen Scheibe alle Nullstellen $k$-ter Ordnung    von der obigen Form sind.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Lokaler Darstellungssatz)}} \label{satz:lokale-darstellung}
Es sei $U\subset \C$ offen, es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion und es sei $z_0\in \C$ eine Nullstelle  $k$-ter Ordnung von $f$. Dann gibt es eine offene Umgebung $V$ von $z_0$ und eine holomorphe Funktion $g\colon V\to \C$, so dass
\begin{enumerate}
\item $f(z)=(z-z_0)^k\cdot g(z)$ f\"ur alle $z\in V$, 
\item $g(z_0)\ne 0$. 
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
Es sei $U\subset \C$ offen, es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion und es sei $z_0\in \C$ eine Nullstelle von $k$-ter Ordnung von $f$. 
Nach dem Potenzreihenentwicklungssatz~\ref{satz:potenzreihenentwicklung} gibt es  ein $r>0$ und  eine Folge $(c_n)_{n\in \N_0}$ von komplexen Zahlen, so dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}
\hspace{3cm} f(z)&=&\lmsum{n=0}{\infty} c_n(z-z_0)^n& \mbox{ f\"ur alle $z\in V:=D_r(z_0)$.}
\intertext{Es folgt nun aus der Voraussetzung und aus Satz~\ref{satz:gliedweises-ableiten}, dass $c_0=\dots=c_{k-1}=0$ und $c_{k}\ne 0$. 
Dann gilt}
 f(z)&=&(z-z_0)^k\cdot g(z),&\mbox{ wobei } g(z)=\lmsum{n=0}{\infty} c_{n+k}(z-z_0)^n.\end{array} \end{align*}
Offensichtlich ist $g(z_0)=c_{k}\ne 0$. 
Es verbleibt zu zeigen, dass die Potenzreihe $g(z)$ ebenfalls auf $D_r(z_0)$ konvergiert. Dies folgt aus der Beobachtung, dass nach Lemma~\ref{lem:gleicherkonvergenzradius-leicht} die Potenzreihen $g(z)$ und $f(z)$ den gleichen Konvergenzradius besitzen. 
\end{proof}


\newpage
%================================
\section{Zusammenh\"angende Teilmengen von $\C$}


%================================
\subsection{Zusammenh\"angende und wegzusammenh\"angende Teilmengen von $\C$}
In diesem Kapitel werden wir zwei verwandte Begriffe von `zusammenh\"angenden' Teilmengen von metrischen R\"aumen einf\"uhren. Die erste Definition ist dabei anschaulicher, aber die zweite ist in Anwendungen oft hilfreicher. Wir verwenden in diesem Kapitel die Sprache der metrischen R\"aume, welche wir in Analysis~II eingef\"uhrt hatten. Im weiteren Verlauf der Vorlesung betrachten wir dann aber nur die metrischen R\"aume $\R$ und $\C$, und Teilmengen davon.



Wir beginnen mit der ersten Definition.

\begin{definition} 
Ein metrischer Raum $X$  hei\ss t \emph{wegzusammenh\"angend}, wenn es zu je zwei Punkten $P,Q\in X$ einen Weg $\gamma\colon [0,1]\to U$ mit $\gamma(0)=P$ und $\gamma(1)=Q$ gibt. 
\end{definition}

\begin{beispiel}
Es ist leicht zu sehen, dass alle Scheiben in $\C$ wegzusammenh\"angend sind.
Andererseits hatten wir in \"Ubungs\-blatt 8 von Analysis~II gesehen, dass 
 die Menge
\[ X\,\,:=\,\,\overline{D_1(0)}\,\,\cup\,\,\overline{D_1(1+i)},\]
welche aus zwei disjunkten abgeschlossenen Scheiben besteht, 
nicht wegzusammenh\"angend ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{nicht-wegzusammenhaengend-ana-2.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:nicht-wegzusammenhaengend-ana-2.pstex_t}
\end{center}
\end{figure}
\end{beispiel}

\begin{definition}
Ein metrischer Raum $X$ hei\ss t \emph{zusammenh\"angend}, wenn folgende Aussage gilt:
wenn immer $X=U\cup V$ die Vereinigung von zwei disjunkten offenen Mengen $U$ und $V$ ist, dann ist entweder $U=X$ oder $V=X$.
\end{definition}

\begin{beispiel}
Die obige Menge
\[ X\,\,:=\,\,\underset{=:A}{\underbrace{\overline{D_1(0)}}}\,\,\cup\,\,\underset{=:B}{\underbrace{\overline{D_1(1+i)}}},\]
ist nicht zusammenh\"angend, denn $A$ und $B$ sind disjunkte nichtleere offene Teilmengen von $X$, mit $X=A\cup B$.
\end{beispiel}



\begin{lemma}\label{lem:intervalle-zusammenhaengend}\label{lem:01intzshd}
Das Intervall $[0,1]$ ist zusammenh\"angend.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es seien  $U,V$ offene disjunkte Teilmengen von $[0,1]$ mit $U\cup V=[0,1]$.
O.B.d.A.\ k\"onnen wir annehmen, dass $0\in U$. Wir wollen nun zeigen, dass $U=[0,1]$. Wir betrachten dazu
\[ A\,\,:=\,\,\big\{ t\in [0,1]\,\big|\, [0,t]\subset U\big\}.\footnotemark{} \]
\footnotetext{Mit anderen Worten, es ist
\[ A\,\,=\,\,\mbox{alle $t\in [0,1]$, so dass das Intervall $[0,t]$ noch in $U$ enthalten ist}.\]}
Die Menge $A$ ist nicht leer da sie $t=0$ enth\"alt. Die Menge $A$ ist zudem offensichtlich beschr\"ankt. Es macht also Sinn, dass Supremum $T:=\sup A$ zu betrachten.
Wir m\"ussen zeigen, dass $T=1$ und $T\in U$.

Nehmen wir zuerst an, dass $T\not \in U$. Dann ist  $T\in V$, und es folgt aus der Offenheit von $V$, dass es ein $\epsilon>0$ gibt, so dass auch $(T-\epsilon,T+\epsilon)\cap [0,1]$ in $V$ liegt.
Dann gilt insbesondere, dass $(T-\epsilon,T+\epsilon)\cap A=\emptyset$, d.h.\ $\sup A \leq T-\epsilon$.
Wir haben damit einen Widerspruch erhalten.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{intervalle-zusammenhaengend.pstex_t}
\caption{Illustration zum Beweis von Lemma~\ref{lem:intervalle-zusammenhaengend}.}
\label{fig:intervalle-zusammenhaengend}
\end{center}
\end{figure}

Wir wissen also jetzt, dass $T\in U$. Aus der Offenheit von $U$ folgt, dass es ein $\epsilon>0$ gibt, so dass $(T-\epsilon,T+\epsilon)\cap [0,1]\subset U$.
Also ist $[0,T+\epsilon]\cap [0,1]\subset U$. Im Hinblick auf die Definition von $T$ ist dies nur m\"oglich, wenn $T=1$.
\end{proof}

% Ende 7. Vorlesung


\begin{lemma}\label{lem:zshd}
Jeder  wegzusammenh\"angende  metrische Raum ist auch  zusammenh\"angend.
\end{lemma}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{wegzusammenhaengend-ist-zusammenhaengend.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Lemma~\ref{lem:zshd}}.
\end{center}
\end{figure}

\begin{proof}
Es sei also $X$ ein  wegzusammenh\"angender  metrischer Raum.
Nehmen wir an, dass $X$ nicht zusammenh\"angend ist. Dann existiert eine  Zerlegung $X=U\cup V$ in zwei offene disjunkte nichtleere Teilmengen $U$ und $V$.
Es sei nun $x\in U$ und $y\in V$. Nachdem $X$ nach Voraussetzung weg\-zu\-sam\-men\-h\"ang\-end ist existiert ein Weg $\gamma\colon [0,1]\to X$ mit $\gamma(0)=x$ und $\gamma(1)=y$.
Dann ist $\gamma^{-1}(U)\cup \gamma^{-1}(V)$ eine disjunkte Zerlegung von dem Intervall $[0,1]$ in zwei offene, nichtleere Teilmengen.
Dies ist aber nach Lemma \ref{lem:01intzshd} nicht m\"oglich.

\end{proof}


\begin{korollar}\label{kor:intervalle-zusammenhaengend}\label{lem:intzshd}
Jedes Intervall $($offen, halboffen, abgeschlossen, beschr\"ankt oder unbeschr\"ankt$)$, jede Scheibe $($offen oder abgeschlossen$)$, jedes Rechteck und ganz $\C$ sind  zusammenh\"angend.
\end{korollar}

\begin{proof}
Alle diese Mengen sind  offensichtlich wegzusammenh\"angend.
Das Korollar folgt nun aus Lemma~\ref{lem:zshd}.
\end{proof}


\begin{bemerkung}
Es stellt sich die Frage, ob auch die Umkehrung von Lemma \ref{lem:zshd} gilt. Im Allgemeinen ist dies jedoch nicht der Fall, d.h.\ es gibt Mengen, welche zusammenh\"angend sind, aber nicht wegzusammenh\"angend sind. Wir betrachten dazu folgendes Beispiel:
\[ X\,\,:=\,\,\big\{ (0,y)\,\big|\,y\in [-1,1]\big\} \,\cup \, \big\{(x,\sin(\ttmfrac{1}{x}))\,\big|\, x\in (0,\pi]\big\}\,\,\subset\,\, \R^2.\]
In anderen Worten, $X$ besteht aus dem Graphen der Funktion $x\mapsto \sin(\frac{1}{x})$ f\"ur $x\in (0,\pi]$, zusammen mit einem Intervall auf der $y$-Achse. Die Menge $X$ wird in Abbildung~\ref{fig:nicht-wegzusammenhaengend.pstex_t} skizziert. In  \"Ubungsblatt~4 werden wir sehen, dass $X$ zusammenh\"angend, aber nicht wegzusammenh\"angend ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{nicht-wegzusammenhaengend.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:nicht-wegzusammenhaengend.pstex_t}
\end{center}
\end{figure}
\end{bemerkung} 


\begin{lemma}\label{lem:bild-zusammenhangend}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen zwei metrischen R\"aumen. Dann gilt
\[ 
\begin{array}{crcll} 
(1)&\hspace{0.5cm}\mbox{$X$ wegzusammenh\"angend}&\Longrightarrow& \mbox{$f(X)$ wegzusammenh\"angend}&\hspace{1cm}\\
(2)&\mbox{$X$ zusammenh\"angend}&\Longrightarrow& \mbox{$f(X)$ zusammenh\"angend}&\hspace{2cm}.\end{array}\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir beweisen zuerst (1). Wir nehmen also an, dass $X$ wegzusammenh\"angend ist.
Wir wollen  nun zeigen, dass $f(X)$ ebenfalls wegzusammenh\"angend ist.
Es seien also $y,y'\in f(X)$. Dann gibt es $x,x'\in X$ mit $f(x)=y$ und $f(x')=y'$. Nachdem $X$ wegzusammenh\"angend ist gibt es einen Weg $\gamma\colon [0,1]\to X$, welcher $x$ und $x'$ verbindet. Dann verbindet  der Weg $f\circ \gamma\colon [0,1]\to Y$ die Punkte $f(x)=y$ und $f(x')=y'$.

Wir beweisen nun (2). Es sei also $f(X)=U\cup V$ eine Zerlegung in zwei offene disjunkte Teilmengen. Wir wollen zeigen, dass $f(X)=U$ oder $f(X)=V$. Aus der Stetigkeit von $f$ folgt, dass $f^{-1}(U)$ und $f^{-1}(V)$ offene Teilmengen von $X$ sind. Zudem sind $f^{-1}(U)$ und $f^{-1}(V)$ offensichtlich disjunkt.
Nach Voraussetzung gilt also, dass entweder $X=f^{-1}(U)$ oder $X=f^{-1}(V)$. Dann gilt aber auch, dass entweder $f(X)=f(f^{-1}(U))=U$ oder $f(X)=f(f^{-1}(V))=V$. 
\end{proof}


%================================
\subsection{Diskrete Teilmengen}
In diesem kurzen Kapitel f\"uhren wir die diskreten Teilmengen von einem metrischen Raum ein. Diesen werden wir in dieser, und auch in weiteren Vorlesungen immer wieder begegnen.

\begin{definition}
Wir sagen eine Teilmenge $D$ eines metrischen Raums ist \emph{diskret}, wenn es zu jedem Punkt $x\in D$ ein $\epsilon>0$ gibt, so dass
\footnote{Nachdem wir jetzt einen beliebigen metrischen Raum verwenden wir jetzt wieder die Notation $B_\epsilon(x)$ anstatt $D_\epsilon(x)$.}
 $B_\epsilon(x)\cap D=\{x\}$.
\end{definition}



\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Jede endliche Teilmenge $A=\{a_1,\dots,a_k\}$ von einem metrischen Raum ist diskret, denn f\"ur jedes $a_i$ mit $i\in \{1,\dots,k\}$ hat
\[ \epsilon\,\,=\,\,\min\{d(a_i,a_j)\,|\, j\ne i\}\]
die gew\"unschte Eigenschaft. 
\item Die Teilmenge  $\Z\subset \C$ ist diskret, denn f\"ur jeden Punkt k\"onnen wir $\epsilon=1$ w\"ahlen.
\item Man kann leicht zeigen dass $A=\{\frac{1}{n}\,|\,n\in \N\}$ eine diskrete Teilmenge von $\R$ ist, aber dass $B=\{0\}\cup \{\frac{1}{n}\,|\,n\in \N\}$ 
keine diskrete Teilmenge von $\R$ ist.
\end{enumerate}
\end{beispiel}
 
Folgende  Eigenschaft von  diskreten Mengen wird im weiteren Verlauf der Vorlesung eine wichtige Rolle spielen.

\begin{lemma}\label{lem:diskret-endlich}
Es sei $X$ ein metrischer Raum, es sei $K\subset X$ kompakt und es sei $D\subset X$ eine abgeschlossene, diskrete Teilmenge. Dann ist $D\cap K$ endlich.\footnote{Gilt die Aussage von diesem Lemma auch, wenn $D$ nicht abgeschlossen ist?}
\end{lemma}

\begin{proof}
Nachdem $D$ diskret ist gibt es zu jedem Punkt $z\in D\cap K$ ein $\epsilon_z>0$, so dass $B_{\epsilon_z}(z)\cap D=\{z\}$. Zudem ist nach Voraussetzung $X\setminus D$ offen. Also ist
\[ \bigcup\limits_{z\in D} B_{\epsilon_z}(z)\,\,\cup\,\, (X\setminus D)\]
eine offene \"Uberdeckung von $K$. Nachdem $K$ kompakt ist, ist $K$ schon durch endlich viele dieser Mengen \"uberdeckt. Aber nachdem jede dieser Mengen h\"ochstens einen Punkt von $D$ enth\"alt, kann $K$ nur h\"ochstens endlich viele Punkte aus $D$ enthalten.
\end{proof}


Wir beschlie\ss en  das Kapitel mit folgendem elementaren Lemma, welches in \"Ubungs\-blatt~4 bewiesen wird.

\begin{lemma}\label{lem:diskrete-bilder-konstant}
Es sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen zwei metrischen R\"aumen. Wenn $X$ zusammenh\"angend ist und wenn $f(X)$ diskret ist, dann ist $f$ eine konstante Abbildung.
\end{lemma}

\begin{beispiel}
Es folgt beispielsweise aus Lemma~\ref{lem:diskrete-bilder-konstant}, dass jede stetige Funktion auf einem Intervall, deren Werte in $\Z$ liegen, konstant ist. Psychologen, Biologen, Geologen usw.\ f\"uhren gerne Entwicklungsstufen f\"ur Kinder, Menschen, Pflanzen, die Natur als ganzes usw.\ ein, hierbei handelt sich um Abbildungen
\[ \mbox{Zeitintervall}\,\,\to \,\, \{0,1,\dots,\mbox{h\"ochste Entwicklungsstufe}\}.\]
Das Lemma besagt also, dass entweder solche Abbildungen konstant sind (also uninteressant) oder unstetig (und damit sehr bedenklich).
\end{beispiel}

%================================
\subsection{Der Identit\"atssatz und das Maximumprinzip}

Im Folgenden nennen wir eine zusammenh\"angende, nichtleere, offene Teilmenge von $\C$ ein \emph{Gebiet}.
Beispielsweise sind $\C$ und alle offenen Scheiben Gebiete. Man kann auch leicht zeigen, dass die `geschlitzte Ebene'
\[ H\,\,:=\,\,\{ x+iy\,|\, x\geq 0\mbox{ oder }y\ne 0\}, \]
d.h.\ der Definitionsbereich der komplexen Logarithmusfunktion,
ebenfalls ein Gebiet ist.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Identit\"atssatz)}} \label{satz:identitat}
Es sei $G\subset \C$ ein Gebiet und es seien $f,g\colon G\to \C$ zwei holomorphe Funktionen. Dann sind folgende Aussagen \"aquivalent:
\begin{enumerate}
\item es ist $f(z)=g(z)$ f\"ur alle $z\in G$,
\item $f$ und $g$ stimmen auf einer Teilmenge $M$ von $G$ \"uberein, welche einen H\"aufungspunkt in $G$ besitzt,
\item es gibt ein $z_0\in G$, so dass
\[ f^{(m)}(z_0)\,\,=\,\,g^{(m)}(z_0)\mbox{ f\"ur alle }m\in \N_0.\]
\end{enumerate}
\end{satz}

Beispielsweise erhalten wir aus dem Identit\"atssatz und den Beispielen von H\"aufungs\-punkten auf Seite~\pageref{bsp:haufungspunkt} folgende Aussage: es seien $f$ und $g$ zwei holomorphe Funktionen auf $\C$, welche auf einer der folgenden Teilmengen \"uber\-ein\-stimmen:
\begin{enumerate}
\item einem Intervall $[a,b]\subset \R$ mit $a<b$,
\item einer Scheibe,
\item einem Kreis,\footnote{Wir hatten schon auf Seite~\pageref{bsp:f-bestimmt-auf-kreis} gesehen, dass  die Cauchysche Integralformel impliziert, dass eine holomorphe Funktion auf einer Scheibe durch die Funktionswerte am Rand eindeutig festgelegt ist. Der Identit\"atssatz ist nun eine deutliche Verallgemeinerung dieser Aussage.}
\item $\{\frac{1}{n}\,|\,n\in \N\}$,
\end{enumerate}
dann stimmen die Funktionen $f$ und $g$  schon auf ganz $\C$ \"uberein. F\"ur differenzierbare reelle Funktionen ist solch eine Aussage nat\"urlich falsch, beispielsweise stimmen die auf $\R$ definierten differenzierbaren Funktionen
\[  f(x)\,\,=\,\,0\quad \mbox{ und }\quad  g(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}}, & \mbox{ wenn }x>0, \\ 0, &\mbox{ wenn }x\leq 0\end{array} \right.\]
 auf dem Intervall $[-1,0]$ \"uberein, aber nicht auf ganz $\R$.
\footnote{Dies gibt auch einen weiteren Beweis f\"ur die Aussage von Lemma~\ref{lem:f-nicht-holomorph-fortsetzbar}, dass sich  die obige Funktion $f$ nicht  zu einer  holomorphen Funktion fortsetzen l\"asst. Denn wenn man $f$ zu einer holomorphen Funktion $\tilde{f}\colon U\to \C$ fortsetzen k\"onnte, dann m\"usste nach dem Identit\"atssatz diese Fortsetzung mit der holomorphen Funktion $g(z)=0$ auf $U$, insbesondere auf $\R$, \"ubereinstimmen. Aber dies ist nat\"urlich nicht der Fall.}


\begin{proof}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[$(1)\Rightarrow (2)$] Diese Implikation ist trivial, nachdem jeder Punkt in $G$ auch ein H\"aufungspunkt von $G$ ist.
\item[$(2)\Rightarrow (3)$] Wir setzen $h=f-g$. Es gibt also nach Voraussetzung eine Teilmenge $M\subset \C$ auf der $h$ verschwindet und einen H\"aufungspunkt  $z_0$ von $M$, welcher in $G$ liegt. Wir wollen zeigen, dass $h^{(m)}(z_0)=0$ f\"ur alle $m\in \N_0$. 

Nehmen wir an, dies sei nicht der Fall. Es sei dann $m\in \N_0$ die kleinste nat\"urliche Zahl mit $h^{(m)}(z_0)\ne 0$. Nach dem lokalen Darstellungssatz~\ref{satz:lokale-darstellung} gibt es eine  offene Umgebung $V$ von $z_0$, so dass
\[ h(z)\,\,=\,\,(z-z_0)^{m}\cdot k(z)\]
auf $V$, wobei $k\colon V\to \C$ eine holomorphe Funktion mit $k(z_0)\ne 0$ ist.

Nachdem $z_0$ ein H\"aufungspunkt von $M$ ist, gibt es eine Folge  von Punkten $a_n\ne z_0$ in $M$, welche gegen $z_0$ konvergiert.\footnote{In der Tat, denn f\"ur jedes $n$ gibt es einen Punkt $a_n\ne z_0\in M$ mit $|a_n-z_0|<\frac{1}{n}$, also ist $\underset{n\to \infty}{\lim}a_n=z_0$.}
Aus $h(a_n)=0$ und $a_n\ne z_0$ folgt nun aus der Gleichung $h(a_n)=(a_n-z_0)^{m}\cdot k(a_n)$, dass auch $k(a_n)=0$. Nachdem $k$ stetig ist gilt dann auch, dass
\[ k(z_0)\,\,=\,\,k\Big(\lim_{n\to \infty} a_n\Big)\,\,=\,\,\lim_{n\to \infty}k(a_n)\,\,=\,\,0,\]
im Widerspruch zur obigen Aussage \"uber $k(z_0)$. 
\item[$(3)\Rightarrow (1)$] Wir setzen wiederum $h=f-g$. Nach Voraussetzung gibt es ein $z_0$, so dass $h^{(m)}(z_0)=0$ f\"ur alle $m\in \N_0$. Wir m\"ussen zeigen, dass $h(z)=0$ f\"ur alle $z\in G$. Wir betrachten dazu
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4cm}U&=&\{ z\in G\,|\, h^{(m)}(z)=0\mbox{ f\"ur alle $m\in \N_0$}\}
\intertext{und das Komplement}
V&=&\{ z\in G\,|\,\mbox{es gibt ein $m\in \N_0$, so dass $h^{(m)}(z)\ne 0$}\}.\end{array}
\end{align*}
Wir wollen zeigen, dass $U=G$. Wir wissen schon, dass $z_0\in U$, d.h.\ $U$ ist nichtleer. Nachdem $G$ zusammenh\"angend ist, gen\"ugt es nun zu zeigen, dass sowohl $U$ als auch $V$ offen sind.



Wir zeigen zuerst, dass $V$ offen ist. Es sei also $z\in V$. Dann gibt es ein $m\in \N_0$ mit $h^{(m)}(z)\ne 0$. Nachdem $h^{(m)}$ stetig ist, gibt es nach Lemma~\ref{lem:nicht-null-auf-umgebung}  aber auch ein $\epsilon>0$, so dass   $h^{(m)}$ auf $D_\epsilon(z)$ nicht verschwindet. Also ist $D_\epsilon(z)\subset V$.

Wir m\"ussen nun noch beweisen, dass $U$ ebenfalls offen ist. Es sei also $z\in U$. Nach dem Potenzreihentwicklunggsatz~\ref{satz:potenzreihenentwicklung} gibt es dann ein $\epsilon>0$, so dass f\"ur alle $w\in D_\epsilon(z)$ gilt, dass
\[ h(w)\,\,=\,\,\sum\limits_{n=0}^\infty \underset{=0}{\underbrace{\tmfrac{1}{n!}h^{(n)}(0)}}\cdot (w-z)^n\,\,=\,\,0.\]
Also liegt auch $D_\epsilon(z)$ in $U$.
\end{enumerate}
\end{proof}


\begin{lemma}\label{lem:betragkonstant}
Es sei  $f\colon G\to  \C$ eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet $G$. Wenn die Funktion $|f(z)|$ konstant ist, dann ist auch schon die Funktion $f$ konstant.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei also $f\colon G\to  \C$ eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet $G$, so dass die Funktion $|f(z)|$ konstant ist.
Wir beweisen  erst einmal folgende Behauptung.

\begin{behauptung}
F\"ur alle $z\in G$ mit $f(z)\ne 0$ gilt $f'(z)=0$. 
\end{behauptung}

Es sei also $z\in G$ mit $f(z)\ne 0$. 
Wir m\"ussen  zeigen, dass $f'(z)=0$.
Wir schreiben im Folgenden $u=\operatorname{Re}(f)$ und $v=\operatorname{Im}(f)$, d.h.\ es ist $f=u+iv$. 
 Aus der Diskussion von Kapitel~\ref{section:reell-diffbar} folgt, dass es gen\"ugt zu  beweisen, dass die partiellen Ableitungen von $u(z)=u(x+iy)$ und  von $v(z)=v(x+iy)$ bez\"uglich den Variablen $x$ und $y$ verschwinden. 

Wir wenden hierzu einen kleinen Trick an. 
 Nach unserer Voraussetzung ist die Funktion
$|f|^2=(u+iv)(u-iv)=u^2+v^2$ konstant. Es folgt, dass
\begin{align*}
 \begin{array}{rllllll}\hspace{3cm} 0&=&\smfrac{\partial}{\partial x}(u^2+v^2)&=&
2u\smfrac{\partial u}{\partial x}+2v\smfrac{\partial v}{\partial x}
\intertext{und ganz analog}
0&=&\smfrac{\partial}{\partial y}(u^2+v^2)&=&
2u\smfrac{\partial u}{\partial y}+2v\smfrac{\partial v}{\partial y}
&=\,\,-2u\smfrac{\partial v}{\partial x}+2v\smfrac{\partial u}{\partial x}.\\[-0.1cm]
&&&&&\uparrow\\
&&&&&\hspace{-1.7cm}\begin{array}{c}\mbox{Cauchy--Riemann}\\\mbox{Differentialgleichungen}\end{array}
\end{array}\end{align*}
Zusammengefasst erhalten wir also am Punkt $z$, dass
\[ \underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{die Determinant ist}\\
u^2+v^2=|f(z)|^2\ne 0\end{array}}}{\underbrace{\begin{pmatrix} u&\hfill v \\ v&-u \end{pmatrix}}} \hspace{-0.45cm}\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}\\[0.1cm]\frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}\,\,=\,\,\begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}.\]
Nachdem die Determinante der Matrix auf der linken Seite nicht null ist, folgt, dass die beiden partiellen Ableitungen  verschwinden.
Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.

Wir wenden uns nun dem eigentlichen Beweis der Aussage zu. 
Wenn $f$ die Nullfunktion ist, dann gibt es nichts zu beweisen. Wir nehmen nun an, dass $f$ nicht die Nullfunktion ist. Es gibt also ein $z_0\in G$ mit $a:=f(z_0)\ne 0$. 
Wir betrachten dazu 
\begin{align*} \begin{array}{rcl} \hspace{5.5cm} U&=& \big\{z\in G\,\big|\, f(z)=a\big\}.
\intertext{Wir wollen zeigen, dass $U=G$. Wir betrachten auch  das Komplement}
V&=& \big\{z\in G\,\big|\, f(z)\ne a\big\}.\end{array}\end{align*}
Es folgt aus Lemma~\ref{lem:nicht-null-auf-umgebung}, dass $V$ offen ist.
Nachdem $G$ zusammenh\"angend, und nachdem $U\ne \emptyset$ gen\"ugt es nun zu zeigen, dass auch $U$ offen ist.

Es sei also $z\in U$. Nachdem $f$ stetig ist gibt es nach Lemma~\ref{lem:nicht-null-auf-umgebung} ein $r>0$, so dass $f(w)\ne 0$ f\"ur alle $w\in D_r(z)$. Dann folgt aber aus der Behauptung, dass auch die Ableitung von $f$ auf $D_r(z)$ verschwindet. Es folgt aus Lemma~\ref{lem:ableitung-null-funktion-konstant}, dass $f$ auf der Scheibe $D_r(z)$ konstant, also gleich $f(z)=a$ ist. Wir haben also gezeigt, dass $D_r(z)\subset U$. 
\end{proof}



\begin{satz}\textbf{\emph{(Maximumprinzip)}}\label{satz:maximumprinzip}
Es sei $G\subset \C$ ein Gebiet und $f\colon G\to \C$ eine holomorphe Funktion.
Wenn der Betrag $|f|$ in $G$ ein lokales Maximum besitzt, dann ist $f$ konstant.
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Auch dieser Satz stimmt mit unserer Erfahrung mit reellen Funktionen nicht \"uberein. Betrachten wir beispielsweise die Funktion $f(x)=4-x^2$ auf dem offenen Intervall $(-1,1)$, dann nimmt $|f(x)|=4-x^2$ ein lokales Maximum in $x=0$ an, aber $f$ ist nat\"urlich nicht konstant.
\footnote{Warum ist die Funktion $f(z)=4-z^2$ auf der offenen Scheibe $D_1(0)$ kein Gegenbeispiel zum Maximumprinzip?}
\end{bemerkung}

Im Beweis vom Maximumprinzip werden wir folgendes Lemma verwenden.

\begin{lemma}\label{lem:mittelwerteigenschaft}\textbf{\emph{(Mittelwerteigenschaft)}}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge und es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion. 
Zudem sei $z_0\in U$ und $r>0$ mit $\overline{D_r(z_0)}\subset U$. Dann gilt
\[ f(z_0)\,\,=\,\,\lmfrac{1}{2\pi} \bbint\limits_{0}^{2\pi} f\big(z_0+re^{it}\big)\,dt.\]
\end{lemma}

Das Lemma besagt also, dass wir jeden Funktionswert $f(z_0)$ durch `mitteln' der Funktionswerte \"uber einen Kreis um den Punkt $z_0$ bestimmen k\"onnen.

\begin{proof}
Es sei also $U\subset \C$ eine offene Teilmenge und es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion. 
Zudem sei $z_0\in U$ und $r>0$ mit  $\overline{D_r(z_0)}\subset U$. Dann gilt
\[
\begin{array}{rll} f(z_0)\,\,&=\,\,\lmfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|z-z_0|=r} \smfrac{f(z)}{z-z_0}\,dz&=\,\,
\smfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{0}^{2\pi} \smfrac{f(z_0+re^{it})}{re^{it}}\cdot ire^{it}\,dt\,\,=\,\,\smfrac{1}{2\pi} \bbint\limits_{0}^{2\pi} f\big(z_0+re^{it}\big)\,dt.\\[-0.2cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\begin{array}{c}\mbox{Cauchysche}\\\mbox{Integralformel}\end{array}
&\hspace{-1.5cm}
\begin{array}{c}\mbox{Parametrisierung}\\\gamma(t)=z_0+re^{it}\end{array}\end{array}\]
\end{proof}

% Ende 8. Vorlesung


Wir wenden uns nun dem Beweis vom Maximumprinzip zu.

\begin{proof}[Beweis vom Maximumprinzip]
Nehmen wir an, dass $|f|$ in $z_0\in G$ ein lokales Maximum annimmt. Dann gibt es also ein $s>0$, so dass
\[ |f(z)|\,\,\leq \,\,|f(z_0)|\,\mbox{ f\"ur alle $z$ mit $|z-z_0|\leq s$}.\]
Wir wollen zuerst folgende, etwas schw\"achere Behauptung beweisen.

\begin{behauptung}
Die Funktion $f$ ist auf der Scheibe $D_s(z_0)$ konstant.
\end{behauptung}

Es sei $0<r<s$. Dann gilt 
\[ \begin{array}{rlll} |f(z_0)|&=\,\,\Big|\lmfrac{1}{2\pi} \bint\limits_{0}^{2\pi} f\big(z_0+re^{it}\big)\Big|&
\leq\,\,\lmfrac{1}{2\pi} \bbint\limits_{0}^{2\pi}\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{$\leq |f(z_0)|$, da $z_0$}\\
\opnormal{lokales Maximum}\end{array}}}{\underbrace{| f\big(z_0+re^{it}\big)|}}\,dt &\leq\,\,|f(z_0)|.\\[-0.7cm]
&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{0.041cm}|&\hspace{0.041cm}|&\hspace{0.041cm}|\\
&\hspace{-1.7cm}\mbox{Mittelwerteigenschaft}&\hspace{-1cm}\mbox{Lemma~\ref{lem:integral-a-b-abschaetzung}}
&\hspace{-2.2cm}\opnormal{Gleichheit gilt nur, wenn}\\
&&&\hspace{-2.9cm}\opnormal{$|f(z_0+re^{it})|=|f(z)|$ f\"ur alle $t$\footnotemark}
\end{array}
\]
\footnotetext{Hierbei verwenden wir folgende Aussage aus der Analysis~I: es sei $h\colon [a,b]\to \R$ eine \emph{stetige} Funktion und $C\in \R$, so dass $h(t)\leq C$ f\"ur alle $t\in [a,b]$. Dann gilt
\[ \bint\limits_a^b h(t)\,dt\,\,\leq\,\,C(b-a)\mbox{ und Gleichheit gilt genau dann, wenn } h(t)=C\mbox{ f\"ur alle }t\in [a,b].\]}
Nachdem links und rechts der gleiche Term steht m\"ussen alle Ungleichungen schon Gleichungen sein.
Dies ist nur m\"oglich, wenn $|f(z)|=|f(z_0)|$ auf dem Kreis $|z-z_0|=r$. Nachdem $r$ frei in $(0,s)$ gew\"ahlt war, folgt,
dass $|f|$ auf der  Scheibe $D_s(z_0)$ konstant ist.
Die  Behauptung folgt dann aus Lemma~\ref{lem:betragkonstant}.

Die holomorphe Funktion $f$ stimmt also mit der konstanten Funktion $z\mapsto f(z_0)$ auf der Scheibe $D_s(z_0)$  \"uberein. Es folgt nun aus dem Identit\"atssatz~\ref{satz:identitat}, dass die Funktion $f$  auf ganz $G$ mit der konstanten Funktion \"ubereinstimmt.
\end{proof}


\begin{korollar}\label{kor:maximumprinzip}
Es sei $f\colon X\to \C$ eine nicht-konstante holomorphe Funktion auf einem Gebiet $X$  und es sei $G\subset X$ ein beschr\"anktes Gebiet,\footnote{In den meisten Anwendungen ist $X=\C$ und $G$ ist eine offene Scheibe.} so dass $\overline{G}\subset X$. 
Dann nimmt die Einschr\"ankung von $|f|$ auf $\overline{G}$ sein Maximum auf dem Rand $\partial G$ an.
\end{korollar}

\begin{proof}
Die Menge $\overline{G}\subset \C$ ist beschr\"ankt und abgeschlossen, also kompakt nach dem Satz von Heine-Borel. Die stetige Funktion $|f|$ nimmt also auf $\overline{G}$ ein Maximum an. Nach der Voraussetzung und nach dem Identit\"atssatz~\ref{satz:identitat} ist $f$ auf $G$ nicht konstant. Es folgt nun aus dem Maximumprinzip, dass  $|f|$ sein Maximum nicht in $G$ annimmt, es kann es also nur auf dem Rand $\partial G$ annehmen.
\end{proof}


In \"Ubungsblatt~4 werden wir, ohne gr\"o\ss ere Probleme, aus dem Maximumprinzip auch noch das sogenannte Minimumprinzip herleiten.


\begin{satz}\textbf{\emph{(Minimumprinzip)}}\label{satz:minimumprinzip}
Es sei $G\subset \C$ ein Gebiet und $f\colon G\to \C$ eine holomorphe Funktion.
Wenn der Betrag $|f|$ in $G$ ein lokales Minimum besitzt, dann  ist  entweder $f$  konstant oder $f$ besitzt eine Nullstelle.
\end{satz}

Ganz analog zu Korollar~\ref{kor:maximumprinzip} kann man aus dem Minimumprinzip auch leicht folgendes Korollar herleiten.

\begin{korollar}\label{kor:minimumprinzip}
Es sei $f\colon X\to \C$ eine nicht-konstante holomorphe Funktion auf einem Gebiet $X$  und es sei $G\subset X$ ein beschr\"anktes Gebiet, so dass $\overline{G}\subset X$. Wenn die Einschr\"ankung von $|f|$ auf $\overline{G}$ sein globales Minimum im Inneren, also in  $G$ annimmt, dann besitzt $f$ eine Nullstelle in $G$.
\end{korollar}

\begin{bemerkung}
Aus Korollar~\ref{kor:minimumprinzip} erhalten wir auch einen weiteren Beweis vom Fundamentalsatz~\ref{fundamentalsatz} der Algebra.
Es sei also $f(z)=a_0+a_1+\dots+a_nz^n$ ein Polynom von Grad $n\geq 1$. 
Nach Lemma~\ref{lem:grenzwert-polynom} folgt, dass $\lim_{z\to\infty} p(z)=\infty$. Dies bedeutet insbesondere, dass es ein $r>0$ gibt, so dass $|f(z)|\geq 2|a_0|+1$ f\"ur alle $z$ mit $|z|=r$.
Wir wenden nun Korollar~\ref{kor:minimumprinzip} an auf die nicht-konstante Funktion $f\colon X=\C\to \C$ und auf $G=D_r(0)$. Nachdem f\"ur alle $z\in \partial D_r(0)$ gilt, dass $|f(z)|>|f(0)|$ kann $|f|\colon \overline{D_r(0)}\to \R$  sein globales Minimum nicht auf dem Rand annehmen, es muss es also im Inneren der Scheibe annehmen. 
Dann folgt aber aus Korollar~\ref{kor:minimumprinzip}, dass das Polynom $f$ im Inneren der Scheibe eine Nullstelle besitzt.



\end{bemerkung}

Wir beschlie\ss en das Kapitel mit folgendem Satz.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Satz von der Gebietstreue)}}\label{satz:gebietstreue}
Es sei $G\subset \C$ ein Gebiet und $f\colon G\to \C$ eine nicht konstante holomorphe Funktion, dann ist auch $f(G)$ ein Gebiet.
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Auch in diesem Fall ist die analoge  Aussage f\"ur differenzierbare Funktionen falsch.
Beispielsweise ist die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon (-1,1)&\to & \R\\
x&\mapsto & x^2\end{array}\]
differenzierbar und $(-1,1)$ ist eine offene, zusammenh\"angende Teilmenge von $\R$, aber $f((-1,1))=[0,1)$ ist nicht offen.
\end{bemerkung}

\begin{proof}
Es sei also $G\subset \C$ ein Gebiet, d.h.\ eine nichtleere, zusammenh\"angende, offene Teilmenge von $\C$. 
Zudem sei  $f\colon G\to \C$ eine nicht konstante holomorphe Abbildung.
Es folgt aus Lemma~\ref{lem:bild-zusammenhangend}, dass $f(G)$ ebenfalls zusammenh\"angend ist.

Es verbleibt zu zeigen, dass $f(G)$ offen ist. Es sei nun $w_0\in f(G)$.  Wir m\"ussen zeigen, dass  es ein $\epsilon>0$ gibt, so dass $D_\epsilon(w_0)\subset G$. Wir w\"ahlen ein $z_0\in G$ mit $f(z_0)=w_0$.

Wir beweisen zuerst folgende Behauptung.

\begin{behauptung}
Es gibt ein $r>0$, so dass $f$ auf dem Kreis $\{ z\,|\,|z-z_0|=r\}$ den Wert $w_0$ nicht annimmt.
\end{behauptung}

Wir beweisen die Behauptung mit einem Widerspruchsbeweis. Wenn die Aussage nicht gilt, dann gibt es zu jedem $n\in \N$ ein $z_n\ne z_0$ mit $|z_n-z_0|\leq \frac{1}{n}$ und $f(z_n)=w_0=f(z_0)$.
Aus dem Identit\"atssatz~\ref{satz:identitat}\footnote{Wir wenden den Identit\"atssatz~\ref{satz:identitat} an auf $M=\{z_0,z_1,z_2,\dots\}$, hierbei ist $z_0$ ein H\"aufungspunkt von $M$.}  folgt dann aber, dass $f(z)$ mit der konstanten Funktion $w_0$ \"ubereinstimmt. Aber nach Voraussetzung ist $f$ nicht konstant. Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{beweis-gebietstreue.pstex_t}
\caption{Illustration zum Beweis vom Satz von der Gebietstreue.}
\end{center}
\end{figure}

Wir setzen
\[ \epsilon\,\,:=\,\,\tmfrac{1}{2}\min\big\{ |f(z)-w_0|\,\big|\, |z-z_0|=r\big\}.\]
Aus der Behauptung folgt, dass $\epsilon>0$. Es gen\"ugt nun folgende Behauptung zu beweisen.

\begin{behauptung}
Die offene Scheibe $D_\epsilon(w_0)$ liegt in $f(G)$.
\end{behauptung}

Es sei also $w\in D_\epsilon(w_0)$. Wir wollen zeigen, dass es ein $z\in D_r(z_0)$ mit $f(z)=w$ gibt. 
In anderen Worten, wir wollen zeigen, dass $h(z)=f(z)-w$ eine Nullstelle in $D_r(z_0)$ besitzt.
Wir wollen die Existenz der Nullstelle mithilfe von Korollar~\ref{kor:minimumprinzip}, angewandt auf  die  nicht-konstante Funktion\footnote{Nachdem $f$ auf dem Gebiet $G$ nicht konstant ist, kann $f$ nach dem Identit\"atssatz~\ref{satz:identitat} auch auf keiner Scheibe in $G$ konstant sein.} $h(z)$ auf  $G=D_r(z_0)$, beweisen.

Wir betrachten dazu erst einmal die Werte von $|h|$ auf dem Rand der Scheibe $\overline{D_r(z)}$. Es sei also  $z\in \C$ mit $|z-z_0|=r$. Dann gilt 
\begin{align*}
\begin{array}{rclcl}
 \hspace{3cm} |h(z)|&=&|f(z)-w|&\geq &|(f(z)-w_0)+(w_0-w)|\\
&& &\geq &\underset{\geq 2\epsilon}{\underbrace{|f(z)-w_0|}}-\underset{<\epsilon}{\underbrace{|w-w_0|}}\,\,\geq\,\, \epsilon.
\intertext{Andererseits gilt}
|h(z_0)|&=&|f(z_0)-w|&=&|w_0-w|\,\,<\,\,\epsilon.
\end{array}
\end{align*}
 Wir sehen also, dass $|h(z)|$ sein globales Minimum nicht auf dem Rand der Scheibe annehmen kann. Es nimmt dieses Minimum also in $D_r(z_0)$ an. Also besitzt die  Funktion $h(z)$ nach Korollar~\ref{kor:minimumprinzip} in $D_r(z_0)$ eine Nullstelle.
\end{proof}





\newpage
%================================
\section{Isolierte Singularit\"aten}



%================================
\subsection{Die drei Typen von isolierten Singularit\"aten}

\begin{definition}
Es sei $U\subset \C$ offen und es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion. Wir sagen $z_0\in \C$ ist eine  \emph{isolierte Singularit\"at} oder auch eine \emph{Definitionsl\"ucke} von $f$, wenn $z_0\not\in U$, aber wenn  es ein $\epsilon>0$ gibt, so dass $D_\epsilon(z_0)\setminus \{z_0\}\subset U$.
\end{definition}

Mit anderen Worten, $z_0$ ist eine isolierte Singularit\"at von einer Funktion $f$, wenn $f$, bis auf den Punkt $z_0$, in einer kleinen Scheibe um $z_0$ definiert ist. 

\begin{beispiel}
 Im Folgenden geben wir drei Beispiele von Funktionen, welche jeweils auf der offenen Menge $U=\C\setminus \{0\}$ definiert sind, und eine isolierte Singularit\"at bei $z_0=0$ besitzen:
\[
\begin{array}{crcl} (1)&\hspace{1.5cm}  f_1(z)&=&\tmfrac{\sin(z)}{z},\hspace{4cm}\\[2mm]
(2)& f_2(z)&=&\tmfrac{1}{z^m},\hspace{1cm} \mbox{ wobei }m\geq 1,\\[2mm]
(3) &f_3(z)&=&\sin\big(\tmfrac{1}{z}\big).\end{array}
\]
\end{beispiel}

Im Folgenden unterscheiden wir drei verschiedene Typen von Singularit\"aten.

\begin{definition}
Es sei $z_0$ eine isolierte Singularit\"at einer holomorphen Funktion $f\colon U\to \C$.
\begin{enumerate}
\item Wir sagen $z_0$ ist eine \emph{hebbare Singularit\"at}, wenn es ein $w\in \C$ gibt, so dass
\[ \begin{array}{rcl} U\cup \{z_0\} &\to & \C \\
z&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} f(z),&\mbox{ wenn }z\in U,\\ w,&\mbox{ wenn }z=z_0\end{array}\right.\end{array}\]
eine holomorphe Funktion ist. In anderen Worten, $z_0$ ist hebbar, wenn es eine holomorphe Funktion $g$ auf $U\cup \{z_0\}$ gibt, welche auf $U$ mit $f$ \"ubereinstimmt. Wir nennen dann $g$ eine \emph{holomorphe Fortsetzung von $f$ auf $U\cup \{z_0\}$}. 
\item Wir sagen $z_0$ ist ein \emph{Polstelle} von $f$, wenn $z_0$ nicht hebbar ist, aber wenn es ein $m\geq 1$ gibt, so dass $(z-z_0)^m\cdot f(z)$ eine hebbare Singularit\"at in $z_0$ besitzt. Das kleinste derartige $m$ nennen wir die \emph{Ordnung der Polstelle $z_0$}.
Eine Polstelle erster Ordnung nennen wir auch eine \emph{einfache Polstelle}.
\item Wenn $z_0$ weder hebbar noch eine Polstelle ist, dann nennen wir $z_0$ eine \emph{wesentliche Singularit\"at von $f$}.\label{bsp:wesentlich}
\end{enumerate}
\end{definition}

Bevor wir uns den obigen Beispielen zuwenden halten wir zuerst folgende zwei elementare Aussage als Lemmas fest.

\begin{lemma}\label{lem:hebbar-grenzwert}
Wenn $z_0$ eine hebbare Singularit\"at einer holomorphen Funktion $f\colon U\to \C$ ist, dann existiert der Grenzwert $\underset{z\to z_0}{\lim} f(z)\in \C$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei $g\colon U\cup \{z_0\}\to \C$ eine holomorphe Fortsetzung von $f$. Dann gilt 
\[ \underset{z\to z_0}{\lim} f(z)\,\,=\,\,\underset{z\to z_0}{\lim} g(z)\,\,=\,\,g(z_0).\]
\end{proof}

Der Beweis vom folgenden Lemma ist eine \"Ubungsaufgabe in \"Ubungsblatt~5.

\begin{lemma}\label{lem:pol}
Es sei  $z_0$ eine isolierte Singularit\"at einer holomorphen Funktion $f\colon U\to \C$ und $k\geq 1$.
Dann gilt
\[ \begin{array}{c}\mbox{$z_0$ ist eine Polstelle}\\\mbox{$k$-ter Ordnung}\end{array}\quad \Longleftrightarrow \quad
\begin{array}{c}\mbox{es gibt ein $r>0$ und eine holomorphe}\\
\mbox{Funktion $g\colon D_r(z_0)\to \C$ mit $g(z_0)\ne 0$, so dass}\\
\mbox{$(z-z_0)^k\cdot f(z)=g(z)$ auf $D_r(z_0)\setminus \{z_0\}$}\end{array} \]
\end{lemma}



Wir wenden uns nun wieder den obigen Beispielen zu.

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Der Punkt $z_0=0$ ist eine hebbare Singularit\"at von $f_1(z)=\frac{\sin(z)}{z}$, denn f\"ur $z\ne 0$ gilt
\[ f_1(z)\,\,=\,\,\lmfrac{1}{z}\sin(z)\,\,=\,\,\lmfrac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\lmfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\,\,=\,\,\underset{=:g(z)}{\underbrace{\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\lmfrac{z^{2n}}{(2n+1)!}}}.\]
Nach Lemma~\ref{lem:gleicherkonvergenzradius-leicht} besitzt die Potenzreihe $g(z)$ den gleichen Potenzradius wie $\sin(z)$, d.h.\ die Potenzreihe $g(z)$ konvergiert auf ganz $\C$. Insbesondere ist $g$ holomorph auf ganz $\C$.  Wir sehen also, dass der Punkt $z_0$ eine hebbare Singularit\"at der Funktion $f_1(z)=\frac{\sin(z)}{z}$ ist.
\item Es sei nun $m\geq 1$. Wir betrachten die Funktion $f_2(z)=\tmfrac{1}{z^m}$.
Es folgt sofort aus Lemma~\ref{lem:pol}, dass $z_0=0$ eine Polstelle  $m$-ter Ordnung von $f_2(z)$ ist. 
\item Wir wollen nun noch, wenig \"uberraschend, zeigen, dass der Punkt $z_0=0$ eine wesentliche isolierte Singularit\"at von $f_3(z)=\sin(\frac{1}{z})$ ist. Nehmen wir, an dass dies nicht der Fall ist. Dann gibt es ein $m\geq 0$, so dass  $f_3(z)\cdot z^m$ eine holomorphe Fortsetzung $g(z)$ auf ganz $\C$ besitzt. 
Wir  betrachten  die Folge $z_n=\frac{1}{2\pi n}$, $n\in \N$. Dann gilt f\"ur alle $n\in \N_0$, dass
\[ g(z_n)\,\,=\,\,z_n^m\cdot \underset{=\sin(2\pi n)=0}{\underbrace{\sin(\tmfrac{1}{z_n})}}=\,\,0.\]
Es folgt  aus dem Identit\"atssatz~\ref{satz:identitat}, angewandt auf $M=\{ z_n\,|\,n\in \N\}$ mit H\"aufungspunkt $0$,  dass $g(z)$ auf ganz $\C$ mit der Nullfunktion \"ubereinstimmt. Aber dies ist offensichtlich nicht der Fall.
\label{bsp:sin1z-wesentlich}
\end{enumerate}
\end{beispiel}

Das n\"achste Lemma gibt einen Zusammenhang zwischen Nullstellen und Polstellen.

\begin{lemma}\label{lem:polstelle-nullstelle}
Es sei $U\subset \C$ offen, es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion, es sei $z_0\in U$ und es sei $k\geq 1$.
Dann gilt
\[ \begin{array}{c} \mbox{$z_0$ ist eine Nullstelle}\\\mbox{$k$-ter Ordnung von $f(z)$}\end{array}\quad \Longleftrightarrow \quad  \begin{array}{c} \mbox{$z_0$ ist eine Polstelle}\\\mbox{$k$-ter Ordnung von $\frac{1}{f(z)}$}.\end{array}  \]
\end{lemma}

\begin{proof}
Die Aussage des Lemmas folgt sofort aus dem lokalen Darstellungssatz~\ref{satz:lokale-darstellung}
und aus Lemma~\ref{lem:pol}. Der Vollst\"andigkeit halber f\"uhren wir das Argument auch noch sorgf\"altig aus.

Wir beweisen zuerst die `$\Rightarrow$'--Richtung. Es sei also $z_0$ eine Nullstelle $k$-ter Ordnung von $f$.
Nach dem lokalen Darstellungssatz~\ref{satz:lokale-darstellung} gibt es eine offene Umgebung $V$ von $z_0$ und eine holomorphe Funktion $h\colon V\to \C$ mit $h(z_0)\ne 0$, so dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}f(z)&=&(z-z_0)^k\cdot h(z)& \mbox{ f\"ur alle $z\in V$}, 
\intertext{Es folgt, dass }
\hspace{3.5cm} (z-z_0)^k \lmfrac{1}{f(z)}&=&\lmfrac{1}{h(z)}
& \mbox{ f\"ur alle $z\in V\setminus \{z_0\}$.}
\end{array}\end{align*}
Es folgt aus Lemma~\ref{lem:pol}, dass $z_0$ eine Polstelle $k$-ter Ordnung von $\frac{1}{f(z)}$ ist.

Wir beweisen nun die `$\Leftarrow$'--Richtung. Es sei also $z_0$ eine Polstelle $k$-ter Ordnung von $\frac{1}{f(z)}$. Dann gibt es nach Lemma~\ref{lem:pol} auf einer Umgebung $V$ von $z_0$ eine holomorphe Funktion $h$ mit $h(z_0)\ne 0$, so dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}\hspace{4cm} (z-z_0)^k\cdot \smfrac{1}{f(z)}&=&h(z),&\mbox{ f\"ur alle }z\in V.
\intertext{Aber daraus folgt }
f(z)&=&(z-z_0)^k\smfrac{1}{h(z)},&\mbox{ f\"ur alle }z\in V.\end{array} \end{align*}
Es folgt nun, dass $z_0$ eine Nullstelle $k$-ter Ordnung von $f(z)$ ist.
\end{proof}


Im Folgenden charakterisieren wir jetzt die drei Typen von isolierten Singularit\"aten durch das Werteverhalten der Funktion $f$ in einer Umgebung von $z_0$.

\begin{satz}\label{satz:riemannscher-hebbarkeitssatz}
\textbf{\emph{(Riemannscher Hebbarkeitssatz)}}
Es sei $z_0$ eine isolierte Singularit\"at einer holomorphen Funktion $f\colon U\to \C$. Dann gilt
\[ \begin{array}{c}\mbox{$z_0$ ist eine hebbare}\\\mbox{Singularit\"at}\end{array} \quad \Longleftrightarrow \quad
\begin{array}{c}\mbox{es gibt ein $r>0$, so dass $f$}\\\mbox{auf $D_r(z_0)\setminus \{z_0\}$ beschr\"ankt ist.}\end{array}\]
\end{satz}

\begin{proof}
Die `$\Rightarrow$'--Richtung ist offensichtlich.\footnote{In der Tat, denn wenn $f$ hebbar ist, dann gibt es ein $r>0$, so dass $\overline{D_r(z_0)}\subset U$ und eine holomorphe (insbesondere stetige) Funktion $g$, welche auf  $\overline{D_r(z_0)}\setminus \{z_0\}$ mit $f$ \"ubereinstimmt. Nachdem stetige Funktionen auf kompakten Teilmengen beschr\"ankt sind, ist $g$  auf
auf $\overline{D_r(z_0)}$ beschr\"ankt. Also ist auch  $f$ auf $\overline{D_r(z_0)}\setminus \{z_0\}$ beschr\"ankt.}   Wir wenden uns jetzt der  `$\Leftarrow$'--Richtung zu.

\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Die Funktion $f$ ist also in einer Umgebung von $z_0$ beschr\"ankt. Dies bedeutet allerdings noch nicht, dass der Grenzwert $\underset{z\to z_0}{\lim}f(z)$ notwendigerweise existiert. Wir multiplizieren deswegen $f(z)$ mit $z-z_0$ um sicher zu stellen, dass der Grenzwert mit $z\to z_0$ auch wirklich existiert.}
\end{enumerate}
Wir betrachten dazu die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} F\colon U\cup \{z_0\}&\to &\C\\
z&\mapsto & F(z)\,\,:=\,\,\left\{ \begin{array}{ll} f(z)\cdot (z-z_0), &\mbox{ f\"ur $z\ne z_0$},\\ 0,&\mbox{ f\"ur $z=z_0$.}\end{array}\right.\end{array}\]
Aus der Beschr\"anktheit von $f$ folgt, dass $F$ in $U\cup \{z_0\}$ zumindest stetig ist. Nachdem $F$ zudem offensichtlich homomorph auf $U$ ist folgt nun aus Satz~\ref{satz:holomorph-bis-auf-einen-punkt}, dass $F$ sogar auf ganz $U\cup \{z_0\}$ holomorph ist.

Wir betrachten nun
\[ \begin{array}{rcl} g\colon U\cup \{z_0\}&\to &\C\\
z&\mapsto & \left\{\begin{array}{ll} f(z)=\tmfrac{F(z)-F(z_0)}{z-z_0},&\mbox{ wenn }z\ne z_0,\\
F'(z_0),&\mbox{ wenn }z=z_0.\end{array}\right.\end{array}\]
Die Funktion $g$ ist au\ss erhalb von $z_0$ holomorph, und sie ist in $z_0$ stetig. Also ist  nach Satz~\ref{satz:holomorph-bis-auf-einen-punkt} die Funktion $g$ sogar auf ganz $U\cup \{z_0\}$ holomorph. Insbesondere ist $g$ die gesuchte holomorphe Fortsetzung von $f$ auf $U\cup \{z_0\}$.
\end{proof}


\begin{satz}\label{satz:klassifizierung-polstelle}
Es sei $z_0$ eine isolierte Singularit\"at einer holomorphen Funktion $f\colon U\to \C$.  Dann gilt
\[ \mbox{$z_0$ ist eine Polstelle}\quad \Longleftrightarrow \quad
\lim_{z\to z_0}f(z)=\infty.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Wir nehmen zuerst an, dass $z_0$ eine $k$-fache Polstelle ist. Dann k\"onnen wir nach Lemma~\ref{lem:pol} schreiben $f(z)\cdot (z-z_0)^k=g(z)$, wobei $g$ eine holomorphe Funktion auf $U\cup \{z_0\}$ ist mit $g(z_0)\ne 0$. Dann gilt
\[ \underset{z\to z_0}{\lim}\, f(z)\,\,=\,\, \underset{z\to z_0}{\lim}\, \lmfrac{1}{(z-z_0)^k}\cdot g(z)\,\,=\,\,\infty.\]

Wir nehmen nun umgekehrt an, dass $\underset{z\to z_0}{\lim}f(z)=\infty$. Dann ist
$\underset{z\to z_0}{\lim}\tmfrac{1}{f(z)}=0$.
Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz~\ref{satz:riemannscher-hebbarkeitssatz} und dem
lokalen Darstellungssatz~\ref{satz:lokale-darstellung} gibt es ein $r>0$, ein $k\geq 1$  und eine holomorphe Funktion $g$ auf $D_r(z_0)$ mit $g(z_0)\ne 0$, so dass
\begin{align*}
\begin{array}{rll}
\hspace{5.5cm}\lmfrac{1}{f(z)}&=\,\,(z-z_0)^k\cdot g(z) &\mbox{ auf $D_r(z_0)\setminus \{z_0\}$}.
\intertext{Dank Lemma~\ref{lem:nicht-null-auf-umgebung} k\"onnen wir, nach eventuellem \"Ubergang zu einem kleineren $r$, annehmen, dass $g(z)\ne 0$ auf $D_r(z_0)$. Aber dies bedeutet gerade, dass}
(z-z_0)^k\cdot f(z)&=\,\,\underbrace{\lmfrac{1}{g(z)}} &\mbox{ auf $D_r(z_0)\setminus \{z_0\}$}.\\
&\hspace{0.2cm}{\tiny{\mbox{holomorph}}}\end{array}
\end{align*}
Wir haben also nach Lemma~\ref{lem:pol} gezeigt, dass $z_0$ eine Polstelle $k$-ter Ordnung von $f$ ist.
\end{proof}

% Ende 9. Vorlesung

\begin{definition}
Wir sagen eine Teilmenge $Y$ von einem metrischen Raum ist \emph{dicht}, wenn es zu jedem $x\in X$ und $\epsilon>0$ ein $y\in Y$ mit $d(x,y)<\epsilon$ gibt. 
In Quantoren ausgedr\"uckt gilt
\[ \mbox{$Y$ ist dicht in $X$}\quad \Longleftrightarrow\quad 
\underset{x\in X}{\bigforall}\,\underset{\epsilon>0}{\bigforall}\,\underset{y\in Y}{\bigexists}\,d(x,y)<\epsilon.\]
\end{definition}

Beispielsweise ist $\Q$ dicht in $\R$ und $\{ x+iy\,|\, x,y\in \Q\}$
ist dicht in $\C$. Andererseits ist $\{z\in \C\,|\, |z|\geq 1\}$ nicht dicht in $\C$.

\begin{bemerkung}
Es folgt leicht aus den Definitionen, dass eine Teilmenge $Y\subset X$  genau dann dicht ist, wenn $\overline{Y}=X$.
\end{bemerkung}

Der letzte Satz von diesem Kapitel gibt nun noch ein Kriterium daf\"ur, dass eine wesentliche Singularit\"at vorliegt.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Satz von Casorati--Weierstra\ss)}}
Es sei $z_0$ eine isolierte Singularit\"at einer holomorphen Funktion $f\colon U\to \C$.  Dann gilt
\[ \begin{array}{c}\mbox{$z_0$ ist eine wesentliche}\\\mbox{Singularit\"at}\end{array}
\quad \Longleftrightarrow \quad \begin{array}{c} \mbox{f\"ur jedes $r>0$ mit $D_r(z_0)\setminus \{z_0\}\subset U$ ist}\\
\mbox{$f(D_r(z_0)\setminus \{z_0\})$ dicht in $\C$.}\end{array}\]
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Es gilt sogar eine deutlich st\"arkere Aussage. Genauer gesagt, der Satz von Picard besagt, dass wenn $z_0$ eine 
wesentliche 
isolierte Singularit\"at einer holomorphen Funktion $f\colon U\to \C$ ist,
dann gibt es zu jedem $r>0$ h\"ochstens einen Punkt, welcher nicht in $f(D_r(z_0)\setminus \{z_0\})$ enthalten ist.
Mehr Informationen dazu kann man auf 
\[ \mbox{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz\_von\_Picard}}\]
finden.
\end{bemerkung}


\begin{proof}
Wir beweisen die \"aquivalente Aussage
\[ \begin{array}{c}\mbox{$z_0$ ist keine wesentliche}\\\mbox{Singularit\"at}\end{array}
\quad \Longleftrightarrow \quad \begin{array}{c} \mbox{es gibt ein $r>0$ mit $D_r(z_0)\setminus \{z_0\}\subset U$, so dass}\\
\mbox{$f(D_r(z_0)\setminus \{z_0\})$ nicht dicht in $\C$ ist.}\end{array}\]


Der Beweis der  `$\Rightarrow$'--Richtung folgt leicht aus den Definition. Die genaue Ausf\"uhrung des Arguments ist eine \"Ubungsaufgabe in \"Ubungsblatt~5. 

Wir wenden uns nun der `$\Leftarrow$'--Richtung zu.   Wir nehmen also an, dass
\[
\underset{r>0}{\bigexists}\,\underset{w\in \C}{\bigexists}\,\underset{\epsilon>0}{\bigexists}\,\underset{z\ne z_0\in D_r(z_0)}{\bigforall}\,|f(z)-w|\geq \epsilon.\]
Wir wollen zeigen, dass $z_0$ keine wesentliche Singularit\"at ist, d.h.\ wir wollen zeigen, dass $z_0$ entweder hebbar ist oder eine Polstelle ist.

Wir betrachten nun
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} 
\hspace{3.7cm} g(z)&:=&\smfrac{1}{f(z)-w}&\mbox{ auf $D_r(z_0)\setminus \{z_0\}$.}
\intertext{Die Funktion $g(z)$ ist holomorph und es  folgt aus unserer Annahme, dass der Betrag von $g(z)$  auf $D_r(z_0)\setminus \{z_0\}$ durch $\frac{1}{\epsilon}$ beschr\"ankt ist.
Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz~\ref{satz:riemannscher-hebbarkeitssatz} 
gibt es also eine holomorphe Fortsetzung $h(z)$ von $g(z)$ auf $D_r(z_0)$. 
Dann gilt}
 f(z)&=&w+\smfrac{1}{g(z)}=w+\smfrac{1}{h(z)}&\mbox{ auf $D_r(z_0)\setminus \{z_0\}$.}\end{array}\end{align*}
Wir machen nun eine Fallunterscheidung:
\begin{enumerate}
\item[1.~Fall] $h(z_0)\ne 0$. In diesem Fall besitzt $f(z)=w+\frac{1}{h(z)}$ eine holomorphe Fortsetzung auf $D_r(z_0)$. Insbesondere ist $z_0$ keine wesentliche Singularit\"at.
\item[2.~Fall] $h(z_0)=0$. In diesem Fall besitzt $f(z)=w+\frac{1}{h(z)}$ in $z_0$ eine Polstelle\footnote{In der Tat, dies folgt aus $\underset{z\to z_0}{\lim} f(z)=\underset{z\to z_0}{\lim} \big(w+\frac{1}{h(z)}\big)=\infty$ und aus Satz~\ref{satz:klassifizierung-polstelle}. }, insbesondere ist $z_0$ keine wesentliche Singularit\"at.
\end{enumerate}
\end{proof}


\newpage
%================================
\section{Der Laurent-Reihenentwicklungssatz}

%================================
\subsection{Laurent-Reihen}
Es sei $z_0=0$ eine isolierte Singularit\"at einer holomorphe Funktion $f\colon U\to \C$. Wenn die Singularit\"at hebbar ist, dann k\"onnen wir $f$ als Potenzreihe schreiben, d.h.\ es gibt $c_n\in \C$, $n\in \N_0$, so dass
\begin{align*}
\begin{array}{rclcl}
\hspace{2cm} f(z)&=&\lmsum{n=0}{\infty} c_nz^n&=&c_0+c_1z+c_2z^2+c_3z^3+\dots
\intertext{Wenn $z_0=0$ hingegen eine Polstelle $k$-ter Ordnung ist, dann k\"onnen wir $z^k\cdot f(z)$ als Potenzreihe beschreiben, d.h.\ es gibt $c_n\in \C$, $n\in \N_0$, so dass}
f(z)&=&\lmfrac{1}{z^k}\lmsum{n=0}{\infty} c_nz^n&=&
c_0z^{-k}+c_1z^{-k+1}+\dots+c_k+c_{k+1}z+c_{k+2}z^2+\dots
\intertext{Betrachten wir zuletzt noch die Funktion $f(z)=\exp(\frac{1}{z})$. In  \"Ubungsblatt~5 werden wir sehen, dass $z_0=0$ eine wesentlichen Singularit\"at ist. Hierbei gilt}
f(z)&=&\lmsum{n=0}{\infty} \smfrac{1}{n!}\Big(\smfrac{1}{z}\Big)^{n}&=&1+z^{-1}+\smfrac{1}{2}z^{-2}+\smfrac{1}{6}z^{-3}+\dots
\end{array}
\end{align*}
Wir sehen also, dass wir die Funktionen im Allgemeinen nicht mehr durch Potenzreihen beschreiben k\"onnen, aber wir k\"onnen diese durch Reihen beschreiben, in denen auch negative Exponenten von $z$ auftauchen. 

\begin{definition}
Eine \emph{Laurent-Reihe} um den Punkt $z_0\in \C$ ist eine Funktion der Form\footnote{F\"ur eine Folge $c_-1,c_-2,c_-3,\dots$  von komplexen Zahlen bezeichnen wir mit 
\[ \lmsum{n=-\infty}{-1}c_n\,\,=\,\,\lim_{k\to \infty} \lmsum{n=-k}{-1}c_k\]
wie \"ublich die Folge und den Grenzwert (wenn er existiert) der Partialsummen.}
\[ f(z)\,\,=\,\,\sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n\,\,=\,\,
\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{Hauptteil der}\\\opnormal{Laurent-Reihe}\end{array}}}{\underbrace{\sum\limits_{n=-\infty}^{-1} c_n(z-z_0)^n}}\,\,+\,\,
\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{Nebenteil der}\\\opnormal{Laurent-Reihe}\end{array}}}{\underbrace{\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n}}.\]
Die Laurentreihe hei\ss t konvergent (bzw.\ absolut konvergent, gleichm\"a\ss ig konvergent etc.), wenn dies sowohl f\"ur  Hauptteil als auch den Nebenteil zutrifft.
Wenn der Nebenteil verschwindet, dann nennen wir $f(z)$ eine \emph{reine Laurent-Reihe}.
\end{definition}


Wir beweisen zuerst einige Eigenschaften von reinen Laurent-Reihen, bevor wir uns den allgemeinen Laurent-Reihen zuwenden.
Es sei
\[ f(z)\,\,=\,\,\smsum{n=-\infty}{-1} c_n(z-z_0)^n\]
eine reine Laurent-Reihe. Wir bezeichnen\footnote{Hierbei verwenden wir die Konvention, dass $\frac{1}{\infty}=0$ und $\frac{1}{0}=\infty$.}
\[ s\,\,=\,\,\Big(\mbox{Konvergenzradius von }\smsum{n=1}{\infty} c_{-n}(z-z_0)^n\Big)^{-1}\]
 als den \emph{Konvergenzradius der reinen Laurent-Reihe}.


\begin{satz}\label{satz:reine-laurentreihen}
Es sei 
\[ f(z)\,\,=\,\,\sum\limits_{n=-\infty}^{-1} c_n(z-z_0)^n\]
eine reine Laurent-Reihe mit Konvergenzradius $r$. 
Dann gelten folgende Aussagen:
\begin{enumerate}
\item Die Laurent-Reihe konvergiert f\"ur alle $z$ mit $|z-z_0|>r$
und sie divergiert f\"ur alle $z$ mit $|z-z_0|<r$.
\item
F\"ur alle $s>r$ konvergiert die reine Laurent-Reihe auf 
 $\{z\in \C\,|\,|z-z_0|\geq s\}$ gleichm\"a\ss ig.
\item Die Laurent-Reihe ist auf $\{z\in \C\,|\,|z-z_0|>r\}$ holomorph, wobei
\[ f'(z)\,\,=\,\,  \sum\limits_{n=-\infty}^{-1} nc_n(z-z_0)^{n-1} \quad \quad \mbox{`gliedweises ableiten'}.\]
\item Wenn $c_{-1}=0$, dann besitzt die Laurent-Reihe auf  $\{z\in \C\,|\,|z-z_0|>r\}$ die Stamm\-funktion
\[\hspace{0.9cm} F(z)\,\,=\,\,  \sum\limits_{n=-\infty}^{-2} \lmfrac{c_n}{n+1}(z-z_0)^{n+1} \quad \quad \mbox{`gliedweises integrieren'}.\]
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
Um die Notation etwas zu vereinfachen betrachten wir den Spezialfall $z_0=0$. 
Es sei also 
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} \hspace{4.5cm} f(z)&=&\lmsum{n=-\infty}{-1} c_nz^n&
\intertext{eine reine Laurent-Reihe um $z_0=0$ mit Konvergenzradius $r$.
Wir betrachten auch}
k(z)&=&\lmsum{n=1}{\infty} c_{-n}z^{n}.\end{array}\end{align*}
Per Definition von $r$ hat $k(z)$ nun den Konvergenzradius $r^{-1}=\frac{1}{r}$.
Dann ist zudem offensichtlich $f(z)=k(z^{-1})=k(\frac{1}{z})$. Es folgt, dass
\[ \begin{array}{cll} |z|>r\,\,\Longrightarrow \,\, \tmfrac{1}{|z|}<\tmfrac{1}{r}&\Longrightarrow\,\, k\big(\tmfrac{1}{z}\big)=f(z)\mbox{ konvergiert }.\\[-0.1cm]
&\hspace{0.2cm}\uparrow\\
&\mbox{Satz~\ref{satz:konvr}}.\end{array}\]
Die anderen Aussagen von (1) und (2) folgen ganz \"ahnlich aus den Aussagen \"uber Potenzreihen. 
Zudem folgt aus $f(z)=k(\frac{1}{z})$, dass 
\[ \begin{array}{lll}
f'(z)\,\,=\,\,\tmfrac{d}{dz}k\Big(\smfrac{1}{z}\Big)&=\,\,k'\Big(\smfrac{1}{z}\Big)\cdot \Big(-\smfrac{1}{z^2}\Big)
&=\,\, \lmsum{n=1}{\infty} nc_{-n}\Big(\smfrac{1}{z}\Big)^{n-1}\cdot \Big(-\smfrac{1}{z^2}\Big)\,\,=\,\,  \lmsum{n=1}{\infty} (-n)c_{-n}z^{-n-1}\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{Kettenregel}&
\hspace{-1cm} \mbox{nach Satz~\ref{satz:gliedweises-ableiten}}\\
&=\lmsum{k=-\infty}{-1} kc_kz^{k-1}.\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{Substitution $k=-n$}
\end{array}\]
Die vierte Aussage folgt aus der dritten, den gliedweises Ableiten der Laurent-Reihe $F(z)$ ergibt, unter der Voraussetzung, dass $c_{-1}=0$, die urspr\"ungliche Laurent-Reihe.
\end{proof}



F\"ur $0\leq r<R\leq \infty$ bezeichnen wir mit
\[ K_{r,R}(z_0)\,\,=\,\,\big\{ z\in \C\,\big|\, r<|z-z_0|<R\big\}\]
den \emph{offenen Kreisring} um $z_0$ mit innerem Radius $r$ und \"au\ss erem Radius $R$. 

\begin{satz}\label{satz:laurentreihe-konvergenz}
Es sei
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{4cm} f(z)&=&\lmsum{n=-\infty}{\infty} c_n(z-z_0)^n
\intertext{eine Laurent-Reihe. Wir setzen}
  R&=&\mbox{Konvergenzradius vom Nebenteil}\\
r&=&\mbox{Konvergenzradius vom Hauptteil}.
\end{array}
\end{align*}
Dann gelten folgende Aussagen.
\begin{enumerate}
\item F\"ur alle $z\in \C$ gilt
\[ \begin{array}{rcrclcl} &&|z|&<&r&\Longrightarrow & f(z)\mbox{ divergiert}\\
 r&<&|z|&<&R&\Longrightarrow & f(z)\mbox{ konvergiert}\\
  R&<&|z|&&&\Longrightarrow & f(z)\mbox{ divergiert}.\end{array}\]
\item F\"ur alle $r<s<S<R$ konvergiert die Laurent-Reihe $f$ auf dem abgeschlossenen Kreisring
  \footnote{Der abgeschlossene Kreisring ist in der Tat der Abschlu\ss, des offenen Kreisrings $K_{r,R}(z_0)$, im Sinne von Kapitel~\ref{section:offen-abgeschlossen}.}
  \[ \overline{K_{s,S}(z_0)}\,\,=\,\,\big\{ z\in \C\,\big|\, s\leq |z-z_0|\leq S\big\}\]
   gleichm\"a\ss ig.
 \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Der Satz besagt also, dass der Kreisring $K_{r,R}(z_0)$ der maximale offene Kreisring ist, auf dem $f(z)$ konvergiert. Wie im Fall von Potenzreihen kann man keine allgemeine Aussagen \"uber die Konvergenz von $f(z)$ auf den Kreisen $|z-z_0|=r$ und $|z-z_0|=R$ machen.
\end{bemerkung}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{kreisring.pstex_t}
\caption{Illustration von Satz \ref{satz:laurentreihe-konvergenz}.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{beispiel}
Wir setzen $c_n=(\frac{1}{2})^n$ f\"ur $n\geq 0$ und $c_n=3^n$ f\"ur $n\leq -1$. Wir betrachten die Laurent-Reihe
\[ f(z)\,\,=\,\,\sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_nz^n\,\,=\,\,
\underset{\opnormal{Hauptteil der Reihe}}{\underbrace{\sum\limits_{n=-\infty}^{-1} 3^nz^n}}+
\underset{\opnormal{Nebenteil der Reihe}}{\underbrace{\sum\limits_{n=0}^\infty \big(\tmfrac{1}{2}\big)^nz^n.}}\]
Dann ist
\[
\begin{array}{rclcl} 
  R&=&\mbox{Konvergenzradius von } \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{1}{2})^nz^n&=&2\\
r&=&\Big(\mbox{Konvergenzradius von }\smsum{n=1}{\infty} \underset{=(\frac{1}{3})^n}{\underbrace{3^{-n}}}z^n\Big)^{-1}&=&\smfrac{1}{3}.
\end{array}\]
Wir erhalten also aus Satz~\ref{satz:laurentreihe-konvergenz}, dass die Laurent-Reihe auf dem offenen Kreisring $K_{\frac{1}{3},2}(0)$ konvergiert. Mit anderen Zahlenwerten f\"ur $c_n$ kann man auch Laurent-Reihen erhalten mit $R<r$, in diesem Fall konvergiert dann die Laurent-Reihe nirgendwo. 
\end{beispiel}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:laurentreihe-konvergenz}]
Um die Notation etwas zu vereinfachen betrachten wir den Spezialfall $z_0=0$.
Es sei also
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{5cm} f(z)&=&\lmsum{n=-\infty}{\infty} c_nz^n
\intertext{eine Laurent-Reihe. Wir setzen}
  R&=&\mbox{Konvergenzradius vom Nebenteil}\\
  r&=&\mbox{Konvergenzradius vom Hauptteil}.
\end{array}\end{align*}
Dann folgt, 
dass 
\[ f(z)\,\,=\underset{
\tiny{\begin{array}{r}\opnormal{nach Satz~\ref{satz:reine-laurentreihen} gilt:}\\\opnormal{konvergiert f\"ur $|z|>r$}\\[1mm]
\opnormal{divergiert f\"ur  $|z|<r$}\end{array}}}{\underbrace{\sum\limits_{n=-\infty}^{-1} c_{n}z^n}}+\underset{
\tiny{\begin{array}{r}\opnormal{nach Satz~\ref{satz:konvr} gilt:}\\\opnormal{konvergiert f\"ur $|z|<R$}\\
\opnormal{divergiert f\"ur $|z|>R$}\end{array}}}{\underbrace{\sum\limits_{n=0}^\infty \,\,c_n\,z^n.}}\]
Die Aussage \"uber die Konvergenz der Laurent-Reihe folgt nun aus der Tatsache, dass  per Definition die Laurent-Reihe genau dann konvergiert, wenn sowohl der Hauptteil als auch der Nebenteil konvergieren.

Die Aussage \"uber die gleichm\"a\ss ige Konvergenz folgt aus den Aussagen \"uber die gleich\-m\"a\ss ige Konvergenz von Potenzreihen in Satz~\ref{satz:konvr}
und  Satz~\ref{satz:reine-laurentreihen} (2).
\end{proof}

Viele Ergebnisse, welche wir f\"ur Potenzreihen formuliert und bewiesen hatten, \"uber\-tragen sich ohne gr\"o\ss ere Probleme auf Laurent-Reihen.
Beispielsweise haben wir folgenden Satz.


\begin{satz}\label{satz:gliedweises-ableiten-laurentreihe}
Es sei
\[ f(z)\,\,=\,\,\sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n\]
eine Laurent-Reihe, welche auf dem Kreisring $K_{r,R}(z_0)$ konvergiert. Dann gelten folgende Aussagen:
\begin{enumerate}
\item Die Funktion $f(z)$ ist auf dem Kreisring holomorph mit
\[f'(z)\,\,=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} nc_n(z-z_0)^{n-1}.\hspace{0.65cm} \]
\item Wenn $c_{-1}=0$, dann besitzt $f(z)$ auf dem Kreisring die Stammfunktion
\[ 
F(z)\,\,=\,\,\lmsum{\tiny{\begin{array}{c}n=-\infty\\ n\ne -1\end{array}}}{\infty}\tmfrac{c_n}{n+1}(z-z_0)^{n+1}.\]
\item F\"ur alle $s\in (r,R)$ und alle $n\in \Z$ gilt
\[\hspace{0.65cm}
c_n\,\,=\,\,\lmfrac{1}{2\pi i}\bbint\limits_{|z-z_0|=s} \smfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz.\]
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
Die erste Aussage folgt indem wir  Satz~\ref{satz:gliedweises-ableiten} auf den Nebenteil und Satz~\ref{satz:reine-laurentreihen} auf  den Hauptteil anwenden. 
Ganz analog folgt die zweite Aussage indem wir  Satz~\ref{satz:gliedweises-ableiten} auf den Nebenteil und Satz~\ref{satz:reine-laurentreihen} auf  den Hauptteil anwenden. 
Die dritte Aussage wird genauso wie Satz~\ref
{satz:cn-durch-kurvenintegrale} bewiesen.
\end{proof}


%================================
\subsection{Der Laurent-Reihenentwicklungssatz}
Der Potenzreihenentwicklungssatz~\ref{satz:potenzreihenentwicklung} besagt, dass man jede holomorphe Funktion auf einer offenen Kreisscheibe als Potenzreihe beschreiben kann.

Der folgende Satz besagt nun, dass man jede holomorphe Funktion, welche auf einem offenen Kreisring definiert ist, als Laurent-Reihe schreiben kann.


\begin{satz}\textbf{\emph{(Laurent-Reihenentwicklungssatz)}}
\label{satz:laurent-reihenentwicklung}
Es $z_0\in \C$, es seien $0<r<R\leq \infty$ und es sei $f$ 
eine holomorphe Funktion auf dem Kreisring $K_{r,R}(z_0)$. Dann gibt es eindeutig bestimmte $c_n\in \C$, $n\in \Z$, so dass auf dem Kreisring gilt, dass
\[  f(z)\,\,=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n.\]
\end{satz}

Wie wir gleich sehen werden besitzt der Beweis vom Laurent-Reihenentwicklungssatz nat\"urlich eine gewisse \"Ahnlichkeit zum Beweis vom Potenzreihenentwicklungssatz~\ref{satz:potenzreihenentwicklung}.

\begin{proof}
Wir nehmen o.B.d.A.\ an, dass $z_0=0$. Es sei nun $f$ eine holomorphe Funktion auf $K_{R,R}(0)$ und es sei $z\in K_{r,R}(0)$. 
Wir w\"ahlen $r',R'$ und $\epsilon>0$ mit $r<r'<R'<R$ und $\overline{D_\epsilon(z)}\subset K_{r',R'}(0)$. Diese Wahl wird in Abbildung~\ref{fig:laurent-entwicklungssatz}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{laurent-entwicklungssatz.pstex_t}
\caption{Die Wahl von $r',R'$ und $\epsilon$ im Beweis vom Laurent-Reihenentwicklungssatz.}
\label{fig:laurent-entwicklungssatz}
\end{center}
\end{figure}
illustriert. Wir bezeichnen zudem mit $\alpha$ und $\beta$ die Wege, welche in Abbildung~\ref{fig:laurent-entwicklungssatz-2} skizziert sind.
Dann gilt
\[
 \begin{array}{rll} \hspace{1cm} f(z)&=\,\,\smfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|\xi-z|=\epsilon} \smfrac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi\,\,=\,\, 
\smfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{\alpha} \smfrac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi\,\,=
\,\,\smfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{\beta} \smfrac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi
\\[-0.3cm]
&\uparrow\hspace{3.85cm} \uparrow \hspace{3.15cm}\uparrow\\
&\hspace{-2cm} \mbox{Cauchysche Integralformel}\hspace{1cm}
\mbox{gleiches Argument wie in
Korollar~\ref{kor:cauchy-ring}}\\[0.2cm]
&=\,\,\lmfrac{1}{2\pi i} \bbbint\limits_{|z|=R'} \smfrac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi\,-\,\smfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{|z|=r'} \smfrac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi.\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\begin{array}{c}\mbox{die beiden horizontalen Beitr\"age zum Integral \"uber $\gamma$ heben sich weg,}\\
\mbox{der \"au\ss ere Kreisbogen wird gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen}\\
\mbox{und der innere Kreisbogen wird im Uhrzeigersinn durchlaufen}\end{array}\\
\end{array}\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{laurent-entwicklungssatz-2.pstex_t}
\caption{Die Wege $\alpha$ und $\beta$ im Beweis vom Laurent-Reihenentwicklungssatz.}
\label{fig:laurent-entwicklungssatz-2}
\end{center}
\end{figure}
Im Beweis vom Potenzreihenentwicklungssatz hatten wir schon gesehen, dass 
\begin{align*}
\begin{array}{rllll}\bbbint\limits_{|\xi|=R'} \smfrac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi
&=\bbbint\limits_{|\xi|=R'} \smfrac{f(\xi)}{\xi}\smfrac{1}{1-\tmfrac{z}{\xi}}\,d\xi
&=\bbbint\limits_{|\xi|=R'} \smfrac{f(\xi)}{\xi}\lmsum{n=0}{\infty}
\big(\tmfrac{z}{\xi}\big)^n\,d\xi
&=
\lmsum{n=0}{\infty}\,\underset{=:c_n}{\underbrace{\bbbint\limits_{|\xi|=R'}
\smfrac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}\,d\xi}}\cdot z^n.\\[-0.85cm]
&&\uparrow&\uparrow\\[-0.1cm]
&&\hspace{0.041cm} |&\hspace{0.041cm} |\\
&&\hspace{-2.6cm}\mbox{geometrische Reihe, da $|\frac{z}{\xi}|<1$}
&\hspace{-0.3cm}\mbox{Konvergenzsatz~\ref{satz:konvint}}
\end{array}\end{align*}
Ein ganz \"ahnliches  Argument zeigt nun, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rllll}
-\bbbint\limits_{|\xi|=r'} \smfrac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi
&=\bbbint\limits_{|\xi|=r'} \smfrac{f(\xi)}{z}\lmfrac{1}{1-\tmfrac{\xi}{z}}\,d\xi
&=\bbbint\limits_{|\xi|=r'} \smfrac{f(\xi)}{z}\lmsum{n=0}{\infty}
\big(\tmfrac{\xi}{z}\big)^n\,d\xi
&=
\lmsum{n=0}{\infty}\,\underset{=:c_{-n-1}}{\underbrace{\bbbint\limits_{|\xi|=r'}
f(\xi)\cdot \xi^n\,d\xi}}\cdot z^{-n-1}.\\[-0.95cm]
&&\uparrow\\[-0.3cm]
&&\hspace{0.041cm} |\\
&&\hspace{-2.6cm}\mbox{geometrische Reihe, da $|\frac{\xi}{z}|<1$}
\end{array}\end{align*}
Wir haben also $f(z)$ auf dem Kreisring $K_{r',R'}(0)$ als Laurent-Reihe geschrieben. Die Koeffizienten der Laurent-Reihe sind hierbei nach 
Satz~\ref{satz:gliedweises-ableiten-laurentreihe} (3) eindeutig bestimmt.
Nachdem die Funktion mit der Laurent-Reihe auf allen Kreisringen  $K_{r',R'}(0)$ mit $r<r'<R'<R$ gilt, muss diese \"Ubereinstimmung auch auf dem ganzen Kreisring  $K_{r,R}(0)$ gelten.
\end{proof}

% Ende 10. Vorlesung

Wir k\"onnen nun anhand der Laurent-Reihe den Typ einer isolierten Singularit\"at ablesen.
Genauer gesagt, es gilt folgender Satz:

\begin{satz}\label{satz:laurent-und-singularitaet}
Es sei $z_0$ eine isolierte Singularit\"at einer holomorphen Funktion  $f\colon U\to \C$. Dann gibt es ein $r>0$ und eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe, so dass 
\[  f(z)\,\,=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n\quad \mbox{ f\"ur alle  }z\in K_{0,r}(z_0)=D_r(z_0)\setminus \{z_0\}.\]
Zudem gilt
\[ \begin{array}{rrrclll} (1)&\hspace{0.1cm}&\mbox{$z_0$ ist hebbar}&\Longleftrightarrow& \mbox{die Laurent-Reihe ist eine Potenzreihe}&\hspace{0.5cm}\\
&&&&\mbox{d.h.\ es ist $c_n=0$ f\"ur alle $n<0$.}\\
(2)&&\mbox{$z_0$ ist  Polstelle $k$-ter Ordnung}&\Longleftrightarrow&\mbox{es ist $c_{-k}\ne 0$ aber $c_n=0$ f\"ur $n<-k$}\\
(3)&&\mbox{$z_0$ ist wesentlich}
&\Longleftrightarrow&\mbox{es ist $c_n\ne 0$ f\"ur unendlich viele $n<0$.}\end{array}\]
\end{satz}

\begin{beispiel}
F\"ur $z\ne 0$ ist
\[ \begin{array}{rl} \sin\big(\tmfrac{1}{z}\big)\,\,=\,\,\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\smfrac{(\frac{1}{z})^{2n+1}}{(2n+1)!}
\,\,=\,\,\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\smfrac{1}{(2n+1)!}z^{-2n-1}&=\,\, \sum\limits_{m=-\infty}^0 (-1)^m\smfrac{1}{(-2m+1)!}z^{2m-1}.\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mbox{Substitution $m=-n$}\end{array}\]
Es folgt also aus Satz~\ref{satz:laurent-und-singularitaet}~(3), dass $z_0=0$ eine wesentliche Singularit\"at von $f(z)=\sin(\frac{1}{z})$ ist. Wir hatten diese Aussage nat\"urlich auch schon auf Seite~\pageref{bsp:wesentlich} mit anderen Methoden bewiesen.
\label{bsp:sin1z-wesentlich-2}
\end{beispiel}

\begin{proof}
Nachdem  $z_0\in \C$ eine isolierte Singularit\"at von $f\colon U\to \C$ ist, gibt es per Definition ein $r>0$, so dass $D_r(z_0)\setminus \{z_0\}\subset U$. Die Existenz und die Eindeutigkeit der Laurent-Reihe folgt nun aus dem Laurent-Reihenentwicklungssatz~\ref{satz:laurent-reihenentwicklung}.

Wir beweisen zun\"achst die erste \"Aquivalenz. In der Tat  gilt
\[ \begin{array}{rcl} \mbox{$z_0$ ist hebbar}&\Longleftrightarrow&
\begin{array}{c}\mbox{es gibt eine holomorphe Funktion $g$, welche}\\
\mbox{ auf $D_r(z_0)\setminus \{z_0\}$ mit $f$ \"ubereinstimmt}\end{array}\\
&\Longleftrightarrow&
\begin{array}{c}\mbox{es gibt eine Potenzreihe, welche auf}\\
\mbox{$D_r(z_0)\setminus \{z_0\}$ mit $f$ \"ubereinstimmt}\end{array}\\[-3mm]
&&\hspace{-0.8cm}\uparrow\\
&&\hspace{-4.5cm}\mbox{Potenzreihenentwicklungssatz~\ref{satz:potenzreihenentwicklung}}\\
&\Longleftrightarrow&\begin{array}{c}\mbox{es gibt eine Potenzreihe, welche auf }\\\mbox{$D_r(z_0)\setminus \{z_0\}$ mit $f$ \"ubereinstimmt}\end{array}\\
&\Longleftrightarrow& \mbox{die Laurent-Reihe ist eine Potenzreihe}.\\
&&\hspace{-0.8cm}\uparrow\\
&&\hspace{-4.5cm}\mbox{Eindeutigkeit der Laurent-Reihe}
\end{array}
\]
Die zweite \"Aquivalenz folgt aus der ersten \"Aquivalenz und Lemma~\ref{lem:pol}, welches besagt, dass $z_0$ eine Polstelle $k$-ter Ordnung ist, genau dann, wenn  $f(z)\cdot (z-z_0)^k=g(z)$, wobei $g$ eine holomorphe Funktion auf $U\cup \{z_0\}$ ist mit $g(z_0)\ne 0$. 

Die letzte \"Aquivalenz folgt aus den ersten beiden, nachdem sowohl die linke als auch die rechte Seite das Komplement der vorherigen beiden  Aussagen links bzw.\ rechts sind.
\end{proof}

\begin{definition}
Es sei $z_0$ eine isolierte Singularit\"at einer holomorphen Funktion  $f\colon U\to \C$. 
Nach Satz~\ref{satz:laurent-und-singularitaet}  gibt es ein $r>0$ und eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe, so dass 
\[  f(z)\,\,=\,\, \underset{\opnormal{genannt Hauppteil der Singularit\"at}}{\underbrace{\sum\limits_{n=-\infty}^{-1} c_n(z-z_0)^n}}+\underset{\opnormal{genannt Nebenteil der Singularit\"at}}{\underbrace{\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n(z-z_0)^n}} \mbox{ f\"ur alle  }z\in D_r(z_0)\setminus \{z_0\}.\]
\end{definition}

\begin{lemma}\label{lem:gleicher-hauptteil-hebbar}
Es sei $f$ und $g$ zwei holomorphe Funktion auf $U$ mit einer isolierten Singularit\"at bei $z_0$. Wenn $f$ und $g$ im Punkt $z_0$ den gleichen Hauptteil besitzen, dann ist $z_0$ eine hebbare Singularit\"at von $f-g$.
\end{lemma}


\begin{proof}
Die Funktion $f-g$ kann in einer Umgebung von $z_0$ durch die Differenz der Nebenteile, also durch eine Potenzreihe beschrieben werden. Also ist $z_0$ nach Satz~\ref{satz:laurent-und-singularitaet} eine hebbare Singularit\"at von $f-g$.
\end{proof}

\begin{beispiel}
Die Funktionen
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
 \hspace{3cm} f(z)&=&\smfrac{1}{z}
\intertext{und}
g(z)&=&\smfrac{1}{z}\cos(z)\,\,=\,\,\smfrac{1}{z}\,\lmsum{n=0}{\infty}(-1)^n\smfrac{z^{2n}}{(2n)!}\,\,=\,\,
\smfrac{1}{z}-\smfrac{z}{2!}+\smfrac{z^3}{4!}-\dots\end{array}
\end{align*}
besitzen bei $z_0=0$ eine isolierte Singularit\"at mit Hauptteil $\frac{1}{z}$, also besitzt $\frac{1}{z}-\frac{1}{z}\cos(z)$ bei $z_0=0$ eine hebbare Singularit\"at.
\end{beispiel}

\newpage

%================================
\section{Wegintegrale \"uber beliebige stetige Wege}


%================================
\subsection{Das Lemma von Lebesgue}
Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir mehrmals  folgende Aussage verwenden, welche einen harmlosen Namen tr\"agt, es aber in sich hat.

\begin{lemma}\label{lem:lebesgue}\textbf{\emph{(Lemma von Lebesgue)}}
Es sei $K$ ein kompakter metrischer Raum und es sei $\{U_i\}_{i\in I}$ eine offene \"Uberdeckung von $K$.
Dann gibt es ein $\delta>0$, so dass es f\"ur jede Teilmenge $A$ mit $\mbox{Durchmesser}(A)<\delta$ ein $i\in I$ gibt, so dass $A\subset U_i$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Nachdem $K$ kompakt ist k\"onnen wir $K$ schon durch endlich viele der $U_i$'s \"uberdecken. Wir k\"onnen also o.B.d.A.\ annehmen, dass $I=\{1,\dots,n\}$. 

Wenn $K=U_i$ f\"ur ein $i\in \{1,\dots,n\}$, dann hat jedes $\delta>0$ die gew\"unschte Eigenschaft. Wir nehmen nun an, dass f\"ur alle $i$ gilt, dass $U_i\subsetneq K$.  Wir beweisen zuerst folgende Behauptung:

\begin{behauptung}
Die Funktion\footnote{F\"ur $x\in K$ und eine nichtleere Teilmenge $C \subset K$ schreiben wir hierbei
\[ d(x,C)\,:=\, \inf\{ d(x,y)\,|\,y\in C\}.\]}
\[ \begin{array}{rcl} f\colon K&\to & \R\\
x&\mapsto &f(x)\,:=\,\smfrac{1}{n} \lmsum{i=1}{n} d(x,K\setminus U_i)\end{array} \]
ist stetig und nimmt nur positive Werte an.
\end{behauptung}

Es folgt leicht aus den Definitionen und der Dreiecksungleichung, dass $f$ stetig ist.
Es sei nun $x\in K$. Wir wollen zeigen, dass $f(x)>0$.  Nachdem $K=U_1\cup \dots \cup U_n$ gibt es ein $i$ mit $x\in U_i$. 
Da $U_i$ offen ist gibt es ein $r>0$, so dass $B_r(x)\subset U_i$. Dann gilt aber $d(x,K\setminus U_i)\geq r$. Insbesondere ist dann $f(x)\geq \frac{r}{n}$. Wir haben also die Behauptung bewiesen.

Nachdem $f$ stetig ist und nachdem $K$ kompakt ist nimmt $f$ sein globales Minimum $\delta$ auf $K$ an. Aus der Behauptung folgt, dass dieses Minimum $\delta$ gr\"o\ss er als $0$ ist. 
Wir wollen nun zeigen, dass dieses $\delta$ die gew\"unschte Eigenschaft besitzt.
Genauer gesagt wollen wir folgende Behauptung beweisen.

\begin{behauptung}
Es sei $A$ eine Teilmenge von $K$ mit $\mbox{Durchmesser}(A)<\delta$. Dann gibt es ein $i\in \{1,\dots,n\}$ mit $A\subset U_i$.
\end{behauptung}

Es sei $x\in A$ beliebig. Wir w\"ahlen $m\in \{1,\dots,n\}$, so dass $d(x,K\setminus U_m)$ maximal ist.
Dann gilt 
\[ \begin{array}{rll} \delta&\leq f(x)\,\,=\,\,\smfrac{1}{n} \,\smsum{i=1}{n}\, \underset{\leq d(x,K\setminus U_m)}{\underbrace{d(x,K\setminus U_i)}}\,\,\leq\,\, d(x,K\setminus U_m).\\[-0.4cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mbox{nach Wahl von $\delta$}\end{array}\]
 Also gilt $B_\delta(x)\subset U_m$.  Nachdem der Durchmesser von $A$ kleiner als $\delta$ ist gilt auch $A\subset B_\delta(x)$, insgesamt gilt also $A\subset U_m$.
Wir haben damit die Behauptung bewiesen.
\end{proof}


%================================
\subsection{Wegintegrale \"uber beliebige stetige Wege}
Wir erinnern zuerst an folgende zwei Definitionen:
\begin{enumerate}
\item ein Weg ist eine stetige Abbildung $\gamma\colon [a,b]\to \C$,
\item ein Integrationsweg ist ein Weg $\gamma\colon [a,b]\to \C$, welcher abschnittsweise stetig differenzierbar ist.
\end{enumerate}
Auf Seite~\pageref{def:wegintegral} hatten wir das Wegintegral einer holomorphen Funktion \"uber einen Integrationsweg eingef\"uhrt.
Wir wollen jetzt den Begriff von Wegintegralen auf beliebige Wege fortsetzen.

Wir ben\"otigen dazu folgende Definition.

\begin{definition}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Menge und es sei $\gamma\colon [a,b]\to \C$ ein Weg. Wir sagen, eine Zerlegung $a=t_0<t_1<\dots<t_k=b$ ist \emph{fein}, wenn es  offene Scheiben $D_0,\dots,D_{k-1}$ in $U$ gibt, so dass f\"ur alle $i=0,\dots,k-1$ gilt $\gamma([t_i,t_{i+1}])\subset D_i$.
\end{definition}

Das folgende Lemma besagt nun, dass es immer feine Zerlegungen gibt.

\begin{lemma}\label{lem:offene-ueberdeckung}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Menge. Jeder Weg $\gamma\colon [a,b]\to U$ besitzt eine feine Zerlegung.
\end{lemma}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{ueberdeckung-kurve.pstex_t}
\caption{Illustration von Lemma~\ref{lem:offene-ueberdeckung}.}
\end{center}
\end{figure}



\begin{proof}
Nachdem $U$ offen ist gibt es zu jedem $t\in [a,b]$ eine offene Scheibe $D_t$ in $U$, so dass $\gamma(t)\in D_t$.
Inbesondere ist dann $\gamma^{-1}(D_t)$, $t\in [a,b]$ eine offene \"Uberdeckung des kompakten Intervalls $[a,b]$. Es folgt also aus dem Lemma~\ref{lem:lebesgue} von Lebesgue, dass es ein $k\in \N$ gibt, so dass jedes Teilintervall in $[a,b]$ mit L\"ange $\leq \frac{b-a}{k}$ schon ganz in einem $\gamma^{-1}(D_t)$ liegt. 
Also ist $t_i=a+\frac{b-a}{k}\cdot i$ mit $i=0,\dots,k$ eine feine Zerlegung. 
\end{proof} 

Es sei nun  $U\subset \C$ eine offene Menge, es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion und es sei $\gamma\colon [a,b]\to \C$ ein Weg.
Nach Satz~\ref{lem:offene-ueberdeckung} gibt es eine Zerlegung $a=t_0<t_1<\dots<t_k=b$ und offene Scheiben $D_0,\dots,D_{k-1}$ in $U$, so dass f\"ur alle $i=0,\dots,k-1$ gilt $\gamma([t_i,t_i+1])\subset D_i$.
Nach Satz~\ref{satz:existenz-stammfunktion}
gibt es f\"ur $i=1,\dots,k$ jeweils eine Stammfunktion $F_i$ f\"ur die Einschr\"ankung von $f$ auf $D_i$. Wir definieren nun
\[ \bint\limits_{\gamma} f(z)\,dz\,\,:=\,\,\lmsum{i=0}{k-1}
\big(F_i(\gamma(t_{i+1}))-F_i(\gamma(t_i))\big).\]

\begin{lemma}\label{lem:int-wohldefiniert}
Die Definition von $\bint\limits_{\gamma} f(z)\,dz$ h\"angt nicht von den verschiedenen Wahlen ab.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei eine feine Zerlegung $Z$ der Form $a=t_0<t_1<\dots<t_k=b$ gegeben.
Dann gibt es  offene Scheiben $D_0,\dots,D_{k-1}$ in $U$, so dass f\"ur alle $i=0,\dots,k-1$ gilt $\gamma([t_i,t_i+1])\subset D_i$ und nach Satz~\ref{satz:existenz-stammfunktion} gibt es f\"ur $i=1,\dots,k$ jeweils eine Stammfunktion $F_i$ f\"ur die Einschr\"ankung von $f$ auf $D_i$. Wir schreiben
\[ I(Z)\,\,:=\,\,\sum\limits_{i=0}^{k-1}
\big(F_i(\gamma(t_{i+1}))-F_i(\gamma(t_i))\big).\]
Stammfunktionen auf Scheiben unterscheiden sich nach Lemma~\ref{lem:eindeutigkeit-stammfunktion} nur um eine additive Konstante. Nachdem solch eine Konstante in der Summe zweimal, mit entgegengesetztem Vorzeichen auftritt, h\"angt  $I(Z)$ nicht von der Wahl der Stammfunktionen $F_i$ und auch nicht von der Wahl der Gr\"o\ss e der Scheiben $D_i$ ab. 

Wir m\"ussen nun noch zeigen, dass wenn $Z$ und $Z'$ zwei feine Zerlegungen von $[a,b]$ sind, dann gilt $I(Z)=I(Z')$. 

Wir betrachten zuerst den Spezialfall, dass wir eine feine Zerlegung  $Z$ von der Form $a=t_0<t_1<\dots<t_k=b$ durch Hinzuf\"ugen von einem Punkt $t'$ zwischen $t_i$ und $t_{i+1}$ zu einer Zerlegung $Z'$ verfeinern. In diesem Fall gilt $I(Z')=I(Z)$, denn die Summanden von $I(Z')$ sind die gleichen wie von $I(Z)$, au\ss er das noch der Summand $F_i(\gamma(t'))$ einmal mit positiven und einmal mit negativen Vorzeichen auftaucht. Aber diese beiden Extra-Summanden  heben sich weg.

Es seien nun $Z$ und $Z'$ zwei feine Zerlegungen. Wir betrachten die Zerlegung $Z''=Z\cup Z'$. Diese Zerlegung entsteht aus $Z$ durch eine mehrfache Verfeinerung, also ist $I(Z'')=I(Z)$. Genauso gilt $I(Z'')=I(Z')$. Es folgt, wie gew\"unscht, dass $I(Z)=I(Z'')=I(Z')$.
\end{proof}

F\"ur eine beliebige \emph{holomorphe} Funktion $f\colon U\to \C$ auf einer offenen Menge $U\subset \C$  und einen beliebigen
Weg $\gamma\colon [a,b]\to U$ haben wir nun also einen wohldefinierten Begriff vom Wegintegral $\int_\gamma f(z)\,dz$.
Es folgt leicht aus Lemma~\ref{lem:kurvenintegral-verknupfung} und Lemma~\ref{lem:stammfunktion}, dass f\"ur Integrationswege, d.h.\ f\"ur  Wege, welche abschnittsweise stetig differenzierbar sind, diese Definition vom Wegintegral mit der urspr\"unglichen Definition auf Seite~\pageref{def:wegintegral} \"ubereinstimmt.

\begin{bemerkung}
Das Wegintegral hatten wir urspr\"unglich auf Seite~\pageref{def:wegintegral}
f\"ur abschnittsweise stetig differenzierbare Weg (d.h.\ f\"ur Integrationswege) und f\"ur beliebige \emph{stetige} Funktionen $f$ eingef\"uhrt. Wenn wir die Definition erweitern wollen auf beliebige  Wege, dann m\"ussen wir eine st\"arkere Bedingung an $f$ stellen, n\"amlich $f$ muss \emph{holomorph} sein.
\end{bemerkung}

Folgendes Lemma werden wir mehrmals verwenden. 

\begin{lemma}\label{lem:integral-null-in-scheibe}
Es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion auf einer offenen Menge $U$ und es sei $\gamma\colon [a,b]\to U$ ein geschlossener Weg, so dass $\gamma$ in einer offenen Scheibe $D$ in $U$ enthalten ist. Dann ist $\int_\gamma f(z)\,dz=0$.
\end{lemma}

\begin{proof}
In diesem Fall ist $a=t_0<t_1=b$ schon eine feine Zerlegung. Wir w\"ahlen eine Stammfunktion $F$ f\"ur die Einschr\"ankung von $f$ auf die offene Scheibe $D$. Dann  gilt
\[ \begin{array}{rll}\bint\limits_\gamma f(z)\,dz&=\,\,F(\gamma(t_1))-F(\gamma(t_0))\,\,=\,\,F(\gamma(b))-F(\gamma(a))&=\,\,0.\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mbox{per Definition}&\hspace{-1.5cm}\mbox{da $\gamma$ geschlossen}\end{array}\]
\end{proof}


Viele Aussagen von Wegintegralen \"uber Integrationswege \"ubertragen sich zu Wegintegralen \"uber Wegen.
Beispielsweise gilt folgende Verallgemeinerung von Lemma~\ref{lem:integral-stetige-umparametrisierung}.

\begin{lemma}\label{lem:integral-stetige-umparametrisierung-orientierung}
Es sei $U\subset \C$, es sei $f\colon U\to \C$ holomorph\footnote{Im Gegensatz zu Lemma~\ref{lem:integral-stetige-umparametrisierung} m\"ussen wir nun voraussetzen, dass $f$ holomorph ist, ansonsten ist das Wegintegral \"uber $\gamma$ gar nicht definiert.}, und es sei $\gamma\colon [a,b]\to U$ ein Weg. Zudem sei $\varphi\colon  [c,d]\to [a,b]$
eine stetige, bijektive Funktion. Dann gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcrl}
 \hspace{2cm} \bint\limits_{\gamma\circ \varphi} f(z)\,dz&=&\bint\limits_{\gamma} f(z)\,dz&\mbox{ wenn $\varphi$ orientierungserhaltend ist}
\intertext{und} 
 \bint\limits_{\gamma\circ \varphi} f(z)\,dz&=&-\bint\limits_{\gamma} f(z)\,dz&\mbox{ wenn $\varphi$  orientierungsumkehrend ist.}
\end{array} 
\end{align*}
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir betrachten zuerst den Fall, dass $\varphi$ orientierungserhaltend ist. 
Es sei nun $a=t_0<t_1<t_2<\dots<t_k=b$ eine feine Zerlegung von $[a,b]$ f\"ur den Weg $\gamma$.
Dann ist $c=\varphi^{-1}(t_0)<\varphi^{-1}(t_1)<\varphi^{-1}(t_2)<\dots<\varphi^{-1}(t_k)=d$ eine feine Zerlegung von $[c,d]$ f\"ur $\gamma\circ \varphi$. Per Definition gilt dann, dass
\[  \begin{array}{rcl}\bint\limits_{\gamma\circ \varphi} f(z)\,dz&=&\lmsum{i=0}{k-1}
\big(F_i\big((\gamma\circ \varphi)(\varphi^{-1}(t_{i+1}))\big)-F_i\big((\gamma\circ \varphi)(\varphi^{-1}(t_i))\big)\big)\\
&=&\lmsum{i=0}{k-1}
\big(F_i(\gamma(t_{i+1}))-F_i(\gamma(t_i))\big)\,\,=\,\, \bint\limits_{\gamma} f(z)\,dz.\end{array} \]
Der Fall, dass $\varphi$ orientierungsumkehrend ist wird ganz \"ahnlich bewiesen und verbleibt eine freiwillige \"Ubungsaufgabe.
\end{proof}

Zudem gilt folgende Verallgemeinerung von Lemma~\ref{lem:kurvenintegral-verknupfung}.

\begin{lemma}\label{lem:stetige-kurvenintegral-verknupfung}
Es sei $U\subset \C$ offen und es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion. 
Zudem seien $\alpha\colon [a,a+p]\to \C$ und $\beta\colon [b,b+q]\to \C$ zwei Wege mit 
$\alpha(a+p)=\beta(b)$. Dann gilt
\[ \bint\limits_{\alpha\cdot \beta} f(z)\,dz\,\,=\,\,\bint\limits_{\alpha} f(z)\,dz\,\,+\,\,\bint\limits_{\beta} f(z)\,dz.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Die Aussage folgt leicht aus den Definitionen. In der Tat, eine feine Zerlegung von $[a,a+p]$ f\"ur $\alpha$ und eine feine Zerlegung von $[b,b+q]$ f\"ur $\beta$ ergeben eine feine Zerlegung von $[a,a+p+q]$ f\"ur $\alpha \cdot \beta$. Die gew\"unschte Gleichheit folgt dann sofort aus der Definition vom Wegintegral.
\end{proof}


%================================
\subsection{Der Cauchysche Integralsatz f\"ur stetige Bilder von Rechtecken}
Es gilt auch folgende Verallgemeinerung von Satz~\ref{satz:cauchy-bilder-rechtecke}.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Cauchysche Integralsatz f\"ur stetige Bilder von Rechtecken)}}
\label{satz:cauchy-stetige-bilder-rechtecke}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge, es sei $f\colon U\to \C$ holomorph und es sei $\varphi\colon Q\to U$ eine stetige  Abbildung von einem  Rechteck $Q$ nach $U$. Dann gilt
\[ \bint\limits_{\varphi\circ \partial Q} f(z)\,dz\,\,=\,\,0.\]
\end{satz}

Wenn $\varphi$ stetig differenzierbar ist, dann hatten wir die Aussage schon in Satz~\ref{satz:cauchy-bilder-rechtecke} formuliert und bewiesen.
Der Beweis von Satz~\ref{satz:cauchy-bilder-rechtecke} \"ubertr\"agt sich aber nicht zum Fall, dass $\varphi$ nur stetig ist.

\begin{proof}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Wenn $f(Q)$ ganz in einer Kreisscheibe innerhalb von $U$ liegt, dann folgt aus Lemma~\ref{lem:integral-null-in-scheibe}, dass das Wegintegral verschwindet. Den allgemeinen Fall f\"uhren wir nun auf den Spezialfall zur\"uck, in dem wir wiederum das Rechteck $Q$ geschickt unterteilen.}
\end{enumerate}
Nachdem $U$ offen ist gibt es f\"ur jedes $z\in f(Q)$ eine offene Scheibe $D_z\subset U$, welche $z$ enth\"alt. 
Es folgt aus Lemma~\ref{lem:lebesgue} von Lebesgue, angewandt auf $K=Q$ und die offene \"Uberdeckung $\varphi^{-1}(D_z)$, $z\in f(Q)$, dass es ein $\delta>0$ gibt, so dass jede Teilmenge $A$ von $Q$ mit  Durchmesser $\leq \delta$ ganz in einem $\varphi^{-1}(D_z)$ liegt.
Wir w\"ahlen nun $n\in \N$, so dass f\"ur alle Rechtecke
\[ Q_{ij}\,\,:=\,\,\Big[a+\tmfrac{i(b-a)}{n},a+\tmfrac{(i+1)(b-a)}{n}\Big]\times \Big[\tmfrac{j}{n},\tmfrac{j+1}{n}\Big]\,\,\mbox{ mit }i=0,\dots,n-1\mbox{ und }j=0,\dots,n-1\]
der Durchmesser kleiner als $\delta$ ist. Mit anderen Worten, f\"ur jedes $Q_{ij}$ ist $\varphi(Q_{ij})$ ganz in einer Scheibe in $U$ enthalten.
Dann gilt
\[\begin{array}{rll} \bint\limits_{\varphi\circ \partial Q} f(z)\,dz
&=\,\,\lmsum{i=0}{n-1}\,\lmsum{j=0}{n-1} \underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{$=0$ nach Lemma~\ref{lem:integral-null-in-scheibe},}\\\opnormal{denn $\varphi(Q_{ij})$ liegt}\\\opnormal{in einer Scheibe in $U$}\end{array}}}{\underbrace{\bint\limits_{\varphi\circ \partial Q_{ij}} f(z)\,dz}}\,\,=\,\,0.\\[-1.8cm]
&\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{0.042cm}|\\
&\hspace{-1.3cm}\begin{array}{c}\mbox{alle inneren}\\\mbox{Wegintegrale}\\\mbox{heben sich weg}\end{array}\end{array}\]

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{beweis-cauchy-stetiges-rechteck.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Satz~\ref{satz:cauchy-stetige-bilder-rechtecke}}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}

%================================
\section{Umlaufszahlen}
Wir hatten im bisherigen Verlauf der Vorlesung mehrmals gezeigt, dass unter gewissen Voraussetzungen, Wegintegrale verschwinden, oder etwas allgemeiner, verschiedene Wegintegrale das gleiche Ergebnis ergeben.
Beispielsweise hatten wir in Korollar~\ref{kor:cauchy-ring} gezeigt,
dass wenn $f\colon U\to \C$ holomorph ist, so dass der abgeschlossene Kreisring $\overline{K_{r,R}(z_0)}$ in $U$ enthalten ist, dann gilt
\[ \bint\limits_{|z-z_0|=r} f(z)\,dz\,\,=\,\, \bint\limits_{|z-z_0|=R} f(z)\,dz.\]
Die Aussage hatten wir auch in Abbildung~\ref{fig:cauchy-ring} illustriert.

Im n\"achsten Kapitel werden wir den `Residuensatz' formulieren und beweisen, welcher eine starke Verallgemeinerung der bisherigen Aussagen ist. Um diesen Satz zu formulieren brauchen wir allerdings den Begriff der Umlaufszahl.


%================================
\subsection{Homotope Wege}

Die folgende Definition wird uns auch in den h\"oheren Vorlesungen immer wieder \"uber den Weg laufen.

\begin{definition}
Es sei $U\subset \C$ und es seien $\gamma_0,\gamma_1\colon [a,b]\to \C$ zwei Wege mit gleichem Anfangspunkt $z_a:=\gamma_0(a)=\gamma_1(a)$ und gleichem Endpunkt $z_b:=\gamma_0(b)=\gamma_1(b)$.  Wir sagen \emph{$\gamma_0$ und $\gamma_1$ sind homotop in $U$}, geschrieben $\gamma_0\sim \gamma_1$, wenn es eine \emph{Homotopie zwischen $\gamma_0$ und $\gamma_1$} gibt, d.h.\ eine stetige Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon [a,b]\times [0,1]&\to & U \\
(t,s)&\mapsto & \Phi_s(t),\end{array}\]
so dass gilt
\begin{enumerate}
\item f\"ur alle $t\in [a,b]$ ist 
\[ \Phi_0(t)\,\,=\,\,\gamma_0(t)\mbox{ und }\Phi_1(t)\,\,=\,\,\gamma_1(t),\]
\item f\"ur alle $s\in [0,1]$ ist 
\[ \Phi_s(a)\,\,=\,\,z_a\mbox{ und }\Phi_s(b)\,\,=\,\,z_b.\]
\end{enumerate}
\end{definition}

Etwas vereinfacht gesagt gilt, zwei Wege sind homotop, wenn man bei festgehaltenem Anfangs- und Endpunkt, den einen Weg stetig in den anderen \"uberf\"uhren kann.


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{homotope-kurven.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}

Wir f\"uhren noch zwei weitere Definitionen ein.

\begin{definition}
Es sei $U\subset \C$ eine Teilmenge. 
\begin{enumerate}
\item Ein geschlossener Weg $\gamma\colon [a,b]\to \C$\footnote{Zur Erinnerung, der Weg $\gamma\colon [a,b]\to \C$ hei\ss t geschlossen, wenn der Anfangspunkt $\gamma(a)$ mit dem Endpunkt $\gamma(b)$ \"ubereinstimmt.} in $U$ hei\ss t \emph{nullhomotop}, wenn dieser in $U$ homotop zum  konstanten Weg $t\mapsto \gamma(a)=\gamma(b)$ ist.  
\item Wir sagen $U$ ist \emph{einfach zusammenh\"angend}, wenn jeder geschlossene Weg in $U$ nullhomotop ist.
\end{enumerate}
\end{definition}

Anschaulich ausgedr\"uckt gilt,  ein geschlossener Weg ist nullhomotop, wenn man diesen zu einem Punkt zusammenziehen kann. 


\begin{lemma}\label{lem:konvex-einfach-zusammenhaengend}
Jede konvexe Teilmenge von $\C$ ist einfach zusammenh\"angend.
\end{lemma}

Es folgt also beispielsweise, dass $\C$, aber auch 
 jede Scheibe und jedes Rechteck einfach zusammenh\"angend sind. 

\begin{proof}
Es sei $U\subset \C$ eine konvexe Teilmenge. Zur Erinnerung, konvex bedeutet, dass 
f\"ur alle $z,w\in U$  die Verbindungsstrecke $(1-s)z+sw$, $s\in [0,1]$ ebenfalls in $U$ liegt. Es sei nun $\gamma\colon [a,b]\to U$ ein geschlossener Weg. 
Wir bezeichnen mit $z$ den Anfangs- und den Endpunkt von $\gamma$. Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon [a,b]\times [0,1]&\to & \C\\
(t,s)&\mapsto & \gamma(t)\cdot (1-s)+z\cdot s\end{array}\]
eine Homotopie zwischen $\gamma$ und dem konstanten Weg $\delta(t)=z$.
Nachdem $U$ konvex ist, liegt die Bildmenge von $\Phi$ in $U$. Mit anderen Worten, $\Phi$ ist in der Tat eine Homotopie in $U$. 
\end{proof}



\begin{satz}\textbf{\emph{(Homotopie-Invarianz des Wegintegrals)}}
\label{satz:homotopie-invariant-integral}
Es sei $U\subset \C$ offen, es sei $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion und es seien $\mu_0,\mu_1\colon [a,b]\to U$ zwei Wege mit gleichem Anfangs- und Endpunkt. Wenn $\mu_0$ und $\mu_1$ homotop sind, dann gilt
\[ \bint\limits_{\mu_0}f(z)\,dz\,\,=\,\,\bint\limits_{\mu_1}f(z)\,dz.\]
\end{satz}



\begin{proof}
Es sei 
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon Q:=[a,b]\times [0,1]&\to & U \\
(t,s)&\mapsto & \Phi_s(t)\end{array}\]
eine Homotopie zwischen $\mu_0$ und $\mu_1$. Wir bezeichnen mit $\alpha,\beta,\gamma$ und $\delta$ die orientierten Randkurven  von dem Rechteck $Q$, welche in Abbildung~\ref{fig:homotope-kurven-integrale} skizziert sind. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{homotope-kurven-integrale.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:homotope-kurven-integrale}
\end{center}
\end{figure}
Nachdem  hier eine Abbildung von einem Rechteck nach $U$ vorliegt, erinnern wir uns an den Cauchyschen Integralsatz~\ref{satz:cauchy-stetige-bilder-rechtecke} f\"ur stetige Bilder von Rechtecken aus dem vorherigen Kapitel. Dieser besagt in diesem Fall, dass 
\[ \bint\limits_{\phi \circ \partial Q} f(z)\,dz\,\,=\,\,0.\]
Nachdem wir den Rand in die 4 Teilkurven $\alpha,\beta,\gamma$ und $\delta$ zerlegt haben, erhalten wir, dass 
\[
\begin{array}{rcl}
0&=& 
\underset{=\bint\limits_{\mu_0} f(z)\,dz}{\underbrace{\bint\limits_{\phi \circ \alpha} f(z)\,dz}}\,\,+\,\,
\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{$=0$, denn der}\\\opnormal{Weg $\phi\circ \beta$}\\\opnormal{ist konstant}\end{array}}}{\underbrace{\bint\limits_{\phi \circ \beta} f(z)\,dz}}\,\,+\hspace{-0.2cm}
\underset{\tiny{\begin{array}{c}=-\bint\limits_{\rho_1} f(z)\,dz\\\opnormal{denn $\mu_1$ und $\phi \circ \gamma$}\\
\opnormal{haben entgegengesetzte}\\\opnormal{Orientierung}\end{array}}}{\underbrace{\bint\limits_{\phi \circ \gamma} f(z)\,dz}}\hspace{-0.2cm}+\,\,
\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{$=0$, denn der}\\\opnormal{Weg $\phi\circ \delta$}\\\opnormal{ist konstant}\end{array}}}{\underbrace{\bint\limits_{\phi \circ \delta} f(z)\,dz}}
\end{array}
\]

Zusammengefasst erhalten wir also die gew\"unschte Aussage, dass
\[ \bint\limits_{\mu_0}f(z)\,dz\,\,=\,\,\bint\limits_{\mu_1}f(z)\,dz.\] 
\end{proof}

Wir erhalten insbesondere folgendes Korollar, welches eine Verallgemeinerung von 
Korollar~\ref{kor:cauchy-scheibe} ist.

\begin{korollar}\label{kor:null-homotop}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge, es sei $f\colon U\to \C$ holomorph und es sei $\gamma$ ein geschlossener Weg, welcher in $U$ nullhomotop ist. Dann gilt
\[ \bint\limits_{\gamma} f(z)\,dz\,\,=\,\,0.\]
Insbesondere verschwinden alle Wegintegrale \"uber geschlossenen Wegen auf einfach zusammenh\"angenden Teilmengen von $\C$.
\end{korollar}

\begin{beispiel}
F\"ur $r>0$  betrachten wir die Kreiskurve $\alpha$ in $U=\C\setminus \{0\}$, welche sich gegen den Uhrzeigersinn mit Radius $r$ um den Ursprung dreht.
Wir hatten  auf Seite~\pageref{bsp:integral1durchz} gesehen, dass
\[\bbint\limits_{\alpha} \smfrac{1}{z}\,dz\,\,=\,\, \bbint\limits_{|z|=r} \smfrac{1}{z}\,dz\,\,=\,\,2\pi i\,\,\ne\,\,0,\]
wir sehen also, dass die Schleife $\alpha$ in $U$ nicht null-homotop ist. Wir k\"onnen diese also in $U$ nicht zu einem Punkt zusammenziehen. Dies deckt sicht nat\"urlich mit unserer Intuition.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{schleife-in-c.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}
\end{beispiel}

 Wir sagen eine Menge $X\subset \C$ ist \emph{sternf\"ormig}, wenn es ein $x\in X$ gibt, so dass f\"ur alle $z\in X$
  die Verbindungsstrecke $(1-s)x+sz$, $s\in [0,1]$ 
   von $x$ nach $z$ ebenfalls ganz in $X$ liegt. Beispielsweise sind konvexe Teilmengen von $\C$ sternf\"ormig.
Weitere Beispiele sind in Abbildung~\ref{fig:sternformig} skizziert.


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{sternformig.pstex_t}
\caption{Sternf\"ormige Teilmengen von $\C$.}
\label{fig:sternformig}
\end{center}
\end{figure}


Wir beschlie\ss en das Kapitel mit folgendem Satz, welcher eine Verallgemeinerung von 
Korollar~\ref{kor:null-homotop} ist.

\begin{lemma}\label{lem:sternformig-integral-null}
Es sei $U\subset \C$ eine offene Teilmenge und $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion. 
Wenn $U$ sternf\"ormig ist, dann verschwindet das Wegintegral \"uber jeden geschlossenen Weg in $U$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei $U\subset \C$ eine sternf\"ormige offene Teilmenge. Dies bedeutet, dass 
es einen Punkt $x\in U$ gibt, so dass f\"ur jedes $z\in U$ die Verbindungsstrecke $(1-s)x+sz$, $s\in [0,1]$ ebenfalls in $U$ liegt. Es sei nun $\gamma\colon [a,b]\to U$ ein geschlossener In\-teg\-rations\-weg.  Wir bezeichnen mit $z$ den Anfangs- und den Endpunkt von $\gamma$.

Wir betrachten zuerst den Spezialfall, dass $x=z$. In diesem Fall zeigt
der Beweis von Korollar~\ref{kor:null-homotop}, dass $\gamma$ nullhomotop ist,
also verschwindet das Wegintegral nach Korollar~\ref{kor:null-homotop}.

Wir betrachten nun den allgemeinen Fall.  Wir w\"ahlen einen In\-teg\-rations\-weg $\beta$ von $x$ nach $z$, beispielsweise k\"onnte $\beta$ der direkte Weg von $x$ nach $z$ sein.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{beweis-sternformig.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Lemma~\ref{lem:sternformig-integral-null}.}
\end{center}
\end{figure}
Dann ist $\beta\cdot \gamma\cdot (-\beta)$ ein geschlossener In\-teg\-rations\-weg, wobei nun $x$ der Anfangs- und Endpunkt ist. Aus dem vorherigen Fall folgt nun, dass
\[ \bint\limits_{\beta\cdot \gamma\cdot (-\beta)}f(z)\,dz\,\,=\,\,0.\]
Andererseits  gilt
\[ \begin{array}{ll}\bint\limits_{\beta\cdot \gamma\cdot (-\beta)}f(z)\,dz
&=\,\,
\bint\limits_{\beta}f(z)\,dz\,\,+\,\,\bint\limits_{\gamma}f(z)\,dz
\,\,+\hspace{-0.3cm}\underset{\opnormal{$=-\bint\limits_{\beta}f(z)\,dz$ nach Lemma~\ref{lem:integral-umparametrisierung}}}{\underbrace{\bint\limits_{-\beta}f(z)\,dz}}
\hspace{-0.3cm}=\,\,\bint\limits_{\gamma}f(z)\,dz.\\[-1.3cm
]
&\uparrow\\[0.1cm]
&\hspace{-0.5cm}\mbox{Lemma~\ref{lem:kurvenintegral-verknupfung}}\end{array} \]
Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.
\end{proof}


%================================
\subsection{Die Definition der Umlaufszahl}

\begin{definition}
Es sei $\gamma\colon [a,b]\to \C$ ein geschlossener Integrationsweg und $z$ ein Punkt, welcher nicht auf dem Weg liegt. Dann hei\ss t
\[ n(\gamma,z)\,\,:=\,\,\lmfrac{1}{2\pi i}\bbint\limits_\gamma \smfrac{1}{\xi-z}\,d\xi\]
die \emph{Umlaufszahl von $\gamma$ bez\"uglich $z$}.
\end{definition}

\begin{beispiel}
Wenn $\gamma$ eine geschlossener Weg ist, dann folgt aus Lemma~\ref{lem:integral-umparametrisierung}, dass
\[ n(-\gamma,z)\,\,=\,\,-n(\gamma,z).\]
In anderen Worten, wenn wir die Orientierung wechseln, wechselt das Vorzeichen der Umlaufszahl.
Mithilfe der Berechnung auf Seite~\pageref{bsp:integral1durchz} und Korollar~\ref{kor:cauchy-ring-2} erhalten wir viele Beispiele von Umlaufszahlen, welche in Abbildung~\ref{fig:umlaufszahlen} skizziert sind.
 \begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{umlaufszahlen.pstex_t}
 \caption{}\label{fig:umlaufszahlen}
 \end{center}
 \end{figure}
\end{beispiel}

Der Name `Umlaufszahl' legt nahe, dass es sich dabei um eine ganze Zahl handelt. Dies ist ausgehend von der Definition nicht unbedingt offensichtlich, und wird im folgenden Lemma bewiesen.

\begin{satz}\label{satz:umlaufszahlen-ganzzahlig}
Umlaufszahlen von In\-teg\-rations\-wegen sind ganzzahlig.
\end{satz}

\begin{proof}
Es sei also $\gamma\colon [a,b]\to \C$ ein geschlossener Integrationsweg und es sei $z$ ein Punkt, welcher nicht auf dem Weg liegt.  In dem wir $\gamma$ und $z$ jeweils um $-z$ verschieben k\"onnen wir o.B.d.A.\ annehmen, dass $z=0$. 


Wir wollen also zeigen, dass 
\[ n(\gamma,0)\,\,=\,\, \tmfrac{1}{2\pi i}\bbint\limits_{\gamma}\frac{1}{\xi}\,d\xi\]
ganzzahlig ist.
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Wir m\"ussen also das Wegintegral von $f(z)=\frac{1}{z}$ \"uber den Weg $\gamma$ bestimmen. Wir m\"ochten gerne verwenden, dass der Logarithmus eine Stammfunktion von $f(z)=\frac{1}{z}$ ist. Das einzige Problem ist nun, dass der Logarithmus nicht auf ganz $\C\setminus \{0\}$ definiert ist.\\
 Wir m\"ussen uns also einschr\"anken auf Wertebereiche von $\gamma$, auf denen jeweils ein Logarithmuszweig definiert ist. Wir schaffen  dies, indem wir das Intervall $[a,b]$ in kleinere Intervalle zerlegen.} 
\end{enumerate}
Wir erinnern an die beiden Logarithmuszweige
\footnote{Zur Erinnerung, f\"ur $\varphi\in \R$ bezeichnen wir mit  
\[\overline{S}_\varphi\,\,=\,\, \big\{ r\cos \varphi+ir\sin \varphi=re^{i\varphi}\,\big|\, r\geq 0\big\}\]
den abgeschlossenen Strahl in $\varphi$-Richtung.}
\[ \begin{array}{rcl} \ln_-:=\ln_{-\pi}\colon U_-:=\C\setminus \overline{S}_{-\pi}&\to & \{x+iy\,|\,x\in \R\mbox{ und }y\in (-\pi,\pi)\big\}\\
z&\mapsto & \ln_{-\pi}(z)\end{array}\]
 und 
 \[
\begin{array}{rcl} \ln_+:=\ln_{0}\colon U_+:=\C\setminus \overline{S}_{0}&\to & \{x+iy\,|\,x\in \R\mbox{ und }y\in (0,2\pi)\big\}\\
z&\mapsto & \ln_{0}(z).\end{array}\]
Dann ist $U_-\cup U_+=\C\setminus \{0\}$. Zudem gilt f\"ur alle $z\in U_-\cap U_+$, dass entweder $\ln_-(z)=\ln_+(z)$ oder $\ln_-(z)=\ln_+(z)-2\pi i$.
\footnote{In der Tat, wenn $z\in U_-\cap U_+$, dann ist $\operatorname{Im}(z)\ne 0$ und es gilt
\[ \ln_-(z)\,=\,\left\{\begin{array}{ll} \ln_+(z)&\mbox{ wenn  $\operatorname{Im}(z)>0$},\\
\ln_+(z)-2\pi i&\mbox{ wenn  $\operatorname{Im}(z)<0$.} \end{array} \right.\]}
\begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{logarithmuszweige.pstex_t}
 \caption{Die Definitionsbereiche der beiden Logarithmusfunktionen $\ln_-=\ln_{-\pi}$ und $\ln_+=\ln_0$.}\label{fig:logarithmuszweige}
 \end{center}
 \end{figure}


\begin{behauptung}
Es gibt eine Zerlegung $a=s_0<s_1<\dots<s_n=b$, so dass f\"ur alle $j=0,\dots,n-1$ gilt, dass $\gamma([s_j,s_{j+1}])\subset U_-$ oder 
 $\gamma([s_j,s_{j+1}])\subset U_+$.
\end{behauptung}

Wir wenden das Lemma~\ref{lem:lebesgue} von Lebesgue auf die kompakte Menge $K=[a,b]$ und die offene \"Uberdeckung durch $\gamma^{-1}(U_-)$ und $\gamma^{-1}(U_+)$ an. Es gibt dann ein $n\geq 1$, so dass jedes Teilintervall von $[a,b]$ der L\"ange $\leq \frac{a-b}{n}$ in $\gamma^{-1}(U_-)$ oder $\gamma^{-1}(U_+)$ liegt. Wenn wir $[a,b]$ in $n$ Intervalle gleicher L\"ange zerlegen erhalten wir nun die gew\"unschte Zerlegung. Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.

Wir wenden uns nun dem eigentlichen Beweis zu.
F\"ur $j=0,\dots,n-1$ w\"ahlen wir  nun jeweils $\epsilon_j\in \{-,+\}$, so dass  $\gamma([s_j,s_{j+1}])\subset U_{\epsilon_j}$.
Dann gilt
\[ \begin{array}{rll}
  \tmfrac{1}{2\pi i}\bint\limits_{\gamma} \tmfrac{1}{\xi}\,d\xi 
&=\,\, \tmfrac{1}{2\pi i}\,\smsum{j=0}{n-1}\, \bint\limits_{\gamma|_{[s_j,s_{j+1}]}} \tmfrac{1}{\xi}\,d\xi
\,\,=\,\,\smsum{j=0}{n-1}\ln_{\epsilon_j}(\gamma(s_{j+1}))-\ln_{\epsilon_j}(\gamma(s_j))\\[-0.3cm]
&\hspace{4.45cm}\uparrow\\
&\hspace{2.6cm}\begin{array}{c}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:stammfunktion}, denn $\ln_{\epsilon_j}(\xi)$ ist eine}
\\\mbox{Stammfunktion von $\frac{1}{\xi}$ auf $\gamma([s_j,s_{j+1}])\subset U_{\epsilon_j}$}\end{array}\\
&=\,\, \tmfrac{1}{2\pi i}\smsum{j=1}{n-1}\,\underset{\opnormal{$=0$ oder $=\pm 2\pi i$}}{\underbrace{\ln_{\epsilon_{j-1}}(\gamma(s_{j}))-\ln_{\epsilon_j}(\gamma(s_j))}}
\,\,+\,\,
\tmfrac{1}{2\pi i}\big(
\underset{\opnormal{$=0$ oder $=\pm 2\pi i$, da $\gamma(s_n)=\gamma(s_0)$}}{\underbrace{\ln_{\epsilon_{n-1}}(\gamma(s_n))-\ln_{\epsilon_{0}}(\gamma(s_0))}}\big).\\[-0.5cm]
&\uparrow\hspace{7cm}\\[-0.2cm]
&\hspace{0.042cm}|\\
&\hspace{-1.5cm}\mbox{Umsortieren der Terme}
\end{array}
\]
Wir sehen also, dass das Integral, wie gehofft, ganzzahlig ist.
\end{proof}


% Ende 11. Vorlesung

%======================================================
\subsection*{Einschub: \"Aquivalenzrelationen}\label{aequivalenzrelation}
Bevor wir mit der Funktionentheorie fortfahren f\"uhren wir den Begriff der 
\"Aqui\-valenz\-relation ein. 

Es sei $X$ eine Menge. Eine \emph{\"Aqui\-valenz\-relation} auf $X$ ist eine Teilmenge $M\subset X\times X$, so dass
f\"ur alle $x,y,z\in X$ gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} && (x,x)\in M&\\
(x,y)\in M&\Longrightarrow & (y,x)\in M\quad &\mbox{(Symmetrie)}\\
\hspace{2cm} (x,y)\in M\mbox{ und }(y,z)\in M&\Longrightarrow & (x,z)\in M & \mbox{(Transitivit\"at)}.
\intertext{Wir schreiben im Folgenden}
 x\sim y &:\Longleftrightarrow& (x,y)\in M,\end{array} \end{align*}
und wir sagen \emph{$x$ und $y$ sind \"aquivalent}.
Mithilfe dieser Notation k\"onnen wir die obigen definierenden Eigenschaften wie folgt umformulieren:
 $\sim$ ist eine \"Aquivalenzrelation auf einer Menge $A$, wenn f\"ur alle $x,y,z\in A$ gilt
\[ \begin{array}{rcll} && x\sim x \\ x\sim y &\Longrightarrow & y\sim x \quad\hspace{1cm} &\mbox{(Symmetrie)}\\ 
 \hspace{1.8cm}
x\sim y \mbox{ und } y\sim z&\Longrightarrow & x\sim z& \mbox{(Transitivit\"at)}.\end{array} \]

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item F\"ur $x,y\in \Z$ definieren wir
\[ x\sim y\quad  :\Longleftrightarrow \quad (x-y) \in 3\Z.\]
Man kann nun leicht nachpr\"ufen, dass $\sim$ eine \"Aquivalenzrelation auf $\Z$ ist.
\item Es sei $G$ eine Gruppe und $H$ eine Untergruppe von $G$. Dann ist
\[ x\sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad x^{-1}y \in H\]
eine \"Aquivalenzrelation auf $G$.
\item Es sei $X$ die Menge aller Dreiecke in $\R^2$. F\"ur zwei Dreiecke $\Delta_1$ und $\Delta_2$ schreiben wir
\[ \hspace{1cm} \Delta_1\sim \Delta_2\quad :\Longleftrightarrow \quad
\mbox{$\Delta_1$ und $\Delta_2$ besitzen die gleichen Innenwinkel}.\]
Dies ist dann eine \"Aquivalenzrelation auf $X$.
\item Es sei $X$ die Menge aller Funktionen auf $\R$. Wir schreiben
\[ \hspace{1cm} f\sim g\quad :\Longleftrightarrow\quad \mbox{es gibt ein $\epsilon>0$, so dass $f(x)=g(x)$ f\"ur alle $x\in (-\epsilon,\epsilon)$.}\]
Man kann nun leicht zeigen, dass dies in der Tat eine \"Aquivalenzrelation auf $X$ ist.
\end{enumerate}
\end{beispiel}

Es sei $\sim$  eine \"Aquivalenzrelation auf einer Menge $X$. Eine \emph{\"Aquivalenzklasse} ist eine nichtleere Teilmenge $Y\subset X$, so dass gilt\footnote{In Worten hei\ss t dies, alle Elemente einer \"Aquivalenzklasse $S$ sind zu einander \"aquivalent und jedes Element, welches \"aquivalent zu einem Element in $S$ ist, liegt auch schon in der \"Aquivalenzklasse.}
\begin{enumerate}
\item f\"ur alle $y,y'\in Y$ gilt: $y\sim y'$,
\item wenn $z\sim y$ f\"ur ein $y\in Y$, dann gilt auch  $z\in Y$.
\end{enumerate}
Im ersten Beispiel gibt es genau drei \"Aquivalenzklassen, diese sind gegeben durch die drei Mengen
\[
\begin{array}{rcl} 3\Z&=&\{\dots,-6,-3,0,3,6,\dots\}, \\
  3\Z+1&=&\{\dots,-5,-2,1,4,7,\dots\},\\
  3\Z+2&=&\{\dots,-4,-1,2,5,8,\dots\}.\end{array}\]
Im zweiten Beispiel sind die \"Aquivalenzklassen gerade die Linksnebenklassen $G/H$. 

In  \"Ubungsblatt~6 werden wir folgendes Lemma beweisen:

\begin{lemma}\label{lem:aquivalenzklassen}
Es sei $\sim$  eine \"Aquivalenzrelation auf einer Menge $X$. Dann ist  $X$ die disjunkte Vereinigung aller \"Aquivalenzklassen, d.h.
\begin{enumerate}
\item jedes $x\in X$ liegt in einer \"Aquivalenzklasse,
\item wenn $A$ und $B$ \"Aquivalenzklassen sind, dann gilt entweder $A=B$ oder $A\cap B=\emptyset$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

Wir betrachten zuletzt noch ein Beispiel, welches wieder n\"aher an unserem Interessensgebiet liegt. Es sei $X$ eine Teilmenge von $\C$. F\"ur $x,y\in X$ definieren wir
\[ x\sim y\quad :\Longleftrightarrow \quad\begin{array}{c}\mbox{es gibt einen Weg in $X$ von $x$ nach $y$},\\\mbox{d.h.\ es gibt einen Weg $\gamma\colon [a,b]\to X$}\\\mbox{mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$.}\end{array}\]
In  \"Ubungsblatt~6 werden wir sehen, dass dies in der Tat eine \"Aquivalenzrelation ist.
Wir bezeichnen die \"Aquivalenzklassen von $X$ als die \emph{Komponenten von $X$}.
Wenn $X$ aus nur einer \"Aquivalenzklasse besteht, dann ist $X$ per Definition wegzusammenh\"angend. 
\begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{komponenten.pstex_t}
 \caption{}\label{fig:komponenten}
 \end{center}
 \end{figure}

%================================
\subsection{Die Berechnung der Umlaufszahl}
In diesem Kapitel wollen wir f\"ur einen gegebenen Integrationsweg $\gamma$ die Umlaufszahlen f\"ur alle Punkte im Komplement von $\gamma$ bestimmen. 
Wir werden dazu im Folgenden verschiedene Methoden kennenlernen um Umlaufszahlen zu berechnen. Wir werden diese f\"ur Berechnungen verwenden, aber nicht in Beweisen. Wir werden daher die Beweise streckenweise nur skizzieren.

Es sei $\gamma\colon [a,b]\to \C$ ein geschlossener Weg. Wir sagen ein Punkt $z$ liegt \emph{au\ss erhalb von $\gamma$}, wenn es einen Strahl $S=\{z+tv\,|\,t\in \R_{\geq 0}\}$ mit $v\ne 0$ gibt, welcher $\gamma$ nicht schneidet, d.h.\ es ist $S\cap |\gamma|=\emptyset$.\footnote{Zur Erinnerung, f\"ur einen Weg $\gamma\colon [a,b]\to \C$ bezeichen wir mit $|\gamma|=|\gamma|$ die Menge der Punkte auf dem Weg.}
\begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{punkteausserhalb.pstex_t}
 \caption{}\label{fig:punkteausserhalb}
 \end{center}
 \end{figure}

\begin{lemma}\label{lem:umlaufszahl-null}
Es sei $\gamma\colon [a,b]\to \C$ ein geschlossener In\-teg\-rations\-weg und $z$ ein Punkt au\ss erhalb von $\gamma$. Dann ist
\[ n(\gamma,z)\,\,=\,\,0.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Nach Voraussetzung gibt  es einen Strahl $\{z+tv\,|\,t\in \R_{\geq 0}\}$ mit $v\ne 0$, so dass sich das Bild vom  In\-teg\-rations\-weg $\gamma$ in der Menge 
\[ U\,\,:=\,\,\C\setminus \{z+tv\,|\,t\in \R_{\geq 0}\}\]
befindet. 
Die Menge $U$ ist offensichtlich sternf\"ormig\footnote{In der Definition von sternf\"ormig k\"onnte man beispielsweise $x=z-v$ w\"ahlen}. 
Es folgt, dass
\[ \begin{array}{rl} n(\gamma,z)\,\,=\,\,\smfrac{1}{2\pi i}\bbint\limits_{\gamma}\smfrac{1}{\xi-w}\,d\xi&=\,\,0.\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-3.5cm}
\begin{array}{c}\mbox{nach  Lemma~\ref{lem:sternformig-integral-null}, da  $|\gamma|\subset U$ und  da der}\\
\mbox{Integrand auf dem sternf\"ormigen $U$ holomorph ist}\end{array}\end{array}\]
\end{proof}

\begin{lemma}\label{lem:gleiche-umlaufszahl}
Es sei $\gamma\colon [a,b]\to \C$ ein geschlossener In\-teg\-rations\-weg und es seien $w,z$ zwei Punkte, welche in der gleichen Komponente von $\C\setminus |\gamma|$ liegen. Dann gilt 
\[ n(\gamma,w)\,\,=\,\,n(\gamma,z).\]
\end{lemma}

\begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{regionen-umlaufszahl.pstex_t}
 \caption{Illustration von Lemma~\ref{lem:gleiche-umlaufszahl}.}
 \label{fig:regionen-umlaufszahl}
 \end{center}
 \end{figure}




\begin{proof}
Es sei also $\gamma\colon [a,b]\to \C$ ein geschlossener In\-teg\-rations\-weg.
In \"Ubungsblatt~6 wird folgende Behauptung bewiesen.

\begin{behauptung}
Die  Funktion\footnote{Nach Satz~\ref{satz:umlaufszahlen-ganzzahlig} nimmt diese Funktion in der Tat Werte in $\Z$ an.}
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \C\setminus |\gamma|&\to & \Z \\
z&\mapsto & n(\gamma,z)\,=\,\smfrac{1}{2\pi i}\bbint\limits_{\gamma}\smfrac{1}{\xi-z}\,d\xi\end{array}\]
ist stetig.
\end{behauptung}

Es seien nun $w,z$ zwei Punkte, welche in der gleichen Komponente von $\C\setminus |\gamma|$ liegen.
Dies bedeutet, dass es einen Weg $\rho\colon [a,b]\to \C$ mit $\rho(a)=w$ und $\rho(b)=z$ gibt,  welcher $\gamma$ nicht schneidet. 
Die Funktion
\[ \begin{array}{rcl}  F\colon [a,b]&\to & \Z \\
t&\mapsto & n(\gamma,\rho(t))=f(\rho(t))\end{array}\]
ist die Verkn\"upfung der stetigen Abbildungen $\rho$ und $f$, also wiederum stetig. 
Nachdem $[a,b]$ zusammenh\"angend ist, und nachdem die Funktion nur Werte in  $\Z$ annimmt, muss die Funktion $F$ nach Lemma~\ref{lem:diskrete-bilder-konstant} konstant sein. Insbesondere gilt 
\[ n(\gamma,w)\,\,=\,\,n(\gamma,\rho(a))\,\,=\,\,F(a)\,\,=\,\,F(b)\,\,=\,\,n(\gamma,\rho(b))\,\,=\,\,n(\gamma,z).\]
\end{proof}


Es seien nun $v$ und $w$ zwei Vektoren in $\R^2=\C$, welche linear unabh\"angig sind. 
Wir sagen \emph{$v$ und $w$ sind positiv orientiert}, wenn es ein $\varphi\in (0,\pi)$ gibt, so dass
\[ \smfrac{w}{\|w\|}\,\,=\,\,e^{i\varphi}\cdot \smfrac{v}{\|v\|}.\]
Andernfalls sagen wir, dass $v$ und $w$ negativ orientiert sind.
Etwas salopp gesprochen sind $v$ und $w$ positiv orientiert, wenn man die $w$-Richtung aus der $v$-Richtung durch Drehen gegen den Uhrzeigersinn erh\"alt.
\begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{positiv-orientiert.pstex_t}
 \caption{}\label{fig:positiv-orientiert}
 \end{center}
 \end{figure}


Das folgende Lemma gibt nun an, wie sich die Umlaufszahl \"andert, wenn wir von einer Komponent von $\C\setminus |\gamma|$ zur n\"achsten wechseln. Das Lemma ist bewu\ss t etwas vage gehalten. Wir werden es nur in Berechnungen, aber nicht in Beweisen verwenden. Eine saubere Formulierung ist beispielsweise in Satz~3.2.11 von Fritsche: Funktionentheorie gegeben. 

\begin{lemma}\label{lem:umlaufszahl-sprung}
Es sei $\gamma\colon [a,b]\to \C$ ein geschlossener In\-teg\-rations\-weg und es sei zudem $D=D_r(z)\subset \C$ eine offene Scheibe, welche $\gamma$ in genau einem Durchmesser
\[ \{p+sv\,|\,s\in (-r,r)\}\] schneidet, wobei $v\in \C$ ein Vektor ist, welcher in die Orientierung von $\gamma$ zeigt. 
Es seien  $w$ und $z$ je ein Punkt aus den beiden H\"alften von $D\setminus |\gamma|$. Dann gilt
\[ n(\gamma,z)\,\,=\,\,\left\{ \begin{array}{ll} n(\gamma,w)+1, &\mbox{ wenn $v$ und $z-w$ positiv orientiert sind},\\
n(\gamma,w)-1, &\mbox{ wenn $v$ und $z-w$ negativ orientiert sind}.\end{array} \right.\]
\end{lemma}

Die Aussage von Lemma~\ref{lem:umlaufszahl-sprung} ist in 
Abbildung~\ref{fig:umlaufszahl-sprung-praezise} skizziert. 
\begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{umlaufszahl-sprung-praezise.pstex_t}
 \caption{Illustration von Lemma~\ref{lem:umlaufszahl-sprung}.}\label{fig:umlaufszahl-sprung-praezise}
 \end{center}
 \end{figure}
Die Aussage ist zudem noch etwas salopper und etwas allgemeiner in Abbildung~\ref{fig:umlaufszahl-sprung} illustriert. 
\begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{umlaufszahl-sprung.pstex_t}
 \caption{}\label{fig:umlaufszahl-sprung}
 \end{center}
 \end{figure}
 
 Mithilfe von Lemmas~\ref{lem:umlaufszahl-null}, \ref{lem:gleiche-umlaufszahl} und~\ref{lem:umlaufszahl-sprung} k\"onnen wir in der Praxis Umlaufszahlen problemlos bestimmen. Beispiele von Umlaufszahlen f\"ur zwei verschiedene Wege sind 
 in Abbildung~\ref{fig:regionen-umlaufszahl-komplett} skizziert.
 
 \begin{figure}[h]
  \begin{center}
  \input{regionen-umlaufszahl-komplett.pstex_t}
  \caption{Beispiele f\"ur Umlaufszahlen.}\label{fig:regionen-umlaufszahl-komplett}
  \end{center}
  \end{figure}
  
  \begin{proof}[Beweisskizze f\"ur Lemma~\ref{lem:umlaufszahl-sprung}]
  Um die Notation etwas zu vereinfachen, nehmen wir im Folgenden an, dass $D=D_r(0)$, dass $\gamma$ horizontal von links nach rechts geht, dass $w$ unterhalb der $x$-Achse liegt, und dass $z$ oberhalb der $x$-Achse liegt. Wir wollen zeigen, dass $n(\gamma,z)=n(\gamma,w)+1$.
  
 Im Folgenden seien $\gamma'$, $\beta$, $\delta$, $\beta'$ und $\alpha$ die Wege, welche in Abbildung~\ref{fig:umlaufszahl-sprung-beweis} skizziert sind.
 Den Weg  $\gamma'$ erhalten wir dabei dadurch, dass wir aus $\gamma$ den Weg $\alpha$ `herausschneiden'. 
   \begin{figure}[h]
     \begin{center}
     \input{umlaufszahl-sprung-beweis-2.pstex_t}
     \caption{Illustration zum Beweis von Lemma~\ref{lem:umlaufszahl-sprung}.}
     \label{fig:umlaufszahl-sprung-beweis}
     \end{center}
     \end{figure}
Dann ist
  \[ \begin{array}{rll} 2\pi i\cdot n(\gamma,z)&=\,\, 2\pi i\cdot n(\beta\cdot \delta\cdot \beta'\cdot \gamma',z)
  &=\,\,2\pi i\cdot n(\beta\cdot \delta\cdot \beta'\cdot \gamma',w)\\
  &\uparrow&\uparrow\\
  &\hspace{-3cm}\mbox{\tiny{denn $\gamma$ und $\beta\cdot \delta\cdot \beta'\cdot \gamma'$ sind homotop in $\C\setminus \{z\}$}}
  &\hspace{-1cm}
    \mbox{\tiny{nach Lemma~\ref{lem:gleiche-umlaufszahl}}} \\
 &=\,\, \bint\limits_{\beta\cdot \delta\cdot \beta'\cdot \gamma'}\smfrac{1}{\xi-w}\,d\xi&=\,\, \bint\limits_{\beta\cdot \delta\cdot \beta'\cdot (-\alpha)\cdot \alpha\cdot \gamma'}\smfrac{1}{\xi-w}\,d\xi\\
   &=\,\, 
    \underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{$=2\pi i$, denn wie in Korollar~\ref{kor:cauchy-ring-2}}\\\opnormal{ist dies gerade das Integral}\\\opnormal{\"uber den Kreis um $w$}\end{array}}}{\underbrace{\bint\limits_{\beta\cdot \delta\cdot \beta'\cdot (-\alpha)}\smfrac{1}{\xi-w}\,d\xi}}&+\,\,
    \underset{=2\pi i\cdot n(\gamma,w)}{\underbrace{ \bint\limits_{\alpha\cdot \gamma'}\smfrac{1}{\xi-w}\,d\xi}}\\
  &=\,\,2\pi i\cdot (1+ n(\gamma,w))
  \end{array} \]
  Zusammengefasst haben wir damit also wie erhofft bewiesen, dass 
  \[ n(\gamma,z)\,\,=\,\,n(\gamma,w)+1.\]
 \end{proof}
   
  % Ende 12. Vorlesung

\newpage

%==================================================================
\section{Der Residuensatz}

Das Ziel von diesem Kapitel ist den sogenannten Residuensatz zu formulieren und zu beweisen.
Dieser  erlaubt es uns viele Wegintegrale nur mithilfe von Umlaufszahlen und `Residuen' zu bestimmen. 
Wir kennen schon die Umlaufszahlen. Wir f\"uhren daher als n\"achstes die Residuen ein, und wir 
wollen dann  verschiedene Methoden kennenlernen, um diese zu berechnen.

%==================================================================
\subsection{Das  Residuum}
Wir f\"uhren also nun erst einmal das Residuum einer Funktion an einer isolierten Singularit\"at ein.

\begin{definition}
Es sei $z_0$ eine isolierte Singularit\"at einer holomorphen Funktion 
 $f\colon U\to \C$. Wir w\"ahlen ein $r>0$, so dass $\overline{D_r(z_0)}\setminus \{z_0\}\subset U$.
Wir bezeichnen dann
\[ \operatorname{res}_{z_0}(f)\,\,:=\,\,\lmfrac{1}{2\pi i} \bbint\limits_{|z-z_0|=r} f(z)\,dz\]
als das \emph{Residuum von $f$ im Punkt $z_0$}.\footnote{Es folgt aus Korollar~\ref{kor:cauchy-ring}, dass diese Definition nicht von der Wahl von $r$ abh\"angt.}
\end{definition}


Es sei  $f\colon U\to \C$ eine holomorphe Funktion mit einer isolierten Singularit\"at $z_0$  wie oben. 
Nach dem Laurent-Reihenentwicklungssatz~\ref{satz:laurent-reihenentwicklung} gilt auf $\overline{D_r(z_0)}\setminus \{z_0\}$, dass \label{residuum-cm1}
\begin{align*}
\begin{array}{rll}
\hspace{1.5cm} f(z)&=\,\, \lmsum{n=-\infty}{\infty} c_n(z-z_0)^n,
\intertext{wobei $c_n\in \C$. Also ist }
\operatorname{res}_{z_0}(f)&=\,\,\smfrac{1}{2\pi i} \bbint\limits_{|z-z_0|=r} \lmsum{n=-\infty}{\infty} c_n(z-z_0)^n\,dz&
\hspace{-3.5cm}=\,\,
 \lmsum{n=-\infty}{\infty}\smfrac{1}{2\pi i}c_n \underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{$=0,$ wenn $n\ne -1$,}\\\opnormal{$=2\pi i$, wenn $n=-1$}\end{array}}}{\underbrace{\bbint\limits_{|z-z_0|=r} \hspace{-0.3cm}(z-z_0)^n\,dz}}\,\,=\,\,c_{-1}\\[-1.3cm]
 &&\hspace{-3.5cm}\uparrow\\[-0.1cm]
 &&\hspace{-3.5cm}\hspace{0.045cm}|\\
 &&\hspace{-3.5cm}\hspace{-1.5cm}\opnormal{Konvergenzsatz~\ref{satz:konvint}}\\[0.2cm]
 &=\mbox{der Koeffizient von $(z-z_0)^{-1}$ der Laurent-Reihe.}\end{array}\end{align*}
{Wir sehen insbesondere, dass $\operatorname{res}_{z_0}(f)=0$, wenn $z_0$ eine hebbare Singularit\"at ist. 

\begin{beispiel}\label{bsp:residuum}
Es ist 
\[ \operatorname{res}_0\Big(\smfrac{e^z}{z^4}\Big)\,\,=\,\, \operatorname{res}_0\Big(\smfrac{1}{z^4}\tmsum{n=0}{\infty}\smfrac{z^n}{n!}\Big)
\,\,=\,\,\mbox{der $z^{-1}$-Koeffizient von }\smsum{n=0}{\infty} \tmfrac{z^{n-4}}{n!}\,\,=\,\,  \smfrac{1}{3!}.\]
\end{beispiel}


Wir wollen nun im Folgenden die Residuen  einer Funktion an einer Polstelle mit m\"oglichst geringem Aufwand bestimmen. 

\begin{lemma}\label{lem:residuum-aus-pol}
Es sei $f$ eine holomorphe Funktion, welche in $z_0$ eine Polstelle der Ordnung $\leq k$ besitzt. Dann gilt
\[ \operatorname{res}_{z_0}(f)\,\,=\,\,\lmfrac{1}{(k-1)!}\lmfrac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} \underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{holomorph auf eine}\\\opnormal{offene Scheibe um $z_0$}\\\opnormal{fortgesetzt}\end{array}}}{\underbrace{\big((z-z_0)^k\cdot f(z)\big)}}\Big|_{z=z_0}.\]
\end{lemma}

\begin{beispiel}
Die Funktion $f(z)=\tmfrac{\cos(z)}{z^2}$ besitzt eine Polstelle zweiter Ordnung bei $z_0=0$. Es folgt aus Lemma~\ref{lem:residuum-aus-pol}, dass
\[ \operatorname{res}_{0}(f)\,\,=\,\,\lmfrac{d}{dz}\big( z^2\cdot  f(z)\big)\Big|_{z=0}\,\,=\,\,\lmfrac{d}{dz} \cos(z)\Big|_{z=0}\,\,=\,\,-\sin(z)\Big|_{z=0}\,\,=\,\,-\sin(0)\,\,=\,\,0.\]
\end{beispiel}

\begin{proof}
Es sei also $f$ eine holomorphe Funktion, welche  am Punkt $z_0$ eine Polstelle der  Ordnung $\leq k$ besitzt. Dann gibt es nach Satz~\ref{satz:laurent-und-singularitaet} eine Folge $c_n, n\in \Z$ von komplexen Zahlen und ein $r>0$, so dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4.5cm}
f(z)&=& \lmsum{n=-k}{\infty} c_n(z-z_0)^n.
\intertext{auf $D_r(z_0)\setminus \{z_0\}$. Also ist }
(z-z_0)^k\cdot f(z)&=& \lmsum{n=-k}{\infty} c_n(z-z_0)^{n+k}\,\,=\,\,\underset{\opnormal{holomorphe Funktion in $z_0$}}{\underbrace{\sum\limits_{m=0}^\infty c_{m-k}(z-z_0)^m}}
\end{array}\end{align*}
Eine holomorphe Funktion und es folgt aus Korollar~\ref{kor:cn-durch-ableiten}\footnotemark, dass
\[
\begin{array}{rcl}
\operatorname{res}_{z_0}(f)\,\,=\,\,c_{-1}&=&
\lmfrac{1}{(k-1)!}\lmfrac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}
\sum\limits_{m=0}^\infty c_{m-k}(z-z_0)^m\Big|_{z=z_0}\\
&=&
\lmfrac{1}{(k-1)!}\lmfrac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{holomorph auf}\\\opnormal{$D_r(z_0)$ fortgesetzt}\end{array}}}{\underbrace{\big( (z-z_0)^k\cdot f(z)\big)}}\Big|_{z=z_0}.\hspace{0.8cm}\vspace{-0.5cm}\end{array}
\]
\footnotetext{Korollar~\ref{kor:cn-durch-ableiten} besagt, dass f\"ur
\[  g(z)\,=\,\sum\limits_{m=0}^\infty d_m(z-z_0)^m
\mbox{ mit Konvergenzradius $R>0$ gilt, dass }
\smfrac{1}{m!}g^{(m)}(z_0)\,=\\d_m.\]
In unserem Fall ist $d_m=c_{m-k}$ und wir wollen $d_{k-1}=c_{-1}$ bestimmen.
}
\end{proof}

Folgendes Lemma ist oft auch sehr hilfreich um Residuen zu bestimmen.

\begin{lemma}\label{lem:residuenbruch}
Es seien $g,h$ zwei holomorphe Funktionen in einer Umgebung von $z_0$.
Es sei $g(z_0)\ne 0$ und es sei $z_0$ eine Nullstelle erster Ordnung von $h(z)$. Dann ist
\[ \operatorname{res}_{z_0} \Big(\lmfrac{g}{h}\Big)\,\,=\,\,\lmfrac{g(z_0)}{h'(z_0)}.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Die Funktion $h$ besitzt nach Voraussetzung bei $z_0$ eine Nullstelle erster Ordnung.
Nach dem lokalen Darstellungssatz~\ref{satz:lokale-darstellung} gilt in einer Umgebung von $z_0$, dass
\[
h(z)\,\,=\,\,(z-z_0)\cdot k(z),\hspace{0.8cm}\]
wobei $k(z)$ eine holomorphe Funktion ist mit $k(z_0)\ne 0$. Die Funktion
\[ \begin{array}{rcl}
\lmfrac{g(z)}{h(z)}&=&\lmfrac{1}{z-z_0}\cdot \underbrace{\lmfrac{g(z)}{k(z)}}\\
&&\hspace{0.5cm} \tiny{\begin{array}{c}\mbox{holomorph in $z_0$}\\\mbox{mit Funktionswert}\\\mbox{bei $z_0$ nicht null}\end{array}}\end{array}\]
besitzt einen Pol erster Ordnung in $z_0$, und es folgt aus Lemma~\ref{lem:residuum-aus-pol}, dass 
\[ \begin{array}{rcl}
 \operatorname{res}_{z_0} \Big(\lmfrac{g}{h}\Big)&=&\underset{=\frac{g(z)}{k(z)}}{\underbrace{(z-z_0)\lmfrac{g(z)}{h(z)}}}\Big|_{z=z_0}\,\,=\,\, \lmfrac{g(z_0)}{k(z_0)}\,\,=\,\,\lmfrac{g(z_0)}{h'(z_0)}.\\[-0.9cm]
 &&\hspace{5.15cm}\uparrow\\
 &&\hspace{4.5cm}\mbox{nachdem}\\
 &&\hspace{3.2cm} h'(z)=(z-z_0)\cdot k'(z)+k(z)\vspace{-0.6cm}
 \end{array}\]
\end{proof}

\begin{beispiel}\label{bsp:residuum-2}
Die Funktion 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{5cm} f(z)&=&\lmfrac{z^2}{1+z^4}
\intertext{hat vier einfache Polstellen in}
z_k&=&\exp\big({i\tmfrac{\pi}{4}+2\pi i\tmfrac{k}{4}}\big), \mbox{ mit }k=0,1,2,3.
\end{array}
\end{align*}
Wir setzen $g(z)=z^2$ und $h(z)=1+z^4$. F\"ur die Polstelle $z_k$ erhalten wir aus Lemma~\ref{lem:residuenbruch}, dass
\[ \operatorname{res}_{z_k}(f)\,\,=\,\,\lmfrac{g(z_k)}{h'(z_k)}\,\,=\,\,\lmfrac{z_k^2}{4z_k^3}\,\,=\,\,\lmfrac{1}{4z_k}\,\,=\,\,\lmfrac{1}{4}\exp\big(-i\tmfrac{\pi}{4}-2\pi i\tmfrac{k}{4}\big).\]
\end{beispiel}


%==================================================================
\subsection{Der Residuensatz}
Der folgende Satz ist eine der H\"ohepunkte der Funktionentheorie.
Er besagt, dass man viele Kurvenintegrale ganz einfach durch das Bestimmen von Residuen und Umlaufszahlen bestimmen kann, ohne dass man sich jemals Gedanken um Stammfunktionen machen muss. 

\begin{satz}\textbf{\emph{(Residuensatz)}} \label{residuensatz}
Es sei $G\subset \C$ ein einfach zusammenh\"angendes Gebiet, es sei $D\subset G$ eine abgeschlossene diskrete Teilmenge\footnote{In den meisten Anwendungen ist $G=\C$ und $D$ ist eine  endliche Teilmenge von $\C$.} und es sei $\gamma$ ein geschlossener In\-teg\-rations\-weg in $G$,  welcher $D$ nicht trifft. Dann gilt f\"ur jede holomorphe Funktion $f\colon G\setminus D\to \C$, dass
\[ \lmfrac{1}{2\pi i}\bbint\limits_{\gamma} f(z)\,dz\,\,=\,\,\lmsum{w\in D}{} n(\gamma,w)\cdot \operatorname{res}_w(f).\]
\end{satz}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{residuensatz.pstex_t}
\caption{Illustration vom Residuensatz.}
\label{fig:residuensatz}
\end{center}
\end{figure}

\begin{bemerkung}
Die Summe im Residuensatz ist endlich. Genauer gesagt, es gibt nur endlich viele Punkte in $w\in D$, mit $n(\gamma,w)\ne 0$. Dies sieht man wie folgt.
Das Bild $|\gamma|$ der Kurve ist kompakt, insbesondere ist  $|\gamma|$ enthalten in einer abgeschlossenen Scheibe $\overline{D_r(0)}$. 
Da $D$ abgeschlossen und diskret ist und da $\overline{D_r(0)}$ kompakt ist, folgt aus Lemma~\ref{lem:diskret-endlich}, dass $D\cap \overline{D_r(0)}$ nur endlich viele Punkte enth\"alt. Es folgt leicht aus den Definitionen, dass alle Punkte au\ss erhalb von $\overline{D_r(0)}$ auch au\ss erhalb von $\gamma$ liegen. Insbesondere k\"onnen nach Lemma~\ref{lem:umlaufszahl-null} nur die Punkte in $D\cap \overline{D_r(0)}$ eine nicht verschwindende Umlaufszahl besitzen.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
Die Aussage vom Residuensatz gilt nicht, wenn $G$ nicht einfach zusammenh\"angend ist. Betrachten wir beispielsweise $G=\{ z\in \C\,|\, 1<|z|<3\}$, $f(z)=\frac{1}{z}$, $D=\emptyset$ und $\gamma$ die Kreisbahn von Radius 2 um den Ursprung. In diesem Fall betr\"agt die linke Seite vom Residuensatz $1$, aber die rechte Seite verschwindet, denn $D=\emptyset$. 
\end{bemerkung}

\begin{proof}[Beweis vom Residuensatz wenn $D$ endlich ist]
Es sei $G\subset \C$ ein einfach zusammenh\"angendes Gebiet, es sei $D=\{w_1,\dots,w_k\}\subset G$ eine endliche  Teilmenge und es sei $\gamma$ ein geschlossener In\-teg\-rations\-weg in $G$,  welcher $D$ nicht trifft. 

Wir wollen nun zeigen, dass f\"ur jede holomorphe Funktion 
 $f\colon G\setminus D\to \C$ gilt, dass
\[ (*)\hspace{3cm} \lmfrac{1}{2\pi i}\bbint\limits_{\gamma} f(z)\,dz\,\,=\,\,\lmsum{j=1}{k} n(\gamma,w_j)\cdot \operatorname{res}_{w_j}(f).\hspace{3cm}\]
In den n\"achsten drei Behauptungen wollen wir erst einmal die Aussage f\"ur verschiedene Typen  von Funktionen beweisen.
\\

\noindent \textbf{Behauptung 1.}
Wenn sich $f\colon G\setminus D\to \C$ zu einer holomorphen Funktion  $f\colon G\to \C$ fortsetzen l\"a\ss t, dann gilt die Aussage $(*)$ f\"ur $f$. 
\\

Nach Voraussetzung ist $G$ einfach zusammenh\"angend und damit ist $\gamma$ nullhomotop in $G$. Da sich $f$ zu einer holomorphen Funktion of $G$ fortsetzen l\"a\ss t, folgt aus Korollar~\ref{kor:null-homotop}, dass die  linke Seite von $(*)$  Null ist. Die rechte Seite von $(*)$ ist ebenfalls Null, nachdem das Residuum an einem Punkt verschwindet, wenn sich die Funktion holomorph auf den Punkt fortsetzen l\"a\ss t. Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.\\

\noindent \textbf{Behauptung 2.}
Es sei $j\in \{1,\dots,k\}$. 
Die Aussage $(*)$ gilt f\"ur jede Laurent-Reihe der Form
\[ f(z)\,\,=\,\,\sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_n(z-w_j)^n,\]
welche auf $\C\setminus \{w_j\}$ konvergiert.
\\

In diesem Fall ist 
\[ \begin{array}{rll} \smfrac{1}{2\pi i}\bint\limits_\gamma f(z)\,dz&=\,\, \smfrac{1}{2\pi i}\bint\limits_\gamma \smsum{n=-\infty}{\infty} c_n(z-w_j)^n\,dz 
&=\,\,\smsum{n=-\infty}{\infty}\smfrac{1}{2\pi i}\bint\limits_\gamma  c_n(z-w_j)^n\,dz\\[-0.2cm]
&&\uparrow\\
&&\hspace{-1cm}\opnormal{nach Satz~\ref{satz:laurentreihe-konvergenz}~(2) k\"onnen wir den}\\
&&\hspace{-2cm}\opnormal{Konvergenzsatz~\ref{satz:konvint} f\"ur Wegintegrale anwenden}\\
&=\,\, c_{-1}\cdot \underset{=n(\gamma,w_j)}{\underbrace{\lmfrac{1}{2\pi i}\bint\limits_\gamma \lmfrac{1}{z-w_j}\,dz}}&=\,\,\operatorname{res}_{w_j}(f)\cdot n(\gamma,w_j).\\[-0.8cm]
&\uparrow&\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{0.043cm}|&\hspace{0.043cm}|\\
&\hspace{-2cm}\mbox{denn f\"ur $n\ne -1$ besitzt $(z-w_j)^n$}&\hspace{-0.5cm}\mbox{siehe Seite~\pageref{residuum-cm1}}\\
&\hspace{-1cm}\mbox{eine Stammfunktion}\\
&=\,\,\lmsum{l=1}{k} n(\gamma,w_l)\cdot \operatorname{res}_{w_l}(f).\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\opnormal{an allen anderen Punkten sind}\\
&\hspace{-1.1cm}\opnormal{die Residuen $=0$, da die Funktion $f$}\\
&\hspace{-0.7cm}\opnormal{dort holomorph ist}\end{array}
\]
Wir haben damit auch diese Behauptung bewiesen.\\

\noindent \textbf{Behauptung 3.}
Wenn die Aussage $(*)$ f\"ur zwei Funktionen $f$ und $g$ gilt, dann gilt die Aussage $(*)$ auch f\"ur $f+g$.\\

Diese Behauptung folgt sofort aus der Beobachtung, dass beide Seiten der Aussage additiv sind.


Wir wenden uns nun dem Beweis vom allgemeinen Fall zu. Es sei also $f\colon G\setminus D\to \C$ eine beliebige holomorphe Funktion. 
F\"ur $j=1,\dots,k$ sei $h_j(z)$ der Hauptteil der Laurent-Reihenentwicklung von $f$ um $w_j$. 
Nachdem jedes $w_j$ eine isolierte Singularit\"at von $f$ ist, existiert jeweils ein $\epsilon>0$, so dass $h_j(z)$ f\"ur alle $z\in D_\epsilon(w_j)\setminus \{w_j\}$ konvergiert. Nachdem $h_j(z)$ eine reine Laurent-Reihe ist, konvergiert nach Satz~\ref{satz:reine-laurentreihen} die Laurent-Reihe $h_j(z)$ sogar auf ganz $\C\setminus \{w_j\}$. 

Bei den Singularit\"aten $w_1,\dots,w_k$ verschwindet jeweils der Hauptteil der  Funktion $f(z)-\tmsum{j=1}{k} h_j(z)$
\footnote{In der Tat, denn f\"ur $l\in \{1,\dots,k\}$ gilt an dem Punkt $w_l$, dass
\[  \mbox{Hauptteil}\Big(f(z)-\tmsum{j=1}{k} h_j(z)\Big)\,=\,
\underset{\opnormal{$=0$, nach Wahl von $h_l$}}{\underbrace{\mbox{Hauptteil}(f(z))-\mbox{Hauptteil} (h_l(z))}}-\tmsum{j=1, j\ne l}{k} \underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{$=0$, da $h_j(z)$ holomorph}\\\opnormal{in $w_l$ f\"ur $j\ne l$}\end{array}}}{\underbrace{\mbox{Hauptteil}(h_j(z))}}\hspace{-0.2cm} \,=\,0. \]}
es folgt also aus Satz~\ref{satz:laurent-und-singularitaet}, dass wir diese Funktion holomorph auf ganz $G$ fortsetzen k\"onnen.
Wir drehen den Spie\ss\, um und schreiben
\[ f(z)\,\,=\,\,\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{Aussage $(*)$ gilt nach}\\\opnormal{Behauptung 1}\end{array}}}{\underbrace{f(z)\,-\,\sum_{j=1}^k \,h_j(z)}}\,\,+\,\,\sum_{j=1}^k\hspace{-0.6cm}\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{Aussage $(*)$ gilt}\\\opnormal{nach Behauptung 2}\end{array}}}{\underbrace{\phantom{\bigg(} h_j(z)\,\,}}\]
also gilt nach Behauptung 3 die gew\"unschte Aussage auch f\"ur die Funktion $f$.
\end{proof}


\begin{proof}[Beweis vom Residuensatz wenn $D$ unendlich ist]
Es sei nun also $G\subset \C$ ein einfach zusammenh\"angendes Gebiet, es sei $D\subset G$ eine abgeschlossene, diskrete Teilmenge und es sei $\gamma\colon [a,b]\to G$ ein geschlossener In\-teg\-rations\-weg,  welcher $D$ nicht trifft.
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Die Menge $D$ ist nun also eventuell unendlich. Aber es folgt aus Lemma~\ref{lem:diskret-endlich}, dass f\"ur jedes $r>0$ die Menge $D\cap D_r(0)$ endlich ist. Wir wollen uns daher auf einen endlichen Bereich $D_r(0)$ einschr\"anken. Wir m\"ussen dabei $r$ so w\"ahlen, dass $\gamma$ in $D_r(0)$ enthalten ist, und dass $\gamma$ in $G\cap D_r(0)$ zudem auch nullhomotop ist.}
\end{enumerate} Nachdem $G$ einfach zusammenh\"angend ist, gibt es eine Homotopie von $\Phi\colon [a,b]\times [0,1]\to G$ von $\gamma$ zu einem konstanten Weg. Aus der Kompaktheit von $\Phi([a,b]\times [0,1])$ folgt,
dass es ein $r>0$ gibt, so dass 
\[ \Phi([a,b]\times [0,1])\,\,\subset \,\,D_r(0).\]
Nachdem $D$ abgeschlossen und diskret ist und da $\overline{D_r(0)}$ kompakt ist, folgt aus Lemma~\ref{lem:diskret-endlich}, dass $D':=D\cap D_r(0)$ nur endlich viele Punkte $z_1,\dots,z_n$ enth\"alt. 

Wir f\"uhren nun genau das gleiche Argument wie im vorherigen Beweis durch, nur dass wir anstatt mit $G$ und $D$ nun mit  $G'=G\cap D_r(0)$ und $D'=D\cap D_r(0)$  arbeiten. Die Menge $G'$ ist offen, aber nicht notwendigerweise einfach zusammenh\"angend. Aber die Kurve $\gamma$ ist nullhomotop in $G'$, und das ist das einzige, was wir im vorherigen Argument verwendet hatten. Der Rest vom vorherigen Beweis kann ohne Ab\"anderung \"ubernommen werden. 
\end{proof}

\begin{definition}
Es sei $X\subset \C$ eine Teilmenge. Wir sagen $X$ besitzt eine \emph{positive Randkurve}, wenn es einen geschlossenen In\-teg\-rations\-weg $\gamma\colon [a,b]\to \C$ mit $|\gamma|=\partial X$ gibt, so dass
\[ n(\gamma,z)\,\,=\,\,\left\{ \begin{array}{ll}1, &\mbox{ f\"ur alle $z$ im Inneren von $X$},\\
0&\mbox{ f\"ur alle $z\not\in \overline{X}$.}\end{array} \right.
\]
Wir bezeichnen dann diesen In\-teg\-rations\-weg ebenfalls mit $\partial X$.\footnote{F\"ur ein Rechteck $Q$ ist dies gerade die Konvention, welche wir auf Seite~\pageref{def:randkurve-q} eingef\"uhrt hatten.}
\end{definition}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{positive-randkurven.pstex_t}
\caption{Beispiele von positiven Randkurven.}
\end{center}
\end{figure}

Die meisten ``allt\"aglichen'' Anwendungen vom Residuensatz 
kann man schon mit der folgenden, etwas einfacheren Residuenformel bewerkt\"atigen. 



\begin{satz}\emph{\textbf{(Residuenformel)}}\label{satz:residuenformel}
Es sei $G\subset \C$ ein einfach zusammenh\"angendes Gebiet und es sei $X\subset G$ eine  Teilmenge mit $\overline{X}\subset G$, welche eine positive Randkurve besitzt. Es sei $D\subset G$ eine abgeschlossene, diskrete Teilmenge mit $D\cap \partial X=\emptyset$, und es sei $f \colon G\setminus D\to \C$ eine holomorphe Funktion. Dann gilt
\[ \bbint\limits_{\partial X} f(z)\,dz\,\,=\,\,2\pi i\lmsum{w\in D\cap X }{} \operatorname{res}_{w}(f).\]
\end{satz}


\begin{proof}
Die Residuenformel folgt sofort aus dem Residuensatz~\ref{residuensatz} angewandt auf $G$ und auf  $\gamma=\partial X$, denn  f\"ur alle $w$ im Inneren von $X$ gilt nach Voraussetzung $n(\gamma,w)=1$ und f\"ur alle $w$, welche nicht in $\overline{X}$ liegen, gilt nach Voraussetzung $n(\gamma,w)=0$.
\end{proof}

\begin{beispiel}
Wir wollen 
\[ \bbint\limits_{|z|=1} \smfrac{e^z}{z^4}\,dz\,\,=\,\,\bbint\limits_{\partial D_1(0)} \smfrac{e^z}{z^4}\,dz\]
bestimmen. Der Integrand besitzt genau eine Singularit\"at bei $z=0$. 
Wir wenden also die Residuenformel auf $G=\C$, $X=D_1(0)$, $f(z)=\frac{e^z}{z^4}$ und $D=\{0\}$ an. Wir erhalten, dass
\[ \begin{array}{rll} 
\bbint\limits_{\partial D_1(0)} \smfrac{e^z}{z^4}\,dz&=\,\, 2\pi i\cdot \operatorname{res}_0\Big(\smfrac{e^z}{z^4}\Big)&=\,\,2\pi i\cdot \smfrac{1}{3!}\,\,=\,\,\smfrac{\pi i}{3}.
\\[-0.4cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mbox{Residuenformel}&\hspace{-1cm}\mbox{Berechnung auf Seite~\pageref{bsp:residuum}}\end{array}\]
\end{beispiel}
% Ende 13. Vorlesung

\newpage
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\section{Anwendungen vom Residuensatz}

In diesem Kapitel wollen wir noch zwei Anwendungen vom Residuensatz kennenlernen. Zum einen werden wir eine Methode finden um uneigentliche Integrale von rationalen Funktionen zu bestimmen. Zum anderen werden wir den Satz von Rouch\'e formulieren und beweisen.

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\subsection{Uneigentliche Integrale von rationalen Funktionen}
Zur Erinnerung, eine rationale Funktion ist eine Funktion, welche geschrieben werden kann als Bruch von zwei Polynomen\footnote{Das Polynom kann hierbei auch komplexe Koeffizienten besitzen.}. 
In diesem Kapitel wollen wir uneigentliche  Integrale von rationalen Funktionen bestimmen. In anderen Worten, wir wollen Integrale der Form
\[ \bbint\limits_{-\infty}^\infty \smfrac{p(x)}{q(x)}\,dx\]
studieren, wobei $p(x)$ und $q(x)$ Polynome sind, und wobei $q(x)$ keine reellen Nullstellen besitzt. Beispielsweise m\"ochten wir gerne das Integral
\[ \bbint\limits_{-\infty}^\infty \smfrac{x^2}{1+x^4}\,dx\]
bestimmen.\footnote{Zur Erinnerung, f\"ur eine reelle Funktion $f\colon \R\to \R$ hatten wir das uneigentliche Integral \"uber $(-\infty,\infty)$ definiert als
\[ \bint\limits_{-\infty}^\infty f(x)\,dx\,\,=\,\,\bint\limits_{-\infty}^0 f(x)\,dx\,+\,\bint\limits_{0}^\infty f(x)\,dx\,\,=\,\,\underset{r\to -\infty}{\lim} \bint\limits_{r}^0 f(x)\,dx\,+\,\underset{r\to \infty}{\lim}\bint\limits_{0}^r f(x)\,dx.\]}

\begin{satz}\label{satz:konvergenz-integral-rationale-funktion}
Es seien $p(x)$ und $q(x)$ zwei Polynome,  wobei  $q(x)$ keine reellen Nullstellen besitzt. Dann gilt
\[ \bbint\limits_{-\infty}^\infty \smfrac{p(x)}{q(x)}\,dx \mbox{ konvergiert}\quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname{Grad}(q(x))\geq \operatorname{Grad}(p(x))+2.\]
\end{satz}

In dem Beweis von Satz~\ref{satz:konvergenz-integral-rationale-funktion} werden wir folgendes Lemma verwenden.

\begin{lemma}\label{lem:abschaetzung-polynom}
Es sei $p(z)$ ein Polynom von Grad $n$. Dann gibt es $c,C>0$ und ein $R>0$, so dass
\[ c\cdot |z|^n\,\,\leq\,\,|p(z)|\,\,\leq\,\,C\cdot |z|^n\quad \mbox{ f\"ur alle $z\in \C$ mit $|z|\geq R$}.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei also  
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{3cm} p(z)&=&a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+a_1z+a_0,
\intertext{ein Polynom von Grad $n$, d.h.\ mit $a_n\ne 0$. Wir schreiben dieses wie folgt um}
 p(z)&=&a_nz^n\cdot \Big(1+\underset{=:r(z)}{\underbrace{ \tmfrac{a_{n-1}}{a_n}\tmfrac{1}{z}+\dots+\tmfrac{a_1}{a_n}\tmfrac{1}{z^{n-1}}+\tmfrac{a_0}{a_n}\tmfrac{1}{z^n}}}\Big).\end{array}\end{align*}
Nachdem $\underset{z\to \infty}{\lim} r(z)=0$ gibt es ein $R>0$, so dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}
 |r(z)|&\leq &\tmfrac{1}{4}&
 \mbox{ f\"ur alle $z$ mit $|z|\geq R$.}
\intertext{Dann gilt aber }
  |p(z)-a_nz^n|&\leq& \tmfrac{1}{4}|a_nz^n|&
\mbox{ f\"ur alle $z$ mit $|z|\geq R$.}
\intertext{Aus der Dreiecksungleichung folgt nun, dass}
 \hspace{3.2cm}  \underset{=:c}{\underbrace{\tmfrac{3}{4}|a_n|}}\cdot |z|^n&\leq&|p(z)|\,\,\leq\,\, \underset{=:C}{\underbrace{\tmfrac{5}{4}|a_n|}}\cdot |z|^n& \mbox{ f\"ur alle $z$ mit $|z|\geq R$}.\end{array} \end{align*}
\end{proof}


Wir wenden uns nun dem Beweis von Satz~\ref{satz:konvergenz-integral-rationale-funktion} zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:konvergenz-integral-rationale-funktion}]
Es seien $p(x)$ und $q(x)$ zwei Polynome,  wobei  $q(x)$ keine reellen Nullstellen besitzt. Wir bezeichnen mit $k$ den Grad von $p(x)$ und wir bezeichnen mit $l$ den Grad von $q(x)$. Aus Lemma~\ref{lem:abschaetzung-polynom}, angewandt auf $p(x)$ und $q(x)$ folgt, dass es  $c,C>0$ und ein $R>0$ gibt, so dass
\[ c\cdot |x|^{k-l}\,\,\leq\,\,\Big|\tmfrac{p(x)}{q(x)}\Big|\,\,\leq\,\,C\cdot |x|^{k-l}\quad \mbox{ f\"ur alle $x\in \C$ mit $|x|\geq R$}.\]
Wir wissen nat\"urlich, dass f\"ur $R>0$ und $s\in \Z$ die beiden uneigentlichen Integrale
\[ \bint\limits_{-\infty}^{-R} x^{s}\,dx\quad  \mbox{ und }\quad \bint\limits_{R}^{\infty} x^{s}\,dx\]
konvergieren, genau dann, wenn $s\leq -2$. Der Satz folgt nun aus dem Majoranten-Kriterium f\"ur uneigentliche Integrale, welches wir in Analysis~I formuliert hatten.\footnote{Zur Erinnerung, dieses lautet wie folgt:
Es seien $f,g\colon  [a,b)\to \R$ zwei stetige Funktionen gegeben, wobei $b\in \R\cup \{\infty\}$. Nehmen wir an, es gibt  ein $C\in (a,b)$, so dass $g(x)\geq |f(x)|$ f\"ur alle $x\in [C,b)$.
Dann gilt
\[ \bint\limits_a^b g(x)dx\mbox{  konvergiert }\quad \Longrightarrow \quad \bint\limits_a^b f(x)dx\mbox{ konvergiert.}\]
Eine analoge Aussage gilt auch f\"ur Funktionen, welche auf $(a,b]$ definiert sind.
}\footnote{Warum folgen eigentlich beide Aussagen ``$\Rightarrow$'' und ``$\Leftarrow$'' von Satz~\ref{satz:konvergenz-integral-rationale-funktion} aus den gerade angegebenen Argumenten?} 
\end{proof}



\begin{satz}\label{satz:integral-rationale-funktion}
Es seien $p(x)$ und $q(x)$ zwei Polynome,  wobei  $q(x)$ keine reellen Nullstellen besitzt. Wir nehmen an, dass $\operatorname{Grad}(q(x))\geq \operatorname{Grad}(p(x))+2$.  Dann gilt
\[ \bbint\limits_{-\infty}^\infty \smfrac{p(x)}{q(x)}\,dx \,\,=\,\,
2\pi i\hspace{-0.3cm}\lmsum{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{$w$ Nullstelle}\\\opnormal{von $q(z)$ mit}\\\opnormal{$\operatorname{Im}(w)>0$}\end{array}}}{}\hspace{-0.3cm}\operatorname{res}_w\Big(\tmfrac{p(z)}{q(z)}\Big).\]
\end{satz}


\begin{proof}
Es ist 
\[\begin{array}{rl}
\bbint\limits_{-\infty}^\infty \smfrac{p(x)}{q(x)}\,dx \,\,=\,\,
\underset{r\to\infty}{\lim} \bbint\limits_{-r}^r \smfrac{p(x)}{q(x)}\,dx &=\,\,
\underset{r\to\infty}{\lim} \bbint\limits_{\alpha_r} \smfrac{p(z)}{q(z)}\,dz\,\,=\,\,(*)\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-3cm}\mbox{$\alpha_r$ verbindet die Punkte $-r$ und $r$ auf der $x$-Achse}\end{array}\]
Wir wollen jetzt $\alpha_r$ zu einem geschlossenen Weg verl\"angern, damit wir die Residuenformel verwenden k\"onnen. F\"ur $r>0$ bezeichnen wir dazu mit  $\beta_r$ den Halbkreis in der oberen Halbebene um den Ursprung, welcher den Punkt $r$ mit dem Punkt $-r$ verbindet. Die  Wege $\alpha_r$ und $\beta_r$ sind in Abbildung~\ref{fig:halbkreis} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{halbkreis.pstex_t}
\caption{}\label{fig:halbkreis}
\end{center}
\end{figure}
Dann gilt
\[ \begin{array}{rl}(*)&=\,\,
\underset{r\to\infty}{\lim}\hspace{-1.6cm} \underset{
\scriptsize{\begin{array}{c}\opnormal{f\"ur $r$ gro\ss\, genug ist dies nach der}\\
\opnormal{Residuenformel bestimmt durch die Residuen von $\frac{p(z)}{q(z)}$}\\
\opnormal{bei allen Nullstellen von $q(z)$ mit $\operatorname{Im}(z)>0$}\end{array}}}{\underbrace{\bbint\limits_{\alpha_r\cdot \beta_r} \hspace{0.3cm}\smfrac{p(z)}{q(z)}\hspace{0.3cm}\,dz}}\hspace{-1.3cm}-\,\,\underset{r\to\infty}{\lim} \bbint\limits_{\beta_r} \smfrac{p(z)}{q(z)}\,dz\\
&=\,\,2\pi i\lmsum{j=1}{n}  \operatorname{res}_{w_j}\Big(\tmfrac{p(z)}{q(z)}\Big)-\,\,\underset{r\to\infty}{\lim} \bbint\limits_{\beta_r} \smfrac{p(z)}{q(z)}\,dz\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\opnormal{hierbei sind $w_1,\dots,w_n$ die Nullstellen von $q(z)$ in der oberen Halbebene.}\end{array}\]
Wir m\"ussen nun noch zeigen, dass der zweite Grenzwert verschwindet, d.h.\ wir wollen folgende Behauptung beweisen.

\begin{behauptung}
Es ist
\[
\underset{r\to\infty}{\lim} \bbint\limits_{\beta_r} \smfrac{p(z)}{q(z)}\,dz\,\,=\,\,0.\]
\end{behauptung}

Nach Lemma~\ref{lem:abschaetzung-polynom} gibt es ein $R>0$ und ein $C>0$, so dass f\"ur alle $z$ mit $|z|\geq R$ gilt, dass 
\[ \big|\tmfrac{p(z)}{q(z)}\big|\,\,\leq\,\,C\cdot |z|^{\operatorname{Grad}(p)-\operatorname{Grad}(q)}\,\,\leq\,\,C\cdot |z|^{-2}.\]
F\"ur alle $r\geq R$ gilt dann
\[ \begin{array}{rl}\Big|\bbint\limits_{\beta_r} \lmfrac{p(z)}{q(z)}\,dz\Big|&\leq\,\,
\mbox{L\"ange}(\beta_r)\cdot \mbox{Maximum von $ \underset{\leq\tmfrac{C}{|z|^2}}{\underbrace{\big|\tmfrac{p(z)}{q(z)}\big|}}$ auf dem Halbkreis $\beta_r$}\,\leq\,\pi r\cdot \smfrac{C}{r^2}\,=\,\smfrac{C\pi}{r}. \\[-11mm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:abschaetzung-wegintegral}}\end{array}\]
Wir sehen also, dass im Grenzwert $r\to \infty$ das Integral verschwindet. Wir haben damit die Behauptung bewiesen.


\end{proof}



\begin{beispiel}
Wir kehren nun zu dem Integral
\[ \bbint\limits_{-\infty}^\infty \lmfrac{x^2}{1+x^4}\,dx\]
zur\"uck. Auf Seite~\pageref{bsp:residuum-2} hatten wir schon gesehen, dass die Nullstellen vom Nenner gegeben  sind  durch
\[ z_k\,\,=\,\exp\big({\tmfrac{\pi}{4}i+\tmfrac{\pi}{2}}ki\big)\,\,=\,\,\cos\Big(\tmfrac{\pi}{4}+ \tmfrac{\pi}{2}k\Big)+i\sin\Big(\tmfrac{\pi}{4}+\tmfrac{\pi}{2}k\Big),\quad \mbox{ mit }k=0,1,2,3.\]
F\"ur $k=0,1$ liegt $z_k$ in der oberen Halbebene, f\"ur $k=2,3$ liegt $z_k$ in der unteren Halbebene. Auf Seite~\pageref{bsp:residuum-2} hatten wir schon berechnet, dass
\[ \operatorname{res}_{z_k}(f)\,\,=\,\,\lmfrac{\opnormal{Z\"ahler bei $z_k$}}{\opnormal{Ableitung vom Nenner bei $z_k$}}\,\,=\,\,\lmfrac{z_k^2}{4z_k^3}\,\,=\,\,\lmfrac{1}{4z_k}\,\,=\,\,\lmfrac{1}{4}\exp\big(-\tmfrac{\pi}{4}i- \tmfrac{\pi}{2}ki\big).\]
Es folgt also aus Satz~\ref{satz:integral-rationale-funktion}, dass
\[ \bbint\limits_{-\infty}^\infty \lmfrac{x^2}{1+x^4}\,dx\,\,=\,\,
2\pi i\lmsum{k=0,1}{}  \tmfrac{1}{4}\exp\big(-\tmfrac{\pi}{4}i- \tmfrac{\pi}{2}ki\big)\,\,=
\,\,
  \lmfrac{1}{2}\pi i\cdot \Big(\underset{=\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)}{\underbrace{\exp\big(-\tmfrac{\pi}{4}i\big)}}+ \underset{=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1-i)}{\underbrace{\exp\big(-\tmfrac{3\pi}{4}i\big)}}\Big)\,\,=\,\,\lmfrac{1}{\sqrt{2}}\pi.\]
\end{beispiel}



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\subsection{Meromorphe Funktionen und der Satz von Rouch\'e}

\begin{definition}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Eine \emph{meromorphe Funktion} ist eine holomorphe Funktion $f\colon \C\setminus D\to \C$, wobei $D\subset \C$ eine abgeschlossene, diskrete Teilmenge ist, so dass jeder Punkt in $D$ entweder eine hebbare Singularit\"at oder eine Polstelle ist.
\item
Es sei $f$ eine meromorphe Funktion. Wir bezeichnen mit $\tilde{f}$ die meromorphe Funktion, welche wir durch Hebung aller hebbaren Singularit\"aten von $f$ erhalten.
\end{enumerate}
\end{definition}


\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Jede ganze Funktion ist  meromorph. 
\item Jede rationale Funktion ist meromorph, denn der Nenner besitzt  nur endlich viele, insbesondere diskrete, Nullstellen. Zudem ist jede Singularit\"at einer rationalen Funktion eine Polstelle.
\item Summen und Produkte von meromorphen Funktionen sind meromorph. Genauer gesagt, wenn $f\colon \C\setminus D\to \C$ und $g\colon \C\setminus E\to \C$ meromorphe Funktionen sind, dann sind auch 
$f+g\colon \C \setminus (D\cup E)\to \C$ und $f\cdot g\colon \C \setminus (D\cup E)\to \C$ meromorphe Funktionen. 
\item Die Ableitung einer meromorphen Funktion ist wiederum meromorph.
\footnote{Wenn $z$ eine Polstelle von $f$ ist, dann folgt aus Satz~\ref{satz:laurent-und-singularitaet} und Satz~\ref{satz:gliedweises-ableiten}, dass $z$ eine Polstelle von $f'$ ist.}
\item Andererseits ist die Funktion $\sin(\frac{1}{z})$ nicht meromorph, denn wie wir auf Seite~\pageref{bsp:sin1z-wesentlich} und auf Seite~\pageref{bsp:sin1z-wesentlich-2} gesehen hatten, ist die Singularit\"at $z_0=0$ weder hebbar noch eine Polstelle. 
\end{enumerate}
\end{beispiele}



\begin{lemma}\label{lem:nullstellen-diskret}
Es sei $f$ eine meromorphe Funktion, welche nicht die Nullfunktion ist. Dann ist die Nullstellenmenge eine diskrete und abgeschlossene Teilmenge von $\C$. 
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei $f\colon \C\setminus D\to \C$ eine meromorphe Funktion. Wir bezeichnen mit $N$ die Nullstellenmenge von $f$. Wir beweisen folgende Aussagen:
\begin{enumerate}
\item wenn $N$ nicht  diskret ist, dann ist $f$ die Nullfunktion,
\item wenn $N$ nicht abgeschlossen ist, dann ist $f$ die Nullfunktion. 
\end{enumerate}
Wir wenden uns nun dem Beweis der beiden Aussagen zu.
\begin{enumerate}
\item Wenn $N$ nicht diskret ist, dann besitzt $N$ einen H\"aufungspunkt in $N$. Es folgt aus dem Identit\"atssatz~\ref{satz:identitat}, dass $f\colon \C\setminus D\to \C$ schon die Nullfunktion ist.
\footnote{Hierbei muss man noch zeigen, dass $\C\setminus D$ ein Gebiet ist. Nachdem $D$ abgeschlossen ist, ist  $\C\setminus D$ offen. F\"ur jedes $r>0$ ist $D\cap  \overline{D_r(0)}$ nach Lemma~\ref{lem:diskret-endlich} endlich, also folgt leicht, dass $(\C\setminus D)\cap \overline{D_r(0)}$ wegzusammenh\"angend ist, also auch $\C\setminus D$.}
\item Wenn $N$  nicht abgeschlossen ist, dann gibt es ein $z\not\in N$, welches Grenzwert einer Folge von Punkten $z_n\in N$ ist.  Aus der Stetigkeit von $f$ folgt, dass dies nur der Fall sein kann, wenn $z$ nicht im Definitionsbereich liegt, d.h.\ $z\in D$. Nachdem $f$ meromorph ist, ist $z$ entweder hebbar oder eine Polstelle. Nachdem $z$ der Grenzwert von Nullstellen ist, kann $z$ keine Polstelle sein, also muss $z$ hebbar sein und  es gilt $\tilde{f}(z)=0$. Dann folgt aber wiederum  aus dem Identit\"atssatz~\ref{satz:identitat}, dass $\tilde{f}$ schon die Nullfunktion ist, und damit auch $f$ die Nullfunktion ist.\vspace{-0.5cm}
\end{enumerate}
\end{proof}

Wir erhalten dann  aus Lemma~\ref{lem:polstelle-nullstelle} und  Lemma~\ref{lem:nullstellen-diskret} folgendes Korollar.

\begin{korollar}\label{kor:1durchf-meromorph}
Es sei $f$ eine meromorphe Funktion, welche nicht die Nullfunktion ist. Dann ist die Funktion $\frac{1}{f(z)}$ ebenfalls meromorph.
\end{korollar}

\begin{bemerkung}
Wir sagen zwei meromorphe Funktionen $f$ und $g$ sind \emph{\"aquivalent},  wenn $f$ und $g$ nach Hebbung aller hebbaren Singularit\"aten \"ubereinstimmen, mit anderen Worten,  wenn $\tilde{f}=\tilde{g}$.\footnote{Man kann sich nun leicht davon \"uberzeugen, dass dies in der Tat eine \"Aquivalenzrelation ist.} \footnote{Von der Definition her sind beispielsweise 
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \C\setminus \{0\}&\to &\C\\
z&\mapsto & \frac{1}{z}\end{array} \quad \mbox{ und } \quad \begin{array}{rcl} g\colon \C\setminus \Z&\to &\C\\
z&\mapsto & \frac{1}{z}\end{array} \]
zwei verschiedene meromorphe Funktionen, denn die Definitionsbereiche sind verschieden. Wenn wir aber alle hebbaren Singularit\"aten von $g$ beheben, erhalten wir gerade $f$. Die beiden meromorphen Funktionen sind also \"aquivalent.}
Wir bezeichnen nun mit $\mathcal{M}$ die Menge der \"Aquivalenzklassen von meromorphen Funktionen.
Wir k\"onnen nun wie \"ublich das Produkt und die Summe auf $\mathcal{M}$ bilden.\footnote{Hierbei verwenden wir, dass f\"ur $f\sim f'$ und $g\sim g'$ auch gilt $(f+f')\sim (g+g')$ und $(f\cdot f')\sim (g\cdot g')$. }
Mit diesen Operationen bildet $\mathcal{M}$ einen Ring. Es folgt dann aus Korollar~\ref{kor:1durchf-meromorph}, dass $\mathcal{M}$ sogar ein K\"orper ist. Dieser K\"orper wird, wenig \"uberraschend, als der \emph{K\"orper der meromorphen Funktionen} bezeichnet.
\end{bemerkung} 

\begin{definition}
Es sei $f$ eine meromorphe Funktion, welche nicht die Nullfunktion ist. 
\begin{enumerate}
\item Wir bezeichnen mit $N(f)$ die Menge der Nullstellen von $\tilde{f}$ und wir bezeichnen mit $P(f)$ die Menge der Polstellen von $\tilde{f}$.
\item F\"ur $a\in N(f)$ bezeichnen wir mit $o(f,a)\in \N$ die Ordnung der Nullstelle von $\tilde{f}$. Ganz analog definieren wir $o(f,a)\in \N$ f\"ur $a\in P(f)$ als die Ordnung der Polstelle. Manchmal nennen wir $o(f,z_0)$ die \emph{Vielfachheit} der Nullstelle bzw.\ der Polstelle.
\item F\"ur $X\subset \C$ bezeichnen wir
\[ \hspace{1cm} N(f,X)\,\,:=\,\,\sum_{a\in N(f)\cap X} o(f,a) \quad{ bzw.\ }\quad
P(f,X)\,\,:=\,\,\sum_{a\in P(f)\cap X} o(f,a) 
 \]
als die \emph{Anzahl der Nullstellen $($bzw.\ Polstellen$)$ von $f$ in $X$, mit Vielfachheit gez\"ahlt}.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
Es ist 
\[ N(z^4,\C)\,\,=\,\,4 \mbox{ und } P\Big(\tmfrac{z-1}{(z-2)(z+3)^2}\Big)\,\,=\,\,1+2\,\,=\,\,3.\]
Allgemeiner  folgt aus dem Fundamentalsatz der Algebra, in der Formulierung von Korollar~\ref{kor:linearfaktorzerlegung}, dass f\"ur ein Polynom $p(z)$ von Grad $n$ gilt $N(p(z),\C)=n$. In anderen Worten, die Anzahl der Nullstellen von einem Polynom von Grad $n$ in $\C$, mit Vielfachheit gez\"ahlt,  betr\"agt gerade $n$. 
\end{beispiel}

\begin{satz}\label{satz:differenz-nulstellen-polstellen}
\textbf{\emph{(Satz vom Null- und Polstellen z\"ahlenden Integral)}}
Es sei $f$ eine meromorphe Funktion und es sei $X\subset \C$ eine  Teilmenge, welche eine positive Randkurve besitzt. Wenn keine Nullstelle oder Polstelle von $\tilde{f}$ auf $\partial X$ liegt, dann gilt
\[ \lmfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_{\partial X} \lmfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz\,\,=\,\,
N(f,X)\,\,-\,\,P(f,X).\]
\end{satz}

Der Satz besagt also, dass das Wegintegral von $\frac{f'}{f}$ \"uber den Rand $\partial X$ die Differenz zwischen der Zahl der  Nullstellen und der Polstellen (jeweils mit Vielfachheit gez\"ahlt) von $f$ in $X$ bestimmt.

\begin{proof}
Wir k\"onnen o.B.d.A.\ annehmen, dass $f=\tilde{f}$, d.h.\ wir k\"onnen annehmen, dass $f$ keine hebbaren Singularit\"aten besitzt.\footnote{In der Tat, denn die beiden Seiten der gew\"unschten Gleichung stimmen f\"ur $f$ und $\tilde{f}$ \"uberein.}

Es ist 
\[ \begin{array}{ll}\lmfrac{1}{2\pi i}\bbbint\limits_\gamma \lmfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz&=\,\,\lmsum{w\in N(f)\cap X }{} \operatorname{res}_{w}(f)\,\,+\,\,\lmsum{w\in  P(f)\cap X }{} \operatorname{res}_{w}(f).
\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-4cm}
\small{
\begin{array}{c}\mbox{Residuenformel~\ref{satz:residuenformel},}\\
\mbox{wir verwenden hierbei, dass die Singularit\"atenmenge}\\
\mbox{von $\frac{f'}{f}$ gegeben ist durch $N(f)\cup P(f)$.}\end{array}}\end{array}\]
Es gen\"ugt nun  folgende Behauptung zu beweisen.

\begin{behauptung}
F\"ur $a\in N(f)$ gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.6cm} \operatorname{res}_a\Big(\tmfrac{f'}{f}\Big)&=& o(f,a)
\intertext{und f\"ur $a\in P(f)$  gilt}
\operatorname{res}_a\Big(\tmfrac{f'}{f}\Big)&=& -o(f,a).\end{array} \end{align*}
\end{behauptung}

Wir betrachten zuerst den Fall, dass $a\in N(f)$. Wir setzen $k=o(f,a)$. Dann besagt der lokale Darstellungssatz~\ref{satz:lokale-darstellung}, dass wir in der N\"ahe von $a$ schreiben k\"onnen
\[ f(z)\,\,=\,\,(z-a)^k\cdot g(z),\]
wobei $g$ eine holomorphe Funktion ist mit $g(a)\ne 0$.  Daraus folgt, dass
\[ \begin{array}{ll}
\operatorname{res}_{a}\Big(\lmfrac{f'(z)}{f(z)}\Big)&=\,\,\operatorname{res}_{a}\Big(\lmfrac{k\cdot (z-a)^{k-1}\cdot g(z)+(z-a)^k\cdot g'(z)}{(z-a)^k\cdot g(z)}\Big)\\
&=\,\,\operatorname{res}_{a}\Big(\lmfrac{kg(z)+(z-a)g'(z)}{(z-a)g(z)}\Big)\,\,=\,\,k\,\,=\,\,o(f,a).\\[-0.3cm]
&\hspace{5.6cm}\uparrow\\
&\hspace{1.1cm}
\small{\begin{array}{c}\mbox{dies ist eine Polstelle 1.\ Ordnung,}\\
\mbox{nach Lemma~\ref{lem:residuum-aus-pol} erhalten wir das Residuum}
\\\mbox{durch Multiplizieren mit $(z-a)$ und Einsetzen von $z=a$}\end{array}}\end{array}\]
Es sei nun $a\in P(f)$. 
Wir setzen $k=o(f,a)$. Dann besagt Lemma~\ref{lem:pol}, dass wir in der N\"ahe von $a$ schreiben k\"onnen
 \[ f(z)\,\,=\,\,(z-a)^{-k}\cdot g(z),\]
 wobei $g$ eine holomorphe Funktion ist mit $g(a)\ne 0$. Genau die gleiche Rechnung wie oben zeigt, dass das Residuum nun $-k=-o(f,a)$ betr\"agt.
\end{proof}

\begin{satz}\textbf{\emph{(Satz von Rouch\'e)}}
Es seien $f$  und $g$ meromorphe Funktionen.
Zudem  sei $X$ eine Teilmenge, welche eine positive Randkurve besitzt.
Wenn $f$ und $g$ in $\overline{X}$ keine Polstelle besitzen, und wenn
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{5.5cm} |g(z)|&<& |f(z)|\hspace{1cm} \mbox{ f\"ur alle $z\in \partial X$},
\intertext{dann gilt}
 N(f,X)&=&N(f+g,X),\end{array} \end{align*}
d.h.\ $f$ und $f+g$ besitzen die gleiche Anzahl von Nullstellen in $X$, mit Vielfachheit gez\"ahlt.
\end{satz}

Wir werden nun mithilfe vom Satz von Rouch\'e einen neuen Beweis f\"ur den Fundamentalsatz der Algebra geben.
\\

\noindent \textbf{Satz \ref{fundamentalsatz}. (Fundamentalsatz der Algebra)}
\emph{Jedes Polynom $f(z)$ von Grad $n\geq 1$ besitzt eine komplexe Nullstelle.}\\

\begin{proof}
Es sei 
\[ p(z)\,\,=\,\,a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0\]
ein Polynom von Grad $n$, d.h.\ es ist $a_n\ne 0$. Wir wollen zeigen, dass $p(z)$ eine Nullstelle besitzt. 
\begin{enumerate}
\item[]
\textcolor{blue}{Der Satz von Rouch\'e besagt insbesondere, dass wenn wir zeigen wollen, dass $N(p,X)>0$, dann m\"ussen wir schreiben $p=f+g$ und ein $X=B_r(0)$ w\"ahlen, so dass wir die Nullstellen von $f$ auf $X$ bestimmen k\"onnen, und so dass $|g|<|f|$ auf dem Rand $\partial X=\partial B_r(0)$. In unserem Fall w\"ahlen wir $f(z)=a_nz^n$ und $g(z)=a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0$, denn wir kennen die Nullstellen von $f$, und f\"ur $X=D_r(0)$ gro\ss\, genug, ist $|g|<|f|$ auf $\partial X=\partial B_r(0)$. }
\end{enumerate}
Wir setzen also $f(z)=a_nz^n$ und $g(z)=a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0$. Aus dem Beweis von Lemma~\ref{lem:abschaetzung-polynom} folgt, dass es ein $r>0$ gibt, so dass $|g(z)|<|f(z)|= |a_nz^n|$ f\"ur alle $z$ mit $|z|\geq r$. Dann gilt
\[ \begin{array}{rl} N(p,B_r(0))\,=\,N\big(\underset{=f}{\underbrace{a_nz^n}}+\underset{=g}{\underbrace{a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0}},B_r(0)\big)&=\, N(\underset{=f(z)}{\underbrace{a_nz^n}},B_r(0))\,=\,n\,>\,0.\\[-0.5cm]
&\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{0.044cm}|\\
&\hspace{-1cm}\mbox{Satz von Rouch\'e}\end{array}\]
\end{proof}

\begin{bemerkung}
Die Aussage vom Satz von Rouch\'e gilt nicht, wenn wir anstatt Nullstellen mit Vielfachheiten nur die Nullstellen z\"ahlen w\"urden. Wir betrachten beispielsweise die Funktionen $f(z)=z^3$ und $g(z)=1$ auf $D_2(0)$. Dann gilt $|g(z)|< |f(z)|$ f\"ur alle $z$ mit $|z|=2$. Die Anzahl der Nullstellen von $f(z)$ in $D_2(0)$ betr\"agt 1, w\"ahrend  $f(z)+g(z)=z^3+1$ drei Nullstellen in $D_2(0)$ besitzt.
\end{bemerkung}

% Ende 14. Vorlesung

\begin{proof}[Beweis vom Satz von Rouch\'e]
Es gen\"ugt zu  zeigen, dass die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon [0,1]&\to & \N_0\\
\lambda&\mapsto & N(f+\lambda g,X)\end{array} \]
konstant ist. 

F\"ur $\lambda\in[0,1]$ ist 
\[ \begin{array}{lll}\Phi(\lambda)\,\,=\,\,N(f+\lambda g,X)\,\,=\,\,N(f+\lambda g,X)\,\,-\hspace{-0.3cm}\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{$=0$, denn $f$ und $g$ besitzen}\\\opnormal{auf $X$ keine Polstelle}\end{array}}}{\underbrace{P(f+\lambda g,X)}}\hspace{-0.3cm}
&=\,\, \bbbint\limits_{\partial X}\smfrac{(f+\lambda g)'}{f+\lambda g}\,dz.\\[-0.7cm]
&\uparrow\\[-0.15cm]
&\hspace{0.045cm}|\\
&\hspace{-2.7cm}\footnotesize{\begin{array}{c}\opnormal{wir k\"onnen Satz~\ref{satz:differenz-nulstellen-polstellen} anwenden},\\
\opnormal{denn aus $|g|<|f|$ auf $\partial X$ und $\lambda\in [0,1]$},\\
\opnormal{folgt, dass auch $f+\lambda g$ keine Nullstellen}\\
 \opnormal{auf $\partial X$ besitzt.}\end{array}}\end{array}\]
Die rechte Seite h\"angt stetig von $\lambda$ ab. \footnote{Wir skizzieren im Folgenden den Beweis, dass $\Phi$ stetig ist. Da die stetige Funktion
\[ \begin{array}{rcl} \partial X\times [0,1]&\to & \C\\
(x,\lambda)&\mapsto &f(x)+\lambda g(x)\end{array}\]
keine Nullstelle besitzt und da $\partial X\times [0,1]$ kompakt ist, gibt es ein $C>0$, so dass $|f(x)+\lambda g(x)|\geq C$ f\"ur alle $x\in \partial X$ und $\lambda\in [0,1]$. Zudem gibt es ein $D\geq 0$, so dass $|f'g-g'f|$ auf $\partial X$ durch $D$ nach oben beschr\"ankt ist.
F\"ur $\lambda,\mu\in [0,1]$ gilt, dass
\[ \smfrac{(f+\lambda g)'}{f+\lambda g}-\smfrac{(f+\mu g)'}{f+\mu g}
\,=\,\smfrac{(f'+\lambda g')(f+\mu g)-(f'+\mu g')(f+\lambda g)}{(f+\lambda g)(f+\mu g)}\,=\,\smfrac{(f'g-g'f)(\mu-\lambda)}{(f+\lambda g)(f+\mu g)}. \]
Also folgt aus der Standardabsch\"atzung f\"ur Wegintegrale, d.h.\ aus Lemma~\ref{lem:abschaetzung-wegintegral}, dass f\"ur alle $\mu,\lambda\in [0,1]$ gilt, dass 
\[ |\Phi(\lambda)-\Phi(\mu)|\,\,=\,\,\bigg|\bint\limits_{\partial X}\tmfrac{(f+\lambda g)'}{f+\lambda g}-\tmfrac{(f+\mu g)'}{f+\mu g}\,dz\bigg|\,\,\leq\,\,\opnormal{L\"ange}(\gamma)\cdot \tmfrac{D}{C^2}\cdot |\mu-\lambda|.\]
Wir sehen also, dass $\Phi$ stetig ist.
} Die Funktion $\Phi$ ist also stetig und nimmt nur ganzzahlige Werte an.  Es folgt also aus Lemma~\ref{lem:diskrete-bilder-konstant}, dass die Abbildung $\Phi$, wie gew\"unscht, konstant ist.
\end{proof}

\newpage

%======================================================
\section{Biholomorphe Abbildungen und der Riemannsche Abbildungssatz}
Wir erinnern zuerst an eine Definition aus der Analysis~II.
Eine Abbildung $f\colon U\to V$ zwischen zwei offenen Mengen von $\R^n$ hei\ss t \emph{Diffeomorphismus}, wenn $f$ eine $C^\infty$-Abbildung ist\footnote{D.h.\ wenn $f$ beliebig oft differenzierbar ist.}, wenn $f$ bijektiv ist, und wenn die Umkehrabbildung $f^{-1}\colon V\to U$ ebenfalls eine $C^\infty$-Abbildung ist. Wenn es f\"ur zwei offene Mengen $U$ und $V$ einen solchen Diffeomorphismus gibt, dann nennen wir $U$ und $V$ \emph{diffeomorph}.

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die Mengen  $U=(-1,1)$ und $V=\R$ sind diffeomorph, denn
\[ \begin{array}{rcl} f\colon U=(-1,1)&\to &V=\R\\
t&\mapsto & \tan\big(\tmfrac{\pi}{2}t\big)\end{array}\]
ist ein Diffeomorphismus. 
\item 
 Es folgt relativ leicht aus den Definitionen, dass wenn $U$ und $V$ diffeomorphe Teilmengen von $\R^2=\C$ sind, dann ist $U$ einfach zusammenh\"angend, genau dann, wenn $V$ einfach zusammenh\"angend ist. Insbesondere sind also beispielsweise die Mengen $U=\R^2\setminus \{(0,0)\}$ und $V=\R^2$ nicht diffeomorph.
\item Die offene Scheibe  $U=D_1(0,0)\subset \R^2$ und die ganze Ebene $V=\R^2$ sind diffeomorph. Beispielsweise ist
\[ \begin{array}{rcl} f\colon U=D_1(0,0)&\to &V=\R^2\\
p&\mapsto & \left\{ \begin{array}{rl} 
p\cdot \tmfrac{\tan\big(\tmfrac{\pi}{2}\|p\|\big)}{\|p\|}, &\mbox{ wenn }p\ne (0,0),\\[2mm]
(0,0),&\mbox{ wenn }p=(0,0).\end{array}\right.\end{array}\]
ein Diffeomorphismus.\footnote{Der Nachweis dieser Aussage ist etwas l\"astig. Wir \"uberlassen das gerne als freiwillige \"Ubungsaufgabe.}
\end{enumerate}
\end{beispiele}

Wir f\"uhren nun die offensichtlichen Analoga f\"ur den komplex differenzierbaren Fall ein. Genauer gesagt, wir haben folgende Definition.

\begin{definition}
Eine Abbildung $f\colon U\to V$ zwischen zwei offenen Mengen von $\C$ hei\ss t \emph{biholomorph}, wenn $f$ eine holomorphe Abbildung ist, wenn $f$ bijektiv ist, und wenn die Umkehrabbildung $f^{-1}\colon V\to U$ ebenfalls eine holomorphe Abbildung ist. Wenn es f\"ur zwei offene Mengen $U$ und $V$ von $\C$ eine solche biholomorphe Abbildung gibt, dann nennen wir $U$ und $V$ \emph{biholomorph}.
\end{definition}

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Es ist offensichtlich, dass f\"ur alle $a\ne 0$ and $b\in \C$ die Abbildung $f(z)=az+b$ auf $\C$ biholomorph ist. Es folgt unter anderem, dass alle offenen Scheiben zueinander biholomorph sind. 
\item
Nachdem eine biholomorphe Abbildung insbesondere ein Diffeomorphismus ist, folgt aus dem obigen Beispiel (2), dass $\C\setminus \{0\}$ und $\C$ nicht biholomorph sind.
\item Die Mengen  $U=\C$ und $V=D_1(0)$  sind nicht biholomorph.
In der Tat, denn jede holomorphe Funktion $U=\C\to V=D_1(0)$ ist beschr\"ankt, also nach dem Satz~\ref{satz:liouville} von Liouville konstant. Insbesondere kann eine holomorphe Funktion $\C\to D_1(0)$ nicht bijektiv, geschweige denn biholomorph sind.
\item Wir  bezeichnen  mit 
\[ H\,\,:=\,\,\big\{ z\in \C\,|\, \operatorname{Im}(z)>0\big\}\]
die \emph{offene obere Halbebene}.  Es seien $a,b,c,d\in \R$ mit $ad-bc\ne 0$. Dann zeigt eine elementare, aber etwas l\"angere Rechnung, dass die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} H&\to & H\\
z&\mapsto &\tmfrac{az+b}{cz+d}\end{array}\]
biholomorph ist. Diese Abbildungen auf $H$ werden die \emph{M\"obiustransformationen} der oberen Halbebene genannt. Sie spielen eine wichtige Rolle in der hyperbolischen Geometrie.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

Wir hatten gerade angemerkt, dass f\"ur  $a\ne 0$ and $b\in \C$ die Abbildung $f(z)=az+b$ auf $\C$ biholomorph ist. Das folgende Lemma zeigt nun, dass  jede biholomorphe Abbildung $f\colon \C\to \C$ von dieser Form ist.

\begin{lemma}\label{lem:biholomorph-auf-c}
Es sei $f\colon \C\to \C$ eine biholomorphe Abbildung. Dann gibt es $a\ne 0$ und $b\in \C$, so dass $f(z)=az+b$ f\"ur alle $z\in \C$.
\end{lemma}

Die Grundidee des Beweises ist, dass man  die isolierte Singularit\"at $z_0=0$ der Funktion $g(z)=f(\frac{1}{z})$ betrachtet. Man unterscheidet dann die drei F\"alle, dass $z_0=0$ hebbar ist, dass $z_0=0$ eine Polstelle ist, und dass $z_0=0$ eine wesentliche Singularit\"at ist. Mithilfe vom Satz von Casorati--Weierstra\ss\, kann man hierbei den letzten Fall ausschlie\ss en. Die Details vom Beweis von Lemma~\ref{lem:biholomorph-auf-c} werden in \"Ubungsblatt~8 ausgef\"uhrt.



Das n\"achste Lemma besagt insbesondere, dass die offene Scheibe $D_1(0)$ und die obere Halbebene $H$ biholomorph sind. 

\begin{lemma}\label{lem:h-biholomorph-zur-scheibe}
Die Abbildung
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} 
 \hspace{5.7cm}\Phi\colon H&\to & D_1(0)\\
z&\mapsto &\smfrac{z-i}{z+i}
\intertext{ist biholomorph. Zudem gilt f\"ur alle $y>0$, dass}
 \Phi\big(\{x+iy\,|\, x\in \R\}\big)&=&\big\{z\in \C\,\big|\, \big|z-\tmfrac{y}{y+1}\big|=\tmfrac{1}{y+1}\big\}\setminus \{1\}.\end{array} \end{align*}
\end{lemma}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{h-biholomorph-zur-scheibe.pstex_t}
\caption{Illustration von Lemma~\ref{lem:h-biholomorph-zur-scheibe}}\label{fig:h-biholomorph-zur-scheibe}
\end{center}
\end{figure}

Das Lemma besagt also insbesondere, dass der Abschlu\ss\, vom Bild einer horizontalen Gerade  unter der Abbildung $\Phi$ ein Kreis in $\overline{D_1(0)}$ ist, welcher den Punkt $1$ enth\"alt.\footnote{Diese Aussage kann man sich wie folgt merken, das Bild der Gerade $\{x+iy|x\in \R\}$ ist ein Kreis mit Mittelpunkt auf der reellen Achse, welcher die beiden Punkte $\Phi(iy)=\frac{iy-i}{iy+i}=\frac{y-1}{y+1}$ und ``$\Phi(\infty)=\frac{\infty-i}{\infty+i}=1$'' enth\"alt. }

\begin{proof}
Wir zeigen zuerst folgende Behauptung:

\begin{behauptung}
Es sei   $y>0$. Dann liegt  f\"ur alle $x\in \R$ der Punkt $\Phi(x+iy)$ auf dem Kreis   um $\frac{y}{y+1}$  von Radius $\frac{1}{y+1}$.
\end{behauptung}

Der Beweis der Behauptung ist gegeben durch eine elementare, allerdings etwas langwierige, Rechnung.
Es sei also  $y>0$ und $x\in \R$.  Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} \Big|\Phi(x+iy)-\tmfrac{y}{y+1}\Big|^2&=&
\Big|\tmfrac{x+iy-i}{x+iy+i}-\tmfrac{y}{y+1}\Big|^2\,\,=\,\,
\Big|\tmfrac{(x+i(y-1))(x-i(y+1))}{x^2+(y+1)^2}-\tmfrac{y}{y+1}\Big|^2
\\[0.2cm]
&=&
\Big|\tmfrac{x^2+y^2-1-2xi}{x^2+(y+1)^2}-\tmfrac{y}{y+1}\Big|^2\\[0.2cm]
&=&\Big|\tmfrac{(x^2+y^2-1-2xi)(y+1)-(x^2+(y+1)^2)y}{(x^2+(y+1)^2)(y+1)}\Big|^2\\[0.2cm]
&=&\Big|\tmfrac{(x^2+y^2-1)(y+1)-(x^2+y^2+1+2y)y-2xi(y+1)}{(x^2+(y+1)^2)(y+1)}\Big|^2\\[0.2cm]
&=&\Big|\tmfrac{-y+x^2+y^2-1-(1+2y)y-2xi(y+1)}{(x^2+(y+1)^2)(y+1)}\Big|^2\\[0.2cm]
&=&\tmfrac{(x^2-(y+1)^2)^2\,+\,(2x(y+1))^2}{(x^2+(y+1)^2)^2(y+1)^2}\,\,=\,\,
\tmfrac{(x^2+(y+1)^2)^2}{(x^2+(y+1)^2)^2(y+1)^2}\,\,=\,\,\tmfrac{1}{(y+1)^2}.
\end{array}\]
Dies zeigt also, dass $\Phi(x+iy)$ auf den Kreis um $\frac{y}{y+1}$  von Radius $\frac{1}{y+1}$ liegt. Wir haben damit die Behauptung bewiesen.

Es folgt insbesondere aus der gerade bewiesenen Behauptung, dass  $\Phi(H)\subset D_1(0)$. 
Wir betrachten nun noch die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \Psi\colon D_1(0)&\to & \C\\
w&\mapsto &\tmfrac{w+1}{1-w}i.\end{array}\]
In \"Ubungsblatt~6 hatten wir gesehen, dass $\Psi(D_1(0))\subset H$. 
Zudem hatten wir gesehen,  dass $\Phi(\Psi(z))=z$ f\"ur alle $z\in D_1(0)$ und $\Psi(\Phi(z))=z$ f\"ur alle $z\in H$. Es folgt nun, dass $\Phi\colon H\to D_1(0)$ biholomorph ist.\footnote{In der Tat. Aus der ersten Behauptung folgt, dass $\Phi(H)\subset D_1(0)$. Die Abbildung ist surjektiv, denn f\"ur $z\in D_1(0)$ gilt $\Phi(\Psi(z))=z$. Die Abbildung ist auch injektiv, denn aus $\Phi(w)=\Phi(w')$ folgt, dass $w=\Psi(\Phi(w))=\Psi(\Phi(w'))=w'$. Wir sehen also, dass $\Phi\colon H\to D_1(0)$ bijektiv ist. Nachdem die Umkehrabbildung $\Psi$ ebenfalls holomorph ist, folgt, dass $\Phi$ sogar biholomorph ist.}
Zudem folgt auch leicht aus dem bisher bewiesenen, dass \footnote{In der Tat, denn wir hatten bewiesen, dass $\Phi\colon H\to D_1(0)$ surjektiv ist, also much auch die Abbildung 
\[  \Phi\colon\big(\{x+iy\,|\, x\in \R\}\big)\,\,\to\,\,\Big\{z\in \C\,\Big|\, \big|z-\tmfrac{y}{y+1}\big|=\tmfrac{1}{y+1}\Big\}\setminus \{1\}\]
surjektiv sein.}
\[ \Phi\big(\{x+iy\,|\, x\in \R\}\big)\,\,=\,\,\big\{z\in \C\,\big|\, \big|z-\tmfrac{y}{y+1}\big|=\tmfrac{1}{y+1}\big\}\setminus \{1\}.\]
\end{proof}

Das folgende Lemma gibt ein weiteres Beispiel f\"ur eine Teilmenge von $\C$, welche biholomorph zur offenen Scheibe $D_1(0)$ ist. 
Der Beweis des Lemmas ist eine \"Ubungsaufgabe in \"Ubungsblatt~8.

\begin{lemma}
Die  geschlitzte Ebene 
\[ \C \setminus \overline{S}_{-\pi}\,\,=\,\, \{ x+iy\,|\, x,y\in \R\mbox{ und }x>0\mbox{ oder }y\ne 0\}\]
ist biholomorph zur offenen Scheibe $D_1(0)$.
\end{lemma}


                      
Wir wollen nun noch der Frage nachgehen, welche offenen Teilmengen von $\C$ nun eigentlich  biholomorph zur offenen Scheibe $D_1(0)$ sind.
Wir hatten schon gesehen, dass wenn $G$  biholomorph zur offenen Scheibe $D_1(0)$ ist, dann muss gelten $G\ne \C$ und $G$ muss einfach zusammenh\"angend sein. Erstaunlicherweise sind dies auch schon die einzigen Einschr\"ankungen. Genauer gesagt, es gilt folgender Satz.

\begin{satz}\emph{\textbf{(Riemannscher Abbildungssatz)}}
Jedes einfach zusammenh\"angende Gebiet $G\subset \C$, welches von $\C$ verschieden ist, ist biholomorph zur offenen Scheibe $D_1(0)$. 
\end{satz}

Leider haben wir in dieser Vorlesung keine Zeit um den Riemannschen Abbildungssatz zu beweisen. Der Beweis dazu wird beispielsweise in Kapitel 5 von Fritsche: Grundkurs Funktionentheorie und in Kapitel 10 von J\"anich: Funktionentheorie ausgef\"uhrt.



%==================================================================
\chapter{Ma\ss- und Integrationstheorie}




%======================================================
\section{Einleitung}


%======================================================
\subsection{Der Integralbegriff und Volumen}\label{section:volumenbegriff}
In der Analysis~I hatten wir den Begriff der Riemann-Integrierbarkeit und das Riemann-Integral f\"ur Funktionen $f\colon [a,b]\to \R$ auf kompakten Intervallen eingef\"uhrt. Diese Theorie hat mehrere Einschr\"ankungen, beispielsweise hatten wir gesehen, dass die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} [0,1]&\to & \R\\
x&\mapsto& \left\{ \begin{array}{ll} 1,&\mbox{ wenn }x\in \Q,\\
0,&\mbox{ wenn }x\not\in \Q\end{array}\right.\end{array}\]
nicht Riemann-integrierbar ist. 
In der Integrationstheorie wollen wir den  Integralbegriff auf mehr Funktionen erweitern, und wir wollen zudem auch den Integralbegriff f\"ur Funktionen auf $\R^n$ einf\"uhren. 

In der Ma\ss theorie wollen wir zudem Teilmengen $A$ von $\R^n$ ein Volumen $\operatorname{Vol}(A)$ zuordnen.
Die Ma\ss theorie und die Integrationstheorie h\"angen eng miteinander zusammen. Es sei beispielsweise $A\subset \R^n$ eine beschr\"ankte Teilmenge. Wir nennen
\[ \begin{array}{rcl} \R^n&\to &\R\\
x&\mapsto & \chi_A(x):=\left\{ \begin{array}{ll} 1, &\mbox{ wenn $x\in A$,} \\ 0, &\mbox{ wenn $x\not\in A$.}\end{array} \right.\end{array} \]
die \emph{charakteristische Funktion} von $A$. Wenn wir das Integral und den Volumenbegriff vern\"unftigt eingef\"uhrt haben, dann soll am Ende nat\"urlich
\[ \bint\limits_{\R^n} \chi_A \,\,=\,\,\operatorname{Vol}(A)\]
gelten. 

\newpage
Wir f\"uhren nun erst einmal folgende zwei Definitionen ein.

\begin{definition}
F\"ur eine Menge $\Omega$ bezeichnen  wir
\[
\mathcal{P}(\Omega)\,\,:=\,\,\mbox{alle Teilmengen von $\Omega$}\]
als die Potenzmenge von $\Omega$.
\end{definition}


\begin{definition}
Eine \emph{Volumenfunktion auf $\mathcal{P}(\R^n)$}
ist eine  Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} v\colon \mathcal{P}(\R^n)=\{\mbox{alle Teilmengen von $\R^n$}\}&\to &\R_{\geq 0}\cup \{\infty\}\\
A&\mapsto &v(A),\end{array} \]
welche  folgende Eigenschaften erf\"ullt:
\begin{enumerate}
\item[(A)] Es gilt 
\begin{align*} 
\hspace{3.3cm}
v\big(\mbox{W\"urfel $[0,1]^n\subset \R^n$}\big)\,\,=\,\,1 \hspace{2cm}\mbox{Normierung.}
\end{align*}
\item[(B)] Das Volumen ist  monoton in dem Sinne, dass 
\begin{align*} 
\hspace{3cm} A\,\subset\,B \quad \Longrightarrow \quad v(A)\,\leq v(B)\hspace{1.8cm}\mbox{Monotonie}.\end{align*}
\item[(C)] F\"ur $A\subset \R^n$ und  $x\in \R^n$ bezeichnen wir mit $x+A:=\{ x+a\,|\,a\in A\}$ die Translation von $A$ um $x$. Dann gilt
\begin{align*} 
\hspace{5.2cm} v(x+A)\,\,=\,\,v(A)\hspace{3.3cm}\mbox{Translationsinvarianz.}
\end{align*}
\item[(D)] F\"ur disjunkte Teilmengen $A$ und $B$ von $\R^n$ gilt
\begin{align*}
\hspace{3.7cm} v(A\cup B)\,\,=\,\,v(A)+v(B)\hspace{2.1cm}\mbox{Additivit\"at}.\end{align*}
Etwas verallgemeinert soll gelten, wenn $A_k\subset \R^n, k\in \N$ eine Folge von paarweise disjunkten\footnote{D.h.\ es ist $A_i\cap A_j=\emptyset$ f\"ur alle $i\ne j$.} Teilmengen sind, dann gilt
\begin{align*} \hspace{4.1cm} v\Big(\ttmcup{k=1}{\infty}     A_k\Big)\,\,=\,\,\smsum{k=1}{\infty} v(A_k) \hspace{2.5cm}\mbox{$\sigma$-Additivit\"at.}\end{align*}
\end{enumerate}
\end{definition}

Das folgende Lemma fasst einige Eigenschaften von Volumenfunktionen zusammen.

\begin{lemma}\label{lem:basics-vol1}
Wenn $v$ eine Volumenfunktion auf $\mathcal{P}(\R)$ ist, dann gilt
\begin{enumerate}
\item F\"ur jeden Punkt $x\in \R$ ist $v(\{x\})=0$.
\item F\"ur jedes $m\in \Z$ ist $v([m,m+1))=1$. 
\item F\"ur jede Wahl von $m,n\in \Z$ mit $m<n$ ist $v([m,n])=n-m$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es sei $x\in \R$ beliebiges. F\"ur jedes $k\in \N$ ist 
\[ \begin{array}{lllll}\hspace{1.3cm} k\cdot v\big(\{x\})&=\,\,
\tmsum{i=0}{k-1} v\big(\big\{\tmfrac{i}{k}\big\}\big)
&=\,\,
v\Big(\ttmcup{i=0}{k-1} \big\{\tmfrac{i}{k}\big\}\Big)&\leq\,\,v([0,1])&=\,\,1.\\[-0.2cm]
&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.2cm}(C)&\hspace{-0.2cm}(D)&\hspace{-0.2cm}(B)&\hspace{-0.2cm}(A)\end{array}\]
Nachdem dies f\"ur alle $k$ gilt, muss also $v(\{x\})=0$ gelten. 
\item Es sei also $m\in \Z$. Dann gilt
\[ \begin{array}{llll}
\hspace{1.6cm} 1&=\,v([m,m+1])&=\,v([m,m+1))+\underset{\opnormal{$=0$, nach $(1)$}}{\underbrace{v(\{m+1\})}}\,=\,v([m,m+1)).\\[-0.6cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.96cm}\mbox{(A) und (C)}&\hspace{-0.2cm}(D)
\end{array}
\]
\item Die letzte Aussage folgt nun leicht aus (1), (2) und (D), indem wir das Intervall $[m,n]$ in halboffene Intervalle $[i,i+1)$, $i=m,\dots,n-1$ und den Punkt $\{n\}$ zerlegen.
\end{enumerate}
\end{proof}




Bevor wir Volumenfunktionen weiter diskutieren, wollen wir noch einmal kurz zu den \"Aquivalenzrelationen zur\"uckkehren, welche wir schon auf Seite~\pageref{aequivalenzrelation} eingef\"uhrt hatten. 
Zur Erinnerung, wir sagen 
 $\sim$ ist eine \"Aquivalenzrelation auf einer Menge $A$, wenn f\"ur alle $x,y,z\in A$ gilt
\[ \begin{array}{rcll} && x\sim x \\ x\sim y &\Longrightarrow & y\sim x \quad\hspace{1cm} &\mbox{(Symmetrie)}\\ 
 \hspace{1.8cm}
x\sim y \mbox{ und } y\sim z&\Longrightarrow & x\sim z& \mbox{(Transitivit\"at)}.\end{array} \]

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item F\"ur $x,y\in \Z$ definieren wir
\[ x\sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad(x-y) \in 5\Z.\]
Man kann nun leicht nachpr\"ufen, dass $\sim$ eine \"Aquivalenzrelation auf $\Z$ ist.
\item F\"ur $x,y\in \R$ definieren wir
\[ x\sim y\quad :\Longleftrightarrow\quad (x-y) \in \Q,\]
dies ist  eine \"Aquivalenzrelation auf $\R$.
\item Es sei $X\subset \R$ eine Teilmenge. F\"ur $x,y\in X$ definieren wir
\[ x\sim y \quad:\Longleftrightarrow\quad (x-y) \in \Q,\]
dies ist  eine \"Aquivalenzrelation auf $X$.
\end{enumerate}
\end{beispiel}

Es sei $\sim$  eine \"Aquivalenzrelation auf einer Menge $X$. Zur Erinnerung, eine \emph{\"Aquivalenzklasse} ist eine nichtleere Teilmenge $Y\subset X$, so dass gilt
\begin{enumerate}
\item f\"ur alle $y,y'\in Y$ gilt: $y\sim y'$,
\item wenn $z\sim y$ f\"ur ein $y\in Y$, dann gilt $z\in Y$.
\end{enumerate}
In Lemma~\ref{lem:aquivalenzklassen} hatten wir gesehen, dass  $X$ die disjunkte Vereinigung aller \"Aquivalenzklassen, d.h.
\begin{enumerate}
\item[(i)] jedes $x\in X$ liegt in einer \"Aquivalenzklasse,
\item[(ii)] wenn $A$ und $B$ \"Aquivalenzklassen sind, dann gilt entweder $A=B$ oder $A\cap B=\emptyset$.
\end{enumerate}
\begin{definition}
Es sei $\sim$ eine \"Aquivalenzrelation auf $X$. 
Wir sagen $A\subset X$ ist ein \emph{vollst\"andiges Repr\"asentantensystem}, wenn $A$ aus jeder \"Aquivalenzklasse $Y$ genau ein Element enth\"alt.\label{def:vollstaendiges-repraesentantensystem}
\end{definition}

Mit anderen Worten, $A\subset X$ ist ein vollst\"andiges Repr\"asentantensystem, wenn es zu jedem $y\in Y$ genau ein $a\in A$ gibt, welches zu $y$ \"aquivalent ist.
Ein vollst\"andiges Repr\"asentantensystem erh\"alt man dadurch, dass man aus jeder \"Aqui\-valenz\-klasse genau ein Element w\"ahlt.\footnote{F\"ur die spitzfindigen Studenten/Studentinnen verweise ich auf:\\
\texttt{http://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom}}

\begin{beispiel}
F\"ur $x,y\in \Z$ betrachten wir wieder die \"Aquivalenzrelation, welche wie folgt definiert ist:
\[ x\sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad (x-y) \in 5\Z.\]
Dann sind
\[ \{0,1,2,3,4\}, \,\,\{5,11,-3,13,24\},\,\,\{7,-4,20,-2,19\}, \dots \]
vollst\"andige Repr\"asentantensysteme.
\end{beispiel}


%======================================================
\subsection{Nichtmessbare Mengen}\label{section:nichtmessbare-mengen}
Wir hatten gerade den Begriff einer Volumenfunktion auf $\mathcal{P}(\R^n)$ eingef\"uhrt. Zusammengefasst ordnet eine Volumenfunktion auf $\mathcal{P}(\R^n)$ jeder Teilmenge von $\R^n$ ein Volumen zu, und das Volumen besitzt  vern\"unftige Eigenschaften, beispielsweise  ist es translationsinvariant und additiv unter disjunkten Vereinigungen.

Dabei gibt es nun allerdings ein Problem, der folgende Satz besagt, dass es Volumenfunktionen auf $\mathcal{P}(\R^n)$ nicht geben kann.

\begin{satz}\label{satz:volumenfunktionen-existieren-nicht}
Es gibt keine  Volumenfunktion auf $\mathcal{P}(\R^n)$.
\end{satz}

\begin{proof}
Wir werden den Satz nur f\"ur den Fall $n=1$ beweisen. Den allgemeinen Fall beweist man ganz \"ahnlich.
Wir beweisen den Satz mit einem Widerspruchsbeweis. Nehmen wir also an, es gibt eine  Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} v\colon \{\mbox{alle Teilmengen von $\R^n$}\}&\to &\R_{\geq 0}\{\infty\}\\
A&\mapsto &v(A),\end{array} \]
 so dass folgende Eigenschaften erf\"ullt sind.
\begin{enumerate}
\item[(A)] Das Intervall $[0,1]\subset \R$ hat Volumen $1$.
\item[(B)] Wenn $A\subset B$, dann gilt $v(A)\leq v(B)$. 
\item[(C)] F\"ur $A\subset \R^n$ und  $x\in \R^n$gilt
\[ \hspace{-0.5cm} v(x+A)\,\,=\,\,v(A).\]
\item[(D)] F\"ur paarweise disjunkte abz\"ahlbar viele Teilmengen  $A_k\subset \R^n$ gilt
\[\textstyle v\Big(\bigcup\limits_{k} A_k\Big)\,\,=\,\,\sum\limits_{k} v(A_k).\]
\end{enumerate}
Wir betrachten folgende \"Aquivalenzrelation
 auf $[0,1]$:
\[ x\sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad \mbox{ es existiert ein $q\in \Q$ mit $x=y+q$.}\]
Es sei nun  $A\subset [0,1]$ ein vollst\"andiges Repr\"asentantensystem von $\sim$.\label{bsp:nichtmessbar}
Aus der obigen Diskussion von \"Aquivalenzklassen folgt, dass
die Menge $A$ folgende Eigenschaft besitzt:
\begin{enumerate}
\item[(*)] F\"ur jedes $x\in [0,1]$ existiert genau ein $a\in A$, so dass $x=a+q$ f\"ur  eine rationale Zahl $q$.
\end{enumerate}
Wir machen hierbei die folgenden beiden Beobachtungen.
\begin{enumerate}
\item[(i)] Nachdem  $A\subset [0,1]$ folgt, dass man jedes $x\in [0,1]$ schreiben kann als $x=a+q$ mit $a\in A$ und $q$  eine rationale Zahl im Intervall $[-1,1]$.
\item[(ii)] Aus der Eindeutigkeit von $a$ folgt, dass f\"ur alle $a\ne b$ in $A$ gilt, dass $a-b\not\in \Q$.\footnote{In der Tat, denn seien $a,b\in A$ mit  $a-b\in \Q$. Dann gilt f\"ur $x=a$, dass  $x=a+0$ aber auch $x=b+(a-b)$. Aus der Eindeutigkeit in $(*)$ folgt nun, dass $a=b$.}
\item[(iii)] Aus (ii) folgt, dass f\"ur alle rationalen Zahlen $q_1\ne q_2$ gilt, dass 
\footnote{In der Tat, denn  nehmen wir an es gibt ein $y\in (q_1+A)\,\cap \,(q_2+A)$, dann gibt es
$a_1,a_2\in A$, so dass $q_1+a_1=y=q_2+a_2$. Es folgt, dass $a_1-a_2=q_2-q_1\in \Q$, im Widerspruch zu (ii).}
\[ (q_1+A)\,\cap \,(q_2+A) \,\,=\,\,\emptyset.\]
\end{enumerate}
Wir beweisen nun folgende Behauptung.

\begin{behauptung}
Es ist $v(A)=0$.
\end{behauptung}

Der Beweis der Behauptung ist ganz \"ahnlich zum Beweis von Lemma~\ref{lem:basics-vol1}~(1).
Wir w\"ahlen nun eine Abz\"ahlung $q_1,q_2,\dots$ von den rationalen Zahlen im Intervall $[-1,1]$ mit $q_i\ne q_j$ f\"ur $i\ne j$.
F\"ur jedes $k\in \N$ folgt nun, dass
\[ \begin{array}{lllll} k\cdot v(A)\,\,=\,\,\sum\limits_{i=1}^k v(A) &=\,\, \sum\limits_{i=1}^kv(q_i+A)&=\,\,
v\Big(\underset{\subset[-1,2]}{\underbrace{\ttmcup{i=1}{k} (q_i+A)}}\Big)&\leq\,\,v([-1,2])&=\,\,3.\\[-0.7cm]
&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.2cm}(C)&\hspace{-1cm}\opnormal{(D) und (iii)}&\hspace{-0.2cm}(B)&
\hspace{-1.4cm}\opnormal{nach Lemma~\ref{lem:basics-vol1}}
\end{array}\]
Es folgt also, dass $v(A)\leq \frac{1}{k}v([-1,2])=\frac{3}{k}$ f\"ur alle $k\in \N$.
Dies ist nur m\"oglich, wenn
$v(A)=0$. Wir haben damit die Behauptung bewiesen. 

Andererseits gilt
\[\begin{array}{llll}  1\,\,=\,\,v([0,1])&\leq\,\, v\Big(\ttmcup{i\in \N}{}(q_i+A)\Big)&=\,\,\sum\limits_{i\in \N} v(q_i+A)&=\,\,\sum\limits_{i\in \N} \underset{=0}{\underbrace{v(A)}}\,\,=\,\,0.\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-2.7cm}\mbox{wir k\"onnen (B) anwenden,}&\hspace{-1cm}\opnormal{(D) und (iii)}
&\hspace{-0.2cm}(C)\\
&\hspace{-1.7cm}\mbox{denn  aus (i) folgt}\\
&\hspace{-1.7cm}\mbox{$[0,1] \subset \ttmcup{i\in \N}{} (q_i+A)$}
\end{array}.\]
Wir haben damit einen Widerspruch herbeigef\"uhrt.
\end{proof}

Wir haben jetzt also ein Problem. Eine Volumenfunktion aus dem Schlaraffenland gibt es leider nicht, wir k\"onnen nicht allen Teilmengen von $\R^n$ ein `vern\"unftiges' Volumen zuordnen. Andererseits ist es klar, dass es f\"ur die meisten Mengen, mit denen wir normalerweise arbeiten, doch einen Volumenbegriff gibt. Wir werden in den folgenden Kapiteln das Lebesgue-Ma\ss\, einf\"uhren, welches den Volumenbegriff zwar nicht auf der Potenzmenge $\mathcal{P}(\R^n)$, aber dennoch f\"ur m\"oglichst viele Teilmengen von $\R^n$ einf\"uhrt, und so dass die Axiome der Volumenfunktion erf\"ullt sind.

Nachdem nicht alle Teilmengen messbar sein werden, m\"ussen wir im Folgenden sehr vorsichtig mit `Mengen von Teilmengen' arbeiten. Dies zwingt uns unweigerlich, dazu ein geh\"origes Ma\ss\, an Mengentheorie zu bew\"altigen.

% Ende 15. Vorlesung

\newpage
%======================================================
\section{Mengenringe, Mengenalgebren und $\sigma$-Algebren}




%======================================================
\subsection{Elementare Mengentheorie}
Zur Erinnerung, f\"ur eine Menge $\Omega$ schreiben wir
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}
\hspace{3cm}\mathcal{P}(\Omega)&:=&\mbox{alle Teilmengen von $\Omega$}&\mbox{Potenzmenge von $\Omega$.}
\intertext{F\"ur $A\in \mathcal{P}(\Omega)$ definieren wir}
A^c&:=&\{x\in \Omega\,|\, x\not\in A\} &\mbox{Komplement von $A$.}
\intertext{F\"ur $A,B\in \mathcal{P}(\Omega)$ definieren wir zudem}
A\cup B&:=& \{x\in \Omega\,|\, x\in A \mbox{ oder }x\in B\}\quad& \mbox{Vereinigung von $A$ und $B$}\\
A\cap B&:=& \{x\in \Omega\,|\, x\in A \mbox{ und }x\in B\}& \mbox{Durchschnitt von $A$ und $B$}\\
A\setminus B&:=& \{x\in A\,|\, x \mbox{ liegt nicht in }B\}& \mbox{mengentheoretische Differenz}
\intertext{sowie}
A\bigtriangleup B&:=& (A\setminus B)\cup (B\setminus A)& \mbox{symmetrische Differenz}.
\end{array}
\end{align*}
Die Teilmenge $A\Delta B$ besteht also aus den Punkten in $\Omega$, welche in \emph{genau eine} der beiden Mengen $A$ und $B$ enthalten ist, siehe Abbildung~\ref{fig:symmetrische-differenz}.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{symmetrische-differenz.pstex_t}
\caption{}\label{fig:symmetrische-differenz}
\end{center}
\end{figure}
Wir k\"onnen den Begriff von Vereinigung und Durchschnitt auch auf Familien von Teilmengen verallgemeinern. Genauer gesagt, es sei $\{A_i\}_{i\in I}$ eine Familie von Teilmengen von $\Omega$\footnote{Auf gut Deutsch hei\ss t das Folgendes: $I$ ist eine Menge (z.B.\  $\{1,\dots,k\}$ oder $\N$, aber $I$ kann auch z.B.\  \"uberabz\"ahlbar sein), und jedem Element $i\in I$ ist eine Teilmenge $A_i$ von $\Omega$ zugeordnet. Siehe auch:
\[\mbox{\url{http://de.wikipedia.org/wiki/Familie\_(Mathematik)}}\]
}, dann definieren wir\label{def:vereinigungsmenge}
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}
\hspace{3.5cm}\bigcup\limits_{i\in I}A_i&:=& \{x\in \Omega\,|\, \mbox{es gibt ein $i\in I$ mit $x\in A_i$}\}
\intertext{sowie}
\bigcap\limits_{i\in I}A_i&:=& \{x\in \Omega\,|\, \mbox{f\"ur alle $i\in I$ gilt $x\in A_i$}\}.
\end{array}
\end{align*}


In den  folgenden beiden Lemmas fassen wir einige elementare Aussagen \"uber  symmetrische Differenzen zusammen.

\begin{lemma}\label{lem:mengentheorie}
Es seien $A,B$ und $C$  Teilmengen von $\Omega$. Dann gilt
\begin{enumerate}
\item \hspace{1.55cm}$A\bigtriangleup \emptyset\,\,=\,\,A$
\item \hspace{1.35cm} $A\bigtriangleup A\,\,=\,\,\emptyset$,
\item \hspace{1.35cm} $A\bigtriangleup B\,\,=\,\,B\bigtriangleup A$,
\item \hspace{0.3cm}$(A \bigtriangleup B)\bigtriangleup C\,\,=\,\,A\bigtriangleup (B\bigtriangleup C)$,
\item \hspace{0.4cm}$(A \bigtriangleup B)\cap C\,\,=\,\,(A\cap C)\bigtriangleup (B\cap C)$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
Der Beweis ist in allen F\"allen elementar. Man kann sich von allen Aussagen entweder durch elementare Logik oder durch hinreichend  allgemeine Bilder \"uberzeugen. Die Aussage (5) wird beispielsweise in Abbildung~\ref{fig:mengentheorie} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{mengentheorie.pstex_t}
\caption{Skizze zu Lemma~\ref{lem:mengentheorie} (5).}\label{fig:mengentheorie}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}


\begin{bemerkung}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Es folgt aus den Eigenschaften (1) bis (4), dass $\mathcal{P}(\Omega)$ mit ``Addition'' $\bigtriangleup$ eine abelsche Gruppe mit neutralem Element $\emptyset$ ist.\footnote{Es sei $\Omega$ eine endliche Menge. 
Da $(\mathcal{P}(\Omega),\bigtriangleup)$ eine endliche abelsche Gruppe ist k\"onnen wir den Fundamentalsatz der endlich erzeugten abelschen Gruppen anwenden. Was besagt dieser in diesem Fall?}
\item
Es folgt aus den Eigenschaften (1) bis (5) und den offensichtlichen Aussagen, dass
\[ A\cap B=B\cap A, \quad (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C) \mbox{ und } A\cap \Omega=A,\]
 dass   $\mathcal{P}(\Omega)$ mit ``Addition'' $\bigtriangleup$ und ``Multiplikation'' $\cap$ sogar  ein kommutativer Ring ist. Das ``additiv neutrale'' Element ist hierbei die leere Menge, und das ``multiplikativ neutrale'' Element ist hierbei $\Omega$.
\end{enumerate}
\end{bemerkung} 

\begin{lemma}\label{lem:demorgan}
\textbf{\emph{(De Morgansche Regeln)}}
Es seien $A$ und $B$ Teilmengen von $\Omega$. Dann gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rclcrcl}
\hspace{3cm}
 (A\cap B)^c&=&A^c\cup B^c &\quad\mbox{ und }\quad &(A\cup B)^c&=&A^c\cap B^c.
\intertext{Etwas allgemeiner gilt f\"ur eine beliebige Familie $\{A_i\}_{i\in I}$ von Teilmengen von $\Omega$, dass}
 \Big(\ttmcap{i\in I}{} A_i\Big)^c  &=&\ttmcup{i\in I}{} A_i^c&\mbox{ und }& \Big(\ttmcup{i\in {I}}{} A_i\Big)^c&=&\ttmcap{i\in I}{} A_i^c.\end{array}
 \end{align*}
\end{lemma}



%======================================================
\subsection{Definition von Mengenringen und Mengenalgebren}


\begin{definition}
Es sei $\Omega$ eine Menge. Wir sagen $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ ist eine \emph{Mengenalgebra auf $\Omega$}, falls folgende Aussagen gelten:
\begin{enumerate}
\item \hspace{3.3cm} $\emptyset \in \mathcal{A}$,
\item $\hspace{0.5cm}A\in \mathcal{A}\quad \Longrightarrow \quad A^c \in \mathcal{A}$,
\item $A,B\in \mathcal{A} \quad \Longrightarrow \quad A\cup B \in \mathcal{A}$.
\end{enumerate}
\end{definition}


\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Wir betrachten die Menge $\Omega=\N$ und \label{bsp:mengenalgebra}
\[
\begin{array}{rcl} \mathcal{E}(\N)&:=&\hspace{0.34cm} \{\mbox{alle endlichen Teilmengen von $\N$}\}\\
&&\cup\,\{\mbox{alle Komplemente von endlichen Teilmengen von $\N$}\}.\end{array}\]
Beispielsweise liegen
\begin{align*}\begin{array}{rcl}
\hspace{6cm} && \{2,7,123\}\\
\intertext{und}
\N\setminus \{3,4,7\}&=&\{1,2,5,6,8,9,10,\dots\}\end{array}\end{align*}
 in $\mathcal{E}(\N)$. 
Man kann nun leicht \"uberpr\"ufen, dass $\mathcal{A}$ eine Mengenalgebra auf $\N$ ist.
\item F\"ur eine beliebige Menge $\Omega$ sind $\mathcal{A}=\{\emptyset,\Omega\}$ und auch $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$ Mengenalgebren auf $\Omega$.
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{lemma}\label{lem:durchschnitt-mengenalgebra}
Es sei $\Omega$ eine Menge und $\mathcal{A}$ eine Mengenalgebra auf $\Omega$. Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item[(4)] \hspace{3.3cm} $\Omega \in \mathcal{A}$,
\item[(5)] $A,B\in \mathcal{A} \quad \Longrightarrow \quad A\cap B \in \mathcal{A}$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
Es  folgt aus den Eigenschaften (1) und (2), das $\Omega=\emptyset^c$ ebenfalls in $\mathcal{A}$ liegt.
Es seien nun $A,B\in \mathcal{A}$. Dann gilt
\[ \begin{array}{lll} A\cap B&=\,\,((A\cap B)^c)^c&=\,\,(A^c\cup B^c)^c.\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mbox{denn $(X^c)^c=X$}
&\hspace{-0.5cm}\mbox{de Morgansche Regel}\end{array}\]
Es folgt aus den Eigenschaften (2) und (3), dass $A^c$ und $B^c$ in $\mathcal{A}$ liegen, dass dann auch $A^c\cup B^c$ in $\mathcal{A}$ liegt, und dann auch 
$(A^c\cup B^c)^c$ in $\mathcal{A}$ liegt.
\end{proof}

\begin{definition}
Es sei $\Omega$ eine Menge. Wir sagen $\mathcal{R}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ ist ein \emph{Mengenring auf $\Omega$}, falls folgende Aussagen gelten:
\begin{enumerate}
\item  \hspace{4.1cm}$\emptyset \in \mathcal{R}$,
\item \hspace{0.5cm} $A,B\in \mathcal{R}\quad \Longrightarrow \quad A\setminus B \in \mathcal{R}$,
\item \hspace{0.5cm} $A,B\in \mathcal{R} \quad \Longrightarrow \quad A\cup B \in \mathcal{R}$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bemerkungen}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Nicht jeder Mengenring ist auch eine Mengenalgebra. Beispielsweise ist $\Omega=\N$ mit 
\[ \mathcal{R}\,\,=\,\,\{\mbox{alle endlichen Teilmengen von $\N$}\}\]
ein Mengenring, aber keine Mengenalgebra.
\item Eine Mengenalgebra ist auch ein Mengenring, denn f\"ur $A,B\in \mathcal{A}$ ist 
\[\hspace{1cm} A\setminus B\,\,=\,\, \mbox{``alle Elemente in $A$, welche au\ss erhalb von $B$ liegen''}\,\,=\,\, A\cap B^c.\]
\item Es folgt leicht aus den Definitionen, dass ein Mengenring $\mathcal{R}$ genau dann eine Mengenalgebra ist, wenn $\Omega\in \mathcal{R}$.\label{bem:mengenalgebra-wenn-omega-in-r}
\end{enumerate}
\end{bemerkungen}

\begin{lemma}\label{lem:durchschnitt-mengenring}
Es sei $\mathcal{R}$ ein Mengenring. Dann gilt
\begin{enumerate}
\item[(4)] $A,B\in \mathcal{R} \quad \Longrightarrow \quad A\cap B \in \mathcal{R}$.
\item[(5)] $A,B\in \mathcal{R} \quad \Longrightarrow \quad A\bigtriangleup B \in \mathcal{R}$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
Die Eigenschaft (4) folgt sofort aus den Eigenschaften (2) und (3) eines Mengenrings und der Beobachtung, dass f\"ur beliebige $A$ und $B$ gilt
\[A\cap B\,\,=\,\,\mbox{``$A$, ohne die Elemente von $A$, welche  au\ss erhalb von $B$ liegen''}\,\,=\,\,A\setminus (A\setminus B).\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{durchschnitt-mengenring.pstex_t}
\caption{Illustration zum Beweis von Lemma~\ref{lem:durchschnitt-mengenring}}\label{fig:durchschnitt-mengenring}
\end{center}
\end{figure}
Die Eigenschaft (5) folgt sofort aus den Eigenschaften (2) und (4) eines Mengenrings und der Definition der symmetrischen Differenz.
\end{proof}


\begin{bemerkung}
In der Bemerkung nach Lemma~\ref{lem:mengentheorie} hatten wir gesehen, dass die Potenzmenge $\mathcal{P}(\Omega)$ mit Addition $\bigtriangleup$ und Multiplikation $\cap$ ein kommutativer Ring ist.
Es folgt aus Lemma~\ref{lem:durchschnitt-mengenring}, dass ein Mengenring unter diesen beiden Operationen abgeschlossen ist, also ist ein Mengenring mit diesen beiden Operationen auch ein Ring. Wir werden diese Tatsache im weiteren Verlauf der Vorlesung nicht mehr verwenden, aber diese Beobachtung erkl\"art zumindest, wo der Name ``Mengenring'' herr\"uhrt.
\end{bemerkung}

Im Folgenden meinen wir mit einem \emph{halboffenen Intervall} immer ein Intervall der Form $[a,b)$, wobei $a<b$ zwei reelle Zahlen sind. Wir bezeichnen mit $\mathcal{Q}(\R)$ die Teilmengen von $\R$, welche Vereinigung von endlich vielen halboffenen Intervallen sind. In anderen Worten, eine Teilmenge $A$ von $\R$ liegt in $\mathcal{Q}(\R)$, wenn diese von der Form
\[ A\,\,=\,\,\smcup{i=1}{n} \,\,[a_i,b_i),\]
f\"ur reelle Zahlen $a_i<b_i$, $i=1,\dots,n$ ist.\footnote{Die halboffenen Intervalle m\"ussen dabei nicht disjunkt sein.} F\"ur $n=0$ ist dies gerade die leere Menge.\footnote{Das dies f\"ur $n=0$ die leere Menge ist folgt sofort aus der Definition der Vereinigungsmenge auf Seite~\pageref{def:vereinigungsmenge}}

Das folgende Lemma gibt nun ein weiteres Beispiel von einem Mengenring.

\begin{lemma}\label{lem:qr-mengenring}
 $\mathcal{Q}(\R)$ ist ein Mengenring.
\end{lemma}

Der Mengenring $\mathcal{Q}(\R)$ ist allerdings keine Mengenalgebra, nachdem $\R$ nicht in $\mathcal{Q}(\R)$ enthalten ist.

\begin{proof}
Wir \"uberpr\"ufen die Axiome von einem Mengenring. Wir hatten gerade gesehen, dass die leere Menge in $\mathcal{Q}(\R)$ enthalten ist. Es ist offensichtlich, dass die Vereinigung von zwei Teilmengen in $\mathcal{Q}(\R)$ wiederum in $\mathcal{Q}(\R)$ liegt.
Wir m\"ussen also noch folgende Behauptung beweisen.

\begin{behauptung}
\[ A,B\in \mathcal{Q}(\R)\quad \Longrightarrow \quad A\setminus B\in \mathcal{Q}(\R).\]
\end{behauptung}

Wir unterteilen den Beweis in drei Schritte.
\begin{enumerate}
\item
Wenn $I$ und $J$ zwei halboffene Intervalle sind, dann ist $I\setminus J$  entweder ein halboffenes Intervall, oder die Vereinigung von zwei halboffenen Intervallen, oder die leere Menge. (Siehe dazu auch Abbildung~\ref{fig:qr-mengenring}.) Insbesondere ist also $I\setminus J\in \mathcal{Q}(\R)$. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{qr-mengenring.pstex_t}
\caption{Illustration zum Beweis von Lemma~\ref{lem:qr-mengenring}}\label{fig:qr-mengenring}
\end{center}
\end{figure}
\item
Wir betrachten nun den Fall, dass 
\[ A\,\,=\,\, \tmcup{k=1}{m} I_k,\]
wobei $I_1,\dots,I_m$ halboffene Intervalle sind. Zudem sei $J$ ein halboffenes Intervall. Dann ist 
\[A\setminus J\,\,=\,\,\Big(\ttmcup{k=1}{m} I_k\Big) \setminus J\,\,
=\,\,\underset{\in \mathcal{Q}(\R)}{\underbrace{\tmcup{k=1}{m} \,\underset{
\opnormal{$\in \mathcal{Q}(\R)$ nach (1)}}{\underbrace{I_k\setminus J.}}}}\]
\item
Wir betrachten jetzt noch den allgemeinen Fall. Es sei  also
\[ B\,\,=\,\,\tmcup{l=1}{n} J_l,\] 
wobei $J_1,\dots,J_n$ halboffene Intervalle sind.
Dann ist
\[  A\setminus B\,\,=\,\,A \setminus \Big(\ttmcup{l=1}{n} J_l\Big)\,\,=\,\,\underset{\opnormal{$\in \mathcal{Q}(\R)$ nach (2)}}{\underbrace{\underset{\opnormal{$\in \mathcal{Q}(\R)$ nach (2)}}{\underbrace{(\hspace{-0.35cm}\underset{\opnormal{$\in \mathcal{Q}(\R)$\,nach\,(2)}}{\underbrace{A\setminus J_1}}\hspace{-0.35cm})\setminus J_2}}\dots \setminus J_n}}.
\vspace{-0.5cm} \]
\end{enumerate}
\end{proof}


%======================================================
\subsection{Produkte von Mengenringen}\label{section:produkt-mengenringe}



F\"ur zwei Mengen $X$ und $Y$ bezeichnen wir mit 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4cm} X\times Y&:=& \{ (x,y)\,|\, x\in X\mbox{ und }y\in Y\}
\intertext{die \emph{Produktmenge von $X$ und $Y$}. Beispielsweise ist}
[1,3]\times [-2,1]&=&\{ (x,y)\in \R^2\,|\, x\in [1,3]\mbox{ und }y\in [-2,1]\}.\end{array}\end{align*}
ein Rechteck in $\R^2$. 

\begin{satz}\label{satz:produkt-mengenringe}
Es seien $\Omega$ und $\Phi$ Mengen und es seien $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ und $\mathcal{B}\subset \mathcal{P}(\Phi)$ Mengenringe. Wir bezeichnen mit $\mathcal{A}\boxtimes \mathcal{B}\subset \mathcal{P}(\Omega\times \Phi)$ alle Mengen der Form
\[  \lmcup{i=1}{m}\,A_i\times B_i, \quad \mbox{ wobei $A_i\in \mathcal{A}$ und $B_i\in \mathcal{B}$.}\]
Dann ist $\mathcal{A}\boxtimes \mathcal{B}$ ein Mengenring auf $\Omega\times \Phi$.
\end{satz}

Bevor wir uns dem Beweis von Satz~\ref{satz:produkt-mengenringe} zuwenden wollen wir erst ein Beispiel etwas genauer betrachten. 
Wir bezeichnen  eine Teilmenge von $\R^n=\R\times \dots\times \R$ der Form
\[ [a_1,b_1)\times \dots \times [a_n,b_n)\,\,=\,\,\{ (x_1,\dots,x_n)\in \R^n\,|\, x_i\in [a_i,b_i)\mbox{ f\"ur $i=1,\dots,n$}\}\]
als \emph{halboffenen Quader in $\R^n$}.\footnote{Wenn die Seitenl\"angen $b_1-a_1,\dots,b_n-a_n$ \"ubereinstimmen, dann bezeichnen wir die Menge manchmal auch als halboffenen W\"urfel.}  Es ist nun offensichtlich, dass das Produkt von  $n$ halboffenen Intervallen in $\R$ ein halboffener Quader in $\R^n$ ist.
F\"ur $n\geq 1$ bezeichnen wir  mit 
$\mathcal{Q}(\R^n)$ die Teilmengen von $\R^n$, welche Vereinigung von endlich vielen halboffenen Quadern in $\R^n$ sind.
Es folgt leicht aus den Definitionen,  dass
\[ \mathcal{Q}(\R^n)\,\,=\,\,\mathcal{Q}(\R)\boxtimes \dots \boxtimes \mathcal{Q}(\R).\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{produkt-intervalle.pstex_t}
\caption{}\label{fig:produkt-intervalle}
\end{center}
\end{figure}
Es folgt nun aus Satz~\ref{satz:produkt-mengenringe}, dass $\mathcal{Q}(\R^n)$ ein Mengenring ist. 

Wir reichen nun noch den Beweis von Satz~\ref{satz:produkt-mengenringe} nach.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:produkt-mengenringe}]
Es seien $\Omega$ und $\Phi$ Mengen und es seien zudem $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ und $\mathcal{B}\subset \mathcal{P}(\Phi)$ Mengenringe.
Es ist offensichtlich, dass $\emptyset \in \mathcal{A}\boxtimes \mathcal{B}$. Es folgt zudem aus den Definitionen, dass $\mathcal{A}\boxtimes \mathcal{B}$ unter endlichen Vereinigungen abgeschlossen ist. 

Es verbleibt also folgende Behauptung zu beweisen.

\begin{behauptung}
\[ X,X'\in \mathcal{A}\boxtimes \mathcal{B}\quad \Longrightarrow\quad X\setminus X' \in \mathcal{A}\boxtimes \mathcal{B}.\]
\end{behauptung}

Wie im Beweis von Lemma~\ref{lem:qr-mengenring} unterteilen wir den Beweis in drei Schritte.
\begin{enumerate}
\item
Wir betrachten zuerst den Spezialfall, dass 
\[ X\,\,=\,\,A\times B\mbox{ und } X'\,\,=\,\,A'\times B'\,\,\mbox{ mit }A,A'\in \mathcal{A}\mbox{ und }B,B'\in \mathcal{B}.\]
Dann folgt aus elementarer Mengentheorie, wie in Abbildung~\ref{fig:xminusy} skizziert, dass die Menge $A\times B\setminus A'\times B'$  die  Vereinigung der drei Mengen
\[ (A\setminus A')\times (B\setminus B'),\,\,  (A\cap A')\times (B\setminus B')\,\,\mbox{und}\,\, (A\setminus A')\times (B\cap B')\]
ist. Nachdem $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$ Mengenringe sind, liegen in allen drei F\"allen die Faktoren in $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$. Es folgt nun aus der Definition von $\mathcal{A}\boxtimes \mathcal{B}$, dass die Vereinigung dieser drei Mengen, d.h.\ $A\times B\setminus A'\times B'$,  wiederum in $\mathcal{A}\boxtimes \mathcal{B}$ liegt.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{xminusy.pstex_t}
\caption{}\label{fig:xminusy}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}
Der Rest vom Beweis ist nun ganz analog zu den letzten beiden Schritten im Beweis von Lemma~\ref{lem:qr-mengenring}.
\begin{enumerate}
\item[(2)] Wir betrachten nun den Fall, dass 
\[ X\,\,=\,\,\tmcup{i=1}{m} A_i\times B_i\mbox{ und }X'\,\,=\,\,A'\times B'\,\,\mbox{ mit }A_i,A'\in \mathcal{A}\mbox{ und }B_i,B'\in \mathcal{B}.\]
Dann ist
\[ X\setminus (A'\times B')\,\,=\,\,
\Big(\tmcup{i=1}{m} A_i\times B_i\Big)\setminus (A'\times B')\,\,=\,\,
\tmcup{i=1}{m}\, \underset{\in \mathcal{A}\boxtimes \mathcal{B}}{\underbrace{\big((A_i\times B_i)\setminus (A'\times B')\big)}},\]
also wiederum eine Teilmenge in $\mathcal{A}\boxtimes \mathcal{B}$. 
\item[(3)]
Zuletzt sei nun 
\[ X\,\,\in \,\,\mathcal{A}\boxtimes \mathcal{B}\mbox{ und } X'\,\,=\,\,\tmcup{j=1}{n} A_j'\times B_j'\,\,\mbox{ mit }A_j'\in \mathcal{A}\mbox{ und }B_j'\in \mathcal{B}.\]
Dann ist 
\[ X\setminus X'\,\,=\,\,X\setminus \tmcup{j=1}{n} A_j'\times B_j'\,\,=\,\,
\underset{\in \mathcal{A}\boxtimes \mathcal{B}}{\underbrace{\underset{\in \mathcal{A}\boxtimes \mathcal{B}}{\underbrace{X\setminus  A_1'\times B_1'}}\dots \setminus A_n'\times B_n'.}}\]
\end{enumerate}
\end{proof}

Folgendes Lemma wird in \"Ubungs\-blatt~8 bewiesen.


\begin{lemma}\label{lem:produkt-mengenringe-disjunkte-vereinigung}
Es seien $\Omega$ und $\Phi$ Mengen und es seien $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ und $\mathcal{B}\subset \mathcal{P}(\Phi)$ Mengenringe. Jede Menge in  $\mathcal{A}\boxtimes \mathcal{B}\subset \mathcal{P}(\Omega\times \Phi)$ kann geschrieben werden als \emph{disjunkte} endliche Vereinigung von  Mengen der Form
$A_i\times B_i$,  wobei $A_i\in \mathcal{A}$ und $B_i\in \mathcal{B}$.
\end{lemma}

Wir beschlie\ss en das Kapitel mit einer letzten Definition und einem einfachen Lemma.

\begin{definition}
F\"ur $s>0$ schreiben wir
\[
\mathcal{Q}(\R^n,s)\,\,=\,\,\mathcal{Q}(\R^n)\,\,\cap \,\,\mathcal{P}([-s,s)^n),\]
oder in anderen Worten
\[ \mathcal{Q}(\R^n,s)\,\,=\,\,\begin{array}{c} \mbox{alle Teilmengen von $\R^n$, welche Vereinigung von}\\
\mbox{endlich vielen halboffenen Quadern in $[-s,s)^n$ sind.}\end{array}\]
\end{definition}

Auf Seite~\pageref{bem:mengenalgebra-wenn-omega-in-r} hatten wir angemerkt, dass  ein Mengenring $\mathcal{R}$ auf $\Omega$ genau dann eine Mengenalgebra ist, wenn $\Omega\in \mathcal{R}$. Es folgt, dass der Mengenring $\mathcal{Q}(\R^n)$ keine Mengenalgebra ist. Andererseits erhalten wir auch folgendes Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:qrns-ist-mengenalgebra}
F\"ur jedes $s>0$ ist $\mathcal{Q}(\R^n,s)$ eine Mengenalgebra.
\end{lemma}




%======================================================
\subsection{$\sigma$-Algebren}

\begin{definition}
Es sei $\Omega$ eine Menge. Wir sagen $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ ist eine \emph{$\sigma$-Algebra auf $\Omega$}, falls folgende Aussagen gelten:
\begin{enumerate}
\item \hspace{3.3cm} $\emptyset \in \mathcal{A}$,
\item $\hspace{0.5cm}A\in \mathcal{A}\quad \Longrightarrow \quad A^c \in \mathcal{A}$,
\item die Vereinigung von abz\"ahlbar vielen Mengen in $\mathcal{A}$ liegt ebenfalls in $\mathcal{A}$.
\end{enumerate}
\end{definition}



\begin{bemerkungen}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Eine $\sigma$-Algebra ist insbesondere eine Mengenalgebra, aber dieses Mal verlangen wir, dass auch die Vereinigung  von abz\"ahlbar vielen Mengen $A_j,j \in \N$ in einer $\sigma$-Algebra wieder in der $\sigma$-Algebra liegt. 
\item Es sei $\Omega=\N$. Auf Seite~\pageref{bsp:mengenalgebra} hatten wir gesehen, dass
\[
\begin{array}{rcl} \mathcal{E}(\N)&:=&\hspace{0.34cm} \{\mbox{alle endlichen Teilmengen von $\N$}\}\\
&&\cup\,\{\mbox{alle Komplemente von endlichen Teilmengen von $\N$}\}.\end{array}\]
eine Mengenalgebra ist. Dies ist jedoch keine $\sigma$-Algebra, denn $\mathcal{E}(\N)$ ist nicht unter abz\"ahlbaren Vereinigungen abgeschlossen. Beispielsweise liegt f\"ur jedes $k\in \N$  die Teilmenge $A_k=\{2k\}$ in $\mathcal{E}(\N)$, aber $\ttmcup{k\in \N}{}A_k\,=\,\ttmcup{k\in \N}{}\{2k\}\,=\,2\N$ liegt nicht in $\mathcal{E}(\N)$.
\item Wenn $\mathcal{A}$ eine $\sigma$-Algebra ist, dann liegt auch 
$\Omega=\emptyset^c$ in $\mathcal{A}$. Ganz analog zum Fall von Mengenalgebren, welchen wir in Lemma~\ref{lem:durchschnitt-mengenalgebra} diskutiert hatten, folgt aus den de Morganschen Gesetzen, welche wir in Lemma~\ref{lem:demorgan} formuliert hatten,  dass der Durchschnitt von  abz\"ahlbar vielen Mengen in einer $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}$  wiederum in $\mathcal{A}$ liegt.\label{lem:durchschnitt-sigmaalgebra}
\end{enumerate}
\end{bemerkungen}

% Ende 16. Vorlesung


\begin{definition}
Es sei  $\{X_k\}_{k\geq 1}$ eine Folge von Teilmengen von $\Omega$.
Wir sagen die Folge ist \emph{aufsteigend}, wenn $X_1\subset X_2\subset X_3\subset \dots$. Wir nennen dann 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
X&=&\tmcup{k=1}{\infty} X_k
\intertext{den \emph{Limes der aufsteigenden Folge}. Wir schreiben}
\hspace{2.7cm} X_k\, \uparrow\, X &:\Longleftrightarrow&\mbox{$\{X_k\}_{k\geq 1}$ ist eine aufsteigende Folge mit Limes $X$.}
\intertext{Wir sagen die Folge $\{X_k\}_{k\geq 1}$ ist \emph{absteigend}, wenn $X_1\supset X_2\supset X_3\supset \dots$. Wir nennen dann}
\hspace{2cm}X&=&\tmcap{k=1}{\infty} X_k
\intertext{den \emph{Limes der absteigenden Folge}. Wir schreiben}
X_k\, \downarrow\, X &:\Longleftrightarrow&\mbox{$\{X_k\}_{k\geq 1}$ ist eine absteigende Folge mit Limes $X$.}
\end{array}
\end{align*}
\end{definition}

\begin{beispiel}
Es ist
\[ (-k,k) \,\uparrow \, \R \quad \mbox{ und } \big(-\tmfrac{1}{k},\tmfrac{1}{k})\,\downarrow\, \{0\}.\]
\end{beispiel}

Folgenden Satz werden wir viel sp\"ater im Beweis von Satz von Fubini verwenden.

\begin{satz}\label{satz:charakterisierung-sigmaalgebra}
Es sei $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ eine Mengenalgebra. Dann gilt
\[ \mbox{$\mathcal{A}$ ist eine $\sigma$-Algebra}\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{array}{c}\mbox{f\"ur alle aufsteigenden Folgen $\{A_k\}_{k\geq 1}$ in $\mathcal{A}$}\\
\mbox{liegt der Limes $\ttmcup{k\in \N}{} A_k$ ebenfalls in $\mathcal{A}$.}\end{array}\]
\end{satz}

\begin{beispiel}
Wir betrachten wiederum  $\Omega=\N$ mit der Mengenalgebra $\mathcal{E}(\N)$. 
Dann ist 
\[A_k\,\,:=\,\,\{2,4,6,\dots,2k\}\]
 eine aufsteigende Folge mit Limes $2\N$, aber der Limes liegt nicht in $\mathcal{E}(\N)$. Wir sehen also wiederum, dass $\mathcal{E}(\N)$ keine $\sigma$-Algebra ist.
\end{beispiel}

\begin{proof}
Es ist offensichtlich, dass die `$\Rightarrow$'--Richtung gilt.
Wir beweisen nun noch die `$\Leftarrow$'--Richtung.
Es sei also  $\{A_k\}_{k\in \N}$ eine beliebige Folge von Mengen in $\mathcal{A}$. Wir m\"ussen zeigen, dass die Vereinigungsmenge$\ttmcup{k\in \N}{} A_k$ auch in $\mathcal{A}$ liegt. Dies ist in der Tat der Fall, denn
\[
\begin{array}{rl}
\smcup{k=1}{\infty} A_k\,\,=\,\,\smcup{k=1}{\infty}\underset{=:B_k}{\underbrace{(A_1\cup \dots\cup A_k) }}&\in \mathcal{A}.\\[-0.5cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1.5cm}\begin{array}{c}\mbox{denn $B_k$ ist eine}\\\mbox{aufsteigende Folge in $\mathcal{A}$}\end{array}\vspace{-0.6cm}\end{array}
\]
\end{proof}

Das folgende Lemma folgt leicht aus den Definitionen, und verbleibt als freiwillige \"Ubungs\-aufgabe.

\begin{lemma}\label{lem:durchschnitt-sigmaalgebra}
Es sei $\{\mathcal{A}\}_{i\in I}$ eine Familie von $\sigma$-Algebren auf einer Menge $\Omega$. Dann ist auch
\[ \smcap{i\in I}{}\,\mathcal{A}_i\,\,=\,\,\mbox{alle $X\subset \Omega$, welche in allen $\mathcal{A}_i$'s liegen},\]
eine $\sigma$-Algebra.
\end{lemma}


Wir hatten schon gesehen, dass die Potenzmenge $\mathcal{P}(\Omega)$ trivialerweise eine $\sigma$-Algebra ist. Insbesondere ist jede Menge $\mathcal{S}$ von Teilmengen von $\Omega$ in einer $\sigma$-Algebra enthalten. F\"ur $\mathcal{S}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ bezeichnen wir nun
\[ \langle \mathcal{S}\rangle^\sigma \,\,:=\,\,\mbox{Durchschnitt aller $\sigma$-Algebren von $\Omega$, welche  $\mathcal{S}$ enthalten},\]
als die von \emph{$\mathcal{S}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}.\footnote{Es folgt aus   Lemma~\ref{lem:durchschnitt-sigmaalgebra}, dass dies in der Tat eine $\sigma$-Algebra ist.}

\begin{bemerkungen}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Diese Definition ist vielleicht auf den ersten Blick etwas gew\"ohnungsbed\"urftig. Wir k\"onnen diesen Typ von Definition mit einem Beispiel aus der linearen Algebra illustrieren. Es sei $V$ ein Vektorraum. F\"ur eine Teilmenge $A\subset V$ bezeichnen wir dann
\[\hspace{1.5cm} \operatorname{Span}(A) \,\,:=\,\,\mbox{Durchschnitt aller Untervektorr\"aume von $V$,  welche  $A$ enthalten},\]
als den von $A$ erzeugten Untervektorraum. Dies ist in der Tat ein Untervektorraum, denn  der Durchschnitt von  Untervektorr\"aumen ist wiederum ein Untervektorraum.
\item Man kann $\langle \mathcal{S}\rangle^\sigma$ auch direkt hinschreiben als\label{bem:beschreibung-von-erzeugte-sigma-algebra}
\[ \langle \mathcal{S}\rangle^\sigma\,\,=\,\,\Big\{ \ttmcup{i\in \N}{}\Big(\ttmcap{j\in \N}{}\,x_{ij}\Big)\,\Big| \, x_{ij}\in \mathcal{S}\mbox{ oder }x_{ij}^c\in \mathcal{S}\Big\},\]
denn die rechte Seite ist eine $\sigma$-Algebra, welche $\mathcal{S}$ enth\"alt. Andererseits muss jede $\sigma$-Algebra, welche $\mathcal{S}$ enth\"alt, per Definition einer $\sigma$-Algebra die rechte Seite enthalten.
\end{enumerate}
\end{bemerkungen}

\begin{beispiel}
F\"ur den weiteren Verlauf der Vorlesung ist das wichtigste Beispiel die $\sigma$-Algebra $\langle \mathcal{Q}(\R^n)\rangle^\sigma$, welche von $\mathcal{Q}(\R^n)$ erzeugt wird. Wir geben im Folgenden ein paar Beispiele von Mengen, welche in $\langle \mathcal{Q}(\R)\rangle^\sigma$ enthalten sind.
Beispielsweise gilt
\[ (-1,1) \,=\,\bigcup\limits_{k\in \N} \underset{\in \mathcal{Q}(\R)}{\underbrace{\big[-1+\tmfrac{1}{k},1\big)}}, \]
nachdem  $\langle \mathcal{Q}(\R)\rangle^\sigma$ eine $\sigma$-Algebra ist, muss auch schon $(-1,1)$ in  $\langle \mathcal{Q}(\R)\rangle^\sigma$ liegen. 
In \"Ubungs\-blatt~9 werden wir sehen, dass sogar alle  Intervalle in $\langle \mathcal{Q}(\R)\rangle^\sigma$ liegen. Zudem werden wir sehen, dass auch $\Q$ in $\langle \mathcal{Q}(\R)\rangle^\sigma$ liegt. Wir werden sp\"ater der Frage nachgehen, ob die Menge $A$ von Seite~\pageref{bsp:nichtmessbar} auch in $\langle \mathcal{Q}(\R)\rangle^\sigma$ liegt.
\end{beispiel}

\newpage
%======================================================
\section{Inhalte, Pr\"ama\ss e und Ma\ss e}
Im letzten Kapitel hatten wir uns mit der vielleicht etwas trockenen Materie der Mengentheorie besch\"aftigt. Wir wollen uns nun dem eigentlichen Ziel n\"ahern, n\"amlich wir wollen einen vern\"unftigen Begriff von einem `Volumen', oder auch `Ma\ss' oder auch `Inhalt' von Mengen einf\"uhren. 

%======================================================
\subsection{Die erweiterte Zahlengerade}
Wir schreiben im Folgenden
\begin{align*}
\begin{array}{llllll} \hspace{5cm}& \overline{\R}&:=&[-\infty,\infty]&:=& \R\cup \{\pm \infty\}
\intertext{und}  
&\overline{\R}_+&:=&[0,\infty]&:=& \R_+\cup \{\infty\}.\end{array}\end{align*}
Wir setzen die Ordnung $<$ von den reellen Zahlen ganz naiv auf $\overline{\R}$ fort indem wir f\"ur alle $a\in \R$ definieren, dass
\[ -\infty\,\,<\,\,a\,\,<\,\,+\infty.\]

Im Folgenden werden wir immer wieder Folgen  in $\overline{\R}$ betrachten. Es folgt aus Satz~4.11 der Analysis~I, dass jede monoton steigende Folge in $\overline{\R}$ gegen ein Element in $\overline{\R}$ konvergiert.\footnote{Wir verwenden jetzt die Sprechweise, welche wir in Analysis~I explizit vermieden hatten, dass eine Folge gegen $\pm \infty$ konvergiert, wenn die Folge bestimmt gegen $\pm \infty$ divergiert.}
Wir f\"uhren dazu noch folgende Notation ein.
Es sei $(a_k)_{k\geq 1}$ eine Folge in $\overline{\R}$. Wir schreiben 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{2cm} a_k\, \uparrow\, a &:\Longleftrightarrow&\mbox{$\{a_k\}_{k\geq 1}$ ist eine monoton steigende Folge mit Grenzwert $a$},
\intertext{und ganz analog}
a_k\, \downarrow\, a &:\Longleftrightarrow&\mbox{$\{a_k\}_{k\geq 1}$ ist eine monoton fallende Folge mit Grenzwert $a$.}
\end{array}
\end{align*}
Beispielsweise gilt
\[ (2- \ttmfrac{1}{k})\,\uparrow\, 2\quad \mbox{ und }\quad e^{-k} \,\downarrow\, 0\quad \mbox{ sowie }\quad k^2\,\uparrow\, \infty.\]







In Analysis~I hatten wir auf der Menge $\overline{\R}=\R\cup \{-\infty\}\cup \{+\infty\}$ auch schon folgende partielle Addition und partielle Multiplikation eingef\"uhrt.
\label{def:suminfty}
\footnote{Die Addition und die Multiplikation ist dabei definiert, wie man es sich `naiv' denken w\"urde. Wenn eine Verkn\"upfung `naiv' nicht klar ist, z.B.\ $-\infty+\infty$, dann ist diese in unserem Falle auch nicht definiert.}
\[ \begin{array}{c|ccc} + & a\in \R & \infty &-\infty \\
\hline
b\in \R &a+b&+\infty&-\infty\\
+\infty&+ \infty&+\infty& *\\
-\infty&-\infty&*&-\infty\end{array}
\quad \mbox{ und }\quad
\begin{array}{c|ccccc} \cdot  & a>0 &0&  a<0& +\infty &-\infty \\
\hline
b>0 &a\cdot b&0&a\cdot b&+\infty&-\infty\\
0&0&0&0&*&* \\
b<0 &a\cdot b&0&a\cdot b&-\infty&+\infty\\
+\infty&+ \infty&*&-\infty& +\infty&-\infty\\
-\infty&-\infty&*&+\infty&-\infty&+\infty\end{array}
 \]
hierbei bedeutet $*$, dass die Addition beziehungsweise die Multiplikation nicht definiert ist, d.h.\ wir haben $\infty+(-\infty)$ und $(-\infty)+\infty$ \emph{nicht} definiert und wir haben auch $0\cdot (\pm \infty)$ nicht definiert.

%======================================================
\subsection{Die Definition von Inhalt, Pr\"ama\ss\, und Ma\ss}
Auch in diesem Kapitel sei $\Omega$ durchgehend eine Menge.

\begin{definition}
Es sei $\mathcal{R}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ ein Mengenring. Ein \emph{Inhalt auf $\mathcal{R}$} ist eine Funktion
\[ \mu\colon \mathcal{R}\to \overline{\R}_+\]
mit folgenden Eigenschaften
\begin{enumerate}
\item $\mu(\emptyset)=0$,
\item f\"ur disjunkte Mengen $A,B\in \mathcal{R}$ gilt
\[ \hspace{3.4cm}\mu(A\cup B)\,\,=\,\,\mu(A)+\mu(B)\hspace{2.6cm} \mbox{Additivit\"at}.\]
\end{enumerate}
\end{definition}


\begin{beispiel}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Auf $\mathcal{E}(\N)$ ist die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} \mu\colon \mathcal{E}(\N)&\to & \overline{\R}_+\\
A&\mapsto & \# A:=\mbox{Anzahl der Elemente in $A$}\end{array}\]
ein Inhalt.
\item Auf $\mathcal{E}(\N)$ ist auch 
\[
 \begin{array}{rcl} \tau\colon \mathcal{E}(\N)&\to & \overline{\R}_+\\
A&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} 0,&\mbox{ wenn $A=\emptyset$},\\
 \infty,&\mbox{ wenn $A\ne \emptyset$}.\end{array}\right.\end{array}\]
 ein Inhalt. 
\item Es sei $\Omega$ eine beliebige Menge und $x\in \Omega$ sei festgew\"ahlt. Dann ist
\[ \begin{array}{rcl} \mu_x\colon \mathcal{P}(\Omega)&\to &\overline{\R}_+\\
A&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} 1,&\mbox{ wenn }x\in A, \\ 0,&\mbox{ wenn }x\not\in A.\end{array}\right.\end{array}\]
ein Inhalt.
\item Es sei
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5cm} W&=&\big\{ (a,b)\,\big|\, a,b\in \{1,\dots,6\}\big\}.
\intertext{Dies ist gerade die Menge aller Zahlenpaare, welche mit zwei  W\"urfeln gew\"urfelt werden k\"onnen. Dann ist}
\rho\colon \mathcal{P}(W)&\to & \overline{\R}_+\\
A&\mapsto&\tmfrac{1}{36}\cdot \mbox{Anzahl der Elemente in $A$}\end{array}
\end{align*}
ein Inhalt auf dem Mengenring $\mathcal{P}(W)$. F\"ur $A\subset \mathcal{P}(W)$, ist $\rho(A)$ gerade die Wahrscheinlichkeit (aufgefasst als Zahl zwischen $0$ und $1$), dass beim einmaligen W\"urfeln mit 2 W\"urfeln ein Zahlenpaar aus $A$ gew\"urfelt wird. Beispielsweise ist
\[ \hspace{1.1cm} \mbox{Wahrscheinlichkeit ein Pasch zu w\"urfeln}\,\,=\,\,\rho\big(\{(1,1),\dots,(6,6)\}\big)\,\,=\,\,\tmfrac{1}{6}.\]
\end{enumerate}
\end{beispiel}

Wir fassen einige Aussagen \"uber Inhalte im folgenden Lemma zusammen.

\begin{lemma}\label{lem:inhalt} Es sei $\mu$ ein Inhalt auf einem Mengenring $\mathcal{R}\subset \mathcal{P}(\Omega)$. Dann gelten folgende Aussagen:
\begin{enumerate}
\item Der Inhalt $\mu$ ist  monoton in dem Sinne, dass  f\"ur $A,B\in \mathcal{R}$ gilt
\begin{align*} 
\hspace{4cm} A\,\subset\,B \quad \Longrightarrow \quad \mu(A)\,\leq \mu(B)\hspace{1.3cm}\mbox{Monotonie}.\end{align*}
\item F\"ur beliebige Mengen $A,B\in \mathcal{R}$ gilt
\[ \mu(A\cup B)\,\,=\,\,\mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap B).\]
\item F\"ur endlich viele disjunkte Mengen $A_1,\dots,A_k\in \mathcal{R}$ gilt
\begin{align*}
\hspace{4cm} \mu\Big(\ttmcup{i=1}{k}A_i\Big)\,\,=\,\,\lmsum{i=1}{k}\,\,\mu(A_i)\hspace{2.4cm}\mbox{Additivit\"at}.\end{align*}
\item F\"ur beliebige Mengen $A_1,\dots,A_k\in \mathcal{R}$ gilt
\begin{align*}
\hspace{4.45cm}\mu\Big(\ttmcup{i=1}{k}A_i\Big)\,\,\leq\,\,\lmsum{i=1}{k}\,\,\mu(A_i)
\hspace{2.2cm}\mbox{Subadditivit\"at.}\end{align*}
\end{enumerate}
\end{lemma}



\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{lem:inhalt}]\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es seien also $A,B\in \mathcal{R}$ mit $A\subset B$. Dann gilt
\[ \begin{array}{lll}\mu(B)\,\,=\,\,\mu(A\,\cup \, \underset{\in \mathcal{R}}{\underbrace{B\setminus A}})&=\,\,\mu(A)+\underset{\geq 0}{\underbrace{\mu(B\setminus A)}}&\geq\,\,\mu(A).\\[-0.5cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.3cm}\mbox{Additivit\"at}\end{array}\]
\item Es seien $A,B\in \mathcal{R}$. Es folgt aus der Additivit\"at von $\mu$, angewandt auf die disjunkten Zerlegungen, welche in Abbildung~\ref{fig:inhalt-ab} skizziert sind,  dass\footnote{Hierbei verwenden wir, dass in einem Mengenring $\mathcal{R}$ mit $A,B\in \mathcal{R}$ auch $A\setminus B, B\setminus A, A\cap B$ und $A\cup B$ in $\mathcal{R}$ liegen.}
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{6cm}\mu(A)&=&\mu(A\setminus B)+\mu(A\cap B),\\
\mu(B)&=&\mu(B\setminus A)+\mu(A\cap B),
\intertext{und}
\mu(A\cup B)&=&\mu(A\setminus B)+\mu(A\cap B)+\mu(B\setminus A).\end{array}\end{align*}
Zusammengefasst erhalten wir, dass
\[
\hspace{1.8cm}\mu(A\cup B)\,=\,\underset{=\mu(A)-\mu(A\cap B)}{\underbrace{\mu(A\setminus B)}}+\underset{=\mu(B)-\mu(A\cap B)}{\underbrace{\mu(B\setminus A)}}+\mu(A\cap B)\,=\,\mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap B).\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{inhalt-ab.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Lemma~\ref{lem:inhalt}.}\label{fig:inhalt-ab}
\end{center}
\end{figure}
\item Diese Aussage folgt durch mehrfaches Anwenden der zweiten Eigenschaft von Inhalten.
\item Die letzte Aussage wird in \"Ubungs\-blatt 9 bewiesen.
\end{enumerate}
\end{proof}





\begin{definition}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Ein Inhalt $\mu$ auf einem Mengenring $\mathcal{R}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ hei\ss t \emph{$\sigma$-additiv}, wenn f\"ur jede Folge von paarweise disjunkten Mengen $\{A_k\}_{\geq 1}$ in $\mathcal{R}$, deren Vereinigung $\ttmcup{k=1}{\infty} A_k$ ebenfalls in $\mathcal{R}$ liegt, gilt
\[ \mu\Big(\ttmcup{k=1}{\infty} A_k\Big)\,\,=\,\,\lmsum{k=1}{\infty}\mu(A_k).\]
\item Ein  $\sigma$-additiver Inhalt wird oft auch \emph{Pr\"ama\ss} genannt
\item  Ein \emph{Ma\ss} ist ein Pr\"ama\ss, welches auf einer $\sigma$-Algebra definiert ist.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Die obigen Inhalte $\mu$, $\mu_x$ und $\tau$ auf $\mathcal{E}(\N)$ sind $\sigma$-additiv.
\item Wenn $\mathcal{R}$ nur aus endlich vielen Mengen besteht, dann ist jeder Inhalt auf $\mathcal{R}$ sogar $\sigma$-additiv. Insbesondere ist der Inhalt $\rho$ auf $\mathcal{P}(W)$ auch $\sigma$-additiv.
\item  Wir betrachten nun  auf $\mathcal{E}(\N)$  den Inhalt\footnote{Es klingt so, als m\"usse die zweite Eigenschaft eines Inhalts verletzt sein. Aber dies ist nicht der Fall, denn es gibt in $\mathcal{E}(\N)$ keine disjunkten unendlichen Mengen.}
\[ \begin{array}{rcl} \nu\colon \mathcal{E}(\N)&\to & \overline{\R}_+\\
A&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} 0,&\mbox{ wenn $A$ endlich},\\
 1,&\mbox{ wenn $A$ unendlich}.\end{array}\right.\end{array}\]
In diesem Fall ist
\[ \smcup{k=1}{\infty} \,\{k\}\,\,=\,\,\N \quad \mbox{ aber } \quad \smsum{k=1}{\infty} \,\,\underset{=0}{\underbrace{\nu(\{k\})}}\,\,\ne \,\,\underset{=1}{\underbrace{\nu(\N)}}.\]
Wir haben also gezeigt, dass $\nu$ nicht $\sigma$-additiv ist.
\label{bsp:nicht-sigma-additiv}
\end{enumerate}
\end{beispiele}


\begin{satz}\label{satz:charakterisierung-sigmaadditiv}
Es sei $\mu\colon \mathcal{R}\to \overline{\R}_+$ ein Inhalt auf einem Mengenring $\mathcal{R}\subset \mathcal{P}(\Omega)$. Die folgenden Aussagen sind \"aquivalent:
\begin{enumerate}
\item[(a)] Der Inhalt $\mu$ ist $\sigma$-additiv,
\item[(b)] Der Inhalt $\mu$ ist $\sigma$-subadditiv, d.h.\ f\"ur jede Folge von  Mengen\footnote{Wir nehmen nun nicht an, dass die Mengen paarweise disjunkt sind.} $\{A_k\}_{k\geq 1}$ in $\mathcal{R}$, deren Vereinigung $\ttmcup{k=1}{\infty} A_k$ ebenfalls in $\mathcal{R}$ liegt, gilt
\[ \mu\Big(\ttmcup{k=1}{\infty} A_k\Big)\,\,\leq\,\,\lmsum{k=1}{\infty}\,\mu(A_k).\]
\item[(c)] Der Inhalt $\mu$ ist stetig von unten, d.h.\ f\"ur jede aufsteigende Folge $\{A_k\}_{k\geq 1}$ in $\mathcal{R},$ deren Limes $A=\ttmcup{k=1}{\infty} A_k$ ebenfalls in $\mathcal{R}$ liegt, gilt
\[ \mu(A_k)\,\uparrow \,\mu(A).\]
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Die analoge Aussage f\"ur absteigende Folgen von Mengen gilt im Allgemeinen nicht. 
Betrachten wir beispielsweise auf $\mathcal{E}(\N)$ wiederum den $\sigma$-additiven Inhalt
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
 \hspace{4.5cm} \mu\colon \mathcal{E}(\N)&\to & \overline{\R}_+\\
A&\mapsto & \# A:=\mbox{Anzahl der Elemente in $A$}.
\intertext{Dann bilden die Teilmengen}
 A_k&:=&\{k,k+1,k+2,\dots\}\end{array} \end{align*}
eine absteigende Folge von Mengen. Dann gilt jedoch
\[ \underset{=\infty}{\underbrace{\mu(A_k)}}\,\downarrow\, \infty \quad \mbox{ aber }\quad \mu\Big(\underset{=\emptyset}{\underbrace{\ttmcap{k=1}{\infty} A_k}}\Big)\,\,=\,\,0.\]
Auf Seite 15 von Forster: Analysis III wird gezeigt,   dass f\"ur einen $\sigma$-additiven Inhalt das Analogon von Aussage (c) f\"ur absteigende Folgen gilt, wenn der Inhalt $\mu$ endlich ist, d.h.\ wenn $\mu$ nur endliche Werte annimmt. Wir werden diese Aussage im weiteren Verlauf der Vorlesung jedoch nicht verwenden.
\end{bemerkung}

\begin{proof}
Wir beweisen die \"Aquivalenz der drei Aussagen indem wir folgende Implikationen beweisen:
\[ (b) \,\,\Longrightarrow\,\, (a) \,\,\Longrightarrow\,\,(c) \,\,\Longrightarrow\,\,(b).\]
Wir beweisen zuerst $(b)\Rightarrow (a)$. Es sei also $\{A_k\}_{k\geq 1}$ eine Folge von paarweise disjunkten Mengen in $\mathcal{R}$, so dass $A:=\ttmcup{k=1}{\infty} A_k$ in $\mathcal{R}$ liegt. 
Dann gilt
\[ \begin{array}{llll} \mu(A)&\leq\,\, \smsum{k=1}{\infty}\mu(A_k)\,\,=\,\,\underset{n\to \infty}{\lim}\,
\smsum{k=1}{n}\mu(A_k)&=\,\,\underset{n\to \infty}{\lim}\hspace{-0.3cm}\underset{\opnormal{$\leq \mu(A)$ wegen Monotonie}}{\underbrace{\mu\Big(\,\ttmcup{k=1}{n}A_k\,\Big)}}\,\,\leq\,\,\mu(A).\\[-0.65cm]
&\uparrow&\uparrow\\[-0.15cm]
&\hspace{0.045cm}|&\hspace{0.045cm}|\\
&\hspace{-1cm}\mbox{Eigenschaft (b)}&\hspace{-1cm}\mbox{endliche Additivit\"at von $\mu$}\end{array}
\]
Nachdem links und rechts der gleiche Term stehen, m\"ussen alle Ungleichheiten schon Gleichheiten sein. Insbesondere erhalten wir die gew\"unschte Gleichheit der ersten beiden Ausdr\"ucke.

Wir beweisen nun $(a)\Rightarrow (c)$. 
Es sei also  $\{A_k\}_{k\geq 1}$ eine aufsteigende Folge in $\mathcal{R}$, so dass der Limes $A:=\ttmcup{k=1}{\infty} A_k$ ebenfalls in $\mathcal{R}$ liegt. Wir setzen
\[ B_1\,\,:=\,\,A_1 \mbox{ und f\"ur $k\geq 2$ setzen wir }B_k\,\,:=\,\,A_k\setminus A_{k-1},\mbox{ also ist }A_k\,\,=\,\,B_1\cup\dots \cup B_k.\] 
Nachdem $\{A_k\}$ eine aufsteigende Folge ist, folgt, dass die $B_k$'s paarweise disjunkt sind. Wir erhalten, dass
\[ \begin{array}{lll}\underset{k\to \infty}{\lim} \mu(A_k)\,=\,
\underset{k\to \infty}{\lim} \mu(B_1\cup\dots \cup B_k)&=\,\,
\underset{k\to \infty}{\lim}\, \smsum{i=1}{k}\,\mu(B_i)\,=\,\smsum{i=1}{\infty}\,\mu(B_i)&=\,\,
\mu\Big(\ttmcup{i=1}{\infty}B_i\Big)\,=\,\mu(A).\\[-0.2cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{Lemma~\ref{lem:inhalt}~(3)}&\hspace{-1cm}\mbox{Eigenschaft } (a)\end{array}\]

Wir beweisen zum Schlu\ss\, noch, dass $(c)\Rightarrow(b)$. Es sei also $\{A_k\}_{k\geq 1}$ eine Folge von Mengen, so dass $A:=\ttmcup{k=1}{\infty} A_k$ auch in $\mathcal{R}$ liegt. F\"ur $m\in \N$ setzen wir
\[ B_m\,\,:=\,\,\smcup{k=1}{m} A_k.\]
Dies ist nun eine aufsteigende Folge von Mengen mit $\ttmcup{m=1}{\infty} B_m=\ttmcup{m=1}{\infty} A_m=A$. Wir erhalten, dass
\[ \begin{array}{lll} \mu(A)&=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim} \mu(B_k)\,\,=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim} \mu(A_1\cup \dots\cup A_k)&\leq\,\,\underset{k\to\infty}{\lim} \lmsum{m=1}{k}\mu(A_m)\,\,=\,\,\lmsum{m=1}{\infty} \mu(A_m).
\\[-0.2cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mbox{Eigenschaft (c)}&\hspace{-1cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:inhalt} (4)}
\end{array}
\]
\end{proof}

% Ende 17. Vorlesung



%======================================================
\subsection{Die euklidische Metrik auf $\R^n$}
Wir wenden uns nun dem Studium von Ma\ss en auf dem $n$-dimensionalen euklidischen Raum $\R^n$ zu. Wir erinnern in diesem kurzen Kapitel an einige Begriffe aus der Analysis~II.

F\"ur $x=(x_1,\dots,x_n)\in \R^n$ schreiben wir
\[\textstyle{\|x\|\,\,=\,\,\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2}.}\]
Wir fassen $\R^n$ als metrischen Raum bez\"uglich der euklidischen Metrik auf, welche durch $\|x-y\|$ gegeben ist.
F\"ur $x\in \R^n$ und $r>0$ bezeichnen wir
\[ B_r(x)\,\,=\,\,\big\{y\in \R^n\,\big|\,\|y-x\|<r\big\}\]
als die offene $r$-Kugel um $x$. 
F\"ur eine Teilmenge $X\subset \R^n$ definieren wir
\footnote{Dies sind nat\"urlich wort-w\"ortlich die gleichen Definitionen wie f\"ur den Abschlu\ss\, und das Innere einer Teilmenge in $\C$, siehe Seite~\pageref{def:abschlussc}.}
\begin{align*}
\begin{array}{rclcl}
\hspace{1.3cm}\mbox{Abschlu\ss\, von $X$}&:=& \overline{X}&:=&\big\{y\in \R^n\,\big|\,\mbox{f\"ur alle $\epsilon>0$ gilt $B_\epsilon(y)\cap X\ne \emptyset$}\big\}
\intertext{und}
\mbox{Innere von $X$}&:=& \interior{X}&:=&\big\{x\in X\,\big|\,\mbox{es gibt ein $\epsilon>0$ mit $B_\epsilon(x)\subset X$}\big\}.\end{array}\end{align*}
Beispielsweise gilt f\"ur den halboffenen Quader
\begin{align*}\begin{array}{rclcl}
\hspace{2.5cm}Q&=&[a_1,b_1)\times \dots \times [a_n,b_n)&=&\big\{(x_1,\dots,x_n)\,\big|\,x_i\in [a_i,b_i)\big\},
\intertext{dass}
\overline{Q}&=&[a_1,b_1]\times \dots \times [a_n,b_n]&=&\big\{(x_1,\dots,x_n)\,\big|\,x_i\in [a_i,b_i]\big\},
\intertext{und}
\interior{Q}&=&(a_1,b_1)\times \dots \times (a_n,b_n)&=&\big\{(x_1,\dots,x_n)\,\big|\,x_i\in (a_i,b_i)\big\}.\end{array}
\end{align*}

%======================================================
\subsection{Das Lebesgue-Pr\"ama\ss}
Unser eigentliches Ziel ist es einen vern\"unftigen Begriff von `Volumen' f\"ur `vern\"unftige' Teilmengen von $\R^n$ einzuf\"uhren. In diesem Kapitel kommen wir diesem Ziel deutlich n\"aher.
Genauer gesagt, wir werden ein Pr\"ama\ss\, $\operatorname{Vol}_n$ auf dem Mengenring $\mathcal{Q}(\R^n)$ einf\"uhren.


F\"ur einen halboffenen Quader 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.6cm}
Q&=&[a_1,b_1)\times \dots \times [a_n,b_n)
\intertext{setzen wir}
\operatorname{Vol}_n(Q)&:=&\prod\limits_{i=1}^n (b_i-a_i).\end{array} \end{align*}

Wir wollen nun diesen Volumenbegriff auf alle Teilmengen von $\mathcal{Q}(\R^n)$ fortsetzen.
Dazu ben\"otigen wir folgenden Satz.

\begin{satz}\label{satz:qqrn-ist-vereinigung-disjunkter-quader}
Jede Teilmenge in $\mathcal{Q}(\R^n)$ ist die disjunkte Vereinigung von endlich vielen halboffenen Quadern.
\end{satz}

Bevor wir den Satz beweisen f\"uhren wir noch eine Notation ein.
Wenn $X\subset \Omega$ die disjunkte Vereinigung von  Teilmengen $A,B$ ist, dann  schreiben wir manchmal\footnote{In der Vorlesung verwenden wir hierbei haupts\"achlich  die  Notation $\cupdot$ w\"ahrend wir im Skript haupts\"achlich die Notation $\sqcup$ verwenden, nachdem dieses Symbol leichter von $\cup$ zu unterscheiden ist.}
\[ X\,\,=\,\,A\sqcup B \quad \mbox{ oder auch }\quad X\,\,=\,\,A\cupdot  B.\]
Beispielsweise besagt der vorherige Satz, dass es zu jedem $B\in \mathcal{Q}(\R^n)$ halboffene Quader $Q_1,\dots,Q_m$ mit
\[ B\,\,=\,\,Q_1\sqcup\dots \sqcup Q_m\]
gibt.



\begin{proof}
Wir beweisen diesen Satz mit Induktion nach $n$. 
F\"ur $n=1$ ist dies gerade \"Ubungsaufgabe von \"Ubungs\-blatt 8.

Wir nehmen nun an, dass die Aussage f\"ur $n-1$ gilt. Es sei nun $X\in \mathcal{Q}(\R^n)$. 
Nachdem
\[ \mathcal{Q}(\R^n)\,\,=\,\,\mathcal{Q}(\R)\boxtimes \mathcal{Q}(\R^{n-1})\]
folgt aus Lemma~\ref{lem:produkt-mengenringe-disjunkte-vereinigung}, dass 
wir $X$ schreiben k\"onnen  als \emph{disjunkte} Vereinigung von Mengen der Form $A\times B$, wobei $A\in \mathcal{Q}(\R)$ und $B\in \mathcal{Q}(\R^{n-1})$. Es gen\"ugt nun die Behauptung f\"ur solch ein Produkt $A\times B$ zu beweisen.
Hierbei ist
\[
\begin{array}{ll} A\times B&=( I_1\sqcup \dots \sqcup I_k)\times (Q_1\sqcup \dots \sqcup Q_l)\,\,=\,\,\tmsqcup{i=1}{k}\,\tmsqcup{j=1}{l} \underset{\footnotesize{\begin{array}{c}\opnormal{halboffener}\\\opnormal{Quader}\end{array}}}{\underbrace{I_i\,\,\times\,\, Q_j.}}\\[-1.2cm]
&\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{0.045cm}|\\[-0.1cm]
&\hspace{0.045cm}|\\
&\hspace{-1.5cm}
\footnotesize{\begin{array}{rl}
\mbox{nach Fall $n=1$ ist $A= I_1\sqcup \dots \sqcup I_k$}, &\mbox{wobei $I_1,\dots,I_k$ halboffene Intervalle},\\
\mbox{nach Induktion ist $ B= Q_1\sqcup \dots \sqcup Q_l$}, &\mbox{wobei $Q_1,\dots,Q_l$  halboffene Quader}\end{array}}\end{array}\vspace{-0.6cm}\]
\end{proof}

Es sei nun also $A\in \mathcal{Q}(\R^n)$. Nach Satz~\ref{satz:qqrn-ist-vereinigung-disjunkter-quader} ist
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{5.6cm} A&=&\smsqcup{i=1}{m}\, Q_i
\intertext{die disjunkte Vereinigung von endlich vielen halboffenen Quadern. Es liegt nun nahe}
\operatorname{Vol}_n(A)&=&\lmsum{i=1}{m} \operatorname{Vol}_n(Q_i)\end{array}\end{align*}
zu setzen. Allerdings gibt es dabei ein sehr l\"astiges Problem: wir k\"onnen $A$ auf viele Weisen als disjunkte Vereinigung von endlich vielen halboffenen Quadern schreiben, warum h\"angt dann die Definition nicht von der Wahl der Zerlegung ab?

Wir beweisen dazu erst einmal folgendes Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:volumen-quader-wohldefiniert}
Es sei
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.7cm}  Q&=&Q_1\sqcup \dots\sqcup Q_m
\intertext{eine disjunkte Zerlegung von einem halboffenen Quader $Q\subset \R^n$ in endlich viele halboffene Quader $Q_1,\dots,Q_m$. Dann gilt}
 \operatorname{Vol}_n(Q)&=&\lmsum{i=1}{m}\operatorname{Vol}_n(Q_i).\end{array} \end{align*}
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir beweisen das Lemma mithilfe von Induktion nach $n$. 
Wir betrachten zuerst den Induktionsanfang $n=1$. In diesem Fall sind
\[ Q\,\,=\,\,[a,b)\mbox{ und }Q_i\,\,=\,\,[a_i,b_i),\]
halboffene Intervalle. Indem wir eventuell die Intervalle umnummerieren k\"onnen wir annehmen, dass $a_1<a_2<\dots<a_m$. Da $Q=[a,b)$ die disjunkte Vereinigung der Intervalle $[a_i,b_i)$ ist muss gelten, dass
\[ a\,\,=\,\,a_1\,\,<\,\,b_1\,\,=\,\,a_2\,\,<\,\,b_2\,\,=\,\,a_3\,\,<\dots\,\,b_{m-1}\,\,=\,\,a_m\,\,<\,\,b_m\,\,=b.\]
Also ist
\[ \operatorname{Vol}_1(Q)\,\,=\,\,b-a\,\,=\,\,\lmsum{i=1}{m} (b_i-a_i)\,\,=\,\,\lmsum{i=1}{m}\operatorname{Vol}_1(Q_i).\]
Wir haben also den Induktionsanfang bewiesen.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{zerlegung-intervall.pstex_t}
\caption{Skizze zum Fall $n=1$ im Beweis von Lemma~\ref{lem:volumen-quader-wohldefiniert}.}
\label{fig:zerlegung-intervall}
\end{center}
\end{figure}

Wir wenden uns nun dem Induktionsschritt  $n-1\,\rightsquigarrow\,n$ zu. Wir betrachten zuerst den Spezialfall, dass 
\[
 Q\,\,=\,\,I\times P\quad \mbox{ und }\quad Q_i\,\,=\,\,I_i\times P,\]
wobei $I$ und die $I_i$'s halboffene Intervalle und $P$ ein halboffener Quader in $\R^{n-1}$ sind.  Dann folgt aus $Q=Q_1\sqcup \dots \sqcup Q_m$, dass 
$I=I_1\sqcup \dots \sqcup I_m$. Wir erhalten dann wie gew\"unscht, dass
\[ \begin{array}{ll}\operatorname{Vol}_n(Q)\,=\,\operatorname{Vol}_n(I\times P)\,=\,\operatorname{Vol}_1(I)\cdot \operatorname{Vol}_{n-1}(P)&=
\smsum{i=1}{m} \operatorname{Vol}_1(I_i)\cdot \operatorname{Vol}_{n-1}(P)\,=\,
\smsum{i=1}{m}\operatorname{Vol}_n(Q_i).\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mbox{folgt aus dem Fall $n=1$}\end{array}\]


Wir betrachten nun den allgemeinen Fall. Die Quader $Q$ und $Q_i$ lassen sich zerlegen als
\[
 Q\,\,=\,\,I\times P\quad \mbox{ und }\quad Q_i\,\,=\,\,I_i\times P_i,\]
wobei $I$ und die $I_i$'s halboffene Intervalle und $P$ und die $P_i$'s halboffene Quader in $\R^{n-1}$ sind. 
Wir bezeichnen nun mit $J_1,\dots,J_m$ die halboffenen Intervalle, welche wir dadurch erhalten, dass wir das Intervall $I$ entlang aller Anfangs- und Endpunkte der Intervalle $I_i$ schneiden. (Diese Definition wird in Abbildung~\ref{fig:zerlegung-quader} skizziert.)

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{zerlegung-quader.pstex_t}
\caption{Skizze zum Induktionsschritt im Beweis von Lemma~\ref{lem:volumen-quader-wohldefiniert}.}\label{fig:zerlegung-quader}
\end{center}
\end{figure}

Jedes der Intervall $I_i$ ist nun eine Vereinigung von den Intervallen $J_1,\dots,J_s$. Indem wir die Intervalle $I_i$ in Intervalle der Form $J_j$ aufteilen, und unter Verwendung von $(*)$ k\"onnen wir  o.B.d.A.\ annehmen, dass alle Intervalle der Form $I_i$ ein Intervall aus $\{J_1,\dots,J_s\}$ sind.
 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{zerlegung-quader-2.pstex_t}
\caption{Weitere Skizze zum Induktionsschritt im Beweis von Lemma~\ref{lem:volumen-quader-wohldefiniert}.}
\label{fig:zerlegung-quader-2}
\end{center}
\end{figure}

Dann ist
\[ \begin{array}{rl}\lmsum{i=1}{m}\operatorname{Vol}_n(Q_i)&=\,\, \lmsum{i=1}{m}\operatorname{Vol}_n(I_i\times P_i)\\
&=\,\,
\lmsum{j=1}{s}\lmsum{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{alle $i$ mit}\\\opnormal{$I_i=J_j$}\end{array}}}{}\underset{=\operatorname{Vol}_1(J_j)\cdot \operatorname{Vol}_{n-1}(P_i)}{\underbrace{\operatorname{Vol}_n(J_j\times P_i)}}\\
&=\,\,
\lmsum{j=1}{s}\operatorname{Vol}_1(J_j)\lmsum{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{alle $i$ mit}\\\opnormal{$I_i=J_j$}\end{array}}}{}\operatorname{Vol}_{n-1}(P_i)\\
&=\,\,
\lmsum{j=1}{s}\operatorname{Vol}_1(J_j)\cdot \operatorname{Vol}_{n-1}(P)\,\,=\,\,\operatorname{Vol}_1(I)\cdot \operatorname{Vol}_{n-1}(P)\,\,=\,\,\operatorname{Vol}_n(Q).\\[-0.3cm]
&\uparrow\hspace{4.4cm}\uparrow\\
&\hspace{-2.5cm}\mbox{Induktionsvoraussetzung,}
\hspace{1.5cm}\mbox{Induktionsanfang,}\\[-0.1cm]
&\hspace{-2.8cm}\mbox{angewandt auf}\tmsqcup{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{alle $i$ mit}\\\opnormal{$I_i=J_j$}\end{array}}}{}\hspace{-0.3cm}P_i=P
\hspace{1cm}\mbox{angewandt auf } \ttmsqcup{j=1}{s} J_i=I
\end{array}\vspace{-0.8cm}\]
\end{proof}

Wir k\"onnen nun zeigen, dass die obige Idee der Definition vom Volumen auf $\mathcal{Q}(\R^n)$ in der Tat Sinn macht. 

\begin{satz}\label{satz:voln-wohldefiniert}
Die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \operatorname{Vol}_n\colon \mathcal{Q}(\R^n)&\to & \overline{\R}_+\\
A&\mapsto& \operatorname{Vol}_n(A)=\smsum{i=1}{m} \operatorname{Vol}_n(Q_i), \begin{array}{c}\mbox{ wobei $A$ die disjunkte Vereinigung der}\\\mbox{halboffenen Quadern $Q_1,\dots,Q_m$ ist}\end{array}\end{array}\]
ist wohldefiniert, d.h.\ h\"angt nicht von der Zerlegung von $A$ ab, und definiert einen Inhalt auf $\mathcal{Q}(\R^n)$.
\end{satz}

\begin{proof}
Wir zeigen zuerst, dass $\operatorname{Vol}_n$ wohldefiniert ist. Es sei also $A\in \mathcal{Q}(\R^n)$ und es seien 
\[ A\,\,=\,\,\tmsqcup{i=1}{r} P_i\,\,=\,\,\tmsqcup{j=1}{s} Q_j,\]
zwei Zerlegungen von $A$ in disjunkte halboffene Quader.
Dann ist 
\[ \begin{array}{lll}
\lmsum{i=1}{r} \operatorname{Vol}_n(P_i)\,\,=\,\,\lmsum{i=1}{r} \operatorname{Vol}_n\Big(\hspace{-0.25cm}\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{Zerlegung vom}\\\opnormal{Quader $P_i$ in}\\\opnormal{die Quader $P_i\cap Q_j$}\end{array}}}{\underbrace{\tmcup{j=1}{s}P_i\cap Q_j}}\hspace{-0.25cm}\Big)&=\,\,\lmsum{i=1}{r}\lmsum{j=1}{s} \operatorname{Vol}_n(P_i\cap Q_j)&=\lmsum{j=1}{s} \operatorname{Vol}_n(Q_j).\\[-1.5cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.2cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:volumen-quader-wohldefiniert}}
&\hspace{-1.0cm}\mbox{das gleiche Argument}\\
&&\mbox{r\"uckw\"arts}\end{array}\]
Wir haben also gezeigt, dass die Definition von $\operatorname{Vol}_n(A)$ nicht von der Zerlegung abh\"angt.

Die Abbildung $\operatorname{Vol}_n$ ist offensichtlich additiv, d.h.\ $\operatorname{Vol}_n$ ist in der Tat ein Inhalt.
\end{proof}

\begin{satz}\label{satz:lambda-sigma-additiv}
Der Inhalt
\[ \begin{array}{rcl} \operatorname{Vol}_n\colon \mathcal{Q}(\R^n)&\to & \R_+\\
A&\mapsto& \operatorname{Vol}_n(A)\end{array}\]
ist $\sigma$-additiv, d.h.\ $\operatorname{Vol}_n$ ist ein Pr\"ama\ss.
\end{satz}

Im Folgenden bezeichnen wir $\operatorname{Vol}_n\colon \mathcal{Q}(\R^n)\to \R_+$ als das \emph{Lebesguesche Pr\"ama\ss}.\footnote{In der Literatur wird das Lebesguesche Pr\"ama\ss\, oft auch mit $\lambda(A)$ anstatt $\operatorname{Vol}_n(A)$ geschrieben.} Wenn vom Kontext her klar ist, in welcher Dimension wir arbeiten, lassen wir den oberen Index $n$ weg und schreiben einfach $\operatorname{Vol}$ anstatt $\operatorname{Vol}_n$. 


Bevor wir uns dem Beweis von Satz~\ref{satz:lambda-sigma-additiv} zuwenden betrachten wir noch ein Beispiel. In $\mathcal{Q}(\R)$ haben wir die disjunkte Zerlegung
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}   \hspace{4.5cm} \smsqcup{k=1}{\infty} \,\big[
1-\tmfrac{1}{2^{k-1}},1-\tmfrac{1}{2^{k}}\big) &=&[0,1)
\intertext{vom halboffenen Intervall $[0,1)$ in unendlich viele halboffene Intervalle. Hierbei ist  in der Tat}
\smsum{k=1}{\infty} \,\underset{=\frac{1}{2^{k}}}{\underbrace{\operatorname{Vol}\big(\big[
1-\tmfrac{1}{2^{k-1}},1-\tmfrac{1}{2^{k}}\big)\big)}}
&=&
\smsum{k=1}{\infty} \tmfrac{1}{2^{k}}\,\,=\,\,1=\,\,\operatorname{Vol}([0,1)).\end{array}
\end{align*}



Im Beweis von Satz~\ref{satz:lambda-sigma-additiv} werden wir folgendes Lemma ben\"otigen.

\begin{lemma}\label{lem:offene-abgeschlossene-quader}
Es sei $Q\subset \R^n$ ein halboffener Quader. Dann gibt es zu jedem $\epsilon>0$ halboffene Quader $P$ und $R$, so dass
\[ \overline{P}\,\,\subset\,\,Q\,\,\subset\,\,\interior{R}\quad\mbox{ mit }\quad
\operatorname{Vol}_n(P)\,\,\geq\,\,(1-\epsilon)\operatorname{Vol}_n(Q)\mbox{ und }\operatorname{Vol}_n(R)\,\,\leq\,\,(1+\epsilon)\operatorname{Vol}_n(Q).\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei also
\begin{align*}\begin{array}{rclcl}
\hspace{4.5cm}Q&=&[a_1,b_1)\times \dots \times [a_n,b_n).
\intertext{ein halboffener Quader und $\epsilon>0$. F\"ur $\delta>0$ setzen wir}
\mathcal{P}(\delta)&=&[a_1,b_1-\delta)\times \dots \times [a_n,b_n-\delta),
\intertext{und}
\mathcal{R}(\delta)&=&[a_1-\delta,b_1)\times \dots \times [a_n-\delta,b_n).\end{array}
\end{align*}
Dann gilt f\"ur jedes $\delta>0$, dass
\[ \overline{\mathcal{P}(\delta)}\,\,\subset\,\,\mathcal{Q}\,\,\subset\,\,\interior{\mathcal{R}(\delta)}.\]
Aus der Stetigkeit von Volumina von Quadern folgt nun, dass f\"ur ein geeignet gew\"ahltes $\delta>0$ die Volumenbedingungen erf\"ullt sind.
\end{proof}

Das n\"achste Korollar besagt nun, dass die Aussage von 
Lemma~\ref{lem:offene-abgeschlossene-quader} auch analog f\"ur beliebige Teilmengen in $\mathcal{Q}(\R^n)$ zutrifft.

\begin{korollar}\label{kor:offene-abgeschlossene-quader}
Es sei $B\in \mathcal{Q}(\R^n)$ und $\epsilon>0$. Dann  gibt es $A$ und $C$ in $\mathcal{Q}(\R^n)$, so dass
\[ \overline{A}\,\,\subset\,\,B\,\,\subset\,\,\interior{C}\quad\mbox{ mit }\quad
\operatorname{Vol}_n(A)\,\,\geq\,\,(1-\epsilon)\operatorname{Vol}_n(B)\mbox{ und }\operatorname{Vol}_n(C)\,\,\leq\,\,(1+\epsilon)\operatorname{Vol}_n(B).\]
\end{korollar}

\begin{proof}
Jedes $B\in \mathcal{Q}(\R^n)$ ist per Definition die Vereinigung von halboffenen disjunkten Quadern $Q_1,\dots,Q_m$. Wir wenden nun Lemma~\ref{lem:offene-abgeschlossene-quader} auf diese Quader  an und erhalten halboffene Quader $P_i$ and $R_i$ mit 
\[ \overline{P_i}\subset Q_i\subset \interior{R_i}\mbox{ und } \operatorname{Vol}(P_i)\geq (1-\epsilon)\operatorname{Vol}_n(Q_i)\mbox{ und } \operatorname{Vol}_n(R_i)\leq (1+\epsilon)\operatorname{Vol}_n(P_i).\]
 Wir setzen $A=\ttmcup{i=1}{m} P_i$ und $C=\ttmcup{i=1}{m} R_i$. Dann ist
\[ \overline{A}\,\,=\,\, \ttmcup{i=1}{m} \overline{P_i}\,\,\subset\,\, \underset{=B}{\underbrace{\ttmcup{i=1}{m} Q_i}}\,\,\subset\,\, \ttmcup{i=1}{m}\interior{R_i}\,\,=\,\,\interior{C}.\vspace{-0.5cm}\]
Zudem ist
\[ \begin{array}{llll} \operatorname{Vol}_n(A)\,=\,\operatorname{Vol}_n(P_1\cup\dots \cup P_m)&\hspace{-0.15cm}=\, \tmsum{i=1}{m} \operatorname{Vol}_n(P_i)&\hspace{-0.15cm}\geq\, (1-\epsilon)
\tmsum{i=1}{m} \operatorname{Vol}_n(Q_i)&\hspace{-0.15cm}=\,(1-\epsilon)\operatorname{Vol}_n(B)\\[-0.2cm]
&\hspace{-0.1cm}\uparrow &\hspace{-0.1cm}\uparrow&\hspace{-0.1cm}\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mbox{Additivit\"at}
&\hspace{-0.8cm}\mbox{Monotonie}
&\hspace{-1cm}\mbox{Additivit\"at}\vspace{-0.5cm}
\end{array}\]
 und
\[ \begin{array}{llll} \operatorname{Vol}_n(C)\,=\,\operatorname{Vol}_n(R_1\cup\dots \cup R_m)&\hspace{-0.15cm}\leq \, \tmsum{i=1}{m} \operatorname{Vol}_n(R_i)&\hspace{-0.15cm}\leq\, (1+\epsilon)
\tmsum{i=1}{m} \operatorname{Vol}_n(Q_i)&\hspace{-0.15cm}=\,(1+\epsilon)\operatorname{Vol}_n(B).\\[-0.2cm]
&\hspace{-0.1cm}\uparrow &\hspace{-0.1cm}\uparrow&\hspace{-0.1cm}\uparrow\\
&\hspace{-1.2cm}\mbox{Subadditivit\"at}
&\hspace{-0.8cm}\mbox{Monotonie}
&\hspace{-1cm}\mbox{Additivit\"at}\vspace{-0.5cm}
\end{array}\]
\end{proof}


Wir wenden uns nun dem Beweis von Satz~\ref{satz:lambda-sigma-additiv} zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:lambda-sigma-additiv}]
Wir wollen also beweisen, dass $\operatorname{Vol}_n$ ein $\sigma$-additiver Inhalt ist. Nach Satz~\ref{satz:charakterisierung-sigmaadditiv} gen\"ugt es zu zeigen, dass $\operatorname{Vol}_n$ zumindest $\sigma$-subadditiv ist.
 Es sei also $\{B_k\}_{k\geq 1}$
eine Folge von  Mengen  in $\mathcal{Q}(\R^n)$, deren Vereinigung $B:=\ttmcup{k=1}{\infty} B_k$ ebenfalls in $\mathcal{Q}(\R^n)$ liegt. Wir m\"ussen zeigen, das
\[ \operatorname{Vol}_n\Big(\ttmcup{k=1}{\infty} B_k\Big)\,\,\leq\,\,\lmsum{k=1}{\infty}\operatorname{Vol}_n(B_k).\]
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Wenn wir nur endlich viele $B_k$'s h\"atten, dann w\"urde die Aussage nat\"urlich aus Lemma~\ref{lem:inhalt}~(4) folgen. Wir f\"uhren den allgemeinen Fall auf den endlichen Fall durch ein Kompaktheitsargument zur\"uck. Dazu m\"ussen wir eine kompakte Menge finden, welche durch offene Mengen \"uberdeckt wird.\\
Da $B\hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm}\ttmcup{k=1}{\infty} B_k$ weder offen noch kompakt ist, wollen wir   innerhalb von $B\hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm}\ttmcup{k=1}{\infty} B_k$ eine `etwas' kleinere kompakte Teilmenge finden, welche  durch offene Mengen \"uberdeckt werden, welche `etwas' gr\"o\ss er als die $B_k$'s sind.}
\end{enumerate}
Es sei nun $\epsilon>0$ beliebig.
Wir wenden  Korollar~\ref{kor:offene-abgeschlossene-quader} auf $B$ und die $B_k$'s an und erhalten insbesondere
\begin{align*}
\begin{array}{rclcrcl}
\hspace{2.5cm} A\in \mathcal{Q}(\R^n)&\mbox{mit} &\overline{A}\subset B&\mbox{ und }&\operatorname{Vol}_n(A)&\geq&(1-\epsilon)\operatorname{Vol}_n(B),
\intertext{sowie f\"ur jedes $k\in \N$}
C_k\in \mathcal{Q}(\R^n)&\mbox{mit} &B_k\subset \interior{C_k}&\mbox{ und }&\operatorname{Vol}_n(C_k)&\leq&(1+\epsilon)\operatorname{Vol}_n(B_k).
\end{array} \end{align*}
Es folgt also, dass
\[ \begin{array}{lll}\overline{A}\,\,\subset \,\,B\,\,=\,\,\lmcup{k=1}{\infty} B_k\,\,\subset&
\lmcup{k=1}{\infty}\, \interior{C_k}.\\[-0.2cm]
\uparrow&\hspace{0.7cm}\uparrow\\
\hspace{-1.5cm}\mbox{kompakt nach Heine-Borel}&\hspace{0.4cm}\mbox{offen}\end{array}\]
Es folgt nun aus der Definition von Kompaktheit, dass $\overline{A}$, und damit insbesondere auch $A$,  schon durch endlich viele $C_1,\dots,C_m$ \"uberdeckt ist. Es folgt, dass
\[ \begin{array}{llll}(1-\epsilon) \operatorname{Vol}_n(B)&\leq\,\, \operatorname{Vol}_n({A})\,\,\leq\,\,\operatorname{Vol}_n\Big(\ttmcup{k=1}{m}C_k\Big)&\leq\,\,\lmsum{k=1}{m} \operatorname{Vol}_n(C_k)
\,\,\leq\,\, \lmsum{k=1}{\infty} \operatorname{Vol}_n(C_k)\\[-0.2cm]
&\hspace{2.3cm}\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{1.3cm}\mbox{Monotonie}&\hspace{-0.6cm}\mbox{Lemma~\ref{lem:inhalt}~(4)}\\
&\leq\,\, (1+\epsilon)\lmsum{k=1}{\infty} \operatorname{Vol}_n(B_k).\end{array}\]
Nachdem diese Ungleichung f\"ur alle $\epsilon>0$ gilt, muss sie auch f\"ur $\epsilon=0$ gelten, d.h.\ wir erhalten die gew\"unschte Ungleichung
\[ \operatorname{Vol}_n(B)\,\,\leq\,\, \lmsum{k=1}{\infty} \operatorname{Vol}_n(B_k).\vspace{-0.5cm}\]
\end{proof}

% Ende 18. Vorlesung


Wir beschlie\ss en das Kapitel mit zwei einfachen Definitionen.

\begin{definition}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Ein Inhalt $\mu$  auf einem Mengenring $\mathcal{R}\subset \mathcal{P}(\Omega)$  hei\ss t \emph{endlich},  wenn $\mu(A)<\infty$ f\"ur alle $A\in \mathcal{R}$.
\item Ein Inhalt $\mu$ auf einem Mengenring $\mathcal{R}\subset \mathcal{P}(\Omega)$  hei\ss t \emph{$\sigma$-endlich}, wenn es eine Folge von Mengen $A_k\in \mathcal{R}$, $k\in \N$ gibt mit
\[ \smcup{k=1}{\infty} \,A_k\,\,=\,\,\Omega\quad\mbox{ und }\quad \mu(A_k)\,\,<\,\,\infty\mbox{ f\"ur alle $k\geq 1$.}\]
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
Auf $\mathcal{E}(\N)$ betrachten wir wiederum die drei Inhalte
\[ 
 \begin{array}{rcl} \nu\colon \mathcal{E}(\N)&\hspace{-0.1cm}\to\hspace{-0.1cm} & \overline{\R}_+\\
A&\hspace{-0.1cm}\mapsto\hspace{-0.1cm} & \left\{ \hspace{-0.2cm}\begin{array}{ll} 0,& \hspace{-0.2cm}\mbox{wenn $A$ endlich},\\
 1,& \hspace{-0.2cm}\mbox{wenn $A$ unendlich}.\end{array}\right.\end{array}
 \begin{array}{rcl} \mu\colon \mathcal{E}(\N)&\hspace{-0.1cm}\to &\hspace{-0.1cm} \overline{\R}_+\\
A&\hspace{-0.1cm}\mapsto &\hspace{-0.1cm} \# A\\&&\end{array}\hspace{0.2cm}
 \begin{array}{rcl} \tau\colon \mathcal{E}(\N)&\hspace{-0.1cm}\to & \hspace{-0.1cm}\overline{\R}_+\\
 A&\hspace{-0.1cm}\mapsto &\hspace{-0.1cm} \left\{ \hspace{-0.2cm} \begin{array}{ll} 0,& \hspace{-0.2cm}\mbox{wenn $A=\emptyset$},\\
  \infty,& \hspace{-0.2cm}\mbox{wenn $A\ne \emptyset$}.\end{array}\right.\end{array}\]
Der Inhalt $\nu$ ist nat\"urlich endlich. Der Inhalt $\mu$ ist zwar nicht endlich, aber immerhin $\sigma$-endlich, denn $\N=\ttmcup{k=1}{\infty} \{1,\dots,k\}$. 
Der Inhalt $\tau$ hingegen ist noch nicht einmal  $\sigma$-endlich.
\end{beispiel}




\newpage
%======================================================
\section{Fortsetzung von einem Pr\"ama\ss\, zu einem Ma\ss}
Im vorherigen Kapitel hatten wir unter anderem, das Volumen $\operatorname{Vol}_n$ auf dem Mengenring $\mathcal{Q}(\R^n)$ eingef\"uhrt. Viele Mengen, f\"ur welche wir uns interessieren liegen aber nicht in $\mathcal{Q}(\R^n)$. Beispielsweise ist f\"ur $n\geq 2$ keine Kugel in $\mathcal{Q}(\R^n)$ enthalten. Wir wollen in diesem Kapitel den Volumenbegriff auf mehr Teilmengen von $\R^n$ erweitern. Nachdem es von der Theorie her fast keinen Unterschied macht, arbeiten wir in diesem Kapitel jedoch nicht nur mit dem $\sigma$-endlichen Pr\"ama\ss\, auf dem Mengenring $\mathcal{Q}(\R^n)$ sondern wir betrachten den allgemeinen Fall.

Genauer gesagt, in diesem Kapitel  sei $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ durchgehend ein Mengenring auf einer Menge $\Omega$ und es sei 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6.3cm}
\mu\colon \mathcal{A}&\to & \overline{\R}_+
\intertext{durchgehend ein $\sigma$-endliches Pr\"ama\ss. In diesem Kapitel  wollen wir dieses zu einem Ma\ss}
\tilde{\mu}\colon \langle \mathcal{A}\rangle^\sigma&\to&\overline{\R}_+
\end{array}
\end{align*}
fortsetzen. Unser Hauptinteresse liegt dabei, wie schon erw\"ahnt, auf dem Pr\"ama\ss\, $\operatorname{Vol}_n$ auf dem Mengenring $\mathcal{Q}(\R^n)$.


%======================================================
\subsection{Die Menge $\mathcal{A}^\uparrow$}
Wir bezeichnen mit $\mathcal{A}^\uparrow$ die Menge aller $A\in \mathcal{P}(\Omega)$, welche sich als Limes
\[ A_k\,\uparrow\, A\]
einer aufsteigenden Folge von Mengen $A_k\in \mathcal{A}$ darstellen lassen.
Nachdem $\mathcal{A}$ als $\sigma$-endlich vorausgesetzt ist, liegt insbesondere $\Omega$ in $\mathcal{A}^\uparrow$.\footnote{Hierbei verwenden wir nur, dass es eine Folge von Mengen $A_k\in \mathcal{A}$, $k\in \N$ gibt mit
$\ttmcup{k=1}{\infty} A_k=\Omega$, wir m\"ussen noch nicht verwenden, dass man die $A_k$'s zudem so w\"ahlen kann, dass sie endlichen Inhalt besitzen.}



Wir werden immer wieder folgendes elementare Lemma verwenden.

\begin{lemma}\label{lem:abzaehlbare-vereinigung-in-aup}
F\"ur $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ gilt
\[ \mathcal{A}^\uparrow\,\,=\,\,\big\{\mbox{Vereinigungen von abz\"ahlbar vielen Mengen in $\mathcal{A}$}\big\}.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Die Inklusion `$\subset$' ist offensichtlich. Es verbleibt die Inklusion `$\supset$' zu beweisen. Die Vereinigung von endlich vielen Mengen im Mengenring $\mathcal{A}$ liegt schon wieder in $\mathcal{A}$, insbesondere auch in $\mathcal{A}$.
Es sei nun $\{A_k\}_{k\in \N}$ eine beliebige, nicht notwendigerweise aufsteigende Folge, von Teilmengen in $\mathcal{A}$ ist. Dann ist
\[ \smcup{k=1}{\infty}A_k\,\,=\,\,\smcup{k=1}{\infty}\underset{\opnormal{aufsteigende Folge in $\mathcal{A}$}}{\underbrace{A_1\cup\dots\cup A_k.}}\]
Es folgt nun aus der Definition von $\mathcal{A}^\uparrow$, dass diese Vereinigungsmenge in $\mathcal{A}^\uparrow$ liegt.
\end{proof}

Der folgende Satz gibt uns sehr viele Beispiele von Teilmengen von $\R^n$, welche
in $\mathcal{Q}(\R^n)^\uparrow$ liegen.


\begin{satz}\label{satz:offen-messbar}
Alle offenen Mengen in $\R^n$ liegen in $\mathcal{Q}(\R^n)^\uparrow$.
\end{satz}



Satz~\ref{satz:offen-messbar} folgt sofort aus den jeweiligen Definitionen,
Lemma~\ref{lem:abzaehlbare-vereinigung-in-aup} und folgendem Satz.

\begin{satz}\label{satz:offen-ist-vereinigung-von-wuerfeln}
Jede offene Menge  in $\R^n$ ist die disjunkte Vereinigung von abz\"ahlbaren vielen halboffenen W\"urfeln.
\end{satz}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{offene-wurfel.pstex_t}
\caption{Die offene Menge $U$ ist die disjunkte Vereinigung von abz\"ahlbaren vielen halboffenen W\"urfeln.}
\end{center}
\end{figure}


\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:offen-ist-vereinigung-von-wuerfeln}]
F\"ur $k\in \N$ definieren wir
\[ \mathcal{W}_k\,\,:=\,\,\mbox{alle W\"urfel der Form $\big[\ttmfrac{m_1}{2^k},\ttmfrac{m_1+1}{2^k}\big)\times \dots\times 
\big[\ttmfrac{m_n}{2^k},\ttmfrac{m_n+1}{2^k}\big)$, wobei $m_1,\dots,m_n\in \Z$}.\]
Anschaulich gesprochen ergeben die halboffenen W\"urfel in $\mathcal{W}_k$ gerade das `Karomuster' auf $\R^n$ mit Seitenl\"ange $\frac{1}{2^k}$. Etwas genauer gesprochen k\"onnen wir sagen, dass  $\mathcal{W}_k$ aus abz\"ahlbaren vielen disjunkten halboffenen W\"urfel besteht, welche ganz $\R^n$ \"uberdecken.

Es sei nun $U\subset \R^n$ eine beliebige offene Menge. Wir setzen zuerst
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
M_0&:=& \mbox{Vereinigung aller halboffenen W\"urfel in $\mathcal{W}_0$, welche ganz in $U$ enthalten sind},
\intertext{und iterativ setzen wir dann}
M_k&:=&\mbox{Vereinigung aller halboffenen W\"urfel in $\mathcal{W}_k$, welche ganz in $U$ enthalten sind},\\
&&\mbox{aber nicht in $M_0\cup \dots\cup M_{k-1}$ liegen.}
\end{array}
\end{align*}
Die Mengen $M_k$ mit $k\geq 0$ sind also Vereinigungen von abz\"ahlbar vielen halboffenen W\"urfeln, also liegen alle $M_k$'s in $\mathcal{Q}(\R^n)^\uparrow$. 

Im Hinblick auf Lemma~\ref{lem:abzaehlbare-vereinigung-in-aup}
verbleibt es nun noch folgende Behauptung zu beweisen.

\begin{behauptung}
Es ist
\[ U\,\,=\,\,\tmcup{k=1}{\infty} M_k.\]
\end{behauptung}

Es sei also $a\in U$ beliebig. Nachdem $U$ offen ist gibt es ein $\epsilon>0$, so dass $B_\epsilon(a)\subset U$. Wir w\"ahlen nun ein $k$, so dass
\[\mbox{Durchmesser der W\"urfel in $\mathcal{W}_k$}\,\,=\,\,
\sqrt{n}\cdot\mbox{Kantenl\"ange der W\"urfel in $\mathcal{W}_k$}\,\,=\,\,
\sqrt{n}\tmfrac{1}{2^k}\,\,<\,\,\epsilon.\]
Es sei $W$ der W\"urfel in $\mathcal{W}_k$, welcher $a$ enth\"alt. Aus der Bedingung an die Durchmesser folgt, dass $W\subset U$.\footnote{In der Tat, denn sei $d$ der Durchmesser von $W$. Dann gilt f\"ur alle $x\in W$, dass $\|x-a\|\leq d< \epsilon$, d.h.\ es ist $x\in B_\epsilon(a)\subset U$.} Also ist entweder $W\in M_k$ oder der Punkt $a$ ist schon in einem $M_i$ mit $i<k$ enthalten. In beiden F\"allen ist, wie gew\"unscht, der Punkt $a$ in $\ttmcup{k=1}{\infty} M_k$ enthalten.
\end{proof}

Wir haben also gerade gesehen, dass viele interessante Teilmengen von $\R^n$ schon in $\mathcal{Q}(\R^n)^\uparrow$ liegen. Nichtsdestotrotz gehen uns noch viele Mengen ab.
Es sei beispielsweise $x\in \R$, dann liegt  die Menge $\{x\}$ nicht in $\mathcal{Q}(\R)^\uparrow$. In der Tat, denn jede Menge $A$ in $\mathcal{Q}(\R)^\uparrow$ hat die Eigenschaft, dass f\"ur jedes $x\in A$ ein $\epsilon>0$ existiert, so dass $[x,x+\epsilon)$ noch ganz in $A$ liegt.
\label{bsp:punkt-nicht-in-aup}

Wir beschlie\ss en die Einf\"uhrung von $\mathcal{A}^\uparrow$ mit folgendem Satz.

\begin{satz}\label{satz:eigenschaften-a-uparrow}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Der Durchschnitt endlich vieler Mengen in $\mathcal{A}^\uparrow$ liegt wieder in $\mathcal{A}^\uparrow$,
\item die Vereinigung von abz\"ahlbar vielen Mengen in $\mathcal{A}^\uparrow$ liegt wieder in $\mathcal{A}^\uparrow$,
\item aus $A\in \mathcal{A}^\uparrow$ und $B\in \mathcal{A}$ folgt auch, dass $A\setminus B\in \mathcal{A}^\uparrow$.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Im Allgemeinen ist $\mathcal{A}^\uparrow$ jedoch kein Mengenring, denn aus $A,B\in \mathcal{A}^\uparrow$ folgt nicht notwendigerweise, dass auch $A\setminus B$ in $\mathcal{A}^\uparrow$ liegt. In der Tat, betrachten wir beispielsweise $\mathcal{A}=\mathcal{Q}(\R)$ und\vspace{-0.2cm}
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{5.9cm} A&=&\smcup{k\in \N_0}{}[k,k+1)\,\,=\,\,\R_{\geq 0}\vspace{-0.2cm}
\intertext{und}
 B&=&\smcup{k\in \N}{}\big[\tmfrac{1}{2^k},k+1\big)\,\,=\,\,\R_{>0}.\vspace{-0.2cm}
\intertext{Dann ist}
B\setminus A&=&\{0\}.\end{array}\end{align*}
Aber wir hatten gerade gesehen, dass $\{0\}$ nicht in $\mathcal{Q}(\R)^\uparrow$ liegt.
\end{bemerkung}

\begin{proof}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Wir zeigen zuerst, dass der Durchschnitt von zwei Mengen in $\mathcal{A}^\uparrow$ wieder in $\mathcal{A}^\uparrow$ liegt. Der allgemeine Fall wird dann ganz analog bewiesen. Es seien also $A,B\in \mathcal{A}^\uparrow$. Dann ist
\[ \begin{array}{lll} A\cap B&=\,\,\Big(\ttmcup{k\in \N}{} A_k\Big)\cap \Big(\ttmcup{k\in \N}{}B_k\Big)&=\,\, \smcup{k\in \N}{}
\underset{\footnotesize{\begin{array}{c}\in \mathcal{A}\mbox{ nach}\\\mbox{Lemma~\ref{lem:durchschnitt-mengenring}}\end{array}}}{\underbrace{A_k\cap B_k}}\,\,\in\,\,\mathcal{A}^\uparrow.\\[-1.1cm]
&\uparrow&\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{0.045cm}|&\hspace{0.045cm}|\\
&\hspace{-2cm}\footnotesize{
\begin{array}{l}\mbox{wir w\"ahlen  aufsteigende Folgen}\\
\mbox{$A_k\uparrow A$ und $B_k\uparrow B$ in $\mathcal{A}$}\end{array}}
&\hspace{-1.2cm}\footnotesize{\begin{array}{c}\mbox{siehe}\\ \mbox{\"Ubungsblatt~10}\end{array}}
\end{array}
\]
\item Diese Aussage folgt sofort aus Lemma~\ref{lem:abzaehlbare-vereinigung-in-aup}.
Genauer gesagt, es seien $A_i\in \mathcal{A}^\uparrow$ mit $i\in I$, wobei $I$ abz\"ahlbar ist. Nach Lemma~\ref{lem:abzaehlbare-vereinigung-in-aup} ist jedes $A_i$ von der Form $A_i=\ttmcup{j\in J_i}{}A_{ij}$, wobei jedes $A_{ij}\in \mathcal{A}$ und $J_i$ abz\"ahlbar ist. Dann ist
\[ \smcup{i\in I}{}A_i\,\,=\,\,\smcup{i\in I}{}\,\smcup{j\in J_i}{}A_{ij}\,\,=\,\,\smcup{i\in I, j\in J_i}{} A_{ij}.\]
Die Indexmenge $\{(i,j)|i\in I,j\in J_i\}$ ist wiederum abz\"ahlbar, also liegt die Vereinigung aller $A_i$'s nach  Lemma~\ref{lem:abzaehlbare-vereinigung-in-aup} in der Tat in $\mathcal{A}^\uparrow$.
\item Es sei also $A\in \mathcal{A}^\uparrow$ und $B\in \mathcal{A}$. Dann ist
\[ \begin{array}{ll}A\setminus B&=\,\, \Big(\smcup{k\in \N}{} A_k\Big)\setminus B\,\,=\,\, \smcup{k\in \N}\,\,\underset{\in \mathcal{A}}{\underbrace{A_k\setminus B}}\,\,\in\,\,\mathcal{A}^\uparrow.\\[-0.6cm]
&\uparrow\\[-0.25cm]
&\hspace{0.045cm}|\\
&\hspace{-1cm}\footnotesize{
\mbox{wir w\"ahlen eine aufsteigende Folge $A_k\uparrow A$ in $\mathcal{A}$}}
\end{array}\vspace{-0.6cm}
\]
\end{enumerate}
\end{proof}

%======================================================
\subsection{Die Fortsetzung von $\mu$ auf $\mathcal{A}^\uparrow$}
Es sei weiterhin $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ ein Mengenring auf einer Menge $\Omega$ und es sei 
$\mu\colon \mathcal{A}\to  \overline{\R}_+$  ein $\sigma$-endliches Pr\"ama\ss.
Offensichtlich gilt\footnote{Dies ist in der Tat offensichtlich, denn $\langle \mathcal{A}\rangle^\sigma$ ist eine $\sigma$-Algebra, welche $\mathcal{A}$ enth\"alt. Also folgt per Definition, dass f\"ur jede abz\"ahlbare Folge $A_k,k\in \N$ in $\mathcal{A}$ auch die Vereinigungsmenge $\ttmcup{k=1}{\infty} A_k$ in $\langle \mathcal{A}\rangle^\sigma$ liegt. Insbesondere gilt $\mathcal{A}^\uparrow\subset \langle \mathcal{A}\rangle^\sigma$.}
\[ \mathcal{A}\,\,\subset\,\,\mathcal{A}^\uparrow\,\,\subset\,\, \langle \mathcal{A}\rangle^\sigma.\]
Unser Ziel in diesem Kapitel ist es $\mu$ zu einem Ma\ss\, $\mu$ auf $\langle \mathcal{A}\rangle^\sigma$ fortzusetzen. Wenn dies m\"oglich sein soll, dann muss nach Satz~\ref{satz:charakterisierung-sigmaadditiv}~(c) f\"ur $A_k\uparrow A$ gelten, dass
\[ \begin{array}{ll}\mu(A)\,\,=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim}& \hspace{-0.3cm}\mu(A_k)\,\,\in\,\, \overline{\R}_+.\\
&\uparrow\\
&\hspace{-4cm}\mbox{monoton steigende Folge, d.h.\ Grenzwert existiert}\end{array}\]
Diese Gleichung bietet sich nun nat\"urlich als Definition von $\mu(A)$ f\"ur ein $A\in \mathcal{A}^\uparrow$ an. Allerdings m\"ussen wir noch zeigen, dass dann $\mu(A)$ wohldefiniert ist. Dies ist genau die Aussage von folgendem Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:timu-wohldef}
Die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} \mu\colon \mathcal{A}^\uparrow&\to& \overline{\R}_+\\
A&\mapsto & \underset{k\to\infty}{\lim}\mu(A_k), \quad \mbox{wobei $A_k\in \mathcal{A}$ mit $A_k\uparrow A$}\end{array}\]
 ist wohldefiniert.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es seien also $A_k\uparrow A$ und $B_k\uparrow A$ zwei aufsteigende Folgen in $\mathcal{A}$ mit Limes $A\in \mathcal{A}^\uparrow$. Wir zeigen zuerst folgende Behauptung.

\begin{behauptung}
Es  ist
\[  \underset{m\to\infty}{\lim}\mu(B_m)\,\,\leq\,\, \underset{k\to\infty}{\lim}\mu(A_k).\]
\end{behauptung}

In der Tat gilt f\"ur alle $m$, dass
\[ \begin{array}{lll}\mu(B_m)&=\,\,\mu(B_m\cap A)\,\,=\,\,\mu\Big(\ttmcup{k=1}{\infty}B_m\cap A_k\Big)&=\,\,
\underset{k\to\infty}{\lim}\,\,\underset{\leq \mu(A_k)}{\underbrace{\mu(B_m\cap A_k)}}\,\,\leq\,\,\underset{k\to\infty}{\lim} \mu(A_k).\\[-0.6cm]
&\uparrow &\uparrow\\[-0.15cm]
&\hspace{0.045cm}|&\hspace{0.045cm}|\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{denn $B_m\subset A$}
&\hspace{-2cm}{\mbox{$\sigma$-Additivit\"at vom Pr\"ama\ss\, $\mu$}}\\
&&\hspace{-1.7cm}{\mbox{zusammen mit Satz~\ref{satz:charakterisierung-sigmaadditiv},}}\\
&&\hspace{-2.1cm}{\mbox{angewandt auf $(B_m\cap A_k)\uparrow B_m$}}\end{array}\]
Die Behauptung folgt nun aus der Monotonie vom Grenzwert.

Der gleiche Beweis liefert nat\"urlich auch die umgedrehte Ungleichung. Also m\"ussen die Grenzwerte schon \"ubereinstimmen.
\end{proof}

\begin{beispiel}
In Satz~\ref{satz:offen-messbar} hatten wir gesehen, dass alle offenen Teilmengen von $\R$, also insbesondere auch alle offenen Intervalle, in $\mathcal{Q}(\R)^\uparrow$ liegen. F\"ur diese Mengen haben wir jetzt also ein Volumen definiert. In \"Ubungsblatt~10 werden wir sehen, dass f\"ur eine beliebige Wahl von $-\infty\leq a\leq b\leq \infty$ gilt, dass
\[ \operatorname{Vol}_1\big((a,b)\big)\,\,=\,\,b-a\,\,\in \overline{\R}_+.\]
\end{beispiel}




\begin{satz}\label{satz:eigenschaften-von-mu-auf-aup}
Die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} \mu\colon \mathcal{A}^\uparrow&\to& \overline{\R}_+\\
A&\mapsto & \underset{k\to\infty}{\lim}\mu(A_k), \quad \mbox{wobei $A_k\in \mathcal{A}$ mit $A_k\uparrow A$}\end{array}\]
besitzt folgende Eigenschaften:
\begin{align*}
\begin{array}{rclcrcll}
\intertext{$(1)$ Es seien $A$ und $B$ in $\mathcal{A}^\uparrow$, dann gilt}
A&\subset& B&\quad \Longrightarrow \quad &\mu(A)&\leq&\mu(B)&\mbox{Monotonie.}
\intertext{$(2)$ Es seien $A$ und $B$ in $\mathcal{A}^\uparrow$, dann gilt}
\hspace{2cm} A\cap B&=& \emptyset&\quad \Longrightarrow \quad &\mu(A\sqcup B)&=&\mu(A)+\mu(B)&\mbox{Additivit\"at.}
\intertext{$(3)$ Es sei $A_k\in \mathcal{A}^\uparrow, k\in \N$ eine Folge von Mengen, dann gilt}
A_k&\uparrow& A&\quad \Longrightarrow \quad &\mu(A_k)&\uparrow&\mu(A)&\mbox{Stetigkeit von unten.}
\end{array}\end{align*}
$(4)$ F\"ur eine beliebige Folge  $A_k\in \mathcal{A}^\uparrow, k\in \N$ gilt
\[ \hspace{4cm}\mu\Big(\ttmcup{k=1}{\infty}\,A_k\Big)\,\,\leq\,\, \lmsum{k=1}{\infty}\, \mu(A_k)\hspace{2.5cm} \mbox{$\sigma$-Subadditivit\"at.}\]
\end{satz}



\begin{proof}
Es seien also $A,B\in \mathcal{A}^\uparrow$. Wir w\"ahlen aufsteigende Folgen $A_k\uparrow A$ und $B_k\uparrow B$ in $\mathcal{A}$.
\begin{enumerate}
\item Aus $A\subset B$ folgt, dass $(A_k\cup B_k)\uparrow B$.\footnote{Aus $A\subset B$ und   $A_k\uparrow A$ und $B_k\uparrow B$ folgt nicht notwendigerweise, dass $A_k\subset B_k$. Wir m\"ussen deswegen die Folge $B_k$ durch die Folge $A_k\cup B_k$ ersetzen.} Daraus wiederum folgt, dass
\[\begin{array}{ll}
\mu(A)\,\,=\,\,\underset{k\to \infty}{\lim} \mu(A_k)&\leq\,\,
\underset{k\to \infty}{\lim}\mu(A_k\cup B_k)\,\,=\,\,\mu(B).\\
&\uparrow\\
&\hspace{-2.6cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:inhalt} (1) ist $\mu$ monoton auf $\mathcal{A}$ }
\end{array}
\]
\item Wir nehmen nun, dass $A\cap B= \emptyset$. Daraus folgt dann auch, dass $
A_k \cap B_k=\emptyset$. Wir erhalten, dass
\[
\hspace{1cm}\begin{array}{lll}
\mu(A\sqcup B)&=\,\,\underset{k\to \infty}{\lim}\mu(A_k\sqcup B_k)&=\,\,\underset{k\to \infty}{\lim}\mu(A_k)+\underset{k\to \infty}{\lim}\mu(B_k)\,\,=\,\,\mu(A)+\mu(B).\\[-0.1cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{nachdem}
&\hspace{-0.5cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:inhalt} (3) ist $\mu$ additiv auf $\mathcal{A}$}\\
&\hspace{-1.3cm} (A_k\sqcup B_k) \uparrow (A\sqcup B)\end{array}
\]
\end{enumerate}
Es sei nun $A_k\in \mathcal{A}^\uparrow, k\in \N$ eine Folge von Mengen in $\mathcal{A}^\uparrow$. F\"ur jedes $k\in \N$  w\"ahlen wir eine aufsteigende Folge $A_{ki}\uparrow A_k$  in $\mathcal{A}$. Wir betrachten
\[ A\,\,:=\,\,\ttmcup{k=1}{\infty} A_k\,\,=\,\,
\ttmcup{k=1}{\infty} \,\ttmcup{i=1}{\infty} A_{ki}\,\,=\,\,
\ttmcup{m=1}{\infty} \,\underset{=:B_m}{\underbrace{\ttmcup{k=1}{m}A_{km}}}.\]
Dann liegt $B_m$, als Vereinigung von endlich vielen Mengen in $\mathcal{A}$, ebenfalls in $\mathcal{A}$. Zudem gilt
\[ B_m\uparrow A\quad \mbox{ also } \quad \underset{m\to \infty}{\lim} \mu(B_m)\,\,=\,\,\mu(A).\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{vereinigung-in-aup.pstex_t}
\caption{Schematische Definition von $B_m$.}
\end{center}
\end{figure}
\begin{enumerate}
\item[(3)]
Aus der gerade bewiesenen Monotonieeigenschaft von $\mu$ auf $\mathcal{A}$ erhalten wir f\"ur jedes $m$, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcccl}
\hspace{5.2cm} \mu(B_m)&\leq&\mu\Big(\ttmcup{k=1}{m} A_k\Big)&\leq &\mu(A).
\intertext{Indem wir nun den Grenzwert $m\to \infty $ bilden erhalten wir, dass}
\underset{=\mu(A)}{\underbrace{\underset{m\to\infty}{\lim}\mu(B_m)}}&\leq&\underset{m\to\infty}{\lim}\mu\Big(\ttmcup{k=1}{m} A_k\Big)&\leq &\mu(A).
\end{array}
\end{align*}
Wir sehen also, dass der mittlere Grenzwert den Wert $\mu(A)$ annimmt.
\item[(4)] In diesem Fall ist
\[ \begin{array}{ll}\hspace{0.5cm}\mu(A)\,\,=\,\, \underset{m\to\infty}{\lim}\mu(B_m)\,\,=\,\,
\underset{m\to\infty}{\lim}\Big(\ttmcup{k=1}{m}A_{km}\Big)&\leq\,\,
\underset{m\to\infty}{\lim}\,\tmsum{k=1}{m}\,\underset{\leq \mu(A_k)}{\underbrace{\mu(A_{km})}}\,\,
\leq\,\,\tmsum{k=1}{\infty}\mu(A_k).\\[-0.5cm]
&\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{0.045cm}|\\
&\hspace{-1.8cm}\mbox{nach Lemma~\ref{lem:inhalt} (4) ist $\mu$ subadditiv auf $\mathcal{A}$}\end{array}
\vspace{-0.6cm}\]
\end{enumerate}
\end{proof}

Wir beschlie\ss en das Kapitel mit folgendem, vielleicht auf den ersten Blick doch etwas \"uberraschenden Lemma.

\begin{lemma}
Es gibt eine offene Teilmenge von $\R$, welche alle rationalen Zahlen enth\"alt, aber welche ein endliches Volumen besitzt.
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir betrachten  $\mathcal{A}=\mathcal{Q}(\R)$.
 Wir w\"ahlen nun eine Abz\"ahlung $\{a_i\}_{i\in \N}$ von $\Q$. Wir betrachten dann die Menge
\[
 A\,\,:=\,\,\smcup{i\in \N}{}\,\underset{\footnotesize{\opnormal{$\in \mathcal{Q}(\R)^\uparrow$, nach Satz~\ref{satz:offen-messbar}}}}{\underbrace{\big(a_i-\ttmfrac{1}{2^i},a_i+\ttmfrac{1}{2^i}\big)}}\in\,\,\mathcal{Q}(\R)^{\uparrow}.
\]
Die Menge $A$ ist offensichtlich offen und sie enth\"alt alle rationalen Zahlen. Wir wollen nun zeigen, dass das Volumen von $A$ endlich ist. Es  ist 
\[
\begin{array}{ll}
\operatorname{Vol}(A)\,\,=\,\,\operatorname{Vol}\Big(\ttmcup{i\in \N}{}\,\,\underset{\in \mathcal{Q}(\R)}{\underbrace{\big(a_i-\ttmfrac{1}{2^i},a_i+\ttmfrac{1}{2^i}\big)}}\Big)&\leq\,\, \lmsum{i\in \N}{}\,\,\underset{=\frac{1}{2^i}\cdot 2}{\underbrace{\operatorname{Vol}\big((a_i-\ttmfrac{1}{2^i},a_i+\ttmfrac{1}{2^i})\big)}}\,\,=\,\,\lmsum{i\in \N}{}\,\tmfrac{1}{2^{i-1}}\,\,=\,\,2.\\[-0.65cm]
&\uparrow\\[-1.5mm]
&\hspace{0.045cm}|\\
&\hspace{-0.5cm}\footnotesize{ \mbox{ nach Satz~\ref{satz:eigenschaften-von-mu-auf-aup} (4)}}\vspace{-0.6cm}\end{array}\]
\end{proof}

% Ende 19. Vorlesung


%======================================================
\subsection{Das \"au\ss ere Ma\ss\, und die Pseudometrik auf Teilmengen}
In diesem Kapitel  sei weiterhin  $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega)$  ein Mengenring auf einer Menge $\Omega$ und es sei 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6.3cm}
\mu\colon \mathcal{A}&\to & \overline{\R}_+
\intertext{ein Pr\"ama\ss, d.h.\ $\mu$ ist ein $\sigma$-additiver Inhalt. Wir nehmen zudem an, dass $\mu$ $\sigma$-endlich ist. Unser Ziel ist es immer noch, $\mu$ zu einem  Ma\ss}
\tilde{\mu}\colon \langle \mathcal{A}\rangle^\sigma&\to&\overline{\R}_+
\end{array}
\end{align*}
fortzusetzen. 
F\"ur eine beliebige Teilmenge $X\subset \Omega$ definieren wir  das
\emph{\"au\ss ere Ma\ss\, von $X$} als
\footnote{Das Infimum existiert, denn die Menge der m\"oglichen $A$'s enth\"alt $\Omega$, sie ist also insbesondere nicht leer.}
\[ \mu^*(X)\,\,:=\,\,\inf\big\{ \mu(A)\,\big|\, X\subset A\mbox{ und }A\in \mathcal{A}^\uparrow\big\}\,\,\in \,\,\overline{\R}_{\geq 0}.\]

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Im Falle, dass $X\in \mathcal{A}^\uparrow$, insbesondere, wenn $X\in \mathcal{A}$, dann gilt nat\"urlich\footnote{Warum ist das so `nat\"urlich'?}, dass $\mu^*(X)=\mu(X)$. Insbesondere ist $\mu^*(\emptyset)=0$.
\item Wir betrachten den Mengenring $\mathcal{Q}(\R)$ mit dem Pr\"ama\ss{} $\operatorname{Vol}$. Dann gilt f\"ur jedes $x\in \R$ und jedes $\epsilon>0$, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{4.6cm}
 0\,\,\leq\,\, \operatorname{Vol}^*(\{x\})&\leq &\operatorname{Vol}([x,x+\epsilon))\,\,=\,\,\epsilon.
\intertext{Wir sehen also, dass $\operatorname{Vol}^*(\{x\})=0$. Ganz \"ahnlich kann man zeigen, dass f\"ur reelle Zahlen $a,b\in \R$ mit $a\leq b$ gilt, dass}
 \operatorname{Vol}^*\big([a,b])&=&b-a.\end{array} \end{align*}
\end{enumerate}
\end{beispiel}



\begin{satz}\label{satz:eigenschaften-von-mustar-auf-aup}
Die Abbildung $\mu^*\colon \mathcal{P}(\Omega) \to \overline{\R}_+$ besitzt folgende Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item[(1)] Es gilt
\begin{align*}
\hspace{1.8cm} X\,\subset\,Y\quad \Longrightarrow \quad \mu^*(X)\,\leq \,\mu^*(Y)\hspace{1.3cm}\mbox{Monotonie}.\end{align*}
\item[(2)] Es sei $X_i$, $i\in I$ eine abz\"ahlbare Familie von  Teilmengen in $\Omega$. Dann gilt
\begin{align*}
\hspace{3.3cm} \mu^*\Big(\ttmcup{i\in I}{} X_i\Big)\,\,\leq\,\,\lmsum{i\in I}{}\, \mu^*(X_i)\hspace{2.3cm}\mbox{$\sigma$-Subadditivit\"at}.\end{align*}
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Wir haben also jetzt insbesondere eine Funktion 
\[  \operatorname{Vol}^*\colon \mathcal{P}(\R^n) \to \overline{\R}_+\]
eingef\"uhrt, welche beispielsweise nach Satz~\ref{satz:eigenschaften-von-mustar-auf-aup} die Eigenschaft
\begin{enumerate}
\item[(B)] Monotonie
\end{enumerate}
besitzt. Andererseits hatten wir in Satz~\ref{satz:volumenfunktionen-existieren-nicht} gesehen, dass $\operatorname{Vol}^*$ nicht noch zeitgleich alle drei  Eigenschaften
\begin{enumerate}
\item[(A)] Normierung $\operatorname{Vol}^*([0,1]^n)=1$,
\item[(C)] Translationsinvarianz,
\item[(D)] $\sigma$-Additivit\"at,
\end{enumerate}
erf\"ullen kann. In \"Ubungsblatt~10 gehen wir der Frage nach, welche der Eigenschaften (A), (C) und (D) f\"ur $\operatorname{Vol}^*$ nicht erf\"ullt sind. 
\end{bemerkung}




\begin{proof}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[(1)] Diese Aussage ist trivial.\footnote{Warum?}
\item[(2)] 
Es gen\"ugt den Fall zu betrachten, dass $X_i, i\geq 1$ eine unendliche Folge von Teilmengen in $\Omega$ ist.\footnote{Den Fall von einer endlichen Vereinigung $X_1\cup \dots \cup X_k$ kann man auf den unendlichen Fall zur\"uckf\"uhren, indem man f\"ur $i\geq 1$ jeweils $X_{k+i}=\emptyset$ setzt.}
Wenn $\mu^*(X_i)=\infty$ f\"ur ein $i\in \N$, dann ist die Aussage trivialerweise wahr. Wir betrachten nun also noch den Fall, dass $\mu^*(X_i)$ f\"ur alle $i\in \N$ endlich ist. 
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{In Satz~\ref{satz:eigenschaften-von-mu-auf-aup} hatten wir die Aussage schon gezeigt, wenn alle $X_i$'s in $\mathcal{A}^\uparrow$ liegen. Dies ist hier nat\"urlich im allgemeinen nicht der Fall, aber wir k\"onnen die $X_i$'s beliebig gut durch Mengen in $\mathcal{A}^\uparrow$ `approximieren'.
}
\end{enumerate}
Es sei nun $\epsilon>0$.  Aus der Definition von $\mu^*$ folgt, dass es f\"ur jedes $i\in \N$ ein $B_i\in \mathcal{A}^\uparrow$ gibt mit
\begin{align*}
\begin{array}{rclcl}
X_i&\hspace{-0.2cm}\subset &\hspace{-0.2cm}B_i&\hspace{-0.2cm}\mbox{und}&\hspace{-0.2cm} \mu(B_i)\,\leq\, \mu^*(X_i)+\tmfrac{\epsilon}{2^i}
\intertext{also folgt, dass}
\hspace{1.6cm}\tmcup{i=1}{\infty}X_i&\hspace{-0.2cm}\subset&\hspace{-0.2cm}\underset{\in \mathcal{A}^\uparrow}{\underbrace{\tmcup{i=1}{\infty}B_i}}
&\hspace{-0.2cm}\mbox{und}&\hspace{-0.2cm}\mu^*\Big(\ttmcup{i=1}{\infty}X_i\Big)\,\leq\, \mu\Big(\ttmcup{i=1}{\infty}B_i\Big)
\,\leq\,\smsum{i=1}{\infty}\mu(B_i)\,\leq\,\smsum{i=1}{\infty}\mu^*(X_i)+\underset{=\epsilon}{\underbrace{\smsum{i=1}{\infty}\tmfrac{\epsilon}{2^i}.}}
\\[-0.8cm]
&&&&\hspace{1.9cm}\uparrow\hspace{2.13cm}\uparrow\\[-0.2cm]
&&&&\hspace{1.945cm}|\hspace{2.223cm}|\\
&&&&\hspace{-0.6cm}\mbox{nach Definition von $\mu^*$}\hspace{0.6cm} 
\mbox{$\mu$ ist $\sigma$-subadditiv auf $\mathcal{A}^\uparrow$}\\
&&&&\hspace{4.4cm} 
\mbox{nach Satz~\ref{satz:eigenschaften-von-mu-auf-aup} (4)}
\intertext{Zusammengefasst gilt also}
&&&&\hspace{-0.2cm}\mu^*\Big(\ttmcup{i=1}{\infty}X_i\Big)\,\leq\, \smsum{i=1}{\infty}\,\mu^*(X_i)+\epsilon.
\end{array}
\end{align*} 
Nachdem dies f\"ur alle $\epsilon>0$ gilt, folgt die gew\"unschte Ungleichung.\vspace{-0.5cm}
\end{enumerate}
\end{proof} 

F\"ur zwei Teilmengen $X,Y\subset \Omega$ mi\ss t $\mu^*(X\bigtriangleup Y)$ den Unterschied zwischen $X$ und $Y$.
Das folgende Lemma besagt, dass dieser `Abstand' zwischen Mengen $X$ und $Y$ viele Eigenschaften einer Metrik besitzt.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{symmetrische-differenz-2.pstex_t}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}

\begin{lemma}\label{lem:dabstand}
Es seien $X,Y\in \mathcal{P}(\Omega)$. Dann gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rrcll}
\hspace{1cm} \opnormal{(a)}& \hspace{2.5cm} X\,=\,Y&\Rightarrow & \mu^*(X\bigtriangleup Y)\,=\,0,\\
 \opnormal{(b)}& \mu^*(X\bigtriangleup Y)&=&\mu^*(Y\bigtriangleup X)\hspace{2cm}&\mbox{Symmetrie.} \\
\intertext{Zudem gilt f\"ur $X,Y,Z\in \mathcal{P}(\Omega)$, dass}
\opnormal{(c)}& \mu^*(X\bigtriangleup Z)&\leq& \mu^*(X\bigtriangleup Y)+\mu^*(Y\bigtriangleup Z)&\mbox{Dreiecksungleichung.}
\end{array}
\end{align*}
\end{lemma}

\begin{bemerkung}
Lemma~\ref{lem:dabstand} besagt also, dass die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \mathcal{P}(\Omega)\times \mathcal{P}(\Omega)&\to &\overline{\R}_+\\
(X,Y)&\mapsto &\mu^*(X\bigtriangleup Y)\end{array}\]
 die Axiome einer Metrik auf der Menge $\mathcal{P}(\Omega)$ erf\"ullt, mit den beiden Ausnahmen, dass $\mu^*(X\bigtriangleup Y)=0$ nicht notwendigerweise  $X=Y$ impliziert\footnote{Warum eigentlich nicht?}, und dass  $\mu^*(X\bigtriangleup Y)$ auch den Wert $\infty$ annehmen kann.
\end{bemerkung}

\begin{proof}
Die ersten beiden Aussagen sind trivial. Es verbleibt die Dreiecksungleichung zu beweisen.
Es seien also  $X,Y$ und $Z$ beliebige Teilmengen von $\Omega$.
 Dann gilt
\footnote{Es folgt aus der Assoziativit\"at von $\bigtriangleup$, dass wir uns bei Ausdr\"ucken, welche nur mit $\bigtriangleup$ verkn\"upft sind,  um die Klammersetzung keine Gedanken machen m\"ussen.}
\footnote{Das Argument ist nun eine Variation auf das wohlvertraute Schema
\[ |x-z|\,=\,|x-0-z|\,=\,|x-(y-y)-z|\,=\,|(x-y)+(y-z)|\,\leq\,|x-y|+|y-z|.\]}
\[\begin{array}{lllll}
\mu^*(X\bigtriangleup Z)&=\,\,
\mu^*(X\bigtriangleup \emptyset \bigtriangleup Z)\,\,=\,\,\mu^*(X\bigtriangleup Y\bigtriangleup Y\bigtriangleup Z)&\leq\,\, \mu^*\big((X\bigtriangleup Y)\cup (Y\bigtriangleup Z)\big)\\[-0cm]
&\uparrow\hspace{3.45cm}\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{denn $(\emptyset \bigtriangleup Z)=Z$}\hspace{0.6cm}\mbox{denn $Y\bigtriangleup Y=\emptyset$}&\hspace{-0.3cm}
\mbox{Monotonie von $\mu^*$ angewandt}\\
&&\mbox{auf $A\bigtriangleup B\subset A\cup B$}\\
&\leq \,\, \mu^*(X\bigtriangleup Y)+\mu^*(Y\bigtriangleup Z).\\
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{Subadditivit\"at von $\mu^*$}\vspace{-0.6cm}\end{array}\]
\end{proof}

\begin{definition}
Es sei $\{Y_k\}_{k\in \N}$ eine Folge in $\mathcal{P}(\Omega)$ und $X\in \mathcal{P}(\Omega)$. Wir definieren
\[ Y_k\xrightarrow{\mu^*} X\quad :\Longleftrightarrow\quad \underset{k\to \infty}{\lim}\mu^*(Y_k\bigtriangleup X)\,\,=\,\,0.\]
\end{definition}

Der folgende Satz besagt, dass $\mu^*$ stetig ist bez\"uglich der obigen Konvergenz von Teilmengen von $\Omega$.

\begin{satz}\label{satz:mustar-stetig}
Es sei $\{Y_k\}_{k\in \N}$ eine Folge in $\mathcal{P}(\Omega)$ und $X\in \mathcal{P}(\Omega)$. Wenn $\mu^*(Y_k)<\infty$ f\"ur alle $k$ und wenn $\mu^*(X)<\infty$, dann gilt
\[ Y_k\xrightarrow{\mu^*} X\quad \Longrightarrow\quad \underset{k\to \infty}{\lim}\mu^*(Y_k)\,\,=\,\,\mu^*(X).\]
\end{satz}

\begin{proof}
Die Aussage des Satzes folgt aus den Definitionen und folgender Behauptung.

\begin{behauptung}
Es seien $X$ und $Y$ Teilmengen von $\Omega$ mit $\mu^*(X)<\infty$ und $\mu^*(Y)<\infty$, dann gilt
\[ \hspace{-1.5cm} \big|\mu^*(X)-\mu^*(Y)\big|\,\,\leq\,\,\mu^*(X\bigtriangleup Y).\]
\end{behauptung}

Zur Orientierung ist es eventuell hilfreich  Abbildung~\ref{fig:eigenschaften-ausseres-mass-2} im Blick zu behalten.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{eigenschaften-ausseres-mass-2.pstex_t}
\caption{}\label{fig:eigenschaften-ausseres-mass-2}
\end{center}
\end{figure}

Es seien also $X,Y\in \mathcal{P}(\Omega)$. Aus
\begin{align*}
\begin{array}{lrcl}&\hspace{2.5cm} X\cup Y&=&(X\cap Y)\sqcup (X\bigtriangleup Y)
\intertext{folgt, mithilfe der in Satz~\ref{satz:eigenschaften-von-mustar-auf-aup} bewiesenen Subadditivit\"at\footnotemark{} von $\mu^*$, dass}
\hspace{2cm} \mbox{(a)}&\mu^*(X\cup Y)&\leq&\mu^*(X\cap Y)+\mu^*(X\bigtriangleup Y)
\end{array}\end{align*}
\footnotetext{Wir haben f\"ur $\mu^*$ die Additivit\"at nicht zur Verf\"ugung, wir k\"onnen also \emph{nicht} schlie\ss en, dass 
\[\mu^*(X\cup Y)\,\,=\,\,\mu^*(X\cap Y)+\mu^*(X\bigtriangleup Y).\]}
Andererseits gilt auch
\begin{align*}
\begin{array}{lrcccl}&\hspace{1.5cm}
X\cap Y&\subset& X,Y&\subset& X\cup Y
\intertext{also folgt aus der in Satz~\ref{satz:eigenschaften-von-mustar-auf-aup} bewiesenen Monotonie von $\mu^*$, dass }
\hspace{2cm}\mbox{(b)}&\mu^*(X\cap Y)&\leq& \mu^*(X),\mu^*(Y)&\leq & \mu^*(X\cup Y)
\end{array}\end{align*}
Zusammenfassend erhalten wir, dass
\[  \begin{array}{lll}
\big|\mu^*(X)-\mu^*(Y)\big|&\leq\,\,\mu^*(X\cup Y)-\mu^*(X\cap Y)&\leq\,\,\mu^*(X\bigtriangleup Y).\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.2cm}\mbox{(b)}&\hspace{-0.2cm}\mbox{(a)}\end{array}\]
Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.
\end{proof}

\begin{definition}
Es sei $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ ein Mengenring, es sei $\mu\colon \mathcal{A}\to \R_+$ ein Pr\"ama\ss\, und es sei $\mu^*\colon \mathcal{P}(\Omega) \to \overline{\R}_+$ das zugeh\"orige \"au\ss ere Ma\ss. Wir definieren
\[ \mbox{$X\subset \Omega$ ist $\mathcal{A}$-approximierbar}\quad :\Longleftrightarrow
\quad
\begin{array}{c}\mbox{zu jedem $\epsilon>0$ gibt es ein $A\in \mathcal{A}$}\\\mbox{mit $\mu^*(X\bigtriangleup A)\,<\,\epsilon$.}\end{array}\]
Wir bezeichnen mit $\widetilde{\mathcal{A}}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ die Menge aller $\mathcal{A}$-approximierbaren Teilmengen.
\end{definition}


\begin{bemerkungen}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Es folgt sofort aus den Definitionen, dass gilt
\[ \mbox{$X\subset \Omega$ ist $\mathcal{A}$-approximierbar}\quad :\Longleftrightarrow
\quad
\begin{array}{c}\mbox{es gibt eine Folge $\{A_k\}_{k\in \N}$ in $\mathcal{A}$}\\\mbox{mit $A_k\xrightarrow{\mu^*}X$.}\end{array}\]
\item Es sei $x\in \R$. Dann ist $\{x\}$ eine $Q(\R)$-approximierbare Teilmenge von $\R$, denn f\"ur jedes $\epsilon>0$ ist
\[ \operatorname{Vol}^*(\{x\}\bigtriangleup \underset{\in \mathcal{Q}(\R)}{\underbrace{\emptyset}})\,\,=\,\,\operatorname{Vol}^*(\{x\})\,\,=\,\,0\,\,<\,\,\epsilon.\]
\end{enumerate}
\end{bemerkungen}

\begin{satz}\label{satz:sigmaalgebra-bei-endlichem-pramass}
Es sei $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ eine Mengenalgebra, $\mu\colon \mathcal{A}\to \R_+$ ein endliches Pr\"ama\ss\, und $\mu^* \colon \mathcal{P}(\Omega) \to \R_+$ das zugeordnete \"au\ss ere Ma\ss. Dann ist
\[ \widetilde{\mathcal{A}}\,\,:=\,\,\mbox{alle $\mathcal{A}$-approximierbaren Teilmengen von $\Omega$}\]
eine $\sigma$-Algebra auf $\Omega$.
\end{satz}


\begin{beispiel}
F\"ur $s>0$ ist 
\[ \mathcal{Q}(\R^n,s)\,\,=\,\, \mbox{alle halboffenen Quader, welche in $[-s,s)^n\subset \R^n$ liegen}\]
eine Mengenalgebra und $\operatorname{Vol}_n$ ist ein  endliches Pr\"ama\ss{} auf $\mathcal{Q}(\R^n,s)$. Der Satz besagt nun also, dass $\widetilde{\mathcal{Q}(\R^n,s)}$ eine $\sigma$-Algebra bildet.
\end{beispiel}

In dem Beweis von Satz~\ref{satz:sigmaalgebra-bei-endlichem-pramass} werden wir folgendes elementare Lemma aus der Mengentheorie verwenden.

\begin{lemma}\label{lem:symdiff-cup}
Es seien $X_i,i\in I$ und $A_i, i\in I$ Familien von beliebigen Teilmengen von $\Omega$. Dann gilt
\[\Big(\ttmcup{i\in I}{} X_i\Big)\bigtriangleup\Big(\ttmcup{i\in I}{} A_i\Big)\,\,\subset\,\, \tmcup{i\in I}{} (X_i\bigtriangleup A_i).\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei also 
\[ z\,\in\,\Big(\ttmcup{i\in I}{} X_i\Big)\bigtriangleup\Big(\ttmcup{i\in I}{} A_i\Big).\]
Wir betrachten zuerst den Fall, dass $z\in \ttmcup{i\in I}{} X_i$. Dann folgt $z\not\in \ttmcup{i\in I}{} A_i$. Dann liegt $z$ also in mindestens einem $X_i$ aber in keinem $A_i$, d.h.\ $z$ liegt in $X_i\bigtriangleup A_i$, insbesondere liegt $z$ in $\ttmcup{i\in I}{}(X_i\bigtriangleup A_i)$. Nachdem die Aussage symmetrisch in $X_i$ und $A_i$ folgt die Aussage im Fall, dass $z\in \ttmcup{i\in I}{} A_i$ ganz analog.
\end{proof}

Wir wenden uns nun dem Beweis von Satz~\ref{satz:sigmaalgebra-bei-endlichem-pramass} zu.


\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:sigmaalgebra-bei-endlichem-pramass}]
Wir m\"ussen also  folgende Aussagen beweisen:
\begin{enumerate}
\item \hspace{3.4cm} $\emptyset \in \widetilde{\mathcal{A}}$,
\item $\hspace{0.5cm}X\in \widetilde{\mathcal{A}}\quad \Longrightarrow \quad X^c \in \widetilde{\mathcal{A}}$,
\item die Vereinigung von abz\"ahlbar vielen Mengen in $\widetilde{\mathcal{A}}$ liegt ebenfalls in $\widetilde{\mathcal{A}}$.
\end{enumerate}
Wir wenden uns nun dem Beweis der drei Aussagen zu.
\begin{enumerate}
\item Die erste Aussage ist trivial.\footnote{Warum ist das trivial?}
\item Es sei also $X\in \widetilde{\mathcal{A}}$. Wir w\"ahlen eine Folge $A_k,k\in \N$ in $\mathcal{A}$, welche $X$ approximiert. Nachdem $\mathcal{A}$ eine Mengenalgebra ist liegt auch jedes Komplement $A_k^c$ noch in $\mathcal{A}$. Dann gilt
\[ \begin{array}{ll}
\underset{k\to \infty}{\lim}\mu^*(X^c\bigtriangleup A_k^c)&=\,\,\underset{k\to \infty}{\lim}\mu^*(X\bigtriangleup A_k)\,\,=\,\,0.\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{denn $U^c\bigtriangleup V^c=U\bigtriangleup V$\footnotemark}\end{array}\]
\footnotetext{Warum gilt ganz allgemein, dass  $U^c\bigtriangleup V^c=U\bigtriangleup V$?}
Wir sehen also, dass $X^c$ durch die Folge $A_k^c$, $k\in \N$  in $\mathcal{A}$ approximiert wird.
\item Es gen\"ugt zu zeigen, dass f\"ur eine unendliche Folge $X_1,X_2,\dots\in \widetilde{\mathcal{A}}$ auch die Vereinigung $X:=\ttmcup{k\in \N}{} X_k$ in $\widetilde{\mathcal{A}}$ liegt.\footnote{Den Fall von einer endlichen Vereinigung $X_1\cup \dots \cup X_k$ kann man auf den unendlichen Fall zur\"uckf\"uhren, indem man $X_{k+i}=\emptyset$ f\"ur $i\geq 1$ setzt.}
Es reicht nun folgende Behauptung zu beweisen.

\begin{behauptung}
F\"ur alle $\epsilon>0$ gibt es ein $B\in \mathcal{A}$ mit
\[ \mu^*(X\bigtriangleup B)\,\,\leq\,\, \epsilon.\]
\end{behauptung}

Es sei also $\epsilon>0$. 
Ganz analog zum Beweis von Satz~\ref{satz:eigenschaften-von-mustar-auf-aup} w\"ahlen wir uns zu jedem $k\in \N$  ein $A_k\in \mathcal{A}$ mit $\mu^*(X_k\bigtriangleup A_k)<\frac{1}{2^{k+1}}\epsilon$. 
Wir setzen
\[   A\,\,:=\,\,\smcup{k=1}{\infty} A_k\,\,=\,\,\smcup{k=1}{\infty} \underset{=:B_k\in \mathcal{A}}{\underbrace{ A_1\cup \dots\cup A_k}}\,\,\in\,\,\mathcal{A}^\uparrow.\]
\begin{enumerate}
\item[] \textcolor{blue}{Wir wollen also jetzt $X$ durch eine  Menge in $\mathcal{A}$ approximieren. Die Menge $A$ erscheint zwar wie eine gute Approximation, liegt aber nicht notwendigerweise in $\mathcal{A}$. Nachdem $A$ wiederum durch die Mengen  $B_m\in \mathcal{A}$ approximiert wird, wollen wir nun $X$ durch ein geeignet gew\"ahltes $B_m$ approximieren.}
\end{enumerate} 
Wir wollen im Folgenden zeigen, dass f\"ur $m$ gro\ss{} genug gilt, dass $\mu^*(X\bigtriangleup B_m)\leq \epsilon$. Wir betrachten dazu erst einmal  ein beliebiges $m\in \N$. Dann gilt
\[
\begin{array}{llll}
\hspace{1.6cm}\mu^*(X\bigtriangleup B_m)&\hspace{-0.1cm}\leq\,\mu^*\big( X\bigtriangleup  A)+\mu^*(A\bigtriangleup B_m)\\[-0.0cm]
&\uparrow\\&
\hspace{-2.5cm}\mbox{Dreiecksungleichung aus Lemma~\ref{lem:dabstand}}\\
&\leq \,\mu^*\Big(\ttmcup{k=1}{\infty}\hspace{-0.1cm}X_k\bigtriangleup  \ttmcup{k=1}{\infty}\hspace{-0.1cm}A_k\Big)+\mu^*(\underset{=A\setminus B_m}{\underbrace{A\hspace{-0.1cm}\bigtriangleup\hspace{-0.1cm} B_m}})
&\leq\,\mu^*\Big(\ttmcup{k=1}{\infty} (X_k\hspace{-0.1cm}\bigtriangleup\hspace{-0.1cm} A_k)\Big)\hspace{-0.1cm}+\hspace{-0.1cm}\underset{=\mu(A\setminus B)}{\underbrace{\mu^*(A\hspace{-0.1cm}\setminus \hspace{-0.1cm} B_m)}}\\[-0.4cm]
&&\uparrow\\
&
&\hspace{-0.6cm}\mbox{Lemma~\ref{lem:symdiff-cup} und Monotonie von $\mu^*$}\\[0.1cm]
&\hspace{-0.1cm}\leq\,\smsum{k=1}{\infty}\,\underset{\leq \frac{\epsilon}{2^{k+1}}}{\underbrace{\mu^* (X_k\hspace{-0.1cm}\bigtriangleup\hspace{-0.1cm} A_k)}}+\mu^*(A\hspace{-0.1cm}\setminus \hspace{-0.1cm}B_m)&\leq \tmfrac{\epsilon}{2}+(\mu(A)-\mu(B_m)).\\[-0.6cm]
&\uparrow&\uparrow\\[-0.2cm]
&\hspace{0.046cm}|&\hspace{0.046cm}|\\
&\hspace{-1.5cm}\mbox{$\sigma$-Subadditivit\"at  von $\mu^*$}
&\hspace{-1.4cm}\mbox{folgt aus $A=(A\setminus B_m)\sqcup B_m$,}\\
&&\hspace{-1.9cm}\mbox{denn $\mu$ ist nach Satz~\ref{satz:eigenschaften-von-mu-auf-aup} additiv auf $\mathcal{A}^\uparrow$}
\end{array}
\]
Nachdem $B_m\uparrow A$ folgt aus Satz~\ref{satz:eigenschaften-von-mu-auf-aup}, dass $\mu(B_m)\uparrow \mu(A)$. Da $\mu$ endlich ist, gilt zudem $\mu(A)<\infty$.
\footnote{In \"Ubungsblatt 10 werden Sie der Frage nachgehen, warum aus der Voraussetzung, dass der Inhalt $\mu\colon \mathcal{A}\to \R_+$ endlich ist in diesem Fall folgt, dass $\mu(A)<\infty$, obwohl $A$ gar nicht in $\mathcal{A}$ liegen muss.} Es gibt also ein $m$ mit $\mu(A)-\mu(B_m)<\frac{\epsilon}{2}$. Dann hat $B=B_m$ die gew\"unschte Eigenschaft.
Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.\vspace{-0.5cm}
\end{enumerate}
\end{proof}





\begin{satz}\label{satz:eindeutige-fortsetzung}
Es sei $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ eine Mengenalgebra, $\mu\colon \mathcal{A}\to \R_+$ ein endliches Pr\"ama\ss, und $\widetilde{\mathcal{A}}$ die $\sigma$-Algebra der $\mathcal{A}$-approximierbaren Mengen.
Dann gelten folgende Aussagen:
\begin{enumerate}
\item Die Abbildung\vspace{-0.1cm}
\[ \begin{array}{rcl}\mu^*\colon \widetilde{\mathcal{A}}&\to & \R_+\\
A&\mapsto & \mu^*(A)\vspace{-0.1cm}\end{array}\]
ist ein  Ma\ss.\footnote{Zur Erinnerung, ein Ma\ss{} ist definiert als ein $\sigma$-additiver Inhalt auf einer $\sigma$-Algebra.}
\item Die Abbildung $\mu^*\colon \widetilde{\mathcal{A}}\to \R_+$ ist das einzige Ma\ss{} auf $\widetilde{\mathcal{A}}$, welches auf $\mathcal{A}$ mit $\mu$ \"ubereinstimmt.
\end{enumerate}
\end{satz}


\begin{bemerkung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Es ist trivialerweise $\mathcal{A}\subset \widetilde{\mathcal{A}}$. Es folgt also aus Satz~\ref{satz:sigmaalgebra-bei-endlichem-pramass}, dass\footnote{Die Tatsache, dass $\langle\mathcal{A}\rangle^{\sigma}\subset\widetilde{\mathcal{A}}$ ist trivial,
denn per Definition ist $\langle\mathcal{A}\rangle^{\sigma}$ in allen  $\sigma$-Algebren enthalten, welche schon $\mathcal{A}$ enthalten.}
\[ \mathcal{A}\,\,\subset\,\, \mathcal{A}^\uparrow\,\,\subset\,\,\langle \mathcal{A}\rangle^{\sigma}\,\,\subset\,\,\widetilde{\mathcal{A}}.\]
Unter der Voraussetzung, dass $\mu$ endlich ist, besagt Satz~\ref{satz:eindeutige-fortsetzung} nun also, dass wir das Pr\"ama\ss{} $\mu\colon \mathcal{A}\to \R_+$ zu einem Ma\ss{} $\mu^*\colon \langle \mathcal{A}\rangle^\sigma\to \R_+$ fortgesetzt haben.
\item Es sei $s>0$. Wir k\"onnen Satz~\ref{satz:eindeutige-fortsetzung} insbesondere auf die Mengenalgebra 
\[ \hspace{1.3cm} \mathcal{Q}(\R^n,s)\,\,=\,\,\mbox{alle endliche Vereinigungen von halboffenen Quadern in $[-s,s)^n$}\]
und das Pr\"ama\ss{} $\operatorname{Vol}_n\colon \mathcal{Q}(\R^n,s)\to \R_+$ anwenden. Wir erhalten dann also ein Ma\ss{} $\widetilde{\operatorname{Vol}}_n$ auf der $\sigma$-Algebra $\langle \mathcal{Q}(\R^n,s)\rangle^\sigma$.
\end{enumerate}
\end{bemerkung}

% Ende 20. Vorlesung



Im Beweis von Satz~\ref{satz:eindeutige-fortsetzung} werden wir folgendes elementare Lemma aus der Mengentheorie verwenden.




\begin{lemma}\label{lem:symdiff-cap}
F\"ur beliebige  Teilmengen  $A,B,X$ und $Y$ von $\Omega$ gilt
\[ X\cap Y\,\,=\,\,\emptyset\quad \Longrightarrow \quad A\cap B \,\,\subset \,\, (X\bigtriangleup A)\cup (Y\bigtriangleup B).\]
\end{lemma}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{symdiff-cap.pstex_t}
\caption{Skizze zu Lemma~\ref{lem:symdiff-cap}}\label{fig:symdiff-cap}
\end{center}
\end{figure}

\begin{proof}
Es seien also $X$ und $Y$ disjunkte Teilmengen von $\Omega$.
Es sei nun $z\in A\cap B$ beliebig. Wenn $z\in X$, dann kann $z$ nach Voraussetzung nicht in $Y$ liegen. Also ist $z\in B\setminus Y$, also ist $z\in Y\bigtriangleup B$. Andererseits, wenn $z\notin X$, dann zeigt das gleiche Argument, dass $z\in A\setminus X$, also ist $z\in X\bigtriangleup A$.
In beiden F\"allen haben wir gezeigt, dass $z$ in $(X\bigtriangleup A)\cup (Y\bigtriangleup B)$ liegt.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:eindeutige-fortsetzung}]
Wir zeigen zuerst, dass die Einschr\"ankung von $\mu^*$ auf $\widetilde{\mathcal{A}}$ ein Ma\ss\, ist.
Wir m\"ussen also folgende Aussagen beweisen:
\begin{enumerate}
\item $\mu^*(\emptyset)=0$,
\item $\mu^*$ ist additiv, und noch st\"arker,
\item $\mu^*$ ist sogar $\sigma$-additiv auf $\widetilde{\mathcal{A}}$.
\end{enumerate}
Es ist klar, dass $\mu^*(\emptyset)=0$. 
Wir beweisen nun,  dass $\mu^*$ auf $\widetilde{\mathcal{A}}$ additiv ist. 

\begin{behauptung}
F\"ur alle disjunkten $X,Y\in \widetilde{\mathcal{A}}$ gilt
\[ \mu^*(X\sqcup Y)\,\,=\,\,\mu^*(X)+\mu^*(Y).\]
\end{behauptung}

Wir w\"ahlen Folgen $\{A_k\}_{k\geq 1}$ und $\{B_k\}_{k\geq 1}$ in $\mathcal{A}$ mit
$ A_k\xrightarrow{\mu^*} X$ und $B_k\xrightarrow{\mu^*} Y$.
Im Beweis von Satz~\ref{satz:sigmaalgebra-bei-endlichem-pramass} hatten wir schon implizit gezeigt, dass  $A_k\cup B_k \xrightarrow{\mu^*} X\cup Y$.\footnote{Der Vollst\"andigkeit halber ist hier noch mal das Argument. Es ist
\[ 
\begin{array}{ll} 
\underset{k\to \infty}{\lim} \mu^*\big((X\cup Y)\bigtriangleup (A_k\cup B_k)\big) &\leq \,\,\underset{k\to \infty}{\lim}\mu^*\big((X\bigtriangleup A_k)\cup (Y\bigtriangleup B_k)\big)\\[-0.1cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1.5cm}\mbox{folgt aus Lemma~\ref{lem:symdiff-cup} und der Monotonie von $\mu^*$}\\[0.1cm]
&\leq \,\,\underset{k\to \infty}{\lim}\big( \underset{\underset{k\to \infty}{\lim}=0}{\underbrace{ \mu^*(X\bigtriangleup A_k)}}+\underset{ \underset{k\to \infty}{\lim}=0}{\underbrace{ \mu^*(Y\bigtriangleup B_k)}}\big)\,\,=\,\,0.\\[-0.6cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-1.5cm}\mbox{$\mu^*$ ist subadditiv}.
\end{array}
\]}
Es folgt, dass
\[
\begin{array}{lll}
&\mbox{nach Satz~\ref{satz:mustar-stetig}}\\
&\downarrow\\
\mu^*(X\cup Y)&=\,\, \underset{k\to \infty}{\lim}\mu(A_k\cup B_k)\\[2mm]
&=\,\, \underset{k\to \infty}{\lim} \big(\mu(A_k)+\mu(B_k)-\mu(A_k\cap B_k)\big)\\[-2mm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{Lemma~\ref{lem:inhalt}}\\[1mm]
&=\,\,\underset{\footnotesize{\begin{array}{c}\opnormal{$=\mu^*(X)$, nach}\\\opnormal{Satz~\ref{satz:mustar-stetig}}\end{array}}}{\underbrace{\underset{k\to \infty}{\lim} \mu(A_k)}}+\underset{\footnotesize{\begin{array}{c}\opnormal{$=\mu^*(Y)$, nach}\\\opnormal{Satz~\ref{satz:mustar-stetig}}\end{array}}}{\underbrace{\underset{k\to \infty}{\lim}\mu(B_k)}}-\,\,\underset{k\to \infty}{\lim}\mu(A_k\cap B_k).\\[2mm]
\end{array}
\]
Wir wollen also noch zeigen, dass der letzte Grenzwert verschwindet. Dies ist in der Tat der Fall, denn es ist
\[ \begin{array}{ll}
\underset{k\to \infty}{\lim}\mu(A_k\cap B_k)&\leq\,\,
\underset{k\to \infty}{\lim}\mu^*\big((X\bigtriangleup A_k)\cup (Y\bigtriangleup B_k)\big)\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm} \mbox{folgt aus Lemma~\ref{lem:symdiff-cap} und der Monotonie von $\mu^*$}\\[0.2cm]
&\leq\,\,\underset{\opnormal{$=0$, nach Wahl von $A_k$}}{\underbrace{\underset{k\to \infty}{\lim} \mu^*(X\bigtriangleup A_k)}}\,\,+\,\,\underset{\opnormal{$=0$, nach Wahl von $B_k$}}{\underbrace{\underset{k\to \infty}{\lim}\mu^* (Y\bigtriangleup B_k)}}\,\,=\,\,0.\\[-0.65cm]
&\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{0.045cm}|\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{Subadditivit\"at von $\mu^*$}
\end{array}\]
Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.

Wir haben also gerade gezeigt, dass $\mu^*$ auf $\widetilde{\mathcal{A}}$ additiv ist.
In Satz~\ref{satz:eigenschaften-von-mustar-auf-aup} hatten wir gesehen, dass $\mu^*$ zudem  $\sigma$-subadditiv ist. Es folgt nun aus Satz~\ref{satz:charakterisierung-sigmaadditiv}, dass $\mu^*$ auf $\widetilde{\mathcal{A}}$ sogar $\sigma$-additiv, also ein Ma\ss{} ist.


Wir wenden uns der  zweiten Aussage zu.  Genauer gesagt wir beweisen, dass wenn   $\mu_1$ und $\mu_2$ zwei Ma\ss e auf $\widetilde{\mathcal{A}}$ sind, welche $\mu\colon \mathcal{A}\to \R_+$ fortsetzen, dann gilt schon $\mu_1=\mu_2$. 
Es seien also $\mu_1$ und $\mu_2$ zwei solche Ma\ss e. Dann gilt insbesondere
\footnote{Warum gilt diese Aussage?}
\[ \mu_1(B)\,\,=\,\,\mu_2(B)\,\,=\,\,\mu(B)\quad \mbox{ f\"ur alle $B\in \mathcal{A}^\uparrow$}.\]
Es sei nun $X\in \widetilde{\mathcal{A}}$ beliebig. Es gen\"ugt folgende Behauptung zu beweisen.

\begin{behauptung}
F\"ur alle $\epsilon>0$ ist $|\mu_1(X)-\mu_2(X)|<2\epsilon$.
\end{behauptung}

Es sei also $\epsilon>0$. Aus der Definition von Approximierbarkeit folgt, dass es ein $A\in \mathcal{A}$ mit $\mu^*(X\bigtriangleup A)<\frac{\epsilon}{2}$ gibt. Aus der Definition von $\mu^*(X\bigtriangleup A)$ folgt nun, dass es ein $B\in \mathcal{A}^\uparrow$ gibt mit $X\bigtriangleup A\subset B$ und $\mu(B)<\epsilon$. Elementare Mengentheorie zeigt, dass aus $X\bigtriangleup A\subset B$ folgt, dass\footnote{Dies ist eine \"Ubungsaufgabe in \"Ubungsblatt~11.}
\begin{align*} 
\begin{array}{rrcccll}
\hspace{1.3cm}& A\setminus B&\subset &X&\subset &A\cup B.
\intertext{Also gilt f\"ur $i=1,2$}
&\mu_i(A\setminus B)&\leq &\mu_i(X)&\leq &\mu_i(A\cup B)&\mbox{Monotonie  der  Ma\ss e $\mu_i$} \\
\Longrightarrow& \mu_i(A)-\mu_i(A\cap B)&\leq&\mu_i(X)&\leq& \mu_i(A)+\mu_i(B\setminus A)
&\mbox{Additivit\"at }\\
\Longrightarrow& \mu_i(A)-\mu_i(B)&\leq&\mu_i(X)&\leq& \mu_i(A)+\mu_i(B)
&\mbox{Monotonie}\\
\Longrightarrow& \mu(A)-\mu(B)&\leq&\mu_i(X)&\leq& \mu(A)+\mu(B)&\mbox{denn $\mu_i=\mu$ auf $\mathcal{A}^\uparrow$}\\
\Longrightarrow& \mu(A)-\epsilon&<&\mu_i(X)&<& \mu(A)+\epsilon&\mbox{denn $\mu(B)<\epsilon$.} \end{array}\end{align*}
F\"ur $i=1,2$ erhalten wir also
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{5.9cm} |\mu_i(X)-\mu(A)|&< & \epsilon.
\intertext{Mithilfe der Dreiecksungleichung erhalten wir dann, dass}
 |\mu_1(X)-\mu_2(X)|&<&2\epsilon. \vspace{-0.6cm}\end{array} \end{align*}
\end{proof}

In Satz~\ref{satz:eindeutige-fortsetzung} hatten wir gesehen, dass wir ein \emph{endliches} Pr\"ama\ss{}  $\mu\colon \mathcal{A}\to \R_+$  auf einer \emph{Mengenalgebra} $\mathcal{A}$ eindeutig zu einem Ma\ss{} $\mu\colon \widetilde{\mathcal{A}}\to \R_+$ fortsetzen k\"onnen. Der folgende Satz besagt nun, das wir ein 
\emph{$\sigma$-endliches} Pr\"ama\ss{}  $\mu\colon \mathcal{A}\to \overline{\R}_+$ auf einem \emph{Mengenring} $\mathcal{A}$  eindeutig zu einem Ma\ss{} $\mu\colon \widetilde{\mathcal{A}}\to \R_+$ fortsetzen k\"onnen.



\begin{satz}\label{satz:mass-auf-sigma-erzeugnis}
Es sei $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ ein Mengenring und es sei $\mu\colon \mathcal{A}\to \overline{\R}_+$ ein $\sigma$-endliches Pr\"ama\ss. 
Dann gelten folgende Aussagen:
\begin{enumerate}
\item Es gibt eine eindeutige Fortsetzung von $\mu$ zu einem Ma\ss{}
\[ \tilde{\mu}\colon \langle \mathcal{A}\rangle^\sigma\,\,\to\,\,\overline{\R}_+.\]
\item F\"ur jedes $A\in \langle \mathcal{A}\rangle^\sigma$ gilt
\[ \tilde{\mu}(A)\,\,=\,\,\mu^*(A).\]
\end{enumerate}
\end{satz}


\begin{beispiel}
Das f\"ur uns wichtigste Beispiel ist der Mengenring
$\mathcal{Q}(\R^n)$ zusammen mit dem $\sigma$-endlichen Inhalt $\operatorname{Vol}_n$ auf $\mathcal{Q}(\R^n)$. Satz~\ref{satz:mass-auf-sigma-erzeugnis} gibt uns nun, die schon seit l\"angerem gew\"unschte, Fortsetzung von $\operatorname{Vol}_n$ zu einem Ma\ss{} auf der $\sigma$-Algebra $\langle \mathcal{Q}(\R^n)\rangle^{\sigma}$.
\end{beispiel}

\begin{proof}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Die Idee des Beweises ist, dass wir die Voraussetzung, dass $\mu$ ein $\sigma$-endliches Pr\"ama\ss{} ist verwenden, um die Aussage auf den im Satz~\ref{satz:eindeutige-fortsetzung} behandelten Fall des endlichen Pr\"ama\ss es zur\"uckzuf\"uhren.
}
\end{enumerate}
Wir setzen  $\mathcal{B}=\langle \mathcal{A}\rangle^\sigma$. 
Da $\mu$ ein $\sigma$-endliches Pr\"ama\ss\, ist gibt es eine aufsteigende Folge $\Omega_m\uparrow \Omega$ von Teilmengen $\Omega_m\in \mathcal{A}$, so dass $\mu(\Omega_m)<\infty$ f\"ur alle $m$.
F\"ur jedes $m$ setzen wir
\[ \mathcal{A}_m\,\,:=\,\,\mathcal{A}\cap \mathcal{P}(\Omega_m)\quad \mbox{ und } \mathcal{B}_m\,\,:=\,\,\mathcal{B}\cap \mathcal{P}(\Omega_m).\]
Man kann sicht leicht davon \"uberzeugen, dass $\mathcal{A}_m$ eine Mengenalgebra auf $\Omega_m$ ist, und dass $\mathcal{B}_m=\langle \mathcal{A}_m\rangle^\sigma$. Die Einschr\"ankung  $\mu_m$ von $\mu$ auf $\mathcal{A}_m$ ist ein endliches Pr\"ama\ss. 
Nach Satz~\ref{satz:eindeutige-fortsetzung} gibt es nun eine eindeutige Fortsetzung von $\mu|\mathcal{A}_m$ zu einem Ma\ss{} auf $\mathcal{B}_m$, welches wir mit  $\tilde{\mu}_m$ bezeichnen.

F\"ur jedes $X\in \mathcal{B}=\langle \mathcal{A}\rangle^\sigma$ gilt $(X\cap \Omega_m)\uparrow X$. Falls es in der Tat  eine Fortsetzung von $\mu\colon \mathcal{A}\to \overline{\R}$ zu einem Ma\ss{} $\tilde{\mu}\colon \mathcal{B}\to \overline{\R}_+$ gibt, so muss gelten
\[
\begin{array}{llll} (*) \hspace{1.6cm}& \tilde{\mu}(X)&=\,\,\underset{m\to \infty}{\lim}\, \tilde{\mu}(X\cap \Omega_m)&=\,\,\underset{m\to \infty}{\lim}\, \tilde{\mu}_m(X\cap \Omega_m).\hspace{1cm}\\[-0.1cm]
&&\uparrow&\uparrow\\
&&\hspace{-1.2cm}\mbox{nach Satz~\ref{satz:charakterisierung-sigmaadditiv},}
&\hspace{-1.3cm}\mbox{Eindeutigkeit der Fortsetzung}\\
&&\hspace{-1.6cm}\mbox{denn $(X\cap \Omega_m)\uparrow \Omega$}&\hspace{-1.3cm}\mbox{von $\mu_m$ zu einem Ma\ss{} auf $\mathcal{A}_m$}\end{array}\]
Wenn es also eine Fortsetzung gibt, dann ist diese durch $(*)$ eindeutig festgelegt. 
Wir definieren nun $\tilde{\mu}$ auf $\mathcal{B}$ mithilfe von $(*)$. Wir m\"ussen nun noch zeigen, dass diese Abbildung $\tilde{\mu}$ in der Tat ein Ma\ss\, ist, und dass es mit $\mu^*$ \"ubereinstimmt.

Wir zeigen zuerst, dass $\tilde{\mu}$ und $\mu^*$ auf $\mathcal{B}$ \"ubereinstimmt. Es sei also $X\in \mathcal{B}$. Wir setzen $X_m:=X\cap \Omega_m$. Dann gilt
\[ \begin{array}{lll} \tilde{\mu}(X)\,\,=\,\,\underset{m\to \infty}{\lim}\,\,\tilde{\mu}_m(X_m)&=\,\,\underset{m\to \infty}{\lim}\,\,\mu^*_m(X_m)&\leq\,\,\mu^*(X).\\[-0.2cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-3.6cm}\mbox{Satz~\ref{satz:eindeutige-fortsetzung} angewandt auf $(\mathcal{A}_m,\mu_m)$}&\hspace{-0.2cm}\mbox{\"Ubungsblatt~11}\end{array}\]
Wir setzen nun $Y_1:=X_1$ und f\"ur $m\geq 2$ setzen wir $Y_m\,:=X_m\setminus X_{m-1}$.
Dann ist
\[ \begin{array}{llll}
\mu^*(X)&\leq \,\,\lmsum{m=1}{\infty}\mu^*(Y_m)
\,\,=\,\,\underset{m\to \infty}{\lim}\,\,\lmsum{k=1}{m}\,\mu^*(Y_k)&=
\underset{m\to \infty}{\lim}\,\,\lmsum{k=1}{m}\,\tilde{\mu}(Y_k)
&=\,\,\underset{m\to \infty}{\lim}\,\tilde{\mu}(X_m)\,\,=\,\,\tilde{\mu}(X).\\
\\[-0.8cm]
&\uparrow&\uparrow &\uparrow\\[-0.15cm]
&\hspace{0.043cm}|&\hspace{0.043cm}|&\hspace{0.043cm}|\\
&\hspace{-0.7cm}\begin{array}{c}\mbox{$\sigma$-Subadditivit\"at von $\mu^*$}\\\mbox{angewandt auf $X=\cup \,Y_k$}\end{array}&
\hspace{-1.4cm}\begin{array}{c}\mbox{Satz~\ref{satz:eindeutige-fortsetzung}}\\\mbox{angewandt auf $\mathcal{A}_m$}\end{array}&
\hspace{-0.8cm}\begin{array}{c}\mbox{denn $X_m$ ist die disjunkte}\\
\mbox{Vereinigung von $Y_1,\dots,Y_m$}\end{array}
\end{array}\]
Diese beiden Ungleichungen zusammen ergeben $\mu^*(X)=\tilde{\mu}(X)$.
\smallskip

Wir m\"ussen nun noch beweisen, dass $\tilde{\mu}$ in der Tat ein Ma\ss{} auf $\mathcal{B}$ ist, d.h.\ dass es ein $\sigma$-additiver Inhalt ist.
Wir zeigen als n\"achstes, dass $\tilde{\mu}$ ein Inhalt ist. Es ist klar, dass $\tilde{\mu}(\emptyset)=0$. Wir zeigen nun, dass $\tilde{\mu}$ additiv ist. Es seien also $X$ und $Y$ disjunkte Mengen in $\mathcal{B}$. F\"ur $m\in \N$  setzen wir $X_m:=X\cap \Omega_m$ und $Y_m:=Y\cap \Omega_m$. Dann gilt
\[
\begin{array}{ll}
\tilde{\mu}(X\sqcup Y)\,\,=\,\,\underset{m\to\infty}{\lim}\tilde{\mu}_m(X_m\sqcup Y_m)&=\,\,
\underset{m\to\infty}{\lim}\big(\tilde{\mu}_m(X_m)+\tilde{\mu}_m(Y_m)\big)\,\,=\,\,\tilde{\mu}(X)+\tilde{\mu}(Y).\\[-0.15cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-2cm} \mbox{da $\tilde{\mu}_m$ ein Ma\ss\, ist, gilt $\tilde{\mu}_m(X_m\sqcup Y_m)=\tilde{\mu}_m(X_m)+\tilde{\mu}_m(Y_m)$}\end{array}\]
Wir haben also gezeigt, dass $\tilde{\mu}$ additiv ist.
\smallskip

Es verbleibt zu zeigen, dass der Inhalt $\tilde{\mu}$ auf $\mathcal{B}$ sogar $\sigma$-additiv ist. Nach  Satz~\ref{satz:eigenschaften-von-mustar-auf-aup} ist 
 $\mu^*$ insbesondere $\sigma$-subadditiv ist. Es folgt nun aus Satz~\ref{satz:charakterisierung-sigmaadditiv}, dass der Inhalt $\tilde{\mu}=\mu^*$ auf $\mathcal{B}$ auch $\sigma$-additiv, also ein Ma\ss\, ist.

\end{proof}
\newpage

%======================================================
\section{Weihnachtsvorlesung: Das Gefangenenproblem}

%======================================================
\subsection{Das Gefangenenproblem I: Endlich viele Gefangene}
Ein Gef\"angnis enth\"alt $n$ Gefangene. Kurz vor Weihnachten schl\"agt der Gef\"angnisdirektor folgendes Verfahren vor,
damit zumindestens einige Gefangene rechtzeitig zu Weihnachten freikommen:
Die Gefangenen m\"ussen sich in einer Reihe aufstellen, so dass jeder Gefangene die R\"ucken \emph{aller} vor ihm stehenden Gefangenen sieht.
 Jedem Gefangenen wird nun eine Ziffer aus $\{0,\dots,9\}$ an den R\"ucken geheftet. Die Gefangenen werden nun aufgefordert,
 der Reihe nach, von hinten nach vorne, gehend laut und deutlich eine Ziffer aus $\{0,\dots,9\}$  zu sagen. Wenn der Gefangene seine Ziffer err\"at kommt er frei, wenn nicht, muss der Gefangene  Weihnachten  im Gef\"angnis verbringen.
 \begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{gefangene.pstex_t}
 \caption{Skizze zum Gefangenenproblem.}\label{fig:gefangene}
 \end{center}
 \end{figure}

 Als Zugest\"andnis an die Gefangenen d\"urfen sich die Gefangenen zuvor beratschlagen und sich auf einen Algorithmus einigen.
 Wieviele Gefangene kommen mit dem optimalen Algorithmus frei?

 Beispielsweise k\"onnten die Gefangenen folgenden Algorithmus vereinbaren: der erste (und dritte, f\"unfte etc.)  Gefangene liest die Ziffer vom Vordermann vor, welcher sich dann retten kann.
 Auf diese Weise kommen bei $2k$ Gefangenen mindestens $k$ Gefangene frei, und die anderen $k$ Gefangenen kommen mit 10\%  Wahrscheinlichkeit
 frei (wenn ihre Ziffer zuf\"allig mit der des Vordermanns \"ubereinstimmt).
 Es stellt sich die Frage, ob  man diesen Algorithmus \"uberbieten kann.

 Es ist klar, dass der erste Gefangene nur mit Zufall seine Ziffer erraten kann, es k\"onnen also h\"ochstens $n-1$ Gefangene definitiv gerettet werden. Es  stellt sich heraus, dass man dies in der Tat erreichen kann:

 \begin{satz}
 Es gibt einen Algorithmus, so dass h\"ochstens ein Gefangener nicht frei kommt.
 \end{satz}

 \begin{proof}
Wir bezeichnen mit $a_i \in \{0,\dots,9\}$ , $i=1,\dots,n$ die Ziffern der Gefangenen.
Der $i$--te  Gefangene sieht also $a_{i+1},\dots,a_n$ und hat selber die Ziffer $a_i$ auf dem R\"ucken.

Der erste Gefangene gibt nun als Antwort folgende Ziffer:
\[ \smsum{i=2}{n}\, a_i \,  \mbox{ modulo 10.}\]
Der zweite Gefangene kennt die Ziffern $a_3,\dots,a_n$ und berechnet nun, und spricht laut aus,
\[ \underset{\footnotesize{\begin{array}{c}\operatorname{Information}\\\operatorname{vom}\,\operatorname{ersten}\\\operatorname{Gefangenen}\end{array}}}{\underbrace{\smsum{i=2}{n} a_i}}\,
-\underset{\footnotesize{\begin{array}{c} \operatorname{Information,}\\ \operatorname{welche}\,\operatorname{der}\,\operatorname{zweite}\\ \operatorname{Gefangene}\,\operatorname{sieht}\end{array}}}{\underbrace{\smsum{i=3}{n} a_i}}
\,\equiv \,\,a_2\,\, \mbox{ modulo 10}.\]
Der dritte Gefangene kennt die Ziffern $a_4,\dots,a_n$ und hat die bisherigen Antworten geh\"ort.
Er berechnet nun, und spricht laut aus,
\[
 \underset{\footnotesize{\begin{array}{c}\operatorname{Information}\\\operatorname{vom}\,\operatorname{ersten}\\\operatorname{Gefangenen}\end{array}}}{\underbrace{\smsum{i=2}{n} a_i}}
 -\underset{\footnotesize{\begin{array}{c} \operatorname{Information,}\\ \operatorname{welche}\,\operatorname{der}\,\operatorname{dritte}\\ \operatorname{Gefangene}\,\operatorname{sieht}\end{array}}}{\underbrace{\smsum{i=4}{n} a_i}}
-\underset{\footnotesize{\begin{array}{c}\operatorname{Information}\\\operatorname{vom}\,\operatorname{zweiten}\\\operatorname{Gefangenen}\end{array}}}{\underbrace{a_2}}
\,\equiv\,\, a_3\,\, \mbox{ modulo 10}.\]
Es ist nun offensichtlich, dass sich auch die verbleibenden Gefangenen retten k\"onnen.
\end{proof}


%======================================================
\subsection{Das Gefangenenproblem II: Abz\"ahlbar viele Gefangene}


Nun nehmen wir an, das Gef\"angnis besitzt unendlich viele (jedoch abz\"ahlbar viele) Gefangene, welche wieder in einer Reihe aufgestellt werden
sollen. Wieviele Gefangene k\"onnen dieses mal gerettet werden?
Der obige Algorithmus kann nat\"urlich nicht mehr direkt angewendet werden, nachdem der Ausdruck
\[ \smsum{i=2}{\infty}\, a_i \, \mbox{ modulo 10}\]
 keinen Sinn ergibt.
Genauer gesagt, dieser Ausdruck ergibt keinen Sinn, wenn es unendlich viele $a_i$'s gibt, welche ungleich Null sind.

Eine erste Idee m\"oglichst viele Gefangene zu retten w\"are wie folgt:
Man w\"ahle ein beliebiges $N\in \N$. Die Gefangenen k\"onnen dann die unendlich vielen Gefangenen in Bl\"ocke von $N$ Gefangenen unterteilen
und dann den obigen Algorithmus auf jeweils diese Bl\"ocke anwenden. Dadurch werden alle Gefangenen gerettet, welche nicht
an der $(k\cdot N+1)$-ten Stelle f\"ur ein $k\in \N$  stehen.
Etwas salopp gesprochen, ein `beliebig gro\ss er Prozentsatz' der Gefangenen kann gerettet werden.
Allerdings gibt es immer unendlich viele Gefangene, die nicht frei kommen werden.

Es stellt sich nun folgende  Frage:

\begin{frage}
Gibt es einen Algorithmus, bei dem nur endlich viele Gefangene nicht frei kommen?
\end{frage}

Um diese Frage zu beantworten, m\"ussen wir etwas ausholen.
Sei erstmal
\[ X:=\{ (a_1,a_2,a_3,\dots)\,|\, a_1,a_2,a_3,\dots \in \{0,\dots,9\}\,\}\]
die Menge aller Folgen von Ziffern $0$ und $1$.
Man kann den Beweis, dass die Menge aller reellen Zahlen \"uberabz\"ahlbar ist,
leicht adaptieren und zeigen, dass $X$ eine \"uberabz\"ahlbare Menge ist.

Wir f\"uhren jetzt folgende \"Aquivalenzrelation auf $X$ ein:
\[ (a_n)_{n\in \N}\,\sim \,(b_n)_{n\in \N} \quad:\Longleftrightarrow \quad \begin{array}{c} (a_n)_{n\in \N}\mbox{ und }(b_n)_{n\in \N}\mbox{ stimmen bis auf}\\\mbox{endlich viele Folgenglieder \"uberein.}\end{array} \]
Man kann sich leicht davon \"uberzeugen, dass dies in der Tat eine \"Aquivalenzrelation ist.

Wir erinnern nun an die Definition von einem vollst\"andigen Repr\"asentantensystem, welche wir schon auf Seite~\pageref{def:vollstaendiges-repraesentantensystem} eingef\"uhrt hatten.
Wir sagen $C\subset X$ ist ein \emph{vollst\"andiges Repr\"asentantensystem}, wenn $C$ aus jeder \"Aquivalenzklasse  genau ein Element enth\"alt.
Mit anderen Worten, $C\subset X$ ist ein vollst\"andiges Repr\"asentantensystem, wenn es zu jedem $x\in X$ genau ein $c\in C$ gibt, welches zu $x$ \"aquivalent ist.
Ein vollst\"andiges Repr\"asentantensystem erh\"alt man dadurch, dass man aus jeder \"Aqui\-valenz\-klasse genau ein Element w\"ahlt.\footnote{
Wie schon auf Seite~\pageref{def:vollstaendiges-repraesentantensystem} erw\"ahnt beruht die Existenz von einem vollst\"andigen Repr\"asentantensystem auf dem Auswahlaxiom: 
\[\mbox{\texttt{http://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom}}.\]
Das Auswahlaxiom ist nicht unumstritten und besitzt eine lange Geschichte.
Wer sich f\"ur die Grundlagen der Mathematik und f\"ur Geschichte interessiert, demjenigen oder derjenigen sei
\[ \mbox{ Logicomix}\]
w\"armstens empfohlen.}

Wir haben nun alles Handwerkzeug um folgenden Satz zu beweisen:


 \begin{satz}
 Es gibt einen Algorithmus, so dass h\"ochstens ein Gefangener nicht frei kommt.
 \end{satz}

\begin{proof}
Wir betrachten die Menge
\[ X\,:=\,\{ (b_1,b_2,b_3,\dots)\,|\, b_i\in \{0,\dots,9\}\,\}\]
und die oben eingef\"uhrte \"Aquivalenzrelation. Wir w\"ahlen ein  vollst\"andiges Repr\"asentanten\-system $C$. 
Jeder Gefangene merkt sich jetzt die Menge $C$, d.h.\ die Gefangenen merken sich f\"ur jede \"Aquivalenzklasse
von Folgen genau das gleiche eine Element.

Nach dieser Vorbereitung stellen sich  die Gefangenen in einer Reihe auf.
Wir bezeichnen wieder mit
\[ a_1,a_2,a_3,\dots \mbox{ mit }a_1,a_2,a_3,\dots  \in \{0,\dots,9\}\]
die Ziffern der Gefangenen.

Der erste Gefangene sieht also die Folge
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{5.6cm}F_1&:=&a_2,a_3,a_4,\dots,
\intertext{dies ist insbesondere eine Folge in $X$. Er w\"ahlt sich nun den vereinbarten Repr\"asententen}
 B&:=&b_2,b_3,b_4,\dots \end{array}\end{align*}
dieser \"Aquivalenzklasse. Er betrachtet nun die Folge
\[ a_2-b_2,a_3-b_3,a_4-b_4,\dots. \]
Nachdem die Folgen $F_1$ und $B$ in der gleichen \"Aquivalenzklasse liegen, sind nur endlich viele  Folgenglieder der Differenzfolgen
$F_1-B$ ungleich Null. Der erste Gefangene gibt nun als Antwort:\footnote{Dies ist in der Tat eine endliche Summe, nachdem nur endlich viele der Reihenglieder von null verschieden sind.}
\[  \smsum{i=2}\infty\, (a_i-b_i) \,\,   \mbox{ modulo } 10.\]

Der zweite Gefangene sieht die Folge
\[ a_3,a_4,a_5,\dots \]
er kennt seine eigene Ziffer nicht, und betrachtet deswegen die Folge
\[ F_2\,\,:=\,\,0,a_3,a_4,a_5,\dots \]
dies ist insbesondere eine Folge in $X$, \emph{welche in der gleichen \"Aquivalenzklasse wie $F_1$} liegt,
 er w\"ahlt sich nun den gleichen gemeinsam vereinbarten Repr\"asententen $B$ dieser \"Aquivalenzklasse.
Die eigene Ziffer bestimmt der zweite Gefangene nun durch
 \[ \underset{\footnotesize{\begin{array}{c}\operatorname{Information}\\\operatorname{vom}\,\operatorname{ersten}\\\operatorname{Gefangenen}\end{array}}}{\underbrace{\smsum{i=2}{\infty} (a_i-b_i)}}\,
-\,\,\underset{\footnotesize{\begin{array}{c} \operatorname{Information,}\\ \operatorname{welche}\,\operatorname{der}\,\operatorname{zweite}\\ \operatorname{Gefangene}\,\operatorname{sieht}\end{array}}}{\underbrace{\smsum{i=3}{\infty} (a_i-b_i)\,\,-b_2}}
\,\,\equiv\,\, a_2 \mbox{ modulo 10}.\]


Der dritte Gefangene sieht die Folge
\[ a_4,a_5,a_6,\dots \]
 und betrachtet deswegen die Folge
\[ F_3:=0,0,a_4,a_5,a_6,\dots \]
dies ist insbesondere eine Folge in $X$, \emph{welche in der gleichen \"Aquivalenzklasse wie $F_1$ und $F_2$} liegt,
 er w\"ahlt  nun den gleichen gemeinsam vereinbarten Repr\"asententen $B$ dieser \"Aquivalenzklasse.
Die eigene Ziffer bestimmt der dritte Gefangene nun durch
\[
 \underset{\footnotesize{\begin{array}{c}\operatorname{Information}\\\operatorname{vom}\,\operatorname{ersten}\\\operatorname{Gefangenen}\end{array}}}{\underbrace{\smsum{i=2}{\infty} (a_i-b_i)}}\,\,
 -\underset{\footnotesize{\begin{array}{c} \operatorname{Information,}\\ \operatorname{welche}\,\operatorname{der}\,\operatorname{dritte}\\ \operatorname{Gefangene}\,\operatorname{sieht}\end{array}}}{\underbrace{\smsum{i=4}{\infty} (a_i-b_i)-b_2-b_3}}
-\underset{\footnotesize{\begin{array}{c}\operatorname{Information}\\\operatorname{vom}\,\operatorname{zweiten}\\\operatorname{Gefangenen}\end{array}}}{\underbrace{a_2}}
\,\,\equiv\,\, a_3 \mbox{ modulo 10}.\]
Es ist nun offensichtlich, dass sich auch die verbleibenden Gefangenen retten k\"onnen.
\end{proof}

Nachdem die Menge $X$ \"uberabz\"ahlbar ist, jede \"Aquivalenzklasse jedoch abz\"ahlbar ist, folgt,
dass $C$ eine \"uberabz\"ahlbare Menge ist. Die L\"osung des Problems beruht also auf den nicht immer ganz praktikablen
Annahmen, dass
\begin{enumerate}
\item das Auswahlaxiom der Mengenlehre g\"ultig ist,
\item jedem Gefangenen ein \"uberabz\"ahlbarer Speicher zur Verf\"ugung steht,
\item jeder Gefangene unendlich viele Rechenschritte (Differenz der Folgen) durchf\"uhren kann.
\end{enumerate}

Der frustrierte Gef\"angnisdirektor l\"a\ss t sich nun was neues und weniger zeitaufw\"andiges einfallen.
Die Gefangenen m\"ussen sich wieder in einer Reihe aufstellen. Aber dieses Mal m\"ussen alle Gefangenen \emph{zeitgleich} ihre Ziffer erraten. 
\begin{enumerate}
\item Wenn es endlich viele Gefangene gibt, wieviele k\"onnen sich retten? Alle bis auf einen? Im Durchschnitt 10 \%? Oder doch mehr?
\item Wenn es sich um unendlich viele Gefangene handelt,  wieviele k\"onnen sich retten? Alle bis auf einen? Im Durchschnitt 10 \%?  Oder doch mehr? 
\end{enumerate}

% Ende 21. Vorlesung

\newpage
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\section{Das Lebesgue-Ma\ss\, auf $\R^n$}


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\subsection{Die Definition vom Lebesgue-Ma\ss\, auf $\R^n$}
Im Folgenden wollen wir nur noch mit dem f\"ur uns im Moment wichtigsten Beispiel arbeiten, n\"amlich $\Omega=\R^n$. 
Wir fassen dazu die wichtigsten Definitionen und Ergebnisse zusammen.


\begin{definition}
Es sei $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\R^n)$  und  es sei
$\mu\colon \mathcal{A}\to \overline{\R}_+$ eine Funktion.
\begin{enumerate}
\item Wir sagen $\mu$ ist \emph{normiert}, wenn  $[0,1]^n\in \mathcal{A}$ und
\[
\hspace{-0.3cm}\mu\big([0,1]^n\big)\,\,=\,\,1.\]
\item Wir sagen $\mu$ ist \emph{translationsinvariant}, wenn f\"ur $A\in \mathcal{A}$ und $x\in \R^n$ auch $x+A\in \mathcal{A}$ und wenn zudem 
\[ \hspace{0.5cm}\mu(x+A)\,\,=\,\,\mu(A).\]
\item
Wir sagen $\mu$ ist \emph{$\sigma$-additiv}, wenn f\"ur jede Folge  $A_k\subset \R^n, k\in \N$ von paarweise disjunkten Mengen in $\mathcal{A}$ mit $\ttmcup{k=1}{\infty} A_k\in \mathcal{A}$ gilt
\[ \hspace{1cm}\mu\Big(\ttmcup{k=1}{\infty}     A_k\Big)\,\,=\,\,\smsum{k=1}{\infty} \mu(A_k). \]
\end{enumerate}
\end{definition}

In Lemma~\ref{lem:inhalt} hatten wir schon gesehen, dass eine solche $\sigma$-additive auch monoton ist. 
Mit diesen Definitionen k\"onnen wir nun Satz~\ref{satz:volumenfunktionen-existieren-nicht} wie folgt formulieren.\\

\noindent\textbf{Satz~\ref{satz:volumenfunktionen-existieren-nicht}.}
\emph{Es gibt keine normierte, translationsinvariante, $\sigma$-additive Funktion auf $\mathcal{P}(\R^n)$.}\\

Unser Ziel in den letzten Kapiteln war es, einen normierten, translationsinvarianten, $\sigma$-additiven Inhalt auf einer m\"oglichst gro\ss en $\sigma$-Algebra einzuf\"uhren. Wir erinnern im Folgenden noch einmal an die wichtigsten Schritte.

Ein  \emph{halboffener Quader in $\R^n$} ist eine Teilmenge von $\R^n$ der Form
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.6cm}
Q&=& [a_1,b_1)\times \dots \times [a_n,b_n).
\intertext{Das Volumen davon ist definiert als}
\operatorname{Vol}(Q)&:=&\prod\limits_{i=1}^n (b_i-a_i).\end{array}
\end{align*}
Wir bezeichnen mit 
$\mathcal{Q}(\R^n)$ die Teilmengen von $\R^n$, welche  Vereinigung von endlich vielen halboffenen Quadern sind.
In Satz~\ref{satz:voln-wohldefiniert} hatten wir gezeigt, dass
die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \operatorname{Vol}\colon \mathcal{Q}(\R^n)&\to & \overline{\R}_+\\
A&\mapsto& \operatorname{Vol}(A)\,:=\,\smcup{i=1}{m} \operatorname{Vol}(Q_i), \begin{array}{c}\mbox{ wobei $A$ die disjunkte Vereinigung der}\\\mbox{halboffenen Quadern $Q_1,\dots,Q_m$ ist}\end{array}\end{array}\]
wohldefiniert ist. Aus den Definitionen, aus Lemma~\ref{lem:inhalt} und aus Satz~\ref{satz:lambda-sigma-additiv} kann man herleiten, dass $\operatorname{Vol}$ ein $\sigma$-additiver, translationsinvarianter Inhalt ist. 


Als n\"achstes hatten wir definiert
\[ \mathcal{Q}(\R^n)^\uparrow\,\,=\,\,\Big\{A=\ttmcup{i=1}{\infty}A_i\,\big|\,
A_1\subset A_2\subset \dots \mbox{ ist eine aufsteigende Folge in $\mathcal{Q}(\R^n)$}\Big\}.\]
F\"ur solch ein $A\in \mathcal{Q}(\R^n)^\uparrow$ hatten wir 
\[ \operatorname{Vol}(A)\,\,=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim}\, \operatorname{Vol}(A_k)\quad\in \overline{\R}_+\]
gesetzt. Das Volumen von $A\in \mathcal{Q}(\R^n)$ ist nach Lemma~\ref{lem:timu-wohldef} wohldefiniert.
Aus Satz~\ref{satz:eigenschaften-von-mu-auf-aup} folgt, dass $\operatorname{Vol}$ auf $\mathcal{Q}(\R^n)^\uparrow$ wieder monoton und additiv ist. Zudem folgt aus den Definitionen, dass $\operatorname{Vol}$ wiederum translationsinvariant ist. 

F\"ur eine beliebige Teilmenge $X\subset \R^n$ ist das \emph{\"au\ss ere Ma\ss}, oder das \emph{\"au\ss ere Volumen}, definiert als
\[ \operatorname{Vol}^*(X)\,\,:=\,\,\inf\big\{ \operatorname{Vol}(A)\,\big|\, X\subset A\mbox{ und }A\in \mathcal{Q}(\R^n)^\uparrow\big\}.\]
In \"Ubungsblatt~11 zeigen wir beispielsweise, dass f\"ur $a_i\leq b_i$, $i=1,\dots,n$ gilt, dass\label{bsp:volumen-kompakter-quader}
\[ \operatorname{Vol}^*\big( \underset{\opnormal{kompakter Quader}}{\underbrace{[a_1,b_1]\times \dots \times [a_n,b_n]}}\big)\,\,=\,\,\prod\limits_{i=1}^n (b_i-a_i).\]
Insbesondere sehen wir, dass $\operatorname{Vol}^*$ normiert ist.
Es folgt aus Satz~\ref{satz:eigenschaften-von-mustar-auf-aup}, dass $\operatorname{Vol}^*$ monoton und $\sigma$-subadditiv ist. Zudem folgt leicht aus den Definitionen, dass $\operatorname{Vol}^*$ translationsinvariant ist. 
 Es folgt nun aus Satz~\ref{satz:volumenfunktionen-existieren-nicht}, dass $\operatorname{Vol}^*\colon \mathcal{P}(\R^n)\to \overline{\R}_+$ nicht auch noch $\sigma$-additiv sein kann.

 Wir erhalten die $\sigma$-Additivit\"at indem wir uns aus auf eine kleinere $\sigma$-Algebra als $\mathcal{P}(\Omega)$ einschr\"anken.
Genauer gesagt, wir bezeichnen im Folgenden
\[ \mathcal{B}(\R^n)\,\,:=\,\,\langle \mathcal{Q}(\R^n)\rangle^\sigma \,\,:=\,\,\mbox{Durchschnitt aller $\sigma$-Algebren von $\R^n$, welche $\mathcal{Q}(\R^n)$ enthalten}\]
als die \emph{Borelsche $\sigma$-Algebra}.
Nach  Satz~\ref{satz:mass-auf-sigma-erzeugnis} ist die Einschr\"ankung von $\operatorname{Vol}^*\colon \mathcal{P}(\R^n)\to \overline{\R}_+$ auf $\mathcal{B}(\R^n)$ nun auch $\sigma$-additiv. Anders ausgedr\"uckt, die Abbildung
\[
\begin{array}{rcl}  \operatorname{Vol}\colon   \mathcal{B}(\R^n)&\to & \overline{\R}_+\\
A&\mapsto & \operatorname{Vol}(A)\,\,:=\,\,\operatorname{Vol}^*(A)\end{array}\]
ist ein translationsinvariantes, normiertes Ma\ss\, auf  $\mathcal{B}(\R^n)$. Dieses Ma\ss\, wird das \emph{Lebesgue-Ma\ss}\, oder auch \emph{Volumen} auf $\R^n$ genannt. Die Mengen, welche in $\mathcal{B}(\R^n)$ liegen, hei\ss en \emph{Lebesgue-messbar} oder k\"urzer, \emph{messbar}.\footnote{In der Literatur werden diese Mengen manchmal auch als  \emph{Borel-Lebesgue-messbar} bezeichnet.}
Es folgt aus Satz~\ref{satz:offen-messbar}, dass alle offenen Mengen in $\R^n$ Lebesgue-messbar sind. Nachdem eine $\sigma$-Algebra unter Komplementen abgeschlossen ist, sind dann auch alle abgeschlossenen Teilmengen von $\R^n$ Lebesgue-messbar.

Wir fassen in den folgenden beiden S\"atzen die wichtigsten Eigenschaften von messbaren Mengen und dem Lebesgue-Ma\ss{} zusammen. In den allermeisten F\"allen gen\"ugt es im Folgenden diese beide S\"atze zu kennen.
Wir werden die Aussagen dieser beiden S\"atze oft ohne Bemerkung verwenden.

\begin{satz}\label{satz:messbar}\textbf{\emph{(Eigenschaften von messbaren Mengen)}}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Alle halboffenen Quader sind messbar.
\item Komplemente von messbaren Mengen sind wiederum messbar.
\item Die Vereinigung von abz\"ahlbar vielen messbaren Mengen ist wiederum messbar.
\item Der Durchschnitt von abz\"ahlbar vielen messbaren Mengen ist wiederum messbar.
\item Translate von messbaren Mengen sind wieder messbar, d.h.\ wenn $A\subset \R^n$ messbar ist und wenn $p\in \R^n$, dann ist auch $p+A$ messbar.
\item Offene Mengen sind messbar.
\item Abgeschlossene Mengen sind messbar.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
Die ersten drei Aussagen folgen sofort aus der Tatsache, dass die Borelsche $\sigma$-Algebra $\mathcal{B}(\R^n)=\langle \mathcal{Q}(\R^n)\rangle^\uparrow$ eine $\sigma$-Algebra ist, welche alle halboffenen Quadern enth\"alt. 
Die vierte Aussage hatten wir auf Seite~\pageref{lem:durchschnitt-sigmaalgebra} diskutiert.  Die f\"unfte Aussage folgt leicht aus den Definitionen.
Die sechste Aussage hatten wir in Satz~\ref{satz:offen-messbar} bewiesen. Die letzte Aussage folgt aus der zweiten und der f\"unften Aussage.
\end{proof} 





\begin{satz}\label{satz:lebesgue}\textbf{\emph{(Eigenschaften vom Lebesgue--Ma\ss)}}
Es gibt genau eine Funktion
\[  \operatorname{Vol}\colon \mathcal{B}(\R^n)\,\,\to \,\,\overline{\R}_+,\]
genannt das Lebesgue-Ma\ss{} oder das Volumen, so dass folgende Eigenschaften erf\"ullt sind.
\begin{enumerate}
\item Es ist
\[ \operatorname{Vol}(\emptyset)\,=\,0\quad \mbox{ und } \quad \operatorname{Vol}\big([a_1,b_1]\times \dots \times [a_n,b_n]\big)\,\,=\,\,\prod\limits_{i=1}^n (b_i-a_i).\]
\item Das Lebesgue-Ma\ss{} ist translationsinvariant, d.h.\ f\"ur alle messbaren $A\subset \R^n$ und alle $x\in \R^n$ gilt
\[ \operatorname{Vol}(x+A)\,\,=\,\,\operatorname{Vol}(A).\hspace{0.9cm}\]
\item Das Lebesgue-Ma\ss{} ist $\sigma$-additiv, d.h.\ f\"ur jede Folge $A_k,k\in \N$ von disjunkten  messbaren Mengen gilt\footnote{Die analoge Aussage gilt nat\"urlich auch f\"ur endlich viele disjunkte messbare Mengen $A_1,\dots,A_k$. Man erh\"alt diese aus der $\sigma$-Additivit\"at  indem man $A_{k+i}:=\emptyset$ f\"ur $i\geq 1$ setzt.}
\[ \operatorname{Vol}\Big(\ttmcup{k=1}{\infty}A_k\Big)\,\,=\,\,\smsum{k=1}{\infty}\operatorname{Vol}(A_k).\hspace{0.2cm}\]
\item Das Lebesgue-Ma\ss{} ist monoton, d.h.\ f\"ur alle messbaren $A\subset B\subset \R^n$ gilt
\[ \operatorname{Vol}(A)\,\,\leq\,\,\operatorname{Vol}(B).\]
\item Das Lebesgue-Ma\ss{} ist $\sigma$-subadditiv, d.h.\ f\"ur jede Folge $A_k,k\in \N$ von  messbaren Mengen gilt
\[
\hspace{0.0cm} \operatorname{Vol}\Big(\ttmcup{k=1}{\infty}A_k\Big)\,\,\leq\,\,\smsum{k=1}{\infty}\operatorname{Vol}(A_k).\hspace{0.2cm}\]
\item Das Lebesgue-Ma\ss{} ist stetig von unten, d.h.\ f\"ur jede Folge $A_k,k\in \N$ von  messbaren Mengen gilt
\[ \hspace{1.7cm}A_k\uparrow A \quad \Rightarrow \quad \operatorname{Vol}(A_k)\uparrow \operatorname{Vol}(A).\]
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
Die ersten vier Eigenschaften hatten wir gerade erst diskutiert.
Die letzten beiden Eigenschaften folgen aus Satz~\ref{satz:charakterisierung-sigmaadditiv}.
\end{proof}

\begin{satz}\label{satz:bilder-messbar}
Es sei $U\subset \R^n$ und $f\colon U\to \R^k$ eine stetige Abbildung. Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item Wenn $U$ abgeschlossen ist, dann ist $f(U)$ messbar.
\item Wenn $U$ offen ist, dann ist $f(U)$ messbar.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die erste Aussage wird in \"Ubungsblatt~11 bewiesen.
\item Es sei $U$ eine offene Teilmenge von $\R^n$
Der Beweis von Satz~\ref{satz:offen-ist-vereinigung-von-wuerfeln} kann  leicht abge\"andert werden um zu zeigen, dass  $U$ geschrieben werden kann als Vereinigungsmenge von  abz\"ahlbar vielen kompakte W\"urfeln $W_i$, $i\in I$. 
Dann ist
\[ f(U)\,\,=\,\,f\Big(\ttmcup{i\in I}{}W_i\Big)\,\,=\,\,\ttmcup{i\in I}{} f(W_i)\]
nach (1) die Vereinigung von abz\"ahlbar vielen messbaren Mengen, also wiederum messbar.
\end{enumerate}
\end{proof}


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\subsection{Nullmengen}

\begin{definition}
Wir sagen $X\subset \R^n$ ist eine \emph{Lebesgue--Nullmenge} (oder manchmal nur \emph{Nullmenge}), falls $X$ messbar ist mit $\operatorname{Vol}(X)=0$.
\end{definition}

\begin{beispiel}
Nach Satz~\ref{satz:lebesgue} (1) ist  jeder kompakte Quader, welcher eine Seite der L\"ange null besitzt, eine Nullmenge. Insbesondere ist f\"ur $n\geq 1$  jeder Punkt in $p=(p_1,\dots,p_n)\in \R^n$ eine Nullmenge.
\end{beispiel}

\begin{bemerkung}
In der Literatur sagt man manchmal, dass  $X\subset \R^n$  eine Nullmenge ist, falls $\operatorname{Vol}^*(X)=0$. Es wird also nicht vorausgesetzt, dass $X$ messbar ist. In \"Ubungsblatt~11 wird auf diese zwei verschiedenen Definitionen von Nullmenge eingegangen.
\end{bemerkung}


\begin{lemma}\mbox{}\label{lem:nullmengen}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Eine abz\"ahlbare Vereinigung von Nullmengen ist wiederum eine Nullmenge.
\item Eine messbare Teilmenge einer Nullmenge ist wiederum eine Nullmenge.
\item
F\"ur $k<n$ ist die $k$-dimensionale Ebene
\[ E_k\,\,:=\,\,\{ (x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)\in \R^n\,|\, x_1,\dots,x_k\in \R\}\]
eine Nullmenge in $\R^n$. 
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
Die ersten beiden Aussagen folgen  sofort aus Satz~\ref{satz:lebesgue}.
Wir beweisen nun noch die dritte Aussage. Es sei also $k<n$. Dann ist
\[ E_k \,\,=\,\, \lmcup{m\in \N}{}\, \underset{\mbox{Nullmenge}}{\underbrace{[-m,m]^k\times 0\times \dots \times 0}}\]
die Vereinigung von  abz\"ahlbar vielen Nullmengen, also wiederum eine Nullmenge.
\end{proof}

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die Menge $\Q\subset \R$ ist eine abz\"ahlbare Menge, nachdem jeder Punkt eine Nullmenge ist, folgt nun aus Lemma~\ref{lem:nullmengen}, dass auch $\Q$ eine Nullmenge ist.
\item Es folgt aus Lemma~\ref{lem:nullmengen}, dass jede abz\"ahlbare Teilmenge von $\R$ eine Nullmenge ist.
 Andererseits ist 
\[ \begin{array}{ll}\operatorname{Vol}(\R)\,\,=\,\,\operatorname{Vol}\Big(\ttmcup{m=1}{\infty} [-m,m)\Big)&=\,\,\underset{m\to \infty}{\lim}\, \underset{=2m}{\underbrace{\operatorname{Vol}\big(\,[-m,m]\,\big)}}\,\,=\,\,\infty.\\[-0.5cm]
&\uparrow\\[0.1cm]
&\hspace{-0.5cm}\footnotesize{\mbox{da $\operatorname{Vol}$ stetig von unten}}\end{array}
\]
Wir haben also nun einen neuen Beweis f\"ur die Aussage, dass die Menge $\R$  nicht abz\"ahlbar ist.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{satz}\label{satz:bild-von-ek-nullmenge}
Es sei $p\in \R^n$ ein Punkt.
F\"ur $k<n$ ist das Bild der affinen $k$-dimensionalen Ebene
\[ p+E_k\,\,=\,\,p+\{ (x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)\in \R^n\,|\, x_1,\dots,x_k\in \R\}\]
unter einer  stetig differenzierbaren Abbildung  $F\colon \R^n\to \R^n$ eine Nullmenge.
\end{satz}

\begin{beispiel}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Wir betrachten die Abbildung
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
\hspace{4.5cm}  P\colon \R\times \R &\to & \R^2 \\
   (\varphi,r)&\mapsto & \big(r \sin(\varphi), r\cos(\varphi)). 
\intertext{Dann ist der Kreis }
 S^1&=&\{(x,y)\in \R^2\,|\,x^2+y^2=1\}\end{array} \end{align*}
das Bild der affinen Gerade $\{(\varphi,1)\,|\,\varphi\in \R\}$ unter der Abbildung $P$, also ist der Kreis nach 
Satz~\ref{satz:bild-von-ek-nullmenge} eine Nullmenge.
\item Wir betrachten nun die Abbildung
 \begin{align*}
  \begin{array}{rcl}
 \hspace{3.4cm}
 S\colon \R\times \R\times \R &\to & \R^3 \\
   (\varphi,\theta,r)&\mapsto & \big(r \sin (\theta) \cdot \cos( \varphi),\,r \sin (\theta) \cdot \sin (\varphi),\,r\cos (\theta)\big). 
\intertext{Dann ist die Sph\"are }
 S^2&=&\{(x,y,z)\in \R^2\,|\,x^2+y^2+z^2=1\}\end{array} \end{align*}
das Bild der affinen Ebene $\{(\varphi,\theta,1)\,|\,\varphi,\theta\in \R\}$ under der Abbildung $S$, also ist nach Satz~\ref{satz:bild-von-ek-nullmenge} die Sph\"are
 eine Nullmenge.
\item Mit etwas mehr Aufwand kann man zeigen, dass f\"ur $k<n$ jede $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ eine Nullmenge ist. 
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{proof}
Um die Notation etwas zu vereinfachen betrachten wir nur den Fall, dass $p=0$. Der allgemeine Fall wird ganz analog bewiesen.
Es sei also $F\colon \R^n\to \R^n$ eine stetig differenzierbare Abbildung. 
Es folgt aus Satz~\ref{satz:bilder-messbar}, dass $F(E_k)$ messbar ist.
Wir m\"ussen nun also noch zeigen, dass $\operatorname{Vol}(F(E_k))=0$.

F\"ur $s\in \N$ setzen wir 
\begin{align*} 
\begin{array}{rcl} \hspace{5.8cm} W(s)&:=&[-s,s]^n.
\intertext{Dann ist}
F(E_k)&=&\tmcup{s=1}{\infty} F(E_k\cap W(s)).\end{array}\end{align*}
Es gen\"ugt also zu zeigen, dass jedes $F(E_k\cap W(s))$ eine Nullmenge ist.
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Wir wissen schon, dass $\operatorname{Vol}(E_k\cap W(s))=0$. Wir wollen nun mithilfe von Lemma~\ref{lem:bild-durchmesser} aus der Funktionentheorie, dass Volumen des Bildes von $E_k\cap W(s)$ unter der Abbildung $F$ absch\"atzen.}
\end{enumerate}
Wir beginnen mit folgender Behauptung.

\begin{behauptung}
Es gibt ein $D\geq 0$, so dass f\"ur jeden abgeschlossenen W\"urfel $V\subset W(s)$ gilt, dass\footnote{Es folgt aus Satz~\ref{satz:bilder-messbar}, dass $F(V)$ messbar ist.}
\[ \operatorname{Vol}(F(V))\,\,\leq\,\,D\cdot \operatorname{Vol}(V).\]
\end{behauptung}


Die Menge $W(s)$ ist kompakt. Nachdem $F$ stetig differenzierbar ist  existiert also 
\[ C\,\,:=\,\,\max\big\{ \|DF(p)\|\,\big|\, p\in W(s)\}.\]
Es sei nun $V$ ein W\"urfel in $W(s)$. Wir bezeichnen mit $d$ die Seitenl\"ange von $V$. Dann gilt\footnote{Der Durchmesser eine beschr\"ankten nichtleere Teilmenge in $\R^n$ ist genauso definiert wie auf Seite~\pageref{def:durchmesser} f\"ur beschr\"ankte nichtleere Teilmengen von $\C$.}
\[ \begin{array}{rl} &\phantom{\Longrightarrow}\,\,\opnormal{Seitenl\"ange}(V)=d\\
&\Longrightarrow\,\,
\operatorname{Durchmesser}(V)=\sqrt{n}d\\
&\Longrightarrow\,\,
\operatorname{Durchmesser}(F(V))\leq C\cdot\sqrt{n}d
\\
&\hspace{0.2cm}\uparrow\\
&\hspace{-2cm}\mbox{Analogon von Funktionentheorie: Lemma~\ref{lem:bild-durchmesser} f\"ur Teilmengen von $\R^n$}\\[2mm]
&\Longrightarrow\,\,\mbox{$F(V)$ ist enthalten in einem W\"urfel der Seitenl\"ange $2C\cdot \sqrt{n}d$}\\[2mm]
&\Longrightarrow\,\,\mbox{$F(V)$ ist enthalten in einem W\"urfel mit Volumen $\underset{=:D}{\underbrace{(2C\cdot \sqrt{n})^n}}\,\,d^n$}\\[-0.3cm]
&\Longrightarrow\,\,\operatorname{Vol}(F(V))\leq D\cdot \operatorname{Vol}(V).\\
&\hspace{0.2cm}\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mbox{Monotonie von $\operatorname{Vol}$}
\end{array}\]
Wir haben also gezeigt, dass $D:=(2C\cdot \sqrt{n})^n$ die gew\"unschte Eigenschaft besitzt.

Die Idee ist nun $E_k\cap W(s)$ durch `kleine' W\"urfel zu \"uberdecken, und dann die Behauptung anzuwenden. Es sei nun erst einmal $N\in \N$ beliebig. 
Wir betrachten
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{1.5cm} V&=& \big[0,\tmfrac{s}{N}\big]\times \dots \times \big[0,\tmfrac{s}{N}\big]\,\subset \,\R^n
\intertext{und wir setzen}
Z&=&\big\{ (x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)\,\big|\, x_i=-s,-s+\tmfrac{s}{N},-s+\tmfrac{2s}{N},\dots,s-\tmfrac{s}{N}\big\}\\
&=&\mbox{``alle Eckpunkte des Karomusters mit Seitenl\"ange $\tmfrac{s}{N}$ in $[-s,s)^n$''}.\end{array}\end{align*}
Wir k\"onnen jetzt alles zusammenfassen und erhalten, dass
\[
\begin{array}{llll}
\operatorname{Vol}(F(E_k\cap W(s)))&\leq \operatorname{Vol}\Big(F\Big(\ttmcup{z\in Z}{} z+V\Big)\Big)
&\leq \,\, \lmsum{z\in Z}{} \operatorname{Vol}(F(z+V))
\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-2cm}\mbox{denn $E_k\cap W(s)\subset\tmcup{z\in Z}{} (z+V)$}
&\hspace{-0.3cm}\mbox{Subadditivit\"at von $\operatorname{Vol}$}
\\[0.1cm]
&\leq  \,\,\lmsum{z\in Z}{} D\cdot \operatorname{Vol}(z+V)&=\,\,D\cdot (2sN)^k\cdot \big(\tmfrac{s}{N}\big)^n\,\,=\,\, D\cdot 2^k\cdot s^{n+k}\cdot N^{k-n}.  \\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mbox{obige Behauptung}
&\hspace{-0.5cm} \mbox{denn $\operatorname{Vol}(z+V)=(\frac{s}{N})^n$ }\\
&&\hspace{-0.5cm}\mbox{und $Z$ hat $(2sN)^k$ Elemente}
\end{array}
\]
Nachdem $k<n$ geht mit $N\to \infty$ die rechte Seite gegen null. Also folgt, dass
\[ \operatorname{Vol}(F(E_k\cap W(s)))\,\,=\,\,0.\]
Wir haben damit den Satz bewiesen.
\end{proof}

Wir beschlie\ss en das Kapitel mit folgender Verallgemeinerung von 
Satz~\ref{satz:bild-von-ek-nullmenge}, welche auf Seite 36 von Forster: Analysis~III bewiesen wird.

\begin{satz}\label{satz:bild-von-nullmenge}
Es sei $U\subset \R^n$ eine offene Teilmenge und es sei $F\colon U\to \R^n$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Wenn  $A\subset U$ eine Nullmenge ist, so dass das Bild $F(A)$ messbar ist, dann ist auch $F(A)$ eine Nullmenge.
\end{satz}

%======================================================
\subsection{Die Cantor--Menge}

Wir haben schon folgende Eigenschaften von Nullmengen bewiesen:
\begin{enumerate}
\item  Jede Teilmenge von $\R$, welche aus abz\"ahlbar vielen Punkten besteht, ist eine Nullmenge.
\item Eine Nullmenge in $\R$ enth\"alt kein  offenes Intervall.\footnote{In der Tat, denn aus $(a,b)\in A$ folgt $\operatorname{Vol}(A)\geq \operatorname{Vol}((a,b))=b-a>0$.}
\end{enumerate}
Eine Nullmenge von $\R$ ist also in einem gewissen Sinne `klein', und man kann sich die Frage stellen, ob vielleicht eine
Nullmenge in $\R$ immer abz\"ahlbar ist. \"Uberraschenderweise ist die Antwort zu dieser Frage allerdings `Nein':

\begin{satz}\label{satz:ueberabzaehlbare-nullmenge}
Es gibt eine beschr\"ankte Nullmenge von $\R$, welche \"uberabz\"ahlbar viele Punkte enth\"alt.
\end{satz}

Wir konstruieren im Folgenden die ``Cantor-Menge $C$'' und zeigen danach, dass diese die gew\"unschte Eigenschaft besitzt.
Wir betrachten dazu folgende Folge von Teilmengen von $\R$:
\begin{align*}
\begin{array}{rclrrcl} C_0&=&\big[0,1\big],&\mbox{mit}&\operatorname{Vol}(C_0)&=&1.
\intertext{Wir bilden nun  $C_1$, indem wir aus dem Intervall $C_0$ das mittlere offene Drittel entfernen, d.h.\ es ist}
\hspace{0.5cm} C_1&=&\big[0,\ttmfrac{1}{3}\big]\cup \big[\ttmfrac{2}{3},1\big],
&\mbox{mit}&\operatorname{Vol}(C_1)&=&\ttmfrac{2}{3}\operatorname{Vol}(C_0)\,\,=\,\,\ttmfrac{2}{3}.
\intertext{Wir bilden als n\"achstes $C_2$, indem wir aus den beiden Teilintervallen von $C_1$ wiederum jeweils das mittlere offene Drittel entfernen, d.h.\ es ist}
C_2&=&\big[0,\ttmfrac{1}{9}\big]\cup \big[\ttmfrac{2}{9},\ttmfrac{3}{9}\big]\cup  \big[\ttmfrac{6}{9},\ttmfrac{7}{9}\big]\cup \big[\ttmfrac{8}{9},1\big]
&\mbox{mit}&\operatorname{Vol}(C_2)&=&\ttmfrac{2}{3}\operatorname{Vol}(C_2)\,\,=\,\,\big(\ttmfrac{2}{3}\big)^2.
\intertext{Wir fahren nun induktiv so fort. Wir erhalten eine absteigende Folge $\{C_k\}_{k\in \N_0}$, so dass}
C_k&=&\mbox{Vereinigung von $2^k$ kompakten}\quad&\mbox{mit}&\operatorname{Vol}(C_k)&=&\ttmfrac{2}{3}\operatorname{Vol}(C_{k-1})\,\,=\,\,\big(\ttmfrac{2}{3}\big)^k.\\
&&\mbox{Intervallen der L\"ange $\frac{1}{3^k}$}
\end{array}\end{align*}
Wir bezeichnen
\[ C\,\,:=\,\,\smcap{k=1}{\infty}\,\, C_k\]
als die \emph{Cantor-Menge}\footnote{Die Cantor--Menge wird manchmal auch als  das \emph{Cantorsche Diskontinuum} bezeichnet}. Als Durchschnitt von abz\"ahlbar vielen messbaren Mengen ist auch $C$ wiederum messbar.
Nachdem $\operatorname{Vol}(C_k)=(\frac{2}{3})^k$ gegen $0$ konvergiert, und $C$ in jedem $C_k$ enthalten ist, folgt, dass $C$ eine Nullmenge ist. 

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{cantormenge.pstex_t}
\caption{Illustration der Cantor-Menge}\label{fig:cantormenge}
\end{center}
\end{figure}

Satz~\ref{satz:ueberabzaehlbare-nullmenge} folgt nun aus folgendem Satz.

\begin{satz}\label{satz:cantor-ueberabzaehlbare-nullmenge}
Die Cantor--Menge ist \"uberabz\"ahlbar.
\end{satz}

% Ende 22. Vorlesung 



Wir werden im Folgenden eine andere Beschreibung von  $C$ geben.
Es sei $n\in \N, n\geq 2$ und $a\in [0,1]$. Wir sagen
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.2cm} a&=&\underset{n-\operatorname{adige \, Darstellung}}{\underbrace{0,a_1a_2a_3\dots}}
\intertext{wenn $a_i\in \{0,1,\dots,n-1\}$ f\"ur alle $i$, und wenn gilt}
a&=& \lmsum{i=1}{\infty}\, a_in^{-i}.\end{array} \end{align*}
Beispielsweise gilt in der 3--adigen Darstellung, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{2.3cm} 0,11111111111\dots& =&\lmsum{i=1}{\infty}\, \lmfrac{1}{3^i}\,\,=\,\,\lmsum{i=0}{\infty}\, \lmfrac{1}{3^i}\,\,-1 \,\,=\,\,\lmfrac{1}{1-\tmfrac{1}{3}}\,\,-1\,\,=\,\, \lmfrac{1}{2}. 
\intertext{Die 3--adige Darstellung ist nicht eindeutig, beispielsweise gilt}
 \frac{1}{3}&=&0,10000000000\dots \mbox{ aber auch} \\[2mm]
            \frac{1}{3}&=&0,02222222222\dots\end{array} \end{align*}
In gewisser Weise ist dieses Beispiel die `einzige Quelle' von nicht eindeutigen $n$--adigen Darstellungen, die genaue Aussage ist \"Ubungsaufgabe 1 von \"Ubungs\-blatt 8.
Man kann sich nun leicht davon \"uberzeugen, dass
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
 C_1&:=&\mbox{alle reellen Zahlen $a$ in $[0,1]$, so dass $a$ eine 3--adige Darstellung besitzt,}\\
 &&\mbox{in welcher in der ersten Stelle nur die Ziffer $0$ oder die Ziffer $2$ verwendet wird.}
 \intertext{Allgemeiner gilt f\"ur $k\in \N$, dass}
 \hspace{0.5cm} C_k&:=&\mbox{alle reellen Zahlen $a$ in $[0,1]$, so dass $a$ eine 3--adige Darstellung besitzt,}\\
&&\mbox{in welcher in den ersten $k$--Stellen nur die Ziffern $0$ und $2$ verwendet werden}
\intertext{und daher auch}
C&:=&\mbox{alle reellen Zahlen $a$ in $[0,1]$, so dass $a$ eine 3--adige Darstellung besitzt,}\\
&&\mbox{in welcher nur die Ziffern $0$ und $2$ verwendet werden.}\end{array} \end{align*}
Wir zeigen nun noch, dass die Menge $C$ \"uberabz\"ahlbar ist.
Wir definieren dazu eine Funktion $\Phi\colon [0,1]\to [0,1]$. Sei $x\in [0,1]$.
\begin{enumerate}
\item[1. Fall.] $x\in [0,1]$ besitzt eine 3--adige Darstellung der Form
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{5.5cm} x&=&0,\hspace{-0.3cm}\underset{\footnotesize{\mbox{alle $a_i$'s liegen in $\{0,2\}$}}}{\underbrace{a_1a_2a_3a_4a_5,\dots}}
\intertext{ Wir definieren dann}
 \Phi(x)&:=&\underset{2-\operatorname{adige \, Darstellung}}{\underbrace{0,\smfrac{a_1}{2}\smfrac{a_2}{2}\smfrac{a_3}{2}\smfrac{a_4}{2}\smfrac{a_5}{2}\dots}}\end{array} \end{align*}
\item[2. Fall.] Andernfalls besitzt $x\in [0,1]$ eine 3--adige Darstellung der Form
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{5.5cm} x&=&0,\underset{\footnotesize{\mbox{jeweils in $\{0,2\}$}}}{\underbrace{a_1a_2a_3,\dots,a_{k-1},}}1,a_{k+1},\dots
\intertext{ Wir definieren dann}
 \Phi(x)&=&\underset{2-\operatorname{adige \, Darstellung}}{\underbrace{0,\smfrac{a_1}{2}\smfrac{a_2}{2}\dots\smfrac{a_{k-1}}{2}1000\dots}}\end{array} \end{align*}
\end{enumerate}
Diese Funktion hei\ss t \emph{Cantorfunktion} oder auch \emph{Teufelstreppe}.
Die Funktion $\Phi$ ist konstant auf den Intervallen, welche man jeweils vom \"Ubergang von $C_k$ zu $C_{k+1}$ herausgenommen hat.
Beispielsweise gilt
\[ \begin{array}{llllllll} \mbox{ f\"ur }x\in \big[\tmfrac{1}{3},\tmfrac{2}{3}\big], \mbox{ d.h.\ f\"ur }x=0,1a_2a_3\dots &\mbox{ gilt }&\Phi(x)&=&0,1000\dots &=&\tmfrac{1}{2}, & \\[2mm]
\mbox{ f\"ur }x\in \big[\tmfrac{1}{9},\tmfrac{2}{9}\big], \mbox{ d.h.\ f\"ur }x=0,01a_3a_4\dots &\mbox{ gilt }&\Phi(x)&=&0,0100\dots &=&\tmfrac{1}{4}, & \\[2mm]
\mbox{ f\"ur }x\in \big[\tmfrac{7}{9},\tmfrac{8}{9}\big], \mbox{ d.h.\ f\"ur }x=\underset{3-\operatorname{adig}}{\underbrace{0,21a_3a_4\dots }}&\mbox{ gilt }&\Phi(x)&:=&\underset{2-\operatorname{adig}}{\underbrace{0,1100\dots }}&=&\tmfrac{3}{4}. & \\
\end{array} \]
Der Graph der Cantorfunktion $\Phi$ ist in Abbildung~\ref{fig:teufelstreppe} skizziert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{teufelstreppe.pstex_t}
\caption{Der Graph der Cantorfunktion.}\label{fig:teufelstreppe}
\end{center}
\end{figure}



Die erste Aussage der folgenden Behauptung impliziert insbesondere, dass $C$ \"uberabz\"ahlbar ist. Insbesondere haben wir dann Satz~\ref{satz:cantor-ueberabzaehlbare-nullmenge} bewiesen.

\begin{behauptung}
Diese Abbildung hat folgende Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $\Phi$ ist surjektiv und f\"ur jedes $x\in [0,1]$ gibt
es ein $c\in C$, so dass $\Phi(c)=x$.
\item $\Phi$ ist monoton steigend und stetig.
\end{enumerate}
\end{behauptung}

Sei also $x\in [0,1]$. Es sei
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{7.2cm}x&=&0,a_1a_2a_3\dots 
\intertext{eine 2--adige Darstellung von $x$. Dann gilt}
 \Phi(\underset{3-\operatorname{adige \, Darstellung}}{\underbrace{0,(2a_1)(2a_2)(2a_3)\dots}} )&=&
\underset{2-\operatorname{adige \, Darstellung}}{\underbrace{0,{a_1}a_2a_3\dots}}=x.
\intertext{Nachdem}
\underset{3-\operatorname{adige \, Darstellung}}{\underbrace{0,(2a_1)(2a_2)(2a_3)\dots}}&\in & C
\end{array} \end{align*}
folgt die erste Aussage.

Die beiden anderen Aussagen kann man leicht zeigen.
Nachdem diese jedoch f\"ur den Beweis des Satzes nicht notwendig sind,
\"uberlassen wir den Beweis als freiwillige \"Ubungsaufgabe.



%======================================================
\subsection{Messbare Mengen und Hom\"oomorphismen}

\begin{satz}\label{satz:urbilder-auch-messbar}
Es seien $U,V\subset \R^n$ zwei offene Teilmengen und es sei $F\colon U\to V$ ein Hom\"o\-omor\-phismus.  Dann ist f\"ur jede messbare Menge $A\subset U$ auch das Bild $F(A)$ messbar.
\end{satz}

Bevor wir uns dem eigentlichen Beweis von Satz~\ref{satz:urbilder-auch-messbar}
zuwenden erinnern wir noch einmal an folgende Definition:
Es sei $\Omega$ eine Menge und es 
sei $\mathcal{S}\subset \mathcal{P}(\Omega)$. Wir  bezeichnen 
\[ \langle \mathcal{S}\rangle_\Omega^\sigma \,\,:=\,\,\mbox{Durchschnitt aller $\sigma$-Algebren von $\Omega$, welche  $\mathcal{S}$ enthalten},\]
als die von \emph{$\mathcal{S}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}.
Wir halten zwei elementare Eigenschaften in folgendem Lemma zusammen.

\begin{lemma}\label{lem:erzeugte-sigma-algebra}
Es sei $\Omega$ eine Menge.
\begin{enumerate}
\item Es seien $\mathcal{S},\mathcal{T}\subset \mathcal{P}(\Omega)$. Dann gilt
\[ \mathcal{S}\,\,\subset\,\,\mathcal{T}\quad \Longrightarrow\, \langle \mathcal{S}\rangle_\Omega^\sigma\,\,\subset\,\,\langle \mathcal{T}\rangle_\Omega^\sigma.\]
\item Wenn $\mathcal{S}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ eine $\sigma$-Algebra ist, dann ist
$\langle \mathcal{S}\rangle_\Omega^\sigma=\mathcal{S}$.
\end{enumerate}
\end{lemma}


F\"ur eine Teilmenge $X\subset \R^n$ bezeichnen wir mit 
$\mathcal{O}(X)\subset \mathcal{P}(X)$ die Menge der offenen Teilmengen von $X$.
Hierbei sagen wir, dass $U\subset X$ offen in $X$ ist, wenn es eine offene Teilmenge $V\subset \R^n$ mit $U=V\cap X$ gibt.
 

\begin{lemma}\label{lem:messbar-offene-mengen}
Es ist
\[ \mathcal{B}(\R^n)\,\,:=\,\,\langle \mathcal{Q}(\R^n)\rangle_{\R^n}^\sigma\,\,=\,\,\langle \mathcal{O}(\R^n)\rangle_{\R^n}^\sigma.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Es folgt aus Satz~\ref{satz:offen-messbar}, dass
$\mathcal{O}(\R^n)\subset \mathcal{Q}(\R^n)^\uparrow \subset \langle \mathcal{Q}(\R^n)\rangle_{\R^n}^\sigma$. Aus Lemma~\ref{lem:erzeugte-sigma-algebra} folgt nun, dass
$\langle \mathcal{O}(\R^n)\rangle_{\R^n}^\sigma \subset \langle \mathcal{Q}(\R^n)\rangle_{\R^n}^\sigma$.

Nachdem jeder halboffene Quader geschrieben werden kann als Durchschnitt von endlich vielen offenen und  abgeschlossenen Mengen (d.h.\ von Komplementen von offenen Mengen) folgt, dass alle halboffenen Quader in $\langle \mathcal{O}(\R^n)\rangle_{\R^n}^\sigma$ liegen.  Daraus folgt dann  wiederum aus Lemma~\ref{lem:erzeugte-sigma-algebra}  die Inklusion $\langle \mathcal{Q}(\R^n)\rangle_{\R^n}^\sigma\subset \langle \mathcal{O}(\R^n)\rangle_{\R^n}^\sigma$.
\end{proof}


\begin{lemma}\label{lem:einschraenkung-auf-u}
Es sei $X\subset \R^n$ offen. Dann gilt
\[ \langle \mathcal{O}(X)\rangle^\sigma_X \,\,=\,\, \langle \mathcal{O}(\R^n)\rangle_{\R^n}^\sigma\cap \mathcal{P}(X).\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Nachdem $X$ offen ist, folgt leicht,  dass 
$\langle \mathcal{O}(\R^n)\rangle_{\R^n}^\sigma\cap \mathcal{P}(X)$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$ ist, welche $\mathcal{O}(X)$ enth\"alt. Also folgt die Inklusion $ \langle \mathcal{O}(X)\rangle_X^\sigma \subset \langle \mathcal{O}(\R^n)\rangle_{\R^n}^\sigma\cap \mathcal{P}(X)$ aus der Definition von  $ \langle \mathcal{O}(X)\rangle_X^\sigma$.

Andererseits kann man auch problemlos zeigen, dass
\[ \{ A\sqcup B\,|\, A\in \langle \mathcal{O}(X)\rangle^\sigma_X\mbox{ und } B\in \langle\mathcal{O}(\R^n\setminus X)\rangle^\sigma_{\R^n\setminus X}\}\]
eine $\sigma$-Algebra auf $\R^n$ ist, welche  $\mathcal{O}(\R^n)$ enth\"alt. Es folgt, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{2cm}\langle \mathcal{O}(\R^n)\rangle^\sigma_{\R^n}&\subset&\{ A\sqcup B\,|\, A\in \langle \mathcal{O}(X)\rangle^\sigma_X\mbox{ und } B\in \langle\mathcal{O}(\R^n\setminus X)\rangle_{\R^n\setminus X}^\sigma\}.\\
\intertext{Wir erhalten also die gew\"unschte Inklusion}
 \langle \mathcal{O}(\R^n)\rangle^\sigma_{\R^n}\cap \mathcal{P}(X)&\subset&\{ A\sqcup B\,|\, A\in \langle \mathcal{O}(X)\rangle_X^\sigma\mbox{ und } B\in \langle\mathcal{O}(\R^n\setminus X)\rangle_{\R^n\setminus X}^\sigma\}\cap \mathcal{P}(X)
\\
&=&\langle \mathcal{O}(X)\rangle_X^\sigma.\end{array}\vspace{-0.7cm}\end{align*}
\end{proof}

Wir wenden uns nun dem Beweis von Satz~\ref{satz:urbilder-auch-messbar} zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:urbilder-auch-messbar}]
Es sei $F\colon U\to V$ ein Hom\"oomorphismus zwischen zwei offenen Teilmengen von $\R^n$.  Zudem sei $A\subset U$ eine messbare Menge.
Nach Lemma~\ref{lem:messbar-offene-mengen} gilt also $A\in \langle \mathcal{O}(\R^n)\rangle_{\R^n}^\sigma$. 
Nachdem $A\subset U$ folgt aus Lemma~\ref{lem:einschraenkung-auf-u}, dass 
$A\in \langle \mathcal{O}(U)\rangle_U^\sigma$. 
Die Voraussetzung, dass die Abbildung $F\colon U\to V$   ein Hom\"oomorphismus ist, impliziert, dass $F\colon \mathcal{O}(U)\to \mathcal{O}(V)$ eine Bijektion ist\footnote{Warum ist dies der Fall?}. Insbesondere ist dann aber auch
\[ F\colon \langle \mathcal{O}(U)\rangle_U^\sigma\,\, \to \,\,\langle\mathcal{O}(V)\rangle_V^\sigma\]
eine Bijektion
Es folgt, dass $F(A)\in \langle\mathcal{O}(V)\rangle_V^\sigma$. 
Es folgt dann wiederum aus Lemma~\ref{lem:einschraenkung-auf-u}, dass
$F(A)\in \langle \mathcal{O}(\R^n)\rangle^\sigma_{\R^n}$, d.h.\ $F(A)$ ist messbar.
\end{proof}



\newpage


%======================================================
\section{Die Eindeutigkeit vom Lebesgue-Ma\ss}


%======================================================
\subsection{Translationsinvariante Ma\ss e}
Das  Lebesgue-Ma\ss\, auf $\mathcal{B}(\R^n)$ ist translationsinvariant. Wenn wir das Lebesgue-Ma\ss\, mit einer festgew\"ahlten positiven Konstante multiplizieren erhalten wir nat\"urlich wiederum ein translationsinvariantes Ma\ss. 

Der folgende Satz besagt nun, dass  jedes `vern\"unftige' translationsinvariante Ma\ss\, auf $\mathcal{B}(\R^n)$ von dieser Form ist.

\begin{satz}\label{satz:translations-invariantes-mass}
Es sei 
\[ \mu\colon \mathcal{B}(\R^n)\,\,\to\,\,\overline{\R}_+\]
ein translationsinvariantes Ma\ss\, mit der  Eigenschaft,
dass es  eine offene, beschr\"ankte Menge $X\in \mathcal{B}(\R^n)$ mit $\mu(X)\in (0,\infty)$ gibt.
Dann existiert ein $C\in \R_{>0}$, so dass
\[ \mu(B)\,\,=\,\,C\cdot \operatorname{Vol}(B)\mbox{ f\"ur alle }B\in \mathcal{B}(\R^n).\]
\end{satz}

In dem Beweis von Satz~\ref{satz:translations-invariantes-mass} werden wir folgendes Lemma ben\"otigen.


\begin{lemma}\label{lem:quader-durch-wuerfel}
Jeder halboffene Quader in $\R^n$ kann als disjunkte, abz\"ahlbare Vereinigung von halboffenen W\"urfeln mit Seitenl\"angen der Form $\frac{1}{2^k}$, $k\in \N$   geschrieben werden.
\end{lemma}

Der Beweis von Lemma~\ref{lem:quader-durch-wuerfel} ist ganz \"ahnlich zum Beweis von Satz~\ref{satz:offen-ist-vereinigung-von-wuerfeln}. Wir \"uberlassen die Durchf\"uhrung des Beweises als freiwillige \"Ubungsaufgabe.
Wir wenden uns nun dem  Beweis von Satz~\ref{satz:translations-invariantes-mass} zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:translations-invariantes-mass}]
Es sei  also $\mu\colon \mathcal{B}(\R^n)\to\overline{\R}_+$  ein translationsinvariantes Ma\ss{} und es sei zudem $X\in \mathcal{B}(\R^n)$ eine offene, beschr\"ankte Menge mit $\mu(X)\in (0,\infty)$. 

F\"ur $q>0$ schreiben wir 
\[ W_q\,\,:=\,\,\big[0,\ttmfrac{1}{q}\big)^n\,\,=\,\,\mbox{der halboffene W\"urfel mit Kantenl\"ange $\frac{1}{q}$.}\]
Wir setzen nun 
\[ C\,\,:=\,\,\mu(W_1)\,\,\in\,\,\overline{\R}_+.\]
Wir wollen nun zeigen, dass $C$ die gew\"unschte Eigenschaft besitzt.
Wir beginnen mit folgender Behauptung:

\begin{behauptung}
F\"ur alle $q\in \N$ gilt
\[ \mu(W_q)\,\,=\,\,C \cdot \operatorname{Vol}(W_q).\]
\end{behauptung}

Die Aussage gilt per Definition von $C$ f\"ur $q=1$. F\"ur $q\in \N$ k\"onnen wir $W_1$ als Vereinigung von  $q^n$ disjunkten Translaten von $W_q$ schreiben. Es folgt nun aus der Translationsinvarianz und der Additivit\"at von $\mu$ und $\operatorname{Vol}$, dass 
\[ q^n\mu(W_q)\,\,=\,\,\mu(W_1)\,\,=\,\,C\cdot \operatorname{Vol}(W_1)\,\,=\,\,C\cdot q^n\operatorname{Vol}(W_q).\]
Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.

\begin{behauptung}
Es ist $C>0$ und $C<\infty$.
\end{behauptung}

Die Menge $X$ ist beschr\"ankt, also enthalten in einer endlichen Vereinigung von disjunkten Translaten von $W_1$. Aus der Monotonie von $\mu$, der Tatsache, dass $\mu(X)>0$ und der Translationsinvarianz von $\mu$, folgt nun, dass $C=\mu(W_1)>0$.

Nachdem $X$ offen ist, gibt es ein $q\in \N$, so dass ein Translat von $W_q$ im Inneren von $X$ enthalten ist. Nachdem $\mu(X)<\infty$ folgt nun wiederum aus der Monotonie von $\mu$ und der Translationsinvarianz von $\mu$, dass $C=\mu(W_1)=q^n\mu(W_q)<q^n\mu(X)$ endlich ist.
Wir haben damit auch diese Behauptung bewiesen.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{invariantes-mass.pstex_t}
\caption{Illustration zum Beweis von Satz~\ref{satz:translations-invariantes-mass}.}
\label{fig:invariantes-mass}
\end{center}
\end{figure}


\begin{behauptung}
F\"ur jedes $A\in \mathcal{Q}(\R^n)$ gilt
\[ \mu(A)\,\,=\,\,C \cdot \operatorname{Vol}(A).\]
\end{behauptung}

Nach Lemma~\ref{lem:quader-durch-wuerfel} kann jeder halboffene Quader  als disjunkte, abz\"ahlbare Vereinigung von Translaten von Quadern der Form $W_q$ geschrieben werden. Es folgt aus Lemma~\ref{lem:produkt-mengenringe-disjunkte-vereinigung}, dass auch jedes $A\in \mathcal{Q}(\R^n)$ als disjunkte, abz\"ahlbare Vereinigung von Translaten von Quadern der Form $W_q$ geschrieben werden kann.
 Die Behauptung folgt nun aus der ersten Behauptung, der Translationsinvarianz von $\operatorname{Vol}$ und $\mu$ und der $\sigma$-Additivit\"at von $\operatorname{Vol}$ und $\mu$. 


Wir haben nun also gezeigt, dass $\frac{1}{C}\mu$ und $\operatorname{Vol}$ auf $\mathcal{Q}(\R^n)$ \"ubereinstimmen. Es folgt nun aus 
Satz~\ref{satz:mass-auf-sigma-erzeugnis}, dass 
$\frac{1}{C}\mu$ und $\operatorname{Vol}$ auch auf $\mathcal{B}(\R^n)=\langle\mathcal{Q}(\R^n)\rangle^\sigma$ \"ubereinstimmen.
\end{proof}

%======================================================
\subsection{Volumen und Determinante}
F\"ur Vektoren $v_1,\dots,v_n$ in $\R^n$ bezeichnen wir im Folgenden mit 
\[  P(v_1,\dots,v_n)\,:=\,\Big\{\tmsum{i=1}{n} \lambda_i v_i\,\Big|\, \lambda_1,\dots,\lambda_n\in [0,1]\Big\}\]
das durch $v_1,\dots,v_n$ aufgespannte Parallelotop. F\"ur $n=2$ ist dies insbesondere das durch $v_1$ und $v_2$ aufgespannte Parallelogramm. F\"ur $n=3$ ist dies der  durch $v_1,v_2$ und $v_3$ aufgespannte Spat.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{parallelotop.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:parallelotop}
\end{center}
\end{figure}

Im Folgenden schreiben wir, wie \"ublich 
\[ \begin{array}{rcl} e_i&=&(0,\dots,0,1,0,\dots,0).\\
&&\hspace{1.7cm}\uparrow\\
&&\hspace{0.3cm}\mbox{$i$-te Koordinate}\end{array}\]
Offensichtlich ist $P(e_1,\dots,e_n)$ der Einheitsw\"urfel in $\R^n$.
Jedes Parellotop erh\"alt man mithilfe einer linearen Abbildung aus dem Einheitsw\"urfel $[0,1]^n$. Genauer gesagt, es seien $v_1,\dots,v_n$ Vektoren in $\R^n$.
Wir bezeichnen mit $T$ die $n\times n$-Matrix $(v_1\,\dots\,v_n)$. Dann gilt
\[ P(v_1,\dots,v_n)\,\,=\,\,P(Te_1,\dots,Te_n)\,\,=\,\,T(\underset{=[0,1]^n}{\underbrace{P(e_1,\dots,e_n)}}).\]


Der folgende Satz gibt nun insbesondere eine geometrische Interpretation des Absolutbetrags der Determinante einer quadratischen Matrix.


\begin{satz}\label{satz:volumen-parallelotop}
Es seien $v_1,\dots,v_n\in \R^n$.  Dann gilt
\[ \operatorname{Vol}\big(P(v_1,\dots,v_n)\big)\,\,=\,\,\left|\det \big( v_1\, \dots\,v_n\big)\right|.\]
\end{satz}

Wir werden gleich sehen, dass dieser Satz aus folgendem st\"arkeren Satz folgt.

\begin{satz}\label{satz:streckung-um-determinante}
Es sei $T\in \operatorname{GL}(n,\R)$ eine invertierbare  Matrix. Dann gilt f\"ur alle $B\in \mathcal{B}(\R^n)$, dass
\[ \begin{array}{ll}&\operatorname{Vol}(\underbrace{T(B)})\,\,=\,\,|\det(T)|\cdot \operatorname{Vol}(B).\\
&\hspace{1.1cm}\uparrow\\
&\hspace{-0.3cm}\mbox{messbar nach Satz~\ref{satz:urbilder-auch-messbar}}\end{array} \]
\end{satz}


\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:volumen-parallelotop} mithilfe von Satz~\ref{satz:streckung-um-determinante}]

Es seien $v_1,\dots,v_n\in \R^n$. Wir schreiben wieder $ T= \big( v_1\, \dots\,v_n\big)$.
Wenn $v_1,\dots,v_n$ linear abh\"angig sind,
dann liegt $P(v_1,\dots,v_n)$ in einem echten Unterraum von $\R^n$, es folgt dann aus Satz~\ref{satz:bild-von-ek-nullmenge}, dass $\operatorname{Vol}\big(P(v_1,\dots,v_n)\big)=0$. Andererseits ist dann nat\"urlich auch $\det (T)=0$.

Wir betrachten nun den Fall, dass $v_1,\dots,v_n$ linear unabh\"angig sind. Dann gilt 
\[ \begin{array}{ll}\operatorname{Vol}_n\big(P(v_1,\dots,v_n)\big)\,=\,\operatorname{Vol}(T([0,1]^n))
&=\,\,|\det(T)|\cdot \operatorname{Vol}([0,1]^n)\,=\,|\det(T)|.\\
&\uparrow\\
&\hspace{-3.5cm}\mbox{nach Satz~\ref{satz:streckung-um-determinante}, angewandt auf den W\"urfel $[0,1]^n$}\end{array}\vspace{-0.7cm} \]
\end{proof}

Die Idee beim Beweis von Satz~\ref{satz:streckung-um-determinante} ist diesen durch einen Trick mithilfe von Satz~\ref{satz:translations-invariantes-mass} zu beweisen.
Dazu ben\"otigen wir folgendes einfache Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:volt-translations-invariant}
Es sei $T\in \operatorname{GL}(n,\R)$ eine invertierbare Matrix. Dann ist 
\[ \begin{array}{rcl} \mu_T\colon \mathcal{B}(\R^n)&\to & \overline{\R}_+\\
B&\to & \mu_T(B):=\operatorname{Vol}(T(B))\end{array}\]
ein translations-invariantes Ma\ss. 
\end{lemma}

\begin{proof}
F\"ur $B\in \mathcal{B}(\R^n)$ schreiben wir also $\mu_T(B):=\operatorname{Vol}(T( B))$.
Wir zeigen zuerst, dass $\mu_T$ in der Tat ein Ma\ss\, ist. 
Offensichtlich gilt $\mu_T(\emptyset)=0$. Es seien nun $B_k,k\in\N$ disjunkte Mengen in $\mathcal{B}(\R^n)$. Dann gilt 
\[ \begin{array}{ll}\mu_T\Big(\ttmsqcup{k=1}{\infty} B_k\Big)\,\,=\,\,
\operatorname{Vol}\Big( T\Big(\ttmsqcup{k=1}{\infty} B_k\Big)\Big)\,\,=\,\,
\operatorname{Vol}\Big( \tmsqcup{k=1}{\infty} T(B_k)\Big)&=\,\,
\lmsum{k=1}{\infty} \operatorname{Vol}(T(B_k))\,\,=\,\,
\lmsum{k=1}{\infty} \mu_T(B_k)).\\[-0.3cm]
&\uparrow\\[-0.3cm]
&\hspace{0.045cm}|\\
&\hspace{-3cm}\mbox{denn $\operatorname{Vol}$ ist ein Ma\ss\, und die $T(B_k)$'s sind disjunkt}\end{array}\]
Die Translationsinvarianz von $\mu_T$ zeigen wir nun fast genauso leicht. Es sei also $p\in \R^n$ und zudem sei $B\in \mathcal{B}(\R^n)$. Dann ist
\[\begin{array}{ll}
\mu_T(p+B)\,\,=\,\,\operatorname{Vol}(T(p+B))\,\,=\,\,\operatorname{Vol}(T(p)+T(B))&=\,\,\operatorname{Vol}(T(B))\,\,=\,\,\mu_T(B).\\
&\uparrow\\
&\hspace{-0.8cm}\mbox{denn $\operatorname{Vol}$ ist translationsinvariant}\vspace{-0.7cm}\end{array}\]
\end{proof}

Im Folgenden ben\"otigen wir auch noch folgenden Satz aus der linearen Algebra.

\begin{satz}\label{satz:zerlegung-von-matrizen}
Jede Matrix $T\in \operatorname{GL}(n,\R)$ kann geschrieben werden als\footnote{Eine solche Zerlegung von $T$ wird als Singul\"arwertzerlegung bezeichnet.}
\[ T\,\,=ADB,\]
wobei $A$ und $B$ orthogonale Matrizen sind und $D$ eine Diagonalmatrix mit positiven Diagonaleintr\"agen ist.
\end{satz}

Wir skizzieren im Folgenden den Beweis.

\begin{proof}
Die Matrix $T^tT$ ist symmetrisch, sie kann also mithilfe einer orthogonalen Matrix diagonalisiert werden.
\footnote{Ganz allgemein gilt, dass wenn $A$  eine
symmetrische reelle Matrix ist, dann gibt es eine  orthogonale Matrix $S$ und eine reelle diagonale Matrix $P$, so dass $S^t AS=P$.
Diese Aussage wird beispielsweise in Kapitel~10 von J\"anich: Lineare Algebra bewiesen.}
 Genauer gesagt, es gibt eine orthogonale Matrix $S$ und eine reelle diagonale Matrix $P$, so dass
\[ S^t (T^tT) S\,\,=\,\,P.\]


\begin{behauptung}
Die diagonalen Eintr\"age $p_1,\dots,p_n$ von $P$ sind positiv.
\end{behauptung}

Es ist
\[ p_k\,\,=\,\,e_k^t Pe_k\,\,=\,\,e_k^t S^t T^tT Se_k\,\,=\,\,(T Se_k)^t(T Se_k)\,\,=\,\,\|TSe_k\|^2\,\,>\,\,0.\]
Wir haben damit also die Behauptung bewiesen.

Wir bezeichnen nun mit $D$ die diagonale Matrix mit den Eintr\"agen $\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_n}$.
Wir setzen  $A=TSD^{-1}$. Dies ist eine orthogonale Matrix, denn 
\[ A^tA\,\,=\,\, (TSD^{-1})^t(TSD^{-1})\,\,=\,\, D^{-1}\underset{=P}{\underbrace{S^tT^tTS}}D^{-1}\,\,=\,\,D^{-1}\underset{=D^2}{\underbrace{P}}D^{-1}\,\,=\,\,\operatorname{id}_n.\]
Der Satz folgt  jetzt durch Aufl\"osen von $A=TSD^{-1}$ nach $T$
und der Beobachtung, dass die Matrix $B:=S^{-1}$ orthogonal ist.
\end{proof}

\begin{korollar}\label{kor:phi-gleich-determinante}
Es sei 
\[ \begin{array}{rcl} \Phi\colon \operatorname{GL}(n,\R)&\to & \R_{>0}\\
A&\mapsto& \Phi(A),\end{array}\]
eine Abbildung, welche folgende drei Eigenschaften besitzt:
\begin{enumerate}
\item $\Phi$ ist ein Gruppenhomomorphismus,
\item f\"ur jede diagonale Matrix $D$  mit positiven Diagonaleintr\"agen  gilt $\Phi(D)=\det(D)$, 
\item f\"ur jede orthogonale Matrix $A$ gilt $\Phi(A)=1$.
\end{enumerate}
Dann gilt  $\Phi(T)=|\det(T)|$ f\"ur alle $T\in \operatorname{GL}(n,\R)$.
\end{korollar}

\begin{proof}
Es sei $\Phi\colon \operatorname{GL}(n,\R)\to \R_{>0}$ eine Abbildung, welche die drei Eigenschaften erf\"ullt. Es sei nun   $T\in \operatorname{GL}(n,\R)$ beliebig. Nach Satz~\ref{satz:zerlegung-von-matrizen} gibt es orthogonale Matrizen $A$ und $B$ und eine Diagonalmatrix mit positiven Diagonaleintr\"agen, so dass $T=ADB$. Es folgt, dass
\[ \begin{array}{rcll} \Phi(T)\,\,=\,\,\Phi(ADB)&=&\Phi(A)\cdot \Phi(D)\cdot \Phi(B)\hspace{1cm}&\mbox{Eigenschaft (1)}\\
&=&\det(D)&\mbox{Eigenschaft (2) und (3)}\\
&=&|\det(A)|\cdot \det(D)\cdot |\det(B)|&\mbox{denn die Determinate von}\\
&&&\mbox{orthogonalen Matrizen ist $\pm 1$}\\
&=&|\det(ADB)|&\mbox{Multiplikativit\"at der Determinante}\\
&=&|\det(T)|.\end{array} \vspace{-0.6cm}\]
\end{proof}

Wir haben nun alle Vorbereitungen getroffen um Satz~\ref{satz:streckung-um-determinante} zu beweisen.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:streckung-um-determinante}]
F\"ur eine invertierbare Matrix $T\in \operatorname{GL}(n,\R)$ setzen wir 
\[\Phi(T)\,\,:=\,\, \begin{array}{c}\mbox{die  nach Satz~\ref{satz:translations-invariantes-mass}\footnotemark{} eindeutig bestimmte reelle Zahl $C\in \R_{>0}$,}\\
\mbox{mit der Eigenschaft, dass  $\underset{\operatorname{Vol}(T(B))}{\underbrace{\mu_T(B)}}=C\cdot \operatorname{Vol}(B)$ f\"ur alle $B\in \mathcal{B}(\R^n)$}.\end{array}\]
\footnotetext{Wir k\"onnen hierbei   anwenden, denn 
nach Lemma~\ref{lem:volt-translations-invariant} ist $\mu_T$ translationsinvariant, zudem gilt f\"ur die offene, beschr\"ankte Menge $X:=T^{-1}((0,1)^n)$, dass $\mu_T(X)=\operatorname{Vol}(T(X))=\operatorname{Vol}((0,1)^n)=1$.}
Wir wollen zeigen, dass $\Phi(T)=|\det(T)|$ f\"ur alle $T\in \operatorname{GL}(n,\R)$. Im Hinblick auf Korollar~\ref{kor:phi-gleich-determinante} gen\"ugt es 
jetzt folgende Behauptung zu beweisen.

\begin{behauptung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item $\Phi$ ist ein Gruppenhomomorphismus,
\item f\"ur jede diagonale Matrix $D$  mit positiven Diagonaleintr\"agen gilt $\Phi(D)=\det(D)$, 
\item f\"ur jede orthogonale Matrix $A$ gilt $\Phi(A)=1$.
\end{enumerate}
\end{behauptung}

F\"ur eine Matrix $T\in \operatorname{GL}(n,\R)$ k\"onnen wir $\Phi(T)$ mithilfe einer  beliebigen messbaren Menge $B$ mit $\operatorname{Vol}(B)>0$ berechnen, denn es gilt
\[\Phi(T)\,\,=\,\,\lmfrac{\operatorname{Vol}(T(B))}{\operatorname{Vol}(B)}.\]
In allen drei Teilen der Behauptung bestimmen wir $\Phi$ durch eine geeignete Wahl von einer messbaren Menge $B$ mit $\operatorname{Vol}(B)>0$.
\begin{enumerate}
\item Es seien  $S,T\in \operatorname{GL}(n,\R)$. Wir w\"ahlen eine beliebige messbare Menge $X$ mit $\operatorname{Vol}(X)>0$. Dann  ist
\[ \hspace{1.6cm} \Phi(S\cdot T)=\lmfrac{\operatorname{Vol}(S(T(X)))}{\operatorname{Vol}(X)}
\,=\hspace{-0.2cm}\underset{\footnotesize{\begin{array}{c}\opnormal{$=\Phi(S)$, berechnet}\\
\opnormal{mithilfe von $T(X)$}\end{array}}}{\underbrace{\lmfrac{\operatorname{Vol}(S(T(X)))}{\operatorname{Vol}(T(X))}}}\cdot \underset{\footnotesize{\begin{array}{c}\opnormal{$=\Phi(T)$, berechnet}\\\opnormal{mithilfe von $X$}\end{array}}}{\underbrace{\lmfrac{\operatorname{Vol}(T(X))}{\operatorname{Vol}(X)}}}\hspace{-0.3cm}=\,\Phi(S)\cdot \Phi(T).\]
\item Es sei $D$ eine Diagonalmatrix mit den positiven Diagonaleintr\"agen $d_1,\dots,d_n$. Wir berechnen $\Phi(D)$ mithilfe des  Einheitsw\"urfels  $W=[0,1]^n$. Dann gilt
\[ \hspace{1cm}\Phi(D)\,\,=\,\,\lmfrac{\operatorname{Vol}(D(W))}{\operatorname{Vol}(W)}\,\,=\,\,
\operatorname{Vol}([0,d_1]\times \dots \times [0,d_n])\,\,=\,\,\prod\limits_{i=1}^n d_i\,\,=\,\,\det(D).\]
\item  Es sei $A$ eine orthogonale Matrix.  Wir bestimmen  $\Phi(A)$ mithilfe vom Einheitsball $B=\overline{B_1(0)}$. Dann gilt
\[\begin{array}{ll} \hspace{1cm}\Phi(A)\,\,=\,\,\lmfrac{\operatorname{Vol}(A(B))}{\operatorname{Vol}(B)}&=\,\,
\lmfrac{\operatorname{Vol}(B)}{\operatorname{Vol}(B)}\,\,=\,\,1.\\[-0.2cm]
&\uparrow\\[-0.3cm]
&\hspace{0.046cm}|\\
&\hspace{-3.5cm}\mbox{da $A$ orthogonal, also l\"angenerhaltend ist, gilt $A(B)=B$.}\end{array}
\]
\end{enumerate}\vspace{-0.7cm}
\end{proof}

% Ende 23. Vorlesung

\newpage

%======================================================
\section{Das Lebesgue-Integral}


%======================================================
\subsection{Einf\"uhrung}\label{section:einfuhrung-integral}
Ein \emph{Ma\ss raum} ist ein Tripel $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$, bestehend aus einer Menge $\Omega$ eine Menge, einer $\sigma$-Algebra  $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega)$ und einem Ma\ss\, $\mu\colon \mathcal{A}\to \overline{\R}_+$. 
Beispielsweise ist $(\R^n,\mathcal{B}(\R^n),\operatorname{Vol})$ ein Ma\ss raum. 

Die allgemeine Integral-Theorie definiert ein Integral f\"ur `integrierbare' Funktionen 
auf einem beliebigen Ma\ss raum $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$. Aus Zeitgr\"unden und der Verst\"andlichkeit halber betrachten wir aber nur den Spezialfall, des Borel-Lebesgue Ma\ss raums $(\R^n,{\mathcal{B}(\R^n)},\operatorname{Vol}_n)$. Insbesondere, sagen wir im Folgenden $A\subset \R^n$ ist \emph{messbar}, wenn die Menge Borel--Lebesgue--messbar ist, d.h.\ wenn die Menge in ${\mathcal{B}(\R^n)}$ liegt.

Bevor wir mit der Diskussion vom Integralbegriff beginnen, f\"uhren wir noch zwei Notation einen.
\begin{enumerate}
\item
F\"ur eine Teilmenge $A\subset$ bezeichnen wir 
\[ \begin{array}{rcl} \chi_A\colon \R^n&\to &\R\\
x&\mapsto& \chi_A(x):=\left\{ \begin{array}{ll} 1, &\mbox{ wenn $x\in A$,} \\ 0, &\mbox{ wenn $x\not\in A$,}\end{array} \right.\end{array}\]
als die  \emph{charakteristische Funktion von $A$}.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{charakteristische-funktion.pstex_t}
\caption{Der Graph einer charakteristischen Funktion.}
\end{center}
\end{figure}
\item F\"ur zwei Funktionen $f,g\colon \R^n\to \R$ schreiben wir
\[ f\,\leq\, g\quad \Longleftrightarrow \quad f(x)\,\leq \,g(x)\mbox{ f\"ur alle $x\in \R^n$}.\]
\end{enumerate}

Unser Ziel ist es jetzt einen m\"oglichst gro\ss z\"ugigen Begriff von integrierbaren Funktionen auf $\R^n$ und eine Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} \{\mbox{integrierbare Funktionen}\}&\to & \overline{\R}\\
g&\mapsto & \bbint g\,dv\end{array} \]
einzuf\"uhren, so dass folgende Eigenschaften erf\"ullt sind.
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} 
\intertext{(0) F\"ur alle messbaren $A\subset \R^n$ ist $\chi_A$ integrierbar und es gilt}
\hspace{3cm} \bbint \chi_A \,dv&=&\operatorname{Vol}_n(A) &\mbox{Normierung.}
\intertext{(1) F\"ur integrierbare Funktionen $f$ und $g$ sowie $c,d\in \R$ gilt}
\bbint cf+dg\,dv&=&c\bbint f\,dv\,\,+\,\,d\bbint g\,dv &\mbox{Linearit\"at.}
\intertext{(2) F\"ur integrierbare Funktionen $f$ und $g$ gilt}
f\,\leq \, g &\Rightarrow& \bbint f\,dv\,\leq\, \bbint g\,dv&\mbox{Monotonie.}
\intertext{(3) F\"ur eine Folge $\{f_k\}_{k\geq 1}$ von Funktionen, welche in einem geeigneten Sinne konvergiert, wollen wir, dass}
\underset{k\to\infty}{\lim} f_k\,=\,f&\Rightarrow& \underset{k\to\infty}{\lim} \bbint f_k\,dv\,=\,\bbint f\,dv\hspace{1cm}&\mbox{Stetigkeit.}
\end{array}
\end{align*}

Selbst wenn wir uns nur auf den Fall $n=1$ einschr\"anken m\"ussen wir arbeiten, denn das klassische Riemann-Integral erf\"ullt Eigenschaft (0) nicht.
In der Tat, denn wie schon mehrmals erw\"ahnt, ist die Menge $A=\Q\cap [0,1]$ zwar messbar, aber die  zugeh\"orige charakteristische Funktion $\chi_A$ ist nicht Riemann-integrierbar.


%======================================================
\subsection{Messbare Funktionen}
Zur Vorbereitung der Definitions des Lebesgue-Integrals m\"ussen wir noch den Begriff der messbaren Funktion einf\"uhren.
 

\begin{definition}
Es sei  $f\colon \R^n\to \overline{\R}$ eine Funktion.
\begin{enumerate}
\item F\"ur $c\in \R$ schreiben wir 
\[\{f\leq c\}\,\,:=\,\,f^{-1}\big([-\infty,c]\big)\,\,=\,\,\{\mbox{alle $x\in \R^n$ mit $f(x)\leq c$}\}.\]
Ganz analog definieren wir auch $\{f<c\}$, $\{f\geq c\}$, $\{f>c\}$, $\{a<f<b\}$ usw.  
\item Wir sagen \emph{$f$ ist messbar}, wenn f\"ur jedes $c\in \R $ die Menge $\{f\leq c\}$ eine messbare Teilmenge von $\R^n$ ist.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Jede monoton steigende Funktion $f\colon \R\to \R$ ist messbar, denn f\"ur jedes $c\in \R$ ist 
$\{f\leq c\}$ ein Intervall, also messbar.
\item Jede stetige Funktion $f\colon \R^n\to \R$ ist messbar, denn f\"ur jedes
 $c\in \R$ ist 
\[ \{f\leq c\}\,\,=\,\, f^{-1}\big(\hspace{-0.3cm}\underset{\footnotesize{\mbox{abgeschlossen}}}{\underbrace{(-\infty,c]}}\hspace{-0.2cm}\big)\]
eine abgeschlossene Teilmenge von $\R^n$, also messbar nach Satz~\ref{satz:messbar}.
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{lemma}\label{lem:charakterisierung-messbar}
Es sei  $f\colon \R^n\to \R$ eine Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
\begin{enumerate}
\item $f$ ist messbar,
\item f\"ur jedes $c\in \R$ ist $\{f<c\}$ eine messbare Teilmenge von $\R^n$,
\item f\"ur jedes $c\in \R$ ist $\{f\geq c\}$ eine messbare Teilmenge von $\R^n$,
\item f\"ur jedes $c\in \R$ ist $\{f>c\}$ eine messbare Teilmenge von $\R^n$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir beweisen, dass Messbarkeit die anderen Aussagen impliziert. Die \"Aquivalenz der Aussagen beweist man ganz analog.

Es sei also $f$ eine messbare Funktion und es sei $c\in \R$. Dann ist
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
 \hspace{5cm}  \{f<c\}&=&\lmcup{k=1}{\infty} \,\,\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{messbar nach}\\\opnormal{Voraussetzung}\end{array}}}{\underbrace{\{ f\leq c-\ttmfrac{1}{k}\}}},
\intertext{eine abz\"ahlbare Vereinigung von messbaren Mengen, also nach Satz~\ref{satz:messbar} wiederum messbar. Zudem sind}
\{ f\geq c\}&=& \R^n\setminus \{ f<c\}
\intertext{und} 
\{ f> c\}&=& \R^n\setminus \{ f\leq c\}\end{array}\end{align*}
Komplemente von messbaren Mengen, also messbar.
\end{proof}

 Wir beweisen nun noch, wie wir aus messbaren Funktionen, weitere  messbare Funktionen erhalten.


\begin{lemma}\label{lem:messbare-funktionen-eigenschaften}
Es seien $f,g\colon \R^n\to \R$ zwei messbare Funktionen. Dann gilt
\begin{enumerate}
\item f\"ur alle $c\in \R$ ist auch $cf$ messbar,
\item die Funktion $f^2$ ist messbar,
\item die Summe $f+g$ ist messbar,
\item das Produkt $f\cdot g$ ist messbar,
\item die Funktionen
\[ \hspace{1.4cm}\begin{array}{rcl} \min(f,g)\colon \R^n&\to & \R\\
x&\mapsto &\min\{f(x),g(x)\}\end{array}\mbox{ und }  \begin{array}{rcl} \max(f,g)\colon \R^n&\to & \R\\
x&\mapsto &\max\{f(x),g(x)\}\end{array}\]
sind messbar.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
Die ersten beiden  Aussagen  sind  \"Ubungsaufgaben in \"Ubungs\-blatt~12.
\begin{enumerate}
\item[(3)] Nach Lemma~\ref{lem:charakterisierung-messbar} gen\"ugt es zu zeigen, dass f\"ur alle $c\in \R$ die Menge $\{f+g<c\}$ messbar ist.

Es sei also $c\in \R$ beliebig. F\"ur einen Punkt $x\in \R^n$ gilt\footnote{Die `$\Leftarrow$'--Richtung ist offensichtlich. Wir zeigen nun noch die `$\Rightarrow$'--Richtung. Es sei also $f(x)+g(x)<c$. Wir setzen $\epsilon=c-f(x)-g(x)$.
Nachdem $\epsilon>0$ existiert eine rationale Zahl $r$ im Intervall $(f(x),f(x)+\epsilon)$. Dann gilt offensichtlich, dass $f(x)<r$, aber auch, dass $g(x)=c-(f(x)+\epsilon) <c-r$.}
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{3cm} f(x)+g(x)<c& \Leftrightarrow& \begin{array}{c}\mbox{es gibt eine \emph{rationale} Zahl $r$, so dass}\\\mbox{$f(x)<r$ und $g(x)<c-r$.} \end{array}
\intertext{Also ist}
 \{ f+g< c\}&=&\lmcup{r\in \Q}{} \underset{\opnormal{messbar}}{\underbrace{\{ f< r\}}}\cap \underset{\opnormal{messbar}}{\underbrace{\{g<c -r\}}}\end{array} \end{align*}
die abz\"ahlbare Vereinigung von Durchschnitten von messbaren Mengen, also wiederum messbar.
\item[(4)] Diese Aussage folgt aus den Aussagen (2), (3) und (4) und der Beobachtung, dass\footnote{Diesen Trick hatten wir schon in Analysis I verwendet um zu zeigen, dass das Produkt von Riemann-integrierbaren Funktionen wiederum Riemann-integrierbar ist.}
\[ f\cdot g\,\,=\,\,\tmfrac{1}{4}\big((f+g)^2-(f-g)^2\big).\]
\item[(5)] F\"ur alle $c\in \R$ gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}\hspace{4cm}\{ \min(f,g)\geq c\}&=&\{f\geq c\} \cap \{g\geq c\} 
\intertext{und }
 \{ \max(f,g)\leq c\}&=&\{f\leq c\} \cap \{g\leq c\}.\end{array}\end{align*}
Die Aussage folgt nun aus den Definitionen und aus Lemma~\ref{lem:charakterisierung-messbar}.\vspace{-0.4cm}
\end{enumerate}
\end{proof}

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\subsection{Das Lebesgue-Integral f\"ur Stufenfunktionen}

\begin{definition}
Eine \emph{Stufenfunktion} ist eine Funktion der Form
\[ f\,\,=\,\,\lmsum{i=1}{m} c_i \, \chi_{A_i},\]
wobei $c_1,\dots,c_m\in \R$ und $A_1,\dots,A_m$  messbare Mengen sind.
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{graph-stufenfunktion.pstex_t}
\caption{Der Graph einer Stufenfunktion.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{lemma}\label{lem:charakterisierung-von-treppenfunktion}
Es sei $f\colon \R^n\to \R$ eine Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
\begin{enumerate}
\item $f$ ist eine Stufenfunktion
\item Die Funktion $f$ nimmt endlich viele Werte $d_1,\dots,d_k\in \R$ an, 
und jedes Urbild $f^{-1}(d_i)$ ist messbar.
\item Es gibt $c_1,\dots,c_m\in \R$ und es gibt disjunkte, messbare Mengen $A_1,\dots,A_m$ mit $A_1\sqcup \dots \sqcup A_m=\R^n$, so dass
\[ f\,\,=\,\,\lmsum{i=1}{m} c_i \, \chi_{A_i}.\]
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir beweisen zuerst die $(1) \Rightarrow (2)$-Aussage.
Es sei also $f=\tmsum{i=1}{m} c_i \, \chi_{A_i}$, wobei $c_1,\dots,c_m\in \R$  und wobei $A_1,\dots,A_m$ messbare Mengen sind.
 F\"ur $i=1,\dots,m$ schreiben wir $A_i^+:=A_i$ und $A_i^-:=A_i^c$. Dann ist 
\[ \begin{array}{ll}
&\hspace{0.75cm}\footnotesize{\mbox{messbar}}\\
\R^n\,\,=\,\,\tmcap{i=1}{n}\underset{=\R^n}{\underbrace{(A_i^+\sqcup A_i^-)}}\,\,=\,\,\tmsqcup{(r_1,\dots,r_n)\in \{\pm\}^n}{}& \overbrace{\underbrace{(A_1^{r_1}\cap\dots \cap A_n^{r_n})}}.\\[-0.25cm]
&\hspace{1.4cm}\uparrow\\
&\hspace{-1.5cm}\mbox{hierauf nimmt $f$ den Wert \hspace{-0.2cm}$\tmsum{\scriptsize{\begin{array}{c}\opnormal{$i\in\{1,\dots,n\}$}\\ \opnormal{mit $r_i=+$}\end{array}}}{}\hspace{-0.2cm}c_i$ an}
\end{array}
\]
Wir sehen also, dass $f$ nur endlich viele Werte annimmt, und das die Urbilder der Werte wiederum messbar sind.

Wir beweisen nun $(2)\Rightarrow (3)$.  Wenn also die Funktion $f$ nur die  Werte $d_1,\dots,d_k\in \R$ annimmt, und wenn  jedes Urbild $f^{-1}(d_i)$ messbar, dann ist 
\[ f\,\,=\,\,\lmsum{i=1}{k} d_i\cdot \chi_{f^{-1}(d_i)}\]
eine Stufenfunktion, wobei die Urbilder disjunkt sind, und die Vereinigung der Urbilder ist der ganze $\R^n$.

Die $(3)\Rightarrow (1)$ Aussage ist nat\"urlich trivial.
\end{proof}

Wir \"uberlassen den Beweis des folgenden Lemmas als freiwillige \"Ubungsaufgabe.


\begin{lemma}\label{lem:operationen-mit-stufenfunktionen}
Es seien $f$ und $g$ zwei Stufenfunktionen. Dann gelten folgende Aussagen:
\begin{enumerate}
\item Die Summe $f+g$ der Stufenfunktionen  ist wiederum eine Stufenfunktion.
\item F\"ur jedes $c\in \R$ ist das Skalarprodukt $c\cdot f$ wieder eine Stufenfunktion.
\item Die Funktionen $\min(f,g)$ und $\max(f,g)$ sind ebenfalls Stufenfunktionen.
\end{enumerate}
\end{lemma}


\begin{lemma}\label{lem:stufenfunktion-messbar}
Stufenfunktionen sind messbar.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es ist offensichtlich, dass charakteristische Funktionen von messbaren Mengen, messbar sind.
Es folgt nun aus Lemma~\ref{lem:messbare-funktionen-eigenschaften}, dass jede Stufenfunktion messbar ist.
\end{proof}






\begin{definition}
F\"ur eine nichtnegative Stufenfunktion der Form\label{def:integral-stufenfunktion}
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.95cm} f&=&\lmsum{i=1}{m} c_i \, \chi_{A_i},
\intertext{wobei $c_1,\dots,c_m\in \R_{\geq 0}$ und $A_1,\dots,A_m$ disjunkte, messbare Teilmengen von $\R^n$ sind, schreiben wir\footnotemark}
\bbint f\,dv&=&\lmsum{i=1}{m}c_i\cdot \operatorname{Vol}(A_i)\,\in\, \overline{\R}_+.\end{array}\end{align*}
Wir\footnotetext{Die Notation $\int \dots \,dv$ hat hierbei keine Bedeutung.
Genauer gesagt, f\"ur das Integral in einem Ma\ss raum $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ wir das Integral einer Funktion $f\colon \Omega\to \R$ normalerweise als $\int f\, d\mu$ geschrieben. In unserem Fall ist $\mu=\operatorname{Vol}$, d.h.\ wir m\"ussten logischerweise $\int f\,d\operatorname{Vol}$ schreiben. Um die Notation etwas zu verk\"urzen schreiben wir jedoch $dv$ anstatt $d\operatorname{Vol}$. In vielen B\"uchern wir das Lebesgue-Ma\ss{} mit $\lambda$ bezeichnet und das Lebesgue-Integral dementsprechend als $\int f\,d\lambda$ geschrieben.} sagen $f$ ist \emph{Lebesgue-integrierbar}, wenn $\int f\,dv<\infty$ und wir bezeichnen dann $\int f\,dv$ als das \emph{Lebesgue-Integral von $f$}.\footnote{Warum haben wir uns in der Definition eigentlich auf \emph{nichtnegative} Stufenfunktionen eingeschr\"ankt?}
\end{definition}

\begin{bemerkung}
Es sei $f\colon \R^n\to \R$ eine nichtnegative Stufenfunktion. Wir bezeichnen mit $c_1,\dots,c_m\in \R_{>0}$ die verschiedenen positiven Funktionswerte.  
Es folgt leicht aus der Additivit\"at von $\operatorname{Vol}$, dass
\[ \bbint f\,dv\,\,=\,\,\lmsum{i=1}{m} c_i\cdot \operatorname{Vol}(f^{-1}(c_i)).\]
Dies zeigt insbesondere, dass das Lebesgue-Integral von $f$ wohldefiniert ist.
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}
\label{bsp:nicht-riemann-integrierbar}
Das Standardbeispiel einer Funktion, welche nicht Riemann-integrierbar ist, ist gegeben durch
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R&\to & \R \\
x&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} 2,&\mbox{ wenn }x\in \Q\cap [0,1],\\
0,&\mbox{ ansonsten.}\end{array} \right.\end{array}\]
Die Funktion $f$ ist eine Stufenfunktion, genauer gesagt es ist
\[ f\,\,=\,\,2\chi_A,\]
wobei $A=\Q\cap [0,1]$. Dies ist eine abz\"ahlbare Menge, insbesondere eine Nullmenge. Es folgt nun, dass
\[ \hspace{0.5cm}\mbox{Lebesgue-Integral von $f$}\,\,=\,\,\bbint 2\chi_A\,dv\,\,=\,\,2\cdot \operatorname{Vol}(A)\,\,=\,\,0.\]
Wir sehen also, dass sich der Begriff des Lebesgue-Integrals im Fall $n=1$ vom Begriff des Riemann-Integrals unterscheidet.
\end{beispiel}

F\"ur eine Folge von Funktion $f_k\colon \R^n\to \R$ mit $k\geq 1$ und f\"ur eine Funktion $f\colon \R^n\to \R$ schreiben wir
\[ f_k\uparrow f\quad :\Longleftrightarrow \quad \begin{array}{c}\mbox{die Funktionenfolge ist monoton steigend}\\\mbox{und konvergiert punktweise\footnotemark{} gegen $f$.}\end{array}\]
\footnotetext{Zur Erinnerung, wir sagen eine Folge von Funktionen $f_k\colon \R^n\to \R$, $k\in \N$ \emph{konvergiert punktweise} gegen $f\colon \R^n\to \R$, wenn f\"ur alle $x\in \R^n$ gilt, dass $\underset{k\to\infty}{\lim}\,f_k(x)=f(x)$.}
Ganz analog definieren wir nat\"urlich auch $f_k\downarrow f$. 

In folgendem Satz fassen wir einige der wichtigsten Eigenschaften vom Lebesgue-Integral f\"ur nichtnegative Stufenfunktionen zusammen.

\begin{satz}\label{satz:eigenschaften-integral-stufenfunktion}
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} 
\intertext{$(0)$  F\"ur alle messbaren $A\subset \R^n$gilt}
\hspace{3cm} \bbint \chi_A \,dv&=&\operatorname{Vol}_n(A) &\mbox{Normierung.}
\intertext{$(1\textup{a})$ F\"ur jede nichtnegative Stufenfunktion $f$ und jedes $c\in \R_{\geq 0}$ gilt}
\bbint cf\,dv&=&c\bbint f\,dv&\mbox{Homogenit\"at.}
\intertext{$(1\textup{b})$ F\"ur alle nichtnegativen Stufenfunktionen $f$ und $g$  gilt}
\hspace{3cm} \bbint f+g \,dv&=&\bbint f\,dv\,+\,\bbint g\,dv &\mbox{Additivit\"at.}
\intertext{$(2)$ F\"ur nichtnegativen Stufenfunktionen  $f$ und $g$ gilt}
f\,\leq \, g &\Rightarrow& \bbint f\,dv\,\leq\, \bbint g\,dv&\mbox{Monotonie.}
\intertext{$(3)$ F\"ur eine  Folge $\{f_k\}_{k\geq 1}$ von nichtnegativen Stufenfunktion und eine weitere  Stufenfunktion $f$ gilt\footnotemark}
 f_k\,\uparrow\,f&\Rightarrow& \underset{k\to\infty}{\lim} \bbint f_k\,dv\,=\,\bbint f\,dv\hspace{1cm}&\mbox{Stetigkeit.}
\end{array}
\end{align*}
\end{satz}
\footnotetext{Es sei $\{f_k\}_{k\geq 1}$ eine Folge von nichtnegativen Stufenfunktion und es sei $f$ eine  weitere Stufenfunktion. Folgt eigentlich aus $f_k \downarrow f$, dass $\int f_k\,dv\downarrow \int f\,dv$?}

\begin{proof}
Die Aussagen (0) und (1a) sind trivial. Wir beweisen nun (1b) und (2).
Es seien also $f$ und $g$  zwei nichtnegative Stufenfunktionen. 
Nach Lemma~\ref{lem:charakterisierung-von-treppenfunktion}
k\"onnen wir schreiben
\begin{align*} \begin{array}{rcll} 
\hspace{2cm}f&=&\lmsum{i=1}{r} c_i \, \chi_{A_i}, \hspace{1cm}
&\begin{array}{c}\mbox{wobei $c_1,\dots,c_r\in \R_{\geq 0}$ und wobei $A_1,\dots,A_r$}\\\mbox{ disjunkt und messbar mit $A_1\sqcup \dots \sqcup A_r=\R^n$}\end{array}
\intertext{und}
g&=&\lmsum{j=1}{s} d_j \, \chi_{B_j}, \hspace{1cm}
&\begin{array}{c}\mbox{wobei $d_1,\dots,d_s\in \R_{\geq 0}$ und wobei $B_1,\dots,B_s$}\\\mbox{ disjunkt und messbar mit $B_1\sqcup \dots \sqcup B_s=\R^n$.}\end{array}\end{array}\end{align*}
Indem wir nun zu den Schnittmengen $A_i\cap B_j$ \"ubergehen k\"onnen wir o.B.d.A.\ annehmen, dass $r=s$ und $A_i=B_i$ f\"ur $i=1,\dots,r$. Aber dann sind die Aussagen (1b) und (2) trivialerweise richtig.

Zum Abschlu\ss\, beweisen wir Aussage (3). Es sei nun  $\{f_k\}_{k\geq 1}$ eine Folge von nichtnegativen Stufenfunktion mit $f_k\uparrow f$, wobei $f$ eine weitere Stufenfunktion ist. 

Wir betrachten zuerst den Fall, dass $\int f\,dv=\infty$. Dann gibt es ein $c>0$ und eine messbare Menge $A$ mit $\operatorname{Vol}(A)=\infty$, so dass $f\geq c\chi_A$. Wir setzen
\[ A_k\,\,:=\,\,\big\{ x\in A\,|\, f_k(x)\geq \tmfrac{c}{2}\big\}.\]
Diese Menge ist messbar nach Lemma~\ref{lem:stufenfunktion-messbar}. Aus $f_k\uparrow f$ folgt $A_k\uparrow A$, also folgt aus Satz~\ref{satz:lebesgue}, dass  $\underset{k\to \infty}{\lim} \operatorname{Vol}(A_k)=\infty$.  Es ist
\[ f_k\,\,\geq \,\,\tmfrac{c}{2}\chi_{A_k},\mbox{ daher ist } \bint f_k\,dv\,\,\geq\,\,\tmfrac{c}{2}\operatorname{Vol}(A_k),\mbox{ also gilt }
\underset{k\to\infty}{\lim}  \bint f_k\,dv\,\,=\,\,\infty.\]

Wir betrachten nun den Fall, dass $\int f \,dv<\infty$. Wir setzen $g_k:=f-f_k$. Dann gilt $g_k\downarrow 0$. Wir m\"ussen nun nur noch\footnote{
In der Tat, denn aus
\[ \underset{k\to\infty}{\lim} \bint g_k\,dv\,\,=\,\,0 \mbox{ folgt }
\bint f\,dv\,\,=\,\,
\underset{k\to\infty}{\lim}\bint \underset{=f}{\underbrace{f_k+g_k}}\,dv\,\,=\,\,
\underset{k\to\infty}{\lim}\bint f_k\,dv+
\underset{=0}{\underbrace{\underset{k\to\infty}{\lim}\bint g_k\,dv}}\,\,=\,\,
\underset{k\to\infty}{\lim} \bint f_k\,dv.\]}
zeigen, dass
\[ \underset{k\to\infty}{\lim} \bbint g_k\,dv\,\,=\,\,0.\]
Wir setzen
\[ M\,:=\,\max\{ g_1(x)\,|\,x\in \R^n\}\mbox{ und } S:=\{x\in \R^n\,|\, g_1(x)>0\}.\]
Es folgt aus Lemmas~\ref{lem:charakterisierung-messbar} und~\ref{lem:stufenfunktion-messbar}, dass $S$ messbar ist. Aus
\[ \operatorname{Vol}(S)\cdot \mbox{kleinster positiver Funktionswert von $g_1$}\,\,\leq\,\,\bint g_1\,dv\,\,\leq\,\,\bint f\,dv\,\,<\,\,\infty,\]
folgt zudem, dass $\operatorname{Vol}(S)<\infty$. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{eigenschaften-integral-stufenfunktion.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-stufenfunktion}.}
\end{center}
\end{figure}

Wir w\"ahlen nun ein $\epsilon>0$. F\"ur $k\in \N$ betrachten wir
\[ S_k\,\,:=\,\,\{x\in S\,|\, g_k(x)\leq \epsilon\}.\]
F\"ur jedes $k$ und $x\in \R^n$ gilt zudem, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcccl}
\hspace{3.6cm} 0&\leq& g_k(x)&\leq &\left\{ \begin{array}{ll} =0,&\mbox{ wenn }x\in \R^n\setminus S,\\ \leq M,&\mbox{ wenn }x\in S\setminus S_k, \\ \leq \epsilon&\mbox{ wenn }x\in S_k.\end{array}\right.
\intertext{In anderen Worten, es gilt}
0&\leq& g_k&\leq& M\cdot \chi_{S\setminus S_k}+\epsilon \chi_{S_k}.
\intertext{Daraus, und aus der gerade bewiesenen Additivit\"at und Monotonie vom Lebesgue-Integral von nichtnegativen Stufenfunktionen, folgt, dass}
0&\leq& \bbint g_k\,dv&\leq & \underset{=M(\operatorname{Vol}(S)-\operatorname{Vol}(S_k))+\epsilon\operatorname{Vol}(S_k)}{\underbrace{\underset{M\cdot (\operatorname{Vol}(S)-\operatorname{Vol}(S_k))}{\underbrace{\bint M\cdot \chi_{S\setminus S_k}\,dv}}+\underset{=\epsilon\cdot \operatorname{Vol}(S_k)}{\underbrace{\bint\epsilon \chi_{S_k}}}\,dv.}}
\intertext{Also folgt, dass}
0&\leq&\underset{k\to \infty}{\lim} \bbint g_k\,dv&\leq &M\cdot\hspace{-0.5cm} 
\underset{\footnotesize{\begin{array}{c}\opnormal{$=0$, denn aus $g_k\downarrow 0$ folgt $S_k\uparrow S$,}\\
\opnormal{also folgt aus Satz~\ref{satz:lebesgue},}\\\opnormal{dass $\operatorname{Vol}(S_k)\uparrow \operatorname{Vol}(S)$}\end{array}}}{\underbrace{\underset{k\to \infty}{\lim} (\operatorname{Vol}(S)-\operatorname{Vol}(S_k))}}\hspace{-0.5cm}+\,\epsilon\underset{=\operatorname{Vol}(S)}{\underbrace{\underset{k\to \infty}{\lim} \operatorname{Vol}(S_k)}}\\
&&&=&\epsilon\cdot \operatorname{Vol}(S).
\intertext{Nachdem diese Ungleichung f\"ur jedes $\epsilon>0$ gilt, folgt, dass }
&&\underset{k\to \infty}{\lim} \bbint g_k\,dv&=&0.\vspace{-0.6cm}
\end{array}\end{align*}
\end{proof}

Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-stufenfunktion} besagt also, dass das Lebesgue-Integral von Stufenfunktionen die in Kapitel~\ref{section:einfuhrung-integral} gew\"unschten Eigenschaften besitzt. Aber wir sind nat\"urlich noch lange nicht fertig, wir wollen ja nicht nur nichtnegative Stufenfunktionen sondern allgemeinere Funktionen, z.B.\ stetige Funktionen, integrieren. Wir werden deshalb im n\"achsten Kapitel den Begriff des Lebesgue-Integrals auf gr\"o\ss ere Klassen von Funktionen erweitern.

% Ende 24. Vorlesung 



%======================================================
\subsection{Das Lebesgue-Integral f\"ur messbare nichtnegative Funktionen}
Wir wollen jetzt das Lebesgue-Integral von Stufenfunktionen auf   messbare nichtnegative Funktionen fortsetzen. 


\begin{satz}\label{satz:approximation-durch-stufenfunktionen}
Es sei $f\colon \R^n\to \overline{\R}_+$ eine messbare, nichtnegative Funktion. Dann gibt es eine aufsteigende Folge $\{f_k\}_{k\geq 1}$ von nichtnegativen Stufenfunktionen mit $f_k\uparrow f$.
\end{satz}

\begin{proof}
Wir betrachten zuerst den Spezialfall, dass alle Werte von $f$ in $[0,1)$ liegen. 
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Die Idee ist nun f\"ur $k\in\N$ die Funktion $f_k$ als die `gr\"o\ss te' Stufenfunktion zu w\"ahlen, welcher kleiner gleich $f$ ist, und welche nur Werte in $\{\frac{i}{2^k}\,|\,i=0,\dots,2^k-1\}$ annimmt.}
\end{enumerate}
Wir erinnern noch an folgende Notation aus der Analysis~I: f\"ur $y\in \R$ schreiben wir
\[ \lfloor y\rfloor \,\,:=\,\,\mbox{``$y$ abgerundet''}\,\,:=\,\,
\max\{n\in \Z\,|\, n\leq y\}.\]
F\"ur $k\in \N$ betrachten  wir nun\footnotetext{Anders ausgedr\"uckt, $f_k$ ist die Funktion, welche wir erhalten, indem wir jeden Funktionswerte von $f$ auf die gr\"o\ss te Zahl der Form $\{0,\frac{1}{2^k},\dots,\frac{2^k-1}{2^k}\}$ abrunden.}
\[ \begin{array}{rcl} f_k\colon \R^n&\to & \R\\
x&\mapsto & \tmfrac{1}{2^k}\cdot \lfloor 2^k\cdot f(x)\rfloor.\end{array}\]
Wir m\"ussen nun noch folgende Aussagen beweisen:
\begin{enumerate}
\item jedes $f_k$ ist eine nichtnegative Stufenfunktion,
\item die Funktionenfolge $f_k,k\in\N$ ist aufsteigend,
\item die Funktionenfolge $f_k,k\in \N$ konvergiert punktweise gegen $f$.
\end{enumerate}
Wir beweisen nun diese drei Aussagen:
\begin{enumerate}
\item Es ist klar, dass $f_k$ nichtnegativ ist, und dass die Werte von $f_k$ in $\{0,\frac{1}{2^k},\dots,\frac{2^k-1}{2^k}\}$ liegen. Zudem ist f\"ur $i\in \{0,\dots,2^k-1\}$ das Urbild
\[ f_k^{-1}\big(\ttmfrac{i}{2^k}\big)\,\,=\,\,f^{-1}\big(\big[\ttmfrac{i}{2^k},\ttmfrac{i+1}{2^k}\big)\big)\]
messbar. Also ist $f_k$ nach Lemma~\ref{lem:charakterisierung-von-treppenfunktion} eine Stufenfunktion.
\item Diese Aussage folgt aus der elementaren Beobachtung, dass f\"ur alle $y\in \R$ und $k\in \N$ folgende Ungleichung gilt:
\[ \tmfrac{1}{2^{k+1}} \lfloor  2^{k+1}\cdot y \rfloor \,\,\geq\,\,
 \tmfrac{1}{2^{k}} \lfloor  2^{k}\cdot y\rfloor.\]
\item F\"ur jedes $x\in \R^n$ ist $|f(x)-f_k(x)|<\frac{1}{2^k}$. Also  konvergiert die Funktionenfolge $f_k,k\in \N$ punktweise  gegen $f$.
\end{enumerate}
Wir haben damit den Satz in dem Spezialfall bewiesen.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{approximation-durch-stufenfunktionen.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Satz~\ref{satz:approximation-durch-stufenfunktionen}.}
\end{center}
\end{figure}
Der allgemeine Fall, dass $f$ beliebige Werte annimmt wird in \"Ubungs\-blatt~13 behandelt.
\end{proof}


\begin{definition}
Es sei $f\colon \R^n\to \overline{\R}_+$ eine nichtnegative, messbare Funktion.
Nach Satz~\ref{satz:approximation-durch-stufenfunktionen} gibt es eine aufsteigende Folge $\{f_k\}_{k\geq 1}$ von nichtnegativen Stufenfunktionen mit $f_k\uparrow f$. Wir setzen
\[ \begin{array}{ll}\hspace{2cm}\bbint f\,dv&:=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim}\,\underbrace{\bbint f_k\,dv}\,\,\in\,\,\overline{\R}_+.\\
&\hspace{2.2cm}\uparrow\\
&\hspace{-3.5cm}\mbox{monoton steigende Folge, d.h.\ der Grenzwert existiert in $\overline{\R}_+$}
\end{array}\]
Wenn $\int f\,dv<\infty$, dann nennen wir $f$ \emph{Lebesgue-integrierbar} und wir bezeichnen $\int f\,dv$ als das \emph{Lebesgue-Integral von $f$}.
\end{definition}

A priori h\"angt die Definition vom Lebesgue-Integral von $f$ von der Wahl der $f_k$'s ab.
Das n\"achste Lemma besagt, dass dies, zum Gl\"uck, nicht der Fall ist.

\begin{lemma}\label{lem:integral-wohldefiniert}
Es sei $f\colon \R^n\to \overline{\R}_+$ eine nichtnegative, messbare Funktion und es seien zudem $\{f_k\}_{k\geq 1}$ und  $\{g_k\}_{k\geq 1}$ zwei aufsteigende Folge von nichtnegativen Stufenfunktionen mit $f_k\uparrow f$ und $g_k\uparrow f$. Dann gilt 
\[ \underset{k\to\infty}{\lim}\,{\bbint f_k\,dv}\,\,=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim}\,{\bbint g_k\,dv}.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir zeigen die Ungleichung
\[ \hspace{0.2cm}\underset{k\to\infty}{\lim}\,{\bbint f_k\,dv}\,\,\leq\,\,\underset{m\to\infty}{\lim}\,{\bbint g_m\,dv}.\]
Aus Symmetriegr\"unden gilt dann aber auch die umgekehrte Ungleichung, d.h.\ es folgt, dass beide Grenzwerte gleich sind.

F\"ur $m\geq 1$ und $k\geq 1$ betrachten wir die Stufenfunktion $h_{km}:=\min(f_k,g_m)$.
F\"ur fest gew\"ahltes $k$ gilt\footnote{Warum gilt dies?} $h_{km}\uparrow f_k$. Wir  erhalten also, dass
\[\begin{array}{lll}{\bbint f_k\,dv}&=\,\,\underset{m\to\infty}{\lim}\,{\bbint h_{km}\,dv}&\leq\,\,\underset{m\to\infty}{\lim}\, \bbint g_m\,dv.\\[-0.15cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.3cm}\mbox{Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-stufenfunktion}~(3)}
&\hspace{-1.4cm}\mbox{nach Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-stufenfunktion}~(2), denn $h_{mk}\leq g_m$}
\end{array}
\]
Nachdem dies f\"ur alle $m$ gilt, gilt diese Ungleichung auch f\"ur den Grenzwert $m\to \infty$. Wir haben damit also die gew\"unschte Ungleichung der Grenzwerte bewiesen.
\end{proof}


\begin{beispiel}
Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R&\to & \overline{\R}_+\\
x&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} \infty,&\mbox{ wenn }x=3,\\ 0,&\mbox{ wenn }x\ne 3.\end{array}\right.\end{array}\]
Diese Funktion ist keine Stufenfunktion, nachdem sie den Wert $\infty$ annimmt. Die Funktion ist jedoch messbar.\footnote{Warum?}
Wir k\"onnen die Funktion $f$ auch schreiben also $f=\infty\cdot \chi_{\{3\}}$. 
Wir setzen $f_k=k\cdot \chi_{\{3\}}$. 
Dann gilt $f_k\uparrow f$. Also ist
\[ \bbint f\,dv\,\,=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim} \bbint f_k\,dv\,\,=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim} \underset{=k\cdot \operatorname{Vol}(\{3\})=0}{\underbrace{\bbint k\cdot\chi_{\{3\}}}}\,dv\,\,=\,\,0.\]
Die Funktion $f$ nimmt also den Wert $\infty$ an, ist aber Lebesgue-Integrierbar mit Lebesgue-Integral gleich null.
\end{beispiel}

Das folgende Lemma, welches in \"Ubungs\-blatt~13 bewiesen wird, verallgemeinert etwas das vorherige Beispiel.

\begin{lemma}\label{lem:integral-auf-nullmenge-ist-null}
Es sei $f$ eine nichtnegative, messbare Funktion. Dann gilt
\[ \mbox{ $\{ x\in \R^n\,|\, f(x)\ne 0\}$ ist eine Nullmenge}\quad \Rightarrow \quad  \bbint f\,dv\,\,=\,\,0.\]
\end{lemma}




Der folgende Satz ist nun eine Verallgemeinerung von  Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen} auf nichtnegative, messbaren Funktionen.

\begin{satz}\label{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen}
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} 
\intertext{$(1)$ F\"ur alle  nichtnegativen, messbaren Funktionen $f$ und $g$  und alle $c,d\in \R_{\geq 0}$ gilt}
\hspace{3cm} \bbint cf+dg \,dv&=&c\bbint f\,dv\,+\,d\bbint g\,dv &\mbox{Linearität}
\intertext{$(2)$ F\"ur alle  nichtnegativen, messbaren Funktionen  $f$ und $g$ gilt}
f\,\leq \, g &\Rightarrow& \bbint f\,dv\,\leq\, \bbint g\,dv&\mbox{Monotonie.}
\intertext{$(3)$ F\"ur eine  Folge $\{f_k\}_{k\geq 1}$ von  nichtnegativen, messbaren Funktionen und eine weitere  nichtnegative, messbare Funktion $g$ gilt}
 f_k\,\uparrow\,g&\Rightarrow& \underset{k\to\infty}{\lim} \bbint f_k\,dv\,=\,\bbint g\,dv\hspace{1cm}&\mbox{Stetigkeit.}
\end{array}
\end{align*}
\end{satz}

\begin{proof}
Der Beweis von (1) ist elementar und ist eine freiwillige \"Ubungs\-aufgabe. Der Beweis von (2) ist eine \"Ubungsaufgabe in \"Ubungsblatt~13.

Wir beweisen nun noch Aussage (3). 
Nach Satz~\ref{satz:approximation-durch-stufenfunktionen} gibt es f\"ur jedes $k$ eine aufsteigende Folge $\{f_{kj}\}_{j\geq 1}$ von Stufenfunktionen mit $f_{kj}\uparrow f_k$. F\"ur $m\in \N$ betrachten wir
\[ g_m\,\,:=\,\,\max\{ f_{1m},\dots,f_{mm}\}.\]
Dann ist\footnote{Warum ist das so? Genauer gesagt, warum ist die Funktionenfolge $g_m,m\in \N$ aufsteigend, und warum konvergiert sie punktweise gegen $g$?}  $g_m\uparrow g$. Also gilt per Definition, dass
\[ \underset{m\to\infty}{\lim} \bbint g_m\,dv\,\,=\,\,\bbint g.\]
Andererseits gilt f\"ur alle $m\geq 1$, dass 
\[ g_m\,\,=\,\   \max\{ \underset{f_1}{\underset{\rotatebox[origin=c]{270}{\footnotesize{$\leq$}}}{f_{1m}}},
\dots,\underset{f_m}{\underset{\rotatebox[origin=c]{270}{\footnotesize{$\leq$}}}{f_{mm}}}\}
\,\, \leq\,\, f_m\,\,\leq\,\, g.\]
 Also ist
\[ \bbint g_m\,dv\,\,\leq\,\, \bbint f_m\,dv\,\,\leq \,\,\bint g\,dv.\]
Wir erhalten nun die gew\"unschte Aussage durch Grenzwertbildung.
\end{proof}


%======================================================
\subsection{Das Lebesgue-Integral}
F\"ur eine Funktion $f\colon \R^n\to \overline{\R}$ schreiben wir nun
\[ f_+\,\,:=\,\,\max(f,0) \quad \mbox{ und }\quad  f_-\,\,:=\,\,-\min(f,0).\]
Wenn $f$ messbar ist, dann folgt aus Lemma~\ref{lem:messbare-funktionen-eigenschaften}, dass auch $f_-$ und $f_+$ messbar sind. Wir k\"onnen dann also $f=f_+-f_-$ als Differenz von zwei messbaren, nichtnegativen Funktionen schreiben. Dies erm\"oglicht es uns nun, ganz allgemein den Begriff vom Lebesgue-Integral einzuf\"uhren.

\begin{definition}
Es sei $f\colon \R^n\to \overline{\R}$ eine Funktion.
Wir sagen, $f$ ist \emph{Lebesgue-integrierbar}, wenn $f$ messbar ist, und wenn f\"ur die beiden Funktionen $f_+,f_-\colon \R^n\to \overline{\R}_+$ gilt
\[ \bbint f_+\,dv\,\,<\,\,\infty\quad \mbox{ und } \quad \bbint f_-\,dv\,\,<\,\,\infty.\]
Wir bezeichnen dann 
\[  \bbint f\,dv\,\,:=\,\, \bbint f_+\,dv\,-\, \bbint f_-\,dv\]
als das \emph{Lebesgue-Integral von $f$}.
\end{definition}

Der n\"achste Satz ist zum gro\ss en Teil das  Analogon zu Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen}.


\begin{satz}\label{satz:eigenschaften-lebesgue-integral}
Es seien $f,g\colon \R^n\to \overline{\R}$ zwei Lebesgue-integrierbare Funktionen.
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} 
\intertext{$\opnormal{(1a)}$ F\"ur jedes  $c\in \R$ ist $cf$ Lebesgue-integrierbar und es gilt}
\bbint cf\,dv&=&c\bbint f\,dv&\mbox{Homogenit\"at.}
\intertext{$\opnormal{(1b)}$ Wenn $f+g$ auf ganz $\R^n$ definiert ist,\footnotemark{} dann ist auch $f+g$ Lebesgue-integrierbar, und es  gilt}
\hspace{3.8cm} \bbint f+g \,dv&=&\bbint f\,dv\,+\,\bbint g\,dv &\mbox{Additivit\"at.}
\intertext{$(2)$ Es gilt}
f\,\leq \, g &\Rightarrow& \bbint f\,dv\,\leq\, \bbint g\,dv\hspace{1.2cm}&\mbox{Monotonie.}
\intertext{$(3)$ Die Funktion $|f|$ ist Lebesgue-integrierbar und es gilt die Ungleichung}
 \Big|\bbint f\,dv\Big|&\leq&\bbint |f|\,dv.
\end{array}
\end{align*}

\footnotetext{Zur Erinnerung, $f+g$ ist auf ganz $\R^n$ definiert, wenn es kein $x\in \R^n$ gibt, so dass eine Funktion den Wert $-\infty$ und die andere Funktion den Wert $\infty$ annimmt.}
\end{satz}

F\"ur den Beweis von Satz~\ref{satz:eigenschaften-lebesgue-integral} ben\"otigen wir folgende zwei Lemmas.

\begin{lemma} \label{lem:absolutbetrag-lebesgue-integral}
Es sei $f\colon \R^n\to \overline{\R}$ eine messbare Funktion. Dann gilt
\footnote{Die Funktion $|f|=\max(f,0)+\max(-f,0)$ ist messbar nach
Lemma~\ref{lem:messbare-funktionen-eigenschaften}.}
\[ \mbox{$f$ ist Lebesgue-integrierbar}\quad \Longleftrightarrow \quad \bint |f|\,dv<\infty.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei $f\colon \R^n\to \overline{\R}$ eine messbare Funktion. Dann gilt
\[
 \begin{array}{rll}
\mbox{$f$ ist Lebesgue-integrierbar}&\Rightarrow \,\, \bint f_+\,dv<\infty\mbox{ und }\bint f_-\,dv<\infty&\Rightarrow \,\, \bint |f|\,dv<\infty.\\
&&\uparrow\\
&&\hspace{-3cm}\mbox{folgt aus Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen} und  $|f|=f_-+f_+$}\end{array}
\]
Andererseits gilt
\[
\begin{array}{rll}
 \bint |f|\,dv<\infty&\Rightarrow \,\, 
 \bint f_+\,dv<\infty\mbox{ und }\bint f_-\,dv<\infty&\Rightarrow\,\,\mbox{$f$ ist Lebesgue-integrierbar.}\\
 &\uparrow\\
&\hspace{-2cm}\mbox{folgt aus Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen} und $f_\pm\leq |f|$}\vspace{-0.6cm}
\end{array} \]
\end{proof}




\begin{lemma}\label{lem:fplusminus}
Es sei $f\colon \R^n\to \overline{\R}$ eine messbare Funktion. Wir nehmen an, dass  es zwei nichtnegative messbare Funktionen $f_1,f_2\colon \R^n\to \overline{\R}_+$ gibt, so dass 
\begin{align*} 
\begin{array}{rcl}
\hspace{5cm} f&=&f_1-f_2\quad \mbox{ und } \bbint f_i\,dv\,<\,\infty\,\mbox{ f\"ur }i=1,2.
\intertext{Dann ist $f$ Lebesgue-integrierbar und es gilt}
\bbint f\,dv&=&\bbint f_1\,dv-\bbint f_2\,dv.\end{array}\end{align*}
\end{lemma}



\begin{proof}
Aus $|f|\leq f_1+f_2$ und der Voraussetzung folgt, dass $\int |f|\,dv<\infty$, also ist $f$ nach 
Lemma~\ref{lem:absolutbetrag-lebesgue-integral} Lebesgue-integrierbar.
Zudem gilt, dass
\[\begin{array}{ll} 
&\hspace{-3.2cm} \footnotesize{\begin{array}{c} \opnormal{Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen} angewandt auf die nichtnegativen}\\
\mbox{Funktionen $f_\pm$ und $g:=f_1-f_+=\min(f_1,f_2)$}\end{array}}\\
&\downarrow\\[-0.2cm]
\bbint f\,dv\,\,=\,\,
\bbint f_+\,dv-\bbint f_-\,dv&=\,\,
\bbint \underset{=f_1}{\underbrace{f_++g}}\,dv\,\,-\,\, \bbint\hspace{-0.65cm} \underset{\scriptsize{\begin{array}{c}\opnormal{$=f_2$, nachdem}\\f_+-f_-=f_1-f_2\end{array}}}{\underbrace{f_-+g}}\hspace{-0.65cm}\,dv\,\,=\,\,
\bbint f_1\,dv-\bbint f_2\,dv.\\[-1.1cm]
&\uparrow\\[-0.2cm]
&\hspace{0.045cm}|\\
&\hspace{-1.4cm}
\footnotesize{\begin{array}{c}\mbox{hierbei folgt aus $f_1\geq f_+$,}\\
\mbox{dass $\int g\,dv<\infty$}\end{array}}
\vspace{-0.6cm}
\end{array}
\]
\end{proof}





Wir wenden uns nun dem Beweis von Satz~\ref{satz:eigenschaften-lebesgue-integral} zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:eigenschaften-lebesgue-integral}]
Es seien $f,g\colon \R^n\to \overline{\R}$ zwei Lebesgue-integrierbare Funktionen.
\begin{enumerate}
\item[(1a)] Es sei $c\in \R$. F\"ur $c=0$ ist die Behauptung trivial. F\"ur $c>0$ folgt die Behauptung aus Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen} und aus $(cf)_+=cf_+$ und $(cf)_-=cf_-$. F\"ur $c<0$ folgt die Behauptung aus Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen} und  aus $(cf)_+=-cf_-$ und $(cf)_-=-cf_+$. 
\item[(1b)] Es folgt aus Lemma~\ref{lem:fplusminus}, dass
\[ f+g\,\,=\,\,(f_++g_+)-(f_-+g_-)\]
Lebesgue-integrierbar ist. Zudem gilt
\[ 
\hspace{1cm} \begin{array}{rll} 
\bint f+g\,dv&=\,\,\bint f_++g_+ \,dv\,-\, \bint f_-+g_-\,dv\\[-0.1cm]
&\uparrow \\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{Lemma~\ref{lem:fplusminus}}\\
&=\,\, \bint f_+\,dv\,+\,\bint g_+ \,dv\,-\, \bint f_-\,dv -\bint g_-\,dv&=\,\,\bbint f\,dv \,+\,\bbint g\,dv.\\[-0.1cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen}}&\hspace{-1cm}\mbox{per Definition}
\end{array}
\]
\item[(2)] Aus $f\leq g$ folgt, dass $f_+\leq g_+$ und $f_-\geq g_-$. Daraus folgt, dass
\[ \begin{array}{ll}
\bbint f\,dv\,\,=\,\,\bbint f_+\,dv\,-\,\bbint f_-\,dv&\leq \,\,\bbint g_+\,dv\,-\,\bbint g_-\,dv\,\,=\,\,\bbint g\,dv.\\
&\uparrow\\
&\mbox{Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen}}\end{array} \]
\item[(3)] Wir hatten gerade in Lemma~\ref{lem:absolutbetrag-lebesgue-integral} gesehen, dass 
 die Funktion $|f|$ Lebesgue-in\-teg\-rier\-bar  ist. 
Zudem folgt aus
\begin{align*}
\begin{array}{rcccl}
 \hspace{5cm} -|f|&\leq&f&\leq&|f|
\intertext{und der gerade bewiesenen Monotonie des Lebesgue-Integrals, dass}
 -\bbint |f|\,dv&\leq&\bbint f\,dv &\leq&\bbint |f|\,dv.
\end{array}\end{align*}
Aber dies ist gerade die Ungleichung, welche wir beweisen wollten.\vspace{-0.4cm}
\end{enumerate}
\end{proof}

In Satz~\ref{satz:eigenschaften-lebesgue-integral} hatten wir keinerlei Stetigkeitseigenschaften formuliert. Der folgende Satz von Levi ist nun ein erster solcher Stetigkeitssatz. Sp\"ater werden noch mehr S\"atze folgen.

\begin{satz}\label{satz:levi}
\textbf{\emph{(Satz von der monotonen Konvergenz von Levi)}}
Es sei $f_k\colon \R^n\to \R,$ $k\in \N$ eine aufsteigende  Folge von Lebesgue-integrierbaren Funktionen. Wir nehmen an, dass alle  Lebesgue-Integrale durch ein $M\in \R$ beschr\"ankt sind, d.h.\ dass es ein $M\in \R$ gibt, so dass 
\[ \bbint f_k \,dv\,\,\leq\,\,M\quad \mbox{ f\"ur alle }k\in \N.\]
Dann ist die Grenzfunktion $f:=\underset{k\to\infty}{\lim} f_k$ Lebesgue-integrierbar, und es gilt
\[ \bbint f\,dv \,\,=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim} \bbint f_k\,dv.\]
Eine analoge Aussage gilt  auch f\"ur eine  absteigende  Folge von Lebesgue-integrierbaren Funktionen. 
\end{satz}



In dem Beweis, dass die Grenzfunktion Lebesgue-integrierbar ist, werden wir folgendes Lemma verwenden.

\begin{lemma}\label{lem:aufsteigender-limes-messbar}
F\"ur jede  aufsteigende Folge von messbaren Funktionen $f_k$ ist auch die Grenzfunktion $f$ messbar.
\end{lemma}

\begin{proof}
Das Lemma folgt aus der Beobachtung, dass
f\"ur alle $c\in \R$ gilt
\[
 \{ f\leq c\}\,\,=\,\,\lmcap{k=1}{\infty}\{f_k\leq c\}.\vspace{-0.55cm}\]
\end{proof}


Wir wenden uns nun dem Beweis vom Satz von der monotonen Konvergenz von Levi zu.



\begin{proof}[Beweis vom Satz von der monotonen Konvergenz von Levi]\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{
Indem wir $f_1$ `\"uberall abziehen' k\"onnen wir den allgemeinen Fall auf den Fall von nichtnegativen Funktionen zur\"uckf\"uhren. Im Fall von nichtnegativen Funktionen k\"onnen wir dann  Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen} verwenden.}
\end{enumerate}
Wir setzen
\[ g_k\,:=\,f_k-f_1,\mbox{ f\"ur $k\in \N$ und wir setzen }g\,:=\,\underset{k\to\infty}{\lim} g_k\,=\,f-f_1.\]
Es gen\"ugt nun die analoge Aussage f\"ur die $g_k$'s und $g$ zu beweisen.

Jetzt ist $\{g_k\}_{k\geq \N}$ eine aufsteigende Folge von \emph{nichtnegativen} messbaren Funktionen.
Nach Lemma~\ref{lem:aufsteigender-limes-messbar} ist die Funktion $g=\underset{k\to\infty}{\lim} g_k$ messbar.
Es folgt also aus Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen}, dass
\[  \bint g\,dv\,\,=\,\, \underset{k\to\infty}{\lim} \bint g_k\,dv.\]
Wir m\"ussen nun noch beweisen, dass $g$ Lebesgue-integrierbar ist, d.h.\ wir m\"ussen zeigen, dass das Integral von $g$ endlich ist.
Dies folgt aus dem obigen Grenzwert und der Beobachtung, dass f\"ur alle $k$ gilt
\[ \bint g_k\,dv\,\,=\,\, \bint f_k-f_1\,dv\,\,=\,\,\bint f_k\,dv-\bint f_1dv\,\,\leq\,\,N:=M-\bbint f_1\,dv.\vspace{-0.6cm}\]
\end{proof}


% Ende 25. Vorlesung 


\begin{satz}\label{satz:fast-ueberall-null}
Es sei $f\colon \R^n\to \overline{\R}$ eine messbare Funktion. Dann gilt
\[ \begin{array}{c}\{ x\in \R^n\,|\, f(x)\ne 0\}\\\mbox{ ist eine Nullmenge}\end{array} \quad \Longleftrightarrow \quad  \begin{array}{c}\mbox{$f$ ist Lebesgue-integrierbar}\\\mbox{ mit }\bbint |f|\,dv\,=\,0.\end{array}\]
\end{satz}

\begin{proof}
Es sei $f\colon \R^n\to \overline{\R}$ eine messbare Funktion. 

Wir beweisen zuerst die ``$\Rightarrow$'' Richtung.
  Wenn $\{ x\in \R^n\,|\, f(x)\ne 0\}$ eine Nullmenge ist, dann gilt die gleiche Aussage auch f\"ur $f_-$ und $f_+$. 
 Lemma~\ref{lem:integral-auf-nullmenge-ist-null} besagt, dass $f_-$ und $f_+$ Lebesgue-integrierbar sind mit Lebesgue-Integral null. Es folgt nun aus der Definition vom Lebesgue-Integral von $f$, dass $f$ Lebesgue-integrierbar ist.
 Zudem ist 
 \[\bint |f|\,dv\,\,=\,\,\bint f_+\,dv+\bint f_-\,dv\,\,=\,\,0.\]
 
 
Wir beweisen nun die ``$\Leftarrow$'' Richtung. Wir nehmen also an, dass $f$ Lebesgue-integrierbar ist mit $\int |f|\,dv=0$. Wir setzen $S:=\{ x\in \R^n\,|\, f(x)\ne 0\}$. Dann ist
\[ \begin{array}{lll}\hspace{1.6cm}\operatorname{Vol}(S)\,\,=\,\,\bbint \chi_S\,dv&=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim} \bbint \underset{\leq k|f|}{\underbrace{\min\{ k\cdot |f|,\chi_S\}}}\,dv \,\,\leq\,\,\underset{k\to\infty}{\lim} k\bbint |f|\,dv\,\,=\,\,0.\\[-0.6cm]
&\uparrow\\[-0.1cm]
&\hspace{-1cm}\footnotesize{\mbox{folgt aus Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen},}}\\
&\hspace{-1.8cm}\footnotesize{\mbox{denn $\min\{ k\cdot |f|,\chi_S\}\uparrow \chi_S$}}\vspace{-0.7cm}\end{array}\]
\end{proof}


Man sagt oft, dass eine Aussage \"uber eine oder mehrere Funktionen `fast \"uberall' gilt, wenn die Aussage au\ss erhalb einer Nullmenge wahr ist. Beispielsweise besagt Lemma~\ref{satz:fast-ueberall-null}, dass das Lebesgue-Integral einer messbaren Funktion, welche fast \"uberall verschwindet, null ist.
Insbesondere sagen wir, zwei Funktionen $f$ und $g$  \emph{stimmen fast \"uberall \"uberein}, wenn 
\[ \{ x\in \R^n\,|\, f(x)\ne g(x)\}\]
eine Nullmenge ist.

Folgender Satz folgt nun leicht aus Satz~\ref{satz:fast-ueberall-null} und der Additivit\"at des Lebesgue-Integrals.

\begin{satz}\label{satz:fast-ueberall-gleich}
Es seien $f,g\colon \R^n\to \overline{\R}$ zwei messbare Funktionen, welche fast \"uberall \"uber\-ein\-stimmen.
Dann gilt
\[ \mbox{$f$ ist Lebesgue-integrierbar} \quad \Longleftrightarrow \quad 
\mbox{$g$ ist Lebesgue-integrierbar.}\]
Wenn die Funktionen Lebesgue-integrierbar sind, dann gilt zudem, dass
\[ \bbint f\,dv \,\,=\,\,\bbint g\,dv.\]
\end{satz}

Wir erlauben durchgehend Funktionen, welche auch die Werte $\pm \infty$ annehmen. 
Das folgende Lemma besagt nun aber, dass eine Lebesgue-integrierbare Funktion fast \"uberall endlich ist. Das Lemma wird in \"Ubungsblatt~13 bewiesen.


\begin{satz}\label{satz:fast-ueberall-endlich}
Eine Lebesgue-integrierbare Funktion $f\colon \R^n\to \overline{\R}$ ist fast \"uberall endlich, d.h.\ 
\[\big\{ x\in \R^n\,\big|\,f(x)=-\infty\mbox{ oder }f(x)=\infty\big\}\]
ist eine Nullmenge.
\end{satz}

%================================
\subsection{Integration \"uber Teilmengen}
Im Folgenden erweitern wir etwas den Begriff vom Lebesgue-Integral.

\begin{definition}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Es sei $f\colon \R^n\to \R$  eine messbare Funktion  und es sei $A\subset \R^n$ eine messbare Teilmenge. Wir sagen \emph{$f$ ist \"uber $A$ Lebesgue-integrierbar}, wenn $\chi_A\cdot f$ Lebesgue-integrierbar ist. Wenn dies der Fall ist, dann bezeichnen wir
\[ \underset{A}{\bbint} f \,dv\,\,:=\,\,\bbint \chi_A\cdot f\,dv\]
als das \emph{Lebesgue-Integral von $f$ \"uber $A$}. 
\item Es sei $f\colon A\to \R$ eine messbare Funktion  auf einer messbaren Teilmenge $A\subset \R^n$. Wir setzen diese zu einer Funktion $\tilde{f}$ auf $\R^n$ fort, indem wir $\tilde{f}(x)=0$ f\"ur $x\not\in A$ setzen. Wir sagen $f$ ist Lebesgue-integrierbar, wenn $\tilde{f}$ Lebesgue-integrierbar ist. 
Wenn dies der Fall ist, dann bezeichnen wir
\[ \underset{A}{\bbint} f \,dv\,\,:=\,\, \bbint \tilde{f}\,dv\]
als das Lebesgue-Integral von $f$. 
\end{enumerate}
\end{definition}

Es gelten die offensichtlichen Verallgemeinerung der bisherigen Ergebnisse von Lebesgue-Integralen auf $\R^n$ zu diesen beiden Erweiterungen. Beispielsweise ist das Lebesgue-Integral \"uber eine Teilmenge $A$ additiv und monoton.

Folgendes Lemma wird in \"Ubungs\-blatt 13 bewiesen.

\begin{lemma}\label{lem:zerlegung-vom-definitionsbereich}
Es sei $X$ eine messbare Teilmenge von $\R^n$, es sei $f\colon X\to \R$ eine messbare Funktion und es sei $X=A\cup B$ eine Zerlegung von $X$ in zwei messbare Mengen $A$ und $B$, so dass $A\cap B$ eine Nullmenge ist. Dann gilt
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
 \mbox{$f$ ist Lebesgue-integrierbar auf $A\cup B$}&\Longleftrightarrow&
 \mbox{$f$ ist Lebesgue-integrierbar auf $A$ und auf $B$.}
\intertext{Wenn die Funktion auf $A\cup B$ Lebesgue-integrierbar ist, dann gilt auch, dass}
\bint\limits_{A\cup B} f\,dv&=&\bint\limits_{A} f\,dv+\bint\limits_{B} f\,dv.\end{array}
\end{align*}
\end{lemma}

Der folgende Satz gibt nun ein oft hilfreiches Kriterium f\"ur Lebesgue-Integrierbarkeit.

\begin{satz}\label{satz:stetig-lebesgue-integrierbar}
Es sei $A\subset \R^n$ eine beschr\"ankte messbare Teilmenge. Dann ist jede beschr\"ankte stetige Funktion $f\colon A\to \R$ Lebesgue-integrierbar.
\end{satz}

Der Satz besagt also insbesondere, dass jede stetige Funktion auf einer  kompakten Teilmenge von $\R^n$ Lebesgue-integrierbar ist.

\begin{proof}
Wir setzen $f$ wiederum  zu einer Funktion $\tilde{f}$ auf $\R^n$ fort, indem wir $\tilde{f}(x)=0$ f\"ur $x\not\in A$ setzen. In \"Ubungsblatt~12
wurde  gezeigt, dass die Funktion $\tilde{f}$ messbar ist.

Nach Lemma~\ref{lem:absolutbetrag-lebesgue-integral} gen\"ugt es folgende Behauptung zu beweisen.

\begin{behauptung}
\[ \bint |\tilde{f}|\,dv\,\,<\,\,\infty.\]
\end{behauptung}

Nach Voraussetzung ist $f$ beschr\"ankt. Es gibt also ein $C\in \R$, so dass $|\tilde{f}(x)|\leq C$ f\"ur alle $x\in \R^n$. 
Zudem ist nach Voraussetzung auch $A$ beschr\"ankt, insbesondere gilt $\operatorname{Vol}(A)<\infty$. Es folgt nun, dass 
\[ \begin{array}{ll}
\bint |f|\,dv&\leq\,\,\bint C\cdot \chi_A\,dv\,\,=\,\,C\cdot \operatorname{Vol}_n(A)\,\,< \,\,\infty.\\
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{denn $|f|\leq C\cdot \chi_A$}\end{array}\vspace{-0.6cm}\]
\end{proof}


\newpage
%======================================================
\section[Zusammenhang zwischen  Riemann-Integral und Lebesgue-Integral]{Der Zusammenhang zwischen dem Riemann-Integral und dem Lebesgue-Integral}


%================================
\subsection{Definition und Eigenschaften vom Riemann-Integral}
Wir erinnern in diesem Kapitel an die Definition vom Riemann-Integral und an einige Eigenschaften, welche wir in Analysis~I bewiesen hatten.

Es sei nun $[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Eine \emph{Zerlegung $Z$ von $[a,b]$} ist eine Menge $Z=\{z_0,z_1,\dots,z_n\}$ von reellen Zahlen, so dass
\[ a=z_0<z_1<z_2<\dots <z_{n-1}<z_n=b.\]
Sei nun $f\colon  [a,b]\to \R$ eine beschr\"ankte  Funktion.
Dann hei\ss t
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{4cm} U(Z,f)&:=&\sum\limits_{k=0}^{n-1}\, (z_{k+1}-z_k)\inf f([z_k,z_{k+1}])
\intertext{die \emph{Untersumme von $f$ bez\"uglich der Zerlegung $Z$} und}
 O(Z,f)&:=&\sum\limits_{k=0}^{n-1}\, (z_{k+1}-z_k)\sup f([z_k,z_{k+1}])\end{array}
 \end{align*}
hei\ss t die \emph{Obersumme von $f$ bez\"uglich der Zerlegung $Z$}.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{untersumme.pstex_t}
\caption{Die Untersumme und die Obersumme von $f$ bez\"uglich einer Zerlegung $Z=\{z_0,z_1,z_2,z_3,z_4\}$.}
\label{fig:untersumme}
\end{center}
\end{figure}

\begin{definition}
Eine beschr\"ankte Funktion $f\colon  [a,b]\to \R$ hei\ss t \emph{Riemann-integrierbar}, wenn
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{0.7cm} \sup\{ U(Z,f)\,|\, \mbox{$Z$ Zerlegung von $[a,b]$}\}&=&
 \inf\{ O(Z,f)\,|\, \mbox{$Z$ Zerlegung von $[a,b]$}\}.
\intertext{Wenn $f$ Riemann-integrierbar ist, dann hei\ss t}
 \bint\limits_a^b f(x)\,dx&:=&\inf\{ O(Z,f)\,|\, \mbox{$Z$ Zerlegung von $[a,b]$}\}
 \end{array}
 \end{align*}
das \emph{Riemann-Integral \"uber $f$ von $a$ nach $b$}.
\end{definition}

In Analysis~I hatten wir gezeigt, dass beispielsweise alle stetigen Funktionen Riemann-integrierbar sind. Das folgende Beispiel gibt den Beweis, f\"ur die schon mehrmals erw\"ahnte Aussage,  dass es beschr\"ankte Funktionen gibt, welche nicht Riemann-integrierbar sind.


\begin{beispiel}
Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon  [0,3] &\to & \R\\
x&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} 0, &\mbox{ wenn }x\in \Q\cap [0,3]\\
2, &\mbox{ andernfalls.}\end{array} \right.\end{array} \]
Dann gilt f\"ur jede Zerlegung $Z=\{z_0,\dots,z_n\}$  von $[a,b]$, dass
\[ \begin{array}{rclclcl} U(Z,f)&=&\sum\limits_{k=0}^{n-1} (z_{k+1}-z_k)\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{$=0$, weil $[z_k,z_{k+1}]$}\\
\opnormal{rationale Zahlen enth\"alt}\end{array}}}{\underbrace{\inf f([z_k,z_{k+1}])}}\hspace{-0.3cm}&=&\sum\limits_{k=0}^{n-1} (z_{k+1}-z_k)\cdot 0&=& 0\\[2mm]
 O(Z,f)&=&\sum\limits_{k=0}^{n-1} (z_{k+1}-z_k)\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{$=2$, weil $[z_k,z_{k+1}]$}\\
 \opnormal{irrationale Zahlen enth\"alt}\end{array}}}{\underbrace{\sup f([z_k,z_{k+1}])}}\hspace{-0.3cm}&=&\sum\limits_{k=0}^{n-1} (z_{k+1}-z_k)\cdot 2&=& 3\cdot 2.\end{array} \]
 Die Funktion $f$ ist also nicht Riemann-integrierbar.
\end{beispiel}

Folgender Satz folgt leicht aus Lemma~13.1 und Satz~13.2 aus der Analysis~I Vorlesung.

\begin{satz}\label{satz:riemannkrit}
Eine beschr\"ankte Funktion $f\colon  [a,b]\to \R$ ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn es eine aufsteigende Folge von Zerlegungen $Z_1\subset Z_2\subset \dots $ von $[a,b]$ gibt, so dass 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{5cm} \underset{n\to \infty}{\lim} U(Z_n,f)&=&\underset{n\to \infty}{\lim} O(Z_n,f).
\intertext{Zudem, wenn es eine solche Folge von Zerlegungen gibt, dann gilt}
 \bint\limits_a^b f(x)dx&=&\underset{n\to \infty}{\lim} O(Z_n,f).\end{array}
 \end{align*}
\end{satz}


\begin{definition}
Wir sagen eine Funktion $f\colon [a,b]\to \R$ ist eine \emph{Treppenfunktion}, wenn es eine Zerlegung $Z=\{z_0,z_1,\dots,z_n\}$ von $[a,b]$ gibt, so dass
$f$ auf allen offenen Intervallen $(z_i,z_{i+1})$ konstant ist.
\footnote{Die  Treppenfunktion kann  auf den Punkten $z_0,\dots,z_n$ beliebige Werte annehmen.}
\end{definition}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{treppenfunktion.pstex_t}
\caption{Graph einer Treppenfunktion.}
\label{fig:treppenfunktion}
\end{center}
\end{figure}

\begin{lemma}\label{lem:treppenfunktion-stufenfunktion}
Jede  Treppenfunktion ist eine Stufenfunktion, aber nicht jede Stufenfunktion ist eine Treppenfunktion.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei zuerst  $f\colon [a,b]\to \R$ eine Treppenfunktion, d.h.\ es gibt  eine Zerlegung $Z=\{z_0,z_1,\dots,z_n\}$ von $[a,b]$, so dass
$f$ auf allen offenen Intervallen $(z_i,z_{i+1})$ konstant ist.
Die  Treppenfunktion $f$ ist also eine Linearkombination von charakteristischen Funktionen \"uber den offenen Intervallen $(z_i,z_{i+1})$ und den Punkten $z_0,\dots,z_n$. Insbesondere ist die Treppenfunktion $f$ eine Stufenfunktion.

Andererseits ist nicht jede Stufenfunktion eine Treppenfunktion. Beispielsweise ist f\"ur $A=\Q\cap [0,1]$ die charakteristische Funktion $\chi_A$ eine Stufenfunktion, aber keine Treppenfunktion.
\end{proof}

Der folgende Satz gibt nun eine weitere Folgerung aus der  Riemann-Integrierbarkeit. 

\begin{satz}\label{satz:riemannkrit-treppenfunktionen}
F\"ur jede Riemann-integrierbare Funktion $f\colon  [a,b]\to \R$ gibt es eine aufsteigende Folge $\varphi_n$ von Treppenfunktionen  und eine absteigende Folge $\psi_n$ von Treppenfunktionen, so dass $\varphi_n\leq f\leq \psi_n$ f\"ur alle $n$, und so dass 
\[ 
 \underset{n\to \infty}{\lim} \bbint\limits_{a}^b \varphi_n(x)\,dx\,\,=\,\,
  \bbint\limits_a^b f(x)dx\,\,=\,\,\underset{n\to \infty}{\lim} \bbint\limits_{a}^b \psi_n(x)\,dx.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Es sei also  $f\colon  [a,b]\to \R$ eine beschr\"ankte Funktion.
F\"ur eine beliebige Zerlegung $Z=\{z_0,z_1,\dots,z_n\}$ von $[a,b]$ definieren wir
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{3cm} \varphi(Z)\colon [a,b]&\to & \R \\
x&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} f(x), &\mbox{ wenn }x\in Z,\\
\inf\{f([z_k,z_{k+1}])\},&\mbox{ wenn }x\in (z_k,z_{k+1})\end{array}\right.
\intertext{ und } \psi(Z)\colon [a,b]&\to & \R \\
x&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} f(x), &\mbox{ wenn }x\in Z,\\
\sup\{f([z_k,z_{k+1}])\},&\mbox{ wenn }x\in (z_k,z_{k+1}).\end{array}\right.\end{array}\end{align*}
Man kann  folgende Aussagen leicht verifizieren:
\begin{enumerate}
\item[(a)] $\varphi(Z)$ und $\psi(Z)$ sind Treppenfunktionen,
\item[(b)] es ist $\varphi(Z)\leq f\leq \psi(Z)$,
\item[(c)] f\"ur Zerlegungen $Z\subset Z'$  gilt $\varphi(Z)\leq \varphi(Z')$ und $\psi(Z')\leq \psi(Z)$,
\item[(d)] es ist 
\[ \bint\limits_a^b \varphi(Z)(x)\,dx \,\,=\,\,U(Z,f)\mbox{ und }
\bint\limits_a^b \psi(Z)(x)\,dx \,\,=\,\,O(Z,f).\]
\end{enumerate}


Nach Satz~\ref{satz:riemannkrit} existiert  eine aufsteigende Folge von Zerlegungen $Z_1\subset Z_2\subset \dots$ von $[a,b]$, so dass 
\[ \underset{n\to \infty}{\lim} U(Z_n,f)\,\,=\,\,\bint\limits_a^b f(x)dx\,\,=\,\,\underset{n\to \infty}{\lim} O(Z_n,f).\]
Nach (a) und (c) ist $\varphi_n:=\varphi(Z_n)$  eine aufsteigende Folge von Treppenfunktion und zudem ist $\psi_n:=\psi(Z_n)$  eine absteigende Folge  von Treppenfunktionen. Au\ss erdem besagt (b), dass  $\varphi_n\leq f\leq \psi_n$.
Zudem folgt aus der Wahl der Zerlegungen $Z_n$ und aus (d), dass
\[ \underset{n\to \infty}{\lim} \bint\limits_{a}^b \varphi_n(x)\,dx\,\,=\,\,\bint\limits_a^b f(x)dx\,\,=\,\,\underset{n\to \infty}{\lim} \bint\limits_{a}^b \psi_n(x)\,dx.\]
\end{proof}


%======================================================
\subsection{Der Zusammenhang zwischen dem Riemann-Integral und dem Lebesgue-Integral}



F\"ur Funktionen $f\colon [a,b]\to \R$ auf einem kompakten Intervall haben wir nun zwei Integralbegriffe:
\begin{enumerate}
\item In Analysis~I hatten wir den Begriff Riemann-integrierbar eingef\"uhrt, und im Falle der Riemann-Integrierbarkeit, dass Riemann-Integral
\[ \bbint\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\]
definiert.
\item Wir haben im vorherigen Kapitel den  Begriff Lebesgue-integrierbar eingef\"uhrt, und im Falle der Lebesgue-Integrierbarkeit, dass Lebesgue-Integral
\[ \bbint\limits_{[a,b]}^{} f\,dv\]
definiert.
\end{enumerate} 
Wie schon mehrmals erw\"ahnt sind diese beiden Integralbegriffe  im Allgemeinen verschieden.
Betrachten wir beispielsweise die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon [0,1]&\to & \R \\
x&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} 1,&\mbox{ wenn }x\in \Q\cap [0,1],\\
0,&\mbox{ ansonsten.}\end{array} \right.\end{array}\]
Wir hatten gerade gesehen, dass $f$ nicht Riemann-integrierbar ist.
Andererseits hatten wir auf Seite~\pageref{bsp:nicht-riemann-integrierbar} gezeigt, dass $f$ Lebesgue-integrierbar ist mit Lebesgue-Integral $0$.

Der folgende Satz besagt nun, dass  jede Riemann-integrierbare Funktion
$f\colon  [a,b]\to \R$ Lebesgue-integrierbar ist. Der Begriff vom Lebesgue-Integral beinhaltet also das Riemann-Integral, erweitert den Integralbegriff jedoch auf weitere Funktionen auf $\R$ und auch auf den mehrdimensionalen Fall.

\begin{satz}\label{satz:riemann-integrierbar-ist-lebesgue-integrierbar}
Jede Riemann-integrierbare Funktion
$f\colon  [a,b]\to \R$ ist auch Lebesgue-integrierbar und es gilt
\[ \underset{\opnormal{Riemann-Integral}}{\underbrace{ \bbint\limits_{a}^b f(x)\,dx}}\,\,=\,\,
\underset{\opnormal{Lebesgue-Integral}}{\underbrace{ \bbint\limits_{[a,b]} f\,dv.}}\]
\end{satz}

\begin{proof}
Es sei also $f\colon  [a,b]\to \R$ eine Riemann-integrierbare Funktion.
Nach Satz~\ref{satz:riemannkrit-treppenfunktionen} gibt es eine aufsteigende Folge $\varphi_n$ von Treppenfunktionen  und eine absteigende Folge $\psi_n$ von Treppenfunktionen, so dass $\varphi_n\leq f\leq \psi_n$ f\"ur alle $n$, und so dass 
\begin{align*}
\begin{array}{rcccl}
\hspace{3cm}
\underset{n\to \infty}{\lim} \bbint\limits_{a}^b \varphi_n\,dx&=& \bbint\limits_a^b f(x)dx&=&\underset{n\to \infty}{\lim} \bbint\limits_{a}^b \psi_n\,dx.
\intertext{Man kann leicht zeigen, dass  f\"ur eine Treppenfunktion  das Riemann-Integral mit dem Lebesgue-Integral \"ubereinstimmt. Es folgt also, dass}
\underset{n\to \infty}{\lim} \bbint\limits_{[a,b]} \varphi_n\,dv&=& \bbint\limits_a^b f(x)dx&=&\underset{n\to \infty}{\lim} \bbint\limits_{[a,b]} \psi_n\,dv.\end{array}
 \end{align*}
Wir setzen $\varphi=\underset{n\to\infty}{\lim}\varphi_n$ und 
$\psi=\underset{n\to\infty}{\lim}\psi_n$.
Nach dem Satz~\ref{satz:levi} von der monotonen Konvergenz von Levi sind $\varphi$ und $\psi$  Lebesgue-integrierbar mit 
\[ \bbint \varphi\,dv\,\,=\,\,\underset{n\to \infty}{\lim} \bbint\limits_{[a,b]} \varphi_n\,dv
\quad \mbox{ und } \quad \bbint \psi\,dv\,\,=\,\,\underset{n\to \infty}{\lim} \bbint\limits_{[a,b]} \psi_n\,dv.\]

\begin{behauptung}
Die Funktionen $\varphi$ und $f$ stimmen fast \"uberall \"uberein.\footnote{Im Allgemeinen m\"ussen $\varphi$, $\psi$ und $f$ nicht \"uberall \"ubereinstimmen. Wir betrachten z.B.\ die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon [-1,1]&\to & \R \\
x&\mapsto &\left\{ \begin{array}{ll} 0, &\mbox{ wenn } x\ne 0,\\
1,&\mbox{ wenn }x=0.\end{array}\right.\end{array}\]
und die Folge von Zerlegungen $Z_n=\{-1,-\frac{1}{n},\frac{1}{n},1\}$.
In der Notation  vom Beweis von Satz~\ref{satz:riemannkrit-treppenfunktionen} setzen wir $\varphi_n=\varphi(Z_n)$ und $\psi_n=\psi(Z_n)$. Dann sieht man leicht, dass $\varphi_n(0)=0$ f\"ur alle $n$, aber $\psi_n(0)=1$ f\"ur alle $n$.
Dar\"uber hinaus ist $\varphi$ die Nullfunktion, aber $\psi=f$ ist nicht die Nullfunktion. D.h.\ $\varphi$ und $\psi=f$ stimmen nur au\ss erhalb der Nullmenge $\{0\}$ \"uberein.}
\end{behauptung}

Aus $\varphi\leq f\leq \psi$ folgt $\psi-\varphi\geq 0$. Aus
\[ \bint\limits_{[a,b]} \psi-\varphi \,dv\,\,=\,\,0\]
zusammen mit  Satz~\ref{satz:fast-ueberall-null} folgt, dass $\varphi$ und $\psi$ fast \"uberall einstimmen.
Dann stimmen auch\footnote{Warum folgt das?} $f$ und $\varphi$ fast \"uberall \"uberein. Wir haben damit die Behauptung bewiesen.

Es folgt nun aus der Behauptung und aus Satz~\ref{satz:fast-ueberall-gleich}, dass  auch $f$ Lebesgue-integrierbar ist mit 
\[  \bint\limits_{[a,b]} f\,dv\,\,=\,\, \bint\limits_{[a,b]} \varphi\,dv\,\,=\,\,
 \bint\limits_{a}^b f(x)\,dx.\vspace{-0.65cm}\]
 \end{proof}


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\subsection{Der Satz von der majorisierten Konvergenz}
Wir m\"ochten als n\"achstes Satz~\ref{satz:riemann-integrierbar-ist-lebesgue-integrierbar} zu uneigentlichen Integralen erweitern. Beispielsweise m\"ochten wir zeigen, dass f\"ur eine 
nichtnegative Riemann-integrierbare Funktion
$f\colon  \R\to \R$  gilt, dass
\[ \underset{\opnormal{Riemann-Integral}}{\underbrace{ \bint\limits_{-\infty}^\infty f(x)\,dx}}\,\,=\,\,
\underset{\opnormal{Lebesgue-Integral}}{\underbrace{ \bint\limits_{\R} f\,dv.}}\]

Um diese Aussage zu beweisen ben\"otigen wir folgenden Satz.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Satz von der majorisierten Konvergenz von Lebesgue)}}
\label{satz:lebesgue-konvergenz}
Es sei im Folgenden $f_k\colon \R^n\to \R$, $k\geq 1$ eine Folge von Lebesgue-integrierbaren Funktionen, welche punktweise fast \"uberall gegen eine  Funktion $f\colon \R^n\to \R$ konvergiert.

Wenn es eine Lebesgue-integrierbare Funktion $F\colon \R^n\to \overline{\R}_+$ gibt, so dass $|f_k|\leq F$ f\"ur alle $k\geq 1$, dann ist $f$ Lebesgue-integrierbar und es gilt
\[ \bint f\,dv\,\,=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim} \bint f_k\,dv.
\]
\end{satz}

\begin{proof}
Wir betrachten zuerst den Fall, dass $f_k$ \"uberall punktweise gegen $f$ konvergiert.
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Die Idee ist durch geschickt gew\"ahlte Hilfsfolgen den Satz auf den
 Satz~\ref{satz:levi} von der monotonen Konvergenz zur\"uckzuf\"uhren. Insbesondere m\"ussen wir aus der Folge $f_k$, welche nicht notwendigerweise monoton ist, Funktionenfolgen ``basteln'', welche monoton sind.}
\end{enumerate}
\begin{behauptung}
F\"ur $k\in \N$  setzen wir
\[ g_k\,\,:=\,\,\sup\{f_i\,|\, i\geq k\}.\]
Dann gilt
\begin{enumerate}
\item es ist $g_k\downarrow f$,
\item jede Funktion $g_k$ ist Lebesgue-integrierbar, 
\item es gilt
\[ \opnormal{(a)}\hspace{3cm} \bint f\,dv\,\,=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim} \bint g_k\,dv.\hspace{4cm}
\]
\end{enumerate}
\end{behauptung}

Wir beweisen nun die Behauptung. Es ist leicht zu sehen, dass $g_k\downarrow f$.
\footnote{Es sei $x\in \R^n$. Es ist offensichtlich, dass $g_k(x),k\in \N$ monoton fallend ist. Zudem gilt \[\underset{k\to\infty}{\lim} g_k(x)\,\, =\,\,\limsup f_k(x)\,\,=\,\,f(x).\]} Wir wollen nun mithilfe vom Satz~\ref{satz:levi} von der monotonen Konvergenz zeigen, dass $g_k$ Lebesgue-integrierbar ist. 
F\"ur $j\geq k$ setzen wir dazu
\begin{align*}
\begin{array}{rl}\hspace{5cm} g_{kj}&:=\,\,\max\{ f_i\,|\, i=k,\dots,j\}, \mbox{ wobei }j\geq k.
\intertext{Dies ist eine monoton steigende Funktionenfolge von Lebesgue-integrierbaren Funktionen\footnotemark{}mit $g_{kj}\uparrow g_k$. Zudem gilt f\"ur alle $j\geq k$, dass }
\bint g_{kj}\,dv&\leq\,\, \bint F\,dv\,\,=:\,\,M.\\
&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mbox{folgt aus $g_{kj}\leq \max\{|f_k|,\dots,|f_j|\}\leq F$}
\end{array}
\end{align*}
Also\footnotetext{Hierbei verwenden wir, dass f\"ur Lebesgue-integrierbare Funktionen $f,g$ auch die Funktion $\max\{f,g\}$ Lebesgue-integrierbar ist. Dies wiederum folgt leicht aus Lemma~\ref{lem:messbare-funktionen-eigenschaften} und Lemma~\ref{lem:absolutbetrag-lebesgue-integral}.} ist nach dem  Satz~\ref{satz:levi} von der monotonen Konvergenz
die Funktion $g_k$ Lebesgue-integrierbar. 
 Nachdem $g_k\downarrow f$ und nachdem
\[ \bint g_k\,dv\,\,\geq \,\, \bint -F\,dv\,\,=\,\,-M\]
kann man wiederum  den Satz~\ref{satz:levi} von der monotonen Konvergenz anwenden und wir erhalten die dritte Aussage.
Wir haben damit die Behauptung bewiesen.

Ganz analog  setzen wir nun
\begin{align*}
\begin{array}{rrcl}
& h_k&:=&\inf\{f_i\,|\, i\geq k\}.
\intertext{Wie oben zeigt man nun, dass  die Funktionen $h_k$ Lebesgue-integrierbar sind, und dass }
\hspace{2cm}\opnormal{(b)}&\hspace{2.5cm}\bbint f\,dv&=&\underset{k\to\infty}{\lim} \bbint h_k\,dv.
\intertext{Da f\"ur alle $k$ gilt, dass  $h_k\leq f_k\leq g_k$  folgt nun aus (a) und (b), dass }
&\bbint f\,dv\,\,=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim} \bbint g_k\,dv&\leq&\underset{k\to\infty}{\lim} \bbint f_k\,dv\,\,\leq\,\,\underset{k\to\infty}{\lim} \bbint h_k\,dv
\,\,=\,\,\bbint f\,dv.
\end{array}\end{align*}
Wir haben also  die gew\"unschte Gleichheit gezeigt. 
Wir haben damit den Satz bewiesen, in dem Spezialfall, dass die Folge $\{f_k\}_{k\geq 1}$ \"uberall punktweise gegen $f$ konvergiert.

Wir betrachten nun noch den allgemeinen Fall. Nach Voraussetzung gibt es eine Nullmenge $N$, so dass 
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} \hspace{4.3cm} f(x)&=&\underset{k\to\infty}{\lim} f_k(x)&\mbox{f\"ur alle $x\in \R^n\setminus N$.}
\intertext{Dann gilt}
 \chi_{\R^n\setminus N}\cdot f(x)&=&\underset{k\to\infty}{\lim} \chi_{\R^n\setminus N} \cdot f_k(x)&\mbox{f\"ur alle $x\in \R^n$.}\end{array}
\end{align*}
Wir k\"onnen nun also den vorherigen Spezialfall auf die Folge $\{g_k\}_{k\geq \N}$ anwenden. Nachdem die Funktionen $f_k$ und $g_k$ sowie $f$ und  $g$ fast \"uberall gleich sind, folgt die Aussage dann aus Satz~\ref{satz:fast-ueberall-gleich}.
\end{proof}


Im n\"achsten Kapitel werden wir das Lebesgue-Integral mit dem uneigentlichen Riemann-Integral vergleichen. Hierbei werden wir ein wichtiges Korollar zum Satz von der majorisierten Konvergenz verwenden. Um dieses Korollar zu formulieren ben\"otigen wir noch eine Definition.

\begin{definition}
Eine \emph{messbare Aussch\"opfung} von $\R^n$ ist eine aufsteigende Folge von messbaren Teilmengen $\{A_m\}_{m\geq 1}$ von $\R^n$ mit $A_m\uparrow \R^n$.
\end{definition}

\begin{beispiel}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die Intervalle $(-m,m)$ mit $m\geq 1$ bilden eine messbare Aussch\"opfung von $\R$.
\item Allgemeiner bilden die offenen Kugeln $B_m(0)$ mit $m\geq 1$ 
eine messbare Aussch\"opfung von $\R^n$.
\end{enumerate}
\end{beispiel}

Wir k\"onnen nun den Aussch\"opfungssatz formulieren.

\begin{satz}\textbf{\emph{(Aussch\"opfungssatz)}}\label{satz:ausschoepfung}
Es sei $\{A_m\}_{m\geq 1}$ eine messbare Aussch\"opfung von $\R^n$ und es sei $f\colon \R^n\to \R$ eine messbare Funktion, welche \"uber jedes $A_m$ Lebesgue-integrierbar ist. 
Wenn 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.5cm}\underset{m\to\infty}{\lim} \bbint\limits_{A_m} |f|\,dv&< &\infty
\intertext{dann ist auch $f$ auf $\R^n$ Lebesgue-integrierbar  und es gilt}
\bbint f\,dv&=&\underset{m\to\infty}{\lim} \bbint\limits_{A_m} f\,dv.
\end{array}
\end{align*}
\end{satz}


\begin{proof}
Wir setzen
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{6.2cm} f_m &:=&\chi_{A_m}\cdot f.
\intertext{Dann gilt}
\underset{m\to\infty}{\lim} f_m(x)&=&f(x)\quad \mbox{ f\"ur alle $x\in \R^n$}.
\end{array}
\end{align*}
Der Aussch\"opfungssatz folgt nun aus den Definitionen, dem   Satz~\ref{satz:lebesgue-konvergenz} von der majorisierten Konvergenz  und der folgenden Behauptung.

\begin{behauptung}
Wir setzen $F:=|f|$. Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item $|f_m|\leq F$ f\"ur alle $m$,
\item $F$ ist Lebesgue-integrierbar, d.h.\ $\int |F|\,dv<\infty$.
\end{enumerate}
\end{behauptung}

Die erste Aussage ist offensichtlich. Wir wenden uns der zweiten Aussage zu.
 Offensichtlich gilt $|f_m|\uparrow F$. Da die Folge der Integrale
\[ \bbint |f_m|\,dv\,\,=\,\,\bbint\limits_{A_m} |f_m| \,dv \hspace{1.3cm}\]
nach Voraussetzung beschr\"ankt ist folgt aus dem Satz~\ref{satz:levi} von der monotonen Konvergenz, dass $F$ Lebesgue-integrierbar ist. 
Wir haben damit die Behauptung bewiesen.
\end{proof}


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\subsection{Das uneigentliche Riemann-Integral}
Wir erinnern zuerst an das uneigentliche Riemann-Integral, welches wir in Analysis~I eingef\"uhrt hatten.
Es sei $f\colon  [a,b)\to \R$ eine Funktion, wobei $a\in \R$ und $b\in \R\cup \{\infty\}$,
so dass f\"ur jedes $a\leq d< b$ das Riemann-Integral $\int_a^d f(x)dx$ existiert.
Das \emph{uneigentliche Integral von $f$ auf $[a,b)$} ist definiert als\footnote{Es gibt also drei M\"oglichkeiten: entweder konvergiert das uneigentliche Integral gegen eine reelle Zahl, oder es divergiert bestimmt gegen $\pm \infty$, oder es existiert nicht.}
\[ \bbint\limits_a^bf(x)\,dx\,\,:=\,\,\underset{d\nearrow b}{\lim} \bbint\limits_a^d f(x)\,dx.\]
Ganz analog definiert man das uneigentliche Integral auf einem halboffenen Intervall $(a,b]$.

Es sei $f\colon  (a,b)\to \R$ eine Funktion, wobei $a\in \R\cup \{-\infty\}$ und $b\in \R\cup \{\infty\}$,
so dass f\"ur ein $c\in (a,b)$ die uneigentlichen Integrale
$\int_a^c f(x)dx$  und $\int_c^b f(x)dx$
existieren oder bestimmt gegen $\pm \infty$ divergieren. Dann definieren wir
\[\bbint\limits_a^b f(x)\,dx\,\,:= \,\,\bbint\limits_b^c f(x)\,dx+ \bbint\limits_c^b f(x)\,dx,\]
\emph{wenn} die rechte Seite definiert ist. Wir nennen dann $\int_a^bf(x)dx$ das \emph{uneigentliche Integral von $f$ auf $(a,b)$}.

\begin{satz}\label{satz:uneigentliches-integral}
Es sei $f\colon  [a,b)\to \R$ eine Funktion, wobei $a\in \R$ und $b\in \R\cup \{\infty\}$.
Wenn das uneigentliche Riemann-Integral
\[ \bbint\limits_{a}^b|f|\,dx \]
existiert, dann ist $f$ auf $[a,b)$ Lebesgue-integrierbar und es gilt 
\[  \underset{\scriptsize{\opnormal{Lebesgue-Integral}}}{\underbrace{\bbint\limits_{[a,b)}f\,dv}} \,\,=\,\, \underset{\scriptsize{\begin{array}{c}\opnormal{uneigentliches}\\\opnormal{Riemann-Integral}\end{array}}}{\underbrace{\bbint\limits\limits_{a}^bf\,dx.}}\]
Es gelten die offensichtlichen analogen Aussagen f\"ur Funktionen auf $(a,b]$ und $(a,b)$. 
\end{satz}

\begin{proof}
Der Satz folgt sofort aus Satz~\ref{satz:riemann-integrierbar-ist-lebesgue-integrierbar} und dem Aussch\"opfungssatz~\ref{satz:ausschoepfung} angewandt auf die Aussch\"opfung
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}
\hspace{4.7cm} X_m&=&\big[a,b-\tmfrac{1}{m}\big],\quad&\mbox{ wenn }b\in \R,
\intertext{beziehungsweise auf die Aussch\"opfung}
X_m&=&[a,m],\quad&\mbox{ wenn }b=\infty.\vspace{-0.65cm}
\end{array}
\end{align*}
\end{proof}

\begin{bemerkung}
Satz~\ref{satz:uneigentliches-integral} gilt nur unter der Voraussetzung, dass
das uneigentliche Integral \"uber den Absolutbetrag von $f$ existiert, d.h.\ wenn
\[ \bbint\limits_{a}^b|f|\,dx \]
existiert. Auf Seite~59 von Forster: Analysis~III wird gezeigt, dass das uneigentliche Riemann-Integral 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{6.3cm}\bbint\limits_{0}^\infty \tmfrac{\sin(x)}{x}\,dx&< &\infty
\intertext{existiert. Andererseits divergiert das uneigentliche Riemann-Integral \"uber den Absolutbetrag, d.h.\ es ist }
\bbint\limits_{0}^\infty \big|\tmfrac{\sin(x)}{x}\big|\,dx&= &\infty.
\end{array}\end{align*}
Die Voraussetzung von Satz~\ref{satz:uneigentliches-integral} ist also \emph{nicht} erf\"ullt. Und in der Tat existiert das Lebesgue-Integral von $f$ \"uber $(0,\infty)$ \emph{nicht}. Das folgt aus der Tatsache, dass  nach Satz~\ref{satz:eigenschaften-lebesgue-integral} (3) der Absolutbetrag einer Lebesgue-integrierbaren Funktionen wiederum Lebesgue-Integrierbar ist. Aber dies ist bei dieser Funktion nicht der Fall. Die Details zu diesem Argument kann man auf Seite~59 von Forster: Analysis~III nachlesen.
\end{bemerkung}

% Ende 26. Vorlesung (modulo Beweis von Satz 9.6
\newpage
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\section{Das Cavalierische Prinzip und der Satz von Fubini}

Wir haben jetzt also gesehen, dass f\"ur viele Funktionen auf $\R$, z.B.\ f\"ur alle stetigen Funktionen auf einem kompakten Intervall, dass Lebesgue-Integral mit dem Riemann-Integral \"ubereinstimmt. Dies erlaubt es uns insbesondere die Rechenmethoden aus der Analysis~I anzuwenden, um viele Lebesgue-Integrale im eindimensionalen Fall zu bestimmen. In diesem Kapitel wollen wir nun viele Lebesgue-Integrale im Mehrdimensionalen mithilfe von mehreren Riemann-Integralen in einer Variable  bestimmen.

In diesem Kapitel werden wir \"ofters eine ``suggestive Notation'' f\"ur Lebesgue-Integrale verwenden. Genauer gesagt, f\"ur eine Funktion
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \hspace{6.8cm}g\colon \R^n&\to & \overline{\R}\\
z&\mapsto & g(z)
\intertext{schreiben wir des\"ofteren}
\bbint\limits_{\R^n}g(z)\,dz&:=&\bbint g\,dv.
\intertext{F\"ur eine Funktion} 
g\colon \R^m\times \R^k&\to & \overline{\R}\\
(x,y)&\mapsto & g(x,y)
\intertext{schreiben wir  manchmal}
\bbint\limits_{\R^{m+k}}g(x,y)\,dx\,dy&:=&\bbint g\,dv.\end{array}
\end{align*}


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\subsection{Das Cavalierische Prinzip}
Das Cavalierische Prinzip, welches eventuell aus der Schule bekannt ist, besagt insbesondere, dass wir das Volumen von 3-dimensionalen K\"orpern aus den Fl\"acheninhalten von 2-dimensionalen Schnittfl\"achen bestimmen k\"onnen.

Die allgemeinere Formulierung behandelt kompakte Teilmengen von $\R^n$.
Zur Erinnerung, der Satz von Heine-Borel besagt, dass eine Teilmenge $K$ von $\R^n$ kompakt ist, genau dann, wenn $K$  beschr\"ankt und abgeschlossen ist. Insbesondere ist jede kompakte Menge messbar mit endlichem Volumen. 

Der folgende Satz ist nun eine allgemeinere Version vom Cavalierischen Prinzip.


\begin{satz}\textbf{\emph{(Cavalierisches Prinzip)}}\label{satz:cavalierisches-prinzip}
Es sei $K\subset \R^n$ eine kompakte Teilmenge. F\"ur $t\in \R$ bezeichnen wir mit $K(t)$ die Menge
\[  K(t)\,\,:=\,\,\big\{ (x_1,\dots,x_{n-1})\in \R^{n-1}\,\big|\, (x_1,\dots,x_{n-1},t)\in K\big\}.\]
Dann gilt\footnote{Insbesondere machen wir hier implizit die Aussage, dass die Funktion $t\mapsto \operatorname{Vol}_{n-1}(K(t))$ Lebesgue-integrierbar ist.}
\[ \operatorname{Vol}_n(K)\,\,=\,\,\bbint\limits_{\R} \operatorname{Vol}_{n-1}(K(t))\,dt.\]
\end{satz}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{cavalierisches-prinzip.pstex_t}
\caption{Illustration vom Cavalierischen Prinzip.}
\label{fig:cavalierisches-prinzip}
\end{center}
\end{figure}

\begin{beispiel}
Es folgt insbesondere, dass wenn $K$ und $L$ zwei kompakte Mengen in $\R^3$ sind, so dass f\"ur alle $t$ die Mengen $K(t)$ und $L(t)$ den gleichen Fl\"acheninhalt besitzen, dann besitzen $K$ und $L$ das gleiche Volumen.
Beispielsweise folgt daraus, dass f\"ur alle kompakten Teilmengen $F\subset \R^2\times 0\subset \R^3$ und alle Punkte $Q\in \R^3$ das Volumen vom Kegel
\[ \{ tP+(1-t)Q\,|\, P\in F\mbox{ und }t\in [0,1]\}\]
nur von der $z$--Koordinate von $Q$ abh\"angt.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{cavalieri-kegel.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:cavalierisches-kegel}
\end{center}
\end{figure}

\end{beispiel}

Das Cavalierische Prinzip folgt aus Folgendem, etwas allgemeineren Satz.

\begin{satz}\label{satz:cavalieri-allgemein}\textbf{\emph{(Verallgemeinertes Cavalierisches Prinzip)}}
Es sei $A\subset \R^n=\R^k\times \R^m$ eine messbare Teilmenge.
\begin{enumerate}
\item F\"ur jedes $y\in \R^m$ ist Menge
\[ \hspace{0.3cm} A(y)\,\,:=\,\, \{x\in \R^k\,|\, (x,y)\in A\}\]
eine messbare Teilmenge von $\R^k$.
\item Die Funktion 
\[ \begin{array}{rcl} F_A\colon \R^m&\to & \overline{\R}_+\\
y&\mapsto & F_A(y):=\operatorname{Vol}_k(A(y))\end{array}\]
ist eine messbare Funktion auf $\R^m$.
\item Es ist 
\[ \hspace{-0.5cm}\operatorname{Vol}_{n}(A)\,\,=\,\,\bbint\limits_{\R^m}\underset{=F_A(y)}{\underbrace{ \operatorname{Vol}_k(A(y))}}\,dy.\]
\end{enumerate}
\end{satz}


\begin{proof}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Es ist elementar zu \"uberpr\"ufen, dass die Aussage f\"ur halboffene Quader gilt. Alle messbaren Mengen k\"onnen nun aus halboffenen Quadern durch verschiedene Operationen (Vereinigungen, Komplementbildung etc.) gebildet werden. Wir m\"ussen also nur zeigen, dass sich die Aussagen mit diesen Operationen vertragen.}
\end{enumerate}
F\"ur $X\subset \R^n$  betrachten wir
\[ \mathcal{M}(X)\,\,:=\,\, \{A\subset X \,|\, A\mbox{ ist messbar und die Aussagen (1), (2) und (3) gelten}\}.\]
Wir wollen zeigen, dass $\mathcal{M}(\R^n)=\langle \mathcal{Q}(\R^n)\rangle^\sigma$.
F\"ur  $s\in \N$ betrachten wir den Quader
\[ X_s\,\,:=\,\,[-s,s)^n.\]
Der Beweis besteht aus zwei Teilen.
\begin{enumerate}
\item[(i)] Es sei $s\in \N$. Wir beweisen die Aussage zuerst f\"ur
alle Teilmengen von $X_s$.
Wir wollen also zeigen, dass $\mathcal{M}(X_s)=\langle \mathcal{Q}(\R^n,s)\rangle^\sigma$.
Wir machen hierzu folgende Beobachtungen.
\begin{enumerate}
\item Jeder halboffene Quader $Q\subset X_s$ liegt in $\mathcal{M}(X_s)$.
In der Tat, denn wir k\"onnen schreiben $Q=P\times R$, wobei $P\subset \R^k$ und $R\subset \R^m$ halboffene Quader sind.  F\"ur jedes $y\in \R^m$ gilt
\[ Q(y)\,\,=\,\,\left\{\begin{array}{ll} P,&\mbox{ wenn }y\in R,\\ \emptyset,&\mbox{ wenn }y\not\in R.\end{array}\right.\]
Es folgt, dass $F_P=\operatorname{Vol}_k(P)\cdot \chi_R$, also ist $F_P$ messbar. Zudem gilt
\[\hspace{2.3cm}  \bbint\limits_{\R^m} F_P(y)\,dy\,=\,\operatorname{Vol}_k(P)\cdot 
\bbint\limits_{\R^m} \chi_R(y)\,dy\,=\,\operatorname{Vol}_k(P)\cdot\operatorname{Vol}_m(R)\,=\,\operatorname{Vol}_{n}(Q).\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{zerlegung-quader-pqr.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:zerlegung-quader-pqr}
\end{center}
\end{figure}
\item Wenn $A,B$ disjunkte Teilmengen von $X_s$ sind, welche in $\mathcal{M}(X_s)$ liegen, dann sieht man leicht, dass auch $A\sqcup B$ in $\mathcal{M}(X_s)$ liegt. Jedes $A\in \mathcal{Q}(\R^n,s)$ ist nach Lemma~\ref{lem:produkt-mengenringe-disjunkte-vereinigung} die disjunkte Vereinigung von endlich vielen halboffenen Quadern. Es folgt nun aus der obigen Bemerkung und aus (a),  dass auch $\mathcal{Q}(\R^n,s)\subset \mathcal{M}(X_s)$.
\item Es sei $A\subset X_s$. Wir schreiben $A^c:=X_s\setminus A$. Dann gilt 
\[ \hspace{1.5cm}\operatorname{Vol}_{n}(A^c)\,\,=\,\,\operatorname{Vol}_{n}(X_s)-\operatorname{Vol}_{n}(A)\,\,=\,\,(2s)^n-\operatorname{Vol}_n(A).\]
Also ist das Volumen von $A^c$ durch das Volumen von $A$ bestimmt. \footnote{Diese Aussage gilt nur, weil wir uns jetzt auf die Teilmenge $X_s$ von endlichem Volumen einschr\"anken.}
Man sieht nun leicht, dass  f\"ur $A\in \mathcal{M}(X_s)$ auch das Komplement $A^c$ in $\mathcal{M}(X_s)$ liegt.
\item Es sei nun $A_i, i\in \N$ eine aufsteigende Folge von Mengen in $\mathcal{M}(X_s)$. Wir wollen zeigen, dass $A:=\ttmcup{i\in \N}{}A_i$ auch in $\mathcal{M}(X_s)$ liegt. Wir \"uberpr\"ufen jetzt die drei Aussagen:
\begin{enumerate}
\item[(1)] F\"ur alle $y\in \R^m$ ist $A_{i}(y)\uparrow A(y)$, also ist $A(y)$ messbar nach Satz~\ref{satz:messbar}.
\item[(2)] F\"ur alle $y\in \R^m$ gilt nach Satz~\ref{satz:lebesgue}, dass
\[ \hspace{2cm}F_{A_i}(y):=\operatorname{Vol}_k(A_i(y)) \uparrow \operatorname{Vol}_k(A(y))=:F_A(y).\]
Es ist also $F_{A_i}\uparrow F_A$. Daher folgt aus Lemma~\ref{lem:aufsteigender-limes-messbar}, dass $F_A$ messbar ist.
\item[(3)] Es ist
\[ \hspace{2.7cm}\begin{array}{llll}\operatorname{Vol}_{n}(A)&=\,\,\underset{i\to\infty}{\lim} \operatorname{Vol}_{n}(A_i)
&=\,\,\underset{i\to\infty}{\lim}\bint\limits_{\R^n} F_{A_i}(y)\,dy&=\,\,\bint\limits_{\R^n} F_{A}(y)\,dy.\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{Satz~\ref{satz:lebesgue}}&\hspace{-0.5cm}\mbox{denn $A_i\in \mathcal{M}(X_s)$}&\hspace{-0.5cm}\mbox{nach Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen} (3)}
\end{array}
\]
Wir haben also gezeigt, dass $A$ in $\mathcal{M}(X_s)$ liegt.
\end{enumerate}
\item Es folgt nun aus (b), (c) und (d), dass $\mathcal{M}(X_s)$ eine $\sigma$-Algebra ist, welche $\mathcal{Q}(\R^n,s)$ enth\"alt.  
Aus der Definition von $\langle \mathcal{Q}(\R^{n},s)\rangle^\sigma$ erhalten wir nun die gew\"unschte Inklusion  $\langle \mathcal{Q}(\R^{n},s)\rangle^\sigma\subset \mathcal{M}(X_s)$.
\end{enumerate}
\item[(ii)] Es sei nun $A\in \langle\mathcal{Q}(\R^n)\rangle^\sigma$. Aus (i) folgt, dass f\"ur alle $s\in \N$ gilt, dass $A_s:=A\cap X_s$ in $\mathcal{M}(X_s)\subset \mathcal{M}(\R^n)$ liegt.\footnote{Hierbei verwenden wir implizit, dass $\langle\mathcal{Q}(\R^n)\rangle^\sigma\cap \mathcal{P}(X_s)=\langle \mathcal{Q}(\R^n,s)\rangle^\sigma$. Dies folgt leicht aus der expliziten Beschreibung der erzeugten $\sigma$-Algebra, welche auf Seite~\pageref{bem:beschreibung-von-erzeugte-sigma-algebra} gegeben ist. Alternativ kann man die Aussage auch mithilfe von dem Argument von Lemma~\ref{lem:einschraenkung-auf-u} beweisen.} Das Argument von (i) (d) zeigt nun, dass auch $A=\ttmcup{s\in \N}{}A_s$ in $\mathcal{M}(\R^n)$ liegt.\vspace{-0.6cm}
\end{enumerate}
\end{proof}

%======================================================
\subsection{Der Satz von Fubini und Beispiele}
Satz~\ref{satz:riemann-integrierbar-ist-lebesgue-integrierbar} und Satz~\ref{satz:uneigentliches-integral} besagen insbesondere, dass man bei `vern\"unftigen' Funktionen, beispielsweise stetige Funktionen auf kompakten Intervallen, dass Lebesgue-Integral mithilfe vom Riemann-Integral bestimmen kann. Dies ist nat\"urlich sehr hilfreich, nachdem wir schon in Analysis~I viele Rechenmethoden f\"ur das Riemann-Integral kennengelernt hatten.

Mithilfe vom folgenden Satz von Fubini kann man Lebesgue-Integrale im mehrdimensionalen mithilfe von mehreren Lebesgue-Integralen in kleineren Dimensionen bestimmen.



\begin{satz} \textbf{\emph{(Fubini)}}\label{satz:fubini}
Es sei
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
 \hspace{5.2cm} f\colon \R^k \times \R^m &\to & \overline{\R} \\
(x,y)&\mapsto & f(x,y) 
\intertext{eine Lebesgue-integrierbare Funktion. Dann gibt es eine Nullmenge $N\subset \R^m$, so dass f\"ur jedes $y\in \R^m \setminus N$ die Funktion}
 \R^k&\to & \overline{\R} \\
x&\mapsto & f(x,y) 
\intertext{Lebesgue-integrierbar ist, und es gilt\footnotemark}
 \bbint\limits_{\R^{k+m}} f(x,y)\,dx \,dy &=&\bbint\limits_{\R^m\setminus N}\hspace{-0.2cm} \underset{\opnormal{definiert f\"ur $y\in \R^m\setminus N$}}{\underbrace{\bbint\limits_{\R^k}\, f(x,y)\,\,dx}}\hspace{-0.2cm}\,dy.\end{array} \end{align*}
\end{satz}

\begin{bemerkung}
F\"ur eine kompakte Menge $K\subset \R^n$,  mit $m=n-1$ und $k=1$, sowie f\"ur die Funktion $f=\chi_K$, erhalten wir aus dem Satz von Fubini insbesondere das Cavalierische Prinzip. Zudem k\"onnen wir Satz~\ref{satz:cavalieri-allgemein} als Spezialfall vom Satz von Fubini auffassen.
\end{bemerkung}

In der Praxis will man oft $f$ gar nicht \"uber ganz $\R^k\times \R^m$ integrieren, sondern nur \"uber eine Teilmenge.
Es folgt nun leicht aus den Definitionen und dem Satz von Fubini, dass in diesem Fall folgender Satz gilt.

\begin{satz} \textbf{\emph{(Fubini)}}\label{satz:fubini-2}
Es sei $A\subset \R^k\times \R^m$ eine messbare Teilmenge und es sei 
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl}
 \hspace{5.6cm} f\colon A &\to & \overline{\R} \\
(x,y)&\mapsto & f(x,y) 
\intertext{eine Lebesgue-integrierbare Funktion. Wir schreiben}
Y&:=&\{y\in \R^k\,|\,\mbox{es gibt ein $x\in \R^m$ mit $(x,y)\in A$}\},
\intertext{und f\"ur alle $y\in Y$ setzen wir}
A(y)&:=&\{x\in \R^m\,|\, (x,y)\in A\}.
\intertext{Wenn\footnotemark f\"ur alle $y\in Y$ die Funktion $x\mapsto f(x,y)$ auf $A(y)$ Lebesgue-integrierbar ist, dann gilt}
 \bbint\limits_{A} f(x,y)\,dx \,dy &=&\bbint\limits_{Y} \,\bbint\limits_{A(y)}\, f(x,y)\,\,dx\,\,\,dy.\end{array} \end{align*}
\end{satz}
\footnotetext{Beispielsweise ist diese Voraussetzung nach Lemma~\ref{satz:stetig-lebesgue-integrierbar} erf\"ullt, wenn f\"ur alle $y\in Y$ die Menge $A(y)$ kompakt ist und wenn $f$ stetig ist.}



\begin{beispiel}
Es sei $A$ das Dreieck
\[ A\,\,=\,\,\{ (x,y)\in \R^2\,|\, x\in [0,2]\mbox{ und }y\in [0,x]\}.\]
Wir betrachten die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} f\colon A&\to & \R\\
 (x,y)&\mapsto & x^2+y^2\end{array}.\]
Es folgt aus Satz~\ref{satz:stetig-lebesgue-integrierbar}, dass $f$ Lebesgue-integrierbar ist. Wir m\"ochten nun das Lebesgue-Integral von $f$ mithilfe vom Satz von Fubini bestimmen. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{fubini-dreieck.pstex_t}
\caption{}\label{fig:fubini-dreieck}
\end{center}
\end{figure}
In diesem Fall ist
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{2cm} Y&=&\mbox{alle m\"oglichen $y$-Werte von Punkten in $A$}\,\,=\,\,[0,2].
\intertext{Zudem gilt f\"ur jedes $y\in [0,2]$, dass}
A(y)&=&\mbox{alle $x$-Werte von Punkten in $A$ mit $y$-Wert $y$}\,\,=\,\,[y,2].\end{array}
\end{align*}
Es folgt also, dass
\begin{align*}
 \begin{array}{rlll} 
 \hspace{1cm}\bbint\limits_{A} x^2+y^2\,dx\,dy&=\,\, \bbint\limits_{[0,2]}\,\,\bbint\limits_{[y,2]}x^2+y^2 \,dx\,\,\,dy
&=\,\, \bbint\limits_{y=0}^{y=2}\,\,\bbint\limits_{x=y}^{x=2} x^2+y^2 \,dx\,\,\,dy\,\,=\,\,(*)\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow \\
&\hspace{-0.3cm}\mbox{Satz von Fubini}&\hspace{-0.3cm}\mbox{Satz~\ref{satz:riemann-integrierbar-ist-lebesgue-integrierbar}}
\intertext{Der Rest der Rechnung besteht nun aus zwei Riemann-Integralen, welche wir mithilfe von Stammfunktionen leicht bestimmen k\"onnen:}
(*) &=\,\, \bbint\limits_{y=0}^{y=2}\,\,\underset{=\frac{8}{3}+2y^2-\frac{y^3}{3}-y^3}{\underbrace{\big[\tmfrac{x^3}{3}+xy^2\big]_{x=y}^{x=2}}}\,\,dy&=\,\,
\bbint\limits_{y=0}^{y=2}\tmfrac{8}{3}+2y^2-\tmfrac{y^3}{3}-y^3\,\,dy\,\,=\,\,\tmfrac{16}{3}.
\end{array}
\end{align*}
\end{beispiel}




\begin{beispiel}
In vielen Beispielen ist das schwierigste Problem, die korrekten Grenzen f\"ur das $x$-Integral und das $y$-Integral zu finden. Manchmal ist es einfacher f\"ur ein gegebenes $x$ die m\"oglichen $y$-Werte zu bestimmen, wir k\"onnen dann die Reihenfolge der $x$- und $y$-Integrale vertauschen. 
In Abbildung~\ref{fig:fubini-beispiele} zeigen wir, wie man f\"ur zwei Definitionsbereiche $A$ und $B$ das Lebesgue-Integral in zwei Riemann-Integrale zerlegen kann. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{fubini-beispiele.pstex_t}
\caption{Der Satz~\ref{satz:fubini-2} von Fubini angewandt auf stetige Funktionen $f\colon A\to \R$ und $f\colon B\to \R$.}\label{fig:fubini-beispiele}
\end{center}
\end{figure}

Das zweite Beispiel
\[  B(r)\,\,=\,\,\big\{ (x,y)\in \R^2\,\big|\, \sqrt{x^2+y^2}\leq r\big\}\]
beschreibt die abgeschlossene Scheibe um den Ursprung mit Radius $r$. 
Wir bestimmen nun die Fl\"ache f\"ur $r=1$. Es gilt
\[ 
\begin{array}{rl} \opnormal{Fl\"ache von $B(1)$}\,\,=\,\,\operatorname{Vol}_2(B(1))\,\,=\,\,\bbint \chi_{B}\,dv
\,\,=\,\,\bbint\limits_B 1\,dv
&=\,\,\bbint\limits_{x=-1}^{x=1} \bbint\limits_{y=-\sqrt{1-x^2}}^{y=\sqrt{1-x^2}}1\,dy\,dx\,\,=\,\,(*)\\[-0.4cm]
&\uparrow \\[-0.2cm]
&\hspace{0.046cm} |\\
&\hspace{-0.3cm}\mbox{Satz von Fubini und Satz~\ref{satz:riemann-integrierbar-ist-lebesgue-integrierbar}}\\
\end{array}
\]
Wir m\"ussen nun dieses zweifache Riemann-Integral bestimmen. Dies ist nun eine \"Ubungs\-aufgabe aus der Analysis~I. Der Vollst\"andigkeit halber wollen wir diese hier ausf\"uhren. Es ist
\[\begin{array}{rcll} (*)&=& \bbint\limits_{x=-1}^{x=1} 2\sqrt{1-x^2}\,dx
\,\,=\,\, 2\bbint\limits_{x=-1}^{x=1} (1-x^2)\smfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx
&=\,\,2\bbint\limits_{u=-\frac{\pi}{2}}^{u=\frac{\pi}{2}}1-\sin^2(u)\,du\\[-0.4cm]
&&&\uparrow\\
&&&\hspace{-2cm}\mbox{Substitution $u=\arcsin(x)$ mit $\frac{du}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$}\\
&=&2\bbint\limits_{u=-\frac{\pi}{2}}^{u=\frac{\pi}{2}}\cos^2(u)\,du\,\,=\,\,
2\Big[\tmfrac{1}{2}(u+\sin(u)\cos(u))\Big]_{u=-\frac{\pi}{2}}^{u=\frac{\pi}{2}}&=\,\,\pi.
\end{array}\]
Mit noch etwas mehr Aufwand kann man nun auch zeigen, dass 
\[  \opnormal{Fl\"ache von $B(r)$}\,\,=\,\,\operatorname{Vol}_2(B(r))\,\,=\,\,\pi\cdot r^2.\]
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Wir wollen nun noch das Volumen von dem Kegel
\[ K\,\,:=\,\,\big\{ (x,y,z)\,\big|\, \sqrt{x^2+y^2}=2-z\mbox{ und }z\geq 0\big\}\]
bestimmen. F\"ur jedes $z\in [0,2]$ ist der Schnitt von $K$ mit der um $z$ verschobenen $xy$-Ebene eine Scheibe von Radius $2-z$. Genauer gesagt, f\"ur gegebenes $z\in [0,2]$ ist
\[
\{(x,y)\in \R^2\,|\, (x,y,z)\in K\}\,\,=\,\, \{(x,y)\in \R^2\,|\,\sqrt{x^2+y^2}=2-z\}\,\,=\,\,B(2-z).\]
Es folgt, dass 
\[ 
\begin{array}{rl} \opnormal{Volumen von $K$}\,\,=\,\,\bbint\limits_K 1\,dv
&=\,\,\bbint\limits_{z=0}^{z=2} \hspace{-0.2cm}\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{$=\pi(2-z)^2$ nach vorherigem}\\\opnormal{Beispiel}\end{array}}}{\underbrace{\bbint\limits_{(x,y)\in B(2-z)}1\,dx\,dy}}\,\,dz\,\,=\,\,\bbint\limits_{z=0}^{z=2}\pi(2-z)^2\,dz\,\,=\,\,\tmfrac{8}{3}\pi^2.\\[-1.5cm]
&\uparrow \\[-0.1cm]
&\hspace{0.046cm}|\\
&\hspace{-2.0cm}\mbox{Satz von Fubini}\\
\end{array}
\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{fubini-kegel.pstex_t}
\caption{}\label{fig:fubini-kegel}
\end{center}
\end{figure}
Man kann den Satz von Fubini auch mehrmals anwenden, und ein $n$-dimensionales Lebesgue-Integral in $n$ ein-dimensionale Lebesgue-Integrale zerlegen.
Beispielsweise gilt f\"ur jede Lebes\-gue-integrierbare Funktion $f(x,y,z)$ auf dem Kegel $K$, dass
\[ 
\bbint\limits_K f\,dv\,\,=\,\,\bbint\limits_{z=0}^{z=2}\,\,
\bbint\limits_{x=-(2-z)}^{x=2-z} \,\,
\bbint\limits_{y=-\sqrt{(2-z)^2-x^2}}^{y=\sqrt{(2-z)^2-x^2}}
f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz.
\]
\end{beispiel}




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\subsection{Der Beweis vom Satz von Fubini}
Wir beweisen den Satz von Fubini zuerst f\"ur messbare, nichtnegative Funktionen.
Dieser Spezialfall  wird manchmal das Lemma von Tonelli genannt.

\begin{lemma}\textbf{\emph{(Lemma von Tonelli)}}\label{lem:tonelli}
Es sei
\[ \begin{array}{rcl} f\colon \R^k\times \R^m&\to &\overline{\R}_+\\
(x,y)&\mapsto& f(x,y)\end{array}\hspace{1.7cm}\]
eine messbare, nichtnegative Funktion. Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item F\"ur jedes $y\in \R^m$ ist die Funktion
\[ \begin{array}{rcl} \R^k&\to &\overline{\R}_+\\
x&\mapsto & f(x,y)\end{array}\]
messbar.
\item
Die Funktion 
\[ \hspace{1.0cm} \begin{array}{rcl} \R^m&\to &\overline{\R}_+\\
y&\mapsto&  \bbint\limits_{\R^k} f(x,y)\,dx\end{array}\]
ist ebenfalls messbar und es gilt
\[  \bbint\limits_{\R^{k+m}} f(x,y)\,dv\,\,=\,\,\bbint\limits_{\R^{m}}
\bbint\limits_{\R^k} f(x,y)\,dx\,dy.\]
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[(a)] F\"ur charakteristische Funktionen von messbaren Teilmengen $A\subset \R^{k+m}$ sind dies  gerade die Aussagen des verallgemeinerten Cavalierischen Prinzips, welches wir in Satz~\ref{satz:cavalieri-allgemein} bewiesen hatten.
\item[(b)] Eine nichtnegative Stufenfunktion ist eine endliche Linearkombination von charakteristischen Funktionen von messbaren Mengen. Es ist leicht zu sehen, dass wenn die Aussagen des Lemmas von Tonelli f\"ur Funktionen $f_1,\dots,f_n$ gelten, dann gelten die Aussagen auch f\"ur alle nichtnegativen Linearkombinationen von $f_1,\dots,f_n$. Insbesondere folgt aus (a), dass die Aussagen  f\"ur nichtnegative Stufenfunktion gelten.
\item[(c)] Es sei nun $f$ eine beliebige messbare, nichtnegative Funktion.
Nach Satz~\ref{satz:approximation-durch-stufenfunktionen} ist die Funktion $f$ der aufsteigende Limes einer Folge von  nichtnegativen Stufenfunktionen  $f_n$.
\begin{enumerate}
\item[(1)] Es sei nun $y\in \R^m$. Nach (b) sind die Funktionen $x\mapsto f_n(x,y)$, $n\in \N$ messbar. 
Nach Lemma~\ref{lem:aufsteigender-limes-messbar} ist dann auch die Funktion $x\mapsto f(x,y)$ messbar.
\item[(2)] F\"ur $y\in \R^m$  schreiben wir
\[ \hspace{1.8cm} F_n(y):= \bbint\limits_{\R^k} f_n(x,y)\,dx, n\in \N \quad \mbox{ und } \quad F(y):= \bbint\limits_{\R^k} f(x,y)\,dx.\]
Nachdem $f_n(x,y)\uparrow f(x,y)$ (aufgefasst als Funktion in $x$) folgt aus Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen} (3),
dass $F_n\uparrow F$. Nun folgt aus (b), und aus Lemma~\ref{lem:aufsteigender-limes-messbar}, dass $F$ messbar ist.
Zusammengefasst gilt
\[ \hspace{2.1cm}\begin{array}{llll} \bbint\limits_{\R^{k+m}}\hspace{-0.2cm} f(x,y)\,dx\,dy&=\,
\underset{n\to \infty}{\lim}\bbint\limits_{\R^{k+m}} \hspace{-0.2cm} f_n(x,y)\,dx\,dy
&=\,\underset{n\to \infty}{\lim}\bbint\limits_{\R^{m}}
F_n(y)\,dy&=\,\bbint\limits_{\R^m}F(y)\,dy.\\[-0.2cm]
&\uparrow &\uparrow &\uparrow \\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen} (3)}&\hspace{-0.5cm} \mbox{Fall (b)}
&\hspace{-0.5cm}\mbox{Satz~\ref{satz:eigenschaften-integral-messbare-funktionen} (3)}\end{array}
\]
Wir haben also die gew\"unschte Aussage bewiesen.\vspace{-0.6cm}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}


Wir beweisen nun den allgemeinen Fall vom Satz von Fubini.
% Ende 27. Vorlesung


\begin{proof}[Beweis vom Satz von Fubini]
Es sei also
\[
 \begin{array}{rcl} f\colon \R^k \times \R^m &\to & \overline{\R} \\
(x,y)&\mapsto & f(x,y)\end{array}\]
eine Lebesgue-integrierbare Funktion. Wie \"ublich schreiben 
wir 
\[ f_+\,\,:=\,\,\max(f,0) \quad \mbox{ und }\quad  f_-\,\,:=\,\,-\min(f,0).\]
Dann gilt
\[ \begin{array}{ll}
 \bint\limits_{\R^{k+m}} f(x,y)\,dx \,dy &=\,\,
  \bint\limits_{\R^{k+m}} f_+(x,y)\,dx \,dy \,\,-\,\,
 \bint\limits_{\R^{k+m}} f_-(x,y)\,dx \,dy \\
 &=\,\,\bint\limits_{\R^m} \underset{=: F_+(y)}{\underbrace{\bint\limits_{\R^k} f_+(x,y)\,dx}}\,dy-\bint\limits_{\R^m} \underset{=: F_-(y)}{\underbrace{\bint\limits_{\R^k} f_-(x,y)\,dx}}\,dy\,\,=\,\,(*)\\[-0.9cm]
  &\uparrow\\[-0.1cm]
  &\hspace{0.047cm}|\\
 &\hspace{-2.5cm}\footnotesize{\mbox{Lemma von Tonelli}}
 \end{array}
\] 
Wir k\"onnen jetzt nicht einfach die Integrale zusammenfassen, weil im Allgemeinen die Differenz $F_+(y)-F_-(y)$ nicht definiert\footnote{Denn es k\"onnte sein, dass sowohl $F_+(y)$ als auch $F_-(y)$ den Wert $\infty$ annehmen.} ist.
Nachdem die Integrale \"uber $F_+$ und $F_-$  jeweils endlich sind,  folgt aus Satz~\ref{satz:fast-ueberall-endlich}, dass es  Nullmengen $N_\pm\subset \R^m$ gibt, so dass $F_\pm(y)<\infty$ f\"ur alle $y\in \R^m\setminus N_\pm$. Wir setzen nun $N:=N_-\cup N_+$. Dann gilt
\[ 
\begin{array}{rll}
(*)&=\,\,  
 \bint\limits_{\R^m\setminus N} F_+(y)\,dy-\bint\limits_{\R^m\setminus N} F_-(y)\,dy&=\,\,\bint\limits_{\R^m\setminus N} \underset{\opnormal{definiert f\"ur $y\in \R^m\setminus N$}}{\underbrace{F_+(y)- F_-(y)}}\,dy\\[-0.5cm]
 &\uparrow&\uparrow\\[0.1cm]
&\hspace{-0.5cm}\footnotesize{\mbox{da $N$ Nullmenge}}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:eigenschaften-lebesgue-integral} (1b)}\\[0.1cm]
&=\,\,\bint\limits_{\R^m\setminus N}\,
\bint\limits_{\R^k} f_+(x,y)\,dx-\bint\limits_{\R^k} f_-(x,y)\,dx\,dy
 &=\,\,\bint\limits_{\R^m\setminus N}\bint\limits_{\R^k}\, f(x,y)\,\,dx\,dy.\\[-0.3cm]
 &&\uparrow\\
 &&\hspace{-2cm}\footnotesize{\mbox{Definition vom Lebesgue-Integral von $x\mapsto f(x,y)$}}\end{array}\vspace{-0.7cm}\]
\end{proof}

\newpage
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\section{Die Transformationsformel}


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\subsection{Die Transformationsformel}
Eine Abbildung $\Phi\colon U\to V$ zwischen zwei offenen Teilmengen von $\R^n$ hei\ss t \emph{$\mathcal{C}^1$--invertierbar}, wenn $\Phi$ stetig differenzierbar ist, wenn $\Phi$ bijektiv ist, und wenn die Umkehrabbildung $\Phi^{-1}\colon V\to U$ ebenfalls  stetig differenzierbar ist.


Wir k\"onnen nun den folgenden Satz formulieren:


\begin{satz}\label{satz:transallg}\textbf{\emph{(Transformationsformel)}}
Es seien $U,V\subset \R^n$ offene Mengen und es sei $\Phi\colon U\to V$ eine
$C^1$--invertierbare Abbildung. Dann ist 
$f\colon V\to \R$ Lebesgue-integrierbar, genau dann, wenn 
\[ \begin{array}{rcl} U&\to & \R \\
x&\mapsto & f(\Phi(x))\cdot |\det D\Phi(x)|\end{array} \] Lebesgue-integrierbar ist und es gilt
\[ \bbint\limits_U f(\Phi(x))\cdot |\det D\Phi(x)|\,dx\,\,=\,\, \bbint\limits_V f(y)\,dy.\]
\end{satz}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{transformationsformel.pstex_t}
\caption{Illustration der Transformationsformel.}
\label{fig:transformationsformel}
\end{center}
\end{figure}


Die Transformationsformel erlaubt es also ein Integral auf zwei verschiedene Weisen zu bestimmen. Diese Flexibilit\"at vereinfacht in vielen F\"allen die Berechnung. Insbesondere, wenn eine Funktion $f\colon V\to \R$ gegeben ist, deren Integrationsbereich $V$ schwierig zu beschreiben ist, dann gibt es in vielen F\"allen eine $C^1$-invertierbare Abbildung $\Phi\colon U\to V$, wobei $U$ eine Teilmenge von $\R^n$ ist, welche deutlich einfacher zu beschreiben ist. 
Beispielsweise werden wir sehen, dass wir mithilfe von Polarkoordinaten die Integration \"uber eine Kreisscheibe ersetzen k\"onnen durch die Integration \"uber ein Rechteck.



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\subsection{Der eindimensionale Fall}
Im Folgenden sei $\Phi\colon [a,b]\to \R$ eine streng monoton steigende differenzierbare Funktion mit $\Phi'(x)\ne 0$ f\"ur alle $x\in (a,b)$. Dann ist insbesondere $\Phi\colon (a,b)\to (\Phi(a),\Phi(b))$ eine $C^1$-invertierbare Abbildung. F\"ur jede stetige Funktion $f\colon [\Phi(a),\Phi(b)]\to \R$ gilt also, dass
\footnote{Die Voraussetzung, dass $f$ stetig ist, verwenden wir im Folgenden nur, um uns keine Gedanken um Lebesgue-Integrierbarkeit zu machen.}
\footnote{Wo haben wir jetzt verwendet, dass $\Phi$ streng monoton \emph{steigend} ist? Wie \"andert sich das Argument, wenn $\Phi$ streng monoton \emph{fallend} ist?}
\[ \begin{array}{lllll} 
\bint\limits_{x=a}^{x=b}\hspace{-0.2cm} f(\Phi(x)) \Phi'(x)\,dx
&\hspace{-0.3cm} =\bint\limits_{[a,b]}\hspace{-0.2cm} f(\Phi(x))\Phi'(x)\,dx
&\hspace{-0.3cm} =\bint\limits_{(a,b)}\hspace{-0.2cm} f(\Phi(x)) \Phi'(x)\,dx
&\hspace{-0.3cm} 
=
\bint\limits_{(\Phi(a),\Phi(b))}\hspace{-0.5cm} f(u)\,du 
&\hspace{-0.3cm}=\bint\limits_{u=\Phi(a)}^{u=\Phi(b)}
 \hspace{-0.3cm}  f(u)\,du.\\[-0.4cm]
&\hspace{-0.2cm} \uparrow &\hspace{-0.2cm} \uparrow &\hspace{-0.2cm} \uparrow&\hspace{-0.2cm} \uparrow\\[-0.3cm]
&\hspace{-0.2cm}\hspace{0.046cm}| &\hspace{-0.2cm}\hspace{0.045cm}| &\hspace{-0.2cm}\hspace{0.046cm}|
&\hspace{-0.2cm}\hspace{0.046cm}|\\
&\hspace{-0.5cm} \mfbox{Satz~\ref{satz:riemann-integrierbar-ist-lebesgue-integrierbar}} 
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:fast-ueberall-gleich}}
&\hspace{-1.9cm}\mfbox{Transformationsformel}
&\hspace{-0.9cm} \mfbox{nochmal Satz~\ref{satz:riemann-integrierbar-ist-lebesgue-integrierbar}}\\
&&&&\hspace{-0.5cm}\mfbox{und Satz~\ref{satz:fast-ueberall-gleich}}
\end{array}
\]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{transformationsformel-eindimensional.pstex_t}
\caption{Illustration der Transformationsformel im eindimensionalen Fall.}
\label{fig:transformationsformel-eindimensional}
\end{center}
\end{figure}
Wir erhalten also aus der Transformationsformel, mit leicht anderen Voraussetzungen, die klassische Substitutionsregel als Spezialfall.
Die Transformationsformel ist allerdings viel Allgemeiner als die Substitutionsregel. Zum einen gilt sie auch im mehrdimensionalen Fall, zum anderen kann diese nicht  nur auf  stetige, sondern allgemeiner auch auf  Lebesgue-integrierbare Funktionen angewandt werden.

%======================================================
\subsection{Lineare Abbildungen}
Die vielleicht einfachsten $C^1$-invertierbaren Abbildungen sind gegeben durch Matrizenmultiplikationen.
Genauer gesagt, es sei $A\in \operatorname{GL}(n,\R)$ eine invertierbare Matrix, dann ist f\"ur jede offene Teilmenge $U\subset \R^n$ die Abbildung 
\[ \begin{array}{rcl} U&\to & A(U)\\
x&\mapsto & Ax\end{array}\]
eine $C^1$-invertierbare Abbildung. 

Wir betrachten beispielsweise den Fall
\[ A\,=\, \begin{pmatrix} -1&3\\ \hfill 1&1\end{pmatrix}, \quad U\,=\,(0,1)^2, \quad \mbox{ und }V\,=\,A(U),\]
welcher in Abbildung~\ref{fig:transformationsformel-lineare-abbildungen} skizziert ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{transformationsformel-lineare-abbildungen.pstex_t}
\caption{Illustration der Transformationsformel f\"ur lineare Abbildungen.}
\label{fig:transformationsformel-lineare-abbildungen}
\end{center}
\end{figure}
F\"ur $f(x,y)=x$ gilt dann
\[ \begin{array}{llll} \bint\limits_V x\,dx\,dy &=\, \bint\limits_{(0,1)^2} \underset{=-x+3y}{\underbrace{f(A(x,y))}}\cdot \underset{=4}{\underbrace{|\det A|}}\,dx\,dy&=\,\,
\bint\limits_{(0,1)}\bint\limits_{(0,1)} 4(-x+3y)\,dx\,dy\\[-0.4cm]
&\uparrow&\uparrow \\
&\hspace{-1cm}\mfbox{Transformationssatz}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:fubini-2} von Fubini}\\
& =\,\,
\bint\limits_{[0,1]}\bint\limits_{[0,1]} 4(-x+3y)\,dx\,dy&=\,\,
\bint\limits_{y=0}^{y=1}\bint\limits_{x=0}^{x=1} -4x+12y\,dx\,dy\\[-0.4cm]
&\uparrow &\uparrow \\
&\hspace{-2cm}\begin{array}{c}\mfbox{folgt aus Satz~\ref{satz:fast-ueberall-gleich}, da sich die Definitionsbereiche }\\\mfbox{nur um eine Nullmenge unterscheiden}\end{array}&\hspace{-0.5cm}\begin{array}{c}\mfbox{Satz~\ref{satz:riemann-integrierbar-ist-lebesgue-integrierbar}}\\\mbox{}\end{array}\\
&=\,\,\bint\limits_{y=0}^{y=1} \underset{=-2+12y}{\underbrace{\big[-2x^2+12yx\big]^{x=1}_{x=0}}}\,dy&=\,\,
\big[-2y+6y^2\big]_{y=0}^{y=1}\,\,=\,\,4.
\end{array}
\]



%======================================================
\subsection{Polarkoordinaten, zylindrische Koordinaten und sph\"arische Koordinaten}
Die wohl wichtigsten Anwendungen des Satzes basieren auf den
\begin{enumerate}
\item Polarkoordinaten,
\item zylindrische Koordinaten, und
\item sph\"arische Koordinaten,
\end{enumerate}
welche wir schon in Analysis~II kennengelernt hatten.


Wir betrachten die Abbildung\footnote{F\"ur Vektoren verwenden wir sowohl die `horizontale' als auch die `vertikale' Schreibweise. In vielen F\"allen ist die horizontale Schreibweise $(x,y)$ platzsparender. Andererseits ist manchmal die vertikale Schreibweise ${\Big( \begin{array}{c}f\\ g\end{array} \Big)}$ logischer, beispielsweise wenn wir das Differential bestimmen wollen.}
\[ \begin{array}{rcl} P\colon \R_{\geq 0} \times \R&\to & \R^2 \\
(r,\varphi)&\mapsto &  (r\cos \varphi,r\sin \varphi)=\begin{pmatrix} r\cos \varphi\\r\sin\varphi\end{pmatrix}. \end{array} \]
In Analysis~I hatten hatten wir schon gesehen, dass $P$ surjektiv ist.
Wenn $P(r,\varphi)=(x,y)$, dann nennen wir $(r,\varphi)$ \emph{Polarkoordinaten von $(x,y)$}. Die Polarkoordinaten von einem Punkt sind nicht eindeutig bestimmt, beispielsweise k\"onnen wir $\varphi$ immer durch $\varphi+2\pi$ ersetzen.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{polarkoordinaten.pstex_t}
\caption{Illustration von Polarkoordinaten.}
\label{fig:polarkoordinaten}
\end{center}
\end{figure}


\begin{satz}\label{satz:polar1}\textbf{\emph{(Polarkoordinaten)}}
Eine Funktion $f\colon \R^2\to \R$ ist genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn
\begin{align*}
 \begin{array}{rcl} 
 \hspace{4.5cm} \R_{\geq 0}\times [0,2\pi]&\to & \R \\
(r,\varphi)&\mapsto &  f(r\cos \varphi,r\sin \varphi)\cdot r
\intertext{Lebesgue-integrierbar ist, und es gilt dann, dass}
 \bbint\limits_{\R^2} f(x,y)\,dx\,dy& =&\bbint\limits_{[0,\infty)\times [0,2\pi]}\hspace{-0.4cm}f(r\cos \varphi,r\sin \varphi)\cdot r\,dr\,d\varphi.\end{array} \end{align*}
\end{satz}

\begin{proof}
Wir betrachten die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} P\colon  \R_{\geq 0} \times [0,2\pi ]&\to & \R^2 \\
(r,\varphi)&\mapsto & (r\cos \varphi,r\sin \varphi).\end{array}\]
Es sei zudem
\[ U\,:=\,(0,\infty)\times (0,2\pi)\quad \mbox{ und }\quad V\,:=\,\R^2\setminus (\R_{\geq 0}\times 0).\]
In Analysis~II hatten wir schon bewiesen, dass die Einschr\"ankung von $P$ auf die offene Teilmenge $U$  eine $C^1$--invertierbare Abbildung
$P\colon U\to V$ definiert. Zudem gilt f\"ur alle $r\geq 0$ und $\varphi\in \R$, dass
\[ \det(D P(r,\varphi))\,\,=\,\,
\det\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial r}r\cos\varphi&\frac{\partial}{\partial \varphi}r\cos\varphi\\[2mm]
\frac{\partial}{\partial r}r\sin\varphi&\frac{\partial}{\partial \varphi}r\sin\varphi
\end{pmatrix}
\,\,=\,\,
\begin{pmatrix} \cos\varphi &-r\sin \varphi\\[2mm] \sin\varphi&\hfill r\cos\varphi\end{pmatrix}\,\,=\,\,r.
\]
Es folgt also aus, dass
\[\begin{array}{lllll}
 \bbint\limits_{\R^2} f(x,y)\,dx\,dy&=
 \bbint\limits_V f(x,y) \,dx \,dy &=\,\,\bbint\limits_U f(P(r,\varphi))\cdot r\,dr\,d\varphi&=\bbint\limits_{[0,2\pi ]\times \R_{\geq 0} }\hspace{-0.3cm} f(P(r,\varphi))\cdot r\,dr\,d\varphi.\\[-0.4cm]
&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\[-0.35cm]
&\hspace{0.045cm}|&\hspace{0.045cm}|&\hspace{0.045cm}|\\
&\hspace{-2.9cm}\begin{array}{c}\mfbox{folgt aus Satz \ref{satz:fast-ueberall-gleich}, da}\\
\mfbox{sich die Definitionsbereiche nur}\\
\mfbox{um eine Nullmenge unterscheiden}\end{array} 
&\hspace{-1.1cm} \begin{array}{c} \mfbox{Transformationsformel}\\ \\\mfbox{}\end{array}
&\hspace{-1.5cm}\begin{array}{c}\mfbox{folgt wiederum aus Satz \ref{satz:fast-ueberall-gleich},}\\
\mfbox{da sich die Definitionsbereiche nur}\\
\mfbox{um eine Nullmenge unterscheiden}\end{array} \vspace{-1.1cm}\end{array} 
\]
\end{proof}

Der folgende Satz behandelt einen typischen Spezialfall von den Polarkoordinaten.

\begin{satz}\label{satz:polar2}\textbf{\emph{(Polarkoordinaten)}}
Es sei 
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.7cm}   \overline{B_d(0)}&=&\{ (x,y)\in \R^2\,|\, x^2+y^2\leq d^2\}
\intertext{die geschlossene Scheibe von Radius $d$, und es sei}
 f\colon \overline{B_d(0)}&\to & \R 
\intertext{eine stetige Funktion. Dann gilt\footnotemark}
 \bint\limits_{\overline{B_d(0)}} f(x,y)\,dx\,dy &=&  \bint\limits_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} \,
 \bint\limits_{r=0}^{r=d}f(r\cos \varphi,r\sin\varphi)\cdot r\, dr\,d\varphi.\end{array} \end{align*}
 \footnotetext{Es folgt aus Satz~\ref{satz:stetig-lebesgue-integrierbar}, dass das Lebesgue-Integral auf der linken Seite definiert ist.}
\end{satz}



 
\begin{proof}
In Analysis~II hatten wir gesehen, dass
 die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} P\colon  U:=(0,d)\times (0,2\pi) &\to &
V:=\{ (x,y)\in B_d(0)\,|\, x<0\mbox{ oder }y\ne 0\} \\
 (r,\varphi)&\mapsto & (r\cos \varphi,r\sin \varphi)\end{array}\]
eine $C^1$--invertierbare Abbildung ist. Im Beweis von Satz~\ref{satz:polar1} hatten wir schon erw\"ahnt, dass $\det (DP(r,\varphi))=r$. Nun ist
 \[
 \begin{array}{lll} 
  \bint\limits_{\overline{B_d(0)}} \hspace{-0.3cm}f(x,y)dxdy&\hspace{-0.2cm}= \bint\limits_{V} f(x,y)\,dx\,dy&\hspace{-0.3cm}=\,\,
  \bint\limits_{U=(0,d)\times (0,2\pi)} \hspace{-0.6cm} f(r\cos \varphi,r\sin \varphi)\cdot r\,dr\,d\varphi\\[-0.45cm]
  &\hspace{-0.2cm}\uparrow &\hspace{-0.3cm}\uparrow \\
  &\hspace{-0.5cm}\footnotesize{\mbox{denn $\overline{B_d(0)}\setminus V$ ist eine Nullmenge}} &\hspace{-1.6cm}\footnotesize{\mbox{Transformationsformel}}\\[0.2cm]
 &\hspace{-0.2cm}=\bint\limits_{\varphi\in (0,2\pi)} \,
   \bint\limits_{r\in (0,d)}\hspace{-0.2cm} f(r\cos \varphi,r\sin \varphi)\cdot r\,dr\,d\varphi&\hspace{-0.3cm}=
\bint\limits_{\varphi\in [0,2\pi]} \,
   \bint\limits_{r\in [0,d]}\hspace{-0.3cm}  f(r\cos \varphi,r\sin\varphi)\cdot r\, dr\,d\varphi\\[-0.3cm]
  &\hspace{-0.2cm}\uparrow &\hspace{-0.3cm}\uparrow \\
  &\hspace{-0.5cm}\footnotesize{\mbox{Satz~\ref{satz:fubini-2} von Fubini}} &\hspace{-1cm}\footnotesize{\mbox{die Definitionsbereiche unterscheiden}} \\[-0.1cm]
 & &\footnotesize{\mbox{sich um eine Nullmenge}}\\[0.2cm]
 &\hspace{-0.2cm}=\,\, \bint\limits_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} \,
  \bint\limits_{r=0}^{r=d}f(r\cos \varphi,r\sin\varphi)\cdot r\, dr\,d\varphi.\\[-0.2cm]
  &\hspace{-0.2cm}\uparrow  \\
  &\hspace{-0.5cm}\footnotesize{\mbox{nach Satz~\ref{satz:riemann-integrierbar-ist-lebesgue-integrierbar}}}
 \vspace{-0.65cm} \end{array} \]
  \end{proof}
 

\begin{beispiele}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Wir wollen das Lebesgue-Integral von $x^2+y^2$  \"uber der abgeschlossenen Kreisscheibe $\overline{B_3(0)}$ von Radius $3$ bestimmen. 
Dann ist 
\[ \begin{array}{lll} \hspace{1cm} \bbint\limits_{\overline{B_3(0)}}\hspace{-0.1cm} x^2+y^2\,dx\,dy&\hspace{-0.3cm}=
 \bbint\limits_{0}^{2\pi} 
 \bbint\limits_{0}^{3}\underset{=r^2}{\underbrace{\big((r\cos \varphi)^2+(r\sin\varphi)^2\big)}} r\, dr\,d\varphi
 = \bbint\limits_{0}^{2\pi}
  \bbint\limits_{0}^{3} r^2\cdot r\, dr\,d\varphi=2\pi\cdot \lmfrac{3^4}{4}.\\[-0.3cm]
&\hspace{-0.3cm}\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{nach Satz~\ref{satz:polar2}}
\end{array} \]
\item Die Aussage von Satz~\ref{satz:polar2} kann nun auch abgewandelt werden um Definitionsbereiche zu behandeln, welche zwar keine Scheiben sind, welche aber durch Polarkoordinaten gut beschrieben werden. Dies trifft beispielsweise auf `Tortenst\"ucke' oder `Ringe' zu. Wir f\"uhren dazu nun ein Beispiel aus.
Es sei $T$ das `Tortenst\"uck'
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{3cm} T&:=& \big\{ (x,y)\in \R^2\,\big|\, x^2+y^2\leq 4 \mbox{ und }x\geq 0\mbox{ sowie } |y|\leq x\},
\intertext{welches auch in Abbildung~\ref{fig:tortenstueck} skizziert ist. Dieses l\"a\ss t sich viel leichter mit Polarkoordinaten beschreiben, in der Tat ist}
T&=& \big\{ (x,y)\in \R^2\mbox{ mit Polarkoordinaten }r\in [0,2]\mbox{ und }\varphi\in \big[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\big]\big\}.\end{array}\end{align*}
Dann ist 
\[ \begin{array}{lll} \hspace{1cm} \bbint\limits_{T} x\,dx\,dy&=
 \bbint\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}   \,
 \bbint\limits_{0}^{2}r\cos(\varphi) \cdot r\, dr\,d\varphi
 \,=\, \bbint\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}   \cos(\varphi) 
  \underset{=\frac{8}{3}}{\underbrace{\bbint\limits_{0}^{2}r^2\, dr}}\,d\varphi
  \,=\,\sqrt{2}\cdot \lmfrac{8}{3}.\\[-0.9cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mbox{Analogon von Satz~\ref{satz:polar2}}
\end{array} \]
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{tortenstueck.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:tortenstueck}
\end{center}
\end{figure}
Ganz allgemein bieten sich die Polarkoordinaten an, wenn sich der Integrationsbereich leicht mithilfe von Polarkoordinaten beschreiben l\"a\ss t.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

Wir wenden uns nun den Zylinderkoordinaten zu.
Wir betrachten dazu die Abbildung
\[ \begin{array}{rcl} Z\colon \R_{\geq 0}\times \R^2&\to & \R^3\\
(r,\varphi,z)&\mapsto& (r\cos \varphi,r\sin \varphi,z).\end{array}\]
Aus der obigen Diskussion von Polarkoordinaten folgt, dass  diese Abbildung surjektiv ist.
 Wenn $(x,y,z)=Z(r,\varphi,z)$, dann bezeichnen wir $(r,\varphi,z)$  als \emph{Zylinderkoordinaten von $(x,y,z)$}.
 \begin{figure}[h]
 \begin{center}
 \input{zylinder-koordinaten.pstex_t}
 \caption{Illustration von Zylinder-Koordinaten.}
 \label{fig:zylinder-koordinaten}
 \end{center}
 \end{figure}



\begin{satz}\label{satz:detdz}
F\"ur alle $r\in \R_{\geq 0}, \varphi,z\in \R$ gilt
\[  \det(D Z(r,\varphi,z))\,\,=\,\,r.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Es ist
\[ \det(D Z(r,\varphi,z))\,=\,
\det\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial r}r\cos\varphi&\frac{\partial}{\partial \varphi}r\cos\varphi&\frac{\partial}{\partial z}r\cos\varphi \\[2mm]
\frac{\partial}{\partial r}r\sin\varphi&\frac{\partial}{\partial \varphi}r\sin\varphi
&\frac{\partial}{\partial z}r\sin\varphi\\[2mm]
\frac{\partial}{\partial r}z&\frac{\partial}{\partial \varphi}z&\frac{\partial}{\partial z}z
 \end{pmatrix}
\,=\,
\begin{pmatrix} \cos\varphi &-r\sin \varphi&0\\[2mm] \sin\varphi&\hfill r\cos\varphi&0 \\0&0&1\end{pmatrix}\,\,=\,\,r.\vspace{-0.6cm}
\]
\end{proof}



\begin{beispiel}
Wir betrachten
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{2cm} M&:=&\big\{ (x,y,z)\,\big|\, |y|\leq x, x\geq 0, x^2+y^2\leq 1\mbox{ und }z\in [0,x^2]\big\}.
\intertext{Wir wollen das Volumen von $M$ bestimmen.
Die Schnittmenge von $M$ mit der $xy$--Ebene ist ein `Tortenst\"uck' mit Radius 1 mit Winkel $\frac{\pi}{2}$.
Wir k\"onnen $M$ mithilfe der Zylinderkoordinaten wie folgt beschreiben}
 M&:=&\begin{array}{l} \mbox{Punkte in $\R^3$ mit Zylinderkoordinaten $(r,\varphi,z)$, wobei}\\
\mbox{$r\in [0,1]$, $\varphi\in [-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$ und $z\in [0,(r\cos \varphi)^2]$.}\end{array} \end{array}\end{align*}
Mithilfe der Zylinderkoordinaten k\"onnen wir nun das Volumen von $M$ wie folgt berechnen:
\[ \begin{array}{llll} \operatorname{Vol}(M)&\hspace{-0.3cm}=  \bbint\limits_{M}1\,dx\,dy\,dz&\hspace{-0.2cm}=\bbint\limits_{\varphi=-\frac{\pi}{4}}^{\varphi=\frac{\pi}{4}} \bbint\limits_{r=0}^{r=1}\bbint\limits_{z=0}^{z=(r\cos \varphi)^2}\hspace{-0.3cm} 1\cdot r\,d z\,dr\,d\varphi
=\bbint\limits_{\varphi=-\frac{\pi}{4}}^{\varphi=\frac{\pi}{4}} \bbint\limits_{r=0}^{r=1}r^3 \cos^2 \varphi\,dr\,d\varphi\\[-4mm]
&&\hspace{-0.2cm}\uparrow\\
&&\hspace{-0.5cm}\mfbox{analog zu Satz~\ref{satz:polar2}, unter Verwendung von Satz~\ref{satz:detdz}}\\[2mm]
&\hspace{-0.3cm}=\bbint\limits_{\varphi=-\frac{\pi}{4}}^{\varphi=\frac{\pi}{4}} \big[\tmfrac{r^4}{4} \cos^2\varphi\big]_0^1 \,d\varphi
&\hspace{-0.2cm}=\bbint\limits_{\varphi=-\frac{\pi}{4}}^{\varphi=\frac{\pi}{4}} \tmfrac{1}{4} \cos^2\varphi \,d\varphi\,=\,\bbint\limits_{\varphi=-\frac{\pi}{4}}^{\varphi=\frac{\pi}{4}}
\tmfrac{1}{8}(1+\cos (2\varphi))\,d\varphi\,=\,\tmfrac{\pi}{16}+\tmfrac{1}{8}.\\[-0.4cm]
&&\hspace{3.4cm}\uparrow\\
&&\hspace{3cm}\mfbox{es ist $\cos^2\varphi=\tmfrac{1}{2}(1+\cos (2\varphi))$}
\end{array} \]
\end{beispiel}

Zum Abschlu\ss\, des Kapitels erinnern  wir noch an die sph\"arischen Koordinaten. Wir betrachten die Abbildung
\[
 \begin{array}{rcl}
 S\colon \R_{\geq 0}\times \R\times \R &\to & \R^3 \\
   (r,\varphi,\theta)&\mapsto &\footnotesize{\begin{pmatrix} r  \cos \varphi\cdot \sin \theta\\ r \sin \varphi\cdot \sin \theta\\r\cos \theta\end{pmatrix}}. \end{array} \]
In Analysis~II hatten wir gesehen, dass die Abbildung surjektiv ist.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{sphaerische-koordinaten-2.pstex_t}
\caption{Illustration von sph\"arischen Koordinaten.}
\label{fig:sphaerische-koordinaten}
\end{center}
\end{figure}
F\"ur einen Punkt $(x,y,z)=S(r,\varphi,\theta)$ bezeichnen wir $(r,\varphi,\theta)$  als \emph{sph\"arische Koordinaten\footnote{Manchmal sagt man auch `Kugelkoordinaten' anstatt `sph\"arische Koordinaten'.} von $(x,y,z)$}.


\begin{satz}\label{satz:detds}
F\"ur alle $r\in \R_{\geq 0}$ sowie $\varphi,\theta\in \R$ ist
\[\det(D S(r,\varphi,\theta))\,\,=\,\,-r^2\sin \theta.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Die Aussage folgt aus folgender  elementaren,  etwas langwierigen Rechnung:
\[ \begin{array}{rcl}
\det(D S(r,\varphi,\theta))&=&\det
\footnotesize{\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial r} r  \cos \varphi\cdot \sin \theta&\frac{\partial}{\partial \varphi} r  \cos \varphi\cdot \sin \theta&\frac{\partial}{\partial \theta} r  \cos \varphi\cdot \sin \theta\\
\frac{\partial}{\partial r} r \sin \varphi\cdot \sin \theta&\frac{\partial}{\partial \varphi} r \sin \varphi\cdot \sin \theta&
\frac{\partial}{\partial \theta} r \sin \varphi\cdot \sin \theta\\
\frac{\partial}{\partial r}r\cos \theta&
\frac{\partial}{\partial \varphi}r\cos \theta&
\frac{\partial}{\partial \theta}r\cos \theta\end{pmatrix}}\\
&=&\det
\footnotesize{\begin{pmatrix} \cos \varphi\cdot \sin \theta&- r  \sin \varphi\cdot \sin \theta& r  \cos \varphi\cdot \cos \theta\\
 \sin \varphi\cdot \sin \theta&\hfill  r \cos \varphi\cdot \sin \theta&
 r \sin \varphi\cdot \cos \theta\\
\cos \theta&
0&
-r\sin \theta\end{pmatrix}}\\
&=&\phantom{-r} \cos\theta(-r^2\sin^2 \varphi \sin \theta\cos \theta-r^2 \cos^2 \cos \theta \sin \theta)\\
&&-r\sin\theta(\cos^2 \varphi\sin^2\theta+r\sin^2\varphi\sin^2\theta)\\
&=&-r^2\cos^2\theta\sin\theta -r^2\sin\theta\sin^2\theta\,\,=\,\,-r^2\sin \theta.
\end{array}
\]
\end{proof}

\begin{beispiel}
Wir betrachten nun die Kugel
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} 
\hspace{3cm} K&=&\big\{ (x,y,z)\in \R^3\,\big|\, x^2+y^2+z^2\leq 1\big\}.
\intertext{In sph\"arischen Koordinaten k\"onnen wir schreiben}
K&=&\big\{ S(r,\varphi,\theta)\,\big|\, r\in [0,1], \varphi\in [0,2\pi]\mbox{ und }\theta\in [0,\pi]\big\}.\end{array}\end{align*}
Es folgt nun, dass 
\[ \begin{array}{llll} \operatorname{Vol}(K)&=\,\,  \bbint\limits_{K}1\,dx\,dy\,dz&=\,\,\bbint\limits_{r=0}^{r=1}\,\bbint\limits_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\,\bbint\limits_{\theta=0}^{\theta=\pi} 1\cdot r^2\sin \theta\, d\theta\, d\varphi\, dr
\,\,=\,\,\bbint\limits_{r=0}^{r=1}\,\bbint\limits_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} 2r^2\, d\varphi\, dr\\[-3.5mm]
&&\uparrow\\
&&\hspace{-0.5cm}\mfbox{analog zu Satz~\ref{satz:polar2}, unter Verwendung von Satz~\ref{satz:detds}}\\[2mm]
&=\,\,\bbint\limits_{r=0}^{r=1}4\pi r^2\,  dr&=\,\, \smfrac{4}{3}\pi.
\end{array} \]

\end{beispiel}


% Ende 28. Vorlesung


\newpage
%======================================================
\section{Beweis der Transformationsformel}




%======================================================
\subsection{Vorbereitungen zum Beweis der Transformationsformel}
F\"ur einen Vektor $v=(v_1,\dots,v_n)\in \R^n$ schreiben wir 
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} 
\hspace{4cm}\|v\|&:=&\sqrt{v_1^2+\dots+v_n^2}&\hspace{-1cm}\mbox{Euklidische Norm}
\intertext{und}
|v|&:=&\max\{ |v_1|,\dots,|v_n|\} &\hspace{-1cm}\mbox{Maximumsnorm}.
\intertext{F\"ur eine quadratische Matrix $A\in M(n\times n,\R)$ setzen wir zudem}
 \|A\|&:=&\max \big\{ \|Av\| \,\big|\, v\in \R^n \mbox{ mit } \|v\|=1\big\}.
\end{array}\end{align*}

Das n\"achste Lemma folgt leicht aus  Lemma~6.6 aus der Analysis II.

\begin{lemma}\label{lem:matrixnorm}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Die Abbildung
\[ \hspace{-1.8cm} \begin{array}{rcl} M(n\times n,\R)&\to &\R_{\geq 0}\\
A&\mapsto &\|A\|\end{array} \]
ist stetig.
\item F\"ur alle $A\in M(n\times n,\R)$ und  $w\in \R^n$ gilt
\[ \hspace{0.7cm}\|Aw\|\,\,\leq\,\, \|A\|\cdot \|w\|.\]
\end{enumerate}
\end{lemma}


Die Aussage von folgendem Lemma ist ganz \"ahnlich der Aussage von Lemma~\ref{lem:bild-durchmesser} aus der Funktionentheorie.

\begin{lemma} \label{lem:mittelwert}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $G\colon U\to \R^n$ eine stetig differenzierbare Abbildung.
Es sei $x\in U$ und $v\in \R^n$ ein Vektor, so dass $x+tv\in U$ f\"ur alle $t\in [0,1]$. Dann gilt
\[\textstyle \big|G(x+v)-G(x)\big|\,\,\leq\,\,|v|\cdot \sqrt{n}\cdot \max\big\{ \|DG(x+tv)\|\,\big|\,t\in [0,1]\big\}.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Es folgt leicht aus den Definition,  dass f\"ur alle $w\in \R^n$ die Ungleichungen
\[ (*)\hspace{3cm}\tmfrac{1}{\sqrt{n}}\|w\|\,\,\leq\,\,|w|\,\,\leq\,\,\|w\|\hspace{3cm}\]
gelten. Nun ist
\[\begin{array}{lll} |G(x+v)-G(x)|&\leq \,\,\|G(x+v)-G(x)\|&\hspace{-3cm}=\,\,\Big\|\int\limits_0^1 DG(x+tv)\cdot v\,dt \Big\|\\[-0.2cm]
&\uparrow&\hspace{-3cm}\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{folgt aus $(*)$}&\hspace{-3cm}\hspace{-0.5cm} \mfbox{Lemma~8.3 aus der Analysis~II}\\[0.1cm]
&\leq\,\,\int\limits_0^1 \big\|DG(x+tv)\cdot v\big\|\,dt
&\hspace{-3cm}\leq\,\,\int\limits_0^1 \|DG(x+tv)\|\cdot \|v\|\,dt\\[-0.2cm]
&\uparrow&\hspace{-3cm}\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm} \mfbox{Lemma~8.3 aus der Analysis~II}
&\hspace{-0.5cm}\hspace{-3cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:matrixnorm}~(2)}\\[0.1cm]
&\leq\,\,|v|\cdot \sqrt{n}\cdot \max\big\{ \|DG(x+tv)\|\,\big|\,t\in [0,1]\big\}.\\
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn aus $(*)$ folgt $\|v\|\leq\sqrt{n} |v|$}\end{array}\hspace{-0.8cm}\]
\end{proof}

%======================================================
\subsection{Zwei Hilfss\"atze f\"ur den Beweis der Transformationsformel}
Der erste Hilfssatz besagt, dass wenn eine Abbildung nahe an der Identit\"at ist, in dem Sinne, dass das Differential nahe an der Identit\"at ist, dann wird jeder beliebige abgeschlossene W\"urfel der Form
\[ W(a,\epsilon)\,\,:=\,\,\big\{ x\in \R^n\,\big|\, |x-a|\leq \epsilon\big\}\,\,=\,\,[a_1-\epsilon,a_1+\epsilon]\times \dots \times [a_n-\epsilon,a_n+\epsilon]\]
im Definitionsbereich nur wenig gestreckt oder gestaucht.

\begin{hilfssatz}\label{hilfssatz1}
Es seien $U$ und $V$ offene Teilmengen von $\R^n$ und es sei
\[ F\colon U\,\,\to \,\, V\]
eine $C^1$-invertierbare Abbildung mit Umkehrabbildung.
Es seien $x_0\in U$ und $\mu\in (0,1)$ gegeben.
Wir nehmen an,   $r>0$ besitzt die Eigenschaft, dass $W(x_0,r)\subset U$ und auch $W(F(x_0),r)\subset V$. Zudem  nehmen wir an, dass
\[ \underset{|x-x_0|\leq r}{\sup}\| DF(x)-\operatorname{id}\|\,\,\leq\,\,\tmfrac{\mu}{\sqrt{n}}\quad\mbox{ und }\quad 
 \underset{|y-F(x_0)|\leq r}{\sup}\| DF^{-1}(y)-\operatorname{id}\|\,\,\leq\,\,\tmfrac{\mu}{\sqrt{n}}.\]
Dann gilt f\"ur jeden W\"urfel der Form $W=W(a,\delta)$ mit $\delta\leq \frac{1}{2}r$ und mit $x_0\in W$, dass
\[ \operatorname{Vol}(W)\cdot (1-\mu)^n\,\,\leq\,\,\operatorname{Vol}(F(W))\,\,\leq\,\,\operatorname{Vol}(W)\cdot (1+\mu)^n.
\]
\end{hilfssatz}

\begin{bemerkung}
Die Aussage von Hilfssatz~\ref{hilfssatz1} kann auch formuliert werden als
\[ (1-\mu)^n\,\,\leq\,\,\smfrac{\operatorname{Vol}(F(W))}{\operatorname{Vol}(W)}\,\,\leq\,\,(1+\mu)^n.\]
\end{bemerkung}

Die Aussage von Hilfssatz~\ref{hilfssatz1} wird in Abbildung~\ref{fig:hilfssatz1} illustriert.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{hilfssatz1.pstex_t}
\caption{Illustration zur Aussage und dem Beweis von Hilfssatz~\ref{hilfssatz1}.}
\label{fig:hilfssatz1}
\end{center}
\end{figure}



\begin{proof}[Beweis von Hilfssatz~\ref{hilfssatz1}]
Es sei also  $W(a,\delta)$ ein W\"urfel mit $\delta\leq \frac{1}{2}r$ und mit $x_0\in W(a,\delta)$. Wir setzen $b:=F(a)$.
Es gen\"ugt folgende zwei Inklusionen zu beweisen:
\[ W(b,(1-\mu)\delta)\,\,\subset\,\,F(W(a,\delta))\,\,\subset\,\,W(b,(1+\mu)\delta).
\]
Wir beweisen die beiden Inklusionen in den folgenden zwei Behauptungen.


\begin{behauptung}
Es ist 
\[ F(W(a,\delta))\,\,\subset\,\,W(b,(1+\mu)\delta).\]
\end{behauptung}

Wir machen zuerst die Beobachtung, dass
$W(a,\delta)\subset W(x_0,r)$. In der Tat, denn f\"ur $x\in W(a,\delta)$ gilt
\[ \begin{array}{lll} |x-x_0|&\leq\,\,|x-a|+|a-x_0|&\leq\,\,\delta+\delta\,\,\leq\,\,r.\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1.9cm}\begin{array}{c}\mfbox{Dreiecksungleichung f\"ur}\\[-0.1cm]
\mfbox{die Maximumsnorm}\end{array}&\hspace{-0.5cm}\begin{array}{c}
\mfbox{aus $x_0\in W(a,\delta)$ folgt},\\[-0.1cm]\mfbox{dass $|a-x_0|\leq \delta$}\end{array}\end{array}\]
F\"ur $x\in W(a,\delta)$ gilt dann, dass\\[-0.8cm]
\[ \begin{array}{llll}
&&\hspace{-1.5cm}\mfbox{wir f\"uhren $F-\operatorname{id}$ ein, da wir dar\"uber Kontrolle besitzen}\\
&&\downarrow\\
 |F(x)-b|&=\,\,|F(x)-F(a)|&=\,\,|(F-\operatorname{id})(x)-(F-\operatorname{id})(a)+(x-a)|\\[0.1cm]
&\leq\,\, |(F-\operatorname{id})(x)-(F-\operatorname{id})(a)|+|x-a|&\leq\,\,
\mu |x-a|+|x-a|\,\,\leq \,\,(1+\mu)\delta.
\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\begin{array}{c}\mfbox{Dreiecksungleichung}\\ \mbox{}\\\mbox{}\end{array}&\hspace{-3.7cm}\begin{array}{c}\mfbox{folgt aus  Lemma~\ref{lem:mittelwert}, angewandt auf $G=F-\operatorname{id}$}\\\mfbox{und der Voraussetzung, dass}\\
\mfbox{$\|DF(z)-\operatorname{id}\|\leq \tmfrac{\mu}{\sqrt{n}}$
f\"ur alle $z\in W(a,\delta)\subset W(x_0,r)$}\end{array}
\end{array}\]
Also gilt $F(x)\in W(b,(1+\mu)\delta)$. 
Wir haben damit die Behauptung bewiesen.


\begin{behauptung}
Es ist 
\[ W(b,(1-\mu)\delta)\,\,\subset\,\,F(W(a,\delta)).\]
\end{behauptung}

Mithilfe der Voraussetzung an $\|DF^{-1}(y)-\operatorname{id}\|$ zeigt man nun, 
fast genauso wie in der vorherigen Behauptung, dass $F^{-1}(W(b,(1-\mu)\delta))\subset W(a,\delta)$. Die Behauptung folgt dann durch Anwenden der Abbildung $F$ auf diese Inklusion.
\end{proof}

In Satz~\ref{satz:streckung-um-determinante} hatten wir gesehen, dass bei Anwenden einer Matrix $A$ auf einen messbare Menge sich das Volumen mit dem Faktor $|\det(A)|$ multipliziert. Der folgende Satz gibt nun eine, gezwungenermassen, schw\"achere Aussage f\"ur  $C^1$-invertierbare Abbildungen.

\begin{hilfssatz}\label{hilfssatz2}
Es seien $U$ und $V$ offene Teilmengen von $\R^n$, es sei
 $\Phi\colon U\to  V$ eine $C^1$-invertierbare Abbildung und es sei $x_0\in U$. 
Dann gibt es zu jedem $\epsilon>0$ ein $r>0$, so dass f\"ur jeden W\"urfel $W=W(a,\delta)$ in $U$ mit $\delta\leq \frac{1}{2}r$ und $x_0\in W$ gilt, dass
\[ \Big| \smfrac{\operatorname{Vol}(\Phi(W))}{\operatorname{Vol}(W)}\,-\,|\det(D\Phi(x_0))|\Big|\,\,\leq\,\,\epsilon.\]
\end{hilfssatz}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{hilfssatz2.pstex_t}
\caption{Illustration zur Aussage und dem Beweis von Hilfssatz~\ref{hilfssatz2}.}
\label{fig:hilfssatz2}
\end{center}
\end{figure}


\begin{proof}
 \mbox{}
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Wir wissen aus Satz~\ref{satz:streckung-um-determinante}, dass eine Matrix $A$ das Volumen um den Faktor $|\det(A)|$ multipliziert. Zudem wissen wir aus Hilfssatz~\ref{hilfssatz1}, dass eine $C^1$-invertierbare Abbildung $F$ mit $DF(x_0)=\operatorname{id}$ das Volumen ``kaum'' \"andert. Wir f\"uhren jetzt die gew\"unschte Aussage auf diese beiden Aussagen zur\"uck.
}
\end{enumerate}
Wir setzen $T:=D\Phi(x_0)$ und wir betrachten die Abbildung
\[ \xymatrix@C1.5cm{ U\ar[r]^{\Phi}\ar@/_1pc/[rr]_{=:F}& V\ar[r]^-{T^{-1}}&V':=T^{-1}(V)}.\]
Die Abbildung $F$ ist ebenfalls $C^1$-invertierbar. Wir setzen $y_0:=F(x_0)$. Aus der Kettenregel folgt, dass
$DF(x_0)=\operatorname{id}$ und $DF^{-1}(y_0)=\operatorname{id}$. 
Wir machen nun folgende Vor\"uberlegung. F\"ur jeden W\"urfel $W$ gilt
\[ 
\begin{array}{ll} &\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $\Phi=T\circ F$} \\&\downarrow\\[-0.2cm]
 \Big| \tmfrac{\operatorname{Vol}(\Phi(W))}{\operatorname{Vol}(W)}\,-\,|\det T|\Big|\hspace{-0.2cm}&=
  \Big|\hspace{-0.3cm} \underset{\opnormal{$=|\det T|$, nach Satz~\ref{satz:streckung-um-determinante}}}{\underbrace{\tmfrac{\operatorname{Vol}(T(F(W)))}{\operatorname{Vol}(F(W))}}}\hspace{-0.3cm}\cdot\tmfrac{\operatorname{Vol}(F(W))}{\operatorname{Vol}(W)}\,-\,|\det T|\Big|=| \det T |\cdot \Big|\tmfrac{\operatorname{Vol}(F(W))}{\operatorname{Vol}(W)}-1\Big|.\end{array}
  \]
Es gen\"ugt nun also folgende Behauptung zu beweisen.

\begin{behauptung}
F\"ur jedes $\epsilon>0$ gibt es ein $r>0$, so dass f\"ur jeden W\"urfel $W=W(a,\delta)$ in $U$ mit $\delta\leq \frac{1}{2}r$ und $x_0\in W$ gilt, dass
\[
-\smfrac{\epsilon}{|\det T|}\,\,\leq\,\, \smfrac{\operatorname{Vol}(F(W))}{\operatorname{Vol}(W)}-1\,\,\leq\,\,\smfrac{\epsilon}{|\det T|}.\]
\end{behauptung}

Es sei also $\epsilon>0$.  Wir  w\"ahlen ein $\mu\in (0,1)$, so dass\footnote{Warum existiert solch ein $\mu$?}
\[ 
-\smfrac{\epsilon}{|\det T|}\,\leq\,(1-\mu)^n-1\quad\mbox{ und }\quad 
(1+\mu)^n-1\,\leq\, \smfrac{\epsilon}{|\det T|}.\]
Aus der Tatsache, dass $DF(x_0)=\operatorname{id}$, $DF^{-1}(y_0)=\operatorname{id}$, der Stetigkeit von $DF$ und $DF^{-1}$ und aus Lemma~\ref{lem:matrixnorm} (1) folgt, dass es ein $r>0$ gibt, so dass 
\begin{align*}
\begin{array}{rclcrcl}
W(x_0,r)&\subset& U&\mbox{ und }& W(y_0,r)&\subset& V',
\intertext{und so dass folgende Ungleichungen gelten}
\hspace{2.7cm} \underset{|x-x_0|\leq r}{\sup}\|DF(x)-\operatorname{id}\|&\leq& \tmfrac{\mu}{\sqrt{n}}&\mbox{ und }&
\underset{|y-y_0|\leq r}{\sup}\|DF^{-1}(y)-\operatorname{id}\|&\leq&\tmfrac{ \mu}{\sqrt{n}}.
\end{array}\end{align*}
Wir wollen nun zeigen, dass $r>0$ die gew\"unschte Eigenschaft besitzt. Es sei jetzt also $W=W(a,\delta)\subset U$ ein W\"urfel mit $x_0\in W$ und $\delta\leq \frac{1}{2}r$.
Hilfssatz~\ref{hilfssatz1} besagt nun, dass 
\[ \underset{ -\tmfrac{\epsilon}{|\det T|}\leq }{\underbrace{(1-\mu)^n-1}}\,\,\leq\,\,\smfrac{\operatorname{Vol}(F(W))}{\operatorname{Vol}(W)}-1\,\,\leq\,\,\underset{\leq \tmfrac{\epsilon}{|\det T|}}{\underbrace{(1+\mu)^n-1}}.\vspace{-0.6cm}\]
\end{proof}


%======================================================
\subsection{Beweis der Transformationsformel f\"ur Abbildungen mit kompaktem Tr\"ager}


Der \emph{Tr\"ager} einer Funktion $f\colon \R^n\to \R$ ist definiert als die Menge 
\[ \opnormal{Tr\"ager}(f):=\overline{\{x\in \R^n\,|\,f(x)\ne 0\}}.\]
Beispielsweise ist der Tr\"ager von $\sin(x)$ ganz $\R$. 

In diesem Kapitel beweisen wir die Transformationsformel f\"ur stetige Funktionen $f$ mit kompaktem Tr\"ager. Im n\"achsten Kapitel werden wir den allgemeinen Fall auf diesen Spezialfall zur\"uckf\"uhren.



\begin{satz}\label{satz:transformationsformel-kompakter-traeger}
Es seien $U,V\subset \R^n$ offene Mengen und es sei $\Phi\colon U\to V$ eine
$C^1$--invertierbare Abbildung. Es sei
$f\colon V\to \R$ eine stetige  Funktion mit kompaktem Tr\"ager. Dann  gilt
\[ \bint\limits_U f(\Phi(x))\cdot |\det D\Phi(x)|\,dx\,\,=\,\,\bint\limits_{\Phi(U)} f(y)\,dy.\]
\end{satz}

F\"ur den Beweis von Satz~\ref{satz:transformationsformel-kompakter-traeger} werden wir folgendes Lemma ben\"otigen.

\begin{lemma}\label{lem:aks-absteigend}
Es sei $A_1\supset A_2\supset A_3\supset \dots$ eine absteigende Folge von kompakten Teilmengen von $\R^n$, so dass
\[  \operatorname{Vol}(A_k)>0 \mbox{ f\"ur alle $k\in \N$ und } \underset{k\to\infty}{\lim} \operatorname{Durchmesser}(A_k) \,\,=\,\,0.\]
Dann gelten folgende Aussagen:
\begin{enumerate}
\item Es existiert genau ein $z_0\in \ttmcap{k\in \N}{} A_k$. 
\item F\"ur  jede stetige Funktion  $g\colon \R^n\to \R$ mit $g(z_0)=0$ gilt 
\[ \underset{k\to\infty}{\lim} \smfrac{1}{\operatorname{Vol}(A_k)}\bint\limits_{A_k} g(z)\,dz\,\,=\,\,0.\]
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
Die Existenz von $z_0$ haben wir in \"Ubungsaufgabe~4 von \"Ubungsblatt~2 bewiesen. Die Eindeutigkeit von $z_0$ ist leicht zu zeigen.
Aus der Monotonie des Lebesgue-Integrals folgt, dass f\"ur jede kompakte Teilmenge $M\subset \R^n$  die Ungleichung 
\[ \Big| \bint\limits_M g(z)\,dz \Big|\,\,\leq\,\,\operatorname{Vol}(M)\cdot \sup\big\{ |g(z)|\,\big|\,z\in M\big\} \]
gilt. Die zweite Aussage folgt nun leicht aus den Voraussetzungen und dieser Beobachtung.
\end{proof}

Wir wenden uns nun dem 
Beweis von Satz~\ref{satz:transformationsformel-kompakter-traeger}
zu.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:transformationsformel-kompakter-traeger}]
Wir beweisen den Satz in dem Spezialfall, dass $U=V=\R^n$. Der allgemeine Fall wird ganz \"ahnlich bewiesen, siehe beispielsweise Seite 103 von Forster: Analysis III. 

Es sei nun $f\colon \R^n\to \R$ eine stetige  Funktion mit kompaktem Tr\"ager. Wir setzen
\[ e(x)\,:= \,f(\Phi(x))\cdot |\det D\Phi(x)|.\]
Die Funktion $e$ ist dann ebenfalls stetig.
Der  Tr\"ager von $f$ ist nach Voraussetzung kompakt. Nachdem $\Phi$ ein Hom\"oomorphismus ist, ist auch der Tr\"ager von $e$ kompakt.  Es folgt daher aus Satz~\ref{satz:stetig-lebesgue-integrierbar}, dass die Funktion $e$ Lebesgue-integrierbar ist. Es gen\"ugt nun also die Gleichheit der Lebesgue-Integrale zu beweisen. 


F\"ur eine  beliebige messbare Teilmenge $A\subset \R^n$ setzen wir 
\[ \Delta(A)\,\,:=\,\, \bbint\limits_{\Phi(A)} f(y)\,dy\,\,-\,\,
\bbint\limits_{A} e(x)\,dx.\]
Wir wollen zeigen, dass $\Delta(\R^n)=0$.  Der Tr\"ager von $e$ ist kompakt. Es gibt also einen W\"urfel $Q$ in $\R^n$, so dass der Tr\"ager von $e$ in $Q$ enthalten ist. Es gen\"ugt also zu zeigen, dass $\Delta(Q)=0$.

\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Wir wollen also zeigen, dass $\Delta(Q)=0$. F\"ur `sehr kleine' W\"urfel ist $\Phi$ `fast linear', und im linearen Fall gilt $\Delta(W)=0$ f\"ur jeden W\"urfel $W$.
Die Ausgangslage ist also wie im Beweis vom Cauchyschen Integralsatz~\ref{satz:cauchy-rechtecke} f\"ur Rechtecke. Auch in diesem Fall wollten wir zeigen, dass ein Integral \"uber ein Rechteck verschwindet, aber wir hatten nur eine Aussage f\"ur kleine Rechtecke.
Wir verfahren nun wie im Beweis vom Cauchyschen Integralsatz~\ref{satz:cauchy-rechtecke} f\"ur Rechtecke. Durch sukzessives halbieren der Seitenl\"angen konstruieren wir eine Folge von immer kleiner werdenden W\"urfeln, welche ``gegen einen Punkt konvergieren''.}
\end{enumerate}

\begin{behauptung}
Es gibt eine Folge von W\"urfeln
\[ Q\,=\,Q_0\,\supset\, Q_1\,\supset \,Q_2\,\supset\,\dots \]
so dass gilt
\begin{enumerate}
\item F\"ur alle $k$ ist
\[ \smfrac{|\Delta(Q_{k+1})|}{\operatorname{Vol}(Q_{k+1})}\,\,\geq \,\,
\smfrac{|\Delta(Q_k)|}{\operatorname{Vol}(Q_k)}.\]
\item Es ist
\[ \underset{k\to\infty}{\lim} \operatorname{Durchmesser}(Q_k)\,\,=\,\,0.\]
\end{enumerate}
\end{behauptung}

Wir unterteilen jetzt den W\"urfel $Q_0:=Q$ durch Halbieren seiner Seiten in $2^n$ W\"urfel $R_1,\dots,R_{2^n}$. Dann gilt f\"ur alle $i\in \{1,\dots,2^n\}$, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl}
\hspace{5.5cm} \operatorname{Vol}(R_i)&=&\tmfrac{1}{2^n}\operatorname{Vol}(Q).
\intertext{Zudem folgt aus Lemma~\ref{lem:zerlegung-vom-definitionsbereich}, 
 Satz~\ref{satz:urbilder-auch-messbar} und Satz~\ref{satz:bild-von-nullmenge}\footnotemark{}
dass}
\smsum{i=1}{2^n} \Delta(R_i)&=&\Delta(Q).
\intertext{Es gibt also ein $i\in \{1,\dots,2^n\}$, so dass}
  \smfrac{|\Delta(R_{i})|}{\operatorname{Vol}(R_{i})}&\geq &
  \smfrac{|\Delta(Q)|}{\operatorname{Vol}(Q)}\end{array}\end{align*}
\footnotetext{Wof\"ur ben\"otigen wir  Satz~\ref{satz:urbilder-auch-messbar} und Satz~\ref{satz:bild-von-nullmenge}?}
Wir setzen nun $Q_1=R_i$. 
Wir unterteilen jetzt wiederum $Q_1$ in $2^n$ W\"urfel  und f\"uhren das gleiche Verfahren durch. Wir erhalten eine Folge von W\"urfeln mit den gew\"unschten Eigenschaften.
Wir haben damit die Behauptung bewiesen.

Der Beweis von \"Ubungsaufgabe~4 in \"Ubungsblatt~2 zeigt, dass es einen Punkt $x_0$ gibt, welcher in allen $Q_k$'s enthalten ist.
Wir setzen $y_0:=\Phi(x_0)$.

\begin{behauptung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item F\"ur jede stetige Funktion  $g$ mit $g(x_0)=0$ gilt
\[ \underset{k\to\infty}{\lim} \smfrac{1}{\operatorname{Vol}(Q_k)}\bint\limits_{Q_k} g(x)\,dx\,\,=\,\,0.\]
\item F\"ur jede stetige Funktion  $h$  mit $h(y_0)=0$ gilt
\[ \underset{k\to\infty}{\lim} \smfrac{1}{\operatorname{Vol}(Q_k)}\bint\limits_{\Phi(Q_k)} h(y)\,dy\,\,=\,\,0.\]
\end{enumerate}
\end{behauptung}


Die erste Aussage der Behauptung folgt sofort aus Lemma~\ref{lem:aks-absteigend}. F\"ur die zweite Aussage setzen wir
\[ C\,\,:=\,\, \sup \big\{ \| D\Phi(x)\|\,\big|\, x\in Q\big\}.\]
F\"ur alle $k$ folgt dann aus der offensichtlichen Verallgemeinerung von Lemma~\ref{lem:bild-durchmesser} aus der Funktionentheorie, dass 
\begin{align*} 
 \begin{array}{rcl} \hspace{4cm}\operatorname{Durchmesser}(\Phi(Q_k))&\leq & C\cdot 
 \operatorname{Durchmesser}(Q_k).
\intertext{Zudem existiert ein\footnotemark{} $C'\geq 0$, so dass}
 \operatorname{Vol}(\Phi(Q_k))&\leq & C'\cdot  \operatorname{Vol}(Q_k).\end{array}\end{align*}
\footnotetext{Warum existiert solch ein $C'$? Wie h\"angt es mit $C$ und $n$ zusammen?}
Es folgt, dass
\[ \underset{k\to\infty}{\lim} \tmfrac{1}{\operatorname{Vol}(Q_k)}\bint\limits_{\Phi(Q_k)} h(y)\,dy\,\,=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim} \underset{\opnormal{beschr\"ankt}}{\underbrace{ \smfrac{\operatorname{Vol}(\Phi(Q_k))}{\operatorname{Vol}(Q_k)}}}\underset{\opnormal{aus Lemma~\ref{lem:aks-absteigend} folgt $\underset{k\to\infty}{\lim}=0$}}{\underbrace{ \tmfrac{1}{\operatorname{Vol}(\Phi(Q_k))}\bint\limits_{\Phi(Q_k)} h(y)\,dy}}\,\,=\,\,0.\]
  Wir haben damit die Behauptung bewiesen.

Nun gilt, dass
\begin{align*} \begin{array}{rl} 
 \smfrac{\Delta(Q_k)}{\operatorname{Vol}(Q_k)}\hspace{-0.2cm}&=
\smfrac{1}{\operatorname{Vol}(Q_k)}\bigg(
\bbint\limits_{\Phi(Q_k)} f(y)\,dy\,\,-\,\,
\bbint\limits_{Q_k} e(x)\,dx\bigg)\,\,=\,\,(*)
\intertext{Wir wollen nun die Integranden umschreiben, so dass wir Integrale erhalten, auf welche wir entweder die obige Behauptung anwenden k\"onnen, oder welche konstant sind. Wir schreiben also}
(*)&=\smfrac{1}{\operatorname{Vol}(Q_k)}\bigg(\bbint\limits_{\Phi(Q_k)} \underset{=:h(y)}{\underbrace{f(y)-f(y_0)}}+f(y_0)\,dy\,-\,
\bbint\limits_{Q_k} 
\underset{=:g(x)}{\underbrace{e(x)-e(x_0)}}
+\underset{\opnormal{$=e(x_0)$ ausgeschrieben}}{\underbrace{f(y_0)\cdot |\det D\Phi(x_0)|}}\,dx\bigg)\\
&=\smfrac{1}{\operatorname{Vol}(Q_k)}\bigg(\underset{\mfbox{erstes Integral}}{\underbrace{\bbint\limits_{\Phi(Q_k)}\hspace{-0.2cm} h(y)\,dy+f(y_0)\operatorname{Vol}(\Phi(Q_k))}}-
\underset{\mfbox{zweites Integral}}{\underbrace{\bbint\limits_{Q_k}g(x)\,dx+f(y_0)|\det D\Phi(x_0)|\operatorname{Vol}(Q_k)}}\bigg)
\\&=\hspace{-0.2cm}
\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{es ist $h(y_0)=0$, also}\\\opnormal{folgt aus der Behauptung,}\\\opnormal{dass $\underset{k\to\infty}{\lim}=0$}\end{array}}}{\underbrace{ \smfrac{1}{\operatorname{Vol}(Q_k)}\bbint\limits_{\Phi(Q_k)}h(y)\,dy}}-\hspace{-0.3cm}
\underset{\tiny{\begin{array}{c}\opnormal{es ist $g(x_0)=0$, also}\\\opnormal{folgt aus der Behauptung,}\\\opnormal{dass $\underset{k\to\infty}{\lim}=0$}\end{array}}}{\underbrace{
\smfrac{1}{\operatorname{Vol}(Q_k)}\bbint\limits_{Q_k}g(x)\,dx}}\hspace{-0.2cm}+f(y_0)\bigg(\underset{\opnormal{$\underset{k\to\infty}{\lim}=0$ nach Hilfssatz~\ref{hilfssatz2}}}{\underbrace{\smfrac{\operatorname{Vol}(\Phi(Q_k))}{\operatorname{Vol}(Q_k)}-|\det D\Phi(x_0)|}}\bigg).
\end{array}\end{align*}
Wir haben also gezeigt, dass
\begin{align*}
\begin{array}{rclcrcl}
\hspace{2.6cm}\underset{k\to\infty}{\lim} \smfrac{\Delta(Q_k)}{\operatorname{Vol}(Q_k)}&=&0,&\mbox{ insbesondere auch } &\underset{k\to\infty}{\lim} \smfrac{|\Delta(Q_k)|}{\operatorname{Vol}(Q_k)}&=&0.
\intertext{Aus der Konstruktion der Folge $Q_k$ folgt nun, dass  }
\smfrac{|\Delta(Q)|}{\operatorname{Vol}(Q)}&=&0,&\mbox{ insbesondere auch }&\Delta(Q)&=&0.\vspace{-0.7cm}\end{array}\end{align*}
\end{proof}

% Ende 29. Vorlesung


%======================================================
\subsection{Das Lebesgue-Integral und Funktionenfolgen}
F\"ur eine offene Teilmenge $V$ von $\R^n$ schreiben wir nun
\footnote{Das `grosse $C$' in der Notation steht f\"ur `continuous', also stetig. Das `kleine $c$' steht f\"ur `compact'.}
\[ C_c(V)\,\,:=\,\,\mbox{Menge aller stetigen Funktionen $U\to \R$ mit kompaktem Tr\"ager}.\]
Wir haben im vorherigen Kapitel die Transformationsformel f\"ur Funktionen in $C_c(V)$ bewiesen. Die Idee ist nun den allgemeinen Fall auf diesen Fall zur\"uckzuf\"uhren. Genauer gesagt, wir wollen eine beliebige Lebesgue-integrierbare Funktion auf $V$ durch Funktionen in $C_c(V)$ `approximieren'. 

Die folgende Definition gibt erm\"oglicht es uns nun den Begriff `approximieren' in eine saubere Form zu bringen.

\begin{definition}
Es sei $U\subset \R^n$ eine offene Menge.
Wir  schreiben  
\[ \mathcal{L}(U)\,\,:=\,\,\mbox{Menge aller Lebesgue-integrierbaren Funktionen auf $U$}.\]
F\"ur $f\in \mathcal{L}(U)$ definieren wir zudem
\[ \|f\|_{L^1}\,\,:=\,\,\bbint\limits_{U} |f|\,dv.\]
\end{definition}

Das folgende Lemma fasst die wichtigsten Eigenschaften von 
$\|f\|_{L^1}$ zusammen.

\begin{lemma}\label{lem:l1seminorm}
Es sei $U\subset \R^n$ eine offene Menge.
\begin{align*}
\hspace{0.5cm}
\begin{array}{rcl}
\intertext{\emph{(1)} F\"ur $f\in \mathcal{L}(U)$ gilt}
\hspace{5cm}\|f\|_{L^1}=0&\Leftrightarrow &  f=0\mbox{ fast \"uberall},
\intertext{\emph{(2)} F\"ur $f\in \mathcal{L}(U)$ und $c\in \R$ gilt}
\|c\cdot f\|_{L^1}&=&|c|\cdot \|f\|_{L^1}
\intertext{\emph{(3)} F\"ur $f$ und $g$ in $\mathcal{L}(U)$  gilt}
 \|f+g\|_{L^1}&\leq &\|f\|_{L^1}+\|g\|_{L^1}.
\end{array}\end{align*}
\end{lemma}

\begin{proof}
Die erste Aussage ist eine Umformulierung von
Satz~\ref{satz:fast-ueberall-null}. Die zweite Aussage ist elementar und die dritte Aussage folgt aus der Dreiecksungleichung und aus der Monotonie des Lebesgue-Integrals.
\end{proof}

\begin{bemerkung}
Das Lemma besagt also inbesondere, dass $\|-\|_{L^1}$ eine Seminorm auf dem Vektorraum $\mathcal{L}(U)$ ist.\footnote{Eine \emph{Seminorm} $\|-\|$ erf\"ullt alle Eigenschaften einer Norm, bis auf die Tatsache, dass aus $\|v\|=0$ nicht notwendigerweise $v=0$ folgt.}
\end{bemerkung}

Das folgende Lemma besagt, dass das Lebesgue-Integral stetig ist bez\"uglich der $L^1$-Seminorm 

\begin{lemma}\label{lem:lebesgue-integral-stetig}
Es sei $U\subset \R^n$ eine offene Menge und es sei $\{f_k\}_{k\in \N}$ eine Folge in $\mathcal{L}(U)$ und es sei $f\in \mathcal{L}(U)$. Dann gilt
\[ \underset{k\to\infty}{\lim} \|f-f_k\|_{L^1}\,=\,0\quad\Longrightarrow\quad
\underset{k\to\infty}{\lim} \bint\limits_U f_k\,dv\,=\,\bint\limits_U f\,dv.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Dies folgt sofort aus der Beobachtung, dass
\[ \begin{array}{ll}\Big| \bint\limits_U f\,dv-\bint\limits_U f_k\,dv|\,\,
=\,\,\Big|\bint\limits_U f-f_k\,dv\Big|&\leq\,\,
\bint\limits_U|f-f_k|\,dv\,\,=\,\,\|f-f_k\|_{L^1}.\\[-0.2cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.3cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:eigenschaften-lebesgue-integral} (3)}\vspace{-0.6cm}\end{array}\]
\end{proof}


Unser Ziel ist es nun folgenden Satz zu beweisen.


\begin{satz}\label{satz:approximiation-durch-cc}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und $f\colon U\to \R$ eine Lebesgue-integrierbare Funktion. Dann gibt es zu jedem $\epsilon>0$ eine Funktion $g\in C_c(U)$ mit
\[ \|f-g\|_{L^1}\,\,<\,\,\epsilon.\]
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Der Satz besagt also, dass bez\"uglich der Seminorm $\|-\|_{L^1}$ die Menge $C_c(U)$ dicht in der Menge $\mathcal{L}(U)$ liegt.\footnote{Gilt dies auch bez\"uglich anderen Normen, z.B.\ der Maximumsnorm?}
\end{bemerkung}

\begin{proof}
 Wir beweisen den Satz nur im Spezialfall, dass $U=\R^n$. Der allgemeine Fall wird auf Seite 65 von Forster: Analysis~III bewiesen.
 
Nachdem jede Lebesgue-integrierbare Funktion die Differenz zweier nichtnegativer Lebesgue-integrierbare Funktionen ist, und nachdem  $\|-\|_{L^1}$ die 
Dreiecksungleichung  erf\"ullt gen\"ugt es den Satz f\"ur nichtnegative Funktionen zu beweisen.
 Das Lemma folgt nun leicht aus der Tatsache, dass $\|-\|_{L^1}$ eine Seminorm ist und aus der folgenden Behauptung.

\begin{behauptung}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
F\"ur jede nichtnegative Lebesgue-integrierbare Funktion  $f\colon \R^n\to \R$ und jedes $\eta>0$ gibt es 
eine  Stufenfunktion $g$ mit
\[ \hspace{0.4cm}\|f-g\|_{L^1}\,\,<\,\,\eta.\]
\item F\"ur jede messbare Menge $A\subset \R^n$  und jedes $\eta>0$ gibt es ein $Q\in \mathcal{Q}(\R^n)$ mit
\[ \| \chi_A-\chi_Q\|_{L^1}\,\,\leq\,\,\eta.\]
\item F\"ur alle halboffenen Quader $Q$  und alle $\eta>0$ gibt es ein $g\in C_c(\R^n)$  mit 
\[\hspace{0.3cm}\|\chi_Q-g\|_{L^1}\,\,<\,\,\eta. \]
\end{enumerate}
\end{behauptung}

Wir beweisen nun die drei Aussagen der Behauptung.
\begin{enumerate}
\item Es sei also  $f\colon \R^n\to \R$ eine nichtnegative Lebesgue-integrierbare Funktion und $\eta>0$. Dann gibt es eine Folge von nichtnegativen Stufenfunktionen $f_k\colon \R^n\to \R$ mit $f_k\uparrow f$ und 
\[ \bint f_k\,dv\,\,\uparrow \,\, \bint f\,dv.\]
Es folgt aus der Konvergenz der Folge von Integralen, dass es ein $k\in \N$ gibt, so dass
\begin{align*}
\begin{array}{rcl} \bint f\,dv\,-\,\bint f_k\,dv&<& \eta,
\intertext{also auch}
\hspace{3cm}\|f-f_k\|_{L^1}\,\,=\,\,\bint f-f_k\,dv&\leq& 
\bint f\,dv-\bint f_k\,dv\,\,<\,\,\eta.\\[-0.2cm]
\uparrow\hspace{2.2cm}&&\\
\mfbox{da $f\geq f_k$}\hspace{1.1cm}&&
\end{array}\end{align*}
\item Es sei also  $A\subset \R^n$ eine messbare Menge und es sei $\eta>0$. In \"Ubungsblatt~11 hatten wir schon bewiesen, dass es ein $Q\in \mathcal{Q}(\R^n)$ mit $\operatorname{Vol}(Q\bigtriangleup A)<\epsilon$ gibt. 
Daraus folgt nun, dass
\[
\big\||\chi_A-\chi_Q|\big\|_{L^1}\,\,=\,\,\| \chi_{A\bigtriangleup Q}\|\,\,=\,\,\operatorname{Vol}(Q\bigtriangleup A)\,\,<\,\,\epsilon.
 \]
\item

Es sei also 
\[ Q\,\,=\,\,[a_1,b_1)\times \dots\times [a_n,b_n)\]
ein halboffener Quader. F\"ur $k\in \N$ und $i=1,\dots,n$ 
betrachten wir die Funktion $f_{i,k}$, deren Graph in Abbildung~\ref{fig:approximation-durch-cc} skizziert ist.
\footnote{Der Form halber ist hier noch die pr\"azise Definition der Funktion, diese ist gegeben durch
\[
\begin{array}{rcl} f_{i,k}\colon \R&\to & \R \\
x&\mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} 0,&\mbox{ wenn }x\in (-\infty,a_i-\frac{1}{k}], \\
k(t-a_{i}-\frac{1}{k}),&\mbox{ wenn }x\in [a_i-\frac{1}{k},a_i),\\
 1,&\mbox{ wenn }x\in [a_i,b_i), \\
1-k(t-b_{i}),&\mbox{ wenn }x\in [b_i,b_i+\frac{1}{k}), \\
 0,&\mbox{ wenn }x\in [b_i+\frac{1}{k},\infty).\end{array} \right.\end{array}\]}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{approximation-durch-cc.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:approximation-durch-cc}
\end{center}
\end{figure}
F\"ur $k\in \N$ setzen wir dann 
\[  \begin{array}{rcl} f_k\colon \R^n&\to & \R\\
(x_1,\dots,x_n)&\mapsto& f_{1,k}(x_1)\cdot \dots\cdot f_{n,k}(x_n).\end{array}\]
Diese Funktionen liegen alle in $C_c(\R^n)$, und es ist
\[
 \begin{array}{rll}  \|\chi_Q-f_k\|_{L^1} &=\bbint\limits_{\R^n} f_k-\chi_Q\,dv&\leq\,\, 
\underset{\underset{k\to\infty}{\lim} =0}{\underbrace{ \prod\limits_{i=1}^n \big(b_i-a_i+\tmfrac{2}{k}\big)\,-\,\prod\limits_{i=1}^n \big(b_i-a_i\big).}}\\[-1.1cm]
&\uparrow\\
&\mbox{da $f_k\geq \chi_Q$}&\end{array} \]
Es folgt also, dass
\[ \underset{k\to\infty}{\lim} \|\chi_Q-f_k\|_{L^1}\,\,=\,\,0.\]
Das gew\"unschte $g$ ist also durch ein $f_k$, mit $k$ gro\ss\, genug, gegeben.
\end{enumerate}
\end{proof}



\begin{satz}\label{satz:cauchy-folge-in-lrn-konvergiert}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und es sei  $\{f_m\}_{m\geq 1}$ eine $L^1$-Cauchyfolge in $\mathcal{L}(U)$. Dann gibt es ein $f\in \mathcal{L}(U)$ mit 
\begin{align*}
\begin{array}{rcll} \hspace{5cm}\underset{m\to\infty}{\lim} \| f-f_m\|_{L^1}&=&0.
\intertext{Zudem gibt es eine Teilfolge $\{f_{m_k}\}_{k\geq 1}$, so dass }
\underset{k\to\infty}{\lim} f_{m_k}(x)&=&f(x)\hspace{0.5cm}&\mbox{ f\"ur fast alle }x\in U.\end{array}\end{align*}
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Es sei $U\subset \R^n$ offen. Wir setzen
\[ \mathcal{N}(U)\,\,:=\,\,\{\mbox{alle $f\in \mathcal{L}(U)$ mit $\|f\|_{L^1}=0$}\}.\]
Dies ist ein Untervektorraum\footnote{Warum?} von $\mathcal{L}(U)$ und $\|-\|_{L^1}$ definiert eine Norm auf dem Quotientenvektorraum
$\mathcal{L}(U)/\mathcal{N}(U)$. 
Satz~\ref{satz:cauchy-folge-in-lrn-konvergiert} besagt nun insbesondere, dass  jede $L^1$-Cauchyfolge
in dem normierten Vektorraum $\mathcal{L}(U)/\mathcal{N}(U)$ konvergiert, d.h.\ $\mathcal{L}(U)/\mathcal{N}(U)$ ist ein voll\-st\"andiger normierter Vektorraum, also ein Banachraum. 
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
Es erscheint auf den ersten Blick wohl etwas eigenartig, dass man 
in Satz~\ref{satz:cauchy-folge-in-lrn-konvergiert}
zu einer Teilfolge $\{f_{m_k}\}_{k\geq 1}$ \"ubergehen muss, um punktweise Konvergenz zu erzielen. Dies ist im Allgemeinen aber unvermeidlich. Genauer gesagt, wir konstruieren eine  Funktionenfolge wie folgt. Es sei $m\in \N$. Wir schreiben $m=2^r+s$ mit $s\in \{0,\dots,2^{r-1}\}$. Wir betrachten dann
\[ \begin{array}{rcl} f_m\colon \R&\to & \R \\
x&\mapsto &\left\{ \begin{array}{ll} 1,&\mbox{ wenn } x\in \big[\tmfrac{s}{2^r},\tmfrac{s+1}{2^r}\big],\\
0,&\mbox{ sonst}.\end{array} \right.\end{array}\]
Dann ist
\[ \|f_m\|_{L^1}\,\,=\,\,\bint\limits_\R |f_m(x)|\,dx\,\,=\,\,
\bint\limits_{[\frac{s}{2^r},\frac{s+1}{2^r}]} 1\,dx\,\,=\,\,\tmfrac{1}{2^r}\,\,\leq\,\,\tmfrac{1}{m}.\]
Die Funktionenfolge $\{f_m\}_{m\geq 1}$ konvergiert also bez\"uglich der $L^1$-Seminorm gegen die Nullfunktion. Andererseits gilt f\"ur alle $x\in [0,1]$, dass\footnote{Warum gilt das?}
\[ \liminf f_m(x)\,=\,0\quad \mbox{ und } \quad \limsup f_m(x)\,=\,1.\]
Wir sehen also, dass die Funktionenfolge $\{f_m\}_{m\geq 1}$ auf keinem Punkt des Intervalls $[0,1]$ gegen die Nullfunktion konvergiert.
\end{bemerkung}

Bevor wir uns dem Beweis von Satz~\ref{satz:cauchy-folge-in-lrn-konvergiert} zuwenden halten wir noch folgendes Korollar fest.

\begin{korollar}\label{kor:cauchy-folge-in-lrn-konvergiert}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und es sei  $\{f_m\}_{m\geq 1}$ eine Folge von Funktionen in $\mathcal{L}(U)$ mit
\[ \underset{m\to\infty}{\lim} \|f-f_m\|_{L^1}\,\,=\,\,0.\]
Dann gibt es eine Teilfolge $\{f_{m_k}\}_{k\geq 1}$ mit
\[\underset{k\to\infty}{\lim} f_{m_k}(x)\,\,=\,\,f(x)\hspace{0.5cm}\hspace{1cm}\mbox{ f\"ur fast alle }x\in U.\]
\end{korollar}

\begin{proof}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und es sei  $\{f_m\}_{m\geq 1}$ eine Folge von Funktionen in $\mathcal{L}(U)$, welche bez\"uglich der $L^1$-Seminorm gegen $f\in \mathcal{L}(U)$ konvergiert. Dann ist $\{f_m\}_{m\geq 1}$ insbesondere eine $L^1$-Cauchyfolge 
Es sei $f'\in \mathcal{L}(U)$ die Funktion aus Satz~\ref{satz:cauchy-folge-in-lrn-konvergiert}. Dann ist $\|f-f\|_{L^1}=0$. Also stimmen $f$ und $f'$ nach Lemma~\ref{lem:l1seminorm} fast \"uberall \"uberein.
Die gew\"unschten Aussagen \"uber $f$ folgen nun leicht aus den Aussagen \"uber $f'$.
\end{proof}


In dem Beweis von Satz~\ref{satz:cauchy-folge-in-lrn-konvergiert} werden wir folgendes Lemma verwenden.

\begin{lemma}\label{lem:konvergenz-in-lrn-von-reihe}
Es sei $U\subset \R^n$ offen und es sei  $\{g_k\}_{k\geq 1}$ eine Funktionenfolge in $\mathcal{L}(U)$ mit
\begin{align*}
\begin{array}{rrcll}
&\hspace{4cm} \tmsum{k=1}{\infty} \|g_k\|_{L^1}&<&\infty.
\intertext{Dann gibt es eine Funktion $g$, so dass gilt: }
\hspace{1cm}(1)&\mbox{Es gibt eine Nullmenge $N$, so dass}\\
&\tmsum{k=1}{\infty}\, g_k(x)&=&g(x)&\mbox{ f\"ur alle $x\not\in N$.}\\
(2)&\mbox{$g$ ist Lebesgue-integrierbar.}\hspace{1.5cm}\\
(3)& 
\underset{m\to\infty}{\lim}\, \Big\| g-\tmsum{k=1}{m} g_k\Big\|_{L^1}&=&0.\end{array}\end{align*}
\end{lemma}

\begin{proof}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Man w\"urde am liebsten einfach $g(x):=\tmsum{k=1}{\infty} g_m(x)$ setzen. Aber es gibt a priori keinen Grund, warum diese Reihe in irgendeiner Weise konvergieren muss. Wir betrachten daher zuerst $\tmsum{k=1}{\infty} |g_m(x)|$, denn diese Reihe konvergiert zumindest gegen ein Element in $\overline{\R}_+$.
}
\end{enumerate}
\begin{behauptung}
Die Funktion $\tmsum{k=1}{\infty} |g_k|=\underset{m\to\infty}{\lim}\, \tmsum{k=1}{m}\,|g_k|$ 
ist Lebesgue-integrierbar. 
\end{behauptung}

F\"ur alle $m\geq 1$ gilt
\[ \bbint\limits_U \tmsum{k=1}{m} |g_k|\,dv
\,\,=\,\, \tmsum{k=1}{m} \|g_k\|_{L^1}  \,\,\leq\,\,\tmsum{k=1}{\infty} \|g_k\|_{L^1}\,\,<\,\,\infty.\]
Die Lebesgue-Integrierbarkeit unserer Funktion folgt nun aus dem Satz~\ref{satz:levi} von der monotonen Konvergenz von Levi angewandt auf
\[ \tmsum{k=1}{m} |g_k| \,\uparrow \,\tmsum{k=1}{\infty} |g_k|.\]
 Wir haben damit die Behauptung bewiesen.



Es folgt aus Satz~\ref{satz:fast-ueberall-endlich}, dass es eine Nullmenge $N\subset U$ gibt, so dass $\tmsum{k=1}{\infty} |g_k(x)|<\infty$ f\"ur alle $x\in U\setminus N$. Jede absolut konvergente Reihe ist insbesondere konvergent. F\"ur alle $x\in U\setminus N$ existiert daher auch der Grenzwert
\[ g(x)\,\,:=\,\, \smsum{k=1}{\infty}\, g_k(x)\,\,\in \,\,\R.\]
 F\"ur $x\in N$ setzen wir zudem $g(x)=0$. 

Wir wollen nun  (2) mithilfe vom Satz~\ref{satz:lebesgue-konvergenz} von der majorisierten Konvergenz beweisen.
F\"ur die Partialsummen gilt die Majorisierung
\[ \Big|\tmsum{k=1}{m} g_k\Big|\,\,\leq\,\,
\tmsum{k=1}{m} |g_k|\,\,\leq\,\,\tmsum{k=1}{\infty} |g_k|.\]
Wir hatten gerade gezeigt, dass die Funktion auf der rechten Seite Lebesgue-integrierbar ist. Es folgt also aus Satz~\ref{satz:lebesgue-konvergenz} von der majorisierten Konvergenz, dass $g$ ebenfalls Lebesgue-integrierbar ist.

Es verbleibt (3) zu beweisen. 
 Es ist
\[ \begin{array}{llll}\underset{m\to\infty}{\lim}\, \Big\| g-\tmsum{k=1}{m} g_k\Big\|_{L^1}
&\leq\,\,
\underset{m\to\infty}{\lim}\,  \tmsum{k=m+1}{\infty} \|g_k\|_{L_1}&=\,\,0.\\[-0.2cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-3cm}
\begin{array}{c}
\mfbox{denn $g=\tmsum{k=1}{\infty} g_k$ au\ss erhalb}\\
\mfbox{einer Nullmenge}\end{array}
&\hspace{-1.5cm}\begin{array}{c}\mfbox{denn nach Voraussetzung}\\ \mfbox{ ist $\tmsum{k=m+1}{\infty} \|g_k\|_{L_1}<\infty$}\end{array}\vspace{-0.6cm}
\end{array} \]
\end{proof}

Wir sind nun in der Lage Satz~\ref{satz:cauchy-folge-in-lrn-konvergiert} zu beweisen.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:cauchy-folge-in-lrn-konvergiert}]
Es sei $U\subset \R^n$ offen und es sei  $\{f_m\}_{m\geq 1}$ eine $L^1$-Cauchyfolge in $\mathcal{L}(U)$.
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Der Gedanke ist nun die Folge $f_m$  als  Reihe umzuschreiben, und dann Lemma~\ref{lem:konvergenz-in-lrn-von-reihe} anzuwenden.  Die erste Idee w\"are wohl
\[ f_m\,\,=\,\,f_1+\tmsum{k=2}{m}\, (f_{k}-f_{k-1}) \]
zu schreiben. Aber in diesem Fall ist es nicht klar, warum 
$\tmsum{k=2}{\infty}\,\| f_{k}-f_{k-1}\|_{L^1}<\infty$ sein soll. Wir gehen nun zu einer Teilfolge von $f_m$ \"uber, um sicher zu stellen, dass diese Reihe dann doch konvergiert.}
\end{enumerate}
Nachdem  $\{f_m\}_{m\geq 1}$ eine $L^1$-Cauchyfolge in $\mathcal{L}(U)$ ist, gibt  es
insbesondere eine Indexfolge $m_1<m_2<m_3<\dots$, so dass\footnote{Warum gibt es eine solche Indexfolge? Denken Sie an eine Cauchy-Folge $(a_m)_{m\geq 1}$ von reellen Zahlen. Warum gibt es  eine Indexfolge $m_1<m_2<m_3<\dots$, so dass $|a_{m_k}-a_{m_{k-1}}|\leq 2^{-k}$ f\"ur alle $k$?}
\[ \| f_{m_k}-f_{m_{k-1}}\|_{L^1}\,\,\leq \,\,2^{-k}\quad \mbox{ f\"ur alle $k\in \N$.}\]
Wir k\"onnen nun  Lemma~\ref{lem:konvergenz-in-lrn-von-reihe} auf die Reihe
\[ \underset{=:g_1}{\underbrace{f_{m_1}}}\,+\,\smsum{k=2}{\infty} \underset{\opnormal{$=:g_k$, wobei $\|g\|\leq 2^{-k}$}}{\underbrace{(f_{m_{k}}-f_{m_{k-1}})}}\,\,=\,\,\underset{n\to\infty}{\lim} \Big(\underset{=f_{m_n}}{\underbrace{f_{m_1}\,+\,\smsum{k=2}{n} (f_{m_{k}}-f_{m_{k-1}})}}\Big)\]
anwenden.
Lemma~\ref{lem:konvergenz-in-lrn-von-reihe} besagt nun, dass es ein $f\in \mathcal{L}(U)$ gibt, so dass 
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}
\hspace{5.6cm}
 \underset{k\to\infty}{\lim} f_{m_k}(x)&=&f(x) &\mbox{ f\"ur fast alle $x\in U$},
\intertext{und }
\underset{k\to\infty}{\lim} \|f_{m_k}-f\|_{L^1}&=&0.
\intertext{Da $\{f_m\}_{m\geq 1}$ eine $L^1$-Cauchyfolge ist, folgt daraus auch, dass}
\underset{m\to\infty}{\lim} \|f_{m}-f\|_{L^1}&=&0.\vspace{-0.6cm}\end{array}\end{align*}
\end{proof}

%======================================================
\subsection{Beweis der allgemeinen Transformationsformel}
Wir beweisen nun die Transformationsformel im allgemeinen Fall.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:transallg}]
Es seien also $U,V\subset \R^n$ offene Mengen, es sei $\Phi\colon U\to V$ eine
$C^1$--invertierbare Abbildung zudem sei eine Lebesgue-integrierbare Funktion 
$f\colon V\to \R$    gegeben.

Wir wollen nun zeigen, dass
\[ \begin{array}{rcl} e\colon U&\to & \R \\
x&\mapsto & e(x):=f(\Phi(x))\cdot |\det D\Phi(x)|\end{array} \] 
Lebesgue-integrierbar ist, und dass
\[ \bbint\limits_U e(x)\,dx\,\,=\,\,\bbint\limits_V f(y)\,dy.\]
Die Lebesgue-integrierbare Funktion $f$ ist insbesondere messbar.
Nachdem $\Phi$ ein Hom\"o\-omor\-phismus ist folgt leicht aus Satz~\ref{satz:urbilder-auch-messbar}, dass auch $f\circ \Phi$ messbar ist.\footnote{In der Tat, denn f\"ur $c\in \R$ gilt $\{ f\circ \Phi<c\}=\Phi^{-1}(\{ f<c\})$.}
Nachdem $|\det D\Phi|$ stetig, insbesondere messbar ist, ist dann 
nach Lemma~\ref{lem:messbare-funktionen-eigenschaften} auch  $ e= (f\circ \Phi)\cdot |\det D\Phi|$
messbar auf $U$.\footnote{Wo wird im weiteren Verlauf des Beweises dieses Zwischenergebnis  verwendet?}

Es folgt aus Satz~\ref{satz:approximiation-durch-cc}, dass es eine Folge von Funktionen $f_k\in C_c(V), k\in \N$ gibt, so dass 
\[ \underset{k\to\infty}{\lim} \|f-f_k\|_{L^1}\,\,=\,\,0.\]
Es folgt aus Korollar~\ref{kor:cauchy-folge-in-lrn-konvergiert}, dass wir, nach eventuellem \"Ubergang zu einer Teilfolge, annehmen k\"onnen, dass es eine  Nullmenge $N\subset V$ gibt, so dass 
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}
\hspace{5cm} f(y)&=&\underset{k\to\infty}{\lim} f_{k}(y)&\mbox{ f\"ur alle }y\in V\setminus N.
\intertext{Wir setzen nun }
e_k&=& (f_k\circ \Phi)\cdot |\det D\Phi|.
\intertext{Dann gilt}
e(x)&=& \underset{k\to\infty}{\lim} e_{k}(x)&\mbox{ f\"ur alle }x\in U\setminus \Phi^{-1}(N).
\end{array}
\end{align*}
Nach Satz~\ref{satz:bild-von-nullmenge} und Satz~\ref{satz:urbilder-auch-messbar} ist $\Phi^{-1}(N)$  eine Nullmenge in $U$. 
Wir erhalten nun also, dass
\[ \begin{array}{lll}\bint\limits_V f(y)\,dy&=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim}\bint\limits_{V} f_k(y)\,dy
&=\,\,\underset{k\to\infty}{\lim}\bint\limits_{U} e_k(x)\,dx\,\,=\,\,(*)\\[-0.3cm]
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mfbox{nach Lemma~\ref{lem:lebesgue-integral-stetig}}
&\hspace{-0.2cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:transformationsformel-kompakter-traeger}}\\[-0.1cm]
&\hspace{-1.3cm}\mfbox{da $\underset{k\to\infty}{\lim} \|f-f_k\|_{L^1}=0$}\end{array}\]
\begin{enumerate}
\item[]\textcolor{blue}{Wir m\"ochten jetzt nat\"urlich am liebsten sagen, dass der Grenzwert der Lebesgue-Integrale der $e_k$'s gerade das Lebesgue-Integral von $e$ ist. Aber aus der punktweisen Konvergenz folgt a priori noch nicht, dass auch die Lebesgue-Integrale konvergieren. Im Hinblick auf Lemma~\ref{lem:lebesgue-integral-stetig} wollen wir nun also die Funktionenfolge $e_k$ bez\"uglich der $L^1$-Seminorm betrachten.
}
\end{enumerate}
F\"ur alle $k,l\in \N$ gilt
\[ 
\begin{array}{ll}
\|e_k-e_l\|_{L^1}&=\,\,\|f_k-f_l\|_{L^1}.\\
&\uparrow\\
&\hspace{-0.3cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:transformationsformel-kompakter-traeger} angewandt auf $|f_k-f_l|$}\end{array}\]
Nachdem $\{f_k\}_{L^1}$ bez\"uglich der $L^1$-Seminorm eine konvergente Folge ist, ist dies auch eine $L^1$-Cauchyfolge. Aus der obigen Gleichheit folgt nun auch, dass $\{e_k\}_{k\in \N}$ eine $L^1$-Cauchyfolge ist. Nach 
Satz~\ref{satz:cauchy-folge-in-lrn-konvergiert} existiert ein $e'\in \mathcal{L}(U)$, so dass die $g_k$ bez\"uglich der $L^1$-Seminorm gegen $e'$ konvergieren, und so dass eine Teilfolge der $g_k$'s au\ss erhalb einer Nullmenge $M$ punktweise gegen $e'$ konvergiert.  Wir k\"onnen nun jetzt oben weiterfahren und erhalten, dass
\[ \begin{array}{lll} (*)&=\,\,\bint\limits_U e'(x)\,dx&=\,\,\bint\limits_U e(x)\,dx.\\[-0.3cm]
&\uparrow &\uparrow\\
&
\hspace{-0.5cm}\mfbox{Lemma~\ref{lem:lebesgue-integral-stetig}}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{denn $e=e'$ au\ss erhalb}\\[-0.1cm]
&&\hspace{-0.6cm}\mfbox{der Nullmenge $M\cup \Phi^{-1}(N)$}
\end{array}\]


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{beweis-transformationssatz.pstex_t}
\caption{Skizze zum Beweis von Satz~\ref{satz:transallg}.}
\label{fig:beweis-transformationssatz}
\end{center}
\end{figure}

Wir m\"ussen nun noch die ``R\"uckrichtung'' von Beweis von Satz~\ref{satz:transallg} zeigen. D.h.\ wir m\"ussen beweisen, dass wenn 
\[ \begin{array}{rcl} e\colon U&\to & \R \\
x&\mapsto & e(x)=f(\Phi(x))\cdot |\det D\Phi(x)|\end{array} \] Lebesgue-integrierbar ist,
dann ist auch die urspr\"ungliche Funktion $f\colon V\to \R$ Lebesgue-integrierbar.
Dies folgt jedoch aus dem ersten Teil des Beweises angewandt auf die $C^1$-invertierbare Funktion $\Psi:=\Phi^{-1}\colon V\to U$ und die Funktion $e$. Denn in diesem Fall 
ist
\[ \begin{array}{lll}
(e\circ \Psi)\cdot |\det D\Psi|&=\,\,(f\circ \Phi\circ \Psi)\cdot |\det D\Phi\circ \Psi|\cdot |\det D\Psi|&=\,\,f.\\
&\uparrow&\uparrow\\
&\hspace{-1cm}\mfbox{Definition von $g$} &\hspace{-3cm}\mfbox{denn $(D\Phi)\circ \Psi=(D\Psi)^{-1}$ und $\Phi\circ \Psi^{-1}=\operatorname{id}$}\vspace{-0.7cm}
\end{array}\]
\end{proof}


%======================================================
\subsection{Beispiel f\"ur die allgemeine Transformationsformel: der Satz von Gauss}

Wir k\"onnen jetzt zum Abschlu\ss\, folgenden Satz von Gauss
beweisen:

\begin{satz}
Es ist
\[ \bint\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx\,\,=\,\,\sqrt{\pi}.\]
\end{satz}

Der Satz ist verbl\"uffend, nachdem man keine explizite Stammfunktion von $e^{-x^2}$ angeben  kann
(weder Substitution noch partielle Integration f\"uhren zum Erfolg), insbesondere kann man  daher  das uneigentliche Integral nicht `einfach per Hand' bestimmen.
Es ist zudem auch \"uberraschend, dass das Ergebnis die Kreiszahl $\pi$ enth\"alt.

Mithilfe von Substitution kann man nun auch leicht zeigen, dass f\"ur alle $\mu\in\R$ und alle $\sigma>0$ die Gleichheit
\[\bint\limits_{-\infty}^\infty \tmfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\,dx\,\,=\,\,1\]
gilt. Dieses Integral spielt eine wichtige Rolle in der Statistik.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{gauss.pstex_t}
\caption{}
\label{fig:gauss}
\end{center}
\end{figure}

\begin{proof}
Mithilfe des Majoranten-Kriteriums f\"ur uneigentliche Riemann-Integrale (siehe Satz 15.9 in Analysis I) kann man leicht zeigen, dass das uneigentliche Riemann-Integral
\[  \bint\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \]
konvergiert. Wir setzen also
\[ \begin{array}{ll} C\,\,:=\,\, \bint\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx&=\,\,\bint\limits_{\R} e^{-x^2}\,dx.\\[-0.3cm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:uneigentliches-integral}}\end{array}
\]
Dann gilt
\[ \begin{array}{llll}
 C^2= C\cdot  \bint\limits_{\R}\hspace{-0.1cm} e^{-y^2}\,dy &= \bint\limits_{\R} e^{-y^2}\cdot C \,dy 
&= \bint\limits_{\R}\,\,\, e^{-y^2}\cdot\underset{=C}{\underbrace{ \bint\limits_{\R} e^{-x^2}\,dx}}\,\,\, \,dy  \\[1mm]
&=\,\,  \bint\limits_{\R} \,\,\,\bint\limits_{\R} e^{-x^2}\cdot  e^{-y^2}\,dx\,\,\, \,dy  &=\,\,
 \bint\limits_{\R}\bint\limits_{\R} e^{-(x^2+y^2)} \,dx \,dy  \\[-3mm]
 &\uparrow\\
 &\mfbox{da $e^{-y^2}$ Konstante bez\"uglich $x$}\\[1mm]
&=\bint\limits_{\R^2} e^{-(x^2+y^2)} \,dx \,dy 
&=\bint\limits_{[0,2\pi]\times [0,\infty)}\hspace{-0.6cm} e^{-((r\cos \varphi)^2+(r\sin \varphi)^2)}rdrd\varphi
\\[-3mm]
&\uparrow &\uparrow\\
&\hspace{-4cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:fubini} von Fubini, bzw.\ Lemma~\ref{lem:tonelli} von Tonelli}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:polar1} \"uber die Polarkoordinaten}\end{array}\]
\[\begin{array}{llll}
\hspace{1.9cm}&=\bint\limits_{[0,2\pi]}\bint\limits_{[0,\infty)}\hspace{-0.2cm} e^{-r^2}\,r\,dr\,d\varphi\hspace{0.8cm}&=\,\,\bint\limits_0^{2\pi}\bint\limits_0^\infty e^{-r^2}\,r\,dr\,d\varphi\\[-2mm]
&\uparrow &\uparrow\\
&\hspace{-4cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:fubini} von Fubini, bzw.\ Lemma~\ref{lem:tonelli} von Tonelli}
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Satz~\ref{satz:riemann-integrierbar-ist-lebesgue-integrierbar} und Satz~\ref{satz:uneigentliches-integral}}\\[1mm]
&=\,\,2\pi \bint\limits_0^\infty e^{-r^2}\,r\,dr&=\,\,2\pi\cdot \bint\limits_0^\infty -\tmfrac{1}{2}e^{-r^2}(-2r)\,dr\\[-3mm]
&\uparrow&\\
&\hspace{-0.5cm}\mfbox{Integrand ist konstant in $\varphi$}\end{array}\]
\[\begin{array}{llll}
\hspace{1.5cm}&=2\pi\cdot \bint\limits_0^{-\infty} -\tmfrac{1}{2}e^u\,du\hspace{1.3cm}
&=\,\,2\pi \cdot \Big[-\tmfrac{1}{2}e^u\Big]_0^{-\infty}\,\,=\,\,\pi.\\[-3mm]
&\uparrow\\
&\hspace{-0.5cm} \mfbox{Substitution $u=-r^2$ }\end{array} \]
Durch Wurzelziehen  erhalten wir also, dass $C=\sqrt{\pi}$.
\end{proof}
\end{document}

